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- Bestimme zuerst für jede Gleichung den Wert von \(x\). - Vorsicht bei negativen Ergebnissen: Ist -45 größer oder kleiner als 9? - Welche Rechenoperation ist jeweils die Umkehroperation, um \(x\) zu isolieren?

1. Lösung der einzelnen Gleichungen nach \(x\): a) \(x = 72 / 6 = 12\) b) \(x = 80 / (-4) = -20\) c) \(x = -15 \cdot 3 = -45\) d) \(x = 108 / 12 = 9\) 2. Vergleich der gefundenen \(x\)-Werte: 12 ist der größte Wert.

a) \(72 : x = 6\)

- Was musst du tun, um das \(x\) auf einer Seite der Gleichung allein stehen zu haben? - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen. - Wie verändert sich das Vorzeichen, wenn du eine Zahl auf die andere Seite der Gleichung bringst?

1. Isolation der Variablen \(x\) durch Addition von 12 auf beiden Seiten der Gleichung: \(x = -8 + 12\). 2. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 4\).

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- Überlege dir, wie du die Rechnung schrittweise rückwärts lösen kannst. - Was ist das Gegenteil von „addieren“ und was das Gegenteil von „subtrahieren“? - Beginne beim Endergebnis und arbeite dich bis zum Anfang vor.

1. Die Umkehroperationen werden in umgekehrter Reihenfolge auf das Endergebnis angewendet. 2. Subtraktion von \(142\) vom Endergebnis: \(500 - 142 = 358\). 3. Addition von \(85\) zu diesem Zwischenergebnis: \(358 + 85 = 443\).

Die gedachte Zahl lautet \(443\).

- Was ist das Ergebnis einer Multiplikation? - Wie hängen Multiplikation und Division zusammen? - Überlege, wie du eine Rechnung „rückgängig“ machen kannst.

1. Aufstellen der Gleichung unter Verwendung der Definition des Produkts: \(m \cdot x = 144\). 2. Einsetzen des Wertes \(m = 16\) in die Gleichung: \(16 \cdot x = 144\). 3. Anwendung der Umkehroperation zur Berechnung von \(x\): \(x = 144 : 16 = 9\). 4. Formulierung der Regel: Ein unbekannter Faktor wird berechnet, indem man das Produkt durch den bekannten Faktor dividiert.

a) \(m \cdot x = 144\); b) \(x = 9\); c) Man berechnet den unbekannten Faktor, indem man das Produkt durch den bekannten Faktor dividiert.

- Überlege dir, welche Rechenoperation das Gegenteil der Division ist. - Wie hängen die drei Zahlen in einer Divisionsaufgabe zusammen? - Probiere die Regel erst mit einer ganz einfachen Aufgabe wie \(\square : 2 = 5\) aus.

1. Um den Dividenden \(x\) zu berechnen, wird die Umkehroperation der Division, also die Multiplikation, angewendet: \(x = 6 \cdot 14\). 2. Durchführung der Rechnung: \(6 \cdot 10 = 60\) und \(6 \cdot 4 = 24\), also \(60 + 24 = 84\). 3. Allgemeine Regel: Der unbekannte Dividend wird berechnet, indem man den Quotienten mit dem Divisor multipliziert.

1. \(x = 84\) 2. Man berechnet den Dividenden, indem man den Quotienten mit dem Divisor multipliziert (\(\text{Dividend} = \text{Quotient} \cdot \text{Divisor}\)).

- Überlege dir zuerst eine Beispielrechnung mit einfachen Zahlen. - Welche Rechenart macht eine Addition rückgängig? - Wie hängen die Begriffe Summand und Summe zusammen?

1. Aufstellen der Gleichung mit dem Platzhalter \(x\) für den unbekannten Summanden: \(15 + x = s\). 2. Umstellen nach \(x\) durch Anwendung der Umkehroperation: \(x = s - 15\). 3. Einsetzen von \(s = 42\) in den Term: \(42 - 15 = 27\). 4. Regel formulieren: Man subtrahiert den bekannten Summanden von der Summe.

1. Der Term lautet \(s - 15\). 2. Für \(s = 42\) ist der Summand \(27\). 3. Man berechnet den unbekannten Summanden, indem man den bekannten Summanden von der Summe subtrahiert.

- Versuche, die Aufgabe schrittweise von hinten nach vorne zu lösen. - Welche Rechenart macht eine Division wieder rückgängig? - Überlege dir, was das Gegenteil von „minus \(24\)“ ist. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Rechnung von vorne mit deiner gefundenen Zahl durchgehst.

1. Umkehrung der letzten Operation (Division durch \(4\)): \(10 \cdot 4 = 40\) 2. Umkehrung der vorletzten Operation (Subtraktion von \(24\)): \(40 + 24 = 64\) 3. Umkehrung der ersten Operation (Multiplikation mit \(8\)): \(64 : 8 = 8\)

Die eingegebene Zahl war \(8\).

