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- Überlege dir, ob die Anzahl der Sekunden näher an der aktuellen Minute oder an der nächsten Minute liegt. - Was ist die genaue Mitte einer Minute in Sekunden ausgedrückt? - Erinnere dich an die allgemeinen Rundungsregeln: Ab welcher Ziffer rundest du normalerweise auf?

1. Bei Sekundenwerten von \(0\) bis \(29\) wird abgerundet, bei \(30\) bis \(59\) wird aufgerundet. 2. a) \(15 < 30 \rightarrow\) abrunden auf \(12\,\text{min}\). 3. b) \(54 \ge 30 \rightarrow\) aufrunden auf \(8\,\text{min}\). 4. c) \(38 \ge 30 \rightarrow\) aufrunden auf \(1\,\text{min}\). 5. d) \(30 \ge 30 \rightarrow\) aufrunden auf \(26\,\text{min}\). 6. e) \(4 < 30 \rightarrow\) abrunden auf \(4\,\text{min}\).

a) \(12\,\text{min}\) b) \(8\,\text{min}\) c) \(1\,\text{min}\) d) \(26\,\text{min}\) e) \(4\,\text{min}\)

- Schau dir für das Runden auf Zehner immer die Einerstelle an. - Für das Runden auf Hunderter ist die Zehnerstelle entscheidend. - Überlege dir: Bei welchen Ziffern wird abgerundet und bei welchen wird aufgerundet?

1. Runden von \(432\): Auf Zehner (Einerstelle \(2 < 5\)) ergibt \(430\); auf Hunderter (Zehnerstelle \(3 < 5\)) ergibt \(400\). 2. Runden von \(758\): Auf Zehner (Einerstelle \(8 \geq 5\)) ergibt \(760\); auf Hunderter (Zehnerstelle \(5 \geq 5\)) ergibt \(800\). 3. Runden von \(945\): Auf Zehner (Einerstelle \(5 \geq 5\)) ergibt \(950\); auf Hunderter (Zehnerstelle \(4 < 5\)) ergibt \(900\).

a) Zehner: \(430\); Hunderter: \(400\) b) Zehner: \(760\); Hunderter: \(800\) c) Zehner: \(950\); Hunderter: \(900\)

- Überlege zuerst, wie viele Einheiten der kleineren Sorte (z. B. Zentimeter) in die größere Sorte (z. B. Meter) passen. - Bestimme die Stelle, auf die du runden musst, indem du dir das Umrechnungsverhältnis ansiehst. - Erinnere dich an die Rundungsregel: Bei 0, 1, 2, 3 und 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8 und 9 wird aufgerundet.

1. Um auf Meter zu runden, betrachte die Zentimeter. Da \(100\,\text{cm} = 1\,\text{m}\) sind, wird auf die Hunderterstelle gerundet. Bei \(932\) ist die Zehnerziffer eine \(3\), also wird abgerundet: \(900\,\text{cm} = 9\,\text{m}\). 2. Für Kilogramm wird auf die Tausenderstelle gerundet (\(1000\,\text{g} = 1\,\text{kg}\)). Bei \(15\,480\) ist die Hunderterziffer eine \(4\), also wird abgerundet: \(15\,000\,\text{g} = 15\,\text{kg}\). 3. Für Zentimeter wird auf die Zehnerstelle gerundet (\(10\,\text{mm} = 1\,\text{cm}\)). Bei \(57\) ist die Einerziffer eine \(7\), also wird aufgerundet: \(60\,\text{mm} = 6\,\text{cm}\). 4. Für Kilometer wird auf die Tausenderstelle gerundet (\(1000\,\text{m} = 1\,\text{km}\)). Bei \(12\,500\) ist die Hunderterziffer eine \(5\), also wird aufgerundet: \(13\,000\,\text{m} = 13\,\text{km}\).

a) \(9\,\text{m}\) b) \(15\,\text{kg}\) c) \(6\,\text{cm}\) d) \(13\,\text{km}\)

- Schau dir immer die Stelle rechts von der Zielstelle an. - Wann musst du aufrunden und wann abrunden? - Achte besonders auf die Ziffer 9, wenn du aufrunden musst.

1. Für \(34\,274\): Bei Rundung auf Zehner (Z) ist die Einerstelle \(4 < 5\), also wird abgerundet auf \(34\,270\). Bei Rundung auf Tausender (T) ist die Hunderterstelle \(2 < 5\), also wird abgerundet auf \(34\,000\). 2. Für \(8\,451\,903\): Auf Hunderter (H) ergibt sich \(8\,451\,900\) (Zehnerstelle \(0 < 5\)). Auf Zehntausender (ZT) ergibt sich \(8\,450\,000\) (Tausenderstelle \(1 < 5\)). Auf Millionen (M) ergibt sich \(8\,000\,000\) (Hunderttausenderstelle \(4 < 5\)). 3. Für \(99\,996\): Auf Zehner (Z) führt die Einerstelle \(6 \ge 5\) zu einem Übertrag über alle Stellen bis \(100\,000\). Auf Hunderter (H) führt die Zehnerstelle \(9 \ge 5\) ebenfalls zu \(100\,000\). Auf Tausender (T) führt die Hunderterstelle \(9 \ge 5\) ebenso zu \(100\,000\).

a) Z: \(34\,270\); T: \(34\,000\) b) H: \(8\,451\,900\); ZT: \(8\,450\,000\); M: \(8\,000\,000\) c) Z: \(100\,000\); H: \(100\,000\); T: \(100\,000\)

- Betrachte immer die Ziffer rechts neben der Stelle, auf die du runden möchtest. - Bei den Ziffern \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) wird abgerundet. - Bei den Ziffern \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) und \(9\) wird aufgerundet. - Denk daran, dass Aufrunden bei einer \(9\) einen Übertrag auf die nächste Stelle bedeutet.

1. \(4\,382\): Die Zehnerstelle ist eine \(8\), daher wird bei den Hundertern aufgerundet (\(4\,400\)). Die Hunderterstelle ist eine \(3\), daher wird bei den Tausendern abgerundet (\(4\,000\)). 2. \(12\,549\): Die Zehnerstelle ist eine \(4\), daher wird bei den Hundertern abgerundet (\(12\,500\)). Die Hunderterstelle ist eine \(5\), daher wird bei den Tausendern aufgerundet (\(13\,000\)). 3. \(99\,950\): Die Zehnerstelle ist eine \(5\), daher wird bei den Hundertern aufgerundet (\(100\,000\)). Die Hunderterstelle ist eine \(9\), daher wird bei den Tausendern aufgerundet (\(100\,000\)). 4. \(456\): Die Zehnerstelle ist eine \(5\), daher wird bei den Hundertern aufgerundet (\(500\)). Die Hunderterstelle ist eine \(4\), daher wird bei den Tausendern abgerundet (\(0\)).

a) Hunderter: \(4\,400\); Tausender: \(4\,000\) b) Hunderter: \(12\,500\); Tausender: \(13\,000\) c) Hunderter: \(100\,000\); Tausender: \(100\,000\) d) Hunderter: \(500\); Tausender: \(0\)

- Überlege dir zuerst, an welcher Stelle die Ziffer für den Zehntausender oder Hunderttausender steht. - Schau dir die rechts danebenstehende Ziffer an, um zu entscheiden, ob du auf- oder abrunden musst. - Was passiert bei einer Rundung, wenn an der Zielstelle eine 9 steht und aufgerundet wird?

