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- Überlege dir bei den Teilern immer, welche zwei Zahlen multipliziert das Ergebnis ergeben. - Kannst du die Teilbarkeitsregeln (z. B. für \(2\), \(3\) oder \(5\)) nutzen, um Teiler schneller zu finden? - Vielfache erhältst du, indem du die Zahl nacheinander mit \(1, 2, 3, \dots\) multiplizierst.

1. \(T(56)=\{1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\}\). 2. \(T(81)=\{1, 3, 9, 27, 81\}\). 3. Die ersten fünf positiven Vielfachen von \(17\) sind \(17, 34, 51, 68, 85\). 4. Die ersten fünf positiven Vielfachen von \(32\) sind \(32, 64, 96, 128, 160\).

a) \(T(56)=\{1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\}\) b) \(T(81)=\{1, 3, 9, 27, 81\}\) c) \(\{17, 34, 51, 68, 85\}\) d) \(\{32, 64, 96, 128, 160\}\)

- Überlege dir für jede Zahl systematisch, durch welche kleineren Zahlen sie ohne Rest teilbar ist. - Ein Teilerpaar hilft dir: Wenn du weißt, dass \(12 : 2 = 6\) ist, dann sind sowohl 2 als auch 6 Teiler von 12. - Primzahlen haben immer genau zwei Teiler.

1. Bestimmung der Teiler für jede Zahl: \(10: \{1, 2, 5, 10\}\) (4 Teiler) \(11: \{1, 11\}\) (2 Teiler) \(12: \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) (6 Teiler) \(13: \{1, 13\}\) (2 Teiler) \(14: \{1, 2, 7, 14\}\) (4 Teiler) \(15: \{1, 3, 5, 15\}\) (4 Teiler) \(16: \{1, 2, 4, 8, 16\}\) (5 Teiler) \(17: \{1, 17\}\) (2 Teiler) \(18: \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}\) (6 Teiler) \(19: \{1, 19\}\) (2 Teiler) \(20: \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\) (6 Teiler) 2. Vergleich der Anzahlen: Die maximale Anzahl an Teilern in diesem Bereich ist 6. 3. Identifikation der Zahlen: Die Zahlen 12, 18 und 20 haben jeweils 6 Teiler.

a) Die Tabelle ordnet den Zahlen 10 bis 20 die Werte 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6 zu. b) Die Zahlen 12, 18 und 20 haben mit jeweils 6 Teilern die größte Anzahl an Teilern in diesem Bereich.

- Wie hängen die Vielfachen einer Zahl mit der entsprechenden Einmaleins-Reihe zusammen? - Wie kannst du mit einer Umkehroperation (Division) prüfen, ob eine Zahl zu einer Vielfachenmenge gehört?

1. Berechnung der ersten fünf Vielfachen durch Multiplikation von \(9\) mit den Zahlen \(1\) bis \(5\): \(9 \cdot 1 = 9\), \(9 \cdot 2 = 18\), \(9 \cdot 3 = 27\), \(9 \cdot 4 = 36\), \(9 \cdot 5 = 45\). 2. Prüfung der Zugehörigkeit von \(117\) durch Division: \(117 : 9 = 13\). Da die Division ohne Rest aufgeht, ist \(117\) ein Vielfaches von \(9\).

\(V(9) = \{9; 18; 27; 36; 45; \dots\}\) Ja, \(117\) ist ein Element von \(V(9)\), da \(117 : 9 = 13\).

- Kannst du die Zahl als Produkt von zwei Zahlen schreiben? - Gehe die Zahlen der Reihe nach durch: Ist 72 durch 1 teilbar? Durch 2? Durch 3? - Wenn du ein Teilerpaar gefunden hast, zum Beispiel \(2 \cdot 36 = 72\), hast du direkt zwei Teiler gefunden. - Hörst du mit dem Suchen auf, wenn die Teiler in der Mitte „zusammenstoßen“?

1. Systematisches Suchen der Teilerpaare durch Division: \(72 : 1 = 72\), \(72 : 2 = 36\), \(72 : 3 = 24\), \(72 : 4 = 18\), \(72 : 6 = 12\), \(72 : 8 = 9\). 2. Zusammenfassen aller gefundenen Zahlen in einer Menge, geordnet nach der Größe: \(T(72) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72\}\).

