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Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Kombinatorik mit Darstellungen

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5520544
Für ein Pausenbrot wird genau eine Brotsorte mit genau einem Belag kombiniert. Die Tabelle zeigt die notierten Möglichkeiten. <table><tr><th></th><th>Käse</th><th>Gurke</th></tr><tr><th>Vollkorn</th><td>Vollkorn + Käse</td><td>Vollkorn + Gurke</td></tr><tr><th>Roggen</th><td>Roggen + Käse</td><td>Roggen + Gurke</td></tr></table> Ist die Kombinationstabelle vollständig? Begründe kurz und nenne die Anzahl der verschiedenen Kombinationen.

Denkanstöße

- Prüfe jede Brotsorte einzeln. - Kommen in jeder Zeile alle angebotenen Beläge genau einmal vor? - Zähle nur die inneren Felder mit vollständigen Kombinationen.

Lösung

1. In der Zeile „Vollkorn“ kommen beide Beläge genau einmal vor. 2. Auch in der Zeile „Roggen“ kommen beide Beläge genau einmal vor. 3. Damit ist jede Brotsorte mit jedem Belag genau einmal kombiniert; die Tabelle ist vollständig. 4. Die vier inneren Tabellenfelder stehen für \(4\) verschiedene Kombinationen.

Antwort

Ja. Jede der beiden Brotsorten ist mit jedem der beiden Beläge genau einmal kombiniert. Es gibt \(4\) verschiedene Kombinationen.
5520554
Mia, Ben, Lea und Tom wollen Zweierteams bilden. In einem Team spielt die Reihenfolge keine Rolle: Mia–Ben ist dasselbe Team wie Ben–Mia. Diese fünf verschiedenen Teams stehen schon auf der Liste: - Mia–Ben - Lea–Tom - Ben–Tom - Mia–Lea - Mia–Tom Welches Team fehlt? Erkläre kurz, wie du geprüft hast, dass danach jedes mögliche Zweierteam genau einmal auf der Liste steht.

Denkanstöße

- Prüfe ein Kind nach dem anderen: Mit wem bildet es schon ein Team? - Die umgekehrte Reihenfolge zählt nicht als neues Team. - Am Ende soll jedes Kind mit jedem anderen genau einmal verbunden sein.

Lösung

1. Mia ist bereits mit Ben, Lea und Tom verbunden. Mit Mia fehlt also kein Team mehr. 2. Ben ist schon mit Mia und Tom verbunden. Mit Lea fehlt noch das Team Ben–Lea. 3. Lea–Tom steht bereits auf der Liste. Damit ist nach dem Ergänzen von Ben–Lea jedes Kind mit jedem anderen genau einmal verbunden.

Antwort

Es fehlt Ben–Lea. Danach kommt jedes mögliche Zweierteam genau einmal vor.
5523574
Juna wählt zuerst ein rotes oder blaues Shirt und danach eine kurze oder lange Hose. Im Baumdiagramm fehlt am Ende eines Weges die Bezeichnung. a) Welche Kombination fehlt? b) Nenne alle vier Kombinationen im Baumdiagramm.
Abbildung zur Aufgabe 552357

Denkanstöße

- Lies jeden Weg vom Start bis zum Ende. - Zu jeder Shirtfarbe müssen eine kurze und eine lange Hose vorkommen. - Prüfe, ob am Ende alle vier Möglichkeiten genannt sind.

Lösung

1. Zum roten Shirt gibt es eine kurze und eine lange Hose. 2. Zum blauen Shirt gibt es ebenfalls beide Möglichkeiten. Beim Weg Blau–lang fehlt nur die Bezeichnung am Ende. 3. Es fehlt „Blau/lang“. Die vier Kombinationen sind Rot/kurz, Rot/lang, Blau/kurz und Blau/lang.

Antwort

a) Es fehlt „Blau/lang“. b) Rot/kurz, Rot/lang, Blau/kurz, Blau/lang.
4157714
In einer Saftbar gibt es vier verschiedene Obstsorten: Apfel, Banane, Kirsche und Orange. Ein „Mix-Saft“ besteht immer aus genau zwei verschiedenen Sorten. Wie viele verschiedene Mix-Säfte kann man zusammenstellen? Schreibe alle Möglichkeiten auf.

