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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Potenzschreibweise

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4100375
\(3 \cdot 10^2 - 2 \cdot 10^1 + 3 =\)

Denkanstöße

- In welcher Reihenfolge berechnet man Potenzen, Punktrechnung und Strichrechnung? - Was bedeutet die Hochzahl bei einer Zehnerpotenz genau? - Gehe Schritt für Schritt vor und notiere dir die Zwischenergebnisse.

Lösung

1. Auflösung der Potenzen: \(10^2 = 100\) und \(10^1 = 10\). 2. Durchführung der Multiplikationen: \(3 \cdot 100 = 300\) und \(2 \cdot 10 = 20\). 3. Berechnung des Gesamtwerts gemäß der Punkt-vor-Strich-Regel: \(300 - 20 + 3 = 283\).

Antwort

283
4197495
Schreibe die folgenden Potenzen als Produkt aus gleichen Faktoren und berechne anschließend ihren Wert. a) \(5^2\) b) \(2^4\) c) \(3^3\) d) \(8^2\)

Denkanstöße

- Was gibt die kleine Zahl oben (der Exponent) an? - Welche Zahl wird immer wieder mit sich selbst multipliziert? - Achte darauf, wie oft du die Grundzahl als Faktor aufschreibst.

Lösung

1. Berechnung von \(5^2\): \(5 \cdot 5 = 25\) 2. Berechnung von \(2^4\): \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\) 3. Berechnung von \(3^3\): \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) 4. Berechnung von \(8^2\): \(8 \cdot 8 = 64\)

Antwort

a) \(5 \cdot 5 = 25\) b) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\) c) \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) d) \(8 \cdot 8 = 64\)
4156475
Stelle die folgenden Zahlen als Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz dar. a) \(60\,000\) b) \(14\,000\,000\) c) zweihundert Milliarden d) neun Billionen

Denkanstöße

- Zähle die Nullen am Ende der Zahl. - Überlege, wie viele Nullen eine Million, eine Milliarde oder eine Billion hat. - Die Hochzahl (Exponent) der Zehnerpotenz gibt an, wie viele Nullen an die Eins gehängt werden.

Lösung

1. Bestimmung der Anzahl der Nullen für jede Zahl: a) \(60\,000\) hat 4 Nullen: \(6 \cdot 10^4\) b) \(14\,000\,000\) hat 6 Nullen nach der 14: \(14 \cdot 10^6\) c) Eine Milliarde hat 9 Nullen. Zweihundert Milliarden sind \(200\,000\,000\,000\), also insgesamt 11 Nullen: \(2 \cdot 10^{11}\) d) Eine Billion hat 12 Nullen. Neun Billionen sind \(9\,000\,000\,000\,000\): \(9 \cdot 10^{12}\)

Antwort

a) \(6 \cdot 10^4\) b) \(14 \cdot 10^6\) c) \(2 \cdot 10^{11}\) (oder \(200 \cdot 10^9\)) d) \(9 \cdot 10^{12}\)
4156495
Schreibe die Zahlen in der gewohnten Ziffernschreibweise (ohne Zehnerpotenzen). Nutze zur besseren Lesbarkeit kleine Abstände als Tausendertrennzeichen. a) \(5 \cdot 10^4\) b) \(23 \cdot 10^6\) c) \(10^8\) d) \(402 \cdot 10^3\)

Denkanstöße

- Was bedeutet eine Zehnerpotenz wie \(10^4\) ausgeschrieben? - Die kleine Hochzahl sagt dir genau, wie viele Nullen du an die Zahl vorne anhängen musst. - Vergiss nicht, die Tausenderabstände zu setzen, damit man die Zahl leichter lesen kann.

Lösung

1. Ausmultiplizieren der Zehnerpotenzen durch Anhängen der entsprechenden Anzahl an Nullen: a) \(5\) mit 4 Nullen: \(50\,000\) b) \(23\) mit 6 Nullen: \(23\,000\,000\) c) Eine \(1\) mit 8 Nullen: \(100\,000\,000\) d) \(402\) mit 3 Nullen: \(402\,000\)

Antwort

a) \(50\,000\) b) \(23\,000\,000\) c) \(100\,000\,000\) d) \(402\,000\)
4172645
Wandle die folgenden Darstellungen großer Zahlen um. a) Schreibe \(8 \cdot 10^5\) als Zahlwort. b) Schreibe \(400\,000\,000\) als Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz. c) Schreibe die Zahl „sechs Billionen“ in der Standard-Ziffernschreibweise. d) Schreibe \(15 \cdot 10^4\) in der Standard-Ziffernschreibweise.

