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- Denk an die Regel: Klammern werden immer zuerst ausgerechnet. - Gibt es in einer Klammer Punkt- und Strichrechnung? Dann gilt auch dort: Punkt vor Strich. - Rechne Schritt für Schritt von der Klammer nach außen.

1. Berechnung von a): Zuerst die Klammer \((16 + 24) = 40\), dann Division \(40 : 8 = 5\), schließlich Addition \(5 + 9 = 14\). 2. Berechnung von b): Zuerst die Klammer \((5 \cdot 6 - 12)\). Innerhalb der Klammer gilt Punkt vor Strich: \(30 - 12 = 18\). Dann Division \(18 : 3 = 6\). 3. Berechnung von c): Zuerst die Klammer \((45 + 15) = 60\), dann Division \(60 : 10 = 6\), schließlich Addition \(6 + 24 = 30\).

a) \(14\) b) \(6\) c) \(30\)

- Überlege dir zuerst, welchen Teil der Aufgabe du zuerst rechnen musst. - Denk an die Regel: Klammern werden immer zuerst berechnet. - Gibt es bei der Division eine Zahl, die nicht genau aufgeht? Dann bleibt ein Rest übrig. - Bei „Punkt vor Strich“ rechnest du Mal- und Geteiltaufgaben vor Plus- und Minusaufgaben.

1. Berechnung von a): Zuerst die Klammer \((100 - 19) = 81\). Dann die Division \(81 : 9 = 9\). 2. Berechnung von b): Zuerst die Klammer \((60 - 15) = 45\). Dann die Division mit Rest \(45 : 7 = 6\) Rest \(3\). 3. Berechnung von c): Zuerst die Multiplikation \(5 \cdot 8 = 40\). Dann die Addition \(40 + 360 = 400\). Zuletzt die Subtraktion \(400 - 140 = 260\). 4. Berechnung von d): Zuerst die Multiplikation \(7 \cdot 6 = 42\). Dann die Addition \(42 + 118 = 160\). Zuletzt die Subtraktion \(160 - 50 = 110\).

a) \(9\) b) \(6\) Rest \(3\) c) \(260\) d) \(110\)

- In welcher Reihenfolge rechnest du, wenn keine Klammern vorhanden sind? - Was verändert sich bei Term \(A\) durch die Klammer für die Zahl \(200\)? - Berechne erst beide Ergebnisse, bevor du sie vergleichst.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst die Klammer \((600 - 200) = 400\), dann die Subtraktion \(1800 - 400 = 1400\). 2. Berechnung von Term \(B\): Ohne Klammern wird von links nach rechts gerechnet. Zuerst \(1800 - 600 = 1200\), dann \(1200 - 200 = 1000\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(1400 \neq 1000\). Term \(A\) ist um \(400\) größer als Term \(B\).

Der Wert von Term \(A\) ist \(1400\), der Wert von Term \(B\) ist \(1000\).

- Denk an die Regel: Rechnungen in Klammern werden zuerst gelöst. - Berechne erst die Ergebnisse der Mal- oder Geteiltaufgaben. - Addiere oder subtrahiere dann die beiden Zwischenergebnisse.

1. Erste Teilrechnung: \(5 \cdot 8 = 40\), zweite Teilrechnung: \(3 \cdot 7 = 21\). Gesamtergebnis: \(40 + 21 = 61\). 2. Erste Teilrechnung: \(9 \cdot 4 = 36\), zweite Teilrechnung: \(2 \cdot 8 = 16\). Gesamtergebnis: \(36 - 16 = 20\). 3. Erste Teilrechnung: \(6 \cdot 6 = 36\), zweite Teilrechnung: \(15 : 3 = 5\). Gesamtergebnis: \(36 + 5 = 41\). 4. Erste Teilrechnung: \(7 \cdot 3 = 21\), zweite Teilrechnung: \(12 : 4 = 3\). Gesamtergebnis: \(21 - 3 = 18\).

a) \(61\); b) \(20\); c) \(41\); d) \(18\)

- Berechne zuerst den Wert ohne Klammern, um zu sehen, wie weit du vom Zielwert entfernt bist. - Überlege, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss. - Verändere die Reihenfolge der Rechnung durch die Klammern Schritt für Schritt.

1. Berechnung des Terms ohne Klammern (von links nach rechts): \(75 - 25 = 50\); \(50 - 15 = 35\); \(35 + 5 = 40\). Dies ergibt nicht \(60\). 2. Testen der Klammersetzung: - \(75 - (25 - 15) + 5 = 75 - 10 + 5 = 65 + 5 = 70\) (falsch) - \(75 - 25 - (15 + 5) = 50 - 20 = 30\) (falsch) - \(75 - (25 - 15 + 5) = 75 - (10 + 5) = 75 - 15 = 60\) (richtig)

\(75 - (25 - 15 + 5) = 60\)

- Überlege zuerst, in welcher Reihenfolge der Term ohne Klammern berechnet wird. - Eine Klammer um eine Summe nach einem Minuszeichen bewirkt, dass die gesamte Summe abgezogen wird. - Probiere aus, wie sich das Ergebnis ändert, wenn du nur zwei Zahlen oder eine längere Teilrechnung einklammerst. - Bei Teilaufgabe d) benötigst du zwei separate Klammerpaare.

1. Für das Ergebnis 15: \(80 - (30 + 20) - 10 - 5 = 80 - 50 - 10 - 5 = 15\) 2. Für das Ergebnis 35: \(80 - (30 + 20 - 10) - 5 = 80 - 40 - 5 = 35\) 3. Für das Ergebnis 65: \(80 - 30 + 20 - (10 - 5) = 50 + 20 - 5 = 65\) 4. Für das Ergebnis 25: \(80 - (30 + 20) - (10 - 5) = 30 - 5 = 25\)

a) \(80 - (30 + 20) - 10 - 5 = 15\) b) \(80 - (30 + 20 - 10) - 5 = 35\) c) \(80 - 30 + 20 - (10 - 5) = 65\) d) \(80 - (30 + 20) - (10 - 5) = 25\)

- Rechne zuerst die linke Seite und dann die rechte Seite getrennt aus. - Überlege, wie die Klammer das Ergebnis verändert. - Welche Zahl ist größer?

1. Vergleich für Teil a): Links gilt Punkt vor Strich: \(20 + 2 = 22\). Rechts zuerst die Klammer: \(4 \cdot 7 = 28\). Da \(22 < 28\), ist das Zeichen \(<\). 2. Vergleich für Teil b): Links zuerst die Klammer: \(40 : 8 = 5\). Rechts Punkt vor Strich: \(3 + 2 = 5\). Da \(5 = 5\), ist das Zeichen \(=\). 3. Vergleich für Teil c): Links gilt Punkt vor Strich: \(42 - 5 = 37\). Rechts zuerst die Klammer: \(7 \cdot 1 = 7\). Da \(37 > 7\), ist das Zeichen \(>\).

a) \(<\) b) \(=\) c) \(>\)

- Denk an die Regel: Klammern werden immer zuerst ausgerechnet. - Was passiert innerhalb der Klammer, wenn dort zwei verschiedene Rechenzeichen stehen? - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts, nachdem du die Klammer gelöst hast.

1. Berechnung von a): Division in der Klammer \(12 : 3 = 4\), dann Multiplikation \(4 \cdot 6 = 24\). 2. Berechnung von b): Zuerst Division in der Klammer \(42 : 6 = 7\), dann Subtraktion \(7 - 3 = 4\), schließlich Multiplikation \(4 \cdot 9 = 36\). 3. Berechnung von c): Subtraktion in der Klammer \(56 - 49 = 7\), dann Multiplikation \(7 \cdot 8 = 56\). 4. Berechnung von d): Division in der Klammer \(24 : 4 = 6\), dann Multiplikation \(6 \cdot 5 = 30\).

a) \(24\) b) \(36\) c) \(56\) d) \(30\)

- Welche Rechenart musst du zuerst ausführen, wenn Punkt- und Strichrechnung vorkommen? - Rechne zuerst die Malaufgabe aus und notiere dir das Zwischenergebnis. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende noch einmal mit der Umkehroperation.

1. Berechnung des ersten Terms: Zuerst \(7 \cdot 3 = 21\), dann Addition \(21 + 29 = 50\). 2. Berechnung des zweiten Terms: Zuerst \(7 \cdot 7 = 49\), dann Subtraktion \(49 - 14 = 35\). 3. Berechnung des dritten Terms: Zuerst \(7 \cdot 5 = 35\), dann Addition \(35 + 45 = 80\). 4. Berechnung des vierten Terms: Zuerst \(7 \cdot 8 = 56\), dann Subtraktion \(56 - 26 = 30\).

