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- Schau dir an, wie sich die Zahlen von Schritt zu Schritt verändern. Werden sie größer oder kleiner? - Berechne den Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Zahl sowie zwischen der zweiten und der dritten Zahl. - Bleibt dieser Unterschied immer gleich?

1. Bestimmung des Abstands zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern: \(92 - 84 = 8\), \(84 - 76 = 8\), \(76 - 68 = 8\). 2. Feststellung der Regel: Von jeder Zahl wird \(8\) subtrahiert, um die nächste Zahl zu erhalten. 3. Berechnung der nächsten Glieder: \(60 - 8 = 52\), \(52 - 8 = 44\), \(44 - 8 = 36\), \(36 - 8 = 28\), \(28 - 8 = 20\).

\(52; 44; 36; 28; 20\) Regel: Subtrahiere immer \(8\) (\(- 8\)).

- Schreibe dir die ersten beiden Zahlen nebeneinander auf. - Addiere sie, um die dritte Zahl zu finden. - Um die vierte Zahl zu finden, nimmst du die zweite und die dritte Zahl und addierst sie. - Führe dieses Muster Schritt für Schritt fort, bis du zehn Zahlen hast.

1. Startwerte festlegen: \(a_1 = 2\), \(a_2 = 3\). 2. Berechnung durch Addition der jeweils zwei letzten Glieder: \(a_3 = 2 + 3 = 5\) \(a_4 = 3 + 5 = 8\) \(a_5 = 5 + 8 = 13\) \(a_6 = 8 + 13 = 21\) \(a_7 = 13 + 21 = 34\) \(a_8 = 21 + 34 = 55\) \(a_9 = 34 + 55 = 89\) \(a_{10} = 55 + 89 = 144\)

\(2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144\)

- Prüfe bei jeder neuen Zahl sorgfältig, ob sie gerade oder ungerade ist. - Zähle die Pfeile oder Rechenschritte zwischen den Zahlen, nicht die Anzahl der Zahlen selbst. - Erinnere dich: Eine Zahl ist gerade, wenn ihre letzte Ziffer \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) ist.

1. Startzahl: \(13\) (ungerade) \(\rightarrow 3 \cdot 13 + 1 = 40\) (1. Schritt) 2. \(40\) (gerade) \(\rightarrow 40 : 2 = 20\) (2. Schritt) 3. \(20\) (gerade) \(\rightarrow 20 : 2 = 10\) (3. Schritt) 4. \(10\) (gerade) \(\rightarrow 10 : 2 = 5\) (4. Schritt) 5. \(5\) (ungerade) \(\rightarrow 3 \cdot 5 + 1 = 16\) (5. Schritt) 6. \(16\) (gerade) \(\rightarrow 16 : 2 = 8\) (6. Schritt) 7. \(8\) (gerade) \(\rightarrow 8 : 2 = 4\) (7. Schritt) 8. \(4\) (gerade) \(\rightarrow 4 : 2 = 2\) (8. Schritt) 9. \(2\) (gerade) \(\rightarrow 2 : 2 = 1\) (9. Schritt) Die Folge lautet: \(13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1\). Es sind insgesamt \(9\) Schritte.

Die Folge ist \(13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1\). Es werden \(9\) Schritte benötigt, um die \(1\) zu erreichen.

- Kannst du ein Muster erkennen, wie sich das Ergebnis von einer Nummer zur nächsten verändert? - Was musst du zum vorherigen Ergebnis dazurechnen, um zum nächsten zu gelangen? - Versuche, die Zahlen geschickt zu paaren, um die Summe schneller zu berechnen (zum Beispiel die erste und die letzte Zahl).

1. Berechnung der ersten sechs Ergebnisse: Nummer 1 ist \(1\), Nummer 2 ist \(1 + 2 = 3\), Nummer 3 ist \(1 + 2 + 3 = 6\), Nummer 4 ist \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\). Durch Fortsetzung ergibt sich für Nummer 5 das Ergebnis \(15\) (\(10 + 5\)) und für Nummer 6 das Ergebnis \(21\) (\(15 + 6\)). 2. Für die 10. Nummer müssen alle Zahlen von 1 bis 10 addiert werden: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55\). 3. Da die Summe der Zahlen von 1 bis 10 genau \(55\) ergibt, steht dieses Ergebnis an der 10. Stelle.

a) 1, 3, 6, 10, 15, 21 b) 55 c) Bei Nummer 10

- Gehe Schritt für Schritt vor und notiere dir jedes Zwischenergebnis. - Denke daran, dass bei einer dreistelligen Zahl alle drei Ziffern einzeln multipliziert werden müssen. - Ein „Schritt“ ist eine abgeschlossene Rechnung, die zu einer neuen Zahl führt.

