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Stellen Sie aus rund 22.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

ANNA-Zahlen und komplexe arithmetische Muster

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Schwierigkeit: 1 – 5

4190614

Berechne die folgenden Aufgabenpaare. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? Beschreibe die Regel, die du entdeckst. a) \(16 \cdot 4\) und \(16 \cdot 40\) b) \(35 \cdot 3\) und \(35 \cdot 30\) c) \(125 \cdot 6\) und \(125 \cdot 60\)

Denkanstöße

- Vergleiche die zweite Zahl der ersten Rechnung mit der zweiten Zahl der zweiten Rechnung. Was hat sich verändert? - Wie viele Einer ergeben zusammen einen Zehner? - Schau dir die Endziffern der Ergebnisse genau an.

Lösung

1. Berechnung der ersten Teilaufgabe: \(16 \cdot 4 = 64\). Da \(40\) das Zehnfache von \(4\) ist, gilt \(16 \cdot 40 = 64 \cdot 10 = 640\). 2. Berechnung der zweiten Teilaufgabe: \(35 \cdot 3 = 105\). Da \(30\) das Zehnfache von \(3\) ist, gilt \(35 \cdot 30 = 105 \cdot 10 = 1050\). 3. Berechnung der dritten Teilaufgabe: \(125 \cdot 6 = 750\). Da \(60\) das Zehnfache von \(6\) ist, gilt \(125 \cdot 60 = 750 \cdot 10 = 7500\). 4. Feststellung der Regel: Wenn einer der Faktoren mit \(10\) multipliziert wird (eine Null angehängt bekommt), wird auch das Gesamtergebnis mit \(10\) multipliziert (eine Null angehängt).

Antwort

a) \(64\) und \(640\) b) \(105\) und \(1050\) c) \(750\) und \(7500\) Regel: Wenn ein Faktor verzehnfacht wird, verzehnfacht sich auch das Ergebnis (man hängt eine Null an).

4161514

Wähle zwei direkt aufeinanderfolgende Ziffern zwischen \(1\) und \(9\) aus (zum Beispiel \(3\) und \(4\)). a) Bilde aus diesen Ziffern die beiden möglichen ANNA-Zahlen (zum Beispiel \(3443\) und \(4334\)). b) Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl. c) Wähle zwei andere Ziffern, die ebenfalls direkt aufeinanderfolgen, und rechne genauso. Was stellst du fest?

Denkanstöße

- Was bedeutet es, wenn Ziffern direkt aufeinanderfolgen? - Überprüfe dein Ergebnis der schriftlichen Subtraktion sorgfältig. - Vergleiche die Ergebnisse aus Aufgabenteil b und c direkt miteinander.

Lösung

1. Beispiel mit \(3\) und \(4\): Die ANNA-Zahlen sind \(3443\) und \(4334\). Die Subtraktion ergibt \(4334 - 3443 = 891\). 2. Beispiel mit anderen aufeinanderfolgenden Ziffern (z. B. \(7\) und \(8\)): Die ANNA-Zahlen sind \(7887\) und \(8778\). Die Subtraktion ergibt \(8778 - 7887 = 891\). 3. Vergleich: Das Ergebnis der Subtraktion ist immer \(891\), solange der Unterschied zwischen den gewählten Ziffern genau \(1\) beträgt.

Antwort

Das Ergebnis der Subtraktion ist immer \(891\).

4161874

Berechne die Ergebnisse der folgenden Divisionsaufgaben. Jeweils zwei Aufgaben haben das gleiche Ergebnis. Ordne die Aufgaben zu Paaren. \(180 : 3\), \(420 : 7\), \(360 : 60\), \(480 : 80\), \(210 : 30\), \(49 : 7\)

Denkanstöße

- Kannst du die Aufgaben zuerst ohne die Nullen im Kopf rechnen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn beide Zahlen durch 10 geteilt werden? - Überprüfe dein Ergebnis mit der Umkehraufgabe.

Lösung

1. Berechnung der Quotienten: \(180 : 3 = 60\) \(420 : 7 = 60\) \(360 : 60 = 6\) \(480 : 80 = 6\) \(210 : 30 = 7\) \(49 : 7 = 7\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Paare mit gleichen Ergebnissen sind \(180 : 3\) und \(420 : 7\), \(360 : 60\) und \(480 : 80\) sowie \(210 : 30\) und \(49 : 7\).

Antwort

\(180 : 3 = 420 : 7 = 60\) \(360 : 60 = 480 : 80 = 6\) \(210 : 30 = 49 : 7 = 7\)

4161934

In diesem „Schönen Päckchen“ haben fast alle Aufgaben das gleiche Ergebnis. Welche Aufgabe passt nicht zu den anderen? \(20 \cdot 90\) \(30 \cdot 60\) \(45 \cdot 40\) \(18 \cdot 100\) \(50 \cdot 35\)

Denkanstöße

- Rechne zuerst alle Aufgaben aus. - Fällt dir bei den Ergebnissen etwas auf? - Welche Zahl aus der Ergebnisliste ist anders als die anderen?

Lösung

1. Berechnung der einzelnen Produkte: \(20 \cdot 90 = 1800\) \(30 \cdot 60 = 1800\) \(45 \cdot 40 = 1800\) \(18 \cdot 100 = 1800\) \(50 \cdot 35 = 1750\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Vier Aufgaben ergeben \(1800\). Die Aufgabe \(50 \cdot 35\) hat das Ergebnis \(1750\) und ist somit der „Störenfried“.

Antwort

Die Aufgabe \(50 \cdot 35\) passt nicht, da ihr Ergebnis \(1750\) ist, während alle anderen Aufgaben \(1800\) ergeben.

4161964

Betrachte das folgende „Schöne Päckchen“. Setze das Muster um zwei weitere Aufgaben fort und berechne alle Ergebnisse. Beschreibe anschließend, wie sich die Ergebnisse verändern. \(4 \cdot 70 = \dots\) \(8 \cdot 70 = \dots\) \(12 \cdot 70 = \dots\) \(16 \cdot 70 = \dots\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die Zahlen vor dem Malzeichen von Aufgabe zu Aufgabe verändern. - Bleibt die Zahl nach dem Malzeichen gleich oder verändert sie sich auch? - Rechne die ersten Ergebnisse aus und vergleiche sie miteinander. - Kannst du einen Zusammenhang zwischen der Änderung der Faktoren und der Änderung der Ergebnisse finden?

Lösung

1. Berechnung der ersten vier Produkte: \(4 \cdot 70 = 280\), \(8 \cdot 70 = 560\), \(12 \cdot 70 = 840\), \(16 \cdot 70 = 1120\). 2. Bestimmung der Fortsetzung: Der erste Faktor erhöht sich immer um \(4\), der zweite Faktor bleibt konstant bei \(70\). Die nächsten Aufgaben lauten somit \(20 \cdot 70 = 1400\) und \(24 \cdot 70 = 1680\). 3. Beschreibung des Ergebnismusters: Die Ergebnisse vergrößern sich in jedem Schritt um genau \(280\). Da sich der erste Faktor immer um \(4\) erhöht, wächst das Ergebnis immer um \(4 \cdot 70 = 280\).

Antwort

Die fortgesetzten Aufgaben sind: \(20 \cdot 70 = 1400\) \(24 \cdot 70 = 1680\) Beschreibung: Die Ergebnisse werden immer um \(280\) größer.

4162324

Rechne die Aufgaben jeder Teilaufgabe aus. Was bemerkst du beim Vergleich der Ergebnisse innerhalb einer Zeile? a) \(240 : 4\), \(120 : 4\), \(60 : 4\) b) \(600 : 6\), \(300 : 6\), \(150 : 6\) c) \(800 : 8\), \(400 : 8\), \(200 : 8\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von Aufgabe zu Aufgabe in einer Zeile verändert. - Bleibt die zweite Zahl (der Divisor) gleich? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn die erste Zahl kleiner wird? - Kannst du ein Muster erkennen, wie genau sich die Ergebnisse verändern?

Lösung

1. Division der Dividenden in Teilaufgabe a) durch \(4\): \(240 : 4 = 60\), \(120 : 4 = 30\), \(60 : 4 = 15\). 2. Division der Dividenden in Teilaufgabe b) durch \(6\): \(600 : 6 = 100\), \(300 : 6 = 50\), \(150 : 6 = 25\). 3. Division der Dividenden in Teilaufgabe c) durch \(8\): \(800 : 8 = 100\), \(400 : 8 = 50\), \(200 : 8 = 25\). Erkenntnis: Wenn der Dividend halbiert wird und der Divisor gleich bleibt, halbiert sich auch das Ergebnis (der Quotient).

Antwort

a) \(60, 30, 15\) b) \(100, 50, 25\) c) \(100, 50, 25\) Beobachtung: Wenn der Dividend halbiert wird, halbiert sich auch der Quotient.

4167454

Berechne die folgenden Produkte und beschreibe, was dir bei den Ergebnissen auffällt: 1. \(125 \cdot 8\) 2. \(125 \cdot 18\) 3. \(125 \cdot 28\) 4. \(125 \cdot 38\) 5. \(125 \cdot 48\)

Denkanstöße

- Vergleiche die Aufgaben miteinander: Was bleibt gleich und was verändert sich? - Schau dir die Abstände zwischen den Ergebnissen an. - Kannst du eine Regel finden, wie sich das Ergebnis verändert, wenn sich ein Faktor um 10 erhöht?

Lösung

1. Berechnung der Produkte: \(125 \cdot 8 = 1000\); \(125 \cdot 18 = 2250\); \(125 \cdot 28 = 3500\); \(125 \cdot 38 = 4750\); \(125 \cdot 48 = 6000\). 2. Analyse der Differenzen: Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Ergebnissen ist konstant \(2250 - 1000 = 1250\). Dies liegt daran, dass ein Faktor gleich bleibt (\(125\)), während der zweite Faktor jeweils um \(10\) zunimmt (\(125 \cdot 10 = 1250\)).

Antwort

Die Ergebnisse sind: \(1000\), \(2250\), \(3500\), \(4750\) und \(6000\). Auffälligkeit: Die Ergebnisse nehmen immer um \(1250\) zu.

4167514

Rechne die Aufgaben aus und vergleiche die Ergebnisse. Was fällt dir bei den Zahlen auf? - \(12 \cdot 9\) - \(112 \cdot 9\) - \(1112 \cdot 9\) - \(11\,112 \cdot 9\)

Denkanstöße

- Achte auf die Ziffern am Anfang und am Ende jedes Ergebnisses. - Wie viele Nullen stehen in der Mitte der Ergebnisse? - Schau dir an, wie sich der erste Faktor von Aufgabe zu Aufgabe verändert.

Lösung

1. \(12 \cdot 9 = 108\) 2. \(112 \cdot 9 = 1008\) 3. \(1112 \cdot 9 = 10\,008\) 4. \(11\,112 \cdot 9 = 100\,008\) Muster: Das Ergebnis beginnt immer mit einer \(1\) und endet mit einer \(8\). Mit jeder zusätzlichen \(1\) im ersten Faktor rückt die \(1\) im Ergebnis eine Stelle nach links und es wird eine weitere \(0\) in der Mitte eingefügt.

Antwort

Die Ergebnisse sind \(108\), \(1008\), \(10\,008\) und \(100\,008\). Man erkennt, dass zwischen der \(1\) am Anfang und der \(8\) am Ende immer eine Null mehr dazukommt.

4167604

Berechne die Ergebnisse dieser Malaufgaben. Was fällt dir an den Produkten auf? \(77 \cdot 13\) \(77 \cdot 26\) \(77 \cdot 39\) \(77 \cdot 52\) \(77 \cdot 65\)

Denkanstöße

- Rechne die ersten beiden Aufgaben sorgfältig aus. - Vergleiche die Ergebnisse miteinander. Was haben sie gemeinsam? - Schau dir die Zahlen an, mit denen die \(77\) malgenommen wird. Erkennst du eine Reihe? - Kannst du das Ergebnis der vierten Aufgabe vorhersagen, ohne sie schriftlich zu rechnen?

Lösung

1. Berechnung des ersten Produkts: \(77 \cdot 13 = 1001\). 2. Feststellung der Beziehung zwischen den Faktoren: Die zweiten Faktoren sind Vielfache von \(13\) (\(26 = 2 \cdot 13\), \(39 = 3 \cdot 13\), usw.). 3. Anwendung des Musters: Die weiteren Produkte entsprechen dem jeweiligen Vielfachen von \(1001\). 4. Ergebnisse: \(77 \cdot 26 = 2002\), \(77 \cdot 39 = 3003\), \(77 \cdot 52 = 4004\), \(77 \cdot 65 = 5005\).

Antwort

\(77 \cdot 13 = 1001\) \(77 \cdot 26 = 2002\) \(77 \cdot 39 = 3003\) \(77 \cdot 52 = 4004\) \(77 \cdot 65 = 5005\) Auffälligkeit: Die Produkte sind der Reihe nach das Einfache, Zweifache, Dreifache, Vierfache und Fünffache von \(1001\); ihre Ziffern folgen dem Muster \(1001, 2002, 3003, 4004, 5005\).

4169404

Berechne die folgenden Aufgaben und achte besonders auf die Reste. Was fällt dir auf, wenn sich der Dividend um 1 erhöht? a) \(210 : 3\), \(211 : 3\), \(212 : 3\) b) \(210 : 4\), \(211 : 4\), \(212 : 4\) c) \(210 : 5\), \(211 : 5\), \(212 : 5\)

Denkanstöße

- Rechne die Aufgaben nacheinander aus. - Schau dir an, wie sich die Zahl vorne (der Dividend) von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Was passiert mit dem Rest, wenn die vordere Zahl größer wird? - Erinnerst du dich, was passiert, wenn der Rest genauso groß wie die Zahl ist, durch die du teilst?

