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- Welche Merkmale haben Zahlen, die durch 2 oder 5 teilbar sind? - Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl und was sagt sie über die Teilbarkeit aus? - Schau dir die Endziffern der Antwortmöglichkeiten genau an.

1. Überprüfung der Teilbarkeit durch 2: Zahl muss gerade sein (414, 424, 450). 2. Überprüfung der Teilbarkeit durch 3: Quersumme muss durch 3 teilbar sein (414: \(4+1+4=9\), 450: \(4+5+0=9\)). 3. Ausschluss der Teilbarkeit durch 4: Die letzten zwei Ziffern dürfen nicht durch 4 teilbar sein (414: 14 ist nicht durch 4 teilbar; erfüllt). 4. Ausschluss der Teilbarkeit durch 5: Endziffer darf nicht 0 oder 5 sein (414 endet auf 4; erfüllt). 5. Ergebnis: 414 erfüllt alle Kriterien.

b) 414

- Worauf musst du bei der letzten Ziffer einer Zahl achten, wenn du wissen willst, ob sie durch 5 teilbar ist? - Gibt es eine Besonderheit bei der Endziffer von Zahlen, die durch 10 teilbar sind? - Kann eine Zahl durch 10 teilbar sein, ohne auch durch 5 teilbar zu sein?

1. Anwendung der Teilbarkeitsregel für 5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. Dies trifft auf 105, 230, 600, 875 und 990 zu. 2. Anwendung der Teilbarkeitsregel für 10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Dies trifft auf 230, 600 und 990 zu.

a) 105, 230, 600, 875, 990 b) 230, 600, 990

- Kennst du eine Regel, bei der man die einzelnen Ziffern einer Zahl addiert? - Was sagt das Ergebnis dieser Addition über die Teilbarkeit durch 3 oder 9 aus? - Überprüfe jede Zahl einzeln mit dieser Additionsmethode.

1. Berechnung der Quersummen für jede Zahl: \(QS(111) = 1+1+1 = 3\) \(QS(234) = 2+3+4 = 9\) \(QS(405) = 4+0+5 = 9\) \(QS(567) = 5+6+7 = 18\) \(QS(810) = 8+1+0 = 9\) \(QS(993) = 9+9+3 = 21\) 2. Prüfung auf Teilbarkeit durch 3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Da 3, 9, 18 und 21 durch 3 teilbar sind, sind alle Zahlen der Liste (111, 234, 405, 567, 810, 993) durch 3 teilbar. 3. Prüfung auf Teilbarkeit durch 9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Dies ist bei 9 und 18 der Fall. Somit sind 234, 405, 567 und 810 durch 9 teilbar.

a) 111, 234, 405, 567, 810, 993 b) 234, 405, 567, 810

- Überlege dir zuerst, woran man erkennt, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist. - Welche Bedingung muss die letzte Ziffer erfüllen, damit eine Zahl durch 5 teilbar ist? - Wenn eine Zahl durch beide Zahlen teilbar sein soll, welche Ziffer muss dann am Ende stehen? - Schau dir jede Zahl in der Liste einzeln an und prüfe die Endziffer.

1. Anwendung der Teilbarkeitsregel für \(2\): Eine Zahl ist durch \(2\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) oder \(8\) ist. Dies trifft auf \(150\), \(432\), \(60\) und \(80\) zu. 2. Anwendung der Teilbarkeitsregel für \(5\): Eine Zahl ist durch \(5\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer \(0\) oder \(5\) ist. Dies trifft auf \(150\), \(275\), \(60\), \(105\) und \(80\) zu. 3. Schnittmenge bilden: Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen, müssen auf die Ziffer \(0\) enden. 4. Ergebnis: Die Zahlen \(150\), \(60\) und \(80\) sind durch \(2\) und \(5\) teilbar.

Die Zahlen \(150\), \(60\) und \(80\) sind sowohl durch \(2\) als auch durch \(5\) teilbar, da sie alle auf die Ziffer \(0\) enden.

- Welche Ziffer an der letzten Stelle macht eine Zahl gerade? - Worauf muss eine Zahl enden, damit man sie ohne Rest durch 5 teilen kann? - Was haben Zahlen gemeinsam, die in der 10er-Reihe vorkommen? - Reicht es aus, nur die letzte Stelle der Zahlen anzuschauen?

