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- Betrachte nur die Einerstelle. - Die übrigen Ergebnisziffern sind für den ersten Schritt nicht nötig. - Prüfe die gefundene Ziffer anschließend am vollständigen Produkt.

1. Für die Einerstelle gilt \(4\cdot3=12\). 2. Deshalb muss die Einerziffer des Produkts \(2\) sein. 3. Vollständig gilt \(214\cdot3=642\).

Das Sternchen ist \(2\).

- Betrachte den letzten sichtbaren Teildividenden. - Bestimme, wie oft der Divisor dort hineinpasst. - Die erste Quotientenziffer ist bereits gegeben und muss nicht neu berechnet werden.

1. Nach dem ersten Schritt bleibt Rest \(3\). Mit der letzten Ziffer \(2\) entsteht \(32\). 2. \(32:8=4\). 3. Daher ist die fehlende Ziffer \(4\), und \(672:8=84\).

Das Sternchen ist \(4\).

- Ordne die Ziffern für die größte Zahl von der größten zur kleinsten und für die kleinste Zahl umgekehrt. - „Unterschied“ bedeutet hier, den Abstand durch eine Subtraktion zu bestimmen. - Denke in Teil c) rückwärts vom Zielwert \(80\,000\): Welcher Abstand fehlt bis zur größten Zahl?

1. Die größte Zahl ist \(97\,531\), die kleinste Zahl ist \(13\,579\). Ihre Differenz beträgt \(97\,531 - 13\,579 = 83\,952\). 2. Der Abstand der kleinsten Zahl zu \(50\,000\) beträgt \(50\,000 - 13\,579 = 36\,421\). 3. Für Teil c) wird rückwärts gedacht: Wenn nach dem Subtrahieren \(80\,000\) übrig bleiben sollen, ist die gesuchte Zahl genau der Abstand zwischen \(97\,531\) und \(80\,000\). Daher gilt \(97\,531 - 80\,000 = 17\,531\).

a) \(97\,531 - 13\,579 = 83\,952\) b) \(36\,421\) c) \(17\,531\)

- Überlege dir die passende Reihe des Einmaleins ohne die Nullen. - Hilft es dir, die Umkehroperation im Kopf zu überschlagen? - Achte genau darauf, ob das Produkt kleiner oder größer als die jeweilige Zielzahl sein soll.

1. Bei a) gilt \(6 \cdot 40 = 240 < 250\), aber \(7 \cdot 40 = 280 > 250\). Daher passen die Ziffern \(0\) bis \(6\). 2. Bei b) gilt \(5 \cdot 700 = 3500 < 4000\), aber \(6 \cdot 700 = 4200 > 4000\). Daher passen die Ziffern \(6, 7, 8, 9\). 3. Bei c) gilt \(8 \cdot 90 = 720 < 800\), aber \(9 \cdot 90 = 810 > 800\). Daher passen die Ziffern \(0\) bis \(8\).

a) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) b) \(6, 7, 8, 9\) c) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\)

- An welcher Stelle im Stellenwertsystem ist eine Ziffer am wertvollsten? - Überlege dir eine Reihenfolge für die Ziffern, um den Wert der Zahl so groß wie möglich zu machen. - Was bedeutet der Begriff „Nachfolger“ in der Mathematik?

1. Um die größtmögliche Zahl zu bilden, müssen die höchsten Stellenwerte mit den größten verfügbaren Ziffern besetzt werden. Für die Hunderttausender-Stelle wählt man die \(9\), für die Zehntausender die \(8\), für die Tausender die \(7\), für die Hunderter die \(6\), für die Zehner die \(5\) und für die Einer die \(4\). Die Zahl lautet \(987\,654\). 2. Der Nachfolger einer Zahl wird durch die Addition von \(1\) berechnet: \(987\,654 + 1 = 987\,655\).

a) \(987\,654\) b) \(987\,655\)

- Überlege bei jeder Teilaufgabe, welche ganze Zahl hinter dem unvollständigen Produkt stehen muss. - Eine Umkehraufgabe kann dir zeigen, welche vollständige Zahl oder welcher Faktor gesucht ist. - Prüfe anschließend, ob die eingesetzte Ziffer die ursprüngliche Multiplikation wirklich erfüllt.

1. Zu a): \(744 : 3 = 248\). Die fehlende Hunderterziffer ist \(2\). 2. Zu b): \(750 : 125 = 6\). Der fehlende Faktor ist \(6\). 3. Zu c): \(856 : 4 = 214\). Die fehlende Zehnerziffer ist \(1\).

a) \(2\) b) \(6\) c) \(1\)

- Wenn du ein Plättchen bei den Zehnern wegnimmst, wird die Zahl um \(10\) kleiner. - Um wie viel muss die Zahl wieder größer werden, damit sie insgesamt nur um \(9\) kleiner ist? - Welcher Stellenwert entspricht dieser Erhöhung?

1. Wenn das Plättchen aus der Zehner-Spalte genommen wird, wird die Zahl zunächst um \(10\) kleiner. 2. Insgesamt soll sie aber nur um \(9\) kleiner werden. Das Plättchen muss daher an einer Stelle den Wert \(1\) hinzufügen. 3. Das ist die Einer-Spalte (E). Nach der Verschiebung lautet die Zahl \(303\), und \(312 - 303 = 9\).

Das Plättchen muss in die Einer-Spalte (E) gelegt werden.

- Probiere verschiedene Möglichkeiten aus. Wo ist ein Plättchen am meisten wert? - Wenn die Zahl groß werden soll, sollten möglichst viele Plättchen in den Spalten ganz links liegen.

1. Aktuelle Zahl: \(1\) Hunderter, \(1\) Zehner, \(1\) Einer ergeben \(111\). 2. Möglichkeiten prüfen: - E nach H: \(210\) - E nach Z: \(120\) - Z nach H: \(201\) - Z nach E: \(102\) - H nach Z: \(0\) Hunderter, \(2\) Zehner und \(1\) Einer ergeben \(21\) - H nach E: \(0\) Hunderter, \(1\) Zehner und \(2\) Einer ergeben \(12\) 3. Vergleich: Die größte Zahl ist \(210\).

Die größte Zahl ist \(210\).

- Beginne bei der Einerstelle und beachte, welche Endziffer dort entstehen muss. - Denke daran, dass ein zweistelliges Einerergebnis einen Übertrag in die Zehnerstelle erzeugt. - Dieselbe Ziffer muss an jeder Stelle des Buchstabens funktionieren.

1. An der Einerstelle muss \(7 + K\) auf \(5\) enden. Das ist nur mit \(K=8\) möglich; dabei entsteht ein Übertrag von \(1\). 2. An der Zehnerstelle ergibt sich dann \(8 + 4 + 1 = 13\), passend zu den letzten beiden Stellen von \(135\) und dem Hunderterübertrag \(1\). 3. Probe: \(87 + 48 = 135\).

\(K = 8\)

- Beginne bei der Einerstelle; dort entsteht kein Übertrag. - Dieselbe Ziffer muss anschließend auch in der Zehnerstelle passen. - Prüfe den gefundenen Wert in der vollständigen Addition.

1. An der Einerstelle gilt \(3 + A = 7\), also ist \(A = 4\). 2. An der Zehnerstelle ergibt sich damit \(4 + 1 = 5\), passend zur Zehnerziffer des Ergebnisses. 3. Probe: \(43 + 14 = 57\).

\(A = 4\)

- Beginne mit der Einerstelle und bestimme den Übertrag. - Nutze dann die sichtbare Zehnerziffer des Produkts. - Erst danach prüfst du die Hunderterstelle.

1. Einer: \(4\cdot3=12\); es wird \(1\) übertragen. 2. Damit die Zehnerstelle des Produkts \(0\) wird, muss für die fehlende Ziffer \(z\) gelten, dass \(3z+1\) auf \(0\) endet. 3. \(z=3\), denn \(3\cdot3+1=10\). 4. Vollständig gilt \(234\cdot3=702\).

Das Sternchen ist \(3\).

- Ordne die vollständige Teilproduktzeile zuerst der Einerziffer des Multiplikators zu. - Suche eine einstellige Zahl, die zusammen mit dem Multiplikanden genau dieses Teilprodukt ergibt. - Kontrolliere anschließend das sichtbare Endprodukt.

1. Die Zeile zur Einerziffer lautet \(1075\). 2. Gesucht ist eine Ziffer \(z\) mit \(215\cdot z=1075\). 3. \(z=5\). Damit lautet die untere Zahl \(15\), und \(215\cdot15=3225\).

Das Sternchen ist \(5\); die untere Zahl lautet \(15\).

- Schau zuerst nur auf die Einerstelle und dann auf die Zehnerstelle. - Welche Ziffernpaare haben zusammen die passende Summe? - Prüfe danach für jedes Paar die Regel für verschiedene Buchstaben. Setze die erlaubten Paare zur Kontrolle ein.

1. Weil \(AB\) und \(BA\) zweistellige Zahlen sind, kann weder \(A\) noch \(B\) gleich \(0\) sein. 2. In der Einerstelle werden \(B+A\) addiert, in der Zehnerstelle \(A+B\). Damit beide Ergebnisziffern \(8\) sind, muss \(A+B=8\) gelten und es darf kein Übertrag entstehen. 3. Rechnerisch kommen zunächst \((1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)\) infrage. 4. Verschiedene Buchstaben müssen verschiedene Ziffern bedeuten. Deshalb fällt \((4,4)\) weg. 5. Durch Einsetzen prüft man zum Beispiel \(17+71=88\); entsprechend stimmen auch die übrigen erlaubten Paare.

Möglich sind \((A,B)=(1,7),(2,6),(3,5),(5,3),(6,2),(7,1)\). Das rechnerisch mögliche Paar \((4,4)\) ist wegen der Buchstabenregel ausgeschlossen.

- Suche zuerst Ziffernpaare, deren Produkt \(16\) ist. - Prüfe danach die Regel für verschiedene Buchstaben. - Setze jedes übrig gebliebene Paar wieder in die Aufgabe ein.