1) \(50\) 2) \(35\) 3) \(80\) 4) \(30\)

- Rechne zuerst die Werte auf beiden Seiten des Kreises aus. - Denk daran, dass Klammern immer zuerst berechnet werden. - Wenn keine Klammern da sind, rechne bei Punktrechnungen (Mal und Geteilt) einfach von links nach rechts.

1. Berechnung von Teil a: \((24 : 6) \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20\). Vergleich mit der rechten Seite: \(2 \cdot 10 = 20\). Da \(20 = 20\), ist das Ergebnis \(=\). 2. Berechnung von Teil b: \(8 \cdot 4 : 2 = 32 : 2 = 16\). Da \(16 < 20\), ist das Ergebnis \(<\). 3. Berechnung von Teil c: \((4 \cdot 3) + (6 \cdot 3) = 12 + 18 = 30\). Vergleich mit der rechten Seite: \(9 \cdot 3 = 27\). Da \(30 > 27\), ist das Ergebnis \(>\).

a) \(=\) b) \(<\) c) \(>\)

- Rechne zuerst die Malaufgaben aus, bevor du subtrahierst. - Notiere dir die Zwischenergebnisse der Multiplikationen. - Vergleiche am Ende die Endergebnisse der drei Teilaufgaben.

1. Berechnung von Aufgabe a): \(6 \cdot 9 = 54\) und \(4 \cdot 8 = 32\). Subtraktion: \(54 - 32 = 22\). 2. Berechnung von Aufgabe b): \(7 \cdot 7 = 49\) und \(3 \cdot 9 = 27\). Subtraktion: \(49 - 27 = 22\). 3. Berechnung von Aufgabe c): \(8 \cdot 5 = 40\) und \(2 \cdot 9 = 18\). Subtraktion: \(40 - 18 = 22\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Alle Berechnungen ergeben den Wert \(22\).

Alle Ergebnisse sind gleich groß (sie ergeben alle 22).

- Überlege dir, welche Rechenoperation zuerst ausgeführt werden muss. - Gibt es eine Regel für „Punkt“ und „Strich“? - Was passiert, wenn Teile der Aufgabe in Klammern stehen? - Vergleiche die Aufgaben a und b sowie c und d – was fällt dir auf?

1. Berechnung von a): Zuerst Punktrechnung \(48 : 6 = 8\), dann Strichrechnung \(8 + 2 = 10\). 2. Berechnung von b): Zuerst die Klammer \((6 + 2) = 8\), dann die Division \(48 : 8 = 6\). 3. Berechnung von c): Zuerst Punktrechnung \(5 \cdot 9 = 45\), dann Strichrechnung \(45 - 4 = 41\). 4. Berechnung von d): Zuerst die Klammer \((9 - 4) = 5\), dann die Multiplikation \(5 \cdot 5 = 25\).

a) \(10\) b) \(6\) c) \(41\) d) \(25\)

- Probiere aus, was passiert, wenn du eine Klammer um die erste Summe setzt. - Was ändert sich, wenn die Klammer um die Differenz am Ende steht? - Denk an die Regel „Punkt vor Strich“, wenn keine Klammern da sind.

1. Für Teil a): Um \(97\) zu erhalten, muss zuerst die Addition gerechnet werden: \((12 + 8) \cdot 5 - 3 = 20 \cdot 5 - 3 = 100 - 3 = 97\). 2. Für Teil b): Um \(28\) zu erhalten, muss zuerst die Subtraktion gerechnet werden: \(12 + 8 \cdot (5 - 3) = 12 + 8 \cdot 2 = 12 + 16 = 28\). 3. Für Teil c): Ohne Klammern gilt die Punkt-vor-Strich-Regel: \(12 + 8 \cdot 5 - 3 = 12 + 40 - 3 = 52 - 3 = 49\).

a) \((12 + 8) \cdot 5 - 3 = 97\) b) \(12 + 8 \cdot (5 - 3) = 28\) c) \(49\)

- Überlege dir, welche Rechenoperationen man auch ohne Klammern zuerst ausführen würde. - Gibt es Rechengesetze, die besagen, dass man Klammern bei reinen Additions- oder Multiplikationsketten weglassen darf? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine Klammer weglässt? Bleibt es gleich?

1. In Teilaufgabe a) sind die Klammern um die Multiplikationen aufgrund der „Punkt-vor-Strich“-Regel unnötig. Der vereinfachte Term lautet \(12 \cdot 4 + 7 \cdot 8\). Die Berechnung ergibt \(48 + 56 = 104\). 2. In Teilaufgabe b) können alle Klammern nach dem Assoziativgesetz der Addition weggelassen werden. Der Term lautet \(35 + 15 + 20\). Die Berechnung ergibt \(50 + 20 = 70\). 3. In Teilaufgabe c) ist die Klammer unnötig, da die Division ohnehin vor der Subtraktion ausgeführt wird. Der Term lautet \(90 : 9 - 4\). Die Berechnung ergibt \(10 - 4 = 6\).

a) \(12 \cdot 4 + 7 \cdot 8 = 104\) b) \(35 + 15 + 20 = 70\) c) \(90 : 9 - 4 = 6\)

- Was passiert, wenn du die Rechnung ohne Klammern nach der Regel „Punkt vor Strich“ berechnest? - Überlege dir, welche Teilergebnisse du brauchst, um auf das Endergebnis zu kommen. - Probiere aus, was passiert, wenn du eine Strichrechnung (Plus oder Minus) vor einer Punktrechnung (Mal) ausführst.

1. Überprüfung der Standard-Rechenregeln (Punkt-vor-Strich): Ohne Klammern ergeben sich andere Werte (\(30\), \(10\), \(115\)). 2. Für Teilaufgabe a): Da \(10 \cdot 11 = 110\) ist, muss die Summe eingeklammert werden: \((8 + 2) \cdot 11 = 10 \cdot 11 = 110\). 3. Für Teilaufgabe b): Da \(20 \cdot 3 = 60\) ist, muss die Differenz eingeklammert werden: \((25 - 5) \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60\). 4. Für Teilaufgabe c): Da \(12 \cdot 5 = 60\) ist, muss die Subtraktion eingeklammert werden: \(12 \cdot (10 - 5) = 12 \cdot 5 = 60\).

a) \((8 + 2) \cdot 11 = 110\) b) \((25 - 5) \cdot 3 = 60\) c) \(12 \cdot (10 - 5) = 60\)

- Wie kannst du aus einer Zahl die \(1\) erzeugen? - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Du darfst Ziffern auch nebeneinander schreiben, um größere Zahlen zu bilden. - Überlege, wie du durch Addition oder Subtraktion von kleinen Ergebnissen zum Ziel kommst.

1. Für das Ergebnis \(1\) wird eine Division identischer Zahlen oder Terme genutzt: \(3 : 3 = 1\). 2. Das Ergebnis \(2\) lässt sich durch die Division der Summe zweier Dreier durch einen Dreier erreichen: \((3 + 3) : 3 = 2\). 3. Für die \(4\) wird ein Dreier zu dem Ergebnis aus Schritt 1 addiert: \(3 + 3 : 3 = 4\). 4. Die \(5\) ergibt sich durch Addition eines Dreiers zum Ergebnis aus Schritt 2: \(3 + (3 + 3) : 3 = 5\). 5. Die Zahl \(30\) wird durch Subtraktion gebildet, wobei zwei Dreier zur Zahl \(33\) zusammengesetzt werden: \(33 - 3 = 30\).

Mögliche Lösungen: a) \(1 = 3 : 3\); \(2 = (3 + 3) : 3\); \(4 = 3 + 3 : 3\); \(5 = 3 + (3 + 3) : 3\) b) \(30 = 33 - 3\)

- Probiere aus, was passiert, wenn du zuerst die Addition oder zuerst die Subtraktion ausführst. - Wo müsste eine Klammer stehen, damit die Multiplikation am Ende einen kleineren Wert liefert? - Gibt es eine Stelle, an der eine Klammer die Punkt-vor-Strich-Regel sinnvoll außer Kraft setzt?

