Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Ziffern-, Stellenwert- und Zahlenrätsel

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

Schwierigkeit: 1 – 5

4156445

Leon schreibt eine \(10\)-stellige Zahl auf, in der jede der Ziffern von \(0\) bis \(9\) genau einmal vorkommt. a) Berechne die Quersumme seiner Zahl. b) Erkläre, warum die Quersumme bei jeder solchen Zahl gleich ist, egal in welcher Reihenfolge Leon die Ziffern anordnet.

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff Quersumme genau? - Welche Ziffern müssen in der Zahl vorkommen, wenn jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) genau einmal genutzt wird? - Ändert sich das Ergebnis einer Plusrechnung, wenn man die Zahlen vertauscht?

Lösung

1. Da die Zahl \(10\)-stellig ist und jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) genau einmal vorkommt, besteht die Menge der Ziffern aus \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). 2. Die Quersumme ist die Summe dieser Ziffern: \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). 3. Da bei der Addition das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) gilt, spielt die Reihenfolge der Summanden keine Rolle für das Ergebnis. Da es sich immer um dieselben zehn Ziffern handelt, bleibt die Quersumme stets \(45\).

Antwort

a) Die Quersumme ist \(45\). b) Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl. Da in jeder dieser Zahlen die gleichen zehn Ziffern vorkommen, ist auch ihre Summe immer gleich, da die Reihenfolge der Summanden bei einer Addition das Ergebnis nicht verändert.

4156325

Bestimme die kleinste und die größte vierstellige natürliche Zahl, deren Quersumme jeweils \(12\) beträgt.

Denkanstöße

- Um eine Zahl klein zu halten, sollten die vorderen Stellen möglichst kleine Ziffern erhalten. - Beachte, dass die erste Ziffer einer vierstelligen Zahl nicht \(0\) sein darf. - Um eine Zahl groß zu machen, versuche die vorderen Stellen mit den größtmöglichen Ziffern zu besetzen. - Die Summe aller Ziffern muss am Ende genau \(12\) ergeben.

Lösung

1. Zur Bestimmung der kleinsten vierstelligen Zahl wird die Tausenderstelle so klein wie möglich gewählt (\(1\)). Die Hunderterstelle wird ebenfalls minimiert (\(0\)). Damit verbleibt für die Zehner- und Einerstelle die Summe \(11\). Um die Zahl klein zu halten, muss die Zehnerstelle so klein wie möglich sein, was unter Berücksichtigung der maximalen Ziffer \(9\) an der Einerstelle den Wert \(2\) ergibt. Die kleinste Zahl ist somit \(1029\). 2. Zur Bestimmung der größten vierstelligen Zahl wird die Tausenderstelle maximiert (\(9\)). Die verbleibende Summe für die restlichen Stellen ist \(3\). Um die Zahl zu maximieren, wird die Hunderterstelle so groß wie möglich gewählt (\(3\)), wodurch für Zehner- und Einerstelle jeweils \(0\) verbleibt. Die größte Zahl ist somit \(9300\).

Antwort

Die kleinste Zahl ist \(1029\), die größte Zahl ist \(9300\).

4156355

Bestimme die größte und die kleinste sechsstellige natürliche Zahl, die in ihrer Schreibweise genau vier Nullen als Ziffern besitzt.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, an welchen Stellenwerten eine Ziffer den größten oder kleinsten Einfluss auf den Gesamtwert der Zahl hat. - Beachte, dass die erste Ziffer einer Zahl niemals eine Null sein darf. - Wie viele Ziffern bleiben übrig, wenn du die vorgegebene Anzahl an Nullen bereits platziert hast?

Lösung

1. Größte Zahl: Um den Wert zu maximieren, müssen die höchsten Stellen mit den größtmöglichen Ziffern besetzt werden. Da genau vier Nullen vorhanden sind, bleiben zwei Stellen für andere Ziffern. Die größten verfügbaren Ziffern sind \(9\) und \(9\). Diese werden an die Zehntausender- und Hunderttausenderstelle gesetzt. Die restlichen Stellen werden mit Nullen aufgefüllt. Ergebnis: \(990\,000\). 2. Kleinste Zahl: Die erste Stelle (Hunderttausenderstelle) darf keine Null sein. Die kleinstmögliche Ziffer außer Null ist \(1\). Um die Zahl so klein wie möglich zu halten, werden die vier Nullen an die direkt folgenden Stellen gesetzt. Die letzte verbleibende Stelle (Einerstelle) muss ebenfalls mit der kleinsten verfügbaren Ziffer außer Null besetzt werden, also wieder eine \(1\). Ergebnis: \(100\,001\).

Antwort

Größte Zahl: \(990\,000\); kleinste Zahl: \(100\,001\).

4156395

Gesucht sind alle vierstelligen Zahlen, die ausschließlich aus den Ziffern \(3\) und \(7\) bestehen, wobei jede dieser beiden Ziffern genau zweimal vorkommt. Notiere alle diese Zahlen.

Denkanstöße

- Wie viele Stellen hat die Zahl insgesamt? - Wie oft muss jede Ziffer in der Zahl vorkommen? - Versuche, die Positionen der Ziffern Schritt für Schritt zu verändern, damit du keine Kombination vergisst. - Es hilft, die Liste nach der Größe der Zahlen zu ordnen.

Lösung

1. Systematisches Auflisten aller Anordnungen von zwei Dreien und zwei Siebenen. 2. Start mit \(3\) an der Tausenderstelle: \(3377\), \(3737\), \(3773\). 3. Start mit \(7\) an der Tausenderstelle: \(7337\), \(7373\), \(7733\). 4. Es ergeben sich insgesamt \(6\) verschiedene Zahlen.

Antwort

Die Zahlen sind: \(3377\), \(3737\), \(3773\), \(7337\), \(7373\), \(7733\).

4156405

Stelle alle dreistelligen Zahlen zusammen, die man aus den Ziffernkarten \(0\), \(5\) und \(9\) bilden kann. Jede Karte darf in einer Zahl nur einmal verwendet werden. a) Wie viele solcher Zahlen gibt es? b) Welches ist die größte und welches die kleinste dieser Zahlen?

Denkanstöße

- Kann eine Zahl mit der Ziffer 0 beginnen? - Überlege dir zuerst, welche Ziffern an der ersten Stelle stehen dürfen. - Wenn du die erste Stelle festlegst, wie viele Möglichkeiten bleiben dann für die restlichen zwei Karten? - Vergleiche am Ende deine Liste, um die kleinste und größte Zahl zu finden.

Lösung

1. Bestimmung der möglichen Hunderterstellen: Da eine Zahl nicht mit \(0\) beginnen darf, kommen nur \(5\) und \(9\) infrage. 2. Kombinationen mit der Hunderterstelle \(5\): \(509\) und \(590\). 3. Kombinationen mit der Hunderterstelle \(9\): \(905\) und \(950\). 4. Anzahl bestimmen: Es gibt insgesamt \(4\) Zahlen. 5. Vergleich der Werte: Die kleinste Zahl ist \(509\), die größte Zahl ist \(950\).

Antwort

a) Es gibt \(4\) solche Zahlen: \(509\), \(590\), \(905\), \(950\). b) Die kleinste Zahl ist \(509\), die größte Zahl ist \(950\).

4156505

Bestimme alle \(3\)-stelligen Zahlen, deren Quersumme genau \(24\) beträgt. Liste alle diese Zahlen auf.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, was die größtmögliche Quersumme bei einer dreistelligen Zahl ist. - Wie weit ist dein Zielwert von dieser maximalen Summe entfernt? - Versuche, die Ziffernkombinationen systematisch zu finden, indem du mit der größtmöglichen Ziffer 9 beginnst. - Achte darauf, dass die Reihenfolge der Ziffern unterschiedliche Zahlen ergibt.

Lösung

1. Bestimmung der maximal möglichen Quersumme für eine dreistellige Zahl: \(9 + 9 + 9 = 27\). 2. Da die gesuchte Quersumme \(24\) ist, muss die Summe der Ziffern um \(3\) kleiner als das Maximum sein (\(27 - 24 = 3\)). 3. Systematische Untersuchung der Möglichkeiten, den Wert \(3\) von den Ziffern abzuziehen: - Eine Ziffer ist um \(3\) kleiner als \(9\): Ziffern \(6, 9, 9\). Mögliche Zahlen: \(699, 969, 996\). - Eine Ziffer ist um \(2\) und eine um \(1\) kleiner als \(9\): Ziffern \(7, 8, 9\). Mögliche Zahlen: \(789, 798, 879, 897, 978, 987\). - Drei Ziffern sind jeweils um \(1\) kleiner als \(9\): Ziffern \(8, 8, 8\). Mögliche Zahl: \(888\). 4. Zusammenführung aller gefundenen Zahlen.

Antwort

Die Zahlen sind: \(699, 969, 996, 789, 798, 879, 897, 978, 987, 888\).

4172215

Wenn man vom Vorgänger des Vorgängers einer natürlichen Zahl \(n\) den Wert 10 subtrahiert, erhält man 88. Bestimme die Zahl \(n\) und ihren Nachfolger.

Denkanstöße

- Versuche, die Kette von Rechenschritten rückwärts aufzulösen. - Was musst du tun, um eine Subtraktion von 10 rückgängig zu machen? - Wenn du den „Vorgänger des Vorgängers“ kennst, wie kommst du dann zur ursprünglichen Zahl zurück? - Achte darauf, am Ende nicht nur die Zahl \(n\), sondern auch ihren Nachfolger anzugeben.

Lösung

1. Der Vorgänger von \(n\) ist \(n - 1\). 2. Der Vorgänger davon ist \((n - 1) - 1 = n - 2\). 3. Subtrahiert man 10, lautet die Gleichung \((n - 2) - 10 = 88\). 4. Dies vereinfacht sich zu \(n - 12 = 88\). 5. Durch Addition von 12 auf beiden Seiten erhält man \(n = 100\). 6. Der Nachfolger von \(n\) ist \(100 + 1 = 101\).

Antwort

Die Zahl \(n\) ist 100 und ihr Nachfolger ist 101.

4172265

Ein vierstelliger Zahlencode für ein Vorhängeschloss besteht aus genau zwei Zweien und genau zwei Neunen. a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für diesen Code? Notiere sie alle. b) Welches ist der kleinste und welches der größte mögliche Code? c) Ordne alle möglichen Codes der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten.

Denkanstöße

- Überlege dir ein System, damit du keine Kombination vergisst. Du könntest zum Beispiel mit allen Codes beginnen, die eine 2 an der ersten Stelle haben. - Wie viele Ziffern darfst du insgesamt benutzen? - Was bedeutet „der Größe nach ordnen“?

Lösung

1. Auflisten aller Kombinationen der Ziffern 2, 2, 9, 9: \(2299, 2929, 2992, 9229, 9292, 9922\). 2. Zählen der Einträge ergibt insgesamt 6 Möglichkeiten. 3. Identifikation des Minimums (\(2299\)) und des Maximums (\(9922\)). 4. Aufsteigende Sortierung durch Vergleich der Tausender-, Hunderter-, Zehner- und Einerstellen: \(2299 < 2929 < 2992 < 9229 < 9292 < 9922\).

Antwort

a) Es gibt 6 Möglichkeiten: \(2299, 2929, 2992, 9229, 9292, 9922\). b) Kleinster Code: \(2299\); größter Code: \(9922\). c) \(2299, 2929, 2992, 9229, 9292, 9922\)

4172465

Bestimme alle zweistelligen Zahlen, bei denen die Zehnerziffer genau doppelt so groß ist wie die Einerziffer.

Denkanstöße

- Welche Ziffern kommen für die Einerstelle überhaupt infrage? - Überlege dir, was passiert, wenn die Einerziffer 5 oder größer ist. - Kann die Zehnerziffer 0 sein, wenn die Zahl zweistellig sein soll? - Probier doch mal systematisch alle Möglichkeiten für die Einerziffer durch.

Lösung

1. Mögliche Einerziffern untersuchen: \(1, 2, 3, 4\). Die Ziffer \(0\) führt zur Zahl \(00\), die nicht zweistellig ist. Ab der \(5\) wäre das Doppelte zweistellig (\(10\)), was als Ziffer nicht möglich ist. 2. Zehnerziffern als jeweiliges Doppeltes berechnen: \(2, 4, 6, 8\). 3. Die daraus gebildeten Zahlen notieren: \(21, 42, 63, 84\).

Antwort

\(21, 42, 63, 84\)

4172555

Betrachte fünfstellige natürliche Zahlen und bestimme die gesuchten Werte: a) Wie lautet die größte fünfstellige Zahl, die aus lauter verschiedenen Ziffern besteht? b) Bestimme die kleinste fünfstellige Zahl, in der die Ziffer \(0\) nicht vorkommt. c) Wie lautet die größte fünfstellige Zahl, die ausschließlich aus den Ziffern \(1\), \(4\) und \(7\) gebildet wird?

Denkanstöße

- Welche Ziffern stehen dir insgesamt zur Verfügung? - Wie beeinflusst der Stellenwert einer Ziffer (zum Beispiel Zehntausender oder Einer) die Größe der Gesamtzahl? - Wenn eine Zahl möglichst groß sein soll, welche Ziffern sollten dann auf den vorderen Stellen stehen? - Was bedeutet es für die Wahl der Ziffern, wenn diese „verschieden“ sein müssen?

Lösung

1. Für die größte fünfstellige Zahl mit verschiedenen Ziffern werden die größten verfügbaren Ziffern in absteigender Reihenfolge auf die höchsten Stellenwerte gesetzt: \(9\) auf die Zehntausenderstelle, \(8\) auf die Tausenderstelle, \(7\) auf die Hunderterstelle, \(6\) auf die Zehnerstelle und \(5\) auf die Einerstelle. Ergebnis: \(98\,765\). 2. Die kleinste fünfstellige Zahl beginnt mit der kleinsten Ziffer ungleich Null an der Zehntausenderstelle, also \(1\). Da keine \(0\) erlaubt ist, muss auch auf allen anderen Stellen die kleinstmögliche Ziffer \(1\) stehen. Ergebnis: \(11\,111\). 3. Um die größte Zahl aus den Ziffern \(1\), \(4\) und \(7\) zu bilden, muss an jeder Stelle die größtmögliche dieser Ziffern gewählt werden, also die \(7\). Ergebnis: \(77\,777\).

Antwort

a) \(98\,765\) b) \(11\,111\) c) \(77\,777\)

4172705

Betrachte die Zahlen in der folgenden Tabelle. Nenne drei mathematische Eigenschaften, die auf alle diese Zahlen zutreffen. <table> <tr> <td>\(2\,433\)</td> <td>\(5\,412\)</td> <td>\(1\,461\)</td> <td>\(8\,400\)</td> <td>\(3\,441\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Zähle zuerst, wie viele Stellen jede Zahl hat. - Schau dir die einzelnen Ziffern an jeder Position (Tausender, Hunderter, Zehner, Einer) genau an. Fällt dir bei einer Position etwas auf? - Addiere die einzelnen Ziffern jeder Zahl. Was bemerkst du bei den Ergebnissen?

Lösung

1. Bestimmung der Stellenanzahl: Alle Zahlen bestehen aus vier Ziffern, sie sind also vierstellig. 2. Vergleich der Stellenwerte: An der Hunderterstelle steht bei jeder der Zahlen die Ziffer \(4\). 3. Berechnung der Quersummen: \(2+4+3+3=12\), \(5+4+1+2=12\), \(1+4+6+1=12\), \(8+4+0+0=12\), \(3+4+4+1=12\). Die Quersumme ist bei allen Zahlen gleich \(12\).

Antwort

Drei gemeinsame Eigenschaften sind: 1. Alle Zahlen sind vierstellig. 2. Die Hunderterziffer ist bei jeder Zahl \(4\). 3. Die Quersumme jeder Zahl ist \(12\).

4172915

Bestimme die größte und die kleinste achtstellige Zahl, in der genau fünf Ziffern gleich Null sind.

Denkanstöße

- An welcher Stelle im Stellenwertsystem hat eine Ziffer die größte Auswirkung auf den Wert der Zahl? - Überlege, welche Ziffern du für die Stellen verwenden musst, die keine Nullen sind, um die Zahl besonders groß oder klein zu machen. - Darf die erste Ziffer einer Zahl eine Null sein? - Wie viele Stellen bleiben für andere Ziffern übrig, wenn du die Anzahl der Nullen bereits kennst?

Lösung

1. Eine achtstellige Zahl hat acht Stellen. Da genau fünf Ziffern gleich Null sind, müssen die restlichen drei Stellen mit Ziffern von 1 bis 9 belegt werden. 2. Für die kleinste Zahl: Die erste Stelle muss die kleinstmögliche Ziffer ungleich Null sein, also 1. Um den Gesamtwert so klein wie möglich zu halten, werden danach alle fünf Nullen platziert. Die verbleibenden zwei Stellen am Ende werden mit der kleinstmöglichen Ziffer 1 aufgefüllt. Ergebnis: \(10\,000\,011\). 3. Für die größte Zahl: Die drei höchsten Stellen (Zehnmillionen-, Millionen- und Hunderttausenderstelle) werden mit der größtmöglichen Ziffer 9 belegt. Die fünf Nullen werden an die Stellen mit dem niedrigsten Wert gesetzt. Ergebnis: \(99\,900\,000\).

Antwort

Die kleinste Zahl ist \(10\,000\,011\) und die größte Zahl ist \(99\,900\,000\).

4172925

Gesucht sind die größte und die kleinste siebenstellige Zahl, die aus genau vier Dreien und drei Nullen besteht.

Denkanstöße

- Du hast einen festen Vorrat an Ziffern. Sortiere sie nach ihrer Größe. - Was passiert mit dem Wert der Zahl, wenn du eine kleine Ziffer wie die Null möglichst weit nach vorne schreibst? - Beachte, dass die Zahl siebenstellig sein muss – was bedeutet das für die erste Ziffer?

