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- Was bedeutet es, wenn Ziffern direkt aufeinanderfolgen? - Überprüfe dein Ergebnis der schriftlichen Subtraktion sorgfältig. - Vergleiche die Ergebnisse aus Aufgabenteil b und c direkt miteinander.

1. Beispiel mit \(3\) und \(4\): Die ANNA-Zahlen sind \(3443\) und \(4334\). Die Subtraktion ergibt \(4334 - 3443 = 891\). 2. Beispiel mit anderen aufeinanderfolgenden Ziffern (z. B. \(7\) und \(8\)): Die ANNA-Zahlen sind \(7887\) und \(8778\). Die Subtraktion ergibt \(8778 - 7887 = 891\). 3. Vergleich: Das Ergebnis der Subtraktion ist immer \(891\), solange der Unterschied zwischen den gewählten Ziffern genau \(1\) beträgt.

Das Ergebnis der Subtraktion ist immer \(891\).

- Kannst du die Aufgaben zuerst ohne die Nullen im Kopf rechnen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn beide Zahlen durch 10 geteilt werden? - Überprüfe dein Ergebnis mit der Umkehraufgabe.

1. Berechnung der Quotienten: \(180 : 3 = 60\) \(420 : 7 = 60\) \(360 : 60 = 6\) \(480 : 80 = 6\) \(210 : 30 = 7\) \(49 : 7 = 7\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Paare mit gleichen Ergebnissen sind \(180 : 3\) und \(420 : 7\), \(360 : 60\) und \(480 : 80\) sowie \(210 : 30\) und \(49 : 7\).

\(180 : 3 = 420 : 7 = 60\) \(360 : 60 = 480 : 80 = 6\) \(210 : 30 = 49 : 7 = 7\)

- Rechne zuerst alle Aufgaben aus. - Fällt dir bei den Ergebnissen etwas auf? - Welche Zahl aus der Ergebnisliste ist anders als die anderen?

1. Berechnung der einzelnen Produkte: \(20 \cdot 90 = 1800\) \(30 \cdot 60 = 1800\) \(45 \cdot 40 = 1800\) \(18 \cdot 100 = 1800\) \(50 \cdot 35 = 1750\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Vier Aufgaben ergeben \(1800\). Die Aufgabe \(50 \cdot 35\) hat das Ergebnis \(1750\) und ist somit der „Störenfried“.

Die Aufgabe \(50 \cdot 35\) passt nicht, da ihr Ergebnis \(1750\) ist, während alle anderen Aufgaben \(1800\) ergeben.

- Schau dir an, wie sich die Zahlen vor dem Malzeichen von Aufgabe zu Aufgabe verändern. - Bleibt die Zahl nach dem Malzeichen gleich oder verändert sie sich auch? - Rechne die ersten Ergebnisse aus und vergleiche sie miteinander. - Kannst du einen Zusammenhang zwischen der Änderung der Faktoren und der Änderung der Ergebnisse finden?

1. Berechnung der ersten vier Produkte: \(4 \cdot 70 = 280\), \(8 \cdot 70 = 560\), \(12 \cdot 70 = 840\), \(16 \cdot 70 = 1120\). 2. Bestimmung der Fortsetzung: Der erste Faktor erhöht sich immer um \(4\), der zweite Faktor bleibt konstant bei \(70\). Die nächsten Aufgaben lauten somit \(20 \cdot 70 = 1400\) und \(24 \cdot 70 = 1680\). 3. Beschreibung des Ergebnismusters: Die Ergebnisse vergrößern sich in jedem Schritt um genau \(280\). Da sich der erste Faktor immer um \(4\) erhöht, wächst das Ergebnis immer um \(4 \cdot 70 = 280\).

Die fortgesetzten Aufgaben sind: \(20 \cdot 70 = 1400\) \(24 \cdot 70 = 1680\) Beschreibung: Die Ergebnisse werden immer um \(280\) größer.

- Schau dir an, wie sich die Zahlen nach dem Geteiltzeichen (die Divisoren) von Zeile zu Zeile verändern. - Rechne zuerst die Ergebnisse der vorhandenen Aufgaben aus. Entdeckst du eine Regelmäßigkeit? - Wie müsste das Ergebnis der nächsten Aufgabe lauten, wenn das Muster so weitergeht? - Überlege dir, wie du aus dem Divisor und dem gewünschten Ergebnis die vordere Zahl (den Dividenden) berechnen kannst.

1. Bestimmung des Musters der Divisoren: Die Divisoren verringern sich in jedem Schritt um \(1\) (\(9, 8, 7, 6, 5\)). Die nächsten Divisoren sind \(4\) und \(3\). 2. Bestimmung des Musters der Ergebnisse: Die Quotienten verringern sich in jedem Schritt um \(10\) (\(100, 90, 80, 70, 60\)). Die nächsten Quotienten sind \(50\) und \(40\). 3. Berechnung der neuen Dividenden: \(50 \cdot 4 = 200\) und \(40 \cdot 3 = 120\). 4. Die fortgesetzten Aufgaben lauten: \(200 : 4 = 50\) und \(120 : 3 = 40\).

\(200 : 4 = 50\) \(120 : 3 = 40\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von Aufgabe zu Aufgabe in einer Zeile verändert. - Bleibt die zweite Zahl (der Divisor) gleich? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn die erste Zahl kleiner wird? - Kannst du ein Muster erkennen, wie genau sich die Ergebnisse verändern?

1. Division der Dividenden in Teilaufgabe a) durch \(4\): \(240 : 4 = 60\), \(120 : 4 = 30\), \(60 : 4 = 15\). 2. Division der Dividenden in Teilaufgabe b) durch \(6\): \(600 : 6 = 100\), \(300 : 6 = 50\), \(150 : 6 = 25\). 3. Division der Dividenden in Teilaufgabe c) durch \(8\): \(800 : 8 = 100\), \(400 : 8 = 50\), \(200 : 8 = 25\). Erkenntnis: Wenn der Dividend halbiert wird und der Divisor gleich bleibt, halbiert sich auch das Ergebnis (der Quotient).

a) \(60, 30, 15\) b) \(100, 50, 25\) c) \(100, 50, 25\) Beobachtung: Wenn der Dividend halbiert wird, halbiert sich auch der Quotient.

- Kannst du die Nullen erst einmal ignorieren und nur die vorderen Zahlen teilen? - Wie viele Nullen musst du am Ende wieder an dein Ergebnis hängen? - Erkennst du eine Verwandtschaft zwischen den beiden Aufgaben in einem Paar?

1. Für die Teilaufgabe a) wird die Basisaufgabe \(45 : 5 = 9\) genutzt, woraus \(45\,000 : 5 = 9000\) folgt. Analog ergibt \(45 : 9 = 5\) das Ergebnis \(45\,000 : 9 = 5000\). 2. In b) hilft \(54 : 6 = 9\) für das Ergebnis \(54\,000 : 6 = 9000\), und \(54 : 9 = 6\) führt zu \(54\,000 : 9 = 6000\). 3. In c) ergibt \(56 : 7 = 8\) das Resultat \(56\,000 : 7 = 8000\), und \(56 : 8 = 7\) führt zu \(56\,000 : 8 = 7000\).

a) \(9000\) und \(5000\) b) \(9000\) und \(6000\) c) \(8000\) und \(7000\)

- Nutze die Grundaufgaben des Einmaleins, um die vorderen Ziffern zu teilen. - Achte darauf, die Nullen am Ende wieder anzuhängen. - Überlege: Wird das Ergebnis größer oder kleiner, wenn du dieselbe Zahl durch eine größere Zahl teilst?

1. Berechnung von \(20\,000 : 4\): \(20 : 4 = 5\), also \(5\,000\). 2. Berechnung von \(20\,000 : 5\): \(20 : 5 = 4\), also \(4\,000\). 3. Vergleich für a): \(5\,000 > 4\,000\). 4. Berechnung von \(36\,000 : 6\): \(36 : 6 = 6\), also \(6\,000\). 5. Berechnung von \(36\,000 : 4\): \(36 : 4 = 9\), also \(9\,000\). 6. Vergleich für b): \(6\,000 < 9\,000\).

a) \(5\,000 > 4\,000\) b) \(6\,000 < 9\,000\)

- Rechne die ersten beiden Aufgaben sorgfältig aus. - Vergleiche die Ergebnisse miteinander. Was haben sie gemeinsam? - Schau dir die Zahlen an, mit denen die \(77\) malgenommen wird. Erkennst du eine Reihe? - Kannst du das Ergebnis der vierten Aufgabe vorhersagen, ohne sie schriftlich zu rechnen?

1. Berechnung des ersten Produkts: \(77 \cdot 13 = 1001\). 2. Feststellung der Beziehung zwischen den Faktoren: Die zweiten Faktoren sind Vielfache von \(13\) (\(26 = 2 \cdot 13\), \(39 = 3 \cdot 13\), usw.). 3. Anwendung des Musters: Die weiteren Produkte entsprechen dem jeweiligen Vielfachen von \(1001\). 4. Ergebnisse: \(77 \cdot 26 = 2002\), \(77 \cdot 39 = 3003\), \(77 \cdot 52 = 4004\), \(77 \cdot 65 = 5005\).