Denkanstöße

- Beginne mit einer Obstsorte und kombiniere sie systematisch mit allen anderen. - Wechsle danach zur nächsten Sorte und vermeide Kombinationen, die du schon notiert hast. - Überlege, ob Apfel-Banane und Banane-Apfel hier zwei verschiedene Säfte oder dieselbe Mischung sind.

Lösung

1. Verwende der Reihe nach jede Obstsorte als Ausgangspunkt und ergänze nur Sorten, die noch nicht mit ihr aufgelistet wurden. 2. Mit Apfel entstehen Apfel-Banane, Apfel-Kirsche und Apfel-Orange, also \(3\) Möglichkeiten. 3. Mit Banane kommen noch Banane-Kirsche und Banane-Orange hinzu, also \(2\) neue Möglichkeiten. 4. Mit Kirsche bleibt noch Kirsche-Orange, also \(1\) neue Möglichkeit. 5. Insgesamt gibt es \(3 + 2 + 1 = 6\) verschiedene Mix-Säfte.

Antwort

Es gibt \(6\) verschiedene Mix-Säfte: Apfel-Banane, Apfel-Kirsche, Apfel-Orange, Banane-Kirsche, Banane-Orange und Kirsche-Orange.
4157724
Die Fußballteams Falken, Löwen, Wölfe und Adler spielen in einer kleinen Liga. Jedes Team spielt gegen jedes andere genau zweimal: einmal zu Hause und einmal auswärts. Schreibe zuerst alle verschiedenen Teampaare auf. Bestimme damit, wie viele Spiele insgesamt stattfinden.

Denkanstöße

- Schreibe jedes Teampaar nur einmal auf. - Prüfe, ob jedes Team mit jedem anderen genau einmal als Paar vorkommt. - Berücksichtige danach, dass zu jedem Paar zwei Spiele gehören.

Lösung

1. Die verschiedenen Teampaare sind Falken–Löwen, Falken–Wölfe, Falken–Adler, Löwen–Wölfe, Löwen–Adler und Wölfe–Adler. 2. Das sind \(6\) verschiedene Paare. 3. Zu jedem Paar gehören zwei Spiele, weil jedes Team einmal Heimteam ist. 4. Insgesamt finden \(6 \cdot 2 = 12\) Spiele statt.

Antwort

Es gibt \(6\) verschiedene Teampaare. Zu jedem Paar gehören \(2\) Spiele, also finden insgesamt \(12\) Spiele statt.
4171154
Lena stellt sich einen Eisbecher zusammen. Sie wählt genau eine Sorte Eis und genau eine Zutat aus. Eissorten: Schokolade, Vanille, Erdbeere Zutaten: Sahne, Streusel, Schokosoße Erstelle eine Kombinationstabelle, in der jede Eissorte mit jeder Zutat genau einmal vorkommt. Wie viele verschiedene Eisbecher zeigt die vollständige Tabelle?

Denkanstöße

- Verwende die Eissorten als Zeilen und die Zutaten als Spalten. - In jedes innere Feld gehört genau die Kombination aus seiner Zeile und seiner Spalte. - Kontrolliere, ob jede Eissorte mit jeder Zutat genau einmal vorkommt.

Lösung

1. Die drei Eissorten bilden die Zeilen und die drei Zutaten die Spalten der Kombinationstabelle. 2. Jedes innere Tabellenfeld enthält genau die Kombination aus seiner Zeile und seiner Spalte. 3. So entstehen \(3 \cdot 3 = 9\) verschiedene Kombinationen.

Antwort

<table><tr><th>Eissorte</th><th>Sahne</th><th>Streusel</th><th>Schokosoße</th></tr><tr><td>Schokolade</td><td>Schokolade + Sahne</td><td>Schokolade + Streusel</td><td>Schokolade + Schokosoße</td></tr><tr><td>Vanille</td><td>Vanille + Sahne</td><td>Vanille + Streusel</td><td>Vanille + Schokosoße</td></tr><tr><td>Erdbeere</td><td>Erdbeere + Sahne</td><td>Erdbeere + Streusel</td><td>Erdbeere + Schokosoße</td></tr></table> Die vollständige Tabelle zeigt \(9\) verschiedene Eisbecher.
4374394
Das Punktefeld zeigt alle Kombinationen von T-Shirt-Farben und Hosenfarben. Jede Zeile steht für eine T-Shirt-Farbe, jede Spalte für eine Hosenfarbe, und jeder Punkt steht für genau eine Kombination. a) Wie viele T-Shirt-Farben und wie viele Hosenfarben sind im Punktefeld dargestellt? Wie viele Kombinationen sind das? b) Es kommen zwei weitere T-Shirt-Farben hinzu, die Zahl der Hosenfarben bleibt gleich. Wie viele Kombinationen gibt es dann?
Abbildung zur Aufgabe 437439

Denkanstöße

- Zähle im Punktefeld getrennt die Zeilen und die Spalten. - Eine Zeile enthält alle Hosen-Kombinationen zu genau einer T-Shirt-Farbe. - Nach der Erweiterung ändert sich nur die Zahl der Zeilen, nicht die Zahl der Spalten.