1. Gesucht sind einstellige Faktoren von \(16\). 2. Als geordnete Ziffernpaare kommen zunächst \((2,8),(4,4),(8,2)\) infrage. 3. Weil verschiedene Buchstaben verschiedene Ziffern bedeuten, ist \((4,4)\) nicht erlaubt. 4. Probe: \(2 \cdot 8=16\) und \(8 \cdot 2=16\).

\((A,B)=(2,8)\) oder \((8,2)\). Das Paar \((4,4)\) fällt wegen der Buchstabenregel weg.

- Kannst du die Aufgabe in deinen eigenen Worten beschreiben? - Was weißt du über das schriftliche Rechnen von rechts nach links? - Wie gehst du mit Überträgen um, wenn eine Ziffer oben kleiner ist als die Ziffer unten? - Könntest du die Aufgabe auch als Addition lösen, indem du von unten nach oben rechnest? - Hast du versucht, die gegebenen Antwortmöglichkeiten einfach mal einzusetzen und zu prüfen? - Was muss an der Zehnerstelle passieren, damit dort das angegebene Ergebnis steht?

1. Analyse der Einerstelle: \(11 - 3 = 8\), Übertrag \(1\) zur Zehnerstelle. 2. Aufstellen der Gleichung für die Zehnerstelle unter Berücksichtigung des Übertrags: \(15 - x - 1 = 7\). 3. Lösung für die unbekannte Ziffer: \(x = 7\). 4. Validierung der Hunderterstelle: \(4 - 2 - 1 = 1\), was mit dem Ergebnis übereinstimmt. 5. Resultat: Die verschmierte Ziffer ist \(7\).

c) 7

- Woran erkennst du, ob eine Zahl ungerade ist? - Wenn du die größte Zahl suchst, welche Ziffern sollten dann möglichst weit vorne stehen? - Was musst du bei der Einerstelle beachten, damit die Bedingung „ungerade“ erfüllt bleibt?

1. Eine ungerade Zahl muss auf \(5\), \(7\) oder \(9\) enden. Für die größte Zahl wird die kleinste dieser ungeraden Ziffern (\(5\)) an die Einerstelle gesetzt, um die großen Ziffern für die vorderen Stellen zu behalten. Die restlichen Ziffern werden absteigend sortiert: \(987\,225\). 2. Für die kleinste ungerade Zahl wird die größte ungerade Ziffer (\(9\)) an die Einerstelle gesetzt, damit die kleineren Ziffern vorne stehen können. Die restlichen Ziffern werden aufsteigend sortiert: \(225\,789\).

a) \(987\,225\) b) \(225\,789\)

- Überlege dir für die größte Zahl, welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss. - Wie gehst du vor, um eine möglichst kleine Zahl zu bilden? - Bei der Suche nach der nächsten Zahl hilft es, eine Zahl knapp unter und eine knapp über dem Zielwert zu vergleichen.

1. Für die größte Zahl werden die Ziffern absteigend sortiert: \(876\,432\). 2. Für die kleinste Zahl werden die Ziffern aufsteigend sortiert: \(234\,678\). 3. Um möglichst nah an \(500\,000\) zu liegen, werden Zahlen gesucht, die mit \(4\) (kleiner als \(500\,000\)) oder \(6\) (größer als \(500\,000\)) beginnen. 4. Die größte Zahl mit einer \(4\) an der Hunderttausenderstelle ist \(487\,632\). Der Abstand beträgt \(500\,000 - 487\,632 = 12\,368\). 5. Die kleinste Zahl mit einer \(6\) an der Hunderttausenderstelle ist \(623\,478\). Der Abstand beträgt \(623\,478 - 500\,000 = 123\,478\). 6. Da \(12\,368 < 123\,478\), ist \(487\,632\) die gesuchte Zahl.

a) \(876\,432\) b) \(234\,678\) c) \(487\,632\)

- Welche Ziffer muss an der ersten Stelle stehen, damit die Zahl knapp unter \(600\,000\) liegt? - Wie müssen die anderen Ziffern angeordnet sein, damit die Zahl so groß wie möglich wird? - Verfahre genauso für die Zahl, die knapp über \(600\,000\) liegt. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Zahlen?

1. Zahl A (kleiner als \(600\,000\)): Sie muss mit der nächstkleineren Ziffer \(5\) beginnen. Um nah an den Zielwert zu kommen, müssen die restlichen Stellen so groß wie möglich sein: \(597\,610\). 2. Berechnung des Abstands für Zahl A: \(600\,000 - 597\,610 = 2390\). 3. Zahl B (größer als \(600\,000\)): Sie muss mit der Ziffer \(6\) beginnen. Um nah an den Zielwert zu kommen, müssen die restlichen Stellen so klein wie möglich sein: \(601\,579\). 4. Berechnung des Abstands für Zahl B: \(601\,579 - 600\,000 = 1579\). 5. Vergleich: Da \(1579 < 2390\), liegt Zahl B (\(601\,579\)) näher an \(600\,000\).

Zahl A: \(597\,610\) (Abstand \(2390\)) Zahl B: \(601\,579\) (Abstand \(1579\)) Zahl B liegt näher an \(600\,000\).

- An welcher Stelle einer Zahl haben große Ziffern die größte Wirkung auf den Wert der Summe? - Darf die Ziffer \(0\) ganz vorne an einer Zahl stehen? - Verteile die Ziffern abwechselnd auf die beiden Zahlen, beginnend bei den Tausendern.

1. Für das größte Ergebnis müssen die größten Ziffern an den höchsten Stellenwerten stehen: Tausender \(7\) und \(6\), Hunderter \(5\) und \(4\), Zehner \(3\) und \(2\), Einer \(1\) und \(0\). Eine mögliche Rechnung ist \(7531 + 6420 = 13\,951\). 2. Für das kleinste Ergebnis müssen die kleinsten Ziffern (außer \(0\) an erster Stelle) an die Tausenderstellen: \(1\) und \(2\). Die \(0\) kommt an die Hunderterstelle der ersten Zahl, die \(3\) an die Hunderterstelle der zweiten Zahl. Danach folgen \(4\) und \(5\) für die Zehner sowie \(6\) und \(7\) für die Einer. Eine mögliche Rechnung ist \(1046 + 2357 = 3403\).

a) Das größte Ergebnis ist \(13\,951\). b) Das kleinste Ergebnis ist \(3403\).

- Überlege für Teil a), welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss, um eine besonders große oder kleine Zahl zu erhalten. - Damit ein Ergebnis bei der Minusaufgabe sehr klein wird, müssen die Anfangsziffern der beiden Zahlen so nah wie möglich beieinander liegen. - Was passiert mit den restlichen Stellen, wenn du den Unterschied klein halten willst? Sollte die obere Zahl dort eher klein oder groß sein? - Die Umkehraufgabe einer Minusrechnung ist immer eine Plusrechnung.

1. Für den größten Unterschied bildest du die größte mögliche Zahl \(98\,765\) und die kleinste mögliche Zahl \(10\,234\): \(98\,765-10\,234=88\,531\). 2. Für ein Ergebnis unter \(300\) ist zum Beispiel \(50\,123-49\,876=247\) möglich. 3. Die passende Plusaufgabe zur Kontrolle lautet \(247+49\,876=50\,123\).

a) \(98\,765 - 10\,234 = 88\,531\) b) Zum Beispiel: \(50\,123 - 49\,876 = 247\) c) Zum Beispiel: \(247 + 49\,876 = 50\,123\)

- Überlege bei Teil a), was der Unterschied \(111\) für Hunderter-, Zehner- und Einerstelle bedeuten kann. - Kontrolliere nach jedem Versuch, ob jede der sechs Ziffern genau einmal verwendet wurde. - Schätze bei Teil b) zuerst über die Hunderterstellen, wie ein Unterschied nahe \(500\) entstehen kann. - Passe danach Zehner und Einer an und prüfe das genaue Ergebnis.

1. Eine passende Aufgabe für \(111\) ist \(753 - 642 = 111\). Alle sechs vorgegebenen Ziffern werden genau einmal verwendet. 2. Eine passende Aufgabe für den zweiten Bereich ist \(763 - 254 = 509\). Auch hier wird jede Ziffer genau einmal verwendet und das Ergebnis liegt zwischen \(500\) und \(510\).

a) Zum Beispiel: \(753 - 642 = 111\) b) Zum Beispiel: \(763 - 254 = 509\)

- Welche Stellen in einer Zahl haben den größten Einfluss auf den Gesamtwert? - Probiere aus, was passiert, wenn du die größten Ziffern an die Zehnerstellen setzt. - Es gibt nur zwei Möglichkeiten für die Einerstellen, wenn die Zehnerstellen feststehen. Rechne beide aus.

1. Für ein möglichst großes Produkt setzt du die größten Ziffern \(6\) und \(5\) an die Zehnerstellen. 2. Für die Einer bleiben \(2\) und \(3\). Es gibt nur zwei Möglichkeiten: \(62\cdot53=3286\) und \(63\cdot52=3276\). 3. Da \(3286>3276\), ist \(62\cdot53\) die gesuchte Aufgabe.

Die Aufgabe mit dem größten Ergebnis ist \(62 \cdot 53 = 3286\). An die Zehnerstellen müssen die beiden größten Ziffern (\(6\) und \(5\)) gesetzt werden, damit die Zahlen möglichst groß werden.

- Die Zehnerziffer verändert eine zweistellige Zahl stärker als die Einerziffer. - Welche beiden Ziffern sollten deshalb an den Zehnerstellen stehen? - Danach musst du nur noch zwei Anordnungen vergleichen.

1. Für ein möglichst kleines Produkt müssen die kleinsten Ziffern \(1\) und \(2\) an den Zehnerstellen stehen. Sonst würde mindestens eine der beiden Zahlen deutlich größer. 2. Für die Einerstellen bleiben \(4\) und \(6\). Es gibt deshalb nur noch zwei verschiedene Produkte zu vergleichen: \(14 \cdot 26\) und \(16 \cdot 24\). 3. \(14 \cdot 26 = 364\) und \(16 \cdot 24 = 384\). 4. Das kleinste Produkt ist \(364\).

