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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 5

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Potenzschreibweise

Lernziele

  • Deutet Potenzen als wiederholte Multiplikation.
  • Unterscheidet Basis und Exponent.
  • Wechselt zwischen Produkt- und Potenzschreibweise.
  • Berechnet Potenzwerte unter Beachtung der Klammern.
  • Schreibt große Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen.

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Potenzschreibweise 1
Schreibe die Zahlen in Ziffernschreibweise, also ohne Zehnerpotenzen. Setze zur besseren Lesbarkeit Tausenderabstände. a) \(5 \cdot 10^4\) b) \(23 \cdot 10^6\) c) \(10^8\) d) \(402 \cdot 10^3\)

Denkanstöße

- Schreibe die Zehnerpotenz zuerst als Zahl aus. - Die Hochzahl zeigt dir, wie viele Faktoren \(10\) miteinander multipliziert werden. - Setze bei großen Zahlen Tausenderabstände, damit sie leichter zu lesen sind.

Lösung

1. a) \(10^4=10\,000\), also \(5\cdot10^4=50\,000\). 2. b) \(10^6=1\,000\,000\), also \(23\cdot10^6=23\,000\,000\). 3. c) \(10^8=100\,000\,000\). 4. d) \(10^3=1000\), also \(402\cdot10^3=402\,000\).

Antwort

a) \(50\,000\) b) \(23\,000\,000\) c) \(100\,000\,000\) d) \(402\,000\)
Potenzschreibweise 2
Betrachte die Potenz \(4^3\). Nenne Basis und Exponent und erkläre kurz, was die Potenz bedeutet.

Denkanstöße

- Unterscheide die große Zahl unten von der kleinen hochgestellten Zahl. - Welche Zahl wird bei einer Potenz wiederholt als Faktor verwendet? - Welche Angabe beschreibt die Anzahl dieser gleichen Faktoren?

Lösung

1. Die Zahl, die wiederholt mit sich selbst multipliziert wird, ist die Basis. Hier ist die Basis \(4\). 2. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Hier ist der Exponent \(3\). 3. Daher bedeutet \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4\).

Antwort

Basis: \(4\) Exponent: \(3\) Bedeutung: \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4\)
Potenzschreibweise 3
Schreibe das Produkt \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6\) als Potenz. Nenne anschließend Basis und Exponent.

Denkanstöße

- Suche nach dem Faktor, der immer wieder vorkommt. - Zähle, wie oft dieser Faktor im Produkt steht. - Diese beiden Informationen bestimmen Basis und Exponent.

Lösung

1. In dem Produkt kommt derselbe Faktor \(6\) viermal vor. 2. Deshalb lautet die Potenz \(6^4\). 3. Die Basis ist \(6\), der Exponent ist \(4\).

Antwort

\(6^4\) Basis: \(6\) Exponent: \(4\)
Potenzschreibweise 4
Berechne den Wert des Terms \(3 \cdot 10^2 - 2 \cdot 10^1 + 3\).

Denkanstöße

- Welche Rechenart hat hier zuerst Vorrang? - Was bedeuten \(10^2\) und \(10^1\) als natürliche Zahlen? - Berechne danach erst die Produkte und zuletzt Addition und Subtraktion.

Lösung

1. Berechne die Potenzen: \(10^2 = 100\) und \(10^1 = 10\). 2. Berechne die Produkte: \(3 \cdot 100 = 300\) und \(2 \cdot 10 = 20\). 3. Danach gilt \(300 - 20 + 3 = 283\).

Antwort

\(283\)
Potenzschreibweise 5
Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl. \(7 \cdot 10^4\); \(700\); \(7 \cdot 10^6\); \(70\,000\,000\); \(7 \cdot 10^3\)

Denkanstöße

- Schreibe die Zahlen in derselben Schreibweise auf, damit du sie leichter vergleichen kannst. - Achte auf die Anzahl der Stellen oder auf die Hochzahl der Zehnerpotenz. - Bei gleichem Faktor vor der Zehnerpotenz gehört zur größeren Hochzahl auch die größere Zahl.

Lösung

1. Schreibe die Zahlen zum Vergleichen in Ziffernschreibweise: \(700=7\cdot10^2\) \(7\cdot10^3=7000\) \(7\cdot10^4=70\,000\) \(7\cdot10^6=7\,000\,000\) \(70\,000\,000=7\cdot10^7\) 2. Damit gilt \(700<7000<70\,000<7\,000\,000<70\,000\,000\).

