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- Gehe Stelle für Stelle von links nach rechts vor. - Überlege bei jeder Stelle, wie oft der Teiler hineinpasst. - Vergiss nicht, den Rest der jeweiligen Stelle vor die nächste Ziffer zu schreiben. - Was passiert, wenn eine Ziffer kleiner ist als der Teiler?

1. Berechnung von \(732 : 6\): \(7:6 = 1\) Rest \(1\); \(13:6 = 2\) Rest \(1\); \(12:6 = 2\). Ergebnis: \(122\). 2. Berechnung von \(912 : 4\): \(9:4 = 2\) Rest \(1\); \(11:4 = 2\) Rest \(3\); \(32:4 = 8\). Ergebnis: \(228\). 3. Berechnung von \(525 : 5\): \(5:5 = 1\); \(2:5 = 0\) Rest \(2\); \(25:5 = 5\). Ergebnis: \(105\).

a) \(122\) b) \(228\) c) \(105\)

- Kannst du das Ergebnis zuerst schätzen? - Gehe beim Rechnen Stelle für Stelle von links nach rechts vor. - Was passiert mit dem Rest, den du bei den einzelnen Stellen erhältst? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Berechnung der Division: \(7\,536 : 6\) 2. \(7 : 6 = 1\) Rest \(1\) 3. \(15 : 6 = 2\) Rest \(3\) 4. \(33 : 6 = 5\) Rest \(3\) 5. \(36 : 6 = 6\) Rest \(0\) 6. Das Ergebnis der Division lautet \(1\,256\).

Jede Abteilung erhält \(1\,256\,\text{€}\).

- Runde den Dividenden auf eine Zahl, die gut durch den Teiler teilbar ist, um den Überschlag zu finden. - Gehe bei der schriftlichen Division Stelle für Stelle von links nach rechts vor. - Vergleiche am Ende dein genaues Ergebnis mit deinem Überschlag – liegen sie nah beieinander?

1. Überschlag für a): Wähle eine nahegelegene, durch \(7\) teilbare Zahl: \(1\,680 : 7 = 240\). 2. Schriftliche Division für a): \(16 : 7 = 2\) Rest \(2\); \(23 : 7 = 3\) Rest \(2\); \(28 : 7 = 4\). Das Ergebnis ist \(234\). 3. Überschlag für b): Wähle eine nahegelegene, durch \(9\) teilbare Zahl: \(2\,250 : 9 = 250\). 4. Schriftliche Division für b): \(23 : 9 = 2\) Rest \(5\); \(50 : 9 = 5\) Rest \(5\); \(54 : 9 = 6\). Das Ergebnis ist \(256\).

a) Überschlag: etwa \(240\); Ergebnis: \(234\) b) Überschlag: etwa \(250\); Ergebnis: \(256\)

- Suche dir für den Überschlag eine Zahl in der Nähe, die gut durch \(6\) teilbar ist. - Achte beim schriftlichen Rechnen besonders auf die Stellen, an denen eine Null im Dividenden steht. - Was passiert an der Einerstelle?

1. Überschläge (Beispiele): a) \(540 : 6 = 90\) b) \(5\,400 : 6 = 900\) c) \(54\,000 : 6 = 9\,000\) 2. Schriftliche Division: a) \(546 : 6 = 91\) b) \(5\,406 : 6 = 901\) c) \(54\,006 : 6 = 9\,001\)

Überschläge (beispielhaft): a) \(90\), b) \(900\), c) \(9\,000\). Genaue Ergebnisse: a) \(91\), b) \(901\), c) \(9\,001\).

- Schau dir an, wie sich die Zahlen verändern. - Wie wirkt sich eine kleine Änderung am Dividenden auf den Rest aus? - Du kannst das Ergebnis der ersten Teilaufgabe nutzen, um die anderen leichter zu lösen.

1. Division von \(840 : 4\): \(8 : 4 = 2\), \(4 : 4 = 1\), \(0 : 4 = 0\). Ergebnis: \(210\). 2. Division von \(841 : 4\): Da \(840\) ohne Rest teilbar ist, ergibt \(841 : 4\) das Ergebnis \(210\) mit dem Rest \(1\). 3. Division von \(843 : 4\): Da \(840\) ohne Rest teilbar ist, ergibt \(843 : 4\) das Ergebnis \(210\) mit dem Rest \(3\).

a) \(210\) b) \(210 \text{ Rest } 1\) c) \(210 \text{ Rest } 3\)

- Rechne die Aufgaben nacheinander aus. - Schau dir an, wie sich die Zahl vorne (der Dividend) von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Was passiert mit dem Rest, wenn die vordere Zahl größer wird? - Erinnerst du dich, was passiert, wenn der Rest genauso groß wie die Zahl ist, durch die du teilst?

1. Berechnung für a): \(210 : 3 = 70\); \(211 : 3 = 70 \text{ Rest } 1\); \(212 : 3 = 70 \text{ Rest } 2\). 2. Berechnung für b): \(210 : 4 = 52 \text{ Rest } 2\); \(211 : 4 = 52 \text{ Rest } 3\); \(212 : 4 = 53\). 3. Berechnung für c): \(210 : 5 = 42\); \(211 : 5 = 42 \text{ Rest } 1\); \(212 : 5 = 42 \text{ Rest } 2\). 4. Beobachtung: Wenn der Dividend um 1 steigt, erhöht sich der Rest ebenfalls um 1. Wird der Rest so groß wie der Divisor, gibt es eine neue ganze Zahl im Ergebnis und der Rest wird wieder 0.

a) \(70\), \(70 \text{ Rest } 1\), \(70 \text{ Rest } 2\) b) \(52 \text{ Rest } 2\), \(52 \text{ Rest } 3\), \(53\) c) \(42\), \(42 \text{ Rest } 1\), \(42 \text{ Rest } 2\)

- Führe für jede Aufgabe zuerst die schriftliche Division durch. - Achte beim Vergleichen der Ergebnisse auf die Hunderter-, Zehner- und Einerstellen. - Was bedeutet das Wort „Quotient“ in einer Divisionsaufgabe?

1. Berechnung der einzelnen Quotienten durch schriftliche Division: \(585 : 5 = 117\), \(756 : 6 = 126\), \(945 : 7 = 135\) und \(812 : 4 = 203\). 2. Vergleich der berechneten Werte: \(117 < 126 < 135 < 203\). 3. Sortierung der Aufgaben: \(585 : 5\), \(756 : 6\), \(945 : 7\), \(812 : 4\).

Die Ergebnisse lauten: 117, 126, 135 und 203. Die richtige Reihenfolge ist: \(585 : 5\), \(756 : 6\), \(945 : 7\), \(812 : 4\).