\(77 \cdot 13 = 1001\) \(77 \cdot 26 = 2002\) \(77 \cdot 39 = 3003\) \(77 \cdot 52 = 4004\) \(77 \cdot 65 = 5005\)

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn du eine Zahl verdoppelst? - Wie müsstest du die zweite Zahl verändern, um die Verdopplung der ersten Zahl wieder auszugleichen? - Denke an das Gegenteil von „Verdoppeln“. - Kannst du die Zahlen auch durch 4 teilen oder mit 10 malnehmen?

1. Berechnung des Ausgangsprodukts: \(12 \cdot 40 = 480\). 2. Anwendung der Konstanz des Produkts: Ein Faktor wird vervielfacht, der andere durch dieselbe Zahl geteilt. 3. Beispiel 1: \(6 \cdot 80 = 480\). 4. Beispiel 2: \(24 \cdot 20 = 480\). 5. Beispiel 3: \(48 \cdot 10 = 480\).

Mögliche Aufgaben sind: \(6 \cdot 80\) \(24 \cdot 20\) \(48 \cdot 10\)

- Rechne zuerst die einzelnen Malaufgaben aus. - Addiere dann die Ergebnisse einer Zeile. - Schau dir die Endergebnisse genau an. Wie weit liegen sie auseinander? - Was hat sich bei den Malfaktoren von der ersten zur zweiten Zeile verändert?

1. Berechnung Paar 1: \(12 \cdot 10 = 120\), \(13 \cdot 11 = 143\), Summe \(120 + 143 = 263\). 2. Berechnung Paar 1 zweite Zeile: \(12 \cdot 11 = 132\), \(13 \cdot 10 = 130\), Summe \(132 + 130 = 262\). 3. Vergleich Paar 1: Das erste Ergebnis ist um \(1\) größer als das zweite (\(263 - 262 = 1\)). 4. Berechnung Paar 2: \(20 \cdot 30 = 600\), \(21 \cdot 31 = 651\), Summe \(600 + 651 = 1251\). 5. Berechnung Paar 2 zweite Zeile: \(20 \cdot 31 = 620\), \(21 \cdot 30 = 630\), Summe \(620 + 630 = 1250\). 6. Vergleich Paar 2: Auch hier ist das erste Ergebnis um \(1\) größer als das zweite (\(1251 - 1250 = 1\)).

Paar 1: \(263\) und \(262\). Paar 2: \(1251\) und \(1250\). Auffälligkeit: Das Ergebnis der ersten Zeile ist jeweils genau um \(1\) größer als das Ergebnis der zweiten Zeile.

- Fällt dir in den Aufgaben etwas auf, das in beiden Teilen der Plusaufgabe vorkommt? - Kannst du die beiden Zahlen vor dem gemeinsamen Faktor zuerst addieren, bevor du malnimmst? - Versuche, eine Klammer zu setzen, um eine Zehnerzahl zu erhalten.

1. Bei Aufgabe a) wird der gemeinsame Faktor \(6\) ausgeklammert: \((13 + 7) \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120\). 2. Bei Aufgabe b) wird der gemeinsame Faktor \(5\) ausgeklammert: \((24 + 6) \cdot 5 = 30 \cdot 5 = 150\). 3. Bei Aufgabe c) wird der gemeinsame Faktor \(3\) ausgeklammert: \((18 + 12) \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90\).

a) \(120\) b) \(150\) c) \(90\)

- Was passiert mit den Ziffern, wenn du die Partnerzahl bildest? - Wie kannst du eine Multiplikation mit \(101\) einfacher rechnen? Denke an \(100 + 1\). - Vergleiche die Ziffern in deinem Ergebnis mit den Zahlen aus der Klammer.

1. Schriftliche Addition der TILL-Zahl \(3712\) und ihrer Partnerzahl \(1237\): \(3712 + 1237 = 4949\). 2. Berechnung des Terms \((37 + 12) \cdot 101\): Zuerst die Klammer \(37 + 12 = 49\), dann die Multiplikation \(49 \cdot 101 = 4949\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis (\(4949\)). 4. Individuelle Prüfung: Beispielhaft für die TILL-Zahl \(5428\) mit der Partnerzahl \(2854\): \(5428 + 2854 = 8282\) und \((54 + 28) \cdot 101 = 82 \cdot 101 = 8282\).

a) \(4949\) b) \(4949\); die Ergebnisse sind gleich. c) Individuelle Lösung (z. B. für \(2010\): \(2010 + 1020 = 3030\) und \((20 + 10) \cdot 101 = 3030\)).

- Hast du die Zahlen richtig untereinander geschrieben, bevor du gerechnet hast? - Erinnere dich: Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl. - Passiert das Gleiche auch bei ganz kleinen oder ganz großen Ziffernunterschieden?

1. Beispielrechnung für Ziffern 3 und 8: \(8338 - 3883 = 4455\). Quersumme: \(4 + 4 + 5 + 5 = 18\). 2. Beispielrechnung für Ziffern 1 und 2: \(2112 - 1221 = 891\). Quersumme: \(8 + 9 + 1 = 18\). 3. Beispielrechnung für Ziffern 4 und 9: \(9449 - 4994 = 4455\). Quersumme: \(4 + 4 + 5 + 5 = 18\). 4. Feststellung: Die Quersumme der Differenz zweier ANNA-Zahlen aus denselben Ziffern ist immer 18.

Die Quersumme des Ergebnisses ist bei jeder dieser Aufgaben immer 18.

- Rechne zuerst alle Aufgaben sorgfältig aus. - Schau dir die erste und die zweite Hälfte jeder Ergebniszahl genau an. - Kannst du eine Verbindung zwischen dem Einmaleins mit 5 und deinen Ergebnissen sehen?

1. Die Berechnungen ergeben: \(505 \cdot 3 = 1515\), \(505 \cdot 5 = 2525\), \(505 \cdot 7 = 3535\) und \(505 \cdot 9 = 4545\). 2. Jedes Ergebnis ist eine vierstellige Zahl, bei der sich die ersten beiden Ziffern in den letzten beiden Ziffern wiederholen (Muster \(XYXY\)). Zudem entsprechen die ersten beiden Ziffern (bzw. die letzten beiden Ziffern) immer dem Ergebnis der Rechnung \(5 \cdot \text{Multiplikator}\).

1. \(1515, 2525, 3535, 4545\) 2. Die Ergebnisse bestehen aus zwei identischen Ziffernpaaren (z. B. \(15\) und \(15\)). Das Ziffernpaar entspricht immer dem Ergebnis von \(5\) mal der gewählten Zahl.

- Rechne die Aufgaben am besten schriftlich untereinander aus. - Schau dir die mittlere Ziffer der Ergebnisse genau an. - Was passiert, wenn du die erste und die letzte Ziffer zusammenzählst?

1. Berechnung der Produkte: \(198 \cdot 2 = 396\), \(198 \cdot 3 = 594\), \(198 \cdot 4 = 792\), \(198 \cdot 5 = 990\). 2. Beobachtung der Zehnerziffer: Die Zehnerziffer ist bei allen Ergebnissen eine \(9\). 3. Addition der äußeren Ziffern: \(3+6=9\), \(5+4=9\), \(7+2=9\), \(9+0=9\). Die Summe aus Hunderter- und Einerziffer ist immer \(9\).

a) \(396\), \(594\), \(792\), \(990\) b) Die Zehnerziffer ist immer \(9\). c) Die Summe ist immer \(9\).

- Was passiert, wenn du die erste und die letzte Zahl zusammenzählst? - Vergleiche dieses Ergebnis mit der Summe der zweiten und der vorletzten Zahl. - Überlege dir, wie viele Zahlen insgesamt in der Tabelle stehen. Wenn du immer zwei Zahlen zusammenfasst, wie viele Paare entstehen dann? - Wie oft musst du den Wert eines Paares addieren, um auf das Gesamtergebnis zu kommen?

1. Die Summe der ersten und letzten Zahl beträgt \(1 + 100 = 101\). 2. Die Summe des zweiten Paares beträgt \(2 + 99 = 101\). 3. Die Summe des dritten Paares beträgt \(3 + 98 = 101\). 4. Jedes Paar ergibt die Summe \(101\). Da es insgesamt \(100\) Zahlen sind, lassen sich genau \(100 : 2 = 50\) Paare bilden. 5. Die Gesamtsumme berechnet sich durch die Multiplikation der Anzahl der Paare mit dem Wert eines Paares: \(50 \cdot 101 = 5\,050\).

Jedes Zahlenpaar ergibt die Summe \(101\). Da es \(50\) solcher Paare gibt, beträgt die Gesamtsumme aller Zahlen der Hundertertafel \(5\,050\).

- Achte beim Aufschreiben der Zahlen genau auf das Muster \(abab\). - Nutze die schriftliche Subtraktion, um die Unterschiede zu berechnen. - Vergleiche die Ziffern der gewählten Zahlenpaare. Wie hängen sie zusammen? - Überlege bei Teil c), wie oft die \(900\) ungefähr in die \(3600\) passt.

