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- Überlege zuerst, wie viele Zentimeter ein Meter hat. - Wie oft passt die kleine Länge in die große Länge? - Wenn du weißt, wie viele Quadrate in einer Reihe liegen und wie viele Reihen es gibt, kannst du die Gesamtanzahl berechnen. - Achte beim Rechnen mit großen Zahlen auf die Anzahl der Nullen.

1. Berechnung der Quadrate pro Reihe: Da \(1\,\text{m} = 100\,\text{cm}\) ist, passen bei einer Seitenlänge von \(10\,\text{cm}\) genau \(100 : 10 = 10\) Quadrate in eine Reihe. 2. Gesamtanzahl der Quadrate pro Tuch: Da das Tuch quadratisch ist, gibt es \(10\) Reihen mit jeweils \(10\) Quadraten, also \(10 \cdot 10 = 100\) Stoffquadrate. 3. Anzahl der Tücher für eine Million Quadrate: Eine Million geteilt durch die Anzahl pro Tuch ergibt \(1\,000\,000 : 100 = 10\,000\) Tücher.

a) \(10\) Stoffquadrate b) \(100\) Stoffquadrate c) \(10\,000\) Tücher

- Stell dir die Fläche wie ein großes Gitter aus kleinen Quadraten vor. - Wie berechnet man die Gesamtanzahl an Quadraten, wenn man weiß, wie viele in einer Reihe und wie viele in einer Spalte liegen? - Kannst du die Zahlen zerlegen, um die Multiplikation einfacher zu machen?

1. Berechnung des Flächeninhalts durch Multiplikation der Länge mit der Breite: \(125\,\text{m} \cdot 80\,\text{m}\) 2. Schrittweise Multiplikation: \(100 \cdot 80 = 8000\), \(20 \cdot 80 = 1600\), \(5 \cdot 80 = 400\) 3. Addition der Teilergebnisse: \(8000 + 1600 + 400 = 10\,000\) Der Flächeninhalt beträgt \(10\,000\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(10\,000\,\text{m}^2\).

- Zähle für den Flächeninhalt, aus wie vielen kleinen Einheitsquadraten die Figur besteht. Du kannst sie dazu in Streifen oder kleinere Rechtecke zerlegen. - Der Umfang ist die Länge der äußeren Linie einmal ganz herum. Zähle die Gitterabschnitte entlang des Rands der Figur ab. - Denke daran, dass jeder Gitterabschnitt \(1\,\text{cm}\) lang ist und jedes kleine Quadrat \(1\,\text{cm}^2\) groß ist.

1. Bestimmung des Flächeninhalts: Die Figur lässt sich in drei senkrechte Streifen zerlegen: - Der linke Streifen besteht aus \(3\) Quadraten. - Der mittlere Streifen besteht aus \(2\) Quadraten. - Der rechte Streifen besteht aus \(1\) Quadrat. Zusammen ergibt das: \(3\,\text{cm}^2 + 2\,\text{cm}^2 + 1\,\text{cm}^2 = 6\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Umfangs: Wir zählen die Längen der einzelnen Begrenzungslinien der Figur zusammen: - Untere Seite: \(3\,\text{cm}\) - Linke Seite: \(3\,\text{cm}\) - Obere horizontale Stufe: \(1\,\text{cm}\) - Erste vertikale Stufe nach unten: \(1\,\text{cm}\) - Mittlere horizontale Stufe: \(1\,\text{cm}\) - Zweite vertikale Stufe nach unten: \(1\,\text{cm}\) - Rechte horizontale Stufe: \(1\,\text{cm}\) - Rechte vertikale Seite: \(1\,\text{cm}\) Gesamtumfang: \(3\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 1\,\text{cm} + 1\,\text{cm} + 1\,\text{cm} + 1\,\text{cm} + 1\,\text{cm} + 1\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(6\,\text{cm}^2\). b) Der Umfang der Figur beträgt \(12\,\text{cm}\).

- Überlege dir, wie du die Figuren in einfachere Formen wie Rechtecke oder rechtwinklige Dreiecke zerlegen kannst. - Ein halbes Kästchen entsteht zum Beispiel, wenn ein Kästchen diagonal geteilt wird. - Zähle für jede Figur die ganzen Kästchen und füge die Teile zusammen. - Vergleiche am Ende deine berechneten Flächeninhalte, um herauszufinden, welche Figuren gleich groß sind.

1. **Flächeninhalt von Figur A:** Figur A lässt sich in ein Quadrat der Größe \(2 \times 2\) und ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\) zerlegen. \(4\,\text{FE} + \frac{1 \cdot 2}{2}\,\text{FE} = 5\,\text{FE}\). 2. **Flächeninhalt von Figur B:** Das Dreieck hat eine Grundseite von \(4\) Längeneinheiten und eine Höhe von \(3\) Längeneinheiten. \(\frac{4 \cdot 3}{2} = 6\,\text{FE}\). 3. **Flächeninhalt von Figur C:** Figur C lässt sich in ein stehendes Rechteck der Größe \(1 \times 3\) und ein liegendes Rechteck der Größe \(2 \times 1\) zerlegen. \(3\,\text{FE} + 2\,\text{FE} = 5\,\text{FE}\). 4. Die Figuren A und C haben mit jeweils \(5\,\text{FE}\) denselben Flächeninhalt.