1. Maximalwert: Die Multiplikation sollte mit einer möglichst großen Zahl durchgeführt werden. Durch Einklammern der vorderen Summe ergibt sich \((8 + 2) \cdot 10 - 5 = 10 \cdot 10 - 5 = 95\). 2. Minimalwert: Der Wert, der addiert wird, muss verkleinert werden. Durch Einklammern der hinteren Differenz wird zuerst \(10 - 5\) gerechnet: \(8 + 2 \cdot (10 - 5) = 8 + 2 \cdot 5 = 8 + 10 = 18\).

a) Größtmögliches Ergebnis: \((8 + 2) \cdot 10 - 5 = 95\) b) Kleinstmögliches Ergebnis: \(8 + 2 \cdot (10 - 5) = 18\)

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis eher groß oder klein ist. Hilft hier eine Multiplikation? - Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Wenn die Punkt-vor-Strich-Regel allein nicht zum Ziel führt, versuche Klammern zu setzen, um eine Strichrechnung zuerst auszuführen. - Probiere verschiedene Kombinationen der Zeichen systematisch durch.

1. In Teilaufgabe a) wird durch Ausprobieren die Kombination nach der Punkt-vor-Strich-Regel gefunden: \(7 \cdot 2 + 5 = 14 + 5 = 19\). 2. In Teilaufgabe b) führt die Addition in Klammern zum Ziel: \((9 + 4) \cdot 2 = 13 \cdot 2 = 26\). 3. In Teilaufgabe c) wird die Multiplikation am Ende priorisiert: \(20 + 5 \cdot 3 = 20 + 15 = 35\).

a) \(7 \cdot 2 + 5 = 19\) b) \((9 + 4) \cdot 2 = 26\) c) \(20 + 5 \cdot 3 = 35\)

- Gibt es in diesem Term Klammern? - Wenn Punktrechnungen (Multiplikation oder Division) hintereinander stehen, gibt es eine feste Richtung, in der man rechnet. - Überlege, ob es einen Unterschied macht, wenn du hinten anfängst zu rechnen.

1. Anwendung der Vorrangregel für Rechenoperationen gleicher Stufe (Punktrechnung): Der Term wird von links nach rechts abgearbeitet. 2. Erster Rechenschritt: \(80 : 8 = 10\). 3. Zweiter Rechenschritt: Das Zwischenergebnis wird durch den verbleibenden Divisor geteilt: \(10 : 2 = 5\).

Das Ergebnis ist \(5\). Man rechnet von links nach rechts: \(80 : 8 = 10\) und dann \(10 : 2 = 5\).

- Gibt es Zahlen, die zusammen eine besonders einfache Zahl (wie 100 oder 1000) ergeben? - Was musst du zuerst berechnen, wenn eine Klammer in der Aufgabe steht? - Versuche, die Aufgabe in Teilschritte zu zerlegen.

1. Berechnung von a: Zuerst wird die Addition durchgeführt: \(1\,240 + 560 = 1\,800\). Danach folgt die Subtraktion: \(1\,800 - 300 = 1\,500\). 2. Berechnung von b: Zuerst wird der Wert in der Klammer berechnet: \(1\,200 + 800 = 2\,000\). Anschließend wird dieser von \(5\,000\) subtrahiert: \(5\,000 - 2\,000 = 3\,000\). 3. Berechnung von c: Durch vorteilhaftes Zusammenfassen ergibt \(750 + 250 = 1\,000\). Die Addition mit \(1\,300\) führt zum Ergebnis \(2\,300\). 4. Berechnung von d: Von \(2\,400\) werden nacheinander \(600\) und \(400\) abgezogen. \(2\,400 - 600 = 1\,800\) und \(1\,800 - 400 = 1\,400\).

a) \(1\,500\) b) \(3\,000\) c) \(2\,300\) d) \(1\,400\)

- Rechne zuerst beide Ergebnisse getrennt aus. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse der Klammern am besten auf. - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Berechnung von Aufgabe A: Innerhalb der Klammer gilt Punkt vor Strich: \(7 \cdot 8 = 56\), dann \(56 + 4 = 60\). Danach Division \(60 : 6 = 10\). Zum Schluss Addition \(10 + 30 = 40\). 2. Berechnung von Aufgabe B: Innerhalb der Klammer gilt Punkt vor Strich: \(3 \cdot 9 = 27\), dann \(27 + 3 = 30\). Danach Division \(30 : 3 = 10\). Zum Schluss Subtraktion \(100 - 10 = 90\). 3. Vergleich: Da \(40\) kleiner als \(90\) ist, lautet das Ergebnis \(40 < 90\).

\(A < B\), denn \(40 < 90\).

- Was passiert, wenn du keine Klammern setzt? Gilt dann die Regel „Punkt vor Strich“? - Probiere aus, wie sich das Ergebnis verändert, wenn du die Klammer an verschiedenen Stellen setzt. - Überlege dir, welche Teilergebnisse dir helfen könnten, auf das Endergebnis zu kommen.

1. Prüfung von a): Ohne Klammer gilt Punkt vor Strich: \(2 \cdot 10 - 5 = 20 - 5 = 15\). Mit Klammer um die Subtraktion: \(2 \cdot (10 - 5) = 2 \cdot 5 = 10\). Das ist korrekt. 2. Prüfung von b): Ohne Klammer gilt Punkt vor Strich: \(45 : 5 + 4 = 9 + 4 = 13\). Mit Klammer um die Addition: \(45 : (5 + 4) = 45 : 9 = 5\). Das ist korrekt. 3. Prüfung von c): Ohne Klammer gilt Punkt vor Strich: \(18 - 6 \cdot 2 = 18 - 12 = 6\). Mit Klammer um die Subtraktion: \((18 - 6) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24\). Das ist korrekt.

a) \(2 \cdot (10 - 5) = 10\) b) \(45 : (5 + 4) = 5\) c) \((18 - 6) \cdot 2 = 24\)

- Rechne zuerst die linke Seite und die rechte Seite getrennt voneinander aus. - Vergleiche die beiden Endergebnisse miteinander. - Welches Zeichen passt, wenn die linke Zahl kleiner, größer oder gleich der rechten Zahl ist?

1. Vergleich a: Linke Seite berechnen: \(6 \cdot 4 = 24\), dann \(24 - 9 = 15\). Da \(15 = 15\), ist das Zeichen \(=\). 2. Vergleich b: Linke Seite berechnen: \(48 : 8 = 6\), dann \(6 + 15 = 21\). Rechte Seite berechnen: \(3 \cdot 6 = 18\). Da \(21 > 18\), ist das Zeichen \(>\). 3. Vergleich c: Linke Seite berechnen: \(7 \cdot 7 = 49\) und \(4 \cdot 8 = 32\), dann \(49 - 32 = 17\). Rechte Seite berechnen: \(3 \cdot 9 = 27\), dann \(27 + 2 = 29\). Da \(17 < 29\), ist das Zeichen \(<\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(<\)

- Was passiert mit den Zahlen hinter einem Minuszeichen, wenn du sie in eine Klammer einschließt? - Überlege, ob es besser ist, nur zwei Zahlen oder so viele wie möglich zusammenzufassen. - Probiere verschiedene Stellen für die Klammern aus und vergleiche die Ergebnisse.

1. Um den Wert eines Terms mit einer Subtraktion und mehreren Additionen zu minimieren, muss ein möglichst großer Wert subtrahiert werden. Dies wird erreicht, indem die Additionen in eine Klammer hinter das Minuszeichen gesetzt werden: \(180 - (50 + 40 + 20)\). 2. Berechnung des Klammerinhalts: \(50 + 40 + 20 = 110\). 3. Berechnung des Gesamtwerts: \(180 - 110 = 70\).

\(180 - (50 + 40 + 20) = 70\)

- Wenn du von einer Zahl etwas abziehst, wird das Ergebnis kleiner. Wie kannst du erreichen, dass insgesamt weniger abgezogen wird? - Erinnere dich an die Regel, was passiert, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht, in der subtrahiert wird. - Teste die Klammersetzung an verschiedenen Positionen.

1. Bei einer Kette von Subtraktionen wird der Termwert größer, wenn der insgesamt abgezogene Wert möglichst klein ist. Durch die Klammer wird der gesamte Klammerwert subtrahiert. Je kleiner dieser Klammerwert ist, desto größer wird der Termwert. 2. Testen der Möglichkeiten: - Ohne Klammern: \(450 - 150 - 80 - 20 = 200\) - \(450 - (150 - 80) - 20 = 450 - 70 - 20 = 360\) - \(450 - 150 - (80 - 20) = 300 - 60 = 240\) - \(450 - (150 - 80 - 20) = 450 - 50 = 400\) 3. Der größte Wert ist \(400\).

