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- Welche Rechenart wird durch den Punkt zwischen den Zahlen dargestellt? - Wie nennt man die Zahlen, die bei einer Malaufgabe kombiniert werden? - Hast du einen speziellen Namen für das Ergebnis einer Multiplikation gelernt?

1. Identifikation der Rechenart: Es handelt sich um eine Multiplikation. 2. Benennung der Zahlen vor dem Gleichheitszeichen: Die Zahlen \(14\) und \(6\), die miteinander multipliziert werden, heißen Faktoren (im Speziellen 1. Faktor und 2. Faktor). 3. Benennung des Ergebnisses: Das Ergebnis der Multiplikation, die Zahl \(84\), heißt Produkt.

Die Zahlen \(14\) und \(6\) heißen Faktoren. Das Ergebnis \(84\) heißt Produkt.

- Kannst du die Zahlen in kleinere, leichtere Teile zerlegen? - Bei der Division durch 4 kannst du zum Beispiel zweimal hintereinander halbieren. - Bei der Multiplikation mit 15 hilft es, erst mit 10 und dann mit 5 zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren.

1. Division: \(156 : 4 = 39\). 2. Multiplikation: \(19 \cdot 18 = 342\). 3. Division: \(441 : 9 = 49\). 4. Multiplikation: \(24 \cdot 15 = 360\).

a) \(39\) b) \(342\) c) \(49\) d) \(360\)

- Zähle zuerst, wie oft jede Zahl in der langen Plusrechnung vorkommt. - Erinnere dich daran, dass man eine wiederholte Addition derselben Zahl als Multiplikation schreiben kann. - Berechne zuerst die Malrechnungen und addiere dann die Ergebnisse.

1. Bestimmung der Häufigkeit der Summanden: Die Zahl \(14\) tritt 5-mal auf, die Zahl \(22\) tritt 4-mal auf. 2. Umwandlung in Produkte: \(5 \cdot 14\) und \(4 \cdot 22\). 3. Aufstellen der Summe aus Produkten: \(5 \cdot 14 + 4 \cdot 22\). 4. Berechnung der Teilprodukte: \(5 \cdot 14 = 70\) und \(4 \cdot 22 = 88\). 5. Addition der Ergebnisse: \(70 + 88 = 158\).

\(5 \cdot 14 + 4 \cdot 22 = 158\)

- Was passiert, wenn du versuchst, Äpfel an null Personen zu verteilen? - Achte genau darauf, an welcher Stelle in der Divisionsaufgabe die Null steht. - Berechne immer zuerst die Ausdrücke in den Klammern, bevor du die Division ausführst. - Gibt es einen Unterschied, ob die Null vorne (Dividend) oder hinten (Divisor) steht?

1. Term a): \(0 : 452 = 0\). Die Division von Null durch eine Zahl ungleich Null ist erlaubt und ergibt immer Null. 2. Term b): Nicht berechenbar. Die Division durch die Zahl Null ist in der Mathematik nicht definiert. 3. Term c): \((12 - 12) : 12 = 0 : 12 = 0\). Da zuerst die Klammer berechnet wird, steht im Dividenden eine Null. Dies ist zulässig. 4. Term d): Nicht berechenbar. Die Klammer ergibt \(12 - 12 = 0\). Damit müsste durch Null dividiert werden, was nicht erlaubt ist.

a) Berechenbar, Wert ist \(0\). b) Nicht berechenbar, da Division durch \(0\) nicht erlaubt ist. c) Berechenbar, Wert ist \(0\). d) Nicht berechenbar, da der Divisor \(0\) ergibt.

- Weißt du noch, welche Rechenart mit dem Begriff Produkt gemeint ist? - Erinnerst du dich an die Fachbezeichnung für das Ergebnis einer Division? - Führe die Rechenschritte nacheinander aus, so wie sie im Text stehen.

1. Berechnung des Produkts für Aufgabenteil a): \(240 \cdot 5 = 1200\). 2. Berechnung des Quotienten für Aufgabenteil b): \(800 : 4 = 200\). 3. Durchführung der Subtraktion: \(200 - 150 = 50\).

a) \(1200\) b) \(50\)

- Kannst du die Sätze in eine Rechenaufgabe mit einem Platzhalter übersetzen? - Überlege, wie man eine Malaufgabe mit einer Geteiltaufgabe überprüfen oder umkehren kann. - Wenn \(420 : \square = 6\) gilt, welche Zahl passt dann in das Kästchen?

1. Um den gesuchten Faktor in Aufgabenteil a) zu finden, wird die Umkehroperation angewendet: \(960 : 8 = 120\). 2. Um den Divisor in Aufgabenteil b) zu finden, wird der Dividend durch den Quotienten geteilt: \(420 : 6 = 70\).

a) \(120\) b) \(70\)

- Welche Rechenart wird durch das Symbol \(\cdot\) dargestellt? - Überlege, ob in den Geschichten etwas dazukommt, weggenommen wird oder ob Mengen vervielfacht werden. - Rechne schrittweise, indem du eine der Zahlen zerlegst.

1. Die Operation \(15 \cdot 12\) beschreibt eine Vervielfachung oder das Bestimmen einer Gesamtmenge aus gleichen Gruppen. 2. Lukas beschreibt eine Anordnung von \(15\) Gruppen zu je \(12\) Objekten, was einer Multiplikation entspricht. Marie beschreibt eine Differenz (Subtraktion). 3. Berechnung des Produkts: \(15 \cdot 12 = 15 \cdot 10 + 15 \cdot 2 = 150 + 30 = 180\).