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(5\,\text{FE}\), von Figur B \(6\,\text{FE}\) und von Figur C \(5\,\text{FE}\). b) Die Figuren A und C haben den gleichen Flächeninhalt.

- Wie kannst du die Kästchen innerhalb der Figuren zählen? - Kannst du das Dreieck so zerlegen oder ergänzen, dass es einfacher zu berechnen ist? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.

1. Figur 1 ist ein Rechteck mit Breite \(4\) und Höhe \(3\). Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 3 = 12\) Einheitsquadrate. 2. Figur 2 ist ein Dreieck mit Grundseite \(6\) und Höhe \(4\). Ergänzt man es durch ein kongruentes Dreieck zu einem Rechteck der Größe \(6 \times 4\), nimmt es die Hälfte dieses Rechtecks ein. Sein Flächeninhalt beträgt daher \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\) Einheitsquadrate. 3. Beide Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Form denselben Flächeninhalt.

a) \(12\) Einheitsquadrate b) \(12\) Einheitsquadrate c) Beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.

- Zähle zuerst alle ganzen Quadrate im Inneren der Figur. - Überlege, wie viele halbe Quadrate zusammen ein ganzes Einheitsquadrat ergeben. - Du kannst eine Figur auch in einfachere Formen wie Rechtecke und Dreiecke zerlegen. - Manchmal hilft es, die Figur zu einem großen Rechteck zu ergänzen und die überstehenden Teile abzuziehen.

1. Figur a (Haus): Die Figur lässt sich in ein Quadrat mit der Seitenlänge \(2\) (Fläche \(2 \cdot 2 = 4\,\text{EQ}\)) und ein aufgesetztes Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(1\) zerlegen. Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(0{,}5 \cdot 2 \cdot 1 = 1\,\text{EQ}\). Zusammen ergibt das \(4 + 1 = 5\,\text{EQ}\). 2. Figur b (Dreieck): Dieses Dreieck hat eine Grundseite von \(4\) Einheiten und eine Höhe von \(3\) Einheiten. Durch Ergänzen zu einem Rechteck der Größe \(4 \times 3\) (\(12\,\text{EQ}\)) sieht man, dass das Dreieck genau die Hälfte einnimmt. Alternativ berechnet man \(0{,}5 \cdot 4 \cdot 3 = 6\,\text{EQ}\).

a) \(5\,\text{EQ}\) b) \(6\,\text{EQ}\)

- Zähle bei Figur a) die Kästchen im Inneren oder berechne die Fläche mit der Formel für Rechtecke. - Überlege bei Figur b), wie groß das Rechteck wäre, das das Dreieck genau umschließt. Wie viel davon nimmt das Dreieck ein? - Vergleiche die beiden berechneten Werte miteinander.

1. Figur a) ist ein Rechteck mit einer Breite von \(3\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(2\,\text{cm}\). Daher gilt: \(A_a = 3 \cdot 2 = 6\,\text{cm}^2\). 2. Figur b) ist ein Dreieck mit einer Grundseite von \(4\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(3\,\text{cm}\). Daher gilt: \(A_b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\,\text{cm}^2\). 3. Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(6\,\text{cm}^2\).

Beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt von \(6\,\text{cm}^2\).

- Zähle zuerst die Anzahl der Gitterstrecken entlang der äußeren Linie der Figur. - Überlege, wie du die Figur in einfache Rechtecke zerlegen kannst, um die Kästchen leichter zu zählen. - Achte darauf, dass für den Flächeninhalt die Einheit \(\text{cm}^2\) verwendet wird.

1. Bestimmung des Umfangs: Die Randstrecken sind unten \(4\), rechts \(2\), waagerecht nach links \(2\), senkrecht nach oben \(3\), oben nach links \(2\) und links nach unten \(5\) Einheiten lang. Daher gilt \(U = 4 + 2 + 2 + 3 + 2 + 5 = 18\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Flächeninhalts: Die Figur kann in zwei Rechtecke zerlegt werden, zum Beispiel in ein unteres Rechteck der Größe \(4 \times 2\) und ein oberes Rechteck der Größe \(2 \times 3\). 3. Berechnung: \(4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8 + 6 = 14\). Der Flächeninhalt beträgt \(14\,\text{cm}^2\).

Der Umfang beträgt \(18\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(14\,\text{cm}^2\).

- Ergänze das Dreieck im Kopf zu einem vollständigen Rechteck. - Welchen Anteil des Rechtecks nimmt das Dreieck ein?

1. Das Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(7\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). 2. Flächeninhalt des Rechtecks: \(7 \cdot 3 = 21\,\text{cm}^2\). 3. Flächeninhalt des Dreiecks: \(21 : 2 = 10{,}5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(10{,}5\,\text{cm}^2\).

- Zähle die Kästchen entlang der waagerechten und senkrechten Katheten. - Denke an die Formel für die Fläche eines halben Quadrats oder Rechtecks.

1. Grundseite \(g = 5\,\text{cm}\), Höhe \(h = 5\,\text{cm}\). 2. Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12{,}5\,\text{cm}^2\).

- Wo könntest du einen geraden Strich ziehen, um die Figur in zwei Rechtecke zu teilen? - Wie viele kleine Quadrate sind im unteren Teil der Figur? Wie viele im oberen Teil? - Addiere die Ergebnisse der beiden Teilflächen, um die Gesamtfläche zu erhalten.