Denkanstöße

- Wie viele Nullen hat eine Million, eine Milliarde oder eine Billion? - Was gibt der Exponent bei einer Zehnerpotenz über die Anzahl der Nullen an? - Kannst du die Zehnerpotenz zuerst als normale Zahl (wie \(100\), \(1000\) etc.) schreiben?

Lösung

1. Für \(8 \cdot 10^5\) berechnet man \(8 \cdot 100\,000 = 800\,000\). Das entsprechende Zahlwort ist achthunderttausend. 2. Die Zahl \(400\,000\,000\) hat acht Nullen. Sie lässt sich als \(4 \cdot 100\,000\,000\) schreiben, was \(4 \cdot 10^8\) entspricht. 3. Eine Billion hat zwölf Nullen. Sechs Billionen schreibt man daher als \(6\,000\,000\,000\,000\). 4. Der Ausdruck \(15 \cdot 10^4\) bedeutet \(15 \cdot 10\,000\). Das ergibt \(150\,000\).

Antwort

a) achthunderttausend b) \(4 \cdot 10^8\) c) \(6\,000\,000\,000\,000\) d) \(150\,000\)
4172665
Vervollständige die folgende Tabelle, indem du die fehlenden Darstellungen ergänzt. <table> <tr> <th>Zahlwort</th> <th>Ziffernschreibweise</th> <th>Produkt mit Zehnerpotenz</th> </tr> <tr> <td>Eine Million</td> <td>(1)</td> <td>\(10^6\)</td> </tr> <tr> <td>(2)</td> <td>\(700\,000\)</td> <td>\(7 \cdot 10^5\)</td> </tr> <tr> <td>Zwölf Milliarden</td> <td>\(12\,000\,000\,000\)</td> <td>(3)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Schaue dir die Spaltenüberschriften genau an. - Wie viele Nullen hängst du an eine Zahl an, wenn du sie mit \(10^5\) oder \(10^9\) multiplizierst? - Überlege, wie die Stellenwerttafel für sehr große Zahlen aufgebaut ist.

Lösung

1. Eine Million entspricht der Eins mit sechs Nullen, also \(1\,000\,000\). 2. Die Zahl \(700\,000\) wird als siebenhunderttausend gelesen. 3. Die Zahl \(12\,000\,000\,000\) besteht aus der Zahl \(12\) gefolgt von neun Nullen. Dies lässt sich als \(12 \cdot 1\,000\,000\,000\) schreiben, was \(12 \cdot 10^9\) ergibt.

Antwort

(1) \(1\,000\,000\) (2) siebenhunderttausend (3) \(12 \cdot 10^9\)
4172825
Schreibe die folgenden Zahlen als Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz (zum Beispiel \(500 = 5 \cdot 10^2\)). Wähle den Exponenten der Zehnerpotenz so groß wie möglich. a) achtzig Milliarden b) fünfhundert Millionen c) zweitausend d) sieben Billionen

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Nullen die Begriffe „Million“, „Milliarde“ und „Billion“ jeweils haben. - Schreibe die Zahl zuerst mit allen Nullen auf, um die Zehnerpotenz leichter zu finden. - Eine Zehnerpotenz wie \(10^3\) steht für eine Eins mit drei Nullen. - Versuche, so viele Nullen wie möglich in die Zehnerpotenz zu „packen“, damit die vordere Zahl möglichst klein wird.

Lösung

1. Bestimmung der Anzahl der Nullen für die Begriffe: Tausend (\(10^3\)), Million (\(10^6\)), Milliarde (\(10^9\)), Billion (\(10^{12}\)). 2. Umwandlung der Teilaufgaben: a) achtzig Milliarden entspricht \(80 \cdot 10^9\). Da \(80 = 8 \cdot 10^1\), ergibt sich \(8 \cdot 10^{10}\). b) fünfhundert Millionen entspricht \(500 \cdot 10^6\). Da \(500 = 5 \cdot 10^2\), ergibt sich \(5 \cdot 10^8\). c) zweitausend entspricht \(2 \cdot 10^3\). d) sieben Billionen entspricht \(7 \cdot 10^{12}\).

Antwort

a) \(8 \cdot 10^{10}\) b) \(5 \cdot 10^8\) c) \(2 \cdot 10^3\) d) \(7 \cdot 10^{12}\)
4197505
Bestimme den Wert der Potenzen. Notiere dabei zuerst die Rechnung als Produkt. a) \(10^5\) b) \(1^{100}\) c) \(13^2\) d) \(2^6\)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn man die Zahl 1 beliebig oft mit sich selbst multipliziert? - Gibt es bei Zehnerpotenzen einen Trick, um die Anzahl der Nullen schnell zu bestimmen? - Multipliziere bei längeren Produkten Schritt für Schritt von links nach rechts.

