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- Bestimme die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern. - Prüfe, ob dieselbe Differenz auch beim nächsten Übergang passt. - Wende die feste Änderung anschließend auf das letzte gegebene Glied an.

1. Es gilt \(70 - 60 = 10\), \(60 - 50 = 10\) und \(50 - 40 = 10\). 2. Daher wird immer dieselbe Zahl \(10\) subtrahiert. Nach \(40\) folgen \(30\), \(20\) und \(10\).

a) \(10\) b) \(30, 20, 10\)

- Vergleiche zwei benachbarte Glieder mit einer Division. - Prüfe den erhaltenen Faktor an einem weiteren Übergang. - Verwende denselben Faktor danach weiter.

1. Es gilt \(6 : 3 = 2\), \(12 : 6 = 2\) und \(24 : 12 = 2\). Der feste Faktor ist also \(2\). 2. Danach folgen \(24 \cdot 2 = 48\) und \(48 \cdot 2 = 96\).

a) Faktor \(2\) b) \(48, 96\)

- Vergleiche zwei benachbarte Glieder durch eine Differenz. - Prüfe dieselbe Differenz anschließend an einem weiteren Übergang. - Wende die gefundene feste Änderung erst danach wiederholt auf das letzte gegebene Glied an.

1. Es gilt \(92 - 84 = 8\), \(84 - 76 = 8\) und \(76 - 68 = 8\). 2. Daher wird in jedem Schritt dieselbe Zahl \(8\) subtrahiert. 3. Die nächsten Glieder sind \(60 - 8 = 52\), \(52 - 8 = 44\), \(44 - 8 = 36\), \(36 - 8 = 28\) und \(28 - 8 = 20\).

a) \(8\) b) \(52; 44; 36; 28; 20\) c) Zum Beispiel gilt \(92 - 84 = 8\) und \(84 - 76 = 8\); dieselbe Subtraktion passt also zu mehreren Übergängen.

- Schreibe dir die ersten beiden Zahlen nebeneinander auf. - Addiere immer die beiden zuletzt entstandenen Zahlen. - Zähle mit, wie viele Zahlen du schon notiert hast, damit du nach der zehnten aufhörst.

1. Die Folge beginnt mit \(2\) und \(3\). 2. Die dritte Zahl ist \(2 + 3 = 5\), die vierte Zahl ist \(3 + 5 = 8\). 3. Danach erhält man nacheinander \(5 + 8 = 13\), \(8 + 13 = 21\), \(13 + 21 = 34\) und \(21 + 34 = 55\). 4. Die neunte Zahl ist \(34 + 55 = 89\), die zehnte Zahl ist \(55 + 89 = 144\).

\(2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144\)

- Prüfe bei jeder neuen Zahl sorgfältig, ob sie gerade oder ungerade ist. - Zähle die Pfeile oder Rechenschritte zwischen den Zahlen, nicht die Anzahl der Zahlen selbst. - Erinnere dich: Eine Zahl ist gerade, wenn ihre letzte Ziffer \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) ist.

1. Startzahl: \(13\) (ungerade) \(\rightarrow 3 \cdot 13 + 1 = 40\) (1. Schritt) 2. \(40\) (gerade) \(\rightarrow 40 : 2 = 20\) (2. Schritt) 3. \(20\) (gerade) \(\rightarrow 20 : 2 = 10\) (3. Schritt) 4. \(10\) (gerade) \(\rightarrow 10 : 2 = 5\) (4. Schritt) 5. \(5\) (ungerade) \(\rightarrow 3 \cdot 5 + 1 = 16\) (5. Schritt) 6. \(16\) (gerade) \(\rightarrow 16 : 2 = 8\) (6. Schritt) 7. \(8\) (gerade) \(\rightarrow 8 : 2 = 4\) (7. Schritt) 8. \(4\) (gerade) \(\rightarrow 4 : 2 = 2\) (8. Schritt) 9. \(2\) (gerade) \(\rightarrow 2 : 2 = 1\) (9. Schritt) Die Folge lautet: \(13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1\). Es sind insgesamt \(9\) Schritte.

Die Folge ist \(13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1\). Es werden \(9\) Schritte benötigt, um die \(1\) zu erreichen.