1. Prüfung der Teilbarkeit durch 2 (Endziffer ist \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\)): Zutreffend für \(156\), \(480\) und \(912\). 2. Prüfung der Teilbarkeit durch 5 (Endziffer ist \(0\) oder \(5\)): Zutreffend für \(275\), \(480\) und \(1\,005\). 3. Prüfung der Teilbarkeit durch 10 (Endziffer ist \(0\)): Zutreffend nur für \(480\). 4. Zusammenfassende Begründung: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist; durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet; und durch 10, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

Durch 2 teilbar: \(156, 480, 912\) (Endziffern \(6, 0, 2\)) Durch 5 teilbar: \(275, 480, 1\,005\) (Endziffern \(5, 0, 5\)) Durch 10 teilbar: \(480\) (Endziffer \(0\))

- Kennst du eine Regel, mit der man ohne langes Rechnen prüfen kann, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist? - Was passiert mit der Quersumme, wenn du verschiedene Ziffern einsetzt? - Gibt es vielleicht mehr als nur eine Ziffer, die passt?

1. Anwendung der Teilbarkeitsregel für \(3\): Die Quersumme der Zahl muss durch \(3\) teilbar sein. 2. Berechnung der vorhandenen Ziffernsumme: \(8 + 2 = 10\). 3. Bestimmung der möglichen Ergänzungen für \(\square\), damit die Summe \(10 + \square\) ein Vielfaches von \(3\) ist: - \(10 + 2 = 12\) (durch \(3\) teilbar) - \(10 + 5 = 15\) (durch \(3\) teilbar) - \(10 + 8 = 18\) (durch \(3\) teilbar) 4. Die möglichen Ziffern sind \(2\), \(5\) und \(8\).

Die Ziffern sind \(2\), \(5\) und \(8\).

- Kannst du eine Zahl finden, die die Bedingung erfüllt, aber trotzdem nicht das gewünschte Ergebnis liefert? - Gehe die Einmaleins-Reihen der entsprechenden Zahlen im Kopf durch. - Erinnere dich an die echten Teilbarkeitsregeln für \(5\) und \(6\). - Probiere es mit kleinen, zweistelligen Zahlen.

1. Für Teilaufgabe a) muss eine Zahl gefunden werden, die auf \(6\) endet, aber nicht durch \(6\) teilbar ist. Die Zahl \(16\) endet auf \(6\), aber \(16 : 6 = 2\) Rest \(4\). Somit ist die Aussage widerlegt. 2. Für Teilaufgabe b) wird eine Zahl gesucht, deren Quersumme durch \(5\) teilbar ist, die aber selbst kein Vielfaches von \(5\) ist. Die Zahl \(14\) hat die Quersumme \(1 + 4 = 5\). Da \(14\) nicht auf \(0\) oder \(5\) endet, ist sie nicht durch \(5\) teilbar.

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(16\) (oder \(26\), \(46\) usw.) b) \(14\) (oder \(23\), \(32\) usw.)

- Woran erkennst du auf den ersten Blick, ob eine Zahl durch 2 teilbar ist? - Erinnere dich an die Regel für die Teilbarkeit durch 3. - Überprüfe nacheinander alle Ziffern, die die erste Bedingung erfüllen.

1. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (\(0, 2, 4, 6\) oder \(8\)). Für das Kästchen kommen also nur diese fünf Ziffern infrage. 2. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Summe der vorhandenen Ziffern ist \(7 + 4 = 11\). 3. Nun werden die geraden Ziffern geprüft: - \(11 + 0 = 11\) (nicht durch 3 teilbar) - \(11 + 2 = 13\) (nicht durch 3 teilbar) - \(11 + 4 = 15\) (durch 3 teilbar, da \(15 : 3 = 5\)) - \(11 + 6 = 17\) (nicht durch 3 teilbar) - \(11 + 8 = 19\) (nicht durch 3 teilbar) 4. Somit ist nur die Ziffer 4 eine mögliche Lösung.

4

- Überlege dir zuerst, welche Bedingung einfacher zu prüfen ist. - Was muss für die letzte Ziffer gelten, damit eine Zahl durch 2 teilbar ist? - Wenn eine der beiden Bedingungen (Teilbarkeit durch 2 oder durch 3) niemals erfüllt werden kann, gibt es dann eine Lösung für das gesamte Problem?

1. Damit eine Zahl durch 2 teilbar ist, muss ihre letzte Ziffer eine \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) sein. 2. Die Zahl \(5\square 7\) endet auf die Ziffer 7. Da 7 eine ungerade Zahl ist, ist die Zahl für keine Ziffer an der Zehnerstelle durch 2 teilbar. 3. Da die Bedingung verlangt, dass die Zahl durch 2 UND durch 3 teilbar sein muss, kann man keine Ziffer finden, die beide Kriterien gleichzeitig erfüllt.

