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- Überlege, was die Schreibweise mit der Hochzahl aussagt. - Formuliere die Rechnung mit zwei Faktoren.

1. Die Hochzahl \(2\) bedeutet nicht Multiplikation mit \(2\), sondern zwei gleiche Faktoren. 2. Richtig ist \(18^2=18\cdot18=324\).

Richtig ist \(18^2=18\cdot18=324\).

- Haben Division und Multiplikation unterschiedliche Vorränge oder sind sie gleichrangig? - Was macht man, wenn in einer Aufgabe nur „Punktrechnungen“ vorkommen? - Stell dir vor, es wären nur Plus und Minus in der Aufgabe – wie würdest du dann vorgehen?

1. In dem Term \(80 : 4 \cdot 2\) kommen nur Punktrechnungen (Division und Multiplikation) vor. 2. Diese Rechenarten sind gleichrangig. 3. Wenn Rechenarten gleichrangig sind und keine Klammern gesetzt sind, muss von links nach rechts gerechnet werden. 4. Schritt 1: \(80 : 4 = 20\). 5. Schritt 2: \(20 \cdot 2 = 40\). 6. Lena hat recht. Jans Vorgehensweise entspräche dem Term \(80 : (4 \cdot 2)\), der hier nicht vorliegt.

Lena hat recht. Bei gleichrangigen Rechenarten (hier beides Punktrechnungen) ohne Klammern wird von links nach rechts gerechnet. Das richtige Ergebnis ist \(40\).

- Überlege, welche Rechenoperationen Vorrang haben. - Gibt es eine Regel für Aufgaben, in denen nur Plus und Minus vorkommen? - Schau dir die Reihenfolge genau an, in der Max gerechnet hat.

1. Teilaufgabe a): Max hat zuerst addiert (\(12 + 3 = 15\)) und dann multipliziert (\(15 \cdot 5 = 75\)). Er hat die Regel „Punkt vor Strich“ missachtet. Zuerst muss die Multiplikation erfolgen: \(3 \cdot 5 = 15\). Danach wird addiert: \(12 + 15 = 27\). Das richtige Ergebnis ist \(27\). 2. Teilaufgabe b): Max hat zuerst die Summe von \(50\) und \(10\) gebildet (\(60\)) und diese von \(100\) abgezogen (\(100 - 60 = 40\)). Bei Strichrechnungen gleicher Rangordnung muss jedoch von links nach rechts gerechnet werden. Zuerst wird subtrahiert: \(100 - 50 = 50\). Danach wird addiert: \(50 + 10 = 60\). Das richtige Ergebnis ist \(60\).

a) Fehler: „Punkt vor Strich“ nicht beachtet. Richtig: \(12 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27\). b) Fehler: Nicht von links nach rechts gerechnet. Richtig: \(100 - 50 + 10 = 50 + 10 = 60\).

- Prüfe jede Tabellenzeile unabhängig. - Markiere erst den falschen Eintrag und korrigiere dann nur diesen.

1. Die ersten drei Einträge stimmen: \(9^2=81\), \(14^2=196\), \(19^2=361\). 2. \(23^2=529\), nicht \(549\).

Falsch ist die letzte Zeile. Richtig lautet sie \(23^2=529\).

- Schreibe die Quadratzahl zunächst als Produkt. - Leite daraus eine passende Umkehraufgabe ab.

1. Aus \(12^2=144\) folgt \(144{:}12=12\), weil die beiden Faktoren \(12\) sind. 2. Dagegen ist \(144{:}2=72\). Bens Division verwendet den falschen Teiler.

Der richtige Zusammenhang ist \(144{:}12=12\); \(144{:}2=72\).

- Rechne jede Aufgabe für dich neu aus, ohne auf das vorgegebene Ergebnis zu schauen. - Achte bei der Multiplikation besonders auf die letzte Ziffer des Produkts. - Nutze die Umkehroperation (Probe), um deine Ergebnisse zu kontrollieren.

1. Überprüfung von \(252 : 7\): Die Rechnung ergibt \(36\). Somit ist \(34\) falsch. 2. Überprüfung von \(16 \cdot 16\): Die Rechnung ergibt \(256\). Das Ergebnis ist richtig. 3. Überprüfung von \(336 : 8\): Die Rechnung ergibt \(42\). Das Ergebnis ist richtig. 4. Überprüfung von \(22 \cdot 14\): Die Rechnung ergibt \(308\). Somit ist \(298\) falsch.

a) falsch; richtig ist \(36\) b) richtig c) richtig d) falsch; richtig ist \(308\)

- Darf man beim Abziehen Zahlen zusammenfassen? Wenn ja, wie? - Überprüfe bei jedem Kind, ob die Rechenregel „von links nach rechts“ beachtet wurde oder ein erlaubter Trick angewendet wurde. - Was passiert mit dem Gesamtwert, wenn man statt zwei Zahlen nur deren Unterschied abzieht?