1. Berechnung des ersten Schritts: \(4 \cdot 4 + 9 \cdot 9 = 16 + 81 = 97\). 2. Berechnung des zweiten Schritts: \(9 \cdot 9 + 7 \cdot 7 = 81 + 49 = 130\). 3. Berechnung des dritten Schritts: \(1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 1 + 9 + 0 = 10\). 4. Berechnung des vierten Schritts: \(1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1\). Die Kette lautet \(49 \rightarrow 97 \rightarrow 130 \rightarrow 10 \rightarrow 1\). Es werden insgesamt 4 Schritte benötigt.

Die Zahlenkette lautet: \(49 \rightarrow 97 \rightarrow 130 \rightarrow 10 \rightarrow 1\). Man benötigt insgesamt \(4\) Schritte, um zur \(1\) zu gelangen.

- Überlege dir, wie viele Hölzer beim ersten Dreieck dazukommen und wie viele bei jedem weiteren. - Kannst du eine Rechnung aufstellen, die mit „Anzahl der Dreiecke mal etwas“ beginnt? - Wenn du die Gesamtzahl der Hölzer kennst, wie kannst du die Rechnung umkehren, um auf die Anzahl der Dreiecke zu kommen?

1. Berechnung für 25 Dreiecke: Das erste Dreieck benötigt 3 Hölzer, die restlichen 24 Dreiecke benötigen jeweils 2 Hölzer. Rechnung: \(3 + 24 \cdot 2 = 3 + 48 = 51\). Alternativ: Jedes Dreieck steuert 2 Hölzer bei, plus 1 Holz für den Anfang: \(25 \cdot 2 + 1 = 51\). 2. Berechnung der Dreiecksanzahl bei 61 Hölzern: Zuerst das Start-Holz abziehen: \(61 - 1 = 60\). Dann durch die Anzahl der Hölzer pro Dreieck teilen: \(60 : 2 = 30\). Die Kette besteht aus 30 Dreiecken. 3. Regelformulierung: Die Anzahl der Hölzer ist immer das Doppelte der Dreiecksanzahl plus eins.

a) Sie benötigt \(51\) Streichhölzer. b) Die Kette besteht aus \(30\) Dreiecken. c) Man multipliziert die Anzahl der Dreiecke mit 2 und addiert 1 dazu.

- Überlege dir zuerst, ob die Zahlen größer oder kleiner werden. - Welche Stelle der Zahl ändert sich, wenn du in Zehner- oder Hunderterschritten zählst? - Achte besonders auf den Übergang zum nächsten Tausender.

1. Für Teilaufgabe a) wird fünfmal \(10\) addiert: \(8\,970 + 10 = 8\,980\), \(8\,980 + 10 = 8\,990\), \(8\,990 + 10 = 9\,000\), \(9\,000 + 10 = 9\,010\), \(9\,010 + 10 = 9\,020\). 2. Für Teilaufgabe b) wird fünfmal \(100\) subtrahiert: \(8\,970 - 100 = 8\,870\), \(8\,870 - 100 = 8\,770\), \(8\,770 - 100 = 8\,670\), \(8\,670 - 100 = 8\,570\), \(8\,570 - 100 = 8\,470\). 3. Für Teilaufgabe c) wird fünfmal \(5\) addiert: \(8\,970 + 5 = 8\,975\), \(8\,975 + 5 = 8\,980\), \(8\,980 + 5 = 8\,985\), \(8\,985 + 5 = 8\,990\), \(8\,990 + 5 = 8\,995\).

a) \(8\,980, 8\,990, 9\,000, 9\,010, 9\,020\) b) \(8\,870, 8\,770, 8\,670, 8\,570, 8\,470\) c) \(8\,975, 8\,980, 8\,985, 8\,990, 8\,995\)

- Hier passiert nicht in jedem Schritt dasselbe. Schau dir jeweils zwei aufeinanderfolgende Rechenschritte an. - Gibt es eine Kombination aus zwei verschiedenen Rechenarten, die sich wiederholt? - Wie kommst du von der ersten zur zweiten Zahl und wie von der zweiten zur dritten?