1. Zahl in Ziffern: \(475\,832\). Rundung auf Zehntausender (nächste Stelle ist 5): aufrunden zu \(480\,000\). Rundung auf Hunderttausender (nächste Stelle ist 7): aufrunden zu \(500\,000\). 2. Zahl in Ziffern: \(1\,099\,417\). Rundung auf Zehntausender (nächste Stelle ist 9): aufrunden zu \(1\,100\,000\). Rundung auf Hunderttausender (nächste Stelle ist 9): aufrunden zu \(1\,100\,000\).

a) \(475\,832\); auf Zehntausender: \(480\,000\); auf Hunderttausender: \(500\,000\) b) \(1\,099\,417\); auf Zehntausender: \(1\,100\,000\); auf Hunderttausender: \(1\,100\,000\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und notiere dir zuerst die gerundeten Werte für jeden einzelnen Lauf. - Achte bei jedem Lauf darauf, ob die Sekundenanzahl den Schwellenwert für das Aufrunden erreicht. - Addiere am Ende die Minuten, die du durch das Runden erhalten hast.

1. Runden der Einzelzeiten: Lauf 1 (\(18\,\text{s} < 30\,\text{s}\)) ergibt \(2\,\text{min}\). 2. Lauf 2 (\(42\,\text{s} \ge 30\,\text{s}\)) ergibt \(2\,\text{min}\). 3. Lauf 3 (\(35\,\text{s} \ge 30\,\text{s}\)) ergibt \(3\,\text{min}\). 4. Summe der gerundeten Werte: \(2\,\text{min} + 2\,\text{min} + 3\,\text{min} = 7\,\text{min}\).

Die Summe der gerundeten Zeiten beträgt \(7\,\text{min}\).

- Überlege, ab welcher Ziffer an der Hunderterstelle eine Zahl auf den nächsten Tausender aufgerundet wird. - Welches ist die größte Ziffer an der Hunderterstelle, bei der noch auf den aktuellen Tausender abgerundet wird? - Wie viele Zahlen liegen in einem Bereich, wenn du die kleinste von der größten Zahl abziehst? Denke daran, die erste Zahl mitzuzählen. - Hängt die Anzahl der Zahlen, die in einen Rundungsbereich fallen, von der Größe der Tausenderstelle selbst ab?

1. Bestimmung der Grenzen für das Runden auf Tausender bei \(8\,000\): Die kleinste Zahl, die aufgerundet wird, ist \(7\,500\). Die größte Zahl, die abgerundet wird, ist \(8\,499\). 2. Berechnung der Anzahl: Die Zahlen von \(7\,500\) bis \(8\,499\) sind insgesamt \(8\,499 - 7\,500 + 1 = 1\,000\) Zahlen. 3. Vergleich mit \(25\,000\): Beim Runden auf Tausender ist der Bereich der Zahlen, die auf einen Zielwert gerundet werden, immer gleich groß, sofern der Zielwert groß genug ist. Für \(25\,000\) liegen die Zahlen im Bereich von \(24\,500\) bis \(25\,499\). Dies sind ebenfalls genau \(1\,000\) Zahlen. Die Begründung liegt in der Rundungsregel für die Hunderterstelle (Ziffern 0–4 führen zum Abrunden, 5–9 zum Aufrunden), die unabhängig vom Tausenderwert immer denselben Zahlenbereich abdeckt.

a) Kleinste Zahl: \(7\,500\); größte Zahl: \(8\,499\) b) Es sind \(1\,000\) Zahlen. c) Ja, es sind ebenfalls \(1\,000\) Zahlen, da die Rundungsregel für die Tausenderstelle immer einen Bereich von \(500\) Zahlen unterhalb (einschließlich der Grenze) und \(500\) Zahlen oberhalb (bis zur Grenze) des Zielwerts umfasst.

- Wie rechnest du die Gesamtzahl aus, wenn du die Anzahl der Gruppen und die Größe jeder Gruppe kennst? - Überlege dir, welche Ziffer für einen schnellen Überblick am wichtigsten ist. - Was klingt natürlicher: „572 Personen“ oder eine glatte Zahl wie „600“ oder „570“?

1. Die Gesamtzahl der Kinder wird durch die Multiplikation der Klassenanzahl mit der durchschnittlichen Schülerzahl berechnet: \(22 \cdot 26 = 572\). 2. Ein sinnvoll gerundeter Wert für einen Bericht ist die Rundung auf Hunderter (\(600\)) oder auf Zehner (\(570\)). In einem allgemeinen Bericht über eine Schule ist die Rundung auf Hunderter (\(600\)) oft üblich, um eine grobe Größenordnung anzugeben („etwa 600 Schüler“). Eine Rundung auf Zehner (\(570\)) ist präziser und ebenfalls sinnvoll, wenn die Genauigkeit wichtiger ist.

1. Es sind \(572\) Kinder. 2. Ein sinnvoll gerundeter Wert ist \(600\) (gerundet auf Hunderter) oder \(570\) (gerundet auf Zehner). Begründung: Hunderter geben einen guten Überblick über die Schulgröße; Zehner sind genauer, aber immer noch übersichtlich.

- Wie oft passt die Höhe eines Stockwerks in die Gesamthöhe des Turms? - Kannst du eine Zahl in der Nähe von 68 finden, die sich leicht durch 3 teilen lässt? - Erinnere dich an die Regeln für das Auf- und Abrunden bei der Ziffer 8.

1. Um die Anzahl der Stockwerke zu schätzen, teilt man die Gesamthöhe durch die Höhe eines Stockwerks: \(68 : 3\). Da \(66 : 3 = 22\) und \(69 : 3 = 23\), liegt das Ergebnis zwischen \(22\) und \(23\). Ein guter Schätzwert ist „etwa 23 Stockwerke“. 2. Bei der Rundung der Zahl \(68\) auf Zehner schaut man auf die Einerstelle (\(8\)). Da \(8 \ge 5\), wird aufgerundet. Das Ergebnis ist \(70\,\text{m}\).

1. Der Kirchturm entspricht etwa \(23\) Stockwerken. 2. Auf Zehner gerundet ist der Turm \(70\,\text{m}\) hoch.

- Schau dir immer die Stelle rechts neben der Stelle an, auf die du runden möchtest. - Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 wird abgerundet. - Bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9 wird aufgerundet. - Was passiert mit der Ziffer an der Rundungsstelle, wenn du aufrundest?

1. Gesamtzahl: Bei \(124\,812\) ist die Tausenderstelle eine \(4\). Es wird abgerundet. Ergebnis: \(120\,000\). 2. Romane: Bei \(9\,827\) ist die Zehnerstelle eine \(2\). Es wird abgerundet. Ergebnis: \(9\,800\). 3. Sachbücher: Bei \(12\,305\) ist die Zehnerstelle eine \(0\). Es wird abgerundet. Ergebnis: \(12\,300\). 4. Zeitschriften: Bei \(512\) ist die Einerstelle eine \(2\). Es wird abgerundet. Ergebnis: \(510\).

a) \(120\,000\) b) Romane: \(9\,800\); Sachbücher: \(12\,300\) c) \(510\)

- In einer Zeitung stehen oft „glatte“ Zahlen, damit man sich die Größenordnungen besser merken kann. - Welche Stellen bieten sich hier an? Zehner oder Hunderter? - Überlege auch, ob man eine Zeitangabe wie 92 Minuten im Alltag anders ausdrücken würde.

