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- Stell dir vor, wie viele Würfel nebeneinander auf den Boden der Schachtel passen. - Wie viele solcher Schichten liegen übereinander? - Kannst du die Aufgabe lösen, indem du erst eine Schicht berechnest?

1. Berechnung der Anzahl der Würfel in der untersten Schicht (Grundfläche): \(6 \cdot 4 = 24\). 2. Berechnung der Gesamtzahl der Würfel durch Multiplikation der Grundschicht mit der Anzahl der Schichten (Höhe): \(24 \cdot 2 = 48\). 3. Ergebnis: In die Schachtel passen \(48\) Würfel.

Es passen \(48\) Zentimeterwürfel in die Schachtel.

- Zähle die Würfel in jedem Turm einzeln. - Achte darauf, ob Würfel hinter anderen versteckt sein könnten. - Wenn du die Gesamtzahl der Würfel hast, kannst du das Volumen bestimmen.

1. Zählen der Würfel für Gebäude A: Die vordere Reihe enthält \(1\) Würfel, die hintere Reihe besteht aus einem Turm mit \(2\) Würfeln und einem einzelnen Würfel daneben (\(2 + 1 = 3\)). Insgesamt sind es \(1 + 3 = 4\) Würfel. 2. Zählen der Würfel für Gebäude B: In der vorderen Reihe steht \(1\) Würfel in der Mitte. Die hintere Reihe ist eine durchgehende Reihe aus \(3\) Würfeln. Insgesamt sind es \(1 + 3 = 4\) Würfel. 3. Berechnung des Volumens: Da beide Gebäude aus \(4\) Einheitswürfeln bestehen und jeder Würfel ein Volumen von \(1\,\text{cm}^3\) hat, haben beide ein Volumen von \(4\,\text{cm}^3\).

Beide Würfelgebäude haben ein Volumen von \(4\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Würfel nebeneinander liegen, um eine ganze Schicht am Boden zu bilden. - Wenn du weißt, wie viele Würfel in eine Schicht passen, wie oft musst du diese Schicht stapeln, um auf die Gesamtzahl zu kommen? - Stell dir den Quader wie ein Gebäude mit mehreren Stockwerken vor.

1. Berechnung der Anzahl der Würfel in der untersten Schicht (Grundfläche): \(3 \cdot 3 = 9\). 2. Bestimmung der Anzahl der Schichten (Höhe) durch Division der Gesamtzahl durch die Würfel pro Schicht: \(18 : 9 = 2\). 3. Das Ergebnis ist die Höhe des Quaders: \(2\) Würfel.

Der Quader ist \(2\) Würfel hoch.

- Stell dir vor, du legst zuerst den Boden der Schachtel lückenlos mit Würfeln aus. - Wie viele Reihen von Würfeln nebeneinander passen auf den Boden? - Überlege, wie oft du diese Bodenschicht übereinanderstapeln kannst, bis die Schachtel voll ist.

1. Berechnung der Anzahl der Würfel in der untersten Schicht durch Multiplikation von Länge und Breite: \(8 \cdot 5 = 40\,\text{Würfel}\). 2. Bestimmung der Anzahl der Schichten anhand der Höhe der Schachtel: \(4\,\text{Schichten}\). 3. Berechnung der Gesamtzahl der Würfel durch Multiplikation der Würfel pro Schicht mit der Anzahl der Schichten: \(40 \cdot 4 = 160\,\text{Würfel}\). Da ein Würfel einem Volumen von \(1\,\text{cm}^3\) entspricht, beträgt der Rauminhalt \(160\,\text{cm}^3\).

1. \(40\,\text{Würfel}\) 2. \(4\,\text{Schichten}\) 3. \(160\,\text{Würfel}\); der Rauminhalt beträgt \(160\,\text{cm}^3\).

- Wie kannst du die Länge, Breite und Höhe der Schachtel bestimmen? - Überlege, wie viele Würfel insgesamt in eine Schachtel dieser Größe passen würden. - Zähle die Würfel, die bereits in der Schachtel liegen. Hilft es dir, sie reihenweise zu zählen? - Welcher Rechenschritt verbindet die Gesamtanzahl der Würfel mit den bereits vorhandenen Würfeln?

1. Bestimmung der Maße der Schachtel aus der Abbildung: Länge \(l = 4\), Breite \(b = 3\), Höhe \(h = 3\). 2. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36\,\text{Einheitswürfel}\). 3. Ermittlung der Anzahl der bereits vorhandenen Würfel: \(3 \cdot 3 = 9\) Würfel in der linken Wand plus \(3 \cdot 1 = 3\) zusätzliche Würfel in der vorderen Reihe ergibt insgesamt \(12\,\text{Einheitswürfel}\). 4. Berechnung der fehlenden Würfel: \(36 - 12 = 24\,\text{Einheitswürfel}\).

a) Insgesamt passen \(36\,\text{Einheitswürfel}\) in die Schachtel. b) Es fehlen noch \(24\,\text{Einheitswürfel}\).

- Addiere zuerst alle Zahlen im Bauplan, um die Gesamtzahl der verbauten Würfel zu finden. - Überlege dir, wie viele Würfel in einem vollen \(3 \times 3\)-Gitter liegen würden, wenn jeder Turm genau 2 Würfel hoch wäre. - Die Differenz zwischen dem vollen Quader und deinem Gebäude ist die Anzahl der fehlenden Würfel.

1. Die vorhandenen Würfel ergeben zusammen \(2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 13\) Würfel. 2. Der volle Quader mit einer Grundfläche von \(3 \times 3\) Feldern und der Höhe \(2\) enthält \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\) Würfel. 3. Daher fehlen \(18 - 13 = 5\) Würfel.

Es wurden \(13\) Würfel verwendet. Es müssen noch \(5\) Würfel hinzugefügt werden.

- Jede Zahl im Bauplan steht für die Anzahl der Würfel in einem Stapel. - Du kannst alle Zahlen im Plan einfach zusammenrechnen.

1. Addiere die Anzahl der Würfel für jede Position im Bauplan. 2. Erste Reihe (vorne): \(2 + 1 + 2 = 5\). 3. Zweite Reihe (Mitte): \(1 + 3 + 1 = 5\). 4. Dritte Reihe (hinten): \(2 + 1 + 2 = 5\). 5. Gesamtsumme berechnen: \(5 + 5 + 5 = 15\).

Es werden insgesamt \(15\) Würfel benötigt.

- Nutze die Symmetrie des Gebäudes aus. Es gibt Gruppen von Türmen, die alle die gleiche Höhe haben. - Zähle erst alle Türme mit der Höhe 3, dann die mit der Höhe 2 und zum Schluss den in der Mitte.

1. Das Gebäude hat eine Grundfläche von \(3 \times 3\) Feldern. 2. Wir addieren die Turmhöhen: - Die vier Ecktürme haben jeweils die Höhe \(3\): \(4 \cdot 3 = 12\). - Die vier Türme in den Kantenmitten haben jeweils die Höhe \(2\): \(4 \cdot 2 = 8\). - Der mittlere Turm hat die Höhe \(1\): \(1 \cdot 1 = 1\). 3. Insgesamt sind es \(12 + 8 + 1 = 21\) Würfel.

Das Gebäude besteht aus \(21\) Würfeln.

- Schau dir an, wie viele Würfel in der Länge, Breite und Höhe der Schachtel Platz haben. - Du kannst zuerst ausrechnen, wie viele Würfel auf den Boden der Schachtel passen. - Überlege dann, wie viele solcher Schichten übereinander passen.