1. Zerlegungsmöglichkeit: Die Figur kann in ein waagerechtes Rechteck unten mit den Maßen \(5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und ein senkrechtes Rechteck oben mit den Maßen \(2\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) zerlegt werden. 2. Berechnung der Teilflächen: Das untere Rechteck hat eine Fläche von \(5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\). Das obere Rechteck hat eine Fläche von \(2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 3. Gesamtfläche: Die Summe der Teilflächen ergibt \(10\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 16\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(16\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen wie Rechtecke und Dreiecke zerlegen? - Überlege, wie viele ganze Kästchen du direkt zählen kannst. - Zwei halbe Kästchen ergeben zusammen ein ganzes.

1. Die Figur ist ein gleichschenkliges Trapez mit einer Grundseite von \(6\) Einheiten und einer Oberseite von \(2\) Einheiten. 2. Die Höhe der Figur beträgt \(2\) Einheiten. 3. Durch Zerlegen erhält man ein mittleres Rechteck der Größe \(2 \times 2 = 4\) Einheitsquadrate und zwei seitliche Dreiecke mit einer Grundseite von \(2\) und einer Höhe von \(2\). 4. Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\) Einheitsquadrate. 5. Gesamter Flächeninhalt: \(4 + 2 + 2 = 8\) Einheitsquadrate.

Der Flächeninhalt beträgt \(8\) Einheitsquadrate.

- Zähle die Kästchen im Inneren der Figuren. - Du kannst eine komplizierte Figur in kleinere Rechtecke zerlegen, um die Kästchen leichter zu zählen. - Schau dir das grau markierte Feld unten rechts an – das ist genau ein Einheitsquadrat.

1. Bestimme den Flächeninhalt von Figur 1: Die kreuzförmige Figur besteht aus 5 einzelnen Quadraten (eines in der Mitte und vier an den Seiten). Der Flächeninhalt beträgt \(5\,\text{Einheitsquadrate}\). 2. Bestimme den Flächeninhalt von Figur 2: Das Rechteck hat eine Breite von 2 Einheiten und eine Höhe von 3 Einheiten. Der Flächeninhalt ist \(2 \cdot 3 = 6\,\text{Einheitsquadrate}\). 3. Bestimme den Flächeninhalt von Figur 3: Die L-Form kann in ein liegendes Rechteck (\(3 \times 1\)) und ein stehendes Quadrat (\(1 \times 2\)) oberhalb der ersten Spalte zerlegt werden. Der Flächeninhalt ist \(3 + 2 = 5\,\text{Einheitsquadrate}\). 4. Ergebnis: Figur 1 und Figur 3 haben den gleichen Flächeninhalt von \(5\) Einheitsquadraten.

Die Figuren 1 und 3 haben den gleichen Flächeninhalt. Er beträgt \(5\) Einheitsquadrate.

- Zerlege das Haus in ein Rechteck (unten) und ein Dreieck (oben). - Wie viele kleine Quadrate passen in den unteren Teil? - Schau dir das Dach genau an: Kannst du dort Dreiecke finden, die zusammen genau ein Quadrat ergeben?

1. Zählen der ganzen Kästchen im unteren rechteckigen Teil: - Breite \(6\), Höhe \(3\). Das sind \(6 \cdot 3 = 18\) ganze Kästchen. 2. Bestimmen des Flächeninhalts des Dachs (Dreieck): - Das Dreieck hat eine Grundseite von \(6\) Einheiten und eine Höhe von \(3\) Einheiten. - Man kann es in zwei Hälften teilen. Jede Hälfte besteht aus \(3 \cdot 3 : 2 = 4{,}5\) Kästchen. - Das ganze Dach hat also \(4{,}5 + 4{,}5 = 9\) Kästchen. 3. Gesamtsumme: - \(18 + 9 = 27\) Kästchen.

Der Flächeninhalt beträgt \(27\) Einheitsquadrate.

- Kannst du das Dreieck durch ein gleich großes Dreieck zu einem Rechteck ergänzen? - Welche Seitenlängen hat dieses Rechteck? - Welchen Anteil des Rechtecks nimmt das ursprüngliche Dreieck ein?

1. Das Dreieck hat eine Grundseite von \(4\,\text{LE}\) und eine Höhe von \(3\,\text{LE}\). 2. Ergänzt man das Dreieck durch ein kongruentes Dreieck zu einem Rechteck der Größe \(4 \times 3\), nimmt es die Hälfte dieses Rechtecks ein. 3. Daher beträgt der Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\).

\(6\,\text{FE}\)

- Überlege dir, wie viel Platz das Dreieck im Vergleich zum Rechteck einnimmt. - Kannst du das Rechteck so unterteilen, dass man die Flächen besser vergleichen kann? - Was weißt du über die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und eines Rechtecks? - Versuche, das Dreieck im Geist zu verdoppeln. Passt es dann genau in das Rechteck?

1. Ein Dreieck, dessen Grundseite einer Rechtecksseite entspricht und dessen Spitze auf der gegenüberliegenden Seite liegt, nimmt genau die Hälfte der Fläche des Rechtecks ein. Dies lässt sich zeigen, indem man das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegt, die jeweils genau die Hälfte eines entsprechenden Teilrechtecks ausmachen. 2. Der Flächeninhalt des gesamten Rechtecks ist somit doppelt so groß wie der des schattierten Dreiecks. 3. Berechnung: \(2 \cdot 14\,\text{cm}^2 = 28\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt \(28\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst für jeden Platz einzeln, wie viele Quadratmeter er umfasst. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse miteinander. - Welches Rechenverfahren hilft dir, die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen?