Lösung

1. Berechnung für a): \(210 : 3 = 70\); \(211 : 3 = 70\,\text{Rest}\,1\); \(212 : 3 = 70\,\text{Rest}\,2\). 2. Berechnung für b): \(210 : 4 = 52\,\text{Rest}\,2\); \(211 : 4 = 52\,\text{Rest}\,3\); \(212 : 4 = 53\). 3. Berechnung für c): \(210 : 5 = 42\); \(211 : 5 = 42\,\text{Rest}\,1\); \(212 : 5 = 42\,\text{Rest}\,2\). 4. Beobachtung: Wenn der Dividend um \(1\) steigt, erhöht sich der Rest ebenfalls um \(1\). Wird der Rest so groß wie der Divisor, erhöht sich der Quotient um \(1\) und der Rest wird wieder \(0\).

Antwort

a) \(70\), \(70\,\text{Rest}\,1\), \(70\,\text{Rest}\,2\) b) \(52\,\text{Rest}\,2\), \(52\,\text{Rest}\,3\), \(53\) c) \(42\), \(42\,\text{Rest}\,1\), \(42\,\text{Rest}\,2\) Beobachtung: Erhöht sich der Dividend um \(1\), erhöht sich zunächst auch der Rest um \(1\). Erreicht der Rest den Divisor, wird daraus eine weitere ganze Einheit im Quotienten und der Rest beginnt wieder bei \(0\).

4170184

Das Ergebnis der Aufgabe \(12 \cdot 40\) ist \(480\). Finde drei andere Malaufgaben, die ebenfalls das Ergebnis \(480\) haben. Nutze dabei die Strategie, die Faktoren so zu verändern, dass das Produkt gleich bleibt.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn du eine Zahl verdoppelst? - Wie müsstest du die zweite Zahl verändern, um die Verdopplung der ersten Zahl wieder auszugleichen? - Denke an das Gegenteil von „Verdoppeln“. - Kannst du einen Faktor vervierfachen und den anderen durch \(4\) teilen?

Lösung

1. Berechnung des Ausgangsprodukts: \(12 \cdot 40 = 480\). 2. Anwendung der Konstanz des Produkts: Ein Faktor wird vervielfacht, der andere durch dieselbe Zahl geteilt. 3. Beispiel 1: \(6 \cdot 80 = 480\). 4. Beispiel 2: \(24 \cdot 20 = 480\). 5. Beispiel 3: \(48 \cdot 10 = 480\).

Antwort

Mögliche Aufgaben sind: \(6 \cdot 80\) \(24 \cdot 20\) \(48 \cdot 10\)

4170304

Berechne die Ergebnisse der beiden Aufgabenpaare und vergleiche sie. Paar 1: \(12 \cdot 10 + 13 \cdot 11 = \dots\) \(12 \cdot 11 + 13 \cdot 10 = \dots\) Paar 2: \(20 \cdot 30 + 21 \cdot 31 = \dots\) \(20 \cdot 31 + 21 \cdot 30 = \dots\) Was fällt dir beim Vergleich der Ergebnisse innerhalb eines Paares auf?

Denkanstöße

- Rechne zuerst die einzelnen Malaufgaben aus. - Addiere dann die Ergebnisse einer Zeile. - Schau dir die Endergebnisse genau an. Wie weit liegen sie auseinander? - Was hat sich bei den Malfaktoren von der ersten zur zweiten Zeile verändert?

Lösung

1. Berechnung Paar 1: \(12 \cdot 10 = 120\), \(13 \cdot 11 = 143\), Summe \(120 + 143 = 263\). 2. Berechnung Paar 1 zweite Zeile: \(12 \cdot 11 = 132\), \(13 \cdot 10 = 130\), Summe \(132 + 130 = 262\). 3. Vergleich Paar 1: Das erste Ergebnis ist um \(1\) größer als das zweite (\(263 - 262 = 1\)). 4. Berechnung Paar 2: \(20 \cdot 30 = 600\), \(21 \cdot 31 = 651\), Summe \(600 + 651 = 1251\). 5. Berechnung Paar 2 zweite Zeile: \(20 \cdot 31 = 620\), \(21 \cdot 30 = 630\), Summe \(620 + 630 = 1250\). 6. Vergleich Paar 2: Auch hier ist das erste Ergebnis um \(1\) größer als das zweite (\(1251 - 1250 = 1\)).

Antwort

Paar 1: \(263\) und \(262\). Paar 2: \(1251\) und \(1250\). Auffälligkeit: Das Ergebnis der ersten Zeile ist jeweils genau um \(1\) größer als das Ergebnis der zweiten Zeile.

4170694

Multipliziere die Zahl \(505\) nacheinander mit den Zahlen \(3\), \(5\), \(7\) und \(9\). 1. Berechne die vier Ergebnisse. 2. Was fällt dir bei den Ziffern der Ergebniszahlen auf? Beschreibe das Muster.

Denkanstöße

- Rechne zuerst alle Aufgaben sorgfältig aus. - Schau dir die erste und die zweite Hälfte jeder Ergebniszahl genau an. - Kannst du eine Verbindung zwischen dem Einmaleins mit 5 und deinen Ergebnissen sehen?

Lösung

1. Die Berechnungen ergeben: \(505 \cdot 3 = 1515\), \(505 \cdot 5 = 2525\), \(505 \cdot 7 = 3535\) und \(505 \cdot 9 = 4545\). 2. Jedes Ergebnis ist eine vierstellige Zahl, bei der sich die ersten beiden Ziffern in den letzten beiden Ziffern wiederholen (Muster \(XYXY\)). Zudem entsprechen die ersten beiden Ziffern (bzw. die letzten beiden Ziffern) immer dem Ergebnis der Rechnung \(5 \cdot \text{Multiplikator}\).

Antwort

1. \(1515, 2525, 3535, 4545\) 2. Die Ergebnisse bestehen aus zwei identischen Ziffernpaaren (z. B. \(15\) und \(15\)). Das Ziffernpaar entspricht immer dem Ergebnis von \(5\) mal der gewählten Zahl.

4170724

Multipliziere die Zahl \(198\) nacheinander mit \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\). a) Berechne die vier Ergebnisse. b) Was fällt dir bei der Zehnerziffer aller Ergebnisse auf? c) Addiere die Hunderterziffer und die Einerziffer jedes Ergebnisses. Was stellst du fest?

Denkanstöße

- Rechne die Aufgaben am besten schriftlich untereinander aus. - Schau dir die mittlere Ziffer der Ergebnisse genau an. - Was passiert, wenn du die erste und die letzte Ziffer zusammenzählst?

Lösung

1. Berechnung der Produkte: \(198 \cdot 2 = 396\), \(198 \cdot 3 = 594\), \(198 \cdot 4 = 792\), \(198 \cdot 5 = 990\). 2. Beobachtung der Zehnerziffer: Die Zehnerziffer ist bei allen Ergebnissen eine \(9\). 3. Addition der äußeren Ziffern: \(3+6=9\), \(5+4=9\), \(7+2=9\), \(9+0=9\). Die Summe aus Hunderter- und Einerziffer ist immer \(9\).

Antwort

a) \(396\), \(594\), \(792\), \(990\) b) Die Zehnerziffer ist immer \(9\). c) Die Summe ist immer \(9\).

4190624

Nutze das Ergebnis der Startrechnung \(14 \cdot 5 = 70\), um die folgenden Aufgaben im Kopf zu lösen. Erkläre bei jeder Aufgabe kurz deinen Denkweg. a) \(14 \cdot 50\) b) \(140 \cdot 5\) c) \(140 \cdot 50\) d) \(14 \cdot 500\)

Denkanstöße

- Du musst die großen Zahlen nicht neu multiplizieren. Überlege, wie oft die \(10\) in den neuen Faktoren steckt. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn beide Zahlen in der Rechnung eine extra Null bekommen? - Kannst du die Nullen in der Aufgabe zählen und mit den Nullen im Ergebnis vergleichen?

Lösung

1. Für \(14 \cdot 50\): Der Faktor \(5\) wurde verzehnfacht, also wird das Ergebnis \(70\) ebenfalls verzehnfacht: \(70 \cdot 10 = 700\). 2. Für \(140 \cdot 5\): Der Faktor \(14\) wurde verzehnfacht, also wird das Ergebnis \(70\) ebenfalls verzehnfacht: \(70 \cdot 10 = 700\). 3. Für \(140 \cdot 50\): Beide Faktoren wurden verzehnfacht (\(10 \cdot 10 = 100\)), also wird das Ergebnis \(70\) verhundertfacht: \(70 \cdot 100 = 7000\). 4. Für \(14 \cdot 500\): Der Faktor \(5\) wurde verhundertfacht (\(5 \cdot 100 = 500\)), also wird das Ergebnis \(70\) verhundertfacht: \(70 \cdot 100 = 7000\).

Antwort

a) \(700\) b) \(700\) c) \(7000\) d) \(7000\)

4210764

Berechne die Produkte. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf, wenn du die Aufgaben nacheinander betrachtest? a) \(4 \cdot 25\) b) \(8 \cdot 25\) c) \(12 \cdot 25\) d) \(16 \cdot 25\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Erinnert dich das Ergebnis von \(4 \cdot 25\) an eine bestimmte Zahl, mit der man leicht weiterrechnen kann? - Kannst du das Ergebnis der nächsten Aufgabe vorhersagen, ohne es neu auszurechnen?

Lösung

1. Berechnung von \(4 \cdot 25 = 100\). 2. Berechnung von \(8 \cdot 25 = 200\). 3. Berechnung von \(12 \cdot 25 = 300\). 4. Berechnung von \(16 \cdot 25 = 400\). 5. Feststellung des Musters: Da der erste Faktor jeweils um \(4\) wächst, nimmt das Ergebnis immer um \(100\) zu.

Antwort

a) \(100\) b) \(200\) c) \(300\) d) \(400\) Auffälligkeit: Das Ergebnis erhöht sich immer um \(100\), da der erste Faktor immer um \(4\) größer wird.

4161534

Untersuche dreistellige Zahlen und ihre Umkehrzahlen. a) Wähle eine dreistellige Zahl, die nicht auf \(0\) endet und bei der die erste Ziffer genau um \(3\) größer ist als die letzte Ziffer (zum Beispiel \(653\)). b) Bilde die Umkehrzahl und subtrahiere sie von deiner gewählten Zahl. c) Führe diese Rechnung für zwei weitere Zahlen durch, die die gleiche Bedingung erfüllen. Was fällt dir auf?

Denkanstöße

- Die mittlere Ziffer kann beliebig gewählt werden. - Achte beim Bilden der Umkehrzahl darauf, die Ziffernreihenfolge genau umzudrehen. - Rechne die schriftliche Subtraktion Stelle für Stelle durch.

Lösung

1. Erstes Beispiel (\(653\)): Die Umkehrzahl ist \(356\). Die Rechnung lautet \(653 - 356 = 297\). 2. Zweites Beispiel (z. B. \(411\)): Die Umkehrzahl ist \(114\). Die Rechnung lautet \(411 - 114 = 297\). 3. Drittes Beispiel (z. B. \(906\)): Die Umkehrzahl ist \(609\). Die Rechnung lautet \(906 - 609 = 297\). 4. Beobachtung: Das Ergebnis der Subtraktion ist immer \(297\), wenn die Differenz zwischen der ersten und der letzten Ziffer \(3\) beträgt.

Antwort

Das Ergebnis der Subtraktion ist immer \(297\).

4161884

Berechne die Aufgaben mit Rest. Achte darauf, dass in diesem Päckchen immer zwei Aufgaben das exakt gleiche Ergebnis (Quotient und Rest) ergeben. \(26 : 4\), \(44 : 7\), \(310 : 50\), \(490 : 80\), \(19 : 3\), \(55 : 9\)

Denkanstöße

- Wie oft passt der Teiler ganz in die Zahl hinein? - Wie viel bleibt als Unterschied zum Dividenden übrig? - Denke bei großen Zahlen daran, dass du Nullen beim Schätzen gedanklich wegstreichen kannst, aber der Rest sich dadurch verändern kann.

Lösung

1. Division mit Rest durchführen: \(26 : 4 = 6\,\text{Rest}\,2\) \(44 : 7 = 6\,\text{Rest}\,2\) \(310 : 50 = 6\,\text{Rest}\,10\) \(490 : 80 = 6\,\text{Rest}\,10\) \(19 : 3 = 6\,\text{Rest}\,1\) \(55 : 9 = 6\,\text{Rest}\,1\) 2. Identifikation der Paare: Die Ergebnisse \(6\,\text{Rest}\,2\), \(6\,\text{Rest}\,10\) und \(6\,\text{Rest}\,1\) treten jeweils doppelt auf.

Antwort

\(26 : 4 = 6\,\text{Rest}\,2\) \(44 : 7 = 6\,\text{Rest}\,2\) \(310 : 50 = 6\,\text{Rest}\,10\) \(490 : 80 = 6\,\text{Rest}\,10\) \(19 : 3 = 6\,\text{Rest}\,1\) \(55 : 9 = 6\,\text{Rest}\,1\)

4161944

Untersuche die Faktoren in diesem Päckchen. Eine Rechnung passt nicht in die logische Reihe. Welche ist es? 1. \(10 \cdot 100 = 1000\) 2. \(20 \cdot 90 = 1800\) 3. \(30 \cdot 80 = 2400\) 4. \(40 \cdot 70 = 2800\) 5. \(50 \cdot 50 = 2500\)

Denkanstöße

- Schau dir die erste Zahl jeder Malaufgabe an. Wie verändert sie sich von Zeile zu Zeile? - Schau dir nun die zweite Zahl jeder Malaufgabe an. Siehst du auch hier eine Regel? - Prüfe, ob die letzte Aufgabe diese Regeln noch einhält.