Lösung

1. \(10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000\). 2. \(1^{100} = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1\), da ein Produkt aus Einsen immer \(1\) ist. 3. \(13^2 = 13 \cdot 13 = 169\). 4. \(2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64\).

Antwort

a) \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000\) b) \(1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1\) c) \(13 \cdot 13 = 169\) d) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64\)
4197865
Vergleiche die Terme, ohne ihren Wert vollständig auszurechnen. Setze das passende Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in das Kästchen ein und begründe kurz deine Entscheidung. a) \(17^2 \square 18^2\) b) \(10^5 \square 10^6\) c) \(5^2 \cdot 2 \square 5 \cdot 2^2\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Wert einer Potenz, wenn du bei gleichem Exponenten die positive Basis vergrößerst? - Wie verhält sich der Wert bei gleicher Basis größer als \(1\), wenn der Exponent wächst? - Schreibe in Teil c beide Potenzen als Produkte und suche einen gemeinsamen positiven Faktor.

Lösung

1. Bei gleichem Exponenten ist die Potenz mit der größeren positiven Basis größer. Aus \(17 < 18\) folgt \(17^2 < 18^2\). 2. Bei gleicher Basis größer als \(1\) ist die Potenz mit dem größeren Exponenten größer. Aus \(5 < 6\) folgt \(10^5 < 10^6\). 3. Schreibe beide Terme als Produkte: \(5^2 \cdot 2 = 5 \cdot 5 \cdot 2\) und \(5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 2 \cdot 2\). Beide enthalten den positiven Faktor \(5 \cdot 2\). Danach werden nur noch \(5\) und \(2\) verglichen. Da \(5 > 2\) gilt, ist \(5^2 \cdot 2 > 5 \cdot 2^2\).

Antwort

a) \(<\) b) \(<\) c) \(>\)
4198025
Bei einem großen Tischtennis-Turnier wird im K.-o.-System gespielt. Das bedeutet, wer ein Spiel verliert, scheidet sofort aus. Die Anzahl der Teilnehmer halbiert sich also in jeder Runde. a) Wenn \(128\) Spieler teilnehmen, wie viele Runden müssen nacheinander gespielt werden, bis ein einziger Sieger feststeht? Nutze Zweierpotenzen für deine Begründung. b) Wie viele Spieler könnten maximal teilnehmen, wenn das Turnier über genau \(9\) Runden gehen würde?

Denkanstöße

- Was passiert mit der Anzahl der Spieler nach der ersten Runde? - Kannst du eine Liste der Zweierpotenzen aufschreiben (\(2^1, 2^2, 2^3, \dots\))? - Wie oft musst du die Zahl \(2\) mit sich selbst multiplizieren, um auf \(128\) zu kommen? - Überlege dir, wie viele Spieler in der allerletzten Runde (dem Finale) noch dabei sind.

Lösung

1. Da sich die Teilnehmerzahl pro Runde halbiert, entspricht die Anzahl der Spieler der Basis \(2\) hoch der Anzahl der Runden. 2. Für Teilaufgabe a): Es gilt \(2^7 = 128\). Somit sind \(7\) Runden notwendig. 3. Für Teilaufgabe b): Bei \(9\) Runden berechnet man \(2^9\). Da \(2^7 = 128\), ist \(2^8 = 256\) und \(2^9 = 512\). Es können also maximal \(512\) Spieler teilnehmen.

Antwort

a) Es müssen \(7\) Runden gespielt werden, da \(2^7 = 128\) ist. b) Es könnten maximal \(512\) Spieler teilnehmen (\(2^9 = 512\)).
4245415
Zehnerpotenzen helfen dabei, große Zahlen übersichtlich darzustellen und die Struktur unseres Dezimalsystems zu verstehen. 1. Schreibe die folgenden Zahlen als Summe von Zehnerpotenzen (z. B. \(305 = 3 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0\)): a) \(60\,403\) b) \(2\,008\,000\) 2. Welche Zahl in der gewöhnlichen Dezimalschreibweise entspricht dem folgenden Ausdruck? \(5 \cdot 10^7 + 2 \cdot 10^5 + 9 \cdot 10^1\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welchen Stellenwert (Einer, Zehner, Hunderter, Tausender...) jede Ziffer hat. - Die Hochzahl bei \(10^n\) gibt an, wie viele Nullen die Stufenzahl hat. - Achte beim Umwandeln in die Dezimalschreibweise darauf, an den Stellen, die in der Summe fehlen, eine Null zu setzen. - Wie viele Nullen hat die Zahl \(10^7\)?

