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- Welche zwei Zahlen ergänzen sich zu \(100\)? - Beim Addieren darfst du Summanden vertauschen. - Du darfst Summanden auch neu zusammenfassen.

1. Ordne die Summanden passend: \((64+36)+(19+81)\). 2. Es gilt \(64+36=100\) und \(19+81=100\). 3. Daher ist die Summe \(100+100=200\).

\((64+36)+(19+81)=100+100=200\)

- Welche beiden Summanden ergeben zusammen eine glatte Zahl? - Bei einer reinen Addition darfst du die Klammern anders setzen. - Wie heißt das Rechengesetz für dieses neue Zusammenfassen?

1. Mit dem Assoziativgesetz wird die Klammer anders gesetzt: \(357+(143+89)=(357+143)+89\). 2. Es gilt \(357+143=500\). 3. Danach ist \(500+89=589\).

\(357+(143+89)=(357+143)+89=500+89=589\) Rechengesetz: Assoziativgesetz

- Welche Rechenart macht eine Addition wieder rückgängig? - Welche Zahl wird hier zuerst addiert und danach wieder subtrahiert? - Was bleibt übrig, wenn sich diese beiden Rechenschritte aufheben?

1. Zuerst wird \(123\) addiert und danach dieselbe Zahl wieder subtrahiert. 2. Addition und Subtraktion sind hier Umkehroperationen und heben sich gegenseitig auf. 3. Deshalb bleibt \(456\).

Das Ergebnis ist \(456\), weil die Subtraktion von \(123\) die vorherige Addition von \(123\) rückgängig macht.

- Überlege dir, wie du eine Zahl so aufteilen kannst, dass du mit der Zahl 5 multiplizieren kannst. - Das kleine Einmaleins mit der 5 ist oft einfacher zu rechnen. - Vergiss nicht, den Rest der zerlegten Zahl ebenfalls mit dem anderen Faktor zu multiplizieren.

1. Für \(6 \cdot 7\): Zerlegung in \((5 + 1) \cdot 7 = 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7 = 35 + 7 = 42\). 2. Für \(7 \cdot 8\): Zerlegung in \((5 + 2) \cdot 8 = 5 \cdot 8 + 2 \cdot 8 = 40 + 16 = 56\). 3. Für \(8 \cdot 9\): Zerlegung in \((5 + 3) \cdot 9 = 5 \cdot 9 + 3 \cdot 9 = 45 + 27 = 72\).

a) \((5+1)\cdot7=5\cdot7+1\cdot7=42\) b) \((5+2)\cdot8=5\cdot8+2\cdot8=56\) c) \((5+3)\cdot9=5\cdot9+3\cdot9=72\)

- Zerlege \(423\) in Hunderter, Zehner und Einer. - Multipliziere jeden Teil mit \(6\). - Addiere danach die drei Ergebnisse.

1. Zerlege \(423\) in \(400+20+3\). 2. Multipliziere jeden Teil mit \(6\): \(400\cdot6+20\cdot6+3\cdot6\). 3. Rechne die Teilprodukte aus: \(2400+120+18\). 4. Addiere: \(2400+120+18=2538\).

\(423\cdot6=(400+20+3)\cdot6\) \(=400\cdot6+20\cdot6+3\cdot6\) \(=2400+120+18\) \(=2538\)

- Zähle bei jedem Feld Reihen und Punkte pro Reihe. - Vergleiche die beiden Faktoren der Malaufgaben. - Was bleibt gleich, obwohl die Reihenfolge der Faktoren wechselt?

1. Feld a) hat \(3\) Reihen mit je \(4\) Punkten: \(3\cdot4=12\). 2. Feld b) hat \(4\) Reihen mit je \(3\) Punkten: \(4\cdot3=12\). 3. Die Faktoren wurden vertauscht, das Produkt bleibt gleich. Das ist das Kommutativgesetz.

a) \(3\cdot4=12\) und \(4\cdot3=12\) b) Kommutativgesetz

- Wurden die Zahlen vertauscht? - Oder bleibt die Reihenfolge gleich und nur die Klammern ändern sich? - Ordne danach den passenden Gesetzesnamen zu.

1. a) Die beiden Summanden wurden vertauscht. Das ist das Kommutativgesetz. 2. b) Die Reihenfolge der Zahlen bleibt gleich, aber die Klammern werden anders gesetzt. Das ist das Assoziativgesetz.

a) Kommutativgesetz b) Assoziativgesetz

- Schau dir die letzten Stellen der Zahlen an. Welche Zahlen ergänzen sich zu einem Hunderter oder Tausender? - Bei einer Addition darfst du die Summanden vertauschen. - Suche nach zwei Summanden, die zusammen eine runde Zahl ergeben.

1. a) \(367+633=1000\), danach \(1000+149=1149\). 2. b) \(2450+550=3000\), danach \(3000+871=3871\). 3. c) \(125+875=1000\), danach \(1000+789=1789\). 4. d) \(444+556=1000\), danach \(1000+99=1099\).

a) Zuerst \(367+633=1000\); Ergebnis \(1149\) b) Zuerst \(2450+550=3000\); Ergebnis \(3871\) c) Zuerst \(125+875=1000\); Ergebnis \(1789\) d) Zuerst \(444+556=1000\); Ergebnis \(1099\)

- Welche Summanden ergeben zusammen eine runde Zahl? - Bei einer Addition darfst du Summanden vertauschen. - Du darfst Summanden auch anders zusammenfassen, ohne die Summe zu verändern.

1. a) Vertausche und fasse passend zusammen: \((245+355)+178=600+178=778\). Dabei werden Kommutativ- und Assoziativgesetz genutzt. 2. b) Klammere neu: \((64+136)+482=200+482=682\). Dabei wird das Assoziativgesetz genutzt. 3. c) Vertausche und fasse passend zusammen: \((712+288)+599=1000+599=1599\). Dabei werden Kommutativ- und Assoziativgesetz genutzt.

a) \((245+355)+178=778\); Kommutativ- und Assoziativgesetz b) \((64+136)+482=682\); Assoziativgesetz c) \((712+288)+599=1599\); Kommutativ- und Assoziativgesetz

- Suche nach Zahlenpaaren, die zusammen \(100\) ergeben. - Prüfe jede Zahl nur einmal zu verwenden. - Wenn du drei solche Paare gefunden hast, musst du nur noch ihre Summen addieren.

1. Die passenden Paare sind \(13+87=100\), \(26+74=100\) und \(39+61=100\). 2. Daher gilt \((13+87)+(26+74)+(39+61)=100+100+100=300\).

\((13+87)+(26+74)+(39+61)=100+100+100=300\)

- Welche zwei Faktoren ergeben zusammen \(100\)? - Bei einer Multiplikation darfst du die Faktoren vertauschen. - Fasse zuerst die beiden Faktoren zusammen, die sich am leichtesten rechnen lassen.

1. \(4\cdot25=100\) lässt sich besonders leicht rechnen. 2. Daher gilt \(4\cdot17\cdot25=(4\cdot25)\cdot17=100\cdot17=1700\). 3. Beim Umstellen und Zusammenfassen werden Kommutativ- und Assoziativgesetz genutzt.

\(4\cdot17\cdot25=(4\cdot25)\cdot17=100\cdot17=1700\)

- Welche Zahl wird in Zehner und Einer zerlegt? - Welche beiden Teilprodukte entstehen dadurch? - Was musst du am Ende mit den beiden Teilprodukten tun?

1. Zerlege \(12\) in \(10 + 2\): \(15 \cdot (10 + 2)\). 2. Wende das Distributivgesetz an: \(15 \cdot 10 + 15 \cdot 2\). 3. Berechne die Teilprodukte: \(15 \cdot 10 = 150\) und \(15 \cdot 2 = 30\). 4. Addiere die Teilbeträge: \(150 + 30 = 180\). 5. Insgesamt sind es \(180\,\text{€}\).

Marco rechnet \(15 \cdot 12 = 15 \cdot 10 + 15 \cdot 2 = 150 + 30 = 180\). Er muss \(180\,\text{€}\) bezahlen.

- Welche Zahlen ergeben zusammen \(100\) oder \(400\)? - Suche nach passenden Einerstellen, zum Beispiel \(8\) und \(2\). - Prüfe am Ende, ob du wirklich alle Summanden verwendet hast.

1. Fasse passende Summanden zusammen: \((235+165)+(88+12)+50\). 2. Es gilt \(235+165=400\) und \(88+12=100\). 3. Damit ist \(400+100+50=550\).

