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- Versuche, die Aufgabe schrittweise von hinten nach vorne zu lösen. - Welche Rechenart macht eine Division wieder rückgängig? - Überlege dir, was das Gegenteil von „minus \(24\)“ ist. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Rechnung von vorne mit deiner gefundenen Zahl durchgehst.

1. Umkehrung der letzten Operation (Division durch \(4\)): \(10 \cdot 4 = 40\) 2. Umkehrung der vorletzten Operation (Subtraktion von \(24\)): \(40 + 24 = 64\) 3. Umkehrung der ersten Operation (Multiplikation mit \(8\)): \(64 : 8 = 8\)

Die eingegebene Zahl war \(8\).

- Welche Zahl ist die kleinste fünfstellige Zahl? Schreibe sie dir zuerst auf. - Gehe die Rechenschritte des Zauberers vom Ende her durch und kehre jede Rechenart um. - Achte beim Rechnen genau auf die Stellenwerte der großen Zahlen.

1. Identifikation der kleinsten fünfstelligen Zahl: \(10\,000\). 2. Anwendung der Umkehroperationen in rückläufiger Reihenfolge. 3. Erster Rückschritt (Subtraktion statt Addition): \(10\,000 - 325 = 9675\). 4. Zweiter Rückschritt (Addition statt Subtraktion): \(9675 + 1100 = 10\,775\). 5. Dritter Rückschritt (Subtraktion statt Addition): \(10\,775 - 2450 = 8325\).

Die geheime Zahl lautet \(8325\).

- Versuche, die Rechnung schrittweise von hinten nach vorne aufzulösen. - Was passiert mit den Rechenzeichen, wenn du eine Zahl auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringst? - Du kannst auch erst den Teil \(- 45 + 120\) zusammenfassen, bevor du weiterrechnest.

1. Rückwärtsrechnen ab dem Ergebnis: Die letzte Operation \(+ 120\) wird durch Subtraktion umgekehrt: \(500 - 120 = 380\). 2. Die vorherige Operation \(- 45\) wird durch Addition umgekehrt: \(380 + 45 = 425\). 3. Das Ergebnis für den Platzhalter ist \(425\).

\(\square = 425\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit \(0\) multipliziert? - Wann kommt bei einer Division als Ergebnis genau \(1\) heraus? - Überlege, welche Zahl bei der Multiplikation den Wert einer anderen Zahl nicht verändert. - Was muss am Anfang einer Geteiltaufgabe stehen, damit das Ergebnis \(0\) ist?

1. Ein Produkt ist \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Da \(12 \cdot 9 \neq 0\), muss \(x = 0\) sein. 2. Eine Division ergibt \(1\), wenn Dividend und Divisor gleich sind: \(x = 48 \cdot 1 = 48\). 3. Eine Multiplikation mit \(1\) verändert die Zahl nicht: \(x = 75 : 75 = 1\). 4. Eine Division ergibt \(0\), wenn der Dividend \(0\) ist: \(x = 0 \cdot 15 = 0\).

a) \(x = 0\) b) \(x = 48\) c) \(x = 1\) d) \(x = 0\)

- Was passiert mit deiner Zahl, wenn du sie erst mit 4 und dann mit 5 malnimmst? - Kannst du die ersten beiden Schritte zu einer einzigen Rechnung zusammenfassen? - Wie oft steckt die ursprüngliche Zahl im Endergebnis, nachdem du auch noch durch 2 geteilt hast? - Versuche, die Rechnung von hinten nach vorne mit den Umkehroperationen zu lösen.

1. Zusammenfassen der Rechenschritte: Die Zahl wird zuerst mit 4 und dann mit 5 multipliziert, was einer Multiplikation mit \(4 \cdot 5 = 20\) entspricht. 2. Einbeziehen der Division: Das Ergebnis der Multiplikation (\(20 \cdot \text{Zahl}\)) wird durch 2 geteilt, was insgesamt einer Multiplikation mit \(20 : 2 = 10\) entspricht. 3. Rückrechnen: Da das Endergebnis das Zehnfache der gedachten Zahl ist (\(10 \cdot \text{Zahl} = 70\)), muss das Ergebnis durch 10 geteilt werden: \(70 : 10 = 7\).

Die gedachte Zahl war 7.