- Beginne bei der schriftlichen Division immer mit der vordersten Stelle (den Hundertern). - Überlege bei jedem Schritt, wie oft der Teiler in die Teilzahl passt. - Schreibe den Rest unter die Stelle und nimm die nächste Ziffer von oben dazu. - Vergleiche am Ende deine vier Ergebnisse, um den größten Wert zu finden.

1. Berechnung von \(534 : 3\): \(5 : 3 = 1\) Rest \(2\); \(23 : 3 = 7\) Rest \(2\); \(24 : 3 = 8\). Ergebnis: \(178\). 2. Berechnung von \(968 : 8\): \(9 : 8 = 1\) Rest \(1\); \(16 : 8 = 2\); \(8 : 8 = 1\). Ergebnis: \(121\). 3. Berechnung von \(745 : 5\): \(7 : 5 = 1\) Rest \(2\); \(24 : 5 = 4\) Rest \(4\); \(45 : 5 = 9\). Ergebnis: \(149\). 4. Berechnung von \(864 : 6\): \(8 : 6 = 1\) Rest \(2\); \(26 : 6 = 4\) Rest \(2\); \(24 : 6 = 4\). Ergebnis: \(144\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(178 > 149 > 144 > 121\). Das größte Ergebnis ist \(178\).

a) \(178\) b) \(121\) c) \(149\) d) \(144\) Das größte Ergebnis ist \(178\) (Aufgabe a).

- Rechne zuerst beide Seiten der Aufgabe einzeln aus. - Vergleiche die beiden Endergebnisse Stelle für Stelle von links nach rechts. - Was bedeutet das Zeichen \(<\)? Es zeigt mit der Öffnung immer zur größeren Zahl.

1. Berechnung für Teil a: \(3216 : 4 = 804\) und \(4824 : 6 = 804\). Da beide Ergebnisse gleich sind, folgt \(804 = 804\). 2. Berechnung für Teil b: \(2555 : 5 = 511\) und \(1836 : 3 = 612\). Da \(511\) kleiner als \(612\) ist, folgt \(511 < 612\).

a) \(=\), b) \(<\)

- Überlege, wie du die Gesamtanzahl der Plakate gleichmäßig auf die Stunden verteilen kannst. - Welche Rechenart hilft dir, wenn du wissen willst, wie viel in einem Teil (einer Stunde) passiert? - Schau dir die beiden Ergebnisse aus Aufgabenteil a) genau an und vergleiche die Zahlen.

1. Berechnung der Stundenleistung von Maschine A: \(1\,386 : 6 = 231\). Maschine A druckt \(231\) Plakate pro Stunde. 2. Berechnung der Stundenleistung von Maschine B: \(1\,848 : 8 = 231\). Maschine B druckt \(231\) Plakate pro Stunde. 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Maschinen drucken genau die gleiche Anzahl an Plakaten pro Stunde (\(231\) Stück).

a) Maschine A druckt \(231\) Plakate pro Stunde, Maschine B druckt ebenfalls \(231\) Plakate pro Stunde. b) Beide Maschinen arbeiten gleich schnell.

- Kannst du die Aufgabe Schritt für Schritt von links nach rechts rechnen? - Was passiert im Ergebnis, wenn der Teiler nicht in eine einzelne Ziffer passt? - Denke daran, dass nach jedem Teilschritt ein Rest übrig bleiben kann, den du mit der nächsten Ziffer zusammenfasst. - Überprüfe am Ende jeder Aufgabe, ob ein Rest übrig bleibt, der kleiner als dein Teiler ist.

1. Berechnung von \(768 : 4\): \(7:4=1\) mit Rest \(3\), \(36:4=9\), \(8:4=2\). Das Ergebnis ist \(192\). 2. Berechnung von \(912 : 3\): \(9:3=3\), \(1:3=0\) mit Rest \(1\), \(12:3=4\). Das Ergebnis ist \(304\). 3. Berechnung von \(605 : 5\): \(6:5=1\) mit Rest \(1\), \(10:5=2\), \(5:5=1\). Das Ergebnis ist \(121\). 4. Berechnung von \(837 : 8\): \(8:8=1\), \(3:8=0\) mit Rest \(3\), \(37:8=4\) mit Rest \(5\). Das Ergebnis ist \(104 \text{ Rest } 5\).

\(192\), \(304\), \(121\), \(104 \text{ Rest } 5\)

- Gehe bei der Division Stelle für Stelle von links nach rechts vor. - Wenn eine Zahl nicht genau teilbar ist, nimm den Rest mit zur nächsten Ziffer. - Schreibe die Zwischenschritte untereinander auf, um den Überblick zu behalten. - Du kannst dein Ergebnis mit der Umkehraufgabe (Multiplikation) überprüfen.

1. Division von \(7452 : 4\): \(7 : 4 = 1\) Rest \(3\); \(34 : 4 = 8\) Rest \(2\); \(25 : 4 = 6\) Rest \(1\); \(12 : 4 = 3\). Ergebnis: \(1863\). 2. Division von \(9605 : 7\): \(9 : 7 = 1\) Rest \(2\); \(26 : 7 = 3\) Rest \(5\); \(50 : 7 = 7\) Rest \(1\); \(15 : 7 = 2\) Rest \(1\). Ergebnis: \(1372 \text{ Rest } 1\). 3. Division von \(24\,816 : 3\): \(24 : 3 = 8\); \(8 : 3 = 2\) Rest \(2\); \(21 : 3 = 7\); \(6 : 3 = 2\). Ergebnis: \(8272\). 4. Division von \(51\,238 : 6\): \(51 : 6 = 8\) Rest \(3\); \(32 : 6 = 5\) Rest \(2\); \(23 : 6 = 3\) Rest \(5\); \(58 : 6 = 9\) Rest \(4\). Ergebnis: \(8539 \text{ Rest } 4\).

1. \(1863\) 2. \(1372 \text{ Rest } 1\) 3. \(8272\) 4. \(8539 \text{ Rest } 4\)

- Kannst du die Aufgaben schriftlich untereinander rechnen? - Achte darauf, an welcher Stelle du eine Null im Ergebnis notieren musst. - Überlege am Ende jeder Aufgabe, ob ein Rest übrig bleibt. - Zur Kontrolle kannst du das Ergebnis mit dem Divisor multiplizieren.