1. Prüfung von Leos Weg: Er rechnet konsequent von links nach rechts. Das Ergebnis \(500\) ist korrekt. 2. Prüfung von Mias Weg: Sie addiert alle abzuziehenden Zahlen (Subtrahenden) und subtrahiert die Gesamtsumme vom Minuenden. Dies ist ein geschickter und mathematisch richtiger Rechenvorteil. Das Ergebnis \(500\) ist korrekt. 3. Prüfung von Noahs Weg: Er rechnet den ersten Teil korrekt (\(750\)), bildet dann aber die Differenz der beiden letzten Zahlen (\(150 - 100 = 50\)) und zieht diese ab. Das ist falsch, da beide Zahlen abgezogen werden müssten. Er hätte \(750 - 150 - 100\) rechnen müssen.

Leo und Mia haben richtig gerechnet. Mia hat einen geschickten Rechenvorteil genutzt, indem sie alle abzuziehenden Zahlen zuerst addiert hat. Noah hat falsch gerechnet. Er hat die letzten beiden Zahlen fälschlicherweise voneinander abgezogen, bevor er sie vom Rest subtrahiert hat.

- Welche Rechenregel gilt, wenn Punktrechnungen (Multiplikation, Division) und Strichrechnungen (Addition, Subtraktion) in einem Term vorkommen? - In welcher Reihenfolge rechnet man, wenn nur Strichrechnungen übrig sind? - Überlege, wie man Klammern setzen müsste, um die Ergebnisse von Lukas und Paul zu erhalten.

1. Lukas hat von links nach rechts gerechnet, ohne die Punkt-vor-Strich-Regel zu beachten: \((100 - 10) \cdot 5 + 5 = 90 \cdot 5 + 5 = 455\). 2. Mia hat die Punkt-vor-Strich-Regel korrekt angewendet und danach von links nach rechts gerechnet: \(100 - (10 \cdot 5) + 5 = 100 - 50 + 5 = 55\). 3. Paul hat die Addition \(5 + 5\) vorgezogen und anschließend multipliziert: \(100 - 10 \cdot (5 + 5) = 100 - 10 \cdot 10 = 0\). 4. Mia hat den gegebenen Term korrekt berechnet. Lukas und Paul haben die Rechenreihenfolge verändert.

Lukas hat stur von links nach rechts gerechnet. Mia hat die Punkt-vor-Strich-Regel beachtet. Paul hat zuerst die Addition am Ende und dann die Multiplikation berechnet. Mia hat das richtige Ergebnis (\(55\)).

- Welcher Teil der Aufgabe muss auf jeden Fall zuerst berechnet werden? - Was passiert nach dem Auflösen der Klammer? Welche Regel greift dann? - Versuche Mias Rechenweg nachzuvollziehen, um zu sehen, an welcher Stelle sie falsch abgebogen ist.

1. Analyse von Mias Rechenweg: Mia berechnet zuerst die Klammer (\(15 + 5 = 20\)), fasst anschließend aber \(4 - 2\) zusammen und multipliziert schließlich (\(20 \cdot 2 = 40\)). 2. Fehleridentifikation: Mia hat die Subtraktion vor der Multiplikation durchgeführt. Nach der Klammerregel gilt jedoch „Punkt vor Strich“. 3. Korrekte Rechnung: Zuerst wird der Klammerinhalt berechnet: \(15 + 5 = 20\). Der Term lautet dann \(20 \cdot 4 - 2\). Nun muss die Multiplikation vor der Subtraktion erfolgen: \(20 \cdot 4 = 80\). Zuletzt wird subtrahiert: \(80 - 2 = 78\).

Mia hat die Subtraktion (\(4 - 2\)) vor der Multiplikation durchgeführt. Richtig ist: \((15 + 5) \cdot 4 - 2 = 20 \cdot 4 - 2 = 80 - 2 = 78\).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du die Reihenfolge der Subtraktionen änderst? - Gibt es eine Regel für Aufgaben, die nur aus Minuszeichen bestehen? - Stell dir vor, du hast \(100\,\text{€}\). Du kaufst erst etwas für \(40\,\text{€}\) und dann etwas für \(10\,\text{€}\). Wie viel Geld hast du am Ende?