- Kannst du die Zahlen in einer anderen Reihenfolge multiplizieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Gibt es zwei Zahlen in der Aufgabe, deren Produkt eine Stufenzahl (wie 10, 100 oder 1000) ergibt? - Überlege, mit welcher Zahl du das Zwischenergebnis multiplizieren musst, um auf das Endergebnis zu kommen.

1. Anwendung des Vertauschungsgesetzes (Kommutativgesetz) zur Vereinfachung: \(125 \cdot 4 = 500\) 2. Einsetzen des Zwischenergebnisses in die Gleichung: \(500 \cdot \square = 1500\) 3. Bestimmung des Platzhalters durch Division: \(1500 : 500 = 3\)

\(\square = 3\)

- Versuche, die Geschichte vom Ende her aufzurollen. - Überlege dir, welche Rechenart das Gegenteil von „aussteigen“ oder „verdoppeln“ ist. - Was muss unmittelbar vor der letzten Haltestelle im Bus passiert sein?

1. Rückwärtsrechnen ab dem Endzustand (\(15\) Personen). 2. Umkehrung des Aussteigens an der dritten Haltestelle: \(15 + 5 = 20\). 3. Umkehrung der Verdopplung an der zweiten Haltestelle: \(20 : 2 = 10\). 4. Umkehrung des Einsteigens an der ersten Haltestelle: \(10 - 8 = 2\). An der Starthaltestelle saßen \(2\) Personen im Bus.

An der Starthaltestelle saßen \(2\) Personen im Bus.

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Minuend \(-\) Subtrahend \(=\) Differenz. - Überlege dir ein einfaches Beispiel mit kleinen Zahlen, zum Beispiel \(10 - x = 7\). Was musst du tun, um \(x\) zu finden? - Welche Rechenart hilft dir, den Teil zu finden, der abgezogen wurde?

1. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Definition der Subtraktion: \(m - x = d\). 2. Umstellen der Formel nach dem Subtrahenden durch Subtraktion der Differenz vom Minuenden: \(x = m - d\). 3. Anwendung der Regel: Um den Subtrahenden zu finden, subtrahiert man die Differenz vom Minuenden. 4. Einsetzen der Werte: \(x = 502 - 168\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 334\).

1. Formel: \(x = m - d\) 2. Regel: Man berechnet den Subtrahenden, indem man die Differenz vom Minuenden subtrahiert. 3. Rechnung: \(x = 334\)

- Überlege dir eine passende Multiplikationsaufgabe als Umkehraufgabe. - Wie heißen die drei Zahlen in einer Divisionsaufgabe? - Welche Zahl muss mit dem Ergebnis malgenommen werden, um die vordere Zahl zu erhalten?

1. Berechnung des Platzhalters für a): \(96 : 8 = 12\) 2. Berechnung des Platzhalters für b): \(144 : 12 = 12\) 3. Berechnung des Platzhalters für c): \(225 : 15 = 15\) 4. Formulierung der Regel: Um den unbekannten Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten.

a) \(\square = 12\) b) \(\square = 12\) c) \(\square = 15\) Regel: Divisor \(=\) Dividend \(:\) Quotient.

- Berechne zuerst den Wert, der nach dem Wort „genauso groß wie“ beschrieben wird. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn du die gesuchte Zahl \(x\) nennst? - Welche Zahl muss man zu \(45\) addieren, um dein Zwischenergebnis zu erreichen? - Nutze die Umkehroperation der Addition.

1. Berechnung des Zielwerts durch Subtraktion: \(150 - 38 = 112\) 2. Aufstellen der Gleichung für die gesuchte Zahl \(x\): \(x + 45 = 112\) 3. Anwendung der Umkehroperation zur Bestimmung von \(x\): \(x = 112 - 45\) 4. Ermittlung des Endergebnisses: \(112 - 45 = 67\)

\(67\)

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Minuend \(-\) Subtrahend \(=\) Differenz. - Welche Rechenart macht eine Subtraktion rückgängig? - Was passiert mit der Differenz, wenn der Subtrahend größer wird, das Ergebnis aber gleich bleiben soll?

1. Anwendung des Zusammenhangs \(\text{Minuend} - \text{Subtrahend} = \text{Differenz}\) 2. Bestimmung des Terms für den Minuenden durch die Umkehroperation: \(72 + s\) 3. Berechnung des konkreten Wertes für \(s = 38\): \(72 + 38 = 110\) 4. Formulierung der Regel: Um den Minuenden zu finden, addiert man den Subtrahenden zur Differenz.

a) Der Term lautet \(72 + s\). b) Für \(s = 38\) ist der Minuend \(110\). c) Man findet den Minuenden, indem man die Differenz und den Subtrahenden addiert.