1. Bestimmung der Maße von Schachtel A (Breite \(3\), Tiefe \(3\), Höhe \(4\)): \(3 \cdot 3 \cdot 4 = 36\) Würfel. 2. Bestimmung der Maße von Schachtel B (Breite \(5\), Tiefe \(2\), Höhe \(2\)): \(5 \cdot 2 \cdot 2 = 20\) Würfel. 3. Bestimmung der Maße von Schachtel C (Breite \(2\), Tiefe \(4\), Höhe \(3\)): \(2 \cdot 4 \cdot 3 = 24\) Würfel.

Schachtel A: \(36\) Würfel Schachtel B: \(20\) Würfel Schachtel C: \(24\) Würfel

- Berechne zuerst für jede Schachtel einzeln, wie viele Würfel hineinpassen. - Vergleiche dann die beiden Ergebnisse. - Den Unterschied findest du durch eine Minusaufgabe heraus.

1. Rauminhalt Schachtel X (Breite \(3\), Tiefe \(4\), Höhe \(3\)): \(3 \cdot 4 \cdot 3 = 36\) Würfel. 2. Rauminhalt Schachtel Y (Breite \(5\), Tiefe \(3\), Höhe \(2\)): \(5 \cdot 3 \cdot 2 = 30\) Würfel. 3. Vergleich: Da \(36 > 30\), passen in Schachtel X mehr Würfel hinein. 4. Differenz: \(36 - 30 = 6\) Würfel.

In Schachtel X passen mehr Würfel hinein. Der Unterschied beträgt \(6\) Würfel.

- Kannst du das Gebäude in Schichten oder Reihen zerlegen? - Wie viele Würfel stehen in der vordersten Reihe? - Schau dir die Höhe der Stapel in der Mitte und hinten genau an. - Vergiss nicht, dass ein hoher Stapel auch Würfel in den unteren Etagen hat.

1. Bestimmung der Anzahl der Würfel pro Reihe von vorne nach hinten: - Vordere Reihe: \(1 + 1 + 1 = 3\) Würfel - Mittlere Reihe: \(1 + 2 + 1 = 4\) Würfel - Hintere Reihe: \(1 + 3 + 1 = 5\) Würfel 2. Berechnung der Gesamtsumme: \(3 + 4 + 5 = 12\) Würfel.

Der Künstler hat insgesamt \(12\) Würfel verwendet.

- Gehe Reihe für Reihe vor und notiere dir die Anzahl der Würfel in jedem Turm.

1. Bestimme die Anzahl der Würfel in jeder Position des Gitters: - Vordere Reihe: \(1, 1, 1\) - Mittlere Reihe: \(2, 2, 2\) - Hintere Reihe: \(3, 2, 1\) 2. Addiere alle Werte: \(1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3 + 6 + 6 = 15\). 3. Das Gebäude besteht aus insgesamt \(15\) Würfeln.

Es wurden insgesamt \(15\) Würfel verwendet.

- Zähle für jedes Gebäude einzeln, wie viele Würfel in jedem Turm stecken. - Addiere die Anzahl der Würfel für Gebäude A. - Addiere die Anzahl der Würfel für Gebäude B. - Berechne am Ende den Unterschied zwischen den beiden Summen.

1. Gebäude A: vorne \(2 + 1 + 0 = 3\), hinten \(3 + 2 + 1 = 6\). Insgesamt sind es \(3 + 6 = 9\) Würfel. 2. Gebäude B: vorne \(2 + 2 + 1 = 5\), hinten \(2 + 2 + 2 = 6\). Insgesamt sind es \(5 + 6 = 11\) Würfel. 3. Die Differenz beträgt \(11 - 9 = 2\) Würfel.

Für Gebäude B wurden \(2\) Würfel mehr verwendet als für Gebäude A.

- Zähle die Würfel für jedes Gebäude einzeln. - Bei Gebäude B kannst du auch rechnen: Grundfläche mal Höhe. - Subtrahiere die kleinere Zahl von der größeren, um den Unterschied zu finden.

1. Gebäude A: - Vordere Reihe: \(3 + 0 + 3 = 6\) Würfel. - Hintere Reihe: \(3 + 2 + 3 = 8\) Würfel. - Insgesamt: \(6 + 8 = 14\) Würfel. 2. Gebäude B besteht aus \(3 \times 3\) Türmen der Höhe \(2\). Daher enthält es \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\) Würfel. 3. Gebäude B hat mehr Würfel. Die Differenz beträgt \(18 - 14 = 4\) Würfel.

Gebäude B besteht aus mehr Würfeln. Der Unterschied beträgt \(4\) Würfel.

- Zähle die Würfel für jedes Gebäude getrennt. - Gehe am besten turmweise vor: Wie viele Würfel stehen übereinander? - Vergleiche am Ende die beiden Zahlen.

1. Würfel in Gebäude A: Vordere Reihe \(2\) Würfel. Hintere Reihe ein Turm aus \(3\) und ein Turm aus \(2\) Würfeln (\(3 + 2 = 5\)). Gesamt: \(2 + 5 = 7\) Würfel. 2. Würfel in Gebäude B: Vordere Reihe \(2 + 1 + 0 = 3\) Würfel. Hintere Reihe \(3 + 1 + 1 = 5\) Würfel. Gesamt: \(3 + 5 = 8\) Würfel. 3. Vergleich: Da \(8 > 7\), hat Gebäude B einen Würfel mehr.

Gebäude B hat mit \(8\) Würfeln einen Würfel mehr als Gebäude A mit \(7\) Würfeln.

- Die Zahlen im Bauplan geben an, wie viele Würfel an jeder Stelle übereinander gestapelt werden müssen. - Findest du zuerst heraus, wie viele Würfel Jonas insgesamt für das ganze Gebäude braucht? - Wenn du weißt, wie viele er braucht, kannst du ausrechnen, was von seinem Vorrat übrig bleibt.

1. Addiere die Zahlen im Bauplan reihenweise. In der vorderen Reihe stehen \(1 + 2 + 3 + 2 = 8\) Würfel, in der mittleren Reihe \(2 + 1 + 2 + 1 = 6\) Würfel und in der hinteren Reihe \(1 + 0 + 1 + 0 = 2\) Würfel. 2. Insgesamt werden \(8 + 6 + 2 = 16\) Würfel benötigt. 3. In der Kiste bleiben \(20 - 16 = 4\) Würfel übrig.

Es bleiben \(4\) Würfel in der Kiste übrig.

- Überlege zuerst, wie viele Würfel insgesamt in den Behälter passen würden, wenn er ganz voll wäre. - Zähle dann Reihe für Reihe oder Schicht für Schicht, wie viele Würfel schon da sind. - Wie berechnet man den Unterschied zwischen dem Platz im Behälter und den bereits vorhandenen Würfeln?

1. In den vollen Behälter passen \(4 \cdot 3 \cdot 3 = 36\) Würfel. 2. Vorhanden sind vorne \(1 + 0 + 0 + 1 = 2\), in der Mitte \(2 + 0 + 0 + 2 = 4\) und hinten \(3 + 3 + 3 + 3 = 12\) Würfel. Insgesamt sind es \(2 + 4 + 12 = 18\) Würfel. 3. Es fehlen \(36 - 18 = 18\) Würfel.

Es fehlen noch \(18\) Einheitswürfel.