- Überlege dir, welche Zahl du einsetzen musst, damit die Rechnung stimmt. - Kannst du die Aufgabe umkehren, um das Ergebnis leichter zu finden? - Wenn du eine Zahl suchst, die zu einer anderen addiert wird, hilft oft das Minusrechnen. - Wenn von einer unbekannten Zahl etwas abgezogen wird, hilft das Plusrechnen, um den Anfangswert zu finden.

1. Für a) wird die Umkehroperation Subtraktion angewendet: \(112 - 45 = 67\). 2. Für b) wird der Subtrahend gesucht: \(130 - 85 = 45\). 3. Für c) wird die Umkehroperation Subtraktion angewendet: \(203 - 67 = 136\). 4. Für d) wird die Umkehroperation Addition angewendet: \(129 + 54 = 183\).

a) \(x = 67\) b) \(\square = 45\) c) \(\square = 136\) d) \(x = 183\)

- Überlege dir, mit welcher Rechnung du das Ergebnis der ursprünglichen Aufgabe rückgängig machen kannst. - Wenn du eine Zahl suchst, die zu einer anderen addiert wird, hilft dir die Subtraktion. - Wenn von einer unbekannten Zahl etwas abgezogen wird, kannst du die Unbekannte durch Addition finden. - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du es für den Platzhalter in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Zur Bestimmung von \(x\) wird die Subtraktion als Umkehroperation der Addition genutzt: \(x = 421 - 138 = 283\). 2. Zur Bestimmung von \(y\) wird der Subtrahend berechnet, indem man die Differenz vom Minuenden abzieht: \(y = 703 - 256 = 447\). 3. Zur Bestimmung von \(z\) wird die Addition als Umkehroperation der Subtraktion genutzt: \(z = 197 + 84 = 281\).

a) \(x = 283\) b) \(y = 447\) c) \(z = 281\)

- Welche Zahl ist die kleinste fünfstellige Zahl? Schreibe sie dir zuerst auf. - Gehe die Rechenschritte des Zauberers vom Ende her durch und kehre jede Rechenart um. - Achte beim Rechnen genau auf die Stellenwerte der großen Zahlen.

1. Identifikation der kleinsten fünfstelligen Zahl: \(10\,000\). 2. Anwendung der Umkehroperationen in rückläufiger Reihenfolge. 3. Erster Rückschritt (Subtraktion statt Addition): \(10\,000 - 325 = 9\,675\). 4. Zweiter Rückschritt (Addition statt Subtraktion): \(9\,675 + 1\,100 = 10\,775\). 5. Dritter Rückschritt (Subtraktion statt Addition): \(10\,775 - 2\,450 = 8\,325\).

Die geheime Zahl lautet \(8\,325\).

- Nutze die schriftliche Addition oder Subtraktion für die größeren Zahlen. - Erinnere dich an die Fachbegriffe: Summand plus Summand gleich Summe. - Wie hängen Minuend, Subtrahend und Differenz zusammen? - Mache die Probe, indem du dein Ergebnis für \(x\) in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. In Teil a) wird der fehlende Summand durch Subtraktion berechnet: \(x = 300 - 156 = 144\). 2. In Teil b) wird der Minuend berechnet, indem Subtrahend und Differenz addiert werden: \(x = 455 + 245 = 700\). 3. In Teil c) wird der Subtrahend berechnet, indem die Differenz vom Minuenden abgezogen wird: \(x = 800 - 321 = 479\).

a) \(x = 144\) b) \(x = 700\) c) \(x = 479\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit \(0\) multipliziert? - Wann kommt bei einer Division als Ergebnis genau \(1\) heraus? - Überlege, welche Zahl bei der Multiplikation den Wert einer anderen Zahl nicht verändert. - Was muss am Anfang einer Geteiltaufgabe stehen, damit das Ergebnis \(0\) ist?

1. Ein Produkt ist \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Da \(12 \cdot 9 \neq 0\), muss \(x = 0\) sein. 2. Eine Division ergibt \(1\), wenn Dividend und Divisor gleich sind: \(x = 48 \cdot 1 = 48\). 3. Eine Multiplikation mit \(1\) verändert die Zahl nicht: \(x = 75 : 75 = 1\). 4. Eine Division ergibt \(0\), wenn der Dividend \(0\) ist: \(x = 0 \cdot 15 = 0\).

a) \(x = 0\) b) \(x = 48\) c) \(x = 1\) d) \(x = 0\)

- Überlege dir, welche Rechenart die Umkehrung der Multiplikation ist. - Wie kannst du die Zahl auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens nutzen, um die gesuchte Zahl zu finden? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es für das \(x\) in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Um \(x\) in Gleichung a) zu isolieren, wird die Umkehroperation der Multiplikation angewendet: \(x = 486 : 18\). Die Division ergibt \(x = 27\). 2. Um \(x\) in Gleichung b) zu isolieren, wird die Umkehroperation der Division angewendet: \(x = 15 \cdot 24\). Die Multiplikation ergibt \(x = 360\).

a) \(x = 27\) b) \(x = 360\)

- Beachte die Punkt-vor-Strich-Regel. - Klammern werden immer zuerst berechnet. - Du kannst die fehlende Zahl finden, indem du die Rechnung von hinten nach vorne mit den Umkehroperationen auflöst. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Zahl einsetzt und nachrechnest.