1. Schrittweise Division von \(4368 : 7\): \(43 : 7 = 6\) Rest \(1\); \(16 : 7 = 2\) Rest \(2\); \(28 : 7 = 4\). Ergebnis: \(624\). 2. Schrittweise Division von \(2952 : 4\): \(29 : 4 = 7\) Rest \(1\); \(15 : 4 = 3\) Rest \(3\); \(32 : 4 = 8\). Ergebnis: \(738\). 3. Schrittweise Division von \(5043 : 8\): \(50 : 8 = 6\) Rest \(2\); \(24 : 8 = 3\) Rest \(0\); \(3 : 8 = 0\) Rest \(3\). Ergebnis: \(630\,\text{Rest}\,3\).

a) \(624\) b) \(738\) c) \(630\,\text{Rest}\,3\)

- Hast du beide Aufgaben einzeln schriftlich untereinander gerechnet? - Vergleiche die Stellenwerte (Hunderter, Zehner, Einer) der beiden Ergebnisse nacheinander. - Welches Zeichen steht für „kleiner als“?

1. Schriftliche Division von \(6552 : 7\): \(65 : 7 = 9\) Rest \(2\); Herunternahme der \(5\) ergibt \(25\); \(25 : 7 = 3\) Rest \(4\); Herunternahme der \(2\) ergibt \(42\); \(42 : 7 = 6\). Das Ergebnis ist \(936\). 2. Schriftliche Division von \(8433 : 9\): \(84 : 9 = 9\) Rest \(3\); Herunternahme der \(3\) ergibt \(33\); \(33 : 9 = 3\) Rest \(6\); Herunternahme der \(3\) ergibt \(63\); \(63 : 9 = 7\). Das Ergebnis ist \(937\). 3. Vergleich der Quotienten: Da \(936\) kleiner ist als \(937\), lautet das korrekte Zeichen \(<\).

\(6552 : 7 < 8433 : 9\) (denn \(936 < 937\))

- Was passiert bei der schriftlichen Division, wenn eine Zahl kleiner ist als der Teiler? - Denk an das schrittweise Vorgehen: Hunderter, Zehner, Einer. - Wie viele Stellen sollte das Ergebnis ungefähr haben? Eine Überschlagsrechnung hilft.

1. Berechnung von \(816 : 4\): \(8 : 4 = 2\); \(1 : 4 = 0\) Rest \(1\); \(16 : 4 = 4\). Das Ergebnis ist \(204\). 2. Berechnung von \(921 : 3\): \(9 : 3 = 3\); \(2 : 3 = 0\) Rest \(2\); \(21 : 3 = 7\). Das Ergebnis ist \(307\). 3. Erklärung: Eine Null im Quotienten entsteht, wenn eine heruntergeholte Ziffer (hier die \(1\) bzw. die \(2\)) kleiner ist als der Divisor. In diesem Fall notiert man eine \(0\) im Ergebnis an dieser Stelle und nimmt die nächste Ziffer dazu.

a) \(204\) b) \(307\) c) Die Null entsteht, weil der Teiler nicht in die Ziffer an der Zehnerstelle passt (\(1 < 4\) und \(2 < 3\)).

- Vergiss nicht, die Null im Quotienten zu schreiben, wenn eine Stelle beim Herunterholen kleiner als der Teiler ist. - Bei der schriftlichen Division bleibt manchmal ein Rest übrig, wenn die Zahl nicht genau teilbar ist. - Die Probe ist die Umkehroperation der Division.

1. Berechnung von \(45\,216 : 8 = 5652\) 2. Berechnung von \(24\,108 : 4 = 6027\) 3. Berechnung von \(18\,435 : 9 = 2048\) Rest \(3\) 4. Berechnung von \(357\,210 : 7 = 51\,030\) 5. Durchführung der Probe für d): \(51\,030 \cdot 7 = 357\,210\)

a) \(5652\) b) \(6027\) c) \(2048\) Rest \(3\) d) \(51\,030\); Probe: \(51\,030 \cdot 7 = 357\,210\)

- Vergleiche die erste Ziffer der großen Zahl mit der Zahl, durch die geteilt wird. - Was passiert, wenn die erste Ziffer kleiner ist als der Teiler? - Wie viele Ziffern hat die Ausgangszahl jeweils?

1. Untersuchen von \(85\,050 : 5\): Da die erste Ziffer des Dividenden \(8\) größer als der Divisor \(5\) ist, hat der Quotient genauso viele Stellen wie der Dividend. Ergebnis: \(5\) Stellen. 2. Untersuchen von \(24\,120 : 6\): Da die erste Ziffer \(2\) kleiner als der Divisor \(6\) ist, wird die erste zweistellige Teilzahl \(24\) betrachtet. Der Quotient hat somit eine Stelle weniger als der Dividend (\(5 - 1 = 4\)). Ergebnis: \(4\) Stellen. 3. Untersuchen von \(360\,180 : 9\): Da die erste Ziffer \(3\) kleiner als der Divisor \(9\) ist, wird die erste zweistellige Teilzahl \(36\) betrachtet. Der Quotient hat eine Stelle weniger als der Dividend (\(6 - 1 = 5\)). Ergebnis: \(5\) Stellen.

a) 5 Stellen b) 4 Stellen c) 5 Stellen

- Welche Rechenart hilft dir, wenn du eine große Menge gerecht aufteilen möchtest? - Probiere, die Zahl schrittweise durch \(8\) zu teilen. - Was bedeutet das Ergebnis vor dem „Rest“ für die Säckchen? - Was sagt dir der Rest über die Murmeln, die nicht mehr in ein ganzes Säckchen passen?

1. Division der Gesamtzahl der Murmeln durch die Anzahl pro Säckchen: \(746 : 8\). 2. Durchführung der schriftlichen Division: \(74 : 8 = 9\) Rest \(2\) \(26 : 8 = 3\) Rest \(2\) 3. Das Ergebnis ist \(93\) Rest \(2\). 4. Die Anzahl der vollen Säckchen entspricht dem Quotienten: \(93\). 5. Die Anzahl der übrig bleibenden Murmeln entspricht dem Rest: \(2\).

Lukas kann \(93\) Säckchen komplett füllen. Es bleiben \(2\) Murmeln übrig.

- Rechne jede Aufgabe sorgfältig Schritt für Schritt durch. - Achte besonders darauf, was passiert, wenn eine Stelle des Dividenden kleiner ist als der Teiler. - Vergleiche am Ende alle vier Ergebnisse miteinander.

1. Berechnung von \(416 : 4\): \(4 : 4 = 1\), \(1 : 4 = 0\) Rest \(1\), \(16 : 4 = 4\). Ergebnis: \(104\). 2. Berechnung von \(832 : 8\): \(8 : 8 = 1\), \(3 : 8 = 0\) Rest \(3\), \(32 : 8 = 4\). Ergebnis: \(104\). 3. Berechnung von \(618 : 6\): \(6 : 6 = 1\), \(1 : 6 = 0\) Rest \(1\), \(18 : 6 = 3\). Ergebnis: \(103\). 4. Berechnung von \(520 : 5\): \(5 : 5 = 1\), \(2 : 5 = 0\) Rest \(2\), \(20 : 5 = 4\). Ergebnis: \(104\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Die Aufgaben 1, 2 und 4 ergeben jeweils \(104\).