- Wie viele Würfel enthält der vollständige Quader insgesamt? - Zähle, wie viele Würfel im vorhandenen Gebäude stehen. - Berechne die Differenz zwischen dem vollständigen Quader und dem vorhandenen Gebäude.

1. Ein voller Quader mit den Maßen \(3 \times 2 \times 2\) besteht aus \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\) Würfeln. 2. Das aktuelle Gebäude besteht aus: \(2 + 2 + 1\) (vordere Reihe) und \(1 + 2 + 2\) (hintere Reihe). Die Summe ist \(2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 = 10\) Würfel. 3. Um den Quader zu vervollständigen, fehlen \(12 - 10 = 2\) Würfel.

Es müssen \(2\) Würfel hinzugefügt werden.

- Zähle alle Würfel, die du im Bild siehst. - Achte darauf, ob an manchen Stellen Würfel übereinanderstehen.

Wir addieren die Würfel an allen Positionen: - Die vier Ecktürme haben jeweils 3 Würfel: \(4 \cdot 3 = 12\). - In der Mitte steht 1 Würfel: \(1\). - Alle anderen Felder sind leer (\(0\)). Gesamtanzahl: \(12 + 1 = 13\). Der Rauminhalt beträgt also \(13\) Einheitswürfel.

Der Rauminhalt beträgt \(13\) Einheitswürfel.

- Bestimme die Höhe jedes Turms im Gebäude und addiere die Turmhöhen. - Berechne, wie viele Würfel in den vollständigen Quader passen. - Ziehe die vorhandene Würfelzahl von der Gesamtzahl ab.

1. Berechne die Gesamtzahl der Würfel, die in den vollen Quader passen: \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\) Würfel. 2. Zähle die bereits vorhandenen Würfel im Gebäude: In der vorderen Reihe stehen \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel. In der hinteren Reihe stehen \(2 + 1 + 2 = 5\) Würfel. Insgesamt sind also \(2 + 5 = 7\) Würfel vorhanden. 3. Berechne die Anzahl der fehlenden Würfel durch Subtraktion: \(12 - 7 = 5\). 4. Ergebnis: Es fehlen \(5\) Würfel.

Es fehlen \(5\) Würfel.

- Wie viele Würfel liegen in einer Schicht? Multipliziere dafür die Länge mit der Breite. - Wie viele solcher Schichten liegen übereinander? - Was passiert mit der Anzahl der Würfel, wenn du die oberste Schicht komplett abhebst?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Würfel für den ursprünglichen Quader: \(5 \cdot 2 \cdot 3 = 30\). 2. Berechnung der Anzahl der Würfel in einer einzelnen Schicht (Länge mal Breite): \(5 \cdot 2 = 10\). 3. Da die Höhe von \(3\) auf \(2\) Schichten reduziert wird, muss genau eine Schicht entfernt werden: \(30 - (5 \cdot 2 \cdot 2) = 10\). 4. Ergebnisse: a) \(30\) Würfel; b) \(10\) Würfel.

a) Lukas hat insgesamt \(30\) Würfel verwendet. b) Er muss \(10\) Würfel wegnehmen.

- Was bedeutet es für die unterste Schicht, wenn der Quader \(5\,\text{cm}\) lang und \(3\,\text{cm}\) breit ist? - Wenn jede Schicht \(1\,\text{cm}\) hoch ist, wie viele Schichten braucht man dann, um eine Höhe von \(2\,\text{cm}\) zu erreichen? - Wie hängen die Anzahl der Schichten und die Würfel in einer Schicht mit der Gesamtzahl zusammen? - Stell dir vor, du nimmst den fertigen Quader auseinander und legst alle Würfel in einer Spur aus.

1. Berechnung der Würfel in der Grundschicht: Produkt aus Länge und Breite (\(5 \cdot 3 = 15\) Würfel). 2. Bestimmung der Anzahl der Schichten: Die Höhe von \(2\,\text{cm}\) entspricht bei Würfeln mit \(1\,\text{cm}\) Kantenlänge genau \(2\) Schichten. 3. Berechnung der Gesamtzahl der Würfel: Produkt aus der Anzahl der Würfel pro Schicht und der Anzahl der Schichten (\(15 \cdot 2 = 30\) Würfel). 4. Berechnung der Gesamtlänge der Reihe: Multiplikation der Gesamtzahl der Würfel mit der Kantenlänge eines Würfels (\(30 \cdot 1\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\)).

a) In der untersten Schicht liegen \(15\) Würfel. b) Es liegen \(2\) Schichten übereinander. c) Insgesamt wurden \(30\) Würfel verwendet. d) Die Reihe wird \(30\,\text{cm}\) lang.

- Du suchst drei Zahlen, deren Produkt \(36\) ist. - Überlege dir zuerst, wie viele Würfel in einer Schicht liegen könnten und wie viele Schichten es dann sein müssten. - Kannst du die \(36\) Würfel in einer einzigen langen Reihe aufstellen? Oder als flache Platte?

1. Der Rauminhalt eines Quaders berechnet sich aus \(Länge \cdot Breite \cdot Höhe\). Gesucht sind also drei Zahlen, deren Produkt \(36\) ergibt. 2. Drei mögliche Kombinationen sind zum Beispiel: - Möglichkeit 1: \(6\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^3\) - Möglichkeit 2: \(9\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^3\) - Möglichkeit 3: \(4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^3\) 3. Weitere ganzzahlige Faktorzerlegungen von \(36\) sind ebenfalls möglich.

Drei mögliche Antworten sind zum Beispiel: 1. Länge \(6\,\text{cm}\), Breite \(3\,\text{cm}\), Höhe \(2\,\text{cm}\) 2. Länge \(9\,\text{cm}\), Breite \(4\,\text{cm}\), Höhe \(1\,\text{cm}\) 3. Länge \(4\,\text{cm}\), Breite \(3\,\text{cm}\), Höhe \(3\,\text{cm}\)

- Rechne zuerst aus, wie viele Würfel in einer Schicht liegen und wie viele Schichten es gibt. - Wenn die Gesamtzahl der Würfel gleich bleibt, aber die Höhe kleiner wird, was muss dann mit der Grundfläche passieren? - Suche für den letzten Teil zwei Zahlen, die beim Malnehmen das Ergebnis aus Teil b) ergeben.

1. Berechnung der Gesamtzahl: Eine Schicht besteht aus \(6 \cdot 4 = 24\) Würfeln. Bei \(3\) Schichten sind es \(24 \cdot 3 = 72\) Würfel. 2. Berechnung der neuen Schichtgröße: Da der neue Quader \(2\,\text{cm}\) hoch ist, hat er 2 Schichten. Die Würfel pro Schicht berechnet man durch \(72 : 2 = 36\). 3. Bestimmung von Länge und Breite: Es werden zwei Zahlen gesucht, deren Produkt \(36\) ergibt. Eine Möglichkeit ist \(L = 6\,\text{cm}\) und \(B = 6\,\text{cm}\) (da \(6 \cdot 6 = 36\)). Eine andere wäre \(L = 9\,\text{cm}\) und \(B = 4\,\text{cm}\).

a) Der Quader besteht aus \(72\) Würfeln. b) In einer Schicht liegen nun \(36\) Würfel. c) Mögliche Maße sind zum Beispiel: Länge \(6\,\text{cm}\) und Breite \(6\,\text{cm}\) (oder \(9\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\)).