Das kleinste Produkt ist \(14\cdot26=364\) (oder \(26\cdot14\)). Dafür stehen \(1\) und \(2\) an den Zehnerstellen.

- Überlege, welche Zahl an der gesuchten Stelle stehen muss, damit die Rechnung beim schriftlichen Multiplizieren aufgeht. - Du kannst die Umkehroperation nutzen, um die fehlende Zahl zu finden. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die fertige Aufgabe noch einmal schriftlich nachrechnest. - Achte besonders auf die Stellen, an denen ein Übertrag entstehen könnte.

1. a) \(936:3=312\). Es fehlt die Hunderterziffer \(3\). 2. b) \(1632:4=408\). Es fehlt die Einerziffer \(8\). 3. c) \(6345:3=2115\). Es fehlt die Hunderterziffer \(1\). 4. d) \(6040:5=1208\). Es fehlt die Einerziffer \(8\).

a) \(3\) b) \(8\) c) \(1\) d) \(8\)

- Beginne bei den Einern und arbeite dich nach links vor. - Vergiss nicht, die Überträge zu beachten, wenn eine Summe an einer Stelle größer als 9 ist. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende durch eine normale schriftliche Addition.

1. Erste Aufgabe: An der Einerstelle muss \(7 + \text{Einer} = 12\) ergeben (mit Übertrag 1), also ist die fehlende Ziffer \(5\). An der Zehnerstelle gilt mit dem Übertrag: \(1 + \text{Zehner} + 8 = 15\) (mit Übertrag 1), also ist die fehlende Ziffer \(6\). Die Hunderterstelle ergibt \(1 + 3 + 4 = 8\). Die vollständige Rechnung lautet: \(367 + 485 = 852\). 2. Zweite Aufgabe: An der Einerstelle muss \(\text{Einer} + 4 = 13\) ergeben (mit Übertrag 1), also ist die fehlende Ziffer \(9\). An der Zehnerstelle gilt mit dem Übertrag: \(1 + 2 + 8 = 11\). Das Ergebnis zeigt an der Zehnerstelle eine \(1\) und einen Übertrag von \(1\) zur Hunderterstelle. An der Hunderterstelle gilt: \(1 + 5 + \text{Hunderter} = 9\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). Die vollständige Rechnung lautet: \(529 + 384 = 913\).

a) \(367 + 485 = 852\) b) \(529 + 384 = 913\)

- Arbeite in der dargestellten Rechnung von rechts nach links. - Prüfe in jeder Spalte, ob ein Übertrag zur nächsten Stelle entsteht. - Nutze die Ergebnisziffer jeder Spalte, um die dort fehlende Ziffer einzugrenzen.

1. Einerstelle: \(5 + 0 + 2 = 7\). Es gibt keinen Übertrag. 2. Zehnerstelle: \(4 + 1 + * = 9\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\). 3. Hunderterstelle: \(* + 2 + 3 = 9\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\). 4. Tausenderstelle: \(2 + * + 4 = 12\). Daher ist die fehlende Ziffer \(6\); es entsteht ein Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(1 + 3 + 2 + 1 = 7\). Damit lautet die vollständige Rechnung \(12\,445 + 36\,210 + 24\,342 = 72\,997\).

Die fehlenden Ziffern sind im oberen Summanden \(4\), im mittleren Summanden \(6\) und im unteren Summanden \(4\). Die vollständige Rechnung lautet \(12\,445 + 36\,210 + 24\,342 = 72\,997\).

- Beginne bei der Einerstelle und arbeite nach links. - Nimm einen Übertrag aus der vorherigen Spalte immer mit. - Bestimme pro Spalte nur die Ziffer, die du dort wirklich brauchst.

1. Einerstelle: \(3 + 9 = 12\). Man schreibt \(2\) und überträgt \(1\). 2. Zehnerstelle: \(5 + * + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\). 3. Hunderterstelle: \(7 + 4 + 1 = 12\). Daher ist die fehlende Ergebnisziffer \(2\). 4. Tausenderstelle: \(* + 8 + 1 = 12\). Daher ist die fehlende Ziffer \(3\). 5. Zehntausenderstelle: \(4 + 2 + 1 = 7\). Die vollständige Rechnung ist \(43\,753 + 28\,449 = 72\,202\).

Die fehlenden Ziffern sind im oberen Summanden \(3\), im unteren Summanden \(4\) und im Ergebnis \(2\). Die vollständige Rechnung lautet \(43\,753 + 28\,449 = 72\,202\).

- Versuche die Aufgabe von rechts nach links wie eine normale Subtraktion zu lösen. - Wenn eine Ziffer oben kleiner ist als unten, musst du „entbündeln“ – wie wirkt sich das auf die Lücke aus? - Du kannst auch die Umkehraufgabe nutzen: Was musst du zum Ergebnis addieren, um die obere Zahl zu erhalten? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die fertige Aufgabe noch einmal ganz durchrechnest.

1. Einerstelle prüfen: Da \(5 < 8\) gilt, wird ein Zehner entbündelt. Es ergibt sich \(15 - 8 = 7\). 2. Zehnerstelle bestimmen: Nach der Entbündelung ist die obere Zehnerziffer um \(1\) kleiner. Für die gesuchte Ziffer \(z\) gilt daher \((z-1) - 4 = 2\). Somit ist \(z = 7\). 3. Hunderterstelle bestimmen: Da \(2 < 8\) gilt, wird ein Tausender entbündelt. Die Rechnung lautet \(12 - \text{Lücke} = 4\), also ist die fehlende Ziffer im Subtrahenden \(8\). 4. Tausenderstelle prüfen: Nach der Entbündelung gilt \(5 - 2 = 3\). Die Rechnung ist korrekt. Die fehlenden Ziffern sind \(7\) und \(8\).

Die fehlende Ziffer in der oberen Zahl ist \(7\), die in der unteren Zahl \(8\). Vollständig gilt \(6275-2848=3427\).

- Beginne ganz rechts und überlege, was beim Subtrahieren von \(6\) von einer Null passieren muss. - Verfolge die Entbündelung über die aufeinanderfolgenden Nullen. - Nutze danach die Ergebnisziffern, um die beiden weiteren Sternchen festzulegen.

1. Einerstelle: Da oben eine \(0\) stehen muss und \(0<6\) gilt, wird über die Nullen hinweg entbündelt. Es entsteht \(10-6=4\). 2. Zehner- bis Tausenderstelle: Nach dem Entbündeln steht dort jeweils \(9\). Es gilt \(9-5=4\), \(9-4=5\) und \(9-3=6\). 3. Zehntausenderstelle: \(9-* = 7\). Die fehlende Ziffer im Subtrahenden ist \(2\). 4. Hunderttausenderstelle: Durch das Entbündeln wurde die \(3\) zu \(2\). Daher gilt \(2-1=1\); die fehlende Ergebnisziffer ist \(1\). 5. Die vollständige Rechnung lautet \(300\,000 - 123\,456 = 176\,544\).

Die fehlende Ziffer in der oberen Zahl ist \(0\), in der unteren Zahl \(2\), und im Ergebnis fehlt die \(1\). Vollständig: \(300\,000-123\,456=176\,544\).

- Kannst du die gesuchte Zahl finden, indem du eine andere Minusaufgabe rechnest? - Wie kannst du die Umkehraufgabe (Addition) nutzen, um dein Ergebnis zu prüfen? - Bei Teil b) hilft es, zuerst die komplette Zahl auszurechnen, die abgezogen wurde.

1. a) Gesucht ist die Zahl, die von \(625\,000\) abgezogen wird. Rechne \(625\,000-187\,654=437\,346\). 2. b) Finde zuerst die ganze Zahl, die abgezogen wurde: \(403\,506-215\,212=188\,294\). 3. Vergleiche \(188\,294\) mit \(1*8\,2*4\). Die Sternchen stehen für \(8\) und \(9\).

a) Die Zahl lautet \(437\,346\). b) Das erste Sternchen steht für die Ziffer \(8\), das zweite Sternchen steht für die Ziffer \(9\).

- Achte darauf, dass die Zahlen stellenwertrichtig untereinanderstehen. - Beachte, dass die Summanden unterschiedlich viele Stellen haben können.

1. Einerstelle: \(4 + 5 + * = 10\), also ist die fehlende Ziffer \(1\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(6 + * + 1 + 1 = 13\), also ist die fehlende Ziffer \(5\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(* + 8 + 5 + 1 = 19\), also ist die fehlende Ziffer \(5\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(2 + 1 + 1 = 4\). 5. Zehntausenderstelle: Die \(1\) wird übernommen. Die Rechnung lautet: \(12\,564 + 1855 + 511 = 14\,930\).

Die vollständige Rechnung ist: \(12\,564 + 1855 + 511 = 14\,930\)

- Bei \(1000\) musst du für die Einer über mehrere Nullstellen hinweg entbündeln. - Verfolge dabei, wie aus dem Tausender Hunderter, Zehner und schließlich Einer werden. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einerstelle muss über die Nullen hinweg entbündelt werden. Dadurch stehen bei den Einern \(10\) Einer zur Verfügung: \(10 - * = 7\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). 2. Nach dem Entbündeln stehen bei den Zehnern \(9\) Zehner zur Verfügung. Es gilt \(9 - 4 = 5\). 3. Bei den Hundertern gilt \(9 - * = 6\), also ist die zweite fehlende Ziffer \(3\). 4. Die Rechnung lautet \(1000 - 343 = 657\).

Die fehlenden Ziffern sind \(3\) und \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(1000 - 343 = 657\).

- Betrachte zuerst nur die Addition der beiden Subtrahenden. - Welche gleiche Ziffer muss in der Zehnerspalte zweimal vorkommen, damit dort \(6\) entsteht? - Prüfe anschließend, ob die Summe der beiden Subtrahenden beim Abziehen von \(999\) wirklich \(631\) ergibt.