Lukas hat die passende Geschichte geschrieben. Das Ergebnis ist \(180\).

- In welcher Reihenfolge stehen Dividend und Divisor in einer Geteiltaufgabe? - Welcher Fachbegriff gehört zu welcher Stelle in der Division? - Wie nennt man das Ergebnis, wenn man zwei Zahlen dividiert?

1. Aufstellen der Rechnung: Der Dividend steht vorne, der Divisor nach dem Geteiltzeichen, also \(126 : 9\). 2. Durchführung der Division: \(126 : 9 = 14\). 3. Bestimmung des Fachbegriffs: Das Ergebnis einer Division heißt Quotient.

Die Rechnung lautet \(126 : 9 = 14\). Das Ergebnis heißt Quotient.

- Rechne zuerst beide Aufgaben aus und schaue dir die Ergebnisse an. - Wie oft passt die \(120\) in die \(480\)? Und wie oft die \(10\) in die \(40\)? - Was bedeutet es für ein Ergebnis, wenn man sowohl das, was man verteilt, als auch die Anzahl der Anteile im gleichen Maße vergrößert?

1. Laras Ergebnis berechnen: \(480 : 40 = 12\). 2. Vergleich: Laras Dividend (\(480\)) ist das Vierfache von Jans Dividend (\(120 \cdot 4 = 480\)). Laras Divisor (\(40\)) ist ebenfalls das Vierfache von Jans Divisor (\(10 \cdot 4 = 40\)). 3. Erklärung: Wenn sowohl der Dividend als auch der Divisor mit derselben Zahl multipliziert werden (hier mit \(4\)), bleibt der Quotient unverändert. Dies nennt man die Konstanz des Quotienten.

a) Laras Ergebnis ist \(12\). b) Sowohl der Dividend als auch der Divisor wurden bei Lara im Vergleich zu Jan vervierfacht. c) Wenn man den Dividenden und den Divisor mit derselben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert des Quotienten nicht.

- Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt das Zielergebnis? - Was passiert mit einem Produkt, wenn du beide Faktoren verdoppelst? - Schreibe die neue Rechnung Schritt für Schritt auf.

1. Teilaufgabe a): Gesucht ist eine Zahl \(x\), für die gilt \(x \cdot x = 64\). Da \(8 \cdot 8 = 64\), ist der Divisor \(8\) und der Quotient \(8\). Die Aufgabe lautet \(64 : 8 = 8\). 2. Teilaufgabe b): Verdopplung von Divisor und Quotient ergibt \(8 \cdot 2 = 16\). 3. Berechnung des neuen Dividenden: \(16 \cdot 16 = 256\). 4. Vergleich der Dividenden: \(256 : 64 = 4\). Der Dividend vervierfacht sich.

a) Die Aufgabe lautet \(64 : 8 = 8\). b) Der neue Dividend ist \(256\). Er ist viermal so groß wie der ursprüngliche Dividend.

- Überlege dir zuerst, welche Rechenart mit welchem Fachbegriff gemeint ist. - Achte bei längeren Aufgaben darauf, Teilergebnisse einzeln zu notieren. - In welcher Reihenfolge musst du die Rechenschritte ausführen, wenn die Aufgabe so formuliert ist?

1. Berechnung des Produkts: \(25 \cdot 14 = 350\). 2. Berechnung des Quotienten: \(1\,200 : 30 = 40\). 3. Addition der beiden Ergebnisse: \(350 + 40 = 390\). 4. Berechnung des Divisors für Teil b): \(13 \cdot 4 = 52\). 5. Division zur Bestimmung des Endergebnisses: \(15\,600 : 52 = 300\).

a) \(390\) b) \(300\)

- Bei der Multiplikation mit Zehnerzahlen wie \( 60 \) kannst du zuerst mit \( 6 \) multiplizieren und dann eine Null anhängen. - Bei der Division durch Zehnerzahlen wie \( 70 \) kannst du im ersten Schritt bei beiden Zahlen eine Null streichen. - Achte beim schriftlichen Rechnen genau auf den Übertrag.

1. Multiplikation mit \( 8 \): \( 450 \cdot 8 = 3600 \); \( 1205 \cdot 8 = 9640 \); \( 30\,040 \cdot 8 = 240\,320 \). 2. Division durch \( 4 \): \( 960 : 4 = 240 \); \( 4836 : 4 = 1209 \); \( 56\,008 : 4 = 14\,002 \). 3. Multiplikation mit \( 60 \): \( 250 \cdot 60 = 15\,000 \); \( 1500 \cdot 60 = 90\,000 \); \( 12\,300 \cdot 60 = 738\,000 \). 4. Division durch \( 70 \): \( 3500 : 70 = 50 \); \( 42\,000 : 70 = 600 \); \( 210\,000 : 70 = 3000 \).

a) \( 3600 \); \( 9640 \); \( 240\,320 \) b) \( 240 \); \( 1209 \); \( 14\,002 \) c) \( 15\,000 \); \( 90\,000 \); \( 738\,000 \) d) \( 50 \); \( 600 \); \( 3000 \)

- Wie viele Nullen müssen im Ergebnis stehen, wenn du Zahlen mit vielen Nullen multiplizierst? - Kannst du beim Dividieren Nullen auf beiden Seiten wegstreichen? - Hilft es dir bei der letzten Aufgabe, die Zahl \( 802 \) in \( 800 + 2 \) zu zerlegen?

