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- Suche zuerst die kleine Aufgabe in den großen Zahlen. - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn du an die erste Zahl eine Null anhängst? - Vergleiche die Aufgaben innerhalb einer Reihe.

1. Berechnung der Grundaufgaben: \(24 : 3 = 8\), \(24 : 4 = 6\) und \(24 : 6 = 4\). 2. Anwendung der Regel für Zehnerzahlen: Wenn der Dividend verzehnfacht wird und der Divisor gleich bleibt, verzehnfacht sich auch der Quotient. 3. Ergebnisse für a): \(8\), \(80\), \(800\). 4. Ergebnisse für b): \(6\), \(60\), \(600\). 5. Ergebnisse für c): \(4\), \(40\), \(400\).

a) \(8\), \(80\), \(800\) b) \(6\), \(60\), \(600\) c) \(4\), \(40\), \(400\) Auffälligkeit: Wenn der Dividend verzehnfacht wird (\(\cdot 10\)), verzehnfacht sich auch das Ergebnis.

- Kannst du eine passende Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins entdecken? - Was passiert mit den Nullen beim Dividieren? - Wie oft passt der Teiler in die vorderen Ziffern der Zahl?

1. Zurückführung auf die Grundaufgabe \(36 : 4 = 9\), Anhängen der Null ergibt \(90\). 2. Zurückführung auf die Grundaufgabe \(42 : 6 = 7\), Anhängen der Null ergibt \(70\). 3. Zurückführung auf die Grundaufgabe \(72 : 9 = 8\), Anhängen der Null ergibt \(80\). 4. Zurückführung auf die Grundaufgabe \(40 : 8 = 5\), Berücksichtigung der verbleibenden zwei Nullen ergibt \(500\).

a) \(90\) b) \(70\) c) \(80\) d) \(500\)

- Kannst du die Aufgabe zuerst ohne die Nullen rechnen? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn du mit Hundertern oder Tausendern statt mit Einern rechnest? - Überlege dir, wie viele Nullen du an das kleine Einmaleins-Ergebnis anhängen musst.

1. Berechnung für a): \(4 \cdot 8 = 32\). Da es sich um Hunderter handelt, ist das Ergebnis \(32\) Hunderter, also \(3\,200\). 2. Berechnung für b): \(5 \cdot 6 = 30\). Da es sich um Hunderter handelt, ist das Ergebnis \(30\) Hunderter, also \(3\,000\). 3. Berechnung für c): \(3 \cdot 7 = 21\). Da es sich um Tausender handelt, ist das Ergebnis \(21\) Tausender, also \(21\,000\). 4. Berechnung für d): \(8 \cdot 4 = 32\). Da es sich um Tausender handelt, ist das Ergebnis \(32\) Tausender, also \(32\,000\).

a) \(3\,200\) b) \(3\,000\) c) \(21\,000\) d) \(32\,000\)

- Überlege, welche Stellen sich beim Addieren verändern. - Manchmal hilft es, erst die Tausender und dann den Rest zu addieren. - Achte auf den Zehner- oder Hunderterübergang.

1. Addition von \(1\,250\) und \(1\,150\): \(1\,250 + 1\,150 = 2\,400\) 2. Addition von \(3\,400\) und \(1\,150\): \(3\,400 + 1\,150 = 4\,550\) 3. Addition von \(4\,750\) und \(1\,150\): \(4\,750 + 1\,150 = 5\,900\) 4. Addition von \(6\,125\) und \(1\,150\): \(6\,125 + 1\,150 = 7\,275\) 5. Addition von \(8\,875\) und \(1\,150\): \(8\,875 + 1\,150 = 10\,025\)

Die fehlenden Ergebnisse lauten: \(2\,400\), \(4\,550\), \(5\,900\), \(7\,275\) und \(10\,025\).

- Denk an das Verteilergesetz: Du kannst eine Zahl in zwei Teile zerlegen, die einfacher zu rechnen sind. - Wenn du über das Ziel hinausrechnest (wie bei der 20), musst du den Unterschied am Ende wieder abziehen. - Welche Zahl musst du von 20 abziehen, um auf 18 zu kommen? Das hilft dir beim zweiten Weg.

1. Weg 1: Zerlegung in Zehner und Einer. Rechnung: \(10 \cdot 6 = 60\) und \(8 \cdot 6 = 48\). Addition der Teilergebnisse: \(60 + 48 = 108\). 2. Weg 2: Hilfsaufgabe mit glatter Zehnerzahl. Rechnung: \(20 \cdot 6 = 120\). Korrektur durch Subtraktion: \(2 \cdot 6 = 12\). Ergebnis: \(120 - 12 = 108\).

Weg 1: \(10 \cdot 6 + 8 \cdot 6 = 60 + 48 = 108\) Weg 2: \(20 \cdot 6 - 2 \cdot 6 = 120 - 12 = 108\)

- Überlege zuerst, welche kleine Einmaleins-Aufgabe in den Zahlen steckt. - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn eine Zahl im Produkt eine Null am Ende hat? - Was passiert mit dem Quotienten, wenn du Dividend und Divisor gleichzeitig durch \(10\) teilst? - Nutze die Umkehraufgabe, um dein Ergebnis zu prüfen.

1. Berechnung der Grundaufgabe: \(3 \cdot 7 = 21\). 2. Multiplikation mit Zehnerzahlen: Durch das Zehnfache eines Faktors verzehnfacht sich das Ergebnis, also \(30 \cdot 7 = 210\) und \(3 \cdot 70 = 210\). 3. Division durch Einerzahlen: \(210 : 3 = 70\) und \(210 : 7 = 30\) (Ableitung aus dem Einmaleins: \(21 : 3 = 7\) und \(21 : 7 = 3\)). 4. Division durch Zehnerzahlen: Dividend und Divisor werden jeweils durch \(10\) geteilt. Daher gilt \(210 : 30 = 21 : 3 = 7\) und \(210 : 70 = 21 : 7 = 3\).

a) \(21\) b) \(210\) c) \(210\) d) \(70\) e) \(7\) f) \(30\) g) \(3\)

- Rechne erst die Aufgaben in der ersten Zeile aus. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn der Teiler (die Zahl oben) doppelt so groß wird? - Wie hängen die Zahlen in den Spalten untereinander zusammen?

1. Berechnung der ersten Zeile für \(400\): \(400 : 2 = 200\), \(400 : 4 = 100\), \(400 : 8 = 50\). 2. Übertragung auf die zweite Zeile (\(4\,000\) ist das Zehnfache von \(400\)): \(2\,000\), \(1\,000\), \(500\). 3. Übertragung auf die dritte Zeile (\(40\,000\) ist das Zehnfache von \(4\,000\)): \(20\,000\), \(10\,000\), \(5\,000\).

Erste Zeile: \(200\), \(100\), \(50\) Zweite Zeile: \(2\,000\), \(1\,000\), \(500\) Dritte Zeile: \(20\,000\), \(10\,000\), \(5\,000\)

- Kannst du eine Zahl in der Nähe finden, mit der man leichter rechnen kann? - Manchmal hilft es, erst zum nächsten vollen Hunderter zu springen. - Schau dir die Einer und Zehner genau an – ergeben sie zusammen vielleicht eine glatte Zahl?

1. Für \(398 + 256\): Nutze die Hilfsaufgabe \(400 + 256 = 656\). Subtrahiere \(2\), da \(398\) um \(2\) kleiner als \(400\) ist. Ergebnis: \(654\). 2. Für \(420 + 280\): Ergänze \(420\) zunächst zum vollen Hunderter (\(420 + 80 = 500\)) und addiere den Rest (\(500 + 200 = 700\)). Ergebnis: \(700\). 3. Für \(543 + 215\): Addiere stellenweise ohne Übertrag (\(500 + 200 = 700\); \(40 + 10 = 50\); \(3 + 5 = 8\)). Ergebnis: \(758\). 4. Für \(275 + 125\): Zerlege geschickt: \(275 + 125 = (200 + 100) + (75 + 25) = 300 + 100 = 400\). Ergebnis: \(400\).

a) \(654\) b) \(700\) c) \(758\) d) \(400\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es glatte Hunderter oder Tausender? - Sind die Zahlen nah an einer runden Zahl wie \(1\,000\)? - Musst du bei einer schriftlichen Rechnung viele Überträge machen? - Kannst du eine große Aufgabe in kleine, einfache Schritte zerlegen?

1. Kategorisierung: - a) Kopf: Ergänzen zum vollen Tausender (\(1\,200 + 800 = 2\,000\)). - b) Schriftlich: Viele Stellen und mehrere Überträge (\(5\,678 + 3\,456 = 9\,134\)). - c) Kopf: Nutzung der Hilfsaufgabe \(1\,000 \cdot 3 - 3\) (\(999 \cdot 3 = 2\,997\)). - d) Halbschriftlich: Zerlegung in Stellenwerte: \(200 \cdot 8 + 40 \cdot 8 + 6 \cdot 8 = 1\,600 + 320 + 48 = 1\,968\). 2. Ergebnisse: a) \(2\,000\), b) \(9\,134\), c) \(2\,997\), d) \(1\,968\).

a) Kopf: \(2\,000\); b) Schriftlich: \(9\,134\); c) Kopf: \(2\,997\); d) Halbschriftlich: \(1\,968\)

- Was passiert, wenn du eine Zahl zuerst verdoppelst und das Ergebnis dann noch einmal verdoppelst? - Hilft es dir, die Zahl in Hunderter, Zehner und Einer zu zerlegen, bevor du rechnest? - Kannst du eine einfachere Nachbarzahl finden, die dir beim Rechnen hilft?

Um das Vierfache einer Zahl zu berechnen, kann die Zahl zweimal nacheinander verdoppelt werden oder direkt mit \(4\) multipliziert werden (halbschriftlich zerlegt). 1. \(325 \cdot 4 = 1\,300\) (denn \(325 \cdot 2 = 650\) und \(650 \cdot 2 = 1\,300\)) 2. \(550 \cdot 4 = 2\,200\) (denn \(500 \cdot 4 = 2\,000\) und \(50 \cdot 4 = 200\)) 3. \(825 \cdot 4 = 3\,300\) (denn \(800 \cdot 4 = 3\,200\) und \(25 \cdot 4 = 100\)) 4. \(1\,400 \cdot 4 = 5\,600\) (denn \(14 \cdot 4 = 56\)) 5. \(2\,350 \cdot 4 = 9\,400\) (denn \(2\,000 \cdot 4 = 8\,000\) und \(350 \cdot 4 = 1\,400\))

Das Vierfache der Zahlen lautet: \(1\,300\), \(2\,200\), \(3\,300\), \(5\,600\), \(9\,400\).

- Wenn du weißt, was die Hälfte ist, wie kommst du dann zum Ganzen zurück? - Welche Rechenart ist das Gegenteil vom Halbieren? - Zerlege die Zahl in kleinere Teile, die du leichter verdoppeln kannst.

Um von der Hälfte auf die ursprüngliche Zahl zu schließen, muss der Wert mit \(2\) multipliziert (verdoppelt) werden. 1. \(175 \cdot 2 = 350\) (denn \(100 \cdot 2 = 200\) und \(75 \cdot 2 = 150\)) 2. \(430 \cdot 2 = 860\) (denn \(400 \cdot 2 = 800\) und \(30 \cdot 2 = 60\)) 3. \(615 \cdot 2 = 1\,230\) (denn \(600 \cdot 2 = 1\,200\) und \(15 \cdot 2 = 30\)) 4. \(840 \cdot 2 = 1\,680\) (denn \(800 \cdot 2 = 1\,600\) und \(40 \cdot 2 = 80\)) 5. \(1\,350 \cdot 2 = 2\,700\) (denn \(1\,300 \cdot 2 = 2\,600\) und \(50 \cdot 2 = 100\))

Die gesuchten Zahlen lauten: \(350\), \(860\), \(1\,230\), \(1\,680\), \(2\,700\).

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es Nullen am Ende, die du erst einmal ignorieren kannst? - Suche nach Aufgaben aus dem kleinen Einmaleins, die in den großen Zahlen stecken. - Wann wird eine Rechnung so kompliziert, dass du sie nicht mehr sicher im Kopf behalten kannst? - Wie viele Nullen müssen im Ergebnis stehen, wenn du die Nullen der beiden Faktoren zusammenzählst?

1. Identifikation der Kopfrechenaufgaben durch Rückführung auf das kleine Einmaleins und Beachtung der Endnullen. 2. \(8 \cdot 6 = 48\), zwei Nullen anhängen: \(4800\). 3. \(4 \cdot 7 = 28\), zwei Nullen anhängen: \(2800\). 4. \(5 \cdot 9 = 45\), drei Nullen anhängen: \(45\,000\). 5. Schriftliches Verfahren sinnvoll bei d) \(347 \cdot 628\), da keine einfache Grundaufgabe mit Stufenzahlen vorliegt. 6. \(1 \cdot 1\) mit insgesamt vier Nullen: \(10\,000\).

a) \(4800\) b) \(2800\) c) \(45\,000\) d) Schriftliches Verfahren sinnvoll e) \(10\,000\)

- Was bedeutet das Wort „Summe“ für deine Rechnung? - Was musst du tun, um die „Differenz“ zweier Zahlen zu bestimmen? - Überlege dir, ob du die Zahlen untereinander schreibst oder schrittweise im Kopf rechnest.