- Berechne zuerst, wie viele Würfel Lukas für sein Bauwerk benötigt hat. - Berechne danach, wie viele Würfel Sophie für ihr Bauwerk benötigt hat. - Vergleiche die beiden Ergebnisse: Ist eine Zahl größer oder sind sie vielleicht gleich?

1. Berechnung des Rauminhalts von Lukas' Quader: \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\,\text{cm}^3\). Dies entspricht \(120\,\text{Würfeln}\). 2. Berechnung des Rauminhalts von Sophies Quader: \(10 \cdot 3 \cdot 4 = 120\,\text{cm}^3\). Dies entspricht ebenfalls \(120\,\text{Würfeln}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(120 = 120\), haben beide Kinder genau gleich viele Würfel verbraucht.

Beide haben gleich viele Würfel verbraucht. Die Rauminhalte beider Quader betragen jeweils \(120\,\text{cm}^3\).

- Stelle dir vor, wie die Würfel nebeneinander oder übereinander liegen. - Wie viele Würfel liegen in einem \(1\,\text{cm}\) langen Abschnitt, wenn Breite und Höhe jeweils \(2\,\text{cm}\) betragen? - Was ist das Besondere an den Seitenlängen eines Würfels im Vergleich zu einem Quader? - Probiere aus, wie viele Einheitswürfel ein Würfel mit der Kantenlänge \(2\,\text{cm}\) oder \(3\,\text{cm}\) benötigt.

1. In einer einzigen Reihe liegen \(12\) Würfel hintereinander. Der Quader ist daher \(12\,\text{cm}\) lang, \(1\,\text{cm}\) breit und \(1\,\text{cm}\) hoch. 2. Bei einer Breite von \(2\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(2\,\text{cm}\) liegen in jedem \(1\,\text{cm}\) langen Abschnitt \(2 \cdot 2 = 4\) Würfel. Daher beträgt die Länge \(12 : 4 = 3\,\text{cm}\). 3. Für einen Würfel müssten Länge, Breite und Höhe gleich sein. Ein Würfel mit Kantenlänge \(2\,\text{cm}\) benötigt \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) Einheitswürfel; ein Würfel mit Kantenlänge \(3\,\text{cm}\) benötigt bereits \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\). Mit genau \(12\) Würfeln ist daher kein Würfel möglich.

a) Länge: \(12\,\text{cm}\), Breite: \(1\,\text{cm}\), Höhe: \(1\,\text{cm}\) b) Die Länge beträgt \(3\,\text{cm}\). c) Nein. Ein Würfel mit der Kantenlänge \(2\,\text{cm}\) benötigt \(8\) Einheitswürfel; der nächstgrößere Würfel mit der Kantenlänge \(3\,\text{cm}\) benötigt bereits \(27\) Einheitswürfel.

- Überlege zuerst, wie viele Würfel in einer einzigen Schicht liegen. - Wenn du die Gesamtzahl der Würfel kennst, bleibt diese für den zweiten Teil der Aufgabe gleich. - Wie hängen Länge, Breite und Höhe mit der Gesamtanzahl der Würfel zusammen? - Kannst du eine Malaufgabe finden, bei der das Ergebnis die Gesamtzahl der Würfel ist?

1. Berechnung der Würfelanzahl pro Schicht: \(4 \cdot 5 = 20\) Würfel. 2. Berechnung der Gesamtzahl bei 3 Schichten: \(20 \cdot 3 = 60\) Würfel. 3. Der Rauminhalt des zweiten Modells muss ebenfalls \(60\,\text{cm}^3\) betragen. Gegeben sind die Länge \(l = 6\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 2\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Produkts aus Länge und Höhe: \(6\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Breite: \(60\,\text{cm}^3 : 12\,\text{cm}^2 = 5\,\text{cm}\). Die Breite beträgt \(5\,\text{cm}\).

a) Er hat insgesamt \(60\) Würfel verbraucht. b) Das Modell wird \(5\,\text{cm}\) breit.

- Überlege dir, wie viele Würfel in einem \(1\,\text{cm}\) langen Abschnitt liegen, wenn Breite und Höhe gegeben sind. - Gibt es verschiedene Zahlen, deren Produkt \(24\) ergibt? - Probier es doch mal mit einer Höhe von nur \(1\,\text{cm}\).

1. Bestimmung der Anzahl der Würfel in einer vertikalen Scheibe (Breite mal Höhe): \(3 \cdot 2 = 6\). 2. Berechnung der Länge durch Division der Gesamtzahl durch die Würfel pro Scheibe: \(24 : 6 = 4\). Die Länge beträgt \(4\,\text{cm}\). 3. Finden weiterer Zahlenkombinationen, deren Produkt \(24\) ergibt: Eine Möglichkeit ist \(6\,\text{cm}\) Länge, \(2\,\text{cm}\) Breite und \(2\,\text{cm}\) Höhe (\(6 \cdot 2 \cdot 2 = 24\)). Eine andere Möglichkeit ist \(8\,\text{cm}\) Länge, \(3\,\text{cm}\) Breite und \(1\,\text{cm}\) Höhe (\(8 \cdot 3 \cdot 1 = 24\)).

a) Der Quader ist \(4\,\text{cm}\) lang. b) Mögliche Antworten sind zum Beispiel: \(6\,\text{cm}\) lang, \(2\,\text{cm}\) breit, \(2\,\text{cm}\) hoch oder \(8\,\text{cm}\) lang, \(3\,\text{cm}\) breit, \(1\,\text{cm}\) hoch.

- Wie oft passt die unterste Schicht in die Gesamtmenge der Würfel? - Suche nach zwei Zahlen, deren Produkt \(15\) ergibt. - Stell dir vor, wie die Würfel auf dem Boden des Kastens nebeneinander liegen.

1. Berechnung der Anzahl der Schichten: Da jede Schicht gleich viele Würfel enthält, teilt man die Gesamtzahl durch die Anzahl pro Schicht: \(45 : 15 = 3\). Der Quader hat \(3\) Schichten (Höhe \(h = 3\,\text{cm}\)). 2. Zerlegung der Grundfläche: Die Anzahl der Würfel in einer Schicht (\(15\)) ergibt sich aus Länge mal Breite (\(l \cdot b = 15\)). 3. Mögliche Faktorenpaare für \(15\) finden: \(1 \cdot 15\) oder \(3 \cdot 5\). 4. Ergebnis für b): Eine mögliche Länge ist \(5\,\text{cm}\) und eine mögliche Breite ist \(3\,\text{cm}\).

a) Der Quader hat \(3\) Schichten. b) Eine Möglichkeit für die Maße der untersten Schicht ist: Länge \(5\,\text{cm}\) und Breite \(3\,\text{cm}\) (oder umgekehrt). Eine weitere Möglichkeit wäre \(15\,\text{cm}\) und \(1\,\text{cm}\).

- Wie viele kleine Würfel passen insgesamt in den großen \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel? - Zähle zuerst, aus wie vielen kleinen Würfeln das abgebildete Gebäude bereits besteht. - Du kannst das Gebäude Reihe für Reihe durchgehen, um keinen Würfel zu vergessen. - Berechne den Unterschied zwischen der Gesamtanzahl an Würfeln für einen vollen Würfel und den bereits vorhandenen Würfeln.