Zum Beispiel \((235+165)+(88+12)+50=400+100+50=550\)

- Welche Zahlen ergänzen sich zu einem vollen Tausender? - Suche zwei Paare, die sich besonders leicht addieren lassen. - Addiere danach nur noch die beiden Zwischenergebnisse.

1. Bilde die Paare \((1250+750)\) und \((4300+1700)\). 2. Es gilt \(1250+750=2000\) und \(4300+1700=6000\). 3. Zusammen ergibt das \(2000+6000=8000\).

\((1250+750)+(4300+1700)=2000+6000=8000\)

- Welche Zahlen ergeben zusammen besonders einfache Hunderter oder Tausender? - Beim Addieren darfst du Summanden mit dem Kommutativgesetz vertauschen. - Mit dem Assoziativgesetz darfst du Summanden neu zusammenfassen.

1. Mit dem Kommutativgesetz werden passende Summanden nebeneinandergestellt: \(425+575\) und \(187+313\). 2. Mit dem Assoziativgesetz werden diese Paare zusammengefasst: \((425+575)+(187+313)+450\). 3. Die Teilsummen sind \(1000\) und \(500\). Damit ergibt sich \(1000+500+450=1950\).

\((425+575)+(187+313)+450=1000+500+450=1950\) Verwendet werden Kommutativgesetz und Assoziativgesetz.

- Welcher Faktor kommt in beiden Produkten vor? - Wie kannst du diesen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer schreiben? - Prüfe, ob die beiden Zahlen in der Klammer zusammen eine besonders einfache Summe ergeben.

1. In beiden Produkten kommt der Faktor \(14\) vor. 2. Mit dem Distributivgesetz wird \(14\) ausgeklammert: \(14\cdot(63+37)\). 3. Es gilt \(63+37=100\). 4. Damit ist \(14\cdot100=1400\).

\(14\cdot63+14\cdot37=14\cdot(63+37)=14\cdot100=1400\)

- Wie oft kommen die beiden Zahlen jeweils vor? - Haben die beiden Produkte einen gemeinsamen Faktor? - Kannst du die Zahlen so zusammenfassen, dass eine leicht zu rechnende Zahl entsteht?

1. Die \(18\) und die \(12\) kommen jeweils \(5\)-mal vor. Daher gilt \(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12\). 2. Beide Produkte haben den Faktor \(5\): \(5 \cdot (18 + 12) = 5 \cdot 30\). 3. \(5 \cdot 30 = 150\).

\(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12 = 150\)

- Kannst du die Terme vereinfachen, indem du dir ansiehst, welche Operationen nacheinander ausgeführt werden? - Musst du die \(77\) überhaupt in deine Rechnung einbeziehen, um den Wert der Terme zu erkennen? - Vergleiche die „Startzahlen“ der beiden Terme, nachdem du die gegensätzlichen Rechenschritte weggelassen hast.

1. Vereinfachung von Term \(A\): Multiplikation und Division mit \(77\) heben sich als Umkehroperationen auf. Der Wert des Terms ist somit \(333\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): Addition und Subtraktion von \(77\) heben sich ebenfalls auf. Der Wert des Terms ist somit \(330\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(333 > 330\), liefert Term \(A\) das größere Ergebnis.

Term \(A\) ist größer. Begründung: In beiden Termen heben sich die Rechenschritte mit der Zahl \(77\) gegenseitig auf. Term \(A\) ergibt somit \(333\) und Term \(B\) ergibt \(330\). Da \(333 > 330\), ist Term \(A\) größer.

- Welche Faktoren ergeben zusammen \(10\), \(100\) oder \(1000\)? - Gibt es in d) einen Faktor, der in beiden Produkten vorkommt? - Ordne oder klammere so um, dass du zuerst eine besonders einfache Rechnung erhältst.

1. a) \((25\cdot4)\cdot17=100\cdot17=1700\). 2. b) \((125\cdot8)\cdot11=1000\cdot11=11\,000\). 3. c) \((5\cdot20)\cdot42=100\cdot42=4200\). 4. d) Klammere \(63\) aus: \(63\cdot(8+2)=63\cdot10=630\).

a) \((25\cdot4)\cdot17=1700\) b) \((125\cdot8)\cdot11=11\,000\) c) \((5\cdot20)\cdot42=4200\) d) \(63\cdot(8+2)=630\)

- Welche zwei Faktoren ergeben zusammen ein besonders einfaches Produkt? - Mit welchem Rechengesetz darfst du Faktoren vertauschen? - Mit welchem Rechengesetz darfst du Faktoren neu zusammenfassen?

1. Für alle Parkplätze ergibt sich das Produkt \(8\cdot14\cdot25\). 2. Mit dem Kommutativgesetz werden \(8\) und \(25\) nebeneinandergestellt: \(8\cdot25\cdot14\). 3. Mit dem Assoziativgesetz werden diese Faktoren zuerst zusammengefasst: \((8\cdot25)\cdot14\). 4. Es gilt \(8\cdot25=200\) und danach \(200\cdot14=2800\).

\(8\cdot14\cdot25=(8\cdot25)\cdot14=200\cdot14=2800\) Das Parkhaus hat \(2800\) Parkplätze.

- Kannst du die größere Zahl in Zehner und Einer aufteilen? - Wie hilft es dir, erst die Zehner und dann die Einer einzeln zu multiplizieren? - Was musst du am Ende mit den beiden Teilergebnissen machen?

1. Zerlegung von \(42\) in \(40 + 2\): \(40 \cdot 6 + 2 \cdot 6 = 240 + 12 = 252\). 2. Zerlegung von \(83\) in \(80 + 3\): \(80 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 320 + 12 = 332\).

a) \((40+2)\cdot6=40\cdot6+2\cdot6=252\) b) \((80+3)\cdot4=80\cdot4+3\cdot4=332\)

- Welche Zehnerzahl liegt direkt über dem zweistelligen Faktor? - Wie groß ist der Unterschied zu dieser Zehnerzahl? - Rechne zuerst mit der Zehnerzahl und ziehe die nötige Korrektur danach ab.

1. a) \(59=60-1\), also \((60-1)\cdot3=60\cdot3-1\cdot3=180-3=177\). 2. b) \(38=40-2\), also \((40-2)\cdot7=40\cdot7-2\cdot7=280-14=266\).

a) \((60-1)\cdot3=60\cdot3-1\cdot3=177\) b) \((40-2)\cdot7=40\cdot7-2\cdot7=266\)

- Welcher Faktor kommt in beiden Produkten vor? - Kannst du diesen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer schreiben? - Welche Summe entsteht in der Klammer?

1. Der Term lautet \(47\cdot19+47\cdot81\). 2. In beiden Produkten kommt der Faktor \(47\) vor. Klammere ihn aus: \(47\cdot(19+81)\). 3. Es gilt \(19+81=100\). 4. Damit ist \(47\cdot100=4700\).

\(47\cdot19+47\cdot81=47\cdot(19+81)=47\cdot100=4700\)

- Prüfe zuerst, ob der Klammerwert eine besonders einfache Zahl wie \(10\), \(20\) oder \(100\) ergibt. - Wenn der Klammerwert selbst ein unhandliches Produkt erzeugt, kann das Verteilen günstiger sein. - Begründe deine Wahl mit dem ersten Rechenschritt, nicht nur mit dem Endergebnis.

1. Bei a) ist die Klammer besonders günstig: \(15+5=20\), also \(20\cdot24=480\). 2. Bei b) ist ebenfalls die Klammer besonders günstig: \(18-8=10\), also \(73\cdot10=730\). 3. Bei c) würde die Klammer zunächst \(99\cdot37\) ergeben. Vorteilhafter ist das Distributivgesetz: \((100-1)\cdot37=100\cdot37-1\cdot37=3700-37=3663\). 4. Damit hängt die sinnvolle Strategie von der konkreten Zahlenstruktur ab; nicht in jeder Teilaufgabe ist derselbe Weg am kürzesten.

a) Klammer zuerst: \(20\cdot24=480\) b) Klammer zuerst: \(73\cdot10=730\) c) Distributivgesetz: \(100\cdot37-1\cdot37=3663\)

- Welcher Faktor kommt jeweils in beiden Produkten vor? - Schreibe den gemeinsamen Faktor vor die Klammer. - Rechne danach zuerst in der Klammer.

