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- Achte darauf, die Zahlen stellengerecht (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner usw.) untereinanderzuschreiben. - Vergiss bei der Addition und Subtraktion nicht die Überträge an die nächste Stelle. - Bei der Subtraktion von einer Zahl mit vielen Nullen musst du besonders sorgfältig mit den Überträgen umgehen.

1. Addition: Die Summanden werden untereinandergeschrieben und stellenweise addiert. \(15\,673 + 8\,429 + 402 = 24\,504\). 2. Subtraktion: Die Subtraktion erfolgt stellenweise von rechts nach links mit Überträgen. \(50\,000 - 23\,456 = 26\,544\).

a) \(24\,504\) b) \(26\,544\)

- Achte darauf, die Zahlen stellengerecht untereinander zu schreiben (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner...). - Vergiss bei der Addition die Überträge nicht. - Bei der Subtraktion musst du an Stellen mit einer Null von der nächstgrößeren Stelle entbündeln.

1. Addition der Einer, Zehner, Hunderter usw. unter Berücksichtigung der Überträge: \(2+4+7=13\) (3, Übertrag 1), \(8+0+5+1=14\) (4, Übertrag 1), \(7+3+5+1=16\) (6, Übertrag 1), \(6+9+1=16\) (6, Übertrag 1), \(5+1=6\). Ergebnis: \(67\,643\). 2. Subtraktion von rechts nach links mit Entbündelung: \(10-6=4\), \(9-5=4\), \(9-4=5\), \(9-3=6\), \(9-2=7\), \(3-1=2\). Ergebnis: \(276\,544\).

a) \(67\,643\) b) \(276\,544\)

- Achte darauf, dass die Einer unter den Einern, die Zehner unter den Zehnern usw. stehen. - Vergiss nicht, die Überträge aus der jeweils rechten Spalte mit zu addieren. - Es hilft, die Zahlen von rechts nach links bündig untereinander zu schreiben.

1. Stellengerechtes Untereinanderschreiben der Summanden \(45\,678\), \(123\,094\) und \(9\,876\). 2. Addition der Einer: \(8 + 4 + 6 = 18\) (Ergebnis 8, Übertrag 1). 3. Addition der Zehner: \(7 + 9 + 7 + 1 = 24\) (Ergebnis 4, Übertrag 2). 4. Addition der Hunderter: \(6 + 0 + 8 + 2 = 16\) (Ergebnis 6, Übertrag 1). 5. Addition der Tausender: \(5 + 3 + 9 + 1 = 18\) (Ergebnis 8, Übertrag 1). 6. Addition der Zehntausender: \(4 + 2 + 1 = 7\). 7. Die Hunderttausenderstelle bleibt bei \(1\). 8. Das Gesamtergebnis lautet \(178\,648\).

\(178\,648\)

- Überlege zuerst, ob die Anzahl der Bücher durch die jeweilige Aktion größer oder kleiner wird. - Führe die Berechnungen nacheinander in zwei Schritten durch. - Achte beim Untereinanderschreiben darauf, dass die Stellenwerte (Einer, Zehner, Hunderter...) genau untereinanderstehen.

1. Addition des Anfangsbestands und der Neulieferungen: \(15\,480 + 3\,765 = 19\,245\). 2. Subtraktion der aussortierten Bücher vom Zwischenergebnis: \(19\,245 - 2\,894 = 16\,351\). Der neue Bestand beträgt \(16\,351\) Bücher.

Der neue Bestand der Buchhandlung beträgt \(16\,351\) Bücher.

- Runde beim Überschlag so, dass du leicht im Kopf rechnen kannst. - Achte beim schriftlichen Multiplizieren darauf, die Teilprodukte stellengerecht untereinander zu schreiben. - Was ist die Umkehroperation der Division? Nutze diese für die Probe. - Vergiss bei der Division nicht, jede Ziffer des Dividenden einzeln „herunterzuholen“.