Lösung

1. Die Zahl besteht aus sieben Stellen. Zur Verfügung stehen die Ziffern 3, 3, 3, 3, 0, 0, 0. 2. Für die größte Zahl: Die Ziffern mit dem höchsten Wert (die Dreien) werden an die vordersten Stellen (Millionen, Hunderttausender, Zehntausender, Tausender) gesetzt. Die Nullen folgen an den hinteren Stellen. Ergebnis: \(3\,333\,000\). 3. Für die kleinste Zahl: Die erste Stelle darf keine Null sein, also muss dort eine 3 stehen. Um die Zahl so klein wie möglich zu halten, werden die drei Nullen an die direkt folgenden Stellen gesetzt. Die restlichen drei Dreien füllen die hinteren Stellen auf. Ergebnis: \(3\,000\,333\).

Antwort

Die größte Zahl ist \(3\,333\,000\) und die kleinste Zahl ist \(3\,000\,333\).

4172985

Eine \(12\)-stellige Zahl enthält jede der Ziffern von \(0\) bis \(9\) mindestens einmal. Wie groß kann die Quersumme einer solchen Zahl höchstens sein? Wie groß ist die kleinstmögliche Quersumme? Gib jeweils eine Begründung an.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Ziffern eine \(12\)-stellige Zahl hat und wie viele verschiedene Ziffern es überhaupt gibt. - Wenn jede Ziffer mindestens einmal vorkommen muss, welche Summe ergibt sich allein aus diesen zehn Ziffern? - Wie viele Plätze in der Zahl sind dann noch „frei“ und mit welchen Ziffern solltest du sie füllen, um das Ergebnis zu verändern?

Lösung

1. Da jede der \(10\) Ziffern (\(0\) bis \(9\)) mindestens einmal vorkommen muss, sind \(10\) Stellen der \(12\)-stelligen Zahl bereits festgelegt. Die Summe dieser \(10\) Ziffern ist \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). 2. Für die verbleibenden \(12 - 10 = 2\) Stellen können beliebige Ziffern gewählt werden, um die Quersumme zu beeinflussen. 3. Um die maximale Quersumme zu erhalten, wählt man für die zwei freien Stellen die größtmögliche Ziffer \(9\). Die Quersumme beträgt dann \(45 + 9 + 9 = 63\). 4. Um die minimale Quersumme zu erhalten, wählt man für die zwei freien Stellen die kleinstmögliche Ziffer \(0\). Die Quersumme beträgt dann \(45 + 0 + 0 = 45\).

Antwort

Die maximale Quersumme beträgt \(63\). Die minimale Quersumme beträgt \(45\).

4174025

Ergänze die fehlenden Ziffern in der folgenden Additionsaufgabe, sodass die Rechnung korrekt ist. Jedes Quadrat \(\square\) steht für eine einzelne Ziffer. <table> <tr><td></td><td>4</td><td>\(\square\)</td><td>8</td><td>2</td></tr> <tr><td>+</td><td>1</td><td>5</td><td>\(\square\)</td><td>9</td></tr> <tr style="border-top: 1px solid black;"><td></td><td>\(\square\)</td><td>2</td><td>4</td><td>1</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Beginne bei den Einern und arbeite dich Stelle für Stelle nach links vor. - Vergiss nicht, die Überträge zu berücksichtigen, wenn eine Summe größer als 9 ist. - Was muss zu einer Zahl addiert werden, um an der nächsten Stelle ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?

Lösung

1. Einerstelle: \(2 + 9 = 11\), schreibe \(1\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(8 + \square + 1 = 14\), daraus folgt \(\square = 5\), schreibe \(4\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(\square + 5 + 1 = 12\), daraus folgt \(\square = 6\), schreibe \(2\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(4 + 1 + 1 = 6\), daraus folgt \(\square = 6\). Die vollständige Rechnung lautet: \(4682 + 1559 = 6241\).

Antwort

Die fehlenden Ziffern sind (von oben nach unten, links nach rechts): \(6\), \(5\) und \(6\). Die Rechnung lautet: \(4682 + 1559 = 6241\).

4177075

Gesucht sind spezielle vierstellige Zahlen: a) Wie lautet die kleinste vierstellige Zahl, bei der alle vier Ziffern identisch sind und die durch \(3\) teilbar ist? b) Bestimme die größte vierstellige Zahl, deren Hunderterziffer eine \(5\) und deren Zehnerziffer eine \(0\) ist und die durch \(5\) teilbar ist.

Denkanstöße

- Wie lautet die Regel für die Teilbarkeit durch 3? - Welche Ziffern kommen an der Einerstelle für die Teilbarkeit durch 5 infrage? - Wenn alle Ziffern gleich sein sollen, reicht es, die Quersumme für Ziffern von 1 bis 9 zu prüfen.

Lösung

1. Für Teilaufgabe a): Die Zahl hat die Form \(aaaa\). Eine Zahl ist durch \(3\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist. Die Quersumme ist \(a + a + a + a = 4 \cdot a\). Wir prüfen die Ziffern \(a\) von \(1\) bis \(9\): \(4 \cdot 1 = 4, 4 \cdot 2 = 8, 4 \cdot 3 = 12\) (durch \(3\) teilbar). Die kleinste Ziffer ist also \(3\), und die Zahl lautet \(3\,333\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Zahl hat die Form \(a50b\). Damit sie durch \(5\) teilbar ist, muss die Einerziffer \(b\) entweder \(0\) oder \(5\) sein. Um die größte Zahl zu erhalten, wählen wir für die Tausenderstelle \(a = 9\) und für die Einerstelle \(b = 5\). Die Zahl lautet \(9\,505\).

Antwort

a) \(3\,333\) b) \(9\,505\)

4177265

Vervollständige das folgende Rechengitter so, dass die Summen in jeder Zeile und jeder Spalte korrekt sind. Berechne die fehlenden Zahlen an den Stellen der Fragezeichen. <table> <tr> <td>\(4\)</td> <td>\(+\)</td> <td>\(?\)</td> <td>\(=\)</td> <td>\(10\)</td> </tr> <tr> <td>\(+\)</td> <td></td> <td>\(+\)</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(?\)</td> <td>\(+\)</td> <td>\(?\)</td> <td>\(=\)</td> <td>\(15\)</td> </tr> <tr> <td>\(=\)</td> <td></td> <td>\(=\)</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(12\)</td> <td></td> <td>\(13\)</td> <td></td> <td></td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Schau dir die Zeilen und Spalten an, in denen bereits zwei Zahlen bekannt sind. - Wie kannst du die fehlende Zahl berechnen, wenn du das Ergebnis der Plusaufgabe kennst? - Prüfe am Ende, ob alle Rechnungen sowohl waagerecht als auch senkrecht stimmen.

Lösung

1. Berechnung der fehlenden Zahl in der ersten Zeile: \(10 - 4 = 6\). 2. Berechnung der fehlenden Zahl in der ersten Spalte: \(12 - 4 = 8\). 3. Berechnung der fehlenden Zahl in der zweiten Spalte: \(13 - 6 = 7\). 4. Überprüfung der zweiten Zeile: \(8 + 7 = 15\).

Antwort

Das ausgefüllte Gitter lautet: Erste Zeile: \(4 + 6 = 10\) Zweite Zeile: \(8 + 7 = 15\) Spaltensummen: \(4 + 8 = 12\) und \(6 + 7 = 13\)

4178275

Zwei Zahlen haben auf dem Zahlenstrahl einen Abstand von \(64\). Beide Zahlen haben zudem denselben Abstand zur Zahl \(150\). Bestimme die beiden gesuchten Zahlen.

Denkanstöße

- Stell dir die drei Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Wo liegt die Zahl 150 im Verhältnis zu den anderen beiden? - Wenn der gesamte Weg zwischen den beiden äußeren Zahlen bekannt ist, wie weit ist es dann von der Mitte zu jeder Zahl? - Wie kannst du von der mittleren Zahl aus die Positionen der beiden gesuchten Zahlen finden?

Lösung

1. Da die beiden Zahlen denselben Abstand zur \(150\) haben, liegt die \(150\) genau in der Mitte zwischen ihnen. 2. Der Gesamtabstand zwischen den Zahlen beträgt \(64\). Der Abstand jeder Zahl zur Mitte ist also die Hälfte: \(64 : 2 = 32\). 3. Die kleinere Zahl berechnet sich durch \(150 - 32 = 118\). 4. Die größere Zahl berechnet sich durch \(150 + 32 = 182\).

Antwort

Die Zahlen lauten \(118\) und \(182\).

4178565

Berechne die Summe aus der kleinsten vierstelligen Zahl, deren Quersumme 5 ist, und der größten dreistelligen ungeraden Zahl.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, was der Begriff Quersumme bedeutet. - Wie muss eine Zahl beginnen, damit sie möglichst klein ist? - Woran erkennst du eine ungerade Zahl? - Notiere dir beide Zahlen einzeln, bevor du sie addierst.

Lösung

1. Bestimmung der kleinsten vierstelligen Zahl mit der Quersumme 5: Die Zahl muss mit einer möglichst kleinen Ziffer beginnen (\(1\)), gefolgt von möglichst vielen Nullen. Die letzte Ziffer ergibt sich aus der Differenz zur Quersumme: \(1 + 0 + 0 + 4 = 5\). Die Zahl ist \(1\,004\). 2. Bestimmung der größten dreistelligen ungeraden Zahl: Die größte dreistellige Zahl ist \(999\), welche bereits ungerade ist. 3. Berechnung der Summe: \(1\,004 + 999 = 2\,003\).

Antwort

\(2\,003\)

4178775

Gegeben sind die drei Ziffernkarten 1, 2 und 3. a) Bilde alle möglichen dreistelligen Zahlen, in denen jede dieser Ziffern genau einmal vorkommt. Notiere sie der Größe nach. b) Berechne die Summe aller dieser Zahlen. c) Wie oft kommt jede Ziffer an der Hunderterstelle, der Zehnerstelle und der Einerstelle vor? Erkläre, wie man damit das Ergebnis aus Teil b) einfacher berechnen kann.

Denkanstöße

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, die erste Ziffer zu wählen? - Versuche, die Zahlen systematisch aufzuschreiben, zum Beispiel beginnend mit der kleinsten Hunderterziffer. - Schau dir die Spalten (Einer, Zehner, Hunderter) genau an, wenn du die Zahlen untereinander schreibst. - Gibt es ein Muster, wie oft eine Ziffer an einer bestimmten Stelle steht?

Lösung

1. Auflistung der Zahlen: Aus den Ziffern 1, 2 und 3 lassen sich die Zahlen 123, 132, 213, 231, 312 und 321 bilden. 2. Berechnung der Summe: \(123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332\). 3. Analyse der Stellenwerte: Jede Ziffer (1, 2, 3) erscheint genau zweimal an jeder Stelle (Hunderter, Zehner, Einer). 4. Vereinfachte Rechnung: Die Summe der Ziffern ist \(1 + 2 + 3 = 6\). Da jede Ziffer zweimal pro Stelle vorkommt, ist die Summe der Einer \(2 \cdot 6 = 12\), die Summe der Zehner \(12 \cdot 10 = 120\) und die Summe der Hunderter \(12 \cdot 100 = 1200\). Gesamtsumme: \(1200 + 120 + 12 = 1332\).

Antwort

a) 123, 132, 213, 231, 312, 321 b) 1332 c) Jede Ziffer kommt an jeder Stelle genau zweimal vor. Man kann die Summe der Ziffern (\(1+2+3=6\)) mit 2 multiplizieren (für das zweimalige Vorkommen) und dann mit den Stellenwerten 100, 10 und 1 verrechnen: \(12 \cdot 100 + 12 \cdot 10 + 12 \cdot 1 = 1332\).

4178865

Gegeben sind die Ziffern \(1\), \(2\), \(4\), \(5\), \(7\) und \(8\). Bilde aus diesen Ziffern zwei dreistellige Zahlen so, dass jede der sechs Ziffern genau einmal verwendet wird. a) Wie groß ist der maximal mögliche Wert der Summe dieser beiden Zahlen? b) Wie klein ist der minimal mögliche Wert der Summe dieser beiden Zahlen?

Denkanstöße

- Überlege dir, welchen Einfluss eine Ziffer auf den Gesamtwert der Zahl hat, wenn sie an der Hunderter- statt an der Einerstelle steht. - Wie musst du die Ziffern verteilen, damit das Ergebnis einer Plusaufgabe besonders groß oder besonders klein wird? - Macht es für das Endergebnis der Summe einen Unterschied, ob du \(850 + 740\) oder \(840 + 750\) rechnest?

Lösung

1. Zur Maximierung der Summe werden die größten verfügbaren Ziffern den höchsten Stellenwerten zugewiesen: Die Hunderterstellen erhalten \(8\) und \(7\), die Zehnerstellen \(5\) und \(4\) und die Einerstellen \(2\) und \(1\). 2. Berechnung der maximalen Summe: \(852 + 741 = 1593\). 3. Zur Minimierung der Summe werden die kleinsten verfügbaren Ziffern den höchsten Stellenwerten zugewiesen: Die Hunderterstellen erhalten \(1\) und \(2\), die Zehnerstellen \(4\) und \(5\) und die Einerstellen \(7\) und \(8\). 4. Berechnung der minimalen Summe: \(147 + 258 = 405\).

Antwort

a) Die maximale Summe beträgt \(1593\). b) Die minimale Summe beträgt \(405\).

4186545

Gegeben sind die Ziffern 1, 3, 5, 6 und 8. Wähle vier dieser Ziffern aus und setze sie so in die Kästchen ein, dass zwei zweistellige Zahlen entstehen: \(\square\square - \square\square\). Jede Ziffer darf in einer Aufgabe nur einmal vorkommen. a) Wie musst du die Ziffern einsetzen, damit der Wert der Differenz möglichst groß wird? Gib die Rechnung und das Ergebnis an. b) Wie musst du die Ziffern einsetzen, damit der Wert der Differenz eine möglichst kleine positive Zahl ergibt? Gib die Rechnung und das Ergebnis an.

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Stelle (Zehner oder Einer) den größten Einfluss auf den Wert der Zahl hat. - Für ein großes Ergebnis sollte die erste Zahl so groß wie möglich und die zweite Zahl so klein wie möglich sein. - Für ein sehr kleines Ergebnis sollten die beiden Zahlen so nah wie möglich beieinander liegen. - Probiere verschiedene Ziffern an der Zehnerstelle aus, die nahe beieinander liegen.

Lösung

1. Zur Maximierung der Differenz wählt man für die Zehnerstelle des Minuenden die größte verfügbare Ziffer \(8\) und für die Zehnerstelle des Subtrahenden die kleinste \(1\). Um den Wert weiter zu vergrößern, wählt man die nächstgrößere Ziffer \(6\) für die Einerstelle des Minuenden und die kleinste verbleibende Ziffer \(3\) für die Einerstelle des Subtrahenden. Ergebnis: \(86 - 13 = 73\). 2. Um die kleinstmögliche positive Differenz zu erhalten, müssen die Zehnerstellen möglichst nahe beieinanderliegen. Durch Prüfen der möglichen Anordnungen ergibt sich mit den Einern \(1\) und \(8\) die Rechnung \(61 - 58 = 3\). Eine kleinere positive Differenz ist mit den gegebenen Ziffern nicht möglich.

Antwort

a) \(86 - 13 = 73\) b) \(61 - 58 = 3\)

4193965

Ein Füller wiegt so viel wie zwei Pakete Bleistifte und zwei Radiergummis zusammen. Ein Paket Bleistifte wiegt so viel wie vier Radiergummis. Der Füller wiegt genau \(200\,\text{g}\). Ermittle das Gewicht eines Radiergummis und das Gewicht eines Pakets Bleistifte.

Denkanstöße

- Kannst du das Gewicht des Füllers nur in Radiergummis ausdrücken? - Wie viele Radiergummis sind genauso schwer wie zwei Pakete Bleistifte? - Überlege, aus wie vielen Radiergummis der Füller insgesamt „besteht“.

Lösung

1. Ersetzen der Bleistiftpakete durch Radiergummis in der ersten Gewichtsangabe: Da ein Paket Bleistifte so viel wie \(4\) Radiergummis wiegt, entsprechen zwei Pakete Bleistifte insgesamt \(8\) Radiergummis. 2. Zusammenrechnen aller Anteile für den Füller: Der Füller wiegt somit so viel wie \(8 + 2 = 10\) Radiergummis. 3. Berechnung des Gewichts eines Radiergummis: \(200\,\text{g} : 10 = 20\,\text{g}\). 4. Berechnung des Gewichts eines Pakets Bleistifte: \(4 \cdot 20\,\text{g} = 80\,\text{g}\).

Antwort

Ein Radiergummi wiegt \(20\,\text{g}\) und ein Paket Bleistifte wiegt \(80\,\text{g}\).

4195345

Zahlenkünstler gesucht: Ben behauptet, dass er viele Zahlen darstellen kann, indem er nur die Ziffer \(3\) sowie Rechenzeichen und Klammern verwendet. Erlaubt ist auch das Zusammensetzen von Ziffern (zum Beispiel zu der Zahl \(33\)). a) Finde Terme, die nur die Ziffer \(3\) enthalten, für die Ergebnisse \(1\), \(2\), \(4\) und \(5\). b) Wie kannst du die Zahl \(30\) mit genau drei Dreiern darstellen?

Denkanstöße

- Wie kannst du aus einer Zahl die \(1\) erzeugen? - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Du darfst Ziffern auch nebeneinander schreiben, um größere Zahlen zu bilden. - Überlege, wie du durch Addition oder Subtraktion von kleinen Ergebnissen zum Ziel kommst.

