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- Was passiert mit den Stellen der Zahl, wenn du genau eins abziehst? - Überlege dir zuerst, wie der erste Nachfolger heißt, und gehe dann einen Schritt weiter. - Erinnere dich an die Stellenwerttafel und was beim Übergang von sechs auf sieben Stellen passiert.

1. Berechnung des Vorgängers durch Subtraktion von \(1\): \(1\,000\,000 - 1 = 999\,999\). 2. Berechnung des Nachfolgers durch Addition von \(1\): \(1\,000\,000 + 1 = 1\,000\,001\). 3. Berechnung des Nachfolgers dieses Ergebnisses: \(1\,000\,001 + 1 = 1\,000\,002\).

a) \(999\,999\) b) \(1\,000\,002\)

- Wenn du den Vorgänger kennst, wie kommst du dann zur eigentlichen Zahl zurück? - Wie viele Einer musst du zum Vorgänger addieren, um zum Nachfolger zu gelangen? - Achte besonders auf die Zehner-, Hunderter- und Tausenderübergänge beim Rechnen.

1. Bestimmung der Zahl \(n\) durch Addition von \(1\) zum Vorgänger: \(789\,999 + 1 = 790\,000\). 2. Bestimmung des Nachfolgers von \(n\) durch Addition von \(1\) zu \(n\): \(790\,000 + 1 = 790\,001\).

Die Zahl \(n\) ist \(790\,000\), ihr Nachfolger ist \(790\,001\).

- Überlege dir, was passiert, wenn du zu einer sehr großen Zahl die Zahl \(1\) addierst. - Gibt es eine Zahl, zu der man keine \(1\) mehr addieren darf? - Was bedeutet es für eine Liste von Zahlen, wenn sie niemals aufhört?

1. Sarah hat recht. 2. In der Menge der natürlichen Zahlen gilt das Prinzip des Nachfolgers: Zu jeder beliebigen natürlichen Zahl \(n\) lässt sich durch die Rechnung \(n + 1\) eine weitere, größere natürliche Zahl finden. 3. Da dieser Vorgang unendlich oft wiederholt werden kann, gibt es keine Zahl, die als „größte“ Zahl bezeichnet werden kann.

Sarah hat recht. Es gibt keine größte natürliche Zahl, da man zu jeder Zahl \(n\) immer ihren Nachfolger \(n + 1\) bilden kann, der wiederum größer ist.

- Denk an die Zahlenreihe: \(0, 1, 2, 3, \dots\) – was bedeuten die drei Punkte am Ende? - Gibt es in der Reihe der natürlichen Zahlen einen Punkt, an dem man nicht mehr weiterzählen kann?

1. Zu Teil a): Der Computer kann niemals fertig werden. Der Grund ist, dass die Menge der natürlichen Zahlen kein Ende hat. Zu jeder Zahl, die der Computer schreibt, existiert eine noch größere Zahl (der Nachfolger). 2. Zu Teil b): Diese Eigenschaft nennt man „Unendlichkeit“ oder man sagt, die Menge der natürlichen Zahlen ist „unendlich“.

a) Nein, der Computer wird nie fertig, da es zu jeder Zahl einen Nachfolger gibt und die Zahlenfolge somit kein Ende hat. b) Man nennt diese Eigenschaft Unendlichkeit.

- Überlege dir, wie viele Stellen eine Milliarde oder eine Billion hat. - Es hilft, eine Stellenwerttafel im Kopf durchzugehen: Einer, Tausender, Millionen, Milliarden, Billionen. - Achte besonders auf die Stellen, die im Text nicht genannt werden – dort musst du Nullen setzen.

1. Für Teilaufgabe a) werden die Einheiten Milliarden (\(203\)), Millionen (\(015\)), Tausender (\(400\)) und Einer (\(007\)) identifiziert: \(203\,015\,400\,007\). 2. Für Teilaufgabe b) werden die Einheiten Billionen (\(6\)), Milliarden (\(000\)), Millionen (\(800\)), Tausender (\(003\)) und Einer (\(090\)) identifiziert: \(6\,000\,800\,003\,090\). 3. Für Teilaufgabe c) werden die Einheiten Millionen (\(40\)), Tausender (\(040\)) und Einer (\(400\)) identifiziert: \(40\,040\,400\).

a) \(203\,015\,400\,007\) b) \(6\,000\,800\,003\,090\) c) \(40\,040\,400\)

- Was hilft dir dabei, die Stellen einer Zahl richtig zuzuordnen? - Wie viele Nullen hat eine Million oder eine Milliarde? - Welche Ziffern musst du schreiben, wenn eine Stelle im Wort nicht genannt wird? - Es hilft, die Zahl in Dreiergruppen von rechts nach links aufzubauen.