Nein, es gibt keine solche Ziffer, da die Zahl auf die ungerade Ziffer 7 endet und somit niemals durch 2 teilbar ist.

- Schau dir die letzte Ziffer an. Hilft dir das bei der Teilbarkeit durch 5 weiter? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Teilbarkeitsregeln für 3 und 9. Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, ist sie dann auch durch 3 teilbar? - Berechne die Summe der bekannten Ziffern und überlege, was zur nächsten durch 9 teilbaren Zahl fehlt.

1. Teilbarkeit durch 5 prüfen: Da die Zahl auf 0 endet, ist sie unabhängig von der Ziffer im Kästchen immer durch 5 teilbar. 2. Teilbarkeit durch 9 prüfen: Die Quersumme \(4 + \Box + 3 + 0 = 7 + \Box\) muss durch 9 teilbar sein. Dies ist nur für \(\Box = 2\) der Fall (\(7 + 2 = 9\)). 3. Teilbarkeit durch 3 prüfen: Da 9 ein Vielfaches von 3 ist, ist jede durch 9 teilbare Zahl automatisch auch durch 3 teilbar. Die Quersumme 9 ist durch 3 teilbar, somit ist die Bedingung für \(\Box = 2\) erfüllt.

2

- Kannst du ein Produkt finden, das durch \(4\) teilbar ist, obwohl keiner der beiden Faktoren selbst durch \(4\) teilbar ist? - Beginne mit kleinen Faktoren.

Gesucht sind zwei Faktoren, von denen keiner durch \(4\) teilbar ist, deren Produkt jedoch durch \(4\) teilbar ist. Mit \(2\) und \(2\) erhält man \(2 \cdot 2 = 4\). Keiner der beiden Faktoren ist durch \(4\) teilbar, das Produkt aber schon.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(2 \cdot 2 = 4\). Das Produkt ist durch \(4\) teilbar, die beiden Faktoren \(2\) jedoch nicht.

- Achte auf die letzte Ziffer für die Regeln von 2, 5 und 10. - Für die Teilbarkeit durch 25 musst du dir die letzten zwei Ziffern genau ansehen. - Kann eine Zahl durch 10 teilbar sein, ohne durch 5 teilbar zu sein?

1. Teilbarkeit durch \(2\): Alle geraden Zahlen, die auf \(0, 2, 4, 6, 8\) enden (\(250, 1\,020, 884\)). 2. Teilbarkeit durch \(5\): Alle Zahlen, die auf \(0\) oder \(5\) enden (\(250, 475, 1\,020, 915\)). 3. Teilbarkeit durch \(10\): Alle Zahlen, die auf \(0\) enden (\(250, 1\,020\)). 4. Teilbarkeit durch \(25\): Alle Zahlen, deren letzte zwei Ziffern \(00, 25, 50, 75\) sind (\(250, 475\)). 5. Zusammenfassung der Ergebnisse pro Zahl.

Die Teilbarkeit der Zahlen stellt sich wie folgt dar: <table> <tr><th>Zahl</th><th>Teilbar durch</th></tr> <tr><td>\(250\)</td><td>\(2, 5, 10, 25\)</td></tr> <tr><td>\(475\)</td><td>\(5, 25\)</td></tr> <tr><td>\(1\,020\)</td><td>\(2, 5, 10\)</td></tr> <tr><td>\(884\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(915\)</td><td>\(5\)</td></tr> </table>

- Überlege dir bei a), ob du eine Zahl findest, die auf 3 endet, aber nicht in der Dreierreihe vorkommt. - Erinnere dich bei b) an den Zusammenhang zwischen der Dreier- und der Neunerreihe. - Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Zahl durch 6 teilbar ist?

1. Aussage a) ist falsch. Die Teilbarkeit durch 3 hängt von der Quersumme ab, nicht von der letzten Ziffer. Ein Gegenbeispiel ist die Zahl 13: Sie endet auf 3, aber ihre Quersumme ist \(1 + 3 = 4\), was nicht durch 3 teilbar ist. 2. Aussage b) ist wahr. Da 9 ein Vielfaches von 3 ist (\(9 = 3 \cdot 3\)), ist jede Zahl, deren Quersumme durch 9 teilbar ist, automatisch auch durch 3 teilbar. 3. Aussage c) ist wahr. Nach der Teilbarkeitsregel für 6 muss eine Zahl sowohl durch 2 (sie ist gerade) als auch durch 3 (ihre Quersumme ist durch 3 teilbar) teilbar sein.

a) Falsch (Gegenbeispiel: 13) b) Wahr c) Wahr

- Erinnere dich an die Quersummenregel. - Wann ist eine Summe aus einer bereits durch 3 teilbaren Zahl und einer weiteren Ziffer wieder durch 3 teilbar? - Probiere systematisch alle Ziffern von 0 bis 9 aus.