- Lies die Beschreibung der Regel ganz genau und Schritt für Schritt. - Was bedeutet „doppelt so groß“ mathematisch? - Was bedeutet „vermindert um 5“? - Rechne immer erst das Ergebnis einer Zahl aus, bevor du die Regel auf dieses neue Ergebnis anwendest.

1. Die Folge beginnt mit \(10\). 2. Danach gilt \(10 \cdot 2 - 5 = 15\). 3. Aus \(15\) wird \(15 \cdot 2 - 5 = 25\). 4. Aus \(25\) wird \(25 \cdot 2 - 5 = 45\). 5. Aus \(45\) wird \(45 \cdot 2 - 5 = 85\). 6. Aus \(85\) wird \(85 \cdot 2 - 5 = 165\).

Die ersten sechs Zahlen der Folge lauten: \(10, 15, 25, 45, 85, 165\).

- Ergänze in jeder neuen Zeile genau eine weitere natürliche Zahl. - Für eine spätere Zeile kannst du die Summe schrittweise weiterführen oder geschickt zusammenfassen. - Bei der Grenze genügt es, die Ergebnisse so lange weiterzuführen, bis sie erstmals überschritten wird.

1. Zeile \(5\) lautet \(1 + 2 + 3 + 4 + 5\) und ergibt \(15\). Zeile \(6\) lautet \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6\) und ergibt \(21\). Die Ergebnisse der Zeilen \(1\) bis \(6\) sind \(1, 3, 6, 10, 15, 21\). 2. Für Zeile \(10\) gilt \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55\). 3. Nach Zeile \(6\) folgen \(28\) in Zeile \(7\), \(36\) in Zeile \(8\) und \(45\) in Zeile \(9\). Damit wird die Grenze erstmals in Zeile \(9\) überschritten.

a) Zeile \(5\): \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\); Zeile \(6\): \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\). Ergebnisse \(1, 3, 6, 10, 15, 21\). b) \(55\) c) Zeile \(9\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und notiere dir jedes Zwischenergebnis. - Denke daran, dass bei einer dreistelligen Zahl alle drei Ziffern einzeln multipliziert werden müssen. - Ein „Schritt“ ist eine abgeschlossene Rechnung, die zu einer neuen Zahl führt.

1. Zuerst gilt \(4 \cdot 4 + 9 \cdot 9 = 16 + 81 = 97\). 2. Danach gilt \(9 \cdot 9 + 7 \cdot 7 = 81 + 49 = 130\). 3. Für \(130\) erhält man \(1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 1 + 9 + 0 = 10\). 4. Schließlich gilt \(1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1\). 5. Die Kette lautet \(49 \rightarrow 97 \rightarrow 130 \rightarrow 10 \rightarrow 1\). Dafür sind insgesamt \(4\) Schritte nötig.

Die Zahlenkette lautet: \(49 \rightarrow 97 \rightarrow 130 \rightarrow 10 \rightarrow 1\). Man benötigt insgesamt \(4\) Schritte, um zur \(1\) zu gelangen.

- Überlege dir zuerst, ob die Zahlen größer oder kleiner werden. - Welche Stelle der Zahl ändert sich, wenn du in Zehner- oder Hunderterschritten zählst? - Achte besonders auf den Übergang zum nächsten Tausender.

1. Für Teilaufgabe a) wird fünfmal \(10\) addiert: \(8970 + 10 = 8980\), \(8980 + 10 = 8990\), \(8990 + 10 = 9000\), \(9000 + 10 = 9010\), \(9010 + 10 = 9020\). 2. Für Teilaufgabe b) wird fünfmal \(100\) subtrahiert: \(8970 - 100 = 8870\), \(8870 - 100 = 8770\), \(8770 - 100 = 8670\), \(8670 - 100 = 8570\), \(8570 - 100 = 8470\). 3. Für Teilaufgabe c) wird fünfmal \(5\) addiert: \(8970 + 5 = 8975\), \(8975 + 5 = 8980\), \(8980 + 5 = 8985\), \(8985 + 5 = 8990\), \(8990 + 5 = 8995\).

a) \(8980, 8990, 9000, 9010, 9020\) b) \(8870, 8770, 8670, 8570, 8470\) c) \(8975, 8980, 8985, 8990, 8995\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und rechne immer vom Ergebnis des vorherigen Schritts weiter. - Was bedeutet „vorwärts“ und „rückwärts“ für deine Rechnung? - Kannst du ein Muster bei den Endziffern erkennen?

