Kostenlose Arbeitsblätter

- Schau dir die Endziffern der Zahlen an. Welche Zahlen ergeben zusammen eine glatte Zehner- oder Hunderterzahl? - Du darfst die Reihenfolge der Zahlen beim Addieren beliebig vertauschen. - Versuche zuerst Paare zu bilden, die sich leicht im Kopf zusammenrechnen lassen.

1. Anwendung des Vertauschungsgesetzes (Kommutativgesetz) und des Verbindungsgesetzes (Assoziativgesetz), um passende Paare zu bilden: \((64 + 36) + (19 + 81)\). 2. Berechnung der ersten Teilsumme: \(64 + 36 = 100\). 3. Berechnung der zweiten Teilsumme: \(19 + 81 = 100\). 4. Addition der Teilsummen: \(100 + 100 = 200\).

\(200\)

- Überlege, aus wie vielen Hundertern, Zehnern und Einern die Zahl besteht. - Das Verteilungsgesetz erlaubt es dir, jeden Teil einzeln zu multiplizieren. - Achte beim Zusammenrechnen der Ergebnisse auf die richtigen Stellenwerte.

1. Zerlegung der Zahl \(423\) in ihre Stellenwerte: \(400 + 20 + 3\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Summanden mit \(6\): \(400 \cdot 6 + 20 \cdot 6 + 3 \cdot 6\). 3. Berechnung der einzelnen Teilprodukte: \(2400 + 120 + 18\). 4. Addition der Teilprodukte zum Endergebnis: \(2538\).

\(423 \cdot 6 = (400 + 20 + 3) \cdot 6 = 400 \cdot 6 + 20 \cdot 6 + 3 \cdot 6 = 2400 + 120 + 18 = 2538\)

- Schau dir die letzten Stellen der Zahlen an. Welche Ziffern ergänzen sich zu 10 oder 100? - Die Reihenfolge der Zahlen in einer Additionsaufgabe darf vertauscht werden. - Gibt es eine Zahl, die fast eine „runde“ Zahl ist?

1. Suche nach Zahlenpaaren, die sich zu einer Zehner-, Hunderter- oder Tausenderzahl ergänzen. 2. Teilaufgabe a): \(367 + 633 = 1000\). Danach \(1000 + 149 = 1149\). 3. Teilaufgabe b): \(2450 + 550 = 3000\). Danach \(3000 + 871 = 3871\). 4. Teilaufgabe c): \(125 + 875 = 1000\). Danach \(1000 + 789 = 1789\). 5. Teilaufgabe d): \(444 + 556 = 1000\). Danach \(1000 + 99 = 1099\).

a) \(1149\) b) \(3871\) c) \(1789\) d) \(1099\)

- Schau dir die Einerstellen der Zahlen genau an. Welche Paare ergänzen sich zu einer Zehnerzahl? - Darf man bei einer reinen Plus-Rechnung die Reihenfolge der Zahlen ändern? - Kannst du Klammern so setzen oder weglassen, dass „schöne“ Zwischenergebnisse entstehen?

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Kommutativgesetzes zum Vertauschen der Summanden: \(245 + 355 + 178\). Zusammenfassen der ersten beiden Zahlen ergibt \(600\). Addition der restlichen Zahl: \(600 + 178 = 778\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Assoziativgesetzes zum Umklammern: \((64 + 136) + 482\). Die Summe in der Klammer ergibt \(200\). Addition der restlichen Zahl: \(200 + 482 = 682\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes: \((712 + 288) + 599\). Die Klammer ergibt \(1000\). Addition der restlichen Zahl: \(1000 + 599 = 1599\).

a) \(778\) (Kommutativgesetz) b) \(682\) (Assoziativgesetz) c) \(1599\) (Kommutativ- und Assoziativgesetz)

- Schau dir die Endziffern der Zahlen genau an. Welche passen gut zusammen? - Darfst du bei einer Plusrechnung die Reihenfolge der Zahlen verändern? - Gibt es zwei Zahlen, die zusammen eine besonders einfache Zahl (wie 100 oder 1000) ergeben?

1. Erkennen, dass die Einerstellen von \(327\) und \(673\) sich zu \(10\) ergänzen (\(7 + 3 = 10\)), was auf eine glatte Summe hindeutet. 2. Anwendung des Kommutativgesetzes (Vertauschungsgesetz), um die Summanden umzusortieren: \(327 + 673 + 158\). 3. Anwendung des Assoziativgesetzes (Verbindungsgesetz), um die ersten beiden Zahlen zuerst zu addieren: \((327 + 673) + 158\). 4. Berechnung der Teilsumme: \(327 + 673 = 1\,000\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(1\,000 + 158 = 1\,158\).

Sophie rechnet \((327 + 673) + 158 = 1\,000 + 158 = 1\,158\).

- Gibt es Zahlen, die zusammen genau \(100\) oder eine andere Hunderterzahl ergeben? - Manchmal hilft es, Zahlen mit den Endungen \(...5\) oder passende Einerstellen wie \(8\) und \(2\) zu kombinieren. - Vergiss am Ende nicht die Zahlen, die kein direktes „Gegenstück“ für eine glatte Summe haben.

1. Gruppieren der Summanden zu vorteilhaften Teilsummen: \((235 + 165) + (88 + 12) + 50\). 2. Berechnung der Summe des ersten Paares: \(235 + 165 = 400\). 3. Berechnung der Summe des zweiten Paares: \(88 + 12 = 100\). 4. Zusammenfassen aller Zwischenergebnisse: \(400 + 100 + 50 = 550\).

\(550\)

- Was passiert, wenn du die erste und die letzte Zahl addierst? - Überlege, ob dieses Ergebnis auch bei anderen Paaren (z. B. zweite und vorletzte Zahl) auftritt. - Wie oft kannst du solche Paare in der Zahlenreihe von \(1\) bis \(80\) finden? - Welche Rechenoperation hilft dir, wenn du viele gleiche Summanden addieren musst?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes (Vertauschungsgesetz) zum Umordnen und des Assoziativgesetzes (Verbindungsgesetz) zum Bilden von Klammern. 2. Bestimmung der Anzahl der Paare durch Division der Gesamtzahl der Summanden durch \(2\): \(80 : 2 = 40\) Paare. 3. Berechnung der Summe eines Paares: \(1 + 80 = 81\). 4. Berechnung des Gesamtergebnisses durch Multiplikation der Paaranzahl mit der Paarsumme: \(40 \cdot 81 = 3240\).

1. Kommutativgesetz und Assoziativgesetz 2. \(40\) Paare 3. \(81\) 4. \(3240\)

- Schau dir die Einerstellen der Zahlen genau an. Welche Zahlen ergeben zusammen eine glatte Zehner- oder Hunderterzahl? - Du darfst die Reihenfolge der Zahlen bei einer reinen Plusrechnung beliebig verändern. - Klammern können dir helfen, Teilrechnungen übersichtlicher zu machen.

1. Anwendung des Kommutativgesetzes (Vertauschungsgesetz), um Summanden zu gruppieren, die sich zu glatten Hunderter- oder Tausenderzahlen ergänzen: \(425 + 575\) und \(187 + 313\). 2. Anwendung des Assoziativgesetzes (Verbindungsgesetz), um die Teilsummen zu berechnen: \((425 + 575) + (187 + 313) + 450\). 3. Berechnung der Teilsummen: \(1000 + 500 + 450\). 4. Addition der Ergebnisse: \(1500 + 450 = 1950\).

Das Ergebnis ist \(1950\). Verwendet wurden das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.

- Kannst du die Zahlen in einer anderen Reihenfolge multiplizieren, um auf eine 10, 100 oder 1000 zu kommen? - Gibt es bei der Additionsaufgabe eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Überlege, ob du Klammern setzen kannst, um zwei Faktoren zuerst zusammenzufassen.

1. Durch Umstellen der Faktoren (Kommutativ- und Assoziativgesetz) werden Teilprodukte gebildet, die Zehner- oder Hunderterpotenzen ergeben: a) \((25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1\,700\) b) \((125 \cdot 8) \cdot 11 = 1\,000 \cdot 11 = 11\,000\) c) \((5 \cdot 20) \cdot 42 = 100 \cdot 42 = 4\,200\) 2. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern): d) \(63 \cdot (8 + 2) = 63 \cdot 10 = 630\)

a) \(1\,700\) b) \(11\,000\) c) \(4\,200\) d) \(630\)

- Gibt es Paare von Zahlen, deren Produkt eine besonders einfache Zahl wie 10, 100 oder 1000 ergibt? - Darfst du die Reihenfolge der Zahlen bei einer reinen Mal-Aufgabe verändern? - Welche Zahl lässt sich am leichtesten mit den anderen multiplizieren, wenn sie am Ende steht?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes zum Umstellen der Faktoren und des Assoziativgesetzes zum Zusammenfassen. 2. Teilaufgabe a): \((5 \cdot 2) \cdot 23 = 10 \cdot 23 = 230\). 3. Teilaufgabe b): \((25 \cdot 4) \cdot 14 = 100 \cdot 14 = 1400\). 4. Teilaufgabe c): \((2 \cdot 50) \cdot 47 = 100 \cdot 47 = 4700\). 5. Teilaufgabe d): \((125 \cdot 8) \cdot 11 = 1000 \cdot 11 = 11\,000\).

a) \(230\) b) \(1400\) c) \(4700\) d) \(11\,000\)

- Kannst du die Zahlen in der Klammer einzeln gut durch die Zahl hinter dem Geteiltzeichen teilen? - Überlege, ob es einfacher ist, eine große Zahl zu teilen oder zwei kleinere Zahlen. - Was passiert mit dem Rechenzeichen in der Klammer, wenn du sie auflöst?