Lösung

1. Das Punktefeld hat \(4\) Zeilen und \(3\) Spalten. Es sind also \(4\) T-Shirt-Farben und \(3\) Hosenfarben dargestellt. 2. Jede Zeile enthält \(3\) Kombinationen. Insgesamt sind es \(4 \cdot 3 = 12\). 3. Mit zwei zusätzlichen T-Shirt-Farben gibt es \(6\) Zeilen bei weiterhin \(3\) Spalten. 4. Dann entstehen \(6 \cdot 3 = 18\) Kombinationen.

Antwort

a) \(4\) T-Shirt-Farben, \(3\) Hosenfarben und \(12\) Kombinationen. b) Danach gibt es \(18\) Kombinationen.
5520564
Für einen zweistelligen Buchstabencode werden zwei verschiedene Karten aus A, B und C nacheinander gelegt. Die Reihenfolge zählt. Das Baumdiagramm zeigt alle erlaubten Wege. Lies aus jedem vollständigen Weg einen Code ab. a) Schreibe alle möglichen Codes auf. b) Wie viele verschiedene Codes gibt es? c) Erkläre anhand des Baumdiagramms, warum AB und BA als zwei verschiedene Möglichkeiten vorkommen.
Abbildung zur Aufgabe 552056

Denkanstöße

- Verfolge jeden Weg vom Start bis zu einem Endknoten. - Lies die beiden Buchstaben eines Weges in der Reihenfolge der beiden Stufen. - Prüfe, ob du von jedem ersten Buchstaben aus alle erlaubten zweiten Buchstaben erfasst hast.

Lösung

1. Jeder vollständige Weg beginnt bei „Start“, führt zu einem ersten Buchstaben und danach zu einem anderen zweiten Buchstaben. 2. Vom Ast A entstehen AB und AC, vom Ast B entstehen BA und BC, vom Ast C entstehen CA und CB. 3. Damit gibt es \(6\) verschiedene Codes. 4. AB und BA liegen auf zwei verschiedenen Wegen: Bei AB wird zuerst A und danach B gewählt, bei BA zuerst B und danach A. Die Reihenfolge unterscheidet die Codes.

Antwort

a) AB, AC, BA, BC, CA, CB b) \(6\) Codes c) AB und BA gehören zu verschiedenen Wegen im Baumdiagramm, weil der erste und der zweite Buchstabe vertauscht sind.
5520574
Es gibt vier Teesorten: Pfefferminze, Früchtetee, Kamille und Rooibos. Dazu gibt es fünf Sirupe: Apfel, Zitrone, Himbeere, Holunder und Pfirsich. Eine Kombinationstabelle soll jede Mischung aus genau einer Teesorte und genau einem Sirup genau einmal zeigen. a) Welche vier Zeilenüberschriften und welche fünf Spaltenüberschriften braucht die Tabelle? b) Welche fünf Mischungen stehen in der Zeile „Kamille“? c) Wie viele verschiedene Mischungen enthält die vollständige Tabelle?

Denkanstöße

- Eine Tabellenrichtung steht für die Teesorten, die andere für die Sirupe. - In einer Teezeile muss diese Teesorte mit jedem Sirup genau einmal vorkommen. - Prüfe zum Schluss, ob jede Teesorte mit allen fünf Sirupsorten verbunden ist.

Lösung

1. Die Zeilen stehen für die vier Teesorten: Pfefferminze, Früchtetee, Kamille und Rooibos. Die Spalten stehen für die fünf Sirupe: Apfel, Zitrone, Himbeere, Holunder und Pfirsich. 2. In der Zeile „Kamille“ wird Kamille mit jedem Sirup genau einmal verbunden: Kamille–Apfel, Kamille–Zitrone, Kamille–Himbeere, Kamille–Holunder und Kamille–Pfirsich. 3. Jede der \(4\) Teesorten wird mit jeder der \(5\) Sirupsorten kombiniert. Daher gibt es \(4 \cdot 5 = 20\) verschiedene Mischungen.

