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- Wie kannst du eine Additionsaufgabe mithilfe einer Subtraktion überprüfen? - Welche Zahl aus deinem Additionsergebnis musst du an den Anfang der Subtraktionsaufgabe setzen? - Denke daran, die Zahlen beim schriftlichen Rechnen stellengerecht untereinanderzuschreiben.

1. Schriftliche Addition der Summanden \(783\) und \(459\). Ergebnis: \(1242\). 2. Durchführung der Umkehraufgabe durch Subtraktion des zweiten Summanden vom Ergebnis: \(1242 - 459 = 783\). 3. Vergleich des Subtraktionsergebnisses mit dem ersten Summanden. Da das Ergebnis \(783\) dem ersten Summanden entspricht, ist die Rechnung korrekt.

Das Ergebnis der Addition ist \(1242\). Die Umkehraufgabe zur Kontrolle lautet \(1242 - 459 = 783\).

- Welche Rechenart hilft dir, den Verbrauch zwischen zwei Zeitpunkten zu bestimmen? - Beim Runden auf Tausender schaust du dir die Hunderterstelle an. - Ist dein genaues Ergebnis plausibel im Vergleich zum Überschlag?

1. Schriftliche Subtraktion zur Bestimmung des Verbrauchs: \(38\,214 - 34\,567 = 3\,647\). Der Verbrauch beträgt \(3\,647\,\text{kWh}\). 2. Rundung auf Tausender für den Überschlag: \(38\,000 - 35\,000 = 3\,000\).

a) Der Stromverbrauch beträgt \(3\,647\,\text{kWh}\). b) Der Überschlag ergibt \(3\,000\,\text{kWh}\).

- Beginne ganz links bei den Hundertern. - Vergiss nicht, den Rest der jeweiligen Stelle mit der nächsten Ziffer nach unten zu ziehen. - Die Probe ist die Umkehraufgabe der Division.

1. Schrittweise Division: \(9 : 8 = 1\) Rest \(1\); \(15 : 8 = 1\) Rest \(7\); \(72 : 8 = 9\). Das Ergebnis ist \(119\). 2. Durchführung der Probe: Multiplikation des Quotienten mit dem Divisor \(119 \cdot 8\). 3. Berechnung der Probe: \(100 \cdot 8 = 800\), \(10 \cdot 8 = 80\), \(9 \cdot 8 = 72\). Gesamtsumme: \(800 + 80 + 72 = 952\).

Ergebnis: \(119\). Probe: \(119 \cdot 8 = 952\).

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Plusaufgabe, wenn man die Zahlen vertauscht? - Versuche, die Zahlen beim zweiten Mal so untereinander zu schreiben, dass eine andere Reihenfolge entsteht. - Achte beim schriftlichen Addieren genau auf die Überträge.

1. Berechnung der Summe in der gegebenen Reihenfolge: \(45\,612 + 12\,389 + 7\,504 = 58\,001 + 7\,504 = 65\,505\). 2. Überprüfung durch eine andere Reihenfolge, zum Beispiel: \(12\,389 + 7\,504 + 45\,612 = 19\,893 + 45\,612 = 65\,505\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Rechnungen ergeben \(65\,505\). Das Vertauschungsgesetz bestätigt, dass die Summe gleich bleibt.

Die Summe ist \(65\,505\). Bei der Vertauschung der Summanden bleibt das Ergebnis gleich.

- Hast du beim schriftlichen Addieren an die Überträge gedacht? - Schreibe die Zahlen stellengerecht untereinander (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner usw.). - Überlege, ob sich das Ergebnis einer Plusaufgabe ändert, wenn man die Reihenfolge der Zahlen vertauscht.

1. Schrittweise Addition von oben nach unten: \(3456 + 2189 = 5645\). Danach \(5645 + 4072 = 9717\). 2. Schrittweise Addition von unten nach oben: \(2189 + 4072 = 6261\). Danach \(3456 + 6261 = 9717\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis \(9717\).

Die Summe ist in beiden Fällen \(9717\). Die Ergebnisse sind gleich.

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Malaufgabe, wenn du es durch eine der beiden Zahlen teilst, mit denen du malgenommen hast? - Die Umkehraufgabe macht die ursprüngliche Rechnung praktisch wieder „rückgängig“. - Wenn bei der Division ein Rest bleibt oder eine andere Zahl als am Anfang herauskommt, stimmt die Multiplikation nicht.