Lösung

1. Zerlegung der Zahlen in Stellenwerte: a) \(60\,403 = 6 \cdot 10\,000 + 0 \cdot 1\,000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 3 \cdot 1\). In Zehnerpotenzen: \(6 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^0\) (Nullterme können weggelassen werden). b) \(2\,008\,000 = 2 \cdot 1\,000\,000 + 8 \cdot 1\,000\). In Zehnerpotenzen: \(2 \cdot 10^6 + 8 \cdot 10^3\). 2. Berechnung des Gesamtwerts: \(5 \cdot 10^7 = 50\,000\,000\), \(2 \cdot 10^5 = 200\,000\), \(9 \cdot 10^1 = 90\). Addition der Werte: \(50\,000\,000 + 200\,000 + 90 = 50\,200\,090\).

Antwort

1. a) \(6 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^0\) (oder mit Nulltermen: \(6 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0\)) b) \(2 \cdot 10^6 + 8 \cdot 10^3\) 2. \(50\,200\,090\)
4156485
Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl. \(7 \cdot 10^4\); \(700\); \(7 \cdot 10^6\); \(70\,000\,000\); \(7 \cdot 10^3\)

Denkanstöße

- Schreibe dir alle Zahlen zuerst in der gleichen Schreibweise auf, um sie besser vergleichen zu können. - Achte auf die Anzahl der Stellen oder die Hochzahl bei der Zehnerpotenz. - Je größer der Exponent bei der Basis 10 ist, desto größer ist die Zahl (bei gleichem Vorfaktor).

Lösung

1. Umwandlung aller Zahlen in die Ziffernschreibweise zum besseren Vergleich: \(700 = 7 \cdot 10^2\) \(7 \cdot 10^3 = 7\,000\) \(7 \cdot 10^4 = 70\,000\) \(7 \cdot 10^6 = 7\,000\,000\) \(70\,000\,000 = 7 \cdot 10^7\) 2. Vergleich der Zahlen anhand ihrer Stellenanzahl bzw. der Exponenten: \(700 < 7\,000 < 70\,000 < 7\,000\,000 < 70\,000\,000\)

Antwort

\(700 < 7 \cdot 10^3 < 7 \cdot 10^4 < 7 \cdot 10^6 < 70\,000\,000\)
4172535
Vergleiche die Werte und setze das passende Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in die Lücke ein. a) \(6 \cdot 10^4\) ___ \(6\,000\) b) \(200\,000\) ___ \(2 \cdot 10^5\) c) \(9 \cdot 10^2\) ___ \(9 \cdot 10^3\) d) \(40\,000\) ___ \(3 \cdot 10^4\)

Denkanstöße

- Wandle beide Seiten in die gleiche Schreibweise um, bevor du sie vergleichst. - Worauf musst du achten, wenn die Hochzahlen der Zehnerpotenzen unterschiedlich sind? - Überlege dir, welche der Zahlen mehr Stellen hat.

Lösung

1. Teilaufgabe a): \(6 \cdot 10^4 = 60\,000\). Da \(60\,000 > 6\,000\), ist das Zeichen \(>\). 2. Teilaufgabe b): \(2 \cdot 10^5 = 200\,000\). Da \(200\,000 = 200\,000\), ist das Zeichen \(=\). 3. Teilaufgabe c): \(9 \cdot 10^2 = 900\) und \(9 \cdot 10^3 = 9\,000\). Da \(900 < 9\,000\), ist das Zeichen \(<\). 4. Teilaufgabe d): \(3 \cdot 10^4 = 30\,000\). Da \(40\,000 > 30\,000\), ist das Zeichen \(>\).