1. In Teilaufgabe a) wird zuerst das Produkt berechnet: \(7 \cdot 3 = 21\). Die Gleichung lautet \(\square + 21 = 35\). Durch Subtraktion ergibt sich \(\square = 35 - 21 = 14\). 2. In Teilaufgabe b) wird die Gleichung schrittweise umgeformt: \(48 : \square = 4 + 2 = 6\). Durch Division von \(48\) durch das Ergebnis erhält man \(\square = 48 : 6 = 8\). 3. In Teilaufgabe c) wird zuerst die Multiplikation umgekehrt: \(\square + 4 = 45 : 5 = 9\). Anschließend wird die Addition umgekehrt: \(\square = 9 - 4 = 5\).

a) \(\square = 14\) b) \(\square = 8\) c) \(\square = 5\)

- Darfst du die Reihenfolge der Zahlen beim Multiplizieren vertauschen? - Wie kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du nach \(x\) auflöst? - Was ist das Gegenteil von „malnehmen“?

1. Zusammenfassen der bekannten Faktoren auf der linken Seite durch das Kommutativgesetz: \(8 \cdot 5 = 40\). 2. Die vereinfachte Gleichung lautet \(40 \cdot x = 440\). 3. Anwendung der Umkehroperation (Division): \(x = 440 : 40\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 11\).

\(x = 11\)

- Kannst du die Zahlen in einer anderen Reihenfolge multiplizieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Gibt es zwei Zahlen in der Aufgabe, deren Produkt eine Stufenzahl (wie 10, 100 oder 1000) ergibt? - Überlege, mit welcher Zahl du das Zwischenergebnis multiplizieren musst, um auf das Endergebnis zu kommen.

1. Anwendung des Vertauschungsgesetzes (Kommutativgesetz) zur Vereinfachung: \(125 \cdot 4 = 500\) 2. Einsetzen des Zwischenergebnisses in die Gleichung: \(500 \cdot \square = 1500\) 3. Bestimmung des Platzhalters durch Division: \(1500 : 500 = 3\)

\(\square = 3\)

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Minuend \(-\) Subtrahend \(=\) Differenz. - Überlege dir ein einfaches Beispiel mit kleinen Zahlen, zum Beispiel \(10 - x = 7\). Was musst du tun, um \(x\) zu finden? - Welche Rechenart hilft dir, den Teil zu finden, der abgezogen wurde?

1. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Definition der Subtraktion: \(m - x = d\). 2. Umstellen der Formel nach dem Subtrahenden durch Subtraktion der Differenz vom Minuenden: \(x = m - d\). 3. Anwendung der Regel: Um den Subtrahenden zu finden, subtrahiert man die Differenz vom Minuenden. 4. Einsetzen der Werte: \(x = 502 - 168\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 334\).

1. Formel: \(x = m - d\) 2. Regel: Man berechnet den Subtrahenden, indem man die Differenz vom Minuenden subtrahiert. 3. Rechnung: \(x = 334\)

- Überlege dir eine passende Multiplikationsaufgabe als Umkehraufgabe. - Wie heißen die drei Zahlen in einer Divisionsaufgabe? - Welche Zahl muss mit dem Ergebnis malgenommen werden, um die vordere Zahl zu erhalten?

1. Berechnung des Platzhalters für a): \(96 : 8 = 12\) 2. Berechnung des Platzhalters für b): \(144 : 12 = 12\) 3. Berechnung des Platzhalters für c): \(225 : 15 = 15\) 4. Formulierung der Regel: Um den unbekannten Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten.

a) \(\square = 12\) b) \(\square = 12\) c) \(\square = 15\) Regel: Divisor \(=\) Dividend \(:\) Quotient.

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Minuend \(-\) Subtrahend \(=\) Differenz. - Welche Rechenart macht eine Subtraktion rückgängig? - Was passiert mit der Differenz, wenn der Subtrahend größer wird, das Ergebnis aber gleich bleiben soll?

1. Anwendung des Zusammenhangs \(\text{Minuend} - \text{Subtrahend} = \text{Differenz}\) 2. Bestimmung des Terms für den Minuenden durch die Umkehroperation: \(72 + s\) 3. Berechnung des konkreten Wertes für \(s = 38\): \(72 + 38 = 110\) 4. Formulierung der Regel: Um den Minuenden zu finden, addiert man den Subtrahenden zur Differenz.

a) Der Term lautet \(72 + s\). b) Für \(s = 38\) ist der Minuend \(110\). c) Man findet den Minuenden, indem man die Differenz und den Subtrahenden addiert.

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Dividend durch Divisor gleich Quotient. - Wenn du das Ergebnis einer Division kennst, wie kommst du zur Ausgangszahl zurück? - Was passiert, wenn du die Rechnung von hinten nach vorne liest?

1. Darstellung der Division als Gleichung: \(x : d = 7\). 2. Bestimmung des Dividenden durch die Umkehroperation (Multiplikation): \(x = 7 \cdot d\). 3. Einsetzen des Wertes \(d = 13\): \(7 \cdot 13 = 91\). 4. Regel ableiten: Der Dividend ist das Produkt aus Quotient und Divisor.