1. Erste Zeile (vorwärts): Addiere pro Schritt \(250\). Die Ergebnisse sind \(24\,500 + 250 = 24\,750\), \(24\,750 + 250 = 25\,000\), \(25\,000 + 250 = 25\,250\), \(25\,250 + 250 = 25\,500\) und \(25\,500 + 250 = 25\,750\). 2. Zweite Zeile (rückwärts): Subtrahiere pro Schritt \(40\). Die Ergebnisse sind \(10\,200 - 40 = 10\,160\), \(10\,160 - 40 = 10\,120\), \(10\,120 - 40 = 10\,080\), \(10\,080 - 40 = 10\,040\) und \(10\,040 - 40 = 10\,000\).

Erste Zeile: \(24\,750, 25\,000, 25\,250, 25\,500, 25\,750\) Zweite Zeile: \(10\,160, 10\,120, 10\,080, 10\,040, 10\,000\)

- Prüfe Samirs Regel an jedem gegebenen Übergang, nicht nur am ersten. - Notiere die Änderungen zwischen benachbarten Gliedern in ihrer Reihenfolge. - Nutze die im Text festgelegte Zweischrittstruktur, um die beiden Änderungen zu identifizieren.

1. Von \(2\) zu \(5\) wird \(3\) addiert, aber von \(5\) zu \(4\) wird \(1\) subtrahiert. Deshalb kann nicht in jedem Schritt \(+3\) gelten. 2. Die Rechenschritte lauten nacheinander: \(3\) addieren, \(1\) subtrahieren, \(3\) addieren, \(1\) subtrahieren, \(3\) addieren. Diese beiden Schritte wiederholen sich. 3. Nach \(9\) wird zunächst \(1\) subtrahiert und danach \(3\) addiert. Es folgen \(8\) und \(11\).

a) Samirs Regel scheitert bereits an einem Übergang, bei dem die Zahl kleiner wird. b) Abwechselnd \(3\) addieren und \(1\) subtrahieren. c) \(8, 11\)

- Vergleiche die Seitenlängen der drei gezeigten Draufsichten. - Überlege, wie die nächste Draufsicht aussehen muss, wenn das sichtbare Muster weitergeht. - Für c) vergleiche die Anzahl der Würfel in der dritten und vierten Bauphase.

1. Die Draufsichten sind vollständig gefüllte Quadrate mit den Seitenlängen \(1\), \(2\) und \(3\). Von einer Bauphase zur nächsten wächst die Seitenlänge um \(1\). 2. Die vierte Bauphase ist deshalb ein Quadrat mit der Seitenlänge \(4\). Sie enthält \(4 \cdot 4 = 16\) Würfel. 3. Die dritte Bauphase enthält \(3 \cdot 3 = 9\) Würfel. Neu kommen also \(16 - 9 = 7\) Würfel hinzu.

a) Die Seitenlänge des vollständig gefüllten Quadrats wächst jeweils um \(1\). b) \(16\) Würfel c) \(7\) neue Würfel

- Lies die Sprungweite an den Pfeilen ab. - Gehe von jedem bekannten Wert genau einen Sprung weiter. - Für Teil b) setzt du dasselbe Muster einmal fort.

1. Jeder Sprung beträgt \(+250\). 2. Von \(1250\) aus entstehen nacheinander \(1500\), \(1750\), \(2000\) und \(2250\). 3. Ein weiterer Sprung um \(250\) führt zu \(2500\).

a) \(1500, 1750, 2000, 2250\) b) \(2500\)

- Suche zwei benachbarte Zahlen, die schon gegeben sind. - Bestimme den Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen. - Nutze denselben Schritt einmal rückwärts und einmal vorwärts.