1. Berechnung der Fläche des Rathausplatzes: \(145\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 8700\,\text{m}^2\) 2. Berechnung der Fläche des Theaterplatzes: \(110\,\text{m} \cdot 85\,\text{m} = 9350\,\text{m}^2\) 3. Vergleich der beiden Ergebnisse: \(9350 > 8700\) Der Theaterplatz hat den größeren Flächeninhalt.

Der Rathausplatz hat einen Flächeninhalt von \(8700\,\text{m}^2\), der Theaterplatz von \(9350\,\text{m}^2\). Der Theaterplatz ist somit größer.

- Wie groß ist das gesamte Gelände insgesamt? - Wie viel Platz nimmt die Halle davon weg? - Welche Rechenart nutzt du, um den Rest der Fläche zu bestimmen? - Achte beim Rechnen mit großen Zahlen besonders auf die Anzahl der Nullen.

1. Berechnung der Gesamtfläche des Geländes: \(650\,\text{m} \cdot 400\,\text{m} = 260\,000\,\text{m}^2\) 2. Berechnung der Fläche der Lagerhalle: \(120\,\text{m} \cdot 75\,\text{m} = 9000\,\text{m}^2\) 3. Subtraktion der Hallenfläche von der Gesamtfläche: \(260\,000\,\text{m}^2 - 9000\,\text{m}^2 = 251\,000\,\text{m}^2\) Es bleiben \(251\,000\,\text{m}^2\) unbedeckt.

Es sind \(251\,000\,\text{m}^2\) nicht von der Lagerhalle bedeckt.

- Zerlege die komplizierten Figuren auf dem Geobrett in einfachere Formen wie Rechtecke, Quadrate oder Dreiecke. - Denke daran, dass ein schräg durchgeschnittenes Gitterquadrat (ein Dreieck) genau die Hälfte eines Einheitsquadrats groß ist. - Zähle zuerst alle ganzen Quadrate im Inneren der Figur und füge dann die halben Quadrate zusammen. - Bestimme die Flächeninhalte von Figur A und Figur B einzeln, um sie anschließend zu vergleichen.

1. Zerlegung von Figur A in ein Rechteck der Größe \(4 \times 2\) (Flächeninhalt \(8\) Einheitsquadrate) und ein Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\) (Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate). Gesamtflächeninhalt von Figur A: \(8 + 4 = 12\) Einheitsquadrate. 2. Zerlegung von Figur B in ein Quadrat der Größe \(3 \times 3\) (Flächeninhalt \(9\) Einheitsquadrate) und einen oberen Bereich bestehend aus einem Quadrat der Größe \(1 \times 1\) (Flächeninhalt \(1\)) und zwei Dreiecken mit Flächeninhalt je \(0{,}5\) (zusammen \(1\) Einheitsquadrat). Gesamtflächeninhalt von Figur B: \(9 + 1 + 1 = 11\) Einheitsquadrate. 3. Vergleich der Flächeninhalte: Figur A ist mit \(12\) Einheitsquadraten größer als Figur B mit \(11\) Einheitsquadraten. Der Unterschied beträgt \(12 - 11 = 1\) Einheitsquadrat.

Figur A hat einen Flächeninhalt von \(12\) Einheitsquadraten und Figur B hat einen Flächeninhalt von \(11\) Einheitsquadraten. Figur A hat den größeren Flächeninhalt; der Unterschied beträgt genau \(1\) Einheitsquadrat.

- Kannst du die Figuren in kleinere, einfachere Formen zerlegen, zum Beispiel in Rechtecke oder Dreiecke? - Wie viele kleine Kästchen passen in ein ganzes Rechteck, das die jeweilige Figur umgibt? - Überlege dir, wie viel Platz die schrägen Linien im Vergleich zu geraden Linien einnehmen. - Vergleiche die Ergebnisse der einzelnen Figuren miteinander. Gibt es eine Gemeinsamkeit?

1. Flächeninhalt von Figur A (Rechteck): Die Figur ist ein Rechteck mit einer Breite von 3 Einheiten und einer Höhe von 2 Einheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(3 \cdot 2 = 6\) Einheitsquadrate. 2. Flächeninhalt von Figur B (Dreieck): Die Figur ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Grundseite von 4 Einheiten und einer Höhe von 3 Einheiten. Der Flächeninhalt entspricht der Hälfte eines \(4 \times 3\) Rechtecks: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\) Einheitsquadrate. 3. Flächeninhalt von Figur C (Trapez): Die Figur kann in ein zentrales Quadrat der Größe \(2 \times 2\) (Fläche 4) und zwei seitliche Dreiecke mit einer Grundseite von 1 und einer Höhe von 2 (Fläche jeweils \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\)) zerlegt werden. Der Gesamtflächeninhalt beträgt \(4 + 1 + 1 = 6\) Einheitsquadrate. 4. Vergleich: Alle drei Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Formen denselben Flächeninhalt von jeweils 6 Einheitsquadraten.

a) Der Flächeninhalt aller drei Figuren A, B und C beträgt jeweils 6 Einheitsquadrate. b) Alle drei Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Formen denselben Flächeninhalt.