1. Teilaufgabe a) Art 1: \((400 + 56) : 8 = 456 : 8 = 57\) Art 2: \(400 : 8 + 56 : 8 = 50 + 7 = 57\) 2. Teilaufgabe b) Art 1: \((600 - 42) : 6 = 558 : 6 = 93\) Art 2: \(600 : 6 - 42 : 6 = 100 - 7 = 93\) 3. Begründung: Art 2 ist oft geschickter, da die Divisionen \(400 : 8\), \(56 : 8\), \(600 : 6\) und \(42 : 6\) einfache Kopfrechenaufgaben sind, während die Divisionen \(456 : 8\) und \(558 : 6\) schwieriger im Kopf zu lösen sind.

a) \(57\); b) \(93\). Das Auflösen der Klammern ist hier geschickter, da die Einzelzahlen Vielfache des Divisors sind und sich so leichter im Kopf teilen lassen.

- Kannst du die größere Zahl in Zehner und Einer aufteilen? - Wie hilft es dir, erst die Zehner und dann die Einer einzeln zu multiplizieren? - Was musst du am Ende mit den beiden Teilergebnissen machen?

1. Zerlegung von \(42\) in \(40 + 2\): \(40 \cdot 6 + 2 \cdot 6 = 240 + 12 = 252\). 2. Zerlegung von \(83\) in \(80 + 3\): \(80 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 320 + 12 = 332\).

a) \(252\) b) \(332\)

- Fällt dir in beiden Produkten eine Zahl auf, die in beiden vorkommt? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du diese gemeinsame Zahl zuerst beiseite lässt und die anderen beiden Zahlen addierst? - Welches Rechengesetz erlaubt es, einen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer zu ziehen?

1. Aufstellen des Terms: \((47 \cdot 19) + (47 \cdot 81)\) 2. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(47\)): \(47 \cdot (19 + 81)\) 3. Berechnung der Summe in der Klammer: \(19 + 81 = 100\) 4. Multiplikation des Faktors mit der Summe: \(47 \cdot 100 = 4\,700\)

\((47 \cdot 19) + (47 \cdot 81) = 47 \cdot (19 + 81) = 47 \cdot 100 = 4\,700\)

- Schau dir zuerst die Zahlen in den Klammern genau an. - Ergeben die Zahlen in der Klammer zusammen eine besonders einfache Zahl wie 10, 20 oder 100? - Überlege, ob Punkt-vor-Strich hier wirklich der schnellste Weg ist oder ob die Klammer Vorrang hat.

1. In allen Teilaufgaben ist es vorteilhaft, zuerst den Wert der Klammer zu bestimmen, da dieser eine „runde“ Zahl ergibt. 2. Teilaufgabe a): Berechnung der Klammer \((15 + 5) = 20\). Anschließend Multiplikation \(20 \cdot 24 = 480\). 3. Teilaufgabe b): Berechnung der Klammer \((18 - 8) = 10\). Anschließend Multiplikation \(73 \cdot 10 = 730\). 4. Teilaufgabe c): Berechnung der Klammer \((125 - 25) = 100\). Anschließend Multiplikation \(100 \cdot 9 = 900\).

a) \(480\) b) \(730\) c) \(900\)

- Gibt es Zahlenpaare, die zusammen eine besonders „glatte“ Zahl wie 100 oder 1000 ergeben? - Darfst du bei reinen Plus- oder Malaufgaben die Reihenfolge der Zahlen beliebig verändern? - Welche Produkte wie zum Beispiel \(4 \cdot 25\) oder \(8 \cdot 125\) sind besonders hilfreich beim Rechnen? - Versuche, die Zahlen so zu sortieren, dass du möglichst viel im Kopf rechnen kannst.

1. Umstellen und Zusammenfassen: \((145 + 55) + 78 = 200 + 78 = 278\). 2. Vertauschen der Faktoren: \((25 \cdot 4) \cdot 13 = 100 \cdot 13 = 1300\). 3. Gruppieren zu glatten Hundertern: \((125 + 75) + (66 + 34) = 200 + 100 = 300\). 4. Nutzen des Produkts \(8 \cdot 125 = 1000\): \((8 \cdot 125) \cdot 17 = 1000 \cdot 17 = 17\,000\). 5. Geschickte Paarbildung: \((4 \cdot 25) \cdot (9 \cdot 2) = 100 \cdot 18 = 1800\). 6. Kombination passender Summanden: \((350 + 150) + (129 + 71) = 500 + 200 = 700\).

a) \(278\) b) \(1300\) c) \(300\) d) \(17\,000\) e) \(1800\) f) \(700\)

- Rechne beide Aufgaben nacheinander aus. - Vergleiche die Ergebnisse: Sind sie genau gleich? - Überlege, was passiert, wenn du eine kleine Zahl durch eine größere Zahl teilst.

1. \(24:6=4\). 2. Beim vertauschten Term \(6:24\) ist \(24\) kein Teiler von \(6\); der Term hat daher keinen natürlichen Quotienten. 3. Beim Vertauschen ändern sich die Werte beziehungsweise die Lösbarkeit in \(\mathbb N\). Das Kommutativgesetz gilt für die Division nicht.

Lukas hat nicht recht. Es gilt \(24:6=4\), während \(6:24\) keinen natürlichen Quotienten hat. Die Division ist nicht kommutativ.

- Schau dir an, welche Zahl in den Rechnungen auf der linken Seite doppelt vorkommt. - Überlege, wie man eine Zahl, die in einer Summe oder Differenz bei beiden Malrechnungen dabei ist, vor oder hinter eine Klammer schreiben kann. - Vergleiche die linke Seite der Gleichung genau mit der rechten Seite – oft stehen die Zahlen schon fast da.

1. In Teilaufgabe a) wird die Zahl \(14\) ausgeklammert, da sie in beiden Produkten als Faktor vorkommt. Somit ist \(\square = 14\). 2. In Teilaufgabe b) wird der gemeinsame Faktor \(5\) nach hinten ausgeklammert. Somit ist \(\triangle = 5\). 3. In Teilaufgabe c) wird das Distributivgesetz angewendet: \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\). Durch Vergleich der Terme ergibt sich \(a = 20\), \(b = 12\) und \(c = 9\). Also ist \(\triangle = 20\) und \(\square = 9\). 4. In Teilaufgabe d) wird der Faktor \(15\) beibehalten. Der Ausdruck in der Klammer \((11 - 4)\) zeigt, dass von der \(11\) die \(4\) abgezogen wird. Somit ist \(\square = 4\).

a) \(\square = 14\) b) \(\triangle = 5\) c) \(\triangle = 20\); \(\square = 9\) d) \(\square = 4\)

- Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Klammern vorkommt? - Kannst du die Reihenfolge der Faktoren in einem Produkt ändern? - Gibt es eine Möglichkeit, die Rechnung zu vereinfachen, indem du eine Zahl „ausklammerst“?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes, um den gemeinsamen Faktor \(38\) in beiden Summanden an die gleiche Stelle zu bringen: \(38 \cdot 63 + 38 \cdot 37\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors: \(38 \cdot (63 + 37)\). 3. Berechnung der Klammer: \(63 + 37 = 100\). 4. Endberechnung: \(38 \cdot 100 = 3\,800\).

\(3\,800\); Distributivgesetz (und Kommutativgesetz)

- Fällt dir eine Zahl auf, die in jedem Teil der Summe vorkommt? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du diese Zahl vor eine Klammer schreibst? - Rechne zuerst aus, was in der Klammer steht, bevor du multiplizierst.

1. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern des gemeinsamen Faktors \( 17 \)): \( 17 \cdot (8 - 3 + 5) \). 2. Berechnung des Klammerausdrucks: \( 8 - 3 + 5 = 10 \). 3. Finale Multiplikation: \( 17 \cdot 10 = 170 \).

\( 170 \)

- Überlege, was sich in der Rechnung verändert hat: Wurden Zahlen vertauscht? - Wurden Klammern anders gesetzt, um die Reihenfolge der Rechnung zu ändern? - Wurde eine Zahl mit einer Summe oder Differenz „verteilt“?