1. Berechnung für die Ziffern \(7\) und \(3\): \(7373 - 3737 = 3636\). 2. Berechnung für die Ziffern \(5\) und \(1\): \(5151 - 1515 = 3636\). Feststellung: Das Ergebnis der Subtraktion ist bei gleichem Ziffernunterschied identisch. 3. Berechnung für den Ziffernunterschied \(1\) (Ziffern \(3\) und \(2\)): \(3232 - 2323 = 909\). 4. Division des ersten Ergebnisses durch das zweite: \(3636 : 909 = 4\). Der Wert aus Aufgabenteil a) ist genau das Vierfache des Wertes aus Aufgabenteil c).

a) \(3636\) b) \(3636\); die Ergebnisse sind gleich. c) Der Unterschied ist \(909\). Er passt genau \(4\)-mal in \(3636\).

- Schau dir die erste und die letzte Zahl an. Was passiert, wenn du sie addierst? - Überprüfe, ob das gleiche Ergebnis herauskommt, wenn du die zweite und die vorletzte Zahl addierst. - Wie viele Zahlen sind es insgesamt? Wie viele Paare lassen sich daraus machen?

1. Berechnung der Summe des ersten und letzten Glieds: \(10 + 100 = 110\). Da es sich um eine gleichmäßige Folge handelt, ergibt jedes Paar (z. B. \(20 + 90\)) denselben Wert. 2. Bestimmung der Anzahl der Paare: Bei insgesamt \(10\) Zahlen ergeben sich \(10 : 2 = 5\) Paare. 3. Multiplikation der Paarsumme mit der Anzahl der Paare: \(5 \cdot 110 = 550\).

a) \(110\) b) \(5\) c) \(550\)

- Die mittlere Ziffer kann beliebig gewählt werden. - Achte beim Bilden der Umkehrzahl darauf, die Ziffernreihenfolge genau umzudrehen. - Rechne die schriftliche Subtraktion Stelle für Stelle durch.

1. Erstes Beispiel (\(653\)): Die Umkehrzahl ist \(356\). Die Rechnung lautet \(653 - 356 = 297\). 2. Zweites Beispiel (z. B. \(411\)): Die Umkehrzahl ist \(114\). Die Rechnung lautet \(411 - 114 = 297\). 3. Drittes Beispiel (z. B. \(906\)): Die Umkehrzahl ist \(609\). Die Rechnung lautet \(906 - 609 = 297\). 4. Beobachtung: Das Ergebnis der Subtraktion ist immer \(297\), wenn die Differenz zwischen der ersten und der letzten Ziffer \(3\) beträgt.

Das Ergebnis der Subtraktion ist immer \(297\).

- Wie oft passt der Teiler ganz in die Zahl hinein? - Wie viel bleibt als Unterschied zum Dividenden übrig? - Denke bei großen Zahlen daran, dass du Nullen beim Schätzen gedanklich wegstreichen kannst, aber der Rest sich dadurch verändern kann.

1. Division mit Rest durchführen: \(26 : 4 = 6\,\text{Rest}\,2\) \(44 : 7 = 6\,\text{Rest}\,2\) \(310 : 50 = 6\,\text{Rest}\,10\) \(490 : 80 = 6\,\text{Rest}\,10\) \(19 : 3 = 6\,\text{Rest}\,1\) \(55 : 9 = 6\,\text{Rest}\,1\) 2. Identifikation der Paare: Die Ergebnisse \(6\,\text{Rest}\,2\), \(6\,\text{Rest}\,10\) und \(6\,\text{Rest}\,1\) treten jeweils doppelt auf.

\(26 : 4 = 6\,\text{Rest}\,2\) \(44 : 7 = 6\,\text{Rest}\,2\) \(310 : 50 = 6\,\text{Rest}\,10\) \(490 : 80 = 6\,\text{Rest}\,10\) \(19 : 3 = 6\,\text{Rest}\,1\) \(55 : 9 = 6\,\text{Rest}\,1\)

- Schau dir die erste Zahl jeder Malaufgabe an. Wie verändert sie sich von Zeile zu Zeile? - Schau dir nun die zweite Zahl jeder Malaufgabe an. Siehst du auch hier eine Regel? - Prüfe, ob die letzte Aufgabe diese Regeln noch einhält.

1. Analyse des ersten Faktors: Die Zahlen sind \(10, 20, 30, 40, 50\). Sie werden immer um \(10\) größer. Dieser Faktor folgt einer klaren Regel. 2. Analyse des zweiten Faktors: Die Zahlen sind \(100, 90, 80, 70, 50\). Bis zur vierten Aufgabe werden sie immer um \(10\) kleiner. 3. Identifikation des Fehlers: In der 5. Aufgabe müsste der zweite Faktor nach der Regel (\(70 - 10\)) eigentlich \(60\) lauten. Die Rechnung \(50 \cdot 50\) bricht das Muster. 4. Überprüfung der Ergebnisse: Die Produkte steigen um \(800, 600, 400\). Der nächste Schritt müsste \(+200\) sein (\(2800 + 200 = 3000\)). \(50 \cdot 60\) ergäbe \(3000\), aber hier steht \(2500\).

Die 5. Rechnung (\(50 \cdot 50 = 2500\)) passt nicht. Nach dem Muster der Faktoren müsste sie \(50 \cdot 60 = 3000\) lauten.

- Vergleiche die Faktoren untereinander. Wie verändern sie sich von oben nach unten? - Erhöhen sich die Zahlen immer um den gleichen Betrag? - Wenn du die Regel für den zweiten Faktor gefunden hast, prüfe die letzte Zeile ganz genau.

1. Untersuchung des ersten Faktors: Die Reihe ist \(1, 2, 3, 4, 5\). Das Muster ist immer \(+1\). 2. Untersuchung des zweiten Faktors: Die Reihe ist \(20, 40, 60, 80, 90\). Hier ist das Muster bis zur vierten Aufgabe immer \(+20\). 3. Fehler finden: In der 5. Aufgabe müsste der zweite Faktor \(80 + 20 = 100\) sein. Stattdessen steht dort \(90\). 4. Korrektur: Die richtige Rechnung laut Muster ist \(5 \cdot 100 = 500\).

Die Rechnung \(5 \cdot 90 = 450\) ist falsch. Richtig müsste sie \(5 \cdot 100 = 500\) lauten, damit das Muster (erster Faktor \(+1\), zweiter Faktor \(+20\)) passt.

- Beobachte beide Faktoren gleichzeitig: Was passiert mit der ersten Zahl und was mit der zweiten Zahl? - Rechne alle Aufgaben inklusive deiner Fortsetzungen aus. - Vergleiche die Ergebnisse der späteren Aufgaben mit denen der ersten Aufgaben. Fällt dir eine Symmetrie auf? - Wie verändern sich die Abstände zwischen den Ergebnissen?

1. Berechnung der vorgegebenen Produkte: \(10 \cdot 90 = 900\), \(20 \cdot 80 = 1600\), \(30 \cdot 70 = 2100\), \(40 \cdot 60 = 2400\). 2. Fortsetzung des Musters: Der erste Faktor steigt um \(10\), der zweite Faktor sinkt um \(10\). Die nächsten Aufgaben sind \(50 \cdot 50 = 2500\), \(60 \cdot 40 = 2400\) und \(70 \cdot 30 = 2100\). 3. Beobachtung der Ergebnisse: Die Ergebnisse steigen zuerst an (\(+700\), \(+500\), \(+300\), \(+100\)), erreichen bei \(50 \cdot 50\) ihren Höchstwert und sinken danach symmetrisch wieder ab (\(-100\), \(-300\)).

Die Fortsetzung lautet: \(50 \cdot 50 = 2500\) \(60 \cdot 40 = 2400\) \(70 \cdot 30 = 2100\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden erst größer und dann wieder kleiner. Das größte Ergebnis liegt genau in der Mitte bei \(50 \cdot 50\).

- Vergleiche die vorderen Zahlen (die Dividenden) miteinander. Um wie viel werden sie jedes Mal kleiner? - Was passiert mit den Ergebnissen und den Resten in jeder neuen Zeile? - Bleibt eine Zahl in allen Aufgaben gleich? - Nutze deine Beobachtungen, um die nächste Zeile aufzuschreiben.

1. Analyse der Dividenden: Die Zahlen verringern sich jeweils um \(41\) (\(216 - 175 = 41\), \(175 - 134 = 41\), usw.). Der nächste Dividend ist \(52 - 41 = 11\). 2. Analyse der Divisoren: Der Divisor bleibt konstant bei \(40\). 3. Analyse der Ergebnisse: Der Quotient verringert sich um \(1\) (\(5, 4, 3, 2, 1\)), der nächste ist \(0\). 4. Analyse der Reste: Der Rest verringert sich um \(1\) (\(16, 15, 14, 13, 12\)), der nächste ist \(11\). 5. Überprüfung: \(11 : 40 = 0\,\text{Rest}\,11\).