1. Überprüfung der Rechenregel für Strichrechnung ohne Klammern: Gleichrangige Strichrechnungen werden von links nach rechts ausgeführt. 2. Korrekte Durchführung der Rechnung: Zuerst wird die erste Subtraktion berechnet (\(100 - 40 = 60\)), anschließend die zweite (\(60 - 10 = 50\)). 3. Vergleich mit der Behauptung: Der Schüler hat die Subtraktion fälschlicherweise von rechts nach links durchgeführt bzw. eine nicht vorhandene Klammer gesetzt. Die Behauptung ist falsch.

Die Behauptung ist falsch. Das korrekte Ergebnis ist \(50\). Ohne Klammern muss man von links nach rechts rechnen: \(100 - 40 = 60\) und \(60 - 10 = 50\).

- Was bewirkt eine Klammer in einem Rechenterm? - Wenn du eine Summe in einer Klammer mit einer Zahl multiplizierst, was muss dann mit jedem Summanden passieren? - Versuche einmal, zuerst das Innere der Klammer auszurechnen. - Kennst du ein Gesetz, mit dem man die Klammer „verteilen“ kann?

1. Identifikation des Fehlers: Beim Auflösen der Klammer wurde die Multiplikation nur auf die erste Zahl (\(12\)) angewendet. Die zweite Zahl in der Klammer (\(9\)) wurde nicht mit \(4\) multipliziert. 2. Rechenweg 1 (Klammer zuerst): Zuerst wird der Inhalt der Klammer addiert: \(12 + 9 = 21\). Dann wird multipliziert: \(21 \cdot 4 = 84\). 3. Rechenweg 2 (Distributivgesetz): Jeder Summand in der Klammer wird mit dem Faktor außerhalb multipliziert: \(12 \cdot 4 + 9 \cdot 4\). Das ergibt \(48 + 36 = 84\).

Der Faktor \(4\) wurde nicht mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert. Klammer zuerst: \((12 + 9) \cdot 4 = 21 \cdot 4 = 84\). Mit Distributivgesetz: \((12 + 9) \cdot 4 = 12 \cdot 4 + 9 \cdot 4 = 48 + 36 = 84\).

- Überprüfe jeden ausgefüllten Zwischenschritt im Rechenbaum von oben nach unten einzeln auf seine Richtigkeit. - Achte besonders auf die Multiplikation der zweistelligen Zahl im mittleren Schritt. - Wenn du den Fehler gefunden hast, rechne ab dieser Stelle mit dem korrekten Zwischenwert weiter bis zum Endergebnis.

1. Analyse des Rechenbaums von oben nach unten: - Zuerst wird die Addition berechnet: \(15 + 18 = 33\). Dieses Zwischenergebnis ist korrekt. - Danach wird auf der rechten Seite multipliziert: Hier soll \(4 \cdot 33\) berechnet werden. Das im Baum eingetragene Ergebnis ist \(122\). Das ist falsch, denn \(4 \cdot 33 = 132\). Hier liegt der erste Rechenfehler. - Die letzte Operation ganz unten ist eine Subtraktion: \(250 - 122 = 128\). Dieser Schritt wurde zwar mit dem falschen Zwischenwert richtig gerechnet, das Endergebnis ist jedoch aufgrund des vorherigen Fehlers falsch. 2. Berechnung des korrekten Endergebnisses: - Korrekte Multiplikation: \(4 \cdot 33 = 132\) - Korrekte Subtraktion: \(250 - 132 = 118\)

a) Der Fehler liegt bei der Multiplikation. Es wurde fälschlicherweise \(4 \cdot 33 = 122\) gerechnet, das richtige Ergebnis dieses Schrittes ist jedoch \(132\). b) Das richtige Endergebnis lautet \(118\).

- Vergleiche die Reihenfolge der Rechenschritte im Rechenbaum mit der Reihenfolge in Laras Term. - Welche Rechenoperationen werden im Rechenbaum zuerst ausgeführt, und welche als Letztes? - Erinnere dich an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. Wie sorgt man in einem Term dafür, dass eine Strichrechnung vor einer Punktrechnung gerechnet wird?