\(450 - (150 - 80 - 20) = 400\)

- Überlege, welche Klammern die Rechenreihenfolge gar nicht verändern. - Klammern am Termanfang oder nach einem Pluszeichen sind oft entbehrlich. - Rechne immer von der innersten zur äußersten Klammer. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine Klammer weglässt?

1. Überflüssige Klammern identifizieren: Die erste Klammer \( (2\,450 + 1\,550) \) steht am Anfang des Terms und kann weggelassen werden. Der vereinfachte Term lautet: \( 2\,450 + 1\,550 - [1\,800 - (450 + 350)] \). 2. Innere Klammer berechnen: \( 450 + 350 = 800 \). 3. Ausdruck in der eckigen Klammer berechnen: \( 1\,800 - 800 = 1\,000 \). 4. Summe am Anfang berechnen: \( 2\,450 + 1\,550 = 4\,000 \). 5. Endgültige Subtraktion durchführen: \( 4\,000 - 1\,000 = 3\,000 \).

\( 3\,000 \)

- Wann darf man beim Addieren Klammern weglassen? - Prüfe, ob ein Minuszeichen vor einer Klammer steht – dort ist die Klammer meist wichtig. - Gibt es Klammern, die eine Rechnung umschließen, die ohnehin als Erstes oder im normalen Verlauf von links nach rechts gerechnet würde?

1. Überflüssige Klammern entfernen: Die eckige Klammer ist unnötig, da darauf eine Addition folgt. Die Klammer \( (1\,200 + 800) \) ist unnötig, da sie hinter einem Pluszeichen steht. Der vereinfachte Term lautet: \( 7\,600 - (2\,300 - 400) + 1\,200 + 800 \). 2. Verbliebene Klammer berechnen: \( 2\,300 - 400 = 1\,900 \). 3. Term von links nach rechts berechnen: \( 7\,600 - 1\,900 = 5\,700 \). 4. Weiter addieren: \( 5\,700 + 1\,200 = 6\,900 \). 5. Letzter Schritt: \( 6\,900 + 800 = 7\,700 \).

\( 7\,700 \)

- Denke an die Regel „Punkt-vor-Strich“. Klammern können diese Regel außer Kraft setzen. - Wenn ein Faktor mit einer Summe multipliziert werden soll, muss die Summe in Klammern stehen. - Prüfe bei Teilaufgabe d), ob du überhaupt Klammern setzen musst, um auf das Ergebnis zu kommen.

1. Für das Ergebnis 270: \(15 \cdot (4 + 2) \cdot 3 = 15 \cdot 6 \cdot 3 = 270\) 2. Für das Ergebnis 150: \(15 \cdot (4 + 2 \cdot 3) = 15 \cdot (4 + 6) = 15 \cdot 10 = 150\) 3. Für das Ergebnis 186: \((15 \cdot 4 + 2) \cdot 3 = (60 + 2) \cdot 3 = 62 \cdot 3 = 186\) 4. Für das Ergebnis 66: Hier sind keine Klammern notwendig, da die Punkt-vor-Strich-Regel gilt: \(60 + 6 = 66\). Alternativ sind redundante Klammern wie \((15 \cdot 4) + (2 \cdot 3)\) möglich.

a) \(15 \cdot (4 + 2) \cdot 3 = 270\) b) \(15 \cdot (4 + 2 \cdot 3) = 150\) c) \((15 \cdot 4 + 2) \cdot 3 = 186\) d) \(15 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 66\) (oder mit Klammern um die Punktrechnungen)

- Führe die Schritte der Anweisungen nacheinander aus und notiere dir die Zwischenergebnisse. - Achte besonders auf die Reihenfolge der Rechenschritte in jeder Anweisung. - Wenn du beide Endergebnisse hast, berechne den Unterschied mit einer Minusaufgabe.

1. Anwendung von Anweisung A auf die Zahl \(14\): Zuerst \(14 \cdot 2 = 28\), dann \(28 + 10 = 38\). 2. Anwendung von Anweisung B auf die Zahl \(14\): Zuerst \(14 + 10 = 24\), dann \(24 \cdot 2 = 48\). 3. Berechnung des Unterschieds zwischen den Ergebnissen: \(48 - 38 = 10\).

Der Unterschied beträgt \(10\). (Ergebnis A ist \(38\), Ergebnis B ist \(48\)).

- Rechne zuerst jede Aufgabe einzeln aus. - Vergiss nicht: In einer Klammer gilt auch „Punkt vor Strich“. - Notiere dir die Zwischenergebnisse, damit du am Ende gut vergleichen kannst. - Schau dir die Endergebnisse genau an, um die größte Zahl zu finden.

1. Berechnung von a): Klammer \(100 - 73 = 27\), dann \(27 : 3 = 9\), dann \(9 \cdot 8 = 72\). 2. Berechnung von b): In der Klammer Punkt vor Strich \(4 \cdot 8 = 32\), dann \(32 + 3 = 35\). Danach \(35 : 7 = 5\) und \(5 \cdot 9 = 45\). 3. Berechnung von c): In der Klammer Punkt vor Strich \(18 : 3 = 6\), dann \(6 + 14 = 20\). Danach \(20 : 5 = 4\) und \(4 \cdot 6 = 24\). 4. Berechnung von d): Erste Klammer \(63 : 9 + 1 = 7 + 1 = 8\), zweite Klammer \(48 : 6 = 8\). Multiplikation der Ergebnisse \(8 \cdot 8 = 64\). 5. Vergleich: \(72 > 64 > 45 > 24\). Das größte Ergebnis ist \(72\).

a) \(72\), b) \(45\), c) \(24\), d) \(64\). Das größte Ergebnis ist \(72\) (Aufgabe a).

- Gibt es in der Aufgabe Klammern? Dann berechne diese immer zuerst. - Achte genau darauf, ob in der Mitte ein Plus, Minus oder Mal steht. - Kennst du die Ergebnisse aus dem kleinen Einmaleins auswendig? Das hilft dir hier sehr.

1. Erste Zeile: Lösen der Divisionen in den Klammern ergibt \(9\) und \(8\). Multiplikation: \(9 \cdot 8 = 72\). 2. Zweite Zeile: Lösen der Klammern ergibt \(8\) und \(28\). Addition: \(8 + 28 = 36\). 3. Dritte Zeile: Lösen der Quadratzahlen in den Klammern ergibt \(81\) und \(64\). Subtraktion: \(81 - 64 = 17\). 4. Vierte Zeile: Lösen der Divisionen in den Klammern ergibt \(8\) und \(9\). Multiplikation: \(8 \cdot 9 = 72\).

\(72\); \(36\); \(17\); \(72\)

- Rechne die linke Seite und die rechte Seite der Aufgabe getrennt aus. - Denke an die Regel: Klammern werden zuerst berechnet. - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse.

1. Vergleich a): Linke Seite \(8 \cdot 3 = 24\); rechte Seite \(8 \cdot 3 = 24\). Ergebnis: \(24 = 24\). 2. Vergleich b): Linke Seite \(6 \cdot 7 = 42\); rechte Seite \(8 \cdot 5 = 40\). Ergebnis: \(42 > 40\). 3. Vergleich c): Linke Seite \(5 \cdot 6 = 30\); rechte Seite \(4 \cdot 7 = 28\). Ergebnis: \(30 > 28\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(>\)

- Überlege dir beim Überschlagen einfache Zahlen, mit denen du gut im Kopf rechnen kannst. - Arbeite dich bei der genauen Berechnung von der innersten Klammer nach außen vor. - Überprüfe für jede Klammer: Würde sich die Reihenfolge der Rechnungen ändern, wenn sie nicht da wäre? Gilt hier die „Von-links-nach-rechts“-Regel?

1. Überschlagsrechnung: Rundung auf Hunderter oder Tausender, zum Beispiel \(7\,000 - [2\,000 + (1\,000 - 400)] = 7\,000 - 2\,600 = 4\,400\). 2. Berechnung des inneren Klammerwerts: \(960 - 440 = 520\). 3. Berechnung des Werts in der eckigen Klammer: \(2\,140 + 520 = 2\,660\). 4. Subtraktion vom ersten Wert: \(6\,820 - 2\,660 = 4\,160\). 5. Analyse der Klammern: Die runden Klammern umschließen eine Subtraktion, vor der ein Pluszeichen steht. Nach den Rechenregeln (von links nach rechts innerhalb der eckigen Klammer) ändert das Weglassen der runden Klammern das Ergebnis nicht: \(2\,140 + 960 - 440 = 2\,660\). Die eckigen Klammern hingegen sind notwendig, da das Minuszeichen davor die gesamte Summe betrifft. Ohne eckige Klammern würde nur \(2\,140\) abgezogen werden.

