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- Ordne die Ziffern für die größte Zahl von der größten zur kleinsten und für die kleinste Zahl umgekehrt. - Das Wort „Unterschied“ weist dich darauf hin, dass du eine Differenz berechnen sollst. - Bei Teil c) kannst du dir eine Platzhalteraufgabe wie \(97\,531 - \Box = 80\,000\) aufschreiben.

1. Größte Zahl: \(97\,531\), kleinste Zahl: \(13\,579\). Differenz: \(97\,531 - 13\,579 = 83\,952\). 2. Abstand zu \(50\,000\): \(50\,000 - 13\,579 = 36\,421\). 3. Gesuchte Zahl \(x\): \(97\,531 - x = 80\,000\). Rechnung: \(97\,531 - 80\,000 = 17\,531\).

a) \(97\,531 - 13\,579 = 83\,952\) b) \(36\,421\) c) \(17\,531\)

- Überlege zuerst, welche Ziffer an der ersten Stelle (Hunderttausender) stehen muss, damit die Zahl im gesuchten Bereich liegt. - Suche dann in der Ziffernliste nach zwei Zahlen, bei denen die eine genau das Doppelte der anderen ist. - Schau dir die restlichen Ziffern an und finde ein Paar, dessen Unterschied genau 3 beträgt. - Die Ziffer, die am Ende übrig bleibt, füllt die letzte freie Stelle aus.

1. Da die Zahl zwischen \(400\,000\) und \(500\,000\) liegt, muss die Hunderttausenderziffer eine \(4\) sein. 2. Die verbleibenden Ziffern sind \(3, 5, 6, 8, 9\). 3. Für die Bedingung „Tausenderziffer ist das Doppelte der Einerziffer“ kommt aus den Restziffern nur das Paar \(6\) (Tausender) und \(3\) (Einer) infrage. 4. Verbleibende Ziffern: \(5, 8, 9\). 5. Die Zehnerziffer ist um \(3\) kleiner als die Hunderterziffer. Das passt nur für das Paar \(8\) (Hunderter) und \(5\) (Zehner). 6. Die letzte übrig gebliebene Ziffer \(9\) muss an der Zehntausenderstelle stehen.

\(496\,853\)

- Was verrät dir die Information „größer als \(900\,000\)“ über die erste Ziffer? - Woran erkennst du an der letzten Ziffer, ob eine Zahl gerade ist? - Welche zwei der gegebenen Ziffern ergeben zusammen 8? - Denke daran, dass eine Ziffer doppelt vorkommt und an verschiedenen Stellen stehen könnte.

1. Da die Zahl größer als \(900\,000\) ist, muss die Hunderttausenderziffer \(9\) sein. 2. Da die Zahl gerade ist, muss die Einerziffer \(2\) sein (die einzige gerade Ziffer im Satz). 3. Verbleibende Ziffern für die restlichen Stellen: \(1, 1, 5, 7\). 4. Die Summe aus Zehntausender- (ZT) und Tausenderziffer (T) ist \(8\). Die einzige Kombination aus den Restziffern ist \(1 + 7 = 8\). Es gibt zwei Möglichkeiten: ZT=\(1\), T=\(7\) oder ZT=\(7\), T=\(1\). 5. Für die verbleibenden Stellen (Hunderter und Zehner) bleiben in jedem Fall die Ziffern \(1\) und \(5\) übrig. Auch hier gibt es jeweils zwei Kombinationen. 6. Kombinationen für ZT=\(1\), T=\(7\): \(917\,152\) und \(917\,512\). 7. Kombinationen für ZT=\(7\), T=\(1\): \(971\,152\) und \(971\,512\).

\(917\,152, 917\,512, 971\,152, 971\,512\)

- Bestimme zuerst die ersten beiden Stellen durch den Zahlenbereich. - Was muss an der Einerstelle stehen, damit die Zahl durch 10 teilbar ist? - Sortiere die übrig gebliebenen Ziffern und schaue, welche zwei einen Abstand von 2 haben. - Setze die letzte Ziffer an den verbleibenden Platz.