1. Von \(200\) zu \(230\) werden \(30\) addiert. 2. Deshalb gilt rückwärts \(200 - 30 = 170\). Das ist die erste fehlende Zahl. 3. Vorwärts gilt \(230 + 30 = 260\). Das ist die zweite fehlende Zahl. 4. Die Folge wächst bei jedem Schritt um \(30\).

\(140; 170; 200; 230; 260; 290\). Die Regel lautet: immer \(30\) addieren.

- Untersuche getrennt den ersten, dritten und fünften Übergang. - Prüfe danach, ob der zweite und vierte Übergang mit derselben anderen Rechenänderung erklärt werden können. - Erst wenn beide Teilschritte wiederholt passen, setze die Folge fort.

1. Von \(5\) zu \(15\) führt die Multiplikation mit \(3\). Dieselbe Multiplikation passt auch von \(10\) zu \(30\) und von \(25\) zu \(75\). 2. Von \(15\) zu \(10\) werden \(5\) subtrahiert. Derselbe zweite Schritt passt von \(30\) zu \(25\). 3. Die wiederholte Zweischrittregel lautet daher: mit \(3\) multiplizieren, dann \(5\) subtrahieren. 4. Nach \(75\) folgen \(70\), \(210\), \(205\), \(615\) und \(610\).

a) Abwechselnd mit \(3\) multiplizieren und \(5\) subtrahieren. b) \(70; 210; 205; 615; 610\)

- Schreibe die Differenzen zwischen den benachbarten gegebenen Zahlen unter die Folge. - Vergleiche anschließend diese Differenzen miteinander. - Führe zuerst das Muster der Differenzen fort und nutze es danach für die ursprüngliche Folge.

1. Die bisherigen Differenzen sind \(3 - 2 = 1\), \(6 - 3 = 3\), \(11 - 6 = 5\) und \(18 - 11 = 7\). 2. Die Differenzen wachsen jeweils um \(2\). 3. Daher folgen als Differenzen \(9\), \(11\), \(13\), \(15\) und \(17\). 4. Die nächsten Zahlen sind \(18 + 9 = 27\), \(27 + 11 = 38\), \(38 + 13 = 51\), \(51 + 15 = 66\) und \(66 + 17 = 83\).

a) \(1; 3; 5; 7\) b) \(+2\) c) \(27; 38; 51; 66; 83\)

- Schreibe jede Zahl untereinander oder nebeneinander auf, um den Überblick zu behalten. - Achte genau auf die Grenze: Bei genau \(20\) musst du bereits die zweite Regel anwenden. - Vergleiche jede neue Zahl mit allen vorherigen Zahlen in deiner Liste.

1. Startwert \(5 < 20 \rightarrow 5 \cdot 2 = 10\) 2. \(10 < 20 \rightarrow 10 \cdot 2 = 20\) 3. \(20 \ge 20 \rightarrow 20 - 7 = 13\) 4. \(13 < 20 \rightarrow 13 \cdot 2 = 26\) 5. \(26 \ge 20 \rightarrow 26 - 7 = 19\) 6. \(19 < 20 \rightarrow 19 \cdot 2 = 38\) 7. \(38 \ge 20 \rightarrow 38 - 7 = 31\) 8. \(31 \ge 20 \rightarrow 31 - 7 = 24\) 9. \(24 \ge 20 \rightarrow 24 - 7 = 17\) 10. \(17 < 20 \rightarrow 17 \cdot 2 = 34\) 11. \(34 \ge 20 \rightarrow 34 - 7 = 27\) 12. \(27 \ge 20 \rightarrow 27 - 7 = 20\) Die Zahl \(20\) ist die erste Zahl, die sich wiederholt. Die Folge bis dahin ist: \(5, 10, 20, 13, 26, 19, 38, 31, 24, 17, 34, 27, 20\).

Die Zahl \(20\) wiederholt sich als erstes. Die Folge lautet: \(5, 10, 20, 13, 26, 19, 38, 31, 24, 17, 34, 27, 20\).

- Führe die Rechnungen Schritt für Schritt aus und notiere die Ergebnisse. - Schau dir die Zahlenreihe an, wenn du fertig bist. Entdeckst du einen Rhythmus? - Wann fängt die Folge an, sich zu wiederholen?