Antwort

a) \(6 \cdot 10^4 > 6\,000\) b) \(200\,000 = 2 \cdot 10^5\) c) \(9 \cdot 10^2 < 9 \cdot 10^3\) d) \(40\,000 > 3 \cdot 10^4\)
4172545
Bestimme die gesuchte Zahl \(x\), sodass die Gleichungen stimmen. a) \(30\,000 = 3 \cdot 10^x\) b) \(x = 5 \cdot 10^4\) c) \(100\,000 = 10^x\) d) \(x = 8 \cdot 10^1\)

Denkanstöße

- Was bedeutet ein Exponent wie \(1\) oder \(4\) bei einer Zehnerpotenz? - Zähle die Nullen der Zahl, um den passenden Exponenten zu finden. - Berechne zuerst den Wert der Zehnerpotenz und multipliziere ihn dann mit der vorderen Zahl.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Die Zahl \(30\,000\) hat vier Nullen. Daher muss der Exponent \(x = 4\) sein. 2. Teilaufgabe b): Die Zehnerpotenz \(10^4\) steht für \(10\,000\). Das Produkt \(5 \cdot 10\,000\) ergibt \(x = 50\,000\). 3. Teilaufgabe c): Die Zahl \(100\,000\) hat fünf Nullen. Eine Zehnerpotenz mit fünf Nullen ist \(10^5\), also ist \(x = 5\). 4. Teilaufgabe d): Die Zehnerpotenz \(10^1\) ist gleich \(10\). Das Produkt \(8 \cdot 10\) ergibt \(x = 80\).

Antwort

a) \(x = 4\) b) \(x = 50\,000\) c) \(x = 5\) d) \(x = 80\)
4172655
Vergleiche die folgenden Werte und setze das passende Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in das Kästchen ein. a) \(2 \cdot 10^6 \square 20\,000\,000\) b) \(10^3 \cdot 10^2 \square 10^5\) c) \(500 \cdot 10^3 \square 5 \cdot 10^5\) d) Eine Milliarde \(\square 10^9\)

Denkanstöße

- Schreibe am besten beide Seiten in der gleichen Form auf, zum Beispiel als normale Zahl. - Zähle die Nullen genau ab. - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder schreibe sie als Faktoren aus.

Lösung

1. \(2 \cdot 10^6 = 2\,000\,000\). Da \(2\,000\,000 < 20\,000\,000\), ist das Zeichen \(<\). 2. \(10^3 \cdot 10^2 = 1\,000 \cdot 100 = 100\,000\). Da \(10^5 = 100\,000\), ist das Zeichen \(=\). 3. \(500 \cdot 10^3 = 500 \cdot 1\,000 = 500\,000\). Da \(5 \cdot 10^5 = 5 \cdot 100\,000 = 500\,000\), ist das Zeichen \(=\). 4. Eine Milliarde ist eine Eins mit neun Nullen (\(1\,000\,000\,000\)). Das entspricht genau \(10^9\), also ist das Zeichen \(=\).

Antwort

a) \(<\) b) \(=\) c) \(=\) d) \(=\)
4172835
Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Angaben. | Zahl als Wort | Zahl in Ziffernschreibweise | Mithilfe einer Zehnerpotenz | | :--- | :--- | :--- | | neunhunderttausend | \(900\,000\) | \(9 \cdot 10^5\) | | vier Millionen | ? | ? | | ? | \(60\,000\,000\,000\) | ? | | drei Milliarden | ? | ? |

Denkanstöße

- Wie viele Nullen hat eine Million oder eine Milliarde? - Zähle bei der Ziffernschreibweise die Nullen genau ab, um den Exponenten für die Zehnerpotenz zu finden. - Erinnere dich an die Stellenwerttafel: Tausender, Millionen, Milliarden.

Lösung

1. Zeile 2: „vier Millionen“ bedeutet eine \(4\) mit sechs Nullen, also \(4\,000\,000\). Als Zehnerpotenz geschrieben ist das \(4 \cdot 10^6\). 2. Zeile 3: Die Zahl \(60\,000\,000\,000\) hat zehn Nullen. Das entspricht sechzig Milliarden. Als Zehnerpotenz geschrieben: \(6 \cdot 10^{10}\). 3. Zeile 4: „drei Milliarden“ bedeutet eine \(3\) mit neun Nullen, also \(3\,000\,000\,000\). Als Zehnerpotenz geschrieben ist das \(3 \cdot 10^9\).

Antwort

| Zahl als Wort | Zahl in Ziffernschreibweise | Mithilfe einer Zehnerpotenz | | :--- | :--- | :--- | | neunhunderttausend | \(900\,000\) | \(9 \cdot 10^5\) | | vier Millionen | \(4\,000\,000\) | \(4 \cdot 10^6\) | | sechzig Milliarden | \(60\,000\,000\,000\) | \(6 \cdot 10^{10}\) | | drei Milliarden | \(3\,000\,000\,000\) | \(3 \cdot 10^9\) |
4197515
Berechne das Ergebnis der folgenden Terme. Wandle die Potenzen dabei zuerst in Produkte um. a) \(7 \cdot 10^3\) b) \(4 \cdot 2^5\) c) \(2^3 \cdot 5^2\)

Denkanstöße

- Denke an die Vorrangregel: Potenzen werden vor der Multiplikation berechnet. - Berechne zuerst den Wert der Potenz und multipliziere das Ergebnis dann mit der anderen Zahl. - Bei zwei Potenzen berechnest du am besten beide einzeln und bildest am Ende das Produkt.