1. Der Bereich zwischen \(240\,000\) und \(250\,000\) legt fest: Hunderttausender = \(2\), Zehntausender = \(4\). 2. Teilbarkeit durch \(10\) bedeutet, dass die Einerstelle eine \(0\) sein muss. 3. Verbleibende Ziffern für Tausender (T), Hunderter (H) und Zehner (Z): \(5, 6, 8\). 4. Die Bedingung „Tausender um \(2\) größer als Hunderter“ lässt bei den Restziffern nur \(8\) (Tausender) und \(6\) (Hunderter) zu. 5. Die letzte freie Ziffer \(5\) wird an der Zehnerstelle platziert.

\(248\,650\)

- Überlege für den größten Unterschied, wie du eine sehr große und eine sehr kleine Zahl bildest. - Für einen sehr kleinen Unterschied sollten die Tausenderstellen so nah wie möglich beieinander liegen. - Welche Ziffern müssen nach der Tausenderstelle folgen, damit die Zahlen insgesamt nah zusammenrücken?

1. Für die größtmögliche Differenz muss die erste Zahl so groß wie möglich (\(8765\)) und die zweite Zahl so klein wie möglich (\(1234\)) sein. Die Differenz beträgt \(8765 - 1234 = 7531\). 2. Für die kleinstmögliche Differenz müssen die Tausenderziffern direkt benachbart sein (z. B. \(5\) und \(4\)). Die größere Zahl wird mit den kleinsten verfügbaren Restziffern aufgefüllt (\(5123\)), die kleinere Zahl mit den größten verfügbaren Restziffern (\(4876\)). Die kleinste Differenz beträgt \(5123 - 4876 = 247\).

a) Die Zahlen sind \(8765\) und \(1234\). Der Unterschied beträgt \(7531\). b) Die Zahlen sind zum Beispiel \(5123\) und \(4876\). Der Unterschied beträgt \(247\).

- Überlege für Teil a), welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss, um eine besonders große oder kleine Zahl zu erhalten. - Damit ein Ergebnis bei der Minusaufgabe sehr klein wird, müssen die Anfangsziffern der beiden Zahlen so nah wie möglich beieinander liegen. - Was passiert mit den restlichen Stellen, wenn du den Unterschied klein halten willst? Sollte die obere Zahl dort eher klein oder groß sein? - Die Umkehraufgabe einer Minusrechnung ist immer eine Plusrechnung.

1. Für die größtmögliche Differenz muss der Minuend so groß wie möglich (\(98\,765\)) und der Subtrahend so klein wie möglich (\(10\,234\)) sein: \(98\,765 - 10\,234 = 88\,531\). 2. Eine mögliche Kombination für ein Ergebnis kleiner als \(300\) ist \(50\,123 - 49\,876 = 247\). 3. Die Umkehraufgabe zur Beispielrechnung lautet: \(247 + 49\,876 = 50\,123\).

a) \(98\,765 - 10\,234 = 88\,531\) b) Zum Beispiel: \(50\,123 - 49\,876 = 247\) c) Zum Beispiel: \(247 + 49\,876 = 50\,123\)

- Überlege dir die passende Reihe des Einmaleins ohne die Nullen. - Hilft es dir, die Umkehroperation (Division) im Kopf zu überschlagen? - Achte genau darauf, ob das Ergebnis kleiner (\(<\)) oder größer (\(>\)) als die Zielzahl sein soll.