- Überlege, was der Begriff „Flächeninhalt“ bedeutet. - Das grau schattierte Kästchen unten rechts zeigt dir die Größe eines Einheitsquadrats (\(1\,\text{EQ}\)). - Versuche, die Figuren in einfachere Formen wie Rechtecke oder Dreiecke zu zerlegen, deren Flächen du leicht bestimmen kannst. - Denke daran, dass zwei halbe Quadrate zusammen ein ganzes Einheitsquadrat ergeben.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur A (Hausform): - Wir zerlegen die Figur in ein unteres Rechteck und ein oberes Dreieck (Dach). - Das Rechteck hat eine Breite von 4 Einheiten und eine Höhe von 2 Einheiten: \(\text{Fläche}_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 2 = 8\,\text{EQ}\) - Das Dreieck hat eine Grundseite von 4 Einheiten und eine Höhe von 2 Einheiten: \(\text{Fläche}_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{EQ}\) - Gesamtflächeninhalt von Figur A: \(8\,\text{EQ} + 4\,\text{EQ} = 12\,\text{EQ}\) 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur B (Trapezform): - Wir zerlegen das Trapez in ein mittleres Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke an den Seiten. - Das mittlere Rechteck hat eine Breite von 2 Einheiten und eine Höhe von 3 Einheiten: \(\text{Fläche}_{\text{Rechteck}} = 2 \cdot 3 = 6\,\text{EQ}\) - Das linke rechtwinklige Dreieck hat eine Grundseite von 1 Einheit und eine Höhe von 3 Einheiten: \(\text{Fläche}_{\text{Dreieck, links}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1{,}5\,\text{EQ}\) - Das rechte rechtwinklige Dreieck hat ebenfalls eine Grundseite von 1 Einheit und eine Höhe von 3 Einheiten: \(\text{Fläche}_{\text{Dreieck, rechts}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1{,}5\,\text{EQ}\) - Gesamtflächeninhalt von Figur B: \(6\,\text{EQ} + 1{,}5\,\text{EQ} + 1{,}5\,\text{EQ} = 9\,\text{EQ}\)

Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(12\,\text{EQ}\) und der von Figur B beträgt \(9\,\text{EQ}\).

- Kannst du die Figuren in kleinere, einfachere Formen zerlegen? - Wie viele ganze Quadrate kannst du direkt in der Figur zählen? - Gibt es halbe Quadrate oder Dreiecke, die du zu ganzen Quadraten zusammensetzen kannst? - Schau dir das grau markierte Quadrat unten rechts an – das ist deine Maßeinheit. - Wenn du eine schräge Linie siehst, überlege, wie viel von einem Quadrat durch sie abgeschnitten wird.

1. **Flächeninhalt von Figur A:** Figur A ist ein Rechteck mit einer Breite von \(2\) Einheiten und einer Höhe von \(3\) Einheiten. Der Flächeninhalt berechnet sich durch: \(A_{\text{A}} = 2 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\) Alternativ kann man die \(6\) Einheitsquadrate direkt im Inneren der Figur abzählen. 2. **Flächeninhalt von Figur B:** Figur B ist ein symmetrisches Trapez, das sich in drei Teile zerlegen lässt: - Ein mittleres Rechteck mit einer Breite von \(1\) Einheit und einer Höhe von \(3\) Einheiten: \(A_{\text{Mitte}} = 1 \cdot 3 = 3\,\text{FE}\). - Zwei äußere rechtwinklige Dreiecke mit einer Grundseite von \(1\) Einheit und einer Höhe von \(3\) Einheiten. Jedes dieser Dreiecke ist genau halb so groß wie ein \(1 \times 3\)-Rechteck, hat also einen Flächeninhalt von: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1{,}5\,\text{FE}\). Zusammengerechnet ergibt sich für Figur B: \(A_{\text{B}} = 3 + 1{,}5 + 1{,}5 = 6\,\text{FE}\) 3. **Vergleich:** Beide Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Form genau denselben Flächeninhalt von \(6\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(6\,\text{FE}\) und der von Figur B beträgt ebenfalls \(6\,\text{FE}\). Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt.

- Kannst du die Figur in ein größeres Quadrat einrahmen? - Überlege, welche Teile an den Ecken fehlen, um ein volles Quadrat zu erhalten. - Du kannst auch versuchen, die Figur in kleinere Rechtecke und Dreiecke zu unterteilen und diese einzeln zu berechnen.

1. Einrahmen der Figur: Die Figur lässt sich in ein großes Quadrat mit der Seitenlänge 6 einschließen. Der Flächeninhalt dieses Quadrats beträgt \(6 \cdot 6 = 36\) Einheitsquadrate. 2. Bestimmung der fehlenden Flächen: An den vier Ecken des Quadrats fehlen jeweils Dreiecke. Jedes dieser Dreiecke hat zwei Katheten der Länge 2. Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke entspricht der Hälfte eines \(2 \times 2\)-Quadrats, also \(2\) Einheitsquadraten. 3. Gesamte fehlende Fläche: \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 4. Berechnung des Ergebnisses: Vom großen Quadrat wird die Fläche der vier Ecken abgezogen: \(36 - 8 = 28\). Der Flächeninhalt beträgt \(28\) Einheitsquadrate.

Der Flächeninhalt der Figur beträgt 28 Einheitsquadrate. Man kann dies berechnen, indem man die vier Eckdreiecke (je \(2\) Einheitsquadrate) von einem umschließenden \(6 \times 6\)-Quadrat abzieht.