Lösung

1. Analyse des ersten Faktors: Die Zahlen sind \(10, 20, 30, 40, 50\). Sie werden immer um \(10\) größer. Dieser Faktor folgt einer klaren Regel. 2. Analyse des zweiten Faktors: Die Zahlen sind \(100, 90, 80, 70, 50\). Bis zur vierten Aufgabe werden sie immer um \(10\) kleiner. 3. Identifikation des Fehlers: In der 5. Aufgabe müsste der zweite Faktor nach der Regel (\(70 - 10\)) eigentlich \(60\) lauten. Die Rechnung \(50 \cdot 50\) bricht das Muster. 4. Überprüfung der Ergebnisse: Die Produkte steigen um \(800, 600, 400\). Der nächste Schritt müsste \(+200\) sein (\(2800 + 200 = 3000\)). \(50 \cdot 60\) ergäbe \(3000\), aber hier steht \(2500\).

Antwort

Die 5. Rechnung (\(50 \cdot 50 = 2500\)) passt nicht. Nach dem Muster der Faktoren müsste sie \(50 \cdot 60 = 3000\) lauten.

4161974

Untersuche dieses Zahlenmuster. Setze die Reihe um drei Aufgaben fort. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? \(10 \cdot 90 = \dots\) \(20 \cdot 80 = \dots\) \(30 \cdot 70 = \dots\) \(40 \cdot 60 = \dots\)

Denkanstöße

- Beobachte beide Faktoren gleichzeitig: Was passiert mit der ersten Zahl und was mit der zweiten Zahl? - Rechne alle Aufgaben inklusive deiner Fortsetzungen aus. - Vergleiche die Ergebnisse der späteren Aufgaben mit denen der ersten Aufgaben. Fällt dir eine Symmetrie auf? - Wie verändern sich die Abstände zwischen den Ergebnissen?

Lösung

1. Berechnung der vorgegebenen Produkte: \(10 \cdot 90 = 900\), \(20 \cdot 80 = 1600\), \(30 \cdot 70 = 2100\), \(40 \cdot 60 = 2400\). 2. Fortsetzung des Musters: Der erste Faktor steigt um \(10\), der zweite Faktor sinkt um \(10\). Die nächsten Aufgaben sind \(50 \cdot 50 = 2500\), \(60 \cdot 40 = 2400\) und \(70 \cdot 30 = 2100\). 3. Beobachtung der Ergebnisse: Die Ergebnisse steigen zunächst an (\(+700\), \(+500\), \(+300\), \(+100\)), erreichen bei \(50 \cdot 50\) ihren Höchstwert und sinken danach wieder. Dabei wiederholen sich die vorherigen Ergebnisse in umgekehrter Reihenfolge.

Antwort

Die Fortsetzung lautet: \(50 \cdot 50 = 2500\) \(60 \cdot 40 = 2400\) \(70 \cdot 30 = 2100\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden zunächst größer, erreichen bei \(50 \cdot 50\) ihren Höchstwert und werden danach wieder kleiner. Dabei wiederholen sich die vorherigen Ergebnisse in umgekehrter Reihenfolge.

4162054

Setze das „Schöne Päckchen“ fort. Finde die nächsten zwei Aufgaben und rechne sie aus. \(900 : 9\) \(720 : 8\) \(560 : 7\) \(420 : 6\) \(300 : 5\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die Zahlen nach dem Geteiltzeichen (die Divisoren) von Zeile zu Zeile verändern. - Rechne zuerst die Ergebnisse der vorhandenen Aufgaben aus. Entdeckst du eine Regelmäßigkeit? - Wie müsste das Ergebnis der nächsten Aufgabe lauten, wenn das Muster so weitergeht? - Überlege dir, wie du aus dem Divisor und dem gewünschten Ergebnis die vordere Zahl (den Dividenden) berechnen kannst.

Lösung

1. Bestimmung des Musters der Divisoren: Die Divisoren verringern sich in jedem Schritt um \(1\) (\(9, 8, 7, 6, 5\)). Die nächsten Divisoren sind \(4\) und \(3\). 2. Bestimmung des Musters der Ergebnisse: Die Quotienten verringern sich in jedem Schritt um \(10\) (\(100, 90, 80, 70, 60\)). Die nächsten Quotienten sind \(50\) und \(40\). 3. Berechnung der neuen Dividenden: \(50 \cdot 4 = 200\) und \(40 \cdot 3 = 120\). 4. Die fortgesetzten Aufgaben lauten: \(200 : 4 = 50\) und \(120 : 3 = 40\).

Antwort

\(200 : 4 = 50\) \(120 : 3 = 40\)

4162064

Setze das Muster fort. Bestimme die nächste Aufgabe dieses Päckchens. \(216 : 40 = 5\,\text{Rest}\,16\) \(175 : 40 = 4\,\text{Rest}\,15\) \(134 : 40 = 3\,\text{Rest}\,14\) \(93 : 40 = 2\,\text{Rest}\,13\) \(52 : 40 = 1\,\text{Rest}\,12\)

Denkanstöße

- Vergleiche die vorderen Zahlen (die Dividenden) miteinander. Um wie viel werden sie jedes Mal kleiner? - Was passiert mit den Ergebnissen und den Resten in jeder neuen Zeile? - Bleibt eine Zahl in allen Aufgaben gleich? - Nutze deine Beobachtungen, um die nächste Zeile aufzuschreiben.

Lösung

1. Analyse der Dividenden: Die Zahlen verringern sich jeweils um \(41\) (\(216 - 175 = 41\), \(175 - 134 = 41\), usw.). Der nächste Dividend ist \(52 - 41 = 11\). 2. Analyse der Divisoren: Der Divisor bleibt konstant bei \(40\). 3. Analyse der Ergebnisse: Der Quotient verringert sich um \(1\) (\(5, 4, 3, 2, 1\)), der nächste ist \(0\). 4. Analyse der Reste: Der Rest verringert sich um \(1\) (\(16, 15, 14, 13, 12\)), der nächste ist \(11\). 5. Überprüfung: \(11 : 40 = 0\,\text{Rest}\,11\).

Antwort

\(11 : 40 = 0\,\text{Rest}\,11\)

4162334

Berechne die Ergebnisse und vergleiche sie. Wie hängen die Dividenden mit dem Divisor zusammen? a) \(560 : 7\), \(567 : 7\), \(553 : 7\) b) \(420 : 6\), \(426 : 6\), \(414 : 6\) c) \(320 : 4\), \(328 : 4\), \(312 : 4\)

Denkanstöße

- Rechne zuerst die jeweils erste Aufgabe einer Zeile aus. - Um wie viel unterscheiden sich die Dividenden in einer Zeile? - Haben diese Unterschiede etwas mit dem Divisor zu tun? - Kannst du das Ergebnis der zweiten Aufgabe finden, ohne ganz neu zu rechnen?

Lösung

1. Teilaufgabe a): \(560 : 7 = 80\). Da \(567\) um \(7\) (einmal der Divisor) größer ist als \(560\), ist \(567 : 7 = 81\). Da \(553\) um \(7\) kleiner ist, ist \(553 : 7 = 79\). 2. Teilaufgabe b): \(420 : 6 = 70\). Mit \(426 = 420 + 6\) folgt \(426 : 6 = 71\). Mit \(414 = 420 - 6\) folgt \(414 : 6 = 69\). 3. Teilaufgabe c): \(320 : 4 = 80\). Da \(328 = 320 + 8\) (zweimal der Divisor), ist \(328 : 4 = 82\). Da \(312 = 320 - 8\), ist \(312 : 4 = 78\).

Antwort

a) \(80, 81, 79\) b) \(70, 71, 69\) c) \(80, 82, 78\) Beobachtung: Wird der Dividend um ein Vielfaches des Divisors verändert, ändert sich der Quotient um das entsprechende Vielfache.

4166504

Rechne und setze das Päckchen um zwei Zeilen fort. \(12\,121 + 21\,212\) \(23\,232 + 21\,212\) \(34\,343 + 21\,212\) Betrachte die Ziffern in den Ergebnissen. Was ist das Besondere?

Denkanstöße

- Rechne die Aufgaben schriftlich untereinander, wenn dir das hilft. - Siehst du ein Muster in den Ergebnissen? Bestehen sie aus besonderen Ziffernkombinationen? - Wie ändern sich die Summanden von Aufgabe zu Aufgabe?

Lösung

1. Berechnung der Aufgaben: \(12\,121 + 21\,212 = 33\,333\), \(23\,232 + 21\,212 = 44\,444\), \(34\,343 + 21\,212 = 55\,555\). 2. Fortsetzung: Der erste Summand erhöht sich pro Schritt um \(11\,111\). Die vierte Zeile ist \(45\,454 + 21\,212 = 66\,666\), die fünfte Zeile ist \(56\,565 + 21\,212 = 77\,777\). 3. Besonderheit: Die Ergebnisse sind Schnapszahlen, bestehen also jeweils aus fünf identischen Ziffern.

Antwort

Ergebnisse: \(33\,333\), \(44\,444\), \(55\,555\). Fortsetzung: \(45\,454 + 21\,212 = 66\,666\) \(56\,565 + 21\,212 = 77\,777\) Besonderheit: Alle Ziffern eines Ergebnisses sind gleich (Schnapszahlen).

4166514

Untersuche dieses Päckchen. Setze es um eine Zeile fort, ohne vorher zu rechnen. \(12\,345 + 87\,654\) \(23\,456 + 76\,543\) \(34\,567 + 65\,432\) Rechne nun alle vier Aufgaben aus. Was bemerkst du beim Ergebnis? Erkläre, warum das so ist.

Denkanstöße

- Beobachte, wie sich der erste und der zweite Summand von Zeile zu Zeile verändern. - Wenn du bei einer Addition eine Zahl um 1 erhöhst und die andere um 1 verringerst, was passiert dann mit der Summe? - Rechne die erste Aufgabe aus und schaue, ob das Ergebnis auch bei den anderen passt.

Lösung

1. Fortsetzung des Musters: Der erste Summand steigt um \(11\,111\), der zweite sinkt um \(11\,111\). Die vierte Zeile lautet \(45\,678 + 54\,321\). 2. Berechnung: Alle Aufgaben ergeben \(99\,999\). 3. Erklärung: Da der erste Summand um denselben Betrag (\(11\,111\)) zunimmt, um den der zweite Summand abnimmt, bleibt die Gesamtsumme unverändert.

Antwort

Die vierte Zeile lautet: \(45\,678 + 54\,321 = 99\,999\). Alle Ergebnisse sind gleich \(99\,999\). Erklärung: Der erste Summand wird immer um \(11\,111\) größer, während der zweite Summand immer um \(11\,111\) kleiner wird. Dadurch gleicht sich der Unterschied aus.

4166644

Schönes Päckchen. Rechne und setze das Muster um zwei Aufgaben fort. \(4321 - 2889\) \(5432 - 2889\) \(6543 - 2889\) \(7654 - 2889\) Vergleiche die erste Zahl jeder Aufgabe mit ihrem Ergebnis. Was fällt dir bei der Anordnung der Ziffern auf?

Denkanstöße

- Rechne zuerst die vorgegebenen Aufgaben schriftlich aus. - Schau dir die Ziffern der ersten Zahl und die Ziffern des Ergebnisses genau an. Sind es dieselben? - Wie verändert sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile? - Kannst du vorhersagen, wie die erste Zahl der nächsten Aufgabe aussehen muss?

Lösung

1. Berechnung der Ergebnisse: \(4321 - 2889 = 1432\) \(5432 - 2889 = 2543\) \(6543 - 2889 = 3654\) \(7654 - 2889 = 4765\) 2. Fortsetzung des Musters: Die erste Zahl erhöht sich immer um \(1111\). Die nächsten Aufgaben lauten: \(8765 - 2889 = 5876\) \(9876 - 2889 = 6987\) 3. Vergleich: Die Ziffern des Ergebnisses sind dieselben wie die der ersten Zahl, jedoch in einer anderen Reihenfolge. Die letzte Ziffer der ersten Zahl rückt an die erste Stelle des Ergebnisses, während die anderen Ziffern um eine Position nach rechts rücken (zyklische Vertauschung).

Antwort

Die Ergebnisse sind: \(1432\), \(2543\), \(3654\), \(4765\). Die Fortsetzungen sind: \(8765 - 2889 = 5876\) und \(9876 - 2889 = 6987\). Beobachtung: Die letzte Ziffer der ersten Zahl wird zur ersten Ziffer des Ergebnisses. Die restlichen Ziffern bleiben in ihrer Reihenfolge gleich und rutschen nach hinten.

4167104

Vervollständige die Rechenpäckchen. Achte auf die Veränderungen innerhalb der Päckchen. a) \(48\,000 : 2 = \dots\) \(48\,000 : 4 = \dots\) \(48\,000 : 6 = \dots\) \(48\,000 : 8 = \dots\) b) \(12\,000 : 3 = \dots\) \(24\,000 : 3 = \dots\) \(36\,000 : 3 = \dots\) \(48\,000 : 3 = \dots\)

Denkanstöße

- Was passiert in b) mit dem Ergebnis, wenn der Dividend jeweils um \(12\,000\) steigt und der Divisor gleich bleibt? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die Zahl, durch die du teilst, immer größer wird? - Nutze dein Wissen über das Halbieren und Verdoppeln.

Lösung

1. Päckchen a): Der Dividend bleibt gleich (\(48\,000\)), während der Divisor steigt. Durch Division der Grundzahl \(48\) ergeben sich die Werte: \(24\,000\), \(12\,000\), \(8000\) und \(6000\). 2. Päckchen b): Der Divisor bleibt gleich (\(3\)), während der Dividend in Schritten von \(12\,000\) wächst. Die Ergebnisse lauten: \(4000\), \(8000\), \(12\,000\) und \(16\,000\).

Antwort

a) \(24\,000, 12\,000, 8000, 6000\) b) \(4000, 8000, 12\,000, 16\,000\)

4167114

Finde vier verschiedene Divisionsaufgaben, bei denen das Ergebnis genau \(12\,000\) ist. Der Teiler (die Zahl, durch die geteilt wird) muss dabei eine einstellige Zahl zwischen \(2\) und \(9\) sein.