1. Berechnung der Summe: \(642\,\text{m} + 175\,\text{m} = 817\,\text{m}\). 2. Berechnung der Differenz: \(642\,\text{m} - 175\,\text{m} = 467\,\text{m}\).

Die Summe beträgt \(817\,\text{m}\) und die Differenz beträgt \(467\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, wie du mit Zehner- und Hunderterzahlen rechnest. Kannst du die Nullen beim Rechnen kurz „vergessen“? - Berechne für jede Aufgabe das Ergebnis und notiere es dir. - Suche danach in deiner Liste nach gleichen Zahlen.

1. Berechnung der Ergebnisse: \(6 \cdot 70 = 420\), \(30 \cdot 9 = 270\), \(4 \cdot 900 = 3\,600\), \(42 \cdot 10 = 420\), \(270 \cdot 1 = 270\), \(60 \cdot 60 = 3\,600\). 2. Zuordnung der Paare mit identischen Ergebnissen: Paar 1 und 4 (Ergebnis \(420\)), Paar 2 und 5 (Ergebnis \(270\)), Paar 3 und 6 (Ergebnis \(3\,600\)).

1 gehört zu 4 (\(420\)) 2 gehört zu 5 (\(270\)) 3 gehört zu 6 (\(3\,600\))

- Kannst du zuerst die kleine Einmaleins-Aufgabe ohne die Null rechnen? - Wie viele Nullen musst du am Ende an das Ergebnis hängen? - Vergleiche deine Ergebnisse am Ende sorgfältig.

1. Berechnung der einzelnen Produkte: \(7 \cdot 60 = 420\); \(4 \cdot 90 = 360\); \(6 \cdot 70 = 420\); \(9 \cdot 40 = 360\); \(8 \cdot 30 = 240\); \(4 \cdot 60 = 240\). 2. Vergleich der Ergebnisse: \(420 = 420\), \(360 = 360\), \(240 = 240\). 3. Zuordnung der Paare: A und C; B und D; E und F.

A und C (beide \(420\)); B und D (beide \(360\)); E und F (beide \(240\)).

- Hilft es dir, die Zahl 48 in Zehner und Einer zu zerlegen? - Wie kannst du die Zahl 48 runden, um leichter im Kopf zu rechnen? - Was ist das Ziel der Aufgabe?

1. Durchführung eines Überschlags durch Runden: \(6 \cdot 50 = 300\). 2. Schrittweise genaue Multiplikation: \(6 \cdot 40 = 240\) und \(6 \cdot 8 = 48\). 3. Addition der Teilergebnisse: \(240 + 48 = 288\).

Überschlag: zum Beispiel \(6 \cdot 50 = 300\). Genaue Rechnung: Es sind insgesamt \(288\) Flaschen.

- Überlege dir, welche kleine Malaufgabe in der großen Aufgabe steckt. - Wie hängen Multiplikation und Division zusammen? Kannst du die Umkehraufgabe nutzen? - Achte darauf, wie viele Nullen in der Aufgabe und im Ergebnis stehen.

a) Um den Faktor zu finden, wird das Produkt durch den bekannten Faktor geteilt: \(640 : 80 = 8\). b) Division von \(420\) durch \(60\): \(42 : 6 = 7\). c) Um den ersten Faktor zu finden, wird das Produkt durch den zweiten Faktor geteilt: \(720 : 9 = 80\). d) Um den Divisor zu finden, wird der Dividend durch den Quotienten geteilt: \(360 : 4 = 90\).

a) \(8\) b) \(7\) c) \(80\) d) \(90\)

- Kannst du die größere Zahl in Zehner und Einer zerlegen? - Welche einfache Zahl liegt nah an der Zahl in der Aufgabe? - Hilft es dir, erst die Zehner-Zahl malzunehmen und dann die Einer-Zahl? - Überlege, ob das genaue Ergebnis nah an deinem Überschlag liegt.

1. Für \(18 \cdot 7\): Überschlag \(20 \cdot 7 = 140\). Rechnung: \(10 \cdot 7 = 70\) und \(8 \cdot 7 = 56\). Ergebnis: \(70 + 56 = 126\). 2. Für \(26 \cdot 4\): Überschlag \(25 \cdot 4 = 100\) oder \(30 \cdot 4 = 120\). Rechnung: \(20 \cdot 4 = 80\) und \(6 \cdot 4 = 24\). Ergebnis: \(80 + 24 = 104\). 3. Für \(49 \cdot 3\): Überschlag \(50 \cdot 3 = 150\). Rechnung: \(50 \cdot 3 = 150\), dann \(150 - 3 = 147\) oder \(40 \cdot 3 = 120\) und \(9 \cdot 3 = 27\), also \(120 + 27 = 147\).

a) Überschlag: \(140\); Ergebnis: \(126\) b) Überschlag: \(100\); Ergebnis: \(104\) c) Überschlag: \(150\); Ergebnis: \(147\)

- „Das ...fache“ bedeutet, dass du multiplizieren musst. - „Der ... Teil“ bedeutet, dass du dividieren musst. - Erinnere dich an die Fachbegriffe: Ein Produkt ist das Ergebnis einer Malaufgabe, ein Quotient das Ergebnis einer Geteiltaufgabe.

1. Berechnung des Siebenfachen: \(7 \cdot 60 = 420\). 2. Berechnung des achten Teils: \(480 : 8 = 60\). 3. Berechnung des Produkts: \(30 \cdot 50 = 1500\). 4. Berechnung des Quotienten: \(400 : 80 = 5\).

a) \(420\) b) \(60\) c) \(1500\) d) \(5\)

- Schau dir an, wie die großen Zahlen aus den kleineren Zahlen der ersten drei Aufgaben zusammengesetzt sind. - Wenn du weißt, wie oft die \(8\) in die Einzelteile passt, kannst du diese Ergebnisse einfach addieren. - Welche Teile der ersten drei Aufgaben stecken zum Beispiel in der Zahl \(896\)?

1. Berechnung der Grundaufgaben: \(800 : 8 = 100\), \(80 : 8 = 10\), \(16 : 8 = 2\). 2. Zusammensetzung für d): \(880\) besteht aus \(800 + 80\), also \(100 + 10 = 110\). 3. Zusammensetzung für e): \(896\) besteht aus \(800 + 80 + 16\), also \(100 + 10 + 2 = 112\). 4. Zusammensetzung für f): \(816\) besteht aus \(800 + 16\), also \(100 + 2 = 102\).

a) \(100\) b) \(10\) c) \(2\) d) \(110\) e) \(112\) f) \(102\)

- Kannst du die Aufgaben erst einmal ohne die Null am Ende berechnen? - Was fällt dir auf, wenn du die Ergebnisse vergleichst? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn eine Zahl verdoppelt und die andere halbiert wird?

1. Berechnung der Produkte: \(6 \cdot 40 = 240\) und \(3 \cdot 80 = 240\). Vergleich: \(240 = 240\). 2. Berechnung der Quotienten: \(450 : 9 = 50\) und \(350 : 7 = 50\). Vergleich: \(50 = 50\). 3. Berechnung der Produkte: \(7 \cdot 90 = 630\) und \(8 \cdot 80 = 640\). Vergleich: \(630 < 640\). 4. Berechnung der Quotienten: \(240 : 6 = 40\) und \(320 : 8 = 40\). Vergleich: \(40 = 40\).

a) \(=\) b) \(=\) c) \(<\) d) \(=\)

- Rechne zuerst alle vier Aufgaben einzeln aus. - Bei großen Zahlen wie \(560\) oder \(400\) hilft es, erst die Null wegzudenken und sie später wieder anzuhängen. - Für die Aufgabe \(6 \cdot 13\) kannst du die \(13\) in \(10\) und \(3\) aufteilen. - Vergleiche am Ende alle vier Ergebnisse miteinander.

1. Berechnung von A: \(560 : 7 = 80\) (da \(56 : 7 = 8\)). 2. Berechnung von B: \(9 \cdot 9 = 81\). 3. Berechnung von C: \(400 : 5 = 80\) (da \(40 : 5 = 8\)). 4. Berechnung von D: \(6 \cdot 13 = 78\) (da \(6 \cdot 10 = 60\) und \(6 \cdot 3 = 18\); \(60 + 18 = 78\)). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(78 < 80 < 81\). Das kleinste Ergebnis ist \(78\).

D (bzw. \(6 \cdot 13\))

- Überlege dir zuerst, wie die Aufgaben ohne die Nullen heißen würden. - Wie oft passt die eine Zahl in die andere? - Kannst du eine große Aufgabe in zwei kleinere, einfachere Aufgaben zerlegen?

1. Berechnung der Multiplikationen: \(90 \cdot 4 = 360\), \(60 \cdot 6 = 360\), \(12 \cdot 30 = 360\). Diese gehören in die erste Spalte. 2. Berechnung der Divisionen: \(420 : 7 = 60\), \(480 : 8 = 60\), \(360 : 6 = 60\). Diese gehören in die zweite Spalte.

Ergebnis ist \(360\): A, C, E Ergebnis ist \(60\): B, D, F

- Wie hängen Malnehmen und Teilen zusammen? - Kannst du die Probe machen, um deine Lösung zu überprüfen? - Welche Zahl multipliziert mit dem Quotienten ergibt den Dividenden?

1. Berechnung des fehlenden Dividenden mittels Umkehraufgabe: \(90 \cdot 4 = 360\). 2. Berechnung des fehlenden Divisors: \(480 : 6 = 80\). 3. Berechnung des Quotienten: \(63 : 7 = 9\), unter Berücksichtigung der Nullen ergibt sich \(900\).

a) \(360\) b) \(80\) c) \(900\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es Zahlen, die fast ein voller Hunderter sind? - Kannst du die Aufgabe in Hunderter, Zehner und Einer zerlegen? - Gibt es Verdopplungen, die du bereits auswendig kennst?

1. Für \(399 + 257\) bietet sich das Rechnen mit einer Hilfsaufgabe an: \(400 + 257 - 1 = 656\). 2. Die Aufgabe \(432 + 356\) kann stellenweise addiert werden (Hunderter plus Hunderter, Zehner plus Zehner, Einer plus Einer): \(400 + 300 = 700\), \(30 + 50 = 80\), \(2 + 6 = 8\). Das Ergebnis ist \(788\). 3. Bei \(125 + 125 + 125\) können die ersten beiden Zahlen verdoppelt werden (\(250\)) und dann \(125\) addiert werden: \(250 + 125 = 375\).

a) \(656\) b) \(788\) c) \(375\)

- Kannst du die Nullen am Ende für einen Moment ignorieren und erst mit kleineren Zahlen rechnen? - Wie viele Tausender sind es insgesamt? - Hilft es dir, die Zahlen in Hundertertausender und Zehnertausender zu zerlegen?

1. Addition von \(450\,000\) und \(350\,000\): \(450 + 350 = 800\), also \(800\,000\). 2. Addition von \(280\,000\) und \(170\,000\): \(280 + 170 = 450\), also \(450\,000\). 3. Addition von \(620\,000\) und \(290\,000\): \(620 + 290 = 910\), also \(910\,000\). 4. Addition von \(54\,000\) und \(360\,000\): \(54 + 360 = 414\), also \(414\,000\).

a) \(800\,000\) b) \(450\,000\) c) \(910\,000\) d) \(414\,000\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Liegt eine Zahl sehr nah an einem vollen Hunderter? - Gibt es bei einer Aufgabe viele Stellen, an denen du „entbündeln“ oder einen Übertrag machen musst? - Überlege, ob du bei einer Aufgabe einfach ergänzen kannst, anstatt abzuziehen.

1. Identifikation der Rechenwege: Aufgabe A eignet sich für das Kopfrechnen, da die Zahl \(395\) nah an der runden Zahl \(400\) liegt. Man rechnet \(700 - 400 + 5 = 305\). Aufgabe B erfordert mehrere Überträge (\(2 - 8\) und \(4 - 7\)), weshalb hier das schriftliche Verfahren sicherer ist. 2. Berechnung A: \(700 - 395 = 305\). 3. Berechnung B: Schriftliche Subtraktion von \(642 - 278\). Einer: \(12 - 8 = 4\). Zehner: \(13 - 7 = 6\). Hunderter: \(5 - 2 = 3\). Ergebnis: \(364\).

Aufgabe A ist einfacher im Kopf zu rechnen, da man leicht von \(400\) aus korrigieren kann oder durch Ergänzen zum Ziel kommt. Ergebnisse: A: \(305\) B: \(364\)

- Schau dir genau an, an welcher Stelle (Einer, Zehner, Hunderter...) sich die Zahl ändert. - Was passiert mit den Nullen, wenn du eine Zahl abziehst? - Kannst du ein Muster in den Ergebnissen erkennen?