\(T(72) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72\}\)

- Was bedeuten die Symbole \(\in\) und \(\notin\)? - Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\)? - Wie hängen die Begriffe Vielfache und Multiplikation zusammen? - Kannst du prüfen, ob sich die Zahl als Produkt der angegebenen Zahl und einer natürlichen Zahl schreiben lässt?

1. Überprüfung der Menge \(\mathbb{N}\): \(144\) ist eine positive ganze Zahl, daher \(144 \in \mathbb{N}\) (wahr). \(0{,}5\) ist keine ganze Zahl und daher keine natürliche Zahl, also \(0{,}5 \notin \mathbb{N}\) (wahr). 2. Überprüfung der Vielfachen \(V(n)\): Da \(63 = 9 \cdot 7\), ist \(63\) ein Vielfaches von 7 (wahr). Da \(19\) eine ungerade Zahl ist, ist sie kein Vielfaches von 2 (falsch). Da \(105\) auf 5 endet, ist sie durch 5 teilbar und somit \(105 \in V(5)\) (Aussage falsch).

a) Wahr b) Wahr c) Wahr d) Falsch e) Falsch

- Wie gehst du am besten vor, um kein Teilerpaar zu vergessen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl ein Element einer Teilermenge ist? - Kannst du eine passende Divisionsaufgabe finden?

1. Systematisches Suchen der Teilerpaare: \(1 \cdot 42\), \(2 \cdot 21\), \(3 \cdot 14\), \(6 \cdot 7\). 2. Zusammenstellen der Teilermenge: \(T(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\). 3. Prüfung der Zugehörigkeit: Da \(42 : 14 = 3\) ohne Rest aufgeht, ist \(14\) ein Teiler von \(42\). Die Aussage ist wahr.

\(T(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\). Die Aussage \(14 \in T(42)\) ist wahr, da \(42 : 14 = 3\).

- Was ist der größte Teiler einer Zahl? - Erinnere dich an die Definition einer Primzahl: Wie viele Teiler hat sie? - Wie hängen die Teilermenge und die Vielfachenmenge zusammen?

1. Die größte Zahl in einer Teilermenge ist immer die Zahl selbst, daher ist \(x = 48\). 2. Die Primzahlen in der Menge identifizieren (Zahlen mit genau zwei Teilern): 2 und 3 sind Primzahlen. 1 ist keine Primzahl, alle anderen Zahlen haben mehr als zwei Teiler. 3. Prüfen, ob 96 durch 48 teilbar ist: \(96 : 48 = 2\). Da 96 ein ganzzahliges Vielfaches von 48 ist (\(2 \cdot 48 = 96\)), ist 96 ein Element von \(V(48)\).

a) \(x = 48\) b) Die Primzahlen sind 2 und 3. c) Ja, 96 ist ein Element von \(V(48)\), da \(2 \cdot 48 = 96\) gilt.

- Überlege, welche Zahlen du erhältst, wenn du immer \(6\) Bälle hinzufügst. - Achte bei Teil b) auf beide Ungleichungen: Die gesuchten Zahlen müssen größer als \(40\) und kleiner als \(60\) sein.

1. Die möglichen Gesamtzahlen entsprechen der Menge aller positiven Vielfachen von \(6\): \(V(6) = \{6; 12; 18; 24; \dots\}\). 2. Bestimmung der Vielfachen von \(6\) mit \(40 < x < 60\): \(6 \cdot 6 = 36\) (zu klein) \(6 \cdot 7 = 42\) \(6 \cdot 8 = 48\) \(6 \cdot 9 = 54\) \(6 \cdot 10 = 60\) (nicht kleiner als \(60\)).

a) \(V(6) = \{6; 12; 18; 24; \dots\}\) b) Die Zahlen sind \(42\), \(48\) und \(54\).

- Schreibe zuerst alle Teiler für die erste Zahl auf und zähle sie. - Mache das Gleiche für die zweite Zahl. - Vergleiche dann einfach die beiden Ergebnisse. - Nutze Teilerpaare, damit du keinen Teiler vergisst.

1. Bestimmung der Teilermenge von 48: Durch systematisches Prüfen ergeben sich die Paare \((1, 48)\), \((2, 24)\), \((3, 16)\), \((4, 12)\) und \((6, 8)\). Somit ist \(T(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\). Die Anzahl der Teiler beträgt 10. 2. Bestimmung der Teilermenge von 60: Die Paare sind \((1, 60)\), \((2, 30)\), \((3, 20)\), \((4, 15)\), \((5, 12)\) und \((6, 10)\). Somit ist \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\). Die Anzahl der Teiler beträgt 12. 3. Vergleich der Anzahlen: Da \(12 > 10\), hat die Zahl 60 mehr Teiler als die Zahl 48.