Denkanstöße

- Wie kannst du die Umkehraufgabe nutzen, um eine passende Startzahl zu finden? - Wähle zuerst eine einfache Zahl zum Teilen aus, zum Beispiel die \(2\). - Wenn du ein Ergebnis von \(12\) haben möchtest, welche Aufgabe aus dem Einmaleins fällt dir ein? Wie helfen dir dann die Nullen weiter?

Lösung

1. Wähle nacheinander einstellige Zahlen als Divisoren aus, zum Beispiel \(2, 3, 4\) und \(5\). 2. Berechne den zugehörigen Dividenden durch Multiplikation des Zielergebnisses mit dem Divisor: \(12\,000 \cdot 2 = 24\,000\); \(12\,000 \cdot 3 = 36\,000\); \(12\,000 \cdot 4 = 48\,000\); \(12\,000 \cdot 5 = 60\,000\). 3. Die daraus resultierenden Aufgaben lauten: \(24\,000 : 2\), \(36\,000 : 3\), \(48\,000 : 4\) und \(60\,000 : 5\). Weitere Lösungen wie \(72\,000 : 6\), \(84\,000 : 7\), \(96\,000 : 8\) oder \(108\,000 : 9\) sind ebenfalls korrekt.

Antwort

Mögliche Aufgaben sind: \(24\,000 : 2 = 12\,000\) \(36\,000 : 3 = 12\,000\) \(48\,000 : 4 = 12\,000\) \(60\,000 : 5 = 12\,000\) (Auch andere Teiler bis \(9\) sind möglich.)

4167464

Rechne die Aufgaben aus und vergleiche die Ergebnisse mit dem ersten Produkt \(40 \cdot 40\). Was stellst du fest? 1. \(40 \cdot 40\) 2. \(41 \cdot 39\) 3. \(42 \cdot 38\) 4. \(43 \cdot 37\) 5. \(44 \cdot 36\)

Denkanstöße

- Rechne jede Aufgabe einzeln aus, am besten schriftlich. - Wie verändern sich die beiden Faktoren von Aufgabe zu Aufgabe? - Berechne den Unterschied zwischen \(1600\) und den anderen Ergebnissen. Erkennst du eine Zahlenreihe?

Lösung

1. Berechnung der Produkte: \(40 \cdot 40 = 1600\); \(41 \cdot 39 = 1599\); \(42 \cdot 38 = 1596\); \(43 \cdot 37 = 1591\); \(44 \cdot 36 = 1584\). 2. Vergleich mit dem ersten Ergebnis (\(1600\)): Die Ergebnisse werden immer kleiner. Die Abstände zum ersten Ergebnis sind \(0, 1, 4, 9, 16\). Dies entspricht den Quadratzahlen der Abweichung von der Zahl \(40\) (z. B. \(42\) und \(38\) weichen um \(2\) von \(40\) ab, \(2 \cdot 2 = 4\), \(1600 - 4 = 1596\)).

Antwort

Die Ergebnisse sind: \(1600\), \(1599\), \(1596\), \(1591\) und \(1584\). Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden immer kleiner. Der Abstand zum ersten Ergebnis \(1600\) wird immer größer (\(1, 4, 9, 16\)).

4167524

Berechne die folgenden Produkte und beobachte das Muster in den Ergebnissen. - \(6 \cdot 12\) - \(66 \cdot 12\) - \(666 \cdot 12\) - \(6666 \cdot 12\)

Denkanstöße

- Vergleiche die Ziffern der Ergebnisse miteinander. - Welche Ziffern bleiben gleich, welche kommen neu hinzu? - Was passiert in der Mitte der Zahl, wenn der erste Faktor länger wird?

Lösung

1. \(6 \cdot 12 = 72\) 2. \(66 \cdot 12 = 792\) 3. \(666 \cdot 12 = 7992\) 4. \(6666 \cdot 12 = 79\,992\) Muster: Jedes Ergebnis beginnt mit einer \(7\) und endet mit einer \(2\). Dazwischen werden Neunen eingefügt. Die Anzahl der Neunen ist immer um eins kleiner als die Anzahl der Sechsen im ersten Faktor.

Antwort

Die Ergebnisse lauten \(72\), \(792\), \(7992\) und \(79\,992\). Es fällt auf, dass die Ergebnisse immer mit \(7\) beginnen und mit \(2\) enden, wobei in der Mitte immer mehr Neunen dazukommen.

4167614

Finde die „schönen Ergebnisse“ dieser Aufgabenreihe. Setze das Muster für die letzten beiden Rechnungen fort. \(15\,873 \cdot 7\) \(15\,873 \cdot 14\) \(15\,873 \cdot 21\) \(\dots \cdot \dots\) \(\dots \cdot \dots\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem zweiten Faktor von Zeile zu Zeile? - Rechne die erste Aufgabe schriftlich. Das Ergebnis wird dir helfen. - Wie müsste die vierte Aufgabe aussehen, wenn das Muster so weitergeht? - Haben die Ziffern im Ergebnis eine besondere Regelmäßigkeit?

Lösung

1. Berechnung des ersten Produkts: \(15\,873 \cdot 7 = 111\,111\). 2. Erkennen der Struktur: Der erste Faktor bleibt gleich, der zweite Faktor steigt in Schritten von \(7\). 3. Bestimmung der nächsten Aufgaben: \(15\,873 \cdot 28\) und \(15\,873 \cdot 35\). 4. Berechnung der Produkte durch Vervielfachung von \(111\,111\): \(222\,222\), \(333\,333\), \(444\,444\) und \(555\,555\).

Antwort

\(15\,873 \cdot 7 = 111\,111\) \(15\,873 \cdot 14 = 222\,222\) \(15\,873 \cdot 21 = 333\,333\) \(15\,873 \cdot 28 = 444\,444\) \(15\,873 \cdot 35 = 555\,555\)

4167624

Untersuche die folgende Musterreihe und berechne alle Ergebnisse. \(9 \cdot 9\) \(99 \cdot 9\) \(999 \cdot 9\) \(9999 \cdot 9\) \(99\,999 \cdot 9\)

Denkanstöße

- Rechne die ersten drei Aufgaben untereinander aus. - Welche Ziffern stehen immer am Anfang und am Ende des Ergebnisses? - Wie viele Neunen tauchen in der Mitte der Ergebnisse auf? Vergleiche das mit dem ersten Faktor. - Kannst du das letzte Ergebnis aufschreiben, ohne jede Ziffer einzeln zu multiplizieren?

Lösung

1. Berechnung der ersten Produkte: \(9 \cdot 9 = 81\), \(99 \cdot 9 = 891\), \(999 \cdot 9 = 8991\). 2. Analyse des Ziffernmusters: Jedes Ergebnis beginnt mit \(8\) und endet mit \(1\). Dazwischen stehen Neunen. 3. Bestimmung der Anzahl der Neunen: Die Anzahl der Neunen im Ergebnis ist immer um eins geringer als die Anzahl der Neunen im ersten Faktor. 4. Vervollständigung der Reihe: \(9999 \cdot 9 = 89\,991\) und \(99\,999 \cdot 9 = 899\,991\).

Antwort

\(9 \cdot 9 = 81\) \(99 \cdot 9 = 891\) \(999 \cdot 9 = 8991\) \(9999 \cdot 9 = 89\,991\) \(99\,999 \cdot 9 = 899\,991\)

4169304

Setze die Aufgabenfolge um eine Aufgabe fort und berechne alle Ergebnisse. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? \(1112 : 8\) \(2224 : 8\) \(3336 : 8\) ...

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Kannst du eine Regel finden, wie die vierte Aufgabe aussehen muss? - Vergleiche die Ergebnisse der Divisionen miteinander – gibt es auch dort ein Muster?

Lösung

1. Berechnung der ersten drei Aufgaben: \(1112 : 8 = 139\); \(2224 : 8 = 278\); \(3336 : 8 = 417\). 2. Bestimmung der nächsten Aufgabe: Der Dividend erhöht sich jeweils um \(1112\). Die vierte Aufgabe lautet somit \(4448 : 8\). 3. Berechnung der vierten Aufgabe: \(4448 : 8 = 556\). 4. Analyse des Musters: Bezogen auf die erste Aufgabe ist der Dividend in den folgenden Aufgaben doppelt, dreimal bzw. viermal so groß; zugleich steigt er von Aufgabe zu Aufgabe immer um \(1112\). Daher steigt auch der Quotient von Aufgabe zu Aufgabe immer um \(139\).

Antwort

Die Ergebnisse sind: \(139\), \(278\), \(417\). Fortsetzung: \(4448 : 8 = 556\). Beobachtung: Wenn der Dividend immer um \(1112\) größer wird, wächst das Ergebnis immer um \(139\).

4169314

Rechne schriftlich und vergleiche die Ergebnisse. Was fällt dir auf? a) \(2436 : 4\) b) \(2836 : 4\) c) \(3236 : 4\) d) \(3636 : 4\)

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von einer Teilaufgabe zur nächsten verändert. - Um wie viel wird der Dividend jeweils größer? - Rechne diesen Unterschied durch den Teiler (den Divisor). Findest du diesen Wert in deinen Ergebnissen wieder?

Lösung

1. Durchführung der schriftlichen Divisionen: \(2436 : 4 = 609\) \(2836 : 4 = 709\) \(3236 : 4 = 809\) \(3636 : 4 = 909\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Der Dividend erhöht sich von Aufgabe zu Aufgabe um genau \(400\). Da der Divisor \(4\) gleich bleibt, erhöht sich der Quotient jeweils um \(100\) (\(400 : 4 = 100\)).

Antwort

a) \(609\) b) \(709\) c) \(809\) d) \(909\) Der Quotient wird jeweils um \(100\) größer, weil der Dividend jeweils um \(400\) zunimmt.

4169324

Löse die Aufgaben schriftlich. Mache für die letzte Aufgabe die Probe. a) \(5184 : 2\) b) \(5184 : 4\) c) \(5184 : 8\) Vergleiche die Ergebnisse von a), b) und c). Welchen Zusammenhang erkennst du?

Denkanstöße

- Was passiert mit der zweiten Zahl (dem Divisor) in der Aufgabenfolge? - Wie verändern sich die Ergebnisse, wenn du durch eine doppelt so große Zahl teilst? - Erinnere dich daran, dass die Probe das Gegenteil der Division ist.

Lösung

1. Berechnung der Quotienten: \(5184 : 2 = 2592\) \(5184 : 4 = 1296\) \(5184 : 8 = 648\) 2. Probe für Aufgabe c): \(648 \cdot 8 = 5184\). 3. Zusammenhang: Der Dividend bleibt gleich, während sich der Divisor jeweils verdoppelt. Dadurch halbiert sich das Ergebnis (der Quotient) von Schritt zu Schritt.

Antwort

a) \(2592\) b) \(1296\) c) \(648\); Probe: \(648 \cdot 8 = 5184\). Wenn sich der Divisor verdoppelt, halbiert sich der Quotient.

4169964

Vergleiche die beiden folgenden Rechenwege für eine beliebige dreistellige Zahl: Weg A: Multipliziere die Zahl nacheinander mit \(5\), dann mit \(2\) und dann mit \(9\). Weg B: Multipliziere die Zahl direkt mit \(90\). Probiere beide Wege mit der Zahl \(145\) aus. Was stellst du fest? Erkläre, warum das Ergebnis bei beiden Wegen für jede beliebige Zahl gleich sein muss.

Denkanstöße

- Rechne zuerst die Faktoren von Weg A zusammen, bevor du mit der großen Zahl startest. - Fällt dir eine Ähnlichkeit zwischen den Zahlen \(5\), \(2\) und der Zahl \(10\) auf? - Warum ist es egal, in welcher Reihenfolge man Zahlen multipliziert?

Lösung

1. Berechnung Weg A für \(145\): \(145 \cdot 5 = 725\), \(725 \cdot 2 = 1450\), \(1450 \cdot 9 = 13\,050\). 2. Berechnung Weg B für \(145\): \(145 \cdot 90 = 13\,050\). 3. Feststellung: Beide Ergebnisse sind identisch. 4. Begründung: In Weg A werden die Faktoren \(5\), \(2\) und \(9\) verwendet. Da \(5 \cdot 2 = 10\) und \(10 \cdot 9 = 90\) ist, entspricht die Kombination dieser Schritte genau dem Faktor \(90\) aus Weg B.

Antwort

Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis (\(13\,050\)). Das gilt für jede Zahl, weil die Faktoren in Weg A (\(5 \cdot 2 \cdot 9\)) zusammengefasst genau \(90\) ergeben, was dem Faktor in Weg B entspricht.

4170194

Gegeben ist die Divisionsaufgabe \(360 : 12 = 30\). Finde drei weitere Divisionsaufgaben, die ebenfalls das Ergebnis \(30\) haben. Nutze dabei die Regel zur Konstanz des Quotienten.

Denkanstöße

- Wenn du beide Zahlen einer Geteiltaufgabe auf die gleiche Weise veränderst, was passiert mit dem Ergebnis? - Probiere aus, beide Zahlen zu halbieren. - Was passiert, wenn du an beide Zahlen eine Null anhängst? - Überlege dir eine ganz einfache Aufgabe mit dem Ergebnis 30 und schaue, wie sie mit der Startaufgabe zusammenhängt.

Lösung

1. Bestimmung des Quotienten: \(360 : 12 = 30\). 2. Anwendung der Konstanz des Quotienten: Dividend und Divisor werden mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert. 3. Beispiel 1: \(180 : 6 = 30\). 4. Beispiel 2: \(720 : 24 = 30\). 5. Beispiel 3: \(60 : 2 = 30\).