Überschlag: ca. \(4\,400\) (je nach Rundung); Wert des Terms: \(4\,160\); Weglassbare Klammern: Die runden Klammern können weggelassen werden.

- Erinnere dich an die Vorrangregeln: Was passiert, wenn nur Strichrechnungen (Plus und Minus) im Term vorkommen? - In welcher Richtung rechnet man normalerweise, wenn keine Klammern gesetzt sind? - Teste das Weglassen der Klammern, indem du die Rechnung ohne sie im Kopf durchgehst.

1. Überschlagsrechnung: Zum Beispiel \(5\,400 - 1\,200 - 800 + 1\,600 = 5\,000\). 2. Berechnung der runden Klammer: \(5\,410 - 1\,190 = 4\,220\). 3. Berechnung der eckigen Klammer: \(4\,220 - 820 = 3\,400\). 4. Finale Addition: \(3\,400 + 1\,550 = 4\,950\). 5. Analyse der Klammern: Die runden Klammern stehen am Anfang einer Kette von Subtraktionen innerhalb der eckigen Klammer. Da man ohnehin von links nach rechts rechnet, sind sie überflüssig. Die eckigen Klammern stehen vor einer Addition. Auch hier würde die „Von-links-nach-rechts“-Regel ohne Klammern zum selben Ergebnis führen.

Überschlag: ca. \(5\,000\); Wert des Terms: \(4\,950\); Weglassbare Klammern: Sowohl die runden als auch die eckigen Klammern können weggelassen werden.

- Erinnere dich an die Regel „Punkt vor Strich“ und wie Klammern diese Regel verändern. - Bei Teilaufgabe a) muss das Ergebnis sehr klein sein. Wie muss sich die Zahl nach dem Geteilt-Zeichen verändern, damit das passiert? - Probiere bei b) aus, was passiert, wenn du die Addition vor der Multiplikation oder Division ausführst.

1. Um das Ergebnis \(3\) zu erhalten, muss der Divisor vergrößert werden. Durch Klammersetzung im hinteren Teil ergibt sich: \(48 : (6 + 2 \cdot 5) = 48 : (6 + 10) = 48 : 16 = 3\). 2. Um das Ergebnis \(30\) zu erhalten, muss die Division zuerst ein kleineres Zwischenergebnis liefern, das dann multipliziert wird: \(48 : (6 + 2) \cdot 5 = 48 : 8 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30\).

a) \(48 : (6 + 2 \cdot 5) = 3\) b) \(48 : (6 + 2) \cdot 5 = 30\)

- Teste alle Positionen für die Klammern: um die Subtraktion, um die Addition oder um beides. - Überlege, ob es besser ist, eine Zahl zu vergrößern, bevor sie mit \(5\) multipliziert wird. - Berechne jede Variante Schritt für Schritt unter Beachtung der Klammerregeln.

Wir prüfen die verschiedenen Möglichkeiten der Klammersetzung: 1. Ohne Klammern: \(5 \cdot 12 - 4 + 6 = 60 - 4 + 6 = 62\) 2. \(5 \cdot (12 - 4 + 6) = 5 \cdot 14 = 70\) 3. \(5 \cdot (12 - 4) + 6 = 5 \cdot 8 + 6 = 40 + 6 = 46\) 4. \(5 \cdot 12 - (4 + 6) = 60 - 10 = 50\) Der Vergleich der Ergebnisse \(62, 70, 46\) und \(50\) zeigt, dass \(70\) das Maximum ist.

Das größtmögliche Ergebnis ist \(70\). Es wird durch die Klammersetzung \(5 \cdot (12 - 4 + 6)\) erreicht.

- Rechne zuerst die linke Seite und die rechte Seite getrennt voneinander aus. - Vergiss nicht: Klammern werden immer zuerst berechnet. - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Berechnung von Aufgabe a): Linke Seite \((72 - 63) \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72\); rechte Seite \((100 - 28) : 9 = 72 : 9 = 8\). Ergebnis: \(72 > 8\). 2. Berechnung von Aufgabe b): Linke Seite \((45 - 38) \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42\); rechte Seite \((91 - 56) : 5 = 35 : 5 = 7\). Ergebnis: \(42 > 7\). 3. Berechnung von Aufgabe c): Linke Seite \((100 - 19) : 9 = 81 : 9 = 9\); rechte Seite \((34 - 25) \cdot 1 = 9 \cdot 1 = 9\). Ergebnis: \(9 = 9\).

a) \(>\) b) \(>\) c) \(=\)

- Erinnere dich an die Regel „Punkt vor Strich“. - Klammern werden immer zuerst berechnet. - Wähle Zahlen so, dass die Multiplikation oder Division zuerst ausgeführt würde, wenn keine Klammer da wäre. - Probiere einfache Kombinationen aus Addition und Multiplikation aus.

1. Für das Ergebnis \(15\): Der Term \((2 + 3) \cdot 3\) ergibt \(5 \cdot 3 = 15\). Ohne Klammern gilt die Regel „Punkt vor Strich“: \(2 + 3 \cdot 3 = 2 + 9 = 11\). Da \(15 \neq 11\), verändert die Klammer den Wert. 2. Für das Ergebnis \(25\): Der Term \((20 + 30) : 2\) ergibt \(50 : 2 = 25\). Ohne Klammern gilt ebenfalls „Punkt vor Strich“: \(20 + 30 : 2 = 20 + 15 = 35\). Da \(25 \neq 35\), verändert die Klammer den Wert.

Mögliche Terme sind: 1. Für \(15\): \((2 + 3) \cdot 3 = 15\) (ohne Klammer: \(2 + 3 \cdot 3 = 11\)) 2. Für \(25\): \((20 + 30) : 2 = 25\) (ohne Klammer: \(20 + 30 : 2 = 35\))

- Bei reinen Punktrechnungen darfst du oft die Reihenfolge geschickt wählen, solange keine Klammern etwas anderes vorschreiben. - Was ist einfacher zu rechnen: \(15 \cdot 12\) oder \(12 \cdot 5\)? - Achte bei Teilaufgabe a darauf, ob man die Division vielleicht vorziehen kann, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten.

1. Kombination von Multiplikation und Division: a) Zuerst \(42 \cdot 54 = 2\,268\), dann \(2\,268 : 9 = 252\) (alternativ: \(42 \cdot (54 : 9) = 42 \cdot 6 = 252\)). 2. Multiplikation mehrerer Faktoren: b) \(15 \cdot 5 = 75\), dann \(75 \cdot 12 = 900\) (oder \(12 \cdot 5 = 60\), dann \(15 \cdot 60 = 900\)). 3. Division durch ein Produkt: c) Zuerst Klammer \(5 \cdot 20 = 100\), dann \(800 : 100 = 8\). 4. Fortlaufende Multiplikation: d) \(12 \cdot 5 = 60\), dann \(60 \cdot 11 = 660\).

a) \(252\) b) \(900\) c) \(8\) d) \(660\)

- Probiere verschiedene Stellen für die Klammern aus. - Überlege, welche Rechenoperation durch eine Klammer bevorzugt behandelt werden muss, um das Zielergebnis zu erreichen. - Denk daran, dass eine Klammer die normale Rangfolge der Rechenarten verändert.

a) Um \(7\) zu erhalten, muss die Subtraktion vor der Division erfolgen: \((18 - 6) : 3 + 3 = 12 : 3 + 3 = 4 + 3 = 7\). b) Um \(17\) zu erhalten, muss die Addition am Ende zuerst ausgeführt werden, damit durch \(6\) geteilt wird: \(18 - 6 : (3 + 3) = 18 - 6 : 6 = 18 - 1 = 17\). c) Um \(2\) zu erhalten, müssen sowohl die Subtraktion als auch die Addition vor der Division berechnet werden: \((18 - 6) : (3 + 3) = 12 : 6 = 2\).

a) \((18 - 6) : 3 + 3\) b) \(18 - 6 : (3 + 3)\) c) \((18 - 6) : (3 + 3)\)

- Achte auf die Rangfolge der Rechenzeichen: Klammern zuerst, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung. - Wenn mehrere Punktrechnungen oder mehrere Strichrechnungen hintereinander stehen, rechnen wir von links nach rechts. - Eckige Klammern werden genauso behandelt wie runde Klammern; sie dienen oft nur der Übersichtlichkeit.

