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Überschlag und exakte Rechnung

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4168564
Paul kauft 5 Pfirsiche. Sie wiegen zusammen \(742\,\text{g}\) und kosten \(2{,}45\,\text{€}\). a) Wie viel Gramm wiegt ein Pfirsich ungefähr? b) Wie viel Cent kostet ein Pfirsich?

Denkanstöße

- Welche Zahl in der Nähe von 742 lässt sich gut durch 5 teilen? - Wie viele Cent sind in einem Euro? - Kannst du den Gesamtpreis in Cent umrechnen, bevor du teilst?

Lösung

1. Zur Schätzung des Gewichts wird das Gesamtgewicht von \(742\,\text{g}\) auf eine durch 5 leicht teilbare Zahl gerundet, zum Beispiel \(750\,\text{g}\). Die Rechnung \(750\,\text{g} : 5 = 150\,\text{g}\) ergibt das ungefähre Gewicht eines Pfirsichs. 2. Der Preis von \(2{,}45\,\text{€}\) wird in Cent umgerechnet: \(245\,\text{ct}\). Durch die Division \(245\,\text{ct} : 5 = 49\,\text{ct}\) erhält man den Preis pro Pfirsich.

Antwort

a) Ein Pfirsich wiegt ungefähr \(150\,\text{g}\). b) Ein Pfirsich kostet \(49\,\text{ct}\).
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Ein Händler verschickt 4 identische Pakete mit Spielzeug. Zusammen wiegen die Pakete \(7980\,\text{g}\). Der Versand kostet insgesamt \(11{,}60\,\text{€}\). a) Wie viel Gramm wiegt ein Paket ungefähr? b) Wie viel Cent kostet der Versand für ein Paket?

Denkanstöße

- Auf welche Tausenderzahl kannst du \(7980\) runden, um leichter durch 4 zu teilen? - Vergiss nicht, den Euro-Betrag in Cent umzurechnen. - Zerlege den Centbetrag in gut durch 4 teilbare Teile.

Lösung

1. Das Gesamtgewicht von \(7980\,\text{g}\) liegt sehr nah an \(8000\,\text{g}\). Die Division \(8000\,\text{g} : 4 = 2000\,\text{g}\) (oder \(2\,\text{kg}\)) ergibt das ungefähre Gewicht eines Pakets. 2. Der Gesamtpreis von \(11{,}60\,\text{€}\) entspricht \(1160\,\text{ct}\). Die Division \(1160\,\text{ct} : 4\) wird durchgeführt (\(1000 : 4 = 250\); \(160 : 4 = 40\)), was zu \(290\,\text{ct}\) pro Paket führt.

Antwort

a) Ein Paket wiegt ungefähr \(2000\,\text{g}\) (oder \(2\,\text{kg}\)). b) Der Versand für ein Paket kostet \(290\,\text{ct}\) (oder \(2{,}90\,\text{€}\)).
4168594
An einem Marktstand kauft Familie Müller verschiedene Obst- und Gemüsesorten ein. Berechne die fehlenden Gesamtpreise für jede Sorte sowie den Endbetrag. Prüfe dein Ergebnis am Ende mit einem Überschlag. <table> <tr> <th>Menge</th> <th>Sorte</th> <th>Preis pro kg</th> <th>Gesamtpreis</th> </tr> <tr> <td>\(3\,\text{kg}\)</td> <td>Äpfel</td> <td>\(1{,}95\,\text{€}\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(2\,\text{kg}\)</td> <td>Birnen</td> <td>\(2{,}49\,\text{€}\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(5\,\text{kg}\)</td> <td>Kartoffeln</td> <td>\(0{,}75\,\text{€}\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td></td> <td><strong>Gesamt</strong></td> <td></td> <td></td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Multipliziere zuerst die Menge mit dem Preis für ein Kilogramm. - Addiere danach alle Einzelsummen, um den Gesamtbetrag zu erhalten. - Runde die Preise für den Überschlag auf einfache Beträge wie \(2{,}00\,\text{€}\) oder \(0{,}80\,\text{€}\).