1. Schau zuerst auf die Addition. In der Zehnerspalte gilt \(*+*=6\). Da beide Sternchen dieselbe Ziffer sind, muss dort zweimal die \(3\) stehen. Also \(133+235=368\). 2. Danach gilt \(999-368=631\). 3. Die ganze Rechnung lautet \(999-133-235=631\).

Die gesuchte Ziffer ist \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(999 - 133 - 235 = 631\).

- Nutze auch die sichtbaren Ergebnisziffern, um fehlende Ziffern zu bestimmen. - Wenn du entbündelst, vermindert sich die nächsthöhere Stelle um \(1\). - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: Die fehlende obere Einerziffer sei \(x\). Da entbündelt werden muss und im Ergebnis \(5\) steht, gilt \(x + 10 - 7 = 5\). Daher ist \(x = 2\). Die Zehnerziffer \(4\) wird dadurch zu \(3\). 2. Zehnerstelle: \(3 - \square = 2\), also ist die fehlende Ziffer \(1\). 3. Hunderterstelle: Damit im Ergebnis \(8\) entsteht, muss hier entbündelt werden. Es gilt \(\square + 10 - 5 = 8\), also ist die fehlende Hunderterziffer \(3\). Die Tausenderziffer \(8\) wird dabei zu \(7\). 4. Tausenderstelle: \(7 - \square = 4\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(8342 - 3517 = 4825\).

\(8342-3517=4825\). Zum Beispiel bei den Einern: Nach dem Entbündeln gilt \(12-7=5\). Deshalb muss oben ursprünglich die \(2\) gestanden haben.

- Arbeite beim Abziehverfahren von den Einern nach links und notiere jede Stelle, die durch Entbündeln um \(1\) kleiner wird. - Wenn oben nach einem Entbündeln eine \(0\) steht, kann in der nächsten Spalte erneut Entbündeln nötig sein. - Prüfe am Ende die vollständige Subtraktion mit der Umkehraufgabe.

1. Einer: Nach dem Entbündeln gilt \(12-5=7\). Unten fehlt die \(5\); die obere Zehnerziffer wird von \(1\) zu \(0\). 2. Zehner: Erneut wird entbündelt. \(10-5=5\), also fehlt im Ergebnis die \(5\); die obere Hunderterziffer wird von \(4\) zu \(3\). 3. Hunderter: Für die Ergebnisziffer \(6\) muss wieder entbündelt werden. \(13-7=6\), also fehlt unten die \(7\). 4. Tausender: Nach dem Entbündeln gilt \(6-3=3\), also fehlt im Ergebnis die \(3\). 5. Vollständig gilt \(7412-3755=3657\).

\(7412 - 3755 = 3657\)

- Bei vier Summanden können die Überträge auch \(2\) oder sogar \(3\) sein. - Gehe Spalte für Spalte von rechts nach links vor.

1. Einerstelle: \(4 + 5 + 6 + 8 = 23\). Die \(3\) wird notiert, Übertrag \(2\). 2. Zehnerstelle: \(8 + 2 + 5 + 6 + 2 = 23\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(3\), Übertrag \(2\). 3. Hunderterstelle: \(* + 9 + 1 + 2 + 2 = 17\). Daher ist die fehlende Ziffer im ersten Summanden \(3\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(0 + 7 + 4 + 6 + 1 = 18\). Die Ergebnisziffer ist \(8\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(6 + 3 + * + 1 = 14\). Daher ist die fehlende Ziffer im dritten Summanden \(4\). Die vollständige Rechnung lautet: \(60\,384 + 37\,925 + 44\,156 + 6268 = 148\,733\).

Die vollständige Rechnung lautet: \(60\,384 + 37\,925 + 44\,156 + 6268 = 148\,733\).

- Auch bei sechsstelligen Zahlen arbeitest du Spalte für Spalte von rechts nach links und berücksichtigst jeden Übertrag. - In der höchsten Stelle wird die Ergebnisziffer aus den dort vorhandenen Ziffern und einem möglichen Übertrag gemeinsam bestimmt. - Prüfe alle ergänzten Ziffern mit der vollständigen Addition.

1. Einerstelle: \(6 + 1 + 7 = 14\). Ergebnisziffer \(4\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(5 + 0 + 6 + 1 = 12\). Ergebnisziffer \(2\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(4 + 9 + * + 1 = 19\). Daraus folgt \(* = 5\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(3 + 8 + 4 + 1 = 16\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(6\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(* + 7 + 3 + 1 = 13\). Daraus folgt \(* = 2\), Übertrag \(1\). 6. Hunderttausenderstelle: \(1 + 0 + 2 + 1 = 4\). Die vollständige Rechnung lautet \(123\,456 + 78\,901 + 234\,567 = 436\,924\).

\(123\,456 + 78\,901 + 234\,567 = 436\,924\)

- Gehe bei jeder Rechnung von rechts nach links durch die Stellen des Abziehverfahrens. - Beachte, dass Entbündeln die Ziffer der nächsthöheren Stelle verändert. - Wenn eine gesuchte Ziffer im Subtrahenden steht, kannst du aus oberer Ziffer und Ergebnisziffer bestimmen, was abgezogen worden sein muss.

1. a) Bei den Einern wird entbündelt: \(12-4=8\). Dadurch wird die obere Zehnerziffer von \(8\) zu \(7\). Dann gilt \(7-3=4\), \(5-2=3\) und \(4-1=3\). Vollständig: \(4582-1234=3348\). 2. b) Die vollständige Rechnung lautet \(12\,043-2567=9476\). Deshalb fehlt die \(2\). 3. c) Bei den Einern gilt \(5-0=5\). An der Zehnerstelle muss \(*-1=4\) gelten, also fehlt oben die \(5\). Vollständig: \(87\,655-23\,410=64\,245\).

a) \(4582 - 1234 = 3348\); fehlende Ziffer: \(2\) b) \(12\,043 - 2567 = 9476\); fehlende Ziffer: \(2\) c) \(87\,655 - 23\,410 = 64\,245\); fehlende Ziffer: \(5\)

- Beginne bei der Einerstelle und arbeite von rechts nach links. - Wenn eine Spaltensumme mindestens \(10\) ist, notiere die Einerziffer und nimm den Übertrag in die nächste Spalte mit. - Setze jede gefundene Ziffer sofort in die nächste Spaltenrechnung ein und prüfe am Ende die ganze Addition.

1. Einerstelle: \(* + 5 = 7\). Daher ist die fehlende Ziffer \(2\). 2. Zehnerstelle: \(8 + 3 = 11\). Die Ergebnisziffer ist \(1\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(7 + * + 1 = 16\). Daher ist die fehlende Ziffer \(8\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(8 + 3 + 1 = 12\). Die Ergebnisziffer ist \(2\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(4 + 2 + 1 = 7\). Die vollständige Rechnung lautet \(48\,782 + 23\,835 = 72\,617\).

\(48\,782 + 23\,835 = 72\,617\)

- Gehe von rechts nach links und notiere nach jedem Entbündeln die neue obere Ziffer. - Wenn die obere Ziffer kleiner als die untere ist, musst du aus der nächsthöheren Stelle entbündeln. - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einer: Nach dem Entbündeln gilt \(13-7=6\). Oben fehlt also die \(3\); die Zehnerziffer wird von \(2\) zu \(1\). 2. Zehner: Mit Entbündeln gilt \(11-6=5\), also fehlt unten die \(6\). 3. Hunderter: Danach steht oben \(0\). Es wird wieder entbündelt: \(10-6=4\). Die ursprüngliche obere Hunderterziffer war also \(1\). 4. Tausender: Aus der \(5\) wurde \(4\). \(4-2=2\), also fehlt unten die \(2\). 5. Vollständig gilt \(5123-2667=2456\).

\(5123 - 2667 = 2456\)

- Wenn das Ergebnis an einer Stelle 0 ist, gab es meistens einen Übertrag zur nächsten Stelle. - Überprüfe jede Spalte einzeln von rechts nach links.

1. Einerstelle: \(1 + * = 10\), also ist \(* = 9\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(5 + 4 + 1 = 10\). Die Ziffer im Ergebnis ist \(0\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(* + 7 + 1 = 10\), also ist \(* = 2\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(4 + * + 1 = 9\), also ist \(* = 4\). Die Rechnung lautet: \(4251 + 4749 = 9000\).

Die vervollständigte Aufgabe sieht so aus: \(4251 + 4749 = 9000\)

- Arbeite dich von rechts nach links durch. - Vergiss keinen der Überträge.

1. Einerstelle: \(* + 7 = 15\), also ist die fehlende Ziffer \(8\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(8 + * + 1 = 14\), also ist die fehlende Ziffer \(5\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(* + 2 + 1 = 10\), also ist die fehlende Ziffer \(7\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(3 + * + 1 = 8\), also ist die fehlende Ziffer \(4\). Die Rechnung lautet: \(3788 + 4257 = 8045\).

Die vervollständigte Rechnung lautet: \(3788 + 4257 = 8045\)

- Beginne bei den Einern; dort lässt sich eine fehlende Ziffer direkt bestimmen. - Verfolge danach jede Entbündelung und notiere, welche obere Ziffer dadurch kleiner wird. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einer: \(*-3=2\), also fehlt oben die \(5\). 2. Zehner: Für die Ergebnisziffer \(9\) wird entbündelt. \(11-2=9\), also fehlt unten die \(2\); die obere Hunderterziffer wird von \(1\) zu \(0\). 3. Hunderter: Wieder wird entbündelt. \(10-2=8\). Die ursprüngliche obere Hunderterziffer war \(1\). 4. Tausender: Aus der \(6\) wurde \(5\). \(5-2=3\), also fehlt unten die \(2\). 5. Vollständig: \(6115-2223=3892\).

\(6115 - 2223 = 3892\)

- Bei einem Ergebnis wie 6000 hast du an fast jeder Stelle einen Übertrag. - Prüfe am Ende, ob alle Spalten zusammen wirklich 6000 ergeben.