1. Zuschauer: \(412\) wird auf den nächsten Hunderter gerundet. Da die Zehnerstelle eine \(1\) ist, wird abgerundet: \(400\). 2. Bratwürste: \(187\) wird auf Zehner (\(190\)) oder Hunderter (\(200\)) gerundet. Da die Einerstelle eine \(7\) ist, wird aufgerundet. 3. Einnahmen: \(592\,\text{€}\) wird auf Zehner (\(590\,\text{€}\)) oder sinnvoll auf den Hunderter (\(600\,\text{€}\)) aufgerundet, da die Zehnerstelle eine \(9\) ist. 4. Dauer: \(92\) Minuten wird auf Zehner gerundet (\(90\) Minuten), was genau \(1{,}5\) Stunden entspricht.

Mögliche sinnvolle Rundungen: - Zuschauer: ca. \(400\) - Bratwürste: fast \(200\) (oder \(190\)) - Einnahmen: knapp \(600\,\text{€}\) (oder \(590\,\text{€}\)) - Dauer: \(90\) Minuten (oder \(1{,}5\) Stunden)

- Beim Runden auf Hunderter musst du dir die Zehnerstelle genau ansehen. - Addiere erst alle genauen Werte und dann alle deine gerundeten Werte. - Was musst du rechnen, um den Unterschied zwischen zwei Ergebnissen zu finden?

1. Runden auf Hunderter: Sommerfest \(1\,244 \approx 1\,200\); Winterbasar \(876 \approx 900\); Sportfest \(1\,055 \approx 1\,100\). 2. Exakte Summe berechnen: \(1\,244 + 876 + 1\,055 = 3\,175\). 3. Gerundete Summe berechnen: \(1\,200 + 900 + 1\,100 = 3\,200\). 4. Differenz bestimmen: \(3\,200 - 3\,175 = 25\).

a) Sommerfest: \(1\,200\); Winterbasar: \(900\); Sportfest: \(1\,100\). b) Die exakte Summe ist \(3\,175\), die gerundete Summe ist \(3\,200\). Der Unterschied beträgt \(25\).

- Erinnere dich an die Umrechnungszahlen für Gewichte: Wie viele Gramm sind ein Kilogramm? Wie viele Kilogramm sind eine Tonne? - Bestimme den Wert für die „Hälfte“ der Zieleinheit. - Vergleiche den Restwert mit dieser Hälfte, um zu entscheiden, ob du auf- oder abrundest.

1. Da \(1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}\) ist, liegt die Grenze zum Aufrunden bei \(500\,\text{g}\). Wegen \(610\,\text{g} \ge 500\,\text{g}\) wird bei \(8\,\text{kg } 610\,\text{g}\) auf \(9\,\text{kg}\) aufgerundet. 2. Da \(1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}\) ist, liegt die Grenze bei \(500\,\text{kg}\). Wegen \(490\,\text{kg} < 500\,\text{kg}\) wird bei \(12\,\text{t } 490\,\text{kg}\) auf \(12\,\text{t}\) abgerundet. 3. Da \(500\,\text{g}\) genau die Hälfte eines Kilogramms sind, wird nach der kaufmännischen Rundungsregel auf \(4\,\text{kg}\) aufgerundet. 4. Bei \(550\,\text{g}\) (entspricht \(0\,\text{kg } 550\,\text{g}\)) sind \(550\,\text{g}\) mehr als \(500\,\text{g}\), daher wird auf \(1\,\text{kg}\) aufgerundet.

a) \(9\,\text{kg}\) b) \(12\,\text{t}\) c) \(4\,\text{kg}\) d) \(1\,\text{kg}\)

- Überlege dir, wie viele Meter in einen Kilometer passen und wie viele Zentimeter in einen Meter. - Was ist jeweils der Schwellenwert für das Aufrunden (die Hälfte der größeren Einheit)? - Schau dir die kleinere Einheit genau an und vergleiche sie mit diesem Schwellenwert.

1. Ein Kilometer entspricht \(1000\,\text{m}\), der Schwellenwert ist \(500\,\text{m}\). Da \(800\,\text{m} \ge 500\,\text{m}\), wird auf \(13\,\text{km}\) aufgerundet. 2. Ein Meter entspricht \(100\,\text{cm}\), der Schwellenwert ist \(50\,\text{cm}\). Da \(45\,\text{cm} < 50\,\text{cm}\), wird auf \(4\,\text{m}\) abgerundet. 3. Da \(500\,\text{m}\) genau die Hälfte eines Kilometers sind, wird die Angabe auf \(10\,\text{km}\) aufgerundet. 4. Da \(90\,\text{cm}\) mehr als die Hälfte eines Meters (\(50\,\text{cm}\)) sind, wird auf \(2\,\text{m}\) aufgerundet.

a) \(13\,\text{km}\) b) \(4\,\text{m}\) c) \(10\,\text{km}\) d) \(2\,\text{m}\)

- Überlege dir, welche Stelle beim Runden auf Hunderter entscheidend ist. - Was passiert mit der Zehnerstelle, wenn man eine Zahl wie \(447\) zuerst auf Zehner rundet? - Gibt es eine Regel, die besagt, wie viele Schritte man beim Runden machen darf?

1. Vergleich der Methoden: Sarah wendet die korrekte Rundungsregel an. Beim Runden auf Hunderter wird ausschließlich die Zehnerstelle betrachtet. Da die Zehnerstelle von \(447\) eine \(4\) ist, muss abgerundet werden. Das richtige Ergebnis ist \(400\). 2. Fehleranalyse: Lukas begeht den Fehler des „schrittweisen Rundens“. Durch das erste Runden auf Zehner wird aus der \(4\) eine \(5\), was beim anschließenden Runden auf Hunderter fälschlicherweise zum Aufrunden führt. 3. Beispiel für b): Jede Zahl, deren Zehnerstelle eine \(4\) und deren Einerstelle eine \(5, 6, 7, 8\) oder \(9\) ist, führt zu diesem Problem (z. B. \(145, 248, 649\)).

a) Sarah hat recht. Man betrachtet beim Runden auf Hunderter nur die Zehnerstelle. Da dort eine \(4\) steht, wird auf \(400\) abgerundet. Lukas' schrittweises Runden ist mathematisch nicht korrekt. b) Ein mögliches Beispiel ist die Zahl \(145\) (oder jede andere Zahl von \(145\) bis \(149\)).

- Ab welcher Ziffer an der Tausenderstelle rundest du auf \(80\,000\) auf? - Welche Ziffer an der Tausenderstelle sorgt dafür, dass du auf \(80\,000\) abrundest? - Überlege dir, wie viele Einer-Schritte zwischen der kleinsten und der größten Zahl liegen.

1. Für das Runden auf Zehntausender betrachtet man die Tausenderstelle. Damit \(80\,000\) entsteht, muss die Zahl mindestens \(75\,000\) sein (Aufrunden ab 5) und darf höchstens \(84\,999\) sein (Abrunden bis 4). 2. Für das Runden auf Tausender betrachtet man die Hunderterstelle. Der Bereich liegt zwischen \(79\,500\) (kleinste Zahl, die aufgerundet wird) und \(80\,499\) (größte Zahl, die abgerundet wird). 3. Die Anzahl der Zahlen im Bereich von \(79\,500\) bis \(80\,499\) berechnet man durch die Differenz plus 1: \(80\,499 - 79\,500 + 1 = 1\,000\).

a) Kleinste Zahl: \(75\,000\), größte Zahl: \(84\,999\) b) Kleinste Zahl: \(79\,500\), größte Zahl: \(80\,499\) c) \(1\,000\) Zahlen

- Runde die Zahlen auf einfache Werte, mit denen du im Kopf rechnen kannst. - Achte auf die Anzahl der Stellen im Ergebnis (Hunderter, Tausender). - Welches Ergebnis passt von der Größenordnung her am besten?