1. a) Der gemeinsame Faktor ist \(8\): \((14+6)\cdot8=20\cdot8=160\). 2. b) Der gemeinsame Faktor ist \(12\): \((37-27)\cdot12=10\cdot12=120\). 3. c) Der gemeinsame Faktor ist \(5\): \(5\cdot(43+57)=5\cdot100=500\).

a) \((14+6)\cdot8=160\) b) \((37-27)\cdot12=120\) c) \(5\cdot(43+57)=500\)

- Rechne beide Aufgaben nacheinander aus. - Vergleiche die Ergebnisse: Sind sie genau gleich? - Überlege, was passiert, wenn du eine kleine Zahl durch eine größere Zahl teilst.

1. \(24 : 6 = 4\). 2. Beim vertauschten Term \(6 : 24\) ist \(24\) kein Teiler von \(6\); der Term hat daher keinen natürlichen Quotienten. 3. Beim Vertauschen ändern sich die Werte beziehungsweise die Lösbarkeit in \(\mathbb{N}\). Das Kommutativgesetz gilt für die Division nicht.

Lukas hat nicht recht. Es gilt \(24 : 6 = 4\), während \(6 : 24\) keinen natürlichen Quotienten hat. Die Division ist nicht kommutativ.

- Suche in jeder Teilaufgabe den Faktor, der in beiden Produkten vorkommt. - Dieser gemeinsame Faktor steht nach dem Ausklammern nur noch einmal außerhalb der Klammer. - In der Klammer bleiben die jeweils anderen Zahlen mit ihrem Plus- oder Minuszeichen stehen.

1. a) Der gemeinsame Faktor ist \(14\): \(14\cdot(7+3)\). 2. b) Der gemeinsame Faktor ist \(5\): \((48-8)\cdot5\). 3. c) Der gemeinsame Faktor ist \(9\): \((20+12)\cdot9\). 4. d) Der gemeinsame Faktor ist \(15\): \(15\cdot(11-4)\).

a) \(14\cdot(7+3)\) b) \((48-8)\cdot5\) c) \((20+12)\cdot9\) d) \(15\cdot(11-4)\)

- Der Faktor außerhalb der Klammer muss mit jedem Teil in der Klammer verbunden werden. - Behalte das Plus- oder Minuszeichen aus der Klammer bei. - Kontrolliere, ob der äußere Faktor in deinem Ergebnis zweimal vorkommt.

1. a) Der Faktor \(4\) wird mit beiden Summanden multipliziert: \(36\cdot4+14\cdot4\). 2. b) Der Faktor \(7\) wird mit beiden Zahlen multipliziert: \(25\cdot7-15\cdot7\). 3. c) Der Faktor \(6\) wird mit beiden Summanden multipliziert: \(6\cdot40+6\cdot3\). 4. d) Der Faktor \(12\) wird mit beiden Zahlen multipliziert: \(12\cdot20-12\cdot8\).

a) \(36\cdot4+14\cdot4\) b) \(25\cdot7-15\cdot7\) c) \(6\cdot40+6\cdot3\) d) \(12\cdot20-12\cdot8\)

- Welcher Faktor kommt in beiden Produkten vor? - Darfst du die Faktoren in einem Produkt vertauschen? - Kannst du danach den gemeinsamen Faktor ausklammern?

1. Vertausche im zweiten Produkt die Faktoren: \(38\cdot63+38\cdot37\). 2. Klammere den gemeinsamen Faktor \(38\) aus: \(38\cdot(63+37)\). 3. Es gilt \(63+37=100\), also \(38\cdot100=3800\). 4. Dabei werden zuerst das Kommutativgesetz und danach das Distributivgesetz genutzt.

\(38\cdot63+37\cdot38=38\cdot63+38\cdot37=38\cdot(63+37)=3800\) Verwendet werden Kommutativgesetz und Distributivgesetz.

- Wie oft ist die Zahl \(17\) insgesamt vorhanden? - Hilft es dir, wenn du die einzelne \(17\) als \(1 \cdot 17\) betrachtest? - Welches Gesetz erlaubt es dir, eine Summe von Produkten in ein Produkt mit einer Klammer umzuwandeln?

1. Den zweiten Summanden als Produkt mit dem Faktor \(1\) umschreiben: \(99 \cdot 17 + 1 \cdot 17\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(17\): \((99 + 1) \cdot 17\). 3. Berechnung der Klammer: \(99 + 1 = 100\). 4. Endberechnung: \(100 \cdot 17 = 1700\).

\(99\cdot17+1\cdot17=(99+1)\cdot17=1700\)

- Welcher Faktor kommt in allen drei Produkten vor? - Schreibe diesen Faktor vor die Klammer. - Rechne danach zuerst in der Klammer.

1. In allen drei Produkten steckt der Faktor \(17\): \(17\cdot(8-3+5)\). 2. In der Klammer gilt \(8-3+5=10\). 3. Damit ist \(17\cdot10=170\).

\(17\cdot(8-3+5)=17\cdot10=170\)

- Wurden Zahlen vertauscht? - Wurden nur die Klammern anders gesetzt? - Wurde ein gemeinsamer Faktor vor eine Klammer gezogen?

1. In a) werden die Summanden \(57\) und \(72\) vertauscht. Das ist das Kommutativgesetz der Addition. 2. In b) werden Faktoren vertauscht und neu zusammengefasst. Dabei werden Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Multiplikation genutzt. 3. In c) wird der gemeinsame Faktor \(9\) ausgeklammert. Das ist das Distributivgesetz.

a) Kommutativgesetz b) Kommutativgesetz und Assoziativgesetz c) Distributivgesetz

- Wie viele Bälle bekommt eine Mannschaft insgesamt? - Wie könntest du alle Fußbälle und alle Basketbälle getrennt zählen? - Welches Rechengesetz verbindet ein Produkt mit einer Summe von zwei Produkten?

1. Pro Mannschaft sind es \(5+3\) Bälle. Daher ist ein Term \(8\cdot(5+3)=64\). 2. Man kann auch beide Ballarten getrennt zählen: \(8\cdot5+8\cdot3=40+24=64\). 3. Der Zusammenhang zwischen beiden Termen wird durch das Distributivgesetz beschrieben.

a) \(8\cdot(5+3)\) und \(8\cdot5+8\cdot3\) b) Distributivgesetz

- Was verändert sich im ersten Gleichheitsschritt an der Reihenfolge der Summanden? - Was bewirkt die Klammer, obwohl nur Pluszeichen vorkommen? - Welche Rechengesetze beschreiben Vertauschen und Verbinden bei der Addition?

1. Im ersten Schritt \(15 + 38 + 85 = 15 + 85 + 38\) wurden die Summanden \(38\) und \(85\) vertauscht. Das ist das Kommutativgesetz. 2. Im zweiten Schritt \(15 + 85 + 38 = (15 + 85) + 38\) wurden die ersten beiden Summanden verbunden, damit sie zuerst addiert werden. Das ist das Assoziativgesetz.

Kommutativgesetz beim Vertauschen der Summanden und Assoziativgesetz beim Verbinden der Summanden.

- Berechne die linke und die rechte Seite jeweils getrennt. - Achte darauf, wann mit \(0\) multipliziert und wann addiert wird. - Vergleiche anschließend die beiden Ergebnisse.

1. a) Links ist \(0\), rechts \(6\). Also \(<\). 2. b) Links ist \(2\), rechts \(4\). Also \(<\). 3. c) Beide Seiten ergeben \(8\). Also \(=\). 4. d) Beide Seiten ergeben \(0\). Also \(=\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(=\)

- Die Zahl 9 liegt sehr nah an der 10. Wie kannst du das nutzen? - Die Zahl 11 ist genau 1 mehr als 10. - Rechne zuerst mit 10 und korrigiere dann das Ergebnis um den fehlenden oder überschüssigen Teil.

1. Für \(9 \cdot 7\): Nutze \(10 \cdot 7 - 1 \cdot 7 = 70 - 7 = 63\). 2. Für \(11 \cdot 6\): Nutze \(10 \cdot 6 + 1 \cdot 6 = 60 + 6 = 66\). 3. Für \(9 \cdot 12\): Nutze \(10 \cdot 12 - 1 \cdot 12 = 120 - 12 = 108\).

a) \((10-1)\cdot7=10\cdot7-1\cdot7=63\) b) \((10+1)\cdot6=10\cdot6+1\cdot6=66\) c) \((10-1)\cdot12=10\cdot12-1\cdot12=108\)

- Schau, wie die erste Zahl zerlegt wurde. - Multipliziere beide Teile mit derselben Zahl. - Rechne danach die Teilprodukte aus.