Antwort

\(700 < 7 \cdot 10^3 < 7 \cdot 10^4 < 7 \cdot 10^6 < 70\,000\,000\)
Potenzschreibweise 6
Vergleiche die Werte und setze \(<\), \(>\) oder \(=\) in das Kästchen ein. a) \(6 \cdot 10^4 \quad \square \quad 6000\) b) \(200\,000 \quad \square \quad 2 \cdot 10^5\) c) \(9 \cdot 10^2 \quad \square \quad 9 \cdot 10^3\) d) \(40\,000 \quad \square \quad 3 \cdot 10^4\)

Denkanstöße

- Schreibe beide Seiten möglichst in derselben Schreibweise auf. - Achte darauf, wie sich unterschiedliche Hochzahlen auf die Größe der Zehnerpotenz auswirken. - Vergleiche anschließend die beiden Zahlen.

Lösung

1. a) \(6\cdot10^4=60\,000\). Daher gilt \(60\,000>6000\). 2. b) \(2\cdot10^5=200\,000\). Daher gilt \(200\,000=200\,000\). 3. c) \(9\cdot10^2=900\) und \(9\cdot10^3=9000\). Daher gilt \(900<9000\). 4. d) \(3\cdot10^4=30\,000\). Daher gilt \(40\,000>30\,000\).

Antwort

a) \(6 \cdot 10^4 > 6000\) b) \(200\,000 = 2 \cdot 10^5\) c) \(9 \cdot 10^2 < 9 \cdot 10^3\) d) \(40\,000 > 3 \cdot 10^4\)
Potenzschreibweise 7
Entscheide bei jeder Aufgabe zuerst: Ist der Exponent oder der Zahlenwert gesucht? Löse dann die Aufgabe. a) \(30\,000 = 3 \cdot 10^n\) b) \(x = 5 \cdot 10^4\) c) \(100\,000 = 10^n\) d) \(x = 8 \cdot 10^1\) Gib jeweils an, ob du einen Exponenten oder einen Zahlenwert bestimmt hast.

Denkanstöße

- Steht die unbekannte Zahl oben als Hochzahl oder steht sie für den Wert des ganzen Ausdrucks? - Der Exponent zeigt, wie oft der Faktor \(10\) vorkommt. - Ist ein Zahlenwert gesucht, berechne zuerst die Zehnerpotenz und danach das Produkt.

Lösung

1. a) Gesucht ist der Exponent. Weil \(3\cdot10^4=30\,000\), ist \(n=4\). 2. b) Gesucht ist ein Zahlenwert. \(5\cdot10^4=5\cdot10\,000=50\,000\). Also ist \(x=50\,000\). 3. c) Gesucht ist der Exponent. \(100\,000=10^5\). Also ist \(n=5\). 4. d) Gesucht ist ein Zahlenwert. \(8\cdot10^1=8\cdot10=80\). Also ist \(x=80\).

Antwort

a) Exponent: \(n=4\) b) Zahlenwert: \(x=50\,000\) c) Exponent: \(n=5\) d) Zahlenwert: \(x=80\)
Potenzschreibweise 8
Wandle die folgenden Darstellungen großer Zahlen um. Wähle bei einem Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz den Exponenten so groß wie möglich. a) Schreibe \(8 \cdot 10^5\) als Zahlwort. b) Schreibe \(400\,000\,000\) als Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz. c) Schreibe die Zahl „sechs Billionen“ in der Standard-Ziffernschreibweise. d) Schreibe \(15 \cdot 10^4\) in der Standard-Ziffernschreibweise.

Denkanstöße

- Wie viele Nullen hat eine Million, eine Milliarde oder eine Billion? - Was gibt der Exponent bei einer Zehnerpotenz über die Anzahl der Nullen an? - Kannst du die Zehnerpotenz zuerst als normale Zahl (wie \(100\), \(1000\) etc.) schreiben?

Lösung

1. Für \(8 \cdot 10^5\) berechnet man \(8 \cdot 100\,000 = 800\,000\). Das entsprechende Zahlwort ist achthunderttausend. 2. Die Zahl \(400\,000\,000\) hat acht Nullen. Sie lässt sich als \(4 \cdot 100\,000\,000\) schreiben, was \(4 \cdot 10^8\) entspricht. 3. Eine Billion hat zwölf Nullen. Sechs Billionen schreibt man daher als \(6\,000\,000\,000\,000\). 4. Der Ausdruck \(15 \cdot 10^4\) bedeutet \(15 \cdot 10\,000\). Das ergibt \(150\,000\).