1. Überschlag für a): \(20 \cdot 300 = 6000\). Das am nächsten liegende Ergebnis ist \(5738\). 2. Überschlag für b): \(4800 : 8 = 600\). Das am nächsten liegende Ergebnis ist \(602\). 3. Überschlag für c): \(2500 + 2500 = 5000\). Das am nächsten liegende Ergebnis ist \(5005\). 4. Überschlag für d): \(9900 - 4600 = 5300\). Das am nächsten liegende Ergebnis ist \(5309\).

a) \(5738\) b) \(602\) c) \(5005\) d) \(5309\)

- Was passiert, wenn du bei einer Zahl wie \(9\) aufrunden musst? - Achte darauf, welche Stelle für die Rundungsentscheidung wichtig ist. - Manchmal verändert sich durch das Aufrunden auch die nächsthöhere Stelle.

1. \(2\,996\) auf Zehner runden: Die Einerstelle ist \(6\), also wird aufgerundet. Aus \(299\) Zehnern werden \(300\) Zehner, was \(3\,000\) entspricht. Ergebnis: \(3\,000\). 2. \(8\,049\) auf Hunderter runden: Die Zehnerstelle ist \(4\), also wird abgerundet. Ergebnis: \(8\,000\). 3. \(14\,995\) auf Zehner runden: Die Einerstelle ist \(5\), also wird aufgerundet. Aus \(1\,499\) Zehnern werden \(1\,500\) Zehner. Ergebnis: \(15\,000\).

a) \(3\,000\) b) \(8\,000\) c) \(15\,000\)

- Runde jede der drei Zahlen erst einmal auf beide Arten und notiere dir die Ergebnisse. - Vergleiche dann deine Rundungsergebnisse mit den Zielwerten in der Aufgabe. - Für Teilaufgabe c) musst du nur in deiner Liste nachschauen, wo zwei gleiche Werte stehen.

1. Untersuchung für Zehnerrundung: \(645 \rightarrow 650\) (aufrunden), \(654 \rightarrow 650\) (abrunden), \(704 \rightarrow 700\) (abrunden). Ergebnis für a): \(645\) und \(654\). 2. Untersuchung für Hunderterrundung: \(645 \rightarrow 600\) (abrunden), \(654 \rightarrow 700\) (aufrunden), \(704 \rightarrow 700\) (abrunden). Ergebnis für b): \(654\) und \(704\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Bei \(704\) ist die Rundung auf Zehner (\(700\)) und auf Hunderter (\(700\)) identisch.

a) \(645\) und \(654\) b) \(654\) und \(704\) c) \(704\) (beide Male ergibt sich \(700\))

- Achte auf die Wörter „rund“ und „genau“. Passen sie in derselben Schlussfolgerung zusammen? - Was geschieht mit der Genauigkeit eines Ergebnisses, wenn eine verwendete Zahl nur näherungsweise bekannt ist?

1. Die Angabe „rund \(2\,000\)“ ist nur ein Näherungswert und keine exakte Differenz. 2. Wird von einer exakten Zahl ein Näherungswert abgezogen, ist auch das Ergebnis nur näherungsweise bekannt. 3. Die Formulierung „genau \(32\,562\)“ behauptet daher eine Genauigkeit, die aus den Angaben nicht folgt. Es darf nur von einer ungefähren Besucherzahl gesprochen werden.

Die Angabe ist nicht sinnvoll, weil mit dem Näherungswert „rund \(2\,000\)“ gerechnet wurde. Deshalb kann die Besucherzahl vom Donnerstag nicht als exakt \(32\,562\) angegeben werden.

- Wandle die Kilogramm-Angabe gedanklich in Gramm um, um zu sehen, in welchem Bereich die Zahlen liegen müssen. - Schau dir bei jeder Zahl die Hunderterstelle an, um zu entscheiden, ob die Tausenderstelle gleich bleibt oder um eins erhöht wird.

1. Da \(1000\,\text{g} = 1\,\text{kg}\) sind, muss auf die Tausenderstelle gerundet werden. 2. \(5\,500\,\text{g}\): Die Hunderterziffer ist \(5\), es wird auf \(6\,000\,\text{g}\) aufgerundet. Das sind \(6\,\text{kg}\). 3. \(6\,490\,\text{g}\): Die Hunderterziffer ist \(4\), es wird auf \(6\,000\,\text{g}\) abgerundet. Das sind \(6\,\text{kg}\). 4. \(5\,495\,\text{g}\): Die Hunderterziffer ist \(4\), es wird auf \(5\,000\,\text{g}\) abgerundet. Das sind \(5\,\text{kg}\). 5. \(6\,505\,\text{g}\): Die Hunderterziffer ist \(5\), es wird auf \(7\,000\,\text{g}\) aufgerundet. Das sind \(7\,\text{kg}\).

\(5\,500\,\text{g}\) und \(6\,490\,\text{g}\)

- Schreibe die Werte zuerst komplett in der kleineren Einheit auf (z. B. alles in Cent oder alles in Gramm). - Überlege dann, welche Stelle der kleineren Einheit dem Ganzen der größeren Einheit entspricht. - Achte bei Teilaufgabe c) besonders darauf, ob der Wert näher an \(0\,\text{km}\) oder an \(1\,\text{km}\) liegt.

1. \(18{,}60\,\text{€}\) entspricht \(1860\,\text{ct}\). Gerundet auf ganze Euro ergibt sich wegen der \(6\) an der Zehnerstelle \(1900\,\text{ct} = 19\,\text{€}\). 2. \(4\,\text{kg } 501\,\text{g}\) entspricht \(4501\,\text{g}\). Gerundet auf die Tausenderstelle ergibt sich wegen der \(5\) an der Hunderterstelle \(5000\,\text{g} = 5\,\text{kg}\). 3. \(250\,\text{m}\) gerundet auf Kilometer (Tausenderstelle): Die Hunderterstelle ist \(2\), also wird auf \(0\,\text{m}\) abgerundet. Das Ergebnis ist \(0\,\text{km}\). 4. \(12\,\text{cm } 4\,\text{mm}\) entspricht \(124\,\text{mm}\). Gerundet auf die Zehnerstelle (da \(10\,\text{mm} = 1\,\text{cm}\)) ergibt sich wegen der \(4\) an der Einerstelle \(120\,\text{mm} = 12\,\text{cm}\).

a) \(19\,\text{€}\) b) \(5\,\text{kg}\) c) \(0\,\text{km}\) d) \(12\,\text{cm}\)

- Gehe Zeile für Zeile vor und bestimme für jede Spalte die entscheidende Ziffer rechts der Rundungsstelle. - Überlege dir für jede Spalte neu, welche Stelle betrachtet werden muss. - Vergleiche die Ergebnisse innerhalb einer Zeile: Werden die Zahlen mit größeren Rundungsstellen „gröber“?

