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- Überlege bei Teil a), ob drei Zehntel eines Kuchens mehr oder weniger sind als sieben Zehntel. - Wann ist ein Bruch genau die Hälfte von etwas? Schau dir das Verhältnis von Zähler und Nenner an. - Stell dir für Teil c) zwei gleich große Kreise vor: Einer ist in 4 Teile geteilt, der andere in 8. Wie viele Achtel füllen die gleiche Fläche wie zwei Viertel?

1. Vergleich der Brüche mit gleichem Nenner: Da \(3 < 7\) ist, gilt \(\frac{3}{10} < \frac{7}{10}\). 2. Überprüfung auf Gleichwertigkeit zu \(\frac{1}{2}\): Ein Bruch entspricht \(\frac{1}{2}\), wenn der Zähler genau die Hälfte des Nenners ist. Dies trifft auf \(\frac{2}{4}\) (\(2\) ist die Hälfte von \(4\)) und \(\frac{4}{8}\) (\(4\) ist die Hälfte von \(8\)) zu. 3. Begründung der Gleichheit: Bei \(\frac{4}{8}\) sind sowohl der Zähler als auch der Nenner doppelt so groß wie bei \(\frac{2}{4}\). Wenn man ein Ganzes in doppelt so viele Teile teilt (Achtel statt Viertel), muss man auch doppelt so viele Teile nehmen, um die gleiche Gesamtmenge zu erhalten.

a) \(\frac{3}{10} < \frac{7}{10}\) b) \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{4}{8}\) c) \(\frac{4}{8}\) entsteht aus \(\frac{2}{4}\), indem man jedes der 4 Teile noch einmal halbiert. Man hat dann 8 Teile insgesamt und nimmt 4 davon, was immer noch den gleichen Anteil (die Hälfte) beschreibt.

- Überlege dir, wie viele kleine Stücke der zweiten Pizza in ein großes Stück der ersten Pizza passen. - Wie oft passt die 4 in die 8? Nutze dieses Wissen, um den Zähler anzupassen. - Stell dir die Pizza bildlich vor oder zeichne sie auf, um die Anteile zu vergleichen.

1. Bestimmung des Anteils für 2 von 4 Stücken: Da das Blech in 4 Teile geteilt wurde, entspricht jedes Stück \(\frac{1}{4}\). 2 Stücke sind somit \(\frac{2}{4}\). 2. Umrechnung von Vierteln in Achtel: Ein Viertel entspricht zwei Achteln, da \(4 \cdot 2 = 8\) und \(1 \cdot 2 = 2\). Somit sind 2 Stücke der zweiten Pizza nötig. 3. Erweiterung von \(\frac{3}{4}\) auf den Nenner 8: Um von 4 auf 8 zu kommen, muss mit 2 multipliziert werden. Rechnung: \(3 \cdot 2 = 6\). Es müssen 6 Stücke eingepackt werden.

a) \(\frac{2}{4}\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) 2 Stücke c) 6 Stücke

- Zähle für jede der drei Abbildungen zuerst die Anzahl aller gleich großen Teile. Das gibt dir den Nenner des Bruchs. - Zähle dann die Anzahl der gefärbten Teile. Das gibt dir den Zähler des Bruchs. - Versuche, jeden dieser Brüche so weit wie möglich zu kürzen. - Vergleiche die gekürzten Brüche, um herauszufinden, welche zwei Abbildungen denselben Anteil darstellen.

1. Bestimmung der Anteile für jede Abbildung: - In Abbildung a) ist ein Kreis in \(8\) gleich große Teile unterteilt, von denen \(4\) gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{8}\). Wenn wir diesen Bruch mit \(4\) kürzen, erhalten wir \(\frac{1}{2}\). - In Abbildung b) ist ein Gitter in \(12\) gleich große Teile (\(3 \times 4\)) unterteilt, von denen \(6\) gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{6}{12}\). Wenn wir diesen Bruch mit \(6\) kürzen, erhalten wir ebenfalls \(\frac{1}{2}\). - In Abbildung c) ist ein Balken in \(5\) gleich große Teile unterteilt, von denen \(2\) gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{2}{5}\), welcher sich nicht weiter kürzen lässt. 2. Vergleich der Brüche: Die Abbildungen a) und b) stellen somit denselben Anteil dar. Der gekürzte Bruch ist \(\frac{1}{2}\).