1. Einerstelle: \(6 + * = 10\), also ist die Ziffer \(4\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(7 + 2 + 1 = 10\). Die Ziffer im Ergebnis ist \(0\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(* + 3 + 1 = 10\), also ist die Ziffer \(6\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(2 + * + 1 = 6\), also ist die Ziffer \(3\). Die Rechnung lautet: \(2676 + 3324 = 6000\).

Die korrekte Rechnung ist: \(2676 + 3324 = 6000\)

- Gehe Spalte für Spalte von rechts nach links vor. - Wenn die Summe in einer Spalte \(10\) oder mehr ergibt, notiere den Übertrag für die nächste Spalte links daneben.

1. Einerstelle: \(5 + 2 = 7\). Korrekt. 2. Zehnerstelle: \(4 + * = 0\) bedeutet \(4 + 6 = 10\). Also ist die Ziffer \(6\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + * + 7 = 1\) bedeutet \(8 + * = 11\). Die Ziffer ist \(3\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + 3 + * = 8\) bedeutet \(4 + * = 8\). Die Ziffer ist \(4\). Die Rechnung lautet: \(3345 + 4762 = 8107\).

Die fehlenden Ziffern sind \(3\), \(4\) und \(6\). Die vollständige Aufgabe ist \(3345 + 4762 = 8107\).

- Denke daran, dass ein Sternchen an der Einerstelle zusammen mit der \(8\) eine Zahl ergeben muss, die auf \(1\) endet. - Überprüfe nach jeder Spalte, ob ein Übertrag entstanden ist.

1. Einerstelle: \(* + 8 = 11\) ergibt \(* = 3\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 + 2 + * = 11\) ergibt \(* = 8\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 + * + 4 = 12\) ergibt \(* = 7\). Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(1 + 6 + 2 = 9\). Korrekt. Die Rechnung lautet: \(6723 + 2488 = 9211\).

Die fehlenden Ziffern sind \(7\), \(3\) und \(8\). Die Rechnung lautet \(6723 + 2488 = 9211\).

- Bei drei Summanden funktioniert das Prinzip genauso: Addiere die bekannten Ziffern einer Spalte und schaue, was bis zur Ziffer im Ergebnis fehlt. - Achte darauf, dass der Übertrag auch \(2\) sein könnte, wenn die Summe über \(20\) liegt.

1. Einerstelle: \(2 + * + 5 = 11\) (da das Ergebnis auf \(1\) endet). \(7 + * = 11 \Rightarrow * = 4\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + * + 4 + 0 = 13\). \(5 + * = 13 \Rightarrow * = 8\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + 1 + 2 + * = 7\). \(4 + * = 7 \Rightarrow * = 3\). Die Rechnung lautet: \(182 + 244 + 305 = 731\).

Die fehlenden Ziffern sind \(8\), \(4\) und \(3\). Die Rechnung lautet \(182 + 244 + 305 = 731\).

- Addiere zuerst alle Ziffern, die du in einer Spalte schon kennst. - Überlege dann, wie viel bis zur Ziffer im Ergebnis (oder zur nächsthöheren Zehnerzahl) fehlt.

1. Einerstelle: \(5 + * + 4 = 16\) (da Ergebnis auf \(6\) endet). \(9 + * = 16 \Rightarrow * = 7\). Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + * + 1 + 2 = 12\). \(4 + * = 12 \Rightarrow * = 8\). Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + 3 + 1 + 2 = 7\). Korrekt. Die Rechnung lautet: \(385 + 117 + 224 = 726\).

Die fehlenden Ziffern sind \(8\) und \(7\). Die Rechnung ist \(385 + 117 + 224 = 726\).

- Hier musst du manchmal zwei Sterne gleichzeitig betrachten, die voneinander abhängen. - Probiere für einen Stern eine Ziffer aus und schaue, ob der Rest der Spalte dann Sinn ergibt.

1. Einerstelle: \(* + 4 = 11\). Daher ist die fehlende Ziffer \(7\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 + 6 + * = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(3\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 + * + 8 = 14\). Daher ist die fehlende Ziffer im ersten Summanden \(5\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(1 + 4 + * = 7\). Daher ist die fehlende Ziffer im zweiten Summanden \(2\). Die vollständige Rechnung lautet: \(4567 + 2834 = 7401\).

Die fehlenden Ziffern sind \(5\), \(7\), \(2\) und \(3\). Die Rechnung lautet: \(4567 + 2834 = 7401\).

- Verfolge die Entbündelung von der Tausenderstelle bis zu den Einern durch beide Nullstellen hindurch. - Nach dem Weitergeben bleiben in den mittleren Stellen jeweils \(9\) Einheiten des betreffenden Stellenwerts zurück. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einer muss über die beiden Nullen hinweg aus der Tausenderstelle entbündelt werden. Die \(9\) wird zu \(8\); bei den Hundertern und Zehnern bleiben jeweils \(9\), und bei den Einern stehen \(10\). 2. Einerstelle: \(10-4=6\). 3. Zehnerstelle: \(9-3=6\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(6\). 4. Hunderterstelle: \(9-2=7\). Die fehlende Ziffer oben ist \(0\). 5. Tausenderstelle: \(8-1=7\). Vollständig lautet die Rechnung \(9000-1234=7766\).

\(9000 - 1234 = 7766\)

- Bei großen Zahlen ist sorgfältiges Rechnen Spalte für Spalte besonders wichtig. - Achte darauf, an welcher Stelle ein Sternchen steht: im Summanden oder im Ergebnis.

1. Einer: \(5 + 8 = 13\). Schreibe \(3\), Übertrag \(1\). 2. Zehner: \(4 + * + 1 = 12\). Damit ist \(* = 7\). Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(* + 7 + 1 = 11\). Damit ist \(* = 3\). Übertrag \(1\). 4. Tausender: \(2 + 8 + 1 = 11\). Die Ziffer im Ergebnis ist somit \(1\). Übertrag \(1\). 5. Zehntausender: \(1 + 3 + 1 = 5\). Das passt.

Die vollständige Rechnung ist: \(12\,345 + 38\,778 = 51\,123\).

- Ein Ergebnis mit vielen Nullen deutet darauf hin, dass die Summen in den Spalten oft genau \(10\) (oder ein Vielfaches) ergeben. - Achte konsequent auf die Überträge.

1. Einer: \(* + 3 = 10 \implies * = 7\). Übertrag \(1\). 2. Zehner: \(9 + * + 1 = 10 \implies * = 0\). Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(* + 2 + 1 = 10 \implies * = 7\). Übertrag \(1\). 4. Tausender: \(7 + 1 + 1 = 9\). Das passt zum Ergebnis.

Die Rechnung lautet: \(7797 + 1203 = 9000\).

- Verfolge die Entbündelung von der Zehntausenderstelle bis zu den Einern durch alle vier Nullstellen. - Nach dem Weitergeben bleiben in den mittleren Stellen jeweils \(9\) Einheiten des betreffenden Stellenwerts zurück. - Nutze die bekannten Ergebnisziffern, um die fehlenden Ziffern im Subtrahenden zu bestimmen.

1. Für die Einer muss über alle vier Nullen hinweg aus der Zehntausenderstelle entbündelt werden. Die führende Ziffer ist \(8\); beim Entbündeln wird sie zu \(7\). 2. Einerstelle: \(10-5=5\). 3. Zehnerstelle: Dort stehen nach dem Entbündeln \(9\). Es gilt \(9-3=6\), also ist die fehlende untere Ziffer \(3\). 4. Hunderterstelle: \(9-3=6\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(6\). 5. Tausenderstelle: \(9-7=2\). Die fehlende untere Ziffer ist \(7\). 6. Zehntausenderstelle: Nach dem Entbündeln gilt \(7-1=6\). Vollständig lautet die Rechnung \(80\,000-17\,335=62\,665\).

\(80\,000 - 17\,335 = 62\,665\)

- Bei drei Summanden addierst du einfach alle drei Ziffern einer Spalte. - Wenn die Summe \(10\) oder \(20\) erreicht, notiere den entsprechenden Übertrag.

1. Einer: \(* + 7 + 2 = 9 \implies * + 9 = 9 \implies * = 0\). 2. Zehner: \(5 + 6 + * = 19 \implies 11 + * = 19 \implies * = 8\). Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(4 + 3 + 1 + 1 (\text{Übertrag}) = 9\). Das passt zum Ergebnis.

Die Rechnung lautet: \(450 + 367 + 182 = 999\).

- Nutze zuerst die Einerstelle der Addition, um die Summe der beiden Ziffern einzugrenzen. - Berücksichtige, dass die dreistellige Summe einen Übertrag enthält. - Verwende danach die zusätzliche Bedingung über den Abstand der beiden Ziffern.

1. An der Einerstelle werden \(A\) und \(B\) addiert. Da die Ergebnis-Einerziffer \(1\) ist und ein Übertrag entsteht, muss die Ziffernsumme \(11\) betragen. 2. Gesucht sind daher zwei verschiedene Ziffern mit Summe \(11\), von denen die größere genau \(3\) größer ist. 3. Das Ziffernpaar \(7\) und \(4\) erfüllt beide Bedingungen. 4. Probe: \(74 + 47 = 121\). Der Übertrag \(1\) aus der Einerstelle führt an der Zehnerstelle zu \(7 + 4 + 1 = 12\).

\(A = 7\) und \(B = 4\)

- Beginne bei der Einerstelle und verfolge jede Veränderung durch das Entbündeln. - Nach dem ersten Entbündeln ist auch die Zehnerstelle der oberen Zahl verändert. - Dieselbe Ziffer \(A\) muss sowohl an der Hunderter- als auch an der Zehnerstelle zur gesamten Rechnung passen.

1. An der Einerstelle muss wegen \(2 - 7\) entbündelt werden. Es wird \(12 - 7 = 5\) gerechnet; dadurch bleibt an der Zehnerstelle der oberen Zahl zunächst \(2\). 2. Damit die Zehnerziffer des Ergebnisses \(6\) wird, reicht \(2 - A\) nicht aus. Es muss erneut entbündelt werden, sodass \(12 - A = 6\). 3. Daraus folgt \(A = 6\). 4. Durch dieses zweite Entbündeln wird die Hunderterziffer oben von \(6\) auf \(5\) vermindert; \(5 - 1 = 4\) passt zur Hunderterziffer des Ergebnisses. 5. Probe: \(632 - 167 = 465\).