Die Aufgaben 1, 2 und 4 haben das gleiche Ergebnis (\(104\)). Die Ergebnisse sind: 1) \(104\) 2) \(104\) 3) \(103\) 4) \(104\)

- Nicht jede Aufgabe geht glatt auf. - Wenn am Ende eine Zahl übrig bleibt, die kleiner als der Teiler ist, nennen wir sie Rest. - Achte besonders auf die Null im Ergebnis, wenn eine Ziffer zwischendurch nicht durch den Teiler teilbar ist.

1. Berechnung von \(849 : 8\): \(8:8 = 1\); \(4:8 = 0\) Rest \(4\); \(49:8 = 6\) Rest \(1\). Ergebnis: \(106\,\text{Rest}\,1\). 2. Berechnung von \(674 : 7\): \(6:7 = 0\); \(67:7 = 9\) Rest \(4\); \(44:7 = 6\) Rest \(2\). Ergebnis: \(96\,\text{Rest}\,2\).

a) \(106\,\text{Rest}\,1\) b) \(96\,\text{Rest}\,2\)

- Du kannst auch größere Zahlen genauso wie dreistellige Zahlen teilen. - Wenn die erste Ziffer zu klein ist, nimm die ersten beiden Ziffern zusammen. - Achte auf Nullen an den Zehner- oder Hunderterstellen im Ergebnis.

1. Berechnung von \(1\,536 : 3\): \(15:3 = 5\); \(3:3 = 1\); \(6:3 = 2\). Ergebnis: \(512\). 2. Berechnung von \(2\,408 : 8\): \(24:8 = 3\); \(0:8 = 0\); \(8:8 = 1\). Ergebnis: \(301\).

a) \(512\) b) \(301\)

- Überlege dir, wie oft die \(7\) in die erste oder die ersten beiden Ziffern der großen Zahl passt. - Was bedeutet das Ergebnis der Rechnung für die Anzahl der Tüten? - Was gibt der Rest an, der am Ende übrig bleibt? - Hilft dir eine Überschlagsrechnung, um die Größenordnung des Ergebnisses zu prüfen?

1. Durchführung der Division mit Rest: \(4\,589 : 7\) 2. \(45 : 7 = 6\) Rest \(3\) 3. \(38 : 7 = 5\) Rest \(3\) 4. \(39 : 7 = 5\) Rest \(4\) 5. Das Ergebnis der Division ist \(655\) mit einem Rest von \(4\).

Er kann \(655\) volle Tüten packen. Es bleiben \(4\) Äpfel übrig.

- Die Probe ist die Umkehroperation der Division. Welche Rechenart musst du also nutzen? - Denke bei der zweiten Aufgabe daran, wie du mit dem Rest in der Probe umgehen musst. - Schreibe die Stellen bei der schriftlichen Division sauber untereinander.

1. Schriftliche Division für a): \(54 : 8 = 6\) Rest \(6\); \(63 : 8 = 7\) Rest \(7\); \(72 : 8 = 9\). Ergebnis: \(679\). 2. Durchführung der Probe für a): Multiplikation von \(679 \cdot 8 = 5\,432\). 3. Schriftliche Division für b): \(7 : 4 = 1\) Rest \(3\); \(38 : 4 = 9\) Rest \(2\); \(21 : 4 = 5\) Rest \(1\); \(15 : 4 = 3\) Rest \(3\). Ergebnis: \(1\,953\) Rest \(3\). 4. Durchführung der Probe für b): Multiplikation von \(1\,953 \cdot 4 = 7\,812\) und Addition des Restes \(7\,812 + 3 = 7\,815\).

a) \(679\); Probe: \(679 \cdot 8 = 5\,432\) b) \(1\,953\) Rest \(3\); Probe: \(1\,953 \cdot 4 + 3 = 7\,815\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von einer Teilaufgabe zur nächsten verändert. - Um wie viel wird der Dividend jeweils größer? - Rechne diesen Unterschied durch den Teiler (den Divisor). Findest du diesen Wert in deinen Ergebnissen wieder?

1. Durchführung der schriftlichen Divisionen: \(2436 : 4 = 609\) \(2836 : 4 = 709\) \(3236 : 4 = 809\) \(3636 : 4 = 909\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Der Dividend erhöht sich von Aufgabe zu Aufgabe um genau \(400\). Da der Divisor \(4\) gleich bleibt, erhöht sich der Quotient jeweils um \(100\) (\(400 : 4 = 100\)).

Die Ergebnisse sind: a) \(609\), b) \(709\), c) \(809\), d) \(909\). Auffälligkeit: Das Ergebnis wird immer um \(100\) größer, weil der Dividend jeweils um \(400\) zunimmt (\(400 : 4 = 100\)).

- Was passiert mit der zweiten Zahl (dem Divisor) in der Aufgabenfolge? - Wie verändern sich die Ergebnisse, wenn du durch eine doppelt so große Zahl teilst? - Erinnere dich daran, dass die Probe das Gegenteil der Division ist.

1. Berechnung der Quotienten: \(5184 : 2 = 2592\) \(5184 : 4 = 1296\) \(5184 : 8 = 648\) 2. Probe für Aufgabe c): \(648 \cdot 8 = 5184\). 3. Zusammenhang: Der Dividend bleibt gleich, während sich der Divisor jeweils verdoppelt. Dadurch halbiert sich das Ergebnis (der Quotient) von Schritt zu Schritt.

Ergebnisse: a) \(2592\), b) \(1296\), c) \(648\). Probe zu c): \(648 \cdot 8 = 5184\). Zusammenhang: Wenn sich der Divisor verdoppelt, wird das Ergebnis halb so groß.

- Wie oft passt der Teiler jeweils in die Stellen der großen Zahl? - Vergiss nicht, am Ende den Rest zu notieren. - Um dein Ergebnis zu überprüfen, kannst du die Umkehroperation verwenden. - Denk daran, den Rest nach der Multiplikation wieder dazuzuzählen.