1. Analyse der ersten Schritte: Von \(5\) zu \(15\) gelangt man durch \(\cdot 3\). Von \(15\) zu \(10\) durch \(- 5\). 2. Überprüfung der weiteren Glieder: \(10 \cdot 3 = 30\) und \(30 - 5 = 25\). Danach folgt \(25 \cdot 3 = 75\). 3. Anwendung der abwechselnden Regel (\(\cdot 3\) und \(- 5\)) auf die weiteren Glieder: \(75 - 5 = 70\), \(70 \cdot 3 = 210\), \(210 - 5 = 205\), \(205 \cdot 3 = 615\), \(615 - 5 = 610\).

\(70; 210; 205; 615; 610\) Regel: Rechne abwechselnd mal \(3\) und minus \(5\) (\(\cdot 3; - 5\)).

- Schreibe jede Zahl untereinander oder nebeneinander auf, um den Überblick zu behalten. - Achte genau auf die Grenze: Bei genau \(20\) musst du bereits die zweite Regel anwenden. - Vergleiche jede neue Zahl mit allen vorherigen Zahlen in deiner Liste.

1. Startwert \(5 < 20 \rightarrow 5 \cdot 2 = 10\) 2. \(10 < 20 \rightarrow 10 \cdot 2 = 20\) 3. \(20 \ge 20 \rightarrow 20 - 7 = 13\) 4. \(13 < 20 \rightarrow 13 \cdot 2 = 26\) 5. \(26 \ge 20 \rightarrow 26 - 7 = 19\) 6. \(19 < 20 \rightarrow 19 \cdot 2 = 38\) 7. \(38 \ge 20 \rightarrow 38 - 7 = 31\) 8. \(31 \ge 20 \rightarrow 31 - 7 = 24\) 9. \(24 \ge 20 \rightarrow 24 - 7 = 17\) 10. \(17 < 20 \rightarrow 17 \cdot 2 = 34\) 11. \(34 \ge 20 \rightarrow 34 - 7 = 27\) 12. \(27 \ge 20 \rightarrow 27 - 7 = 20\) Die Zahl \(20\) ist die erste Zahl, die sich wiederholt. Die Folge bis dahin ist: \(5, 10, 20, 13, 26, 19, 38, 31, 24, 17, 34, 27, 20\).

Die Zahl \(20\) wiederholt sich als erstes. Die Folge lautet: \(5, 10, 20, 13, 26, 19, 38, 31, 24, 17, 34, 27, 20\).

- Führe die Rechnungen Schritt für Schritt aus und notiere die Ergebnisse. - Schau dir die Zahlenreihe an, wenn du fertig bist. Entdeckst du einen Rhythmus? - Wann fängt die Folge an, sich zu wiederholen?

1. Start: \(14\) (keine \(0\)) \(\rightarrow 14 + 6 = 20\) 2. \(20\) (Endet auf \(0\)) \(\rightarrow 20 : 10 = 2\) 3. \(2\) (keine \(0\)) \(\rightarrow 2 + 6 = 8\) 4. \(8\) (keine \(0\)) \(\rightarrow 8 + 6 = 14\) 5. \(14\) (keine \(0\)) \(\rightarrow 14 + 6 = 20\) 6. \(20\) (Endet auf \(0\)) \(\rightarrow 20 : 10 = 2\) 7. \(2\) (keine \(0\)) \(\rightarrow 2 + 6 = 8\) 8. \(8\) (keine \(0\)) \(\rightarrow 8 + 6 = 14\) Die Zahlenfolge lautet: \(14, 20, 2, 8, 14, 20, 2, 8\). Es entsteht ein Zyklus: Die vier Zahlen \(14, 20, 2, 8\) wiederholen sich immer wieder in dieser Reihenfolge.

a) Die ersten 8 Zahlen sind: \(14, 20, 2, 8, 14, 20, 2, 8\). b) Es entsteht ein Zyklus (eine Wiederholung). Die Zahlenfolge wiederholt sich alle vier Schritte.

- Lies die Beschreibung der Regel ganz genau und Schritt für Schritt. - Was bedeutet „doppelt so groß“ mathematisch? - Was bedeutet „vermindert um 5“? - Rechne immer erst das Ergebnis einer Zahl aus, bevor du die Regel auf dieses neue Ergebnis anwendest.