Die Abbildungen a) und b) stellen denselben Anteil dar. Der gekürzte Bruch ist \(\frac{1}{2}\).

- Welcher Anteil ist in Abbildung A farbig markiert? Schreibe diesen als Bruch auf. - Wie viele Teile hat die Torte in Abbildung B insgesamt? - Wie kannst du den ersten Bruch erweitern, damit im Nenner die Gesamtzahl der Teile von Torte B steht?

1. Beates Torte ist in 4 Teile geteilt, wovon 3 gegessen wurden. Dies entspricht dem Bruch \(\frac{3}{4}\). 2. Um den gleichwertigen Anteil für Cems Torte mit 8 Stücken zu bestimmen, erweitern wir den Bruch \(\frac{3}{4}\) mit 2: \(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}\). Cem muss also 6 Stücke essen. 3. Der entsprechende gleichwertige Bruch für Cems Anteil lautet \(\frac{6}{8}\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) 6 c) \(\frac{6}{8}\)

- Schau dir an, in wie viele gleich große Stücke der Kreis geteilt wurde. - Wie viele dieser Stücke sind blau gefärbt? - Kann man den Bruch, den Lisa nennt, vereinfachen? - Überlege, ob zwei verschiedene Brüche denselben Teil einer Fläche beschreiben können.

1. Bestimmung des im Bild dargestellten Anteils: Der Kreis ist in 4 gleich große Sektoren unterteilt, von denen 2 blau gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{2}{4}\). 2. Prüfung von Lisas Aussage: Lisa nennt den Bruch \(\frac{2}{4}\). Da dies genau der Anzahl der Teile entspricht, ist ihre Aussage korrekt. 3. Prüfung von Max' Aussage: Man kann den Bruch \(\frac{2}{4}\) mit der Zahl 2 kürzen: \(\frac{2 : 2}{4 : 2} = \frac{1}{2}\). Der Anteil \(\frac{1}{2}\) entspricht genau der Hälfte. 4. Schlussfolgerung: Da \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{2}{4}\) gleichwertige Brüche sind, beschreiben beide Aussagen denselben Anteil. Sowohl Max als auch Lisa haben recht.

Beide haben recht. Die Abbildung zeigt \(\frac{2}{4}\) des Kreises, was durch Kürzen mit 2 genau \(\frac{1}{2}\) (die Hälfte) ergibt. Da \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) gilt, sind beide Aussagen wahr.

- Wie viele Pralinen liegen insgesamt in der Schachtel? Das ist dein Nenner. - Wie viele Pralinen sind orange markiert? Das ist dein Zähler. - Kannst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen, um den Bruch zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Pralinen: In der Abbildung sind insgesamt \(15\) Pralinen zu sehen (\(3\) Reihen zu je \(5\) Pralinen). 2. Bestimmung der Anzahl der dunklen Pralinen: Es sind \(6\) Pralinen farbig markiert. 3. Aufstellen des Bruchteils: Der Anteil der dunklen Pralinen beträgt \(\frac{6}{15}\). 4. Kürzen des Bruchs: Durch Kürzen mit \(3\) erhält man \(\frac{2}{5}\).

Der Bruchteil der dunklen Pralinen ist \(\frac{2}{5}\).

- In wie viele Teile ist Finns Pizza geteilt? - Du suchst einen Bruch, der denselben Wert wie \(\frac{1}{3}\) hat, aber eine \(12\) im Nenner besitzt. - Mit welcher Zahl musst du die \(3\) multiplizieren, um \(12\) zu erhalten?

1. Gegebener Anteil von Lukas: \(\frac{1}{3}\). 2. Unterteilung von Finns Pizza: \(12\) Stücke (\(12\) im Nenner). 3. Bestimmung der gleichwertigen Anzahl an Stücken: Um von \(\frac{1}{3}\) auf einen Nenner von \(12\) zu kommen, muss der Bruch mit \(4\) erweitert werden: \(\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}\). 4. Ergebnis: Finn muss \(4\) Stücke essen.