1. Durchführung der schriftlichen Division für a): \(17\,285 : 3 = 5761\,\text{Rest}\,2\). 2. Probe für a) durch Multiplikation und Addition des Restes: \(5761 \cdot 3 = 17\,283\); \(17\,283 + 2 = 17\,285\). 3. Durchführung der schriftlichen Division für b): \(42\,061 : 6 = 7010\,\text{Rest}\,1\). 4. Probe für b) durch Multiplikation und Addition des Restes: \(7010 \cdot 6 = 42\,060\); \(42\,060 + 1 = 42\,061\).

a) \(5761\,\text{Rest}\,2\) b) \(7010\,\text{Rest}\,1\)

- Achte beim Rechnen auf die Stellenwerte (Tausender, Hunderter, Zehner, Einer). - Was passiert, wenn eine Stelle kleiner ist als der Teiler? - Schreibe die Zwischenschritte sauber untereinander, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Berechnung von a): \(23\,948 : 7\). Schrittweise Division ergibt \(3421\) mit dem Rest \(1\). 2. Berechnung von b): \(10\,506 : 4\). Schrittweise Division ergibt \(2626\) mit dem Rest \(2\). 3. Berechnung von c): \(56\,123 : 8\). Schrittweise Division ergibt \(7015\) mit dem Rest \(3\).

a) \(3421\,\text{Rest}\,1\) b) \(2626\,\text{Rest}\,2\) c) \(7015\,\text{Rest}\,3\)

- Berechne zuerst beide Aufgaben vollständig bis zum Rest. - Vergleiche am Ende nur die Zahlen, die hinter dem Wort „Rest“ stehen. - Kann ein Rest beim Teilen durch 5 jemals größer als 4 sein?

1. Schriftliche Division für a): \(31\,427 : 5 = 6285\,\text{Rest}\,2\). 2. Schriftliche Division für b): \(19\,834 : 9 = 2203\,\text{Rest}\,7\). 3. Vergleich der Reste: Der Rest \(7\) aus Aufgabe b) ist größer als der Rest \(2\) aus Aufgabe a).

Aufgabe b) hat mit dem Rest \(7\) den größeren Rest (Aufgabe a) hat den Rest \(2\)).

- Überlege zuerst, wie oft die \(7\) in die ersten beiden Stellen passt. - Achte besonders auf den Rest, wenn die Zahl nicht genau in der 7er-Reihe vorkommt. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die Zahl knapp unter einem Vielfachen von \(7\) liegt?

1. Division von \(560 : 7\): \(56 : 7 = 8\), \(0 : 7 = 0\). Ergebnis: \(80\). 2. Division von \(566 : 7\): Da \(560\) glatt teilbar ist, bleibt bei \(566\) ein Rest von \(6\). Ergebnis: \(80 \text{ Rest } 6\). 3. Division von \(558 : 7\): \(55 : 7 = 7\) Rest \(6\); \(68 : 7 = 9\) Rest \(5\). Ergebnis: \(79 \text{ Rest } 5\).

a) \(80\) b) \(80 \text{ Rest } 6\) c) \(79 \text{ Rest } 5\)

- Gehe Stelle für Stelle von links nach rechts vor. - Vergiss nicht, den Rest der jeweiligen Stelle mit zur nächsten Stelle zu nehmen. - Wenn eine Zahl kleiner ist als das nächste glatte Vielfache, sinkt der Quotient um \(1\) und der Rest wird groß.

1. Division von \(960 : 8\): \(9 : 8 = 1\) Rest \(1\); \(16 : 8 = 2\); \(0 : 8 = 0\). Ergebnis: \(120\). 2. Division von \(965 : 8\): Da \(960\) glatt teilbar ist, ist \(965\) um \(5\) größer, also bleibt der Rest \(5\). Ergebnis: \(120 \text{ Rest } 5\). 3. Division von \(959 : 8\): Die Zahl \(959\) ist um \(1\) kleiner als \(960\). Das nächstkleinere Vielfache ist \(952\). Division: \(9 : 8 = 1\) Rest \(1\); \(15 : 8 = 1\) Rest \(7\); \(79 : 8 = 9\) Rest \(7\). Ergebnis: \(119 \text{ Rest } 7\).

a) \(120\) b) \(120 \text{ Rest } 5\) c) \(119 \text{ Rest } 7\)

- Welche Rechenart hilft dir, wenn du eine große Menge in gleich große Gruppen aufteilen willst? - Was bedeutet das Ergebnis der Rechnung für die Anzahl der Sträuße? - Was gibt der Rest in dieser Sachsituation an? - Wie viele Tulpen braucht man insgesamt für einen Strauß?

1. Durchführung der schriftlichen Division \(345 : 7\): \(34 : 7 = 4\) Rest \(6\); \(65 : 7 = 9\) Rest \(2\). 2. Das Ergebnis ist \(49 \text{ Rest } 2\). 3. Zu a): Die Anzahl der vollständigen Sträuße entspricht dem Quotienten \(49\). 4. Zu b): Die übrig bleibenden Tulpen entsprechen dem Rest \(2\). 5. Zu c): Um von \(2\) Tulpen auf \(7\) Tulpen für einen Strauß zu kommen, rechnet man \(7 - 2 = 5\).

a) Es können \(49\) vollständige Sträuße gebunden werden. b) Es bleiben \(2\) Tulpen übrig. c) Es fehlen noch \(5\) Tulpen.

- Kannst du die Divisionsaufgabe umkehren, um die Startzahl zu finden? - Denk an die Probe: Wie prüfst du normalerweise, ob eine Divisionsaufgabe mit Rest richtig ist? - Wenn du die Zahl aus b) gefunden hast, führe einfach die neue Teilung durch.

1. Umkehraufgabe für a): Multiplikation des Quotienten mit dem Divisor und Addition des Restes: \(25 \cdot 6 + 3 = 150 + 3 = 153\). 2. Umkehraufgabe für b): Multiplikation des Quotienten mit dem Divisor: \(15 \cdot 8 = 120\). 3. Division für c): \(120 : 7\). Da \(17 \cdot 7 = 119\), ergibt sich \(120 : 7 = 17 \text{ Rest } 1\).

a) Die Zahl ist \(153\). b) Die Zahl ist \(120\). c) Der Rest ist \(1\).

- Was passiert, wenn eine Ziffer kleiner ist als der Teiler? - Vergiss nicht, die Null im Ergebnis zu notieren, wenn eine Stelle nicht geteilt werden kann. - Bleibt am Ende eine Zahl übrig, die kleiner als der Teiler ist, wird diese als Rest aufgeschrieben.