1. Startwert festlegen: \(10\). 2. Berechnung des zweiten Glieds: \(10 \cdot 2 - 5 = 15\). 3. Berechnung des dritten Glieds: \(15 \cdot 2 - 5 = 25\). 4. Berechnung des vierten Glieds: \(25 \cdot 2 - 5 = 45\). 5. Berechnung des fünften Glieds: \(45 \cdot 2 - 5 = 85\). 6. Berechnung des sechsten Glieds: \(85 \cdot 2 - 5 = 165\).

Die ersten sechs Zahlen der Folge lauten: \(10, 15, 25, 45, 85, 165\).

- Überlege dir, welche Zahl du erreichen musst, kurz bevor du die 32 triffst. - Wie viele Zahlen können zwei Spieler zusammen in einer Runde mindestens und höchstens addieren? - Gibt es eine feste Summe, die du immer erreichen kannst, egal was dein Gegner tut? - Schau dir die Abstände zwischen den Zahlen an, die dir den Sieg garantieren könnten.

1. Da die Spieler Zahlen von \(1\) bis \(5\) wählen können, lässt sich jede Runde (ein Zug pro Spieler) auf die Summe \(1 + 5 = 6\) ergänzen. 2. Um sicher zu gewinnen, muss man die Zahlenfolge finden, die rückwärts von \(32\) in \(6\)er-Schritten verläuft: \(32, 26, 20, 14, 8, 2\). 3. Leon wählt zu Beginn die \(2\), da dies die kleinste „Gewinnzahl“ in dieser Folge ist. 4. Wenn der Mitspieler eine Zahl \(x\) addiert, muss Leon die Zahl \(6 - x\) addieren. Da \(1 \le x \le 5\), ist auch \(1 \le 6 - x \le 5\), sodass Leon diesen Zug immer ausführen kann. 5. Die vollständige Folge der Gewinnzahlen für Leon lautet: \(2, 8, 14, 20, 26, 32\).

a) Die \(2\) ist die erste Gewinnzahl. Von dort aus kann Leon immer die Kontrolle über das Spiel behalten. b) Er muss die Zahl des Gegners immer auf \(6\) ergänzen (also \(6 - x\) wählen). c) Die Zahlen sind \(2, 8, 14, 20, 26, 32\).

- Was ist die kleinstmögliche und die größtmögliche Anzahl an Bonbons, die in einer Runde (beide Spieler waren dran) verschwinden können? - Kannst du bewirken, dass nach jeder Runde immer eine bestimmte Anzahl an Bonbons weg ist? - Probiere das Spiel mit einer kleineren Anzahl, zum Beispiel 6 Bonbons, aus.

1. Die Spieler können pro Zug \(1\) oder \(2\) Bonbons nehmen. Die Summe eines Zugpaares kann immer auf \(1 + 2 = 3\) gebracht werden. 2. Die Zielzahl ist \(0\) (alle Bonbons weg). Wir betrachten die Vielfachen der Schrittsumme \(3\) rückwärts von der Startzahl \(21\): \(21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0\). 3. Da die Startzahl \(21\) bereits ein Vielfaches von \(3\) ist, befindet sich der erste Spieler in einer Verlustposition, sofern der zweite Spieler richtig spielt. 4. Der zweite Spieler muss immer so viele Bonbons nehmen, dass die Summe der Bonbons, die der erste Spieler in seinem Zug genommen hat, und die eigenen Bonbons genau \(3\) ergibt. 5. Nimmt Spieler 1 also \(x\) Bonbons, nimmt Spieler 2 genau \(3 - x\) Bonbons. So landet Spieler 2 immer auf den Zahlen \(18, 15, 12, 9, 6, 3\) und schließlich bei der \(0\).

Der zweite Spieler kann gewinnen. Er muss die Anzahl der vom ersten Spieler genommenen Bonbons immer auf \(3\) ergänzen (nimmt der Erste \(1\), nimmt der Zweite \(2\); nimmt der Erste \(2\), nimmt der Zweite \(1\)).

- Rechne die Ausdrücke am besten paarweise von links nach rechts oder von rechts nach links aus. - Fällt dir etwas auf, wenn du die Teilrechnungen wie \(2-1\) oder \(4-3\) betrachtest? - Wie hängen die Zeilennummer und der Wert der ersten Zahl im Ausdruck zusammen?