1. Subtraktion von \(1\) (Einer): \(100\,000 - 1 = 99\,999\) 2. Subtraktion von \(10\) (Zehner): \(100\,000 - 10 = 99\,990\) 3. Subtraktion von \(100\) (Hunderter): \(100\,000 - 100 = 99\,900\) 4. Subtraktion von \(1\,000\) (Tausender): \(100\,000 - 1\,000 = 99\,000\) 5. Subtraktion von \(10\,000\) (Zehntausender): \(100\,000 - 10\,000 = 90\,000\)

a) \(99\,999\) b) \(99\,990\) c) \(99\,900\) d) \(99\,000\) e) \(90\,000\)

- Kannst du die Aufgabe einfacher rechnen, wenn du die Nullen am Ende kurz weglässt und sie später wieder anhängst? - Wie viel musst du vom Minuenden abziehen, um zuerst zum nächsten vollen Hundertertausender zu gelangen? - Hilft es dir, die Zahl, die du abziehst, in kleinere Teile zu zerlegen?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Differenz der Tausenderzahlen gebildet: \(640 - 270 = 370\). Das Ergebnis lautet \(370\,000\). 2. Für Teilaufgabe b) wird ebenfalls die Differenz der Tausenderzahlen gebildet: \(910 - 85 = 825\). Das Ergebnis lautet \(825\,000\).

a) \(370\,000\) b) \(825\,000\)

- Kannst du die große Zahl zuerst in kleinere Einheiten zerlegen, zum Beispiel in Tausender? - Wie oft passt die 2 in die Zahl? - Was ist die Hälfte von 34 oder 56? Das kann dir bei den großen Zahlen helfen.

1. Halbiere die Zahl \(340\,000\): \(340\,000 : 2 = 170\,000\) 2. Halbiere die Zahl \(560\,000\): \(560\,000 : 2 = 280\,000\) 3. Halbiere die Zahl \(190\,000\): \(190\,000 : 2 = 95\,000\) 4. Halbiere die Zahl \(72\,000\): \(72\,000 : 2 = 36\,000\)

<table> <tr> <td>Ursprüngliche Zahl</td> <td>\(340\,000\)</td> <td>\(560\,000\)</td> <td>\(190\,000\)</td> <td>\(72\,000\)</td> </tr> <tr> <td>Hälfte der Zahl</td> <td>\(170\,000\)</td> <td>\(280\,000\)</td> <td>\(95\,000\)</td> <td>\(36\,000\)</td> </tr> </table>

- Kannst du die große Zahl in Hunderter, Zehner und Einer zerlegen? - Wie hilft dir das Ergebnis von \(7 \cdot 3\) dabei, \(7 \cdot 300\) zu finden? - Welche der Teilrechnungen brauchst du für die Aufgabe am Ende, und welche kannst du weglassen?

1. Berechnung der Teilprodukte: \(7 \cdot 300 = 2100\), \(7 \cdot 60 = 420\) und \(7 \cdot 4 = 28\). 2. Addition der Teilprodukte für das Gesamtergebnis: \(2100 + 420 + 28 = 2548\). 3. Bestimmung von \(7 \cdot 304\): Addition von Hunderter- und Einer-Teilprodukt: \(2100 + 28 = 2128\).

1. Teilprodukte: \(2100\), \(420\), \(28\) 2. \(7 \cdot 364 = 2548\) 3. \(7 \cdot 304 = 2128\)

- Schau dir zuerst die kleine Aufgabe ohne die Nullen an. - Wie viele Nullen hat der Dividend in jeder Zeile? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn der Dividend zehnmal so groß wird? - Vergleiche die Anzahl der Nullen im Dividenden mit der Anzahl der Nullen im Ergebnis.

1. Berechnung der Grundaufgabe für a): \(18 : 3 = 6\). 2. Übertragung des Musters durch Anhängen der Nullen: \(60\), \(600\), \(6000\), \(60\,000\). 3. Berechnung der Grundaufgabe für b): \(18 : 2 = 9\). 4. Übertragung des Musters durch Anhängen der Nullen: \(90\), \(900\), \(9000\), \(90\,000\).

a) \(6, 60, 600, 6000, 60\,000\) b) \(9, 90, 900, 9000, 90\,000\)

- Schau dir die Zahlen in Aufgabe d) genau an. Stecken dort die Zahlen aus a), b) und c) drin? - Wenn du eine große Zahl in kleinere Teile zerlegst, die du leicht teilen kannst, hilft dir das beim Gesamtergebnis. - Was passiert mit den Ergebnissen der ersten drei Aufgaben, wenn du die Dividenden zusammenzählst?

1. Division der Tausender: \(4000 : 4 = 1000\) 2. Division der Hunderter: \(1200 : 4 = 300\) 3. Division des Restes: \(28 : 4 = 7\) 4. Addition der Teilquotienten für das Gesamtergebnis: \(1000 + 300 + 7 = 1307\)

a) \(1000\) b) \(300\) c) \(7\) d) \(1307\)

- Schau dir an, wie die großen Zahlen in kleinere, leichtere Zahlen zerlegt wurden. - Wenn du zwei Teile einer Zahl einzeln teilst, kannst du die Ergebnisse am Ende einfach zusammenzählen. - Wie hängen die ersten beiden Rechnungen in jeder Teilaufgabe mit der dritten Rechnung zusammen?

1. Berechnung der Teilquotienten für a): \(2000 : 2 = 1000\) und \(18 : 2 = 9\). Addition der Ergebnisse liefert \(1000 + 9 = 1009\). 2. Bestimmung des Dividenden für b): Die Summe der Teil-Dividenden \(9000 + 630 = 9630\) ergibt den gesuchten Dividenden. Die vollständige Rechnung lautet \(9630 : 9 = 1070\). 3. Berechnung für c): Addition der Teil-Ergebnisse \(100 + 9 = 109\).

a) \(1009\) b) \(9630 : 9 = 1070\) c) \(109\)

- Welche Zahl lässt sich besonders leicht durch 6 teilen? - Wie viel mehr oder weniger als die „einfache“ Zahl sind die anderen Dividenden? - Wenn der Dividend um 6 größer wird, wie verändert sich dann das Ergebnis?

1. Die einfachste Aufgabe ist \(1800 : 6\), da \(18 : 6 = 3\) ist. Das Ergebnis lautet \(300\). 2. Für die Aufgabe \(1842 : 6\) wird der Dividend um \(42\) erhöht. Da \(42 : 6 = 7\) ist, addiert man \(7\) zum ersten Ergebnis: \(300 + 7 = 307\). 3. Für die Aufgabe \(1794 : 6\) wird der Dividend um \(6\) verringert. Da \(6 : 6 = 1\) ist, subtrahiert man \(1\) vom ersten Ergebnis: \(300 - 1 = 299\).

a) \(307\) b) \(300\) c) \(299\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es Stellen, die sich leicht zu Zehnern, Hundertern oder Tausendern ergänzen? - Gibt es Aufgaben, bei denen du an keiner Stelle einen Übertrag (eine kleine gemerkte Eins) schreiben müsstest? - Bei krummen Zahlen mit vielen verschiedenen Ziffern hilft meist das Untereinanderrechnen.

1. Berechnung von \(12\,500 + 7\,500\): Addition der Tausender und Hunderter ergibt \(20\,000\). 2. Berechnung von \(6\,105 + 1\,995\): Ergänzen von \(1\,995\) auf \(2\,000\) führt zu \(6\,105 + 2\,000 - 5 = 8\,100\). 3. Berechnung von \(45\,287 + 38\,916\): Schriftliche Addition der Stellen ergibt \(84\,203\). 4. Berechnung von \(23\,456 + 65\,432\): Stellenweise Addition ohne Übertrag ergibt \(88\,888\).

a) \(20\,000\) b) \(8\,100\) c) \(84\,203\) d) \(88\,888\)

- Kannst du eine große Zahl in einfachere Teile zerlegen? - Schau dir die Nullen am Ende der Zahlen an – helfen sie dir beim Rechnen? - Wann ist es sicherer, untereinander (schriftlich) zu rechnen? - Kannst du eine Aufgabe nutzen, um die nächste leichter zu lösen?

1. Berechnung von \(6 \cdot 7\,000\): Nutzung des kleinen Einmaleins (\(6 \cdot 7 = 42\)) und Ergänzen der drei Nullen ergibt \(42\,000\). 2. Berechnung von \(6 \cdot 7\,050\): Zerlegung in \(6 \cdot 7\,000 = 42\,000\) und \(6 \cdot 50 = 300\); Addition der Teilergebnisse ergibt \(42\,300\). 3. Berechnung von \(16 \cdot 7\,000\): Nutzung von \(10 \cdot 7\,000 = 70\,000\) und \(6 \cdot 7\,000 = 42\,000\); Addition ergibt \(112\,000\). 4. Berechnung von \(16 \cdot 7\,058\): Schriftliche Multiplikation oder halbschriftliche Zerlegung ergibt \(112\,928\).

a) \(42\,000\) b) \(42\,300\) c) \(112\,000\) d) \(112\,928\)

- Kannst du eine der Zahlen so aufteilen, dass du einfacher im Kopf rechnen kannst? - Manchmal hilft es, erst mit einer runden Zahl (wie \(10\) oder \(100\)) zu rechnen und dann etwas abzuziehen oder dazuzuzählen. - Gibt es eine Zahl in der Aufgabe, die ganz nah an einer glatten Zehner- oder Hunderterzahl liegt?

1. Multiplikation mit \(11\): Zerlegung in \(26 \cdot 10 + 26 \cdot 1 = 260 + 26 = 286\) 2. Multiplikation mit \(9\): Ergänzung zu \(45 \cdot 10 - 45 \cdot 1 = 450 - 45 = 405\) 3. Multiplikation mit \(101\): Zerlegung in \(12 \cdot 100 + 12 \cdot 1 = 1200 + 12 = 1212\)

a) \(286\) b) \(405\) c) \(1212\)

- Schau dir die vorderen Ziffern an und nutze das kleine Einmaleins. - Wie viele Nullen hat das Ergebnis und wie viele Nullen sind bereits in der Aufgabe vorhanden? - Was passiert bei der Aufgabe c), wenn das Ergebnis der Grundaufgabe selbst auf \(0\) endet?

1. Zu a): Da \(6 \cdot 8 = 48\) ist, lautet die gesuchte Zahl \(800\): \(4\,800 : 6 = 800\). 2. Zu b): Da \(5 \cdot 3 = 15\) ist und die zwei Nullen der \(300\) bereits im Ergebnis \(1\,500\) enthalten sind, ist die gesuchte Zahl \(5\). 3. Zu c): Multipliziere zuerst \(4 \cdot 5 = 20\). Hänge dann die zwei Nullen der Zehnerzahlen an: \(2\,000\). 4. Zu d): Da \(9 \cdot 8 = 72\) ist, fehlen noch drei Nullen für die Tausender. \(72\,000 : 9 = 8\,000\).

a) \(800\) b) \(5\) c) \(2\,000\) d) \(8\,000\)

- Achte beim schriftlichen Rechnen darauf, die Stellen (Einer, Zehner, Hunderter, Tausender) genau untereinander zu schreiben. - Vergiss bei der schriftlichen Addition die Überträge nicht. - Bei der Subtraktion mit Nullen im Minuenden musst du besonders sorgfältig entbündeln. - Kannst du das Ergebnis durch eine Überschlagsrechnung grob prüfen?

1. Addition von \(567\) und \(284\): \(567 + 284 = 851\). 2. Subtraktion: \(4\,321 - 567 = 3\,754\). 3. Addition von \(2\,908\) und \(5\,192\): \(2\,908 + 5\,192 = 8\,100\). 4. Subtraktion: \(7\,003 - 2\,456 = 4\,547\).

a) \(851\) b) \(3\,754\) c) \(8\,100\) d) \(4\,547\)

- Kannst du die Zahl \(1\,250\) in handliche Teile zerlegen? - Schau dir die Zahlen genau an – bei manchen Aufgaben reicht ein Blick auf die Hunderter und Zehner. - Wenn es im Kopf zu schwierig wird, nutze eine Nebenrechnung.

1. Rechnung: \(2\,000 - 1\,250 = 750\) 2. Rechnung: \(3\,250 - 1\,250 = 2\,000\) 3. Rechnung: \(5\,100 - 1\,250 = 3\,850\) 4. Rechnung: \(7\,450 - 1\,250 = 6\,200\) 5. Rechnung: \(9\,000 - 1\,250 = 7\,750\)

Die Ergebnisse sind: \(750\), \(2\,000\), \(3\,850\), \(6\,200\) und \(7\,750\).

- Gibt es Zahlen, die sich gut ergänzen? - Siehst du eine Zahl, die fast eine glatte Tausenderzahl ist? - Wann lohnt es sich, die Stellen untereinander zu schreiben? - Kannst du eine schwierige Subtraktion in mehrere kleine Schritte zerlegen?