Finn muss \(4\) Stücke essen.

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die gesamte Figur unterteilt ist. - Wie viele dieser Teile sind markiert oder schraffiert? - Erinnere dich daran, wie man einen Bruch aus Zähler (markierte Teile) und Nenner (alle Teile) bildet. - Kannst du den Bruch noch vereinfachen, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Felder: Das Sechseck ist in 6 gleich große Dreiecke unterteilt. 2. Bestimmung der getönten Felder: In der Abbildung sind 4 dieser Felder schraffiert. 3. Bildung des Bruchs: Der Anteil der getönten Fläche beträgt \(\frac{4}{6}\). 4. Kürzen des Bruchs: Durch Kürzen mit 2 erhält man den Anteil \(\frac{2}{3}\).

Der getönte Anteil der Glasplatte ist \(\frac{2}{3}\).

- Wie viele kleine Quadrate siehst du insgesamt in dem großen Gitter? - Zähle genau nach, wie viele dieser Quadrate blau gefärbt sind. - Kannst du den Zähler und den Nenner deines Bruchs durch dieselbe Zahl teilen, um ihn zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Steine im Mosaik: \(4 \cdot 4 = 16\). 2. Zählen der blau gefärbten Steine in der Abbildung: \(6\) Steine. 3. Aufstellen des Anteils als Bruch: \(\frac{6}{16}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den gemeinsamen Teiler 2: \(\frac{6 : 2}{16 : 2} = \frac{3}{8}\).

\(\frac{3}{8}\)

- Bilde für jedes Feld den Bruch markiert durch insgesamt. - Kürze beide Brüche vollständig.

In A sind 12 von 24 Punkten markiert: \(\frac{12}{24}=\frac12\). In B sind 18 von 36 Punkten markiert: \(\frac{18}{36}=\frac12\). Beide Anteile sind gleich groß.

In A gilt \(\frac{12}{24}=\frac12\), in B \(\frac{18}{36}=\frac12\). Beide Anteile sind gleich groß.

- Was musst du mit dem Zähler machen, wenn sich der Nenner verdoppelt, damit der Anteil gleich bleibt? - Erinnere dich daran, dass ein Bruchstrich auch wie ein Geteilt-Zeichen gelesen werden kann. Was ergibt \(10 : 10\)? - Wenn du den Zähler eines Bruchs mit einer Zahl multiplizierst, was musst du dann mit dem Nenner tun?

1. Berechnung für a): Um den Wert \(\frac{1}{2}\) beizubehalten, muss der Nenner immer das Doppelte des Zählers sein. \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\) (da \(2 \cdot 2 = 4\)) \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\) (da \(8 : 2 = 4\)) \(\frac{1}{2} = \frac{5}{10}\) (da \(5 \cdot 2 = 10\)) Ergebnis: \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\). 2. Berechnung für b): Da \(8\) das Doppelte von \(4\) ist, muss auch der Zähler verdoppelt werden: \(1 \cdot 2 = 2\). Ergebnis: \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\). 3. Berechnung für c): Da der Zähler \(6\) das Doppelte von \(3\) ist, muss auch der Nenner verdoppelt werden: \(4 \cdot 2 = 8\). Ergebnis: \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\). 4. Berechnung für d): \(\frac{10}{10}\) entspricht einem Ganzen (\(1\)). Damit der zweite Bruch ebenfalls \(1\) ergibt, muss der Zähler dem Nenner entsprechen: \(\frac{2}{2}\). Ergebnis: \(\frac{10}{10} = \frac{2}{2}\).

a) \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\) b) \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\) c) \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) d) \(\frac{10}{10} = \frac{2}{2}\)

- Um Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, wenn sie den gleichen Nenner (die untere Zahl) haben. - Was musst du mit dem Zähler tun, wenn du den Nenner verdoppelst, damit der Anteil gleich bleibt? - Denke bei d) daran, wie viele Achtel ein Ganzes ergeben und wo die Hälfte liegt.