1. Berechnung des Gesamtvolumens des fertigen großen Würfels mit der Kantenlänge \(3\): \(V_{\text{gesamt}} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Einheitswürfel. 2. Ermittlung der Anzahl der bereits vorhandenen Würfel durch turmweises Addieren: - Hintere Reihe: \(3 + 2 + 2 = 7\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(2 + 1 + 0 = 3\) Würfel. - Vordere Reihe: \(1 + 0 + 0 = 1\) Würfel. - Gesamtzahl der vorhandenen Würfel: \(7 + 3 + 1 = 11\) Würfel. 3. Berechnung der fehlenden Würfel: \(27 - 11 = 16\) Einheitswürfel.

Es fehlen noch \(16\) Einheitswürfel.

- Überlege zuerst, aus wie vielen kleinen Würfeln ein vollständiger \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel insgesamt besteht. - Zähle dann, wie viele Würfel bereits in dem abgebildeten Gebäude verbaut sind. Es hilft, das Gebäude Reihe für Reihe von vorne nach hinten zu betrachten. - Ziehe die Anzahl der bereits vorhandenen Würfel von der Gesamtzahl des großen Würfels ab.

1. Berechne die Gesamtzahl der Würfel, die für einen vollständigen \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel benötigt werden: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Würfel. 2. Zähle die bereits vorhandenen Würfel im abgebildeten Gebäude Reihe für Reihe von vorne nach hinten: - Erste Reihe (vorne): \(2 + 1 + 0 = 3\) Würfel. - Zweite Reihe (Mitte): \(3 + 2 + 1 = 6\) Würfel. - Dritte Reihe (hinten): \(3 + 3 + 2 = 8\) Würfel. - Insgesamt sind bereits \(3 + 6 + 8 = 17\) Würfel vorhanden. 3. Subtrahiere die Anzahl der vorhandenen Würfel von der benötigten Gesamtanzahl: \(27 - 17 = 10\) Würfel. Lukas fehlen noch \(10\) Würfel.

Lukas fehlen noch \(10\) kleine Würfel, um den großen Würfel fertigzustellen.

- Stell dir vor, das Gebäude wäre ein komplett ausgefüllter, großer Würfel ohne das Loch in der Mitte. Wie viele kleine Würfel hätte dieser? - Wie viele kleine Würfel fehlen in der Mitte, um den Schacht zu bilden? Beachte dabei die gesamte Höhe des Gebäudes. - Ziehe die fehlenden Würfel von der Anzahl des ausgefüllten Würfels ab. - Multipliziere die Anzahl der Würfel mit dem Volumen eines einzelnen kleinen Würfels (\(1\,\text{cm}^3\)), um das Gesamtvolumen zu erhalten.

1. Ein vollständig ausgefüllter, großer Würfel mit den Maßen \(3 \times 3 \times 3\) Einheitswürfeln besteht aus insgesamt \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Würfeln. 2. In der Mitte des Gebäudes befindet sich ein Schacht von oben nach unten mit einer Grundfläche von \(1 \times 1\) Feld und einer Höhe von \(3\) Würfeln. Dieser leere Schacht entspricht somit einem Volumen von \(1 \cdot 1 \cdot 3 = 3\) Würfeln. 3. Wir ziehen das Volumen des Schachts vom Gesamtvolumen des vollen Würfels ab: \(27 - 3 = 24\) Würfel. 4. Da jeder Einheitswürfel ein Volumen von \(1\,\text{cm}^3\) hat, beträgt das Gesamtvolumen des Gebäudes \(24 \cdot 1\,\text{cm}^3 = 24\,\text{cm}^3\).

\(24\,\text{cm}^3\)

- Zähle zunächst, aus wie vielen einzelnen Würfeln das Gebäude besteht. Du kannst das Gebäude reihenweise von vorne nach hinten betrachten. - Da jeder kleine Würfel eine Kantenlänge von \(1\,\text{cm}\) hat, entspricht die Anzahl der Würfel direkt dem Volumen in \(\text{cm}^3\). - Überlege für den zweiten Teil, wie viele kleine Würfel ein großer Würfel mit den Maßen \(3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) insgesamt hat. - Ziehe die Anzahl der bereits vorhandenen Würfel von dieser Gesamtzahl ab, um die fehlenden Würfel zu ermitteln.

1. Zunächst bestimmen wir die Anzahl der verwendeten Einheitswürfel, indem wir die Höhen der einzelnen Türme addieren: - Erste Reihe (vorne): \(1 + 0 + 0 = 1\) Würfel - Zweite Reihe (Mitte): \(2 + 2 + 0 = 4\) Würfel - Dritte Reihe (hinten): \(3 + 2 + 1 = 6\) Würfel Insgesamt wurden somit \(1 + 4 + 6 = 11\) Einheitswürfel verwendet. Da jeder Einheitswürfel ein Volumen von \(1\,\text{cm}^3\) besitzt, beträgt das Gesamtvolumen des Gebäudes \(11\,\text{cm}^3\). 2. Ein großer, massiver Würfel mit einer Kantenlänge von \(3\,\text{cm}\) besteht aus insgesamt \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Einheitswürfeln. Um die Anzahl der fehlenden Würfel zu berechnen, ziehen wir die bereits vorhandenen Würfel ab: \(27 - 11 = 16\). Es fehlen also mindestens \(16\) Einheitswürfel.

1. Das Volumen des Gebäudes beträgt \(11\,\text{cm}^3\). 2. Es werden mindestens \(16\) zusätzliche Einheitswürfel benötigt.

- Nutze den Bauplan, um die Anzahl der Würfel in jedem einzelnen Turm abzulesen. - Wie kannst du aus den einzelnen Turmhöhen die Gesamtzahl aller Würfel berechnen? - Überlege, wie viele Würfel ein vollständig ausgefüllter Würfel der Größe \(3 \times 3 \times 3\) insgesamt hat. - Berechne den Unterschied zwischen der Anzahl der Würfel für den vollständigen Würfel und den bereits vorhandenen Würfeln.

1. Wir addieren alle Zahlen aus dem Bauplan: \(1 + 2 + 3 + 1 + 1 + 2 + 3 = 13\). Das Gebäude besteht aus \(13\) Einheitswürfeln. 2. Ein vollständiger \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel besteht aus \(27\) Einheitswürfeln. 3. Daher fehlen \(27 - 13 = 14\) Einheitswürfel.

1. \(13\) Einheitswürfel 2. \(14\) Einheitswürfel

- Überlege zuerst, wie viele kleine Würfel ein vollständig ausgefüllter Würfel mit den gegebenen Maßen insgesamt hat. - Addiere alle Zahlen im Bauplan, um herauszufinden, wie viele Würfel bereits da sind. - Ziehe diese Zahl von der Gesamtanzahl ab.

1. Ein vollständiger \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel enthält \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Würfel. 2. Die vorhandenen Würfel ergeben: - Vordere Reihe: \(1 + 2 = 3\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(2 + 3 + 1 = 6\) Würfel. - Hintere Reihe: \(1 + 1 = 2\) Würfel. Insgesamt sind \(3 + 6 + 2 = 11\) Würfel vorhanden. 3. Daher fehlen \(27 - 11 = 16\) Würfel.

Es fehlen noch \(16\) Würfel.

- Überlege zuerst, wie viele kleine Würfel insgesamt in einen fertig gebauten, vollen Quader passen würden. - Zähle dann Reihe für Reihe, wie viele Würfel bereits im abgebildeten Gebäude stehen. - Der äußere Rahmen zeigt dir die Zielgröße des fertigen Quaders. - Wie berechnet man den Unterschied zwischen dem vollen Quader und dem unvollständigen Gebäude?

