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- Wie hängen die Vielfachen einer Zahl mit der entsprechenden Einmaleins-Reihe zusammen? - Wie kannst du mit einer Umkehroperation (Division) prüfen, ob eine Zahl zu einer Vielfachenmenge gehört?

1. Berechnung der ersten fünf Vielfachen durch Multiplikation von \(9\) mit den Zahlen \(1\) bis \(5\): \(9 \cdot 1 = 9\), \(9 \cdot 2 = 18\), \(9 \cdot 3 = 27\), \(9 \cdot 4 = 36\), \(9 \cdot 5 = 45\). 2. Prüfung der Zugehörigkeit von \(117\) durch Division: \(117 : 9 = 13\). Da die Division ohne Rest aufgeht, ist \(117\) ein Vielfaches von \(9\).

\(V(9) = \{9; 18; 27; 36; 45; \dots\}\) Ja, \(117\) ist ein Element von \(V(9)\), da \(117 : 9 = 13\).

- Kannst du die Zahl als Produkt von zwei Zahlen schreiben? - Gehe die Zahlen der Reihe nach durch: Ist 72 durch 1 teilbar? Durch 2? Durch 3? - Wenn du ein Teilerpaar gefunden hast, zum Beispiel \(2 \cdot 36 = 72\), hast du direkt zwei Teiler gefunden. - Hörst du mit dem Suchen auf, wenn die Teiler in der Mitte „zusammenstoßen“?

1. Systematisches Suchen der Teilerpaare durch Division: \(72 : 1 = 72\), \(72 : 2 = 36\), \(72 : 3 = 24\), \(72 : 4 = 18\), \(72 : 6 = 12\), \(72 : 8 = 9\). 2. Zusammenfassen aller gefundenen Zahlen in einer Menge, geordnet nach der Größe: \(T(72) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72\}\).

\(T(72) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72\}\)

- Was bedeuten die Symbole \(\in\) und \(\notin\)? - Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\)? - Wie hängen die Begriffe Vielfache und Multiplikation zusammen? - Kannst du prüfen, ob sich die Zahl als Produkt der angegebenen Zahl und einer natürlichen Zahl schreiben lässt?

1. Überprüfung der Menge \(\mathbb{N}\): \(144\) ist eine positive ganze Zahl, daher \(144 \in \mathbb{N}\) (wahr). \(0{,}5\) ist keine ganze Zahl und daher keine natürliche Zahl, also \(0{,}5 \notin \mathbb{N}\) (wahr). 2. Überprüfung der Vielfachen \(V(n)\): Da \(63 = 9 \cdot 7\), ist \(63\) ein Vielfaches von 7 (wahr). Da \(19\) eine ungerade Zahl ist, ist sie kein Vielfaches von 2 (falsch). Da \(105\) auf 5 endet, ist sie durch 5 teilbar und somit \(105 \in V(5)\) (Aussage falsch).

a) Wahr b) Wahr c) Wahr d) Falsch e) Falsch

- Suche die Teiler am besten immer paarweise, zum Beispiel \(1 \cdot 48 = 48\). - Gehe die Zahlen der Reihe nach durch: Ist die Zahl durch 2 teilbar? Durch 3? - Wenn sich die Teilerpaare in der Mitte treffen, hast du alle gefunden.

1. Systematische Suche nach Teilerpaaren durch Division: \(48 : 1 = 48\), \(48 : 2 = 24\), \(48 : 3 = 16\), \(48 : 4 = 12\), \(48 : 6 = 8\). 2. Da zwischen \(6\) und \(8\) nur die \(7\) liegt und \(48\) nicht durch \(7\) teilbar ist, sind alle Teiler gefunden. 3. Zusammenfassen der Ergebnisse in der Teilermenge: \(T(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\).

\(T(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\)

- Wie gehst du am besten vor, um kein Teilerpaar zu vergessen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl ein Element einer Teilermenge ist? - Kannst du eine passende Divisionsaufgabe finden?

1. Systematisches Suchen der Teilerpaare: \(1 \cdot 42\), \(2 \cdot 21\), \(3 \cdot 14\), \(6 \cdot 7\). 2. Zusammenstellen der Teilermenge: \(T(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\). 3. Prüfung der Zugehörigkeit: Da \(42 : 14 = 3\) ohne Rest aufgeht, ist \(14\) ein Teiler von \(42\). Die Aussage ist wahr.