1. Bei a) zerlegst du \(14\) in \(10+4\): \(14\cdot6=10\cdot6+4\cdot6=60+24=84\). 2. Bei b) rechnest du mit \(20-2\): \(18\cdot4=20\cdot4-2\cdot4=80-8=72\). 3. Bei c) zerlegst du \(23\) in \(20+3\): \(23\cdot3=20\cdot3+3\cdot3=60+9=69\).

a) \(14\cdot6=10\cdot6+4\cdot6=60+24=84\) b) \(18\cdot4=20\cdot4-2\cdot4=80-8=72\) c) \(23\cdot3=(20+3)\cdot3=20\cdot3+3\cdot3=60+9=69\)

- Welche Rechnung beschreibt \(17\) Reihen mit je \(14\) Plätzen? - Wie kannst du \(14\) in zwei leicht zu rechnende Teile zerlegen? - Addiere am Ende die beiden Teilprodukte.

1. Die Gesamtzahl wird mit \(17\cdot14\) berechnet. 2. Zerlege \(14\) in \(10+4\): \(17\cdot(10+4)=17\cdot10+17\cdot4\). 3. Es gilt \(17\cdot10=170\) und \(17\cdot4=68\). 4. Damit sind es \(170+68=238\) Plätze.

\(17\cdot14=17\cdot(10+4)=17\cdot10+17\cdot4=238\) Es gibt \(238\) Plätze.

- Wie kannst du \(14\) als Summe schreiben? - Wie kannst du \(14\) als Produkt von zwei kleineren Zahlen schreiben? - Welche zwei Faktoren ergeben zusammen besonders leicht \(10\)?

1. Mit dem Distributivgesetz: \(14\cdot5=(10+4)\cdot5=10\cdot5+4\cdot5=50+20=70\). 2. Mit dem Assoziativgesetz: \(14\cdot5=(7\cdot2)\cdot5=7\cdot(2\cdot5)=7\cdot10=70\). 3. Beide Wege ergeben \(70\). Der zweite Weg kann hier besonders kurz sein, weil \(2\cdot5=10\) ist.

1. \(10\cdot5+4\cdot5=70\) 2. \(7\cdot(2\cdot5)=70\) 3. Zum Beispiel: Der zweite Weg ist hier besonders kurz, weil \(2\cdot5=10\) entsteht.

- Welcher Faktor kommt in beiden Produkten vor? - Was ergibt die Summe der beiden anderen Faktoren? - Schreibe den gemeinsamen Faktor vor eine Klammer.

1. Beide Produkte haben den gemeinsamen Faktor \(18\). 2. Klammere \(18\) aus: \((125+875)\cdot18\). 3. Es gilt \(125+875=1000\). 4. Damit ist \(1000\cdot18=18\,000\).

\(125\cdot18+875\cdot18=(125+875)\cdot18=18\,000\)

- Rechne eine vorhandene Klammer zuerst aus. - Ohne Klammer kommen Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion. - Wenn zwei Punktrechnungen vorkommen, kannst du beide vor der anschließenden Strichrechnung berechnen.

1. a) Zuerst \(3\cdot4=12\), danach \(8+12=20\). 2. b) Zuerst \(3\cdot4=12\), danach \(25-12=13\). 3. c) Zuerst \(6\cdot3=18\) und \(8:2=4\), danach \(18+4=22\). 4. d) Zuerst \(24:6=4\) und \(5\cdot3=15\), danach \(4+15=19\). 5. e) Zuerst \(15+5=20\), danach \(2\cdot20=40\).

a) \(20\) b) \(13\) c) \(22\) d) \(19\) e) \(40\)

- Welche Zerlegung von \(2001\) macht die Multiplikation leichter? - Multipliziere beide Teile der Zerlegung mit \(432\). - Addiere danach die beiden Teilprodukte.

1. Zerlege \(2001\) in \(2000+1\). 2. Dann gilt \((2000+1)\cdot432=2000\cdot432+1\cdot432\). 3. Es ergibt sich \(864\,000+432=864\,432\).

\(2001\cdot432=(2000+1)\cdot432=2000\cdot432+1\cdot432=864\,432\)

- Welche zwei Zahlen ergänzen sich zu \(200\)? - Welche zwei Zahlen ergänzen sich zu \(100\)? - Bei einer Addition darfst du Summanden vertauschen und neu zusammenfassen.

1. Vertausche die Summanden so, dass passende Paare nebeneinanderstehen: \(154+46+78+22=(154+46)+(78+22)\). 2. Berechne die Teilsummen: \(154+46=200\) und \(78+22=100\). 3. Addiere die Teilsummen: \(200+100=300\).

Zum Beispiel \((154+46)+(78+22)=200+100=300\)

- In a) ändert sich nur die Reihenfolge der Faktoren. - In b) ändert sich nur, welche Summanden zuerst zusammengefasst werden. - In c) wird die Multiplikation auf beide Summanden in der Klammer verteilt.

1. a) Kommutativgesetz: \(a\cdot b=b\cdot a\). 2. b) Assoziativgesetz: \((a+b)+c=a+(b+c)\). 3. c) Distributivgesetz: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\).

a) \(a\cdot b=b\cdot a\) b) \((a+b)+c=a+(b+c)\) c) \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)

- Prüfe zuerst, ob sich nur die Reihenfolge zweier Faktoren geändert hat. - Prüfe danach, ob nur anders zusammengefasst wurde. - Ordne jedem Schritt genau ein passendes Rechengesetz zu.

1. Zuerst werden die Faktoren \(9\) und \(4\) vertauscht. Das ist das Kommutativgesetz: \(a\cdot b=b\cdot a\). 2. Danach werden \(25\) und \(4\) zuerst zusammengefasst. Das ist das Assoziativgesetz: \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\). 3. So entsteht der Rechenvorteil \(25\cdot4=100\).

1. Kommutativgesetz: \(a\cdot b=b\cdot a\) 2. Assoziativgesetz: \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)

- Wurden nur Zahlen vertauscht oder nur anders zusammengefasst? - Prüfe bei c), ob beide Subtraktionen bei natürlichen Zahlen möglich sind. - Ein Rechengesetz passt nur, wenn der Wert gleich bleibt.

1. a) ist wahr: Die Summanden wurden vertauscht. Das ist das Kommutativgesetz. 2. b) ist wahr: Die Faktoren wurden nur anders zusammengefasst. Das ist das Assoziativgesetz. 3. c) ist falsch: \(100-30=70\), aber \(30-100\) hat in den natürlichen Zahlen kein Ergebnis.

a) wahr — Kommutativgesetz b) wahr — Assoziativgesetz c) falsch

- Derselbe Faktor wird mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert. - Zerlege \(105\) in zwei Zahlen, mit denen du leicht multiplizieren kannst. - Prüfe, ob deine Zerlegung wieder \(105\) ergibt.

1. In a) lautet der fehlende Faktor \(7\): \(6\cdot(20+7)=6\cdot20+6\cdot7\). 2. In b) wird \(105\) als \(100+5\) zerlegt: \(8\cdot105=8\cdot100+8\cdot5=800+40=840\).

a) \(7\) b) \(8\cdot105=8\cdot100+8\cdot5=840\)

- Wie hängen \(197\), \(200\) und \(3\) zusammen? - Beim Distributivgesetz darfst du einen Faktor mit den Teilen einer Summe oder Differenz multiplizieren. - Wie kannst du \(305\) in zwei leicht zu multiplizierende Teile zerlegen?

1. Lukas nutzt das Distributivgesetz. 2. Es gilt \(200\cdot3-3\cdot3=600-9=591\). 3. Für c) wird \(305\) als \(300+5\) zerlegt. 4. Damit gilt \(305\cdot6=300\cdot6+5\cdot6=1800+30=1830\).

a) Distributivgesetz b) \(591\) c) \(305\cdot6=(300+5)\cdot6=1800+30=1830\)

- Kannst du eine Zahl in eine Summe oder Differenz zerlegen, mit der du leichter rechnest? - Gibt es zwei Faktoren, die zusammen \(100\) ergeben? - Hilft dir eine nahe runde Zahl wie \(20\) oder \(100\)?