1. Für \(237\,845\): H: \(237\,800\) (Zehner \(4 < 5\)); T: \(238\,000\) (Hunderter \(8 \ge 5\)); ZT: \(240\,000\) (Tausender \(7 \ge 5\)); HT: \(200\,000\) (Zehntausender \(3 < 5\)). 2. Für \(1\,045\,298\): H: \(1\,045\,300\) (Zehner \(9 \ge 5\)); T: \(1\,045\,000\) (Hunderter \(2 < 5\)); ZT: \(1\,050\,000\) (Tausender \(5 \ge 5\)); HT: \(1\,000\,000\) (Zehntausender \(4 < 5\)).

Erste Zeile: \(237\,800\); \(238\,000\); \(240\,000\); \(200\,000\) Zweite Zeile: \(1\,045\,300\); \(1\,045\,000\); \(1\,050\,000\); \(1\,000\,000\)

- Was passiert mit den benachbarten Stellen, wenn eine Stelle durch Aufrunden den Wert 10 erreicht? - Führe die Rundung für jede Teilaufgabe ganz sorgfältig Schritt für Schritt durch.

1. Auf Zehner runden: Die Einerstelle ist \(5\), also wird aufgerundet. Aus \(9\) Zehnern werden \(10\) Zehner, was zu einem Übertrag führt: \(80\,000\). 2. Auf Hunderter runden: Die Zehnerstelle ist \(9\), also wird aufgerundet. Dies führt erneut zu einem Übertrag durch alle Stellen: \(80\,000\). 3. Auf Tausender runden: Die Hunderterstelle ist \(9\), also wird aufgerundet: \(80\,000\). 4. Auf Zehntausender runden: Die Tausenderstelle ist \(9\), also wird aufgerundet: \(80\,000\). 5. Feststellung: Alle gerundeten Werte sind identisch.

a) \(80\,000\) b) \(80\,000\) c) \(80\,000\) d) \(80\,000\) Feststellung: Alle Ergebnisse sind gleich.

- Überlege, ab welcher Zahl die Hunderterstelle bewirkt, dass die Tausenderstelle um \(1\) erhöht wird. - Überlege, bis zu welcher Zahl die Hunderterstelle bewirkt, dass die Tausenderstelle gleich bleibt. - Was ist die kleinste Ziffer, bei der man aufrundet? - Was ist die größte Ziffer, bei der man abrundet?

1. Kleinstmögliche Zahl: Um auf \(45\,000\) aufzurunden, muss die Tausenderstelle eine \(4\) und die Hunderterstelle mindestens eine \(5\) sein. Die kleinsten Werte für die weiteren Stellen sind jeweils \(0\). Ergebnis: \(44\,500\). 2. Größtmögliche Zahl: Um auf \(45\,000\) abzurunden, muss die Tausenderstelle eine \(5\) und die Hunderterstelle höchstens eine \(4\) sein. Die größten Werte für die weiteren Stellen sind jeweils \(9\). Ergebnis: \(45\,499\).

Kleinstmögliche Zahl: \(44\,500\) Größtmögliche Zahl: \(45\,499\)

- Welche Stelle musst du anschauen, wenn du auf Tausender rundest? - Welche Stelle ist entscheidend, wenn du auf Zehntausender rundest? - Vergleiche diese entscheidenden Ziffern bei beiden Zahlen.

1. Auf Tausender runden: Bei \(245\,499\) ist die Hunderterstelle eine \(4\), also wird abgerundet auf \(245\,000\). Bei \(245\,500\) ist die Hunderterstelle eine \(5\), also wird aufgerundet auf \(246\,000\). 2. Auf Zehntausender runden: Bei beiden Zahlen ist die Tausenderstelle eine \(5\). Daher wird in beiden Fällen aufgerundet auf \(250\,000\).

a) \(245\,499 \rightarrow 245\,000\); \(245\,500 \rightarrow 246\,000\) b) \(245\,499 \rightarrow 250\,000\); \(245\,500 \rightarrow 250\,000\)

- Bestimme für jede Teilaufgabe die relevante Stelle für die Rundungsentscheidung. - Denk daran: Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet; bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. - Achte besonders auf den Übertrag, wenn du eine 9 aufrunden musst.

1. Tausender: Die Hunderterstelle ist 5, also aufrunden: \(8\,496\,000\). 2. Zehntausender: Die Tausenderstelle ist 5, also aufrunden. Da an der Zehntausenderstelle eine 9 steht, erhöht sich auch die Hunderttausenderstelle: \(8\,500\,000\). 3. Hunderttausender: Die Zehntausenderstelle ist 9, also aufrunden: \(8\,500\,000\). 4. Millionen: Die Hunderttausenderstelle ist 4, also abrunden: \(8\,000\,000\).

a) \(8\,496\,000\) b) \(8\,500\,000\) c) \(8\,500\,000\) d) \(8\,000\,000\)

- Welche Stelle musst du betrachten, wenn du auf Zehntausender rundest? - Was ist die kleinste Ziffer, bei der man aufrundet? - Was ist die größte Ziffer, bei der man noch abrundet? - Denke daran, dass alle Stellen nach der Rundungsstelle bei der größten Zahl so groß wie möglich sein müssen.

1. Beim Runden auf Zehntausender ist die Tausenderstelle entscheidend. 2. Für den kleinstmöglichen Wert muss die Zahl so klein sein, dass sie gerade noch auf \(40\,000\) aufgerundet wird. Das ist der Fall, wenn die Tausenderstelle eine \(5\) ist und die Zehntausenderstelle um \(1\) niedriger: \(35\,000\). 3. Für den größtmöglichen Wert muss die Zahl so groß wie möglich sein, aber noch auf \(40\,000\) abgerundet werden. Das ist der Fall, wenn die Tausenderstelle eine \(4\) ist und alle folgenden Stellen den höchstmöglichen Wert \(9\) haben: \(44\,999\).

Es waren mindestens \(35\,000\) Besucher und höchstens \(44\,999\) Besucher.

- Überprüfe für jede Option einzeln, ob sie nach den Rundungsregeln zur \(15\) führt. - Denk daran, dass man sowohl von unten aufrunden als auch von oben abrunden kann, um bei \(15\) zu landen. - Welcher Bereich von Sekunden führt dazu, dass die Minutenzahl gleich bleibt, und welcher Bereich führt zur nächsten Minute?

1. Prüfung von A: \(25 < 30 \rightarrow 14\,\text{min}\) (falsch). 2. Prüfung von B: \(40 \ge 30 \rightarrow 15\,\text{min}\) (korrekt). 3. Prüfung von C: \(5 < 30 \rightarrow 15\,\text{min}\) (korrekt). 4. Prüfung von D: \(30 \ge 30 \rightarrow 16\,\text{min}\) (falsch). 5. Prüfung von E: \(59 \ge 30 \rightarrow 15\,\text{min}\) (korrekt).

B, C und E

- Welche Stelle musst du betrachten, wenn du auf Tausender runden möchtest? - Was bedeutet „jeder Zehnte“ mathematisch für deine Rechnung? - Wie verändert sich eine Zahl, wenn du sie durch 10 teilst?

1. Rundung auf Tausender: Die Hunderterstelle ist \(8\), also wird aufgerundet auf \(46\,000\). Rundung auf Zehntausender: Die Tausenderstelle ist \(5\), also wird aufgerundet auf \(50\,000\). 2. Die auf Tausender gerundete Einwohnerzahl ist \(46\,000\). „Jeder Zehnte“ bedeutet eine Division durch 10: \(46\,000 : 10 = 4\,600\). Die erwartete Besucherzahl beträgt also \(4\,600\).