1. Berechnung von \(816 : 4\): \(8 : 4 = 2\), \(1 : 4 = 0\) Rest \(1\), \(16 : 4 = 4\). Ergebnis: \(204\). 2. Berechnung von \(725 : 3\): \(7 : 3 = 2\) Rest \(1\), \(12 : 3 = 4\), \(5 : 3 = 1\) Rest \(2\). Ergebnis: \(241\,\text{Rest}\,2\). 3. Berechnung von \(905 : 5\): \(9 : 5 = 1\) Rest \(4\), \(40 : 5 = 8\), \(5 : 5 = 1\). Ergebnis: \(181\). 4. Berechnung von \(638 : 6\): \(6 : 6 = 1\), \(3 : 6 = 0\) Rest \(3\), \(38 : 6 = 6\) Rest \(2\). Ergebnis: \(106\,\text{Rest}\,2\).

a) \(204\) b) \(241\,\text{Rest}\,2\) c) \(181\) d) \(106\,\text{Rest}\,2\)

- Wie kannst du eine Divisionsaufgabe mit der Umkehraufgabe überprüfen? - Denke daran, dass der Rest am Ende wieder dazuaddiert werden muss, wenn du den Dividenden suchst. - Wenn du den Rest suchst, schaue dir an, wie viel vom Ganzen nach der Division „übrig bleibt“. - Könnte dir eine Multiplikation helfen, die Lücke zu finden?

1. Zur Lösung von Teil a) wird die Umkehraufgabe genutzt: \(123 \cdot 4 + 2\). Die Multiplikation ergibt \(492\), plus den Rest \(2\) folgt \(494\). 2. In Teil b) wird der Rest gesucht. Die Multiplikation von Quotient und Divisor ergibt \(105 \cdot 7 = 735\). Die Differenz zum Dividenden ist \(739 - 735 = 4\). 3. In Teil c) wird der Divisor gesucht. Durch die Division des Dividenden durch den Quotienten \(846 : 141\) erhält man \(6\), da \(6 \cdot 141 = 846\).

a) \(494\) b) \(4\) c) \(6\)

- Wenn eine Zahl nicht genau aufgeht, bleibt am Ende ein Rest übrig. - Achte darauf, dass der Rest immer kleiner sein muss als dein Teiler (Divisor). - Vergiss nicht, eine Null im Ergebnis zu notieren, wenn der Teiler kein einziges Mal in eine Teilzahl passt. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du das Ergebnis mal den Teiler nimmst und den Rest dazu addierst.

1. Berechnung von \(439 : 4\): \(4 : 4 = 1\); \(3 : 4 = 0\) Rest \(3\); \(39 : 4 = 9\) Rest \(3\). Ergebnis: \(109\,\text{Rest}\,3\). 2. Berechnung von \(726 : 5\): \(7 : 5 = 1\) Rest \(2\); \(22 : 5 = 4\) Rest \(2\); \(26 : 5 = 5\) Rest \(1\). Ergebnis: \(145\,\text{Rest}\,1\). 3. Berechnung von \(650 : 7\): \(65 : 7 = 9\) Rest \(2\); \(20 : 7 = 2\) Rest \(6\). Ergebnis: \(92\,\text{Rest}\,6\).

a) \(109\,\text{Rest}\,3\) b) \(145\,\text{Rest}\,1\) c) \(92\,\text{Rest}\,6\)

- Achte besonders auf Stellen, an denen der Divisor nicht in die Zahl passt – dort musst du eine Null im Ergebnis notieren. - Du kannst deine Ergebnisse mit der Umkehraufgabe (Multiplikation) überprüfen. - Gehe Schritt für Schritt von links nach rechts vor. - Schreibe die Zahlen sauber untereinander, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Division von \(4505\) durch \(5\): \(45 : 5 = 9\), \(0 : 5 = 0\), \(5 : 5 = 1\), Ergebnis \(901\) 2. Division von \(1248\) durch \(6\): \(12 : 6 = 2\), \(4 : 6 = 0\) Rest \(4\), \(48 : 6 = 8\), Ergebnis \(208\) 3. Division von \(5684\) durch \(7\): \(56 : 7 = 8\), \(8 : 7 = 1\) Rest \(1\), \(14 : 7 = 2\), Ergebnis \(812\) 4. Division von \(8168\) durch \(8\): \(8 : 8 = 1\), \(1 : 8 = 0\) Rest \(1\), \(16 : 8 = 2\), \(8 : 8 = 1\), Ergebnis \(1021\)

a) \(901\), b) \(208\), c) \(812\), d) \(1021\)

- Rechne jede Aufgabe sorgfältig bis zum Schluss durch. - Achte besonders auf die Stellen, an denen du eine Null im Ergebnis notieren musst. - Schreibe dir die Reste der einzelnen Aufgaben untereinander auf. - Siehst du eine Gemeinsamkeit bei den Endergebnissen?

1. Berechnung von \(458 : 6\): \(45:6=7\) mit Rest \(3\), \(38:6=6\) mit Rest \(2\). Das Ergebnis ist \(76 \text{ Rest } 2\). 2. Berechnung von \(723 : 7\): \(7:7=1\), \(2:7=0\) mit Rest \(2\), \(23:7=3\) mit Rest \(2\). Das Ergebnis ist \(103 \text{ Rest } 2\). 3. Berechnung von \(914 : 4\): \(9:4=2\) mit Rest \(1\), \(11:4=2\) mit Rest \(3\), \(34:4=8\) mit Rest \(2\). Das Ergebnis ist \(228 \text{ Rest } 2\). 4. Vergleich der Reste: Alle drei Divisionen ergeben den gleichen Rest \(2\).

a) \(76 \text{ Rest } 2\); b) \(103 \text{ Rest } 2\); c) \(228 \text{ Rest } 2\). Alle Reste sind gleich \(2\).

- Rechne zuerst beide Divisionsaufgaben vollständig aus. - Notiere dir die Ergebnisse über oder neben den Aufgaben. - Vergleiche dann die beiden Zahlen miteinander. - Achte beim Vergleichen genau auf die Einerstelle.

1. Berechnung der ersten Teilaufgabe: \(6552 : 8 = 819\). 2. Berechnung der zweiten Teilaufgabe: \(4914 : 6 = 819\). 3. Vergleich der Werte: \(819 = 819\). Das Zeichen ist \(=\). 4. Berechnung der dritten Teilaufgabe: \(18\,375 : 5 = 3675\). 5. Berechnung der vierten Teilaufgabe: \(25\,732 : 7 = 3676\). 6. Vergleich der Werte: \(3675 < 3676\). Das Zeichen ist \(<\).

a) \(6552 : 8 = 4914 : 6\) b) \(18\,375 : 5 < 25\,732 : 7\)

- Rechne zuerst alle vier Aufgaben aus. - Vergleiche die Ergebnisse der einzelnen Rechnungen miteinander. - Was fällt dir bei den Ergebnissen von a, b und c auf? - Überprüfe deine Rechnung bei der Aufgabe, die nicht zu den anderen passt, noch einmal ganz genau.

1. Berechnung der Quotienten: \(1344 : 3 = 448\), \(1792 : 4 = 448\), \(2688 : 6 = 448\) und \(3592 : 8 = 449\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Die ersten drei Aufgaben (a, b, c) haben alle das Ergebnis \(448\). 3. Die Aufgabe d) liefert mit \(449\) ein abweichendes Ergebnis.