1. Überschläge: a) \(400 \cdot 60 = 24\,000\), b) \(12\,000 : 12 = 1000\), c) \(200 \cdot 400 = 80\,000\), d) \(9000 : 15 = 600\). 2. Schriftliche Berechnungen: a) \(423 \cdot 56 = 23\,688\). b) \(12\,648 : 12 = 1054\). c) \(205 \cdot 403 = 82\,615\). d) \(9435 : 15 = 629\). 3. Proben für Divisionen: zu b) \(1054 \cdot 12 = 12\,648\). zu d) \(629 \cdot 15 = 9435\).

a) Ü: \(24\,000\); Ergebnis: \(23\,688\) b) Ü: \(1000\); Ergebnis: \(1054\); Probe: \(1054 \cdot 12 = 12\,648\) c) Ü: \(80\,000\); Ergebnis: \(82\,615\) d) Ü: \(600\); Ergebnis: \(629\); Probe: \(629 \cdot 15 = 9435\)

- Wie kannst du die Zahlen runden, um das Ergebnis im Kopf grob abzuschätzen? - Denke daran, beim schriftlichen Rechnen die Stellenwerte (Einer, Zehner, Hunderter...) genau untereinander zu schreiben. - Du kannst die große Zahl zeilenweise mit den einzelnen Ziffern der kleineren Zahl malnehmen.

1. Durchführung eines Überschlags: Rundung der Faktoren auf Hunderter bzw. Zehner, zum Beispiel \(4500 \cdot 60 = 270\,000\). 2. Schriftliche Multiplikation: Multiplikation von \(4508\) mit \(60\) ergibt \(270\,480\). Multiplikation von \(4508\) mit \(3\) ergibt \(13\,524\). 3. Addition der Teilergebnisse: \(270\,480 + 13\,524 = 284\,004\).

Überschlag: ca. \(270\,000\) (Abweichungen je nach Rundung möglich) Ergebnis: \(284\,004\)

- Schreibe die Zahlen so untereinander, dass Einer unter Einern, Zehner unter Zehnern usw. stehen. - Vergiss bei der Addition nicht, die Überträge zu notieren. - Achte bei der Subtraktion darauf, von welcher Stelle du „leihen“ musst, wenn eine Ziffer oben kleiner ist als unten. - Bei mehreren Zahlen in einer Additionsaufgabe kannst du alle gleichzeitig untereinanderschreiben.

1. Addition a): Die stellenweise Addition von rechts nach links mit Überträgen ergibt \(2 + 9 = 11\) (\(1\) notieren, Übertrag \(1\)), \(9 + 0 + 1 = 10\) (\(0\) notieren, Übertrag \(1\)), \(8 + 3 + 1 = 12\) (\(2\) notieren, Übertrag \(1\)), \(7 + 4 + 1 = 12\) (\(2\) notieren, Übertrag \(1\)), \(6 + 5 + 1 = 12\) (\(2\) notieren, Übertrag \(1\)) und \(0 + 1 + 1 = 2\). Das Ergebnis ist \(222\,201\). 2. Subtraktion b): Durch Entbündeln der Stellen ergibt sich \(10 - 8 = 2\) (Einer), \(9 - 7 = 2\) (Zehner), \(10 - 6 = 4\) (Hunderter), \(11 - 5 = 6\) (Tausender), \(9 - 4 = 5\) (Zehntausender) und \(2 - 0 = 2\) (Hunderttausender). Das Ergebnis ist \(256\,422\). 3. Addition c): Die Summe der drei Zahlen \(12\,450\), \(8\,999\) und \(103\,561\) wird stellenweise berechnet und ergibt \(125\,010\).

a) \(222\,201\) b) \(256\,422\) c) \(125\,010\)

- Bei der schriftlichen Multiplikation hilft es, die Teilergebnisse der einzelnen Ziffern untereinanderzuschreiben und am Ende zu addieren. - Überprüfe bei der Division nach jedem Schritt, ob der Rest kleiner als der Divisor ist. - Du kannst das Ergebnis der Division durch eine Probe mit der Umkehroperation (Multiplikation) testen.

1. Multiplikation: Multipliziere \(254\) zuerst mit \(30\) (Ergebnis \(7\,620\)) und dann mit \(6\) (Ergebnis \(1\,524\)). Die Summe beider Teilergebnisse ist \(7\,620 + 1\,524 = 9\,144\). 2. Division: Bestimme, wie oft die \(24\) in die vorderen Ziffern passt. \(91 : 24 = 3\) Rest \(19\). Nimm die \(4\) dazu: \(194 : 24 = 8\) Rest \(2\). Nimm die letzte \(4\) dazu: \(24 : 24 = 1\). Das Gesamtergebnis ist \(381\).

a) \(9\,144\) b) \(381\)

- Das Quadrat einer Zahl erhältst du, indem du die Zahl mit sich selbst multiplizierst. - Überlege dir bei der zweiten Aufgabe, wie man den Teil einer Subtraktion findet, der abgezogen wurde. - Hilft es dir, die Aufgabe als \(1\,567 + \triangle = 4\,000\) zu betrachten?