1. Der Term für den Dividenden ist \(7 \cdot d\) (oder \(d \cdot 7\)). 2. Für \(d = 13\) ist der Dividend \(91\). 3. Man berechnet den Dividenden, indem man den Quotienten mit dem Divisor multipliziert.

- Kannst du die Kette der Rechenbefehle nacheinander umkehren? - Was musst du mit dem Endergebnis \(11\) zuerst tun, um den Schritt „geteilt durch \(12\)“ rückgängig zu machen? - Achte darauf, bei jedem Schritt die genau entgegengesetzte Rechenart zu verwenden.

1. Multiplikation des Endergebnisses mit dem letzten Divisor: \(11 \cdot 12 = 132\) 2. Addition des zuvor subtrahierten Wertes: \(132 + 28 = 160\) 3. Division durch den Multiplikator: \(160 : 4 = 40\) 4. Subtraktion des zuerst addierten Wertes: \(40 - 17 = 23\)

Linas Zahl lautet \(23\).

- Achte bei größeren Zahlen besonders auf den Übertrag beim Rechnen. - Welche Rechenart macht das Gegenteil von dem, was in der Aufgabe steht? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du es für den Platzhalter einsetzt.

1. In Aufgabe a) subtrahiert man den Summanden vom Ergebnis: \(3\,100 - 1\,250 = 1\,850\). 2. In Aufgabe b) addiert man die Differenz und den Subtrahenden, um den Minuenden zu erhalten: \(1\,425 + 875 = 2\,300\). 3. In Aufgabe c) subtrahiert man die Differenz vom Minuenden, um den Subtrahenden zu finden: \(4\,005 - 2\,347 = 1\,658\).

a) \(x = 1\,850\) b) \(\square = 2\,300\) c) \(x = 1\,658\)

- Wie hängen Multiplikation und Division zusammen? - Welche Zahl muss mit \(14\) malgenommen werden, um \(126\) zu erhalten? - Wenn du eine Zahl durch \(12\) teilst und \(9\) erhältst, muss die gesuchte Zahl größer als \(9\) und \(12\) sein.

1. Für \(a\) wird die Division als Umkehroperation der Multiplikation angewendet: \(a = 126 : 14 = 9\). 2. Für \(b\) wird die Multiplikation als Umkehroperation der Division angewendet: \(b = 9 \cdot 12 = 108\). 3. Für \(c\) wird der Divisor berechnet, indem der Dividend durch den Quotienten geteilt wird: \(c = 165 : 11 = 15\).

a) \(a = 9\) b) \(b = 108\) c) \(c = 15\)

- Stelle dir die Aufgaben wie eine Kette von Rechnungen vor. Wie kommst du vom Ende der Kette wieder zum Start? - Kannst du die Aufgabe in eine Gleichung mit einem Platzhalter übersetzen? - Prüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Rechnung von Frau Müller mit deiner Zahl einmal von vorne durchrechnest.

1. Umkehrung des letzten Schritts (Addition statt Subtraktion): \(25\,000 + 7\,850 = 32\,850\). 2. Umkehrung des mittleren Schritts (Subtraktion statt Addition): \(32\,850 - 12\,300 = 20\,550\). 3. Umkehrung des ersten Schritts (Addition statt Subtraktion): \(20\,550 + 4\,500 = 25\,050\).

Die Ausgangszahl lautet \(25\,050\).

- Versuche, die Rechnung schrittweise von hinten nach vorne aufzulösen. - Was passiert mit den Rechenzeichen, wenn du eine Zahl auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringst? - Du kannst auch erst den Teil \(- 45 + 120\) zusammenfassen, bevor du weiterrechnest.

1. Rückwärtsrechnen ab dem Ergebnis: Die letzte Operation \(+ 120\) wird durch Subtraktion umgekehrt: \(500 - 120 = 380\). 2. Die vorherige Operation \(- 45\) wird durch Addition umgekehrt: \(380 + 45 = 425\). 3. Das Ergebnis für den Platzhalter ist \(425\).

\(\square = 425\)

- Betrachte die Klammer zunächst als eine einzige unbekannte Zahl. - Wie viel muss man von \(1200\) abziehen, um \(700\) zu erhalten? - Wenn du weißt, was in der Klammer stehen muss, kannst du \(x\) leicht berechnen.

1. Bestimmung des Werts des gesamten Klammerausdrucks durch Subtraktion des Ergebnisses vom Minuenden: \(1200 - 700 = 500\). 2. Aufstellen der neuen Gleichung für den Klammerinhalt: \(x + 150 = 500\). 3. Berechnung von \(x\) durch die Umkehroperation Subtraktion: \(500 - 150 = 350\).

\(x = 350\)

- Kannst du die Gleichung von außen nach innen „auspacken“? - Welche Zahl muss in der Klammer stehen, damit die Rechnung davor oder danach aufgeht? - Überlege dir die Umkehroperation: Was ist das Gegenteil von Plus, Minus, Mal und Geteilt? - Beachte die Vorrangregeln, aber arbeite dich schrittweise zum \(x\) vor.