1. Anwendung der Teilbarkeitsregel für 3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 2. Berechnung der Quersumme von \(5\square 1\): \(5 + \square + 1 = 6 + \square\). 3. Prüfung der Ziffern \(0\) bis \(9\): - Für \(\square = 0\): \(6 + 0 = 6\) (teilbar) - Für \(\square = 3\): \(6 + 3 = 9\) (teilbar) - Für \(\square = 6\): \(6 + 6 = 12\) (teilbar) - Für \(\square = 9\): \(6 + 9 = 15\) (teilbar) 4. Die möglichen Ziffern sind 0, 3, 6 und 9.

Die Ziffern \(0, 3, 6\) und \(9\) können eingesetzt werden.

- Nutze für Teil a) die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch \(3\). - Schreibe für Teil b) einige Vielfache von \(6\) auf und betrachte ihre Endziffern.

1. Aussage a) ist falsch. Die Quersumme von \(11\,111\) ist \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5\). Da \(5\) nicht durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(11\,111\) nicht durch \(3\) teilbar. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(12\): Es gilt \(12 : 6 = 2\), obwohl die Zahl auf \(2\) endet.

a) Falsch b) Falsch

- Probiere die Aussage zunächst mit kleinen aufeinanderfolgenden Zahlen aus. - Ist von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen eine gerade und die andere ungerade? - Was ergibt die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl?

Von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer eine gerade und eine ungerade. Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade, zum Beispiel \(4 + 5 = 9\). Daher ist die Aussage falsch.

Die Aussage ist falsch. Die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer ungerade und daher nicht durch \(2\) teilbar.

- Schau dir für die Teilbarkeit durch 4 nur die letzten beiden Ziffern an. - Für die Teilbarkeit durch 5 ist nur die allerletzte Ziffer wichtig. - In Aufgabenteil c) suchst du die Zahlen, die du in beiden vorherigen Schritten gefunden hast.

1. Teilbarkeit durch 4 prüfen: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. \(40\) ist teilbar (\(140\)), \(55\) nicht (\(255\)), \(60\) ist teilbar (\(360\)), \(18\) nicht (\(418\)), \(00\) ist teilbar (\(500\)), \(24\) ist teilbar (\(624\)), \(50\) nicht (\(750\)). Ergebnis: 140, 360, 500, 624. 2. Teilbarkeit durch 5 prüfen: Endziffer muss 0 oder 5 sein. Ergebnis: 140, 255, 360, 500, 750. 3. Schnittmenge bilden für Teilbarkeit durch 4 und 5: Die Zahlen müssen in beiden Listen vorkommen. Ergebnis: 140, 360, 500.

a) 140, 360, 500, 624 b) 140, 255, 360, 500, 750 c) 140, 360, 500

- Weißt du noch, wie man die Quersumme einer Zahl berechnet? - Was muss für die Quersumme gelten, damit die ursprüngliche Zahl durch 3 teilbar ist? - Rechne für jede Zahl der Liste die Summe ihrer Ziffern aus. - Prüfe bei jedem Ergebnis, ob es in der Dreierreihe vorkommt.

1. Berechnung der Quersummen: - \(214\): \(2 + 1 + 4 = 7\) (nicht durch \(3\) teilbar) - \(333\): \(3 + 3 + 3 = 9\) (durch \(3\) teilbar) - \(1\,002\): \(1 + 0 + 0 + 2 = 3\) (durch \(3\) teilbar) - \(56\): \(5 + 6 = 11\) (nicht durch \(3\) teilbar) - \(918\): \(9 + 1 + 8 = 18\) (durch \(3\) teilbar) 2. Eine Zahl ist genau dann durch \(3\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist. 3. Ergebnis: Die Zahlen \(333\), \(1\,002\) und \(918\) sind durch \(3\) teilbar.

Durch \(3\) teilbar sind die Zahlen \(333\) (Quersumme \(9\)), \(1\,002\) (Quersumme \(3\)) und \(918\) (Quersumme \(18\)).