1. In a) ist die eckige Klammer unnötig, da das Produkt am Ende von der Zahl subtrahiert wird. Die runde Klammer muss bleiben, um die Addition vor der Multiplikation zu erzwingen. Term: \(100 - (12 + 8) \cdot 3 = 100 - 20 \cdot 3 = 40\). 2. In b) sind die Klammern um das erste Produkt sowie die eckigen Klammern um den zweiten Faktor redundant, da bei einer reinen Multiplikationskette die Reihenfolge (unter Beachtung der verbleibenden Subtraktion) beliebig ist. Term: \(15 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (10 - 7) = 60 \cdot 2 \cdot 3 = 360\). 3. In c) ist die innere Klammer um die Division unnötig, da Punkt-vor-Strich gilt. Die eckige Klammer (jetzt rund) muss bleiben, damit die Addition vor der Multiplikation mit 2 erfolgt. Term: \((48 : 6 + 12) \cdot 2 = (8 + 12) \cdot 2 = 40\).

a) \(100 - (12 + 8) \cdot 3 = 40\) b) \(15 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (10 - 7) = 360\) c) \((48 : 6 + 12) \cdot 2 = 40\)

- Denk an die Regel „Punkt vor Strich“. - Was passiert, wenn du eine Strichrechnung in Klammern setzt, obwohl danach eine Multiplikation folgt? - Untersuche, wie sich das Ergebnis ändert, wenn die Multiplikation erst nach einer Addition oder Subtraktion erfolgt.

1. Ohne Klammern: Zuerst Punktrechnung \(4 \cdot 12 = 48\), dann Strichrechnung von links nach rechts: \(80 - 48 + 3 = 35\). 2. Zielwert \(20\): Durch Klammerung der hinteren Addition wird die Subtraktion beeinflusst: \(80 - 4 \cdot (12 + 3) = 80 - 4 \cdot 15 = 80 - 60 = 20\). 3. Zielwert \(915\): Durch Klammerung der vorderen Subtraktion wird diese zuerst ausgeführt und dann mit dem Rest multipliziert: \((80 - 4) \cdot 12 + 3 = 76 \cdot 12 + 3 = 912 + 3 = 915\).

a) \(35\) b) \(80 - 4 \cdot (12 + 3)\) c) \((80 - 4) \cdot 12 + 3\)

- Schau dir das Ergebnis an und überlege, welche Zahlenkombinationen in der Nähe dieses Wertes liegen. - Beachte, dass Klammern die normale Vorrangregel „Punkt vor Strich“ verändern. - Manchmal hilft es, rückwärts zu rechnen: Was müsste vor dem letzten Rechenschritt passieren?

1. Teilaufgabe a): Um auf \(62\) zu kommen, muss der Mal-Faktor verändert werden. Durch Klammern der Subtraktion erhält man \(5 \cdot (14 - 4) + 12 = 5 \cdot 10 + 12 = 50 + 12 = 62\). 2. Teilaufgabe b): Das Ziel ist \(50\). Da \(20 + 30 = 50\) ist, muss der hintere Teil \(30\) ergeben. Dies gelingt durch Klammern der Subtraktion: \(20 + 10 \cdot (8 - 5) = 20 + 10 \cdot 3 = 50\). 3. Teilaufgabe c): Um \(4\) zu erhalten, muss von \(44\) der Wert \(40\) abgezogen werden. Da \(4 \cdot 10 = 40\) ist, klammert man die hintere Addition: \(44 - 4 \cdot (6 + 4) = 44 - 4 \cdot 10 = 44 - 40 = 4\).

a) \(5 \cdot (14 - 4) + 12 = 62\) b) \(20 + 10 \cdot (8 - 5) = 50\) c) \(44 - 4 \cdot (6 + 4) = 4\)

- Du musst bei jeder Teilaufgabe wirklich alle vier Vierer benutzen. - Wie erhält man \(0\), wenn man zwei gleiche Zahlen hat? - Erinnere dich an die Regel „Punkt vor Strich“. - Klammern können helfen, die Reihenfolge der Rechnungen zu verändern.

1. Ergebnis \(0\): Subtraktion gleicher Werte, zum Beispiel \((4 + 4) - (4 + 4) = 0\) oder \(4 + 4 - 4 - 4 = 0\). 2. Ergebnis \(1\): Division eines Wertes durch sich selbst, zum Beispiel \((4 + 4) : (4 + 4) = 1\). 3. Ergebnis \(8\): zum Beispiel \(4 + 4 + 4 - 4 = 8\) oder \((4 \cdot 4) : 4 + 4 = 8\). 4. Ergebnis \(15\): Mit der Punkt-vor-Strich-Regel gilt \(4 \cdot 4 - 4 : 4 = 16 - 1 = 15\).

Beispiele für Lösungen: a) \(4 + 4 - 4 - 4 = 0\) b) \((4 + 4) : (4 + 4) = 1\) c) \(4 + 4 + 4 - 4 = 8\) d) \(4 \cdot 4 - 4 : 4 = 15\)

- Überlege, welche Multiplikationsaufgaben das Ergebnis \(100\) haben. - Kannst du die Zahl \(11\) durch eine Division erreichen? - Probiere aus, wie viele Fünfer du für einfache Zahlen wie \(10\), \(20\) oder \(25\) brauchst.

1. Für die Zahl \(100\) gibt es verschiedene Ansätze: - Multiplikation von Teilsummen: \((5 + 5 + 5 + 5) \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100\) (benötigt fünf Fünfer). - Differenz von Produkten: \(5 \cdot 5 \cdot 5 - 5 \cdot 5 = 125 - 25 = 100\) (benötigt fünf Fünfer). - Kombination mit zusammengesetzten Zahlen: \((555 - 55) : 5 = 500 : 5 = 100\) (benötigt sechs Fünfer). - Kürzerer Weg: \(5 \cdot (5 \cdot 5 - 5) = 5 \cdot 20 = 100\) (benötigt vier Fünfer). 2. Für die Zahl \(11\) mit genau drei Fünfern: - Man erkennt, dass \(11\) als \(10 + 1\) darstellbar ist. - Die \(10\) wird durch \(5 + 5\) gebildet, die \(1\) durch \(5 : 5\). - Da nur drei Fünfer erlaubt sind, kombiniert man: \(5 + 5 + 5 : 5 = 10 + 1 = 11\)? Nein, das sind vier Fünfer. - Richtiger Ansatz: \(55 : 5 = 11\). Dies nutzt genau zwei Fünfer in der Zahl \(55\) und einen weiteren Fünfer als Divisor.

Mögliche Lösungen: a) \((5 + 5 + 5 + 5) \cdot 5 = 100\) oder \(5 \cdot 5 \cdot 5 - 5 \cdot 5 = 100\) oder \(5 \cdot (5 \cdot 5 - 5) = 100\) b) \(55 : 5 = 11\)

- Welche Rechenoperationen vergrößern ein Ergebnis, welche verkleinern es? - Wie verändert eine Klammer die Reihenfolge der Rechnung (Punkt-vor-Strich)? - Überlege, wie du die Zahlen vor und nach dem Malzeichen möglichst groß machen kannst. - Wie kannst du erreichen, dass eine möglichst große Zahl von der ersten abgezogen wird?

1. Um das Ergebnis zu maximieren, müssen die Faktoren der Multiplikation vergrößert werden. Durch das Setzen von Klammern um die Differenz am Anfang und die Summe am Ende erhält man \((15 - 3) \cdot (4 + 6) = 12 \cdot 10 = 120\). 2. Um das Ergebnis zu minimieren, muss ein möglichst großer Wert subtrahiert werden. Dies gelingt, indem man die Multiplikation durch eine Klammer vergrößert: \(15 - 3 \cdot (4 + 6) = 15 - 3 \cdot 10 = 15 - 30 = -15\).

a) Größtmögliches Ergebnis: \((15 - 3) \cdot (4 + 6) = 120\) b) Kleinstmögliches Ergebnis: \(15 - 3 \cdot (4 + 6) = -15\)

- Teste, ob das Ergebnis ein Vielfaches einer der beteiligten Zahlen ist. - Wenn du eine Zahl durch eine Klammer multiplizierst, veränderst du das Gesamtergebnis stark. - Achte darauf, ob eine Differenz oder eine Summe in der Klammer stehen muss.