1. Teilaufgabe a: Multiplikation der Grundzahlen \( 6 \cdot 4 = 24 \) und Anhängen der insgesamt fünf Nullen ergibt \( 2\,400\,000 \). 2. Teilaufgabe b: Streichen von zwei Nullen bei beiden Zahlen ergibt \( 480 : 8 = 60 \). 3. Teilaufgabe c: Zerlegung in \( 800 \cdot 300 + 2 \cdot 300 = 240\,000 + 600 = 240\,600 \).

a) \( 2\,400\,000 \); b) \( 60 \); c) \( 240\,600 \)

- Gehe die drei Schritte für jede Aufgabe nacheinander durch. - Überlege dir zuerst für jede Zahl einzeln, wie groß der Abstand zur 5 und zur 10 ist. - Vergleiche deine Ergebnisse am Ende mit dem kleinen Einmaleins, das du schon kennst.

1. Berechnung für \(8 \cdot 8\): Schritt 1 ergibt \((3 + 3) \cdot 10 = 60\). Schritt 2 ergibt \(2 \cdot 2 = 4\). Schritt 3 liefert \(60 + 4 = 64\). 2. Berechnung für \(9 \cdot 7\): Schritt 1 ergibt \((4 + 2) \cdot 10 = 60\). Schritt 2 ergibt \(1 \cdot 3 = 3\). Schritt 3 liefert \(60 + 3 = 63\).

\(8 \cdot 8 = 64\) und \(9 \cdot 7 = 63\)

- Überlege, wie oft der Divisor in die erste Ziffer oder die ersten zwei Ziffern des Dividenden passt. - Notiere dir bei jedem Schritt den verbleibenden Rest, bevor du die nächste Ziffer „herunterholst“. - Wenn eine Zahl genau teilbar ist, ist der Rest Null.

1. Division von \(148\) durch \(6\): \(14 : 6 = 2\) Rest \(2\); \(28 : 6 = 4\) Rest \(4\). Ergebnis: \(24 \, \text{Rest} \, 4\). 2. Division von \(255\) durch \(5\): \(25 : 5 = 5\); \(5 : 5 = 1\). Ergebnis: \(51\). 3. Division von \(314\) durch \(8\): \(31 : 8 = 3\) Rest \(7\); \(74 : 8 = 9\) Rest \(2\). Ergebnis: \(39 \, \text{Rest} \, 2\). 4. Division von \(1\,000\) durch \(7\): \(10 : 7 = 1\) Rest \(3\); \(30 : 7 = 4\) Rest \(2\); \(20 : 7 = 2\) Rest \(6\). Ergebnis: \(142 \, \text{Rest} \, 6\).

a) \(24 \, \text{Rest} \, 4\) b) \(51\) c) \(39 \, \text{Rest} \, 2\) d) \(142 \, \text{Rest} \, 6\)

- Kannst du die Aufgabe auf eine einfachere Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins zurückführen? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn eine der Zahlen eine oder mehrere Nullen am Ende hat? - Was passiert bei einer Divisionsaufgabe, wenn beide Zahlen Nullen am Ende haben?

1. Berechnung von \(4 \cdot 70\): \(4 \cdot 7 = 28\), also \(4 \cdot 70 = 280\). 2. Berechnung von \(280 : 4\): \(28 : 4 = 7\), also \(280 : 4 = 70\). 3. Berechnung von \(40 \cdot 70\): \(4 \cdot 7 = 28\), Anhängen der zwei Nullen ergibt \(2800\). 4. Berechnung von \(2800 : 70\): Eine Null kürzen ergibt \(280 : 7\). Da \(28 : 7 = 4\), ist das Ergebnis \(40\).

(1) \(280\) (2) \(70\) (3) \(2800\) (4) \(40\)

- Rechne zuerst beide Seiten der Aufgabe einzeln aus. - Notiere dir die Zwischenergebnisse, um sie besser vergleichen zu können. - Überlege dir bei der Multiplikation mit 11 einen Rechentrick.

1. Berechnung von \(378 : 6 = 63\) und \(14 \cdot 4 = 56\). Da \(63 > 56\), ist das Ergebnis \(>\). 2. Berechnung von \(26 \cdot 11 = 286\) und \(858 : 3 = 286\). Da \(286 = 286\), ist das Ergebnis \(=\). 3. Berechnung von \(168 : 7 = 24\) und \(5 \cdot 5 = 25\). Da \(24 < 25\), ist das Ergebnis \(<\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(<\)

- Rechne jede Aufgabe für dich neu aus, ohne auf das vorgegebene Ergebnis zu schauen. - Achte bei der Multiplikation besonders auf die letzte Ziffer des Produkts. - Nutze die Umkehroperation (Probe), um deine Ergebnisse zu kontrollieren.

1. Überprüfung von \(252 : 7\): Die Rechnung ergibt \(36\). Somit ist \(34\) falsch. 2. Überprüfung von \(16 \cdot 16\): Die Rechnung ergibt \(256\). Das Ergebnis ist richtig. 3. Überprüfung von \(336 : 8\): Die Rechnung ergibt \(42\). Das Ergebnis ist richtig. 4. Überprüfung von \(22 \cdot 14\): Die Rechnung ergibt \(308\). Somit ist \(298\) falsch.

a) falsch; richtig ist \(36\) b) richtig c) richtig d) falsch; richtig ist \(308\)

- Es hilft, wenn du die gleichen Zahlen in der Liste markierst oder sie erst einmal sortiert untereinander schreibst. - Achte darauf, dass du beim Zählen keine Zahl vergisst oder doppelt nimmst. - Wie viele verschiedene Zahlen kommen in der Rechnung vor? Für jede dieser Zahlen erhältst du ein Produkt.