Aufgabe d) hat mit \(449\) ein anderes Ergebnis als die übrigen Aufgaben (Ergebnis \(448\)).

- Denke daran, dass am Ende der Rechnung ein Rest übrig bleiben kann. - Die Probe einer geteilten Aufgabe ist die passende Malaufgabe. - Vergiss nicht, den Rest am Ende der Multiplikation wieder dazu zu zählen.

1. Schriftliche Division von \(5939 : 6\): \(59 : 6 = 9\) Rest \(5\); Herunternahme der \(3\) ergibt \(53\); \(53 : 6 = 8\) Rest \(5\); Herunternahme der \(9\) ergibt \(59\); \(59 : 6 = 9\) Rest \(5\). Das Ergebnis ist \(989\) Rest \(5\). 2. Durchführung der Probe mittels Multiplikation: \(989 \cdot 6 = 5934\). 3. Addition des Restes zur Überprüfung: \(5934 + 5 = 5939\). Da die Summe dem ursprünglichen Dividenden entspricht, ist das Ergebnis korrekt.

\(5939 : 6 = 989 \text{ Rest } 5\); Probe: \(989 \cdot 6 + 5 = 5939\)

- Überlege dir für jede Aufgabe einzeln, wie viele Stellen das Ergebnis haben muss. - Achte darauf, wie viele Stellen die Ausgangszahlen (Dividenden) haben. - Reicht die erste Ziffer der großen Zahl aus, um den Teiler darin unterzubringen?

1. Bestimmung der Stellen für Aufgabe A: Im Dividenden \(42\,000\) ist die erste Ziffer \(4\) kleiner als der Divisor \(6\). Daher hat der Quotient eine Stelle weniger als der fünfstellige Dividend, also \(4\) Stellen. 2. Bestimmung der Stellen für Aufgabe B: Im Dividenden \(7\,000\) ist die erste Ziffer \(7\) größer als der Divisor \(2\). Daher hat der Quotient genauso viele Stellen wie der vierstellige Dividend, also \(4\) Stellen. 3. Vergleich: Beide Quotienten besitzen jeweils \(4\) Stellen.

Ja, beide Ergebnisse haben 4 Stellen. Bei Aufgabe A ist die erste Ziffer (\(4\)) kleiner als der Divisor (\(6\)), wodurch sich die Stellenzahl von 5 auf 4 verringert. Bei Aufgabe B ist die erste Ziffer (\(7\)) größer als der Divisor (\(2\)), sodass die Stellenzahl von 4 erhalten bleibt.

- Erinnere dich an die Schritte der schriftlichen Division: Dividieren, Multiplizieren, Subtrahieren, nächste Stelle herunternehmen. - Was machst du, wenn am Ende eine Zahl übrig bleibt, die kleiner als der Divisor ist? - Du kannst dein Ergebnis grob mit einer Überschlagsrechnung prüfen.

1. Schriftliche Division für \(3\,746 : 4\): \(37 : 4 = 9\) Rest \(1\); \(14 : 4 = 3\) Rest \(2\); \(26 : 4 = 6\) Rest \(2\). Ergebnis: \(936\) Rest \(2\). 2. Schriftliche Division für \(6\,205 : 9\): \(62 : 9 = 6\) Rest \(8\); \(80 : 9 = 8\) Rest \(8\); \(85 : 9 = 9\) Rest \(4\). Ergebnis: \(689\) Rest \(4\). 3. Schriftliche Division für \(8\,139 : 7\): \(8 : 7 = 1\) Rest \(1\); \(11 : 7 = 1\) Rest \(4\); \(43 : 7 = 6\) Rest \(1\); \(19 : 7 = 2\) Rest \(5\). Ergebnis: \(1\,162\) Rest \(5\).

a) \(936\) Rest \(2\) b) \(689\) Rest \(4\) c) \(1\,162\) Rest \(5\)

- Teile zuerst die Gesamtzahl der Äpfel durch die Anzahl pro Schale. - Wie viele Äpfel bleiben nach dem Füllen der vollen Schalen übrig? - Überlege, wie viele Äpfel insgesamt in eine Schale passen müssen. - Wie viele Äpfel musst du zu deinem Rest hinzufügen, damit du wieder eine volle Schale hast?

1. Division der Gesamtzahl der Äpfel durch die Kapazität einer Schale: \(1239 : 9\). 2. Durchführung der Division: \(12 : 9 = 1\) Rest \(3\) \(33 : 9 = 3\) Rest \(6\) \(69 : 9 = 7\) Rest \(6\) 3. Ergebnis: \(137\) Rest \(6\). 4. Die Anzahl der vollen Schalen ist \(137\). 5. Der Rest beträgt \(6\) Äpfel. Um eine weitere Schale (\(9\) Äpfel) zu füllen, berechnet man die Differenz: \(9 - 6 = 3\).

Sie kann \(137\) Schalen vollständig füllen. Es fehlen noch \(3\) Äpfel, um eine weitere Schale zu füllen.

- Führe die schriftliche Division Schritt für Schritt durch. - Bleibt am Ende eine Zahl übrig, die kleiner als der Teiler ist? Das ist dein Rest. - Vergleiche die Reste der drei Aufgaben miteinander.

1. Berechnung von \(674 : 8\): \(67 : 8 = 8\) Rest \(3\); \(34 : 8 = 4\) Rest \(2\). Ergebnis: \(84 \text{ Rest } 2\). 2. Berechnung von \(293 : 3\): \(29 : 3 = 9\) Rest \(2\); \(23 : 3 = 7\) Rest \(2\). Ergebnis: \(97 \text{ Rest } 2\). 3. Berechnung von \(407 : 5\): \(40 : 5 = 8\) Rest \(0\); \(7 : 5 = 1\) Rest \(2\). Ergebnis: \(81 \text{ Rest } 2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Der Rest ist bei allen drei Aufgaben gleich \(2\).

a) \(84 \text{ Rest } 2\) b) \(97 \text{ Rest } 2\) c) \(81 \text{ Rest } 2\) Alle Reste sind gleich \(2\).

- Probiere es mit ganz einfachen vierstelligen Zahlen wie \(1200\) oder \(6000\). - Wann musst du beim schriftlichen Teilen die ersten zwei Ziffern zusammennehmen und wann reicht die erste Ziffer aus? - Denk an die kleinste vierstellige Zahl, die mit einer 6 beginnt.