1. Lara hat beim Übertragen des Rechenbaums die Klammern vergessen. Ohne Klammern gilt die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“, wodurch die Division zuerst ausgeführt würde. 2. Der korrekte Term lautet: \((48 - 12) : (12 - 10)\). 3. Berechnung des korrekten Terms: - Linke Subtraktion: \(48 - 12 = 36\) - Rechte Subtraktion: \(12 - 10 = 2\) - Division (Endergebnis): \(36 : 2 = 18\) 4. Berechnung von Laras Term: \(48 - 12 : 12 - 10 = 48 - (12 : 12) - 10 = 48 - 1 - 10 = 37\).

a) Lara hat die Klammern vergessen. Ohne Klammern würde man wegen der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ zuerst dividieren statt zuerst zu subtrahieren. b) Der korrekte Term lautet: \((48 - 12) : (12 - 10)\). c) Der korrekte Wert des Terms lautet \(18\). Bei Laras Term ergibt sich stattdessen der Wert \(37\).

- Überlege, ob das Wechselgeld mehr oder weniger werden muss, wenn man zusätzliche Dinge kauft. - Prüfe die Rechenzeichen in den Verknüpfungspunkten des Baums. - Rechne den Baum Schritt für Schritt von oben nach unten durch.

1. Analyse des Rechenbaums: Lina berechnet zuerst das Restgeld nach dem Kauf der Schlamperrolle (\(20 - 12{,}50 = 7{,}50\)). Danach addiert sie jedoch den Preis der Hefte (\(5 \cdot 0{,}80 = 4{,}00\)) dazu, anstatt ihn abzuziehen. 2. Wert des Rechenbaums: \(7{,}50 + 4{,}00 = 11{,}50\,\text{€}\). 3. Richtiges Wechselgeld: Von den \(20\,\text{€}\) müssen beide Beträge abgezogen werden: \(20 - 12{,}50 - 4{,}00 = 3{,}50\,\text{€}\).

a) Lina hat den Preis für die Hefte zum restlichen Geld addiert, anstatt ihn abzuziehen. b) Der Rechenbaum liefert das Ergebnis \(11{,}50\,\text{€}\). c) Tatsächlich erhält sie \(3{,}50\,\text{€}\) Wechselgeld.

- Berechne zuerst den richtigen Wert unabhängig vom Eintrag. - Vergleiche danach beide Ergebnisse durch Subtraktion.

1. \(32^2=32\cdot32=1024\). 2. Die Abweichung beträgt \(1024-924=100\). Das eingetragene Ergebnis ist um \(100\) zu klein.

Richtig ist \(1024\); der falsche Wert ist um \(100\) zu klein.

- In welcher Richtung rechnet man, wenn mehrere Divisionszeichen hintereinander stehen? - Darf man eine Division einfach aufteilen, wenn eine Summe als Divisor steht? - Was passiert, wenn du zuerst den Inhalt der Klammer ausrechnest?

1. In Teilaufgabe a) wurde von rechts nach links gerechnet (\(20 : 5 = 4\)). Bei einer Kette von Divisionen muss jedoch von links nach rechts gerechnet werden: \(200 : 20 = 10\) und dann \(10 : 5 = 2\). 2. In Teilaufgabe b) wurde die Division fälschlicherweise auf die Summe im Divisor verteilt. Das Distributivgesetz ist in dieser Form nicht anwendbar. Zuerst muss der Klammerausdruck berechnet werden: \(100 : (10 + 10) = 100 : 20 = 5\).

a) Fehler: Von rechts nach links gerechnet; richtiges Ergebnis: \(2\). b) Fehler: Die Division wurde unzulässig auf die Summe im Divisor verteilt; richtiges Ergebnis: \(5\).

- Rechne jede Operation im Baum selbst nach, um die Ergebnisse zu prüfen. - Achte darauf, ob die Zahlen in den Kästchen wirklich das Ergebnis der darüberstehenden Zahlen und der Operation sind. - Wenn du einen Fehler gefunden hast, rechne ab dieser Stelle mit dem richtigen Wert weiter bis zum Ende.

1. Überprüfung des linken Zweigs: \(60 \cdot 5 = 300\). Das Ergebnis im Kästchen ist korrekt. 2. Überprüfung des rechten Zweigs: \(480 : 6 = 80\). Im Kästchen steht jedoch \(70\). Der Fehler liegt also bei der Division. 3. Berechnung des korrekten Endergebnisses: Mit dem richtigen Zwischenwert \(80\) ergibt sich für die letzte Subtraktion \(300 - 80 = 220\).

a) Der Fehler liegt bei der Division (\(480 : 6\)). b) Das korrekte Endergebnis ist \(220\).