Lösung

1. Berechnung von \(7 \cdot 10^3\): Zuerst die Potenz \(10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\). Dann Multiplikation: \(7 \cdot 1000 = 7000\). 2. Berechnung von \(4 \cdot 2^5\): Zuerst die Potenz \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\). Dann Multiplikation: \(4 \cdot 32 = 128\). 3. Berechnung von \(2^3 \cdot 5^2\): Zuerst beide Potenzen berechnen. \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) und \(5^2 = 5 \cdot 5 = 25\). Dann Multiplikation: \(8 \cdot 25 = 200\).

Antwort

a) \(7 \cdot 1000 = 7000\) b) \(4 \cdot 32 = 128\) c) \(8 \cdot 25 = 200\)
4197595
Löse die Aufgaben und finde das Lösungswort. Bilde dazu die Quersumme des Betrages deines Ergebnisses und wähle den entsprechenden Buchstaben aus der Tabelle. a) \(2^6 - 45\) b) \(3^4 - 74\) c) \(5^2 - 10\) d) \(2^3 + 1^5\) e) \(10^2 : 50\) <table> <tr> <td>2 \(\rightarrow\) T</td> <td>6 \(\rightarrow\) O</td> <td>7 \(\rightarrow\) P</td> <td>9 \(\rightarrow\) R</td> <td>10 \(\rightarrow\) S</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Achte auf die Reihenfolge: Potenzen werden vor der Subtraktion oder Addition berechnet. - Überlege genau, wie oft die Basis bei einer Potenz mit sich selbst multipliziert wird. - Wenn das Ergebnis zweistellig ist, addiere beide Ziffern für die Quersumme.

Lösung

1. Berechnung der Ergebnisse: a) \(2^6 - 45 = 64 - 45 = 19\) b) \(3^4 - 74 = 81 - 74 = 7\) c) \(5^2 - 10 = 25 - 10 = 15\) d) \(2^3 + 1^5 = 8 + 1 = 9\) e) \(10^2 : 50 = 100 : 50 = 2\) 2. Bestimmung der Quersummen: a) \(19 \rightarrow 1 + 9 = 10\) b) \(7 \rightarrow 7\) c) \(15 \rightarrow 1 + 5 = 6\) d) \(9 \rightarrow 9\) e) \(2 \rightarrow 2\) 3. Zuordnung der Buchstaben: 10 (S), 7 (P), 6 (O), 9 (R), 2 (T).

Antwort

Das Lösungswort lautet SPORT.
4197875
Überprüfe die folgenden Ausdrücke mithilfe deines Wissens über Zehnerpotenzen und große Zahlen. Setze \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) \(6 \cdot 10^4 \square 60\,000\) b) \(3 \cdot 10^7 \square 30\,\text{Millionen}\) c) \(10^8 \square 100\,\text{Millionen}\)

Denkanstöße

- Wie viele Nullen hat eine Zahl, die als Zehnerpotenz geschrieben wird? - Wie viele Nullen hat eine Million? - Schreibe dir die Zehnerpotenzen als normale Zahlen auf, um sie besser vergleichen zu können.

Lösung

1. \(10^4\) entspricht einer \(1\) mit vier Nullen (\(10\,000\)). Somit ist \(6 \cdot 10\,000 = 60\,000\). Ergebnis: \(=\). 2. \(10^7\) entspricht \(10\,\text{Millionen}\). Somit ist \(3 \cdot 10^7 = 3 \cdot 10\,\text{Millionen} = 30\,\text{Millionen}\). Ergebnis: \(=\). 3. \(10^8\) ist eine \(1\) mit acht Nullen (\(100\,000\,000\)). \(100\,\text{Millionen}\) ist ebenfalls eine \(1\) mit acht Nullen (\(100\) gefolgt von sechs Nullen). Ergebnis: \(=\).