1. Berechnung der ersten Ergebnisse: Zeile 1 ergibt \(1\). Zeile 2 ergibt \((4-3) + (2-1) = 1 + 1 = 2\). Zeile 3 ergibt \((6-5) + (4-3) + (2-1) = 1 + 1 + 1 = 3\). Zeile 4 ergibt \((8-7) + (6-5) + (4-3) + (2-1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\). Das Muster zeigt, dass das Ergebnis immer der Zeilennummer entspricht. 2. Der Rechenausdruck für die 6. Zeile beginnt bei \(2 \cdot 6 = 12\) und zählt abwechselnd subtrahierend und addierend bis 1 herunter: \(12 - 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1\). Das Ergebnis ist \(6\). 3. Da das Ergebnis immer gleich der Zeilennummer ist, steht das Ergebnis \(25\) in der 25. Zeile.

a) Ergebnisse: 1, 2, 3, 4. Das Ergebnis entspricht immer der Zeilennummer. b) Ausdruck: \(12 - 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1\); Ergebnis: 6 c) In der 25. Zeile

- Achte besonders auf die Rechnungen bei zweistelligen und dreistelligen Zahlen. - Schreibe die Ergebnisse der Reihe nach auf, um den Überblick zu behalten. - Vergleiche dein letztes Ergebnis mit deiner Startzahl.

1. Schritt: \(2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 4\). 2. Schritt: \(4 \cdot 4 = 16\). 3. Schritt: \(1 \cdot 1 + 6 \cdot 6 = 1 + 36 = 37\). 4. Schritt: \(3 \cdot 3 + 7 \cdot 7 = 9 + 49 = 58\). 5. Schritt: \(5 \cdot 5 + 8 \cdot 8 = 25 + 64 = 89\). 6. Schritt: \(8 \cdot 8 + 9 \cdot 9 = 64 + 81 = 145\). 7. Schritt: \(1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 5 = 1 + 16 + 25 = 42\). 8. Schritt: \(4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20\). Nach dem achten Schritt erreicht man wieder die Startzahl \(20\).

Die Zahlenkette lautet: \(20 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20\). Nach 8 Schritten landet man wieder bei der Startzahl \(20\). Die Kette wiederholt sich also immer wieder.

- Schau dir an, wie sich die Anzahl der Würfel in der untersten Reihe von Stufe zu Stufe verändert. - Wie hängen die Zahl in der ersten Zeile (Höhe) und die Zahl in der zweiten Zeile (unterste Reihe) mathematisch zusammen? - Um die Gesamtzahl zu finden, kannst du die Würfel aller Reihen von oben nach unten zusammenzählen. - Gibt es ein Muster, wie die Gesamtzahl von einer Stufe zur nächsten wächst?

1. Berechnung der Würfel in der untersten Reihe: Die Anzahl der Würfel in der untersten Reihe entspricht immer dem Doppelten der Höhe. Für eine Höhe von 10 gilt: \(10 \cdot 2 = 20\). 2. Berechnung der Gesamtzahl der Würfel: Die Gesamtzahl ergibt sich aus der Summe der Würfel aller Reihen. Bei Höhe 10 sind dies \(2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110\). Alternativ lässt sich die Gesamtzahl berechnen, indem man die Höhe mit der um eins größeren Zahl multipliziert: \(10 \cdot 11 = 110\). 3. Erläuterung der Regeln: Die Anzahl in der untersten Reihe ist \(h \cdot 2\). Die Gesamtzahl lässt sich durch \(h \cdot (h + 1)\) bestimmen oder indem man zum vorherigen Gesamtwert die neue unterste Reihe addiert.

a) In der untersten Reihe liegen \(20\) Würfel; insgesamt werden \(110\) Würfel benötigt. b) Die Anzahl der Würfel in der untersten Reihe ist das Doppelte der Höhe. Die Gesamtzahl erhält man, indem man die Höhe mit der nächsthöheren Zahl multipliziert (oder die geraden Zahlen von 2 bis zur Anzahl der untersten Reihe addiert).

- Gehe Schritt für Schritt vor und rechne immer vom Ergebnis des vorherigen Schritts weiter. - Was bedeutet „vorwärts“ und „rückwärts“ für deine Rechnung? - Kannst du ein Muster bei den Endziffern erkennen?