1. a) Zerlege \(15\) in \(10+5\): \(12\cdot10+12\cdot5=120+60=180\). Das nutzt das Distributivgesetz. 2. b) Zerlege \(36\) in \(4\cdot9\): \(25\cdot(4\cdot9)=(25\cdot4)\cdot9=100\cdot9=900\). Das nutzt das Assoziativgesetz. 3. c) Nutze \(20-1\): \((20-1)\cdot8=160-8=152\). Das nutzt das Distributivgesetz. 4. d) Zerlege \(102\) in \(100+2\): \(100\cdot7+2\cdot7=700+14=714\). Das nutzt das Distributivgesetz.

a) \(12\cdot(10+5)=120+60=180\) — Distributivgesetz b) \(25\cdot(4\cdot9)=(25\cdot4)\cdot9=900\) — Assoziativgesetz c) \((20-1)\cdot8=160-8=152\) — Distributivgesetz d) \((100+2)\cdot7=700+14=714\) — Distributivgesetz

- Zähle die Spalten der beiden getrennt dargestellten Teilfelder. - Die Anzahl der Reihen bleibt in beiden Teilfeldern gleich. - Verbinde die beiden Teilprodukte anschließend wieder durch Addition.

1. Teilfeld a) hat \(7\) Reihen und \(10\) Spalten; Teilfeld b) hat \(7\) Reihen und \(2\) Spalten. Die Spaltenzahl \(12\) ist also in \(10 + 2\) zerlegt. 2. Daher gilt \(7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2)\). 3. Mit dem Distributivgesetz folgt \(7 \cdot 10 + 7 \cdot 2 = 70 + 14 = 84\).

\(7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 2 = 84\)

- Zähle bei jedem Teilfeld Zeilen und Spalten getrennt. - Überlege, welche Seitenlänge beim Zusammensetzen gleich bleibt und welche sich addiert. - Vergleiche „erst zusammenfassen, dann multiplizieren“ mit „beide Teilfelder einzeln berechnen“.

1. Teilfeld A hat \(7\) Zeilen und \(10\) Spalten, Teilfeld B hat \(7\) Zeilen und \(3\) Spalten. 2. Zusammen sind es \(10+3=13\) Spalten bei weiterhin \(7\) Zeilen. Daher beschreibt \(7\cdot(10+3)\) das ganze Rechteck. 3. Die getrennten Teilfelder werden durch \(7\cdot10+7\cdot3\) beschrieben. 4. Beide Terme sind nach dem Distributivgesetz gleichwertig und ergeben \(91\).

a) A: \(7\times10\), B: \(7\times3\) b) \(7\cdot(10+3)=7\cdot10+7\cdot3=91\) c) Distributivgesetz

- Wie viele Zeilen gibt es, und welche Summe hat jede Zeile? - Werden beim Addieren nach Spalten andere Zahlen verwendet als beim Addieren nach Zeilen? - Überlege, ob sich die Gesamtsumme ändert, wenn du dieselben Zahlen nur in einer anderen Reihenfolge addierst.

1. Es gibt drei Zeilen mit der Summe \(15\): \(3\cdot15=45\). Insgesamt stehen also Zahlen mit der Summe \(45\) im Gitter. 2. Jede Zahl gehört genau zu einer Zeile und genau zu einer Spalte. Deshalb ergeben auch die drei Spaltensummen zusammen \(45\).

a) Die Gesamtsumme ist \(45\). b) Die drei Spaltensummen ergeben zusammen ebenfalls \(45\), weil beim Addieren nach Spalten dieselben Zahlen addiert werden wie beim Addieren nach Zeilen.

- Suche bei den Additionen nach Summanden, die zusammen eine runde Zahl ergeben. - Beim Addieren darfst du Summanden vertauschen und neu zusammenfassen. - Überlege bei b) und d), welcher Gesamtbetrag insgesamt abgezogen wird.

1. a) Mit Kommutativ- und Assoziativgesetz: \((438+162)+275=600+275=875\). 2. b) Zwei nacheinander abgezogene Zahlen können zusammengefasst werden: \(5600-(1200+400)=5600-1600=4000\). 3. c) Mit Kommutativ- und Assoziativgesetz: \((125+875)+999=1000+999=1999\). 4. d) Ebenso gilt \(10\,000-(2500+3500)=10\,000-6000=4000\). 5. Bei b) und d) wird nicht die Reihenfolge der Subtraktion vertauscht; stattdessen wird der gesamte abzuziehende Betrag zuerst addiert.

a) \((438+162)+275=875\); Kommutativgesetz und Assoziativgesetz b) \(5600-(1200+400)=4000\) c) \((125+875)+999=1999\); Kommutativgesetz und Assoziativgesetz d) \(10\,000-(2500+3500)=4000\)

- Welche Zahlen lassen sich besonders leicht zusammenrechnen? - Gibt es bei der Multiplikation zwei Faktoren, die zusammen \(10\), \(100\) oder \(1000\) ergeben? - Bei einer Summe oder einem Produkt darfst du die Reihenfolge passend verändern.

1. a) \((389+111)+(250+750)=500+1000=1500\). 2. b) \((123+77)+456=200+456=656\). 3. c) \((5\cdot20)\cdot17=100\cdot17=1700\).

a) \((389+111)+(250+750)=1500\) b) \((123+77)+456=656\) c) \((5\cdot20)\cdot17=1700\)

- Vergleiche die Summe aus erster und letzter Zahl mit der Summe aus zweiter und vorletzter Zahl. - Überlege, wie viele Zahlen insgesamt gepaart werden. - Wenn alle Paare dieselbe Summe haben, kannst du diese Summe mehrfach addieren.

1. Zum Vertauschen wird das Kommutativgesetz genutzt, zum neuen Zusammenfassen das Assoziativgesetz. 2. Es gibt \(80:2=40\) Paare. 3. Jedes Paar hat die Summe \(1+80=81\); ebenso gilt zum Beispiel \(2+79=81\). 4. Damit ist die Gesamtsumme \(40\cdot81=3240\).

1. Kommutativgesetz und Assoziativgesetz 2. \(40\) Paare 3. \(81\) 4. \(3240\)

- Schreibe die ersten und die letzten Glieder der Summe auf. - Welche Summe entsteht, wenn du jeweils die äußersten beiden Zahlen paarst? - Wie viele Paare erhältst du aus \(40\) Summanden? - Wie kannst du gleiche Paarsummen anschließend zusammenfassen?

1. Die Gesamtzahl wird durch \(1 + 2 + 3 + \dots + 40\) beschrieben. 2. Bilde Paare von außen: \(1 + 40 = 41\), \(2 + 39 = 41\) und so weiter. Aus \(40\) Summanden entstehen \(40 : 2 = 20\) Paare. 3. Jedes der \(20\) Paare hat die Summe \(41\). Deshalb gilt \(20 \cdot 41 = 820\). 4. Insgesamt sind es \(820\) Äpfel.

1. \(1 + 2 + 3 + \dots + 40\) 2. \(820\) Äpfel 3. Es entstehen \(20\) Paare mit der Summe \(41\), daher \(20 \cdot 41 = 820\).

- Wie viele gerade Zahlen gibt es von \(2\) bis \(60\)? - Addiere die kleinste und die größte Zahl und prüfe das nächste Paar. - Wenn alle Paare dieselbe Summe haben, wie oft musst du diese Paarsumme nehmen?

1. Von \(2\) bis \(60\) gibt es \(60:2=30\) gerade Zahlen. 2. Es gilt \(2+60=62\), \(4+58=62\) usw. Aus \(30\) Zahlen entstehen \(30:2=15\) Paare. 3. Die Gesamtsumme ist \(15\cdot62=930\).

1. \(30\) Summanden 2. \(15\) Paare mit der Summe \(62\) 3. \(930\)

- Untersuche die beiden Klammern getrennt. - Was passiert mit einer Differenz, wenn beide Zahlen um denselben Betrag größer werden? - Wie verändert sich eine Summe, wenn beide Summanden um \(15\) größer werden?

1. Der ursprüngliche Wert ist \((560 - 140) + (320 + 180) = 420 + 500 = 920\). 2. In \(560 - 140\) werden beide Zahlen um \(15\) größer. Die Differenz bleibt deshalb gleich. 3. In \(320 + 180\) werden beide Summanden um \(15\) größer. Die Summe wächst also um \(15 + 15 = 30\). 4. Daher wird auch der gesamte Termwert um \(30\) größer.