- Überlege dir zuerst eine Beispielrechnung mit einfachen Zahlen. - Welche Rechenart macht eine Addition rückgängig? - Wie hängen die Begriffe Summand und Summe zusammen?

1. Aufstellen der Gleichung mit dem Platzhalter \(x\) für den unbekannten Summanden: \(15 + x = s\). 2. Umstellen nach \(x\) durch Anwendung der Umkehroperation: \(x = s - 15\). 3. Einsetzen von \(s = 42\) in den Term: \(42 - 15 = 27\). 4. Regel formulieren: Man subtrahiert den bekannten Summanden von der Summe.

1. Der Term lautet \(s - 15\). 2. Für \(s = 42\) ist der Summand \(27\). 3. Man berechnet den unbekannten Summanden, indem man den bekannten Summanden von der Summe subtrahiert.

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Dividend durch Divisor gleich Quotient. - Wenn du das Ergebnis einer Division kennst, wie kommst du zur Ausgangszahl zurück? - Was passiert, wenn du die Rechnung von hinten nach vorne liest?

1. Darstellung der Division als Gleichung: \(x : d = 7\). 2. Bestimmung des Dividenden durch die Umkehroperation (Multiplikation): \(x = 7d\). 3. Einsetzen des Wertes \(d = 13\): \(7 \cdot 13 = 91\). 4. Regel ableiten: Der Dividend ist das Produkt aus Quotient und Divisor.

1. Der Term für den Dividenden ist \(7d\) (oder \(d \cdot 7\)). 2. Für \(d = 13\) ist der Dividend \(91\). 3. Man berechnet den Dividenden, indem man den Quotienten mit dem Divisor multipliziert.

- Kannst du die Kette der Rechenbefehle nacheinander umkehren? - Was musst du mit dem Endergebnis \(11\) zuerst tun, um den Schritt „geteilt durch \(12\)“ rückgängig zu machen? - Achte darauf, bei jedem Schritt die genau entgegengesetzte Rechenart zu verwenden.

1. Multiplikation des Endergebnisses mit dem letzten Divisor: \(11 \cdot 12 = 132\) 2. Addition des zuvor subtrahierten Wertes: \(132 + 28 = 160\) 3. Division durch den Multiplikator: \(160 : 4 = 40\) 4. Subtraktion des zuerst addierten Wertes: \(40 - 17 = 23\)

Linas Zahl lautet \(23\).

- Achte bei der Addition auf Überträge und bei der Subtraktion auf Entbündelungen. - Welche Rechenart macht das Gegenteil von dem, was in der Aufgabe steht? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du es für den Platzhalter einsetzt.

1. In Aufgabe a) subtrahiert man den Summanden vom Ergebnis: \(3100 - 1250 = 1850\). 2. In Aufgabe b) addiert man die Differenz und den Subtrahenden, um den Minuenden zu erhalten: \(1425 + 875 = 2300\). 3. In Aufgabe c) subtrahiert man die Differenz vom Minuenden, um den Subtrahenden zu finden: \(4005 - 2347 = 1658\).

a) \(x = 1850\) b) \(\square = 2300\) c) \(x = 1658\)

- Kann eine Summe kleiner sein als einer der beiden Summanden, wenn wir nur natürliche Zahlen verwenden? - Was ist das Gegenteil von „etwas abziehen“? - Stell dir vor, du hast eine unbekannte Menge Murmeln, gibst welche weg und hast noch einen Rest. Wie viele hattest du am Anfang?

1. Prüfung der ersten Gleichung: Da \(210\) kleiner als \(345\) ist, kann keine natürliche Zahl \(x\) addiert werden, um \(210\) zu erhalten. Es gibt keine Lösung in den natürlichen Zahlen. 2. Lösung der zweiten Gleichung: Anwendung der Umkehroperation Addition. 3. Berechnung: \(210 + 345 = 555\).

Die Gleichung \(x + 345 = 210\) hat keine Lösung in den natürlichen Zahlen, da das Ergebnis der Addition kleiner ist als einer der Summanden. Die Lösung für \(x - 345 = 210\) ist \(x = 555\).