\(11 : 40 = 0\,\text{Rest}\,11\)

- Rechne zuerst die jeweils erste Aufgabe einer Zeile aus. - Um wie viel unterscheiden sich die Dividenden in einer Zeile? - Haben diese Unterschiede etwas mit dem Divisor zu tun? - Kannst du das Ergebnis der zweiten Aufgabe finden, ohne ganz neu zu rechnen?

1. Teilaufgabe a): \(560 : 7 = 80\). Da \(567\) um \(7\) (einmal der Divisor) größer ist als \(560\), ist \(567 : 7 = 81\). Da \(553\) um \(7\) kleiner ist, ist \(553 : 7 = 79\). 2. Teilaufgabe b): \(420 : 6 = 70\). Mit \(426 = 420 + 6\) folgt \(426 : 6 = 71\). Mit \(414 = 420 - 6\) folgt \(414 : 6 = 69\). 3. Teilaufgabe c): \(320 : 4 = 80\). Da \(328 = 320 + 8\) (zweimal der Divisor), ist \(328 : 4 = 82\). Da \(312 = 320 - 8\), ist \(312 : 4 = 78\).

a) \(80, 81, 79\) b) \(70, 71, 69\) c) \(80, 82, 78\) Beobachtung: Wird der Dividend um ein Vielfaches des Divisors verändert, ändert sich der Quotient um das entsprechende Vielfache.

- Rechne die Aufgaben schriftlich untereinander, wenn dir das hilft. - Siehst du ein Muster in den Ergebnissen? Bestehen sie aus besonderen Ziffernkombinationen? - Wie ändern sich die Summanden von Aufgabe zu Aufgabe?

1. Berechnung der Aufgaben: \(12\,121 + 21\,212 = 33\,333\), \(23\,232 + 21\,212 = 44\,444\), \(34\,343 + 21\,212 = 55\,555\). 2. Fortsetzung: Der erste Summand erhöht sich pro Schritt um \(11\,111\). Die vierte Zeile ist \(45\,454 + 21\,212 = 66\,666\), die fünfte Zeile ist \(56\,565 + 21\,212 = 77\,777\). 3. Besonderheit: Die Ergebnisse sind Schnapszahlen, bestehen also jeweils aus fünf identischen Ziffern.

Ergebnisse: \(33\,333\), \(44\,444\), \(55\,555\). Fortsetzung: \(45\,454 + 21\,212 = 66\,666\) \(56\,565 + 21\,212 = 77\,777\) Besonderheit: Alle Ziffern eines Ergebnisses sind gleich (Schnapszahlen).

- Beobachte, wie sich der erste und der zweite Summand von Zeile zu Zeile verändern. - Wenn du bei einer Addition eine Zahl um 1 erhöhst und die andere um 1 verringerst, was passiert dann mit der Summe? - Rechne die erste Aufgabe aus und schaue, ob das Ergebnis auch bei den anderen passt.

1. Fortsetzung des Musters: Der erste Summand steigt um \(11\,111\), der zweite sinkt um \(11\,111\). Die vierte Zeile lautet \(45\,678 + 54\,321\). 2. Berechnung: Alle Aufgaben ergeben \(99\,999\). 3. Erklärung: Da der erste Summand um denselben Betrag (\(11\,111\)) zunimmt, um den der zweite Summand abnimmt, bleibt die Gesamtsumme unverändert.

Die vierte Zeile lautet: \(45\,678 + 54\,321 = 99\,999\). Alle Ergebnisse sind gleich \(99\,999\). Erklärung: Der erste Summand wird immer um \(11\,111\) größer, während der zweite Summand immer um \(11\,111\) kleiner wird. Dadurch gleicht sich der Unterschied aus.

- Rechne zuerst die vorgegebenen Aufgaben schriftlich aus. - Schau dir die Ziffern der ersten Zahl und die Ziffern des Ergebnisses genau an. Sind es dieselben? - Wie verändert sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile? - Kannst du vorhersagen, wie die erste Zahl der nächsten Aufgabe aussehen muss?

1. Berechnung der Ergebnisse: \(4321 - 2889 = 1432\) \(5432 - 2889 = 2543\) \(6543 - 2889 = 3654\) \(7654 - 2889 = 4765\) 2. Fortsetzung des Musters: Die erste Zahl erhöht sich immer um \(1111\). Die nächsten Aufgaben lauten: \(8765 - 2889 = 5876\) \(9876 - 2889 = 6987\) 3. Vergleich: Die Ziffern des Ergebnisses sind dieselben wie die der ersten Zahl, jedoch in einer anderen Reihenfolge. Die letzte Ziffer der ersten Zahl rückt an die erste Stelle des Ergebnisses, während die anderen Ziffern um eine Position nach rechts rücken (zyklische Vertauschung).

Die Ergebnisse sind: \(1432\), \(2543\), \(3654\), \(4765\). Die Fortsetzungen sind: \(8765 - 2889 = 5876\) und \(9876 - 2889 = 6987\). Beobachtung: Die letzte Ziffer der ersten Zahl wird zur ersten Ziffer des Ergebnisses. Die restlichen Ziffern bleiben in ihrer Reihenfolge gleich und rutschen nach hinten.

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du die erste Zahl verdoppelst, aber die zweite Zahl gleich lässt? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die Zahl, durch die du teilst, immer größer wird? - Nutze dein Wissen über das Halvieren und Verdoppeln.

1. Päckchen a): Der Dividend bleibt gleich (\(48\,000\)), während der Divisor steigt. Durch Division der Grundzahl \(48\) ergeben sich die Werte: \(24\,000\), \(12\,000\), \(8000\) und \(6000\). 2. Päckchen b): Der Divisor bleibt gleich (\(3\)), während der Dividend in Schritten von \(12\,000\) wächst. Die Ergebnisse lauten: \(4000\), \(8000\), \(12\,000\) und \(16\,000\).

a) \(24\,000, 12\,000, 8000, 6000\) b) \(4000, 8000, 12\,000, 16\,000\)

- Kannst du das Ergebnis schätzen, indem du nur die vorderen Stellen betrachtest? - Wenn der Teiler (Divisor) gleich bleibt, wie verändert sich das Ergebnis bei einem größeren Dividenden? - Rechne Schritt für Schritt und notiere dir die Zwischenergebnisse.

1. Berechnung von \(27\,000 : 3\): \(27 : 3 = 9\), Ergebnis \(9\,000\). 2. Berechnung von \(24\,000 : 3\): \(24 : 3 = 8\), Ergebnis \(8\,000\). 3. Vergleich für a): \(9\,000 > 8\,000\). 4. Berechnung von \(14\,000 : 7\): \(14 : 7 = 2\), Ergebnis \(2\,000\). 5. Berechnung von \(16\,000 : 8\): \(16 : 8 = 2\), Ergebnis \(2\,000\). 6. Vergleich für b): \(2\,000 = 2\,000\).

a) \(9\,000 > 8\,000\) b) \(2\,000 = 2\,000\)

- Berechne zuerst alle vier Ergebnisse einzeln. - Vergleiche danach die Zahlen und suche nach Übereinstimmungen. - Ein kleinerer Teiler führt bei gleicher Ausgangszahl zu einem größeren Ergebnis.

1. Berechnung von a): \(18 : 3 = 6\), also \(6\,000\). 2. Berechnung von b): \(18 : 6 = 3\), also \(3\,000\). 3. Berechnung von c): \(30 : 5 = 6\), also \(6\,000\). 4. Berechnung von d): \(15 : 5 = 3\), also \(3\,000\). 5. Identifikation der Paare: Die Ergebnisse von a) und c) sind gleich (\(6\,000\)). Die Ergebnisse von b) und d) sind gleich (\(3\,000\)).

Die Aufgaben a) und c) haben das gleiche Ergebnis (\(6\,000\)). Die Aufgaben b) und d) haben das gleiche Ergebnis (\(3\,000\)).

- Was passiert mit dem zweiten Faktor von Zeile zu Zeile? - Rechne die erste Aufgabe schriftlich. Das Ergebnis wird dir helfen. - Wie müsste die vierte Aufgabe aussehen, wenn das Muster so weitergeht? - Haben die Ziffern im Ergebnis eine besondere Regelmäßigkeit?

1. Berechnung des ersten Produkts: \(15\,873 \cdot 7 = 111\,111\). 2. Erkennen der Struktur: Der erste Faktor bleibt gleich, der zweite Faktor steigt in Schritten von \(7\). 3. Bestimmung der nächsten Aufgaben: \(15\,873 \cdot 28\) und \(15\,873 \cdot 35\). 4. Berechnung der Produkte durch Vervielfachung von \(111\,111\): \(222\,222\), \(333\,333\), \(444\,444\) und \(555\,555\).