Ausgangswert: \(920\) Der Termwert wird um \(30\) größer. Begründung: In der ersten Klammer bleibt die Differenz gleich; in der zweiten Klammer wächst die Summe um \(30\).

- Welche Zahlenpaare ergeben eine runde Zahl? - Achte darauf, dass \(364\) weiterhin abgezogen wird. - Bei einer Subtraktion darfst du die Zahlen nicht einfach so vertauschen wie bei einer Addition.

1. Fasse passend zusammen: \((864-364)+(257+43)\). 2. Es gilt \(864-364=500\) und \(257+43=300\). 3. Damit ist \(500+300=800\).

Zum Beispiel \((864-364)+(257+43)=500+300=800\)

- Welche Faktoren kannst du so umordnen und verbinden, dass \(100\) entsteht? - Achte bei Zehnern und Hundertern auf die Stellenwerte. - Kannst du bei der Division Dividend und Divisor durch dieselbe Zahl teilen?

1. \((4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1900\). 2. \(80 \cdot 600 = 8 \cdot 6 \cdot 1000 = 48\,000\). 3. \(54\,000 : 90 = 5400 : 9 = 600\). 4. \((2 \cdot 50) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3700\).

a) \((4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1900\) b) \(80 \cdot 600 = 8 \cdot 6 \cdot 1000 = 48\,000\) c) \(54\,000 : 90 = 5400 : 9 = 600\) d) \((2 \cdot 50) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3700\)

- Prüfe, ob eine Klammer vorhanden ist oder ein gemeinsamer Faktor in zwei Produkten vorkommt. - Beim Ausmultiplizieren wird der äußere Faktor mit jedem Glied in der Klammer multipliziert. - Beim Ausklammern suchst du einen Faktor, der in beiden Produkten vorkommt. - Überlege jeweils, welche Schreibweise die Rechnung übersichtlicher macht.

1. Teilaufgabe a): Ausmultiplizieren: \(8 \cdot (100 + 4) = 8 \cdot 100 + 8 \cdot 4 = 800 + 32 = 832\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern: \(17 \cdot 12 + 17 \cdot 8 = 17 \cdot (12 + 8) = 17 \cdot 20 = 340\). 3. Teilaufgabe c): Ausmultiplizieren: \((50 - 2) \cdot 6 = 50 \cdot 6 - 2 \cdot 6 = 300 - 12 = 288\). 4. Teilaufgabe d): Ausklammern: \(44 \cdot 15 - 34 \cdot 15 = (44 - 34) \cdot 15 = 10 \cdot 15 = 150\).

a) \(8\cdot(100+4)=8\cdot100+8\cdot4=832\) — Ausmultiplizieren b) \(17\cdot12+17\cdot8=17\cdot(12+8)=340\) — Ausklammern c) \((50-2)\cdot6=50\cdot6-2\cdot6=288\) — Ausmultiplizieren d) \(44\cdot15-34\cdot15=(44-34)\cdot15=150\) — Ausklammern

- Vergleiche die Division nach dem Ausrechnen der Klammer mit den beiden kleineren Divisionen. - Beim Auflösen der Klammer müssen beide Zahlen durch denselben Divisor geteilt werden. - Begründe deine Wahl mit den konkreten Rechnungen.

1. a) Zuerst die Klammer: \((400+56):8=456:8=57\). 2. a) Klammer auflösen: \(400:8+56:8=50+7=57\). 3. b) Zuerst die Klammer: \((600-42):6=558:6=93\). 4. b) Klammer auflösen: \(600:6-42:6=100-7=93\). 5. Beide Wege sind richtig. Welcher leichter ist, kann unterschiedlich begründet werden.

a) Zuerst die Klammer: \((400+56):8=456:8=57\) Klammer auflösen: \(400:8+56:8=50+7=57\) b) Zuerst die Klammer: \((600-42):6=558:6=93\) Klammer auflösen: \(600:6-42:6=100-7=93\) Die Begründung für den leichteren Rechenweg muss zu den notierten Rechnungen passen.

- Gibt es eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du einen Faktor so zerlegen, dass eine runde Zahl wie \(10\) oder \(100\) vorkommt? - Was passiert, wenn du \(99\) als \(100-1\) schreibst?

1. In a) wird der gemeinsame Faktor \(13\) ausgeklammert: \(13\cdot(57+43)=13\cdot100=1300\). 2. In b) wird \(99\) als \(100-1\) zerlegt: \((100-1)\cdot14=100\cdot14-1\cdot14=1386\). 3. In c) wird \(11\) als \(10+1\) zerlegt: \(62\cdot(10+1)=62\cdot10+62\cdot1=682\).

a) \(13\cdot(57+43)=1300\) b) \((100-1)\cdot14=100\cdot14-1\cdot14=1386\) c) \(62\cdot(10+1)=62\cdot10+62\cdot1=682\)

- Suche bei a) nach zwei Teilen, die sich leicht durch \(5\) teilen lassen. - Prüfe bei b), ob beide Zahlen in der Klammer durch \(12\) teilbar sind. - Bei c) haben beide Divisionen denselben Divisor. Kannst du die Dividenden zuerst zusammenfassen?

1. a) Zerlege \(245\) in gut teilbare Teile: \(245:5=200:5+45:5=40+9=49\). 2. b) Beide Zahlen sind durch \(12\) teilbar: \((144-36):12=144:12-36:12=12-3=9\). 3. c) Beide Quotienten haben den Divisor \(11\): \(132:11+88:11=(132+88):11=220:11=20\).

a) \(245:5=200:5+45:5=49\) b) \((144-36):12=144:12-36:12=9\) c) \(132:11+88:11=(132+88):11=20\)

- Welche zwei Faktoren ergeben zusammen eine besonders einfache Zahl wie \(1000\)? - Bei einer Multiplikation darfst du die Faktoren vertauschen und neu zusammenfassen. - Welche Reihenfolge macht das Kopfrechnen leichter?

1. Der Term lautet \((125\cdot9)\cdot(8\cdot3)\). 2. Ordne die Faktoren passend um: \((125\cdot8)\cdot(9\cdot3)\). 3. Es gilt \(125\cdot8=1000\) und \(9\cdot3=27\). 4. Damit ist \(1000\cdot27=27\,000\).

\((125\cdot9)\cdot(8\cdot3)=(125\cdot8)\cdot(9\cdot3)=1000\cdot27=27\,000\)

- Achte darauf, welcher Quotient von welchem abgezogen wird. - Beide Quotienten haben denselben Divisor. - Prüfe, ob die Differenz der beiden Dividenden leichter zu berechnen ist als zwei getrennte Divisionen.

1. Der Term lautet \(1024:8-224:8\). 2. Beide Quotienten haben denselben Divisor \(8\). Deshalb kann zuerst die Differenz der Dividenden gebildet werden: \((1024-224):8\). 3. Es gilt \(1024-224=800\). 4. Damit ist \(800:8=100\).

\(1024:8-224:8=(1024-224):8=800:8=100\)

- Was passiert, wenn ein gemeinsamer Faktor in mehr als zwei Gliedern vorkommt? - Achte darauf, dass die Reihenfolge in einem Produkt (\(15 \cdot 7\) statt \(7 \cdot 15\)) die Anwendung des Gesetzes nicht ändert. - Denke bei Aufgaben wie \(d)\) und \(f)\) an den „unsichtbaren“ Faktor \(1\) beim letzten Glied. - Versuche, die Zahlen in der Klammer zuerst zu addieren oder zu subtrahieren.

1. Ausklammern der \(12\): \(12 \cdot (17 + 11 + 2) = 12 \cdot 30 = 360\). 2. Ausklammern der \(18\): \(18 \cdot (24 + 16) = 18 \cdot 40 = 720\). 3. Ausklammern der \(15\) (Kommutativgesetz beachten): \(15 \cdot (27 - 7) = 15 \cdot 20 = 300\). 4. Ausklammern der \(13\) mit dem Faktor \(1\) am Ende: \(13 \cdot (29 - 18 - 1) = 13 \cdot 10 = 130\). 5. Zusammenfassen der drei Summanden: \(19 \cdot (14 + 23 + 13) = 19 \cdot 50 = 950\). 6. Ausklammern der \(22\) mit dem Faktor \(1\) am Ende: \(22 \cdot (35 - 14 - 1) = 22 \cdot 20 = 440\).

a) \(12\cdot(17+11+2)=360\) b) \(18\cdot(24+16)=720\) c) \(15\cdot(27-7)=300\) d) \(13\cdot(29-18-1)=130\) e) \(19\cdot(14+23+13)=950\) f) \(22\cdot(35-14-1)=440\)

- Schau dir die drei Teile der Rechnung an. Welcher Faktor kommt überall vor? - Kannst du den letzten Teil der Rechnung (\(5 \cdot 4 \cdot 12\)) erst vereinfachen, bevor du ausklammerst? - Was passiert, wenn du alle Faktoren, die mit der \(12\) multipliziert werden, in einer Klammer zusammenfasst?

