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- Was passiert mit der Quersumme einer Zahl, wenn du \(9\) addierst? - Addiere einmal alle Ziffern von \(0\) bis \(9\). Was kommt heraus? - Überprüfe, ob deine Quersummen alle in derselben Einmaleins-Reihe vorkommen.

1. Beispielrechnungen: Mögliche Paare sind etwa \(10\,234 + 98\,765 = 108\,999\) (Quersumme \(36\)), \(50\,246 + 13\,789 = 64\,035\) (Quersumme \(18\)) oder \(24\,680 + 13\,579 = 38\,259\) (Quersumme \(27\)). 2. Beobachtung: Die Quersumme des Ergebnisses ist in jedem Fall durch \(9\) teilbar (z. B. \(18, 27, 36, 45\)). 3. Begründung: Die Summe aller verwendeten Ziffern von \(0\) bis \(9\) ist \(45\). Da \(45\) durch \(9\) teilbar ist, muss auch die Summe der beiden daraus gebildeten Zahlen und somit deren Quersumme (unter Berücksichtigung der Zehnerübergänge, die die Quersumme jeweils um \(9\) verringern) immer ein Vielfaches von \(9\) sein.

a) Individuelle Lösungen (z. B. \(40\,231 + 59\,876 = 100\,107\), Quersumme \(9\)). b) Die Quersumme des Ergebnisses ist immer ein Vielfaches von \(9\) (z. B. \(9, 18, 27, 36, 45\)). c) Die Gesamtsumme der Ziffern \(0\) bis \(9\) beträgt \(45\), was ein Vielfaches von \(9\) ist. Zehnerübergänge bei der Addition verringern die Quersumme immer um genau \(9\), sodass das Ergebnis stets in der Neunerreihe bleibt.

- An welcher Stelle einer Zahl haben große Ziffern die größte Wirkung auf den Wert der Summe? - Darf die Ziffer \(0\) ganz vorne an einer Zahl stehen? - Verteile die Ziffern abwechselnd auf die beiden Zahlen, beginnend bei den Tausendern.

1. Für das größte Ergebnis müssen die größten Ziffern an den höchsten Stellenwerten stehen: Tausender \(7\) und \(6\), Hunderter \(5\) und \(4\), Zehner \(3\) und \(2\), Einer \(1\) und \(0\). Eine mögliche Rechnung ist \(7531 + 6420 = 13\,951\). 2. Für das kleinste Ergebnis müssen die kleinsten Ziffern (außer \(0\) an erster Stelle) an die Tausenderstellen: \(1\) und \(2\). Die \(0\) kommt an die Hunderterstelle der ersten Zahl, die \(3\) an die Hunderterstelle der zweiten Zahl. Danach folgen \(4\) und \(5\) für die Zehner sowie \(6\) und \(7\) für die Einer. Eine mögliche Rechnung ist \(1046 + 2357 = 3403\).

a) Das größte Ergebnis ist \(13\,951\). b) Das kleinste Ergebnis ist \(3403\).

- Probiere Zahlen zu finden, deren Summe knapp unter oder knapp über \(100\,000\) liegt. - Welche Ziffern müssen an der Zehntausenderstelle stehen, damit die Summe etwa \(100\,000\) ergibt? - Denk an die Regel mit der Quersumme aus der ersten Aufgabe – das hilft dir zu prüfen, welche Ergebnisse überhaupt möglich sind.

1. Um nah an \(100\,000\) zu kommen, muss die Summe der Zehntausenderstellen etwa \(9\) ergeben (mit Übertrag) oder \(10\) (ohne Übertrag). 2. Ein Versuch mit \(49\,876 + 50\,123\) ergibt \(99\,999\). Hierbei werden alle Ziffern \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) genau einmal verwendet. 3. Das Ergebnis \(99\,999\) hat einen Unterschied von genau \(1\) zu \(100\,000\). 4. Ein Ergebnis von \(100\,001\) ist mit diesen Ziffern nicht möglich, da die Quersumme des Ergebnisses durch \(9\) teilbar sein muss (die Quersumme von \(100\,001\) ist \(2\)). Das nächstgrößere mögliche Ergebnis wäre \(100\,008\), was einen Abstand von \(8\) hätte.

Eine mögliche Aufgabe ist \(49\,876 + 50\,123 = 99\,999\). Der Unterschied zu \(100\,000\) beträgt \(1\).