1. Quadrieren: Multipliziere \(123\) schriftlich mit sich selbst. \(123 \cdot 100 = 12\,300\), \(123 \cdot 20 = 2\,460\), \(123 \cdot 3 = 369\). Die Summe ergibt \(12\,300 + 2\,460 + 369 = 15\,129\). 2. Fehlenden Subtrahenden finden: Berechne den Platzhalter durch die Umkehroperation oder indem du die Differenz vom Minuenden abziehst: \(4\,000 - 1\,567 = 2\,433\).

a) \(\square = 15\,129\) b) \(\triangle = 2\,433\)

- Führe zuerst beide Rechnungen separat auf einem Blatt Papier aus. - Vergleiche die beiden Endergebnisse Stelle für Stelle von links nach rechts.

1. Schriftliche Addition für A: \(135\,246 + 84\,754 = 220\,000\). 2. Schriftliche Subtraktion für B: \(310\,000 - 89\,989 = 220\,011\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(220\,011 > 220\,000\).

Das Ergebnis von Rechnung B (\(220\,011\)) ist größer als das Ergebnis von Rechnung A (\(220\,000\)).

- Überlege zuerst, wie viel Geld insgesamt ausgegeben wird. - Welche Rechenart hilft dir, den Restbetrag zu bestimmen, wenn du den Gesamtbetrag und die Ausgaben kennst? - Du kannst die Aufgabe in zwei Schritten lösen: Erst alles zusammenrechnen, was ausgegeben wird, und diesen Betrag dann vom Startguthaben abziehen.

1. Berechnung der Gesamtausgaben durch schriftliche Addition: \(845\,\text{€} + 1\,120\,\text{€} + 378\,\text{€} = 2\,343\,\text{€}\). 2. Berechnung des verbleibenden Betrags durch schriftliche Subtraktion der Gesamtausgaben vom Budget: \(2\,500\,\text{€} - 2\,343\,\text{€} = 157\,\text{€}\). 3. Alternativ können die Beträge auch nacheinander vom Budget subtrahiert werden.

Es bleiben \(157\,\text{€}\) in der Klassenkasse übrig.

- Berechne zuerst jedes Ergebnis für sich allein. - Achte bei der Subtraktion von \(50\,000\) besonders auf die Überträge über die Nullen hinweg. - Vergleiche am Ende die beiden Endsummen, um den Unterschied zu finden.

1. Schriftliche Addition für Ausdruck A: \(34\,509 + 7\,812 + 655 = 42\,976\). 2. Schriftliche Subtraktion für Ausdruck B: \(50\,000 - 7\,025 = 42\,975\). 3. Vergleich und Differenzbildung: \(42\,976 - 42\,975 = 1\). Das Ergebnis von Ausdruck A ist um \(1\) größer als das Ergebnis von Ausdruck B.

Ausdruck A ergibt \(42\,976\) und Ausdruck B ergibt \(42\,975\). Das Ergebnis von Ausdruck A ist um \(1\) größer.

- Wenn eine Zahl nicht genau aufgeht, bleibt am Ende ein Rest übrig. - Der Rest muss immer kleiner sein als der Teiler (Divisor). - Beim Überschlag hilft es, Vielfache des Teilers zu suchen, die nah an der Zahl liegen. - Wie gehst du vor, wenn eine Teilzahl kleiner ist als der Divisor? Denke an die Null im Ergebnis.

1. Überschläge: a) \(7500 : 25 = 300\) oder \(8000 : 20 = 400\), b) \(16\,000 : 40 = 400\). 2. Schriftliche Division mit Rest: a) \(7843 : 25 = 313\) Rest \(18\), da \(75 : 25 = 3\), \(34 : 25 = 1\) (Rest \(9\)), \(93 : 25 = 3\) (Rest \(18\)). b) \(15\,000 : 37 = 405\) Rest \(15\), da \(150 : 37 = 4\) (Rest \(2\)), \(20 : 37 = 0\) (Rest \(20\)), \(200 : 37 = 5\) (Rest \(15\)). 3. Proben: a) \(313 \cdot 25 + 18 = 7825 + 18 = 7843\). b) \(405 \cdot 37 + 15 = 14\,985 + 15 = 15\,000\).

a) Ü: ca. \(300\); Ergebnis: \(313\) Rest \(18\); Probe: \(313 \cdot 25 + 18 = 7843\) b) Ü: ca. \(400\); Ergebnis: \(405\) Rest \(15\); Probe: \(405 \cdot 37 + 15 = 15\,000\)

- Suche für den Überschlag nach Zahlen in der Nähe, die gut zusammenpassen. - Wie oft passt die \(24\) in die ersten Stellen des Dividenden? - Mit welcher Rechenart kannst du eine Division rückgängig machen, um sie zu prüfen?