1. In Aufgabenteil a) wurden die Summanden \(57\) und \(72\) vertauscht, was dem Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) der Addition entspricht. 2. In Aufgabenteil b) wurden sowohl die Faktoren vertauscht als auch die Klammern anders gesetzt, um \(4 \cdot 25\) bevorzugt zu rechnen. Dies nutzt das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Multiplikation. 3. In Aufgabenteil c) wurde der gemeinsame Faktor \(9\) ausgeklammert, was die Anwendung des Distributivgesetzes (Verteilungsgesetz) darstellt.

a) Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) b) Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) c) Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

- Überlege dir, wie viele Bälle eine einzelne Mannschaft bekommt. - Wie würdest du rechnen, wenn du erst alle Fußbälle und dann alle Basketbälle zählen würdest? - Schau dir an, wie die Zahlen im Term angeordnet sind. Erinnert dich das an das „Verteilen“ einer Zahl?

1. Aufstellen des ersten Terms durch Addition der Bälle pro Mannschaft und anschließende Multiplikation: \(8 \cdot (5 + 3) = 8 \cdot 8 = 64\). 2. Aufstellen des zweiten Terms durch getrennte Berechnung der Ballarten: \(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 40 + 24 = 64\). 3. Vergleich der Strukturen zeigt, dass ein Faktor auf die Summanden in der Klammer verteilt wurde, was dem Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) entspricht.

a) \(8 \cdot (5 + 3)\) und \(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3\) (oder umgekehrt) b) Distributivgesetz

- Überlege dir, wie du eine Zahl so aufteilen kannst, dass du mit der Zahl 5 multiplizieren kannst. - Das kleine Einmaleins mit der 5 ist oft einfacher zu rechnen. - Vergiss nicht, den Rest der zerlegten Zahl ebenfalls mit dem anderen Faktor zu multiplizieren.

1. Für \(6 \cdot 7\): Zerlegung in \((5 + 1) \cdot 7 = 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7 = 35 + 7 = 42\). 2. Für \(7 \cdot 8\): Zerlegung in \((5 + 2) \cdot 8 = 5 \cdot 8 + 2 \cdot 8 = 40 + 16 = 56\). 3. Für \(8 \cdot 9\): Zerlegung in \((5 + 3) \cdot 9 = 5 \cdot 9 + 3 \cdot 9 = 45 + 27 = 72\).

a) \(42\) b) \(56\) c) \(72\)

- Kannst du eine der Zahlen so aufteilen, dass du einfacher mit ihr rechnen kannst? - Was passiert, wenn du erst mit \(10\) und dann mit dem Rest multiplizierst? - Hilft es dir, die Aufgabe in zwei kleinere Plus-Aufgaben zu zerlegen?

1. Zerlegung des zweiten Faktors in \(10 + 3\): \(12 \cdot 10 + 12 \cdot 3 = 120 + 36 = 156\). 2. Zerlegung des zweiten Faktors in \(10 + 2\): \(16 \cdot 10 + 16 \cdot 2 = 160 + 32 = 192\). 3. Zerlegung des zweiten Faktors in \(10 + 5\): \(14 \cdot 10 + 14 \cdot 5 = 140 + 70 = 210\).

a) \(156\) b) \(192\) c) \(210\)

- Kannst du die Zahl 14 als Summe schreiben? - Kannst du die Zahl 14 als Produkt von zwei kleineren Zahlen schreiben? - Gibt es eine Kombination von Zahlen, die besonders einfach zu multiplizieren ist, wie zum Beispiel 2 und 5?

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(14 \cdot 5 = (10 + 4) \cdot 5 = 10 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 50 + 20 = 70\). 2. Anwendung des Assoziativgesetzes: \(14 \cdot 5 = (7 \cdot 2) \cdot 5 = 7 \cdot (2 \cdot 5) = 7 \cdot 10 = 70\). 3. Beide Wege führen zum selben Ergebnis \(70\). Der zweite Weg nutzt die Bildung der Stufenzahl \(10\), was das Rechnen vereinfacht.

1. \(10 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 70\) 2. \(7 \cdot (2 \cdot 5) = 70\) 3. Individuelle Antwort (z. B. Weg 2 ist einfacher, da \(7 \cdot 10\) direkt im Kopf geht).

- Kannst du eine der Zahlen so in eine Summe zerlegen, dass eine Zahl mit vielen Nullen entsteht? - Welches Rechengesetz hilft dir, eine Klammer der Form \((a + b) \cdot c\) aufzulösen? - Versuche, die Multiplikation in zwei einfachere Rechnungen aufzuteilen.

1. Zerlegung des ersten Faktors: \(2001 = 2000 + 1\) 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \((2000 + 1) \cdot 432 = 2000 \cdot 432 + 1 \cdot 432\) 3. Teilberechnungen: \(864\,000 + 432\) 4. Endergebnis: \(864\,432\)

\(864\,432\)

- Überlege dir, welche Rechenoperationen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) in den Beschreibungen vorkommen. - Erinnere dich an die Namen der Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz. - Was bedeuten die Begriffe „Summand“, „Faktor“ und „Summe“?

1. Übersetzung der Vertauschbarkeit bei der Multiplikation in die Formel des Kommutativgesetzes: \(a \cdot b = b \cdot a\). 2. Darstellung der beliebigen Gruppierung bei der Addition durch das Assoziativgesetz: \((a + b) + c = a + (b + c)\). 3. Formulierung der Verteilung einer Multiplikation über eine Addition als Distributivgesetz: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\).

a) \(a \cdot b = b \cdot a\) b) \((a + b) + c = a + (b + c)\) c) \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)

- Überlege, ob sich das Ergebnis ändert, wenn du die Reihenfolge der Zahlen vertauschst. - Gilt jede Regel für alle vier Grundrechenarten gleich? - Wie heißen die Gesetze, bei denen es um das Vertauschen von Zahlen oder das Setzen von Klammern geht?

1. Überprüfung von a): \(14 + 89 = 103\) und \(89 + 14 = 103\). Die Aussage ist wahr. Es handelt sich um das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) der Addition. 2. Überprüfung von b): \(25 \cdot (4 \cdot 13) = 25 \cdot 52 = 1300\) und \((25 \cdot 4) \cdot 13 = 100 \cdot 13 = 1300\). Die Aussage ist wahr. Es handelt sich um das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Multiplikation. 3. Überprüfung von c): \(100 - 30 = 70\). Da \(30 - 100\) im Bereich der natürlichen Zahlen kein Ergebnis hat (bzw. ein negatives Ergebnis liefert), ist die Aussage falsch. Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion.

a) wahr (Kommutativgesetz) b) wahr (Assoziativgesetz) c) falsch

- Schau dir an, welche Zahlen in der Klammer Sinn ergeben, um die Division im Kopf zu lösen. - Überlege bei Teil c, wie die Faktoren der ersten Zahl (\( 15 \) und \( 100 \)) zu den Faktoren der zweiten Zahl (\( 3 \) und \( 25 \)) passen könnten.

1. Vervollständigung für \( 1600 : 25 \): \( 100 : 25 = 4 \). Dann \( 16 \cdot 4 = 64 \). 2. Vervollständigung für \( 4000 : 125 \): Die fehlende Zahl in der Klammer ist \( 1000 \). Es gilt \( 1000 : 125 = 8 \). Dann \( 4 \cdot 8 = 32 \). 3. Vervollständigung für \( 1500 : 75 \): \( 15 : 3 = 5 \) und \( 100 : 25 = 4 \). Dann \( 5 \cdot 4 = 20 \).

a) \( 16 \cdot (100 : 25) = 16 \cdot 4 = 64 \) b) \( 4 \cdot (1000 : 125) = 4 \cdot 8 = 32 \) c) \( 5 \cdot 4 = 20 \)

- Wie hängen die Zahlen \(197\), \(200\) und \(3\) zusammen? - Erinnerst du dich an die Namen der Rechengesetze (Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz)? - Kannst du die \(305\) in zwei Zahlen zerlegen, mit denen man besonders leicht multiplizieren kann?

1. Bestimmung des Rechengesetzes: Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) der Multiplikation bezüglich der Subtraktion bzw. Addition. 2. Berechnung für b): \(200 \cdot 3 = 600\) und \(3 \cdot 3 = 9\). Die Differenz ist \(600 - 9 = 591\). 3. Berechnung für c): Zerlegung von \(305\) in \(300 + 5\). 4. Anwendung des Distributivgesetzes: \(305 \cdot 6 = (300 + 5) \cdot 6 = 300 \cdot 6 + 5 \cdot 6\). 5. Ergebnis: \(1800 + 30 = 1830\).

a) Distributivgesetz (Verteilungsgesetz). b) \(197 \cdot 3 = 600 - 9 = 591\). c) \(305 \cdot 6 = (300 + 5) \cdot 6 = 1800 + 30 = 1830\).

- Kannst du eine der Zahlen in eine Summe oder Differenz zerlegen, mit der man leichter rechnen kann? - Gibt es Faktoren wie 4 oder 25, die zusammen eine „schöne“ Zahl wie 100 ergeben? - Hilft es dir, erst mit einer runden Zahl (wie 20 oder 100) zu rechnen und dann etwas abzuziehen oder dazuzutun?