Antwort

Mögliche Aufgaben sind: \(180 : 6\) \(720 : 24\) \(60 : 2\)

4170314

Setze das Muster fort, indem du die Lücke füllst. Berechne anschließend alle Ergebnisse. a) \(9 \cdot 14 + 10 \cdot 15 = \dots\) \(9 \cdot 15 + 10 \cdot 14 = \dots\) b) \(\dots \cdot 20 + 26 \cdot 21 = \dots\) \(25 \cdot 21 + 26 \cdot 20 = \dots\)

Denkanstöße

- Betrachte die Zahlen in Aufgabe b) genau. Welche Zahl fehlt, damit das Schema wie in Aufgabe a) aussieht? - Nutze die Regel aus der ersten Aufgabe, um deine Ergebnisse zu überprüfen.

Lösung

1. Teil a) berechnen: \(9 \cdot 14 = 126\), \(10 \cdot 15 = 150\), Summe \(126 + 150 = 276\). 2. Teil a) zweite Zeile: \(9 \cdot 15 = 135\), \(10 \cdot 14 = 140\), Summe \(135 + 140 = 275\). 3. Teil b) Lücke füllen: Das Muster zeigt aufeinanderfolgende Zahlenpaare. Wenn in der zweiten Zeile \(25\) und \(26\) stehen, muss die Lücke in der ersten Zeile \(25\) sein. 4. Teil b) berechnen: \(25 \cdot 20 = 500\), \(26 \cdot 21 = 546\), Summe \(500 + 546 = 1046\). 5. Teil b) zweite Zeile: \(25 \cdot 21 = 525\), \(26 \cdot 20 = 520\), Summe \(525 + 520 = 1045\).

Antwort

a) \(276\) und \(275\) b) Die Lücke ist \(25\). Die Ergebnisse sind \(1046\) und \(1045\).

4170544

Wir nennen vierstellige Zahlen wie \(3712\) „TILL-Zahlen“. Wenn man die erste Hälfte (die ersten zwei Ziffern) mit der zweiten Hälfte (die letzten zwei Ziffern) vertauscht, erhält man die Partnerzahl. Bei \(3712\) ist die Partnerzahl also \(1237\). a) Berechne die Summe aus \(3712\) und ihrer Partnerzahl \(1237\) schriftlich. b) Berechne nun \((37 + 12) \cdot 101\). Was fällt dir beim Vergleich der Ergebnisse auf? c) Wähle eine eigene TILL-Zahl aus und prüfe, ob die Summen-Regel auch dort funktioniert.

Denkanstöße

- Was passiert mit den Ziffern, wenn du die Partnerzahl bildest? - Wie kannst du eine Multiplikation mit \(101\) einfacher rechnen? Denke an \(100 + 1\). - Vergleiche die Ziffern in deinem Ergebnis mit den Zahlen aus der Klammer.

Lösung

1. Schriftliche Addition der TILL-Zahl \(3712\) und ihrer Partnerzahl \(1237\): \(3712 + 1237 = 4949\). 2. Berechnung des Terms \((37 + 12) \cdot 101\): Zuerst die Klammer \(37 + 12 = 49\), dann die Multiplikation \(49 \cdot 101 = 4949\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis (\(4949\)). 4. Individuelle Prüfung: Beispielhaft für die TILL-Zahl \(5428\) mit der Partnerzahl \(2854\): \(5428 + 2854 = 8282\) und \((54 + 28) \cdot 101 = 82 \cdot 101 = 8282\).

Antwort

a) \(4949\) b) \(4949\); die Ergebnisse sind gleich. c) Individuelle Lösung (z. B. für \(2010\): \(2010 + 1020 = 3030\) und \((20 + 10) \cdot 101 = 3030\)).

4170554

Für TILL-Zahlen gibt es auch eine Regel für die Subtraktion. Beispiel für die Zahl \(7521\): Schriftliche Subtraktion: \(7521 - 2175 = 5346\) Rechentrick: \((75 - 21) \cdot 99 = 54 \cdot 99 = 5346\) a) Nimm die TILL-Zahl \(8634\) und bestimme ihre Partnerzahl. b) Berechne die Differenz aus der Zahl und ihrer Partnerzahl mit der schriftlichen Subtraktion. c) Überprüfe dein Ergebnis mit dem Rechentrick: Subtrahiere die kleinere zweistellige Hälfte von der größeren und multipliziere die Differenz mit \(99\).

Denkanstöße

- Wie wurde im Beispiel die Partnerzahl von \(7521\) gebildet? - Wie kannst du \(52 \cdot 99\) im Kopf rechnen, ohne die schriftliche Multiplikation zu nutzen? - Achte beim schriftlichen Subtrahieren besonders auf das Entbündeln.

Lösung

1. Bestimmung der Partnerzahl von \(8634\): Vertauschen der Hälften \(86\) und \(34\) ergibt \(3486\). 2. Schriftliche Subtraktion: \(8634 - 3486 = 5148\). 3. Anwendung des Rechentricks: Berechnung der Klammer \(86 - 34 = 52\). Multiplikation \(52 \cdot 99\). 4. Berechnung von \(52 \cdot 99\): \(52 \cdot 100 - 52 = 5200 - 52 = 5148\). 5. Vergleich: Beide Ergebnisse sind identisch (\(5148\)).

Antwort

a) Die Partnerzahl ist \(3486\). b) \(5148\) c) \(52 \cdot 99 = 5148\); das Ergebnis stimmt überein.

4170664

Vierstellige Zahlen wie \(4554\), \(1221\) oder \(7007\) nennen wir ANNA-Zahlen. Bei diesen Zahlen sind die erste und die letzte Ziffer gleich, und auch die beiden mittleren Ziffern sind gleich. a) Wähle zwei verschiedene Ziffern zwischen 1 und 9 (zum Beispiel 3 und 8). Bilde daraus die zwei möglichen ANNA-Zahlen (hier: \(3883\) und \(8338\)). b) Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl. c) Wiederhole dies mit zwei weiteren, selbst gewählten Ziffernpaaren. d) Berechne für jedes deiner drei Ergebnisse die Quersumme. Was stellst du fest?

Denkanstöße

- Versuche, die vierstelligen Zahlen in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer zu zerlegen. - Was passiert mit den Werten, wenn du die Differenz der beiden Zahlen bildest? - Untersuche, ob die Differenz der von dir gewählten Ziffern eine Rolle für das Ergebnis spielt. - Teste verschiedene Ziffernkombinationen und vergleiche die Quersummen der Ergebnisse. - Gibt es ein Muster bei den Differenzen, das dir auffällt?

Lösung

1. Darstellung einer ANNA-Zahl mit den Ziffern \(a\) und \(b\) in der Form \(1001a + 110b\). 2. Berechnung der Differenz \(D\) zweier ANNA-Zahlen, die aus den Ziffern \(x\) und \(y\) (\(x > y\)) bestehen: \(D = (1001x + 110y) - (1001y + 110x) = 891(x - y)\). 3. Beispielrechnung für das Ziffernpaar 3 und 8: \(8338 - 3883 = 4455\). 4. Beispielrechnung für ein zweites Paar, z. B. 1 und 2: \(2112 - 1221 = 891\). 5. Beispielrechnung für ein drittes Paar, z. B. 5 und 7: \(7557 - 5775 = 1782\). 6. Berechnung der Quersummen der Differenzen: \(QS(4455) = 4+4+5+5 = 18\), \(QS(891) = 8+9+1 = 18\), \(QS(1782) = 1+7+8+2 = 18\). 7. Allgemeines Ergebnis: Da die Differenz immer ein Vielfaches von \(891\) ist (nämlich \(891 \cdot d\) mit \(d \in \{1, \dots, 8\}\)), ergibt die Quersumme der Differenz stets 18.

Antwort

a) Beispiel: \(8338\) und \(3883\) b) Beispiel: \(8338 - 3883 = 4455\) c) Beispiel 2: \(2112 - 1221 = 891\); Beispiel 3: \(7557 - 5775 = 1782\) d) Quersummen: \(4+4+5+5=18\); \(8+9+1=18\); \(1+7+8+2=18\). Feststellung: Die Quersumme der Differenz ist immer 18.

4170674

Der Unterschied zwischen zwei ANNA-Zahlen, die aus denselben zwei Ziffern bestehen, beträgt genau \(2673\). Welche Ziffern wurden für die ANNA-Zahlen verwendet? Finde drei verschiedene Möglichkeiten für das Ziffernpaar.

Denkanstöße

- Der Unterschied zwischen den beiden Ziffern muss bei allen Paaren gleich groß sein. - Probiere systematisch Ziffernpaare aus, die einen kleinen Abstand haben (z. B. 1 und 2, dann 1 und 3...). - Wie oft passt die 891 (der kleinste mögliche Unterschied) in dein Ergebnis?

Lösung

1. Ist \(a\) die größere und \(b\) die kleinere Ziffer, lässt sich die Differenz der ANNA-Zahlen \(abba\) und \(baab\) durch \(891(a - b)\) berechnen. 2. Suche eine Zahl, die mit 891 multipliziert \(2673\) ergibt: \(2673 : 891 = 3\). 3. Die Differenz der beiden verwendeten Ziffern muss also 3 sein. 4. Mögliche Ziffernpaare: (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8) oder (6, 9). 5. Überprüfung: \(4114 - 1441 = 2673\), \(5225 - 2552 = 2673\), \(6336 - 3663 = 2673\).

Antwort

Mögliche Ziffernpaare sind zum Beispiel: 1 und 4, 2 und 5, 3 und 6, 4 und 7, 5 und 8 oder 6 und 9.

4170684

Wir untersuchen nun die Summe zweier ANNA-Zahlen, die aus denselben zwei Ziffern bestehen (zum Beispiel \(1441 + 4114\)). a) Berechne die Summen für die Ziffernpaare (2, 5) und (3, 4). Was fällt dir an den Ergebnissen auf? b) Welche zwei verschiedenen Ziffern zwischen \(1\) und \(9\) musst du wählen, damit die Summe genau \(8888\) ergibt? Finde alle drei Möglichkeiten.

Denkanstöße

- Schau dir die Ziffern im Ergebnis genau an. Wie hängen sie mit den Startziffern zusammen? - Was musst du rechnen, um von den Ziffern 3 und 4 auf das Ergebnis 7777 zu kommen? - Welche zwei Zahlen ergeben zusammen 8?

Lösung

1. Berechnung für (2, 5): \(2552 + 5225 = 7777\). 2. Berechnung für (3, 4): \(3443 + 4334 = 7777\). 3. Feststellung: Die Summe besteht immer aus vier gleichen Ziffern, sofern die Summe der Einzelziffern kleiner als 10 ist. Die Ergebnisziffer ist immer die Summe der beiden gewählten Ziffern. 4. Um \(8888\) zu erhalten, muss die Summe der beiden Ziffern \(a + b = 8\) sein. 5. Da die Ziffern verschieden sein sollen, ergeben sich folgende Paare: (1, 7), (2, 6) und (3, 5).

Antwort

a) Die Summen sind \(7777\) und \(7777\). Die Ergebnisse bestehen aus vier identischen Ziffern. b) Die drei Möglichkeiten für die Ziffernpaare sind: 1 und 7, 2 und 6 sowie 3 und 5.

4170704

Ein Forscher hat eine Entdeckung bei der Zahl \(606\) gemacht. Er hat sie mit verschiedenen einstelligen Zahlen multipliziert und folgende Ergebnisse erhalten: \(1212\), \(1818\), \(2424\), \(3030\). 1. Mit welchen Zahlen hat er die \(606\) jeweils multipliziert? 2. Welches Ergebnis würde er erhalten, wenn er \(606 \cdot 7\) rechnet? Nutze das Muster für deine Vorhersage.

Denkanstöße

- Wie oft passt die \(6\) in die ersten beiden Ziffern der Ergebnisse? - Achte darauf, wie sich die Ergebnisse verändern, wenn der Multiplikator um eins steigt. - Übertrage die Regel der ersten Ergebnisse auf die neue Rechnung mit der \(7\).

Lösung

1. Um die Multiplikatoren zu finden, wird die Division oder das Probieren mit der Sechserreihe genutzt: \(12 : 6 = 2\), \(18 : 6 = 3\), \(24 : 6 = 4\), \(30 : 6 = 5\). Die Multiplikatoren sind also \(2, 3, 4\) und \(5\). 2. Das Muster lässt sich als \(606 \cdot n = 101 \cdot (6 \cdot n)\) beschreiben. Für \(n = 7\) ist \(6 \cdot 7 = 42\). Daher gilt \(101 \cdot 42 = 4242\); die Ziffernfolge \(42\) erscheint im Ergebnis zweimal hintereinander.

Antwort

1. Die Multiplikatoren sind \(2, 3, 4\) und \(5\). 2. Das Ergebnis ist \(4242\).

4170734

Multipliziere die Zahl \(495\) nacheinander mit \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\). a) Berechne die vier Produkte. b) Bestimme für jedes Ergebnis die Quersumme. Was fällt dir auf? c) Betrachte die vierstelligen Ergebnisse (ab \(495 \cdot 3\)). Addiere jeweils die erste und die dritte Ziffer sowie die zweite und die vierte Ziffer. Was bemerkst du?

Denkanstöße

- Die Quersumme erhältst du, wenn du alle Ziffern einer Zahl addierst. - Achte bei den vierstelligen Zahlen auf die Ziffern, die nicht direkt nebeneinander stehen. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Summen, die du in Teil c) ausrechnest?

Lösung

1. Berechnung der Produkte: \(495 \cdot 2 = 990\), \(495 \cdot 3 = 1485\), \(495 \cdot 4 = 1980\), \(495 \cdot 5 = 2475\). 2. Berechnung der Quersummen: \(9+9+0=18\), \(1+4+8+5=18\), \(1+9+8+0=18\), \(2+4+7+5=18\). Die Quersumme ist immer \(18\). 3. Untersuchung der Ziffernpaare: Bei \(1485\) ist \(1+8=9\) und \(4+5=9\). Bei \(1980\) ist \(1+8=9\) und \(9+0=9\). Bei \(2475\) ist \(2+7=9\) und \(4+5=9\). Die Summen der gegenüberliegenden Ziffernpaare ergeben immer \(9\).