1. Aufgabe a: Geschickt im Kopf lösbar, da \(300 + 700 = 1\,000\) und \(6\,000 + 2\,000 = 8\,000\). Ergebnis: \(9\,000\). 2. Aufgabe b: Aufgrund der vielen unterschiedlichen Stellenwerte ist das schriftliche Subtraktionsverfahren am sichersten. Ergebnis: \(5\,378\). 3. Aufgabe c: Strategie „Hilfsaufgabe“ nutzen. \(4\,560 + 2\,000 - 1\). Ergebnis: \(6\,559\). 4. Aufgabe d: Halbschriftlich oder im Kopf durch schrittweises Abziehen (\(7\,000 - 1\,000 - 200 - 50\)). Ergebnis: \(5\,750\).

a) \(9\,000\) (Kopf) b) \(5\,378\) (Schriftlich) c) \(6\,559\) (Kopf mit Hilfsaufgabe) d) \(5\,750\) (Halbschriftlich)

- Schau dir an, wie die erste Zahl in der dritten Zeile aus den ersten beiden Zeilen zusammengesetzt ist. - Kannst du die Teilergebnisse einfach addieren? - Rechne bei \(7 \cdot 17\) am besten Schritt für Schritt: zuerst \(7 \cdot 10\), dann \(7 \cdot 7\).

1. Teilaufgabe a): \(10 \cdot 15 = 150\). Danach \(3 \cdot 15 = 45\). Durch Addition der Teilergebnisse erhält man \(150 + 45 = 195\). 2. Teilaufgabe b): \(10 \cdot 17 = 170\). Danach \(7 \cdot 17 = 119\) (berechnet über \(7 \cdot 10 = 70\) und \(7 \cdot 7 = 49\)). Durch Addition der Teilergebnisse erhält man \(170 + 119 = 289\).

a) \(10 \cdot 15 = 150\), \(3 \cdot 15 = 45\), \(13 \cdot 15 = 195\) b) \(10 \cdot 17 = 170\), \(7 \cdot 17 = 119\), \(17 \cdot 17 = 289\)

- Wie kannst du die Zahlen 10, 5 und 2 kombinieren, um auf 17, 7 oder 13 zu kommen? - Du darfst die Ergebnisse der Hilfsaufgaben addieren oder voneinander abziehen. - Gibt es für die 13 vielleicht einen Weg, bei dem du erst etwas addierst und dann wieder etwas wegnimmst?

1. Für \(17 \cdot 9\): Kombination der Faktoren \(10, 5\) und \(2\). Rechnung: \((10 + 5 + 2) \cdot 9 = 90 + 45 + 18 = 153\). 2. Für \(7 \cdot 9\): Kombination der Faktoren \(5\) und \(2\). Rechnung: \((5 + 2) \cdot 9 = 45 + 18 = 63\). 3. Für \(13 \cdot 9\): Kombination durch Addition und Subtraktion. Rechnung: \((10 + 5 - 2) \cdot 9 = 90 + 45 - 18 = 117\).

a) \(17 \cdot 9 = 90 + 45 + 18 = 153\) b) \(7 \cdot 9 = 45 + 18 = 63\) c) \(13 \cdot 9 = 90 + 45 - 18 = 117\)

- Eine Aufgabenfamilie nutzt immer dieselben Grundzahlen (hier 8, 4 und 32) in verschiedenen Formen mit Zehnern. - Nutze die erste Aufgabe als Basis für alle weiteren. - Verwende die Umkehraufgabe (Multiplikation statt Division), um Lücken zu finden. - Achte darauf, dass die Platzhalter so gefüllt werden, dass alle vier Rechnungen mathematisch korrekt sind.

1. Berechnung der Grundaufgabe: \(8 \cdot 4 = 32\). 2. Bestimmung des fehlenden Faktors in b): Da \(8 \cdot 4 = 32\) ist, muss \(80 \cdot 4 = 320\) sein. Die Lücke ist \(4\). 3. Bestimmung des Dividenden in c): Die Umkehraufgabe ist \(40 \cdot 8 = 320\). Die Lücke ist \(320\). 4. Berechnung des Quotienten in d): Da \(320 : 4 = 80\) und \(8 \cdot 40 = 320\) ist, ergibt \(320 : 40 = 8\).

a) \(32\) b) \(4\) c) \(320\) d) \(8\)

- Schau dir an, wie sich die Zahlen vor dem Gleichheitszeichen verändern. - Wie viele Nullen kommen in jedem Schritt beim Ergebnis dazu? - Kannst du die Grundaufgabe aus dem kleinen Einmaleins entdecken?

1. Analyse der Muster: In jeder Teilaufgabe wird der Dividend mit \(10\) multipliziert, während der Divisor konstant bleibt. Folglich muss auch der Quotient jeweils mit \(10\) multipliziert werden. 2. Fortführung a): \(6\,300 : 9 = 700\) und \(63\,000 : 9 = 7\,000\). 3. Fortführung b): \(6\,300 : 7 = 900\) und \(63\,000 : 7 = 9\,000\). 4. Fortführung c): \(63\,000 : 10 = 6\,300\) und \(630\,000 : 10 = 63\,000\).

a) \(700\), \(7\,000\) b) \(900\), \(9\,000\) c) \(6\,300\), \(63\,000\)

- Ist die Zahl, die abgezogen wird, nah an einem vollen Hunderter? - Wenn die beiden Zahlen nah beieinander liegen, ist es oft leichter, den Unterschied durch Ergänzen (Hochzählen) zu finden. - Kannst du die Aufgabe in einfache Schritte zerlegen?

1. Für \(800 - 72\): Rechne schrittweise zurück (\(800 - 70 = 730\); \(730 - 2 = 728\)). Ergebnis: \(728\). 2. Für \(534 - 199\): Nutze die Hilfsaufgabe \(534 - 200 = 334\). Addiere \(1\) dazu, da zu viel abgezogen wurde. Ergebnis: \(335\). 3. Für \(412 - 395\): Nutze das Ergänzen (von \(395\) bis \(400\) sind es \(5\); von \(400\) bis \(412\) sind es \(12\); \(5 + 12 = 17\)). Ergebnis: \(17\). 4. Für \(967 - 452\): Subtrahiere stellenweise ohne Übertrag (\(900 - 400 = 500\); \(60 - 50 = 10\); \(7 - 2 = 5\)). Ergebnis: \(515\).

a) \(728\) b) \(335\) c) \(17\) d) \(515\)

- Überlege, was passiert, wenn du bei einer schriftlichen Minusaufgabe viele Nullen oben hast. - Wie weit liegen die beiden Zahlen auf dem Zahlenstrahl auseinander? - Wann ist es schwierig, sich alle Zwischenschritte einer Rechnung im Kopf zu merken?

1. Analyse: Das schriftliche Verfahren ist aufwendig, da bei \(5\,001 - 4\,998\) über mehrere Stellen hinweg entbündelt werden muss (viele Nullen im Minuend). 2. Kopfrechnen: Die Zahlen liegen sehr nah beieinander. Man kann den Unterschied durch Ergänzen bestimmen: Von \(4\,998\) bis \(5\,000\) sind es \(2\), plus \(1\) bis \(5\,001\). Das Ergebnis ist \(3\). 3. Individuelles Beispiel: Eine Aufgabe mit vielen unterschiedlichen Ziffern und mehreren Überträgen ist sinnvoll, zum Beispiel \(8\,342 - 3\,567 = 4\,775\).

a) Wegen der vielen Nullen muss über mehrere Stellen entbündelt werden. b) Durch Ergänzen: \(4\,998 + 2 + 1 = 5\,001\), Ergebnis \(3\). c) Individuelles Beispiel (z. B. \(8\,342 - 3\,567 = 4\,775\)).

- Schau dir die Cent-Beträge an: Ergänzen sie sich zu vollen Euro-Beträgen? - Bei welchem Bon musst du dir viele kleine Stellenwerte gleichzeitig merken? - Kannst du beim ersten Bon Paare bilden, die einfach zu addieren sind?

1. Bon A (Kopf): Die Beträge lassen sich gut zu glatten Summen zusammenfassen. \(12{,}00\,\text{€} + 8{,}00\,\text{€} = 20{,}00\,\text{€}\) und \(5{,}50\,\text{€} + 4{,}50\,\text{€} = 10{,}00\,\text{€}\). Gesamtsumme: \(20{,}00\,\text{€} + 10{,}00\,\text{€} = 30{,}00\,\text{€}\). 2. Bon B (Schriftlich): Die krummen Cent-Beträge machen das Kopfrechnen fehleranfällig. Schriftliche Addition: \(13{,}47\,\text{€} + 22{,}89\,\text{€} + 5{,}12\,\text{€} + 17{,}04\,\text{€} = 58{,}52\,\text{€}\). 3. Ergebnisse: Bon A ergibt \(30{,}00\,\text{€}\), Bon B ergibt \(58{,}52\,\text{€}\).

Bon A (Kopf): \(30{,}00\,\text{€}\); Bon B (Schriftlich): \(58{,}52\,\text{€}\)

- Überlege zuerst: Wenn du das Doppelte kennst, wie groß ist dann die Zahl selbst? - Wenn du die Zahl gefunden hast, wie berechnest du dann ihre Hälfte? - Wie oft passt „die Hälfte“ in „das Doppelte“ hinein? - Kannst du den Zielwert in einem Schritt finden, indem du durch eine bestimmte Zahl teilst?

Der Weg führt vom Doppelten (\(2x\)) über die Zahl (\(x\)) zur Hälfte (\(\frac{1}{2}x\)). Dies entspricht einer Division durch \(4\). 1. \(480 : 2 = 240\) (Zahl), dann \(240 : 2 = 120\) (Hälfte) 2. \(760 : 2 = 380\) (Zahl), dann \(380 : 2 = 190\) (Hälfte) 3. \(1\,200 : 2 = 600\) (Zahl), dann \(600 : 2 = 300\) (Hälfte) 4. \(3\,400 : 2 = 1\,700\) (Zahl), dann \(1\,700 : 2 = 850\) (Hälfte) 5. \(6\,800 : 2 = 3\,400\) (Zahl), dann \(3\,400 : 2 = 1\,700\) (Hälfte) Alternativ kann jeder Wert direkt durch \(4\) geteilt werden.

Die Werte für die Hälfte lauten: \(120\), \(190\), \(300\), \(850\), \(1\,700\).

- Überlege dir zuerst die passende Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins. - Wie viele Nullen hat das Ergebnis insgesamt? - Wie viele Nullen steuern die einzelnen Faktoren zum Ergebnis bei? - Du kannst die Umkehraufgabe (Division) nutzen, um den fehlenden Teil zu finden.

1. Bestimmung des fehlenden Faktors durch Division der Grundaufgaben und Ausgleich der Nullen: \(42 : 6 = 7\), zwei Nullen im Ergebnis minus null Nullen im ersten Faktor ergibt zwei Nullen für den Platzhalter: \(700\). 2. \(56 : 8 = 7\), zwei Nullen im Ergebnis minus eine Null im zweiten Faktor ergibt eine Null für den Platzhalter: \(70\). 3. \(9 \cdot 4 = 36\), zwei Nullen der Faktoren anhängen: \(3600\). 4. \(15 : 3 = 5\), drei Nullen im Ergebnis minus zwei Nullen im ersten Faktor ergibt eine Null für den Platzhalter: \(50\).

a) \(700\) b) \(70\) c) \(3600\) d) \(50\)

- Rechne zuerst die Grundaufgabe aus dem kleinen Einmaleins. - Zähle dann die Nullen in beiden Faktoren zusammen, um die Größe des Ergebnisses zu bestimmen. - Manchmal hilft es, nur die Anzahl der Nullen zu vergleichen, wenn die Grundaufgaben gleich sind. - Achte genau darauf, ob eine Zahl eine Hunderter- oder eine Tausenderzahl ist.

1. Berechnung von a): \(4 \cdot 6 = 24\) mit zwei Nullen ist \(2400\); \(5 \cdot 5 = 25\) mit zwei Nullen ist \(2500\). Vergleich: \(2400 < 2500\). 2. Berechnung von b): \(8 \cdot 7 = 56\) mit zwei Nullen ist \(5600\); \(9 \cdot 6 = 54\) mit zwei Nullen ist \(5400\). Vergleich: \(5600 > 5400\). 3. Berechnung von c): \(3 \cdot 3 = 9\) mit drei Nullen ist \(9000\); \(3 \cdot 3 = 9\) mit drei Nullen ist \(9000\). Vergleich: \(9000 = 9000\).

a) \(<\) b) \(>\) c) \(=\)

- Achte beim schriftlichen Rechnen darauf, Einer unter Einer, Zehner unter Zehner und Hunderter unter Hunderter zu schreiben. - Vergiss bei der Subtraktion den Übertrag nicht, wenn die obere Ziffer kleiner ist als die untere. - Denke daran, die Maßeinheit Gramm (\(\text{g}\)) im Ergebnis anzugeben.