1. Zuerst bestimmen wir die Anzahl der bereits vorhandenen kleinen Würfel durch das Addieren der Höhen aller Türme: - Hintere Reihe: \(2 + 3 + 4 = 9\) Würfel - Mittlere Reihe: \(1 + 2 + 3 = 6\) Würfel - Vordere Reihe: \(1 + 1 + 2 = 4\) Würfel - Insgesamt sind bereits \(9 + 6 + 4 = 19\) Würfel verbaut. 2. Der fertige Quader soll insgesamt aus \(3 \cdot 3 \cdot 4 = 36\) Würfeln bestehen. 3. Um die Anzahl der fehlenden Würfel zu berechnen, subtrahieren wir die vorhandenen Würfel von der Gesamtzahl: \(36 - 19 = 17\). Es müssen noch \(17\) kleine Würfel hinzugefügt werden.

Es müssen noch \(17\) kleine Würfel hinzugefügt werden.

- Versuche, das Gebäude in Reihen (von vorne nach hinten oder von links nach rechts) zu zerlegen und die Würfel jeder Reihe einzeln zu zählen. - Wie viele Würfel sind in einem einzelnen Turm gestapelt? Schreibe dir die Höhen der Türme am besten auf. - Wie viele Würfel hat ein vollständig ausgefüllter großer Würfel mit einer Kantenlänge von \(3\) Würfeln? - Wenn du die Gesamtanzahl der benötigten Würfel für den großen Würfel kennst, wie kannst du dann berechnen, wie viele noch fehlen?

1. Wir zählen die Anzahl der Würfel Reihe für Reihe von hinten nach vorne zusammen: - Hintere Reihe: Der linke Turm hat eine Höhe von \(3\), der mittlere Turm hat eine Höhe von \(3\) und der rechte Turm hat eine Höhe von \(2\). Das ergibt: \(3 + 3 + 2 = 8\) Würfel. - Mittlere Reihe: Der linke Turm hat eine Höhe von \(2\), der mittlere Turm eine Höhe von \(2\) und der rechte Turm eine Höhe von \(1\). Das ergibt: \(2 + 2 + 1 = 5\) Würfel. - Vordere Reihe: Der linke Turm hat eine Höhe von \(2\), der mittlere Turm eine Höhe von \(1\) und vorne rechts steht kein Würfel. Das ergibt: \(2 + 1 + 0 = 3\) Würfel. - Die Gesamtanzahl der Würfel ist somit: \(8 + 5 + 3 = 16\) Würfel. 2. Ein vollständiger Würfel der Größe \(3 \times 3 \times 3\) besteht insgesamt aus \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Würfeln. 3. Um die Anzahl der fehlenden Würfel zu ermitteln, berechnen wir die Differenz: \(27 - 16 = 11\) Würfel.

1. \(16\) Würfel 2. \(11\) Würfel

- Zähle die Würfel am besten schichtweise oder Reihe für Reihe, um keinen zu vergessen. - Jeder kleine Würfel hat ein Volumen von \(1\,\text{cm}^3\). Wenn du die Anzahl der Würfel weißt, kennst du auch das Volumen. - Überlege, aus wie vielen kleinen Würfeln ein ganzer, großer Würfel mit der Kantenlänge \(3\,\text{cm}\) besteht. - Ziehe die Anzahl der bereits vorhandenen Würfel von der Gesamtanzahl des großen Würfels ab, um den Rest zu finden.

1) Das Gebäude enthält vorne \(1 + 1 + 1 = 3\), in der Mitte \(2 + 2 + 1 = 5\) und hinten \(3 + 2 + 2 = 7\) Einheitswürfel. Insgesamt sind es \(3 + 5 + 7 = 15\) Einheitswürfel. Da jeder Einheitswürfel ein Volumen von \(1\,\text{cm}^3\) hat, beträgt das Volumen \(15\,\text{cm}^3\). 2) Der vollständige \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel enthält \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Einheitswürfel. Es fehlen \(27 - 15 = 12\) Einheitswürfel.

1) Es wurden \(15\) Einheitswürfel verwendet; das Volumen beträgt \(15\,\text{cm}^3\). 2) Es fehlen mindestens \(12\) Einheitswürfel.

- Lies die Turmhöhen im Bauplan ab und addiere sie. - Ein vollständiger Würfel mit der Kantenlänge \(3\) enthält \(3 \cdot 3 \cdot 3\) Einheitswürfel. - Ziehe die vorhandene Anzahl von der Gesamtzahl ab.

1. Wir ermitteln die Anzahl der vorhandenen Würfel, indem wir das Gebäude Reihe für Reihe von hinten nach vorne abzählen: - Hintere Reihe: Der linke Turm besteht aus \(3\) Würfeln, in der Mitte steht kein Würfel (\(0\)), der rechte Turm besteht aus einem Würfel. Zusammen sind das \(3 + 0 + 1 = 4\) Würfel. - Mittlere Reihe: Der linke Turm besteht aus einem Würfel, der mittlere Turm aus \(2\) Würfeln, rechts steht kein Würfel (\(0\)). Zusammen sind das \(1 + 2 + 0 = 3\) Würfel. - Vordere Reihe: Der linke Turm besteht aus \(2\) Würfeln, der mittlere Turm aus einem Würfel, der rechte Turm aus \(2\) Würfeln. Zusammen sind das \(2 + 1 + 2 = 5\) Würfel. - Insgesamt besteht das Gebäude aus \(4 + 3 + 5 = 12\) Einheitswürfeln. 2. Ein vollständiger großer Würfel der Größe \(3 \times 3 \times 3\) besteht aus: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Einheitswürfeln. 3. Um die Anzahl der fehlenden Würfel zu berechnen, subtrahieren wir die vorhandenen Würfel von der Gesamtanzahl: \(27 - 12 = 15\) Einheitswürfel.

a) Das Gebäude besteht aus \(12\) Einheitswürfeln. b) Es fehlen \(15\) Einheitswürfel.

- Wie viele Würfel hat der fertige Quader insgesamt? Berechne das Volumen. - Zähle zuerst, wie viele Würfel bereits da sind. - Überlege dir, wie viele leere Stellen im Raster noch gefüllt werden müssen.

1. Zuerst wird die Anzahl der bereits vorhandenen Würfel ermittelt: In den Ecken stehen \(4\) Türme aus jeweils \(2\) Würfeln und in der Mitte ein Turm aus \(2\) Würfeln. Das ergibt \(5 \cdot 2 = 10\) vorhandene Würfel. 2. Danach wird das Volumen des Zielquaders berechnet: \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\) Würfel. 3. Die Anzahl der fehlenden Würfel ist die Differenz: \(18 - 10 = 8\).

Es müssen noch \(8\) zusätzliche Würfel hinzugefügt werden.

- Überlege zuerst, wie viele Würfel insgesamt in die Box passen würden, wenn sie ganz voll wäre. - Zähle dann, wie viele Würfel das blaue Gebäude bereits hat. - Die Differenz zwischen der Gesamtanzahl und den vorhandenen Würfeln ist dein Ergebnis.

1. Gesamtanzahl der Würfel in einer vollen \(3 \times 3 \times 3\)-Box berechnen: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\). 2. Anzahl der bereits vorhandenen Würfel im Gebäude zählen: Es gibt vier Ecktürme der Höhe 3 (\(4 \cdot 3 = 12\)) und vier Kantenmitten der Höhe 1 (\(4 \cdot 1 = 4\)). In der Mitte steht kein Würfel. Summe: \(12 + 4 = 16\). 3. Anzahl der fehlenden Würfel berechnen: \(27 - 16 = 11\).