1. Sortieren und Zählen der gleichen Zahlen: Die \(9\) kommt 4-mal vor, die \(13\) kommt 3-mal vor und die \(11\) kommt 2-mal vor. 2. Formulierung als Summe von Produkten: \(4 \cdot 9 + 3 \cdot 13 + 2 \cdot 11\). 3. Berechnung der einzelnen Produkte: \(4 \cdot 9 = 36\), \(3 \cdot 13 = 39\) und \(2 \cdot 11 = 22\). 4. Summieren der Teilwerte: \(36 + 39 + 22 = 75 + 22 = 97\).

\(4 \cdot 9 + 3 \cdot 13 + 2 \cdot 11 = 97\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, Punkt- vor Strichrechnung). - Überprüfe nach jedem Zwischenschritt in der Klammer, ob das Ergebnis der Klammer Null ist. - Erinnerst du dich an die Regel für die Division durch Null?

1. Term a): Klammerinhalt berechnen: \(25 \cdot 2 - 50 = 50 - 50 = 0\). Es müsste \(750 : 0\) gerechnet werden. Ergebnis: nicht definiert, da Division durch Null. 2. Term b): Klammerinhalt berechnen: \(25 \cdot 2 - 50 = 0\). Rechnung: \(0 : 750 = 0\). Ergebnis: \(0\). 3. Term c): Innere Klammer: \(15 - 10 = 5\). Eckige Klammer: \(30 : 5 = 6\). Gesamtrechnung: \(120 : 6 = 20\). Ergebnis: \(20\). 4. Term d): Innere Klammer: \(30 - 10 = 20\). Ausdruck in eckiger Klammer: \(20 : 4 - 5 = 5 - 5 = 0\). Es müsste \(120 : 0\) gerechnet werden. Ergebnis: nicht definiert, da Division durch Null.

a) nicht definiert (Division durch \(0\)) b) \(0\) c) \(20\) d) nicht definiert (Division durch \(0\))

- Rechne die Beispiele erst einmal ganz normal aus. - Schau dir das Ergebnis von Beispiel 1 genau an. Passt es zu einer der beiden Vorhersagen des Schülers? - Denke daran, dass eine Null in einer Summe den Wert des Summanden nicht verändert.

1. Term 1: \((15 + 0) : 3 = 15 : 3 = 5\). Der Term ist definiert und hat den Wert \(5\); damit ist die Behauptung für diesen Fall falsch. 2. Term 2: \(0 : (24 : 6) = 0 : 4 = 0\). Hier ist das Ergebnis \(0\), was zur Behauptung passt. 3. Term 3: Klammer berechnen: \(12 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0\). Der Term \(48 : 0\) ist nicht definiert, da durch \(0\) dividiert würde. Dieser Fall entspricht der Behauptung.

Die Behauptung ist falsch. Beispiel 1 ist definiert und ergibt \(5\). Beispiel 2 ergibt \(0\). Beispiel 3 ist nicht definiert, da der Divisor \(0\) ist.

- Welche Rechenart verbirgt sich hinter dem Wort Differenz? - Berechne zuerst die beiden Teile der Aufgabe einzeln. - Verknüpfe am Ende deine beiden Zwischenergebnisse mit der im Text genannten Rechenoperation.

1. Berechnung der Differenz (Subtraktion): \(45 - 37 = 8\). 2. Berechnung des Quotienten (Division): \(120 : 3 = 40\). 3. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(8 \cdot 40 = 320\).

\(320\)

- Was bedeutet das Geteilt-Zeichen in einer Erzählung? Geht es um das Aufteilen oder Verteilen? - Wie hängen Division und Multiplikation zusammen? - Kennst du eine Quadratzahl, die dir hier weiterhelfen könnte?

1. Eine passende Sachaufgabe könnte das Verteilen einer Gesamtmenge beschreiben, zum Beispiel: „144 Eier werden gleichmäßig auf Kartons verteilt, sodass in jedem Karton 12 Eier liegen. Wie viele Kartons werden benötigt?“ 2. Um den Platzhalter zu berechnen, wird die Umkehroperation oder die Division \(144 : 12\) durchgeführt. 3. Rechnung: \(144 : 12 = 12\), da \(12 \cdot 12 = 144\).

Beispiel für eine Sachaufgabe: „Ein Lehrer verteilt \(144\) Arbeitsblätter so, dass jedes Kind \(12\) Blätter erhält. Wie viele Kinder sind in der Klasse?“ Die gesuchte Zahl ist \(12\).

- Kannst du zuerst die Zahl finden, die mit \(12\) multipliziert \(72\) ergibt? - Welche Rolle spielt die gefundene Zahl in der zweiten Rechnung? - Erinnere dich an den Aufbau einer Division, um den Quotienten zu bestimmen.

1. Berechnung des fehlenden Faktors: Da \(12 \cdot \text{Faktor} = 72\) ist, berechnet man \(72 : 12 = 6\). Der gesuchte Faktor ist \(6\). 2. Aufstellen der Divisionsaufgabe: Die Zahl \(54\) ist der Dividend und die \(6\) ist der Divisor, also \(54 : 6\). 3. Berechnung des Quotienten: \(54 : 6 = 9\).

Der Quotient lautet \(9\).

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Teilungsaufgabe, wenn du die erste Zahl (den Dividenden) kleiner machst? - Stell dir vor, du verteilst Bonbons: Was passiert mit der Anzahl der Bonbons pro Person, wenn es plötzlich weniger Leute (Divisor) sind, die sich die gleiche Menge teilen? - Du kannst dir auch eine einfache Beispielaufgabe wie \(20 : 2 = 10\) nehmen und die Änderungen dort ausprobieren.