Lösung

1. Für das Ergebnis \(1\) wird eine Division identischer Zahlen oder Terme genutzt: \(3 : 3 = 1\). 2. Das Ergebnis \(2\) lässt sich durch die Division der Summe zweier Dreier durch einen Dreier erreichen: \((3 + 3) : 3 = 2\). 3. Für die \(4\) wird ein Dreier zu dem Ergebnis aus Schritt 1 addiert: \(3 + 3 : 3 = 4\). 4. Die \(5\) ergibt sich durch Addition eines Dreiers zum Ergebnis aus Schritt 2: \(3 + (3 + 3) : 3 = 5\). 5. Die Zahl \(30\) wird durch Subtraktion gebildet, wobei zwei Dreier zur Zahl \(33\) zusammengesetzt werden: \(33 - 3 = 30\).

Antwort

Mögliche Lösungen: a) \(1 = 3 : 3\); \(2 = (3 + 3) : 3\); \(4 = 3 + 3 : 3\); \(5 = 3 + (3 + 3) : 3\) b) \(30 = 33 - 3\)

4197425

Ein Zauberer sagt: „Denke dir eine Zahl. Multipliziere sie mit 4. Multipliziere das Ergebnis mit 5. Dividiere das neue Ergebnis durch 2.“ Wenn das Endergebnis 70 lautet, welche Zahl hat sich der Zuschauer am Anfang gedacht?

Denkanstöße

- Was passiert mit deiner Zahl, wenn du sie erst mit 4 und dann mit 5 malnimmst? - Kannst du die ersten beiden Schritte zu einer einzigen Rechnung zusammenfassen? - Wie oft steckt die ursprüngliche Zahl im Endergebnis, nachdem du auch noch durch 2 geteilt hast? - Versuche, die Rechnung von hinten nach vorne mit den Umkehroperationen zu lösen.

Lösung

1. Zusammenfassen der Rechenschritte: Die Zahl wird zuerst mit 4 und dann mit 5 multipliziert, was einer Multiplikation mit \(4 \cdot 5 = 20\) entspricht. 2. Einbeziehen der Division: Das Ergebnis der Multiplikation (\(20 \cdot \text{Zahl}\)) wird durch 2 geteilt, was insgesamt einer Multiplikation mit \(20 : 2 = 10\) entspricht. 3. Rückrechnen: Da das Endergebnis das Zehnfache der gedachten Zahl ist (\(10 \cdot \text{Zahl} = 70\)), muss das Ergebnis durch 10 geteilt werden: \(70 : 10 = 7\).

Antwort

Die gedachte Zahl war 7.

4211175

Julia ist doppelt so alt wie ihr kleiner Bruder Leo. Ihr Vater ist wiederum viermal so alt wie Julia. Zusammen sind die drei genau 66 Jahre alt. Wie alt ist der Vater?

Denkanstöße

- Wer ist die jüngste Person in der Gruppe? - Stell dir vor, das Alter der jüngsten Person wäre ein „Paket“. Wie viele solcher Pakete haben dann die anderen? - Wie viele dieser gleich großen Pakete ergeben zusammen die 66 Jahre?

Lösung

1. Leo wird als Basis (1 Teil) festgelegt. 2. Da Julia doppelt so alt ist, entspricht ihr Alter 2 Teilen. 3. Der Vater ist viermal so alt wie Julia, also \(4 \cdot 2 = 8\) Teile. 4. Die Summe aller Teile beträgt \(1 + 2 + 8 = 11\) Teile. 5. Berechnung des Werts eines Teils: \(66 : 11 = 6\). Leo ist also 6 Jahre alt. 6. Berechnung des Alters des Vaters: \(8 \cdot 6 = 48\).

Antwort

Der Vater ist 48 Jahre alt.

4156335

Ermittle die Anzahl aller dreistelligen Zahlen, die die Quersumme \(5\) haben.

Denkanstöße

- Gehe am besten schrittweise vor und beginne mit der kleinstmöglichen Hunderterstelle. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zehner- und Einerstelle, wenn die erste Ziffer feststeht? - Schreibe dir die Zahlen am besten in einer Liste auf, damit du keine vergisst.

Lösung

Die Zahlen werden systematisch nach der Hunderterstelle geordnet: 1. Hunderterstelle \(1\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(4\) ergeben. Dies sind \(104, 113, 122, 131, 140\) (\(5\) Zahlen). 2. Hunderterstelle \(2\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(3\) ergeben. Dies sind \(203, 212, 221, 230\) (\(4\) Zahlen). 3. Hunderterstelle \(3\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(2\) ergeben. Dies sind \(302, 311, 320\) (\(3\) Zahlen). 4. Hunderterstelle \(4\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(1\) ergeben. Dies sind \(401, 410\) (\(2\) Zahlen). 5. Hunderterstelle \(5\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(0\) ergeben. Dies ist nur die \(500\) (\(1\) Zahl). 6. Gesamtzahl: \(5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15\).

Antwort

Es gibt insgesamt \(15\) solche Zahlen.

4156365

Gesucht ist die größte und die kleinste achtstellige natürliche Zahl, in der die Ziffer \(3\) genau fünfmal vorkommt.

Denkanstöße

- Welche Ziffern außer der \(3\) helfen dir dabei, eine besonders große oder eine besonders kleine Zahl zu bilden? - Denke daran, dass an der höchsten Stelle keine Null stehen darf. - Probiere aus, ob es kleiner ist, die Zahl mit einer \(1\) oder mit der vorgegebenen Ziffer \(3\) zu beginnen.

Lösung

1. Größte Zahl: Fünf Stellen sind durch die Ziffer \(3\) belegt, drei Stellen können mit anderen Ziffern besetzt werden. Für den maximalen Wert wählen wir hierfür die größtmögliche Ziffer \(9\). Um den Wert zu maximieren, setzen wir diese an die höchsten Stellen (Zehnmillionen-, Millionen- und Hunderttausenderstelle). Die restlichen fünf Stellen werden mit der Ziffer \(3\) aufgefüllt. Ergebnis: \(99\,933\,333\). 2. Kleinste Zahl: Wir benötigen drei Ziffern, die keine \(3\) sind. Um den Wert zu minimieren, wählen wir die kleinstmöglichen Ziffern \(0\), \(0\) und \(1\). Die Zehnmillionenstelle darf keine \(0\) sein. Wir vergleichen die Möglichkeiten: Beginnt die Zahl mit \(1\), folgen zwei Nullen und dann fünf Dreien (\(10\,033\,333\)). Beginnt sie mit einer \(3\), könnten die zwei Nullen und die \(1\) weiter vorne stehen (\(30\,001\,333\)). Der Vergleich zeigt: \(10\,033\,333 < 30\,001\,333\). Ergebnis: \(10\,033\,333\).

Antwort

Größte Zahl: \(99\,933\,333\); kleinste Zahl: \(10\,033\,333\).

4156375

Betrachte siebenstellige natürliche Zahlen. Bestimme jeweils die größte und die kleinste Zahl mit den folgenden Eigenschaften: a) Die Zahl enthält genau fünf Nullen. b) Die Zahl enthält genau vier Nullen.

Denkanstöße

- Wie viele Stellen bleiben für Ziffern ungleich Null frei, wenn die Anzahl der Nullen feststeht? - Wo müssen die Nullen stehen, damit eine Zahl besonders groß wird? Wo müssen sie stehen, damit sie besonders klein wird? - Welche Ziffern ungleich Null sind am besten geeignet, um den Wert einer Zahl zu minimieren?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Bei sieben Stellen und fünf Nullen bleiben zwei Stellen für Ziffern von \(1\) bis \(9\). Die größte Zahl entsteht durch zwei Neunen an den höchsten Stellen: \(9\,900\,000\). Die kleinste Zahl entsteht durch eine \(1\) an der Millionenstelle, gefolgt von fünf Nullen und einer \(1\) an der Einerstelle: \(1\,000\,001\). 2. Teilaufgabe b): Hier bleiben drei Stellen für Ziffern von \(1\) bis \(9\). Die größte Zahl nutzt drei Neunen an den höchsten Stellen: \(9\,990\,000\). Die kleinste Zahl nutzt drei Einsen an der Millionen-, Zehner- und Einerstelle, dazwischen liegen die vier Nullen: \(1\,000\,011\).

Antwort

a) Größte: \(9\,900\,000\), kleinste: \(1\,000\,001\); b) Größte: \(9\,990\,000\), kleinste: \(1\,000\,011\).

4156385

Schreibe alle dreistelligen Zahlen auf, deren Quersumme (die Summe ihrer Ziffern) genau \(4\) ergibt.

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff Quersumme? - Überlege dir, mit welcher Ziffer eine dreistellige Zahl höchstens beginnen kann, damit die Summe noch passt. - Gehe systematisch vor: Beginne mit der kleinstmöglichen Ziffer an der Hunderterstelle und finde alle Kombinationen für die restlichen Stellen. - Denk daran, dass eine dreistellige Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf.

Lösung

1. Untersuchen der möglichen Hunderterstellen von \(1\) bis \(4\). 2. Für die Hunderterstelle \(4\): Nur die Zahl \(400\) ist möglich. 3. Für die Hunderterstelle \(3\): Die verbleibende Summe \(1\) kann auf die Zehner- oder Einerstelle verteilt werden: \(310\), \(301\). 4. Für die Hunderterstelle \(2\): Die verbleibende Summe \(2\) kann als \(2+0\), \(1+1\) oder \(0+2\) verteilt werden: \(220\), \(211\), \(202\). 5. Für die Hunderterstelle \(1\): Die verbleibende Summe \(3\) kann als \(3+0\), \(2+1\), \(1+2\) oder \(0+3\) verteilt werden: \(130\), \(121\), \(112\), \(103\). 6. Zusammenführung aller Ergebnisse ergibt die Liste: \(103\), \(112\), \(121\), \(130\), \(202\), \(211\), \(220\), \(301\), \(310\), \(400\).

Antwort

Die Zahlen lauten: \(103\), \(112\), \(121\), \(130\), \(202\), \(211\), \(220\), \(301\), \(310\), \(400\).

4156455

Eine \(5\)-stellige Zahl hat die Besonderheit, dass genau eine ihrer Ziffern doppelt vorkommt. Alle anderen Ziffern der Zahl sind voneinander und von der doppelten Ziffer verschieden. a) Wie klein kann die Quersumme einer solchen Zahl sein? Gib ein Beispiel für eine solche Zahl an. b) Wie groß kann die Quersumme einer solchen Zahl höchstens sein? Gib ein Beispiel für eine solche Zahl an.

Denkanstöße

- Wie viele verschiedene Ziffern braucht man für eine \(5\)-stellige Zahl, wenn eine doppelt und die anderen einfach vorkommen? - Welche Ziffern solltest du wählen, um eine möglichst kleine Summe zu erhalten? - Welche Ziffer sollte man doppelt nehmen, um das Ergebnis klein oder groß zu machen? - Denk daran, dass eine Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf.

Lösung

1. Eine \(5\)-stellige Zahl mit genau einer doppelten Ziffer benötigt insgesamt vier verschiedene Ziffern (eine doppelt, drei einfach). 2. Für die kleinste Quersumme wählt man die vier kleinsten verfügbaren Ziffern: \(0, 1, 2, 3\). Um die Summe minimal zu halten, muss die kleinste dieser Ziffern (\(0\)) verdoppelt werden. Die Ziffern sind also \(0, 0, 1, 2, 3\). Die Quersumme ist \(1 + 0 + 0 + 2 + 3 = 6\). Eine mögliche Zahl ist \(10\,023\). 3. Für die größte Quersumme wählt man die vier größten Ziffern: \(9, 8, 7, 6\). Um die Summe maximal zu halten, muss die größte Ziffer (\(9\)) verdoppelt werden. Die Ziffern sind \(9, 9, 8, 7, 6\). Die Quersumme ist \(9 + 9 + 8 + 7 + 6 = 39\). Eine mögliche Zahl ist \(99\,876\).

Antwort

a) Die kleinste Quersumme ist \(6\) (Beispiel: \(10\,023\)). b) Die größte Quersumme ist \(39\) (Beispiel: \(99\,876\)).

4156515

Wie viele \(4\)-stellige Zahlen haben eine Quersumme von genau \(4\)? Gib alle diese Zahlen an.

Denkanstöße

- Die erste Ziffer einer vierstelligen Zahl darf niemals eine Null sein. - Notiere dir alle Gruppen von vier Ziffern, die zusammen 4 ergeben (zum Beispiel 2, 1, 1, 0). - Bilde aus jeder Gruppe alle möglichen Zahlen und achte darauf, keine zu vergessen. - Gehe strukturiert vor, zum Beispiel indem du mit der kleinstmöglichen Zahl beginnst oder nach der ersten Ziffer sortierst.

Lösung

1. Zerlegung der Zahl \(4\) in vier Summanden (Ziffern \(a, b, c, d\)), wobei die erste Ziffer \(a \geq 1\) sein muss. 2. Fallunterscheidung nach den verwendeten Ziffernkombinationen: - Kombination \(\{4, 0, 0, 0\}\): Nur \(4000\) ist möglich. - Kombination \(\{3, 1, 0, 0\}\): Mögliche Zahlen sind \(3100, 3010, 3001, 1300, 1030, 1003\). - Kombination \(\{2, 2, 0, 0\}\): Mögliche Zahlen sind \(2200, 2020, 2002\). - Kombination \(\{2, 1, 1, 0\}\): Mögliche Zahlen sind \(2110, 2101, 2011, 1210, 1201, 1021, 1120, 1102, 1012\). - Kombination \(\{1, 1, 1, 1\}\): Nur \(1111\) ist möglich. 3. Abzählen der gefundenen Zahlen: \(1 + 6 + 3 + 9 + 1 = 20\).

Antwort

Es gibt insgesamt \(20\) solche Zahlen: \(1003, 1012, 1021, 1030, 1102, 1111, 1120, 1201, 1210, 1300, 2002, 2011, 2020, 2101, 2110, 2200, 3001, 3010, 3100, 4000\).

4172105

Aus den vier Ziffern 1, 3, 5 und 7 sollen alle möglichen vierstelligen Zahlen gebildet werden. Dabei muss jede dieser Ziffern in jeder Zahl genau einmal vorkommen. a) Wie viele solcher Zahlen gibt es insgesamt? b) Schreibe alle diese Zahlen in einer Liste auf und ordne sie der Größe nach (beginnend mit der kleinsten Zahl). c) An welcher Stelle in deiner geordneten Liste steht die Zahl \(5173\)?

Denkanstöße

- Wie viele Möglichkeiten hast du für die erste Stelle, wie viele dann noch für die zweite? - Versuche die Zahlen systematisch aufzuschreiben, zum Beispiel indem du mit der kleinsten Tausenderziffer beginnst. - Wie viele Zahlen beginnen jeweils mit der gleichen Ziffer?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl: Da es 4 verschiedene Ziffern gibt, gibt es \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) Möglichkeiten. 2. Erstellung der geordneten Liste: - Start mit 1: \(1357, 1375, 1537, 1573, 1735, 1753\) (6 Zahlen) - Start mit 3: \(3157, 3175, 3517, 3571, 3715, 3751\) (6 Zahlen) - Start mit 5: \(5137, 5173, 5317, 5371, 5713, 5731\) (6 Zahlen) - Start mit 7: \(7135, 7153, 7315, 7351, 7513, 7531\) (6 Zahlen) 3. Bestimmung der Position von \(5173\): Die ersten beiden Blöcke (Startziffern 1 und 3) enthalten \(6 + 6 = 12\) Zahlen. Im Block mit Startziffer 5 ist \(5137\) die 13. Zahl und \(5173\) die 14. Zahl.

Antwort

a) Es gibt insgesamt 24 Zahlen. b) \(1357, 1375, 1537, 1573, 1735, 1753, 3157, 3175, 3517, 3571, 3715, 3751, 5137, 5173, 5317, 5371, 5713, 5731, 7135, 7153, 7315, 7351, 7513, 7531\). c) Die Zahl \(5173\) steht an der 14. Stelle.

4172125

Gegeben sind die vier Ziffern 2, 4, 6 und 8. a) Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können gebildet werden, wenn jede dieser Ziffern genau einmal vorkommt? b) Wie viele dieser Zahlen sind größer als \(6000\)? c) Liste alle Zahlen aus Aufgabenteil b) auf und ordne sie absteigend (von der größten zur kleinsten Zahl).

Denkanstöße

- Welche Ziffern müssen an der Tausenderstelle stehen, damit die Zahl größer als \(6000\) ist? - Wenn du die Zahlen absteigend sortierst, beginnst du mit der größten Tausenderziffer und der jeweils größten verfügbaren Ziffer für die folgenden Stellen.

Lösung

1. Gesamtzahl der Kombinationen: \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\). 2. Zahlen größer als \(6000\): Dies sind alle Zahlen, die mit den Ziffern 6 oder 8 an der Tausenderstelle beginnen. Da es pro Startziffer 6 Kombinationen gibt (\(3 \cdot 2 \cdot 1\)), sind es insgesamt \(6 + 6 = 12\) Zahlen. 3. Absteigende Sortierung: - Startziffer 8: \(8642, 8624, 8462, 8426, 8264, 8246\) - Startziffer 6: \(6842, 6824, 6482, 6428, 6284, 6246\)

Antwort

a) Es gibt 24 Zahlen. b) Es sind 12 Zahlen größer als \(6000\). c) \(8642, 8624, 8462, 8426, 8264, 8246, 6842, 6824, 6482, 6428, 6284, 6246\).

4172195

Gesucht sind zwei natürliche Zahlen. Der Nachfolger der kleineren Zahl ist um 5 kleiner als der Vorgänger der größeren Zahl. Die Summe der beiden gesuchten Zahlen beträgt 27. Bestimme die beiden Zahlen.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen der kleineren und der größeren Zahl. - Gehe vom kleineren Wert über seinen Nachfolger und den Vorgänger der größeren Zahl bis zur größeren Zahl. - Wie kannst du eine bekannte Summe auf zwei Zahlen verteilen, wenn ihr Unterschied bekannt ist?