1. Berechnung der ersten Multiplikation: \(236 \cdot 4 = 944\). 2. Bestimmung der Umkehraufgabe: Die Division des Ergebnisses durch den Faktor \(4\) muss den ersten Faktor ergeben, also \(944 : 4 = 236\). 3. Überprüfung von Emmas Rechnung: Die Division \(1116 : 7\) ergibt \(159\) Rest \(3\). Da das Ergebnis nicht \(158\) ist, ist Emmas Rechnung falsch. 4. Berechnung des korrekten Ergebnisses: \(158 \cdot 7 = 1106\).

a) \(236 \cdot 4 = 944\); Umkehraufgabe: \(944 : 4 = 236\). b) Umkehraufgabe: \(1116 : 7 = 159\) Rest \(3\) (nicht \(158\)). Das richtige Ergebnis ist \(1106\).

- Welche Rechenart ist das Gegenteil der Multiplikation? - Wenn du dein Ergebnis durch \(6\) teilst, welche Zahl müsste dann herauskommen? - Hast du beim schriftlichen Multiplizieren alle Überträge beachtet?

1. Durchführung der schriftlichen Multiplikation: \(4152 \cdot 6 = 24\,912\). 2. Aufstellen der Umkehraufgabe zur Kontrolle: \(24\,912 : 6\). 3. Durchführung der schriftlichen Division: \(24 : 6 = 4\); \(9 : 6 = 1\) Rest \(3\); \(31 : 6 = 5\) Rest \(1\); \(12 : 6 = 2\). 4. Das Ergebnis der Division ist \(4152\), was dem ersten Faktor entspricht.

Das Ergebnis ist \(24\,912\). Die Probe \(24\,912 : 6 = 4152\) bestätigt das Ergebnis.

- Kannst du die Aufgabe mit der entgegengesetzten Rechenart überprüfen? - Achte beim schriftlichen Rechnen besonders auf die Überträge an den Stellen, an denen eine Null steht. - Hilft es dir, die Zahlen genau untereinander zu schreiben (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner)?

1. Durchführung der schriftlichen Subtraktion für Teil a): \(92\,451 - 45\,163 = 47\,288\) 2. Überprüfung durch die Umkehraufgabe (Addition): \(47\,288 + 45\,163 = 92\,451\) 3. Durchführung der schriftlichen Subtraktion für Teil b): \(506\,000 - 237\,482 = 268\,518\) 4. Überprüfung durch die Umkehraufgabe (Addition): \(268\,518 + 237\,482 = 506\,000\)

a) Differenz: \(47\,288\), Probe: \(47\,288 + 45\,163 = 92\,451\); b) Differenz: \(268\,518\), Probe: \(268\,518 + 237\,482 = 506\,000\).

- Wie heißt das Ergebnis einer Minusaufgabe? - Erinnerst du dich, wie man eine Minusaufgabe mit einer Plusaufgabe überprüfen kann? - Was passiert, wenn du das Ergebnis vom ersten Wert der Aufgabe abziehst? - Achte beim schriftlichen Rechnen besonders auf die Überträge.

1. Berechnung der Differenz: \(74\,821 - 36\,547 = 38\,274\). 2. Probe durch Addition: Addiere die Differenz und den Subtrahenden: \(38\,274 + 36\,547 = 74\,821\). Das Ergebnis entspricht dem Minuenden. 3. Probe durch Subtraktion: Subtrahiere die Differenz vom Minuenden: \(74\,821 - 38\,274 = 36\,547\). Das Ergebnis entspricht dem Subtrahenden.

Das Ergebnis ist \(38\,274\). Probe 1 (Addition): \(38\,274 + 36\,547 = 74\,821\) Probe 2 (Subtraktion): \(74\,821 - 38\,274 = 36\,547\)

- Achte darauf, die Teilprodukte stellengerecht untereinander zu schreiben. - Vergiss nicht die Überträge bei der Addition der Teilprodukte. - Wenn du die Faktoren vertauschst, muss am Ende dasselbe Ergebnis herauskommen.