1. Berechnung von \(12 \cdot 15\): Zerlegung von \(15\) in \(10 + 5\). Rechnung: \(12 \cdot 10 + 12 \cdot 5 = 120 + 60 = 180\). 2. Berechnung von \(25 \cdot 36\): Zerlegung von \(36\) in \(4 \cdot 9\). Rechnung: \(25 \cdot 4 \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900\). 3. Berechnung von \(19 \cdot 8\): Nutzung der Nachbarzahl \(20\). Rechnung: \((20 - 1) \cdot 8 = 160 - 8 = 152\). 4. Berechnung von \(102 \cdot 7\): Zerlegung von \(102\) in \(100 + 2\). Rechnung: \(100 \cdot 7 + 2 \cdot 7 = 700 + 14 = 714\).

a) \(180\) b) \(900\) c) \(152\) d) \(714\)

- Gibt es zwei Zahlen, die zusammen eine besonders „glatte“ Zahl ergeben (z. B. 100 oder 1000)? - Darfst du bei der Addition die Reihenfolge der Zahlen verändern? - Kannst du mehrere Abzüge zu einem großen Abzug zusammenfassen?

1. Für a) Summanden tauschen: \((438 + 162) + 275 = 600 + 275 = 875\). 2. Für b) nacheinander subtrahieren oder Subtrahenden zusammenfassen: \(5\,600 - (1\,200 + 400) = 5\,600 - 1\,600 = 4\,000\). 3. Für c) Summanden tauschen: \((125 + 875) + 999 = 1\,000 + 999 = 1\,999\). 4. Für d) beide Abzüge zusammenrechnen: \(10\,000 - (2\,500 + 3\,500) = 10\,000 - 6\,000 = 4\,000\).

a) \(875\) b) \(4\,000\) c) \(1\,999\) d) \(4\,000\)

- Welche Zahlen lassen sich besonders leicht zusammenrechnen? - Gibt es bei der Multiplikation Paare, die eine Stufenzahl (10, 100, 1000...) ergeben? - Du darfst Zahlen in einer Summe oder einem Produkt beliebig vertauschen.

1. Teilaufgabe a): Gruppieren der Summanden zu glatten Hundertern: \((389 + 111) + (250 + 750)\). Dies ergibt \(500 + 1000 = 1500\). 2. Teilaufgabe b): Vertauschen der Summanden (Kommutativgesetz): \(123 + 77 + 456\). Zusammenfassen der ersten beiden Zahlen ergibt \((123 + 77) + 456 = 200 + 456 = 656\). 3. Teilaufgabe c): Vertauschen der Faktoren beim Multiplizieren: \(5 \cdot 20 \cdot 17\). Zuerst \(5 \cdot 20 = 100\) berechnen, dann \(100 \cdot 17 = 1700\).

a) \(1500\) b) \(656\) c) \(1700\)

- Suche nach Partner-Zahlen, die zusammen genau 100 ergeben. - Wie viele solcher Paare kannst du in der Liste finden? - Wenn du alle Paare gefunden hast, musst du nur noch die Zwischenergebnisse addieren.

1. Identifikation von Paaren, die glatte Hunderter ergeben: \(13 + 87 = 100\), \(26 + 74 = 100\) und \(39 + 61 = 100\). 2. Anwendung des Kommutativgesetzes zum Umstellen der Rechnung: \((13 + 87) + (26 + 74) + (39 + 61)\). 3. Berechnung der Teilsummen: \(100 + 100 + 100\). 4. Endergebnis: \(300\).

\(300\)

- Gibt es zwei Zahlen, deren Produkt eine Stufenzahl (10, 100, 1000...) ergibt? - Spielt die Reihenfolge bei einer Malrechnung eine Rolle für das Ergebnis? - Was ist einfacher: Erst mal 17 zu rechnen oder erst die beiden anderen Zahlen zu multiplizieren?

1. Identifikation vorteilhafter Faktoren: Das Produkt \(4 \cdot 25\) ergibt die glatte Zahl \(100\). 2. Umstellen der Faktoren mithilfe des Kommutativgesetzes: \(4 \cdot 25 \cdot 17\). 3. Zusammenfassen der Faktoren mithilfe des Assoziativgesetzes: \((4 \cdot 25) \cdot 17\). 4. Berechnung des ersten Produkts: \(100 \cdot 17\). 5. Bestimmung des Endergebnisses: \(1\,700\).

\(4 \cdot 17 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1\,700\)

- Hier wurde eine Zahl in Zehner und Einer zerlegt. - Wie viel ergeben die beiden Teilschritte einzeln? - Was musst du am Ende mit den beiden Teilergebnissen tun?

1. Anwendung des Distributivgesetzes (Verteilungsgesetz), um die Zahl \(12\) in \(10 + 2\) zu zerlegen: \(15 \cdot (10 + 2)\). 2. Ausmultiplizieren der Klammer: \(15 \cdot 10 + 15 \cdot 2\). 3. Berechnung der Teilprodukte: \(15 \cdot 10 = 150\) und \(15 \cdot 2 = 30\). 4. Addition der Teilbeträge: \(150 + 30 = 180\). 5. Das Gesamtergebnis beträgt \(180\,\text{€}\).

Der Kioskbesitzer rechnet: \(15 \cdot 12 = 15 \cdot 10 + 15 \cdot 2 = 150 + 30 = 180\). Er muss insgesamt \(180\,\text{€}\) bezahlen.

- Suche nach Zahlen, die sich zu einem vollen Tausender ergänzen lassen. - Achte besonders auf die Hunderter- und Zehnerstellen der Zahlen. - Kannst du die Aufgabe in zwei einfachere Teilrechnungen zerlegen?

1. Identifikation der Summanden, die sich zu vollen Tausendern ergänzen: \((1250 + 750)\) und \((4300 + 1700)\). 2. Berechnung der ersten Klammer: \(1250 + 750 = 2000\). 3. Berechnung der zweiten Klammer: \(4300 + 1700 = 6000\). 4. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(2000 + 6000 = 8000\).

\(8000\)

- Schreibe dir die ersten und die letzten Glieder der Summe auf. - Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen, wenn du Zahlen von den äußeren Rändern her zusammenfügst? - Wie viele Reihen hat der Stapel insgesamt? - Wie viele Paare entstehen, wenn du immer zwei Reihen zusammenfasst?

1. Aufstellen der Summe der natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(40\): \(1 + 2 + 3 + \dots + 40\). 2. Gruppieren der Summanden zu Paaren: \(1 + 40 = 41\), \(2 + 39 = 41\) usw. Es ergeben sich \(40 : 2 = 20\) Paare. 3. Berechnung des Gesamtergebnisses: \(20 \cdot 41 = 820\). 4. Begründung: Die \(40\) Zahlen werden durch das Kommutativ- und Assoziativgesetz paarweise so kombiniert, dass jedes der \(20\) Paare die gleiche Summe \(41\) ergibt.

1. \(1 + 2 + 3 + \dots + 40\) 2. \(820\) Äpfel 3. Man bildet \(20\) Paare mit der Summe \(41\).

- Gibt es Zahlen, die fast identische Endziffern haben? Es könnte hilfreich sein, diese zuerst voneinander abzuziehen. - Suche nach Paaren, die zusammen eine einfache Zahl wie \(100\), \(200\) oder \(500\) ergeben. - Achte darauf, dass das Rechenzeichen vor einer Zahl immer mit der Zahl zusammen „wandert“.

1. Ordne die Glieder mitsamt ihren Rechenzeichen so um, dass passende Zahlen beieinanderstehen: \(864-364+257+43\). 2. Fasse die passenden Paare zusammen: \((864-364)+(257+43)\). 3. Berechne die erste Differenz: \(864-364=500\). 4. Berechne die zweite Summe: \(257+43=300\). 5. Addiere die Teilergebnisse: \(500+300=800\).

\(800\)

- Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Multiplikationen vorkommt? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du diese gemeinsame Zahl „vor die Klammer“ ziehst? - Was ergibt die Summe der beiden anderen Zahlen? Ist das eine besonders einfache Zahl zum Weiterrechnen?

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors: In beiden Produkten kommt der Faktor \(14\) vor. 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern: \(14 \cdot (63 + 37)\). 3. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(63 + 37 = 100\). 4. Multiplikation des Faktors mit der Klammersumme: \(14 \cdot 100 = 1400\).

\(14 \cdot 63 + 14 \cdot 37 = 14 \cdot (63 + 37) = 14 \cdot 100 = 1400\)

- Darfst du die Reihenfolge der Zahlen beim Malnehmen vertauschen? - Gibt es Paare von Zahlen, die multipliziert eine besonders einfache Zahl wie 10, 100 oder 1000 ergeben? - Wie kannst du beim Teilen mit großen Zahlen, die auf Null enden, vereinfachen? - Schau dir die Nullen genau an – wie viele kommen in das Endergebnis?