\(15\,873 \cdot 7 = 111\,111\) \(15\,873 \cdot 14 = 222\,222\) \(15\,873 \cdot 21 = 333\,333\) \(15\,873 \cdot 28 = 444\,444\) \(15\,873 \cdot 35 = 555\,555\)

- Rechne die ersten drei Aufgaben untereinander aus. - Welche Ziffern stehen immer am Anfang und am Ende des Ergebnisses? - Wie viele Neunen tauchen in der Mitte der Ergebnisse auf? Vergleiche das mit dem ersten Faktor. - Kannst du das letzte Ergebnis aufschreiben, ohne jede Ziffer einzeln zu multiplizieren?

1. Berechnung der ersten Produkte: \(9 \cdot 9 = 81\), \(99 \cdot 9 = 891\), \(999 \cdot 9 = 8991\). 2. Analyse des Ziffernmusters: Jedes Ergebnis beginnt mit \(8\) und endet mit \(1\). Dazwischen stehen Neunen. 3. Bestimmung der Anzahl der Neunen: Die Anzahl der Neunen im Ergebnis ist immer um eins geringer als die Anzahl der Neunen im ersten Faktor. 4. Vervollständigung der Reihe: \(9\,999 \cdot 9 = 89\,991\) und \(99\,999 \cdot 9 = 899\,991\).

\(9 \cdot 9 = 81\) \(99 \cdot 9 = 891\) \(999 \cdot 9 = 8991\) \(9\,999 \cdot 9 = 89\,991\) \(99\,999 \cdot 9 = 899\,991\)

- Schau dir die Faktoren an, mit denen du nacheinander malnimmst. Was passiert, wenn du diese Faktoren zuerst miteinander multiplizierst? - Vergleiche das Endergebnis mit der Startzahl. Mit welchem Faktor wurde die Startzahl insgesamt vervielfacht? - Hilft es dir, das Ergebnis nach dem zweiten Schritt (nach der Multiplikation mit 5) genauer zu betrachten?

1. Durchführung der Multiplikationsschritte für drei Beispiele: Für \(150\) gilt \(150 \cdot 2 = 300\), \(300 \cdot 5 = 1500\), \(1500 \cdot 8 = 12\,000\). Für \(123\) gilt \(123 \cdot 2 = 246\), \(246 \cdot 5 = 1230\), \(1230 \cdot 8 = 9840\). Für \(250\) gilt \(250 \cdot 2 = 500\), \(500 \cdot 5 = 2500\), \(2500 \cdot 8 = 20\,000\). 2. Vergleich mit der Startzahl: Das Endergebnis entspricht immer der Startzahl multipliziert mit \(80\). 3. Begründung durch das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz): Die schrittweise Multiplikation \((\text{Zahl} \cdot 2) \cdot 5 \cdot 8\) ist gleichbedeutend mit \(\text{Zahl} \cdot (2 \cdot 5 \cdot 8)\). Da \(2 \cdot 5 = 10\) und \(10 \cdot 8 = 80\) ist, wird die Startzahl insgesamt mit \(80\) multipliziert.

Das Endergebnis ist immer das \(80\)-Fache der Startzahl. Das liegt daran, dass die Multiplikation mit \(2\), dann mit \(5\) und dann mit \(8\) zusammengefasst eine Multiplikation mit \(80\) ergibt, da \(2 \cdot 5 \cdot 8 = 80\) ist.

- Rechne zuerst die Faktoren von Weg A zusammen, bevor du mit der großen Zahl startest. - Fällt dir eine Ähnlichkeit zwischen den Zahlen \(5\), \(2\) und der Zahl \(10\) auf? - Warum ist es egal, in welcher Reihenfolge man Zahlen multipliziert?

1. Berechnung Weg A für \(145\): \(145 \cdot 5 = 725\), \(725 \cdot 2 = 1450\), \(1450 \cdot 9 = 13\,050\). 2. Berechnung Weg B für \(145\): \(145 \cdot 90 = 13\,050\). 3. Feststellung: Beide Ergebnisse sind identisch. 4. Begründung: In Weg A werden die Faktoren \(5\), \(2\) und \(9\) verwendet. Da \(5 \cdot 2 = 10\) und \(10 \cdot 9 = 90\) ist, entspricht die Kombination dieser Schritte genau dem Faktor \(90\) aus Weg B.

Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis (\(13\,050\)). Das gilt für jede Zahl, weil die Faktoren in Weg A (\(5 \cdot 2 \cdot 9\)) zusammengefasst genau \(90\) ergeben, was dem Faktor in Weg B entspricht.

- Wenn du beide Zahlen einer Geteiltaufgabe auf die gleiche Weise veränderst, was passiert mit dem Ergebnis? - Probiere aus, beide Zahlen zu halbieren. - Was passiert, wenn du an beide Zahlen eine Null anhängst? - Überlege dir eine ganz einfache Aufgabe mit dem Ergebnis 30 und schaue, wie sie mit der Startaufgabe zusammenhängt.

1. Bestimmung des Quotienten: \(360 : 12 = 30\). 2. Anwendung der Konstanz des Quotienten: Dividend und Divisor werden mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert. 3. Beispiel 1: \(180 : 6 = 30\). 4. Beispiel 2: \(720 : 24 = 30\). 5. Beispiel 3: \(60 : 2 = 30\).

Mögliche Aufgaben sind: \(180 : 6\) \(720 : 24\) \(60 : 2\)

- Betrachte die Zahlen in Aufgabe b) genau. Welche Zahl fehlt, damit das Schema wie in Aufgabe a) aussieht? - Nutze die Regel aus der ersten Aufgabe, um deine Ergebnisse zu überprüfen.

1. Teil a) berechnen: \(9 \cdot 14 = 126\), \(10 \cdot 15 = 150\), Summe \(126 + 150 = 276\). 2. Teil a) zweite Zeile: \(9 \cdot 15 = 135\), \(10 \cdot 14 = 140\), Summe \(135 + 140 = 275\). 3. Teil b) Lücke füllen: Das Muster zeigt aufeinanderfolgende Zahlenpaare. Wenn in der zweiten Zeile \(25\) und \(26\) stehen, muss die Lücke in der ersten Zeile \(25\) sein. 4. Teil b) berechnen: \(25 \cdot 20 = 500\), \(26 \cdot 21 = 546\), Summe \(500 + 546 = 1046\). 5. Teil b) zweite Zeile: \(25 \cdot 21 = 525\), \(26 \cdot 20 = 520\), Summe \(525 + 520 = 1045\).

a) \(276\) und \(275\) b) Die Lücke ist \(25\). Die Ergebnisse sind \(1046\) und \(1045\).

- Rechne beide Wege einmal komplett durch. - Welche Zahlen lassen sich leichter im Kopf multiplizieren? - Schau dir an, wie die Klammer die Aufgabe verändert.

1. Berechnung Weg A: Die Teilprodukte \(128\) und \(32\) werden addiert, was \(160\) ergibt. 2. Berechnung Weg B: Zuerst wird die Summe in der Klammer gebildet (\(16 + 4 = 20\)). Danach wird \(20 \cdot 8 = 160\) gerechnet. 3. Vergleich: Weg B ist einfacher, da das Rechnen mit einer glatten Zehnerzahl (\(20\)) im Kopf schneller zum Ergebnis führt.

Beide Ergebnisse sind \(160\). Weg B ist einfacher, da man durch das Zusammenfassen mit der Zehnerzahl \(20\) leichter rechnen kann.

- Wie berechnest du den Preis für nur eine Sorte Seile? - Wie viele Seile hat Herr Wagner insgesamt gekauft? - Gibt es einen Weg, bei dem du nur einmal multiplizieren musst?

1. Aufstellen des ersten Ausdrucks: \(14 \cdot 4 + 16 \cdot 4\). 2. Aufstellen des zweiten Ausdrucks: \((14 + 16) \cdot 4\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \((14 + 16) = 30\). Danach \(30 \cdot 4 = 120\).

a) \(14 \cdot 4 + 16 \cdot 4\) b) \((14 + 16) \cdot 4\) c) \(120\,\text{€}\)

- Wie wurde im Beispiel die Partnerzahl von \(7521\) gebildet? - Wie kannst du \(52 \cdot 99\) im Kopf rechnen, ohne die schriftliche Multiplikation zu nutzen? - Achte beim schriftlichen Subtrahieren besonders auf das Entbündeln.

1. Bestimmung der Partnerzahl von \(8634\): Vertauschen der Hälften \(86\) und \(34\) ergibt \(3486\). 2. Schriftliche Subtraktion: \(8634 - 3486 = 5148\). 3. Anwendung des Rechentricks: Berechnung der Klammer \(86 - 34 = 52\). Multiplikation \(52 \cdot 99\). 4. Berechnung von \(52 \cdot 99\): \(52 \cdot 100 - 52 = 5200 - 52 = 5148\). 5. Vergleich: Beide Ergebnisse sind identisch (\(5148\)).

a) Die Partnerzahl ist \(3486\). b) \(5148\) c) \(52 \cdot 99 = 5148\); das Ergebnis stimmt überein.

- Der Unterschied zwischen den beiden Ziffern muss bei allen Paaren gleich groß sein. - Probiere systematisch Ziffernpaare aus, die einen kleinen Abstand haben (z. B. 1 und 2, dann 1 und 3...). - Wie oft passt die 891 (der kleinste mögliche Unterschied) in dein Ergebnis?