1. Um \(x\) in \((x + 8) \cdot 4 = 40\) zu finden, berechnet man zuerst den Wert der Klammer durch Division: \(40 : 4 = 10\). Aus \(x + 8 = 10\) folgt \(x = 2\). 2. In \(60 : (x - 2) = 10\) bestimmt man den Divisor: \(60 : 10 = 6\). Die Klammer muss also \(6\) sein. Aus \(x - 2 = 6\) folgt \(x = 8\). 3. Bei \(3 \cdot x + 15 = 45\) subtrahiert man zuerst \(15\), um den Wert des Produkts zu erhalten: \(45 - 15 = 30\). Aus \(3 \cdot x = 30\) folgt \(x = 10\). 4. In \((24 : x) + 7 = 11\) subtrahiert man zuerst \(7\): \(11 - 7 = 4\). Das Ergebnis der Klammer ist \(4\). Aus \(24 : x = 4\) folgt \(x = 6\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 8\) c) \(x = 10\) d) \(x = 6\)

- Kannst du zuerst eine Seite der Gleichung komplett ausrechnen? - Behandle das Ergebnis der fertigen Seite wie das Ergebnis einer einfachen Gleichung. - Was musst du tun, um den Platzhalter alleine auf eine Seite zu bringen?

1. Teilaufgabe a: Linke Seite berechnen (\(25 + 35 = 60\)). Gleichung: \(60 = \square \cdot 4\). Umkehroperation: \(\square = 60 : 4 = 15\). 2. Teilaufgabe b: Linke Seite berechnen (\(81 : 9 = 9\)). Gleichung: \(9 = 63 : \square\). Umkehroperation: \(\square = 63 : 9 = 7\). 3. Teilaufgabe c: Rechte Seite berechnen (\(6 \cdot 15 = 90\)). Gleichung: \(120 - \square = 90\). Umkehroperation: \(\square = 120 - 90 = 30\).

a) \(\square = 15\) b) \(\square = 7\) c) \(\square = 30\)

- Nutze die Umkehroperationen, um die Variable allein auf eine Seite zu bringen. - Erinnere dich an die Quadratzahlen, das hilft dir bei Teilaufgabe b. - Wenn du durch eine Zahl teilst und ein Ergebnis erhältst, kannst du auch den Dividenden durch das Ergebnis teilen, um den Teiler zu finden.

1. Anwendung der Umkehroperation: \(x = 128 : 16 = 8\). 2. Anwendung der Umkehroperation: \(x = 12 \cdot 12 = 144\). 3. Bestimmung des Divisors durch Division des Dividenden durch den Quotienten: \(x = 210 : 14 = 15\).

a) \(x = 8\) b) \(x = 144\) c) \(x = 15\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit Null multipliziert? - Darf man durch jede beliebige Zahl teilen? - Rechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern aus. - Überlege dir bei jeder Gleichung, ob die Rechnung mathematisch überhaupt erlaubt oder möglich ist.

1. Fall a): Der Ausdruck in der Klammer ergibt \(12 - 12 = 0\). Die Gleichung lautet also \(x \cdot 0 = 8\). Da das Produkt einer beliebigen Zahl mit \(0\) immer \(0\) ist, kann das Ergebnis niemals \(8\) sein. Es gibt keine Lösung. 2. Fall b): Die Klammer ergibt \(1\). Die Gleichung \(x : 1 = 10\) führt durch die Umkehroperation \(10 \cdot 1\) zur Lösung \(x = 10\). 3. Fall c): Die Rechnung in der Klammer lautet \(10 - 10 = 0\). Es müsste also \(x = 7 : 0\) gerechnet werden. Da die Division durch Null mathematisch nicht erlaubt und nicht definiert ist, kann kein Wert für \(x\) bestimmt werden. 4. Fall d): Durch die Umkehroperation ergibt sich \(x + 3 = 12 : 2 = 6\). Daraus folgt \(x = 6 - 3 = 3\). Es gibt eine Lösung.

In den Fällen a) und c) kann man keine passende Zahl für \(x\) finden. Begründung: In a) führt die Rechnung zu \(x \cdot 0 = 8\), was unmöglich ist, da \(x \cdot 0\) immer \(0\) ergibt. In c) müsste man durch Null dividieren (\(7 : 0\)), was mathematisch nicht erlaubt ist.

- Wenn du eine Zahl zu etwas addierst, wie kommst du dann zurück zum Ursprung? - Bei einer Subtraktion wie in b): Was musst du von \(1500\) abziehen, damit \(634\) übrig bleibt? - Kannst du die Aufgabe in eine einfachere Form mit kleineren Zahlen umschreiben, um den Rechenweg zu finden?

1. In Gleichung a) wird die Umkehroperation der Addition genutzt: \(x = 2000 - 857\). Das Ergebnis der Subtraktion ist \(x = 1143\). 2. In Gleichung b) wird der Subtrahend gesucht. Man rechnet Minuend minus Differenz: \(\square = 1500 - 634\). Dies ergibt \(\square = 866\).

a) \(x = 1143\) b) \(\square = 866\)

- Überlege dir, welche Rechenoperation zuletzt ausgeführt wurde, und kehre diese als Erstes um. - Wenn der Platzhalter in einer Klammer steht, behandle die Klammer zunächst wie eine einzige unbekannte Zahl. - Achte bei Minusaufgaben darauf, ob der Platzhalter abgezogen wird oder ob von ihm etwas abgezogen wird.