Lösung

1. Berechnung der Gesamtpreise der einzelnen Sorten: Äpfel: \(3 \cdot 1{,}95\,\text{€} = 5{,}85\,\text{€}\) Birnen: \(2 \cdot 2{,}49\,\text{€} = 4{,}98\,\text{€}\) Kartoffeln: \(5 \cdot 0{,}75\,\text{€} = 3{,}75\,\text{€}\) 2. Berechnung der Gesamtsumme: \(5{,}85\,\text{€} + 4{,}98\,\text{€} + 3{,}75\,\text{€} = 14{,}58\,\text{€}\) 3. Überschlag zur Kontrolle: \(3 \cdot 2\,\text{€} + 2 \cdot 2{,}50\,\text{€} + 5 \cdot 0{,}80\,\text{€} = 6\,\text{€} + 5\,\text{€} + 4\,\text{€} = 15\,\text{€}\). Das Ergebnis \(14{,}58\,\text{€}\) ist plausibel.

Antwort

Die Gesamtpreise sind \(5{,}85\,\text{€}\) für Äpfel, \(4{,}98\,\text{€}\) für Birnen und \(3{,}75\,\text{€}\) für Kartoffeln. Der Endbetrag beträgt \(14{,}58\,\text{€}\).
4169614
Eine Gruppe von 6 Kindern kauft ein Abschiedsgeschenk für ihre Lehrerin. Das Geschenk kostet insgesamt \(112{,}50\,\text{€}\). Wie viel Euro muss jedes Kind bezahlen, wenn die Kosten gleichmäßig aufgeteilt werden? Schätze das Ergebnis zuerst mit einem Überschlag.

Denkanstöße

- Überlege dir eine Zahl in der Nähe des Gesamtpreises, die sich leicht durch 6 teilen lässt. - Es kann helfen, den Euro-Betrag zuerst komplett in Cent umzurechnen. - Denke am Ende daran, das Ergebnis wieder mit einem Komma als Euro-Betrag zu schreiben.

Lösung

1. Ein möglicher Überschlag ist \(120\,\text{€} : 6 = 20\,\text{€}\). 2. Zur genauen Berechnung wird der Betrag in Cent umgerechnet: \(112{,}50\,\text{€} = 11\,250\,\text{Cent}\). 3. Die Division durch die Anzahl der Kinder ergibt: \(11\,250 : 6 = 1875\). 4. Das Ergebnis wird zurück in Euro umgewandelt: \(1875\,\text{Cent} = 18{,}75\,\text{€}\).

Antwort

Ein möglicher Überschlag ergibt \(20\,\text{€}\) pro Kind. Genau muss jedes Kind \(18{,}75\,\text{€}\) bezahlen.
4171624
Ein Grundschulkind nimmt täglich aus verschiedenen Quellen folgende Flüssigkeitsmengen auf: <table> <tr><td>Mineralwasser</td><td>\(820\,\text{ml}\)</td></tr> <tr><td>Saftschorle</td><td>\(210\,\text{ml}\)</td></tr> <tr><td>Früchtetee</td><td>\(190\,\text{ml}\)</td></tr> <tr><td>Milch</td><td>\(240\,\text{ml}\)</td></tr> <tr><td>Suppe</td><td>\(180\,\text{ml}\)</td></tr> </table> a) Überschlage die täglich aufgenommene Gesamtmenge in Millilitern. b) Wie viele Liter Flüssigkeit nimmt das Kind ungefähr in einer Woche (\(7\) Tage) auf? Nutze deinen Überschlag aus a). c) Schätze die Flüssigkeitsaufnahme für einen Monat (\(30\) Tage) in Litern.

Denkanstöße

- Runde die Zahlen aus der Tabelle zuerst auf volle Hunderter, um leichter rechnen zu können. - Erinnere dich daran, wie viele Milliliter ein ganzer Liter sind. - Für die wöchentliche Menge musst du das Tagesergebnis mit der Anzahl der Tage einer Woche multiplizieren. - Ein Monat hat in dieser Aufgabe 30 Tage – wie oft passt der Tageswert da hinein?