\(T(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\). Die Aussage \(14 \in T(42)\) ist wahr, da \(42 : 14 = 3\).

- Wie gehst du am besten vor, um keinen Teiler zu vergessen? Hilft dir ein Teilerbild oder das Suchen von Teilerpaaren? - Schreibe die Teiler der Reihe nach auf und zähle sie am Ende sorgfältig durch.

1. \(T(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\). Die Zahl \(24\) hat \(8\) Teiler. 2. \(T(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}\). Die Zahl \(30\) hat \(8\) Teiler. 3. \(T(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\). Die Zahl \(36\) hat \(9\) Teiler. 4. Da \(9 > 8\), hat \(36\) die meisten Teiler.

\(T(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\) (\(8\) Teiler) \(T(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}\) (\(8\) Teiler) \(T(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\) (\(9\) Teiler) Damit hat \(36\) die meisten Teiler.

- Überlege, welche Zahlen du erhältst, wenn du immer \(6\) Bälle hinzufügst. - Achte bei Teil b) auf beide Ungleichungen: Die gesuchten Zahlen müssen größer als \(40\) und kleiner als \(60\) sein.

1. Die möglichen Gesamtzahlen entsprechen der Menge aller positiven Vielfachen von \(6\): \(V(6) = \{6; 12; 18; 24; \dots\}\). 2. Bestimmung der Vielfachen von \(6\) mit \(40 < x < 60\): \(6 \cdot 6 = 36\) (zu klein) \(6 \cdot 7 = 42\) \(6 \cdot 8 = 48\) \(6 \cdot 9 = 54\) \(6 \cdot 10 = 60\) (nicht kleiner als \(60\)).

a) \(V(6) = \{6; 12; 18; 24; \dots\}\) b) Die Zahlen sind \(42\), \(48\) und \(54\).

- Schreibe zuerst alle Teiler für die erste Zahl auf und zähle sie. - Mache das Gleiche für die zweite Zahl. - Vergleiche dann einfach die beiden Ergebnisse. - Nutze Teilerpaare, damit du keinen Teiler vergisst.

1. Bestimmung der Teilermenge von 48: Durch systematisches Prüfen ergeben sich die Paare \((1, 48)\), \((2, 24)\), \((3, 16)\), \((4, 12)\) und \((6, 8)\). Somit ist \(T(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\). Die Anzahl der Teiler beträgt 10. 2. Bestimmung der Teilermenge von 60: Die Paare sind \((1, 60)\), \((2, 30)\), \((3, 20)\), \((4, 15)\), \((5, 12)\) und \((6, 10)\). Somit ist \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\). Die Anzahl der Teiler beträgt 12. 3. Vergleich der Anzahlen: Da \(12 > 10\), hat die Zahl 60 mehr Teiler als die Zahl 48.

Die Zahl 60 hat mehr Teiler. \(T(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\) (10 Teiler) \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\) (12 Teiler)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl ein Vielfaches einer anderen ist? - Könntest du eine Liste der ersten Vielfachen erstellen? - Achte genau auf die Grenzen, die in der Aufgabe genannt werden. - Welches ist das erste Vielfache, das über der unteren Grenze liegt?

1. Berechnen der Vielfachen von \(18\) durch fortlaufende Multiplikation oder Addition: \(18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, \dots\). 2. Überprüfen der Bedingung \(50 < x < 150\). 3. Die passenden Zahlen sind \(54, 72, 90, 108, 126\) und \(144\).

\(54; 72; 90; 108; 126; 144\)

- Was gibt die Menge \(T(n)\) an? - Wie kannst du mit einer Division prüfen, ob eine Zahl ein Teiler einer anderen ist? - Gibt es eine Zahl, die Teiler jeder natürlichen Zahl ist? - Was bedeutet es für die Teilbarkeit, wenn bei der Division ein Rest bleibt?