1. Ist \(a\) die größere und \(b\) die kleinere Ziffer, lässt sich die Differenz der ANNA-Zahlen \(abba\) und \(baab\) durch \(891 \cdot (a - b)\) berechnen. 2. Suche eine Zahl, die mit 891 multipliziert \(2673\) ergibt: \(2673 : 891 = 3\). 3. Die Differenz der beiden verwendeten Ziffern muss also 3 sein. 4. Mögliche Ziffernpaare: (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8) oder (6, 9). 5. Überprüfung: \(4114 - 1441 = 2673\), \(5225 - 2552 = 2673\), \(6336 - 3663 = 2673\).

Mögliche Ziffernpaare sind zum Beispiel: 1 und 4, 2 und 5, 3 und 6, 4 und 7, 5 und 8 oder 6 und 9.

- Schau dir die Ziffern im Ergebnis genau an. Wie hängen sie mit den Startziffern zusammen? - Was musst du rechnen, um von den Ziffern 3 und 4 auf das Ergebnis 7777 zu kommen? - Welche zwei Zahlen ergeben zusammen 8?

1. Berechnung für (2, 5): \(2552 + 5225 = 7777\). 2. Berechnung für (3, 4): \(3443 + 4334 = 7777\). 3. Feststellung: Die Summe besteht immer aus vier gleichen Ziffern, sofern die Summe der Einzelziffern kleiner als 10 ist. Die Ergebnisziffer ist immer die Summe der beiden gewählten Ziffern. 4. Um \(8888\) zu erhalten, muss die Summe der beiden Ziffern \(a + b = 8\) sein. 5. Da die Ziffern verschieden sein sollen, ergeben sich folgende Paare: (1, 7), (2, 6) und (3, 5).

a) Die Summen sind \(7777\) und \(7777\). Die Ergebnisse bestehen aus vier identischen Ziffern. b) Die drei Möglichkeiten für die Ziffernpaare sind: 1 und 7, 2 und 6 sowie 3 und 5.

- Wie oft passt die \(6\) in die ersten beiden Ziffern der Ergebnisse? - Achte darauf, wie sich die Ergebnisse verändern, wenn der Multiplikator um eins steigt. - Übertrage die Regel der ersten Ergebnisse auf die neue Rechnung mit der \(7\).

1. Um die Multiplikatoren zu finden, wird die Division oder das Probieren mit der Sechserreihe genutzt: \(12 : 6 = 2\), \(18 : 6 = 3\), \(24 : 6 = 4\), \(30 : 6 = 5\). Die Multiplikatoren sind also \(2, 3, 4\) und \(5\). 2. Das Muster zeigt, dass \(606 \cdot n\) das Ergebnis \((6 \cdot n)(6 \cdot n)\) liefert. Für \(n = 7\) ist \(6 \cdot 7 = 42\). Das Ergebnis lautet somit \(4242\).

1. Die Multiplikatoren sind \(2, 3, 4\) und \(5\). 2. Das Ergebnis ist \(4242\).

- Die Quersumme erhältst du, wenn du alle Ziffern einer Zahl addierst. - Achte bei den vierstelligen Zahlen auf die Ziffern, die nicht direkt nebeneinander stehen. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Summen, die du in Teil c) ausrechnest?

1. Berechnung der Produkte: \(495 \cdot 2 = 990\), \(495 \cdot 3 = 1485\), \(495 \cdot 4 = 1980\), \(495 \cdot 5 = 2475\). 2. Berechnung der Quersummen: \(9+9+0=18\), \(1+4+8+5=18\), \(1+9+8+0=18\), \(2+4+7+5=18\). Die Quersumme ist immer \(18\). 3. Untersuchung der Ziffernpaare: Bei \(1485\) ist \(1+8=9\) und \(4+5=9\). Bei \(1980\) ist \(1+8=9\) und \(9+0=9\). Bei \(2475\) ist \(2+7=9\) und \(4+5=9\). Die Summen der gegenüberliegenden Ziffernpaare ergeben immer \(9\).

a) \(990\), \(1485\), \(1980\), \(2475\) b) Die Quersumme ist immer \(18\). c) Die Summe der ersten und dritten Ziffer ist immer \(9\), ebenso wie die Summe der zweiten und vierten Ziffer.

- Addiere erst einmal die Zahlen der ersten Spalte ganz in Ruhe. - Schau dir die Zahlen der ersten und zweiten Spalte genau an. Was fällt dir auf, wenn du die Zahlen Zeile für Zeile vergleichst? - Wenn du weißt, wie sich die Summe von Spalte zu Spalte verändert, kannst du die Summe der zehnten Spalte leicht finden. - Kannst du beim Addieren der zehn Spaltensummen wieder einen Trick mit Paaren (wie zum Beispiel die erste und die letzte Summe) anwenden?

1. Die Summe der ersten Spalte ist \(1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91 = 460\). 2. Die Summe der zweiten Spalte ist \(2 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 = 470\). 3. Die zweite Spaltensumme ist um \(10\) größer als die erste. Das liegt daran, dass jede der zehn Zahlen in der zweiten Spalte genau um \(1\) größer ist als die entsprechende Zahl in der ersten Spalte (\(10 \cdot 1 = 10\)). 4. Da jede Spalte um \(10\) größer ist als die vorherige, ist die zehnte Spalte um \(9 \cdot 10 = 90\) größer als die erste: \(460 + 90 = 550\). 5. Die Summe der zehn Spaltensummen (\(460, 470, \dots, 550\)) ergibt \(460 + 470 + 480 + 490 + 500 + 510 + 520 + 530 + 540 + 550 = 5\,050\).

Die Summe der ersten Spalte ist \(460\), die der zweiten \(470\) und die der zehnten Spalte \(550\). Die Gesamtsumme aller Spaltensummen beträgt \(5\,050\).

- Was ist das Ergebnis, wenn der Unterschied der Ziffern nur \(1\) beträgt? - Kannst du ein Muster in den Ergebnissen erkennen, wenn du den Ziffernunterschied schrittweise erhöhst? - Gehe bei Teil b) systematisch vor, indem du mit der kleinstmöglichen Ziffer für \(b\) beginnst.

1. Berechnung für \(a=6\) und \(b=1\): \(6161 - 1616 = 4545\). 2. Da das Ergebnis der Subtraktion immer ein Vielfaches von \(909\) ist, entspricht \(1818\) einem Ziffernunterschied von \(2\), da \(2 \cdot 909 = 1818\). 3. Systematisches Auflisten aller Ziffernpaare \((a, b)\) mit \(a - b = 2\) im Bereich von \(1\) bis \(9\): \((3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (7, 5), (8, 6), (9, 7)\). 4. Der kleinstmögliche Ziffernunterschied größer als \(0\) ist \(1\). Die Rechnung \(abab - baba\) ergibt dann \(909 \cdot 1 = 909\).

a) \(4545\) b) Die Ziffernpaare sind: \(3\) und \(1\); \(4\) und \(2\); \(5\) und \(3\); \(6\) und \(4\); \(7\) und \(5\); \(8\) und \(6\); \(9\) und \(7\). c) \(909\)

- Was ergibt die Summe aus der kleinsten und der größten Zahl? - Wie viele Zahlen stehen insgesamt in der Reihe? - Wenn du immer zwei Zahlen zu einem Paar zusammenfasst, wie viele Paare hast du dann? - Wie kannst du mit der Anzahl der Paare und dem Wert eines Paares das Gesamtergebnis ausrechnen?

1. Ermittlung der Summe eines Paares: \(1 + 80 = 81\). Jedes weitere Paar (z. B. \(2 + 79\)) hat dieselbe Summe. 2. Berechnung der Anzahl der Paare: Die Folge umfasst \(80\) Zahlen, woraus sich \(80 : 2 = 40\) Paare bilden lassen. 3. Berechnung des Gesamtergebnisses durch Multiplikation: \(40 \cdot 81 = 3240\).

\(3240\)

- Kannst du auch hier den Trick mit den Paaren anwenden? - Welchen Wert hat ein Paar aus der ersten und der letzten Zahl? - Wie viele Paare kannst du aus den \(20\) Zahlen bilden? - Gibt es eine einfache Rechnung, um von den Paaren auf das Endergebnis zu kommen?

1. Bildung der Summe aus dem ersten und dem letzten Wert der Folge: \(5 + 100 = 105\). 2. Bestimmung der Anzahl der Paare: Da die Folge aus \(20\) Zahlen besteht, können \(20 : 2 = 10\) Paare gebildet werden. 3. Berechnung der Gesamtsumme: Die Multiplikation der Paarsumme mit der Paaranzahl ergibt \(10 \cdot 105 = 1050\).