- Wie hängen Multiplikation und Division zusammen? - Welche Zahl muss mit \(14\) malgenommen werden, um \(126\) zu erhalten? - Wenn du eine Zahl durch \(12\) teilst und \(9\) erhältst, muss die gesuchte Zahl größer als \(9\) und \(12\) sein.

1. Für \(a\) wird die Division als Umkehroperation der Multiplikation angewendet: \(a = 126 : 14 = 9\). 2. Für \(b\) wird die Multiplikation als Umkehroperation der Division angewendet: \(b = 9 \cdot 12 = 108\). 3. Für \(c\) wird der Divisor berechnet, indem der Dividend durch den Quotienten geteilt wird: \(c = 165 : 11 = 15\).

a) \(a = 9\) b) \(b = 108\) c) \(c = 15\)

- Betrachte die Klammer zunächst als eine einzige unbekannte Zahl. - Wie viel muss man von \(1200\) abziehen, um \(700\) zu erhalten? - Wenn du weißt, was in der Klammer stehen muss, kannst du \(x\) leicht berechnen.

1. Bestimmung des Werts des gesamten Klammerausdrucks durch Subtraktion des Ergebnisses vom Minuenden: \(1200 - 700 = 500\). 2. Aufstellen der neuen Gleichung für den Klammerinhalt: \(x + 150 = 500\). 3. Berechnung von \(x\) durch die Umkehroperation Subtraktion: \(500 - 150 = 350\).

\(x = 350\)

- Kannst du die Gleichung von außen nach innen „auspacken“? - Welche Zahl muss in der Klammer stehen, damit die Rechnung davor oder danach aufgeht? - Überlege dir die Umkehroperation: Was ist das Gegenteil von Plus, Minus, Mal und Geteilt? - Beachte die Vorrangregeln, aber arbeite dich schrittweise zum \(x\) vor.

1. Um \(x\) in \((x + 8) \cdot 4 = 40\) zu finden, berechnet man zuerst den Wert der Klammer durch Division: \(40 : 4 = 10\). Aus \(x + 8 = 10\) folgt \(x = 2\). 2. In \(60 : (x - 2) = 10\) bestimmt man den Divisor: \(60 : 10 = 6\). Die Klammer muss also \(6\) sein. Aus \(x - 2 = 6\) folgt \(x = 8\). 3. Bei \(3x + 15 = 45\) subtrahiert man zuerst \(15\), um den Wert des Produkts zu erhalten: \(45 - 15 = 30\). Aus \(3x = 30\) folgt \(x = 10\). 4. In \((24 : x) + 7 = 11\) subtrahiert man zuerst \(7\): \(11 - 7 = 4\). Das Ergebnis der Klammer ist \(4\). Aus \(24 : x = 4\) folgt \(x = 6\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 8\) c) \(x = 10\) d) \(x = 6\)

- Kannst du zuerst eine Seite der Gleichung komplett ausrechnen? - Behandle das Ergebnis der fertigen Seite wie das Ergebnis einer einfachen Gleichung. - Was musst du tun, um den Platzhalter alleine auf eine Seite zu bringen?

1. Teilaufgabe a: Linke Seite berechnen (\(25 + 35 = 60\)). Gleichung: \(60 = \square \cdot 4\). Umkehroperation: \(\square = 60 : 4 = 15\). 2. Teilaufgabe b: Linke Seite berechnen (\(81 : 9 = 9\)). Gleichung: \(9 = 63 : \square\). Umkehroperation: \(\square = 63 : 9 = 7\). 3. Teilaufgabe c: Rechte Seite berechnen (\(6 \cdot 15 = 90\)). Gleichung: \(120 - \square = 90\). Umkehroperation: \(\square = 120 - 90 = 30\).

a) \(\square = 15\) b) \(\square = 7\) c) \(\square = 30\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit Null multipliziert? - Darf man durch jede beliebige Zahl teilen? - Rechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern aus. - Überlege dir bei jeder Gleichung, ob die Rechnung mathematisch überhaupt erlaubt oder möglich ist.