1. Die erste Zahl ist \(14\). Da sie nicht auf \(0\) endet, folgt \(14 + 6 = 20\). 2. \(20\) endet auf \(0\), also folgt \(20 : 10 = 2\). 3. \(2\) endet nicht auf \(0\), also folgt \(2 + 6 = 8\). 4. \(8\) endet nicht auf \(0\), also folgt \(8 + 6 = 14\). 5. Danach werden dieselben Regeln noch dreimal angewendet: \(14 \rightarrow 20 \rightarrow 2 \rightarrow 8\). Die ersten acht Zahlen lauten damit \(14, 20, 2, 8, 14, 20, 2, 8\). Es entsteht ein Zyklus: Die vier Zahlen \(14, 20, 2, 8\) wiederholen sich immer wieder in dieser Reihenfolge.

a) Die ersten 8 Zahlen sind: \(14, 20, 2, 8, 14, 20, 2, 8\). b) Es entsteht ein Zyklus (eine Wiederholung). Die Zahlenfolge wiederholt sich alle vier Schritte.

- Rechne die Ausdrücke paarweise und vergleiche die Werte der Paare. - Wie viele gleichartige Paare enthält jede Zeile? - Verbinde die Anzahl dieser Paare mit der Nummer der Zeile.

1. Die ersten vier Ergebnisse sind \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\). Jede Zeile lässt sich in Paare mit dem Wert \(1\) zerlegen; das Ergebnis entspricht der Zeilennummer. 2. In Zeile \(6\) lautet der Ausdruck \(12 - 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1\). Er besteht aus sechs Paaren mit dem Wert \(1\), also ist das Ergebnis \(6\). 3. Weil das Ergebnis der Zeilennummer entspricht, steht das Ergebnis \(25\) in Zeile \(25\).

a) \(1, 2, 3, 4\); das Ergebnis entspricht jeweils der Zeilennummer. b) \(12 - 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1 = 6\) c) Zeile \(25\)

- Was kommt in der Klammer hinzu, wenn du eine Zeile weitergehst? - Nutze die bereits bekannte Klammersumme der vorherigen Zeile. - Prüfe bei Teil b) die Ergebnisse direkt um die Grenze \(80\).

1. In Zeile \(5\) wird \(100 - (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 100 - 15 = 85\) gerechnet. 2. In Zeile \(6\) wird \(100 - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 100 - 21 = 79\) gerechnet. 3. Damit ist das Ergebnis in Zeile \(6\) zum ersten Mal kleiner als \(80\). 4. Die Summe von \(1\) bis \(10\) ist \(55\). Daher ergibt Zeile \(10\) den Wert \(100 - 55 = 45\).

a) Zeile \(5\): \(85\); Zeile \(6\): \(79\) b) Zeile \(6\) c) \(45\)

- Achte besonders auf die Rechnungen bei zweistelligen und dreistelligen Zahlen. - Schreibe die Ergebnisse der Reihe nach auf, um den Überblick zu behalten. - Vergleiche dein letztes Ergebnis mit deiner Startzahl.

1. Schritt: \(2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 4\). 2. Schritt: \(4 \cdot 4 = 16\). 3. Schritt: \(1 \cdot 1 + 6 \cdot 6 = 1 + 36 = 37\). 4. Schritt: \(3 \cdot 3 + 7 \cdot 7 = 9 + 49 = 58\). 5. Schritt: \(5 \cdot 5 + 8 \cdot 8 = 25 + 64 = 89\). 6. Schritt: \(8 \cdot 8 + 9 \cdot 9 = 64 + 81 = 145\). 7. Schritt: \(1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 5 = 1 + 16 + 25 = 42\). 8. Schritt: \(4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20\). Nach dem achten Schritt erreicht man wieder die Startzahl \(20\).

Die Zahlenkette lautet: \(20 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20\). Nach 8 Schritten landet man wieder bei der Startzahl \(20\). Die Kette wiederholt sich also immer wieder.

- Vergleiche in Tabelle und Abbildung die Höhe mit der Breite der untersten Reihe. - Welche neue Reihe kommt hinzu, wenn die Treppe um eine Stufe höher wird? - Für die Gesamtzahl kannst du die Würfelzahlen der einzelnen Reihen addieren.

