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- Überlege bei Teil a), ob drei Zehntel eines Kuchens mehr oder weniger sind als sieben Zehntel. - Wann ist ein Bruch genau die Hälfte von etwas? Schau dir das Verhältnis von Zähler und Nenner an. - Stell dir für Teil c) zwei gleich große Kreise vor: Einer ist in 4 Teile geteilt, der andere in 8. Wie viele Achtel füllen die gleiche Fläche wie zwei Viertel?

1. Vergleich der Brüche mit gleichem Nenner: Da \(3 < 7\) ist, gilt \(\frac{3}{10} < \frac{7}{10}\). 2. Überprüfung auf Gleichwertigkeit zu \(\frac{1}{2}\): Ein Bruch entspricht \(\frac{1}{2}\), wenn der Zähler genau die Hälfte des Nenners ist. Dies trifft auf \(\frac{2}{4}\) (\(2\) ist die Hälfte von \(4\)) und \(\frac{4}{8}\) (\(4\) ist die Hälfte von \(8\)) zu. 3. Begründung der Gleichheit: Bei \(\frac{4}{8}\) sind sowohl der Zähler als auch der Nenner doppelt so groß wie bei \(\frac{2}{4}\). Wenn man ein Ganzes in doppelt so viele Teile teilt (Achtel statt Viertel), muss man auch doppelt so viele Teile nehmen, um die gleiche Gesamtmenge zu erhalten.

a) \(\frac{3}{10} < \frac{7}{10}\) b) \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{4}{8}\) c) \(\frac{4}{8}\) entsteht aus \(\frac{2}{4}\), indem man jedes der 4 Teile noch einmal halbiert. Man hat dann 8 Teile insgesamt und nimmt 4 davon, was immer noch den gleichen Anteil (die Hälfte) beschreibt.

- Überlege dir, wie viele kleine Stücke der zweiten Pizza in ein großes Stück der ersten Pizza passen. - Wie oft passt die 4 in die 8? Nutze dieses Wissen, um den Zähler anzupassen. - Stell dir die Pizza bildlich vor oder zeichne sie auf, um die Anteile zu vergleichen.

1. Bestimmung des Anteils für 2 von 4 Stücken: Da das Blech in 4 Teile geteilt wurde, entspricht jedes Stück \(\frac{1}{4}\). 2 Stücke sind somit \(\frac{2}{4}\). 2. Umrechnung von Vierteln in Achtel: Ein Viertel entspricht zwei Achteln, da \(4 \cdot 2 = 8\) und \(1 \cdot 2 = 2\). Somit sind 2 Stücke der zweiten Pizza nötig. 3. Erweiterung von \(\frac{3}{4}\) auf den Nenner 8: Um von 4 auf 8 zu kommen, muss mit 2 multipliziert werden. Rechnung: \(3 \cdot 2 = 6\). Es müssen 6 Stücke eingepackt werden.

a) \(\frac{2}{4}\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) 2 Stücke c) 6 Stücke

- Was musst du mit dem Zähler machen, wenn sich der Nenner verdoppelt, damit der Anteil gleich bleibt? - Erinnere dich daran, dass ein Bruchstrich auch wie ein Geteilt-Zeichen gelesen werden kann. Was ergibt \(10 : 10\)? - Wenn du den Zähler eines Bruchs mit einer Zahl multiplizierst, was musst du dann mit dem Nenner tun?

1. Berechnung für a): Um den Wert \(\frac{1}{2}\) beizubehalten, muss der Nenner immer das Doppelte des Zählers sein. \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\) (da \(2 \cdot 2 = 4\)) \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\) (da \(8 : 2 = 4\)) \(\frac{1}{2} = \frac{5}{10}\) (da \(5 \cdot 2 = 10\)) Ergebnis: \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\). 2. Berechnung für b): Da \(8\) das Doppelte von \(4\) ist, muss auch der Zähler verdoppelt werden: \(1 \cdot 2 = 2\). Ergebnis: \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\). 3. Berechnung für c): Da der Zähler \(6\) das Doppelte von \(3\) ist, muss auch der Nenner verdoppelt werden: \(4 \cdot 2 = 8\). Ergebnis: \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\). 4. Berechnung für d): \(\frac{10}{10}\) entspricht einem Ganzen (\(1\)). Damit der zweite Bruch ebenfalls \(1\) ergibt, muss der Zähler dem Nenner entsprechen: \(\frac{2}{2}\). Ergebnis: \(\frac{10}{10} = \frac{2}{2}\).

a) \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\) b) \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\) c) \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) d) \(\frac{10}{10} = \frac{2}{2}\)

- Um Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, wenn sie den gleichen Nenner (die untere Zahl) haben. - Was musst du mit dem Zähler tun, wenn du den Nenner verdoppelst, damit der Anteil gleich bleibt? - Denke bei d) daran, wie viele Achtel ein Ganzes ergeben und wo die Hälfte liegt.

1. Berechnung der Lücke in a): Um den Nenner 2 auf 8 zu bringen, wird mit 4 multipliziert. Rechnung: \(1 \cdot 4 = 4\). Ergebnis: \(\frac{4}{8}\). 2. Berechnung der Lücke in b): Um den Nenner 4 auf 8 zu bringen, wird mit 2 multipliziert. Rechnung: \(3 \cdot 2 = 6\). Ergebnis: \(\frac{6}{8}\). 3. Berechnung der Lücke in c): Um den Nenner 8 auf 4 zu bringen, wird durch 2 dividiert. Rechnung: \(6 : 2 = 3\). Ergebnis: \(\frac{3}{4}\). 4. Vergleich in d): Um \(\frac{1}{2}\) mit \(\frac{5}{8}\) zu vergleichen, wird \(\frac{1}{2}\) auf Achtel erweitert. \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\). Da \(5 > 4\), ist \(\frac{5}{8} > \frac{4}{8}\). Somit ist \(\frac{5}{8}\) größer.

a) \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\) b) \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\) c) \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) d) \(\frac{5}{8}\) ist größer, da \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\) und \(\frac{5}{8} > \frac{4}{8}\) ist.