1. Addition der Werte: \(823\,\text{g} + 457\,\text{g} = 1280\,\text{g}\). 2. Subtraktion der Werte: \(823\,\text{g} - 457\,\text{g} = 366\,\text{g}\).

Das Ergebnis der Addition ist \(1280\,\text{g}\) und das Ergebnis der Subtraktion ist \(366\,\text{g}\).

- Gibt es einen Trick, wie man mit Zahlen wie \(298\) einfacher rechnen kann? Vielleicht hilft es, zuerst \(300\) zu nehmen. - Wenn nach dem „Unterschied“ gefragt wird, ist immer eine Minusaufgabe gemeint. - Was musst du beim Rechnen beachten, damit du dich nicht bei der Null an der Zehnerstelle vertust?

1. Berechnung der Gesamtmenge (Addition): \(505\,\text{ml} + 298\,\text{ml} = 803\,\text{ml}\). 2. Berechnung des Unterschieds (Subtraktion): \(505\,\text{ml} - 298\,\text{ml} = 207\,\text{ml}\).

a) Zusammen sind es \(803\,\text{ml}\). b) Der Unterschied beträgt \(207\,\text{ml}\).

- Schau dir die Zahlen genau an: Haben sie viele Nullen am Ende? Dann geht es oft im Kopf. - Wenn eine Zahl aus mehreren verschiedenen Ziffern besteht (wie \(248\)), hilft es oft, sie in Hunderter, Zehner und Einer zu zerlegen. - Es gibt kein „Richtig“ oder „Falsch“ bei der Wahl des Weges, solange das Ergebnis stimmt – aber manche Wege sind schneller oder sicherer.

1. Aufgabe a): \(8 \cdot 4 = 32\), mit zwei Nullen ergibt das \(3\,200\). (Kopf) 2. Aufgabe b): Zerlegung in \(3 \cdot 200 = 600\) und \(3 \cdot 9 = 27\). Summe: \(600 + 27 = 627\). (Kopf oder halbschriftlich) 3. Aufgabe c): \(7 \cdot 6 = 42\), mit zwei Nullen (eine von der \(70\), eine von der \(60\)) ergibt das \(4\,200\). (Kopf) 4. Aufgabe d): Halbschriftliche Zerlegung: \(7 \cdot 200 = 1\,400\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(7 \cdot 8 = 56\). Summe: \(1\,400 + 280 + 56 = 1\,736\). (Halbschriftlich empfohlen)

a) \(3\,200\) b) \(627\) c) \(4\,200\) d) \(1\,736\)

- Nutze dein Wissen aus dem kleinen Einmaleins. Welche Grundaufgabe steckt dahinter? - Achte genau auf die Anzahl der Nullen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens. - Du kannst die Umkehraufgabe (Division) nutzen, um die Lücken zu füllen.

1. Zu a): Suche eine Zahl, die mit \(4\) multipliziert \(32\) ergibt. Das ist \(8\). Da \(8 \cdot 40 = 320\), ist die Lösung \(8\). 2. Zu b): Suche eine Zahl, die mit \(7\) multipliziert \(56\) ergibt. Das ist \(8\). Um auf \(5\,600\) zu kommen, müssen zwei Nullen angehängt werden, also \(800\). 3. Zu c): Multipliziere die Grundzahlen \(9 \cdot 3 = 27\). Hänge die zwei Nullen der Faktoren an: \(2\,700\). 4. Zu d): Suche eine Zahl, die mit \(5\) multipliziert \(40\) ergibt. Das ist \(8\). Da \(8 \cdot 500 = 4\,000\) (zwei Nullen von der \(500\)), ist die Lösung \(8\).

a) \(8\) b) \(800\) c) \(2\,700\) d) \(8\)

- Rechne für jede Gruppe alle drei Aufgaben einzeln aus. - Welche zwei Ergebnisse in einer Zeile sind identisch? - Achte besonders auf die Zehnerstellen beim Multiplizieren.

1. Gruppe 1: \(9 \cdot 30 = 270\); \(4 \cdot 70 = 280\); \(3 \cdot 90 = 270\). Das Paar ist \(9 \cdot 30\) und \(3 \cdot 90\). 2. Gruppe 2: \(5 \cdot 80 = 400\); \(4 \cdot 100 = 400\); \(6 \cdot 70 = 420\). Das Paar ist \(5 \cdot 80\) und \(4 \cdot 100\). 3. Gruppe 3: \(7 \cdot 20 = 140\); \(2 \cdot 80 = 160\); \(2 \cdot 70 = 140\). Das Paar ist \(7 \cdot 20\) und \(2 \cdot 70\).

Gruppe 1: \(9 \cdot 30\) und \(3 \cdot 90\) (Ergebnis \(270\)) Gruppe 2: \(5 \cdot 80\) und \(4 \cdot 100\) (Ergebnis \(400\)) Gruppe 3: \(7 \cdot 20\) und \(2 \cdot 70\) (Ergebnis \(140\))

- Kannst du die große Zahl in Hunderter, Zehner und Einer aufteilen? - Welches Rechenverfahren (Malkreuz oder schrittweises Rechnen) fällt dir am leichtesten? - Überprüfe dein Ergebnis: Ist es größer als \(7 \cdot 100\)?

1. Zerlegung der Zahl 135 in Hunderter, Zehner und Einer: \(100 + 30 + 5\). 2. Multiplikation der einzelnen Stellen mit 7: \(7 \cdot 100 = 700\), \(7 \cdot 30 = 210\) und \(7 \cdot 5 = 35\). 3. Addition der drei Teilergebnisse: \(700 + 210 + 35 = 945\).

In einem Karton sind insgesamt \(945\) Murmeln.

- Kannst du die Aufgabe erst mit kleineren Zahlen rechnen und dann die Null wieder anhängen? - Es hilft, wenn du die großen Zahlen in Zehner oder Hunderter zerlegst. - Rechne Schritt für Schritt und notiere dir bei Bedarf die Zwischenergebnisse.

1. Multiplikation der Startzahl mit \(70\): \(6 \cdot 70 = 420\) (da \(6 \cdot 7 = 42\)). 2. Division des Ergebnisses durch \(3\): \(420 : 3 = 140\) (da \(42 : 3 = 14\)). 3. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit \(5\): \(140 \cdot 5 = 700\) (da \(100 \cdot 5 = 500\) und \(40 \cdot 5 = 200\)).

Die Endzahl lautet \(700\).

- Rechne zuerst die Ergebnisse auf beiden Seiten aus. - Nutze dein Wissen über das kleine Einmaleins, um die Aufgaben mit Zehnerzahlen schneller zu lösen. - Vergleiche am Ende die beiden Zahlen sorgfältig.

1. Vergleich a): \(7 \cdot 80 = 560\) und \(9 \cdot 60 = 540\). Da \(560 > 540\), ist das Zeichen \(>\). 2. Vergleich b): \(480 : 8 = 60\) und \(540 : 9 = 60\). Da \(60 = 60\), ist das Zeichen \(=\). 3. Vergleich c): \(6 \cdot 40 = 240\) und \(200 + 40 = 240\). Da \(240 = 240\), ist das Zeichen \(=\). 4. Vergleich d): \(320 : 4 = 80\) und \(9 \cdot 9 = 81\). Da \(80 < 81\), ist das Zeichen \(<\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(=\) d) \(<\)

- Wie viele Plätze wären es ungefähr, wenn jede Reihe 20 Plätze hätte? - Was ist das Ziel der Aufgabe? - Kannst du die Rechnung in zwei einfachere Aufgaben aufteilen?

1. Wahl eines Überschlags: \(10 \cdot 23 = 230\) oder \(9 \cdot 20 = 180\). 2. Aufteilung der Multiplikation: \(9 \cdot 20 = 180\) und \(9 \cdot 3 = 27\). 3. Addition der Teilergebnisse: \(180 + 27 = 207\).

Überschlag: ca. \(200\) Plätze (z. B. \(10 \cdot 20\)); Genaues Ergebnis: \(207\) Plätze.

- Gibt es eine Zahl in der Nähe, mit der man leichter rechnen kann? - Kannst du eine Aufgabe vereinfachen, indem du eine Zahl verdoppelst und die andere halbierst? - Welche Malreihen (wie die 25er-Reihe) kennst du schon auswendig? - Wie viele Einer fehlen bei der 198 bis zur nächsten Hunderterzahl?

1. Für \(5 \cdot 198\): Überschlag \(5 \cdot 200 = 1\,000\). Rechnung über Hilfsaufgabe: \(5 \cdot 200 = 1\,000\), dann \(1\,000 - (5 \cdot 2) = 990\). 2. Für \(15 \cdot 6\): Überschlag \(20 \cdot 6 = 120\). Rechnung durch Zerlegen: \(10 \cdot 6 = 60\) und \(5 \cdot 6 = 30\). Ergebnis: \(60 + 30 = 90\). 3. Für \(25 \cdot 8\): Überschlag \(25 \cdot 10 = 250\). Rechnung durch Verdoppeln/Halbieren oder Zerlegen: \(25 \cdot 4 = 100\), also \(100 \cdot 2 = 200\); oder \(20 \cdot 8 = 160\) und \(5 \cdot 8 = 40\). Ergebnis: \(160 + 40 = 200\).

a) Überschlag: \(1\,000\); Ergebnis: \(990\) b) Überschlag: \(120\); Ergebnis: \(90\) c) Überschlag: \(250\); Ergebnis: \(200\)

- Nutze das kleine Einmaleins als Hilfe und hänge die Nullen entsprechend an. - Überlege dir, wie sich das Ergebnis verändert, wenn ein Faktor größer und der andere kleiner wird. - Bei der Division kannst du zuerst die Nullen im Kopf weglassen und sie am Ende wieder berücksichtigen.

1. Berechnung der ersten Teilaufgabe: \(6 \cdot 80 = 480\) und \(7 \cdot 70 = 490\). Da \(480 < 490\), ist das erste Zeichen \(<\). 2. Berechnung der zweiten Teilaufgabe: \(540 : 6 = 90\) und \(630 : 7 = 90\). Da \(90 = 90\), ist das zweite Zeichen \(=\). 3. Berechnung der dritten Teilaufgabe: \(4 \cdot 900 = 3600\) und \(5 \cdot 700 = 3500\). Da \(3600 > 3500\), ist das dritte Zeichen \(>\).

a) \(<\) b) \(=\) c) \(>\)

- Gehe Spalte für Spalte vor. - Das Ergebnis der zweiten Zeile ist die Grundlage für die Rechnung in der dritten Zeile. - Kannst du einen Trick finden, um direkt von der Startzahl zum Endergebnis zu kommen?

1. Erste Spalte: \(50 \cdot 4 = 200\). Dann \(200 : 2 = 100\). 2. Zweite Spalte: \(80 \cdot 4 = 320\). Dann \(320 : 2 = 160\). 3. Dritte Spalte: \(120 \cdot 4 = 480\). Dann \(480 : 2 = 240\).

<table> <tr> <td><strong>Startzahl</strong></td> <td>\(50\)</td> <td>\(80\)</td> <td>\(120\)</td> </tr> <tr> <td><strong>Zahl \(\cdot 4\)</strong></td> <td>\(200\)</td> <td>\(320\)</td> <td>\(480\)</td> </tr> <tr> <td><strong>Ergebnis \(: 2\)</strong></td> <td>\(100\)</td> <td>\(160\)</td> <td>\(240\)</td> </tr> </table>

- Kannst du die Zahl in einen großen Teil (wie \(300\), \(600\) oder \(400\)) und einen kleinen Rest zerlegen? - Teile zuerst den großen Teil und dann den Rest durch die Zahl. - Vergiss nicht, am Ende beide Teilergebnisse zusammenzuzählen.

1. Aufgabe a): Zerlegung in \(300 : 3 = 100\) und \(21 : 3 = 7\). Addition der Teilergebnisse: \(100 + 7 = 107\). 2. Aufgabe b): Zerlegung in \(600 : 6 = 100\) und \(42 : 6 = 7\). Addition der Teilergebnisse: \(100 + 7 = 107\). 3. Aufgabe c): Zerlegung in \(400 : 4 = 100\) und \(36 : 4 = 9\). Addition der Teilergebnisse: \(100 + 9 = 109\).

a) \(107\) b) \(107\) c) \(109\)

- Bei diesen Aufgaben wurde die Division in mehrere kleine Schritte aufgeteilt. - Um die erste Lücke zu füllen, musst du die Zahlen in den Klammern (die Dividenden) wieder zusammenzählen. - Rechne für den zweiten Teil erst die Ergebnisse der einzelnen Divisionen aus und addiere sie dann.