Antwort

a) \(990\), \(1485\), \(1980\), \(2475\) b) Die Quersumme ist immer \(18\). c) Die Summe der ersten und dritten Ziffer ist immer \(9\), ebenso wie die Summe der zweiten und vierten Ziffer.

4170754

In einer Hundertertafel sind die Zahlen von \(1\) bis \(100\) in zehn Zeilen geordnet. <table><tbody> <tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td></tr> <tr><td>21</td><td>22</td><td>23</td><td>24</td><td>25</td><td>26</td><td>27</td><td>28</td><td>29</td><td>30</td></tr> <tr><td>31</td><td>32</td><td>33</td><td>34</td><td>35</td><td>36</td><td>37</td><td>38</td><td>39</td><td>40</td></tr> <tr><td>41</td><td>42</td><td>43</td><td>44</td><td>45</td><td>46</td><td>47</td><td>48</td><td>49</td><td>50</td></tr> <tr><td>51</td><td>52</td><td>53</td><td>54</td><td>55</td><td>56</td><td>57</td><td>58</td><td>59</td><td>60</td></tr> <tr><td>61</td><td>62</td><td>63</td><td>64</td><td>65</td><td>66</td><td>67</td><td>68</td><td>69</td><td>70</td></tr> <tr><td>71</td><td>72</td><td>73</td><td>74</td><td>75</td><td>76</td><td>77</td><td>78</td><td>79</td><td>80</td></tr> <tr><td>81</td><td>82</td><td>83</td><td>84</td><td>85</td><td>86</td><td>87</td><td>88</td><td>89</td><td>90</td></tr> <tr><td>91</td><td>92</td><td>93</td><td>94</td><td>95</td><td>96</td><td>97</td><td>98</td><td>99</td><td>100</td></tr> </tbody></table> Wir untersuchen eine besondere Methode, um alle diese Zahlen zu addieren: 1. Berechne die Summe der kleinsten Zahl (\(1\)) und der größten Zahl (\(100\)). 2. Berechne die Summe der zweitkleinsten Zahl (\(2\)) und der zweitgrößten Zahl (\(99\)). 3. Berechne die Summe der drittkleinsten Zahl (\(3\)) und der drittgrößten Zahl (\(98\)). 4. Was stellst du bei den Ergebnissen fest? Wie viele solcher Zahlenpaare lassen sich in der Hundertertafel insgesamt bilden? 5. Nutze deine Entdeckungen, um die Gesamtsumme aller Zahlen von \(1\) bis \(100\) zu berechnen.

Denkanstöße

- Was passiert, wenn du die erste und die letzte Zahl zusammenzählst? - Vergleiche dieses Ergebnis mit der Summe der zweiten und der vorletzten Zahl. - Überlege dir, wie viele Zahlen insgesamt in der Tabelle stehen. Wenn du immer zwei Zahlen zusammenfasst, wie viele Paare entstehen dann? - Wie oft musst du den Wert eines Paares addieren, um auf das Gesamtergebnis zu kommen?

Lösung

1. Die Summe der ersten und letzten Zahl beträgt \(1 + 100 = 101\). 2. Die Summe des zweiten Paares beträgt \(2 + 99 = 101\). 3. Die Summe des dritten Paares beträgt \(3 + 98 = 101\). 4. Jedes Paar ergibt die Summe \(101\). Da es insgesamt \(100\) Zahlen sind, lassen sich genau \(100 : 2 = 50\) Paare bilden. 5. Die Gesamtsumme berechnet sich durch die Multiplikation der Anzahl der Paare mit dem Wert eines Paares: \(50 \cdot 101 = 5050\).

Antwort

1. Die Summe der kleinsten und der größten Zahl ist \(101\). 2. Die Summe der zweitkleinsten und der zweitgrößten Zahl ist \(101\). 3. Die Summe der drittkleinsten und der drittgrößten Zahl ist \(101\). 4. Jedes Paar ergibt \(101\); insgesamt gibt es \(50\) Paare. 5. Die Gesamtsumme aller Zahlen der Hundertertafel beträgt \(5050\).

4170764

In der Hundertertafel stehen die Zahlen in zehn Spalten untereinander. <table><tbody> <tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td></tr> <tr><td>21</td><td>22</td><td>23</td><td>24</td><td>25</td><td>26</td><td>27</td><td>28</td><td>29</td><td>30</td></tr> <tr><td>31</td><td>32</td><td>33</td><td>34</td><td>35</td><td>36</td><td>37</td><td>38</td><td>39</td><td>40</td></tr> <tr><td>41</td><td>42</td><td>43</td><td>44</td><td>45</td><td>46</td><td>47</td><td>48</td><td>49</td><td>50</td></tr> <tr><td>51</td><td>52</td><td>53</td><td>54</td><td>55</td><td>56</td><td>57</td><td>58</td><td>59</td><td>60</td></tr> <tr><td>61</td><td>62</td><td>63</td><td>64</td><td>65</td><td>66</td><td>67</td><td>68</td><td>69</td><td>70</td></tr> <tr><td>71</td><td>72</td><td>73</td><td>74</td><td>75</td><td>76</td><td>77</td><td>78</td><td>79</td><td>80</td></tr> <tr><td>81</td><td>82</td><td>83</td><td>84</td><td>85</td><td>86</td><td>87</td><td>88</td><td>89</td><td>90</td></tr> <tr><td>91</td><td>92</td><td>93</td><td>94</td><td>95</td><td>96</td><td>97</td><td>98</td><td>99</td><td>100</td></tr> </tbody></table> 1. Berechne die Summe aller Zahlen in der ersten Spalte \(1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91\). 2. Berechne die Summe aller Zahlen in der zweiten Spalte \(2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92\). 3. Vergleiche die beiden Spaltensummen. Wie viel größer ist die zweite Summe? Erkläre, warum das so ist. 4. Bestimme die Summe der zehnten Spalte \(10, 20, \dots, 100\), ohne alle Zahlen einzeln zu addieren. 5. Addiere alle zehn Spaltensummen, um die Gesamtsumme der Hundertertafel zu erhalten.

Denkanstöße

- Addiere erst einmal die Zahlen der ersten Spalte ganz in Ruhe. - Schau dir die Zahlen der ersten und zweiten Spalte genau an. Was fällt dir auf, wenn du die Zahlen Zeile für Zeile vergleichst? - Wenn du weißt, wie sich die Summe von Spalte zu Spalte verändert, kannst du die Summe der zehnten Spalte leicht finden. - Kannst du beim Addieren der zehn Spaltensummen wieder einen Trick mit Paaren (wie zum Beispiel die erste und die letzte Summe) anwenden?

Lösung

1. Die Summe der ersten Spalte ist \(1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91 = 460\). 2. Die Summe der zweiten Spalte ist \(2 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 = 470\). 3. Die zweite Spaltensumme ist um \(10\) größer als die erste. Das liegt daran, dass jede der zehn Zahlen in der zweiten Spalte genau um \(1\) größer ist als die entsprechende Zahl in der ersten Spalte (\(10 \cdot 1 = 10\)). 4. Da jede Spalte um \(10\) größer ist als die vorherige, ist die zehnte Spalte um \(9 \cdot 10 = 90\) größer als die erste: \(460 + 90 = 550\). 5. Die Summe der zehn Spaltensummen (\(460, 470, \dots, 550\)) ergibt \(460 + 470 + 480 + 490 + 500 + 510 + 520 + 530 + 540 + 550 = 5050\).

Antwort

1. Die Summe der ersten Spalte ist \(460\). 2. Die Summe der zweiten Spalte ist \(470\). 3. Die zweite Spaltensumme ist um \(10\) größer, weil jede ihrer zehn Zahlen um \(1\) größer ist. 4. Die Summe der zehnten Spalte ist \(550\). 5. Die Gesamtsumme aller zehn Spalten beträgt \(5050\).

4170784

Vierstellige Zahlen mit dem Muster \(abab\) nennt man NANA-Zahlen (zum Beispiel \(2525\)). a) Wähle die Ziffern \(3\) und \(7\). Bilde aus ihnen die beiden NANA-Zahlen \(3737\) und \(7373\). Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl. b) Wähle nun zwei andere Ziffern, die ebenfalls den Unterschied \(4\) haben (zum Beispiel \(1\) und \(5\)). Berechne auch hier den Unterschied der beiden zugehörigen NANA-Zahlen. Was fällt dir auf? c) Bestimme den Unterschied der NANA-Zahlen für die Ziffern \(2\) und \(3\). Wie oft passt dieses Ergebnis in dein Ergebnis aus Aufgabenteil a)?

Denkanstöße

- Achte beim Aufschreiben der Zahlen genau auf das Muster \(abab\). - Nutze die schriftliche Subtraktion, um die Unterschiede zu berechnen. - Vergleiche die Ziffern der gewählten Zahlenpaare. Wie hängen sie zusammen? - Überlege bei Teil c), wie oft die \(900\) ungefähr in die \(3600\) passt.

Lösung

1. Berechnung für die Ziffern \(7\) und \(3\): \(7373 - 3737 = 3636\). 2. Berechnung für die Ziffern \(5\) und \(1\): \(5151 - 1515 = 3636\). Feststellung: Das Ergebnis der Subtraktion ist bei gleichem Ziffernunterschied identisch. 3. Berechnung für den Ziffernunterschied \(1\) (Ziffern \(3\) und \(2\)): \(3232 - 2323 = 909\). 4. Division des ersten Ergebnisses durch das zweite: \(3636 : 909 = 4\). Der Wert aus Aufgabenteil a) ist genau das Vierfache des Wertes aus Aufgabenteil c).

Antwort

a) \(3636\) b) \(3636\); die Ergebnisse sind gleich. c) Der Unterschied ist \(909\). Er passt genau \(4\)-mal in \(3636\).

4170894

Stell dir vor, du addierst alle Fünferzahlen von \(5\) bis \(100\): \(5 + 10 + 15 + \dots + 95 + 100\). Es sind insgesamt genau \(20\) Zahlen in dieser Folge. Berechne die Gesamtsumme auf eine geschickte Weise und beschreibe kurz deinen Rechenweg.

Denkanstöße

- Kannst du auch hier den Trick mit den Paaren anwenden? - Welchen Wert hat ein Paar aus der ersten und der letzten Zahl? - Wie viele Paare kannst du aus den \(20\) Zahlen bilden? - Gibt es eine einfache Rechnung, um von den Paaren auf das Endergebnis zu kommen?

Lösung

1. Bildung der Summe aus dem ersten und dem letzten Wert der Folge: \(5 + 100 = 105\). 2. Bestimmung der Anzahl der Paare: Da die Folge aus \(20\) Zahlen besteht, können \(20 : 2 = 10\) Paare gebildet werden. 3. Berechnung der Gesamtsumme: Die Multiplikation der Paarsumme mit der Paaranzahl ergibt \(10 \cdot 105 = 1050\).

Antwort

\(1050\)

4197134

Nutze Zusammenhänge zwischen Aufgaben, um die Ergebnisse zu finden. a) Berechne zuerst das Ergebnis von \(14 \cdot 30\). b) Bestimme nun \(14 \cdot 60\). Erkläre, wie du das Ergebnis mithilfe der ersten Aufgabe finden kannst, ohne alles neu zu rechnen. c) Wie groß ist das Produkt von \(28 \cdot 30\)? Nutze auch hier dein Wissen aus der ersten Teilaufgabe. d) Berechne das Ergebnis von \(140 \cdot 30\).

Denkanstöße

- Schau dir die Zahlen in den Aufgaben b, c und d genau an. Wie hängen sie mit den Zahlen aus Aufgabe a zusammen? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Malaufgabe, wenn du eine der Zahlen verdoppelst? - Kannst du einen Rechentrick anwenden, wenn eine Zahl zehnmal so groß wird?

Lösung

1. Berechnung der Basiseinheit: \(14 \cdot 3 = 42\), daher ist \(14 \cdot 30 = 420\). 2. Analyse der Verdopplung: Da der Faktor \(60\) das Doppelte von \(30\) ist, verdoppelt sich auch das Gesamtergebnis: \(420 \cdot 2 = 840\). 3. Analyse des anderen Faktors: Da \(28\) das Doppelte von \(14\) ist, verdoppelt sich das Basisergebnis von \(420\) ebenfalls auf \(840\). 4. Analyse der Zehnerpotenz: Da \(140\) das Zehnfache von \(14\) ist, wird das Basisergebnis mit \(10\) multipliziert: \(420 \cdot 10 = 4200\).

Antwort

a) \(14 \cdot 30 = 420\) b) \(14 \cdot 60 = 840\) (Der Faktor wurde verdoppelt, also verdoppelt sich das Ergebnis). c) \(28 \cdot 30 = 840\) (Der Faktor wurde verdoppelt, also verdoppelt sich das Ergebnis). d) \(140 \cdot 30 = 4200\) (Ein Faktor ist zehnmal so groß).

4213304

a) Berechne das Ergebnis von \(1344 : 6\) schriftlich. b) Bestimme das Ergebnis von \(2688 : 6\), ohne erneut den kompletten Rechenweg der schriftlichen Division durchzuführen. Erkläre kurz, wie du das Ergebnis mithilfe von Teilaufgabe a) finden kannst.

Denkanstöße

- Schau dir die Zahlen in beiden Aufgaben genau an. Was fällt dir auf, wenn du die erste Zahl der Aufgabe a) mit der ersten Zahl der Aufgabe b) vergleichst? - Wenn du eine Menge von Dingen auf die gleiche Anzahl von Gruppen verteilst, aber doppelt so viele Dinge hast wie vorher – was passiert dann mit der Menge in jeder Gruppe? - Du kannst dein Ergebnis aus b) zur Kontrolle natürlich trotzdem kurz im Kopf oder am Rand überschlagen.