1. Identifikation der Stellenwerte: Tausender und Einer werden besetzt; fehlende Stellen (Hunderter, Zehner) werden durch Nullen ergänzt: \(12\,008\). 2. Bestimmung der Millionen-, Tausender- und Einergruppen: \(4\) Millionen, \(700\) Tausender und \(50\) Einer: \(4\,700\,050\). 3. Milliarden- und Millionengruppe ausfüllen: \(21\) Milliarden und \(600\) Millionen, alle weiteren Stellen sind Null: \(21\,600\,000\,000\). 4. Billionen- und Milliardengruppe bestimmen: \(1\) Billion und \(800\) Milliarden, alle restlichen Stellen mit Nullen auffüllen: \(1\,800\,000\,000\,000\).

a) \(12\,008\) b) \(4\,700\,050\) c) \(21\,600\,000\,000\) d) \(1\,800\,000\,000\,000\)

- Lies den Satz genau durch und markiere dir die Zahlwörter. - Erinnere dich daran, wie viele Nullen eine Milliarde oder eine Million in der Grundform haben. - Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die Milliarden, dann die Millionen, dann die Tausender und zuletzt die Einer.

1. Für die Entfernung des Saturns werden eine Milliarde (\(1\,000\,000\,000\)) und \(433\) Millionen (\(433\,000\,000\)) addiert. Da keine Tausender oder Einer genannt sind, werden diese Stellen mit Nullen aufgefüllt: \(1\,433\,000\,000\). 2. Für die Kosten des Schiffs werden \(950\) Millionen (\(950\,000\,000\)) und \(800\) Tausend (\(800\,000\)) kombiniert. Die Einerstellen sind Null: \(950\,800\,000\).

a) \(1\,433\,000\,000\,\text{km}\) b) \(950\,800\,000\,\text{€}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Millionen, Tausender und Einer die Zahl hat. - Zahlen unter einer Million schreibt man klein und zusammen. - Wörter wie „Million“ oder „Milliarde“ sind Nomen und werden groß- und getrennt geschrieben. - Achte darauf, Stellen mit einer Null beim Sprechen einfach zu überspringen.

1. Für \(504\,070\): Die Zahl besteht aus \(504\) Tausendern und \(70\). Da sie kleiner als eine Million ist, wird sie klein und zusammengeschrieben: „fünfhundertviertausendsiebzig“. 2. Für \(12\,000\,308\): Die Zahl besteht aus \(12\) Millionen und \(308\). „Millionen“ wird als Nomen groß- und getrennt geschrieben, der Rest klein und zusammen: „zwölf Millionen dreihundertacht“. 3. Für \(9\,000\,000\,005\): Die Zahl besteht aus \(9\) Milliarden und \(5\). „Milliarden“ wird als Nomen groß- und getrennt geschrieben: „neun Milliarden fünf“.

a) fünfhundertviertausendsiebzig b) zwölf Millionen dreihundertacht c) neun Milliarden fünf

- Lies die Zahl von links nach rechts in Dreiergruppen (Hunderter, Tausender, Millionen). - Achte genau darauf, an welcher Stelle die Ziffern stehen, die nicht Null sind. - Unterscheide genau zwischen der Millionen- und der Tausenderstelle.

1. Analyse von \(35\,000\,400\): Die Zahl hat \(35\) Millionen und den Rest \(400\). In Worten: „fünfunddreißig Millionen vierhundert“. 2. Analyse von \(35\,400\,000\): Die Zahl hat \(35\) Millionen und \(400\) Tausend. In Worten: „fünfunddreißig Millionen vierhunderttausend“.

a) fünfunddreißig Millionen vierhundert b) fünfunddreißig Millionen vierhunderttausend

- Was bedeutet es, wenn eine Stelle (wie zum Beispiel die Tausender) im Text gar nicht genannt wird? - Achte darauf, dass „fünfzehn Milliarden“ an der richtigen Stelle im Milliarden-Block steht. - Addiere am Ende alle Ziffern einzeln zusammen.