1. Auf Tausender gerundet: \(46\,000\); auf Zehntausender gerundet: \(50\,000\). 2. Die geschätzte Besucherzahl beträgt \(4\,600\).

- Welche Ziffer muss an der Einerstelle stehen, damit auf den nächsten Zehner aufgerundet wird? - Welche ist die größte Ziffer an der Einerstelle, bei der noch abgerundet wird? - Suche die kleinste Zahl, die gerade noch auf \(1\,200\) springt, und die größte, die noch dorthin zurückfällt.

1. Beim Runden auf Zehner ist die Einerstelle entscheidend. Bei den Ziffern \(5, 6, 7, 8, 9\) wird aufgerundet, bei \(0, 1, 2, 3, 4\) wird abgerundet. 2. Um auf \(1\,200\) aufzurunden, muss die Zahl mindestens \(1\,200 - 5 = 1\,195\) sein. 3. Um auf \(1\,200\) abzurunden, darf die Zahl höchstens \(1\,200 + 4 = 1\,204\) sein.

Es kommen alle natürlichen Zahlen von \(1\,195\) bis \(1\,204\) infrage.

- Welche Zahlen werden beim Runden auf Hunderttausender noch zu \(14\,600\,000\) aufgerundet? - Welche Zahlen werden noch zu \(14\,600\,000\) abgerundet? - Beachte die Grenze, ab der zur nächsten Hunderttausenderzahl gerundet wird.

1. Die kleinste Zahl, die auf Hunderttausender gerundet \(14\,600\,000\) ergibt, ist \(14\,550\,000\). 2. Die größte Zahl, die auf Hunderttausender gerundet \(14\,600\,000\) ergibt, ist \(14\,649\,999\).

Die kleinste mögliche Zahl ist \(14\,550\,000\), die größte mögliche Zahl ist \(14\,649\,999\).

- Schau dir die Endziffern der Zahlen in den Zeitungen an. Wie viele Nullen haben sie? - Vergleiche den Abstand jeder gerundeten Zahl zum echten Wert \(4\,837\). - Überlege dir, welche Wirkung eine Zahl wie „fünftausend“ in einer Überschrift hat.

1. Analyse der Rundungen: Zeitung A hat auf Tausender gerundet (\(4\,837 \approx 5\,000\)). Zeitung B hat auf Hunderter gerundet (\(4\,837 \approx 4\,800\)). Zeitung C hat auf Zehner gerundet (\(4\,837 \approx 4\,840\)). 2. Genauigkeit: Je kleiner der Stellenwert, auf den gerundet wird, desto genauer ist die Zahl. Die Rundung auf Zehner (Zeitung C) ist am nächsten am Originalwert. 3. Begründung für Zeitung A: Große, glatte Zahlen wie \(5\,000\) wirken in Schlagzeilen oft beeindruckender oder sind für den Leser schneller zu erfassen, wenn die exakte Präzision nicht entscheidend ist.

a) Zeitung A: Tausender; Zeitung B: Hunderter; Zeitung C: Zehner. b) Die Angabe von Zeitung C ist am genauesten. c) Die Zahl \(5\,000\) ist eine sehr „glatte“ Zahl, die in einer Schlagzeile einprägsamer und beeindruckender wirkt als detailreiche Zahlen.

- Überlege dir zuerst, wie viele Sekunden eine halbe Minute bzw. wie viele Minuten eine halbe Stunde sind. - Wenn der kleinere Teil genau die Hälfte oder mehr ist, rundest du auf die nächste ganze Einheit auf. - Ist der Teil kleiner als die Hälfte, rundest du ab. - Bei Aufgaben mit drei Einheiten rechnest du am besten zuerst alles außer der kleinsten Einheit in die Zieleinheit um.

1. Bei \(14\,\text{min } 42\,\text{s}\) sind \(42\,\text{s}\) mehr als die Hälfte einer Minute (\(30\,\text{s}\)), daher wird auf \(15\,\text{min}\) aufgerundet. 2. Bei \(7\,\text{h } 15\,\text{min}\) sind \(15\,\text{min}\) weniger als die Hälfte einer Stunde (\(30\,\text{min}\)), daher wird auf \(7\,\text{h}\) abgerundet. 3. Für \(1\,\text{h } 25\,\text{min } 50\,\text{s}\) erfolgt zuerst die Umrechnung der Stundenanteile in Minuten: \(1\,\text{h} = 60\,\text{min}\), also insgesamt \(60\,\text{min} + 25\,\text{min} = 85\,\text{min}\). Da die verbleibenden \(50\,\text{s}\) mehr als \(30\,\text{s}\) sind, wird auf \(86\,\text{min}\) aufgerundet. 4. Bei \(5\,\text{min } 28\,\text{s}\) sind \(28\,\text{s}\) weniger als \(30\,\text{s}\), daher wird auf \(5\,\text{min}\) abgerundet.

a) \(15\,\text{min}\) b) \(7\,\text{h}\) c) \(86\,\text{min}\) d) \(5\,\text{min}\)

- Überlege dir für jedes Rundungsergebnis einzeln, welche Zahlen darauf gerundet werden könnten. - Welche Ziffer an der Tausenderstelle sorgt dafür, dass auf \(60\,000\) auf- oder abgerundet wird? - Suche eine Zahl, die in allen drei berechneten Zahlenbereichen liegt.

1. Bestimmung des Bereichs für die Rundung auf Zehntausender: Für das Ergebnis \(60\,000\) muss die Zahl im Bereich von \(55\,000\) bis \(64\,999\) liegen. 2. Bestimmung des Bereichs für die Rundung auf Tausender: Für das Ergebnis \(62\,000\) muss die Zahl im Bereich von \(61\,500\) bis \(62\,499\) liegen. 3. Bestimmung des Bereichs für die Rundung auf Hunderter: Für das Ergebnis \(61\,800\) muss die Zahl im Bereich von \(61\,750\) bis \(61\,849\) liegen. 4. Schnittmenge bilden: Alle Zahlen von \(61\,750\) bis \(61\,849\) erfüllen alle drei Bedingungen. Eine mögliche Zahl ist zum Beispiel \(61\,800\).

Eine mögliche Zahl ist \(61\,800\) (auch jede andere Zahl von \(61\,750\) bis \(61\,849\) ist korrekt).

- Bestimme die Untergrenze und die Obergrenze für jede der Rundungen. - Kann eine Zahl gleichzeitig auf \(5\,000\) (T) und auf \(5\,600\) (H) gerundet werden? Schau dir die Ziffer an der Hunderterstelle genau an. - Wenn sich zwei Bereiche komplett ausschließen, gibt es keine gemeinsame Lösung.

1. Analyse der Tausender-Rundung: Eine Zahl, die auf Tausender gerundet \(5\,000\) ergibt, muss kleiner als \(5\,500\) sein (Bereich \([4\,500; 5\,499]\)). 2. Analyse der Hunderter-Rundung: Eine Zahl, die auf Hunderter gerundet \(5\,600\) ergibt, muss mindestens \(5\,550\) groß sein (Bereich \([5\,550; 5\,649]\)). 3. Vergleich der Bedingungen: Die erste Bedingung verlangt \(x < 5\,500\), während die zweite Bedingung \(x \ge 5\,550\) verlangt. 4. Schlussfolgerung: Da es keine Zahl gibt, die gleichzeitig kleiner als \(5\,500\) und größer oder gleich \(5\,550\) ist, existiert keine solche Zahl. Die Zehner-Bedingung muss gar nicht mehr geprüft werden.