Lösung

1. Schriftliche Division \(1344 : 6\): \(13 : 6 = 2\) Rest \(1\); \(14 : 6 = 2\) Rest \(2\); \(24 : 6 = 4\). Ergebnis: \(224\). 2. Vergleich der Dividenden: \(2688\) ist das Doppelte von \(1344\) (\(1344 \cdot 2 = 2688\)). 3. Da der Divisor (\(6\)) gleich bleibt und der Dividend verdoppelt wurde, verdoppelt sich auch der Quotient: \(224 \cdot 2 = 448\). 4. Ergebnis für b): \(448\).

Antwort

a) \(224\) b) \(448\). Da der Dividend verdoppelt wurde (\(1344 \cdot 2 = 2688\)), verdoppelt sich bei gleichem Divisor auch das Ergebnis (\(224 \cdot 2 = 448\)).

4162074

Entdecke die Regel in diesem „Schönen Päckchen“ und ergänze die nächsten zwei Aufgaben. \(50 : 5 = 10\) \(110 : 10 = 11\) \(180 : 15 = 12\) \(260 : 20 = 13\) \(350 : 25 = 14\)

Denkanstöße

- Untersuche die Divisoren (die Zahlen nach dem Geteiltzeichen). Wie verändern sie sich? - Schau dir die Ergebnisse nach dem Gleichheitszeichen an. Welches einfache Muster erkennst du dort? - Kannst du die nächste Aufgabe finden, indem du erst den Divisor und das Ergebnis festlegst? - Wie hängen Dividend, Divisor und Ergebnis zusammen? Nutze die Umkehraufgabe.

Lösung

1. Muster der Divisoren: Die Divisoren steigen pro Schritt um \(5\) (\(5, 10, 15, 20, 25\)). Die nächsten Divisoren sind \(30\) und \(35\). 2. Muster der Ergebnisse: Die Quotienten steigen pro Schritt um \(1\) (\(10, 11, 12, 13, 14\)). Die nächsten Quotienten sind \(15\) und \(16\). 3. Muster der Dividenden: Die Differenzen zwischen den Dividenden nehmen stetig zu (\(+60, +70, +80, +90\)). Die nächste Differenz ist \(+100\). 4. Berechnung der Aufgaben: \(15 \cdot 30 = 450\) und \(16 \cdot 35 = 560\). 5. Die Fortsetzung lautet: \(450 : 30 = 15\) und \(560 : 35 = 16\).

Antwort

\(450 : 30 = 15\) \(560 : 35 = 16\)

4162314

Finde heraus, welche der folgenden Aufgaben das gleiche Ergebnis haben. Überlege zuerst ohne zu rechnen und begründe deine Vermutung. Überprüfe danach deine Ergebnisse durch schriftliche Division. a) \(744\,\text{€} : 6\) b) \(372\,\text{€} : 3\) c) \(744\,\text{€} : 3\) d) \(248\,\text{€} : 2\)

Denkanstöße

- Schau dir die Zahlenpaare an: Wie hängen \(744\) und \(372\) zusammen? Und wie \(6\) und \(3\)? - Gibt es eine ähnliche Beziehung zwischen Aufgabe a) und Aufgabe d)? - Überprüfe deine Vermutung, indem du die Aufgaben schriftlich untereinander ausrechnest.

Lösung

1. Analyse der Beziehungen: Aufgabe b) ist \(372 : 3\). Da \(372\) die Hälfte von \(744\) ist und \(3\) die Hälfte von \(6\), muss b) das gleiche Ergebnis wie a) haben. Aufgabe d) ist \(248 : 2\). Da \(248\) ein Drittel von \(744\) ist (\(744 : 3 = 248\)) und \(2\) ein Drittel von \(6\) ist (\(6 : 3 = 2\)), muss d) ebenfalls das gleiche Ergebnis wie a) haben. 2. Schriftliche Überprüfung: a) \(744\,\text{€} : 6 = 124\,\text{€}\) b) \(372\,\text{€} : 3 = 124\,\text{€}\) c) \(744\,\text{€} : 3 = 248\,\text{€}\) d) \(248\,\text{€} : 2 = 124\,\text{€}\) 3. Ergebnis: Die Aufgaben a), b) und d) ergeben alle \(124\,\text{€}\).

Antwort

a) \(124\,\text{€}\) b) \(124\,\text{€}\) c) \(248\,\text{€}\) d) \(124\,\text{€}\) Das gleiche Ergebnis haben a), b) und d). Bei b) wurden Dividend und Divisor von a) halbiert; bei d) wurden beide durch \(3\) geteilt.

4162344

Untersuche die Zusammenhänge zwischen den Aufgaben und rechne sie aus. Was fällt dir an den Ergebnissen auf? a) \(640 : 8\), \(320 : 4\), \(160 : 2\) b) \(420 : 6\), \(210 : 3\), \(70 : 1\) c) \(240 : 6\), \(120 : 3\), \(40 : 1\)

Denkanstöße

- Vergleiche in jeder Zeile die erste Zahl der ersten Aufgabe mit der ersten Zahl der zweiten Aufgabe. Was ist passiert? - Schau dir nun die zweite Zahl (den Divisor) an. Ist dort das Gleiche passiert? - Rechne die Aufgaben aus. Was stellst du bei den Quotienten fest? - Gibt es eine Regel, die du hier entdecken kannst?

Lösung

1. Teilaufgabe a): \(640 : 8 = 80\), \(320 : 4 = 80\), \(160 : 2 = 80\). Dividend und Divisor wurden jeweils halbiert. 2. Teilaufgabe b): \(420 : 6 = 70\), \(210 : 3 = 70\), \(70 : 1 = 70\). Dividend und Divisor wurden erst halbiert, dann durch \(3\) geteilt. 3. Teilaufgabe c): \(240 : 6 = 40\), \(120 : 3 = 40\), \(40 : 1 = 40\). Erkenntnis: Wenn Dividend und Divisor durch dieselbe Zahl dividiert werden, bleibt das Ergebnis der Division gleich.

Antwort

a) \(80, 80, 80\) b) \(70, 70, 70\) c) \(40, 40, 40\) Beobachtung: Die Ergebnisse innerhalb einer Zeile sind immer gleich.

4166494

Dies ist ein „schönes Päckchen“. Rechne zuerst die Aufgaben aus und setze das Muster dann um zwei Zeilen fort. \(10\,203 + 19\,998\) \(20\,304 + 19\,998\) \(30\,405 + 19\,998\) Vergleiche bei jeder Aufgabe die erste Zahl mit dem Ergebnis. Was fällt dir auf?

Denkanstöße

- Schau dir die Ziffern der ersten Zahl und die Ziffern des Ergebnisses ganz genau an. Fällt dir eine Spiegelung auf? - Wie verändert sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn der erste Summand immer um den gleichen Betrag größer wird?

Lösung

1. Berechnung der ersten drei Aufgaben: \(10\,203 + 19\,998 = 30\,201\), \(20\,304 + 19\,998 = 40\,302\), \(30\,405 + 19\,998 = 50\,403\). 2. Fortsetzung des Musters: In jeder Zeile erhöht sich der erste Summand um \(10\,101\). Die vierte Zeile lautet \(40\,506 + 19\,998 = 60\,504\), die fünfte Zeile \(50\,607 + 19\,998 = 70\,605\). 3. Vergleich: Das Ergebnis jeder Aufgabe entspricht der ersten Zahl, wenn man ihre Ziffern in umgekehrter Reihenfolge liest (z. B. wird aus \(10\,203\) das Ergebnis \(30\,201\)).

Antwort

Die Ergebnisse lauten \(30\,201\), \(40\,302\) und \(50\,403\). Die nächsten zwei Zeilen sind: \(40\,506 + 19\,998 = 60\,504\) \(50\,607 + 19\,998 = 70\,605\) Auffälligkeit: Das Ergebnis ist die erste Zahl rückwärts gelesen.

4166664

Untersuche das folgende Päckchen. Rechne die Aufgaben aus und setze das Muster um eine Zeile fort. \(12\,345 + 23\,456\) \(23\,456 + 34\,567\) \(34\,567 + 45\,678\) Um wie viel wächst das Ergebnis von Aufgabe zu Aufgabe?

Denkanstöße

- Addiere die Zahlen schriftlich. Achte dabei auf die Überträge. - Schau dir an, wie sich die einzelnen Summanden von Aufgabe zu Aufgabe verändern. - Um wie viel wird der erste Summand größer? Um wie viel der zweite? - Kannst du den Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ergebnissen berechnen?

Lösung

1. Berechnung der Summen: \(12\,345 + 23\,456 = 35\,801\) \(23\,456 + 34\,567 = 58\,023\) \(34\,567 + 45\,678 = 80\,245\) 2. Fortsetzung des Musters: In jedem Schritt werden die Summanden so gewählt, dass jede Ziffer um 1 höher ist als in der Zeile davor. Die nächste Aufgabe lautet: \(45\,678 + 56\,789 = 102\,467\) 3. Bestimmung des Zuwachses: \(58\,023 - 35\,801 = 22\,222\) \(80\,245 - 58\,023 = 22\,222\) Das Ergebnis wächst in jedem Schritt um \(22\,222\).

Antwort

Die Ergebnisse sind: \(35\,801\), \(58\,023\), \(80\,245\). Die Fortsetzung lautet: \(45\,678 + 56\,789 = 102\,467\). Das Ergebnis wächst in jedem Schritt um \(22\,222\).

4169954

Denke dir eine dreistellige Zahl aus. Multipliziere sie nacheinander mit \(2\), dann mit \(2\) und zum Schluss mit \(25\). Untersuche das Ergebnis bei mindestens drei verschiedenen Zahlen. Welche Regel kannst du für das Endergebnis formulieren? Erkläre, warum diese Regel immer gilt.

Denkanstöße

- Was ergibt \(2 \cdot 2\)? Und was passiert, wenn du dieses Ergebnis mit \(25\) malnimmst? - Wie verändert sich eine Zahl, wenn man sie mit \(100\) multipliziert? Siehst du dieses Muster in deinen Ergebnissen? - Probier es mal mit einer ganz einfachen Zahl wie \(100\) oder \(200\), um das Muster deutlicher zu sehen.

Lösung

1. Berechnung von drei Beispielen: Für \(123\) gilt \(123 \cdot 2 = 246\), \(246 \cdot 2 = 492\), \(492 \cdot 25 = 12\,300\). Für \(150\) gilt \(150 \cdot 2 = 300\), \(300 \cdot 2 = 600\), \(600 \cdot 25 = 15\,000\). Für \(204\) gilt \(204 \cdot 2 = 408\), \(408 \cdot 2 = 816\), \(816 \cdot 25 = 20\,400\). 2. Feststellung: Das Endergebnis ist die Startzahl mit zwei angehängten Nullen (Multiplikation mit \(100\)). 3. Mathematische Begründung: Die Kette der Multiplikationen lautet \(\text{Zahl} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25\). Da \(2 \cdot 2 = 4\) und \(4 \cdot 25 = 100\) ist, multipliziert man die Startzahl insgesamt mit \(100\).

Antwort

Das Endergebnis ist immer die Startzahl multipliziert mit \(100\) (man hängt also zwei Nullen an). Der Grund ist, dass die Teilrechnungen \(2 \cdot 2 \cdot 25\) zusammengefasst \(100\) ergeben.

4170204

Untersuche die Malaufgabe \(28 \cdot 15\). Welche der folgenden Rechnungen haben das gleiche Ergebnis wie \(28 \cdot 15\)? a) \(14 \cdot 30\) b) \(56 \cdot 30\) c) \(7 \cdot 60\) d) \(140 \cdot 3\) Begründe deine Entscheidung, ohne alle Aufgaben komplett schriftlich auszurechnen.

Denkanstöße

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl der neuen Aufgabe im Vergleich zur 28 verändert hat. - Schau dir dann an, wie sich die zweite Zahl im Vergleich zur 15 verändert hat. - Gleichen sich die Änderungen gegenseitig aus? - Wenn eine Zahl kleiner wird, muss die andere im gleichen Maße größer werden, damit das Produkt gleich bleibt.

Lösung

1. Analyse der Ausgangsaufgabe: \(28 \cdot 15 = 420\). 2. Prüfung von a): \(28 : 2 = 14\) und \(15 \cdot 2 = 30\). Da ein Faktor halbiert und der andere verdoppelt wurde, bleibt das Produkt gleich (\(14 \cdot 30 = 420\)). 3. Prüfung von b): \(28 \cdot 2 = 56\) und \(15 \cdot 2 = 30\). Da beide Faktoren verdoppelt wurden, vervierfacht sich das Ergebnis (\(1680\)). Falsch. 4. Prüfung von c): \(28 : 4 = 7\) und \(15 \cdot 4 = 60\). Da ein Faktor durch 4 geteilt und der andere mit 4 multipliziert wurde, bleibt das Produkt gleich (\(7 \cdot 60 = 420\)). 5. Prüfung von d): \(28 \cdot 5 = 140\) und \(15 : 5 = 3\). Da ein Faktor mit 5 multipliziert und der andere durch 5 geteilt wurde, bleibt das Produkt gleich (\(140 \cdot 3 = 420\)).

Antwort

Die Aufgaben a), c) und d) haben das gleiche Ergebnis wie \(28 \cdot 15\).

4170324

Untersuche, ob das Muster auch bei größeren Zahlen funktioniert. Rechne schriftlich. Aufgabe A: \(45 \cdot 72 + 46 \cdot 73\) Aufgabe B: \(45 \cdot 73 + 46 \cdot 72\) 1. Berechne die Ergebnisse für A und B. 2. Bestimme den Unterschied zwischen den beiden Gesamtergebnissen.