1. In Teilaufgabe a) betrachtet man den Klammerausdruck als Ganzes: \(120 : \text{Klammer} = 10\). Daraus folgt \(\square - 5 = 120 : 10 = 12\). Durch Addition ergibt sich \(\square = 12 + 5 = 17\). 2. In Teilaufgabe b) wird zuerst die Strichrechnung umgekehrt: \(3 \cdot \square = 41 - 14 = 27\). Dann folgt durch Division \(\square = 27 : 3 = 9\). 3. In Teilaufgabe c) isoliert man das Produkt: \(4 \cdot \square = 75 - 35 = 40\). Durch Division erhält man \(\square = 40 : 4 = 10\).

a) \(\square = 17\) b) \(\square = 9\) c) \(\square = 10\)

- Stell dir die Klammer wie ein verschlossenes Paket vor. Was musst du zuerst entfernen, um an den Inhalt zu kommen? - In welcher Reihenfolge musst du die Rechenschritte rückgängig machen? - Welche Zahl musst du mit \(4\) multiplizieren, um \(340\) zu erhalten?

1. Zuerst wird die Multiplikation mit 4 durch die Umkehroperation Division rückgängig gemacht: \(x + 45 = 340 : 4\). 2. Berechnung des Zwischenergebnisses: \(340 : 4 = 85\). 3. Die Gleichung lautet nun \(x + 45 = 85\). 4. Um \(x\) zu isolieren, wird die Addition von 45 durch Subtraktion umgekehrt: \(x = 85 - 45\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(x = 40\).

\(x = 40\)

- Betrachte die Klammer zuerst als eine einzige unbekannte Zahl. Was müsste dort stehen, damit die Addition stimmt? - Wie kannst du das Ergebnis einer Division herausfinden, wenn der Teiler fehlt? - Nutze die Umkehroperationen, um Schritt für Schritt näher an die Lösung zu kommen.

1. Bestimmung des Wertes des Klammerausdrucks durch Umkehraufgabe der Addition: \( 150 : \square = 22 - 7 = 15 \) 2. Ermittlung des Platzhalters durch Umkehraufgabe der Division: \( \square = 150 : 15 \) 3. Berechnung des Ergebnisses: \( 150 : 15 = 10 \)

\( \square = 10 \)

- Welche Rechenoperation kehrt die Multiplikation um? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Malrechnung, wenn du eine der beteiligten Zahlen vergrößerst? - Stell dir vor, du hast doppelt so viele Tüten, aber in jeder Tüte sind immer noch 13 Bonbons.

1. Berechnung des unbekannten Faktors \(z\) durch Division: \(z = 182 : 13 = 14\). 2. Analyse der proportionalen Änderung: Das Produkt \(182\) wird verdoppelt (\(182 \cdot 2 = 364\)), während einer der Faktoren (\(13\)) konstant bleibt. 3. Schlussfolgerung: Da das Produkt das Ergebnis der Multiplikation beider Faktoren ist, muss sich bei gleichbleibendem ersten Faktor der zweite Faktor \(z\) ebenfalls verdoppeln, um das doppelte Produkt zu erreichen. Der neue Wert wäre \(z = 28\).

a) \(z = 14\); b) Der Wert von \(z\) würde sich ebenfalls verdoppeln (auf 28), da bei einem doppelt so großen Produkt und gleichem ersten Faktor auch der zweite Faktor doppelt so groß sein muss.

- Nutze für den ersten Teil die Umkehroperation. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn man eine der beiden Zahlen halbiert? - Wie findest du die Zahl, durch die man teilen muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?

1. Berechnung von \(y\) durch Multiplikation: \(y = 8 \cdot 25 = 200\). 2. Wenn der Quotient halbiert wird (auf \(4\)), lautet die Rechnung \(y_{\text{neu}} = 4 \cdot 25 = 100\). Der Wert von \(y\) halbiert sich also ebenfalls. 3. Um den Divisor \(m\) zu finden, teilt man den Dividenden durch den Quotienten: \(m = 200 : 8 = 25\).

1. \(y = 200\) 2. Der Wert von \(y\) halbiert sich (er wird \(100\)). 3. \(m = 25\)

- Kannst du einen Teil der Gleichung direkt ausrechnen, um sie einfacher zu machen? - Wenn eine Summe und ein Summand bekannt sind, wie findet man den anderen Summanden? - Stell dir eine Waage vor: Wenn die rechte Seite schwerer wird, was muss links passieren, damit sie im Gleichgewicht bleibt?