Antwort

a) Zeilen: Pfefferminze, Früchtetee, Kamille, Rooibos. Spalten: Apfel, Zitrone, Himbeere, Holunder, Pfirsich. b) Kamille–Apfel, Kamille–Zitrone, Kamille–Himbeere, Kamille–Holunder, Kamille–Pfirsich. c) Es gibt \(20\) verschiedene Mischungen.
5523584
Für einen Pausensnack kann man ein Getränk und einen Snack wählen. Es gibt Wasser oder Saft sowie Apfel, Brezel oder Keks. Die Kombinationstabelle ist noch unvollständig. Ergänze alle Fragezeichen. <table><tr><th></th><th>Apfel</th><th>Brezel</th><th>Keks</th></tr><tr><th>Wasser</th><td>Wasser + Apfel</td><td>?</td><td>Wasser + Keks</td></tr><tr><th>Saft</th><td>?</td><td>Saft + Brezel</td><td>?</td></tr></table>

Denkanstöße

- Lies die Überschrift der Zeile und die Überschrift der Spalte für jedes leere Feld zusammen. - Prüfe nach dem Ergänzen jede Zeile von links nach rechts. - Am Ende soll jede Getränkewahl mit jeder Snackwahl genau einmal vorkommen.

Lösung

1. Jede Tabellenzeile steht für ein Getränk, jede Spalte für einen Snack. 2. Im Feld Wasser/Brezel fehlt „Wasser + Brezel“. 3. In der Saft-Zeile fehlen bei Apfel und Keks die Kombinationen „Saft + Apfel“ und „Saft + Keks“. 4. Die vollständige Tabelle enthält \(2 \cdot 3 = 6\) verschiedene Kombinationen.

Antwort

<table><tr><th></th><th>Apfel</th><th>Brezel</th><th>Keks</th></tr><tr><th>Wasser</th><td>Wasser + Apfel</td><td>Wasser + Brezel</td><td>Wasser + Keks</td></tr><tr><th>Saft</th><td>Saft + Apfel</td><td>Saft + Brezel</td><td>Saft + Keks</td></tr></table> Insgesamt gibt es \(6\) Kombinationen.
5523614
Die beiden Baumdiagramme zeigen zweistellige Codes aus den Zeichen A und B. In Diagramm a) darf ein Zeichen nicht wiederholt werden, in Diagramm b) ist Wiederholung erlaubt. a) Wie viele Codes zeigt jedes Diagramm? b) Welche Codes kommen nur hinzu, weil in Diagramm b) Wiederholung erlaubt ist?
Abbildung zur Aufgabe 552361

Denkanstöße

- Lies jeden vollständigen Pfad als einen Code mit erster und zweiter Stelle. - Vergleiche, welche zweiten Äste nach demselben ersten Zeichen in den beiden Diagrammen vorhanden sind. - Suche für b) genau die Codes, in denen dasselbe Zeichen zweimal vorkommt.

Lösung

1. In Diagramm a) kann nach A nur B und nach B nur A folgen. Die Codes sind AB und BA, also \(2\) Codes. 2. In Diagramm b) kann nach jedem ersten Zeichen sowohl A als auch B folgen. Die Codes sind AA, AB, BA und BB, also \(4\) Codes. 3. Neu durch die erlaubte Wiederholung sind AA und BB.

Antwort

a) Diagramm a) zeigt \(2\) Codes, Diagramm b) zeigt \(4\) Codes. b) Nur durch die erlaubte Wiederholung kommen AA und BB hinzu.
5539854
Aus zwei T-Shirt-Farben Rot und Blau und drei Kappenfarben Schwarz, Weiß und Grau soll jeweils genau eine Kombination gebildet werden. Jemand notiert diese Liste: Rot + Schwarz, Rot + Weiß, Rot + Grau, Blau + Schwarz, Blau + Weiß, Blau + Weiß. a) Welche Kombination steht doppelt in der Liste? b) Welche mögliche Kombination fehlt? c) Gib die korrigierte vollständige Liste an und erkläre kurz, wie du ihre Vollständigkeit systematisch prüfst.