1. Überschlag: Rundung auf einfache Zahlen, zum Beispiel \(20\,000 : 25 = 800\) oder \(18\,000 : 20 = 900\). 2. Schriftliche Division: \(188 : 24 = 7\) Rest \(20\); \(201 : 24 = 8\) Rest \(9\); \(96 : 24 = 4\). Das Ergebnis ist \(784\). 3. Probe: Durchführung der Multiplikation \(784 \cdot 24\). \(784 \cdot 20 = 15\,680\) und \(784 \cdot 4 = 3136\). Die Summe \(15\,680 + 3136\) ergibt \(18\,816\).

Überschlag: ca. \(800\) Ergebnis: \(784\) Probe: \(784 \cdot 24 = 18\,816\)

- Löse die Aufgabe in zwei Schritten. - Was bedeutet das Wort „Summe“ für deine erste Rechnung? - Beim Subtrahieren von einer Million musst du besonders sorgfältig mit den Überträgen bei den vielen Nullen umgehen.

1. Berechnung der Summe: Die schriftliche Addition von \(456\,700\) und \(123\,456\) ergibt \(580\,156\). 2. Berechnung der Differenz: Die schriftliche Subtraktion \(1\,000\,000 - 580\,156\) erfordert mehrfaches Entbündeln über die Nullen hinweg. Dies ergibt schrittweise \(10 - 6 = 4\), \(9 - 5 = 4\), \(9 - 1 = 8\), \(9 - 0 = 9\), \(9 - 8 = 1\) und \(9 - 5 = 4\). Das Endergebnis ist \(419\,844\).

\(419\,844\)

- Rechne zuerst beide Seiten einzeln aus. - Notiere dir die Zwischenergebnisse, um sie am Ende besser vergleichen zu können. - Schau dir die Endziffern an, um dein Ergebnis grob zu prüfen.

1. Berechnung von \(A\): Die schriftliche Addition von \(345\,678\) und \(128\,933\) ergibt \(474\,611\). 2. Berechnung von \(B\): Die schriftliche Subtraktion von \(125\,389\) von \(600\,000\) ergibt ebenfalls \(474\,611\). 3. Vergleich: Da beide Berechnungen denselben Wert liefern, gilt \(474\,611 = 474\,611\).

\(A = B\), da beide Ergebnisse \(474\,611\) lauten.

- Runde die Zahlen für den Überschlag so, dass du sie leicht im Kopf multiplizieren kannst. - Achte beim schriftlichen Multiplizieren darauf, die Stellen genau untereinander zu schreiben. - Vergleiche dein genaues Ergebnis am Ende mit deinem Überschlag.

1. Überschlag für (1): \(8000 \cdot 6 = 48\,000\). 2. Schriftliche Multiplikation (1): \(6 \cdot 5 = 30\), \(6 \cdot 40 = 240\), \(6 \cdot 200 = 1200\), \(6 \cdot 8000 = 48\,000\). Die Summe der Teilergebnisse liefert \(49\,470\). 3. Überschlag für (2): \(500 \cdot 50 = 25\,000\). 4. Schriftliche Multiplikation (2): Multiplikation mit der Zehnerstelle \(40 \cdot 538 = 21\,520\) und mit der Einerstelle \(7 \cdot 538 = 3766\). Die Addition beider Zwischenergebnisse ergibt \(25\,286\).

(1) Überschlag z. B. \(48\,000\); Ergebnis: \(49\,470\) (2) Überschlag z. B. \(25\,000\); Ergebnis: \(25\,286\)

- Beginne bei den Einern und arbeite dich Stelle für Stelle nach links vor. - Vergiss nicht, die Überträge zu berücksichtigen, wenn eine Summe größer als 9 ist. - Bei der Subtraktion hilft es, an das „Ergänzen“ oder das „Entleihen“ zu denken, wenn die obere Ziffer kleiner ist als die untere.