- Zähle für den Umfang die Gitterlinien entlang des Randes der Figur. - Für den Flächeninhalt kannst du die kleinen Quadrate im Inneren der Figur zählen. - Schau dir die Zahlenwerte für Umfang und Fläche in einer kleinen Tabelle nebeneinander an. - Überlege, wie sich die Form der Figur verändert (von gedrungen zu langgestreckt) und was das für die Fläche bedeutet.

1. Bestimmung der Werte für Figur 1 (Quadrat): - Umfang: \(3 + 3 + 3 + 3 = 12\) Längeneinheiten. - Flächeninhalt: \(3 \cdot 3 = 9\) Einheitsquadrate. 2. Bestimmung der Werte für Figur 2 (Rechteck): - Umfang: \(4 + 2 + 4 + 2 = 12\) Längeneinheiten. - Flächeninhalt: \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 3. Bestimmung der Werte für Figur 3 (schmales Rechteck): - Umfang: \(5 + 1 + 5 + 1 = 12\) Längeneinheiten. - Flächeninhalt: \(5 \cdot 1 = 5\) Einheitsquadrate. 4. Vergleich: Alle Figuren haben den gleichen Umfang von \(12\) Längeneinheiten, aber unterschiedliche Flächeninhalte. 5. Effizienz: Das Quadrat (Figur 1) hat mit \(9\) Einheitsquadraten den größten Flächeninhalt bei gleichem Umfang.

a) Figur 1: Umfang \(12\) Längeneinheiten, Flächeninhalt \(9\) Einheitsquadrate. Figur 2: Umfang \(12\) Längeneinheiten, Flächeninhalt \(8\) Einheitsquadrate. Figur 3: Umfang \(12\) Längeneinheiten, Flächeninhalt \(5\) Einheitsquadrate. b) Die Umfänge sind gleich, die Flächeninhalte unterschiedlich. c) Figur 1 nutzt die Fläche am besten aus, weil sie bei gleichem Umfang mit \(9\) Einheitsquadraten den größten Flächeninhalt hat.

- Überlege dir, in welches Rechteck das Dreieck genau hineinpasst. - Kannst du die Flächen außerhalb des Dreiecks, aber innerhalb des Rechtecks, leicht berechnen? - Was passiert, wenn du die äußeren Flächen von der Gesamtfläche des Rechtecks abziehst?

1. Das Dreieck wird in ein Rechteck mit einer Breite von \(6\,\text{Einheiten}\) und einer Höhe von \(4\,\text{Einheiten}\) eingeschlossen. Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von \(6 \cdot 4 = 24\,\text{Einheitsquadraten}\). 2. Die Flächeninhalte der zwei äußeren rechtwinkligen Dreiecke werden berechnet: - Linkes Dreieck: \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\,\text{Einheitsquadrate}\). - Rechtes Dreieck: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\,\text{Einheitsquadrate}\). 3. Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich aus der Subtraktion: \(24 - 4 - 8 = 12\,\text{Einheitsquadrate}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{Einheitsquadrate}\).

- Kannst du ein großes Quadrat um die Figur zeichnen, das genau an den Gitterlinien liegt? - Wie kannst du die Fläche des großen Quadrats nutzen, um die gesuchte Fläche zu finden? - Welche einfachen Teilflächen (wie rechtwinklige Dreiecke) liegen außerhalb der Figur, aber innerhalb deines Hilfsquadrats? - Überlege, wie du die Flächen dieser äußeren Dreiecke berechnen und dann von der Gesamtfläche abziehen kannst.

1. Umschließe das Viereck mit einem großen Rechteck, das an den Gitterlinien ausgerichtet ist. Dieses Rechteck erstreckt sich von \(x=0\) bis \(x=4\) und von \(y=0\) bis \(y=4\). Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 4 = 16\,\text{m}^2\). 2. Berechne die Flächeninhalte der vier rechtwinkligen Dreiecke, die außerhalb der Figur, aber innerhalb des Hilfsrechtecks liegen: - Jedes dieser vier Dreiecke hat eine Grundseite von \(3\,\text{m}\) und eine Höhe von \(1\,\text{m}\) (oder umgekehrt). - Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist \(\frac{3 \cdot 1}{2} = 1{,}5\,\text{m}^2\). - Die Summe der vier Dreiecksflächen ist \(4 \cdot 1{,}5 = 6\,\text{m}^2\). 3. Subtrahiere diese Summe vom Inhalt des großen Quadrats: \(16 - 6 = 10\,\text{m}^2\).

\(10\,\text{m}^2\)

- Berechne die Fläche und den Umfang für jede Figur einzeln. - Du kannst die Flächen durch Abzählen der Kästchen oder durch Zerlegen in Rechtecke bestimmen. - Achte beim Umfang darauf, wirklich alle Außenkanten zu zählen.

1. Flächeninhalt Figur a): Zerlegung in ein \(4 \times 1\) Rechteck und ein \(1 \times 3\) Rechteck. \(A_a = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 7\,\text{FE}\). 2. Umfang Figur a): Addition der Seitenlängen \(4 + 1 + 3 + 3 + 1 + 4 = 16\,\text{LE}\). 3. Flächeninhalt Figur b): Zerlegung in ein \(3 \times 2\) Rechteck und ein \(2 \times 1\) Rechteck. \(A_b = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 8\,\text{FE}\). 4. Umfang Figur b): Addition der Seitenlängen \(3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 = 12\,\text{LE}\). 5. Vergleich: \(8 > 7\), also hat Figur b) den größeren Flächeninhalt.