1. Fall a): Der Ausdruck in der Klammer ergibt \(12 - 12 = 0\). Die Gleichung lautet also \(x \cdot 0 = 8\). Da das Produkt einer beliebigen Zahl mit \(0\) immer \(0\) ist, kann das Ergebnis niemals \(8\) sein. Es gibt keine Lösung. 2. Fall b): Die Klammer ergibt \(1\). Die Gleichung \(x : 1 = 10\) führt durch die Umkehroperation \(10 \cdot 1\) zur Lösung \(x = 10\). 3. Fall c): Die Rechnung in der Klammer lautet \(10 - 10 = 0\). Es müsste also \(x = 7 : 0\) gerechnet werden. Da die Division durch Null mathematisch nicht erlaubt und nicht definiert ist, kann kein Wert für \(x\) bestimmt werden. 4. Fall d): Durch die Umkehroperation ergibt sich \(x + 3 = 12 : 2 = 6\). Daraus folgt \(x = 6 - 3 = 3\). Es gibt eine Lösung.

In den Fällen a) und c) kann man keine passende Zahl für \(x\) finden. Begründung: In a) führt die Rechnung zu \(x \cdot 0 = 8\), was unmöglich ist, da \(x \cdot 0\) immer \(0\) ergibt. In c) müsste man durch Null dividieren (\(7 : 0\)), was mathematisch nicht erlaubt ist.

- Wenn du eine Zahl zu etwas addierst, wie kommst du dann zurück zum Ursprung? - Bei einer Subtraktion wie in b): Was musst du von \(1500\) abziehen, damit \(634\) übrig bleibt? - Kannst du die Aufgabe in eine einfachere Form mit kleineren Zahlen umschreiben, um den Rechenweg zu finden?

1. In Gleichung a) wird die Umkehroperation der Addition genutzt: \(x = 2000 - 857\). Das Ergebnis der Subtraktion ist \(x = 1143\). 2. In Gleichung b) wird der Subtrahend gesucht. Man rechnet Minuend minus Differenz: \(\square = 1500 - 634\). Dies ergibt \(\square = 866\).

a) \(x = 1143\) b) \(\square = 866\)

- Welche Rechenoperation kehrt die Multiplikation um? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Malrechnung, wenn du eine der beteiligten Zahlen vergrößerst? - Stell dir vor, du hast doppelt so viele Tüten, aber in jeder Tüte sind immer noch 13 Bonbons.

1. Berechnung des unbekannten Faktors \(z\) durch Division: \(z = 182 : 13 = 14\). 2. Analyse der proportionalen Änderung: Das Produkt \(182\) wird verdoppelt (\(182 \cdot 2 = 364\)), während einer der Faktoren (\(13\)) konstant bleibt. 3. Schlussfolgerung: Da das Produkt das Ergebnis der Multiplikation beider Faktoren ist, muss sich bei gleichbleibendem ersten Faktor der zweite Faktor \(z\) ebenfalls verdoppeln, um das doppelte Produkt zu erreichen. Der neue Wert wäre \(z = 28\).

a) \(z = 14\) b) Der Wert von \(z\) würde sich ebenfalls auf \(28\) verdoppeln, da bei einem doppelt so großen Produkt und gleichbleibendem Faktor \(13\) auch der andere Faktor doppelt so groß sein muss.

- Nutze für den ersten Teil die Umkehroperation. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn man eine der beiden Zahlen halbiert? - Wie findest du die Zahl, durch die man teilen muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?

1. Berechnung von \(y\) durch Multiplikation: \(y = 8 \cdot 25 = 200\). 2. Wenn der Quotient halbiert wird (auf \(4\)), lautet die Rechnung \(y_{\text{neu}} = 4 \cdot 25 = 100\). Der Wert von \(y\) halbiert sich also ebenfalls. 3. Um den Divisor \(m\) zu finden, teilt man den Dividenden durch den Quotienten: \(m = 200 : 8 = 25\).

1. \(y = 200\) 2. Der Wert von \(y\) halbiert sich (er wird \(100\)). 3. \(m = 25\)

- Kannst du einen Teil der Gleichung direkt ausrechnen, um sie einfacher zu machen? - Wenn eine Summe und ein Summand bekannt sind, wie findet man den anderen Summanden? - Stell dir eine Waage vor: Wenn die rechte Seite schwerer wird, was muss links passieren, damit sie im Gleichgewicht bleibt?