1. Zusammensetzung der Zahl in Ziffern: \(8\) Billionen (\(8\,000\,000\,000\,000\)), \(15\) Milliarden (\(15\,000\,000\,000\)), \(400\) Millionen (\(400\,000\,000\)) und \(72\). 2. Die vollständige Zahl lautet: \(8\,015\,400\,000\,072\). 3. Berechnung der Quersumme: \(8 + 0 + 1 + 5 + 4 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 7 + 2 = 27\).

a) \(8\,015\,400\,000\,072\) b) Die Quersumme ist \(27\).

- Wie stehen der Vorgänger und der Nachfolger einer Zahl in Beziehung zu dieser Zahl selbst? - Stell dir die drei Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Wo liegt die Mitte? - Wenn du zwei Zahlen addierst, die den gleichen Abstand zur Mitte haben, was sagt das über die Summe aus? - Versuche es erst mit einer viel kleineren Summe, zum Beispiel \(10\). Welche drei Zahlen könnten das sein?

1. Die drei Zahlen können als \(x-1\) (Vorgänger), \(x\) (Zahl) und \(x+1\) (Nachfolger) beschrieben werden. 2. Die Summe aus kleinstem und größtem Wert ist \((x-1) + (x+1) = 2 \cdot x\). 3. Da \(2 \cdot x = 2\,000\,000\) ist, ergibt sich die mittlere Zahl durch Division: \(2\,000\,000 : 2 = 1\,000\,000\). 4. Überprüfung: Vorgänger \(999\,999\), Nachfolger \(1\,000\,001\). Summe: \(999\,999 + 1\,000\,001 = 2\,000\,000\).

Die mittlere Zahl lautet \(1\,000\,000\).

- Wie viele verschiedene Ziffern haben wir in unserem System zur Verfügung? - Kannst du vor eine Zahl mit 10 Stellen eine weitere, von null verschiedene Ziffer schreiben? Was passiert dann mit der Größe der Zahl? - Gibt es ein Gesetz, das verbietet, eine Zahl mit einer Million Stellen aufzuschreiben?

1. Ja, es ist theoretisch möglich. Man kann eine natürliche Zahl mit beliebig vielen, aber jeweils endlich vielen Ziffern bilden. 2. Es gibt keine feste obere Grenze für die Stellenanzahl natürlicher Zahlen. Unser Stellenwertsystem erlaubt es, links von der höchsten Stelle eine weitere, von null verschiedene Ziffer und damit eine nächsthöhere Zehnerpotenz hinzuzufügen. Zu jeder vorgegebenen Stellenanzahl gibt es daher natürliche Zahlen mit noch mehr Stellen.

1. Ja, das ist möglich. 2. Nein, es gibt keine feste obere Grenze. Zu jeder vorgegebenen Stellenanzahl gibt es natürliche Zahlen mit noch mehr Stellen.

- Was passiert, wenn eine Einheit wie „Milliarden“ in der Aufzählung fehlt? - Achte bei „12 Hunderter“ darauf, wie viele Tausender darin stecken. - Schreibe dir die Stellenwerte untereinander auf und addiere sie wie bei der schriftlichen Addition.

1. In Teilaufgabe a) werden die Werte addiert: \(7\,000\,000\,000\,000 + 4\,000\,000\,000 + 20\,000 + 5 = 7\,004\,000\,020\,005\). 2. In Teilaufgabe b) ist zu beachten, dass \(12\) Hunderter gleich \(1\,200\) sind: \(125\,000\,000\,000 + 8\,000\,000 + 1\,200 = 125\,008\,001\,200\). 3. In Teilaufgabe c) werden die Stellen Billionen (\(30\)), Milliarden (\(000\)), Millionen (\(30\)), Tausender (\(30\)) und Einer (\(003\)) zusammengesetzt: \(30\,000\,030\,030\,003\).

a) \(7\,004\,000\,020\,005\) b) \(125\,008\,001\,200\) c) \(30\,000\,030\,030\,003\)

- Kannst du die Zahl in eine Stellenwerttafel eintragen? - Zähle die Stellen von rechts nach links durch: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender ... - Wie liest man die Dreiergruppen einer großen Zahl nacheinander vor?