1. Aufgabe a): Die Summe der Teil-Dividenden \(500 + 45 = 545\) ergibt den gesuchten Dividenden. 2. Aufgabe b): Der Dividend ergibt sich aus \(700 + 70 + 7 = 777\). 3. Berechnung der Teil-Quotienten für b): \(700 : 7 = 100\), \(70 : 7 = 10\), \(7 : 7 = 1\). 4. Endergebnis für b): \(100 + 10 + 1 = 111\).

a) \(545 : 5 = 109\) b) \(777 : 7 = 100 + 10 + 1 = 111\)

- Überlege bei Teilaufgabe a), ob du die Gesamtzahl durch Malnehmen oder Teilen herausfindest. - Bei Teilaufgabe b) hilft dir das Wort „verteilen“, um die richtige Rechenart zu finden. - Denke an die kleinen Einmaleins-Aufgaben, die in den großen Zahlen stecken.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Tennisbälle durch Multiplikation: \(5 \cdot 30 = 150\). 2. Berechnung der Bälle pro Kiste durch Division: \(120 : 3 = 40\).

a) Es sind insgesamt \(150\) Tennisbälle. b) In jeder Kiste liegen \(40\) Tischtennisbälle.

- Kannst du die große Zahl in zwei kleinere Zahlen zerlegen, die beide in der 4er-Reihe vorkommen? - Suche nach einer großen Zahl nahe \(456\), bei der die Division durch \(4\) ganz einfach ist, zum Beispiel eine Hunderterzahl. - Vergiss nicht, am Ende die beiden Einzelergebnisse wieder zusammenzuzählen.

1. Zerlegung der Zahl \(456\) in die Teilzahlen \(400\) und \(56\), da beide leicht durch \(4\) teilbar sind. 2. Division der ersten Teilzahl: \(400 : 4 = 100\). 3. Division der zweiten Teilzahl: \(56 : 4 = 14\). 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(100 + 14 = 114\).

\(114\)

- Überlege zuerst, ob du die Aufgabe direkt im Kopf lösen kannst. - Hilft es dir, die Zahl in Hunderter, Zehner und Einer zu zerlegen? - Bei größeren Zahlen ist das schriftliche Verfahren oft am sichersten.

1. Berechnung von \(560 : 7\) im Kopf: \(56 : 7 = 8\), also ist das Ergebnis \(80\). 2. Berechnung von \(844 : 4\) halbschriftlich oder im Kopf durch Zerlegung: \(800 : 4 = 200\), \(40 : 4 = 10\), \(4 : 4 = 1\). Die Summe ergibt \(211\). 3. Berechnung von \(1\,344 : 6\) schriftlich: \(13 : 6 = 2\) Rest \(1\); \(14 : 6 = 2\) Rest \(2\); \(24 : 6 = 4\). Das Ergebnis ist \(224\).

a) \(80\) b) \(211\) c) \(224\)

- Welche Rechenart musst du anwenden, um die Gesamtzahl herauszufinden? - Schau dir die Tausenderstellen genau an – ergeben sie einen vollen Hundertertausender? - Kannst du die Aufgabe in Schritten rechnen, zum Beispiel erst die Hundertertausender und dann den Rest addieren?

1. Identifikation der Summanden: \(375\,000\) und \(425\,000\). 2. Addition der Tausenderwerte: \(375 + 425 = 800\). 3. Übertragung auf den Zahlenraum bis eine Million: \(800\,000\).

Zusammen hatten die Parks \(800\,000\) Besucher.

- Wie viel fehlt von der ersten Zahl bis zur Million? - Kannst du von der Zielzahl zurückrechnen? - Was musst du zu \(215\) addieren, um auf \(500\) zu kommen?

1. Zur Berechnung von a): \(1\,000\,000 - 640\,000 = 360\,000\). 2. Zur Berechnung von b): \(500\,000 - 215\,000 = 285\,000\). 3. Zur Berechnung von c): \(138 + 462 = 600\), also \(600\,000\).

a) \(360\,000\) b) \(285\,000\) c) \(600\,000\)

- Manchmal hilft es, die Zahlen stellenweise (Hunderter, Zehner, Einer) nacheinander abzuziehen. - Wenn zwei Zahlen sehr nah beieinander liegen, ist „Ergänzen“ oft der schnellste Weg. - Bei Aufgaben, bei denen mehrfach entbündelt werden muss, ist das Untereinanderschreiben am wenigsten fehleranfällig.

1. Verfahrenswahl und Berechnung: a) Kopf/Halbschriftlich: \(1\,000 - 400 - 50 = 550\). b) Kopf/Halbschriftlich: Da kein Entbündeln erforderlich ist, kann man stellenweise rechnen: \(8 - 3 = 5\), \(7 - 2 = 5\), \(6 - 1 = 5\). Ergebnis: \(555\). c) Kopf (Ergänzen): Die Zahlen liegen sehr nah beieinander. Von \(498\) bis \(502\) sind es \(4\). Ergebnis: \(4\). d) Schriftlich: Aufgrund des Entbündelns an der Einer- und Zehnerstelle ist das schriftliche Verfahren am sichersten. Ergebnis: \(278\).

a) \(550\) b) \(555\) c) \(4\) d) \(278\)

- Wie weit liegen die beiden Zahlen bei der ersten Aufgabe auseinander? - Ist ein schriftliches Verfahren mit mehreren Überträgen über die Null hinweg (wie bei \(901\)) wirklich einfacher als kurzes Nachdenken? - Denke an den Unterschied zwischen „Abziehen“ und „Unterschied bestimmen“.

1. Analyse der Aussage: Lukas hat nicht recht. Bei Zahlen, die sehr nah beieinander liegen, ist das Ergänzen im Kopf viel schneller. Man fragt sich: „Wie viel fehlt von \(897\) bis \(901\)?“ 2. Berechnung \(901 - 897\): \(897 + 3 = 900\), plus \(1\) ergibt \(901\). Das Ergebnis ist \(4\). 3. Schriftliche Berechnung \(823 - 356\): Einer: \(13 - 6 = 7\). Zehner: \(11 - 5 = 6\). Hunderter: \(7 - 3 = 4\). Ergebnis: \(467\).

Lukas hat nicht recht, da man bei eng beieinander liegenden Zahlen durch Ergänzen viel schneller im Kopf zum Ergebnis kommt. Ergebnisse: \(901 - 897 = 4\) \(823 - 356 = 467\)

- Überlege dir, bei welcher Aufgabe du viele Überträge machen müsstest. - Gibt es Aufgaben, bei denen du das Ergebnis fast sofort sehen kannst? - Manchmal hilft es, eine Zahl in Hunderter, Zehner und Einer zu zerlegen.

1. Aufgabe a) eignet sich gut für Kopfrechnen, da nur 5 Einer von einer glatten Zahl abgezogen werden: \(20\,000 - 5 = 19\,995\). 2. Aufgabe b) kann halbschriftlich oder im Kopf gelöst werden, indem man erst 100 und dann 50 abzieht: \(20\,000 - 100 = 19\,900\); \(19\,900 - 50 = 19\,850\). 3. Aufgabe c) ist aufgrund der vielen unterschiedlichen Stellenwerte am besten für das schriftliche Rechenverfahren geeignet: \(20\,000 - 7\,432 = 12\,568\).

a) \(19\,995\) b) \(19\,850\) c) \(12\,568\)

- Du kannst die Umkehroperation nutzen: Was musst du zum Ergebnis addieren, um wieder auf eine Million zu kommen? - Vergleiche die Stellenwerte der Million mit dem Ergebnis. Wo liegt der Unterschied? - Was ist der Vorgänger einer Million?

1. Um den Subtrahenden zu finden, berechnet man die Differenz zwischen dem Minuend (\(1\,000\,000\)) und dem Ergebnis. 2. Für a): \(1\,000\,000 - 999\,999 = 1\) 3. Für b): \(1\,000\,000 - 999\,900 = 100\) 4. Für c): \(1\,000\,000 - 990\,000 = 10\,000\) 5. Für d): \(1\,000\,000 - 1 = 999\,999\)

a) \(1\) b) \(100\) c) \(10\,000\) d) \(999\,999\)

- Bei der Million kannst du versuchen, von der kleineren Zahl aus schrittweise bis zur Million zu ergänzen. - Kannst du die zweite Zahl in Hundertertausender und Tausender zerlegen, um sie nacheinander abzuziehen? - Was passiert, wenn du erst etwas zu viel abziehst und den Unterschied danach wieder korrigierst?

1. In Teilaufgabe a) kann vom Subtrahenden \(545\,000\) bis zur Million ergänzt werden: \(545 + 5 = 550\), \(550 + 50 = 600\), \(600 + 400 = 1000\). Die Differenz der Tausender ist \(455\), das Ergebnis somit \(455\,000\). 2. In Teilaufgabe b) bietet sich schrittweises Abziehen an: \(503 - 200 = 303\) und \(303 - 4 = 299\). Die Differenz der Tausender ist \(299\), das Ergebnis somit \(299\,000\).

a) \(455\,000\) b) \(299\,000\)

- Wie hängen Minuend, Subtrahend und Differenz zusammen? Kannst du die Aufgabe in eine andere Rechenart umwandeln? - Wie groß ist der Abstand zwischen der ersten Zahl und dem Ergebnis? - Könnte eine Umkehrrechnung dir helfen, die Lücke zu füllen?

1. Um den Subtrahenden in Teilaufgabe a) zu finden, wird die Differenz zwischen dem Minuenden und dem Ergebnis berechnet: \(820 - 350 = 470\). Die gesuchte Zahl ist \(470\,000\). 2. In Teilaufgabe b) wird ebenso die Differenz zwischen den Tausenderwerten gebildet: \(705 - 698 = 7\). Die gesuchte Zahl ist \(7000\).

a) \(470\,000\) b) \(7000\)

- Überlege dir, an welcher Stelle (Einer, Zehner, Hunderter...) sich die Zahl ändert. - Was passiert mit den Nachbarstellen, wenn du von einer Null etwas abziehst? - Stell dir die Zahl in einer Stellenwerttafel vor.

1. Subtraktion von \(1\) (Einerstelle): Da an der Einerstelle eine \(0\) steht, erfolgt ein Übertrag über alle Stellen hinweg. Ergebnis: \(399\,999\). 2. Subtraktion von \(10\) (Zehnerstelle): Übertrag ab der Zehnerstelle. Ergebnis: \(399\,990\). 3. Subtraktion von \(100\) (Hunderterstelle): Übertrag ab der Hunderterstelle. Ergebnis: \(399\,900\). 4. Subtraktion von \(1000\) (Tausenderstelle): Übertrag ab der Tausenderstelle. Ergebnis: \(399\,000\). 5. Subtraktion von \(10\,000\) (Zehntausenderstelle): Übertrag ab der Zehntausenderstelle. Ergebnis: \(390\,000\). 6. Subtraktion von \(100\,000\) (Hunderttausenderstelle): Verringerung der Ziffer an der Hunderttausenderstelle um \(1\). Ergebnis: \(300\,000\).

a) \(399\,999\) b) \(399\,990\) c) \(399\,900\) d) \(399\,000\) e) \(390\,000\) f) \(300\,000\)

- Gehe Spalte für Spalte vor und schaue genau, welchen Stellenwert du abziehen musst. - Musst du bei der Zahl \(325\,400\) immer entbündeln? - Bei der Zahl \(800\,000\) ändern sich oft viele Ziffern gleichzeitig. Warum ist das so?

1. Zeile \(325\,400\): - \(325\,400 - 1\): Entbündeln ab der Hunderterstelle, da Zehner und Einer null sind. Ergebnis: \(325\,399\). - \(325\,400 - 100\): Verringerung der Hunderterstelle um \(1\). Ergebnis: \(325\,300\). - \(325\,400 - 10\,000\): Verringerung der Zehntausenderstelle um \(1\). Ergebnis: \(315\,400\). 2. Zeile \(800\,000\): - \(800\,000 - 1\): Entbündeln über alle Stellen hinweg. Ergebnis: \(799\,999\). - \(800\,000 - 100\): Entbündeln ab der Hunderterstelle. Ergebnis: \(799\,900\). - \(800\,000 - 10\,000\): Entbündeln ab der Zehntausenderstelle. Ergebnis: \(790\,000\).

<table> <tr> <th>Zahl</th> <th>\( - 1\)</th> <th>\( - 100\)</th> <th>\( - 10\,000\)</th> </tr> <tr> <td>\(325\,400\)</td> <td>\(325\,399\)</td> <td>\(325\,300\)</td> <td>\(315\,400\)</td> </tr> <tr> <td>\(800\,000\)</td> <td>\(799\,999\)</td> <td>\(799\,900\)</td> <td>\(790\,000\)</td> </tr> </table>

- Welche Zahl sieht so aus, als ob man sie leicht im Kopf rechnen kann? - Bei welcher Zahl gibt es viele verschiedene Ziffern, sodass man sich leicht verschreibt? - Kannst du die Zahlen in Stellenwerte zerlegen (Hunderttausender, Zehntausender usw.)?

