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- Gehe die 6er-Reihe im Kopf durch. - Kannst du die Zahl ohne Rest durch 6 teilen? - Überprüfe jede Zahl einzeln.

1. Prüfung der Teilbarkeit jeder Zahl durch \(6\). 2. Berechnung der Ergebnisse: \(12 : 6 = 2\), \(18 : 6 = 3\), \(30 : 6 = 5\), \(42 : 6 = 7\), \(48 : 6 = 8\), \(60 : 6 = 10\). 3. Die Zahlen \(22\), \(34\), \(56\) und \(64\) sind nicht ohne Rest durch \(6\) teilbar. 4. Die Vielfachen von \(6\) aus der Liste sind \(12\), \(18\), \(30\), \(42\), \(48\) und \(60\).

\(12\), \(18\), \(30\), \(42\), \(48\), \(60\)

- Schreibe zuerst alle Teiler der ersten Zahl auf. - Schreibe danach alle Teiler der zweiten Zahl auf. - Welche Zahlen stehen in beiden Listen? - Denk an die Endziffern – sie verraten dir oft, ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist.

1. Alle Teiler von \(20\) finden: \(1, 2, 4, 5, 10, 20\). 2. Alle Teiler von \(30\) finden: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\). 3. Vergleich der beiden Listen und Auswahl der identischen Zahlen: \(1, 2, 5, 10\).

Die gemeinsamen Teiler von \(20\) und \(30\) sind: \(1, 2, 5, 10\).

- Gehe die Achterreihe im Kopf durch. - Was bedeutet das Wort „zwischen“ für die Randzahlen? - Wie hängen die Zahlen mit Rest mit der Malfolge zusammen? - Addiere den Rest zu den Ergebnissen der Achterreihe.

1. Vielfache von \(8\) durch Multiplikation bestimmen: \(8 \cdot 6 = 48\), \(8 \cdot 7 = 56\), \(8 \cdot 8 = 64\), \(8 \cdot 9 = 72\), \(8 \cdot 10 = 80\), \(8 \cdot 11 = 88\). Die Zahlen \(40\) und \(96\) liegen außerhalb des Bereichs „zwischen“. 2. Zahlen mit Rest \(5\) berechnen nach der Formel \(8 \cdot k + 5\): \(8 \cdot 0 + 5 = 5\), \(8 \cdot 1 + 5 = 13\), \(8 \cdot 2 + 5 = 21\), \(8 \cdot 3 + 5 = 29\), \(8 \cdot 4 + 5 = 37\).

a) \(48, 56, 64, 72, 80, 88\) b) \(5, 13, 21, 29, 37\)

- Zerlege die Zahl \(1\,260\) in kleinere Zahlen, die leichter durch \(7\), \(8\) oder \(9\) zu teilen sind. - Nutze für die Division durch 9 die Quersummenregel, um dein Ergebnis zu kontrollieren. - Achte beim Teilen durch 8 auf die letzten drei Ziffern oder zerlege die Zahl schrittweise.

1. Division durch 7: \(1\,260 : 7 = 180\) (da \(700 : 7 = 100\) und \(560 : 7 = 80\)). Die Division geht ohne Rest auf. 2. Division durch 8: \(1\,260 : 8 = 157\,\text{Rest}\,4\) (da \(800 : 8 = 100\), \(400 : 8 = 50\) und \(60 : 8 = 7\,\text{Rest}\,4\)). 3. Division durch 9: \(1\,260 : 9 = 140\) (da \(900 : 9 = 100\) und \(360 : 9 = 40\)). Die Division geht ohne Rest auf. 4. Ergebnis: Die Divisionen durch \(7\) und \(9\) gehen ohne Rest auf.

a) \(180\); b) \(157\,\text{Rest}\,4\); c) \(140\). Ohne Rest gehen die Divisionen durch \(7\) und \(9\) auf.

- Achte auf die letzte Ziffer der Zahlen. - Welche Endziffern haben Zahlen, die man gerecht halbieren kann? - Woran erkennst du Zahlen aus der 5er-Reihe oder der 10er-Reihe?

1. Anwendung der Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist durch \(2\) teilbar, wenn sie auf \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) endet. Sie ist durch \(5\) teilbar, wenn sie auf \(0\) oder \(5\) endet. Sie ist durch \(10\) teilbar, wenn sie auf \(0\) endet. 2. Prüfung der einzelnen Zahlen: - \(240\): Endziffer \(0 \rightarrow\) teilbar durch \(2, 5, 10\). - \(245\): Endziffer \(5 \rightarrow\) teilbar durch \(5\). - \(252\): Endziffer \(2 \rightarrow\) teilbar durch \(2\). - \(260\): Endziffer \(0 \rightarrow\) teilbar durch \(2, 5, 10\). - \(265\): Endziffer \(5 \rightarrow\) teilbar durch \(5\). - \(278\): Endziffer \(8 \rightarrow\) teilbar durch \(2\).