1. Gliederung der Zahl in Dreiergruppen von rechts: \(30\) (Mrd), \(050\) (M), \(704\) (T), \(000\) (E). 2. Bestimmung der Ziffer an der 7. Stelle von rechts (Millionenstelle): Die Millionengruppe ist \(050\), die Ziffer an der Millionenstelle ist \(0\). 3. Bestimmung der Ziffer an der 5. Stelle von rechts (Zehntausenderstelle): Die Gruppe der Tausender ist \(704\), die Zehntausenderstelle ist \(0\). 4. Umwandlung in die Wortform unter Beachtung der Großschreibung bei Millionen und Milliarden sowie der Zusammenschreibung bei Zahlen unter einer Million: dreißig Milliarden fünfzig Millionen siebenhundertviertausend.

a) \(0\) b) \(0\) c) dreißig Milliarden fünfzig Millionen siebenhundertviertausend

- Überlege dir, welche Stellenwerte (Einer, Tausender, Millionen, Milliarden) im Wort vorkommen. - Achte darauf, an welchen Stellen im Ziffernblock Nullen stehen müssen, wenn ein Stellenwert nicht genannt wird. - Es kann helfen, die Ziffern in Dreiergruppen von rechts nach links zu ordnen. - Versuche, die Zahl zuerst in eine Stellenwerttafel einzutragen.

1. Für Teilaufgabe a) werden die Tausender (\(59\)) und die Einer (\(408\)) identifiziert: \(59\,408\). 2. Für Teilaufgabe b) werden die Millionen (\(12\)), die Tausender (\(60\)) und die Einer (\(500\)) bestimmt. Fehlende Stellen werden mit Nullen aufgefüllt: \(12\,060\,500\). 3. Für Teilaufgabe c) werden die Milliarden (\(700\)), die Millionen (\(81\)), die Tausender (\(900\)) und die Einer (\(4\)) extrahiert. Die Stellenwerte dazwischen müssen korrekt mit Nullen besetzt werden: \(700\,081\,900\,004\).

a) \(59\,408\) b) \(12\,060\,500\) c) \(700\,081\,900\,004\)

- Welche großen Einheiten wie „Millionen“ oder „Milliarden“ kannst du im Text finden? - Wie viele Ziffern müssen zwischen den Millionen und den Milliarden stehen? - Was passiert, wenn eine Einheit (zum Beispiel die Tausender) im Wort gar nicht vorkommt?

1. Die erste Zahl besteht aus \(400\) Tausendern und \(15\) Einern. Da die Hunderterstelle bei den Einern nicht besetzt ist, ergibt sich \(400\,015\). 2. Die zweite Zahl hat \(8\) Milliarden, \(9\) Millionen und \(77\) Einer. Die Tausenderstelle sowie die Hunderter- und Zehnmillionenstellen sind Null: \(8\,009\,000\,077\). 3. Die dritte Zahl setzt sich aus \(36\) Millionen, \(200\) Tausendern und \(500\) Einern zusammen: \(36\,200\,500\).

Vierhunderttausendfünfzehn: \(400\,015\) Acht Milliarden neun Millionen siebenundsiebzig: \(8\,009\,000\,077\) Sechsunddreißig Millionen zweihunderttausendfünfhundert: \(36\,200\,500\)

- Teile die Zahl von rechts beginnend in Dreiergruppen ein, um die Milliarden, Millionen und Tausender besser zu erkennen. - Stellen, an denen nur Nullen stehen (wie hier die Millionen), werden im Zahlwort nicht genannt. - Vergiss nicht, dass „Milliarden“ großgeschrieben wird.

1. Zerlegung der Zahl in Dreiergruppen von rechts: \(102\) (Milliarden), \(000\) (Millionen), \(005\) (Tausender), \(000\) (Einer). 2. Benennung der Gruppen: \(102\) Milliarden und \(5\) Tausend. 3. Zusammensetzung gemäß Rechtschreibregeln: „einhundertzwei Milliarden fünftausend“.

einhundertzwei Milliarden fünftausend

- Schreibe die Zahlen zuerst in eine Stellenwerttafel, um keine Stelle zu vergessen. - Achte besonders darauf, dass jede Gruppe (Millionen, Milliarden etc.) immer drei Stellen besetzt, außer ganz links. - Zähle die Nullen in deinen aufgeschriebenen Zahlen sorgfältig durch.