1. Erste Zeile (vorwärts): Addiere pro Schritt \(250\). Die Ergebnisse sind \(24\,500 + 250 = 24\,750\), \(24\,750 + 250 = 25\,000\), \(25\,000 + 250 = 25\,250\), \(25\,250 + 250 = 25\,500\) und \(25\,500 + 250 = 25\,750\). 2. Zweite Zeile (rückwärts): Subtrahiere pro Schritt \(40\). Die Ergebnisse sind \(10\,200 - 40 = 10\,160\), \(10\,160 - 40 = 10\,120\), \(10\,120 - 40 = 10\,080\), \(10\,080 - 40 = 10\,040\) und \(10\,040 - 40 = 10\,000\).

Erste Zeile: \(24\,750, 25\,000, 25\,250, 25\,500, 25\,750\) Zweite Zeile: \(10\,160, 10\,120, 10\,080, 10\,040, 10\,000\)

- Berechne die Unterschiede zwischen den benachbarten Zahlen und schreibe sie in eine Reihe darunter. - Fällt dir bei diesen Unterschieden ein besonderes Muster auf? - Wie verändern sich die Abstände von Schritt zu Schritt?

1. Berechnung der Differenzen zwischen den Gliedern: \(3 - 2 = 1\), \(6 - 3 = 3\), \(11 - 6 = 5\), \(18 - 11 = 7\). 2. Erkennen des Musters der Differenzen: Die Differenzen sind die aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen \(1, 3, 5, 7, \dots\). Die jeweils nächste Differenz ist also um \(2\) größer als die vorherige. 3. Fortführung der Differenzen: Die nächsten Differenzen sind \(9, 11, 13, 15\) und \(17\). 4. Berechnung der Glieder: \(18 + 9 = 27\), \(27 + 11 = 38\), \(38 + 13 = 51\), \(51 + 15 = 66\), \(66 + 17 = 83\).

\(27; 38; 51; 66; 83\) Regel: Die Differenz zwischen den Zahlen wird in jedem Schritt um \(2\) größer (es werden nacheinander die ungeraden Zahlen \(1, 3, 5, 7, 9, \dots\) addiert).

- Wenn du zwei Zahlen kennst, kannst du die nächste Zahl durch Plusrechnen finden. - Wie könntest du wohl die Zahl finden, die vor einer bekannten Zahl steht? Überlege dir die Umkehroperation. - Wenn \(A + B = C\) ist und du \(B\) und \(C\) kennst, wie findest du \(A\)? - Prüfe am Ende, ob deine ganze Kette von Zahlen der Additionsregel entspricht.

1. Berechnung der nachfolgenden Zahlen durch Addition: Nächste Zahl: \(7 + 11 = 18\) Darauffolgende Zahl: \(11 + 18 = 29\) 2. Berechnung der vorangegangenen Zahlen durch Subtraktion (Umkehrung der Regel): Zahl direkt vor der 7: \(11 - 7 = 4\) Zahl davor: \(7 - 4 = 3\) 3. Überprüfung der Sequenz: \(3; 4; 7; 11; 18; 29\). Es gilt \(3+4=7\), \(4+7=11\), usw.

Davor stehen \(3\) und \(4\); danach folgen \(18\) und \(29\).

- Was passiert mit dem Wert in der Klammer, wenn du eine Nummer weitergehst? - Kannst du die bereits berechneten Klammersummen nutzen, um hier schneller zu rechnen? - Überlege dir zuerst, welche Summe man von 100 abziehen muss, um unter 80 zu kommen.

1. Die Summe in der Klammer ist jeweils die Summe der natürlichen Zahlen von \(1\) bis zur Nummer der Zeile. Für Nummer 5: \(100 - (1+2+3+4+5) = 100 - 15 = 85\). Für Nummer 6: \(100 - (15+6) = 100 - 21 = 79\). 2. Bei Nummer 5 ist das Ergebnis \(85\). Bei Nummer 6 ist das Ergebnis \(79\). Somit ist das Ergebnis bei Nummer 6 zum ersten Mal kleiner als \(80\). 3. Für Nummer 10 berechnet man die Summe der Zahlen von 1 bis 10, was \(55\) ergibt. Die Rechnung lautet \(100 - 55 = 45\).

a) 5. Nummer: 85; 6. Nummer: 79 b) Bei Nummer 6 c) 45

- Untersuche jede Startzahl einzeln und schreibe die entstehenden Zahlen der Reihe nach auf. - Sobald eine Zahl zum zweiten Mal auftritt, wiederholt sich die Kette ab dort in einer Schleife. - Eine Zahl ist nur dann fröhlich, wenn ihre Kette schließlich \(1\) erreicht.