1. Lösung für a): Vertauschen der Faktoren zu \((4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1\,900\). 2. Lösung für b): Multiplikation der Grundzahlen \(8 \cdot 6 = 48\) und Anhängen der drei Nullen ergibt \(48\,000\). 3. Lösung für c): Kürzen einer Null bei beiden Zahlen führt zu \(5\,400 : 9\). Da \(54 : 9 = 6\), ist das Ergebnis \(600\). 4. Lösung für d): Vertauschen der Faktoren zu \((2 \cdot 50) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3\,700\).

a) \(1\,900\) b) \(48\,000\) c) \(600\) d) \(3\,700\)

- Schau dir die Endziffern der Zahlen an. Welche Kombinationen führen zu einer Null am Ende? - Kannst du Klammern in Gedanken so setzen, dass du zuerst die „schönen“ Zahlen multiplizierst? - Überlege dir, wie oft die 250 in die 1000 passt. Hilft dir das bei Aufgabe d)?

1. Strategisches Gruppieren von Faktoren zur Erzeugung von Stufenzahlen. 2. Teilaufgabe a): \((4 \cdot 5 \cdot 5) \cdot 19 = (4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1900\). 3. Teilaufgabe b): \((8 \cdot 125) \cdot 15 = 1000 \cdot 15 = 15\,000\). 4. Teilaufgabe c): \((2 \cdot 5) \cdot 10 \cdot 13 = 10 \cdot 10 \cdot 13 = 100 \cdot 13 = 1300\). 5. Teilaufgabe d): \((250 \cdot 4) \cdot 7 = 1000 \cdot 7 = 7000\).

a) \(1900\) b) \(15\,000\) c) \(1300\) d) \(7000\)

- Schau dir an, ob in der Aufgabe eine Klammer steht oder ob eine Zahl in zwei Produkten doppelt vorkommt. - Wenn eine Zahl vor oder hinter einer Klammer steht, kannst du sie mit jedem Wert in der Klammer malnehmen. - Wenn in einer Plus- oder Minusaufgabe derselbe Faktor zweimal vorkommt, kannst du ihn vor eine Klammer ziehen. - Überlege, welcher Weg die Rechnung einfacher macht.

1. Teilaufgabe a): Ausmultiplizieren von \(8 \cdot (100 + 4) = 8 \cdot 100 + 8 \cdot 4 = 800 + 32 = 832\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern von \(17 \cdot 12 + 17 \cdot 8 = 17 \cdot (12 + 8) = 17 \cdot 20 = 340\). 3. Teilaufgabe c): Ausmultiplizieren von \((50 - 2) \cdot 6 = 50 \cdot 6 - 2 \cdot 6 = 300 - 12 = 288\). 4. Teilaufgabe d): Ausklammern von \(44 \cdot 15 - 34 \cdot 15 = (44 - 34) \cdot 15 = 10 \cdot 15 = 150\).

a) 832 (Ausmultiplizieren) b) 340 (Ausklammern) c) 288 (Ausmultiplizieren) d) 150 (Ausklammern)

- Liegt die Zahl sehr nah an einer glatten Zehnerzahl? - Wäre es einfacher, erst mit der Zehnerzahl zu rechnen und dann etwas abzuziehen? - Überlege, wie viel bis zum nächsten Zehner fehlt.

1. Ergänzung von \(59\) auf \(60 - 1\): \(60 \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 180 - 3 = 177\). 2. Ergänzung von \(38\) auf \(40 - 2\): \(40 \cdot 7 - 2 \cdot 7 = 280 - 14 = 266\).

a) \(177\) b) \(266\)

- Gibt es in der Summe eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du eine der Zahlen in eine Summe oder Differenz zerlegen, die eine 10, 100 oder 1000 enthält? - Was passiert, wenn du eine Zahl wie 99 als (100 - 1) schreibst?

1. Teilaufgabe a: Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(13\): \(13 \cdot (57 + 43) = 13 \cdot 100 = 1300\). 2. Teilaufgabe b: Zerlegen der \(99\) in \((100 - 1)\): \(100 \cdot 14 - 1 \cdot 14 = 1400 - 14 = 1386\). 3. Teilaufgabe c: Zerlegen der \(11\) in \((10 + 1)\): \(62 \cdot 10 + 62 \cdot 1 = 620 + 62 = 682\).

a) \(1300\) b) \(1386\) c) \(682\)

- Kannst du die große Zahl in zwei kleinere Zahlen zerlegen, die beide leicht durch den Teiler teilbar sind? - Wenn zwei Geteilt-Aufgaben denselben Teiler haben, darfst du die vorderen Zahlen zuerst verrechnen? - Hilft es dir, die Klammer zuerst auszurechnen oder ist es einfacher, jede Zahl in der Klammer einzeln zu teilen?

1. Teilaufgabe a: Zerlegen des Dividenden in \(200\) und \(45\): \(200 : 5 + 45 : 5 = 40 + 9 = 49\). 2. Teilaufgabe b: Einzeln dividieren: \(144 : 12 - 36 : 12 = 12 - 3 = 9\). 3. Teilaufgabe c: Zusammenfassen der Dividenden, da der Divisor gleich ist: \((132 + 88) : 11 = 220 : 11 = 20\).

a) \(49\) b) \(9\) c) \(20\)

- Gibt es Paare von Zahlen, deren Produkt eine besonders einfache Zahl wie 10, 100 oder 1000 ergibt? - Darfst du bei einer reinen Malrechnung die Reihenfolge der Zahlen vertauschen? - Welche Zahlen lassen sich im Kopf leichter multiplizieren?

1. Aufstellen des Terms: \((125 \cdot 9) \cdot (8 \cdot 3)\) 2. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes zur Gruppierung vorteilhafter Faktoren: \((125 \cdot 8) \cdot (9 \cdot 3)\) 3. Berechnung der Teilprodukte: \(1\,000 \cdot 27\) 4. Multiplikation zum Endergebnis: \(27\,000\)

\((125 \cdot 9) \cdot (8 \cdot 3) = (125 \cdot 8) \cdot (9 \cdot 3) = 1\,000 \cdot 27 = 27\,000\)

- Achte genau darauf, welche Zahl von welcher abgezogen werden soll. - Beide Zahlen werden durch dieselbe Zahl geteilt. Kann man das Zusammenfassen? - Ist es einfacher, erst die Differenz der großen Zahlen zu bilden und dann einmal zu teilen?

1. Aufstellen des Terms: \((1\,024 : 8) - (224 : 8)\) 2. Anwendung des Distributivgesetzes für die Division: \((1\,024 - 224) : 8\) 3. Berechnung der Differenz in der Klammer: \(1\,024 - 224 = 800\) 4. Division des Ergebnisses durch den gemeinsamen Teiler: \(800 : 8 = 100\)

\((1\,024 : 8) - (224 : 8) = (1\,024 - 224) : 8 = 800 : 8 = 100\)

- Kannst du eine der Zahlen so aufteilen, dass du mit den neuen Zahlen leichter multiplizieren kannst? - Welche Zahl liegt ganz nah an einer Zehner- oder Hunderterzahl? - Erinnere dich daran, wie man eine Multiplikation in zwei kleinere Multiplikationen aufteilen kann.

1. Teilaufgabe a): Zerlegung der \(102\) in \((100 + 2)\). Anwendung des Distributivgesetzes: \(7 \cdot 100 + 7 \cdot 2 = 700 + 14 = 714\). 2. Teilaufgabe b): Zerlegung der \(98\) in \((100 - 2)\). Anwendung des Distributivgesetzes: \(9 \cdot 100 - 9 \cdot 2 = 900 - 18 = 882\). 3. Teilaufgabe c): Zerlegung der \(21\) in \((20 + 1)\). Anwendung des Distributivgesetzes: \(15 \cdot 20 + 15 \cdot 1 = 300 + 15 = 315\).

a) \(714\) b) \(882\) c) \(315\)

- Fällt dir in den Aufgaben eine Zahl auf, die in beiden Produkten vorkommt? - Was passiert, wenn du diese gemeinsame Zahl „vor die Klammer“ ziehst? - Addiere oder subtrahiere zuerst die anderen Zahlen, bevor du multiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Der gemeinsame Faktor \(8\) wird ausgeklammert: \((14 + 6) \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160\). 2. Teilaufgabe b): Der gemeinsame Faktor \(12\) wird ausgeklammert: \((37 - 27) \cdot 12 = 10 \cdot 12 = 120\). 3. Teilaufgabe c): Der gemeinsame Faktor \(5\) wird ausgeklammert: \(5 \cdot (43 + 57) = 5 \cdot 100 = 500\).

a) \(160\) b) \(120\) c) \(500\)

- Setze zunächst \(x=9\) ein. - Unterscheide anschließend die Fälle \(0<x<9\) und \(x>9\). - Kann in beiden Fällen auf beiden Seiten ein natürlicher Quotient entstehen?

1. Für \(x=9\) gilt \(9:9=1\) auf beiden Seiten. 2. Für \(0<x<9\) ist \(x:9\) kein natürlicher Quotient. 3. Für \(x>9\) ist \(9:x\) kein natürlicher Quotient. 4. Daher ist \(x=9\) die einzige positive natürliche Zahl, für die beide Divisionen in \(\mathbb N\) denselben Wert haben.

Die einzige Lösung ist \(x=9\). Dann gilt auf beiden Seiten \(9:9=1\).