1. Zahl A in Ziffernschreibweise notieren: \(5\,080\,000\,300\,000\). 2. Nullen in Zahl A zählen: Die Ziffer \(0\) kommt \(10\)-mal vor. 3. Zahl B in Ziffernschreibweise notieren: \(5\,800\,000\,300\). 4. Nullen in Zahl B zählen: Die Ziffer \(0\) kommt \(7\)-mal vor. 5. Vergleich der Anzahlen: Zahl A hat mit \(10\) Nullen mehr Nullen als Zahl B.

Zahl A lautet \(5\,080\,000\,300\,000\) und hat \(10\) Nullen. Zahl B lautet \(5\,800\,000\,300\) und hat \(7\) Nullen. Zahl A hat mehr Nullen (\(10\)).

- Überlege dir, wie viele Stellen eine Milliarde und wie viele eine Billion mindestens haben. - Schreibe die Zahlen untereinander, damit du die Stellen leichter zählen kannst. - Achte auf die „leeren“ Stellen, die im Text nicht erwähnt werden, und fülle sie mit Nullen auf.

1. Zahl 1 in Ziffern schreiben: \(207\,009\,000\,500\,080\). Diese Zahl hat \(15\) Stellen. 2. Zahl 2 in Ziffern schreiben: \(200\,009\,000\,800\). Diese Zahl hat \(12\) Stellen. 3. Differenz der Stellenanzahl berechnen: \(15 - 12 = 3\).

Zahl 1 hat \(15\) Stellen. Zahl 2 hat \(12\) Stellen. Zahl 1 hat \(3\) Stellen mehr als Zahl 2.

- Schreibe alle drei Zahlen zuerst sauber mit Ziffern untereinander. - Zähle die Anzahl der Stellen jeder Zahl. Mehr Stellen bedeuten immer eine größere Zahl. - Wenn zwei Zahlen gleich viele Stellen haben, vergleiche sie von links nach rechts Ziffer für Ziffer.

1. Umwandlung von Zahl A in Ziffern: \(900\,009\,090\,000\) (\(12\) Stellen). 2. Umwandlung von Zahl B in Ziffern: \(9\,000\,000\,900\,000\) (\(13\) Stellen). 3. Umwandlung von Zahl C in Ziffern: \(900\,090\,000\,900\) (\(12\) Stellen). 4. Vergleich der Zahlen: Da B am meisten Stellen hat, ist sie die größte. Beim Vergleich von A und C an der Millionenstelle zeigt sich, dass \(9\) Millionen kleiner als \(90\) Millionen sind. 5. Ergebnis der Ordnung: \(900\,009\,090\,000 < 900\,090\,000\,900 < 9\,000\,000\,900\,000\).

A: \(900\,009\,090\,000\) B: \(9\,000\,000\,900\,000\) C: \(900\,090\,000\,900\) Ordnung: \(A < C < B\)

- Schreibe dir zuerst alle Zahlen in der gleichen Form auf, am besten mit Ziffern. - Wie viele Stellen hat eine Million? Wie viele Stellen haben zehn Millionen? - Wenn zwei Zahlen gleich viele Stellen haben, welche Ziffern vergleichst du dann zuerst?

1. Umwandlung aller Zahlen in die Ziffernschreibweise: \(A = 5\,500\,000\); \(B = 5\,050\,000\); \(C = 50\,000\,000\); \(D = 5\,005\,500\). 2. Vergleich der Stellenanzahl: \(C\) hat 8 Stellen, alle anderen haben 7 Stellen. Somit ist \(C\) die größte Zahl. 3. Vergleich der 7-stelligen Zahlen von links nach rechts: Alle beginnen mit \(5\) Millionen. An der Hunderttausenderstelle hat \(A\) eine \(5\), \(B\) eine \(0\) und \(D\) eine \(0\). Damit ist \(A\) die größte der drei. 4. Vergleich von \(B\) und \(D\): An der Zehntausenderstelle hat \(B\) eine \(5\) und \(D\) eine \(0\). Damit ist \(D < B\). 5. Gesamtreihenfolge: \(5\,005\,500 < 5\,050\,000 < 5\,500\,000 < 50\,000\,000\).

\(5\,005\,500 < 5\,050\,000 < 5\,500\,000 < 50\,000\,000\) (bzw. \(D < B < A < C\))