1. In a) wird die Differenz in Klammern mit der ersten Zahl multipliziert: \(4 \cdot (18 - 9) = 4 \cdot 9 = 36\). 2. In b) wird die Summe in Klammern gebildet und dann verdoppelt: \(2 \cdot (7 + 6) = 2 \cdot 13 = 26\). 3. In c) wird die Differenz am Anfang gebildet und dann verdreifacht: \((40 - 10) \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90\).

a) \(4 \cdot (18 - 9) = 36\) b) \(2 \cdot (7 + 6) = 26\) c) \((40 - 10) \cdot 3 = 90\)

- Welchen Einfluss haben Klammern auf die Reihenfolge einer Rechnung? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer bei Term B. - In welcher Richtung rechnest du bei Term A, da keine Klammern vorhanden sind?

1. Berechnung von Term A: Anwendung der Links-Rechts-Regel. Erster Schritt: \(72 : 12 = 6\). Zweiter Schritt: \(6 : 3 = 2\). 2. Berechnung von Term B: Beachtung der Klammerregel (Klammern zuerst). Erster Schritt: \(12 : 3 = 4\). Zweiter Schritt: \(72 : 4 = 18\). 3. Vergleich und Begründung: Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil die Klammer in Term B die natürliche Rechenreihenfolge (von links nach rechts) verändert und festlegt, dass die hintere Division zuerst ausgeführt werden muss.

Term A ergibt \(2\), Term B ergibt \(18\). Die Ergebnisse sind unterschiedlich, weil man Term A von links nach rechts rechnet, während bei Term B die Klammer vorgibt, dass zuerst \(12 : 3\) gerechnet werden muss.

- Überlege dir, welche Rechenoperation das Ergebnis am stärksten vergrößert, wenn sie zuerst ausgeführt wird. - Probiere systematisch alle Stellen aus, an denen ein Klammerpaar den Rechenweg verändern würde. - Beachte die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn du eine kleine Zahl mit einer Summe multiplizierst statt nur mit einem Summanden?

1. Um den maximalen Wert zu erhalten, muss die Addition vor der Multiplikation durchgeführt werden: \((14 + 6) \cdot 7 - 5 = 20 \cdot 7 - 5 = 140 - 5 = 135\). 2. Um den minimalen Wert zu erhalten, muss die Subtraktion vor der Multiplikation durchgeführt werden: \(14 + 6 \cdot (7 - 5) = 14 + 6 \cdot 2 = 14 + 12 = 26\). Andere Klammersetzungen wie \((14 + 6 \cdot 7) - 5 = 51\) oder \(14 + (6 \cdot 7 - 5) = 51\) führen nicht zu extremeren Werten.

Maximalwert: \((14 + 6) \cdot 7 - 5 = 135\) Minimalwert: \(14 + 6 \cdot (7 - 5) = 26\)

- Klammern können bewirken, dass eine Subtraktion oder Addition vor einer Multiplikation ausgeführt wird. - Wie wirkt sich eine Klammer um den hinteren Teil eines Minus-Terms auf das Gesamtergebnis aus? - Kannst du eine Klammer so setzen, dass der abgezogene Teil (Subtrahend) genau so groß wird wie die Ausgangszahl?

1. Berechnung ohne Klammern: \(40 - 32 + 2 = 10\). 2. Maximaler Wert: Durch Klammern um die Differenz am Anfang wird die Multiplikation auf ein größeres Ergebnis angewendet: \((40 - 4) \cdot 8 + 2 = 36 \cdot 8 + 2 = 288 + 2 = 290\). 3. Minimaler Wert: Durch Klammern am Ende wird ein größerer Subtrahend erzeugt: \(40 - 4 \cdot (8 + 2) = 40 - 4 \cdot 10 = 40 - 40 = 0\). 4. Ein Vergleich mit \(40 - (4 \cdot 8 + 2) = 40 - 34 = 6\) zeigt, dass 0 der kleinste Wert ist.

Maximalwert: \((40 - 4) \cdot 8 + 2 = 290\) Minimalwert: \(40 - 4 \cdot (8 + 2) = 0\)

- Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Beachte die Regel „Punkt vor Strich“. - Wenn nur Punktrechnungen (Multiplikation und Division) vorkommen, rechne von links nach rechts. - Schreibe dir Zwischenergebnisse auf, um den Überblick zu behalten.

1. Zuerst die Produkte in den Klammern berechnen: \(14 \cdot 5 = 70\) und \(6 \cdot 7 = 42\). Dann die Differenz bilden: \(70 - 42 = 28\). 2. Produkte berechnen: \(23 \cdot 3 = 69\) und \(8 \cdot 4 = 32\). Differenz bilden: \(69 - 32 = 37\). 3. Von links nach rechts rechnen: \(28 \cdot 3 = 84\), dann \(84 : 6 = 14\). 4. Von links nach rechts rechnen: \(15 \cdot 4 = 60\), dann \(60 : 5 = 12\). 5. Produkte berechnen: \(12 \cdot 8 = 96\) und \(9 \cdot 9 = 81\). Differenz bilden: \(96 - 81 = 15\).

1) \(28\); 2) \(37\); 3) \(14\); 4) \(12\); 5) \(15\).

- Rechne zuerst das Ergebnis der linken Seite und dann das der rechten Seite aus. - Vergleiche am Ende die beiden Zahlen. - Denke an die Vorrangregeln (Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich).

1. Linke Seite: \(15 \cdot 5 = 75\), \(75 - 30 = 45\). Rechte Seite: \(5 \cdot 8 = 40\). Vergleich: \(45 > 40\). 2. Linke Seite: \(54 : 6 = 9\), \(9 \cdot 3 = 27\). Rechte Seite: \(12 \cdot 2 = 24\), \(24 + 5 = 29\). Vergleich: \(27 < 29\). 3. Linke Seite: \(19 \cdot 2 = 38\), \(38 - 15 = 23\). Rechte Seite: \(3 \cdot 8 = 24\), \(24 - 1 = 23\). Vergleich: \(23 = 23\). 4. Linke Seite: \(35 : 5 = 7\), \(7 \cdot 8 = 56\). Rechte Seite: \(6 \cdot 8 = 48\), \(48 + 2 = 50\). Vergleich: \(56 > 50\).

1) \(>\); 2) \(<\); 3) \(=\); 4) \(>\).

- Welche Regel gilt, wenn Klammern im Term stehen? - In welcher Reihenfolge rechnet man, wenn nur Strichrechnungen (Plus und Minus) ohne Klammern vorkommen? - Vergleiche Schritt für Schritt, was mit der Zahl \(10\) in beiden Rechnungen passiert.

1. Berechnung von Term \(A\): Klammerausdruck zuerst berechnen (\(30 + 10 = 40\)), anschließend Subtraktion (\(80 - 40 = 40\)) 2. Berechnung von Term \(B\): Anwendung der Regel „von links nach rechts“, zuerst Subtraktion (\(80 - 30 = 50\)), anschließend Addition (\(50 + 10 = 60\)) 3. Vergleich der Struktur: In Term \(A\) wird die Summe als Ganzes abgezogen, während in Term \(B\) die \(10\) nach der ersten Subtraktion wieder hinzugefügt wird.

a) \(A = 40\); \(B = 60\) b) In Term \(A\) bewirkt die Klammer, dass die Summe zuerst berechnet und dann subtrahiert wird. In Term \(B\) wird ohne Klammern streng von links nach rechts gerechnet.

- Schau dir die Struktur innerhalb der eckigen Klammern genau an. - Welche Rechenoperationen stehen vor den runden Klammern? - Erinnere dich an die Regel „Klammern zuerst“ und prüfe, ob die Klammer diese Regel überhaupt beeinflusst. - Arbeite dich bei der Berechnung schrittweise von innen nach außen vor.

1. Überflüssige Klammern weglassen: Innerhalb der eckigen Klammer ist die erste runde Klammer \( (875 + 125) \) unnötig, da sie am Anfang des Klammerausdrucks steht. Der vereinfachte Term ist: \( 5\,432 - [875 + 125 - (450 - 150)] \). 2. Innere runde Klammer berechnen: \( 450 - 150 = 300 \). 3. Ausdruck in der eckigen Klammer berechnen: \( 875 + 125 - 300 = 1\,000 - 300 = 700 \). 4. Endergebnis berechnen: \( 5\,432 - 700 = 4\,732 \).