- Das Distributivgesetz gilt nicht nur für die Multiplikation, sondern auch, wenn man eine Klammer durch eine Zahl teilt. - Wenn auf einer Seite ein Ergebnis wie \(12 \cdot 20\) steht, überlege, wie die Summe in der Klammer auf der anderen Seite zu dieser \(20\) werden kann. - Achte darauf, ob ein Malzeichen oder ein Geteiltzeichen vor dem Platzhalter steht.

1. In a) wird der Faktor \(4\) ausgeklammert. Der erste Summand in der Klammer ist \(36\), der zweite muss \(14\) sein. Also \(\square = 14\) und \(\triangle = 4\). 2. In b) wird rechts die Differenz \(25 \cdot 7 - 15 \cdot 7\) berechnet. Das entspricht \((25 - 15) \cdot 7\). Somit ist \(\triangle = 25\). 3. In c) wird das Distributivgesetz für die Division angewendet: \((a - b) : c = a : c - b : c\). Hier ist \(a = 80\), \(b = 16\) und \(c = 8\). Somit ist \(\square = 8\). 4. In d) muss die Summe in der Klammer \(\square + 8\) den Wert \(20\) ergeben, damit die Gleichung \(12 \cdot (\square + 8) = 12 \cdot 20\) stimmt. Daraus folgt \(\square = 20 - 8 = 12\).

a) \(\square = 14\); \(\triangle = 4\) b) \(\triangle = 25\) c) \(\square = 8\) d) \(\square = 12\)

- Wie oft ist die Zahl \(17\) insgesamt vorhanden? - Hilft es dir, wenn du die einzelne \(17\) als \(1 \cdot 17\) betrachtest? - Welches Gesetz erlaubt es dir, eine Summe von Produkten in ein Produkt mit einer Klammer umzuwandeln?

1. Den zweiten Summanden als Produkt mit dem Faktor \(1\) umschreiben: \(99 \cdot 17 + 1 \cdot 17\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(17\): \((99 + 1) \cdot 17\). 3. Berechnung der Klammer: \(99 + 1 = 100\). 4. Endberechnung: \(100 \cdot 17 = 1\,700\).

\(1\,700\)

- Kannst du eine der Zahlen in eine Summe oder Differenz zerlegen, die leichter zu multiplizieren ist? - Gibt es in der Additionsaufgabe einen Faktor, der in beiden Produkten vorkommt? - Welche runden Zahlen liegen nah an den gegebenen Werten?

1. Zerlegung der Zahl \(104\) in \(100 + 4\): \(7 \cdot (100 + 4) = 7 \cdot 100 + 7 \cdot 4 = 700 + 28 = 728\). 2. Zerlegung der Zahl \(9\) in \(10 - 1\): \(18 \cdot (10 - 1) = 18 \cdot 10 - 18 \cdot 1 = 180 - 18 = 162\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(35\): \(35 \cdot (16 + 4) = 35 \cdot 20 = 700\).

a) \(7 \cdot (100 + 4) = 728\) b) \(18 \cdot (10 - 1) = 162\) c) \(35 \cdot (16 + 4) = 700\)

- Was hat sich in der Reihenfolge der Zahlen beim ersten Gleichheitszeichen geändert? - Wofür werden Klammern in einer Rechnung benutzt, wenn nur Pluszeichen vorkommen? - Wie heißen die Gesetze, die das Vertauschen und das Verbinden von Zahlen erlauben?

1. Im ersten Schritt (\(15 + 38 + 85 = 15 + 85 + 38\)) wurden die Summanden \(38\) und \(85\) vertauscht. Dies entspricht dem Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). 2. Im zweiten Schritt (\(15 + 85 + 38 = (15 + 85) + 38\)) wurden die ersten beiden Zahlen durch eine Klammer zusammengefasst, um sie zuerst zu addieren. Dies entspricht dem Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).

Kommutativgesetz (beim Vertauschen der Zahlen) und Assoziativgesetz (beim Setzen der Klammern).

- Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du die Rechnung so umformen, dass du zuerst eine einfache Plusaufgabe löst? - Welches Gesetz erlaubt es, eine Zahl „auszuklammern“?

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(12\): \(12 \cdot (17 + 3)\). 2. Berechnung des Werts in der Klammer: \(17 + 3 = 20\). 3. Durchführung der Multiplikation: \(12 \cdot 20 = 240\). 4. Identifikation des Gesetzes als Distributivgesetz.

Ergebnis: \(240\); Gesetz: Distributivgesetz

- Die Zahl 9 liegt sehr nah an der 10. Wie kannst du das nutzen? - Die Zahl 11 ist genau 1 mehr als 10. - Rechne zuerst mit 10 und korrigiere dann das Ergebnis um den fehlenden oder überschüssigen Teil.

1. Für \(9 \cdot 7\): Nutze \(10 \cdot 7 - 1 \cdot 7 = 70 - 7 = 63\). 2. Für \(11 \cdot 6\): Nutze \(10 \cdot 6 + 1 \cdot 6 = 60 + 6 = 66\). 3. Für \(9 \cdot 12\): Nutze \(10 \cdot 12 - 1 \cdot 12 = 120 - 12 = 108\).

a) \(63\) b) \(66\) c) \(108\)

- Schau dir an, wie die erste Zahl in Zehner und Einer aufgeteilt wurde. - Achte auf das Rechenzeichen: Wird etwas addiert oder subtrahiert? - Multipliziere jeden Teil einzeln und verrechne dann die Zwischenergebnisse.

1. Aufgabe a: \(14 \cdot 6 = 10 \cdot 6 + 4 \cdot 6 = 60 + 24 = 84\). 2. Aufgabe b: \(18 \cdot 4 = 20 \cdot 4 - 2 \cdot 4 = 80 - 8 = 72\). 3. Aufgabe c: \(23 \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 60 + 9 = 69\).

a) \(10 \cdot 6 + 4 \cdot 6 = 60 + 24 = 84\) b) \(20 \cdot 4 - 2 \cdot 4 = 80 - 8 = 72\) c) \(20 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 60 + 9 = 69\)

- Rechne zuerst aus, was Lukas erhält. - Rechne dann aus, was Marie erhält. - Was fällt dir auf, wenn du die Endergebnisse vergleichst?

1. Berechnung von Lukas' Weg: \(13 \cdot 10 = 130\) und \(13 \cdot 6 = 78\). Summe: \(130 + 78 = 208\). 2. Berechnung von Maries Weg: \(10 \cdot 16 = 160\) und \(3 \cdot 16 = 48\). Summe: \(160 + 48 = 208\). 3. Vergleich: Beide Ergebnisse sind identisch.

Ja, beide kommen zum gleichen Ergebnis \(208\).

- Was passiert, wenn du eine Klammer um eine Summe auflöst? - Wie nennt man das Gesetz, bei dem man Faktoren in einem Produkt anders gruppiert? - Welche Zahl ergibt sich, wenn du 25 mit 4 multiplizierst?

1. Strategie A: \(25 \cdot (10 + 2) = 25 \cdot 10 + 25 \cdot 2 = 250 + 50 = 300\). 2. Strategie B: \(25 \cdot (4 \cdot 3) = (25 \cdot 4) \cdot 3 = 100 \cdot 3 = 300\). 3. Identifikation der Gesetze: Strategie A nutzt das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz). Strategie B nutzt das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).

a) Beide Strategien ergeben \(300\). b) Strategie A: Distributivgesetz; Strategie B: Assoziativgesetz.

- Achte genau auf den Unterschied zwischen „vergrößern um“ (Plusrechnung) und „vervielfachen“ (Malrechnung). - Schreibe dir die neuen Zahlen für den zweiten Schritt zuerst einzeln auf. - Subtrahiere am Ende das kleinere vom größeren Ergebnis, um den Unterschied zu finden.

1. Berechnung des ursprünglichen Produkts: \(120\cdot40=4\,800\). 2. Bestimmung der neuen Faktoren: \(120+20=140\) und \(40-20=20\). 3. Berechnung des neuen Produkts: \(140\cdot20=2\,800\). 4. Differenzbildung zum Vergleich: \(4\,800-2\,800=2\,000\).

a) Das Produkt ist \(4\,800\). b) Das neue Produkt ist \(2\,800\). c) Der Wert hat sich um \(2\,000\) verringert.

- Führe die Rechnungen Schritt für Schritt aus und achte besonders auf die Reste. - Was passiert mit den Resten der Einzelrechnungen, wenn man die Zahlen vorher addiert? - Schau dir an, ob die Summe der Reste groß genug ist, um noch einmal durch den Teiler geteilt zu werden.

1. Berechnung des Gesamtergebnisses: \(25 + 11 = 36\). Die Division \(36 : 6\) ergibt exakt den Quotienten \(6\). 2. Einzelberechnung: \(25 : 6 = 4\,\text{Rest}\,1\) und \(11 : 6 = 1\,\text{Rest}\,5\). Die Summe der ganzzahligen Quotienten ist \(4 + 1 = 5\). 3. Vergleich: Der ganzzahlige Quotient der Gesamtrechnung (\(6\)) ist größer als die Summe der einzelnen ganzzahligen Quotienten (\(5\)). Das liegt daran, dass die Reste \(1\) und \(5\) zusammen genau einen weiteren Divisor (\(6\)) ergeben. Das getrennte Addieren der ganzzahligen Quotienten ist bei Divisionen mit Rest daher nicht uneingeschränkt möglich.