Antwort

a) \(=\) b) \(=\) c) \(=\)
4198035
An einer Anzeigetafel befinden sich Schalter, die jeweils zwei Zustände haben können: „An“ (Leuchten) oder „Aus“ (Dunkel). a) Wie viele verschiedene Muster können mit \(5\) Schaltern insgesamt erzeugt werden? Gib die Rechnung als Potenz und als natürliche Zahl an. b) Berechne, wie viele Muster mit \(10\) Schaltern möglich sind. c) Wie viele Schalter müssen mindestens vorhanden sein, um für jeden der \(365\) Tage eines Jahres ein eigenes, eindeutiges Muster darstellen zu können?

Denkanstöße

- Wie viele Möglichkeiten hast du bei nur einem Schalter? Wie viele sind es bei zwei Schaltern? - Erkennst du eine Regelmäßigkeit, wenn du für jeden weiteren Schalter die Möglichkeiten verdoppelst? - Schau dir die Ergebnisse von \(2^8\) und \(2^9\) genau an, um die Anzahl der Tage abzudecken.

Lösung

1. Jeder Schalter verdoppelt die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten. Bei \(n\) Schaltern ergeben sich \(2^n\) Muster. 2. Für a): \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\). 3. Für b): \(2^{10} = 1024\). 4. Für c): Gesucht ist die kleinste Potenz von \(2\), die mindestens \(365\) ergibt. Es gilt \(2^8 = 256\) (zu wenig) und \(2^9 = 512\) (ausreichend). Es werden also mindestens \(9\) Schalter benötigt.

Antwort

a) \(2^5 = 32\) Muster. b) \(2^{10} = 1024\) Muster. c) Es werden mindestens \(9\) Schalter benötigt.
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1. Schreibe die folgenden Zahlen als Zehnerpotenz (z. B. \(10^n\)): \(100\,000\), \(10\,000\,000\) und eine Milliarde. 2. Bestimme den Wert der Summe \(7 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^2\). 3. Die Entfernung zwischen Erde und Sonne beträgt rund \(150\) Millionen Kilometer. Drücke diese Zahl kompakt mit Hilfe einer Zehnerpotenz aus (z. B. in der Form \(a \cdot 10^n\)).

Denkanstöße

- Wie viele Nullen hat eine Million oder eine Milliarde? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullen und dem Exponenten bei Zehnerpotenzen? - Berechne bei der Summe zuerst die Werte der einzelnen Potenzen, bevor du addierst. - Bei der kompakten Schreibweise kannst du die Nullen am Ende der Zahl durch eine Zehnerpotenz ersetzen.

Lösung

1. Bestimmung der Zehnerpotenzen durch Abzählen der Nullen: \(100\,000 = 10^5\); \(10\,000\,000 = 10^7\); eine Milliarde (\(1\,000\,000\,000\)) \(= 10^9\). 2. Berechnung der Summe: \(7 \cdot 10^4 = 70\,000\) und \(3 \cdot 10^2 = 300\). Addition ergibt \(70\,000 + 300 = 70\,300\). 3. Darstellung der Entfernung: \(150\) Millionen sind \(150\,000\,000\). In Potenzschreibweise ergibt dies \(150 \cdot 10^6\) oder \(15 \cdot 10^7\).

Antwort

1. \(10^5\); \(10^7\); \(10^9\). 2. \(70\,300\). 3. \(150 \cdot 10^6\,\text{km}\) oder \(15 \cdot 10^7\,\text{km}\).
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In wissenschaftlichen Texten werden große Zahlen oft kompakt geschrieben. Wandle die unterstrichenen Angaben in die Form \(a \cdot 10^n\) um (wobei \(a\) eine natürliche Zahl ohne Endnullen ist). a) Die Anzahl der roten Blutkörperchen im Körper eines Erwachsenen beträgt etwa <u>fünfundzwanzig Billionen</u>. b) Die Erdoberfläche ist etwa <u>fünfhundertzehn Millionen</u> Quadratkilometer groß. c) Ein moderner Computerchip kann über <u>vierzig Milliarden</u> Transistoren enthalten.

Denkanstöße

- Konzentriere dich nur auf die unterstrichenen Zahlwörter. - Schreibe dir die Zahl erst einmal „ganz lang“ mit allen Nullen auf. - Zähle dann, wie viele Nullen am Ende stehen, um den Exponenten für die Zehnerpotenz zu bestimmen. - Achte darauf, dass die Zahl vor dem Malzeichen keine Null mehr am Ende hat.

Lösung

1. Schritt: Bestimmung des Zahlenwerts und der Anzahl der Nullen für die Einheiten (Million: \(10^6\), Milliarde: \(10^9\), Billion: \(10^{12}\)). 2. Anwendung auf die Aufgaben: a) \(25\) Billionen = \(25 \cdot 10^{12}\). b) \(510\) Millionen = \(510 \cdot 10^6\). Da \(510 = 51 \cdot 10^1\), ergibt sich \(51 \cdot 10^7\). c) \(40\) Milliarden = \(40 \cdot 10^9\). Da \(40 = 4 \cdot 10^1\), ergibt sich \(4 \cdot 10^{10}\).