1. Beispiel für 3 Stellen: Eine vierstellige Zahl wählen, deren Tausenderziffer kleiner als 6 ist, z. B. \(1200\). \(1200 : 6 = 200\) (3 Stellen). 2. Beispiel für 4 Stellen (Gegenbeispiel): Eine vierstellige Zahl wählen, deren Tausenderziffer 6 oder größer ist, z. B. \(6000\). \(6000 : 6 = 1000\) (4 Stellen). 3. Regelvervollständigung: Die Tausenderziffer muss mindestens so groß wie der Teiler sein. Ergebnis: ... mindestens 6 (oder: größer oder gleich 6) ist.

a) Zum Beispiel \(1200 : 6 = 200\) (3 Stellen). b) Zum Beispiel \(6000 : 6 = 1000\) (4 Stellen). c) ... mindestens 6 (oder: größer oder gleich 6) ist.

- Schau dir die Zahlen in beiden Aufgaben genau an. Was fällt dir auf, wenn du die erste Zahl der Aufgabe a) mit der ersten Zahl der Aufgabe b) vergleichst? - Wenn du eine Menge von Dingen auf die gleiche Anzahl von Gruppen verteilst, aber doppelt so viele Dinge hast wie vorher – was passiert dann mit der Menge in jeder Gruppe? - Du kannst dein Ergebnis aus b) zur Kontrolle natürlich trotzdem kurz im Kopf oder am Rand überschlagen.

1. Schriftliche Division \(1344 : 6\): \(13 : 6 = 2\) Rest \(1\); \(14 : 6 = 2\) Rest \(2\); \(24 : 6 = 4\). Ergebnis: \(224\). 2. Vergleich der Dividenden: \(2688\) ist das Doppelte von \(1344\) (\(1344 \cdot 2 = 2688\)). 3. Da der Divisor (\(6\)) gleich bleibt und der Dividend verdoppelt wurde, verdoppelt sich auch der Quotient: \(224 \cdot 2 = 448\). 4. Ergebnis für b): \(448\).

a) \(224\) b) \(448\). Da der Dividend verdoppelt wurde (\(1344 \cdot 2 = 2688\)), verdoppelt sich bei gleichem Divisor auch das Ergebnis (\(224 \cdot 2 = 448\)).

- Rechne zuerst die Seite der Gleichung aus, auf der beide Zahlen bekannt sind. - Das Gleichheitszeichen bedeutet, dass auf beiden Seiten der gleiche Wert stehen muss. - Wie kannst du die Umkehroperation nutzen, um die Lücke zu finden?

1. Berechnung der linken Seite von Gleichung a): \(324 : 4 = 81\). 2. Bestimmung der fehlenden Zahl für a): Gesucht ist eine Zahl, die durch \(9\) geteilt \(81\) ergibt. Berechnung: \(81 \cdot 9 = 729\). 3. Berechnung der linken Seite von Gleichung b): \(735 : 7 = 105\). 4. Bestimmung der fehlenden Zahl für b): Gesucht ist eine Zahl, durch die man \(525\) teilen muss, um \(105\) zu erhalten. Berechnung: \(525 : 105 = 5\).

a) \(729\) b) \(5\)

- Schau dir die Zahlenpaare an: Wie hängen \(744\) und \(372\) zusammen? Und wie \(6\) und \(3\)? - Gibt es eine ähnliche Beziehung zwischen Aufgabe a) und Aufgabe d)? - Überprüfe deine Vermutung, indem du die Aufgaben schriftlich untereinander ausrechnest.

1. Analyse der Beziehungen: Aufgabe b) ist \(372 : 3\). Da \(372\) die Hälfte von \(744\) ist und \(3\) die Hälfte von \(6\), muss b) das gleiche Ergebnis wie a) haben. Aufgabe d) ist \(248 : 2\). Da \(248\) ein Drittel von \(744\) ist (\(744 : 3 = 248\)) und \(2\) ein Drittel von \(6\) ist (\(6 : 3 = 2\)), muss d) ebenfalls das gleiche Ergebnis wie a) haben. 2. Schriftliche Überprüfung: a) \(744\,\text{€} : 6 = 124\,\text{€}\) b) \(372\,\text{€} : 3 = 124\,\text{€}\) c) \(744\,\text{€} : 3 = 248\,\text{€}\) d) \(248\,\text{€} : 2 = 124\,\text{€}\) 3. Ergebnis: Die Aufgaben a), b) und d) ergeben alle \(124\,\text{€}\).

Die Aufgaben a), b) und d) haben das gleiche Ergebnis (\(124\,\text{€}\)). Begründung: Bei b) wurden Dividend und Divisor von a) halbiert. Bei d) wurden Dividend und Divisor von a) durch 3 geteilt. In beiden Fällen ändert sich das Ergebnis der Division nicht. Rechnungen: a) \(124\,\text{€}\), b) \(124\,\text{€}\), c) \(248\,\text{€}\), d) \(124\,\text{€}\).

- Was bedeutet es für eine Verteilung, wenn bei der Division ein Rest herauskommt? - Führe die schriftliche Division Schritt für Schritt durch. - Achte bei der Division durch 3 und 6 besonders auf die letzte Stelle.

1. Division durch 8: \(1\,000\,000 : 8 = 125\,000\). 2. Division durch 3: \(1\,000\,000 : 3 = 333\,333\) Rest \(1\). Da ein Rest von \(1\) bleibt, ist eine gerechte Verteilung ohne Rest nicht möglich. 3. Division durch 6: \(1\,000\,000 : 6 = 166\,666\) Rest \(4\). Der Rest beträgt \(4\).

a) \(125\,000\) b) Nein, es bleibt ein Rest von 1 Murmel (\(1\,000\,000 : 3 = 333\,333\) Rest \(1\)). c) Der Rest ist \(4\).

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Kannst du eine Regel finden, wie die vierte Aufgabe aussehen muss? - Vergleiche die Ergebnisse der Divisionen miteinander – gibt es auch dort ein Muster?

1. Berechnung der ersten drei Aufgaben: \(1\,112 : 8 = 139\); \(2\,224 : 8 = 278\); \(3\,336 : 8 = 417\). 2. Bestimmung der nächsten Aufgabe: Der Dividend erhöht sich jeweils um \(1\,112\). Die vierte Aufgabe lautet somit \(4\,448 : 8\). 3. Berechnung der vierten Aufgabe: \(4\,448 : 8 = 556\). 4. Analyse des Musters: Bezogen auf die erste Aufgabe ist der Dividend in den folgenden Aufgaben doppelt, dreimal bzw. viermal so groß; zugleich steigt er von Aufgabe zu Aufgabe immer um \(1\,112\). Daher steigt auch der Quotient von Aufgabe zu Aufgabe immer um \(139\).

Die Ergebnisse sind: \(139\), \(278\), \(417\). Fortsetzung: \(4\,448 : 8 = 556\). Beobachtung: Wenn der Dividend immer um \(1\,112\) größer wird, wächst das Ergebnis immer um \(139\).