Antwort

a) achthunderttausend b) \(4 \cdot 10^8\) c) \(6\,000\,000\,000\,000\) d) \(150\,000\)
Potenzschreibweise 9
Vergleiche die folgenden Werte und setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) in das Kästchen ein. a) \(2 \cdot 10^6 \square 20\,000\,000\) b) \(10^3 \cdot 10^2 \square 10^5\) c) \(500 \cdot 10^3 \square 5 \cdot 10^5\) d) Eine Milliarde \(\square 10^9\)

Denkanstöße

- Schreibe beide Seiten möglichst in derselben Darstellungsform auf. - Eine Zehnerpotenz kannst du als \(1\) mit entsprechend vielen Nullen lesen. - Bei b) kannst du \(10^3\) und \(10^2\) zunächst als \(1000\) und \(100\) ausschreiben und dann multiplizieren.

Lösung

1. \(2 \cdot 10^6 = 2\,000\,000\). Daher gilt \(2\,000\,000 < 20\,000\,000\). 2. \(10^3 \cdot 10^2 = 1000 \cdot 100 = 100\,000\), und \(10^5 = 100\,000\). Daher gilt \(=\). 3. \(500 \cdot 10^3 = 500\,000\), und \(5 \cdot 10^5 = 500\,000\). Daher gilt \(=\). 4. Eine Milliarde ist \(1\,000\,000\,000 = 10^9\). Daher gilt \(=\).

Antwort

a) \(<\) b) \(=\) c) \(=\) d) \(=\)
Potenzschreibweise 10
Schreibe die folgenden Zahlen als Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz. Wähle den Exponenten so groß wie möglich. Beispiel: \(500=5\cdot10^2\). a) achtzig Milliarden b) fünfhundert Millionen c) zweitausend d) sieben Billionen

Denkanstöße

- Überlege, wie viele Nullen zu Million, Milliarde und Billion gehören. - Schreibe die Zahl bei Bedarf zuerst vollständig in Ziffern auf. - Verschiebe möglichst viele Endnullen in die Zehnerpotenz, damit ihr Exponent so groß wie möglich wird.

Lösung

1. a) Achtzig Milliarden sind \(80\cdot10^9=8\cdot10^{10}\). 2. b) Fünfhundert Millionen sind \(500\cdot10^6=5\cdot10^8\). 3. c) Zweitausend sind \(2\cdot10^3\). 4. d) Sieben Billionen sind \(7\cdot10^{12}\).

Antwort

a) \(8\cdot10^{10}\) b) \(5\cdot10^8\) c) \(2\cdot10^3\) d) \(7\cdot10^{12}\)
Potenzschreibweise 11
a) Schreibe \(19\,000\,000\) und \(800\,000\,000\,000\) jeweils als Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz. Wähle den Exponenten so groß wie möglich. b) Berechne \(3\cdot10^4+7\cdot10^2\) und gib das Ergebnis als Zahl an.

Denkanstöße

- Achte in a) auf die Endnullen der beiden Zahlen. - Überlege, wie viele Faktoren \(10\) du in einer Zehnerpotenz zusammenfassen kannst. - Berechne in b) zuerst die beiden Produkte und addiere danach.

Lösung

1. a) \(19\,000\,000\) hat sechs Endnullen. Daher gilt \(19\,000\,000=19\cdot10^6\). Bei \(800\,000\,000\,000\) können elf Endnullen in die Zehnerpotenz übernommen werden: \(8\cdot10^{11}\). 2. b) \(3\cdot10^4=30\,000\) und \(7\cdot10^2=700\). Damit ist \(30\,000+700=30\,700\).

Antwort

a) \(19\cdot10^6\) und \(8\cdot10^{11}\) b) \(30\,700\)
Potenzschreibweise 12
Bestimme den Wert der Potenzen. Notiere dabei zuerst die Rechnung als Produkt. a) \(10^5\) b) \(1^{100}\) c) \(13^2\) d) \(2^6\)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn man die Zahl 1 beliebig oft mit sich selbst multipliziert? - Gibt es bei Zehnerpotenzen einen Trick, um die Anzahl der Nullen schnell zu bestimmen? - Multipliziere bei längeren Produkten Schritt für Schritt von links nach rechts.

Lösung

1. \(10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000\). 2. \(1^{100} = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1\), da ein Produkt aus Einsen immer \(1\) ist. 3. \(13^2 = 13 \cdot 13 = 169\). 4. \(2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64\).