Teilbar durch \(2\): \(240, 252, 260, 278\) Teilbar durch \(5\): \(240, 245, 260, 265\) Teilbar durch \(10\): \(240, 260\)

- Überlege, in welchen Einmaleins-Reihen die Zahl vorkommt. - Jede Zahl lässt sich mindestens durch \(1\) und sich selbst teilen. - Findest du Zahlenpaare, die multipliziert genau deine Zielzahl ergeben? - Gehe die Zahlen der Reihe nach durch: Ist die Zahl durch \(2\) teilbar? Durch \(3\)?

1. Teiler von \(15\): Durch Probieren der Multiplikationspaare (\(1 \cdot 15\), \(3 \cdot 5\)) ergeben sich die Teiler \(1\), \(3\), \(5\) und \(15\). 2. Teiler von \(24\): Die Paare (\(1 \cdot 24\), \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\), \(4 \cdot 6\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\) und \(24\). 3. Teiler von \(28\): Die Paare (\(1 \cdot 28\), \(2 \cdot 14\), \(4 \cdot 7\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(4\), \(7\), \(14\) und \(28\). 4. Teiler von \(30\): Die Paare (\(1 \cdot 30\), \(2 \cdot 15\), \(3 \cdot 10\), \(5 \cdot 6\)) ergeben die Teiler \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(10\), \(15\) und \(30\).

\(15\): \(1, 3, 5, 15\) \(24\): \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\) \(28\): \(1, 2, 4, 7, 14, 28\) \(30\): \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\)

- Gehe die Einmaleins-Reihen beider Zahlen nacheinander durch. - Welche Zahlen kommen in beiden Reihen vor? - Achte darauf, dass deine Zahlen größer als 10 und kleiner als 50 sind.

1. Vielfache von 4 im Bereich von 10 bis 50 ermitteln: \(12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48\). 2. Vielfache von 6 im Bereich von 10 bis 50 ermitteln: \(12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\). 3. Gemeinsame Zahlen in beiden Listen finden: \(12, 24, 36, 48\).

12, 24, 36, 48

- Denke an die kleinen Einmaleins-Aufgaben und hänge die Nullen passend an. - Wenn eine Zahl auf eine Null endet, ist sie immer durch \(10\) teilbar. - Kannst du die Zahl halbieren? Dann ist \(2\) einer der Faktoren. - Überlege, welche Zehnerzahlen (wie \(20, 30, 40 \dots\)) in die Zielzahl passen könnten.

1. Für \(180\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 90 = 180\), \(3 \cdot 60 = 180\), \(6 \cdot 30 = 180\), \(9 \cdot 20 = 180\) oder \(10 \cdot 18 = 180\). 2. Für \(280\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 140 = 280\), \(4 \cdot 70 = 280\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(10 \cdot 28 = 280\) oder \(14 \cdot 20 = 280\). 3. Für \(400\): Mögliche Zerlegungen sind \(2 \cdot 200 = 400\), \(4 \cdot 100 = 400\), \(5 \cdot 80 = 400\), \(8 \cdot 50 = 400\), \(10 \cdot 40 = 400\) oder \(20 \cdot 20 = 400\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(2 \cdot 90\), \(3 \cdot 60\), \(6 \cdot 30\) b) \(4 \cdot 70\), \(7 \cdot 40\), \(10 \cdot 28\) c) \(4 \cdot 100\), \(8 \cdot 50\), \(20 \cdot 20\)

- Kennst du eine Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins, deren Ergebnis 32 ist? - Was passiert, wenn du die 320 halbierst? - Kannst du eine der Zahlen verdoppeln und die andere dafür halbieren, um ein neues Paar zu finden?

1. Zerlegung der Zahl \(320\) unter Nutzung bekannter kleinerer Malaufgaben (z. B. aus dem kleinen Einmaleins). 2. Testen von Teilern: \(320 : 2 = 160\), also \(2 \cdot 160 = 320\). 3. \(320 : 4 = 80\), also \(4 \cdot 80 = 320\). 4. \(320 : 8 = 40\), also \(8 \cdot 40 = 320\). 5. \(320 : 20 = 16\), also \(20 \cdot 16 = 320\). Mögliche Paare sind zum Beispiel \((2, 160)\), \((4, 80)\), \((8, 40)\) oder \((16, 20)\).