Es fehlen noch \(11\) Würfel.

- Wie viele Würfel hat das Gebäude im Moment? Zähle sie Reihe für Reihe. - Ein voller \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel hat in jedem Turm die Höhe \(3\). - Überlege, wie viele Würfel in den niedrigeren Türmen fehlen, um überall die Höhe \(3\) zu erreichen.

1. Anzahl der vorhandenen Würfel berechnen: - Vordere Reihe: \(3 + 1 + 3 = 7\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(3 + 2 + 3 = 8\) Würfel. - Hintere Reihe: \(3 + 3 + 3 = 9\) Würfel. - Gesamt vorhanden: \(7 + 8 + 9 = 24\) Würfel. 2. Fehlende Würfel berechnen: Zielgröße ist \(27\) Würfel. \(27 - 24 = 3\). 3. Ergebnis: Es fehlen \(3\) Würfel.

Es fehlen \(3\) Würfel.

- Du kannst die Würfel der unteren Schicht zählen und das Ergebnis dann verdoppeln. - Wie viele Würfel wären es, wenn der Block keine Lücke in der Mitte hätte? Wie viele Würfel fehlen in der Mitte?

1. Eine vollständige \(4 \times 4\)-Schicht enthält \(4 \cdot 4 = 16\) Würfel. 2. Die Randfelder einer solchen Schicht enthalten \(4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 12\) Würfel. 3. Der Rahmen ist \(2\) Würfel hoch. Daher wurden \(12 \cdot 2 = 24\) Würfel verwendet.

Es wurden \(24\) Würfel verwendet.

- Gehe systematisch vor und zähle für jedes Gebäude die Würfel in jedem Turm. - Notiere dir die Anzahl der Würfel pro Stapel und addiere sie dann.

1. Gebäude A: \(1 + (2 + 1) + (3 + 2 + 1) = 1 + 3 + 6 = 10\) Würfel. 2. Gebäude B: \((2 + 1) + (2 + 2 + 1) + (3 + 2 + 2) = 3 + 5 + 7 = 15\) Würfel. 3. Gebäude C: \((2 + 2) + (4 + 2 + 2) = 4 + 8 = 12\) Würfel. 4. Genau Gebäude B hat einen Rauminhalt von \(15\) Einheitswürfeln.

Gebäude B besteht aus \(15\) Einheitswürfeln.

- Wie viele Würfel passen insgesamt in den großen \(3 \times 3 \times 3\)-Kasten? - Zähle zuerst, wie viele Würfel das Gebäude bereits hat. - Die Differenz zwischen der Gesamtzahl und den vorhandenen Würfeln ist die Antwort.

1. Ein voller \(3 \times 3 \times 3\)-Kasten enthält \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Einheitswürfel. 2. Im Gebäude stehen vorne \(1\), in der mittleren Reihe \(2 + 1 = 3\) und hinten \(2 + 2 + 1 = 5\) Würfel. Insgesamt sind es \(1 + 3 + 5 = 9\) Würfel. 3. Es fehlen \(27 - 9 = 18\) Würfel.

Es fehlen noch \(18\) Würfel.

- Wie viele Würfel hat ein kompletter \(3 \times 3 \times 3\) Block insgesamt? - Zähle zuerst, wie viele Würfel bereits da sind. - Die Differenz zwischen der Gesamtzahl und den vorhandenen Würfeln ist dein Ergebnis.

1. Berechnung des Volumens des Zielwürfels: Ein Würfel mit der Kantenlänge \(3\) besteht aus \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Einheitswürfeln. 2. Zählen der vorhandenen Würfel im Gebäude: - Vordere Reihe: \(1 + 2 + 1 = 4\) - Mittlere Reihe: \(2 + 3 + 2 = 7\) - Hintere Reihe: \(1 + 2 + 1 = 4\) - Gesamt vorhanden: \(4 + 7 + 4 = 15\) Würfel. 3. Berechnung der Differenz: \(27 - 15 = 12\). Es müssen \(12\) Würfel hinzugefügt werden.

Es müssen noch \(12\) Einheitswürfel hinzugefügt werden.

- Gehe systematisch vor und notiere dir für jedes Feld die Anzahl der Würfel. - Addiere alle Zahlen in deinem Bauplan, um die Gesamtanzahl zu finden.

1. Der Bauplan enthält vorne die Höhen \((1, 1, 1)\), in der Mitte \((1, 0, 1)\) und hinten \((2, 2, 2)\). Im Plan wird die hintere Reihe oben und die vordere Reihe unten eingetragen. 2. Die Gesamtzahl beträgt \(1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 2 + 2 + 2 = 11\) Würfel.

a) Der Bauplan lautet: <table> <tr><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr> <tr><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr> <tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr> </table> b) Das Gebäude besteht aus \(11\) Würfeln.

- Zähle zuerst, wie viele Würfel bereits da sind. - Berechne, wie viele Würfel insgesamt in einen vollen Quader dieser Größe passen. - Die Differenz zeigt dir, wie viele Würfel fehlen.

1. Anzahl der vorhandenen Würfel: Vordere Reihe \(1\), mittlere Reihe \(2 + 1 = 3\), hintere Reihe \(3 + 1 = 4\). Insgesamt \(1 + 3 + 4 = 8\) Würfel. 2. Anzahl der Würfel im Zielquader: Ein Quader mit den Maßen \(3 \times 2 \times 3\) besteht aus \(3 \cdot 2 \cdot 3 = 18\) Würfeln. 3. Fehlende Würfel: \(18 - 8 = 10\) Würfel müssen hinzugefügt werden. 4. Volumen des fertigen Quaders: \(18 \cdot 1\,\text{cm}^3 = 18\,\text{cm}^3\).

a) Du musst \(10\) Würfel hinzufügen. b) Der fertige Quader hat ein Volumen von \(18\,\text{cm}^3\).

- Kannst du das Gebäude in Schichten zerlegen, die alle gleich hoch sind? - Wie viele Würfel sind in einer Grundschicht der Schachtel? - Denke daran, dass auch die versteckten Würfel unter den oberen mitgezählt werden müssen.

1. Die vier Stufen reichen jeweils \(4\) Würfel tief: - Stufe 1: \(4 \cdot 1 = 4\) Würfel. - Stufe 2: \(4 \cdot 2 = 8\) Würfel. - Stufe 3: \(4 \cdot 3 = 12\) Würfel. - Stufe 4: \(4 \cdot 4 = 16\) Würfel. Insgesamt sind es \(4 + 8 + 12 + 16 = 40\) Würfel. 2. In die \(4 \times 4 \times 4\)-Schachtel passen \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\) Würfel. 3. Es fehlen \(64 - 40 = 24\) Würfel.

1. Das Gebäude besteht aus \(40\) Würfeln. 2. In die Schachtel passen \(64\) Würfel. 3. Es müssen \(24\) Würfel hinzugefügt werden.

- Zähle zuerst die Würfel in den hohen Wänden. - Wie viele Würfel liegen im „Tal“ in der Mitte? - Subtrahiere die Anzahl der vorhandenen Würfel vom Gesamtvolumen der Schachtel.