\(A = 6\)

- Betrachte zuerst nur die Einerstelle des dargestellten Produkts. - Welche Ziffern können bei \(4 \cdot A\) eine Einerziffer \(2\) erzeugen? - Prüfe die verbleibenden Möglichkeiten mit dem Übertrag in der Zehnerstelle.

1. An der Einerstelle muss \(4 \cdot A\) auf \(2\) enden. Dafür kommen zunächst \(A=3\) oder \(A=8\) infrage. 2. Für \(A=3\) gilt \(4 \cdot 3=12\): Die \(2\) wird notiert und \(1\) übertragen. Danach ergibt \(3 \cdot 3+1=10\), also genau \(102\). 3. Für \(A=8\) ergäbe die Einerrechnung \(32\) und danach \(8 \cdot 8+3=67\); das passt nicht zum dargestellten Produkt. 4. Damit ist nur \(A=3\) möglich. Probe: \(34 \cdot 3=102\).

\(A=3\)

- Addiere zuerst nur die Einerziffern und beachte die geforderte Endziffer. - Ein zweistelliges Ergebnis der Einerspalte erzeugt einen Übertrag. - Setze denselben Wert für \(A\) anschließend auch in beiden Zehnerstellen ein.

1. An der Einerstelle gilt \(6 + A + 8\). Da die Ergebnis-Einerziffer \(7\) ist, muss \(14 + A\) auf \(7\) enden. Daher ist \(A=3\), und es entsteht ein Übertrag \(1\). 2. An der Zehnerstelle ergibt sich dann \(3 + 2 + 3 + 1 = 9\), passend zur Ergebnis-Zehnerziffer. 3. Probe: \(36 + 23 + 38 = 97\).

\(A = 3\)

- Eine vollständige Teilproduktzeile kann dir die ganze erste Zahl verraten. - Ordne die Zeile zuerst der richtigen Multiplikatorziffer zu. - Nutze die zweite Zeile anschließend als unabhängige Kontrolle.

1. Die Einerzeile gehört zur Multiplikatorziffer \(5\) und lautet \(1820\). Daher muss die erste Zahl \(1820:5=364\) sein. 2. Die fehlende Zehnerziffer der ersten Zahl ist also \(6\). 3. Die zweite Teilproduktzeile bestätigt dies: \(364\cdot2=728\).

Das Sternchen ist \(6\); die erste Zahl lautet \(364\).

- Nutze den Rest des ersten sichtbaren Schritts zusammen mit der heruntergeholten Dividendziffer. - Bei jedem Teildividenden bestimmst du zuerst die passende Quotientenziffer und daraus den Subtrahenden. - Der letzte verbleibende Betrag muss kleiner als der Divisor sein.

1. Nach \(5-4=1\) wird die fehlende nächste Ziffer heruntergeholt. Weil danach \(13\) dasteht, muss diese Ziffer \(3\) sein. 2. \(13:4=3\,\text{Rest}\,1\). Deshalb stehen im Ergebnis \(3\) und darunter \(12\). Mit der letzten Ziffer \(8\) entsteht \(18\). 3. \(18:4=4\,\text{Rest}\,2\). Deshalb stehen im Ergebnis \(4\) und darunter \(16\). 4. Vollständig gilt \(538:4=134\,\text{Rest}\,2\).

Vollständig: \(538:4=134\,\text{Rest}\,2\). Die fehlenden Zahlen in den Rechenschritten sind \(12\) und \(16\).

- Arbeite bis zu dem Schritt, an dem der Dividend ein Sternchen hat. - Der sichtbare Teildividend verrät die heruntergeholte fehlende Ziffer. - Diese Teildivision legt anschließend die fehlende Quotientenziffer fest.

1. Nach \(6-5=1\) wird die \(8\) heruntergeholt. \(18:5=3\,\text{Rest}\,3\). 2. Im nächsten sichtbaren Schritt steht \(34\). Daher muss die fehlende Ziffer der Zahl \(4\) sein. 3. \(34:5=6\,\text{Rest}\,4\). Die fehlende Ergebnisziffer ist also \(6\). 4. Mit der letzten Ziffer entsteht \(45\), und \(45:5=9\). Vollständig gilt \(6845:5=1369\).

Die fehlende Ziffer in der Zahl ist \(4\), die fehlende Ergebnisziffer ist \(6\). Vollständig: \(6845:5=1369\).

- Überlege zuerst, welche Zahlen überhaupt unmittelbar unter oder unmittelbar über \(250\,000\) liegen könnten. - Für jede Seite des Zielwerts genügt es, den jeweils nächstmöglichen Kandidaten zu finden. - Nutze die noch nicht verwendeten Ziffern so, dass der Abstand zum Ziel auf der jeweiligen Seite möglichst klein wird. - Vergleiche erst danach die beiden Abstände.

1. Die größte mögliche Zahl unter \(250\,000\) ist \(246\,531\). Ihr Abstand zu \(250\,000\) beträgt \(250\,000 - 246\,531 = 3469\). 2. Die kleinste mögliche Zahl über \(250\,000\) ist \(251\,346\). Ihr Abstand beträgt \(251\,346 - 250\,000 = 1346\). 3. Da \(1346 < 3469\), liegt \(251\,346\) am nächsten an \(250\,000\).

Die Zahl \(251\,346\) liegt am nächsten an \(250\,000\). Ihr Abstand beträgt \(1346\); bei der nächstliegenden Zahl unterhalb, \(246\,531\), beträgt er \(3469\).

- Für den größten Unterschied brauchst du eine möglichst große und eine möglichst kleine Zahl. - Für einen sehr kleinen Unterschied sollten die Tausenderstellen so nah wie möglich beieinanderliegen. - Wenn die Tausenderstellen feststehen, wie musst du die übrigen Ziffern verteilen, damit die beiden Zahlen möglichst nah zusammenrücken?

1. Für den größten Unterschied bildest du eine möglichst große und eine möglichst kleine Zahl: \(8765-1234=7531\). 2. Für einen möglichst kleinen positiven Unterschied müssen die Tausenderziffern möglichst nah beieinanderliegen. Mit \(5\) und \(4\) vorne ordnest du die übrigen Ziffern so, dass die Zahlen möglichst nah zusammenliegen: \(5123\) und \(4876\). 3. \(5123-4876=247\). Kein anderes passendes Zahlenpaar ergibt einen kleineren positiven Unterschied. Bis auf die vertauschte Reihenfolge ist dieses Zahlenpaar das einzige mit dem kleinstmöglichen Unterschied.

a) \(8765\) und \(1234\); Unterschied \(7531\) b) \(5123\) und \(4876\); Unterschied \(247\). Bis auf die Reihenfolge ist dies das einzige Zahlenpaar mit dem kleinstmöglichen Unterschied.

- Achte darauf, dass die \(0\) nicht am Anfang der Zahl aus den geraden Ziffern stehen darf. - Untersuche für den kleinsten Unterschied zuerst die Zehntausenderziffern: Wie weit dürfen sie höchstens auseinanderliegen, damit die restlichen Stellen noch ausgleichen können? - Wenn die Anfangsziffern feststehen, ordne die übrigen Ziffern so, dass sich die beiden Zahlen möglichst stark annähern. - Für den größten Unterschied musst du beide Richtungen vergleichen: große Zahl aus den geraden gegen kleine aus den ungeraden Ziffern und große Zahl aus den ungeraden gegen kleine aus den geraden Ziffern.

1. Für den kleinsten Unterschied können die Zehntausenderziffern nur benachbart sein. Bei einem Abstand von mindestens \(2\) wäre der Zahlenunterschied selbst mit den übrigen vier Stellen größer als \(10\,000\). 2. Für die acht möglichen benachbarten Anfangspaare ergeben sich bei jeweils optimaler Anordnung der restlichen Ziffern die kleinsten Abstände: \(715, 2939, 517, 2759, 517, 2939, 715, 4937\). 3. Der kleinste dieser Abstände ist \(517\). Er wird zum Beispiel mit \(40\,268 - 39\,751 = 517\) erreicht. 4. Für den größtmöglichen Unterschied sind beide Richtungen zu prüfen. Die größte Zahl aus den ungeraden Ziffern und die kleinste aus den geraden Ziffern ergeben \(97\,531 - 20\,468 = 77\,063\). 5. Die größte Zahl aus den geraden Ziffern und die kleinste aus den ungeraden Ziffern ergeben \(86\,420 - 13\,579 = 72\,841\). Damit ist \(77\,063\) der größtmögliche Unterschied.

a) Kleinster Unterschied: \(517\), zum Beispiel \(40\,268-39\,751\). b) Größter Unterschied: \(77\,063\), mit \(97\,531-20\,468\).

- Arbeite die Spalten von rechts nach links ab und berücksichtige jeden Übertrag in der nächsten Spalte. - In b) werden in jeder Spalte drei Summanden addiert; achte deshalb darauf, alle drei Ziffern einzubeziehen. - Wenn eine Spaltensumme mindestens \(10\) ist, steht nur ihre Einerziffer unten und der Zehner wird übertragen. - Prüfe am Ende jede vervollständigte Addition vollständig.