1. In jeder neuen Höhe kommen unten zwei weitere Würfel hinzu. Bei Höhe \(10\) liegen daher \(10 \cdot 2 = 20\) Würfel in der untersten Reihe. 2. Die Reihen enthalten von oben nach unten \(2, 4, 6, \dots, 20\) Würfel. Ihre Summe ist \(2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110\). 3. Allgemein erhält man die unterste Reihe, indem man die Höhe verdoppelt. Für die Gesamtzahl addiert man die geraden Reihenbreiten von \(2\) bis zur Breite der untersten Reihe.

a) Unterste Reihe: \(20\) Würfel; insgesamt: \(110\) Würfel b) Die Breite der untersten Reihe ist das Doppelte der Höhe. Die Gesamtzahl erhält man durch Addition der geraden Reihenbreiten von oben nach unten.

- Nutze die Abbildung, um zu sehen, welche Seite beim nächsten Dreieck bereits vorhanden ist. - Trenne gedanklich das erste Dreieck von den weiteren Dreiecken. - Für Teil b) kannst du die Regel aus Teil a) rückwärts nutzen.

1. Für \(25\) Dreiecke braucht das erste Dreieck \(3\) Hölzer; die übrigen \(24\) Dreiecke liefern je \(2\) neue Hölzer. Daher \(3 + 24 \cdot 2 = 51\). 2. Aus der Abbildung ergibt sich: Für jedes Dreieck werden zwei Hölzer gezählt und einmal kommt ein zusätzliches Anfangsholz hinzu. Deshalb gilt rückwärts \(61 - 1 = 60\) und \(60 : 2 = 30\). Also sind es \(30\) Dreiecke. 3. Für jede Dreiecksanzahl verdoppelt man die Anzahl der Dreiecke und addiert \(1\) für das zusätzliche Anfangsholz.

a) \(51\) Streichhölzer b) \(30\) Dreiecke c) Dreiecksanzahl verdoppeln und \(1\) addieren.

- Vergleiche die Werte in der Tabelle: Um wie viel steigt die Plattenzahl pro Schritt? - Nutze die Abbildung, um die vier Seiten und die vier zusätzlichen Eckplätze zu erkennen. - Für Seitenlänge \(12\) kannst du entweder das Wachstum fortsetzen oder Seiten und Ecken getrennt zählen.

1. Mit jeder zusätzlichen Plattenlänge an der Beetkante kommen insgesamt \(4\) Randplatten hinzu. 2. Von Seitenlänge \(1\) bis \(12\) sind es \(11\) Schritte: \(8 + 11 \cdot 4 = 52\). 3. Alternativ kann man für eine Seitenlänge \(n\) an den vier Seiten je \(n\) Platten zählen und die vier Eckplatten ergänzen. Für \(n = 12\): \(4 \cdot 12 + 4 = 52\).

a) \(52\) Steinplatten b) Viermal die Seitenlänge plus die \(4\) Eckplatten.

- Wie weit ist es insgesamt von der ersten bis zur letzten Zahl? - Wenn diese Strecke in fünf gleiche Teile geteilt wird, wie groß ist dann ein Teil? - In welche Richtung musst du rechnen, um die Zahlen vor oder nach der Startzahl zu finden?

1. Von \(15\,000\) bis \(17\,500\) sind es insgesamt \(17\,500 - 15\,000 = 2500\). Auf fünf gleiche Schritte verteilt ergibt das \(2500 : 5 = 500\) pro Schritt. 2. Vorwärts werden jeweils \(500\) addiert: \(15\,500, 16\,000, 16\,500, 17\,000, 17\,500\). 3. Rückwärts werden jeweils \(500\) subtrahiert: \(14\,500, 14\,000, 13\,500, 13\,000, 12\,500\).

a) Ein Schritt ist \(500\) groß. b) \(15\,500, 16\,000, 16\,500, 17\,000, 17\,500\) c) \(14\,500, 14\,000, 13\,500, 13\,000, 12\,500\)

- Suche in der angegebenen Folge nach dem kürzesten Abschnitt, der sich wiederholt. - Wie viele vollständige Viererblöcke liegen kurz vor der \(50.\) Position? - Von einer Position am Ende eines vollständigen Blocks kannst du die nächsten Stellen direkt im Muster weiterzählen.