1. In Aufgabe a) wird von rechts nach links gerechnet: \(2 + 9 = 11\), schreibe \(1\), Übertrag \(1\). Zehnerstelle: \(8 + \square + 1 = 14\), also \(\square = 5\), Übertrag \(1\). Hunderterstelle: \(\square + 5 + 1 = 13\), also \(\square = 7\), Übertrag \(1\). Tausenderstelle: \(4 + 1 + 1 = 6\). Die Ziffern sind \(7\) und \(5\). 2. In Aufgabe b) wird schriftlich subtrahiert: Einerstelle: \(13 - 8 = 5\). Zehnerstelle: \(13 - 6 = 7\) (nach Übertrag). Hunderterstelle: \(9 - 7 = 2\) (nach Übertrag). Tausenderstelle: \(7 - 2 = 5\). Die fehlenden Ziffern im Ergebnis sind \(5\) an der Tausenderstelle und \(5\) an der Einerstelle.

a) Die fehlenden Ziffern sind \(7\) (Hunderterstelle) und \(5\) (Zehnerstelle). b) Das Ergebnis lautet \(5\,275\), die fehlenden Ziffern sind also \(5\) und \(5\).

- Achte bei Aufgaben mit vielen Nullen darauf, keine Stelle zu überspringen. - Bei der Multiplikation kannst du Endnullen erst einmal weglassen und später wieder anhängen. - Was passiert in der schriftlichen Division, wenn eine Zahl „heruntergeholt“ wird, der Divisor aber nicht hineinpasst? - Vergleiche dein exaktes Ergebnis immer mit deinem Überschlag – passt die Anzahl der Stellen?

1. Überschläge: a) \(5000 \cdot 3000 = 15\,000\,000\), b) \(10\,000 \cdot 70 = 700\,000\), c) \(36\,000 : 12 = 3000\). 2. Schriftliche Multiplikation: a) \(5020 \cdot 3040 = 15\,260\,800\). (Tipp: Rechne \(502 \cdot 304\) und hänge zwei Nullen an). b) \(12\,345 \cdot 67 = 827\,115\). 3. Schriftliche Division: c) \(36\,072 : 12 = 3006\). (Rechnung: \(36:12=3\), \(0:12=0\), \(7:12=0\), \(72:12=6\)).

a) Ü: \(15\,000\,000\); Ergebnis: \(15\,260\,800\) b) Ü: \(700\,000\); Ergebnis: \(827\,115\) c) Ü: \(3000\); Ergebnis: \(3006\)

- Achte bei der Multiplikation mit \(308\) besonders auf die Null an der Zehnerstelle. - Ein Überschlag hilft dir zu erkennen, ob die Anzahl der Stellen im Ergebnis stimmen kann. - Die Probe ist die Umkehroperation der Division.

1. Zu a) Überschlag: \(12\,000 \cdot 300 = 3\,600\,000\). Schriftliche Multiplikation: \(12\,045 \cdot 300 = 3\,613\,500\) und \(12\,045 \cdot 8 = 96\,360\). Summe: \(3\,613\,500 + 96\,360 = 3\,709\,860\). 2. Zu b) Überschlag: \(15\,000 : 50 = 300\). Schriftliche Division: \(149 : 48 = 3\) Rest \(5\); \(57 : 48 = 1\) Rest \(9\); \(96 : 48 = 2\). Quotient: \(312\). 3. Probe zu b): Multiplikation \(312 \cdot 48\). \(312 \cdot 40 = 12\,480\) und \(312 \cdot 8 = 2496\). Summe: \(12\,480 + 2496 = 14\,976\).

a) \(3\,709\,860\) (Überschlag ca. \(3\,600\,000\)) b) \(312\) (Überschlag ca. \(300\)); Probe: \(312 \cdot 48 = 14\,976\)

- Suche für den Überschlag eine Zahl in der Nähe des Dividenden, die gut durch den Divisor teilbar ist. - Was musst du tun, wenn eine Stelle des Dividenden kleiner ist als der Divisor? - Vergiss nicht, bei jedem Schritt den Rest zu notieren und die nächste Ziffer „herunterzuholen“.

1. Überschlag für (1): \(4800 : 8 = 600\). 2. Schriftliche Division (1): \(46 : 8 = 5\) Rest \(6\); \(65 : 8 = 8\) Rest \(1\); \(16 : 8 = 2\). Das Ergebnis ist \(582\). 3. Überschlag für (2): \(420\,000 : 6 = 70\,000\). 4. Schriftliche Division (2): \(43 : 6 = 7\) Rest \(1\); \(18 : 6 = 3\) Rest \(0\); \(2 : 6 = 0\) Rest \(2\); \(20 : 6 = 3\) Rest \(2\); \(24 : 6 = 4\). Das Ergebnis ist \(73\,034\).

(1) Überschlag z. B. \(600\); Ergebnis: \(582\) (2) Überschlag z. B. \(70\,000\); Ergebnis: \(73\,034\)