Figur b) hat mit \(8\,\text{FE}\) den größeren Flächeninhalt (Figur a) hat \(7\,\text{FE}\)). Der Umfang von Figur a) beträgt \(16\,\text{LE}\), der von Figur b) beträgt \(12\,\text{LE}\).

- Zähle bei rechteckigen Formen die Kästchenreihen und die Anzahl der Kästchen pro Reihe. - Du kannst ein Dreieck gedanklich zu einem Rechteck ergänzen und dann die Hälfte davon nehmen. - Überlege, wie viele der grauen Einheitsquadrate genau in die jeweilige Figur passen würden.

1. Berechnung des Flächeninhalts von Figur a: Es handelt sich um ein Rechteck mit einer Breite von \(6\) Einheiten und einer Höhe von \(2\) Einheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(6 \cdot 2 = 12\,\text{EQ}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts von Figur b: Es handelt sich um ein Quadrat mit einer Seitenlänge von \(4\) Einheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 4 = 16\,\text{EQ}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts von Figur c: Es handelt sich um ein Dreieck mit einer Grundseite von \(8\) Einheiten und einer Höhe von \(3\) Einheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12\,\text{EQ}\). 4. Vergleich: Figur a und Figur c haben beide einen Flächeninhalt von \(12\,\text{EQ}\) und sind somit flächengleich.

a) Figur a: \(12\,\text{EQ}\), Figur b: \(16\,\text{EQ}\), Figur c: \(12\,\text{EQ}\). b) Figur a und Figur c haben den gleichen Flächeninhalt.

- Überprüfe jeden Entwurf nacheinander durch Zählen oder Berechnen. - Hilft es dir, die Figuren in kleinere, bekannte Formen wie Rechtecke oder Quadrate zu unterteilen? - Achte darauf, genau zu zählen, wie viele Einheiten breit und hoch die Figuren an den Gitterpunkten sind.

1. Entwurf a) ist ein Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\). Als Hälfte eines \(4 \times 2\)-Rechtecks hat es den Flächeninhalt \(4\) Einheitsquadrate. 2. Bei Entwurf b) kann das linke dreieckige Stück abgeschnitten und rechts wieder angesetzt werden. Es entsteht ein \(3 \times 2\)-Rechteck mit \(6\) Einheitsquadraten. 3. Entwurf c) lässt sich in ein \(2 \times 2\)-Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\) zerlegen. Der Flächeninhalt beträgt \(2 \cdot 2 + \frac{1 \cdot 2}{2} = 4 + 1 = 5\) Einheitsquadrate. 4. Entwurf c) erfüllt die Vorgabe.

Entwurf c) ist der richtige, da er einen Flächeninhalt von genau \(5\) Einheitsquadraten hat.

- Zähle zuerst, aus wie vielen kleinen Kästchen das gesamte Rechteck besteht. - Wie viel Fläche nimmt ein einzelnes Kästchen ein, wenn das ganze Rechteck \(80\,\text{cm}^2\) groß ist? - Du kannst die gefärbte Fläche in zwei Dreiecke zerlegen. Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Gitter bestimmt. - Alternativ: Überlege dir, welchen Anteil der Breite des Rechtecks die Höhen der beiden Dreiecke zusammen einnehmen.

1. Bestimmung der Anzahl der Kästchen im gesamten Rechteck: Das Rechteck ist \(8\) Kästchen breit und \(5\) Kästchen hoch, also \(8 \cdot 5 = 40\) Kästchen. 2. Berechnung des Flächeninhalts eines einzelnen Kästchens: \(80\,\text{cm}^2 : 40 = 2\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Kästchenanzahl der orangefarbenen Dreiecke: - Das linke Dreieck hat eine Grundseite von \(5\) Kästchen und eine Höhe von \(2\) Kästchen: \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5\) Kästchen. - Das rechte Dreieck hat eine Grundseite von \(5\) Kästchen und eine Höhe von \(6\) Kästchen (\(8 - 2 = 6\)): \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15\) Kästchen. 4. Gesamtzahl der gefärbten Kästchen: \(5 + 15 = 20\) Kästchen. 5. Berechnung des gesuchten Flächeninhalts: \(20 \cdot 2\,\text{cm}^2 = 40\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der orange gefärbten Fläche beträgt \(40\,\text{cm}^2\).

- Zähle zuerst, aus wie vielen kleinen Kästchen das gesamte rechteckige Beet besteht. - Zerlege die gelbe Fläche in die beiden äußeren Dreiecke und die mittlere Figur. - Vergleiche anschließend die Anzahl der gelben Kästchen mit der Anzahl aller Kästchen. - Nutze dieses Verhältnis, um aus \(48\,\text{m}^2\) die Gesamtfläche zu bestimmen.