1. Der Viererblock \(2, 4, 8, 6\) wiederholt sich immer wieder. 2. In \(48\) Positionen passen genau \(12\) vollständige Viererblöcke. 3. Die \(49.\) Zahl hat deshalb wieder die erste Endziffer \(2\), die \(50.\) Zahl die zweite Endziffer \(4\).

a) Die Endziffern wiederholen sich immer nach dem Viererblock \(2, 4, 8, 6\). b) Die \(50.\) Zahl der Verdopplungsfolge hat die Endziffer \(4\).

- Wenn du zwei Zahlen kennst, kannst du die nächste Zahl durch Addieren finden. - Um rückwärts zu gehen, nutze die Umkehrung der Addition. - Wenn \(A + B = C\) gilt und du \(B\) und \(C\) kennst, wie findest du \(A\)? - Prüfe am Ende, ob deine ganze Zahlenkette der Additionsregel entspricht.

1. Nach \(7\) und \(11\) folgt \(7 + 11 = 18\). Danach folgt \(11 + 18 = 29\). 2. Rückwärts gilt: Die Zahl direkt vor der \(7\) ist \(11 - 7 = 4\). 3. Die Zahl davor ist \(7 - 4 = 3\). 4. Zur Kontrolle ergibt sich die Folge \(3; 4; 7; 11; 18; 29\). Je zwei benachbarte Zahlen ergeben die nächste Zahl.

Davor stehen \(3\) und \(4\); danach folgen \(18\) und \(29\).

- Untersuche jede Startzahl einzeln und schreibe die entstehenden Zahlen der Reihe nach auf. - Multipliziere bei jedem Schritt jede Ziffer mit sich selbst und addiere diese Produkte. - Sobald eine Zahl zum zweiten Mal auftritt, wiederholt sich die Kette ab dort.

1. Für \(13\) gilt: \(13 \rightarrow 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = 10 \rightarrow 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1\). Damit ist \(13\) fröhlich. 2. Für \(14\) entsteht die Kette \(14 \rightarrow 17 \rightarrow 50 \rightarrow 25 \rightarrow 29 \rightarrow 85 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89\). Die Zahl \(89\) tritt erneut auf; ab dort wiederholt sich die Kette und erreicht nicht \(1\). 3. Für \(15\) entsteht \(15 \rightarrow 26 \rightarrow 40 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89\). Ab \(89\) folgt dieselbe Schleife wie bei \(14\). 4. Somit ist nur \(13\) eine fröhliche Zahl.

Nur \(13\) ist eine fröhliche Zahl. Die Ketten von \(14\) und \(15\) geraten in eine Wiederholung und erreichen nicht \(1\).

- Prüfe nicht nur, ob eine Regel zum letzten Übergang passt, sondern zu allen gegebenen Übergängen. - Suche einmal nach einer Regel, die frühere Glieder miteinander verknüpft, und einmal nach einem Muster in den Differenzen. - Zwei verschiedene passende Regeln können nach den gegebenen Gliedern unterschiedlich weiterlaufen.

1. Minas Regel kann lauten: Jede neue Zahl ist die Summe der beiden vorherigen. Dann gilt \(2 + 3 = 5\), \(3 + 5 = 8\) und als Nächstes \(5 + 8 = 13\). 2. Jonas' Regel kann lauten: Addiere nacheinander \(1, 2, 3, 4, \dots\). Dann entsteht \(2, 3, 5, 8\) und als Nächstes \(8 + 4 = 12\). 3. Beide Regeln passen zu allen vorgegebenen Gliedern, führen aber danach zu verschiedenen Zahlen. Ohne zusätzliche Regelangabe ist die Fortsetzung daher nicht eindeutig.

Beide Aussagen sind begründbar. Zum Beispiel liefert „Summe der beiden Vorgänger“ als Nächstes \(13\), während „addiere nacheinander \(1, 2, 3, 4, \dots\)“ als Nächstes \(12\) liefert. Die Anfangsglieder bestimmen die Regel nicht eindeutig.