1. In a) ergibt die Einerstelle \(7 + * = 12\), also ist die fehlende Ziffer \(5\) und der Übertrag \(1\). 2. In der Zehnerstelle gilt \(2 + 8 + 1 = 11\), daher steht im Ergebnis eine \(1\) und es gibt erneut den Übertrag \(1\). 3. In der Hunderterstelle gilt \(* + 5 + 1 = 12\), also ist die fehlende Ziffer \(6\). In der Tausenderstelle folgt aus \(4 + * + 1 = 13\) die Ziffer \(8\). Damit lautet a) vollständig \(34\,627 + 18\,585 = 53\,212\). 4. In b) ergibt die Einerstelle \(5 + * + 9 = 17\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). 5. In der Zehnerstelle gilt \(4 + 8 + * + 1 = 18\), also ist die fehlende Ziffer \(5\). In der Hunderterstelle gilt \(* + 3 + 2 + 1 = 11\), daher ist auch dort die fehlende Ziffer \(5\). 6. Die Tausenderstelle ergibt \(2 + 4 + 1 + 1 = 8\). Damit lautet b) vollständig \(2545 + 4383 + 1259 = 8187\).

a) \(34\,627 + 18\,585 = 53\,212\) b) \(2545 + 4383 + 1259 = 8187\)

- Arbeite beim Abziehverfahren von rechts nach links und entbündele, wenn die obere Ziffer für die Subtraktion nicht ausreicht. - Wenn über eine Null hinweg entbündelt werden muss, verändert sich mehr als eine Stelle des Minuenden. - Prüfe jede gefundene Ziffer in der vollständigen Spalte, bevor du zur nächsten Stelle gehst. - Am Ende kannst du mit der Umkehraufgabe aus Differenz plus Subtrahend kontrollieren.

1. a) Bei den Einern wird entbündelt: \(13-7=6\). Dadurch wird die obere Zehnerziffer von \(8\) zu \(7\). 2. Dann gilt \(7-1=6\), \(4-*=0\), also fehlt \(4\); \(*-1=8\), also fehlt \(9\); und \(4-*=1\), also fehlt \(3\). Damit gilt \(49\,483-31\,417=18\,066\). 3. b) Für die Einer wird über die Null bei den Zehnern hinweg entbündelt. So gilt \(16-7=9\) und bei den Zehnern \(9-8=1\). 4. Danach gilt \(6-*=4\), also fehlt \(2\); \(*-4=3\), also fehlt \(7\); und \(8-*=7\), also fehlt \(1\). Damit gilt \(87\,706-14\,287=73\,419\).

a) \(49\,483 - 31\,417 = 18\,066\) b) \(87\,706 - 14\,287 = 73\,419\)

- Gehe Spalte für Spalte vor und berücksichtige immer den Übertrag aus der vorherigen Spalte. - Die Sterne stehen für verschiedene Stellen; ein gefundener Wert gilt nicht automatisch für einen anderen Stern. - Nutze die bereits sichtbaren Ergebnisziffern, um jede fehlende Stelle einzeln festzulegen.

1. Einer: \(8 + 4 = 12\). Im Ergebnis steht \(2\), Übertrag \(1\). 2. Zehner: \(1 + 1 + \square = 11\). Die fehlende Zehnerziffer des zweiten Summanden ist daher \(9\), Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(1 + 2 + 9 = 12\). Im Ergebnis steht \(2\), Übertrag \(1\). 4. Tausender: \(1 + 4 + \square = 13\). Die fehlende Tausenderziffer des zweiten Summanden ist daher \(8\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausender: \(1 + \square + 5 = 12\). Die fehlende Zehntausenderziffer des ersten Summanden ist daher \(6\), Übertrag \(1\). 6. Hunderttausender: \(1 + 6 + 1 = 8\). Die fehlende Hunderttausenderziffer des Ergebnisses ist \(8\). 7. Die Rechnung lautet \(664\,218 + 158\,994 = 823\,212\).

Die fertige Rechnung ist \(664\,218 + 158\,994 = 823\,212\).

- Beginne bei den Einern und berücksichtige, dass ein Entbündeln die nächsthöhere Stelle verändert. - Behandle die fehlende Zehnerziffer zunächst als unbekannt und frage, ob die sichtbare Ergebnisziffer ohne ein weiteres Entbündeln überhaupt möglich wäre. - Prüfe jede gefundene Ziffer anschließend in der vollständigen Subtraktion.

1. Einer: Nach dem Entbündeln gilt \(12-*=3\). Deshalb fehlt unten die \(9\). 2. Für die Zehner fehlt oben die \(1\). Durch das Entbündeln für die Einer wird daraus zuerst \(0\). Dann muss noch einmal entbündelt werden. Weil bei den Hundertern eine \(0\) steht, kommt der Zehner über die Tausenderstelle. So stehen bei den Zehnern \(10\), und \(10-1=9\). 3. Bei den Hundertern stehen danach \(9\). \(9-8=1\), also fehlt im Ergebnis die \(1\). 4. Bei den Tausendern wird aus der \(5\) zuerst eine \(4\). Für das Ergebnis \(7\) wird aus der Zehntausenderstelle entbündelt: \(14-7=7\). Unten fehlt also ebenfalls \(7\). 5. Vollständig gilt \(45\,012-7819=37\,193\).

\(45\,012-7819=37\,193\).

- Beginne rechts bei der Einerstelle und nimm jeden Übertrag in die nächste Spalte mit. - Wenn eine Spaltensumme auf \(0\) endet, muss die Summe der Ziffern einschließlich Übertrag hier \(10\) ergeben. - Prüfe nach dem Ergänzen die vollständige Addition noch einmal.

1. Einerstelle: \(7 + * = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(3\); Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(* + 4 + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer im ersten Summanden \(5\); Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 + 8 + 1 = 10\). Die Ergebnisziffer ist \(0\); Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(4 + * + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer im zweiten Summanden \(5\); Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(* + 6 + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer im ersten Summanden \(3\); Übertrag \(1\). 6. Hunderttausenderstelle: \(3 + 4 + 1 = 8\). Damit lautet die vollständige Rechnung \(334\,157 + 465\,843 = 800\,000\).

\(334\,157 + 465\,843 = 800\,000\)

- Verfolge jede Entbündelung genau; in dieser Aufgabe zieht sich die Kette durch fast alle Stellen. - Notiere nach jeder Spalte, welche Ziffer der nächsthöheren Stelle für die nächste Rechnung übrig bleibt. - Nutze die bekannten Ergebnisziffern, um die drei Sternchen nacheinander zu bestimmen. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einer: Nach dem Entbündeln gilt \(11-8=3\). Dadurch wird die obere Zehnerziffer zu \(0\). 2. Zehner: Es wird aus den Hundertern entbündelt. \(10-5=5\). 3. Hunderter: Die ursprüngliche obere Ziffer war \(3\). Nach dem vorigen Entbündeln steht dort \(2\). Für die Ergebnisziffer \(6\) wird erneut entbündelt: \(12-6=6\). 4. Tausender: Danach steht oben \(2\). Mit Entbündeln gilt \(12-5=7\), also fehlt unten die \(5\). 5. Zehntausender: Danach steht oben \(3\). \(13-5=8\), also wird wieder entbündelt. 6. Hunderttausender: Danach gilt \(6-2=4\). Vollständig: \(743\,311-255\,658=487\,653\).

\(743\,311 - 255\,658 = 487\,653\)

- Bei drei Summanden kann der Übertrag größer als \(1\) sein; behalte ihn für die nächste Spalte genau im Blick. - Arbeite von den Einern nach links und frage jeweils, welche Ziffer zusammen mit den bekannten Ziffern die Ergebnisziffer erzeugt. - Prüfe nach jeder gefundenen Ziffer, welchen Übertrag die vollständige Spaltensumme liefert.

1. Einerstelle: \(6 + * + 5 = 20\). Daher ist die fehlende Ziffer \(9\), Übertrag \(2\). 2. Zehnerstelle: \(* + 8 + 7 + 2 = 20\). Daher ist die fehlende Ziffer \(3\), Übertrag \(2\). 3. Hunderterstelle: \(1 + 6 + 1 + 2 = 10\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(0\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(3 + 4 + 2 + 1 = 10\). Die vollständige Rechnung lautet \(3136 + 4689 + 2175 = 10\,000\).

\(3136 + 4689 + 2175 = 10\,000\)

- Weil das Ergebnis \(100\,000\) ist, müssen die unteren fünf Ergebnisstellen jeweils \(0\) werden. - Arbeite von rechts nach links und berücksichtige den Übertrag aus jeder Spalte in der nächsten. - Frage in jeder Lückenspalte, welche Ziffer zusammen mit den bekannten Ziffern genau zur nächsten Zehnergrenze führt.

1. Einerstelle: \(* + 6 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(2 + 7 + 1 = 10\). Die Ergebnisziffer ist \(0\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(5 + * + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(4\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(* + 2 + 1 = 10\). Daher ist die fehlende Ziffer \(7\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(8 + 1 + 1 = 10\). Die vollständige Rechnung lautet \(87\,524 + 12\,476 = 100\,000\).

\(87\,524 + 12\,476 = 100\,000\)

- Arbeite beim Abziehverfahren von rechts nach links und notiere nach jedem Entbündeln die veränderte obere Ziffer. - In dieser Aufgabe wirkt jede Entbündelung auf die nächste Spalte; verfolge diese Veränderungen nacheinander. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einer: Nach dem Entbündeln gilt \(13-6=7\). Dadurch wird die obere Zehnerziffer von \(1\) zu \(0\). 2. Zehner: Wieder wird entbündelt. \(10-4=6\). Die ursprüngliche obere Zehnerziffer war also \(1\). 3. Hunderter: Nach dem vorigen Schritt steht oben \(1\). Mit Entbündeln gilt \(11-3=8\). 4. Tausender: Danach steht oben \(0\). Es wird aus der Zehntausenderstelle entbündelt. \(10-7=3\), also fehlt unten die \(7\). 5. Zehntausender: Aus der \(5\) wurde \(4\). \(4-2=2\). Vollständig: \(51\,213-27\,346=23\,867\).

\(51\,213-27\,346=23\,867\). Beim Rechnen wird nacheinander entbündelt: bei den Einern \(13-6=7\), bei den Zehnern \(10-4=6\), bei den Hundertern \(11-3=8\) und bei den Tausendern \(10-7=3\).