Die Zahl 60 hat mehr Teiler. \(T(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\) (10 Teiler) \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\) (12 Teiler)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl ein Vielfaches einer anderen ist? - Könntest du eine Liste der ersten Vielfachen erstellen? - Achte genau auf die Grenzen, die in der Aufgabe genannt werden. - Welches ist das erste Vielfache, das über der unteren Grenze liegt?

1. Berechnen der Vielfachen von \(18\) durch fortlaufende Multiplikation oder Addition: \(18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, \dots\). 2. Überprüfen der Bedingung \(50 < x < 150\). 3. Die passenden Zahlen sind \(54, 72, 90, 108, 126\) und \(144\).

\(54; 72; 90; 108; 126; 144\)

- Was gibt die Menge \(T(n)\) an? - Wie kannst du mit einer Division prüfen, ob eine Zahl ein Teiler einer anderen ist? - Gibt es eine Zahl, die Teiler jeder natürlichen Zahl ist? - Was bedeutet es für die Teilbarkeit, wenn bei der Division ein Rest bleibt?

1. Division zur Prüfung der Teilermenge \(T(n)\): \(72 : 6 = 12\), Rest 0, also ist 6 ein Teiler von 72 (wahr). 2. Division mit Rest: \(44 : 8 = 5\) Rest 4, also ist 8 kein Teiler von 44 (falsch). 3. Prüfung der Nicht-Zugehörigkeit: \(39 : 13 = 3\), Rest 0, also \(13 \in T(39)\) (Aussage falsch). 4. Grundregel der Teilbarkeit: Die Zahl 1 ist Teiler jeder natürlichen Zahl, also \(1 \in T(1000)\) (wahr). 5. Division: \(125 : 25 = 5\), Rest 0, also ist 25 ein Teiler von 125 (wahr).

a) Wahr b) Falsch c) Falsch d) Wahr e) Wahr

- Überprüfe jede Zahl zwischen 10 und 20 einzeln. - Denke daran, dass Primzahlen immer nur genau zwei Teiler haben. - Erstelle für jede Zahl eine kleine Liste ihrer Teilerpaare.

1. Überprüfung aller Zahlen von \(11\) bis \(19\) auf ihre Teileranzahl. 2. \(11\), \(13\), \(17\), \(19\) sind Primzahlen und haben nur \(2\) Teiler. 3. \(12\) hat die Teiler \(\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (\(6\) Teiler). 4. \(14\) hat die Teiler \(\{1; 2; 7; 14\}\) (\(4\) Teiler). 5. \(15\) hat die Teiler \(\{1; 3; 5; 15\}\) (\(4\) Teiler). 6. \(16\) hat die Teiler \(\{1; 2; 4; 8; 16\}\) (\(5\) Teiler). 7. \(18\) hat die Teiler \(\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\) (\(6\) Teiler). 8. Ergebnis: Die Zahlen sind \(14\) und \(15\).

Die Zahlen sind \(14\) mit \(T(14) = \{1; 2; 7; 14\}\) und \(15\) mit \(T(15) = \{1; 3; 5; 15\}\).

- Finde zuerst alle Teiler der Zahl 72. - Nutze das kleine Einmaleins, um Teilerpaare wie \(8 \cdot 9\) zu finden. - Prüfe am Ende, welche deiner gefundenen Zahlen im gesuchten Bereich liegen.

1. Ermittlung der Teiler von \(72\) durch systematisches Probieren oder Zerlegen in Paare: \(1 \cdot 72\), \(2 \cdot 36\), \(3 \cdot 24\), \(4 \cdot 18\), \(6 \cdot 12\), \(8 \cdot 9\). 2. Vollständige Liste der Teiler: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\). 3. Filtern der Teiler gemäß der Bedingung \(7 < \text{Teiler} < 15\). 4. Die passenden Werte sind \(8\), \(9\) und \(12\).

Die Teiler sind \(8\), \(9\) und \(12\).