Denkanstöße

- Ordne die Einträge zuerst nach der T-Shirt-Farbe. - Prüfe innerhalb jeder dieser Gruppen, ob jede erlaubte Kappenfarbe genau einmal vorkommt. - Eine vollständige systematische Liste darf weder einen Eintrag doppelt enthalten noch eine erlaubte Kombination auslassen.

Lösung

1. „Blau + Weiß“ kommt zweimal vor. 2. Zur T-Shirt-Farbe Blau müssen die drei Kappenfarben Schwarz, Weiß und Grau jeweils einmal erscheinen; „Blau + Grau“ fehlt. 3. Die vollständige Liste lautet Rot + Schwarz, Rot + Weiß, Rot + Grau, Blau + Schwarz, Blau + Weiß, Blau + Grau. 4. Die Liste ist systematisch vollständig, weil zu jeder der beiden T-Shirt-Farben jede der drei Kappenfarben genau einmal vorkommt.

Antwort

a) Doppelt steht „Blau + Weiß“. b) Es fehlt „Blau + Grau“. c) Rot + Schwarz, Rot + Weiß, Rot + Grau, Blau + Schwarz, Blau + Weiß, Blau + Grau. Vollständig ist die Liste, wenn zu jeder T-Shirt-Farbe jede Kappenfarbe genau einmal vorkommt.
4157574
Anna, Ben, Cora, David und Eda veranstalten ein kleines Tennisturnier. Jedes Kind spielt gegen jedes andere genau einmal. a) Schreibe alle Paarungen geordnet auf und bestimme, wie viele Spiele stattfinden. b) Kurz vor dem Start kommen Finn und Gina dazu. Ergänze nur die neuen Paarungen. Wie viele zusätzliche Spiele gibt es?

Denkanstöße

- Beginne mit Anna und notiere alle Kinder, gegen die sie spielt. - Gehe danach Kind für Kind weiter und schreibe keine Paarung doppelt auf. - Bei Finn und Gina brauchst du nur die Paarungen, die vorher noch nicht möglich waren.

Lösung

1. Die Paarungen der ersten fünf Kinder sind: Anna–Ben, Anna–Cora, Anna–David, Anna–Eda, Ben–Cora, Ben–David, Ben–Eda, Cora–David, Cora–Eda und David–Eda. Das sind \(10\) Spiele. 2. Mit Finn kommen Anna–Finn, Ben–Finn, Cora–Finn, David–Finn und Eda–Finn hinzu: \(5\) Spiele. 3. Mit Gina kommen Anna–Gina, Ben–Gina, Cora–Gina, David–Gina, Eda–Gina und Finn–Gina hinzu: \(6\) Spiele. 4. Insgesamt kommen \(5 + 6 = 11\) Spiele dazu.

Antwort

a) Anna–Ben, Anna–Cora, Anna–David, Anna–Eda, Ben–Cora, Ben–David, Ben–Eda, Cora–David, Cora–Eda, David–Eda; insgesamt \(10\) Spiele. b) Neu sind Anna–Finn, Ben–Finn, Cora–Finn, David–Finn, Eda–Finn, Anna–Gina, Ben–Gina, Cora–Gina, David–Gina, Eda–Gina und Finn–Gina; insgesamt \(11\) zusätzliche Spiele.
4167544
Verwende die Ziffernkarten \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\). Bilde daraus zwei zweistellige Zahlen und schreibe sie als Multiplikationsaufgabe. Jede Ziffernkarte darf genau einmal verwendet werden. Tauschaufgaben gelten als dieselbe Möglichkeit. a) Finde alle verschiedenen Aufgaben, bei denen die \(1\) an der Zehnerstelle einer der beiden Faktoren steht. Rechne die Produkte nicht aus. b) Erkläre, woran du erkennst, dass keine Möglichkeit fehlt und keine doppelt gezählt wurde.

Denkanstöße

- Lege fest, an welcher Stelle du den Faktor mit der Zehnerziffer \(1\) immer notierst, damit Tauschaufgaben nicht doppelt vorkommen. - Gehe die möglichen Einerziffern dieses Faktors in einer festen Reihenfolge durch. - Prüfe bei jeder Wahl, auf welche Arten sich die beiden noch übrigen Ziffern anordnen lassen. - Kontrolliere am Ende, ob jede Ziffernkarte in jeder Aufgabe genau einmal vorkommt.