Lösung

1. Vom kleineren Wert bis zu seinem Nachfolger ist es \(1\) Schritt. Dieser Nachfolger liegt \(5\) unter dem Vorgänger der größeren Zahl; bis dorthin sind es weitere \(5\) Schritte. Vom Vorgänger bis zur größeren Zahl ist es noch \(1\) Schritt. Die größere Zahl ist daher insgesamt \(1 + 5 + 1 = 7\) größer als die kleinere. 2. Von der Summe \(27\) wird dieser Unterschied abgezogen: \(27 - 7 = 20\). 3. Die verbleibenden \(20\) werden gleichmäßig auf beide Zahlen verteilt: \(20 : 2 = 10\). Das ist die kleinere Zahl. 4. Die größere Zahl ist \(10 + 7 = 17\). 5. Kontrolle: \(10 + 17 = 27\), und der Nachfolger \(11\) ist um \(5\) kleiner als der Vorgänger \(16\).

Antwort

Die beiden Zahlen sind \(10\) und \(17\).

4172205

Der Nachfolger einer zweistelligen natürlichen Zahl ist genauso groß wie der Vorgänger einer dreistelligen natürlichen Zahl. Welche Zahlenpaare erfüllen diese Bedingung?

Denkanstöße

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei Zahlen, wenn der Nachfolger der ersten zugleich der Vorgänger der zweiten ist? - An welcher Stelle wechselt eine Zahl von zweistellig zu dreistellig? - Prüfe die zweistelligen Zahlen unmittelbar vor diesem Übergang.

Lösung

1. Liegen Nachfolger der kleineren Zahl und Vorgänger der größeren Zahl auf derselben Zahl, dann unterscheiden sich die beiden gesuchten Zahlen um \(2\). 2. Eine zweistellige Zahl ist höchstens \(99\), eine dreistellige Zahl ist mindestens \(100\). 3. Nur die zweistelligen Zahlen direkt vor diesem Stellenübergang kommen infrage: - \(98 + 2 = 100\), also \((98, 100)\). - \(99 + 2 = 101\), also \((99, 101)\). 4. Für kleinere zweistellige Zahlen wäre die um \(2\) größere Zahl noch zweistellig; größere zweistellige Zahlen gibt es nicht.

Antwort

Die möglichen Zahlenpaare sind \((98, 100)\) und \((99, 101)\).

4172255

Gesucht sind alle fünfstelligen Zahlen, die genau zweimal die Ziffer \(6\) und dreimal die Ziffer \(1\) enthalten. a) Schreibe alle diese Zahlen auf. b) Ordne die Zahlen in einer Kette von der größten zur kleinsten Zahl unter Verwendung des Zeichens \(>\).

Denkanstöße

- Gehe beim Aufschreiben der Zahlen schrittweise vor. Beginne zum Beispiel mit der \(6\) an der vordersten Stelle und rücke die zweite \(6\) immer eine Stelle nach rechts. - Wie viele Stellen hat eine fünfstellige Zahl? - Achte beim Vergleichen der Zahlen immer zuerst auf die vorderste Stelle (den höchsten Stellenwert).

Lösung

1. Systematisches Auflisten aller Kombinationen der Ziffern \(6, 6, 1, 1, 1\) führt zu 10 möglichen Zahlen: \(66\,111\), \(61\,611\), \(61\,161\), \(61\,116\), \(16\,611\), \(16\,161\), \(16\,116\), \(11\,661\), \(11\,616\) und \(11\,166\). 2. Vergleich der Stellenwerte (Zehntausender, Tausender, Hunderter, Zehner, Einer) zur Bestimmung der Rangfolge. 3. Erstellung der absteigenden Kette: \(66\,111 > 61\,611 > 61\,161 > 61\,116 > 16\,611 > 16\,161 > 16\,116 > 11\,661 > 11\,616 > 11\,166\).

Antwort

a) \(66\,111\), \(61\,611\), \(61\,161\), \(61\,116\), \(16\,611\), \(16\,161\), \(16\,116\), \(11\,661\), \(11\,616\), \(11\,166\) b) \(66\,111 > 61\,611 > 61\,161 > 61\,116 > 16\,611 > 16\,161 > 16\,116 > 11\,661 > 11\,616 > 11\,166\)

4172275

Betrachte alle fünfstelligen Zahlen, die aus genau drei Vieren und genau zwei Siebenen bestehen. a) Bestimme die kleinste dieser Zahlen. b) Bestimme die größte dieser Zahlen. c) Berechne den Unterschied (die Differenz) zwischen der größten und der kleinsten dieser Zahlen.

Denkanstöße

- An welcher Stelle muss eine große Ziffer stehen, damit die gesamte Zahl möglichst groß wird? - Was musst du tun, um den „Unterschied“ zwischen zwei Zahlen zu finden? - Schreibe die Zahlen untereinander, um die Differenz leichter berechnen zu können.

Lösung

1. Um die kleinste Zahl zu erhalten, müssen die kleinsten Ziffern (4) auf den höchsten Stellenwerten stehen: \(44\,477\). 2. Um die größte Zahl zu erhalten, müssen die größten Ziffern (7) auf den höchsten Stellenwerten stehen: \(77\,444\). 3. Berechnung der Differenz durch schriftliche Subtraktion: \(77\,444 - 44\,477 = 32\,967\).

Antwort

a) \(44\,477\) b) \(77\,444\) c) \(32\,967\)

4172475

a) Notiere alle zweistelligen Zahlen, deren Quersumme \(10\) beträgt. b) Bestimme, wie viele dieser Zahlen ungerade sind.

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff Quersumme? - Wie kannst du sicherstellen, dass du kein Ziffernpaar vergisst? - Woran erkennst du sofort, ob eine Zahl ungerade ist? - Schreibe dir am besten zuerst alle Zahlen aus Teil a) untereinander auf.

Lösung

1. Alle Ziffernpaare finden, die in der Summe \(10\) ergeben: \((1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)\). 2. Die entsprechenden zweistelligen Zahlen bilden: \(19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91\). 3. Ungerade Zahlen identifizieren (Zahlen mit den Einerziffern \(1, 3, 5, 7, 9\)): \(19, 37, 55, 73, 91\). 4. Die Anzahl der ungeraden Zahlen zählen: \(5\).

Antwort

a) \(19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91\); b) \(5\)

4172485

Gesucht sind zweistellige Zahlen mit folgenden Eigenschaften: - Die Zehnerziffer ist eine ungerade Zahl größer als \(6\). - Die Einerziffer ist um \(2\) kleiner als die Zehnerziffer. Gib alle Zahlen an, die diese Bedingungen erfüllen.

Denkanstöße

- Welche ungeraden Ziffern gibt es, die größer als 6 sind? - Berechne für jede dieser Möglichkeiten die passende Einerziffer. - Achte darauf, dass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. - Wie viele Möglichkeiten für die Zehnerstelle bleiben nach der ersten Bedingung noch übrig?

Lösung

1. Mögliche Zehnerziffern bestimmen: Die ungeraden Ziffern größer als \(6\) sind \(7\) und \(9\). 2. Einerziffer für Zehnerziffer \(7\) berechnen: \(7 - 2 = 5\). Die Zahl lautet \(75\). 3. Einerziffer für Zehnerziffer \(9\) berechnen: \(9 - 2 = 7\). Die Zahl lautet \(97\). 4. Zusammenfassung der gefundenen Zahlen: \(75, 97\).

Antwort

\(75, 97\)

4172565

Untersuche vierstellige Zahlen im Zusammenhang mit ihrer Quersumme: a) Bestimme die kleinste vierstellige Zahl mit der Quersumme \(8\). b) Bestimme die größte vierstellige Zahl mit der Quersumme \(8\), bei der alle Ziffern verschieden sind. c) Erkläre, warum es keine vierstellige Zahl mit der Quersumme \(5\) geben kann, bei der alle vier Ziffern verschieden sind.

Denkanstöße

- Was versteht man unter der Quersumme einer Zahl? - Wenn eine Zahl klein sein soll, welche Ziffer sollte dann an der Tausenderstelle stehen? - Probiere für Teilaufgabe c) aus, was die kleinstmögliche Quersumme einer vierstelligen Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern ist.

Lösung

1. Kleinste vierstellige Zahl mit Quersumme \(8\): Die Tausenderstelle muss so klein wie möglich sein (\(1\)). Um die Zahl klein zu halten, sollten die Hunderter- und Zehnerstellen ebenfalls minimal sein (\(0\)). Die restliche Summe (\(8 - 1 - 0 - 0 = 7\)) entfällt auf die Einerstelle. Ergebnis: \(1\,007\). 2. Größte vierstellige Zahl mit Quersumme \(8\) und verschiedenen Ziffern: Wir suchen vier verschiedene Ziffern, die \(8\) ergeben. Die kleinstmöglichen verschiedenen Ziffern sind \(0, 1, 2, 3\) (Summe \(6\)). Für die Summe \(8\) kommen die Mengen \(\{0, 1, 2, 5\}\) oder \(\{0, 1, 3, 4\}\) infrage. Um die größte Zahl zu bilden, wählen wir die Menge mit der größten Einzelziffer (\(5\)) und ordnen sie absteigend an: \(5\,210\). 3. Die vier kleinsten verschiedenen Ziffern sind \(0, 1, 2\) und \(3\). Ihre Summe beträgt \(0 + 1 + 2 + 3 = 6\). Da jede andere Kombination von vier verschiedenen Ziffern eine noch größere Summe ergibt, ist es unmöglich, mit vier verschiedenen Ziffern eine Quersumme von nur \(5\) zu erreichen.

Antwort

a) \(1\,007\) b) \(5\,210\) c) Die kleinsten vier verschiedenen Ziffern (\(0, 1, 2, 3\)) haben bereits die Summe \(6\). Eine Quersumme von \(5\) ist daher mit vier verschiedenen Ziffern nicht möglich.

4172575

Löse die folgenden Rätsel zu vierstelligen Zahlen: a) Wie lautet die größte vierstellige Zahl, die nur aus ungeraden Ziffern besteht? b) Bestimme die kleinste vierstellige Zahl, die nur aus geraden Ziffern besteht und bei der jede Ziffer nur einmal vorkommt. c) Eine vierstellige Zahl hat an der Hunderterstelle und an der Einerstelle jeweils eine \(0\). Die Tausenderziffer ist genau viermal so groß wie die Zehnerziffer. Bestimme die größte Zahl, die diese Bedingungen erfüllt.

Denkanstöße

- Welche Ziffern sind gerade und welche sind ungerade? - Darf eine vierstellige Zahl mit der Ziffer \(0\) beginnen? - Überlege dir bei Teil c), welche Ziffern für die Zehnerstelle überhaupt infrage kommen, damit das Vierfache davon noch eine einstellige Ziffer ist.

Lösung

1. Ungerade Ziffern sind \(1, 3, 5, 7, 9\). Für die größte Zahl wird an jede Stelle die größte verfügbare ungerade Ziffer gesetzt. Ergebnis: \(9\,999\). 2. Gerade Ziffern sind \(0, 2, 4, 6, 8\). Die kleinste vierstellige Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen, also ist die kleinste Tausenderziffer \(2\). Um die Zahl klein zu halten, setzen wir die kleinsten verbleibenden Ziffern auf die nächsten Stellen: \(0\) auf die Hunderterstelle, \(4\) auf die Zehnerstelle und \(6\) auf die Einerstelle. Ergebnis: \(2\,046\). 3. Die Zahl hat die Form \(T0Z0\). Es gilt \(T = 4 \cdot Z\). Mögliche Paare für \((T, Z)\) sind \((4, 1)\) und \((8, 2)\). Da die größte Zahl gesucht ist, wählen wir \(T=8\) und \(Z=2\). Ergebnis: \(8\,020\).

Antwort

a) \(9\,999\) b) \(2\,046\) c) \(8\,020\)

4172715

In der folgenden Liste haben fast alle Zahlen drei gemeinsame Eigenschaften. Eine Zahl passt jedoch nicht zu den anderen. Welche Zahl ist das und warum? <table> <tr> <td>\(156\)</td> <td>\(453\)</td> <td>\(750\)</td> <td>\(255\)</td> <td>\(355\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Suche zuerst nach Gemeinsamkeiten bei der Anzahl der Stellen und den Ziffern an bestimmten Positionen. - Berechne für jede Zahl die Quersumme. - Vergleiche, welche Zahl bei einer dieser Eigenschaften aus der Reihe tanzt.

Lösung

1. Gemeinsamkeiten der ersten vier Zahlen finden: Sie sind dreistellig, haben die Ziffer \(5\) an der Zehnerstelle und ihre Quersumme ist \(12\) (\(1+5+6=12\), \(4+5+3=12\), \(7+5+0=12\), \(2+5+5=12\)). 2. Überprüfung der letzten Zahl: Die Zahl \(355\) ist ebenfalls dreistellig und hat die \(5\) an der Zehnerstelle. 3. Quersumme der letzten Zahl berechnen: \(3+5+5=13\). 4. Ergebnis: Da die Quersumme \(13\) statt \(12\) ist, passt die \(355\) nicht in die Reihe.

Antwort

Die Zahl \(355\) passt nicht dazu. Während alle anderen Zahlen die Quersumme \(12\) haben, ist die Quersumme von \(355\) gleich \(13\). (Zudem sind alle anderen Zahlen durch \(3\) teilbar).

4172725

Finde alle vierstelligen Zahlen, auf die die folgenden vier Bedingungen gleichzeitig zutreffen: - Die Tausenderziffer ist \(2\). - Die Hunderterziffer ist doppelt so groß wie die Tausenderziffer. - Die Quersumme der Zahl ist \(10\). - Die Zahl ist gerade.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die ersten beiden Ziffern der Zahl mithilfe der ersten beiden Hinweise. - Wie viel fehlt noch von der Summe der ersten beiden Ziffern bis zur Quersumme \(10\)? - Welche Ziffernkombinationen ergeben an der Zehner- und Einerstelle diese restliche Summe? - Denk daran, dass eine Zahl nur dann gerade ist, wenn sie auf eine bestimmte Ziffer endet.

Lösung

1. Ziffern für Tausender (\(T\)) und Hunderter (\(H\)) festlegen: \(T = 2\), \(H = 2 \cdot 2 = 4\). Die Zahl beginnt also mit \(24\ldots\). 2. Restsumme für die Quersumme ermitteln: \(T + H = 2 + 4 = 6\). Da die Gesamtquersumme \(10\) sein soll, müssen die Zehnerziffer (\(Z\)) und die Einerziffer (\(E\)) zusammen \(10 - 6 = 4\) ergeben. 3. Mögliche Paare \((Z, E)\) finden, deren Summe \(4\) ist: \((0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)\). 4. Bedingung „gerade Zahl“ prüfen: Die Einerziffer \(E\) muss \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) sein. Dies trifft auf die Paare \((0, 4), (2, 2)\) und \((4, 0)\) zu. 5. Zahlen zusammensetzen: \(2\,404, 2\,422, 2\,440\).

Antwort

Die gesuchten Zahlen sind \(2\,404\), \(2\,422\) und \(2\,440\).

4172795

Bestimme alle vierstelligen Zahlen, deren Quersumme genau \(3\) beträgt.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Ziffernkombinationen zusammengezählt das Ergebnis 3 ergeben. - Beachte, dass die erste Ziffer einer vierstelligen Zahl niemals 0 sein darf. - Gehe systematisch vor: Starte mit der größtmöglichen Ziffer an der ersten Stelle. - Wie viele Nullen können in der Zahl vorkommen?

Lösung

1. Zerlegung der Zahl \(3\) in vier Summanden (Ziffern), wobei der erste Summand nicht \(0\) sein darf. 2. Möglichkeit 1: Die Ziffern sind \(3, 0, 0, 0\). Daraus ergibt sich die Zahl \(3\,000\). 3. Möglichkeit 2: Die Ziffern sind \(2, 1, 0, 0\). Durch Permutation unter Beachtung der ersten Stelle ergeben sich: \(2\,100, 2\,010, 2\,001, 1\,200, 1\,020, 1\,002\). 4. Möglichkeit 3: Die Ziffern sind \(1, 1, 1, 0\). Durch Permutation ergeben sich: \(1\,110, 1\,101, 1\,011\). 5. Zusammenfassung aller gefundenen Zahlen führt zur vollständigen Liste.

Antwort

Die Zahlen sind: \(1\,002, 1\,011, 1\,020, 1\,101, 1\,110, 1\,200, 2\,001, 2\,010, 2\,100, 3\,000\).

4172865

Gibt es mehr dreistellige Zahlen mit der Quersumme \(3\) oder mehr dreistellige Zahlen mit der Quersumme \(4\)? Begründe deine Antwort, indem du alle Möglichkeiten übersichtlich aufschreibst.

Denkanstöße

- Gehe am besten geordnet vor, indem du mit der kleinstmöglichen Hunderterziffer beginnst. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zehner- und Einerstelle, wenn die Hunderterstelle feststeht? - Denke daran, dass die Hunderterstelle bei einer dreistelligen Zahl nicht \(0\) sein darf.

Lösung

1. Bestimmung der Zahlen mit Quersumme \(3\): - Hunderterstelle \(1\): \(102, 111, 120\) - Hunderterstelle \(2\): \(201, 210\) - Hunderterstelle \(3\): \(300\) Das sind insgesamt \(6\) Zahlen. 2. Bestimmung der Zahlen mit Quersumme \(4\): - Hunderterstelle \(1\): \(103, 112, 121, 130\) - Hunderterstelle \(2\): \(202, 211, 220\) - Hunderterstelle \(3\): \(301, 310\) - Hunderterstelle \(4\): \(400\) Das sind insgesamt \(10\) Zahlen. 3. Vergleich der Anzahlen: Da \(10 > 6\) ist, gibt es mehr Zahlen mit der Quersumme \(4\).