\( 4\,732 \)

- Vergleiche das Ergebnis mit Klammern immer mit dem Ergebnis ohne Klammern. - Denke daran, dass eine Klammer Vorrang hat und zuerst berechnet werden muss. - Wie verändert die Klammer die Wirkung des Pluszeichens vor der \(100\)?

1. Wert ohne Klammern: \(500 - 150 = 350\); \(350 + 100 = 450\); \(450 - 50 = 400\). 2. Mit Klammern um \((150 + 100)\): \(500 - (150 + 100) - 50 = 500 - 250 - 50 = 200\). Da \(200 < 400\), ist die Aussage wahr. 3. Um \(300\) zu erhalten, berechnen wir: \(500 - (150 + 100 - 50) = 500 - 200 = 300\).

a) \(400\) b) Die Aussage ist wahr, da \(200 < 400\). c) \(500 - (150 + 100 - 50) = 300\)

- Bei Divisionen ist besonders wichtig, welche Zahl oder welcher Term als Divisor hinter dem Divisionszeichen steht. - Geschachtelte Klammern bedeuten, dass du eine Klammer innerhalb einer anderen setzt. Man berechnet die innerste Klammer zuerst. - Achte darauf, dass Punktrechnungen innerhalb von Klammern weiterhin vor Strichrechnungen ausgeführt werden, sofern keine weiteren Klammern gesetzt sind.

1. Für das Ergebnis 27: \(72 : (6 + 2) \cdot 3 = 72 : 8 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27\) 2. Für das Ergebnis 6: \(72 : (6 + 2 \cdot 3) = 72 : (6 + 6) = 72 : 12 = 6\) 3. Für das Ergebnis 42: \((72 : 6 + 2) \cdot 3 = (12 + 2) \cdot 3 = 14 \cdot 3 = 42\) 4. Für das Ergebnis 3: \(72 : ((6 + 2) \cdot 3) = 72 : (8 \cdot 3) = 72 : 24 = 3\)

a) \(72 : (6 + 2) \cdot 3 = 27\) b) \(72 : (6 + 2 \cdot 3) = 6\) c) \((72 : 6 + 2) \cdot 3 = 42\) d) \(72 : ((6 + 2) \cdot 3) = 3\)

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor den Klammern. Was bewirkt es für die Zahlen in der Klammer? - Vergleiche das Ergebnis der Klammer mit dem Ergebnis, das du hättest, wenn du einfach von links nach rechts rechnen würdest. - Gibt es eine Regel für „Minus vor der Klammer“?

1. Überschlagsrechnung: Zum Beispiel \(12\,000 - [4\,000 - (1\,000 + 1\,000)] = 12\,000 - 2\,000 = 10\,000\). 2. Berechnung der inneren (runden) Klammer: \(1\,150 + 650 = 1\,800\). 3. Berechnung der eckigen Klammer: \(4\,320 - 1\,800 = 2\,520\). 4. Gesamtergebnis: \(12\,450 - 2\,520 = 9\,930\). 5. Analyse der Klammern: Würde man die runden Klammern weglassen, müsste man \(4\,320 - 1\,150 + 650\) rechnen, was \(3\,820\) statt \(2\,520\) ergäbe. Die runden Klammern sind also nötig. Würde man die eckigen Klammern weglassen, würde man zuerst \(12\,450 - 4\,320\) rechnen, was ebenfalls das Ergebnis verändern würde.

Überschlag: ca. \(10\,000\); Wert des Terms: \(9\,930\); Weglassbare Klammern: Keine der Klammern kann weggelassen werden.

- Prüfe bei jedem Klammerpaar einzeln: Würde sich die Reihenfolge der Rechnungen ändern, wenn die Klammer nicht da wäre? - Denk an die Regel „von links nach rechts“ bei gleichrangigen Rechenarten. - Klammern nach einem Minuszeichen oder einem Geteiltzeichen sind oft besonders wichtig.

1. In a) ist die erste runde Klammer wegen der Links-nach-Rechts-Regel unnötig. Die eckige Klammer ist unnötig, da Addition und Subtraktion gleichrangig sind. Die Klammer \((10 - 2)\) muss bleiben, da sich sonst das Vorzeichen ändern würde. Term: \(25 - 5 - (10 - 2) + 5 = 20 - 8 + 5 = 17\). 2. In b) ist die Klammer um das Produkt \(8 \cdot 5\) unnötig (Punkt-vor-Strich). Die eckige Klammer ist ebenfalls unnötig. Die Klammer \((2 \cdot 3)\) ist notwendig, da die Division durch das gesamte Produkt erfolgen soll. Term: \(8 \cdot 5 + 120 : (2 \cdot 3) = 40 + 120 : 6 = 60\). 3. In c) ist die eckige Klammer unnötig, da Multiplikation und Division von links nach rechts gerechnet werden. Die runde Klammer \((14 + 16)\) ist notwendig, um die Strichrechnung vor der Punktrechnung auszuführen. Term: \((14 + 16) \cdot 2 : 4 = 30 \cdot 2 : 4 = 15\).

a) \(25 - 5 - (10 - 2) + 5 = 17\) b) \(8 \cdot 5 + 120 : (2 \cdot 3) = 60\) c) \((14 + 16) \cdot 2 : 4 = 15\)

- Gehe systematisch vor, damit du keine mögliche Klammersetzung übersiehst. - Überlege, welche Teilterme du durch Klammern zuerst berechnen kannst. - Beziehe auch geschachtelte Klammern ein und vergleiche anschließend die Ergebnisse.

1. Ohne zusätzliche Klammern: \(2 \cdot 10 - 4 + 6 = 22\). 2. \(2 \cdot (10 - 4) + 6 = 18\). 3. \(2 \cdot 10 - (4 + 6) = 10\). 4. \(2 \cdot (10 - 4 + 6) = 24\). 5. \(2 \cdot (10 - (4 + 6)) = 0\). Klammerungen, die nur bereits geltende Rechenreihenfolgen markieren, erzeugen keine weiteren Ergebnisse.

Die verschiedenen natürlichen Ergebnisse sind \(0\), \(10\), \(18\), \(22\) und \(24\).

- Hier können auch mehrere Klammerpaare oder Klammern um größere Ausdrücke nötig sein. - Überlege, wie du große Faktoren erzeugen kannst, wenn das Ergebnis sehr hoch ist. - Teste systematisch verschiedene Positionen für die Klammern und rechne das Ergebnis im Kopf oder auf einem Nebenblatt aus.

1. Teilaufgabe a): Das Ziel ist \(180\). Da \(3 \cdot 30 \cdot 2 = 180\) ist, muss die Summe in der Mitte eingeklammert werden: \(3 \cdot (16 + 14) \cdot 2 = 3 \cdot 30 \cdot 2 = 180\). 2. Teilaufgabe b): Gesucht ist \(200\). Da \(40 \cdot 5 = 200\) ist, müssen sowohl die erste Subtraktion als auch die zweite Subtraktion eingeklammert werden: \((60 - 20) \cdot (12 - 7) = 40 \cdot 5 = 200\). 3. Teilaufgabe c): Das Ziel ist \(34\). Da \(15 \cdot 2 + 4 = 34\) ist, muss die Subtraktion in der Mitte priorisiert werden: \(15 \cdot (10 - 8) + 4 = 15 \cdot 2 + 4 = 30 + 4 = 34\).

a) \(3 \cdot (16 + 14) \cdot 2 = 180\) b) \((60 - 20) \cdot (12 - 7) = 200\) c) \(15 \cdot (10 - 8) + 4 = 34\)

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Division, wenn der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) durch eine Klammer größer wird? - Wie kannst du die Multiplikation am Ende auf einen möglichst großen Teil des Terms anwenden? - Teste verschiedene Positionen und berechne die Ergebnisse Schritt für Schritt.

1. Untersuchung der Möglichkeiten: Ohne Klammern gilt \(12 + 6 = 18\). 2. Für den maximalen Wert: \((36 : 3 + 3) \cdot 2 = (12 + 3) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30\). 3. Für den minimalen Wert: Hier muss der Divisor vergrößert werden: \(36 : (3 + 3 \cdot 2) = 36 : (3 + 6) = 36 : 9 = 4\). 4. Ein weiteres Beispiel \(36 : (3 + 3) \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12\) ist kleiner als 18, aber größer als 4.

a) \((36 : 3 + 3) \cdot 2 = 30\) b) \(36 : (3 + 3 \cdot 2) = 4\)