1. Bei Division des Dividenden durch \(4\) verringert sich der Quotient proportional: \(100 : 4 = 25\). Der Wert viertelt sich also. 2. Bei Division des Divisors durch \(5\) vergrößert sich der Quotient umgekehrt proportional: \(100 \cdot 5 = 500\). Der Wert verfünffacht sich also. 3. Die Verdopplung des Dividenden bewirkt eine Verdopplung des Quotienten (\(\cdot 2\)). Die Halbierung des Divisors bewirkt eine weitere Verdopplung des Quotienten (\(\cdot 2\)). Insgesamt ergibt sich \(100 \cdot 2 \cdot 2 = 400\). Der Wert vervierfacht sich also.

a) Der Wert des Quotienten viertelt sich (er wird zu \(25\)). b) Der Wert des Quotienten verfünffacht sich (er wird zu \(500\)). c) Der Wert des Quotienten vervierfacht sich (er wird zu \(400\)).

- Überlege dir, was mit dem Ergebnis passiert, wenn du nur einen der Faktoren änderst. - Was passiert, wenn du eine Zahl erst mit 10 multiplizierst und das Ergebnis dann durch 2 teilst? - Du kannst dir zur Hilfe kleine Beispielzahlen suchen, zum Beispiel \(2 \cdot 2 = 4\), und die Änderungen daran ausprobieren.

1. Bei der Multiplikation eines Faktors mit einer Zahl vergrößert sich das Produkt um denselben Faktor. Da nur der erste Faktor mit \(4\) multipliziert wird, vervierfacht sich das Produkt (\(\cdot 4\)). 2. Die Verzehnfachung des ersten Faktors bewirkt eine Verzehnfachung des Produkts. Die gleichzeitige Halbierung des zweiten Faktors macht die Hälfte dieser Änderung rückgängig. Da \(10 : 2 = 5\), verfünffacht sich das Produkt insgesamt (\(\cdot 5\)). 3. Wenn beide Faktoren verdreifacht werden, wirkt sich diese Änderung multiplikativ aus. Da \(3 \cdot 3 = 9\), verneunfacht sich das Produkt (\(\cdot 9\)).

a) Das Produkt vervierfacht sich. b) Das Produkt verfünffacht sich. c) Das Produkt verneunfacht sich.

- Schau dir an, wie sich die Zahlen in den neuen Aufgaben im Vergleich zur Aufgabe \(12 \cdot 15\) verändert haben. - Suche nach Multiplikationen oder Divisionen (zum Beispiel: Ist die neue Zahl das Doppelte oder die Hälfte?). - Wenn sich ein Faktor ändert, ändert sich das Ergebnis in gleicher Weise.

1. Vergleich von \(24 \cdot 15\) mit der Grundaufgabe: Der erste Faktor wurde verdoppelt (\(12 \cdot 2 = 24\)), der zweite blieb gleich. Also \(180 \cdot 2 = 360\). 2. Vergleich von \(12 \cdot 45\): Der zweite Faktor wurde verdreifacht (\(15 \cdot 3 = 45\)), der erste blieb gleich. Also \(180 \cdot 3 = 540\). 3. Vergleich von \(6 \cdot 30\): Der erste Faktor wurde halbiert (\(12 : 2 = 6\)) und der zweite Faktor verdoppelt (\(15 \cdot 2 = 30\)). Da die Änderungen (\(:2\) und \(\cdot 2\)) sich gegenseitig aufheben, bleibt das Produkt \(180\). 4. Vergleich von \(4 \cdot 15\): Der erste Faktor wurde durch \(3\) geteilt (\(12 : 3 = 4\)), der zweite blieb gleich. Also \(180 : 3 = 60\).

a) \(360\) (Faktor 1 verdoppelt) b) \(540\) (Faktor 2 verdreifacht) c) \(180\) (Faktor 1 halbiert, Faktor 2 verdoppelt) d) \(60\) (Faktor 1 durch \(3\) geteilt)

- Wie hängen Dividend, Divisor, Quotient und Rest zusammen? - Kann ein Rest größer oder gleich dem Divisor sein? - Überlege dir zuerst eine Zahl für den Divisor und rechne dann rückwärts.

1. Bedingung für den Rest prüfen: Der Divisor \(b\) muss immer größer als der Rest sein, also \(b > 4\). 2. Mögliche Divisoren wählen, zum Beispiel \(5\), \(10\) und \(20\). 3. Dividenden \(a\) berechnen mit der Formel \(a = \text{Divisor} \cdot \text{Quotient} + \text{Rest}\). 4. Für \(b = 5\): \(5 \cdot 9 + 4 = 49\). Die Aufgabe lautet \(49 : 5 = 9\,\text{Rest}\,4\). 5. Für \(b = 10\): \(10 \cdot 9 + 4 = 94\). Die Aufgabe lautet \(94 : 10 = 9\,\text{Rest}\,4\). 6. Für \(b = 20\): \(20 \cdot 9 + 4 = 184\). Die Aufgabe lautet \(184 : 20 = 9\,\text{Rest}\,4\). 7. Begründung: Der Divisor muss größer als der Rest \(4\) sein, da der Rest sonst mindestens noch einmal durch den Divisor geteilt werden könnte.

Drei mögliche Aufgaben sind: \(49 : 5 = 9\,\text{Rest}\,4\), \(94 : 10 = 9\,\text{Rest}\,4\) und \(184 : 20 = 9\,\text{Rest}\,4\). Der Divisor muss immer größer als der Rest (hier \(4\)) sein.