Die Ergebnisse sind unterschiedlich: \((25 + 11) : 6 = 6\), aber die Summe der einzelnen ganzzahligen Quotienten ist \(4 + 1 = 5\). Bei Divisionen mit Rest dürfen die ganzzahligen Quotienten nicht immer getrennt berechnet und anschließend addiert werden.

- Was bedeutet es, eine Zahl mit einer Summe in einer Klammer zu multiplizieren? - Muss die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer verrechnet werden? - Schau dir Sarahs zweiten Schritt genau an – was fehlt dort bei der Zahl 2?

1. Fehleranalyse: Sarah hat das Distributivgesetz falsch angewendet. Sie hat die \(18\) zwar mit der \(100\) multipliziert, aber vergessen, die \(18\) auch mit der \(2\) zu multiplizieren. Sie hat nur die \(2\) addiert. 2. Korrekte Berechnung: \(18 \cdot (100 + 2) = 18 \cdot 100 + 18 \cdot 2\). 3. Zwischenergebnisse: \(1800 + 36\). 4. Endergebnis: \(1836\).

a) Sarah hat vergessen, den Faktor \(18\) auch mit dem zweiten Summanden (\(2\)) zu multiplizieren. Sie hat die \(18\) nur mit der \(100\) malgenommen. b) Korrekter Weg: \(18 \cdot (100 + 2) = 18 \cdot 100 + 18 \cdot 2 = 1800 + 36 = 1836\).

- Schau dir genau an, was sich von einem Schritt zum nächsten verändert hat. - Hat sich nur die Reihenfolge der Zahlen geändert oder wurden Klammern gesetzt? - Wie heißen die Gesetze, die das Vertauschen und das Verbinden von Zahlen erlauben?

1. Identifikation des ersten Schritts: Die Faktoren \(9\) und \(4\) wurden vertauscht, was dem Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) entspricht: \(a \cdot b = b \cdot a\). 2. Identifikation des zweiten Schritts: Die Faktoren \(25\) und \(4\) wurden durch (gedankliche) Klammersetzung zuerst berechnet, was dem Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) entspricht: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\). 3. Berechnung der Teilergebnisse: \(25 \cdot 4 = 100\) und \(100 \cdot 9 = 900\).

1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): \(a \cdot b = b \cdot a\) 2. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz): \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

- Wie kannst du eine Zahl wie 105 in zwei Teile zerlegen, mit denen man leicht multiplizieren kann? - Erinnere dich daran, wie man eine Zahl mit einer Summe in einer Klammer multipliziert. - Kannst du die Regel \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) auf das Beispiel anwenden?

1. Bestimmung der Lücke in a): Das Distributivgesetz besagt \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\). Mit \(a = 6\), \(b = 20\) und \(c = 7\) ergibt sich \(6 \cdot 20 + 6 \cdot 7\). Die gesuchte Zahl ist \(7\). 2. Anwendung auf b): Zerlegung der Zahl \(105\) in eine Summe aus einfachen Zahlen, also \(100 + 5\). 3. Berechnung: \(8 \cdot (100 + 5) = 8 \cdot 100 + 8 \cdot 5 = 800 + 40 = 840\).

a) Die Lücke ist \(7\). b) \(8 \cdot 105 = 8 \cdot (100 + 5) = 8 \cdot 100 + 8 \cdot 5 = 800 + 40 = 840\).

- Kannst du die große Zahl am Anfang so aufteilen, dass du eine leichtere Division wie \( 100 : 25 \) nutzen kannst? - Welche Zahl ergibt \( 125 \cdot 8 \)? Das könnte dir bei Teil b helfen. - Probier Pauls Methode einfach mal Schritt für Schritt mit der Zahl aus.

1. Berechnung von \( 3100 : 25 \): Zerlegung in \( (31 \cdot 100) : 25 = 31 \cdot (100 : 25) = 31 \cdot 4 = 124 \). 2. Berechnung von \( 6000 : 125 \): Zerlegung in \( (6 \cdot 1000) : 125 = 6 \cdot (1000 : 125) = 6 \cdot 8 = 48 \). 3. Überprüfung von Pauls Methode für \( 1300 : 50 \): Schritt 1: \( 1300 : 100 = 13 \). Schritt 2: \( 13 \cdot 2 = 26 \). Direkte Division: \( 1300 : 50 = 26 \). Die Aussage ist korrekt, da \( a : 50 = a : (100 : 2) = (a : 100) \cdot 2 \).

a) \( 124 \) b) \( 48 \) c) Paul hat recht; das Ergebnis ist in beiden Fällen \( 26 \).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine Zahl doppelt so groß und die andere halb so groß machst? - Schau dir bei Teil c) die Zahlen genau an: Welche zwei Zahlen ergeben zusammen ein besonders einfaches Zwischenergebnis? - Wie nennt man das Gesetz, bei dem man die Zahlen in einer Malrechnung vertauschen darf?

1. Berechnung von \(14 \cdot 5 = 70\) und \(7 \cdot 10 = 70\). Beobachtung: Wenn man einen Faktor halbiert (\(14 : 2 = 7\)) und den anderen verdoppelt (\(5 \cdot 2 = 10\)), bleibt das Ergebnis gleich. 2. Anwendung auf \(18 \cdot 50\): Den ersten Faktor halbieren (\(18 : 2 = 9\)) und den zweiten verdoppeln (\(50 \cdot 2 = 100\)). Rechnung: \(9 \cdot 100 = 900\). 3. Umstellen der Faktoren bei \(4 \cdot 19 \cdot 25\): \(4 \cdot 25 \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1\,900\). Das genutzte Gesetz ist das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz).

a) Beide Ergebnisse sind \(70\). Wenn ein Faktor halbiert und der andere verdoppelt wird, bleibt das Produkt gleich. b) \(900\) c) \(1\,900\); Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz).

- Wie viele Zahlen stehen in der Liste, wenn du nur die geraden Zahlen betrachtest? - Versuche auch hier, die kleinste und die größte Zahl zu addieren. - Ist die Summe beim nächsten Paar (z. B. 4 und 58) identisch? - Wie oft passt diese Paarsumme in deine gesamte Rechnung?

1. Ermittlung der Anzahl der Summanden: Da nur jede zweite Zahl von 1 bis 60 vorkommt, sind es \(60 : 2 = 30\) Zahlen. 2. Bildung der Paare: \(2 + 60 = 62\), \(4 + 58 = 62\) usw. 3. Bestimmung der Paaranzahl: \(30 : 2 = 15\) Paare. 4. Berechnung des Gesamtergebnisses: \(15 \cdot 62 = 930\).

1. 30 Zahlen 2. 15 Paare mit der Summe 62 3. 930

- Versuche, Summanden und Subtrahenden so zusammenzufassen, dass „glatte“ Zahlen entstehen. - Kannst du Paare finden, die sich gegenseitig aufheben oder eine runde Zahl ergeben? - Achte beim Umordnen darauf, dass jedes Rechenzeichen bei der zugehörigen Zahl bleibt.

1. Ordne die Rechenglieder mitsamt ihren Rechenzeichen so, dass passende Zahlen zusammenstehen: \((45 + 55 + 12) - (17 + 83)\). 2. Berechne die Teilsummen: \(45 + 55 + 12 = 112\) und \(17 + 83 = 100\). 3. Verrechne die Teilergebnisse: \(112 - 100 = 12\).

\(12\)

- Rechne erst einmal beide Wege aus und vergleiche den Aufwand. - Wann fällt dir das Teilen besonders leicht? Wenn die Zahlen „gut passen“? - Denk an das Beispiel zurück – war das Auflösen hier wirklich schwerer?

1. Art 1: \((1100 - 55) : 11 = 1045 : 11\) Berechnung: \(1045 : 11 = 95\) 2. Art 2: \(1100 : 11 - 55 : 11 = 100 - 5 = 95\) 3. Beurteilung der Aussage: Die Aussage ist falsch. In diesem Beispiel ist das Auflösen der Klammer (Art 2) deutlich einfacher, da \(1100\) und \(55\) einfache Vielfache von \(11\) sind. Die Division \(1045 : 11\) hingegen erfordert meist eine schriftliche Rechnung oder mehr Denkarbeit.

Das Ergebnis ist \(95\). Die Aussage ist falsch. Das Auflösen der Klammer ist hier wesentlich geschickter, da \(1100 : 11 = 100\) und \(55 : 11 = 5\) sehr einfache Rechnungen sind, während \(1045 : 11\) schwieriger ist.

- Kannst du eine der Zahlen so zerlegen, dass du mit \(100\) oder \(200\) rechnen kannst? - Achte darauf, ob es einfacher ist, eine Summe oder eine Differenz zu verwenden. - Vergiss nicht, das Gesetz auf beide Teile der Klammer anzuwenden.