1. In Teilaufgabe a) suchen wir Ziffern mit \(x \cdot 40 < 250\). Da \(6 \cdot 40 = 240\) und \(7 \cdot 40 = 280\), passen alle Ziffern von \(0\) bis \(6\). 2. In Teilaufgabe b) suchen wir Ziffern mit \(x \cdot 700 > 4000\). Da \(5 \cdot 700 = 3500\) und \(6 \cdot 700 = 4200\), passen die Ziffern \(6, 7, 8\) und \(9\). 3. In Teilaufgabe c) suchen wir Ziffern mit \(x \cdot 90 < 800\). Da \(8 \cdot 90 = 720\) und \(9 \cdot 90 = 810\), passen alle Ziffern von \(0\) bis \(8\).

a) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) b) \(6, 7, 8, 9\) c) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\)

- Löse zuerst jede Bedingung für sich alleine. - Schreibe dir die Ziffern auf, die zur ersten Bedingung passen. - Schreibe dir die Ziffern auf, die zur zweiten Bedingung passen. - Welche Ziffern stehen in beiden Listen?

1. Zuerst werden die Ziffern für Bedingung 1 ermittelt: \(x \cdot 30 > 100\). Da \(3 \cdot 30 = 90\) und \(4 \cdot 30 = 120\), erfüllen die Ziffern \(\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) die erste Bedingung. 2. Danach werden die Ziffern für Bedingung 2 ermittelt: \(x \cdot 80 < 500\). Da \(6 \cdot 80 = 480\) und \(7 \cdot 80 = 560\), erfüllen die Ziffern \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) die zweite Bedingung. 3. Um beide Bedingungen gleichzeitig zu erfüllen, sucht man die Schnittmenge beider Mengen. Die Ziffern \(4, 5\) und \(6\) kommen in beiden Listen vor.

\(4, 5, 6\)

- Versuche, das Rätsel von hinten nach vorne zu lösen. - Was ist das Gegenteil von „halbieren“ und „abziehen“? - Welche Zahlen zwischen \(300\) und \(400\) kennst du, die in der \(25\)er-Reihe vorkommen?

1. Anwendung der Umkehroperationen von hinten nach vorne: Das Ergebnis \(100\) wird verdoppelt (\(100 \cdot 2 = 200\)). 2. Zum Ergebnis wird \(150\) addiert: \(200 + 150 = 350\). 3. Überprüfung der Bedingungen: \(350\) liegt zwischen \(300\) und \(400\). 4. Prüfung auf Teilbarkeit: \(350\) ist ein Vielfaches von \(25\), da \(14 \cdot 25 = 350\).

Die Zahl heißt \(350\).

- Wenn du weißt, in welchem Bereich die Hälfte der Zahl liegt, kannst du dann den Bereich der ganzen Zahl bestimmen? - Schau dir die Hunderterstelle im gefundenen Bereich genau an. - Wie oft passt die Einerziffer in die Hunderterziffer? - Nutze eine Stellenwerttafel, um die Ziffern einzutragen.

1. Bestimmung des Bereichs der gesuchten Zahl: Wenn die Hälfte zwischen \(220\) und \(230\) liegt, muss die Zahl selbst zwischen \(440\) und \(460\) liegen (\(220 \cdot 2 = 440\) und \(230 \cdot 2 = 460\)). 2. Festlegung der Hunderterziffer: Da die Zahl im Bereich von \(440\) bis \(460\) liegt, muss die Hunderterziffer eine \(4\) sein. 3. Berechnung der Einerziffer: Die Hunderterziffer (\(4\)) ist das Doppelte der Einerziffer, also ist die Einerziffer \(4 : 2 = 2\). 4. Zusammensetzen der Zahl: Mit der Zehnerziffer \(4\) ergibt sich die Zahl \(442\). 5. Endkontrolle: \(442 : 2 = 221\). Das Ergebnis \(221\) liegt im geforderten Bereich.

Die Zahl heißt \(442\).

- Welche Zahl aus der Einerreihe der Malzahl hilft dir, in die Nähe der großen Zielzahl zu kommen? - Du kannst die Nullen beim Überlegen erst einmal weglassen und später wieder hinzufügen. - Probiere verschiedene einstellige Zahlen aus und rechne das Ergebnis aus. - Achte darauf, dass dein Ergebnis wirklich größer als die erste und kleiner als die zweite Zahl ist.