\(1050\)

- Untersuche die Divisoren (die Zahlen nach dem Geteiltzeichen). Wie verändern sie sich? - Schau dir die Ergebnisse nach dem Gleichheitszeichen an. Welches einfache Muster erkennst du dort? - Kannst du die nächste Aufgabe finden, indem du erst den Divisor und das Ergebnis festlegst? - Wie hängen Dividend, Divisor und Ergebnis zusammen? Nutze die Umkehraufgabe.

1. Muster der Divisoren: Die Divisoren steigen pro Schritt um \(5\) (\(5, 10, 15, 20, 25\)). Die nächsten Divisoren sind \(30\) und \(35\). 2. Muster der Ergebnisse: Die Quotienten steigen pro Schritt um \(1\) (\(10, 11, 12, 13, 14\)). Die nächsten Quotienten sind \(15\) und \(16\). 3. Muster der Dividenden: Die Differenzen zwischen den Dividenden nehmen stetig zu (\(+60, +70, +80, +90\)). Die nächste Differenz ist \(+100\). 4. Berechnung der Aufgaben: \(15 \cdot 30 = 450\) und \(16 \cdot 35 = 560\). 5. Die Fortsetzung lautet: \(450 : 30 = 15\) und \(560 : 35 = 16\).

\(450 : 30 = 15\) \(560 : 35 = 16\)

- Vergleiche in jeder Zeile die erste Zahl der ersten Aufgabe mit der ersten Zahl der zweiten Aufgabe. Was ist passiert? - Schau dir nun die zweite Zahl (den Divisor) an. Ist dort das Gleiche passiert? - Rechne die Aufgaben aus. Was stellst du bei den Quotienten fest? - Gibt es eine Regel, die du hier entdecken kannst?

1. Teilaufgabe a): \(640 : 8 = 80\), \(320 : 4 = 80\), \(160 : 2 = 80\). Dividend und Divisor wurden jeweils halbiert. 2. Teilaufgabe b): \(420 : 6 = 70\), \(210 : 3 = 70\), \(70 : 1 = 70\). Dividend und Divisor wurden erst halbiert, dann durch \(3\) geteilt. 3. Teilaufgabe c): \(240 : 6 = 40\), \(120 : 3 = 40\), \(40 : 1 = 40\). Erkenntnis: Wenn Dividend und Divisor durch dieselbe Zahl dividiert werden, bleibt das Ergebnis der Division gleich.

a) \(80, 80, 80\) b) \(70, 70, 70\) c) \(40, 40, 40\) Beobachtung: Die Ergebnisse innerhalb einer Zeile sind immer gleich.

- Schau dir die Ziffern der ersten Zahl und die Ziffern des Ergebnisses ganz genau an. Fällt dir eine Spiegelung auf? - Wie verändert sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn der erste Summand immer um den gleichen Betrag größer wird?

1. Berechnung der ersten drei Aufgaben: \(10\,203 + 19\,998 = 30\,201\), \(20\,304 + 19\,998 = 40\,302\), \(30\,405 + 19\,998 = 50\,403\). 2. Fortsetzung des Musters: In jeder Zeile erhöht sich der erste Summand um \(10\,101\). Die vierte Zeile lautet \(40\,506 + 19\,998 = 60\,504\), die fünfte Zeile \(50\,607 + 19\,998 = 70\,605\). 3. Vergleich: Das Ergebnis jeder Aufgabe entspricht der ersten Zahl, wenn man ihre Ziffern in umgekehrter Reihenfolge liest (z. B. wird aus \(10\,203\) das Ergebnis \(30\,201\)).

Die Ergebnisse lauten \(30\,201\), \(40\,302\) und \(50\,403\). Die nächsten zwei Zeilen sind: \(40\,506 + 19\,998 = 60\,504\) \(50\,607 + 19\,998 = 70\,605\) Auffälligkeit: Das Ergebnis ist die erste Zahl rückwärts gelesen.

- Addiere die Zahlen schriftlich. Achte dabei auf die Überträge. - Schau dir an, wie sich die einzelnen Summanden von Aufgabe zu Aufgabe verändern. - Um wie viel wird der erste Summand größer? Um wie viel der zweite? - Kannst du den Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ergebnissen berechnen?

1. Berechnung der Summen: \(12\,345 + 23\,456 = 35\,801\) \(23\,456 + 34\,567 = 58\,023\) \(34\,567 + 45\,678 = 80\,245\) 2. Fortsetzung des Musters: In jedem Schritt werden die Summanden so gewählt, dass jede Ziffer um 1 höher ist als in der Zeile davor. Die nächste Aufgabe lautet: \(45\,678 + 56\,789 = 102\,467\) 3. Bestimmung des Zuwachses: \(58\,023 - 35\,801 = 22\,222\) \(80\,245 - 58\,023 = 22\,222\) Das Ergebnis wächst in jedem Schritt um \(22\,222\).

Die Ergebnisse sind: \(35\,801\), \(58\,023\), \(80\,245\). Die Fortsetzung lautet: \(45\,678 + 56\,789 = 102\,467\). Das Ergebnis wächst in jedem Schritt um \(22\,222\).

- Wie kannst du die Umkehraufgabe nutzen, um eine passende Startzahl zu finden? - Wähle zuerst eine einfache Zahl zum Teilen aus, zum Beispiel die \(2\). - Wenn du ein Ergebnis von \(12\) haben möchtest, welche Aufgabe aus dem Einmaleins fällt dir ein? Wie helfen dir dann die Nullen weiter?

1. Wähle nacheinander einstellige Zahlen als Divisoren aus, zum Beispiel \(2, 3, 4\) und \(5\). 2. Berechne den zugehörigen Dividenden durch Multiplikation des Zielergebnisses mit dem Divisor: \(12\,000 \cdot 2 = 24\,000\); \(12\,000 \cdot 3 = 36\,000\); \(12\,000 \cdot 4 = 48\,000\); \(12\,000 \cdot 5 = 60\,000\). 3. Die daraus resultierenden Aufgaben lauten: \(24\,000 : 2\), \(36\,000 : 3\), \(48\,000 : 4\) und \(60\,000 : 5\). Weitere Lösungen wie \(72\,000 : 6\), \(84\,000 : 7\), \(96\,000 : 8\) oder \(108\,000 : 9\) sind ebenfalls korrekt.

Mögliche Aufgaben sind: \(24\,000 : 2 = 12\,000\) \(36\,000 : 3 = 12\,000\) \(48\,000 : 4 = 12\,000\) \(60\,000 : 5 = 12\,000\) (Auch andere Teiler bis \(9\) sind möglich.)

- Was ergibt \(2 \cdot 2\)? Und was passiert, wenn du dieses Ergebnis mit \(25\) malnimmst? - Wie verändert sich eine Zahl, wenn man sie mit \(100\) multipliziert? Siehst du dieses Muster in deinen Ergebnissen? - Probier es mal mit einer ganz einfachen Zahl wie \(100\) oder \(200\), um das Muster deutlicher zu sehen.

1. Berechnung von drei Beispielen: Für \(123\) gilt \(123 \cdot 2 = 246\), \(246 \cdot 2 = 492\), \(492 \cdot 25 = 12\,300\). Für \(150\) gilt \(150 \cdot 2 = 300\), \(300 \cdot 2 = 600\), \(600 \cdot 25 = 15\,000\). Für \(204\) gilt \(204 \cdot 2 = 408\), \(408 \cdot 2 = 816\), \(816 \cdot 25 = 20\,400\). 2. Feststellung: Das Endergebnis ist die Startzahl mit zwei angehängten Nullen (Multiplikation mit \(100\)). 3. Mathematische Begründung: Die Kette der Multiplikationen lautet \(\text{Zahl} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25\). Da \(2 \cdot 2 = 4\) und \(4 \cdot 25 = 100\) ist, multipliziert man die Startzahl insgesamt mit \(100\).

Das Endergebnis ist immer die Startzahl multipliziert mit \(100\) (man hängt also zwei Nullen an). Der Grund ist, dass die Teilrechnungen \(2 \cdot 2 \cdot 25\) zusammengefasst \(100\) ergeben.

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl der neuen Aufgabe im Vergleich zur 28 verändert hat. - Schau dir dann an, wie sich die zweite Zahl im Vergleich zur 15 verändert hat. - Gleichen sich die Änderungen gegenseitig aus? - Wenn eine Zahl kleiner wird, muss die andere im gleichen Maße größer werden, damit das Produkt gleich bleibt.

1. Analyse der Ausgangsaufgabe: \(28 \cdot 15 = 420\). 2. Prüfung von a): \(28 : 2 = 14\) und \(15 \cdot 2 = 30\). Da ein Faktor halbiert und der andere verdoppelt wurde, bleibt das Produkt gleich (\(14 \cdot 30 = 420\)). 3. Prüfung von b): \(28 \cdot 2 = 56\) und \(15 \cdot 2 = 30\). Da beide Faktoren verdoppelt wurden, vervierfacht sich das Ergebnis (\(1\,680\)). Falsch. 4. Prüfung von c): \(28 : 4 = 7\) und \(15 \cdot 4 = 60\). Da ein Faktor durch 4 geteilt und der andere mit 4 multipliziert wurde, bleibt das Produkt gleich (\(7 \cdot 60 = 420\)). 5. Prüfung von d): \(28 \cdot 5 = 140\) und \(15 : 5 = 3\). Da ein Faktor mit 5 multipliziert und der andere durch 5 geteilt wurde, bleibt das Produkt gleich (\(140 \cdot 3 = 420\)).