Antwort

a) \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000\) b) \(1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1\) c) \(13 \cdot 13 = 169\) d) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64\)
Potenzschreibweise 13
Berechne die folgenden Terme. Schreibe die Potenzen dabei zuerst als Produkte. a) \(7 \cdot 10^3\) b) \(4 \cdot 2^5\) c) \(2^3 \cdot 5^2\)

Denkanstöße

- Schreibe jede Potenz zuerst als Produkt gleicher Faktoren. - Berechne danach den Wert der Potenz. - Multipliziere zum Schluss mit den übrigen Faktoren.

Lösung

1. a) \(10^3=10\cdot10\cdot10=1000\). Daher ist \(7\cdot1000=7000\). 2. b) \(2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\). Daher ist \(4\cdot32=128\). 3. c) \(2^3=8\) und \(5^2=25\). Daher ist \(8\cdot25=200\).

Antwort

a) \(7\cdot1000=7000\) b) \(4\cdot32=128\) c) \(8\cdot25=200\)
Potenzschreibweise 14
Bei einem großen Tischtennis-Turnier wird im K.-o.-System gespielt. Das bedeutet, wer ein Spiel verliert, scheidet sofort aus. Die Anzahl der Teilnehmer halbiert sich also in jeder Runde. a) Wenn \(128\) Spieler teilnehmen, wie viele Runden müssen nacheinander gespielt werden, bis ein einziger Sieger feststeht? Nutze Zweierpotenzen für deine Begründung. b) Wie viele Spieler könnten maximal teilnehmen, wenn das Turnier über genau \(9\) Runden gehen würde?

Denkanstöße

- Was passiert mit der Anzahl der Spieler nach der ersten Runde? - Kannst du eine Liste der Zweierpotenzen aufschreiben (\(2^1, 2^2, 2^3, \dots\))? - Wie oft musst du die Zahl \(2\) mit sich selbst multiplizieren, um auf \(128\) zu kommen? - Überlege dir, wie viele Spieler in der allerletzten Runde (dem Finale) noch dabei sind.

Lösung

1. Da sich die Teilnehmerzahl pro Runde halbiert, entspricht die Anzahl der Spieler der Basis \(2\) hoch der Anzahl der Runden. 2. Für Teilaufgabe a): Es gilt \(2^7 = 128\). Somit sind \(7\) Runden notwendig. 3. Für Teilaufgabe b): Bei \(9\) Runden berechnet man \(2^9\). Da \(2^7 = 128\), ist \(2^8 = 256\) und \(2^9 = 512\). Es können also maximal \(512\) Spieler teilnehmen.

Antwort

a) Es müssen \(7\) Runden gespielt werden, da \(2^7 = 128\) ist. b) Es könnten maximal \(512\) Spieler teilnehmen (\(2^9 = 512\)).
Potenzschreibweise 15
Natürliche Zahlen kannst du als Summe ihrer Stellenwerte schreiben. Dabei lassen sich die Stellenwerte mit Zehnerpotenzen darstellen. Beispiel: \(625=6\cdot10^2+2\cdot10+5\). Zerlege die folgenden Zahlen nach diesem Muster: a) \(9382\) b) \(50\,417\) c) \(603\,009\)

Denkanstöße

- Welche Stelle hat jede von \(0\) verschiedene Ziffer? - Schreibe die Zahl von der höchsten Stelle aus als Summe ihrer Stellenwerte. - Eine Stelle mit der Ziffer \(0\) muss in der Summe nicht erscheinen.

Lösung

1. a) \(9382=9000+300+80+2=9\cdot10^3+3\cdot10^2+8\cdot10+2\). 2. b) \(50\,417=50\,000+400+10+7=5\cdot10^4+4\cdot10^2+1\cdot10+7\). Die Tausenderstelle ist \(0\) und wird nicht mitgeschrieben. 3. c) \(603\,009=600\,000+3000+9=6\cdot10^5+3\cdot10^3+9\).

Antwort

a) \(9\cdot10^3+3\cdot10^2+8\cdot10+2\) b) \(5\cdot10^4+4\cdot10^2+1\cdot10+7\) c) \(6\cdot10^5+3\cdot10^3+9\)
Potenzschreibweise 16
Berechne die Summe aus Zehnerpotenzen: \(4\cdot10^5+2\cdot10^3+7\cdot10+5\) a) Welche Zahl erhältst du? b) Vergleiche dein Ergebnis mit \(42\,705\). Setze \(<\), \(>\) oder \(=\) dazwischen.