- Finde zunächst einige Beispiele für Aufgaben, bei denen \(10\) herauskommt. - Wie kannst du zu einem gewählten positiven Divisor den passenden Dividenden bestimmen? - Gibt es eine größte positive natürliche Zahl?

1. Eine Division ohne Rest mit Quotient \(10\) lässt sich als \(a:b=10\) mit \(a,b\in\mathbb N\) und \(b>0\) schreiben. 2. Dies ist gleichbedeutend mit der Umkehraufgabe \(a=10\cdot b\). 3. Für jede positive natürliche Zahl, die man für den Divisor \(b\) einsetzt, erhält man durch Multiplikation mit \(10\) einen passenden Dividenden \(a\). 4. Da es unendlich viele positive natürliche Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele solcher Divisionsaufgaben.

Es gibt unendlich viele solche Aufgaben. Für jede positive natürliche Zahl \(b\) gilt \((10\cdot b):b=10\).

- Bei reinen Punktrechnungen darfst du oft die Reihenfolge geschickt wählen, solange keine Klammern etwas anderes vorschreiben. - Was ist einfacher zu rechnen: \(15 \cdot 12\) oder \(12 \cdot 5\)? - Achte bei Teilaufgabe a darauf, ob man die Division vielleicht vorziehen kann, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten.

1. Kombination von Multiplikation und Division: a) Zuerst \(42 \cdot 54 = 2\,268\), dann \(2\,268 : 9 = 252\) (alternativ: \(42 \cdot (54 : 9) = 42 \cdot 6 = 252\)). 2. Multiplikation mehrerer Faktoren: b) \(15 \cdot 5 = 75\), dann \(75 \cdot 12 = 900\) (oder \(12 \cdot 5 = 60\), dann \(15 \cdot 60 = 900\)). 3. Division durch ein Produkt: c) Zuerst Klammer \(5 \cdot 20 = 100\), dann \(800 : 100 = 8\). 4. Fortlaufende Multiplikation: d) \(12 \cdot 5 = 60\), dann \(60 \cdot 11 = 660\).

a) \(252\) b) \(900\) c) \(8\) d) \(660\)

- Weißt du noch, welche Rollen Minuend und Subtrahend bei einer Minusaufgabe spielen? - Berechne bei Teil b) erst die Werte der Klammerinhalte (Summe und Quotient), bevor du sie verknüpfst. - Lies genau, welche Zahlen miteinander verrechnet werden sollen.

1. Berechnung des Subtrahenden in Teil a): \(48 \cdot 75 = 3\,600\). 2. Subtraktion vom Minuenden: \(5\,000 - 3\,600 = 1\,400\). 3. Berechnung der Summe in Teil b): \(145 + 55 = 200\). 4. Berechnung des Quotienten: \(168 : 14 = 12\). 5. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(200 \cdot 12 = 2\,400\).

a) \(1\,400\) b) \(2\,400\)

- Berechne zuerst die Ergebnisse auf beiden Seiten der Lücke getrennt voneinander. - Nutze den Trick mit den Nullen: Zähle bei der Multiplikation die Nullen zusammen, bei der Division ziehe sie ab. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse auf, um sie besser vergleichen zu können.

1. Vergleich a): \( 400 \cdot 30 = 12\,000 \) und \( 120\,000 : 100 = 1200 \). Da \( 12\,000 > 1200 \), ist das Zeichen \( > \). 2. Vergleich b): \( 15 \cdot 4000 = 60\,000 \) und \( 300 \cdot 20 = 6000 \). Da \( 60\,000 > 6000 \), ist das Zeichen \( > \). 3. Vergleich c): \( 81\,000 : 90 = 900 \) und \( 90 \cdot 10 = 900 \). Da \( 900 = 900 \), ist das Zeichen \( = \). 4. Vergleich d): \( 2500 \cdot 40 = 100\,000 \) und \( 500\,000 : 5 = 100\,000 \). Da \( 100\,000 = 100\,000 \), ist das Zeichen \( = \).

a) \( > \) b) \( > \) c) \( = \) d) \( = \)

- Gehe Schritt für Schritt vor und nutze das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt für die nächste Rechnung. - Bei der Division durch \(400\) kannst du zwei Nullen bei beiden Zahlen streichen, bevor du rechnest. - Überlege dir für die Multiplikation mit \(12\), ob du \(12\) in \(10 + 2\) zerlegen und die beiden Teilprodukte addieren kannst.

1. Division: \( 1200 : 6 = 200 \). 2. Multiplikation: \( 200 \cdot 50 = 10\,000 \). 3. Division: \( 10\,000 : 400 = 100 : 4 = 25 \). 4. Multiplikation: \( 25 \cdot 12 = 300 \). Das Endergebnis ist \( 300 \).

\( 300 \)

- Kannst du die Aufgabe vereinfachen, indem du bei beiden Zahlen die gleiche Anzahl an Nullen streichst? - Wie kannst du mit einer Multiplikation überprüfen, ob dein Divisionsergebnis richtig ist?

1. Vereinfachung der Division durch Streichen von zwei Nullen bei beiden Zahlen: \(5220 : 18\) 2. Durchführung der Division: \(5220 : 18 = 290\) 3. Durchführung der Probe durch Multiplikation des Quotienten mit dem Divisor: \(290 \cdot 1800 = 522\,000\)

\(290\)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl „über 10 hinausgeht“? Berechne den Unterschied zu \(10\). - Achte darauf, dass das Ergänzungsprodukt auch größer als \(9\) sein kann. - Stelle sicher, dass du am Ende wirklich alle drei Teile (\(100\), Zehneranteil und Ergänzungsprodukt) zusammenzählst.