- Wie findest du die Vielfachen einer Zahl? - Achte genau auf die Grenzen: Welche Zahlen liegen „zwischen“ \(40\) und \(160\)? - Was ist der Unterschied zwischen einem Teiler und einem Vielfachen?

1. Berechnung der Vielfachen von \(15\): \(15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, \dots\) 2. Filtern der Werte gemäß der Bedingung \(40 < x < 160\): Die erste Zahl ist \(45\), die letzte ist \(150\). 3. Notieren der Menge: \(\{45; 60; 75; 90; 105; 120; 135; 150\}\). 4. Identifikation des größten Elements: Das größte Element ist \(150\).

a) \(\{45; 60; 75; 90; 105; 120; 135; 150\}\) b) Das größte Element ist \(150\).

- Wie gehst du am besten vor, um keinen Teiler zu vergessen? Hilft dir ein Teilerbild oder das Suchen von Teilerpaaren? - Schreibe die Teiler der Reihe nach auf und zähle sie am Ende sorgfältig durch.

1. \(T(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\). Die Zahl \(24\) hat \(8\) Teiler. 2. \(T(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}\). Die Zahl \(30\) hat \(8\) Teiler. 3. \(T(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\). Die Zahl \(36\) hat \(9\) Teiler. 4. Da \(9 > 8\), hat \(36\) die meisten Teiler.

\(T(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\) (\(8\) Teiler) \(T(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}\) (\(8\) Teiler) \(T(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\) (\(9\) Teiler) Damit hat \(36\) die meisten Teiler.

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 40 Fliesen zu einem Rechteck anzuordnen? Nutze Teilerpaare. - Berechne für jede dieser Möglichkeiten zuerst die Länge und Breite in Metern. - Stelle eine kleine Tabelle auf, um die Umfänge aller möglichen Rechtecke zu vergleichen. - Was stellst du fest, wenn du die berechneten Umfänge mit dem Wert \(15\,\text{m}\) vergleichst?

1. Bestimmung der Seitenlänge einer Fliese in Metern: \(0{,}5\,\text{m}\). 2. Auflistung aller möglichen ganzzahligen Faktorpaare von 40 (Anzahl der Fliesen längs und quer): \((1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)\). 3. Berechnung der Seitenlängen in Metern und der zugehörigen Umfänge (\(U = 2 \cdot (a + b)\)): - Anordnung \(1 \times 40\): Seiten \(0{,}5\,\text{m}\) und \(20\,\text{m}\) \(\rightarrow U = 2 \cdot (0{,}5 + 20) = 41\,\text{m}\). - Anordnung \(2 \times 20\): Seiten \(1\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}\) \(\rightarrow U = 2 \cdot (1 + 10) = 22\,\text{m}\). - Anordnung \(4 \times 10\): Seiten \(2\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}\) \(\rightarrow U = 2 \cdot (2 + 5) = 14\,\text{m}\). - Anordnung \(5 \times 8\): Seiten \(2{,}5\,\text{m}\) und \(4\,\text{m}\) \(\rightarrow U = 2 \cdot (2{,}5 + 4) = 13\,\text{m}\). 4. Vergleich mit dem Zielwert: Keiner der berechneten Umfänge (\(41\,\text{m}, 22\,\text{m}, 14\,\text{m}, 13\,\text{m}\)) ist gleich \(15\,\text{m}\). 5. Fazit: Es ist nicht möglich, einen Umfang von genau \(15\,\text{m}\) zu erreichen.

Es ist nicht möglich. Die möglichen Umfänge bei der Verwendung von 40 Fliesen sind \(41\,\text{m}\), \(22\,\text{m}\), \(14\,\text{m}\) und \(13\,\text{m}\). Der Wert \(15\,\text{m}\) kommt in dieser Liste nicht vor.

- Schreibe die Teiler am besten paarweise auf, z. B. für \(12\): \((1, 12)\), \((2, 6)\), \((3, 4)\). - Was passiert bei diesem Paarsystem, wenn du eine Zahl wie 16 betrachtest? - Gibt es bei der Zahl \(16\) einen Teiler, den man mit sich selbst multipliziert?