Antwort

a) \(25 \cdot 10^{12}\) b) \(51 \cdot 10^7\) c) \(4 \cdot 10^{10}\)
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Bestimme ohne Taschenrechner, welches Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) die Lücke korrekt füllt. Begründe deine Überlegung. a) \((4 + 4)^2 \square 4^2 + 4^2\) b) \(20^2 \square 40 \cdot 10\) c) \(10^4 - 10^2 \square 10^4 - 10^3\)

Denkanstöße

- Achte bei a) auf die Klammerregeln: Was musst du zuerst berechnen? - Kannst du \(20^2\) als Multiplikation schreiben und mit der rechten Seite vergleichen? - Wenn du von der gleichen Zahl einmal etwas Kleines und einmal etwas Großes abziehst, wo bleibt mehr übrig?

Lösung

1. Linke Seite: \((4+4)^2 = 8^2 = 64\). Rechte Seite: \(4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\). Da \(64 > 32\), gilt \((4 + 4)^2 > 4^2 + 4^2\). 2. Linke Seite: \(20^2 = 20 \cdot 20 = 400\). Rechte Seite: \(40 \cdot 10 = 400\). Da \(400 = 400\), gilt \(20^2 = 40 \cdot 10\). 3. Beide Seiten gehen von \(10^4\) aus. Auf der linken Seite wird \(10^2 = 100\) abgezogen, auf der rechten Seite \(10^3 = 1\,000\). Da links eine kleinere Zahl abgezogen wird, bleibt ein größerer Rest übrig. Somit gilt \(10^4 - 10^2 > 10^4 - 10^3\).

Antwort

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\)
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Jonas möchte eine geheime Zahl zwischen \(1\) und \(100\) erraten. Er darf Fragen stellen, die man nur mit „Ja“ oder „Nein“ beantworten kann (zum Beispiel: „Ist die Zahl kleiner als \(50\)?“). Er nutzt eine Strategie, bei der er den Bereich der möglichen Zahlen mit jeder Frage halbiert. a) Berechne mit Hilfe von Zweierpotenzen, wie viele verschiedene Zahlen man mit \(6\) Fragen maximal voneinander unterscheiden kann. b) Erkläre, warum \(6\) Fragen nicht ausreichen, um jede beliebige Zahl zwischen \(1\) und \(100\) sicher zu finden. c) Bestimme die kleinste Anzahl an Fragen, die Jonas benötigt, um eine Zahl zwischen \(1\) und \(100\) in jedem Fall zu erraten.

Denkanstöße

- Stell dir vor, jede Frage ist wie ein Ast in einem Entscheidungsbaum, der sich immer weiter verzweigt. - Wie viele Möglichkeiten entstehen nach der ersten, zweiten und dritten Frage? - Vergleiche die Anzahl der Möglichkeiten, die du durch die Fragen erhältst, mit der Gesamtzahl der Zahlen von \(1\) bis \(100\). - Welche Zweierpotenz ist die erste, die größer oder gleich \(100\) ist?

Lösung

1. Jede Ja/Nein-Frage halbiert die Möglichkeiten, was mathematisch einer Zweierpotenz entspricht. Mit \(n\) Fragen kann man \(2^n\) Zahlen unterscheiden. 2. Zu a): \(2^6 = 64\). Mit \(6\) Fragen kann man maximal \(64\) verschiedene Zahlen unterscheiden. 3. Zu b): Da \(64 < 100\) ist, gibt es mehr mögliche Zahlen als durch \(6\) Fragen abgedeckte Unterscheidungen. Die Strategie deckt somit nicht alle \(100\) Fälle ab. 4. Zu c): Man sucht \(n\), sodass \(2^n \geq 100\). Da \(2^6 = 64\) und \(2^7 = 128\), ist \(n = 7\) die kleinste Lösung. Jonas benötigt \(7\) Fragen.

Antwort

a) Man kann maximal \(2^6 = 64\) Zahlen unterscheiden. b) Da \(2^6 = 64\) kleiner ist als \(100\), reichen \(6\) Fragen nicht aus, um alle \(100\) Möglichkeiten abzudecken. c) Jonas benötigt mindestens \(7\) Fragen, da \(2^7 = 128\) größer als \(100\) ist.

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