Es gibt keine solche Zahl. Eine Zahl, die auf Tausender gerundet \(5\,000\) ergibt, darf höchstens \(5\,499\) sein. Eine Zahl, die auf Hunderter gerundet \(5\,600\) ergibt, muss jedoch mindestens \(5\,550\) sein. Diese Bedingungen widersprechen sich.

- Welche Zahlen werden auf Zehner gerundet zu \(10\,000\)? Das ist ein sehr kleiner Bereich. - Überprüfe, ob die Zahlen aus diesem kleinen Bereich auch bei der Rundung auf Hunderter und Tausender das gewünschte Ergebnis liefern. - Zähle alle Zahlen auf, die im engsten Intervall liegen.

1. Bedingung T: Rundung auf \(10\,000\) erfordert den Bereich \([9\,500; 10\,499]\). 2. Bedingung H: Rundung auf \(10\,000\) erfordert den Bereich \([9\,950; 10\,049]\). 3. Bedingung Z: Rundung auf \(10\,000\) erfordert den Bereich \([9\,995; 10\,004]\). 4. Schnittmenge: Die engste Bedingung ist die Rundung auf Zehner. Alle Zahlen von \(9\,995\) bis \(10\,004\) erfüllen alle drei Kriterien. 5. Anzahl bestimmen: Die Zahlen sind \(9\,995, 9\,996, 9\,997, 9\,998, 9\,999, 10\,000, 10\,001, 10\,002, 10\,003, 10\,004\). Das sind insgesamt \(10\) Zahlen.

Eine mögliche Zahl ist zum Beispiel \(9\,998\). Insgesamt gibt es \(10\) solcher Zahlen (alle Zahlen von \(9\,995\) bis \(10\,004\)).

- Untersuche, wie viele Nullen am Ende der gerundeten Zahlen stehen. - Welche Ziffern der Originalzahl wurden beim Runden „weggelassen“ oder durch Nullen ersetzt? - Überlege dir, für welche Leser die jeweilige Information bestimmt ist. - Wann reicht eine grobe Schätzung aus und wann möchte man es genauer wissen?

1. Analyse der Zeitungsangabe: Die Zahl \(4\,300\) zeigt eine Rundung auf die Hunderterstelle (die Zehnerstelle 2 führt zum Abrunden). 2. Analyse der Webseitenangabe: Die Zahl \(4\,000\) zeigt eine Rundung auf die Tausenderstelle (die Hunderterstelle 3 führt zum Abrunden). 3. Begründung der Wahl: Die Webseite gibt eine grobe Orientierung für Touristen oder Interessierte, die länger aktuell bleibt, während die Zeitung oft aktuellere und damit präzisere Daten für die Anwohner liefert.

a) In der Zeitung wurde auf Hunderter gerundet. Auf der Webseite wurde auf Tausender gerundet. b) Eine Webseite nutzt oft gröbere Rundungen, damit die Angabe auch bei leichten Bevölkerungsschwankungen über einen längeren Zeitraum hinweg „richtig“ bleibt.

- Welche Stelle musst du anschauen, wenn du auf Hunderter runden möchtest? - Erinnere dich an die Regel: Bei welchen Ziffern wird abgerundet, bei welchen aufgerundet? - Runde die Zahl \(12\,452\) selbst einmal auf Hunderter und vergleiche das Ergebnis mit der Aussage des Wanderers.

1. Anwendung der Rundungsregel für Hunderter: Zur Rundung auf Hunderter betrachtet man die Zehnerstelle. 2. Prüfung der Zahl \(12\,452\): Die Zehnerstelle ist eine 5. 3. Ergebnis der Rundung: Nach der Regel wird bei einer 5 aufgerundet. Aus \(12\,452\) wird somit durch Aufrunden \(12\,500\). 4. Schlussfolgerung: Da \(12\,500\) nicht \(12\,400\) entspricht, kann die tatsächliche Strecke nicht \(12\,452\,\text{m}\) lang gewesen sein.

Nein, das ist nicht möglich. Wenn man \(12\,452\) auf Hunderter rundet, muss man wegen der 5 an der Zehnerstelle aufrunden. Das Ergebnis wäre \(12\,500\,\text{m}\) und nicht \(12\,400\,\text{m}\).

- Schreibe zuerst alle Zahlen auf, die beim Runden auf Zehner \(640\) ergeben. - Woran erkennst du schnell, ob eine Zahl durch 5 teilbar ist? - Prüfe jede Zahl aus deiner Liste einzeln gegen die zweite Bedingung.

1. Zuerst werden alle Zahlen bestimmt, die auf Zehner gerundet \(640\) ergeben. Dies sind die Zahlen von \(635\) bis \(644\). 2. Aus dieser Menge (\(635, 636, 637, 638, 639, 640, 641, 642, 643, 644\)) werden die Zahlen ausgewählt, die durch 5 teilbar sind. 3. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. 4. Die zutreffenden Zahlen sind somit \(635\) und \(640\).

\(635\) und \(640\)

- Welche Zahlen in der Aufgabe lassen sich leicht runden? - Kannst du erst ausrechnen, wie viele Hefte in einem einzigen Karton sind? - Überlege dir eine geschickte Reihenfolge für die Multiplikation.

1. Durchführung eines Überschlags: Gerundete Werte wie \(200 \cdot 20 \cdot 10\) ergeben einen Schätzwert von etwa \(40\,000\) Heften. 2. Berechnung der Hefte pro Karton: \(15 \cdot 12 = 180\). 3. Berechnung der Gesamtzahl: \(220 \cdot 180 = 39\,600\). Alternativer Rechenweg: \(220 \cdot 15 = 3\,300\); \(3\,300 \cdot 12 = 39\,600\).

Der Überschlag ergibt etwa \(40\,000\) Hefte; das genaue Ergebnis lautet \(39\,600\) Hefte.

- Versuche, die Zahlen auf den nächsten Zehner oder Hunderter zu runden. - Rechne mit den gerundeten Werten im Kopf. - Vergleiche deinen Überschlag mit den drei Auswahlmöglichkeiten.

1. Teilaufgabe a): Überschlag \(40 \cdot 50 = 2000\). Das Ergebnis muss in der Nähe von \(2000\) liegen, also \(2142\). 2. Teilaufgabe b): Überschlag \(3500 : 7 = 500\). Das Ergebnis muss in der Nähe von \(500\) liegen, also \(504\). 3. Teilaufgabe c): Überschlag \(13\,000 - 6000 = 7000\). Das Ergebnis muss in der Nähe von \(7000\) liegen, also \(6980\).

a) \(2142\) b) \(504\) c) \(6980\)

- Welche der Rechnungen ergibt in etwa Tausend? - Schau dir die erste Aufgabe an: \(59\) ist fast \(60\), \(101\) ist fast \(100\). Was ergibt das Produkt? - Bei der Additionsaufgabe kannst du die ersten beiden Zahlen zuerst zusammenfassen.

1. Rechnung a): Überschlag \(60 \cdot 100 = 6000\). 2. Rechnung b): Überschlag \(15\,000 : 15 = 1000\). 3. Rechnung c): Überschlag \(1500 + 2500 + 1000 = 5000\). 4. Rechnung d): Die Subtraktion \(8050 - 3950\) ergibt exakt \(4100\), was als Schätzwert passt.

a) \(6000\) b) \(1000\) c) \(5000\) d) \(4100\)

- Wird bei der Rundung die Ziffer an der Zielstelle größer oder bleibt sie gleich? - Welche Ziffern an der nächstkleineren Stelle führen zum Aufrunden? - Welche Ziffern an der nächstkleineren Stelle führen zum Abrunden?