Denkanstöße

- Schreibe die Werte der einzelnen Zehnerpotenzen zuerst als Zahlen auf. - Achte beim Addieren auf die Stellenwerte. - Fehlt eine Zehnerpotenz für eine Stelle, steht dort in der fertigen Zahl eine \(0\).

Lösung

1. \(4\cdot10^5=400\,000\), \(2\cdot10^3=2000\), \(7\cdot10=70\) und der Einerwert ist \(5\). 2. Damit ist \(400\,000+2000+70+5=402\,075\). An der Zehntausender- und Hunderterstelle steht jeweils \(0\). 3. \(402\,075\) hat sechs Stellen, \(42\,705\) hat fünf. Daher gilt \(402\,075>42\,705\).

Antwort

a) \(402\,075\) b) \(402\,075>42\,705\)
Potenzschreibweise 17
1. Schreibe die folgenden Zahlen als Summe von Zehnerpotenzen: a) \(60\,403\) b) \(2\,008\,000\) 2. Welche Zahl ergibt \(5\cdot10^7+2\cdot10^5+9\cdot10^1\) in Ziffernschreibweise?

Denkanstöße

- Welchen Stellenwert hat jede von \(0\) verschiedene Ziffer? - Der Exponent von \(10^n\) zeigt den zugehörigen Stellenwert. - Die Einerstelle kannst du als gewöhnliche Zahl stehen lassen. - Setze beim Zurückschreiben in die Ziffernschreibweise an nicht besetzten Stellen Nullen ein.

Lösung

1. a) \(60\,403=6\cdot10^4+4\cdot10^2+3\). Stellen mit der Ziffer \(0\) werden weggelassen. 2. b) \(2\,008\,000=2\cdot10^6+8\cdot10^3\). 3. \(5\cdot10^7=50\,000\,000\), \(2\cdot10^5=200\,000\) und \(9\cdot10^1=90\). 4. Daher ist \(50\,000\,000+200\,000+90=50\,200\,090\).

Antwort

1. a) \(6\cdot10^4+4\cdot10^2+3\) b) \(2\cdot10^6+8\cdot10^3\) 2. \(50\,200\,090\)
Potenzschreibweise 18
Bestimme den fehlenden Exponenten: \(2^{\square} = 32\).

Denkanstöße

- Der Exponent zählt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. - Baue die Potenzen von \(2\) schrittweise auf. - Stoppe, sobald der Wert \(32\) erreicht ist.

Lösung

1. Schreibe die aufeinanderfolgenden Potenzen von \(2\) als Produkte gleicher Faktoren. 2. \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\). 3. Es werden fünf Faktoren \(2\) benötigt. Daher ist der fehlende Exponent \(5\).

Antwort

\(2^5 = 32\), also ist der Exponent \(5\).
Potenzschreibweise 19
Bestimme die fehlende Basis: \(\square^3=125\).

Denkanstöße

- Der Exponent \(3\) bedeutet, dass die Basis dreimal als Faktor vorkommt. - Welche natürliche Zahl ergibt mit sich selbst dreimal multipliziert \(125\)? - Prüfe deine Zahl, indem du das Produkt aus drei gleichen Faktoren berechnest.

Lösung

1. Gesucht ist eine natürliche Zahl, die dreimal als gleicher Faktor vorkommt. 2. \(5\cdot5\cdot5=125\). 3. Daher ist die fehlende Basis \(5\).

Antwort

\(5^3=125\), also ist die Basis \(5\).
Potenzschreibweise 20
Die Stellenwerttafel zeigt genau einen Chip. Welche Zahl ist dargestellt? Schreibe sie anschließend als Zehnerpotenz.
Abbildung zur Aufgabe 552785

Denkanstöße

- Lies die Stelle ab, in deren Spalte der Chip liegt. - Überlege, wie viele Nullen die zugehörige Stellenwertzahl hat. - Bei einer Zehnerpotenz entspricht diese Anzahl dem Exponenten.

Lösung

1. Der Chip liegt in der Hunderttausenderstelle. 2. Die dargestellte Zahl ist deshalb \(100\,000\). 3. Als Zehnerpotenz gilt \(100\,000 = 10^5\).