1. Berechnung des Klammerausdrucks: \(130 - 45 = 85\). 2. Einsetzen in die Gleichung: \(x + 85 = 210\). 3. Anwendung der Umkehroperation (Subtraktion), um den Summanden \(x\) zu isolieren: \(x = 210 - 85\). 4. Berechnung des Werts für \(x\): \(x = 125\). 5. Analyse der Veränderung: Da \(x\) die Differenz aus dem Gesamtergebnis und \(85\) ist, führt ein größeres Ergebnis bei gleichbleibendem Summanden (\(85\)) zu einem größeren Wert für \(x\).

1. Vereinfachte Gleichung: \(x + 85 = 210\) 2. Lösung: \(x = 125\) 3. Begründung: Der Wert von \(x\) würde größer werden, da bei einer größeren Summe und gleichbleibendem ersten Summanden auch der zweite Summand zunehmen muss.

- Vergleiche deine Ergebnisse aus a) und b) direkt miteinander. - Was passiert mit der Größe der Stücke, wenn du eine Pizza unter mehr Leuten aufteilst? - Schreibe die Division als Malaufgabe auf.

1. Berechnung für a): \(240 : 10 = 24\). 2. Berechnung für b): \(240 : 30 = 8\). 3. Vergleich für c): Wenn der Quotient verdreifacht wird (von \(10\) auf \(30\)), verringert sich der Divisor auf ein Drittel (von \(24\) auf \(8\)). 4. Begründung für d): Die Gleichung \(240 : \text{Divisor} = \text{Quotient}\) entspricht der Umkehraufgabe \(\text{Divisor} \cdot \text{Quotient} = 240\). Um einen der beiden Faktoren der Multiplikation zu finden, muss man das Produkt (\(240\)) durch den anderen bekannten Faktor (\(\text{Quotient}\)) teilen.

a) Der Divisor ist \(24\). b) Der Divisor ist \(8\). c) Der Divisor wird gedrittelt (er wird durch \(3\) geteilt). d) Da \(\text{Divisor} \cdot \text{Quotient} = \text{Dividend}\) gilt, findet man den Divisor durch die Rechnung \(\text{Dividend} : \text{Quotient}\).

- Berechne zuerst den Wert, der nach dem Wort „genauso groß wie“ beschrieben wird. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn du die gesuchte Zahl \(x\) nennst? - Welche Zahl muss man zu \(45\) addieren, um dein Zwischenergebnis zu erreichen? - Nutze die Umkehroperation der Addition.

1. Berechnung des Zielwerts durch Subtraktion: \(150 - 38 = 112\) 2. Aufstellen der Gleichung für die gesuchte Zahl \(x\): \(x + 45 = 112\) 3. Anwendung der Umkehroperation zur Bestimmung von \(x\): \(x = 112 - 45\) 4. Ermittlung des Endergebnisses: \(112 - 45 = 67\)

\(67\)

- Wie berechnet man einen fehlenden Teil, wenn das Ganze und die anderen Teile bekannt sind? - Stell dir eine Waage vor: Wenn du auf der einen Seite etwas hinzufügst, was musst du tun, damit sie im Gleichgewicht bleibt? - Überlege dir ein Beispiel mit einfachen Zahlen, um die Änderung zu testen.

1. Aufstellen der Summengleichung: \(a + b + z = 150\), wobei \(z\) die dritte Zahl ist. 2. Umstellen nach der unbekannten Zahl: \(z = 150 - a - b\) 3. Analyse der Veränderung: Erhöht man einen Summanden (\(a\)) um \(15\), erhöht sich die Gesamtsumme zunächst ebenfalls um \(15\). 4. Bestimmung der Ausgleichsrechnung: Damit das Ergebnis \(150\) bleibt, muss ein anderer Summand (hier \(z\)) um denselben Betrag verringert werden. 5. Ergebnis: Die dritte Zahl muss um \(15\) verkleinert werden.

a) Der Term für die dritte Zahl lautet \(150 - a - b\). b) Die dritte Zahl muss um \(15\) verkleinert werden. Begründung: Wenn ein Summand vergrößert wird, muss ein anderer um den gleichen Betrag verkleinert werden, damit die Summe unverändert bleibt.

- Beginne beim Endergebnis \(4\) und arbeite dich rückwärts zum Start vor. - Wenn der Zauberer sagt „ziehe \(16\) ab“, was musst du dann beim Rückwärtsrechnen tun? - Was ist die Umkehroperation zum Verdoppeln einer Zahl? - Schreibe dir die einzelnen Zwischenergebnisse deiner Rückwärtsrechnung nacheinander auf.

1. Rückgängigmachen der Subtraktion: \(4 + 16 = 20\) 2. Rückgängigmachen der Division durch Multiplikation: \(20 \cdot 5 = 100\) 3. Rückgängigmachen der Addition durch Subtraktion: \(100 - 50 = 50\) 4. Rückgängigmachen der Verdopplung durch Division: \(50 : 2 = 25\)

Die Lieblingszahl des Zuschauers war \(25\).

- Kann eine Summe kleiner sein als einer der beiden Summanden, wenn wir nur positive ganze Zahlen verwenden? - Was ist das Gegenteil von „etwas abziehen“? - Stell dir vor, du hast eine unbekannte Menge Murmeln, gibst welche weg und hast noch einen Rest. Wie viele hattest du am Anfang?