1. Über \(10\) hinausgehende Finger: Für die \(14\) sind es \(4\) Finger, für die \(13\) sind es \(3\) Finger. 2. Zehneranteil berechnen: \((4 + 3) \cdot 10 = 7 \cdot 10 = 70\). 3. Ergänzungsprodukt berechnen: \(4 \cdot 3 = 12\). 4. Gesamtergebnis bilden: \(70 + 12 + 100 = 182\).

Schritt 1: \(4\) und \(3\) Finger. Schritt 2: \(70\). Schritt 3: \(12\). Schritt 4: \(182\).

- Welche Rechnung musst du aufstellen, um die Gesamtzahl der Plätze zu finden? - Wie kannst du die Zahl \(14\) aufteilen, um die Multiplikation zu vereinfachen? - Vergiss nicht, am Ende die beiden Teilergebnisse zusammenzuzählen.

1. Aufstellen des Produkts: \(17 \cdot 14\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Zerlegen der \(14\) in \(10 + 4\): \(17 \cdot (10 + 4)\). 3. Einzelberechnung der Teilprodukte: \(17 \cdot 10 = 170\) und \(17 \cdot 4 = 68\). 4. Addition der Ergebnisse: \(170 + 68 = 238\).

Es gibt insgesamt \(238\) Plätze.

- Führe die Rechnungen für beide Aufgaben vollständig durch und schreibe die Zwischenschritte auf. - Achte besonders auf das Ergebnis von Schritt B. Ist es eine einstellige oder eine zweistellige Zahl? - Was passiert bei der Addition in Schritt C, wenn das zweite Ergebnis größer als 9 ist?

1. Berechnung \(6 \cdot 7\): Schritt A: \((1 + 2) \cdot 10 = 30\). Schritt B: \(4 \cdot 3 = 12\). Schritt C: \(30 + 12 = 42\). 2. Berechnung \(9 \cdot 8\): Schritt A: \((4 + 3) \cdot 10 = 70\). Schritt B: \(1 \cdot 2 = 2\). Schritt C: \(70 + 2 = 72\). 3. Analyse: Bei \(6 \cdot 7\) tritt ein Zehnerübergang auf, da das Ergebnis aus Schritt B (\(12\)) größer als \(10\) ist.

a) \(6 \cdot 7 = 42\) und \(9 \cdot 8 = 72\). b) Bei \(6 \cdot 7\), weil das Produkt der Ergänzungen (\(12\)) zweistellig ist.

- Wie viel größer als 5 ist die Zahl 5 selbst? Benutze dieses Ergebnis für den ersten Schritt. - Was musst du zu 5 addieren, um 10 zu erhalten? Das ist deine Ergänzung für den zweiten Schritt. - Vergleiche dein Endergebnis mit dem bekannten Ergebnis aus der 5er-Reihe.

1. Schritt 1: Die Abweichungen von \(5\) sind \(0\) (denn \(5 - 5 = 0\)) und \(3\) (denn \(8 - 5 = 3\)). Die Summe ist \(3\), multipliziert mit \(10\) ergibt dies \(30\). 2. Schritt 2: Die Ergänzungen zu \(10\) sind \(5\) (denn \(10 - 5 = 5\)) und \(2\) (denn \(10 - 8 = 2\)). Das Produkt ist \(5 \cdot 2 = 10\). 3. Schritt 3: Die Gesamtsumme ist \(30 + 10 = 40\). Da \(5 \cdot 8 = 40\) ist, hat Leon recht.

Ja, Leon hat recht. Die Rechnung ergibt \(30 + 10 = 40\), was dem richtigen Ergebnis von \(5 \cdot 8\) entspricht.

- Rechne jede Aufgabe einzeln aus und bestimme den Rest. - Ein Rest von \(3\) bedeutet, dass der Dividend um \(3\) größer ist als das größte Vielfache des Divisors, das noch kleiner als der Dividend ist. - Achte besonders auf die letzte Stelle deiner schriftlichen Division.

1. Berechnung von \(59 : 8\): Da \(7 \cdot 8 = 56\) und \(59 - 56 = 3\), ergibt sich \(7 \, \text{Rest} \, 3\). 2. Berechnung von \(115 : 4\): \(11 : 4 = 2\) Rest \(3\); \(35 : 4 = 8\) Rest \(3\). Ergebnis ist \(28 \, \text{Rest} \, 3\). 3. Berechnung von \(83 : 10\): Da \(8 \cdot 10 = 80\) und \(83 - 80 = 3\), ergibt sich \(8 \, \text{Rest} \, 3\). 4. Berechnung von \(200 : 6\): \(20 : 6 = 3\) Rest \(2\); \(20 : 6 = 3\) Rest \(2\). Ergebnis ist \(33 \, \text{Rest} \, 2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Aufgaben a), b) und c) haben den Rest \(3\).

Die Aufgaben a), b) und c) haben den Rest \(3\). Ergebnisse: a) \(7 \, \text{Rest} \, 3\); b) \(28 \, \text{Rest} \, 3\); c) \(8 \, \text{Rest} \, 3\); d) \(33 \, \text{Rest} \, 2\).

- Fällt dir bei der Anzahl der beiden Zahlen etwas Besonderes auf? - Wenn zwei Produkte den gleichen Faktor haben, kannst du die anderen beiden Zahlen zuerst addieren. - Gibt es eine Zahl, die in der 5er-Reihe besonders einfach zu rechnen ist, wenn du die Summanden kombinierst?