1. Verdoppeln von \(450\,000\): \(450\,000 \cdot 2 = 900\,000\) (einfach im Kopf durch \(45 \cdot 2\)) 2. Verdoppeln von \(105\,050\): \(105\,050 \cdot 2 = 210\,100\) (halbschriftlich durch Zerlegen in \(105\,000\) und \(50\)) 3. Verdoppeln von \(321\,684\): \(321\,684 \cdot 2 = 643\,368\) (schriftliche Addition oder Multiplikation empfohlen) 4. Verdoppeln von \(249\,900\): \(249\,900 \cdot 2 = 499\,800\) (halbschriftlich oder Kopf: \(250\,000 \cdot 2 - 200\))

a) \(900\,000\) b) \(210\,100\) c) \(643\,368\) d) \(499\,800\)

- Was bedeutet es, eine Zahl zu halbieren? - Kannst du die Zahl in zwei Teile zerlegen, die sich leichter halbieren lassen? - Achte beim Sortieren genau auf die Zehntausender- und Hunderttausenderstelle.

1. Berechnung der Hälften: \(740\,000 : 2 = 370\,000\) \(320\,000 : 2 = 160\,000\) \(960\,000 : 2 = 480\,000\) \(580\,000 : 2 = 290\,000\) 2. Sortieren der Ergebnisse: \(160\,000 < 290\,000 < 370\,000 < 480\,000\)

Die Hälften sind \(160\,000\), \(290\,000\), \(370\,000\) und \(480\,000\). Die richtige Reihenfolge lautet: \(160\,000, 290\,000, 370\,000, 480\,000\).

- Wie hängen Verdoppeln und Halbieren zusammen? - Wenn du die Hälfte von \(450\,000\) suchst, hilft es vielleicht, zuerst die Hälfte von \(400\,000\) und dann die Hälfte von \(50\,000\) zu berechnen. - Überlege dir, welches Rechenverfahren (im Kopf oder halbschriftlich) für dich am sichersten ist.

1. Erste Zeile: \(280\,000 \cdot 2 = 560\,000\); \(280\,000 : 2 = 140\,000\). 2. Zweite Zeile: \(450\,000 \cdot 2 = 900\,000\); \(450\,000 : 2 = 225\,000\). 3. Dritte Zeile: \(190\,000 \cdot 2 = 380\,000\); \(190\,000 : 2 = 95\,000\).

Die ausgefüllte Tabelle lautet: \(280\,000 \rightarrow\) Doppeltes: \(560\,000\), Hälfte: \(140\,000\) \(450\,000 \rightarrow\) Doppeltes: \(900\,000\), Hälfte: \(225\,000\) \(190\,000 \rightarrow\) Doppeltes: \(380\,000\), Hälfte: \(95\,000\)

- Schau dir an, aus welchen Teilen die Zahlen in den Aufgaben bestehen. - Musst du für jede Aufgabe neu rechnen oder kannst du die vorgegebenen Ergebnisse einfach kombinieren? - Welche Teilrechnungen „stecken“ in der Zahl \(529\)?

1. Für \(8 \cdot 520\) werden die Ergebnisse von \(8 \cdot 500\) und \(8 \cdot 20\) addiert: \(4000 + 160 = 4160\). 2. Für \(8 \cdot 29\) werden die Ergebnisse von \(8 \cdot 20\) und \(8 \cdot 9\) addiert: \(160 + 72 = 232\). 3. Für \(8 \cdot 529\) werden alle drei Teilprodukte addiert: \(4000 + 160 + 72 = 4232\). 4. Für \(8 \cdot 509\) werden die Ergebnisse von \(8 \cdot 500\) und \(8 \cdot 9\) addiert: \(4000 + 72 = 4072\).

a) \(4160\) b) \(232\) c) \(4232\) d) \(4072\)

- Wie verändern sich die Zahlen in jeder neuen Zeile? - Welche Zahl bleibt als Divisor immer gleich? - Wie viele Nullen kommen in jedem Schritt beim Dividenden dazu?

1. Fortsetzen des Musters, bei dem der Dividend in jedem Schritt mit \(10\) multipliziert wird. 2. Nächster Schritt: \(2400 \cdot 10 = 24\,000\). Berechnung: \(24\,000 : 4 = 6000\). 3. Letzter Schritt: \(24\,000 \cdot 10 = 240\,000\). Berechnung: \(240\,000 : 4 = 60\,000\).

\(24\,000 : 4 = 6000\) \(240\,000 : 4 = 60\,000\)

- Kannst du erkennen, wie die Zahl \(6420\) aus den Zahlen in a) und b) zusammengesetzt ist? - Wenn du weißt, wie oft die \(6\) in \(6420\) passt und wie oft sie in \(18\) passt, wie oft passt sie dann wohl in die Summe dieser beiden Zahlen?

1. Grunddivision: \(6000 : 6 = 1000\) 2. Division des zweiten Teils: \(420 : 6 = 70\) 3. Summe der ersten beiden Teile: \(6000 + 420 = 6420\), also \(1000 + 70 = 1070\) 4. Division des Einer-Restes: \(18 : 6 = 3\) 5. Gesamtsumme für die letzte Zahl: \(6420 + 18 = 6438\), also \(1070 + 3 = 1073\)

a) \(1000\) b) \(70\) c) \(1070\) d) \(3\) e) \(1073\)

- Suche in der großen Zahl nach einer Zahl aus dem kleinen Einmaleins mit angehängten Nullen. - Was bleibt übrig, wenn du diesen bekannten Teil von der Gesamtzahl abziehst? - Kannst du die Zahl so aufteilen, dass beide Teile ohne Rest durch die Divisor-Zahl teilbar sind?

1. Zerlegung für a): \(4212\) in \(4200\) und \(12\). Rechnung: \(4200 : 6 = 700\) und \(12 : 6 = 2\). Ergebnis: \(700 + 2 = 702\). 2. Zerlegung für b): \(6456\) in \(6400\) und \(56\). Rechnung: \(6400 : 8 = 800\) und \(56 : 8 = 7\). Ergebnis: \(800 + 7 = 807\). 3. Zerlegung für c): \(2135\) in \(2100\) und \(35\). Rechnung: \(2100 : 7 = 300\) und \(35 : 7 = 5\). Ergebnis: \(300 + 5 = 305\).

a) \(702\) b) \(807\) c) \(305\)

- Löse zuerst die Aufgabe mit der glatten Hunderterzahl. - Schau dir an, um welchen Betrag sich die großen Zahlen unterscheiden. - Kannst du diesen Unterschied leicht durch 7 teilen?

1. Berechnung der Basisaufgabe: \(3500 : 7 = 500\). 2. Vergleich von \(3556\) mit \(3500\): Der Unterschied beträgt \(+56\). Da \(56 : 7 = 8\) ist, erhöht sich das Ergebnis um \(8\): \(500 + 8 = 508\). 3. Vergleich von \(3486\) mit \(3500\): Der Unterschied beträgt \(-14\). Da \(14 : 7 = 2\) ist, verringert sich das Ergebnis um \(2\): \(500 - 2 = 498\).

a) \(500\) b) \(508\) c) \(498\)

- Wie wurde die große Zahl am Anfang in zwei kleinere Teile zerlegt? - Ergänze den Teil, der noch fehlt, um wieder auf die ursprüngliche Zahl zu kommen. - Vergiss nicht, am Ende beide Teilergebnisse zusammenzuzählen.

1. In Teil a) wird \(2832\) in \(2800\) und \(32\) zerlegt. Division ergibt \(2800 : 4 = 700\) und \(32 : 4 = 8\). Die Summe ist \(700 + 8 = 708\). 2. In Teil b) wird \(81\,027\) in \(81\,000\) und \(27\) zerlegt. Division ergibt \(81\,000 : 9 = 9000\) und \(27 : 9 = 3\). Die Summe ist \(9000 + 3 = 9003\).

a) \(2832 : 4 = (2800 : 4) + (32 : 4) = 700 + 8 = 708\) b) \(81\,027 : 9 = (81\,000 : 9) + (27 : 9) = 9000 + 3 = 9003\)

- Wenn zwei Zahlen sehr nah beieinander liegen, ist es oft einfacher, den Unterschied durch Ergänzen (Hochzählen) zu finden. - Bei glatten Zahlen wie \(10\,000\) kannst du gut im Kopf in großen Schritten rückwärts zählen. - Wenn du an vielen Stellen „entleihen“ musst, ist das schriftliche Verfahren sicherer.

1. Berechnung von \(5\,001 - 4\,998\): Bestimmung des Unterschieds durch Ergänzen von \(4\,998\) zu \(5\,001\) ergibt \(3\). 2. Berechnung von \(10\,000 - 2\,500\): Subtraktion der Tausender und Hunderter ergibt \(7\,500\). 3. Berechnung von \(63\,214 - 45\,837\): Schriftliche Subtraktion mit mehreren Überträgen ergibt \(17\,377\). 4. Berechnung von \(87\,654 - 23\,412\): Stellenweise Subtraktion ohne Übertrag ergibt \(64\,242\).

a) \(3\) b) \(7\,500\) c) \(17\,377\) d) \(64\,242\)

- Suche nach Zahlen aus dem kleinen Einmaleins, die in der großen Zahl stecken. - Achte besonders auf Stellen, an denen eine Null im Ergebnis entstehen könnte. - Gibt es Teile der Zahl, die sich ganz einfach durch den Teiler teilen lassen? - Wenn die Zahl zu kompliziert wird, nutze das schriftliche Verfahren.

1. Division \(45\,000 : 9\): Da \(45 : 9 = 5\), ist das Ergebnis \(5\,000\). 2. Division \(45\,099 : 9\): Zerlegung in \(45\,000 : 9 = 5\,000\) und \(99 : 9 = 11\); Summe ist \(5\,011\). 3. Division \(54\,216 : 6\): Schriftliche Division: \(54 : 6 = 9\), \(2 : 6 = 0\) (Rest 2), \(21 : 6 = 3\) (Rest 3), \(36 : 6 = 6\). Das Ergebnis ist \(9\,036\). 4. Division \(4\,832 : 8\): Zerlegung in \(4\,800 : 8 = 600\) und \(32 : 8 = 4\); Summe ist \(604\).

a) \(5\,000\) b) \(5\,011\) c) \(9\,036\) d) \(604\)

- Siehst du in der großen Zahl kleinere Zahlen, die du gut durch den Teiler teilen kannst? - Du kannst die große Zahl in zwei Teile zerlegen, die beide in der jeweiligen Einmaleins-Reihe vorkommen. - Achte auf die Nullen, wenn du Hunderter oder Tausender teilst.

1. Division durch \(8\): Zerlegung in \((5600 + 16) : 8 = 5600 : 8 + 16 : 8 = 700 + 2 = 702\) 2. Division durch \(7\): Zerlegung in \((3500 + 21) : 7 = 3500 : 7 + 21 : 7 = 500 + 3 = 503\) 3. Division durch \(4\): Zerlegung in \((4800 + 32) : 4 = 4800 : 4 + 32 : 4 = 1200 + 8 = 1208\)

a) \(702\) b) \(503\) c) \(1208\)

- Kannst du die große Zahl einfach in zwei Zahlen zerlegen, die beide in der gesuchten Einmaleins-Reihe vorkommen? - Wenn du beim Teilen oft einen Rest übertragen musst, ist ein schriftlicher Weg meist übersichtlicher.

1. Aufgabe a): Die Zahl \(840\) lässt sich leicht in \(800\) und \(40\) zerlegen. Beide Teile sind einfach durch \(4\) teilbar (\(200\) und \(10\)). Daher ist die Kopfrechnung/halbschriftliche Rechnung geeignet. Ergebnis: \(210\). 2. Aufgabe b): Die Division durch \(7\) erfordert bei \(952\) mehrere Schritte mit Übertrag (\(9:7=1\) Rest \(2\); \(25:7=3\) Rest \(4\); \(42:7=6\)). Hier bietet sich das schriftliche Verfahren an. Ergebnis: \(136\).

a) Im Kopf: \(210\). b) Schriftlich: \(136\).

- Weißt du noch, was die Begriffe „Quotient“ und „Produkt“ bedeuten? - Rechne zuerst beide Teile einzeln aus. - Um den „Unterschied“ zu finden, musst du die beiden Ergebnisse miteinander vergleichen. Welche Rechenart nutzt man dafür?

1. Berechnung des Quotienten für Teil a): \(5712 : 6 = 952\). 2. Berechnung des Produkts für Teil b): \(145 \cdot 4 = 580\). 3. Bestimmung des Unterschieds durch Subtraktion des kleineren vom größeren Wert: \(952 - 580 = 372\).

Der Unterschied beträgt \(372\).

- Berechne zuerst den Wert auf der linken Seite und dann den Wert auf der rechten Seite separat. - Vergleiche danach die beiden Zahlen, die du herausbekommen hast. - Welche Zahl ist größer, welche ist kleiner oder sind beide vielleicht gleich groß? - Achte beim Subtrahieren auf die Zehnerübergänge.