Antwort

Es gibt mehr dreistellige Zahlen mit der Quersumme \(4\) (insgesamt \(10\) Stück) als mit der Quersumme \(3\) (insgesamt \(6\) Stück).

4172875

Finde die gesuchte dreistellige Zahl mithilfe der folgenden Hinweise: - Die Quersumme der Zahl ist \(10\). - Die Hunderterziffer ist eine \(4\). - Die Zahl ist eine gerade Zahl. - Alle drei Ziffern der Zahl sind voneinander verschieden. - Die Einerziffer ist kleiner als die Zehnerziffer.

Denkanstöße

- Welche Ziffernpaare ergeben zusammen die restliche Summe, wenn du die Hunderterziffer bereits kennst? - Streiche nacheinander alle Möglichkeiten durch, die den Bedingungen widersprechen. - Achte genau auf den Unterschied zwischen der Zehner- und der Einerstelle.

Lösung

1. Festlegung der Hunderterstelle: Die Zahl beginnt mit der Ziffer \(4\). 2. Bestimmung der restlichen Summe: Da die Quersumme \(10\) ist, müssen die Zehner- und die Einerziffer zusammen \(10 - 4 = 6\) ergeben. 3. Mögliche Ziffernpaare \((Zehner, Einer)\) für die Summe \(6\): \((0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0)\). 4. Ausschluss durch Bedingungen: „Verschiedene Ziffern“ schließt \((2,4), (4,2)\) (wegen der \(4\) im Hunderter) und \((3,3)\) aus. „Gerade Zahl“ bedeutet, die Einerziffer muss \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) sein. Es bleiben \((0,6)\) und \((6,0)\). 5. Letzte Bedingung prüfen: Da die Einerziffer kleiner als die Zehnerziffer sein muss, ist nur das Paar \((6,0)\) korrekt, da \(0 < 6\). Die Zahl lautet somit \(460\).

Antwort

Die gesuchte Zahl ist \(460\).

4172935

Eine sechsstellige Zahl hat genau vier Nullen. Die Summe ihrer Ziffern beträgt 12. Bestimme die größte und die kleinste dieser Zahlen.

Denkanstöße

- Wie viele Ziffern der Zahl sind nicht Null? - Finde zuerst alle Paare von Ziffern, deren Summe 12 ergibt. - Wie musst du diese Ziffern und die Nullen anordnen, damit die Zahl so groß wie möglich wird? - Wie verhinderst du bei der kleinsten Zahl, dass sie mit einer Null beginnt?

Lösung

1. Eine sechsstellige Zahl mit vier Nullen hat genau zwei Ziffern ungleich Null. Die Summe dieser beiden Ziffern muss 12 ergeben. Mögliche Ziffernpaare ohne Beachtung der Reihenfolge sind: \((3, 9), (4, 8), (5, 7)\) und \((6, 6)\). 2. Für die kleinste Zahl: Das Paar mit der kleinsten Ziffer an erster Stelle ist \((3, 9)\). Die 3 wird an die erste Stelle gesetzt, gefolgt von den vier Nullen, um den Stellenwert der 9 so gering wie möglich zu halten. Die 9 steht an der letzten Stelle. Ergebnis: \(300\,009\). 3. Für die größte Zahl: Das Paar mit der größten Ziffer an erster Stelle ist \((9, 3)\). Die 9 wird an die erste Stelle gesetzt, gefolgt von der 3 an der zweiten Stelle. Die vier Nullen stehen an den letzten Stellen. Ergebnis: \(930\,000\).

Antwort

Die größte Zahl ist \(930\,000\) und die kleinste Zahl ist \(300\,009\).

4172975

Eine 10-stellige Zahl wird aus den Ziffern \(0\) bis \(9\) so gebildet, dass jede Ziffer genau einmal vorkommt. Bestimme die Quersumme dieser Zahl. Eine zweite 10-stellige Zahl wird so gebildet, dass eine der Ziffern von \(0\) bis \(9\) fehlt und eine andere dafür doppelt vorkommt. Was ist die kleinstmögliche und was die größtmögliche Quersumme für diese zweite Zahl? Begründe deine Überlegungen.

Denkanstöße

- Wie groß ist die Summe, wenn du alle Ziffern von 0 bis 9 addierst? - Was passiert mit dieser Summe, wenn du eine kleine Ziffer gegen eine große Ziffer austauschst? - Was passiert, wenn du eine große Ziffer weglässt und stattdessen eine kleine Ziffer doppelt nimmst?

Lösung

1. Die Summe aller zehn verschiedenen Ziffern von \(0\) bis \(9\) beträgt: \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). Jede 10-stellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern hat also die Quersumme \(45\). 2. Für die zweite Zahl wird eine Ziffer \(x\) entfernt und eine Ziffer \(y\) hinzugefügt. Die neue Quersumme berechnet sich durch \(45 - x + y\). 3. Die Quersumme wird minimal, wenn die größtmögliche Ziffer entfernt (\(x = 9\)) und die kleinstmögliche Ziffer hinzugefügt wird (\(y = 0\)). Ergebnis: \(45 - 9 + 0 = 36\). 4. Die Quersumme wird maximal, wenn die kleinstmögliche Ziffer entfernt (\(x = 0\)) und die größtmögliche Ziffer hinzugefügt wird (\(y = 9\)). Ergebnis: \(45 - 0 + 9 = 54\).

Antwort

Die Quersumme der ersten Zahl ist \(45\). Die kleinstmögliche Quersumme der zweiten Zahl ist \(36\), die größtmögliche ist \(54\).

4174035

In der folgenden Subtraktionsaufgabe fehlen einige Ziffern. Setze die passenden Ziffern in die Quadrate \(\square\) ein. <table> <tr><td></td><td>8</td><td>3</td><td>\(\square\)</td><td>4</td></tr> <tr><td>-</td><td>\(\square\)</td><td>6</td><td>5</td><td>\(\square\)</td></tr> <tr style="border-top: 1px solid black;"><td></td><td>4</td><td>\(\square\)</td><td>8</td><td>1</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Überlege dir bei jeder Stelle, ob du von der nächsten Stelle entbündeln musst. - Du kannst die Aufgabe auch als Additionsaufgabe von unten nach oben lesen: Ergebnis plus untere Zahl gleich obere Zahl. - Achte besonders auf die Entbündelungen bei der Subtraktion.

Lösung

1. Einerstelle: \(4 - \square = 1 \implies \square = 3\). 2. Zehnerstelle: \(3 - 5\) ist nicht möglich. Ein Hunderter wird entbündelt: \(13 - 5 = 8\). Dadurch verringert sich die Hunderterstelle des Minuenden von \(3\) auf \(2\). 3. Hunderterstelle: \(2 - 6\) ist nicht möglich. Ein Tausender wird entbündelt: \(12 - 6 = 6\). Dadurch verringert sich die Tausenderstelle des Minuenden von \(8\) auf \(7\). 4. Tausenderstelle: \(7 - \square = 4 \implies \square = 3\). Die vollständige Rechnung lautet: \(8334 - 3653 = 4681\).

Antwort

Die fehlenden Ziffern sind (von oben nach unten, links nach rechts): \(3\), \(3\), \(3\) und \(6\). Die Rechnung lautet: \(8334 - 3653 = 4681\).

4176685

Gegeben sind die Ziffern \(2\), \(2\), \(5\) und \(9\). Wenn man alle vierstelligen Zahlen, die aus diesen Ziffern gebildet werden können, von der kleinsten zur größten ordnet, an welcher Stelle steht dann die Zahl \(5292\)?

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Ziffer an der Tausenderstelle stehen muss, damit die Zahl möglichst klein ist. - Wie viele verschiedene Zahlen beginnen mit der Ziffer \(2\)? - Gehe systematisch vor, indem du die Zahlen nach ihrer Größe sortierst.

Lösung

1. Auflistung aller Zahlen mit der kleinsten Tausenderziffer \(2\): \(2259, 2295, 2529, 2592, 2925, 2952\). Dies sind \(6\) Zahlen. 2. Fortführung der Liste mit der nächstgrößeren Tausenderziffer \(5\): Die kleinste Zahl ist \(5229\) (7. Stelle), die darauffolgende Zahl ist \(5292\) (8. Stelle).

Antwort

An der \(8.\) Stelle.

4176705

Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern \(3\), \(6\), \(6\) und \(8\) bilden, die größer als \(6500\) sind?

Denkanstöße

- Welche Ziffern an der Tausenderstelle machen eine Zahl automatisch größer als \(6500\)? - Bei welcher Tausenderziffer musst du genauer hinschauen und die Hunderterstelle prüfen? - Versuche, alle möglichen Zahlen für eine Tausenderziffer aufzuschreiben, um keine zu vergessen.

Lösung

1. Untersuchung der Zahlen mit Tausenderziffer \(8\): Die Permutationen sind \(8366, 8636, 8663\). Alle \(3\) Zahlen sind größer als \(6500\). 2. Untersuchung der Zahlen mit Tausenderziffer \(6\): Die möglichen Zahlen sind \(6368, 6386, 6638, 6683, 6836, 6863\). Davon haben \(4\) Zahlen eine Hunderterstelle größer oder gleich \(5\) (\(6638, 6683, 6836, 6863\)). 3. Zahlen mit Tausenderziffer \(3\) sind grundsätzlich kleiner als \(6500\). 4. Gesamtzahl berechnen: \(3 + 4 = 7\).

Antwort

\(7\)

4177055

Löse die folgenden Rätsel zu den natürlichen Zahlen: a) Bestimme die kleinste fünfstellige Zahl, die nur aus den Ziffern \(0\), \(3\) und \(7\) besteht. Dabei muss jede dieser drei Ziffern mindestens einmal in der Zahl vorkommen. b) Finde die größte dreistellige Zahl, deren Quersumme \(15\) ist und die ohne Rest durch \(2\) teilbar ist.

Denkanstöße

- Welche Ziffer darf bei einer mehrstelligen Zahl niemals ganz vorne stehen? - Wenn du die kleinste Zahl suchst, sollten die kleinsten Ziffern an den Stellen mit dem höchsten Wert (links) stehen. - Woran erkennst du sofort, ob eine Zahl durch 2 teilbar ist? - Probiere für die größte Zahl an der Hunderterstelle erst einmal die größte mögliche Ziffer aus.

Lösung

1. Für Teilaufgabe a): Eine fünfstellige Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen. Um die kleinste Zahl zu erhalten, wählen wir die kleinste verfügbare Ziffer ungleich Null, also die \(3\), für die Zehntausenderstelle. Die nächsten Stellen besetzen wir so weit wie möglich mit der kleinsten Ziffer \(0\). Da jede Ziffer mindestens einmal vorkommen muss, setzen wir die \(7\) an die letzte Stelle. Das Ergebnis ist \(30\,007\). 2. Für Teilaufgabe b): Eine Zahl ist durch \(2\) teilbar, wenn ihre Einerziffer gerade ist (\(0, 2, 4, 6, 8\)). Um die größte Zahl zu erhalten, wählen wir für die Hunderterstelle die \(9\). Die Summe der restlichen zwei Ziffern muss \(15 - 9 = 6\) ergeben. Wir wählen für die Zehnerstelle den größtmöglichen Wert, sodass die Einerziffer noch gerade bleibt. Mit der Zehnerziffer \(6\) ergibt sich die Einerziffer \(0\), was eine gerade Zahl ist. Somit ist die Zahl \(960\).

Antwort

a) \(30\,007\) b) \(960\)

4177285

In einem Rechengitter mit drei Zeilen und drei Spalten sind alle drei Zeilensummen gleich \(15\). a) Wie groß ist die Summe aller Zahlen im Gitter? b) Wie groß muss die Summe der drei Spaltensummen zusammen sein? Begründe deine Antwort kurz.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Zeilen es gibt und wie viel sie zusammen ergeben. - Was passiert mit der Gesamtsumme, wenn man die Zahlen erst zeilenweise und dann spaltenweise addiert? Ändert sich der Wert? - Stell dir vor, du hast alle Zahlen im Gitter auf einem Haufen. Macht es einen Unterschied für die Gesamtsumme, wie du sie vorher sortiert hast?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtsumme über die Zeilen: Da es drei Zeilen mit einer Summe von jeweils \(15\) gibt, beträgt die Summe aller Zahlen im Gitter \(3 \cdot 15 = 45\). 2. Bestimmung der Summe der Spaltensummen: Da jede Zahl im Gitter genau einmal in einer Zeile und genau einmal in einer Spalte steht, muss die Summe der Spaltensummen identisch mit der Summe der Zeilensummen sein. 3. Ergebnis für b): Die Summe der Spaltensummen ist ebenfalls \(45\).

Antwort

a) Die Gesamtsumme ist \(45\). b) Die Summe der Spaltensummen ist ebenfalls \(45\), da die Gesamtsumme aller Zahlen im Gitter immer gleich bleibt, egal ob man sie zeilenweise oder spaltenweise addiert.

4178575

Bilde die Differenz aus der größten fünfstelligen Zahl, die an der Hunderterstelle eine \(7\) hat, und der kleinsten fünfstelligen Zahl, die aus lauter verschiedenen Ziffern besteht.

Denkanstöße

- Was ist die größtmögliche Ziffer, die du an den Stellen einsetzen darfst, für die es keine Vorgabe gibt? - Darf eine Zahl mit der Ziffer 0 beginnen? - Achte darauf, dass bei der zweiten Zahl keine Ziffer doppelt vorkommen darf. - „Differenz“ bedeutet, dass du eine Subtraktion durchführen musst.

Lösung

1. Bestimmung der größten fünfstelligen Zahl mit einer \(7\) an der Hunderterstelle: Um die größte Zahl zu erhalten, wählt man für alle anderen Stellen die Ziffer \(9\). Die Zahl lautet \(99\,799\). 2. Bestimmung der kleinsten fünfstelligen Zahl mit verschiedenen Ziffern: Die erste Ziffer muss die kleinste von Null verschiedene Ziffer sein (\(1\)), die zweite die kleinste verfügbare Ziffer (\(0\)), gefolgt von \(2\), \(3\) und \(4\). Die Zahl lautet \(10\,234\). 3. Berechnung der Differenz: \(99\,799 - 10\,234 = 89\,565\).

Antwort

\(89\,565\)

4178785

Zwei Kinder spielen ein Zahlenrätsel. Lukas wählt die Ziffern 1, 4 und 6. Er bildet alle möglichen dreistelligen Zahlen (jede Ziffer genau einmal) und addiert sie. Sophie wählt die Ziffern 2, 3 und 6 und macht dasselbe. Stelle eine Vermutung auf, wer eine größere Summe erhält, ohne alle Zahlen einzeln zu addieren. Begründe deine Vermutung und überprüfe sie anschließend durch Rechnung.

Denkanstöße

- Vergleiche die Summe der drei Ziffern von Lukas mit der Summe der drei Ziffern von Sophie. - Überlege dir, wie oft jede Ziffer in der Hunderter-, Zehner- und Einerstelle vorkommt, wenn man alle Kombinationen bildet. - Hängt das Endergebnis von der Reihenfolge der Ziffern ab oder nur von ihrem Gesamtwert?

Lösung

1. Vergleich der Ziffernsummen: Lukas hat \(1 + 4 + 6 = 11\). Sophie hat \(2 + 3 + 6 = 11\). 2. Da die Summe der Ausgangsziffern bei beiden gleich ist und jede Ziffer in der Menge aller Permutationen gleich oft an jeder Stelle vorkommt, müssen die Gesamtsummen identisch sein. 3. Berechnung Lukas: Zahlen sind 146, 164, 416, 461, 614, 641. Summe: \(11 \cdot 222 = 2442\). 4. Berechnung Sophie: Zahlen sind 236, 263, 326, 362, 623, 632. Summe: \(11 \cdot 222 = 2442\). 5. Ergebnis: Beide Summen sind gleich groß.

Antwort

Beide erhalten die gleiche Summe (2442). Begründung: Die Summe der Ziffern ist bei beiden gleich (\(1+4+6=11\) und \(2+3+6=11\)). Da bei beiden Kindern jede ihrer Ziffern genau zweimal an jeder Stelle vorkommt, ist auch die Gesamtsumme gleich.

4178885

Du hast die Ziffernkärtchen \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) und \(6\). Bilde daraus drei zweistellige Zahlen, sodass jedes Kärtchen genau einmal vorkommt. a) Wie hoch ist die Summe der drei Zahlen, wenn sie so groß wie möglich sein soll? b) Wie klein ist die Summe der drei Zahlen, wenn sie so niedrig wie möglich sein soll?

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Zehner und wie viele Einer du insgesamt zur Verfügung hast. - Welche Ziffern bewirken an der Zehnerstelle die größte Veränderung? - Verteile die Ziffern systematisch auf die drei Zehnerstellen und die drei Einerstellen.

Lösung

1. Zur Maximierung der Gesamtsumme müssen die größten Ziffern (\(6\), \(5\) und \(4\)) an die Zehnerstellen gesetzt werden. Die verbleibenden Ziffern (\(3\), \(2\) und \(1\)) kommen an die Einerstellen. 2. Berechnung: \((6 + 5 + 4) \cdot 10 + (3 + 2 + 1) = 150 + 6 = 156\). 3. Zur Minimierung der Gesamtsumme müssen die kleinsten Ziffern (\(1\), \(2\) und \(3\)) an die Zehnerstellen gesetzt werden. Die verbleibenden Ziffern (\(4\), \(5\) und \(6\)) kommen an die Einerstellen. 4. Berechnung: \((1 + 2 + 3) \cdot 10 + (4 + 5 + 6) = 60 + 15 = 75\).