Antwort

\(100\,000 = 10^5\)
Potenzschreibweise 21
Ergänze die fehlenden Angaben in der Tabelle. Wähle in der letzten Spalte den Exponenten jeweils so groß wie möglich. <table><tr><th>Zahl als Wort</th><th>Zahl in Ziffernschreibweise</th><th>Mithilfe einer Zehnerpotenz</th></tr><tr><td>neunhunderttausend</td><td>\(900\,000\)</td><td>\(9 \cdot 10^5\)</td></tr><tr><td>vier Millionen</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr><tr><td>\(\square\)</td><td>\(60\,000\,000\,000\)</td><td>\(\square\)</td></tr><tr><td>drei Milliarden</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Wie viele Nullen gehören zu einer Million beziehungsweise einer Milliarde? - Schreibe die Zahl bei Bedarf zuerst vollständig in Ziffern auf. - Wähle die Zehnerpotenz so, dass ihr Exponent möglichst groß ist.

Lösung

1. Vier Millionen sind \(4\,000\,000=4\cdot10^6\). 2. \(60\,000\,000\,000\) sind sechzig Milliarden. Mit größtmöglichem Exponenten gilt \(60\,000\,000\,000=6\cdot10^{10}\). 3. Drei Milliarden sind \(3\,000\,000\,000=3\cdot10^9\).

Antwort

<table><tr><th>Zahl als Wort</th><th>Zahl in Ziffernschreibweise</th><th>Mithilfe einer Zehnerpotenz</th></tr><tr><td>neunhunderttausend</td><td>\(900\,000\)</td><td>\(9 \cdot 10^5\)</td></tr><tr><td>vier Millionen</td><td>\(4\,000\,000\)</td><td>\(4 \cdot 10^6\)</td></tr><tr><td>sechzig Milliarden</td><td>\(60\,000\,000\,000\)</td><td>\(6 \cdot 10^{10}\)</td></tr><tr><td>drei Milliarden</td><td>\(3\,000\,000\,000\)</td><td>\(3 \cdot 10^9\)</td></tr></table>
Potenzschreibweise 22
Große Zahlen werden in wissenschaftlichen Texten oft mit Zehnerpotenzen geschrieben. Schreibe die unterstrichenen Angaben in der Form \(a\cdot10^n\), wobei \(a\) keine Endnull hat. a) Die Anzahl der roten Blutkörperchen im Körper eines Erwachsenen beträgt etwa <u>fünfundzwanzig Billionen</u>. b) Die Erdoberfläche ist etwa <u>fünfhundertzehn Millionen</u> Quadratkilometer groß. c) Ein moderner Computerchip kann über <u>vierzig Milliarden</u> Transistoren enthalten.

Denkanstöße

- Schreibe das Zahlwort bei Bedarf zuerst vollständig in Ziffern auf. - Zähle die Endnullen, die du in die Zehnerpotenz übernehmen kannst. - Vor dem Malzeichen soll am Ende keine Null mehr stehen.

Lösung

1. a) \(25\) Billionen sind \(25\cdot10^{12}\). 2. b) \(510\) Millionen sind \(510\cdot10^6=51\cdot10^7\). 3. c) \(40\) Milliarden sind \(40\cdot10^9=4\cdot10^{10}\).

Antwort

a) \(25\cdot10^{12}\) b) \(51\cdot10^7\) c) \(4\cdot10^{10}\)
Potenzschreibweise 23
Löse die Aufgaben. Gib zu jeder Teilaufgabe das Ergebnis, die Quersumme und den zugehörigen Buchstaben aus der Tabelle an. Nenne danach das Lösungswort. Das Lösungswort allein reicht nicht. a) \(2^6-45\) b) \(3^4-74\) c) \(5^2-10\) d) \(2^3+1^5\) e) \(10^2:50\) <table> <tr> <td>2 \(\rightarrow\) T</td> <td>6 \(\rightarrow\) O</td> <td>7 \(\rightarrow\) P</td> <td>9 \(\rightarrow\) R</td> <td>10 \(\rightarrow\) S</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Berechne in jeder Teilaufgabe zuerst die Potenz. - Bilde danach die Quersumme des Ergebnisses. - Suche erst dann den passenden Buchstaben in der Tabelle.

Lösung

1. a) \(2^6-45=64-45=19\). Die Quersumme ist \(10\), also gehört der Buchstabe S dazu. 2. b) \(3^4-74=81-74=7\). Die Quersumme ist \(7\), also gehört der Buchstabe P dazu. 3. c) \(5^2-10=25-10=15\). Die Quersumme ist \(6\), also gehört der Buchstabe O dazu. 4. d) \(2^3+1^5=8+1=9\). Die Quersumme ist \(9\), also gehört der Buchstabe R dazu. 5. e) \(10^2:50=100:50=2\). Die Quersumme ist \(2\), also gehört der Buchstabe T dazu. 6. Die Buchstaben ergeben SPORT.