1. Vergleich a): Linke Seite \(1\,450 + 550 = 2\,000\), rechte Seite \(3\,000 - 1\,050 = 1\,950\). Da \(2\,000 > 1\,950\), ist das Zeichen \(>\). 2. Vergleich b): Linke Seite \(6\,700 - 2\,300 = 4\,400\), rechte Seite \(3\,100 + 1\,300 = 4\,400\). Da \(4\,400 = 4\,400\), ist das Zeichen \(=\). 3. Vergleich c): Linke Seite \(8\,240 - 1\,360 = 6\,880\), rechte Seite \(5\,420 + 1\,470 = 6\,890\). Da \(6\,880 < 6\,890\), ist das Zeichen \(<\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(<\)

- Überlege dir bei den Subtraktionen, was passiert, wenn du von einem vollen Tausender oder der Million zurückrechnest. - Erinnere dich an die Ergänzungen bis zum nächsten Tausender. - Du kannst die Aufgaben auch schrittweise rechnen.

1. Teilaufgabe a: Von einer Million \(10\) abziehen ergibt \(999\,990\). 2. Teilaufgabe b: Zu \(999\,901\) werden \(99\) addiert. \(901 + 99 = 1\,000\), also \(999\,000 + 1\,000 = 1\,000\,000\). 3. Teilaufgabe c: Von einer Million \(500\) abziehen. Da \(1\,000 - 500 = 500\) ist, ergibt \(1\,000\,000 - 500 = 999\,500\).

a) \(999\,990\) b) \(1\,000\,000\) c) \(999\,500\)

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn man beide Zahlen um den gleichen Betrag verändert? - Was passiert bei einer Plusaufgabe, wenn man von einer Zahl etwas wegnimmt und es der anderen dazu gibt? - Schau dir an, wie sich die Zahlen von der linken zur rechten Aufgabe verändern.

1. Paar a: Bei \(463 - 298\) werden beide Zahlen um \(2\) erhöht, um die leichtere Aufgabe \(465 - 300\) zu erhalten (Konstanz des Unterschieds). Ergebnis für beide: \(165\). 2. Paar b: Bei \(237 + 199\) wird \(1\) von der ersten Zahl zur zweiten verschoben (\(236 + 200\)), um einen glatten Hunderter zu erhalten (Konstanz der Summe). Ergebnis für beide: \(436\). 3. Paar c: Bei \(751 - 349\) ergibt sich \(751 - 350 + 1 = 401 + 1 = 402\). Bei \(749 - 351\) ergibt sich \(749 - 350 - 1 = 399 - 1 = 398\). Der Unterschied zwischen den Ergebnissen ist \(4\).

a) \(165\) und \(165\) b) \(436\) und \(436\) c) \(402\) und \(398\)

- Rechne zuerst die Seite aus, auf der beide Zahlen stehen. - Überlege dann: Mit welcher Zahl musst du die bekannte Zahl auf der anderen Seite multiplizieren, um auf dasselbe Ergebnis zu kommen? - Hilft es dir, die Nullen beim Vergleichen kurz wegzudenken und später wieder zu berücksichtigen?

1. Teilaufgabe a): Linke Seite \(3 \cdot 80 = 240\). Bestimmung der Lücke durch \(240 : 4 = 60\). 2. Teilaufgabe b): Linke Seite \(60 \cdot 5 = 300\). Bestimmung der Lücke durch \(300 : 30 = 10\). 3. Teilaufgabe c): Linke Seite \(40 \cdot 9 = 360\). Bestimmung der Lücke durch \(360 : 6 = 60\).

a) \(60\) b) \(10\) c) \(60\)

- Wie kannst du die Zahlen 12 und 24 geschickt zerlegen? - Erinnere dich, wie man ein Malkreuz zeichnet: Welche Zahlen kommen in die Köpfe der Spalten und Zeilen? - Hast du alle vier Felder im Malkreuz ausgefüllt und zusammengerechnet?

1. Erstellung eines Malkreuzes durch Zerlegung der Faktoren: \(12 = 10 + 2\) und \(24 = 20 + 4\). 2. Berechnung der vier Teilprodukte: \(10 \cdot 20 = 200\), \(10 \cdot 4 = 40\), \(2 \cdot 20 = 40\) und \(2 \cdot 4 = 8\). 3. Addition aller Teilprodukte: \(200 + 40 + 40 + 8 = 288\).

Insgesamt können \(288\) Personen auf den Bänken Platz nehmen.

- Überlege zuerst: Wird von der gleichen Zahl mehr oder weniger abgezogen? - Schau dir die Größe der Ausgangszahlen an. Eine Million ist viel größer als einhunderttausend. - Kannst du die Anzahl der Stellen im Ergebnis abschätzen?

1. Vergleich a): Da von der gleichen Zahl (\(10\,000\)) einmal weniger (\(10\)) und einmal mehr (\(100\)) abgezogen wird, ist das erste Ergebnis größer: \(9\,990 > 9\,900\). 2. Vergleich b): Da von einer kleineren Zahl (\(100\,000\)) und einer größeren Zahl (\(1\,000\,000\)) der gleiche Betrag abgezogen wird, ist das zweite Ergebnis größer: \(99\,000 < 999\,000\). 3. Vergleich c): Berechnung ergibt \(99\,900\) und \(9\,990\). Da \(99\,900\) fünfstellig und \(9\,990\) vierstellig ist, gilt: \(99\,900 > 9\,990\). 4. Vergleich d): Berechnung ergibt \(999\) und \(9\,990\). Da \(999\) dreistellig und \(9\,990\) vierstellig ist, gilt: \(999 < 9\,990\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(>\) d) \(<\)

- Schau dir an, ab welcher Stelle sich die Ziffern von \(700\,000\) unterscheiden. - Du kannst auch die Umkehraufgabe (Addition) nutzen: Was musst du zum Ergebnis dazurechnen, um wieder auf \(700\,000\) zu kommen? - Alle gesuchten Zahlen sind Stufenzahlen wie \(1\), \(10\), \(100\) und so weiter.

1. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,999\): Die Differenz beträgt \(1\). 2. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,900\): Die Differenz beträgt \(100\). 3. Vergleich von \(700\,000\) und \(690\,000\): Die Differenz beträgt \(10\,000\). 4. Vergleich von \(700\,000\) und \(600\,000\): Die Differenz beträgt \(100\,000\). 5. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,000\): Die Differenz beträgt \(1\,000\).

a) \(1\) b) \(100\) c) \(10\,000\) d) \(100\,000\) e) \(1\,000\)

- Kannst du eine Grundaufgabe aus dem kleinen Einmaleins entdecken? - Nutze die Umkehraufgabe mit Multiplikation, um die Lücken zu füllen. - Achte darauf, wie viele Nullen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens stehen müssen.

1. Berechnung der Grundaufgabe: \(42 : 6 = 7\). 2. Bestimmung des Dividenden für das Ergebnis \(70\): \(70 \cdot 6 = 420\). 3. Bestimmung des Divisors für den Dividenden \(4200\) und das Ergebnis \(700\): \(4200 : 700 = 6\). 4. Berechnung des Ergebnisses für \(42\,000 : 6 = 7000\). 5. Bestimmung des Dividenden für das Ergebnis \(70\,000\): \(70\,000 \cdot 6 = 420\,000\).

\(42 : 6 = 7\) \(420 : 6 = 70\) \(4200 : 6 = 700\) \(42\,000 : 6 = 7000\) \(420\,000 : 6 = 70\,000\)

- Welche der vorgeschlagenen Zahlen lassen sich besonders leicht durch 6 teilen? - Manchmal hilft es, sich das kleine Einmaleins der Teiler-Zahl ins Gedächtnis zu rufen. - Gibt es bei der Aufgabe c) eine Zahl nahe an 4540, die in der 5er-Reihe vorkommt?

1. Vergleich der Zerlegungen: Die Zerlegung \(3600 + 18\) ist einfacher, da beide Zahlen direkt als Vielfache von \(6\) erkennbar sind (\(6 \cdot 6 = 36\) und \(3 \cdot 6 = 18\)). 2. Berechnung zu b): \(3600 : 6 = 600\) und \(18 : 6 = 3\). Das Gesamtergebnis ist \(600 + 3 = 603\). 3. Anwendung auf c): Zerlegung von \(4540\) in \(4500\) und \(40\). Rechnung: \(4500 : 5 = 900\) und \(40 : 5 = 8\). Das Ergebnis ist \(900 + 8 = 908\).

a) Der Weg \(3600 + 18\) ist einfacher, da beide Zahlen direkt durch \(6\) teilbar sind. b) \(603\) c) \(908\)

- Stell dir vor, du stehst bei der kleineren Zahl auf einem Zahlenstrahl. Wie weit musst du springen, um zur nächsten glatten Tausenderzahl zu kommen? - Wie viele Nullen hat die größere Zahl? Was passiert beim schriftlichen Abziehen, wenn oben eine Null steht?

1. Begründung: Beim schriftlichen Verfahren müssten viele Überträge über die Nullen hinweg gemacht werden, was fehleranfällig ist. Da die Zahlen nah beieinander liegen, ist Ergänzen effizienter. 2. Berechnung \(34\,005 - 29\,998\): Von \(29\,998\) sind es \(2\) bis \(30\,000\), plus \(4\,005\) ergibt \(4\,007\). 3. Berechnung \(82\,003 - 79\,995\): Von \(79\,995\) sind es \(5\) bis \(80\,000\), plus \(2\,003\) ergibt \(2\,008\).

a) Das schriftliche Verfahren ist wegen der vielen Nullen und der nötigen Überträge kompliziert und fehleranfällig. Da die Zahlen nah beieinander liegen, ist Ergänzen schneller. b) \(34\,005 - 29\,998 = 4\,007\) und \(82\,003 - 79\,995 = 2\,008\).

- Welche Zahlen sehen „glatt“ aus und lassen sich leicht multiplizieren? - Bei welchen Aufgaben könnten Überträge das Kopfrechnen schwierig machen? - Kannst du die zweite Aufgabe eines Paares in Teile zerlegen, die so ähnlich wie die erste Aufgabe sind? - Überlege, ob dir das schriftliche Verfahren bei krummen Zahlen mehr Sicherheit gibt.

1. Paar 1, Aufgabe 1: \(500 \cdot 800\) kann im Kopf gelöst werden (\(5 \cdot 8 = 40\), plus vier Nullen); Ergebnis ist \(400\,000\). 2. Paar 1, Aufgabe 2: \(12 \cdot 7\,895\) erfordert schriftliche Multiplikation; \(10 \cdot 7\,895 = 78\,950\) und \(2 \cdot 7\,895 = 15\,790\); Summe ist \(94\,740\). 3. Paar 2, Aufgabe 1: \(24\,000 : 4\) kann im Kopf gelöst werden (\(24 : 4 = 6\)); Ergebnis ist \(6\,000\). 4. Paar 2, Aufgabe 2: \(25\,648 : 4\) kann halbschriftlich (\(24\,000 : 4\), \(1\,600 : 4\), \(48 : 4\)) oder schriftlich gelöst werden; Ergebnis ist \(6\,412\).

Paar 1: \(500 \cdot 800 = 400\,000\) (Kopf) und \(12 \cdot 7\,895 = 94\,740\) (schriftlich) Paar 2: \(24\,000 : 4 = 6\,000\) (Kopf) und \(25\,648 : 4 = 6\,412\) (halbschriftlich oder schriftlich)

- Bei der ersten Aufgabe: Welche runde Zahl liegt ganz nah an der \(199\)? - Bei der Division: Zerlege die Zahl so, dass du die Teilergebnisse direkt aus dem kleinen Einmaleins ableiten kannst. - Gibt es bei der letzten Aufgabe eine Kombination von Zahlen, die ein besonders einfaches Ergebnis wie \(100\) ergibt?

1. Multiplikation mit \(199\): Ergänzung zu \(14 \cdot 200 - 14 \cdot 1 = 2800 - 14 = 2786\) 2. Division durch \(8\): Zerlegung in \((7200 + 56) : 8 = 900 + 7 = 907\) 3. Multiplikation mit \(44\): Entweder Zerlegung in \(25 \cdot 40 + 25 \cdot 4 = 1000 + 100 = 1100\) oder Nutzung von Faktoren: \(25 \cdot 4 \cdot 11 = 100 \cdot 11 = 1100\)

a) \(2786\) b) \(907\) c) \(1100\)

- Ist eine der Zahlen sehr nah an einer glatten Zahl wie \(100\)? - Wie kannst du eine Rechnung vereinfachen, indem du erst zu viel rechnest und dann etwas abziehst? - Bei welcher Aufgabe hilft dir das stellengerechte Untereinanderschreiben mehr?

1. Aufgabe a): Nutzung des Ergänzungstricks. Rechne im Kopf \(100 \cdot 7 = 700\) und subtrahiere einmal die \(7\). Ergebnis: \(700 - 7 = 693\). 2. Aufgabe b): Da kein einfacher Trick für die Zahlen \(38\) und \(24\) vorliegt, wird das schriftliche Multiplikationsverfahren angewendet. Berechnung: \(30 \cdot 24 = 720\) und \(8 \cdot 24 = 192\); Summe \(720 + 192 = 912\) (oder klassisch untereinander). Ergebnis: \(912\).

a) Im Kopf: \(693\) (Trick: \(100 \cdot 7 - 1 \cdot 7\)). b) Schriftlich: \(912\).