Antwort

a) Die maximale Summe ist \(156\). b) Die minimale Summe ist \(75\).

4185725

Gegeben ist die Ziffernfolge \(472\,915\,386\). 1. Streiche genau 4 Ziffern so, dass die größtmögliche fünfstellige Zahl entsteht. Die Reihenfolge der verbleibenden Ziffern darf nicht verändert werden. 2. Streiche genau 4 Ziffern aus der ursprünglichen Ziffernfolge so, dass die kleinstmögliche fünfstellige Zahl entsteht. 3. Berechne die Differenz zwischen der größtmöglichen und der kleinstmöglichen Zahl.

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Ziffer an der vordersten Stelle (Zehntausenderstelle) stehen muss, damit die Zahl besonders groß oder klein wird. - Wie viele Ziffern darfst du maximal von links überspringen, um noch genug Ziffern für eine fünfstellige Zahl übrig zu haben? - Die Reihenfolge der Ziffern muss immer so bleiben, wie sie in der ursprünglichen Zahl vorgegeben ist. - Schreibe dir die verbleibenden Ziffern erst einmal auf, bevor du rechnest.

Lösung

1. Um die größtmögliche Zahl zu erhalten, wählen wir die höchste Ziffer für die vorderen Stellen. Aus den ersten fünf Ziffern \((4, 7, 2, 9, 1)\) ist die \(9\) an 4. Stelle die größte. Damit sind 3 Ziffern gestrichen. Von den restlichen Ziffern \((1, 5, 3, 8, 6)\) muss noch eine gestrichen werden. Um die Zehntausenderstelle \(9\) beizubehalten, wählen wir für die Tausenderstelle die \(5\) (Streichen der \(1\)). Die größte Zahl ist \(95\,386\). 2. Für die kleinstmögliche Zahl suchen wir die kleinste Ziffer für die vorderen Stellen. Aus den ersten fünf Ziffern ist die \(1\) an 5. Stelle die kleinste. Damit sind bereits 4 Ziffern \((4, 7, 2, 9)\) gestrichen. Die verbleibenden Ziffern müssen übernommen werden. Die kleinste Zahl ist \(15\,386\). 3. Die Differenz berechnet sich durch \(95\,386 - 15\,386 = 80\,000\).

Antwort

Die größtmögliche Zahl ist \(95\,386\), die kleinstmögliche Zahl ist \(15\,386\). Die Differenz beträgt \(80\,000\).

4185745

Aus der Ziffernfolge \(529\,384\,716\) sollen durch Streichen von 4 Ziffern neue Zahlen gebildet werden. 1. Ermittle die größtmögliche fünfstellige Zahl. 2. Ermittle die kleinstmögliche fünfstellige Zahl. 3. Berechne den Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen.

Denkanstöße

- Gehe Stelle für Stelle von links nach rechts vor. - Achte bei jedem Schritt darauf, wie viele Streichungen du noch übrig hast. - Manchmal ist es besser, eine etwas kleinere Ziffer an einer vorderen Stelle zu akzeptieren, um später eine viel größere Ziffer „retten“ zu können – oder umgekehrt bei der kleinsten Zahl.

Lösung

1. Größtmögliche Zahl: Wähle die \(9\) an 3. Stelle (2 Streichungen: \(5, 2\)). Danach die \(8\) an 5. Stelle (1 Streichung: \(3\)) und die \(7\) an 7. Stelle (1 Streichung: \(4\)). Es bleiben \(1\) und \(6\). Die Zahl ist \(98\,716\). 2. Kleinstmögliche Zahl: Wähle die \(2\) an 2. Stelle (1 Streichung: \(5\)). Danach die \(3\) an 4. Stelle (1 Streichung: \(9\)), die \(4\) an 6. Stelle (1 Streichung: \(8\)) und die \(1\) an 8. Stelle (1 Streichung: \(7\)). Es bleibt die \(6\). Die Zahl ist \(23\,416\). 3. Differenz: \(98\,716 - 23\,416 = 75\,300\).

Antwort

Die größte Zahl ist \(98\,716\), die kleinste Zahl ist \(23\,416\). Der Unterschied beträgt \(75\,300\).

4186555

Verwende vier der Ziffern 0, 2, 4, 7 und 9, um zwei zweistellige Zahlen zu bilden und sie zu addieren: \(\square\square + \square\square\). Dabei darf jede Ziffer nur einmal verwendet werden. Beachte, dass eine zweistellige Zahl nicht mit der Ziffer 0 beginnen darf. a) Wie lautet die kleinstmögliche Summe, die du bilden kannst? b) Welche Aufgabe ergibt eine Summe, die so nah wie möglich an der Zahl 100 liegt?

Denkanstöße

- Darf die \(0\) an jeder Stelle stehen? Lies die Bedingung genau. - Für eine kleine Summe sollten kleine Ziffern an den Zehnerstellen stehen. - Welche Summe der beiden Zehnerziffern bringt dich in die Nähe von \(100\)? - Berücksichtige anschließend auch die beiden Einerziffern.

Lösung

1. Zur Minimierung der Summe werden die kleinsten möglichen Ziffern \(2\) und \(4\) für die Zehnerstellen gewählt, da \(0\) dort nicht stehen darf. Die \(0\) wird als Einerstelle verwendet. Mit der nächstkleineren Ziffer \(7\) ergibt sich \(20 + 47 = 67\) oder \(27 + 40 = 67\). 2. Für eine Summe nahe \(100\) sollten die Zehnerstellen zusammen \(9\) ergeben. Mit \(2\) und \(7\) als Zehnerstellen und \(0\) und \(9\) als Einerstellen erhält man \(20 + 79 = 99\) oder \(29 + 70 = 99\). Der Abstand zu \(100\) beträgt nur \(1\); eine Summe von \(100\) ist mit vier verschiedenen Ziffern aus der gegebenen Menge nicht möglich.

Antwort

a) \(20 + 47 = 67\) (oder \(27 + 40 = 67\)) b) \(20 + 79 = 99\) (oder \(29 + 70 = 99\))

4193195

Setze die passenden Ziffern in die Kästchen ein, damit die Multiplikation stimmt: \(2\square \cdot 14 = \square 22\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Ziffer an der Einerstelle stehen muss, damit die Multiplikation mit 4 auf eine 2 endet. - Probiere die möglichen Ziffern nacheinander aus und rechne die Aufgabe ganz durch. - Achte darauf, ob das Ergebnis die Form \(\square22\) hat.

Lösung

1. Untersuche das Produkt \(2\square \cdot 14\). Die letzte Ziffer des Ergebnisses ist \(2\). Damit das Produkt der Einerziffer mit \(4\) auf \(2\) endet, kommen für das Kästchen nur \(3\) oder \(8\) infrage. 2. Für \(\square = 3\) gilt: \(23 \cdot 14 = 322\). Das Ergebnis hat die geforderte Form \(\square22\). 3. Für \(\square = 8\) gilt: \(28 \cdot 14 = 392\). Das Ergebnis hat nicht die geforderte Form. Die gesuchten Ziffern sind \(3\) an der Einerstelle des ersten Faktors und \(3\) an der Hunderterstelle des Produkts.

Antwort

\(23 \cdot 14 = 322\)

4193205

Finde die fehlenden Ziffern in der folgenden Rechnung: \(\square 7 \cdot 2\square = 851\)

Denkanstöße

- Welche Ziffern multipliziert ergeben an der Einerstelle eine 1? - Kannst du abschätzen, wie groß die Zehnerziffer der ersten Zahl ungefähr sein muss? - Überlege dir, welche Zahlen der Form 17, 27, 37, ... Teiler von 851 sein könnten.

Lösung

1. Suche nach einem Teiler von 851, der auf 7 endet und zwischen 10 und 99 liegt (\(\square 7\)). 2. Teste mögliche Zahlen: \(851 : 17 \approx 50{,}06\); \(851 : 27 \approx 31{,}52\); \(851 : 37 = 23\). 3. Die Zahl 37 ist ein Teiler. Der zweite Faktor ist dann 23. 4. Prüfe, ob der zweite Faktor der Form \(2\square\) entspricht. Das ist bei 23 der Fall. Die gesuchten Ziffern sind 3 (Zehnerstelle des ersten Faktors) und 3 (Einerstelle des zweiten Faktors).

Antwort

\(37 \cdot 23 = 851\)

4195355

Das „Vierer-Rätsel“: Verwende jedes Mal genau viermal die Ziffer \(4\), um Terme für die folgenden Ergebnisse zu bilden. Du darfst die Grundrechenarten und Klammern benutzen. a) \(0\) b) \(1\) c) \(8\) d) \(15\)

Denkanstöße

- Du musst bei jeder Teilaufgabe wirklich alle vier Vierer benutzen. - Wie erhält man \(0\), wenn man zwei gleiche Zahlen hat? - Erinnere dich an die Regel „Punkt vor Strich“. - Klammern können helfen, die Reihenfolge der Rechnungen zu verändern.

Lösung

1. Ergebnis \(0\): Subtraktion gleicher Werte, zum Beispiel \((4 + 4) - (4 + 4) = 0\) oder \(4 + 4 - 4 - 4 = 0\). 2. Ergebnis \(1\): Division eines Wertes durch sich selbst, zum Beispiel \((4 + 4) : (4 + 4) = 1\). 3. Ergebnis \(8\): zum Beispiel \(4 + 4 + 4 - 4 = 8\) oder \((4 \cdot 4) : 4 + 4 = 8\). 4. Ergebnis \(15\): Mit der Punkt-vor-Strich-Regel gilt \(4 \cdot 4 - 4 : 4 = 16 - 1 = 15\).

Antwort

Beispiele für Lösungen: a) \(4 + 4 - 4 - 4 = 0\) b) \((4 + 4) : (4 + 4) = 1\) c) \(4 + 4 + 4 - 4 = 8\) d) \(4 \cdot 4 - 4 : 4 = 15\)

4195365

Lisa möchte die Zahl \(100\) nur mit der Ziffer \(5\) darstellen. Sie darf dabei addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und Klammern setzen. Auch das Zusammensetzen von Ziffern (wie \(55\)) ist erlaubt. a) Finde zwei verschiedene Möglichkeiten, die Zahl \(100\) mit der Ziffer \(5\) darzustellen. b) Findest du einen Term für die Zahl \(11\), in dem genau drei Fünfer vorkommen?

Denkanstöße

- Überlege, welche Multiplikationsaufgaben das Ergebnis \(100\) haben. - Kannst du die Zahl \(11\) durch eine Division erreichen? - Probiere aus, wie viele Fünfer du für einfache Zahlen wie \(10\), \(20\) oder \(25\) brauchst.

Lösung

1. Für die Zahl \(100\) gibt es verschiedene Ansätze: - Multiplikation von Teilsummen: \((5 + 5 + 5 + 5) \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100\) (benötigt fünf Fünfer). - Differenz von Produkten: \(5 \cdot 5 \cdot 5 - 5 \cdot 5 = 125 - 25 = 100\) (benötigt fünf Fünfer). - Kombination mit zusammengesetzten Zahlen: \((555 - 55) : 5 = 500 : 5 = 100\) (benötigt sechs Fünfer). - Kürzerer Weg: \(5 \cdot (5 \cdot 5 - 5) = 5 \cdot 20 = 100\) (benötigt vier Fünfer). 2. Für die Zahl \(11\) mit genau drei Fünfern: - Man erkennt, dass \(11\) als \(10 + 1\) darstellbar ist. - Die \(10\) wird durch \(5 + 5\) gebildet, die \(1\) durch \(5 : 5\). - Da nur drei Fünfer erlaubt sind, kombiniert man: \(5 + 5 + 5 : 5 = 10 + 1 = 11\)? Nein, das sind vier Fünfer. - Richtiger Ansatz: \(55 : 5 = 11\). Dies nutzt genau zwei Fünfer in der Zahl \(55\) und einen weiteren Fünfer als Divisor.

Antwort

Mögliche Lösungen: a) \((5 + 5 + 5 + 5) \cdot 5 = 100\) oder \(5 \cdot 5 \cdot 5 - 5 \cdot 5 = 100\) oder \(5 \cdot (5 \cdot 5 - 5) = 100\) b) \(55 : 5 = 11\)

4197435

Marie hat einen Rechentrick: 1. Wähle eine Zahl. 2. Multipliziere sie mit 25. 3. Multipliziere das Ergebnis mit 8. 4. Dividiere dieses Ergebnis durch 100. Marie behauptet: „Ich muss dein Endergebnis nur halbieren, um deine Zahl zu wissen.“ a) Überprüfe Maries Behauptung für die Startzahl 6. b) Erkläre, warum Maries Trick immer funktioniert.

Denkanstöße

- Rechne die Schritte für die Zahl 6 nacheinander durch und schaue, ob am Ende wirklich das Doppelte von 6 herauskommt. - Gibt es eine einzelne Zahl, mit der man die Startzahl multiplizieren könnte, um direkt zum Endergebnis des Rechentricks zu kommen? - Was ergibt \(25 \cdot 8\)? Hilft dir dieses Ergebnis weiter, wenn du danach durch 100 teilst?

Lösung

1. Berechnung für Teil a): \(6 \cdot 25 = 150\). Danach \(150 \cdot 8 = 1\,200\). Schließlich \(1\,200 : 100 = 12\). Das Endergebnis ist 12. Die Hälfte von 12 ist 6, also stimmt die Behauptung. 2. Analyse des Tricks für Teil b): Die Multiplikationen \(25 \cdot 8\) ergeben zusammen \(200\). 3. Kombination mit der Division: Die gesamte Kette entspricht einer Multiplikation mit 200 und anschließender Division durch 100, was einer Multiplikation mit \(200 : 100 = 2\) entspricht. Da das Endergebnis immer das Doppelte der Startzahl ist, erhält man die Startzahl zurück, indem man das Ergebnis halbiert.

Antwort

a) Das Endergebnis für die Startzahl 6 ist 12. Da die Hälfte von 12 wieder 6 ist, stimmt die Behauptung. b) Die Rechenschritte bedeuten insgesamt eine Multiplikation mit \(25 \cdot 8 = 200\) und eine Division durch 100. Da \(200 : 100 = 2\) ist, wird die gedachte Zahl insgesamt nur verdoppelt. Um sie wiederzufinden, muss man das Ergebnis also halbieren.

4211185

Drei Freunde sparen für ein gemeinsames Projekt. Clara hat dreimal so viel Geld gespart wie Felix. Paul war besonders fleißig und hat fünfmal so viel gespart wie Clara. Zusammen haben sie \(380\,\text{€}\) in ihrer Sparbüchse. Berechne, wie viel Geld Paul gespart hat.

Denkanstöße

- Überlege dir, wer am wenigsten gespart hat und nenne diesen Betrag einen „Anteil“. - Wie viele Anteile haben dann die anderen beiden im Vergleich dazu? - Rechne aus, wie viel Geld ein einzelner Anteil wert ist, indem du den Gesamtbetrag aufteilst.

Lösung

1. Felix' Erspartes wird als 1 Anteil definiert. 2. Clara hat 3 Anteile (dreimal so viel wie Felix). 3. Paul hat \(5 \cdot 3 = 15\) Anteile (fünfmal so viel wie Clara). 4. Gesamtzahl der Anteile: \(1 + 3 + 15 = 19\). 5. Wert eines Anteils berechnen: \(380\,\text{€} : 19 = 20\,\text{€}\). 6. Pauls Erspartes berechnen: \(15 \cdot 20\,\text{€} = 300\,\text{€}\).

Antwort

Paul hat \(300\,\text{€}\) gespart.

4217225

Lukas denkt sich eine natürliche Zahl. Er multipliziert sie zuerst mit \(4\), subtrahiert von diesem Ergebnis \(12\) und teilt das neue Ergebnis schließlich durch \(2\). Als Endergebnis erhält er die Zahl \(14\). Bestimme die Zahl, die sich Lukas am Anfang gedacht hat.

Denkanstöße

- Kannst du die Rechenschritte in einer Kette aufschreiben und dann rückwärts gehen? - Was ist die Umkehroperation zu jeder genannten Rechenart? - Welche Zahl ergibt \(14\), wenn man sie durch \(2\) teilt? Arbeite dich so Schritt für Schritt zurück.

Lösung

1. Start beim Endergebnis \(14\). 2. Umkehrung der Division durch \(2\): \(14 \cdot 2 = 28\). 3. Umkehrung der Subtraktion von \(12\): \(28 + 12 = 40\). 4. Umkehrung der Multiplikation mit \(4\): \(40 : 4 = 10\). Die gedachte Zahl ist \(10\).

Antwort

Lukas hat sich die Zahl \(10\) gedacht.

4217455

Bestimme die kleinste fünfstellige natürliche Zahl, bei der alle Ziffern voneinander verschieden sind und die Zehnerziffer eine 8 ist.

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss, damit die Zahl möglichst klein wird. - Beachte, dass die erste Ziffer einer Zahl niemals eine Null sein darf. - Gehe die Stellen von links nach rechts durch und setze jeweils die kleinstmögliche, noch nicht verwendete Ziffer ein. - Vergiss nicht, die feste Vorgabe für die Zehnerstelle zu berücksichtigen.

Lösung

1. Eine fünfstellige Zahl beginnt an der Zehntausenderstelle. Um die kleinste Zahl zu erhalten, wählt man dort die kleinste Ziffer ungleich Null, also die 1. 2. Für die Tausenderstelle wählt man die kleinste noch verfügbare Ziffer, die 0. 3. An der Hunderterstelle folgt die nächstkleinere verfügbare Ziffer, die 2. 4. Die Zehnerziffer ist durch die Aufgabenstellung fest auf 8 vorgegeben. 5. Für die Einerstelle bleibt als kleinste noch nicht verwendete Ziffer die 3, da 0, 1 und 2 bereits belegt sind. Die resultierende Zahl ist \(10\,283\).