1. Zwei Außenreihen mit je \(3 \times 3\) Würfeln enthalten \(2 \cdot 9 = 18\) Würfel. Die mittlere Reihe mit \(3 \times 1\) Würfeln enthält \(3\) Würfel. Insgesamt sind es \(18 + 3 = 21\) Würfel. 2. Die \(3 \times 3 \times 3\)-Schachtel fasst \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Würfel. 3. Daher fehlen \(27 - 21 = 6\) Würfel.

1. Es wurden \(21\) Würfel verwendet. 2. In die Schachtel passen \(27\) Würfel. 3. Es fehlen noch \(6\) Würfel.

- Schau dir die Form des Gebäudes von oben an. Welche Felder sind besetzt? - Wie viele Würfel stehen auf jedem besetzten Feld? - Berechne erst das Volumen der ganzen Schachtel und ziehe dann die vorhandenen Würfel ab.

1. Zählen der Würfelstapel: - Hinterste Reihe: \(3\) Stapel mit je \(2\) Würfeln = \(6\) Würfel. - Mittlere Reihe: Nur der mittlere Stapel hat \(2\) Würfel = \(2\) Würfel. - Vorderste Reihe: Nur der mittlere Stapel hat \(2\) Würfel = \(2\) Würfel. - Gesamtanzahl: \(6 + 2 + 2 = 10\) Würfel. 2. Die Schachtel hat eine Grundfläche von \(3 \times 3\) und eine Höhe von \(2\). Volumen: \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\) Würfel. 3. Fehlende Würfel: \(18 - 10 = 8\) Würfel.

1. Es sind insgesamt \(10\) Würfel. 2. In die leere Schachtel passen \(18\) Würfel. 3. Es fehlen noch \(8\) Würfel.

- Zähle zuerst, wie viele Würfel das Gebäude aktuell hat. Achte dabei auf die verschiedenen Höhen der Türme in den Ecken und in der Mitte. - Überlege dir, wie viele kleine Würfel insgesamt in einem großen, massiven Würfel mit der Kantenlänge von \(3\) Einheitswürfeln stecken. - Die Differenz zwischen der Zielanzahl und der aktuellen Anzahl ist das Ergebnis.

1. Die vier Ecktürme der Höhe \(2\) enthalten \(4 \cdot 2 = 8\) Würfel. Der mittlere Turm der Höhe \(3\) enthält \(3\) Würfel. Insgesamt sind \(8 + 3 = 11\) Würfel vorhanden. 2. Ein voller \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel enthält \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Würfel. 3. Es fehlen \(27 - 11 = 16\) Würfel.

Es müssen noch \(16\) Würfel hinzugefügt werden.

- Überlege zuerst, wie viele Würfel insgesamt in den Kasten passen würden, wenn er ganz voll wäre. - Zähle dann die Würfel, die schon im Kasten stehen. Achte dabei auf die verschiedenen Reihen. - Die Differenz zwischen der Gesamtkapazität und den vorhandenen Würfeln ist die Anzahl der fehlenden Würfel.

1. In den Kasten mit einer Grundfläche von \(3 \times 3\) Feldern und der Höhe \(2\) passen \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\) Würfel. 2. Vorhanden sind vorne \(1 + 0 + 1 = 2\), in der Mitte \(2 + 1 + 2 = 5\) und hinten \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel. Insgesamt sind es \(2 + 5 + 6 = 13\) Würfel. 3. Es fehlen \(18 - 13 = 5\) Würfel.

Es fehlen noch \(5\) Würfel.

- Bestimme zuerst, wie viele Würfel der fertige Quader insgesamt enthalten würde. Nutze dazu die Angaben für Breite, Tiefe und Höhe. - Zähle die Würfel, die bereits da sind. Du kannst sie Turm für Turm oder Reihe für Reihe zählen. - Überlege dir für jede Position im Raster, wie viele Würfel dort bis zur Zielhöhe von 2 noch fehlen. - Die Summe aller fehlenden Würfel ergibt die Lösung.

1. Der Zielquader enthält \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) Würfel. 2. Vorhandene Würfel: - Vordere Reihe: \(2 + 2 + 1 + 2 = 7\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(1 + 0 + 1 + 1 = 3\) Würfel. - Hintere Reihe: \(2 + 2 + 2 + 2 = 8\) Würfel. 3. Insgesamt sind \(7 + 3 + 8 = 18\) Würfel vorhanden. 4. Daher müssen \(24 - 18 = 6\) Würfel hinzugefügt werden.

Es müssen noch \(6\) Würfel hinzugefügt werden.

- Zähle die Würfel in jeder Reihe einzeln zusammen, um die Gesamtzahl der vorhandenen Würfel zu finden. - Wie viele kleine Würfel stecken in einem großen Würfel, der \(4\) Würfel breit, \(4\) Würfel tief und \(4\) Würfel hoch ist? - Wenn du weißt, wie viele Würfel das fertige Kunstwerk haben soll und wie viele schon da sind, kannst du die fehlende Menge berechnen.

1. Der Rand einer \(4 \times 4\)-Grundplatte hat \(12\) Felder. Auf elf Feldern steht je ein Würfel; in einer Ecke steht ein Turm aus \(4\) Würfeln. Vorhanden sind daher \(11 + 4 = 15\) Würfel. 2. Ein voller \(4 \times 4 \times 4\)-Würfel enthält \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\) Würfel. 3. Es fehlen \(64 - 15 = 49\) Würfel.

Es werden insgesamt \(49\) zusätzliche Einheitswürfel benötigt.

- Ein voller \(3 \times 3 \times 3\)-Würfel enthält \(27\) Einheitswürfel. - Addiere alle Zahlen im Bauplan. - Berechne die Differenz.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Würfel im vollen \(3 \times 3 \times 3\) Block: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) Würfel. 2. Zählen der vorhandenen Würfel im Gebäude anhand des Schichtmodells oder der Reihen: - Vorderste Reihe: \(1 + 1 + 1 = 3\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel. - Hinterste Reihe: \(3 + 1 + 3 = 7\) Würfel. - Gesamtzahl vorhandener Würfel: \(3 + 6 + 7 = 16\). 3. Berechnung der fehlenden Würfel: \(27 - 16 = 11\).

Es fehlen noch \(11\) Würfel.

- Wie viele kleine Würfel passen insgesamt in den großen Rahmen, wenn er komplett ausgefüllt wäre? - Versuche, die vorhandene Figur in waagerechte Schichten zu unterteilen und die Würfel pro Schicht zu zählen. - Schau dir die unterste Ebene genau an: Wie viele Würfel bilden die Grundfläche der Treppe? - Fällt dir ein Muster in der Anzahl der Würfel auf, wenn du von einer Ebene zur nächsten gehst? - Wenn du weißt, wie viele Würfel da sind und wie viele insgesamt hineinpassen, wie berechnest du dann den Rest?

1. Ein vollständiger \(4 \times 4 \times 4\)-Würfel enthält \(4^3 = 64\) Einheitswürfel. 2. Schichtweise gezählt enthält das Gebäude von oben nach unten \(1\), \(3\), \(6\) und \(10\) Würfel. Insgesamt sind es \(1 + 3 + 6 + 10 = 20\) Würfel. 3. Daher fehlen \(64 - 20 = 44\) Würfel. Alternative Turmzählung: Es gibt einen Turm der Höhe \(4\), zwei Türme der Höhe \(3\), drei Türme der Höhe \(2\) und vier Türme der Höhe \(1\). Also sind \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 20\) Würfel vorhanden.

\(44\) Einheitswürfel