1. Prüfung der ersten Gleichung: Da \(210\) kleiner als \(345\) ist, kann keine natürliche Zahl \(x\) addiert werden, um \(210\) zu erhalten. Es gibt keine Lösung in den natürlichen Zahlen. 2. Lösung der zweiten Gleichung: Anwendung der Umkehroperation Addition. 3. Berechnung: \(210 + 345 = 555\).

Die Gleichung \(x + 345 = 210\) hat keine Lösung in den natürlichen Zahlen, da das Ergebnis der Addition kleiner ist als einer der Summanden. Die Lösung für \(x - 345 = 210\) ist \(x = 555\).

- Hier musst du in zwei Schritten vorgehen. Überlege dir, welche Rechenoperation zuletzt ausgeführt wurde, und mache diese zuerst rückgängig. - Stell dir die Gleichung wie eine Zwiebel vor, die du von außen nach innen schälst, um zum \(x\) zu gelangen. - Kehre die Rechenoperationen in umgekehrter Reihenfolge um.

1. In Teilaufgabe a) wird zuerst die Addition umgekehrt: \(5 \cdot x = 120 - 35 = 85\). Danach wird durch \(5\) dividiert: \(x = 85 : 5 = 17\). 2. In Teilaufgabe b) wird zuerst die Subtraktion umgekehrt: \(x : 4 = 7 + 18 = 25\). Danach wird mit \(4\) multipliziert: \(x = 25 \cdot 4 = 100\).

a) \(x = 17\) b) \(x = 100\)

- Gibt es einen Teil der Gleichung, den du sofort ausrechnen kannst? - Denke an die Vorrangregeln (Klammern zuerst). - Schreibe dir die vereinfachte Gleichung nach dem ersten Rechenschritt neu auf.

1. Teilaufgabe a: Klammerwert berechnen (\(15 - 7 = 8\)). Gleichung: \(8 \cdot x = 56\). Umkehroperation: \(x = 56 : 8 = 7\). 2. Teilaufgabe b: Rechte Seite berechnen (\(22 - 14 = 8\)). Gleichung: \(x : 4 = 8\). Umkehroperation: \(x = 8 \cdot 4 = 32\). 3. Teilaufgabe c: Linke Seite berechnen (\(11 \cdot 4 = 44\)). Gleichung: \(44 = x + 19\). Umkehroperation: \(x = 44 - 19 = 25\).

a) \(x = 7\) b) \(x = 32\) c) \(x = 25\)

- Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation? - In Teil a) suchst du die Zahl, durch die geteilt wird. Überlege dir an einem einfachen Beispiel wie \(10 : \square = 2\), wie du vorgehen musst. - Führe eine schriftliche Division durch, um die großen Zahlen sicher zu bewältigen.

1. Um den Divisor \(x\) in Gleichung a) zu berechnen, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(x = 2352 : 42\). Die Rechnung ergibt \(x = 56\). 2. Um den Faktor \(x\) in Gleichung b) zu finden, wird das Produkt durch den bekannten Faktor geteilt: \(x = 8820 : 105\). Die Division ergibt \(x = 84\).

a) \(x = 56\) b) \(x = 84\)

- Gehe wie bei einer Zwiebel von außen nach innen vor. - Welche Zahl muss in der Klammer stehen, damit die gesamte Rechnung aufgeht? - Mache eine Probe, indem du dein Ergebnis in den ursprünglichen Term einsetzt.

1. In Teilaufgabe a) dividiert man zuerst durch 2: \(18 + \square = 50 : 2 = 25\). Dann subtrahiert man 18: \(\square = 25 - 18 = 7\). 2. In Teilaufgabe b) kehrt man die Operationen von außen nach innen um: Zuerst Division durch 8 ergibt \(\square : 4 - 3 = 16 : 8 = 2\). Dann Addition von 3 ergibt \(\square : 4 = 2 + 3 = 5\). Schließlich Multiplikation mit 4 ergibt \(\square = 5 \cdot 4 = 20\). 3. In Teilaufgabe c) dividiert man zuerst durch 10: \(45 : \square = 50 : 10 = 5\). Um \(\square\) zu finden, rechnet man \(45 : 5 = 9\).

a) \(\square = 7\) b) \(\square = 20\) c) \(\square = 9\)

- Kannst du einen Teil der Gleichung sofort ausrechnen? - Was musst du zu der Zahl, die du bei \(81 : 9\) erhältst, addieren, um auf 20 zu kommen? - Wie kommst du von \(x : 9\) zur Zahl \(x\) zurück?

1. Zuerst wird der bekannte Teil der Summe berechnet: \(81 : 9 = 9\). 2. Die Gleichung wird damit zu \(x : 9 + 9 = 20\). 3. Die Addition von 9 wird durch die Umkehroperation Subtraktion rückgängig gemacht: \(x : 9 = 20 - 9\). 4. Dies ergibt \(x : 9 = 11\). 5. Um \(x\) zu finden, wird die Division durch 9 mit der Multiplikation umgekehrt: \(x = 11 \cdot 9\). 6. Das Ergebnis ist \(x = 99\).

\(x = 99\)