1. Für a) wird eine Zahl gesucht, die mit \( 4000 \) multipliziert zwischen \( 35\,000 \) und \( 38\,000 \) liegt. Durch Probieren oder Division ergibt sich \( 4000 \cdot 9 = 36\,000 \). Andere einstellige Zahlen wie \( 8 \) (\( 32\,000 \)) oder \( 10 \) (nicht einstellig) passen nicht. 2. Für b) wird ein Faktor für \( 80\,000 \) gesucht. \( 80\,000 \cdot 6 = 480\,000 \). Dies liegt im Bereich von \( 450\,000 \) bis \( 500\,000 \). 3. Für c) wird ein Faktor für \( 50\,000 \) gesucht. \( 50\,000 \cdot 3 = 150\,000 \). Dieser Wert liegt zwischen \( 120\,000 \) und \( 200\,000 \).

a) \( 9 \) b) \( 6 \) c) \( 3 \)

- Beginne mit der kleinsten Aufgabe ganz oben. - Vergleiche die Nullen in den drei Zeilen. Was hat sich verändert? - Wenn du die erste Lücke gefunden hast, prüfe, ob diese Zahl auch bei den großen Zahlen funktioniert. - Wie hängen die Zahlen in den verschiedenen Zeilen zusammen?

1. In der ersten Zeile wird eine Zahl gesucht, sodass \(\dots \cdot 4\) zwischen \(18\) und \(22\) liegt. Da \(5 \cdot 4 = 20\), passt die \(5\). 2. In der zweiten Zeile gilt \(5 \cdot 400 = 2\,000\); das Ergebnis liegt zwischen \(1\,800\) und \(2\,200\). 3. In der dritten Zeile gilt \(5 \cdot 40\,000 = 200\,000\); das Ergebnis liegt zwischen \(180\,000\) und \(220\,000\). 4. Von der ersten zur zweiten und von der zweiten zur dritten Zeile werden beide Grenzen und der jeweilige Faktor mit \(100\) multipliziert. Deshalb bleibt die gesuchte Lückenzahl gleich.

Die Zahl ist \(5\). Auffälligkeit: Von einer Zeile zur nächsten werden beide Grenzen und der Malfaktor jeweils mit \(100\) multipliziert. Deshalb bleibt die Lückenzahl gleich.

- Was bedeutet das Wort „Differenz“ in dieser Aufgabe? - Wenn du die Differenz von der Summe abziehst, hättest du zwei gleich große Zahlen. Wie hilft dir das weiter? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben deine beiden Zahlen zusammen wirklich die gesuchte Summe?

1. Berechnung der Summe aus Gesamtwert und Differenz: \(752\,300 + 48\,100 = 800\,400\) 2. Division durch \(2\), um die größere Zahl zu erhalten: \(800\,400 : 2 = 400\,200\) 3. Subtraktion der Differenz von der größeren Zahl zur Bestimmung der kleineren Zahl: \(400\,200 - 48\,100 = 352\,100\) 4. Überprüfung durch Addition: \(400\,200 + 352\,100 = 752\,300\)

Die Zahlen lauten \(400\,200\) und \(352\,100\).

- Welche zwei Ziffern an der Zehntausenderstelle ergeben zusammen ungefähr \(8\)? - Wenn du die Zehntausender festgelegt hast, wie müssen die anderen Stellen aussehen, damit du nah an die volle Zehntausenderzahl kommst? - Probiere aus, ob du genau \(80\,000\) erreichen kannst oder ob du knapp darunter oder darüber liegst.