Antwort

a) Ergebnis \(19\), Quersumme \(10\), S b) Ergebnis \(7\), Quersumme \(7\), P c) Ergebnis \(15\), Quersumme \(6\), O d) Ergebnis \(9\), Quersumme \(9\), R e) Ergebnis \(2\), Quersumme \(2\), T Lösungswort: SPORT
Potenzschreibweise 24
Vergleiche die Terme, ohne ihren Wert vollständig auszurechnen. Setze \(<\), \(>\) oder \(=\) in das Kästchen ein und begründe kurz. a) \(17^2 \quad \square \quad 18^2\) b) \(10^5 \quad \square \quad 10^6\) c) \(5^2 \cdot 2 \quad \square \quad 5 \cdot 2^2\)

Denkanstöße

- Vergleiche in a) die beiden Grundzahlen; die Hochzahl ist gleich. - Vergleiche in b) die Hochzahlen; die Grundzahl ist gleich. - Schreibe in c) beide Seiten als Produkte und suche die Faktoren, die auf beiden Seiten vorkommen.

Lösung

1. a) Beide Zahlen werden quadriert. Weil \(17<18\), gilt auch \(17^2<18^2\). 2. b) Beide Potenzen haben die Basis \(10\). \(10^6\) enthält einen Faktor \(10\) mehr als \(10^5\). Daher gilt \(10^5<10^6\). 3. c) Schreibe die Terme als Produkte: \(5^2\cdot2=5\cdot5\cdot2\) und \(5\cdot2^2=5\cdot2\cdot2\). Auf beiden Seiten kommen die Faktoren \(5\) und \(2\) vor. Danach werden nur noch \(5\) und \(2\) verglichen. Deshalb ist die linke Seite größer.

Antwort

a) \(17^2<18^2\), weil \(17<18\) und beide Zahlen quadriert werden. b) \(10^5<10^6\), weil \(10^6\) einen Faktor \(10\) mehr enthält. c) \(5^2\cdot2>5\cdot2^2\), weil nach den gemeinsamen Faktoren \(5\) und \(2\) noch \(5>2\) zu vergleichen ist.
Potenzschreibweise 25
Bestimme ohne Taschenrechner, welches Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) die Lücke korrekt füllt. Begründe deine Überlegung. a) \((4 + 4)^2 \square 4^2 + 4^2\) b) \(20^2 \square 40 \cdot 10\) c) \(10^4 - 10^2 \square 10^4 - 10^3\)

Denkanstöße

- Achte bei a) auf die Klammerregeln: Was musst du zuerst berechnen? - Kannst du \(20^2\) als Multiplikation schreiben und mit der rechten Seite vergleichen? - Wenn du von der gleichen Zahl einmal etwas Kleines und einmal etwas Großes abziehst, wo bleibt mehr übrig?

Lösung

1. Bei a) gilt \(4 + 4 = 8\). Damit ist die linke Seite \(8 \cdot 8\). Rechts gilt \(4^2 + 4^2 = 4 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 4 \cdot 8\). Wegen \(8 \cdot 8 > 4 \cdot 8\) ist die linke Seite größer. 2. Bei b) ist \(20^2 = 20 \cdot 20\). Außerdem gilt \(40 \cdot 10 = 2 \cdot 20 \cdot 10 = 20 \cdot 20\). Daher sind beide Seiten gleich. 3. Bei c) wird auf beiden Seiten von \(10^4\) etwas abgezogen. Links wird \(10^2\), rechts \(10^3\) abgezogen. Da \(10^2 < 10^3\), bleibt links der größere Wert übrig.

Antwort

a) \((4+4)^2>4^2+4^2\), denn links steht \(8\cdot8\), rechts \(4\cdot8\). b) \(20^2=40\cdot10\), denn beide Terme lassen sich als \(20\cdot20\) schreiben. c) \(10^4-10^2>10^4-10^3\), weil rechts von demselben Minuenden die größere Zahl abgezogen wird.
Potenzschreibweise 26
An einer Anzeigetafel befinden sich Schalter, die jeweils zwei Zustände haben können: „An“ (Leuchten) oder „Aus“ (Dunkel). a) Wie viele verschiedene Muster können mit \(5\) Schaltern insgesamt erzeugt werden? Gib die Rechnung als Potenz und als natürliche Zahl an. b) Berechne, wie viele Muster mit \(10\) Schaltern möglich sind. c) Wie viele Schalter müssen mindestens vorhanden sein, um für jeden der \(365\) Tage eines Jahres ein eigenes, eindeutiges Muster darstellen zu können?