1. Berechnung von \(58 \cdot 34\): Die Teilprodukte sind \(58 \cdot 30 = 1740\) und \(58 \cdot 4 = 232\). Die Summe ergibt \(1972\). 2. Probe durch Vertauschen (\(34 \cdot 58\)): Die Teilprodukte sind \(34 \cdot 50 = 1700\) und \(34 \cdot 8 = 272\). Die Summe ergibt ebenfalls \(1972\). 3. Berechnung von \(147 \cdot 26\): Die Teilprodukte sind \(147 \cdot 20 = 2940\) und \(147 \cdot 6 = 882\). Die Summe ergibt \(3822\). 4. Probe durch Vertauschen (\(26 \cdot 147\)): Die Teilprodukte sind \(26 \cdot 100 = 2600\), \(26 \cdot 40 = 1040\) und \(26 \cdot 7 = 182\). Die Summe ergibt ebenfalls \(3822\).

a) \(1972\); b) \(3822\)

- Was ist das Gegenteil von Minusrechnen? - Wie kannst du mit dem Ergebnis und der abgezogenen Zahl wieder die Startzahl erhalten? - Achte beim schriftlichen Rechnen besonders auf die Überträge.

1. Berechnung von a): \(6\,352 - 2\,178 = 4\,174\). Probe durch Addition: \(4\,174 + 2\,178 = 6\,352\). 2. Berechnung von b): \(45\,802 - 13\,925 = 31\,877\). Probe durch Addition: \(31\,877 + 13\,925 = 45\,802\). 3. Berechnung von c): \(310\,470 - 124\,583 = 185\,887\). Probe durch Addition: \(185\,887 + 124\,583 = 310\,470\).

a) \(4\,174\) (Probe: \(4\,174 + 2\,178 = 6\,352\)) b) \(31\,877\) (Probe: \(31\,877 + 13\,925 = 45\,802\)) c) \(185\,887\) (Probe: \(185\,887 + 124\,583 = 310\,470\))

- Was passiert, wenn du einen Teil des Ganzen wieder wegnimmst? - Achte beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren besonders auf die Überträge an den Tausender- und Zehnerstellen. - Hast du das Ergebnis der Addition als erste Zahl für deine Minusaufgabe verwendet?

1. Schriftliche Addition von \(5612\) und \(3789\). Ergebnis: \(9401\). 2. Aufstellen der Umkehraufgabe: \(9401 - 3789\). 3. Berechnung der Differenz: \(5612\). 4. Da die Differenz mit dem ersten Summanden der ursprünglichen Aufgabe übereinstimmt, ist das Ergebnis der Addition richtig.

Die Summe ist \(9401\). Die Kontrollrechnung lautet \(9401 - 3789 = 5612\).

- Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Werten? - Erinnere dich an die Regeln für das Runden: Bei 0, 1, 2, 3 und 4 rundest du ab, bei 5, 6, 7, 8 und 9 rundest du auf. - Vergleiche dein genaues Ergebnis mit dem Überschlag. Liegen die Zahlen nah beieinander?

1. Berechnung für Fahrt A: \(15\,412\,\text{km} - 14\,895\,\text{km} = 517\,\text{km}\). Überschlag (Hunderter): \(15\,400 - 14\,900 = 500\). 2. Berechnung für Fahrt B: \(16\,105\,\text{km} - 15\,412\,\text{km} = 693\,\text{km}\). Überschlag (Hunderter): \(16\,100 - 15\,400 = 700\). 3. Berechnung für Fahrt C: \(17\,034\,\text{km} - 16\,105\,\text{km} = 929\,\text{km}\). Überschlag (Hunderter): \(17\,000 - 16\,100 = 900\).

Fahrt A: \(517\,\text{km}\) (Überschlag: \(500\,\text{km}\)); Fahrt B: \(693\,\text{km}\) (Überschlag: \(700\,\text{km}\)); Fahrt C: \(929\,\text{km}\) (Überschlag: \(900\,\text{km}\)).

- Wie oft passt der Teiler jeweils in die Hunderter, Zehner und Einer? - Was passiert, wenn eine Stelle im Dividenden kleiner ist als der Teiler? - Wie kannst du mit einer Multiplikation kontrollieren, ob dein Ergebnis stimmt?