1. Teileranzahlen berechnen: \(4: \{1, 2, 4\}\) (3 Teiler) \(9: \{1, 3, 9\}\) (3 Teiler) \(16: \{1, 2, 4, 8, 16\}\) (5 Teiler) \(25: \{1, 5, 25\}\) (3 Teiler) \(6: \{1, 2, 3, 6\}\) (4 Teiler) \(8: \{1, 2, 4, 8\}\) (4 Teiler) \(10: \{1, 2, 5, 10\}\) (4 Teiler) 2. Beobachtung: Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl an Teilern, Nichtquadratzahlen eine gerade Anzahl. 3. Begründung: Normalerweise treten Teiler in Paaren \((a, b)\) auf, wobei \(a \cdot b = n\). Bei einer Quadratzahl gibt es jedoch einen Fall, in dem \(a = b\) gilt (nämlich \(\sqrt{n}\)). Dieser Teiler hat keinen unterschiedlichen Partner, sodass er beim Zählen der einzelnen Teiler die Gesamtzahl ungerade macht.

a) Die Teileranzahlen sind: 4 (3 Teiler), 9 (3 Teiler), 16 (5 Teiler), 25 (3 Teiler). b) Die Teileranzahlen für 6, 8 und 10 sind jeweils 4. Auffällig ist, dass Quadratzahlen eine ungerade Anzahl an Teilern haben. c) Da bei Quadratzahlen ein Teiler mit sich selbst multipliziert die Zahl ergibt (z. B. \(4 \cdot 4 = 16\)), bleibt dieser Teiler beim Bilden von Paaren „alleine“ übrig, was zu einer ungeraden Gesamtzahl führt.

- Liste die natürlichen Zahlen zwischen \(20\) und \(30\) auf. - Bestimme ihre Teiler systematisch mithilfe von Teilerpaaren. - Welche Zahl besitzt dabei genau drei verschiedene Teiler?

1. Überprüfung der Zahlen im Bereich von 21 bis 29 auf ihre Teileranzahl. 2. Primzahlen wie 23 und 29 haben nur 2 Teiler. Zusammengesetzte Zahlen wie 21 (\(1, 3, 7, 21\)), 22 (\(1, 2, 11, 22\)), 24 (8 Teiler), 26 (\(1, 2, 13, 26\)), 27 (\(1, 3, 9, 27\)) und 28 (6 Teiler) haben mindestens 4 Teiler. 3. Untersuchung der Quadratzahl 25: Die Teiler sind 1, 5 und 25. Dies sind genau 3 Teiler. 4. Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 25 mit \(T(25) = \{1; 5; 25\}\).

Die Zahl heißt 25. Die Teilermenge lautet \(T(25) = \{1; 5; 25\}\).

- Wie findet man am besten alle Teiler einer Zahl, ohne einen zu vergessen? - Probiere doch mal aus, die Teiler in Paaren aufzuschreiben (zum Beispiel \(1 \cdot 12 = 12\)). - Haben Primzahlen viele oder wenige Teiler? Hilft dir das bei der Suche? - Was passiert bei Quadratzahlen wie 16 oder 25 mit der Anzahl der Teiler?

1. Systematisches Untersuchen der Zahlen im Bereich von \(10\) bis \(30\) durch Bestimmen der Teilerpaare. 2. Überprüfung der Zahl \(12\): \(T(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\). Die Anzahl ist \(6\). 3. Überprüfung der Zahl \(18\): \(T(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\). Die Anzahl ist \(6\). 4. Weitere mögliche Zahlen sind \(20\) mit \(T(20) = \{1; 2; 4; 5; 10; 20\}\) und \(28\) mit \(T(28) = \{1; 2; 4; 7; 14; 28\}\).

Mögliche Zahlen sind \(12\), \(18\), \(20\) oder \(28\). Zum Beispiel: \(T(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) \(T(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\)

- Schreibe zuerst die Vielfachen von \(12\) auf, die infrage kommen. - Bestimme für jedes dieser Vielfachen systematisch alle Teiler. - Vergleiche am Ende die Anzahl der Teiler in einer kleinen Übersicht.

1. Vielfache von \(12\) unter \(50\): \(12; 24; 36; 48\). 2. Teilermengen und Anzahlen: - \(T(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (\(6\) Teiler) - \(T(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\) (\(8\) Teiler) - \(T(36) = \{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\) (\(9\) Teiler) - \(T(48) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\) (\(10\) Teiler) 3. Daher besitzt \(48\) in dieser Gruppe die meisten Teiler.

\(12\) hat \(6\), \(24\) hat \(8\), \(36\) hat \(9\) und \(48\) hat \(10\) Teiler. Damit hat \(48\) die größte Anzahl an Teilern.