1. Bestimmung der Gesamtgröße in Kästchen: Das Beet ist 10 Kästchen breit und 6 Kästchen hoch. Der gesamte Flächeninhalt entspricht also \(10 \cdot 6 = 60\) Kästchen. 2. Berechnung der gelben Teilflächen in Kästchen: - Das linke Dreieck hat eine Grundseite von 6 Kästchen und eine Höhe von 3 Kästchen. Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9\) Kästchen. - Das rechte Dreieck ist deckungsgleich und hat ebenfalls einen Flächeninhalt von 9 Kästchen. - Die mittlere Raute hat eine horizontale Diagonale von 4 Kästchen und eine vertikale Diagonale von 6 Kästchen. Ihr Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\) Kästchen. 3. Gesamtanzahl der gelben Kästchen: \(9 + 9 + 12 = 30\) Kästchen. 4. Vergleich mit der Gesamtfläche: Die gelbe Fläche nimmt genau die Hälfte der Gesamtfläche ein (\(30\) von \(60\) Kästchen). 5. Berechnung der Gesamtfläche in \(\text{m}^2\): Da die gelbe Fläche (\(48\,\text{m}^2\)) die Hälfte darstellt, beträgt die Gesamtfläche \(2 \cdot 48\,\text{m}^2 = 96\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des gesamten Beets beträgt \(96\,\text{m}^2\).

- Kannst du das Fünfeck in ein größeres, einfaches Viereck einschließen? - Überlege, wie du den Flächeninhalt berechnen kannst, indem du die Flächen der umgebenden Ecken abziehst. - Welche Formen haben die Flächen, die außerhalb des Fünfecks, aber innerhalb des umgebenden Quadrats liegen? - Bestimme die Flächeninhalte dieser Dreiecke und ziehe sie von der Gesamtfläche ab.

1. Das Fünfeck befindet sich innerhalb eines Quadrats der Größe \(4\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt dieses Quadrats beträgt: \(A_{\text{Gesamt}} = 4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\) 2. Wir bestimmen die Flächeninhalte der vier rechtwinkligen Dreiecke an den Ecken des Quadrats, die außerhalb des Fünfecks liegen: - Unten links: Ein Dreieck mit den Katheten \(1\,\text{cm}\) und \(1\,\text{cm}\). \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\,\text{cm}^2\) - Oben links: Ein Dreieck mit den Katheten \(1\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1{,}5\,\text{cm}^2\) - Oben rechts: Ein Dreieck mit den Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(1\,\text{cm}\). \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1{,}5\,\text{cm}^2\) - Unten rechts: Ein Dreieck mit den Katheten \(1\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). \(A_4 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1{,}5\,\text{cm}^2\) 3. Die Summe der äußeren Dreiecksflächen beträgt: \(A_{\text{Außen}} = 0{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 = 5\,\text{cm}^2\) 4. Der Flächeninhalt des Fünfecks ergibt sich durch Abzug der äußeren Flächen vom Gesamtquadrat: \(A_{\text{Fünfeck}} = 16 - 5 = 11\,\text{cm}^2\)

\(11\,\text{cm}^2\)

- Gehe mit dem Finger den Rand der Figur entlang und zähle jeden Punkt, den die Linie berührt. - Schau genau in die Mitte der Figur: Welche Punkte werden nicht vom Rand berührt? - Du kannst den Flächeninhalt finden, indem du die Figur in ein Rechteck und ein Dreieck aufteilst.

1. Randpunkte zählen: Wenn man den Rand abläuft, findet man die Punkte bei \((0|0), (1|0), (2|0), (3|0), (3|1), (3|2), (2|3), (1|4), (0|2), (0|1)\). Das sind insgesamt 10 Punkte. 2. Innenpunkte zählen: Im Inneren der Figur befinden sich die Punkte \((1|1), (2|1), (1|2), (2|2), (1|3)\). Das sind 5 Punkte. 3. Flächeninhalt bestimmen: Die Figur kann in ein Rechteck (\(3 \times 2\)) und ein darauf sitzendes Dreieck (Grundseite 3, Höhe 2) zerlegt werden. 4. Rechnung: \(A = (3 \cdot 2) + (\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2) = 6 + 3 = 9\,\text{cm}^2\).

a) Es liegen 10 Gitterpunkte auf dem Rand. b) Es liegen 5 Gitterpunkte im Inneren. c) Der Flächeninhalt beträgt \(9\,\text{cm}^2\).

- Zeichne bei \(y=2\) eine kurze waagerechte Hilfslinie vom linken Rand bis zur einspringenden Ecke. - Zerlege jeden der beiden Teile in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. - Addiere anschließend die vier Teilflächen.

1. Teile die Figur durch die waagerechte Hilfslinie von \((0|2)\) bis \((1|2)\). 2. Der untere Teil besteht aus einem \(2 \times 2\)-Rechteck und einem rechtwinkligen Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\). Sein Flächeninhalt beträgt \(2 \cdot 2 + \frac{1 \cdot 2}{2} = 5\,\text{FE}\). 3. Der obere Teil besteht aus einem \(1 \times 2\)-Rechteck und einem rechtwinkligen Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\). Sein Flächeninhalt beträgt \(1 \cdot 2 + \frac{1 \cdot 2}{2} = 3\,\text{FE}\). 4. Insgesamt gilt: \(5 + 3 = 8\,\text{FE}\).

\(8\,\text{FE}\)

- Ziehe gedanklich einmal eine waagrechte und einmal eine senkrechte Trennlinie. - Achte darauf, keine Fläche doppelt zu zählen.

Erste Zerlegung: oberer Streifen \(6\cdot3=18\) und unterer Streifen \(2\cdot7=14\), zusammen 32 Flächeneinheiten. Zweite Zerlegung: linkes Rechteck \(8\cdot3=24\) plus rechter Ansatz \(2\cdot4=8\), ebenfalls 32 Flächeneinheiten.

Flächeninhalt: 32 Flächeneinheiten. Zum Beispiel \(6\cdot3+2\cdot7\) oder \(8\cdot3+2\cdot4\).