1. Zerlegung von \(104\) in \(100 + 4\): \(100 \cdot 8 + 4 \cdot 8 = 800 + 32 = 832\). 2. Zerlegung von \(198\) in \(200 - 2\): \(9 \cdot 200 - 9 \cdot 2 = 1\,800 - 18 = 1\,782\).

a) \(832\) b) \(1\,782\)

- Was passiert, wenn ein gemeinsamer Faktor in mehr als zwei Gliedern vorkommt? - Achte darauf, dass die Reihenfolge in einem Produkt (\(15 \cdot 7\) statt \(7 \cdot 15\)) die Anwendung des Gesetzes nicht ändert. - Denke bei Aufgaben wie \(d)\) und \(f)\) an den „unsichtbaren“ Faktor \(1\) beim letzten Glied. - Versuche, die Zahlen in der Klammer zuerst zu addieren oder zu subtrahieren.

1. Ausklammern der \(12\): \(12 \cdot (17 + 11 + 2) = 12 \cdot 30 = 360\). 2. Ausklammern der \(18\): \(18 \cdot (24 + 16) = 18 \cdot 40 = 720\). 3. Ausklammern der \(15\) (Kommutativgesetz beachten): \(15 \cdot (27 - 7) = 15 \cdot 20 = 300\). 4. Ausklammern der \(13\) mit dem Faktor \(1\) am Ende: \(13 \cdot (29 - 18 - 1) = 13 \cdot 10 = 130\). 5. Zusammenfassen der drei Summanden: \(19 \cdot (14 + 23 + 13) = 19 \cdot 50 = 950\). 6. Ausklammern der \(22\) mit dem Faktor \(1\) am Ende: \(22 \cdot (35 - 14 - 1) = 22 \cdot 20 = 440\).

a) \(360\) b) \(720\) c) \(300\) d) \(130\) e) \(950\) f) \(440\)

- Erinnere dich an die Fachbegriffe Dividend und Divisor. - Wann kommt bei einer Division immer das Ergebnis \(1\) heraus? - Überlege dir ein Beispiel, bei dem zwei unterschiedliche Zahlen geteilt werden, und vertausche sie dann. - Gibt es einen Spezialfall, in dem das Ergebnis beim Vertauschen doch gleich bleibt?

1. Feststellung der Bedingung: Der Wert eines Quotienten bleibt nur dann gleich, wenn Dividend und Divisor denselben Wert besitzen (\(a = b\)). 2. Begründung: Wenn \(a = b\), ist das Ergebnis immer \(1\), egal in welcher Reihenfolge man sie schreibt (\(a : a = 1\)). 3. Falls \(a \neq b\), ist einer der beiden Quotienten größer als \(1\) und der andere kleiner als \(1\) (oder in den natürlichen Zahlen nicht definiert), weshalb sie nicht gleich sein können. 4. Beispiele: \(5 : 5 = 5 : 5 = 1\) und \(12 : 12 = 12 : 12 = 1\).

Der Wert ändert sich nur dann nicht, wenn Dividend und Divisor gleich groß sind (\(a = b\)). In diesem Fall ist das Ergebnis immer \(1\). Beispiele sind \(7 : 7 = 1\) und \(100 : 100 = 1\).

- Schau dir die drei Teile der Rechnung an. Welcher Faktor kommt überall vor? - Kannst du den letzten Teil der Rechnung (\(5 \cdot 4 \cdot 12\)) erst vereinfachen, bevor du ausklammerst? - Was passiert, wenn du alle Faktoren, die mit der \(12\) multipliziert werden, in einer Klammer zusammenfasst?

1. Zunächst wird das Teilprodukt am Ende berechnet: \(5 \cdot 4 = 20\). Der Ausdruck lautet nun: \(36 \cdot 12 + 14 \cdot 12 - 20 \cdot 12\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(12\): \((36 + 14 - 20) \cdot 12\). 3. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(36 + 14 = 50\); \(50 - 20 = 30\). 4. Endgültige Multiplikation: \(30 \cdot 12 = 360\).

\(360\); Distributivgesetz

- Rechne die Beispiele Schritt für Schritt von links nach rechts oder beachte die Klammern. - Kommt bei beiden Varianten das gleiche Ergebnis heraus? - Überlege, ob man beim Abziehen oder Teilen die Reihenfolge der Zahlen einfach vertauschen darf.

1. Berechnung für a): \(50 - 20 = 30\). Die Rechnung \(20 - 50\) ist im Bereich der natürlichen Zahlen nicht ausführbar (Ergebnis wäre \(-30\)). Das Kommutativgesetz gilt für die Subtraktion also nicht. 2. Berechnung für b): \((80 : 8) : 2 = 10 : 2 = 5\). Dagegen ist \(80 : (8 : 2) = 80 : 4 = 20\). Da \(5 \neq 20\), gilt das Assoziativgesetz für die Division nicht. 3. Das Kommutativgesetz gilt immer für die Addition und die Multiplikation natürlicher Zahlen.

a) Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion (\(30 \neq -30\)). b) Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Division (\(5 \neq 20\)). c) Die Addition (oder die Multiplikation).

- Welche Zahl ergibt zusammen mit 125 multipliziert genau 1000? - Wie könntest du die 16 aufteilen, um diese besondere Zahl zu erhalten? - Kannst du 16 in Zehner und Einer zerlegen?

1. Assoziativgesetz: Zerlegung der \(16\) in \(8 \cdot 2\). Rechnung: \(125 \cdot (8 \cdot 2) = (125 \cdot 8) \cdot 2 = 1\,000 \cdot 2 = 2\,000\). 2. Distributivgesetz: Zerlegung der \(16\) in \(10 + 6\). Rechnung: \(125 \cdot (10 + 6) = 125 \cdot 10 + 125 \cdot 6 = 1\,250 + 750 = 2\,000\). 3. Ergebnis: In beiden Fällen ist das Produkt \(2\,000\).

Ja, beide Gesetze sind anwendbar. Assoziativgesetz: \(125 \cdot 8 \cdot 2 = 2\,000\). Distributivgesetz: \(125 \cdot 10 + 125 \cdot 6 = 2\,000\).

- Stell dir vor, du hast die zwei Stoffstücke vor dir liegen. Wie viele Bänder kannst du aus dem ersten Stück schneiden? Und wie viele aus dem zweiten? - Kannst du aus den kleinen Resten, die beim Schneiden übrig bleiben, noch ein ganzes Band machen? - Was berechnet die Schneiderin eigentlich, wenn sie die Längen zuerst addiert?

1. Ermittlung der tatsächlichen Anzahl: Aus dem \(50\,\text{cm}\)-Stück erhält sie \(50\,\text{cm} : 20\,\text{cm} = 2\,\text{Rest}\,10\,\text{cm}\), also \(2\) Bänder. Aus dem \(75\,\text{cm}\)-Stück erhält sie \(75\,\text{cm} : 20\,\text{cm} = 3\,\text{Rest}\,15\,\text{cm}\), also \(3\) Bänder. Insgesamt erhält sie nur \(2 + 3 = 5\) Bänder. 2. Analyse des Fehlers: Die Rechnung der Schneiderin addiert zuerst die Längen. Dabei werden die Reste von \(10\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) rechnerisch zu \(25\,\text{cm}\) kombiniert, was theoretisch für ein sechstes Band von \(20\,\text{cm}\) reichen würde. In der Praxis kann man die beiden getrennten Stoffreste jedoch nicht ohne Naht zu einem durchgehenden Band zusammensetzen.

Sie erhält tatsächlich nur \(5\) Bänder. Ihre Rechnung beschreibt die Zuschnittsituation nicht korrekt, weil sie die getrennten Reststücke von \(10\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) rechnerisch zusammensetzt.

- Berechne für jedes Beispiel den Wert der linken Seite und den Wert der rechten Seite getrennt. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Achte darauf, an welcher Stelle der Rechnung die Klammer steht (vorne oder hinten). - Wann darf man bei der Division die Glieder einzeln teilen?

1. Überprüfung Beispiel A: Linke Seite \((80 + 40) : 10 = 120 : 10 = 12\). Rechte Seite \(80 : 10 + 40 : 10 = 8 + 4 = 12\). Beispiel A ist korrekt. 2. Überprüfung Beispiel B: Linke Seite \(120 : (4 + 2) = 120 : 6 = 20\). Rechte Seite \(120 : 4 + 120 : 2 = 30 + 60 = 90\). Da \(20 \neq 90\), ist Beispiel B falsch. 3. Paul hat nicht recht. Das Distributivgesetz gilt bei der Division nur, wenn die Summe oder Differenz im Dividenden steht (vorne). Wenn die Summe im Divisor steht (hinten in der Klammer), darf man sie nicht einzeln dividieren.

Paul hat nicht recht. In Beispiel A sind beide Seiten gleich (\(12 = 12\)), aber in Beispiel B ergibt die linke Seite \(20\) und die rechte Seite \(90\). Das Distributivgesetz gilt bei der Division nur, wenn die Klammer vorne steht (im Dividenden).