Antwort

\(10\,283\)

4217465

Wie viele dreistellige natürliche Zahlen liegen zwischen 300 und 600, bei denen die Einerziffer eine 5 ist?

Denkanstöße

- Was bedeutet das Wort „zwischen“ für die Grenzen 300 und 600? - Schreibe dir beispielhaft einige Zahlen auf, die die Bedingung erfüllen (z. B. für den 300er-Bereich). - Wie viele verschiedene Ziffern können an der Zehnerstelle stehen? - Untersuche nacheinander die Hunderterbereiche (300er, 400er, 500er).

Lösung

1. Die Zahlen liegen „zwischen“ 300 und 600, das heißt, wir betrachten den Bereich von 301 bis 599. 2. Die Hunderterziffer kann somit die Werte 3, 4 oder 5 annehmen (3 Möglichkeiten). 3. Für die Zehnerziffer gibt es keine Einschränkung, sie kann die Werte 0 bis 9 annehmen (10 Möglichkeiten). 4. Die Einerziffer muss laut Bedingung immer eine 5 sein (1 Möglichkeit). 5. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten berechnet sich durch Multiplikation der Teilmöglichkeiten: \(3 \cdot 10 \cdot 1 = 30\).

Antwort

30

4156345

Gesucht sind alle dreistelligen Zahlen mit der Quersumme \(6\), bei denen alle drei Ziffern verschieden sind. Liste alle diese Zahlen auf.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche drei verschiedenen Ziffern zusammen die Summe \(6\) ergeben können. - Denke daran, dass eine dreistellige Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf. - Vertausche bei jeder gefundenen Zifferngruppe die Stellen, um alle möglichen Zahlen zu finden. - Achte darauf, dass in deiner Liste keine Ziffer doppelt in einer Zahl vorkommt.

Lösung

Zuerst werden die Ziffernkombinationen bestimmt, die die Summe \(6\) ergeben und aus drei verschiedenen Ziffern bestehen: 1. Kombination \(\{0, 1, 5\}\): Da die erste Ziffer nicht \(0\) sein darf, ergeben sich die Zahlen \(105, 150, 501, 510\). 2. Kombination \(\{0, 2, 4\}\): Hier ergeben sich analog die Zahlen \(204, 240, 402, 420\). 3. Kombination \(\{1, 2, 3\}\): Da keine \(0\) enthalten ist, sind alle sechs Vertauschungen möglich: \(123, 132, 213, 231, 312, 321\). Andere Kombinationen wie \(\{0, 0, 6\}\) oder \(\{2, 2, 2\}\) entfallen, da sie doppelte Ziffern enthalten.

Antwort

Die Zahlen sind: \(105, 123, 132, 150, 204, 213, 231, 240, 312, 321, 402, 420, 501, 510\).

4156465

Betrachte \(11\)-stellige Zahlen, die aus genau neun verschiedenen Ziffern bestehen. Eine dieser Ziffern kommt dabei dreimal vor, die restlichen acht Ziffern kommen jeweils genau einmal vor. Bestimme die kleinste und die größte mögliche Quersumme einer solchen Zahl und begründe deine Ergebnisse.

Denkanstöße

- Wie viele Ziffern aus dem Vorrat von \(0\) bis \(9\) bleiben übrig, wenn du neun verschiedene Ziffern auswählen musst? - Welche Ziffernwahl führt zur kleinstmöglichen Summe der neun Grundziffern? - Welche Ziffer aus deiner Auswahl solltest du dreifach zählen, um die Summe so klein oder so groß wie möglich zu machen? - Überlege dir zur Sicherheit, ob man mit diesen Ziffern wirklich eine \(11\)-stellige Zahl bilden kann.

Lösung

1. Eine \(11\)-stellige Zahl mit einer dreifachen Ziffer und acht einfachen Ziffern nutzt insgesamt neun verschiedene Ziffern aus dem Bereich \(0\) bis \(9\). 2. Kleinste Quersumme: Wähle die neun kleinsten Ziffern \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Die Summe dieser Ziffern ist \(36\). Um die Gesamtsumme minimal zu halten, muss die kleinste Ziffer (\(0\)) dreimal verwendet werden. Die Quersumme bleibt \(36 + 0 + 0 = 36\). 3. Größte Quersumme: Wähle die neun größten Ziffern \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Die Summe dieser Ziffern ist \(45\). Um die Gesamtsumme maximal zu halten, muss die größte Ziffer (\(9\)) dreimal verwendet werden. Die Quersumme ist \(45 + 9 + 9 = 63\).

Antwort

Die kleinste Quersumme ist \(36\). Die größte Quersumme ist \(63\).

4156525

Finde alle \(5\)-stelligen Zahlen, die eine Quersumme von \(43\) besitzen.

Denkanstöße

- Eine Quersumme von 43 ist sehr nah am Maximum für fünf Stellen. Welche Zahl hat die größte Quersumme? - Überlege, wie du die Ziffern der größten Zahl \(99\,999\) verringern musst, um auf 43 zu kommen. - Wie viele Einer fehlen dir insgesamt bis zur 45? - Verteile diese fehlenden Einer auf die verschiedenen Stellen der Zahl.

Lösung

1. Berechnung der maximalen Quersumme einer fünfstelligen Zahl: \(5 \cdot 9 = 45\). 2. Die Differenz zur Zielquersumme \(43\) beträgt \(45 - 43 = 2\). Das bedeutet, die Summe der Ziffern muss um \(2\) kleiner sein als bei der Zahl \(99\,999\). 3. Analyse der Möglichkeiten, den Wert \(2\) auf die fünf Stellen zu verteilen: - Abzug von \(2\) an einer Stelle: Eine Ziffer ist eine \(7\), die anderen vier sind \(9\). Dies ergibt die Zahlen: \(79\,999, 97\,999, 99\,799, 99\,979, 99\,997\). - Abzug von jeweils \(1\) an zwei Stellen: Zwei Ziffern sind \(8\), die anderen drei sind \(9\). Dies ergibt die Zahlen: \(88\,999, 89\,899, 89\,989, 89\,998, 98\,899, 98\,989, 98\,998, 99\,889, 99\,898, 99\,988\). 4. Insgesamt gibt es \(5 + 10 = 15\) solche Zahlen.

Antwort

Es gibt \(15\) solche Zahlen: \(79\,999, 97\,999, 99\,799, 99\,979, 99\,997, 88\,999, 89\,899, 89\,989, 89\,998, 98\,899, 98\,989, 98\,998, 99\,889, 99\,898, 99\,988\).

4172115

Betrachte alle vierstelligen Zahlen, die aus den Ziffern 0, 4, 5 und 9 gebildet werden können, wobei jede Ziffer genau einmal verwendet wird. Beachte, dass eine vierstellige Zahl nicht mit der Ziffer 0 beginnen darf. a) Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich unter diesen Bedingungen bilden? b) Wenn du alle diese Zahlen in einer Liste aufsteigend ordnest, welche Zahl steht dann an der 10. Stelle?

Denkanstöße

- Denk daran, dass die Null an der ersten Stelle keine vierstellige Zahl ergibt. - Teile die Zahlen in Gruppen ein, je nachdem, welche Ziffer ganz vorne steht. - Wie viele Zahlen gehören zu jeder Gruppe?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl: Für die Tausenderstelle gibt es 3 Möglichkeiten (4, 5, 9). Für die restlichen Stellen gibt es dann \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Möglichkeiten pro Startziffer. Gesamtzahl: \(3 \cdot 6 = 18\). 2. Ermittlung der 10. Stelle: - Zahlen mit Startziffer 4 (kleinste): \(4059, 4095, 4509, 4590, 4905, 4950\) (6 Zahlen, Positionen 1 bis 6). - Zahlen mit Startziffer 5: \(5049\) (7.), \(5094\) (8.), \(5409\) (9.), \(5490\) (10.). Die 10. Zahl ist somit \(5490\).

Antwort

a) Es lassen sich 18 verschiedene Zahlen bilden. b) An der 10. Stelle steht die Zahl \(5490\).

4172995

Die Quersumme einer 6-stelligen Zahl ist genau \(5\). a) Wie viele Nullen kann eine solche Zahl höchstens enthalten? Gib ein Beispiel für eine solche Zahl an. b) Wie viele verschiedene Ziffern kann eine solche Zahl höchstens haben? Nenne die Ziffern eines möglichen Beispiels. c) Welches ist die kleinstmögliche 6-stellige Zahl mit der Quersumme \(5\)?

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass eine Zahl nicht mit der Ziffer 0 beginnen darf. - Wenn du viele Nullen haben willst, was bedeutet das für den Wert der anderen Ziffern? - Probier mal aus, wie groß die Summe der kleinsten verschiedenen Ziffern (0, 1, 2, 3...) ist. Hilft dir das bei Teil b? - Um eine Zahl klein zu halten, welche Ziffern möchtest du möglichst weit vorne stehen haben?

Lösung

1. Zu a): Eine 6-stellige Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen. Um die Anzahl der Nullen zu maximieren, muss die erste Ziffer so groß wie möglich sein, um die gesamte Quersumme \(5\) allein zu bilden. Mit der Ziffer \(5\) an erster Stelle können alle weiteren 5 Stellen \(0\) sein. Beispiel: \(500\,000\). Es sind maximal 5 Nullen möglich. 2. Zu b): Da die Quersumme \(5\) ist und die Zahl 6 Stellen hat, muss mindestens eine Ziffer \(0\) sein (da \(1+1+1+1+1+1 = 6 > 5\)). Die kleinsten verschiedenen Ziffern sind \(0, 1, 2, 3\). Deren Summe ist \(0+1+2+3 = 6\). Da dies bereits größer als \(5\) ist, können keine 4 verschiedenen Ziffern vorkommen. Maximal möglich sind 3 verschiedene Ziffern, zum Beispiel \(\{0, 1, 4\}\) (für die Zahl \(100\,004\)) oder \(\{0, 2, 3\}\) (für die Zahl \(200\,003\)). 3. Zu c): Damit die Zahl so klein wie möglich ist, muss die erste Ziffer die kleinstmögliche Ziffer ungleich Null sein, also \(1\). Die folgenden Stellen sollten so viele Nullen wie möglich enthalten. Die restliche Summe von \(5 - 1 = 4\) wird an die letzte Stelle gesetzt. Die Zahl lautet \(100\,004\).

Antwort

a) Höchstens 5 Nullen (Beispiel: \(500\,000\)). b) Höchstens 3 verschiedene Ziffern (Beispielziffern: \(0, 1, 4\)). c) Die kleinste Zahl ist \(100\,004\).

4174045

Vervollständige die schriftliche Addition der fünfstelligen Zahlen, indem du die fehlenden Ziffern ergänzt. <table> <tr><td></td><td>2</td><td>\(\square\)</td><td>4</td><td>\(\square\)</td><td>7</td></tr> <tr><td>+</td><td>1</td><td>3</td><td>\(\square\)</td><td>8</td><td>\(\square\)</td></tr> <tr style="border-top: 1px solid black;"><td></td><td>\(\square\)</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>5</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Gehe systematisch von rechts nach links vor. - Wenn an einer Stelle eine Null im Ergebnis steht, die Summe der Ziffern aber sicher größer als Null ist, muss das Ergebnis dort 10 sein. - Notiere dir die Überträge klein über die Spalten, um den Überblick zu behalten.

Lösung

1. Einerstelle: \(7 + \square = 15 \implies \square = 8\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(\square + 8 + 1 = 10 \implies \square = 1\), Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(4 + \square + 1 = 12 \implies \square = 7\), Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(\square + 3 + 1 = 10 \implies \square = 6\), Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(2 + 1 + 1 = 4 \implies \square = 4\). Die vollständige Rechnung lautet: \(26\,417 + 13\,788 = 40\,205\).

Antwort

Die fehlenden Ziffern sind (von oben nach unten, links nach rechts): \(6\), \(1\), \(7\), \(8\) und \(4\). Die Rechnung lautet: \(26\,417 + 13\,788 = 40\,205\).

4176695

Aus den Ziffern \(1\), \(4\), \(7\) und \(7\) werden alle möglichen vierstelligen Zahlen gebildet. Diese werden in einer Liste von der größten zur kleinsten Zahl geordnet. Welche Zahl steht an der \(10.\) Stelle dieser Liste?

Denkanstöße

- Da die Liste von groß nach klein sortiert ist, solltest du mit der größten Ziffer an der Tausenderstelle beginnen. - Wie viele Zahlen kannst du bilden, die mit einer \(7\) beginnen? - Wenn du die Gruppen von Zahlen (z. B. alle mit \(7\) am Anfang) zählst, kommst du schneller ans Ziel.

Lösung

1. Ermittlung aller Zahlen mit der größten Tausenderziffer \(7\): \(7741, 7714, 7471, 7417, 7174, 7147\) (Positionen \(1\) bis \(6\)). 2. Ermittlung der Zahlen mit der Tausenderziffer \(4\) in absteigender Folge: \(4771, 4717, 4177\) (Positionen \(7\) bis \(9\)). 3. Bestimmung der größten Zahl mit der Tausenderziffer \(1\): Die Ziffern \(7, 7, 4\) werden absteigend hinter der \(1\) angeordnet, was \(1774\) ergibt. Dies ist die \(10.\) Zahl der Liste.

Antwort

\(1774\)

4177585

In dieser Tabelle wird waagerecht subtrahiert und senkrecht addiert. Setze die fehlenden Zahlen ein, sodass alle Rechnungen stimmen. <table> <tr> <td>\(6\)</td> <td>\(-\)</td> <td>\(?\)</td> <td>\(-\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(=\)</td> <td>\(2\)</td> </tr> <tr> <td>\(+\)</td> <td></td> <td>\(+\)</td> <td></td> <td>\(+\)</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(?\)</td> <td>\(-\)</td> <td>\(4\)</td> <td>\(-\)</td> <td>\(2\)</td> <td>\(=\)</td> <td>\(1\)</td> </tr> <tr> <td>\(+\)</td> <td></td> <td>\(+\)</td> <td></td> <td>\(+\)</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(?\)</td> <td>\(-\)</td> <td>\(3\)</td> <td>\(-\)</td> <td>\(?\)</td> <td>\(=\)</td> <td>\(2\)</td> </tr> <tr> <td>\(=\)</td> <td></td> <td>\(=\)</td> <td></td> <td>\(=\)</td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(20\)</td> <td></td> <td>\(10\)</td> <td></td> <td>\(5\)</td> <td></td> <td></td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Achte genau darauf, wo addiert und wo subtrahiert wird. - Suche dir eine Zeile oder Spalte, in der nur eine Zahl fehlt, um zu beginnen. - Gehe Schritt für Schritt vor und trage die gefundenen Zahlen ein.

Lösung

1. Erste Zeile vervollständigen: \(6 - \square - 1 = 2\). Die fehlende Zahl ist \(3\). 2. Zweite Zeile vervollständigen: \(\square - 4 - 2 = 1\). Die fehlende Zahl ist \(7\). 3. Mittlere Zahlenspalte überprüfen: \(3 + 4 + 3 = 10\). 4. Erste Zahlenspalte vervollständigen: \(6 + 7 + \square = 20\). Die fehlende Zahl ist \(7\). 5. Dritte Zahlenspalte vervollständigen: \(1 + 2 + \square = 5\). Die fehlende Zahl ist \(2\). 6. Dritte Zeile überprüfen: \(7 - 3 - 2 = 2\). Die Rechnung stimmt.

Antwort

Erste Zeile: \(6 - 3 - 1 = 2\) Zweite Zeile: \(7 - 4 - 2 = 1\) Dritte Zeile: \(7 - 3 - 2 = 2\) Spaltensummen: \(20, 10, 5\)

4178265

In dieser schriftlichen Subtraktion fehlen einige Ziffern. Ergänze sie so, dass die Rechnung aufgeht. \(\begin{array}{r} \square\square4\square2 \\ - 17\square8\square \\ \hline 54837 \end{array}\)

Denkanstöße

- Diese Aufgabe erfordert systematisches Vorgehen, da fast in jedem Schritt entbündelt werden muss. - Notiere dir die Entbündelungen klein an den Rand oder über die Ziffern, um nicht den Überblick zu verlieren. - Wenn du an einer Stelle nicht weiterkommst, prüfe, welche Ziffer nach dem Entbündeln passen kann.

Lösung

1. Einerstelle: \(2 - 5\) ist nicht möglich. Ein Zehner wird entbündelt: \(12 - 5 = 7\). Dadurch verringert sich die Zehnerstelle des Minuenden von \(2\) auf \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 - 8\) ist nicht möglich. Ein Hunderter wird entbündelt: \(11 - 8 = 3\). Dadurch verringert sich die Hunderterstelle des Minuenden von \(4\) auf \(3\). 3. Hunderterstelle: \(3 - 5\) ist nicht möglich. Ein Tausender wird entbündelt: \(13 - 5 = 8\). Dadurch verringert sich die Tausenderstelle des Minuenden von \(2\) auf \(1\). 4. Tausenderstelle: \(1 - 7\) ist nicht möglich. Ein Zehntausender wird entbündelt: \(11 - 7 = 4\). Dadurch verringert sich die Zehntausenderstelle des Minuenden von \(7\) auf \(6\). 5. Zehntausenderstelle: \(6 - 1 = 5\). Die vollständige Rechnung lautet: \(72\,422 - 17\,585 = 54\,837\).

Antwort

\(\begin{array}{r} 72\,422 \\ - 17\,585 \\ \hline 54\,837 \end{array}\)

4178585

Addiere die größte vierstellige Zahl, die durch \(25\) teilbar ist, zur kleinsten fünfstelligen Zahl, die nur aus den Ziffern \(0\) und \(1\) besteht.