Lösung

1. Schreibe bei jeder Möglichkeit zuerst den Faktor auf, dessen Zehnerziffer \(1\) ist. So werden Tauschaufgaben nicht doppelt gezählt. 2. Für die Einerstelle dieses Faktors kommen nacheinander \(2\), \(3\) und \(4\) infrage. 3. Die beiden übrigen Ziffern können im zweiten Faktor jeweils in zwei verschiedenen Reihenfolgen stehen. So erhält man \(12 \cdot 34\), \(12 \cdot 43\), \(13 \cdot 24\), \(13 \cdot 42\), \(14 \cdot 23\) und \(14 \cdot 32\). 4. Zu jeder der drei möglichen Einerziffern beim ersten Faktor gehören genau zwei Anordnungen der übrigen Ziffern. Damit sind alle \(3 \cdot 2 = 6\) Möglichkeiten erfasst.

Antwort

a) \(12 \cdot 34\), \(12 \cdot 43\), \(13 \cdot 24\), \(13 \cdot 42\), \(14 \cdot 23\), \(14 \cdot 32\); insgesamt \(6\) Aufgaben. b) Die Einerziffer beim Faktor mit der Zehnerziffer \(1\) wird systematisch gewählt. Die beiden übrigen Ziffern werden jeweils in beiden Reihenfolgen angeordnet. Weil dieser Faktor immer zuerst notiert wird, werden Tauschaufgaben nicht doppelt gezählt.
5520584
Für ein kleines Pausenmenü wählst du genau eine Brotsorte, genau eine Füllung und genau ein Getränk. Brotsorten: Pita, Wrap Füllungen: Käse, Falafel, Gemüse Getränke: Wasser, Saft Die Tabelle zeigt zuerst nur die Möglichkeiten aus Brotsorte und Füllung: <table><tr><th>Brotsorte</th><th>Füllung</th></tr><tr><td>Pita</td><td>Käse</td></tr><tr><td>Pita</td><td>Falafel</td></tr><tr><td>Pita</td><td>Gemüse</td></tr><tr><td>Wrap</td><td>Käse</td></tr><tr><td>Wrap</td><td>Falafel</td></tr><tr><td>Wrap</td><td>Gemüse</td></tr></table> Wie viele vollständige Menüs gibt es, wenn zu jeder Tabellenzeile noch eines der beiden Getränke gewählt werden kann? Erkläre, wie dir die Tabelle beim Zählen hilft.

Denkanstöße

- Zähle zuerst, wie viele verschiedene Kombinationen die Tabelle bereits enthält. - Überlege dann, wie viele vollständige Menüs aus genau einer Tabellenzeile entstehen können. - Dieselbe Erweiterung gilt für jede Zeile der Tabelle.

Lösung

1. Die Tabelle enthält \(6\) verschiedene Kombinationen aus Brotsorte und Füllung. 2. Zu jeder dieser \(6\) Kombinationen gibt es \(2\) Getränkemöglichkeiten. 3. Damit entstehen \(6 \cdot 2 = 12\) vollständige Menüs. 4. Die Tabelle sorgt dafür, dass jede Kombination der ersten beiden Auswahlstufen genau einmal berücksichtigt wird.

Antwort

Es gibt \(12\) vollständige Menüs. Die \(6\) Tabellenzeilen werden jeweils mit \(2\) Getränkemöglichkeiten kombiniert.
5523594
Das Baumdiagramm zeigt alle Kombinationen aus einer Eissorte und einer Zutat. Übertrage dieselben Möglichkeiten in eine Kombinationstabelle: Die Eissorten sollen die Zeilen bilden, die Zutaten die Spalten. Zeige damit, dass keine Kombination fehlt.
Abbildung zur Aufgabe 552359

Denkanstöße

- Überlege, was im Baum zuerst und was danach ausgewählt wird. - Verwende eine Auswahl für die Zeilen und die andere für die Spalten. - Kontrolliere am Ende, ob zu jedem vollständigen Weg im Baum genau ein Tabellenfeld gehört.

Lösung

1. Im Baum stehen zuerst die Eissorten Vanille und Erdbeere. 2. Zu jeder Eissorte gibt es die drei Zutaten Streusel, Soße und Obst. 3. Die Kombinationstabelle hat zwei Zeilen für die Eissorten und drei Spalten für die Zutaten. 4. Jedes Tabellenfeld entspricht genau einem vollständigen Weg im Baum. So entstehen \(2 \cdot 3 = 6\) Kombinationen.