1. Eine gültige Wahl ist \(10\,243\) und \(69\,758\). In beiden Zahlen zusammen kommt jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) genau einmal vor. 2. Addition: \(10\,243 + 69\,758 = 80\,001\). 3. Der Abstand zu \(80\,000\) beträgt \(80\,001 - 80\,000 = 1\). 4. Genau \(80\,000\) ist nicht möglich: Die Summe aller verwendeten Ziffern ist \(45\). Daher ist die Summe der beiden gebildeten Zahlen durch \(9\) teilbar. \(80\,000\) hat die Quersumme \(8\) und ist nicht durch \(9\) teilbar. 5. Da der Abstand \(0\) unmöglich und der Abstand \(1\) erreicht ist, ist diese Annäherung optimal.

Beispielzahlen: \(10\,243\) und \(69\,758\). Summe: \(80\,001\). Abstand zu \(80\,000\): \(1\).

- Achte darauf, dass die \(0\) nicht am Anfang der Zahl aus Gruppe A stehen darf. Die kleinste Zahl aus Gruppe A beginnt also mit der \(2\). - Für den kleinsten Unterschied: Wähle Zehntausenderstellen, die nur \(1\) auseinander liegen. - Für den größten Unterschied: Kombiniere die absolut größte Zahl aus einer Gruppe mit der absolut kleinsten Zahl aus der anderen Gruppe.

1. Für den kleinsten Unterschied müssen die Zehntausenderstellen nah beieinander liegen. Mögliche Paare sind \((2, 1)\), \((2, 3)\), \((4, 3)\), \((4, 5)\), \((6, 5)\), \((6, 7)\), \((8, 7)\), \((8, 9)\). 2. Vergleich von Paaren: - \(20\,468 - 19\,753 = 715\) - \(31\,579 - 28\,640 = 2939\) - \(40\,268 - 39\,751 = 517\) - \(51\,379 - 48\,620 = 2759\) - \(60\,248 - 59\,731 = 517\) 3. Der kleinste Unterschied ist \(517\). 4. Für den größten Unterschied wählt man die größtmögliche Zahl aus Gruppe B (\(97\,531\)) und die kleinstmögliche aus Gruppe A (\(20\,468\)). 5. Rechnung: \(97\,531 - 20\,468 = 77\,063\). (Ein Vergleich mit der größten Zahl aus A (\(86\,420\)) und kleinsten aus B (\(13\,579\)) ergibt \(86\,420 - 13\,579 = 72\,841\), was kleiner ist).

a) Der kleinste Unterschied beträgt \(517\) (z. B. \(40\,268 - 39\,751\)). b) Der größte Unterschied beträgt \(77\,063\) (aus \(97\,531 - 20\,468\)).

- Probiere für Teil a) aus, welche Ziffernpaare den Unterschied 1 haben (z. B. 7 und 6, 5 und 4). - Achte darauf, dass du keine Ziffer doppelt benutzt. - Für Teil b) startest du am besten mit den Hunderterstellen, die etwa 500 auseinander liegen.

1. Für das Ergebnis \(111\) müssen die Ziffern an jeder Stelle eine Differenz von \(1\) haben (unter Berücksichtigung der verfügbaren Ziffern): z. B. \(753 - 642 = 111\). 2. Für ein Ergebnis zwischen \(500\) und \(510\) wählt man z. B. die Hunderterstellen \(7\) und \(2\). Eine mögliche Rechnung ist \(763 - 254 = 509\).

a) Zum Beispiel: \(753 - 642 = 111\) b) Zum Beispiel: \(763 - 254 = 509\)

- Schreibe dir die Kette der Rechenbefehle nacheinander auf. - Gehe die Kette vom Ergebnis aus Schritt für Schritt rückwärts durch. - Was ist die Umkehroperation von „verdreifachen“?

1. Umkehrung der Subtraktion: \(4\,000 + 2\,000 = 6\,000\). 2. Umkehrung der Verdreifachung durch Division: \(6\,000 : 3 = 2\,000\). 3. Umkehrung der Addition: \(2\,000 - 350 = 1\,650\). 4. Umkehrung der Division durch Multiplikation: \(1\,650 \cdot 100 = 165\,000\). Die gesuchte Zahl ist \(165\,000\).

Die Zahl lautet \(165\,000\).