Die Aufgaben a), c) und d) haben das gleiche Ergebnis wie \(28 \cdot 15\).

- Verwende das schriftliche Multiplizieren für die vier Teilrechnungen. - Achte beim Addieren der großen Zahlen auf den Übertrag. - Was erwartest du als Unterschied, wenn du an die vorherigen Aufgaben denkst?

1. Berechnung A: \(45 \cdot 72 = 3240\); \(46 \cdot 73 = 3358\). Summe: \(3240 + 3358 = 6598\). 2. Berechnung B: \(45 \cdot 73 = 3285\); \(46 \cdot 72 = 3312\). Summe: \(3285 + 3312 = 6597\). 3. Unterschied bestimmen: \(6598 - 6597 = 1\). Das Muster bleibt also auch bei größeren zweistelligen Zahlen bestehen.

1. Ergebnis A: \(6598\); Ergebnis B: \(6597\). 2. Der Unterschied beträgt \(1\).

- Erinnerst du dich an die Regel \((a + b) \cdot 101\)? Welchen Wert muss \(a + b\) haben, damit \(9191\) herauskommt? - Du kennst bereits den Teil \(a\). Wie kannst du nun den Teil \(b\) berechnen? - Was ist das Gegenteil von Addition?

1. Anwendung der Summen-Regel: Das Ergebnis einer TILL-Summe entspricht immer \((a + b) \cdot 101\). 2. Bestimmung der Summe der beiden Hälften: Da das Ergebnis \(9191\) ist, muss \(a + b = 91\) gelten (denn \(91 \cdot 101 = 9191\)). 3. Einsetzen der bekannten Hälfte: Gegeben ist \(a = 50\). 4. Berechnung der fehlenden Hälfte \(b\): \(91 - 50 = 41\). 5. Zusammensetzen der TILL-Zahl: Mit \(a = 50\) und \(b = 41\) ergibt sich die Zahl \(5041\). 6. Überprüfung: \(5041 + 4150 = 9191\).

Die TILL-Zahl lautet \(5041\).

- Was passiert mit der Zehnerstelle des Ergebnisses, wenn du mit \(1\) multiplizierst im Vergleich zur Multiplikation mit \(2\)? - Zerlege die Zahl \(808\) in \(800 + 8\) und multipliziere beide Teile. - Probier die Rechnung mit der \(12\) einfach mal schriftlich aus.

1. Die Ergebnisse sind: \(808 \cdot 2 = 1616\), \(808 \cdot 4 = 3232\), \(808 \cdot 6 = 4848\). 2. Das Muster \(XYXY\) entsteht, weil \(800 \cdot n\) und \(8 \cdot n\) getrennt berechnet und addiert werden. Bei \(n=1\) ist \(8 \cdot 1 = 8\). Da dies eine einstellige Zahl ist, entsteht beim Addieren von \(800 + 8 = 808\) eine Null in der Zehnerstelle, was das vierstellige Wiederholungsmuster verhindert. Erst wenn \(8 \cdot n \geq 10\) ist, füllt das Produkt die Zehnerstelle aus. 3. Das Muster würde \(9696\) vermuten lassen (da \(8 \cdot 12 = 96\)). Die schriftliche Rechnung ergibt \(808 \cdot 12 = 9696\). Da \(808 = 8 \cdot 101\) gilt, ist \(808 \cdot n = (8 \cdot n) \cdot 101\). Solange \(8 \cdot n\) zweistellig ist, wiederholt sich dieses zweistellige Produkt im Ergebnis.

1. \(1616, 3232, 4848\) 2. Das Produkt \(8 \cdot 1\) ist nur einstellig, daher bleibt die Zehnerstelle im Ergebnis eine Null. Das Muster benötigt ein zweistelliges Zwischenergebnis. 3. Vermutung: \(9696\). Rechnung: \(808 \cdot 12 = 9696\). Das Muster stimmt.

- Nutze die schriftliche Multiplikation für die vier Aufgaben. - Notiere dir die Summen für jedes Ergebnis übersichtlich in einer kleinen Tabelle. - Fällt dir eine Gemeinsamkeit zwischen allen Summen auf, die du berechnet hast?

1. Berechnung der Produkte: \(1089 \cdot 2 = 2178\), \(1089 \cdot 3 = 3267\), \(1089 \cdot 4 = 4356\), \(1089 \cdot 5 = 5445\). 2. Summen der 1. und 3. Ziffer: \(2+7=9\), \(3+6=9\), \(4+5=9\), \(5+4=9\). Die Summe ist immer \(9\). 3. Summen der 2. und 4. Ziffer: \(1+8=9\), \(2+7=9\), \(3+6=9\), \(4+5=9\). Die Summe ist ebenfalls immer \(9\). 4. Vergleich: Beide Teilsummen ergeben bei jedem Produkt den Wert \(9\).

a) \(2178\), \(3267\), \(4356\), \(5445\) b) Die Summe ist immer \(9\). c) Die Summe ist immer \(9\). d) Alle Summen aus b) und c) ergeben immer \(9\).

- Wähle zuerst ein Quadrat aus und schreibe alle neun Zahlen auf. - Wenn du alle Zahlen addiert hast, schau dir die Zahl in der Mitte ganz genau an. - Wie viel kleiner ist die Zahl links von der Mitte? Wie viel größer ist die Zahl rechts davon? - Was passiert, wenn du diese beiden Nachbarzahlen addierst? - Dieses „Ausgleichen“ funktioniert auch mit den Zahlen darüber und darunter.

1. Beispiel-Quadrat mit Mitte \(25\): \(14 + 15 + 16 + 24 + 25 + 26 + 34 + 35 + 36 = 225\). 2. Die mittlere Zahl ist \(25\). Rechnung: \(9 \cdot 25 = 225\). 3. Die Ergebnisse sind identisch. 4. Beispiel-Quadrat mit Mitte \(58\): \(47 + 48 + 49 + 57 + 58 + 59 + 67 + 68 + 69 = 522\). Rechnung: \(9 \cdot 58 = 522\). 5. Erklärung: Die Zahlen liegen symmetrisch um die Mitte. Paare wie die Zahl links (\(\text{Mitte} - 1\)) und rechts (\(\text{Mitte} + 1\)) ergeben zusammen genau das Doppelte der Mitte. Das gilt ebenso für oben und unten (\(\text{Mitte} - 10\) und \(\text{Mitte} + 10\)) sowie für beide Eckpaare (\(\text{Mitte} - 11\) und \(\text{Mitte} + 11\); \(\text{Mitte} - 9\) und \(\text{Mitte} + 9\)). Daher ist der Durchschnitt der \(9\) Zahlen gleich der mittleren Zahl.

Die Summe der \(9\) Zahlen eines \(3 \times 3\)-Quadrats ist immer genau so groß wie das Neunfache der mittleren Zahl. Das liegt daran, dass sich die Zahlen um die Mitte herum gegenseitig ausgleichen (z. B. ist eine Zahl um \(10\) kleiner und die gegenüberliegende um \(10\) größer als die Mitte).

- Achte bei der Addition in Teil c) besonders auf die Überträge. - Fällt dir etwas an der Struktur der Summen in Teil a) und b) auf? - Wie hängen die Ziffern des Ergebnisses mit der Summe von \(a\) und \(b\) zusammen?

1. Berechnung der Summe für \(a=2, b=5\): \(2525 + 5252 = 7777\). 2. Berechnung der Summe für \(a=1, b=8\): \(1818 + 8181 = 9999\). 3. Überprüfung der Behauptung für \(a+b=10\): - Paar \(3\) und \(7\): \(3737 + 7373 = 11\,110\). - Paar \(4\) und \(6\): \(4646 + 6464 = 11\,110\). 4. Die Behauptung wird durch die Beispiele bestätigt (allgemein gilt \(abab + baba = 1111 \cdot (a+b)\)).

a) \(7777\) b) \(9999\) c) Ja, die Behauptung stimmt. Die Rechnungen ergeben \(3737 + 7373 = 11\,110\) und \(4646 + 6464 = 11\,110\).

- Schau dir die erste und die letzte Zahl der Liste an. Was ist ihre Summe? - Gilt das auch für das nächste Paar von außen? - Wie oft musst du diesen Wert addieren, um alle Zahlen zu berücksichtigen?

1. Identifikation der Paare mit gleicher Summe: \(1001 + 1991 = 2992\), \(1111 + 1881 = 2992\), \(1221 + 1771 = 2992\), \(1331 + 1661 = 2992\), \(1441 + 1551 = 2992\). 2. Anzahl der Paare: In der Liste stehen \(10\) Zahlen, was \(5\) Paaren entspricht. 3. Berechnung der Gesamtsumme: \(5 \cdot 2992 = 14\,960\).

\(14\,960\)