1. Durchführung der schriftlichen Division für a): \(816 : 6 = 136\). Probe durch Multiplikation: \(136 \cdot 6 = 816\). 2. Durchführung der schriftlichen Division für b): \(816 : 4 = 204\). Probe durch Multiplikation: \(204 \cdot 4 = 816\). 3. Durchführung der schriftlichen Division für c): \(816 : 8 = 102\). Probe durch Multiplikation: \(102 \cdot 8 = 816\).

a) \(136\) (Probe: \(136 \cdot 6 = 816\)) b) \(204\) (Probe: \(204 \cdot 4 = 816\)) c) \(102\) (Probe: \(102 \cdot 8 = 816\))

- Rechne für jede Aufgabe die Umkehraufgabe aus. - Vergleiche das Ergebnis deiner Multiplikation mit der ersten Zahl der Division. - Achte bei der Korrektur besonders auf Stellen, an denen eine Null im Ergebnis stehen könnte.

1. Prüfung von Aufgabe a): \(208 \cdot 3 = 624\). Das Ergebnis ist richtig. 2. Prüfung von Aufgabe b): \(149 \cdot 5 = 745\). Das Ergebnis ist richtig. 3. Prüfung von Aufgabe c): \(14 \cdot 9 = 126\). Da \(126 \neq 936\), ist die Rechnung falsch. 4. Korrektur der Aufgabe c): Die schriftliche Division \(936 : 9\) ergibt \(104\).

Rechnung c) ist falsch. Die Probe ergibt \(14 \cdot 9 = 126\). Das richtige Ergebnis ist \(936 : 9 = 104\).

- Schau dir die Endungen der Zahlen genau an. Welche Zahlen lassen sich besonders leicht zusammenrechnen? - Kannst du Paare bilden, die eine glatte Zehntausenderzahl ergeben? - Wenn du die Teilsummen addierst, muss das gleiche Ergebnis herauskommen wie bei der schrittweisen Addition aller vier Zahlen.

1. Berechnung der Gesamtsumme: \(15\,280 + 34\,720 + 9\,150 + 10\,850 = 70\,000\). 2. Überprüfung durch geschickte Paarbildung: Erstes Paar: \(15\,280 + 34\,720 = 50\,000\). Zweites Paar: \(9\,150 + 10\,850 = 20\,000\). 3. Addition der Teilsummen: \(50\,000 + 20\,000 = 70\,000\). 4. Vergleich: Da beide Wege zum selben Ergebnis führen, ist die Rechnung korrekt.

Die Gesamtsumme beträgt \(70\,000\). Durch das geschickte Zusammenfassen (\(50\,000 + 20\,000\)) wird das Ergebnis bestätigt.

- Schau dir die Zahlen in einer Spalte genau an. Welche Zahlen wiederholen sich? - Wenn du in der zweiten Spalte die untere Rechnung löst, erhältst du automatisch die fehlende Zahl für die obere Rechnung. - Erinnere dich daran, dass das Ergebnis der Multiplikation bei der Division an der ersten Stelle steht.

1. Berechnung der ersten Spalte: \(417 \cdot 3 = 1251\). Damit lautet die Probe \(1251 : 3 = 417\). 2. Berechnung der zweiten Spalte: Zuerst wird die Division in der zweiten Zeile gelöst, um den fehlenden Faktor zu finden: \(1345 : 5 = 269\). 3. Einsetzen in die Multiplikation: Da die Division \(269\) ergibt, muss die Multiplikation \(269 \cdot 5 = 1345\) lauten.

Erste Spalte: \(417 \cdot 3 = 1251\) und \(1251 : 3 = 417\). Zweite Spalte: \(269 \cdot 5 = 1345\) und \(1345 : 5 = 269\).

- Wenn du das Gesamtergebnis und einen Teil der Malaufgabe kennst, wie kannst du die fehlende Zahl finden? - Überlege, wie du eine Divisionsaufgabe mit einer Multiplikation kontrollieren kannst. - Achte bei der Division besonders auf die Reste in jedem Schritt.