Mögliche Antworten sind: \(2 \cdot 160\) \(4 \cdot 80\) \(8 \cdot 40\) \(16 \cdot 20\) (Drei dieser oder ähnlicher Paare müssen genannt werden.)

- Das Problem fragt nach allen Teilern der Zahl 30. - Kann es eine Gruppe mit nur einem Kind geben? Oder eine Gruppe mit allen Kindern? - Gehe die Zahlen von 1 bis 10 durch und schaue, bei welcher Zahl kein Rest bleibt.

1. Ermittlung aller Teiler der Zahl \(30\). 2. Prüfung der Teilbarkeit: \(30 : 1 = 30\), \(30 : 2 = 15\), \(30 : 3 = 10\), \(30 : 5 = 6\). 3. Die Teiler sind \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15\) und \(30\).

Es sind folgende Gruppengrößen möglich: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15\) und \(30\) Kinder.

- Kannst du die 15er-Reihe aufschreiben? - Nutze Hilfsrechnungen wie \(15 \cdot 10\), um dich im Zahlenraum zu orientieren. - Wenn eine Zahl bei der Division durch \(15\) den Rest \(4\) lässt, ist sie um \(4\) größer als ein Vielfaches von \(15\).

1. Vielfache von \(15\) im Bereich finden: \(15 \cdot 7 = 105\), \(15 \cdot 8 = 120\), \(15 \cdot 9 = 135\), \(15 \cdot 10 = 150\), \(15 \cdot 11 = 165\), \(15 \cdot 12 = 180\), \(15 \cdot 13 = 195\). 2. Zahlen mit Rest \(4\) berechnen: \(15 \cdot 2 + 4 = 34\), \(15 \cdot 3 + 4 = 49\), \(15 \cdot 4 + 4 = 64\), \(15 \cdot 5 + 4 = 79\).

a) \(105, 120, 135, 150, 165, 180, 195\) b) \(34, 49, 64, 79\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe, ob du sie im Kopf rechnen kannst oder ob du dir Zwischenschritte aufschreiben möchtest. - Erinnerst du dich an die Teilbarkeitsregeln? Sie können dir helfen zu prüfen, ob ein Rest zu erwarten ist. - Bei der Division durch 9 kannst du die Quersumme nutzen, um den Rest vorab zu bestimmen.

1. Division durch 2: \(1\,680 : 2 = 840\) 2. Division durch 3: \(1\,680 : 3 = 560\) 3. Division durch 4: \(1\,680 : 4 = 420\) 4. Division durch 5: \(1\,680 : 5 = 336\) 5. Division durch 6: \(1\,680 : 6 = 280\) 6. Division durch 7: \(1\,680 : 7 = 240\) 7. Division durch 8: \(1\,680 : 8 = 210\) 8. Division durch 9: \(1\,680 : 9 = 186\,\text{Rest}\,6\) 9. Division durch 10: \(1\,680 : 10 = 168\)

\(1\,680 : 2 = 840\); \(1\,680 : 3 = 560\); \(1\,680 : 4 = 420\); \(1\,680 : 5 = 336\); \(1\,680 : 6 = 280\); \(1\,680 : 7 = 240\); \(1\,680 : 8 = 210\); \(1\,680 : 9 = 186\,\text{Rest}\,6\); \(1\,680 : 10 = 168\)

- Rechne die Aufgaben nacheinander aus und achte besonders auf die letzte Ziffer der Zahl. - Schau dir die Reste am Ende deiner Rechnungen genau an. Gibt es eine Gemeinsamkeit?

1. Berechnung der Divisionen: \(3\,361 : 2 = 1\,680\,\text{Rest}\,1\) \(3\,361 : 3 = 1\,120\,\text{Rest}\,1\) (Quersumme \(3+3+6+1=13\); \(13 : 3 = 4\,\text{Rest}\,1\)) \(3\,361 : 5 = 672\,\text{Rest}\,1\) \(3\,361 : 10 = 336\,\text{Rest}\,1\) 2. Vergleich der Reste: Bei allen vier Divisionen bleibt der Rest \(1\) übrig.

a) \(3\,361 : 2 = 1\,680\,\text{Rest}\,1\); \(3\,361 : 3 = 1\,120\,\text{Rest}\,1\); \(3\,361 : 5 = 672\,\text{Rest}\,1\); \(3\,361 : 10 = 336\,\text{Rest}\,1\) b) Bei allen Divisionen bleibt der Rest \(1\) übrig.