1. Identifikation der Anzahlen: Die \(18\) kommt 5-mal vor, die \(12\) kommt ebenfalls 5-mal vor. 2. Darstellung als Summe von Produkten: \(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12\). 3. Anwendung eines Rechenvorteils (Distributivgesetz): Da beide Faktoren gleich sind, kann man rechnen \(5 \cdot (18 + 12)\). 4. Berechnung der Klammer: \(18 + 12 = 30\). 5. Finales Ergebnis: \(5 \cdot 30 = 150\). Alternativ durch Einzelberechnung: \(90 + 60 = 150\).

\(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12 = 150\)

- Denk daran, dass sich der Divisor „umgekehrt“ zum Ergebnis verhält: Willst du ein größeres Ergebnis, musst du durch eine kleinere Zahl teilen. - Probier es mit einem Beispiel: \(12 : 4 = 3\). Was musst du mit der \(4\) machen, damit \(6\) herauskommt? - Was passiert, wenn du beim Kuchenessen die Kuchenmenge vervierfachst? Was musst du mit der Anzahl der Kinder machen, damit jedes Kind immer noch genau das gleiche Stück bekommt wie vorher?

1. Damit der Quotient bei gleichbleibendem Dividenden doppelt so groß wird, muss durch eine halb so große Zahl geteilt werden. Der Divisor muss also halbiert werden. 2. Damit der Quotient nur noch ein Drittel so groß ist, muss durch eine dreimal so große Zahl geteilt werden. Der Divisor muss also verdreifacht werden. 3. Damit der Quotient gleich bleibt, muss eine Änderung am Dividenden durch eine gleichartige Änderung am Divisor ausgeglichen werden. Da der Dividend vervierfacht wurde, muss auch der Divisor vervierfacht werden.

a) Man muss den Divisor halbieren. b) Man muss den Divisor verdreifachen. c) Man muss den Divisor ebenfalls vervierfachen.

- Welche Zahl steht bei einer Division vorne (Dividend) und welche hinten (Divisor)? - Notiere dir die Teilergebnisse für den Dividenden und den Divisor separat. - Achte darauf, dass du beim Subtrahieren die richtige Reihenfolge einhältst: „Subtrahiere von...“ bedeutet, dass dieser Wert vorne steht.

1. Bestimmung des Dividenden in Teil a): \(32 \cdot 15 = 480\). 2. Bestimmung des Divisors: \(94 - 78 = 16\). 3. Division der Teilergebnisse: \(480 : 16 = 30\). 4. Berechnung des Produkts in Teil b): \(125 \cdot 8 = 1\,000\). 5. Berechnung der Summe: \(347 + 253 = 600\). 6. Finale Subtraktion: \(1\,000 - 600 = 400\).

a) \(30\) b) \(400\)

- Gehe streng nach den Schritten der Regel vor, auch wenn die Zahlen ungewohnt erscheinen. - Was passiert, wenn das Produkt der eingeklappten Finger größer als \(9\) ist? - Überprüfe dein Ergebnis mit deinem Wissen aus dem Einmaleins.

1. Ausgestreckte Finger: An jeder Hand \(6 - 5 = 1\) Finger, insgesamt \(2\) Finger. 2. Eingeklappte Finger: An jeder Hand \(5 - 1 = 4\) Finger, insgesamt \(8\) Finger. 3. Berechnung: Der Zehneranteil ist \(2 \cdot 10 = 20\). Das Produkt der eingeklappten Finger ist \(4 \cdot 4 = 16\). 4. Summe: \(20 + 16 = 36\). 5. Vergleich: Das Ergebnis stimmt mit \(6 \cdot 6 = 36\) überein. Die Besonderheit liegt darin, dass das Produkt der eingeklappten Finger (\(16\)) zweistellig ist und somit einen Zehner zum Ergebnis beiträgt.

a) Ausgestreckt: \(2\) Finger (jeweils \(1\) pro Hand). Eingeklappt: \(8\) Finger (jeweils \(4\) pro Hand). b) \(20 + 16 = 36\). c) Das Ergebnis \(36\) ist korrekt. Die Besonderheit ist, dass das Produkt der eingeklappten Finger (\(4 \cdot 4 = 16\)) selbst einen Zehner enthält.

- Nutze die im Text angegebene Formel für die Probe, um die Gleichungen aufzustellen. - Überlege dir, wie du die Rechnung umkehren kannst, um an die gesuchte Zahl zu kommen. - Wenn der Dividend gesucht ist, musst du multiplizieren und den Rest addieren. - Wenn der Divisor gesucht ist, ziehe zuerst den Rest vom Dividenden ab.

1. Bestimmung von \(x\) in a): Anwendung der Formel \(\text{Dividend} = 24 \cdot 5 + 2\). Berechnung: \(120 + 2 = 122\). Also \(x = 122\). 2. Bestimmung von \(x\) in b): Umstellen der Formel zu \(130 = 18 \cdot x + 4\). Subtraktion des Rests: \(130 - 4 = 126\). Division durch den Quotienten: \(126 : 18 = 7\). Also \(x = 7\). 3. Bestimmung von \(x\) in c): Umstellen der Formel zu \(212 = 30 \cdot 7 + x\). Berechnung des Produkts: \(30 \cdot 7 = 210\). Subtraktion vom Dividenden: \(212 - 210 = 2\). Also \(x = 2\).

a) \(x = 122\) b) \(x = 7\) c) \(x = 2\)