1. Berechnung des Klammerausdrucks: \(130 - 45 = 85\). 2. Einsetzen in die Gleichung: \(x + 85 = 210\). 3. Anwendung der Umkehroperation (Subtraktion), um den Summanden \(x\) zu isolieren: \(x = 210 - 85\). 4. Berechnung des Werts für \(x\): \(x = 125\). 5. Analyse der Veränderung: Da \(x\) die Differenz aus dem Gesamtergebnis und \(85\) ist, führt ein größeres Ergebnis bei gleichbleibendem Summanden (\(85\)) zu einem größeren Wert für \(x\).

1. Vereinfachte Gleichung: \(x + 85 = 210\) 2. Lösung: \(x = 125\) 3. Begründung: Der Wert von \(x\) würde größer werden, da bei einer größeren Summe und dem gleichbleibenden Summanden \(85\) der andere Summand zunehmen muss.

- Vergleiche deine Ergebnisse aus a) und b) direkt miteinander. - Was passiert mit der Größe der Stücke, wenn du eine Pizza unter mehr Leuten aufteilst? - Schreibe die Division als Malaufgabe auf.

1. Berechnung für a): \(240 : 10 = 24\). 2. Berechnung für b): \(240 : 30 = 8\). 3. Vergleich für c): Wenn der Quotient verdreifacht wird (von \(10\) auf \(30\)), verringert sich der Divisor auf ein Drittel (von \(24\) auf \(8\)). 4. Begründung für d): Die Gleichung \(240 : \text{Divisor} = \text{Quotient}\) entspricht der Umkehraufgabe \(\text{Divisor} \cdot \text{Quotient} = 240\). Um einen der beiden Faktoren der Multiplikation zu finden, muss man das Produkt (\(240\)) durch den anderen bekannten Faktor (\(\text{Quotient}\)) teilen.

a) Der Divisor ist \(24\). b) Der Divisor ist \(8\). c) Der Divisor wird gedrittelt (er wird durch \(3\) geteilt). d) Da \(\text{Divisor} \cdot \text{Quotient} = \text{Dividend}\) gilt, findet man den Divisor durch die Rechnung \(\text{Dividend} : \text{Quotient}\).

- Wie berechnet man einen fehlenden Teil, wenn das Ganze und die anderen Teile bekannt sind? - Stell dir eine Waage vor: Wenn du auf der einen Seite etwas hinzufügst, was musst du tun, damit sie im Gleichgewicht bleibt? - Überlege dir ein Beispiel mit einfachen Zahlen, um die Änderung zu testen.

1. Aufstellen der Summengleichung: \(a + b + z = 150\), wobei \(z\) die dritte Zahl ist. 2. Umstellen nach der unbekannten Zahl: \(z = 150 - a - b\) 3. Analyse der Veränderung: Erhöht man einen Summanden (\(a\)) um \(15\), erhöht sich die Gesamtsumme zunächst ebenfalls um \(15\). 4. Bestimmung der Ausgleichsrechnung: Damit das Ergebnis \(150\) bleibt, muss ein anderer Summand (hier \(z\)) um denselben Betrag verringert werden. 5. Ergebnis: Die dritte Zahl muss um \(15\) verkleinert werden.

a) Der Term für die dritte Zahl lautet \(150 - a - b\). b) Die dritte Zahl muss um \(15\) verkleinert werden. Begründung: Wenn ein Summand vergrößert wird, muss ein anderer um den gleichen Betrag verkleinert werden, damit die Summe unverändert bleibt.

- Bei dieser Aufgabe kennen wir das Endergebnis ganz unten bereits und suchen eine Zahl ganz oben. - Wie kannst du eine Rechnung rückwärts lösen? Welche Rechenart macht eine Addition wieder rückgängig? - Gehe Schritt für Schritt von unten nach oben vor und bestimme nacheinander die Werte in den leeren Kästchen. - Wenn du ein Ergebnis gefunden hast, kannst du die Probe machen, indem du den Rechenbaum ganz normal von oben nach unten durchrechnest.

1. Wir lösen den Rechenbaum von unten nach oben mithilfe von Umkehraufgaben: - Die letzte Operation ist eine Addition von \(18\), die zum Endergebnis \(68\) führt. Die Umkehraufgabe lautet: \(68 - 18 = 50\). Das linke Kästchen in der Ebene darüber hat somit den Wert \(50\). - Die vorherige Operation ist eine Multiplikation mit \(5\), die zum Zwischenergebnis \(50\) führt. Die Umkehraufgabe lautet: \(50 : 5 = 10\). Das Kästchen der ersten Ebene (links) hat somit den Wert \(10\). - Die erste Operation ist eine Subtraktion von \(12\), die zum Zwischenergebnis \(10\) führt. Die Umkehraufgabe lautet: \(10 + 12 = 22\). 2. Somit ist die gesuchte Startzahl \(22\).