1. Zunächst wird das Teilprodukt am Ende berechnet: \(5 \cdot 4 = 20\). Der Ausdruck lautet nun: \(36 \cdot 12 + 14 \cdot 12 - 20 \cdot 12\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(12\): \((36 + 14 - 20) \cdot 12\). 3. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(36 + 14 = 50\); \(50 - 20 = 30\). 4. Endgültige Multiplikation: \(30 \cdot 12 = 360\).

\(36\cdot12+14\cdot12-5\cdot4\cdot12=36\cdot12+14\cdot12-20\cdot12=(36+14-20)\cdot12=30\cdot12=360\) Das entscheidende Rechengesetz ist das Distributivgesetz beim Ausklammern von \(12\); zuvor wird lediglich das Teilprodukt \(5\cdot4=20\) berechnet.

- Rechne die Schritte für die Zahl \(6\) nacheinander durch. - Kannst du \(25\cdot8\) zuerst zusammenfassen? - Was bewirkt anschließend die Division durch \(100\)?

1. Für die Startzahl \(6\): \(6\cdot25=150\), \(150\cdot8=1200\) und \(1200:100=12\). Die Hälfte von \(12\) ist wieder \(6\). 2. Allgemein gilt \(25\cdot8=200\). Die Startzahl wird also zuerst mit \(200\) multipliziert und danach durch \(100\) geteilt. 3. Das entspricht insgesamt einer Verdopplung, weil \(200:100=2\). Deshalb erhält man die Startzahl zurück, wenn man das Endergebnis halbiert.

a) Das Endergebnis für die Startzahl \(6\) ist \(12\). Die Hälfte davon ist wieder \(6\). b) Die Rechenschritte verdoppeln die Startzahl insgesamt, weil \(25\cdot8=200\) und \(200:100=2\). Durch Halbieren erhält man deshalb die Startzahl zurück.

- Rechne jede Aufgabe genau so, wie sie dasteht. - Prüfe bei a), ob beide Subtraktionen bei natürlichen Zahlen möglich sind. - Ein Rechengesetz passt nur, wenn der Wert beim Vertauschen oder Umklammern gleich bleibt.

1. \(50-20=30\). Die Rechnung \(20-50\) hat in den natürlichen Zahlen kein Ergebnis. Das Kommutativgesetz gilt deshalb nicht für die Subtraktion. 2. \((80:8):2=5\), aber \(80:(8:2)=20\). Das Assoziativgesetz gilt deshalb nicht für die Division. 3. Das Kommutativgesetz gilt bei Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen.

a) Nein. \(50-20=30\), aber \(20-50\) hat in den natürlichen Zahlen kein Ergebnis. b) Nein. \((80:8):2=5\), aber \(80:(8:2)=20\). c) Addition oder Multiplikation.

- Welche Zahl wird in Lukas' Rechenweg zerlegt, welche in Maries? - Schreibe die zerlegte Zahl jeweils als Summe. - Welches Rechengesetz verbindet das ursprüngliche Produkt mit den beiden Teilprodukten?

1. Lukas zerlegt \(16\) in \(10+6\): \(13\cdot10+13\cdot6=130+78=208\). 2. Marie zerlegt \(13\) in \(10+3\): \(10\cdot16+3\cdot16=160+48=208\). 3. In beiden Rechenwegen wird ein Faktor in zwei Teile zerlegt und der andere Faktor mit beiden Teilen multipliziert. Das ist das Distributivgesetz.

a) Lukas: \(208\); Marie: \(208\) b) Beide zerlegen einen Faktor in eine Summe und verteilen die Multiplikation auf beide Summanden. Verwendet wird das Distributivgesetz.

- Was passiert, wenn du einen Faktor als Summe schreibst? - Wie kannst du drei Faktoren in einem Produkt unterschiedlich zusammenfassen? - Vergleiche, was sich bei den beiden Zerlegungen jeweils ändert.

1. Zerlegung als Summe: \(25\cdot(10+2)=25\cdot10+25\cdot2=250+50=300\). Hier wird das Distributivgesetz genutzt. 2. Zerlegung als Produkt: \(25\cdot(4\cdot3)=(25\cdot4)\cdot3=100\cdot3=300\). Hier wird das Assoziativgesetz genutzt.

a) Als Summe: \(25\cdot(10+2)=25\cdot10+25\cdot2=300\) Als Produkt: \(25\cdot(4\cdot3)=(25\cdot4)\cdot3=300\) b) Zerlegung als Summe: Distributivgesetz; Zerlegung als Produkt: Assoziativgesetz.

- Welche Zahl ergibt zusammen mit 125 multipliziert genau 1000? - Wie könntest du die 16 aufteilen, um diese besondere Zahl zu erhalten? - Kannst du 16 in Zehner und Einer zerlegen?

1. Assoziativgesetz: Zerlegung der \(16\) in \(8 \cdot 2\). Rechnung: \(125 \cdot (8 \cdot 2) = (125 \cdot 8) \cdot 2 = 1000 \cdot 2 = 2000\). 2. Distributivgesetz: Zerlegung der \(16\) in \(10 + 6\). Rechnung: \(125 \cdot (10 + 6) = 125 \cdot 10 + 125 \cdot 6 = 1250 + 750 = 2000\). 3. Ergebnis: In beiden Fällen ist das Produkt \(2000\).

Ja, beide Gesetze sind anwendbar. Assoziativgesetz: \(125 \cdot 8 \cdot 2 = 2000\). Distributivgesetz: \(125 \cdot 10 + 125 \cdot 6 = 2000\).

- Achte bei den beiden einzelnen Divisionen nicht nur auf den Quotienten, sondern auch auf den Rest. - Was ergibt die Summe der beiden Reste? - Kann aus den beiden Resten noch eine vollständige Gruppe zu \(6\) entstehen?

1. a) \(25+11=36\), also \(36:6=6\). 2. b) \(25:6=4\,\text{Rest}\,1\) und \(11:6=1\,\text{Rest}\,5\). Die beiden Quotienten ergeben zusammen \(4+1=5\). 3. c) Die Ergebnisse \(6\) und \(5\) sind verschieden. Die Reste \(1\) und \(5\) ergeben zusammen \(6\). Dadurch entsteht beim gemeinsamen Teilen noch eine weitere vollständige Sechsergruppe.

a) \((25+11):6=6\) b) Die beiden Quotienten ergeben zusammen \(5\). c) Die Aussage ist falsch. Die Reste \(1\) und \(5\) ergeben zusammen noch eine weitere Sechsergruppe.

- Suche in a) und b) nach einem Faktor, dessen Division besonders einfach ist. - Vergleiche in c) die Anzahl der Hunderter mit der Anzahl der Fünfziger. - Wie viele Fünfziger stecken in genau einem Hunderter?

1. In a) gilt \(3100:25=(31\cdot100):25=31\cdot(100:25)=31\cdot4=124\). 2. In b) gilt \(6000:125=(6\cdot1000):125=6\cdot(1000:125)=6\cdot8=48\). 3. Für \(1300\) liefert Pauls Methode \(1300:100=13\) und danach \(13\cdot2=26\). Direkt gilt ebenfalls \(1300:50=26\). 4. Allgemein zählt das Teilen durch \(100\), wie viele Hunderter die Zahl enthält. Jeder Hunderter enthält genau zwei Fünfziger. Deshalb erhält man die Anzahl der Fünfziger, indem man die Anzahl der Hunderter verdoppelt.

a) \(124\) b) \(48\) c) Pauls Methode ist richtig. Für \(1300\) ergibt sie \(26\). Allgemein enthält jeder Hunderter zwei Fünfziger.

- Suche in jeder Klammer nach einer Division, die du leicht im Kopf rechnen kannst. - Achte in c) darauf, welche Faktoren im Dividend und im Divisor zusammenpassen. - Prüfe nach dem Einsetzen, ob die umgeformte Rechnung denselben Wert wie die Ausgangsaufgabe hat.