1. Berechnung der Lücke in a): Um den Nenner 2 auf 8 zu bringen, wird mit 4 multipliziert. Rechnung: \(1 \cdot 4 = 4\). Ergebnis: \(\frac{4}{8}\). 2. Berechnung der Lücke in b): Um den Nenner 4 auf 8 zu bringen, wird mit 2 multipliziert. Rechnung: \(3 \cdot 2 = 6\). Ergebnis: \(\frac{6}{8}\). 3. Berechnung der Lücke in c): Um den Nenner 8 auf 4 zu bringen, wird durch 2 dividiert. Rechnung: \(6 : 2 = 3\). Ergebnis: \(\frac{3}{4}\). 4. Vergleich in d): Um \(\frac{1}{2}\) mit \(\frac{5}{8}\) zu vergleichen, wird \(\frac{1}{2}\) auf Achtel erweitert. \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\). Da \(5 > 4\), ist \(\frac{5}{8} > \frac{4}{8}\). Somit ist \(\frac{5}{8}\) größer.

a) \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\) b) \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) c) \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) d) \(\frac{5}{8}\) ist größer, da \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\) und \(\frac{5}{8} > \frac{4}{8}\) ist.

- Bestimme zuerst, wie viele Teile schattiert sind und wie viele es insgesamt gibt. - „Gleichwertig“ bedeutet, dass der Bruch denselben Wert darstellt, auch wenn die Zahlen anders aussehen. - Welcher einfache Anteil (wie „die Hälfte“, „ein Viertel“ ...) ist hier zu sehen?

1. Bestimmung des schattierten Anteils: Von 6 gleich großen Teilen sind 3 schattiert. Das entspricht dem Bruch \(\frac{3}{6}\). 2. Finden eines gleichwertigen Bruchs mit Nenner 2: Um von Nenner 6 auf Nenner 2 zu kommen, muss man durch 3 kürzen. \(\frac{3 : 3}{6 : 3} = \frac{1}{2}\).

(a) \(\frac{3}{6}\) (b) \(\frac{1}{2}\)

- Zähle zuerst, wie viele Gegenstände in jeder Gruppe insgesamt vorhanden sind. - Bestimme dann, wie viele davon farbig markiert sind. - Überlege, wie du den Anteil als Bruch schreiben kannst. - Prüfe, ob du den Bruch so kürzen kannst, dass er \(\frac{1}{4}\) ergibt.

1. Bestimmung der Gesamtzahl und der farbigen Gegenstände pro Gruppe: - Gruppe a): \(2\) von \(8\) Gegenständen sind farbig, Anteil \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). - Gruppe b): \(2\) von \(6\) Gegenständen sind farbig, Anteil \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). - Gruppe c): \(3\) von \(12\) Gegenständen sind farbig, Anteil \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). - Gruppe d): \(2\) von \(10\) Gegenständen sind farbig, Anteil \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). 2. Identifikation der Gruppen mit dem Anteil \(\frac{1}{4}\): Dies trifft auf die Gruppen a) und c) zu.

a) und c)

- Bestimme zuerst die Brüche für alle drei Bilder. - Kannst du einen der Brüche so verändern (kürzen), dass er wie ein anderer aussieht? - Achte darauf, wie viel von der Gesamtfläche jeweils blau „ausgefüllt“ ist, unabhängig von der Anzahl der Linien.

1. Bestimmung der Brüche: - Figur a): \(\frac{1}{4}\) - Figur b): \(\frac{2}{8}\) - Figur c): \(\frac{2}{6}\) 2. Vergleich der Anteile: - Durch Kürzen von \(\frac{2}{8}\) mit 2 erhält man \(\frac{1}{4}\). - Damit zeigen Figur a) und Figur b) den gleichen Anteil (\(\frac{1}{4}\)). - Figur c) zeigt den Anteil \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), was ein größerer Anteil ist.

a) a: \(\frac{1}{4}\); b: \(\frac{2}{8}\); c: \(\frac{2}{6}\) b) Figur a) und Figur b) zeigen den gleichen Anteil. Begründung: \(\frac{2}{8}\) lässt sich durch Kürzen mit 2 in \(\frac{1}{4}\) umwandeln.