1. Untersuchung von \(13\): \(13 ightarrow 1^2 + 3^2 = 10 ightarrow 1^2 + 0^2 = 1\). Damit ist \(13\) fröhlich. 2. Untersuchung von \(14\): \(14 ightarrow 17 ightarrow 50 ightarrow 25 ightarrow 29 ightarrow 85 ightarrow 89 ightarrow 145 ightarrow 42 ightarrow 20 ightarrow 4 ightarrow 16 ightarrow 37 ightarrow 58 ightarrow 89\). Die Zahl \(89\) tritt erneut auf; damit wiederholt sich die Kette und erreicht nie \(1\). 3. Untersuchung von \(15\): \(15 ightarrow 26 ightarrow 40 ightarrow 16 ightarrow 37 ightarrow 58 ightarrow 89\). Ab \(89\) folgt dieselbe Schleife wie bei \(14\). Somit ist nur \(13\) eine fröhliche Zahl.

Nur \(13\) ist eine fröhliche Zahl, denn \(13 ightarrow 10 ightarrow 1\). Die Ketten von \(14\) und \(15\) gelangen in die Schleife \(89 ightarrow 145 ightarrow 42 ightarrow 20 ightarrow 4 ightarrow 16 ightarrow 37 ightarrow 58 ightarrow 89\) und erreichen daher nie \(1\).

- Schau dir die Differenz zwischen den Werten in der Tabelle an. Um wie viel nimmt die Anzahl der Platten jedes Mal zu? - Stell dir das Beet bildlich vor: Es gibt vier Seiten und vier Ecken. - Wie viele Platten liegen an einer Seite des Beets, und wie viele Platten liegen in den Ecken?

1. Muster erkennen: Bei einer Erhöhung der Seitenlänge um 1 steigt die Anzahl der Platten um 4. 2. Berechnung für Seitenlänge 12: Ausgehend von Seitenlänge 1 (8 Platten) müssen 11 weitere Schritte gemacht werden. Rechnung: \(8 + 11 \cdot 4 = 8 + 44 = 52\). 3. Alternative Berechnungsmethode: Ein Beet der Seitenlänge \(n\) hat an jeder der vier Seiten \(n\) Platten, plus 4 Platten für die Ecken. Für \(n = 12\) ergibt das: \(4 \cdot 12 + 4 = 48 + 4 = 52\). 4. Regel: Die Anzahl der Platten ist \(4 \cdot \text{Seitenlänge} + 4\).

a) Es werden \(52\) Steinplatten benötigt. b) Man multipliziert die Seitenlänge mit 4 und addiert die 4 Eckplatten hinzu.

- Wie weit ist es insgesamt von der ersten bis zur letzten Zahl? - Wenn diese Strecke in fünf gleiche Teile geteilt wird, wie groß ist dann ein Teil? - In welche Richtung musst du rechnen, um die Zahlen vor oder nach der Startzahl zu finden?

1. Berechnung der Schrittweite: Die Gesamtdifferenz beträgt \(17\,500 - 15\,000 = 2\,500\). Da dies in fünf Schritten geschieht, ist ein Schritt \(2\,500 : 5 = 500\) groß. 2. Vorwärtsfolge: Ausgehend von \(15\,000\) werden nacheinander \(500\) addiert: \(15\,500, 16\,000, 16\,500, 17\,000, 17\,500\). 3. Rückwärtsfolge: Ausgehend von \(15\,000\) werden nacheinander \(500\) subtrahiert: \(15\,000 - 500 = 14\,500\), \(14\,500 - 500 = 14\,000\), \(14\,000 - 500 = 13\,500\), \(13\,500 - 500 = 13\,000\), \(13\,000 - 500 = 12\,500\).

a) Ein Schritt ist \(500\) groß. b) \(15\,500, 16\,000, 16\,500, 17\,000, 17\,500\) c) \(14\,500, 14\,000, 13\,500, 13\,000, 12\,500\)