- Suche zuerst alle Teiler für jede Zahl einzeln. - Zähle danach, wie viele Teiler du für jede Zahl gefunden hast. - Vergiss bei der \(36\) nicht die Zahl \(6\), da \(6 \cdot 6 = 36\). - Achte darauf, dass du kein Paar übersiehst, indem du systematisch von der \(1\) aufwärts prüfst.

1. Bestimmung der Teiler von \(21\): Die Teiler sind \(1, 3, 7, 21\) (insgesamt \(4\) Teiler). 2. Bestimmung der Teiler von \(36\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\) (insgesamt \(9\) Teiler). 3. Bestimmung der Teiler von \(40\): Die Teiler sind \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\) (insgesamt \(8\) Teiler). 4. Vergleich der Anzahl: Da \(9 > 8 > 4\), hat die Zahl \(36\) die meisten Teiler.

a) Teiler von \(21\): \(1, 3, 7, 21\); Teiler von \(36\): \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\); Teiler von \(40\): \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\). b) Die Zahl \(36\) hat die meisten Teiler.

- Schreibe zuerst alle Zahlen der 8er-Reihe auf, die größer als \(50\) und kleiner als \(100\) sind. - Prüfe nun für jede dieser Zahlen, ob sie auch durch \(3\) teilbar ist. - Du kannst zur Überprüfung der Teilbarkeit durch \(3\) auch die Quersumme der Zahlen bilden.

1. Bestimmung der Vielfachen von \(8\) im Bereich zwischen \(50\) und \(100\): \(56\), \(64\), \(72\), \(80\), \(88\), \(96\). 2. Prüfung dieser Zahlen auf Teilbarkeit durch \(3\): - \(56:3 = 18\) Rest \(2\) (nein) - \(64:3 = 21\) Rest \(1\) (nein) - \(72:3 = 24\) (ja) - \(80:3 = 26\) Rest \(2\) (nein) - \(88:3 = 29\) Rest \(1\) (nein) - \(96:3 = 32\) (ja) 3. Ergebnis: Die möglichen Zahlen sind \(72\) und \(96\).

\(72\) und \(96\)

- Suche zuerst nach der kleinsten Zahl über \(100\), die in der \(30\)er-Reihe und in der \(40\)er-Reihe vorkommt. - Wie hängen die Reihen von \(3\) und \(4\) mit den Reihen von \(30\) und \(40\) zusammen? - Wenn du die erste passende Zahl gefunden hast, sind auch deren Verdopplungen oder Verdreifachungen oft Lösungen.

1. Vielfache von \(30\) im Bereich von \(100\) bis \(500\) bestimmen: \(120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, 450, 480\). 2. Vielfache von \(40\) im Bereich von \(100\) bis \(500\) bestimmen: \(120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480\). 3. Gemeinsame Zahlen in beiden Listen finden: \(120\), \(240\), \(360\) und \(480\). 4. Überprüfung der Produkte: \(4 \cdot 30 = 120\) und \(3 \cdot 40 = 120\) \(8 \cdot 30 = 240\) und \(6 \cdot 40 = 240\) \(12 \cdot 30 = 360\) und \(9 \cdot 40 = 360\) \(16 \cdot 30 = 480\) und \(12 \cdot 40 = 480\)

Die gesuchten Zahlen sind \(120\), \(240\), \(360\) und \(480\).

- Welche Zahlen aus der 7er-Reihe liegen nahe bei 50 oder 60? - Denke an die 7er- und 8er-Reihe und hänge eine Null an. - Suche nach einer gemeinsamen Zahl in den Reihen der beiden Teiler.

1. Bestimmung der Vielfachen von \(70\) im relevanten Bereich: \(7 \cdot 7 = 49 \Rightarrow 490\), \(7 \cdot 8 = 56 \Rightarrow 560\), \(7 \cdot 9 = 63 \Rightarrow 630\). Die Vielfachen von \(70\) sind also \(490, 560, 630\). 2. Bestimmung der Vielfachen von \(80\) im relevanten Bereich: \(8 \cdot 6 = 48 \Rightarrow 480\), \(8 \cdot 7 = 56 \Rightarrow 560\), \(8 \cdot 8 = 64 \Rightarrow 640\). Die Vielfachen von \(80\) sind also \(480, 560, 640\). 3. Vergleich der Listen: Die einzige Zahl, die in beiden Listen vorkommt und zwischen \(500\) und \(600\) liegt, ist \(560\).

Die gesuchte Zahl ist \(560\).