1. Division zur Prüfung der Teilermenge \(T(n)\): \(72 : 6 = 12\), Rest 0, also ist 6 ein Teiler von 72 (wahr). 2. Division mit Rest: \(44 : 8 = 5\) Rest 4, also ist 8 kein Teiler von 44 (falsch). 3. Prüfung der Nicht-Zugehörigkeit: \(39 : 13 = 3\), Rest 0, also \(13 \in T(39)\) (Aussage falsch). 4. Grundregel der Teilbarkeit: Die Zahl 1 ist Teiler jeder natürlichen Zahl, also \(1 \in T(1\,000)\) (wahr). 5. Division: \(125 : 25 = 5\), Rest 0, also ist 25 ein Teiler von 125 (wahr).

a) Wahr b) Falsch c) Falsch d) Wahr e) Wahr

- Überprüfe jede Zahl zwischen 10 und 20 einzeln. - Denke daran, dass Primzahlen immer nur genau zwei Teiler haben. - Erstelle für jede Zahl eine kleine Liste ihrer Teilerpaare.

1. Überprüfung aller Zahlen von \(11\) bis \(19\) auf ihre Teileranzahl. 2. \(11\), \(13\), \(17\), \(19\) sind Primzahlen und haben nur \(2\) Teiler. 3. \(12\) hat die Teiler \(\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (\(6\) Teiler). 4. \(14\) hat die Teiler \(\{1; 2; 7; 14\}\) (\(4\) Teiler). 5. \(15\) hat die Teiler \(\{1; 3; 5; 15\}\) (\(4\) Teiler). 6. \(16\) hat die Teiler \(\{1; 2; 4; 8; 16\}\) (\(5\) Teiler). 7. \(18\) hat die Teiler \(\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\) (\(6\) Teiler). 8. Ergebnis: Die Zahlen sind \(14\) und \(15\).

Die Zahlen sind \(14\) mit \(T(14) = \{1; 2; 7; 14\}\) und \(15\) mit \(T(15) = \{1; 3; 5; 15\}\).

- Finde zuerst alle Teiler der Zahl 72. - Nutze das kleine Einmaleins, um Teilerpaare wie \(8 \cdot 9\) zu finden. - Prüfe am Ende, welche deiner gefundenen Zahlen im gesuchten Bereich liegen.

1. Ermittlung der Teiler von \(72\) durch systematisches Probieren oder Zerlegen in Paare: \(1 \cdot 72\), \(2 \cdot 36\), \(3 \cdot 24\), \(4 \cdot 18\), \(6 \cdot 12\), \(8 \cdot 9\). 2. Vollständige Liste der Teiler: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\). 3. Filtern der Teiler gemäß der Bedingung \(7 < \text{Teiler} < 15\). 4. Die passenden Werte sind \(8\), \(9\) und \(12\).

Die Teiler sind \(8\), \(9\) und \(12\).

- Wie findest du die Vielfachen einer Zahl? - Achte genau auf die Grenzen: Welche Zahlen liegen „zwischen“ \(40\) und \(160\)? - Was ist der Unterschied zwischen einem Teiler und einem Vielfachen?

1. Berechnung der Vielfachen von \(15\): \(15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, \dots\) 2. Filtern der Werte gemäß der Bedingung \(40 < x < 160\): Die erste Zahl ist \(45\), die letzte ist \(150\). 3. Notieren der Menge: \(\{45; 60; 75; 90; 105; 120; 135; 150\}\). 4. Identifikation des größten Elements: Das größte Element ist \(150\).

a) \(\{45; 60; 75; 90; 105; 120; 135; 150\}\) b) Das größte Element ist \(150\).

- Wie findet man am besten alle Teiler einer Zahl, ohne einen zu vergessen? - Probiere doch mal aus, die Teiler in Paaren aufzuschreiben (zum Beispiel \(1 \cdot 12 = 12\)). - Haben Primzahlen viele oder wenige Teiler? Hilft dir das bei der Suche? - Was passiert bei Quadratzahlen wie 16 oder 25 mit der Anzahl der Teiler?