1. Beim Runden auf Zehntausender entscheidet die Tausenderstelle. Damit aus \(43\square\,567\) der Wert \(440\,000\) wird, muss aufgerundet werden. Daher kann \(\square\) eine der Ziffern \(5, 6, 7, 8\) oder \(9\) sein. 2. Beim Runden auf Hunderttausender entscheidet die Zehntausenderstelle. Sie ist hier \(4\), also wird abgerundet. Damit das Ergebnis \(1\,500\,000\) lautet, muss an der Hunderttausenderstelle \(\square = 5\) stehen.

a) \(\square \in \{5, 6, 7, 8, 9\}\) b) \(\square = 5\)

- Bestimme zuerst alle Zahlen, die die erste Bedingung erfüllen. - Bestimme dann alle Zahlen, die die zweite Bedingung erfüllen. - Welche Zahlen kommen in beiden Listen vor? - Erinnere dich an die Rundungsregeln: Ab \(5\) wird aufgerundet, bis \(4\) wird abgerundet.

1. Alle natürlichen Zahlen, die auf Zehner gerundet \(150\) ergeben, liegen im Bereich von \(145\) bis \(154\). 2. Alle natürlichen Zahlen, die auf Hunderter gerundet \(200\) ergeben, liegen im Bereich von \(150\) bis \(249\). 3. Die Zahlen müssen beide Bedingungen erfüllen. Die Schnittmenge der beiden Bereiche besteht aus \(150, 151, 152, 153\) und \(154\).

Die Zahlen sind \(150, 151, 152, 153\) und \(154\).

- Schau dir den Zielwert \(70\) an. Welche Stelle ist die letzte, die nicht Null ist? - Zähle die Zahlen von \(65\) bis \(74\) sorgfältig durch oder nutze eine Subtraktion. - Wenn auf Zehner gerundet wird, gibt es \(10\) Zahlen. Wie viele könnten es wohl sein, wenn auf Zehntausender gerundet wird? - Bestimme für Teilaufgabe c) erst die kleinste und die größte Zahl, die auf \(60\,000\) gerundet werden.

1. Identifikation der Rundungsstelle: Da die Zahlen im Bereich um \(70\) liegen und die Einerstelle über das Runden entscheidet (65 wird aufgerundet, 74 wird abgerundet), wurde auf Zehner gerundet. 2. Zählen der Zahlen: Von \(65\) bis \(74\) sind es \(74 - 65 + 1 = 10\) Zahlen. 3. Runden auf Zehntausender: Der Zielwert ist \(60\,000\). Die kleinste Zahl, die auf Zehntausender gerundet \(60\,000\) ergibt, ist \(55\,000\). Die größte Zahl ist \(64\,999\). Die Anzahl der Zahlen in diesem Bereich beträgt \(64\,999 - 55\,000 + 1 = 10\,000\).

a) Es wurde auf Zehner gerundet. b) Es sind \(10\) Zahlen. c) Es sind \(10\,000\) Zahlen.

- Bestimme für beide Fälle zuerst die kleinste und die größte mögliche Zahl. - Wie berechnest du, wie viele Zahlen in einem Bereich (von ... bis ...) liegen? - Überlege dir, ob ein gröberes Rundungsziel (wie Hunderter statt Zehner) die Menge der möglichen Ursprungszahlen vergrößert oder verkleinert.

1. Fall a (Zehner): Die Zahlen reichen von \(795\) bis \(804\). Das sind die Zahlen \(\{795, 796, 797, 798, 799, 800, 801, 802, 803, 804\}\). Es gibt insgesamt \(10\) Zahlen. 2. Fall b (Hunderter): Die Zahlen reichen von \(750\) bis \(849\). Die Anzahl berechnet sich durch \(849 - 750 + 1 = 100\). Es gibt insgesamt \(100\) Zahlen. 3. Vergleich: Da \(100 > 10\), gibt es beim Runden auf Hunderter deutlich mehr Möglichkeiten.

Beim Runden auf Zehner gibt es \(10\) Möglichkeiten (\(795\) bis \(804\)). Beim Runden auf Hunderter gibt es \(100\) Möglichkeiten (\(750\) bis \(849\)). Somit gibt es beim Runden auf Hunderter mehr Möglichkeiten.

- Was passiert, wenn du \(3\,510\) auf Tausender rundest? Schau dir die Hunderterstelle an. - Bestimme für jede Bedingung einzeln den Bereich (von ... bis ...). - Welche Zahlen liegen in beiden Bereichen gleichzeitig?

1. Prüfung von \(3\,510\): Beim Runden auf Tausender betrachtet man die Hunderterstelle. Da diese 5 ist, wird auf \(4\,000\) aufgerundet. Somit ergibt sich nicht \(3\,000\). 2. Bereich für Bedingung 1 (Runden auf Tausender zu \(3\,000\)): Zahlen von \(2\,500\) bis \(3\,499\). 3. Bereich für Bedingung 2 (Runden auf Hunderter zu \(3\,500\)): Zahlen von \(3\,450\) bis \(3\,549\). 4. Schnittmenge beider Bereiche finden: Die Zahlen müssen zwischen \(3\,450\) und \(3\,499\) liegen. 5. Die kleinste Zahl ist \(3\,450\), die größte Zahl ist \(3\,499\).

a) Weil \(3\,510\) an der Hunderterstelle eine 5 hat und somit auf Tausender gerundet \(4\,000\) ergibt. b) Kleinste Zahl: \(3\,450\), größte Zahl: \(3\,499\)

- Gehe die Zahlen nacheinander durch oder teile sie in Gruppen ein. - Überlege dir: Welche Zahlen werden beim Runden auf Zehner zur \(350\) aufgerundet? - Was passiert, wenn diese \(350\) danach auf Hunderter gerundet wird? - Welches Ergebnis hättest du erhalten, wenn du die ursprüngliche Zahl (mit einer \(4\) an der Zehnerstelle) direkt auf Hunderter gerundet hättest?

1. Direktes Runden auf Hunderter: Die Zahlen \(340\) bis \(349\) werden auf \(300\) abgerundet (Zehnerstelle ist \(4\)). Die Zahl \(350\) wird auf \(400\) aufgerundet (Zehnerstelle ist \(5\)). 2. Schrittweises Runden für \(340\) bis \(344\): Diese werden auf Zehner abgerundet zu \(340\). Das Runden von \(340\) auf Hunderter ergibt \(300\). (Gleiches Ergebnis wie direkt). 3. Schrittweises Runden für \(345\) bis \(349\): Diese werden auf Zehner aufgerundet zu \(350\). Das Runden von \(350\) auf Hunderter ergibt \(400\). (Anderes Ergebnis als direkt, da direkt \(300\) war). 4. Schrittweises Runden für \(350\): Bleibt beim Runden auf Zehner \(350\). Das Runden auf Hunderter ergibt \(400\). (Gleiches Ergebnis wie direkt). 5. Identifikation der Differenzen: Die Zahlen \(345, 346, 347, 348\) und \(349\) liefern unterschiedliche Ergebnisse.

Es sind die Zahlen \(345, 346, 347, 348\) und \(349\). Bei diesen ergibt das schrittweise Runden \(400\), das direkte Runden jedoch \(300\).