Die gesuchte Zahl für das Fragezeichen (\(?\)) ist \(22\).

- Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation? - In Teil a) suchst du die Zahl, durch die geteilt wird. Überlege dir an einem einfachen Beispiel wie \(10 : \square = 2\), wie du vorgehen musst. - Führe eine schriftliche Division durch, um die großen Zahlen sicher zu bewältigen.

1. Um den Divisor \(x\) in Gleichung a) zu berechnen, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(x = 2352 : 42\). Die Rechnung ergibt \(x = 56\). 2. Um den Faktor \(x\) in Gleichung b) zu finden, wird das Produkt durch den bekannten Faktor geteilt: \(x = 8820 : 105\). Die Division ergibt \(x = 84\).

a) \(x = 56\) b) \(x = 84\)

- Gehe wie bei einer Zwiebel von außen nach innen vor. - Welche Zahl muss in der Klammer stehen, damit die gesamte Rechnung aufgeht? - Mache eine Probe, indem du dein Ergebnis in den ursprünglichen Term einsetzt.

1. In Teilaufgabe a) dividiert man zuerst durch 2: \(18 + \square = 50 : 2 = 25\). Dann subtrahiert man 18: \(\square = 25 - 18 = 7\). 2. In Teilaufgabe b) kehrt man die Operationen von außen nach innen um: Zuerst Division durch 8 ergibt \(\square : 4 - 3 = 16 : 8 = 2\). Dann Addition von 3 ergibt \(\square : 4 = 2 + 3 = 5\). Schließlich Multiplikation mit 4 ergibt \(\square = 5 \cdot 4 = 20\). 3. In Teilaufgabe c) dividiert man zuerst durch 10: \(45 : \square = 50 : 10 = 5\). Um \(\square\) zu finden, rechnet man \(45 : 5 = 9\).

a) \(\square = 7\) b) \(\square = 20\) c) \(\square = 9\)

- Beginne beim letzten bekannten Zustand und mache jeden Schritt rückgängig. - Wenn jemand die Hälfte nimmt, wie viele waren dann vorher da? - Wenn jemand eine feste Anzahl wegnimmt, musst du diese beim Rückwärtsrechnen wieder hinzufügen.

1. Rückwärtsrechnen vom Endbestand \(10\). 2. Vor dem dritten Kunden (Hälfte genommen): \(10 \cdot 2 = 20\). 3. Vor dem zweiten Kunden (\(15\) gekauft): \(20 + 15 = 35\). 4. Vor dem ersten Kunden (Hälfte genommen): \(35 \cdot 2 = 70\). Ursprünglich waren \(70\) Brezeln im Korb.

Es lagen ursprünglich \(70\) Brezeln im Korb.

- Kannst du zuerst die Seite des Rechenbaums ausrechnen, auf der alle Zahlen bekannt sind? - Überlege dir, welches Ergebnis im leeren Kästchen auf der rechten Seite stehen muss, damit die Plus-Rechnung ganz unten stimmt. - Wenn du das Ergebnis für den rechten Zweig kennst, kannst du mit einer Umkehraufgabe die Zahl \(x\) finden.

1. Berechne das linke Zwischenergebnis: \(15 \cdot 8 = 120\). 2. Bestimme den Wert, der im rechten Zwischenkästchen stehen muss, damit die Addition zum Endergebnis führt: \(150 - 120 = 30\). 3. Löse die Gleichung für den rechten Zweig: \(x - 25 = 30\). 4. Verwende die Umkehroperation: \(x = 30 + 25 = 55\).

\(x = 55\)

- Stelle zuerst den unbekannten Quadratzahlwert frei. - Suche danach die passende Grundzahl.

1. \(n^2=169-25=144\). 2. \(12^2=144\), daher \(n=12\).

\(n=12\).

- Bestimme zuerst den unbekannten Quadratzahlwert. - Prüfe die Grundzahl anschließend in der Ausgangsgleichung.

1. \(25^2=625\). 2. \(n^2=625-264=361\). 3. Daher \(n=19\).

\(n=19\).