1. Systematisches Untersuchen der Zahlen im Bereich von \(10\) bis \(30\) durch Bestimmen der Teilerpaare. 2. Überprüfung der Zahl \(12\): \(T(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\). Die Anzahl ist \(6\). 3. Überprüfung der Zahl \(18\): \(T(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\). Die Anzahl ist \(6\). 4. Weitere mögliche Zahlen sind \(20\) mit \(T(20) = \{1; 2; 4; 5; 10; 20\}\) und \(28\) mit \(T(28) = \{1; 2; 4; 7; 14; 28\}\).

Mögliche Zahlen sind \(12\), \(18\), \(20\) oder \(28\). Zum Beispiel: \(T(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) \(T(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\)

- Liste die natürlichen Zahlen zwischen \(20\) und \(30\) auf. - Bestimme ihre Teiler systematisch mithilfe von Teilerpaaren. - Welche Zahl besitzt dabei genau drei verschiedene Teiler?

1. Überprüfung der Zahlen im Bereich von 21 bis 29 auf ihre Teileranzahl. 2. Primzahlen wie 23 und 29 haben nur 2 Teiler. Zusammengesetzte Zahlen wie 21 (\(1, 3, 7, 21\)), 22 (\(1, 2, 11, 22\)), 24 (8 Teiler), 26 (\(1, 2, 13, 26\)), 27 (\(1, 3, 9, 27\)) und 28 (6 Teiler) haben mindestens 4 Teiler. 3. Untersuchung der Quadratzahl 25: Die Teiler sind 1, 5 und 25. Dies sind genau 3 Teiler. 4. Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 25 mit \(T(25) = \{1; 5; 25\}\).

Die Zahl heißt 25. Die Teilermenge lautet \(T(25) = \{1; 5; 25\}\).

- Kannst du zuerst alle Zahlen finden, durch die man die größere Zahl ohne Rest teilen kann? - Welche dieser Zahlen kommen in der 5er-Reihe vor? - Überlege dir, welche Endziffern Vielfache von \(5\) immer haben. - Gehe deine Liste der Teiler Schritt für Schritt durch.

1. Bestimmen aller Teiler von \(60\): \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\). 2. Filtern dieser Menge nach Zahlen, die durch \(5\) teilbar sind (Vielfache von \(5\)). 3. Die resultierenden Zahlen sind \(5, 10, 15, 20, 30\) und \(60\).

\(5; 10; 15; 20; 30; 60\)

- Welche Zahlen unter 100 sind durch 4 und durch 9 teilbar? - Wie viele solcher Zahlen gibt es überhaupt? Liste sie erst einmal auf. - Untersuche dann für diese wenigen Zahlen die Anzahl ihrer Teiler. - Wenn eine Zahl eine ungerade Anzahl an Teilern hat (wie hier 9), was sagt das über die Art der Zahl aus?

1. Bestimmung der gemeinsamen Vielfachen von \(4\) und \(9\), die kleiner als \(100\) sind: Da \(4\) und \(9\) keine gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben, ist das kleinste gemeinsame Vielfache \(4 \cdot 9 = 36\). Das nächste Vielfache ist \(2 \cdot 36 = 72\). Weitere Vielfache (wie \(108\)) sind zu groß. 2. Bestimmung der Teileranzahl von \(36\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Dies sind genau \(9\) Teiler. 3. Bestimmung der Teileranzahl von \(72\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\). Dies sind \(12\) Teiler. 4. Die einzige Zahl, die alle Bedingungen erfüllt, ist \(36\).

Die Zahl heißt \(36\).

- Schreibe zuerst die Vielfachen von \(12\) auf, die infrage kommen. - Bestimme für jedes dieser Vielfachen systematisch alle Teiler. - Vergleiche am Ende die Anzahl der Teiler in einer kleinen Übersicht.

1. Vielfache von \(12\) unter \(50\): \(12; 24; 36; 48\). 2. Teilermengen und Anzahlen: - \(T(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (\(6\) Teiler) - \(T(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\) (\(8\) Teiler) - \(T(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\) (\(9\) Teiler) - \(T(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\) (\(10\) Teiler) 3. Daher besitzt \(48\) in dieser Gruppe die meisten Teiler.

\(12\) hat \(6\), \(24\) hat \(8\), \(36\) hat \(9\) und \(48\) hat \(10\) Teiler. Damit hat \(48\) die größte Anzahl an Teilern.