1. a) \(100 : 25 = 4\), also \(16 \cdot 4 = 64\). Die fehlenden Zahlen sind \(25\), \(4\) und \(64\). 2. b) \(1000 : 125 = 8\), also \(4 \cdot 8 = 32\). Die fehlenden Zahlen sind \(1000\), \(8\) und \(32\). 3. c) \(15 : 3 = 5\) und \(100 : 25 = 4\), also \(5 \cdot 4 = 20\). Die fehlenden Zahlen sind \(5\), \(4\) und \(20\).

a) \(16 \cdot (100 : 25) = 16 \cdot 4 = 64\) b) \(4 \cdot (1000 : 125) = 4 \cdot 8 = 32\) c) \(5 \cdot 4 = 20\)

- Lies zuerst die Maße beider gezeigten Kästchenfelder direkt aus der Abbildung ab. - Vergleiche dann die Breiten; die gemeinsame Zeilenzahl bleibt beim Ergänzen unverändert. - Beschreibe das ganze Feld einmal über seine Gesamtbreite und einmal als Summe der beiden Teilfelder.

1. Abbildung A zeigt \(6\) Zeilen und \(14\) Spalten. Abbildung B zeigt \(6\) Zeilen und \(10\) Spalten. 2. Beide Felder haben gleich viele Zeilen. In der Breite fehlen \(14-10=4\) Spalten. 3. Das Ergänzungsfeld hat daher \(6\) Zeilen und \(4\) Spalten. 4. Die Zerlegung lautet \(6\cdot14=6\cdot(10+4)=6\cdot10+6\cdot4\). Das ist das Distributivgesetz.

a) A: \(6\times14\), B: \(6\times10\) b) Ergänzungsfeld: \(6\times4\) c) \(6\cdot14=6\cdot(10+4)=6\cdot10+6\cdot4\)

- Rechne den Term zuerst von innen nach außen aus. - Prüfe, was passiert, wenn bei einer Differenz beide Zahlen um \(10\) größer werden. - Vergleiche danach die Änderungen der äußeren Zahl und der eckigen Klammer.

1. Von innen nach außen: \(150 - 50 = 100\), dann \(750 - 100 = 650\) und schließlich \(2500 - 650 = 1850\). 2. Werden \(150\) und \(50\) beide um \(10\) größer, bleibt ihre Differenz \(100\). 3. Dadurch wird die eckige Klammer um \(10\) größer: \(760 - 100 = 660\). 4. Gleichzeitig wird auch die äußere Zahl \(2500\) um \(10\) größer. Damit gilt \(2510 - 660 = 1850\). 5. Der Wert des Terms bleibt also unverändert.

Ausgangswert: \(1850\) Der Termwert bleibt \(1850\). Begründung: Die innere Differenz bleibt gleich. Dadurch werden der äußere Minuend und die eckige Klammer jeweils um \(10\) größer; ihre Differenz bleibt unverändert.

- Welche beiden addierten Zahlen ergeben zusammen eine runde Zahl? - Achte darauf, welche Werte tatsächlich abgezogen werden. - Gibt es danach zwei gleiche Zahlen, die sich gegenseitig aufheben?

1. Fasse zuerst \(45\) und \(55\) zusammen: \(45-17+55=45+55-17=100-17=83\). 2. Dann bleibt \(83-83+12\). 3. Es gilt \(83-83=0\), also ist das Ergebnis \(12\).

Zum Beispiel \(45-17+55=45+55-17=83\), danach \(83-83+12=12\)

- Rechne beide Wege vollständig aus und vergleiche sie. - Welche der auftretenden Divisionen kannst du leicht im Kopf lösen? - Für eine Aussage mit „immer“ reicht ein Gegenbeispiel, um sie zu widerlegen.

1. Zuerst die Klammer: \((1100-55):11=1045:11=95\). 2. Klammer auflösen: \(1100:11-55:11=100-5=95\). 3. Die Aussage ist falsch. In diesem Beispiel ist das Auflösen der Klammer einfacher, weil \(1100\) und \(55\) leicht durch \(11\) teilbar sind.

Das Ergebnis ist \(95\). Die Aussage ist falsch. Hier ist \(1100:11-55:11=100-5\) leichter zu rechnen als \(1045:11\).

- Prüfe zuerst den Fall, dass beide Zahlen gleich sind. - Überlege dann, was beim Vertauschen passiert, wenn eine Zahl größer als die andere ist. - Bleibe bei natürlichen Quotienten.

1. Sind Dividend und Divisor gleich, ändert das Vertauschen nichts. Zum Beispiel gilt \(5:5=1\). 2. Sind die Zahlen verschieden, ist eine größer als die andere. Teilt man die größere durch die kleinere und erhält eine natürliche Zahl, ist der Quotient mindestens \(2\). Nach dem Vertauschen ist der Dividend kleiner als der Divisor. Dann kann nicht wieder derselbe natürliche Quotient entstehen. 3. Der Quotient bleibt deshalb nur gleich, wenn Dividend und Divisor gleich sind. Beispiele: \(5:5=1\) und \(12:12=1\).

Der Quotient bleibt nur gleich, wenn Dividend und Divisor gleich sind. Dann ist der Quotient \(1\), zum Beispiel \(7:7=1\) oder \(100:100=1\).

- Vergleiche bei jeder Testrechnung Startzahl und Endergebnis. - Die Division durch \(3\) bezieht sich auf die ganze vorherige Summe. - Überlege, was beim Teilen durch \(3\) aus dem Dreifachen der Startzahl und aus \(15\) wird.

1. Für \(4\) gilt \((4\cdot3+15):3-5=27:3-5=9-5=4\). 2. Für \(10\) gilt \((10\cdot3+15):3-5=45:3-5=15-5=10\). 3. Für \(25\) gilt \((25\cdot3+15):3-5=90:3-5=30-5=25\). 4. Das Endergebnis ist jeweils die Startzahl. 5. Beim Teilen der ganzen Summe durch \(3\) wird aus dem Dreifachen der Startzahl wieder die Startzahl. Außerdem wird aus \(15\) die Zahl \(5\). Danach wird diese \(5\) wieder abgezogen. Deshalb bleibt die Startzahl übrig.

Man erhält immer wieder die Startzahl. Beim Teilen durch \(3\) wird aus dem Dreifachen wieder die Startzahl und aus \(15\) wird \(5\). Diese \(5\) wird am Ende wieder abgezogen.

- Betrachte jeden Stoffrest zunächst getrennt. - Wie viele vollständige \(20\,\text{cm}\)-Stücke passen jeweils hinein? - Dürfen die beiden übrig gebliebenen Reststücke laut Aufgabe verbunden werden?

1. Aus dem \(50\,\text{cm}\)-Stück entstehen \(50:20=2\) vollständige Bänder, Rest \(10\,\text{cm}\). 2. Aus dem \(75\,\text{cm}\)-Stück entstehen \(75:20=3\) vollständige Bänder, Rest \(15\,\text{cm}\). 3. Insgesamt sind \(2+3=5\) vollständige Bänder möglich. 4. Aylins Rechnung behandelt beide Stoffreste wie ein einziges langes Stück. Die beiden Reste von \(10\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) dürfen aber nicht verbunden werden.

Aylin erhält \(5\) vollständige Bänder. Ihr Fehler ist, dass sie zwei getrennte Stoffreste rechnerisch zu einem Stück zusammenfasst.

- Berechne bei a) und b) jeweils die linke und die rechte Seite getrennt. - Achte darauf, ob die Klammer im Dividenden oder im Divisor steht. - Ein Rechengesetz darf nur angewendet werden, wenn der Wert der Rechnung gleich bleibt.

1. a) Links gilt \((80+40):10=120:10=12\). Rechts gilt \(80:10+40:10=8+4=12\). Die Gleichung stimmt. 2. b) Links gilt \(120:(4+2)=120:6=20\). Rechts gilt \(120:4+120:2=30+60=90\). Die Gleichung stimmt nicht. 3. Paul hat nicht recht. Eine Summe im Dividenden kann auf die einzelnen Glieder verteilt werden; eine Summe im Divisor darf nicht auf diese Weise aufgelöst werden.

Paul hat nicht recht. a) Beide Seiten ergeben \(12\). b) Links ergibt sich \(20\), rechts \(90\). Das Distributivgesetz lässt sich bei der Division nicht auf eine Summe im Divisor anwenden.