Antwort

<table><tr><th></th><th>Streusel</th><th>Soße</th><th>Obst</th></tr><tr><th>Vanille</th><td>Vanille + Streusel</td><td>Vanille + Soße</td><td>Vanille + Obst</td></tr><tr><th>Erdbeere</th><td>Erdbeere + Streusel</td><td>Erdbeere + Soße</td><td>Erdbeere + Obst</td></tr></table> Die \(6\) Tabellenfelder entsprechen den \(6\) vollständigen Wegen im Baumdiagramm.
5523604
Ada, Ben und Cem betrachten zwei Situationen. a) Für ein Zweierteam ist nur wichtig, welche zwei Kinder zusammengehören. Liste alle verschiedenen Zweierteams auf. b) Für zwei Sitzplätze „links“ und „rechts“ ist zusätzlich wichtig, wer wo sitzt. Liste alle verschiedenen Sitzordnungen mit zwei der drei Kinder auf. c) Erkläre, warum es bei b) mehr Möglichkeiten gibt als bei a).

Denkanstöße

- Prüfe in jeder Situation, ob Vertauschen zweier ausgewählter Kinder etwas Neues erzeugt. - Schreibe die Möglichkeiten in einer festen Reihenfolge auf, damit keine Paarung fehlt. - Vergleiche am Ende ein konkretes Paar in beiden Situationen: Ist die vertauschte Reihenfolge dort dieselbe oder eine neue Möglichkeit?

Lösung

1. Bei einem Zweierteam zählt Ada–Ben genauso wie Ben–Ada. Die verschiedenen Teams sind Ada/Ben, Ada/Cem und Ben/Cem. Das sind \(3\) Teams. 2. Bei den Sitzplätzen unterscheiden sich links und rechts. Zu jedem ausgewählten Paar gehören daher zwei Sitzordnungen. 3. Die Sitzordnungen sind Ada–Ben, Ben–Ada, Ada–Cem, Cem–Ada, Ben–Cem und Cem–Ben. Das sind \(6\) Anordnungen. 4. Der Unterschied entsteht, weil die Reihenfolge beim Team keine neue Möglichkeit erzeugt, bei den bezeichneten Sitzplätzen aber schon.

Antwort

a) Ada/Ben, Ada/Cem, Ben/Cem; insgesamt \(3\) Zweierteams. b) Ada–Ben, Ben–Ada, Ada–Cem, Cem–Ada, Ben–Cem, Cem–Ben; insgesamt \(6\) Sitzordnungen. c) Beim Team spielt die Reihenfolge keine Rolle. Bei den Sitzplätzen sind links und rechts verschieden, deshalb ergeben vertauschte Kinder eine neue Sitzordnung.
5523624
Ein dreistelliger Code wird so gebildet: An der ersten Stelle steht A oder B, an der zweiten Stelle \(1\) oder \(2\), an der dritten Stelle X oder Y. Zusätzlich gelten zwei Regeln: - Nach A2 darf nur X folgen. - Nach B1 darf nur Y folgen. Das Baumdiagramm ist unvollständig. Welche erlaubten Zweige fehlen, und welcher Code steht jeweils am Ende? Nenne danach alle gültigen Codes und erkläre, warum A2Y und B1X nicht vorkommen dürfen.
Abbildung zur Aufgabe 552362

Denkanstöße

- Prüfe A1, A2, B1 und B2 einzeln mit den beiden Regeln. - Ergänze nur Zweige, die nach den Regeln erlaubt sind. - Liste am Ende jeden vollständigen erlaubten Weg genau einmal auf.

Lösung

1. Unter A1 sind X und Y schon vollständig dargestellt. Nach A2 darf nur X folgen. Es fehlt also A2–X mit dem Code A2X. 2. Nach B1 ist nur Y erlaubt; dieser Zweig ist bereits eingezeichnet. 3. Nach B2 sind X und Y erlaubt. B2X ist schon vorhanden, also fehlt B2–Y mit dem Code B2Y. 4. Gültig sind A1X, A1Y, A2X, B1Y, B2X und B2Y. 5. A2Y widerspricht der ersten Regel, B1X der zweiten. Insgesamt gibt es \(6\) gültige Codes.

Antwort

Es fehlen A2–X mit dem Code A2X und B2–Y mit dem Code B2Y. Gültige Codes: A1X, A1Y, A2X, B1Y, B2X, B2Y; insgesamt \(6\). A2Y ist verboten, weil nach A2 nur X folgen darf. B1X ist verboten, weil nach B1 nur Y folgen darf.

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