- Beginne rechts und verfolge genau, welche obere Ziffer durch Entbündeln um \(1\) kleiner wird. - Eine fehlende Ziffer im Subtrahenden kannst du aus der veränderten oberen Ziffer und der Ergebnisziffer bestimmen. - Kontrolliere am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einer: \(7-5=2\). 2. Zehner: Es wird entbündelt. \(10-8=2\); die obere Hunderterziffer wird von \(3\) zu \(2\). 3. Hunderter: Für die Ergebnisziffer \(7\) wird erneut entbündelt. \(12-5=7\), also fehlt unten die \(5\). 4. Tausender: Danach steht oben \(7\). \(7-5=2\), also war die ursprüngliche fehlende obere Tausenderziffer \(8\). 5. Zehntausender: \(4-2=2\). Vollständig: \(48\,307-25\,585=22\,722\).

\(48\,307 - 25\,585 = 22\,722\)

- Die Entbündelungskette läuft hier durch mehrere benachbarte Stellen; notiere nach jeder Spalte den neuen oberen Wert. - Nutze die bekannte Ergebnisziffer jeder Spalte, um die fehlende Ziffer eindeutig zu bestimmen. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einer: Nach dem Entbündeln gilt \(15-6=9\). Im Ergebnis fehlt also die \(9\); die obere Zehnerziffer wird von \(4\) zu \(3\). 2. Zehner: Wieder wird entbündelt. \(13-6=7\). Die ursprüngliche obere Zehnerziffer war \(4\); die Hunderterziffer wird von \(3\) zu \(2\). 3. Hunderter: Mit Entbündeln gilt \(12-8=4\), also fehlt unten die \(8\). 4. Tausender: Danach steht oben \(1\). Mit erneutem Entbündeln gilt \(11-5=6\). 5. Zehntausender: Aus der \(9\) wurde \(8\). \(8-4=4\). Vollständig: \(92\,345-45\,866=46\,479\).

\(92\,345 - 45\,866 = 46\,479\)

- Wenn zwischen der benötigten Stelle und der nächsten von Null verschiedenen Stelle Nullen liegen, musst du die Entbündelungskette durch alle diese Stellen verfolgen. - Markiere, welche Werte nach dem Entbündeln bei Hundertern und Zehnern tatsächlich übrig bleiben. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einer wird über die beiden Nullen hinweg aus der Tausenderstelle entbündelt. Aus \(9\) Tausendern werden dabei \(8\); bei den Hundertern und Zehnern bleiben jeweils \(9\). 2. Einer: \(12-7=5\). Deshalb fehlt oben die \(2\). 3. Zehner: \(9-4=5\), also fehlt unten die \(4\). 4. Hunderter: \(9-4=5\). Die ursprüngliche obere Hunderterziffer war \(0\). 5. Tausender: \(8-3=5\), also fehlt unten die \(3\). Vollständig: \(9002-3447=5555\).

\(9002 - 3447 = 5555\)

- Nutze die sichtbare Ergebnisziffer an der Zehnerstelle, um die fehlende obere Zehnerziffer zu bestimmen. - An der Zehnerstelle musst du über die \(0\) in der Hunderterstelle hinweg entbündeln. - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(5-4=1\). Die fehlende Ergebnisziffer ist \(1\). 2. Zehnerstelle: Oben fehlt eine Ziffer. Weil unten \(7\) steht und im Ergebnis \(4\), muss entbündelt werden. Mit \(1\) oben gilt \(11-7=4\). Die fehlende Ziffer ist also \(1\). 3. Weil bei den Hundertern oben \(0\) steht, wird dafür zuerst aus den Tausendern entbündelt. Aus der \(2\) wird \(1\); bei den Hundertern bleiben nach dem Weitergeben \(9\). Daher gilt \(9-3=6\). 4. Tausenderstelle: Oben steht nach dem Entbündeln \(1\). Für die Ergebnisziffer \(3\) muss nochmals entbündelt werden: \(11-8=3\). Die fehlende untere Ziffer ist \(8\). 5. Zehntausenderstelle: Aus der \(4\) wurde \(3\). Es gilt \(3-1=2\). Vollständig lautet die Rechnung \(42\,015-18\,374=23\,641\).

\(42\,015 - 18\,374 = 23\,641\)

- Wandle die Division zunächst in ihre Multiplikationsprobe um. - Untersuche zuerst, wann eine Ziffer nach der Multiplikation mit \(9\) wieder dieselbe Einerziffer ergibt. - Der Übertrag aus der Einerstelle muss anschließend zu zwei gleichen führenden Ziffern passen.

1. Zur Kontrolle der Division kann man \(AB\cdot9=AAB\) rechnen. 2. Bei den Einern muss \(B\cdot9\) wieder auf \(B\) enden. Dafür kommen nur \(B=0\) oder \(B=5\) infrage. 3. Mit \(B=0\) entsteht keine passende Zahl der Form \(AA0\). Daher ist \(B=5\). 4. \(5\cdot9=45\), also wird \(4\) übertragen. Nun muss \(A\cdot9+4\) die beiden gleichen Anfangsziffern \(AA\) ergeben. Mit \(A=2\) gilt \(2\cdot9+4=22\). 5. Probe: \(25\cdot9=225\). Also gilt \(225:9=25\).

\(A = 2\) und \(B = 5\)

- Beginne mit der Teilproduktzeile zur Zehnerziffer \(3\); sie schränkt die fehlende Ziffer der ersten Zahl stark ein. - Nutze danach die Einer-Teilproduktzeile, um die fehlende Einerziffer des Multiplikators zu bestimmen. - Prüfe zum Schluss, ob die beiden vervollständigten Zeilen zum Endprodukt passen.

1. Die Zehner-Teilproduktzeile hat die Form \(1*81\) und entsteht durch Multiplikation der ersten Zahl mit \(3\). Unter den Zahlen \(407, 417, \dots, 497\) passt nur \(427\), denn \(427\cdot3=1281\). 2. Damit ist das Sternchen in der ersten Zahl \(2\). 3. Für die Einerziffer des Multiplikators muss \(427\cdot z\) zur Zeile \(25*2\) passen. \(427\cdot6=2562\), also ist \(z=6\) und das Sternchen dort \(6\). 4. Die fehlenden Ziffern in den Teilprodukten sind \(6\) und \(2\); das Endprodukt ist \(15\,372\), also steht dort \(3\).

Vollständig: \(427\cdot36=15\,372\). Die Teilprodukte sind \(2562\) und \(1281\).

- Arbeite strikt von links nach rechts; jede spätere Lücke hängt vom vorherigen Rest ab. - Nutze sichtbare Subtraktionszeilen, um Quotientenziffern einzugrenzen. - Für den letzten Schritt kannst du zusätzlich den gegebenen Rest \(4\) verwenden.

1. Nach dem ersten Schritt bleibt \(1\). Mit der nächsten fehlenden Ziffer entsteht \(13\). Weil darunter \(12\) abgezogen wird, ist die fehlende Ziffer \(3\) und die nächste Ergebnisziffer \(2\). 2. Es bleibt wieder \(1\). Mit der sichtbaren \(5\) entsteht \(15\); die nächste Ergebnisziffer ist wieder \(2\). 3. Nach \(15-12=3\) wird die letzte fehlende Ziffer heruntergeholt. Weil am Ende \(30\) abgezogen wird und Rest \(4\) bleibt, muss dort \(34\) stehen. Die letzte Ziffer der Zahl ist also \(4\), die letzte Ergebnisziffer \(5\). 4. Vollständig gilt \(7354:6=1225\,\text{Rest}\,4\).

Vollständig: \(7354:6=1225\,\text{Rest}\,4\). In den fehlenden Rechenschritten stehen \(13\), \(15\) und \(34\).

- Beginne mit der Zehner-Teilproduktzeile; sie hängt nur von der sichtbaren Zehnerziffer des Multiplikators ab. - Nutze danach die Einer-Teilproduktzeile, um die fehlende Einerziffer des Multiplikators zu bestimmen. - Addiere die vervollständigten Zeilen erst am Ende.

1. Die obere Zahl hat die Form \(3*4\). Multipliziert mit der sichtbaren \(2\) muss die Zeile \(6*8\) entstehen. Das passt bei \(314\), denn \(314\cdot2=628\). Die fehlende Ziffer oben ist also \(1\), in dieser Zeile fehlt \(2\). 2. Nun fehlt die Einerziffer der unteren Zahl. \(314\cdot7=2198\), also ist diese Ziffer \(7\). In der zugehörigen Zeile fehlt \(1\). 3. Addiert man die beiden Zeilen an den richtigen Stellen, erhält man \(8478\). Im Endergebnis fehlt daher die Ziffer \(7\).

Vollständig: \(314\cdot27=8478\). Die beiden Rechenzeilen sind \(2198\) und \(628\).

- Beginne mit der Frage, welche Ziffer ein Hunderterübertrag bei der Summe zweier zweistelliger Zahlen haben kann. - Nutze danach die Zehnerspalte, ohne die Einerspalte schon vollständig lösen zu müssen. - Jeder gefundene Übertrag muss anschließend auch zur Einerspalte und zur Bedingung verschiedener Ziffern passen.

1. Weil die Summe zweier zweistelliger Zahlen dreistellig ist, entsteht aus der Zehnerspalte ein Hunderterübertrag von \(1\). Die Hunderterziffer des Ergebnisses ist \(A\), also muss \(A=1\) sein. 2. In der Zehnerspalte werden \(A\), \(B\) und der Übertrag aus der Einerspalte addiert. Das Ergebnis muss wieder die Zehnerziffer \(A=1\) haben und zugleich den Hunderterübertrag \(1\) erzeugen. 3. Ohne einen Einerübertrag wäre dafür eine Ziffer \(B=10\) nötig, was unmöglich ist. Daher muss aus der Einerspalte ein Übertrag \(1\) kommen. Dann gilt an der Zehnerstelle \(1 + B + 1 = 11\), also \(B=9\). 4. An der Einerstelle muss \(B + C = 9 + C\) die Einerziffer \(A=1\) ergeben und den bereits benötigten Übertrag \(1\) erzeugen. Daher gilt \(9 + C = 11\), also \(C=2\). 5. Probe: \(19 + 92 = 111\). Die Ziffern \(1\), \(9\) und \(2\) sind verschieden.

\(A = 1\), \(B = 9\), \(C = 2\)