Lösung

1. Addition der gerundeten Einzelwerte für den täglichen Überschlag: \(800\,\text{ml} + 200\,\text{ml} + 200\,\text{ml} + 200\,\text{ml} + 200\,\text{ml} = 1600\,\text{ml}\). 2. Berechnung für eine Woche (\(7\) Tage) basierend auf dem Überschlag: \(1600\,\text{ml} \cdot 7 = 11\,200\,\text{ml}\). Umrechnung in Liter: ca. \(11\,\text{l}\). 3. Schätzung für einen Monat (\(30\) Tage): \(1600\,\text{ml} \cdot 30 = 48\,000\,\text{ml}\). Umrechnung in Liter: \(48\,\text{l}\).

Antwort

a) Die täglich aufgenommene Flüssigkeitsmenge beträgt überschlagen ca. \(1600\,\text{ml}\). b) In einer Woche nimmt das Kind nach dem Überschlag \(11\,200\,\text{ml}\), also etwa \(11\,\text{l}\), auf. c) In einem Monat nimmt das Kind etwa \(48\,\text{l}\) Flüssigkeit auf.
4171634
In einem Haushalt fallen täglich verschiedene Mengen an Abfall an: <table> <tr><td>Bioabfall</td><td>\(1250\,\text{g}\)</td></tr> <tr><td>Altpapier</td><td>\(810\,\text{g}\)</td></tr> <tr><td>Wertstoffe (Gelbe Tonne)</td><td>\(590\,\text{g}\)</td></tr> <tr><td>Restmüll</td><td>\(450\,\text{g}\)</td></tr> </table> a) Überschlage das tägliche Gesamtgewicht des Abfalls. b) Berechne das genaue Gesamtgewicht pro Tag in Gramm. c) Wie viele Kilogramm Müll sind das ungefähr in einer Woche (\(7\) Tage)? Nutze das genaue Ergebnis aus b) für die Rechnung.

Denkanstöße

- Beim Überschlagen hilft es, die Zahlen auf die nächsten Hunderter zu runden. - Achte beim genauen Zusammenrechnen darauf, die Stellen (Einer, Zehner, Hunderter) richtig untereinander zu setzen. - Weißt du noch, wie viele Gramm ein Kilogramm ergeben?

Lösung

1. Überschlag durch Runden: \(1300\,\text{g} + 800\,\text{g} + 600\,\text{g} + 500\,\text{g} = 3200\,\text{g}\). 2. Genaue Addition der Werte: \(1250\,\text{g} + 810\,\text{g} + 590\,\text{g} + 450\,\text{g} = 3100\,\text{g}\). 3. Wöchentliche Menge berechnen: \(3100\,\text{g} \cdot 7 = 21\,700\,\text{g}\). 4. Umrechnung in Kilogramm: \(21\,700\,\text{g} = 21\,\text{kg}\) und \(700\,\text{g}\), also ungefähr \(22\,\text{kg}\).

Antwort

a) Der tägliche Abfall wiegt überschlagen ca. \(3200\,\text{g}\). b) Das genaue Gewicht beträgt \(3100\,\text{g}\). c) In einer Woche fallen \(21\,700\,\text{g}\) an, das sind ungefähr \(22\,\text{kg}\).
4374234
63 Kartons enthalten jeweils 18 Hefte. Eine Rechnung ergibt 1134 Hefte. Prüfe das Ergebnis zunächst mit einem Überschlag und danach exakt.
Abbildung zur Aufgabe 437423

Denkanstöße

- Runde auf gut rechenbare Zehner. - Nutze exakt die Zerlegung \(18=20-2\).

Lösung

Überschlag: \(63\approx60\) und \(18\approx20\), also etwa \(60\cdot20=1200\). 1134 liegt plausibel nahe daran. Exakt: \(63\cdot18=63\cdot(20-2)=1260-126=1134\).

Antwort

Überschlag: \(60\cdot20=1200\), daher ist 1134 plausibel. Exakt: \(63\cdot18=1260-126=1134\).

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