1. Berechnung der unbekannten Zahl durch Division des Produkts durch den bekannten Faktor: \(38\,136 : 8\). 2. Durchführung der schriftlichen Division: \(38 : 8 = 4\) Rest \(6\); \(61 : 8 = 7\) Rest \(5\); \(53 : 8 = 6\) Rest \(5\); \(56 : 8 = 7\). 3. Die gesuchte Zahl lautet \(4767\). 4. Durchführung der Probe durch schriftliche Multiplikation: \(4767 \cdot 8\). 5. Berechnung der Teilschritte: \(8 \cdot 7 = 56\); \(8 \cdot 60 = 480\); \(8 \cdot 700 = 5600\); \(8 \cdot 4000 = 32\,000\). 6. Addition der Teilergebnisse ergibt \(38\,136\).

a) Die unbekannte Zahl ist \(4767\). b) Die Probe \(4767 \cdot 8 = 38\,136\) bestätigt das Ergebnis.

- Wie hängen die drei Zahlen einer Minusaufgabe (Minuend, Subtrahend und Differenz) zusammen? - Wenn du vom Ganzen einen Teil wegnimmst, bleibt der andere Teil übrig. Was passiert, wenn du die beiden Teile wieder zusammenfügst? - Überprüfe bei der zweiten Probe, ob das Ergebnis deiner ersten Rechnung wieder an der richtigen Stelle auftaucht.

1. Berechnung der Differenz durch schriftliche Subtraktion: \(743\,120 - 258\,435 = 484\,685\) 2. Erste Probe durch Addition von Differenz und Subtrahend: \(484\,685 + 258\,435 = 743\,120\) 3. Zweite Probe durch Subtraktion der Differenz vom Minuenden: \(743\,120 - 484\,685 = 258\,435\)

Differenz: \(484\,685\). Proben: \(484\,685 + 258\,435 = 743\,120\) und \(743\,120 - 484\,685 = 258\,435\).

- Schreibe die Zahlen für die schriftliche Addition genau bündig untereinander. - Es hilft oft, mit der größten Zahl zu beginnen, aber für die Probe ist es sinnvoll, die Reihenfolge komplett zu drehen. - Kontrolliere jede Stelle einzeln auf Überträge.

1. Berechnung der ersten Summe: \(312\,085 + 56\,720 + 9\,433 + 867 = 379\,105\). 2. Durchführung der Probe durch eine andere Anordnung, zum Beispiel: \(867 + 9\,433 + 56\,720 + 312\,085\). 3. Schrittweise Addition für die Probe: \(867 + 9\,433 = 10\,300\); \(10\,300 + 56\,720 = 67\,020\); \(67\,020 + 312\,085 = 379\,105\). 4. Da beide Rechenwege zum selben Ergebnis führen, ist die Rechnung bestätigt.

Das Ergebnis ist \(379\,105\).

- Was passiert, wenn du die Zahlen zuerst auf Tausender rundest und dann zusammenzählst? - Wie kannst du die Subtraktion nutzen, um eine Rechnung mit drei Summanden zu prüfen? - Hilft es dir, die Zahlen untereinander zu schreiben?

1. Berechnung der Summe: \(27\,405 + 13\,990 + 8605 = 50\,000\). 2. Kontrolle durch Überschlag (Runden auf Tausender): \(27\,000 + 14\,000 + 9000 = 50\,000\). 3. Kontrolle durch die Umkehraufgabe (schrittweise Subtraktion): \(50\,000 - 8605 = 41\,395\) und \(41\,395 - 13\,990 = 27\,405\).

\(50\,000\)

- Führe für jede Aufgabe eine einfache Schätzung durch. - Achte besonders darauf, wie viele Stellen (Einer, Zehner, Hunderter) dein Schätzergebnis hat. - Wo weicht das Ergebnis extrem von deiner Schätzung ab?

1. Überschlag für a): \(3\,600 : 9 = 400\). Das Ergebnis \(384\) liegt nah am Überschlag. 2. Überschlag für b): \(1\,800 : 6 = 300\). Das Ergebnis \(324\) liegt nah am Überschlag. 3. Überschlag für c): \(5\,600 : 7 = 800\). Das angegebene Ergebnis \(95\) ist viel zu klein und hat eine Stelle zu wenig. (Tatsächliches Ergebnis: \(795\)).

Rechnung c) ist falsch. Ein passender Überschlag ist \(5\,600 : 7 = 800\). Das Ergebnis \(95\) ist viel zu klein; es müsste eine dreistellige Zahl im Hunderterbereich sein.