Denkanstöße

- Wie viele Möglichkeiten hast du bei nur einem Schalter? Wie viele sind es bei zwei Schaltern? - Erkennst du eine Regelmäßigkeit, wenn du für jeden weiteren Schalter die Möglichkeiten verdoppelst? - Schau dir die Ergebnisse von \(2^8\) und \(2^9\) genau an, um die Anzahl der Tage abzudecken.

Lösung

1. Jeder Schalter verdoppelt die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten. Bei \(n\) Schaltern ergeben sich \(2^n\) Muster. 2. Für a): \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\). 3. Für b): \(2^{10} = 1024\). 4. Für c): Gesucht ist die kleinste Potenz von \(2\), die mindestens \(365\) ergibt. Es gilt \(2^8 = 256\) (zu wenig) und \(2^9 = 512\) (ausreichend). Es werden also mindestens \(9\) Schalter benötigt.

Antwort

a) \(2^5 = 32\) Muster. b) \(2^{10} = 1024\) Muster. c) Es werden mindestens \(9\) Schalter benötigt.
Potenzschreibweise 27
1. Schreibe \(100\,000\), \(10\,000\,000\) und eine Milliarde jeweils als Zehnerpotenz. 2. Berechne \(7\cdot10^4+3\cdot10^2\). 3. Die Entfernung zwischen Erde und Sonne beträgt rund \(150\) Millionen Kilometer. Schreibe diese Zahl in der Form \(a\cdot10^n\), wobei \(a\) keine Endnull hat.

Denkanstöße

- Wie viele Nullen haben die angegebenen Zehnerpotenzen? - Berechne bei der Summe zuerst die beiden Produkte. - Für die letzte Aufgabe kannst du die Endnullen der Zahl in einer Zehnerpotenz zusammenfassen.

Lösung

1. \(100\,000=10^5\), \(10\,000\,000=10^7\) und eine Milliarde ist \(1\,000\,000\,000=10^9\). 2. \(7\cdot10^4=70\,000\) und \(3\cdot10^2=300\). Daher ist die Summe \(70\,300\). 3. \(150\) Millionen sind \(150\,000\,000=15\cdot10^7\).

Antwort

1. \(10^5\); \(10^7\); \(10^9\) 2. \(70\,300\) 3. \(15\cdot10^7\,\text{km}\)
Potenzschreibweise 28
Jonas möchte eine geheime Zahl zwischen \(1\) und \(100\) erraten. Er darf nur Fragen stellen, die mit „Ja“ oder „Nein“ beantwortet werden. Mit jeder Frage halbiert er den Bereich der noch möglichen Zahlen. a) Wie viele verschiedene Zahlen kann man mit \(6\) Fragen höchstens unterscheiden? Nutze eine Zweierpotenz. b) Erkläre, warum \(6\) Fragen nicht ausreichen, um jede Zahl zwischen \(1\) und \(100\) sicher zu finden. c) Bestimme die kleinste Anzahl an Fragen, die Jonas dafür benötigt.

Denkanstöße

- Wie viele Möglichkeiten können nach einer, zwei und drei Ja/Nein-Fragen unterschieden werden? - Vergleiche die Zahl der möglichen Ergebnisse nach \(6\) Fragen mit den \(100\) möglichen Zahlen. - Welche Zweierpotenz ist die erste, die mindestens \(100\) beträgt?

Lösung

1. Mit jeder Ja/Nein-Frage verdoppelt sich die Zahl der unterscheidbaren Möglichkeiten. Mit \(n\) Fragen sind es höchstens \(2^n\) Möglichkeiten. 2. a) \(2^6=64\). Mit \(6\) Fragen lassen sich also höchstens \(64\) Zahlen unterscheiden. 3. b) \(64<100\). Deshalb reichen \(6\) Fragen nicht für alle \(100\) möglichen Zahlen. 4. c) \(2^6=64\) ist zu klein, aber \(2^7=128\) reicht aus. Daher braucht Jonas mindestens \(7\) Fragen.

Antwort

a) Höchstens \(2^6=64\) Zahlen. b) \(64<100\), daher reichen \(6\) Fragen nicht für alle Zahlen von \(1\) bis \(100\). c) Jonas benötigt mindestens \(7\) Fragen, denn \(2^7=128\).

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