Denkanstöße

- Verwende das schriftliche Multiplizieren für die vier Teilrechnungen. - Achte beim Addieren der großen Zahlen auf den Übertrag. - Was erwartest du als Unterschied, wenn du an die vorherigen Aufgaben denkst?

Lösung

1. Berechnung A: \(45 \cdot 72 = 3240\); \(46 \cdot 73 = 3358\). Summe: \(3240 + 3358 = 6598\). 2. Berechnung B: \(45 \cdot 73 = 3285\); \(46 \cdot 72 = 3312\). Summe: \(3285 + 3312 = 6597\). 3. Unterschied bestimmen: \(6598 - 6597 = 1\). Das Muster bleibt also auch bei größeren zweistelligen Zahlen bestehen.

Antwort

1. Ergebnis A: \(6598\); Ergebnis B: \(6597\). 2. Der Unterschied beträgt \(1\).

4170564

Ein Kind hat eine TILL-Zahl und ihre Partnerzahl addiert. Das Ergebnis der Addition ist \(9191\). Die erste Hälfte (Tausender und Hunderter) der gesuchten TILL-Zahl ist \(50\). Wie lautet die vollständige TILL-Zahl? Nutze die Summen-Regel für TILL-Zahlen, um die fehlende zweite Hälfte zu finden.

Denkanstöße

- Erinnerst du dich an die Regel \((a + b) \cdot 101\)? Welchen Wert muss \(a + b\) haben, damit \(9191\) herauskommt? - Du kennst bereits den Teil \(a\). Wie kannst du nun den Teil \(b\) berechnen? - Was ist das Gegenteil von Addition?

Lösung

1. Anwendung der Summen-Regel: Das Ergebnis einer TILL-Summe entspricht immer \((a + b) \cdot 101\). 2. Bestimmung der Summe der beiden Hälften: Da das Ergebnis \(9191\) ist, muss \(a + b = 91\) gelten (denn \(91 \cdot 101 = 9191\)). 3. Einsetzen der bekannten Hälfte: Gegeben ist \(a = 50\). 4. Berechnung der fehlenden Hälfte \(b\): \(91 - 50 = 41\). 5. Zusammensetzen der TILL-Zahl: Mit \(a = 50\) und \(b = 41\) ergibt sich die Zahl \(5041\). 6. Überprüfung: \(5041 + 4150 = 9191\).

Antwort

Die TILL-Zahl lautet \(5041\).

4170714

Betrachte die Multiplikationsaufgaben für die Zahl \(808\). 1. Berechne \(808 \cdot 2\), \(808 \cdot 4\) und \(808 \cdot 6\). 2. Bei \(808 \cdot 1\) erhältst du \(808\). Erkläre, warum dieses Ergebnis nicht dem Muster \(XYXY\) der anderen Aufgaben entspricht. 3. Wie müsste das Ergebnis von \(808 \cdot 12\) aussehen, wenn man nur das Muster der Ziffernwiederholung betrachtet? Überprüfe durch Rechnung, ob das Muster hier noch stimmt.

Denkanstöße

- Was passiert mit der Zehnerstelle des Ergebnisses, wenn du mit \(1\) multiplizierst im Vergleich zur Multiplikation mit \(2\)? - Zerlege die Zahl \(808\) in \(800 + 8\) und multipliziere beide Teile. - Probier die Rechnung mit der \(12\) einfach mal schriftlich aus.

Lösung

1. Die Ergebnisse sind: \(808 \cdot 2 = 1616\), \(808 \cdot 4 = 3232\), \(808 \cdot 6 = 4848\). 2. Das Muster \(XYXY\) entsteht, weil \(800 \cdot n\) und \(8 \cdot n\) getrennt berechnet und addiert werden. Bei \(n=1\) ist \(8 \cdot 1 = 8\). Da dies eine einstellige Zahl ist, entsteht beim Addieren von \(800 + 8 = 808\) eine Null in der Zehnerstelle, was das vierstellige Wiederholungsmuster verhindert. Erst wenn \(8 \cdot n \geq 10\) ist, füllt das Produkt die Zehnerstelle aus. 3. Das Muster würde \(9696\) vermuten lassen (da \(8 \cdot 12 = 96\)). Die schriftliche Rechnung ergibt \(808 \cdot 12 = 9696\). Da \(808 = 8 \cdot 101\) gilt, ist \(808 \cdot n = (8 \cdot n) \cdot 101\). Solange \(8 \cdot n\) zweistellig ist, wiederholt sich dieses zweistellige Produkt im Ergebnis.

Antwort

1. \(1616, 3232, 4848\) 2. Das Produkt \(8 \cdot 1\) ist nur einstellig, daher bleibt die Zehnerstelle im Ergebnis eine Null. Das Muster benötigt ein zweistelliges Zwischenergebnis. 3. Vermutung: \(9696\). Rechnung: \(808 \cdot 12 = 9696\). Das Muster stimmt.

4170774

<table><tbody> <tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td></tr> <tr><td>21</td><td>22</td><td>23</td><td>24</td><td>25</td><td>26</td><td>27</td><td>28</td><td>29</td><td>30</td></tr> <tr><td>31</td><td>32</td><td>33</td><td>34</td><td>35</td><td>36</td><td>37</td><td>38</td><td>39</td><td>40</td></tr> <tr><td>41</td><td>42</td><td>43</td><td>44</td><td>45</td><td>46</td><td>47</td><td>48</td><td>49</td><td>50</td></tr> <tr><td>51</td><td>52</td><td>53</td><td>54</td><td>55</td><td>56</td><td>57</td><td>58</td><td>59</td><td>60</td></tr> <tr><td>61</td><td>62</td><td>63</td><td>64</td><td>65</td><td>66</td><td>67</td><td>68</td><td>69</td><td>70</td></tr> <tr><td>71</td><td>72</td><td>73</td><td>74</td><td>75</td><td>76</td><td>77</td><td>78</td><td>79</td><td>80</td></tr> <tr><td>81</td><td>82</td><td>83</td><td>84</td><td>85</td><td>86</td><td>87</td><td>88</td><td>89</td><td>90</td></tr> <tr><td>91</td><td>92</td><td>93</td><td>94</td><td>95</td><td>96</td><td>97</td><td>98</td><td>99</td><td>100</td></tr> </tbody></table> Wähle ein beliebiges \(3 \times 3\)-Quadrat aus der Hundertertafel aus (ein Block aus \(9\) Zahlen, zum Beispiel mit den Zahlen \(14\), \(15\) und \(16\) in der ersten Zeile). 1. Addiere alle \(9\) Zahlen deines gewählten Quadrats. 2. Suche die Zahl, die genau in der Mitte deines Quadrats steht. Multipliziere diese mittlere Zahl mit \(9\). 3. Vergleiche das Ergebnis der Addition aus Aufgabe 1 mit dem Ergebnis der Multiplikation aus Aufgabe 2. Was fällt dir auf? 4. Überprüfe deine Entdeckung an einem anderen \(3 \times 3\)-Quadrat. 5. Versuche zu erklären, warum dieses Muster immer funktioniert.

Denkanstöße

- Wähle zuerst ein Quadrat aus und schreibe alle neun Zahlen auf. - Wenn du alle Zahlen addiert hast, schau dir die Zahl in der Mitte ganz genau an. - Wie viel kleiner ist die Zahl links von der Mitte? Wie viel größer ist die Zahl rechts davon? - Was passiert, wenn du diese beiden Nachbarzahlen addierst? - Dieses „Ausgleichen“ funktioniert auch mit den Zahlen darüber und darunter.

Lösung

1. Beispiel-Quadrat mit Mitte \(25\): \(14 + 15 + 16 + 24 + 25 + 26 + 34 + 35 + 36 = 225\). 2. Die mittlere Zahl ist \(25\). Rechnung: \(9 \cdot 25 = 225\). 3. Die Ergebnisse sind identisch. 4. Beispiel-Quadrat mit Mitte \(58\): \(47 + 48 + 49 + 57 + 58 + 59 + 67 + 68 + 69 = 522\). Rechnung: \(9 \cdot 58 = 522\). 5. Erklärung: Die Zahlen liegen symmetrisch um die Mitte. Paare wie die Zahl links (\(\text{Mitte} - 1\)) und rechts (\(\text{Mitte} + 1\)) ergeben zusammen genau das Doppelte der Mitte. Das gilt ebenso für oben und unten (\(\text{Mitte} - 10\) und \(\text{Mitte} + 10\)) sowie für beide Eckpaare (\(\text{Mitte} - 11\) und \(\text{Mitte} + 11\); \(\text{Mitte} - 9\) und \(\text{Mitte} + 9\)). Daher ist der Durchschnitt der \(9\) Zahlen gleich der mittleren Zahl.

Antwort

Die Summe der \(9\) Zahlen eines \(3 \times 3\)-Quadrats ist immer genau so groß wie das Neunfache der mittleren Zahl. Das liegt daran, dass sich die Zahlen um die Mitte herum gegenseitig ausgleichen (z. B. ist eine Zahl um \(10\) kleiner und die gegenüberliegende um \(10\) größer als die Mitte).

4170794

Bei NANA-Zahlen \(abab\) hängen die Ergebnisse der Subtraktion \(abab - baba\) (größere minus kleinere Zahl) immer vom Unterschied der Ziffern \(a\) und \(b\) ab. a) Berechne diesen Unterschied für die Ziffern \(a=6\) und \(b=1\). b) Finde alle Paare von Ziffern \(a\) und \(b\) (beide von \(1\) bis \(9\)), bei denen der Unterschied der zugehörigen NANA-Zahlen genau \(1818\) beträgt. Dabei soll \(a\) die größere Ziffer sein. c) Wie groß ist der kleinstmögliche Unterschied (größer als \(0\)), der bei der Subtraktion zweier solcher NANA-Zahlen entstehen kann?

Denkanstöße

- Was ist das Ergebnis, wenn der Unterschied der Ziffern nur \(1\) beträgt? - Kannst du ein Muster in den Ergebnissen erkennen, wenn du den Ziffernunterschied schrittweise erhöhst? - Gehe bei Teil b) systematisch vor, indem du mit der kleinstmöglichen Ziffer für \(b\) beginnst.

Lösung

1. Berechnung für \(a=6\) und \(b=1\): \(6161 - 1616 = 4545\). 2. Da das Ergebnis der Subtraktion immer ein Vielfaches von \(909\) ist, entspricht \(1818\) einem Ziffernunterschied von \(2\), da \(2 \cdot 909 = 1818\). 3. Systematisches Auflisten aller Ziffernpaare \((a, b)\) mit \(a - b = 2\) im Bereich von \(1\) bis \(9\): \((3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (7, 5), (8, 6), (9, 7)\). 4. Der kleinstmögliche Ziffernunterschied größer als \(0\) ist \(1\). Die Rechnung \(abab - baba\) ergibt dann \(909 \cdot 1 = 909\).

Antwort

a) \(4545\) b) Die Ziffernpaare sind: \(3\) und \(1\); \(4\) und \(2\); \(5\) und \(3\); \(6\) und \(4\); \(7\) und \(5\); \(8\) und \(6\); \(9\) und \(7\). c) \(909\)

4170804

Wir untersuchen, was passiert, wenn man zwei NANA-Zahlen mit vertauschten Ziffern addiert. a) Wähle \(a=2\) und \(b=5\). Bilde die Zahlen \(2525\) und \(5252\) und addiere sie schriftlich. b) Addiere die NANA-Zahlen für die Ziffern \(a=1\) und \(b=8\). c) Jemand behauptet: „Wenn die Summe der Ziffern \(a + b\) gleich \(10\) ist, dann ist die Summe der NANA-Zahlen \(abab + baba\) immer \(11\,110\).“ Überprüfe diese Behauptung mit den Ziffernpaaren \(3\) und \(7\) sowie \(4\) und \(6\).

Denkanstöße

- Achte bei der Addition in Teil c) besonders auf die Überträge. - Fällt dir etwas an der Struktur der Summen in Teil a) und b) auf? - Wie hängen die Ziffern des Ergebnisses mit der Summe von \(a\) und \(b\) zusammen?

Lösung

1. Berechnung der Summe für \(a=2, b=5\): \(2525 + 5252 = 7777\). 2. Berechnung der Summe für \(a=1, b=8\): \(1818 + 8181 = 9999\). 3. Überprüfung der Behauptung für \(a+b=10\): - Paar \(3\) und \(7\): \(3737 + 7373 = 11\,110\). - Paar \(4\) und \(6\): \(4646 + 6464 = 11\,110\). 4. Die Behauptung wird durch die Beispiele bestätigt (allgemein gilt \(abab + baba = 1111(a+b)\)).

Antwort

a) \(7777\) b) \(9999\) c) Ja, die Behauptung stimmt. Die Rechnungen ergeben \(3737 + 7373 = 11\,110\) und \(4646 + 6464 = 11\,110\).

4170834

ANNA-Zahlen sind vierstellige Zahlen, die vorwärts und rückwärts gelesen gleich sind, wie zum Beispiel \(1221\). Berechne die Summe aller ANNA-Zahlen, die mit der Ziffer \(1\) beginnen und enden: \(1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991\)

Denkanstöße

- Schau dir die erste und die letzte Zahl der Liste an. Was ist ihre Summe? - Gilt das auch für das nächste Paar von außen? - Wie oft musst du diesen Wert addieren, um alle Zahlen zu berücksichtigen?

Lösung

1. Identifikation der Paare mit gleicher Summe: \(1001 + 1991 = 2992\), \(1111 + 1881 = 2992\), \(1221 + 1771 = 2992\), \(1331 + 1661 = 2992\), \(1441 + 1551 = 2992\). 2. Anzahl der Paare: In der Liste stehen \(10\) Zahlen, was \(5\) Paaren entspricht. 3. Berechnung der Gesamtsumme: \(5 \cdot 2992 = 14\,960\).

Antwort

\(14\,960\)

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.