Denkanstöße

- Welche Endungen muss eine Zahl haben, damit sie durch 25 teilbar ist? - Wie viele Stellen hat eine fünfstellige Zahl mindestens? - Wenn du nur 0 und 1 zur Verfügung hast, wie verhinderst du, dass die Zahl unnötig groß wird?

Lösung

1. Bestimmung der größten vierstelligen Zahl, die durch \(25\) teilbar ist: Eine Zahl ist durch \(25\) teilbar, wenn sie auf \(00\), \(25\), \(50\) oder \(75\) endet. Die größte vierstellige Zahl ist \(9\,975\). 2. Bestimmung der kleinsten fünfstelligen Zahl aus den Ziffern \(0\) und \(1\): Die Zahl muss mit \(1\) beginnen. Um sie so klein wie möglich zu halten, müssen alle weiteren Stellen mit \(0\) besetzt werden. Die Zahl lautet \(10\,000\). 3. Berechnung der Summe: \(9\,975 + 10\,000 = 19\,975\).

Antwort

\(19\,975\)

4178765

Vervollständige die Rechnung, indem du die passenden Ziffern in die Kästchen einträgst: \(\begin{array}{r} \Box84\Box \\ + 49\Box7 \\ + \Box32 \\ \hline 9924 \end{array}\)

Denkanstöße

- Hier werden drei Zahlen addiert. Das Prinzip bleibt gleich: Addiere die Ziffern einer Spalte und achte auf den Übertrag. - Die Summe einer Spalte kann hier auch \(20\) oder mehr betragen, was einen Übertrag von \(2\) zur Folge hätte. Prüfe dies genau. - Was muss zu \(7\) und \(2\) addiert werden, um bei \(14\) oder \(24\) zu landen?

Lösung

1. Einerstelle: \(\Box + 7 + 2 = 14\) (da das Ergebnis auf \(4\) endet). Also \(\Box + 9 = 14 \Rightarrow \Box = 5\). Übertrag: \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + 4 + \Box + 3 = 12\) (da das Ergebnis auf \(2\) endet). Also \(8 + \Box = 12 \Rightarrow \Box = 4\). Übertrag: \(1\). 3. Hunderterstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + 8 + 9 + \Box = 19\) (da das Ergebnis auf \(9\) endet). Also \(18 + \Box = 19 \Rightarrow \Box = 1\). Übertrag: \(1\). 4. Tausenderstelle: \(1 \text{ (Übertrag)} + \Box + 4 = 9\). Also \(5 + \Box = 9 \Rightarrow \Box = 4\). Die vollständige Rechnung lautet: \(4845 + 4947 + 132 = 9924\).

Antwort

\(\begin{array}{r} 4845 \\ + 4947 \\ + 132 \\ \hline 9924 \end{array}\)

4178795

Untersuche, was passiert, wenn eine der Ziffern eine Null ist. Verwende die Ziffern 0, 4 und 7. a) Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen kannst du bilden, wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf? Beachte, dass eine dreistellige Zahl nicht mit 0 beginnen darf. b) Berechne die Summe dieser Zahlen. c) Warum ist diese Summe kleiner als die Summe der Zahlen aus den Ziffern 1, 4 und 6, obwohl die Ziffernsumme (\(0+4+7=11\) und \(1+4+6=11\)) gleich ist?

Denkanstöße

- Darf eine Zahl wie 047 als dreistellige Zahl gezählt werden? - Wie viele Zahlen konntest du in den vorherigen Aufgaben mit drei Ziffern bilden? Sind es hier genauso viele? - Schau dir an, welche Ziffern an der Hunderterstelle stehen können.

Lösung

1. Bildung der Zahlen: Mit \(0\) als Ziffer können nur Zahlen gebildet werden, die nicht mit \(0\) beginnen. Dies sind \(407, 470, 704\) und \(740\). Die Schreibweisen \(047\) und \(074\) bezeichnen keine dreistelligen Zahlen. 2. Berechnung der Summe: \(407 + 470 + 704 + 740 = 2321\). 3. Vergleich und Begründung: Bei den Ziffern \(1, 4, 6\) entstehen alle sechs Anordnungen als dreistellige Zahlen. Bei \(0, 4, 7\) entfallen die beiden Anordnungen mit führender Null. Deshalb werden nur vier statt sechs dreistellige Zahlen addiert und die Summe ist kleiner.

Antwort

a) Es gibt 4 Zahlen: 407, 470, 704, 740. b) Die Summe ist 2321. c) Die Summe ist kleiner, weil bei den Ziffern \(0, 4, 7\) die beiden Anordnungen mit führender Null keine dreistelligen Zahlen ergeben. Daher werden nur vier statt sechs Zahlen addiert.

4178875

Verwende die Ziffern \(0\), \(3\), \(4\), \(5\), \(8\) und \(9\) genau einmal, um zwei dreistellige Zahlen zu bilden. Beachte, dass eine dreistellige Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf. a) Bestimme die größtmögliche Differenz, die man durch Subtraktion dieser beiden Zahlen erhalten kann. b) Bestimme die kleinstmögliche Differenz (das Ergebnis muss größer als \(0\) sein).

Denkanstöße

- Wann ist der Abstand zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl besonders groß? - Wann liegen zwei dreistellige Zahlen besonders nah beieinander? Achte dabei besonders auf die Hunderterstelle. - Wenn die Hunderterstellen zweier Zahlen direkt aufeinanderfolgen (z. B. 400 und 500), wie müssen dann die restlichen Ziffern gewählt werden, damit die Zahlen fast gleich sind?

Lösung

1. Für die maximale Differenz wird die größtmögliche Zahl gebildet und davon die kleinstmögliche Zahl abgezogen. Größte Zahl: \(985\). Kleinste Zahl (ohne führende Null): \(304\). 2. Berechnung der maximalen Differenz: \(985 - 304 = 681\). 3. Für die minimale Differenz müssen die Zahlen so nah wie möglich beieinander liegen. Dies erfordert benachbarte Hunderterziffern. Mögliche Paare sind \((4, 3)\), \((5, 4)\) oder \((9, 8)\). 4. Um den Abstand zu minimieren, wird beim Minuenden die kleinstmögliche und beim Subtrahenten die größtmögliche Zahl zu den Hundertern gewählt. Prüfung der Kombinationen: \(503 - 498 = 5\) (Ziffern \(5, 0, 3, 4, 9, 8\) sind alle enthalten). Andere Kombinationen wie \(405 - 398 = 7\) liefern größere Ergebnisse. 5. Ergebnis der minimalen Differenz: \(5\).

Antwort

a) Die maximale Differenz beträgt \(681\). b) Die minimale Differenz beträgt \(5\).

4185735

Betrachte die Ziffernfolge \(106\,842\,739\). 1. Bilde die größtmögliche fünfstellige Zahl, indem du genau 4 Ziffern streichst. Die relative Reihenfolge der Ziffern bleibt gleich. 2. Bilde die kleinstmögliche fünfstellige Zahl durch Streichen von 4 Ziffern. Beachte, dass eine fünfstellige Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf. 3. Subtrahiere die kleinere Zahl von der größeren Zahl.

Denkanstöße

- Denke daran, dass bei der kleinsten Zahl die erste Ziffer keine Null sein darf. - Um eine Zahl groß zu machen, versuche, hohe Ziffern so weit wie möglich nach vorne zu bringen. - Wenn du eine Ziffer weit hinten in der Folge wählst, achte darauf, ob danach noch genügend Ziffern für die restlichen Stellen übrig sind.

Lösung

1. Für die größtmögliche Zahl: Die höchste verfügbare Ziffer für die erste Stelle (unter Berücksichtigung, dass 4 Ziffern folgen müssen) ist die \(8\) an 4. Stelle (3 Streichungen: \(1, 0, 6\)). Von den verbleibenden Ziffern \((4, 2, 7, 3, 9)\) muss eine gestrichen werden. Die Wahl der \(4\) gefolgt von der \(7\) (Streichen der \(2\)) ergibt die größte Zahl: \(84\,739\). 2. Für die kleinstmögliche Zahl: Die erste Stelle darf nicht \(0\) sein. Die kleinste verfügbare Ziffer ist die \(1\) an 1. Stelle (0 Streichungen). Die zweite Stelle kann die \(0\) sein (0 Streichungen). Für die restlichen drei Stellen müssen aus \((6, 8, 4, 2, 7, 3, 9)\) noch 4 Ziffern gestrichen werden. Wir wählen die kleinsten Ziffern in ihrer Reihenfolge: \(2\), \(3\) und \(9\) (Streichen von \(6, 8, 4, 7\)). Die kleinste Zahl ist \(10\,239\). 3. Berechnung der Differenz: \(84\,739 - 10\,239 = 74\,500\).

Antwort

Die größtmögliche Zahl ist \(84\,739\), die kleinstmögliche Zahl ist \(10\,239\). Die Differenz beträgt \(74\,500\).

4186565

Dir stehen die Ziffern 1, 2, 4, 5, 7 und 8 zur Verfügung. Bilde aus diesen sechs Ziffern zwei dreistellige Zahlen, sodass jede Ziffer genau einmal vorkommt. Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl: \(\square\square\square - \square\square\square\). Finde eine Kombination, bei der das Ergebnis so nah wie möglich an der Zahl 200 liegt. Gib die Rechnung und das Ergebnis an.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche Ziffern an der Hunderterstelle stehen könnten, damit der Unterschied etwa 200 beträgt. - Wenn die Hunderterstelle genau 2 Unterschied hat (z. B. 4 und 2), sollten die restlichen Stellen der Zahlen möglichst ähnlich sein. - Wenn die Hunderterstelle nur 1 Unterschied hat (z. B. 2 und 1), muss die erste Zahl bei den restlichen Stellen viel größer sein als die zweite. - Testrechnungen helfen dir, dich dem Zielwert 200 anzunähern.

Lösung

1. Eine Differenz von etwa 200 lässt sich erreichen, wenn die Hunderterstellen eine Differenz von 2 haben (z. B. 4 und 2) und die restlichen Stellen möglichst ähnlich sind, oder wenn die Hunderterstellen eine Differenz von 3 oder 1 haben und durch die Einer/Zehner ausgeglichen werden. 2. Mit den Hunderterziffern 4 und 2 bleiben \(\{1, 5, 7, 8\}\). Die Kombination \(475 - 281 = 194\) ergibt einen Abstand von 6 zu 200. Ebenso ergibt \(481 - 275 = 206\) einen Abstand von 6. 3. Mit den Hunderterziffern 7 und 5 bleiben \(\{1, 2, 4, 8\}\). Hier führen \(718 - 524 = 194\) und \(724 - 518 = 206\) ebenfalls zu einem Abstand von 6. 4. Ein systematischer Vergleich aller Permutationen zeigt, dass kein Ergebnis näher als 6 an der Zahl 200 liegt. Gültige Ergebnisse sind somit 194 oder 206.

Antwort

Beispiele für Lösungen: \(475 - 281 = 194\) oder \(481 - 275 = 206\) (andere Kombinationen mit Ergebnis 194 oder 206 sind ebenfalls korrekt)

4193215

Bei dieser Divisionsaufgabe mit Rest sind zwei Ziffern unleserlich. Wie müssen sie lauten? \(3\square 5 : 1\square = 23\) Rest 6

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, wie man eine Divisionsaufgabe mit der Umkehraufgabe überprüft. - Was passiert mit dem Rest, wenn du die Umkehraufgabe bildest? - Schau dir die Endziffern an: Welche Zahl mal 3 ergibt eine Zahl, die auf 9 endet? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Division noch einmal schriftlich durchführst.

Lösung

1. Stelle die Umkehraufgabe auf: \(23 \cdot 1\square + 6 = 3\square 5\). 2. Subtrahiere den Rest vom Zielwert: \(23 \cdot 1\square = 3\square 5 - 6\). Das Ergebnis muss auf 9 enden (\(15 - 6 = 9\)). 3. Bestimme die Einerziffer des Divisors: Damit \(23 \cdot 1\square\) auf 9 endet, muss die Einerziffer eine 3 sein (\(3 \cdot 3 = 9\)). 4. Berechne das Produkt: \(23 \cdot 13 = 299\). 5. Addiere den Rest: \(299 + 6 = 305\). 6. Vergleiche mit der Form \(3\square 5\): Das Ergebnis 305 passt mit der Zehnerziffer 0. Die gesuchten Ziffern sind 0 (im Dividenden) und 3 (im Divisor).

Antwort

\(305 : 13 = 23\) Rest 6

4197445

Führe die folgenden Rechenschritte nacheinander aus: - Denke dir eine beliebige natürliche Zahl. - Verdreifache die Zahl. - Addiere 15 zum Ergebnis. - Dividiere die neue Summe durch 3. - Subtrahiere 5 vom Quotienten. Was fällt dir auf, wenn du das Rätsel mit den Zahlen 4, 10 und 25 durchrechnest? Erkläre deine Beobachtung.

Denkanstöße

- Führe die Rechnungen für alle drei Beispielzahlen sorgfältig Schritt für Schritt aus. - Vergleiche deine Endergebnisse mit den Zahlen, mit denen du angefangen hast. Was fällt dir auf? - Schau dir den Schritt „Dividiere durch 3“ genau an. Auf welche Teile der vorherigen Rechnung wirkt sich diese Division aus? - Kannst du die Schritte „Verdreifachen“ und „Dividieren durch 3“ sowie „15 addieren“ und „5 subtrahieren“ in eine Beziehung setzen?

Lösung

1. Testrechnung für 4: \((4 \cdot 3 + 15) : 3 - 5 = (12 + 15) : 3 - 5 = 27 : 3 - 5 = 9 - 5 = 4\). 2. Testrechnung für 10: \((10 \cdot 3 + 15) : 3 - 5 = (30 + 15) : 3 - 5 = 45 : 3 - 5 = 15 - 5 = 10\). 3. Testrechnung für 25: \((25 \cdot 3 + 15) : 3 - 5 = (75 + 15) : 3 - 5 = 90 : 3 - 5 = 30 - 5 = 25\). 4. Beobachtung: Das Endergebnis entspricht immer der Startzahl. 5. Erklärung: Die Division durch 3 bezieht sich auf die gesamte Summe (\(3 \cdot \text{Zahl} + 15\)). Sie macht die Verdreifachung rückgängig (ergibt die Zahl) und teilt auch die 15 durch 3 (ergibt 5). Man erhält also (\(\text{Zahl} + 5\)). Durch das abschließende Abziehen der 5 bleibt nur die ursprüngliche Zahl übrig.

Antwort

Man erhält immer wieder die Zahl, mit der man angefangen hat. Das liegt daran, dass durch die Division durch 3 sowohl die Verdreifachung der Startzahl als auch die Addition der 15 (da \(15 : 3 = 5\)) anteilig rückgängig gemacht werden. Aus \(3 \cdot \text{Zahl} + 15\) wird durch das Teilen durch 3 die Rechnung \(\text{Zahl} + 5\). Zieht man dann 5 ab, bleibt die Startzahl übrig.

4211195

Ein \(135\,\text{cm}\) langes Seil wird in drei Stücke geschnitten. Das mittlere Stück ist doppelt so lang wie das kürzeste Stück. Das längste Stück ist dreimal so lang wie das mittlere Stück. Bestimme die Länge jedes der drei Seilstücke.

Denkanstöße

- Kannst du die Längen der längeren Stücke durch die Länge des kürzesten Stücks ausdrücken? - Wie viele Einheiten des kürzesten Stücks passen insgesamt in die \(135\,\text{cm}\)? - Wenn du die Länge des kleinsten Stücks kennst, wie kommst du dann auf die anderen?

Lösung

1. Das kürzeste Stück entspricht 1 Teil. 2. Das mittlere Stück entspricht 2 Teilen. 3. Das längste Stück entspricht \(3 \cdot 2 = 6\) Teilen. 4. Die Gesamtlänge des Seils besteht aus \(1 + 2 + 6 = 9\) Teilen. 5. Länge eines Teils berechnen: \(135\,\text{cm} : 9 = 15\,\text{cm}\). 6. Bestimmung der Teilstücke: Kürzestes Stück = \(15\,\text{cm}\), mittleres Stück = \(15\,\text{cm} \cdot 2 = 30\,\text{cm}\), längstes Stück = \(15\,\text{cm} \cdot 6 = 90\,\text{cm}\).

Antwort

Das kürzeste Stück ist \(15\,\text{cm}\), das mittlere \(30\,\text{cm}\) und das längste \(90\,\text{cm}\) lang.

4217475

Gesucht ist die größte fünfstellige natürliche Zahl, deren Ziffern alle verschieden sind und deren Quersumme (Summe der Ziffern) genau 10 beträgt.

Denkanstöße

- Welche fünf verschiedenen Ziffern haben zusammen die Summe 10? Probiere mit den kleinsten Ziffern zu starten. - Wenn du die Ziffern gefunden hast, wie musst du sie anordnen, damit die Zahl so groß wie möglich wird? - An welcher Stelle muss die größte Ziffer stehen?

Lösung

1. Da die Zahl fünfstellig sein muss und alle Ziffern verschieden sein sollen, suchen wir fünf unterschiedliche Ziffern, deren Summe 10 ergibt. Die kleinstmöglichen fünf Ziffern sind 0, 1, 2, 3 und 4. Deren Summe ist \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10\). Jede andere Kombination mit größeren Ziffern würde eine Summe größer als 10 ergeben. 2. Um die größte Zahl aus diesen Ziffern zu bilden, müssen die größten Ziffern auf den Stellen mit dem höchsten Stellenwert stehen. 3. Wir ordnen die Ziffern 4, 3, 2, 1, 0 also absteigend an: 4 (Zehntausender), 3 (Tausender), 2 (Hunderter), 1 (Zehner) und 0 (Einer).

Antwort

\(43\,210\)

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.