- Was musst du mit den einzelnen Ziffern einer Zahl machen, um die Quersumme zu erhalten? - Wenn du die Quersumme kennst, wie entscheidest du dann über die Teilbarkeit? - Gibt es einen Unterschied zwischen den Regeln für die 3 und die 9? - Kann eine Zahl durch 9 teilbar sein, ohne durch 3 teilbar zu sein?

1. Berechnung der Quersummen (QS) für jede Zahl: \(QS(102) = 1 + 0 + 2 = 3\) \(QS(333) = 3 + 3 + 3 = 9\) \(QS(409) = 4 + 0 + 9 = 13\) \(QS(1260) = 1 + 2 + 6 + 0 = 9\) \(QS(5001) = 5 + 0 + 0 + 1 = 6\) 2. Prüfung der Teilbarkeit durch 3 (QS muss durch 3 teilbar sein): 102, 333, 1260 und 5001 erfüllen dies. 3. Prüfung der Teilbarkeit durch 9 (QS muss durch 9 teilbar sein): Nur 333 und 1260 erfüllen dies.

| Zahl | durch 3 teilbar | durch 9 teilbar | | :--- | :---: | :---: | | 102 | X | | | 333 | X | X | | 409 | | | | 1260 | X | X | | 5001 | X | |

- Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl? - Was muss für die Quersumme gelten, damit die ganze Zahl durch 3 teilbar ist? - Gilt die gleiche Regel auch für die Zahl 9? - Kann eine Zahl durch 3 teilbar sein, aber nicht durch 9?

1. Berechnung der Quersummen (QS): - \(123: 1+2+3 = 6\) - \(405: 4+0+5 = 9\) - \(777: 7+7+7 = 21\) - \(1\,002: 1+0+0+2 = 3\) - \(2\,223: 2+2+2+3 = 9\) 2. Prüfung auf Teilbarkeit durch 3: Da alle Quersummen (\(6, 9, 21, 3, 9\)) durch 3 teilbar sind, sind alle Zahlen durch 3 teilbar. 3. Prüfung auf Teilbarkeit durch 9: Nur die Quersummen \(9\) (von \(405\) und \(2\,223\)) sind durch 9 teilbar. Somit sind nur diese beiden Zahlen durch 9 teilbar.

Durch 3 teilbar: \(123, 405, 777, 1\,002, 2\,223\) (alle Quersummen sind durch 3 teilbar) Durch 9 teilbar: \(405, 2\,223\) (nur diese Quersummen sind durch 9 teilbar)

- Worauf musst du bei der Teilbarkeitsregel für 4 genau schauen? - Spielen die Ziffern weiter vorne in der Zahl eine Rolle für die Teilbarkeit durch 4? - Überlege dir, welche zweistelligen Zahlen in der 4er-Reihe auf die vorgegebene Ziffer enden oder mit ihr beginnen. - Kann eine ungerade Zahl überhaupt durch 4 teilbar sein?

1. Eine Zahl ist durch \(4\) teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch \(4\) teilbar ist. 2. Teilaufgabe a): Die letzten beiden Stellen sind \(2\ast\). Mögliche Zahlen sind \(20\), \(24\) und \(28\). Ziffern: \(0, 4, 8\). 3. Teilaufgabe b): Die letzten beiden Stellen sind \(\ast6\). Mögliche Zahlen sind \(16, 36, 56, 76, 96\). Ziffern: \(1, 3, 5, 7, 9\). 4. Teilaufgabe c): Die letzten beiden Stellen sind \(\ast2\). Mögliche Zahlen sind \(12, 32, 52, 72, 92\). Ziffern: \(1, 3, 5, 7, 9\). 5. Teilaufgabe d): Die letzten beiden Stellen sind \(18\). Da \(18\) nicht durch \(4\) teilbar ist, kann keine Ziffer an der Hunderterstelle die Teilbarkeit durch \(4\) bewirken. Es gibt keine Lösung.

a) \(\ast \in \{0; 4; 8\}\) b) \(\ast \in \{1; 3; 5; 7; 9\}\) c) \(\ast \in \{1; 3; 5; 7; 9\}\) d) Keine Ziffer möglich, da \(18\) nicht durch 4 teilbar ist.

- Was haben alle Zahlen gemeinsam, die durch 4 teilbar sind? Schau dir ihre letzte Ziffer an. - Kann eine Zahl, die auf 7 endet, in der 4er-Reihe vorkommen? - Welche Endziffern ermöglichen es, dass eine Zehnerzahl davor die Bedingung der 4er-Regel erfüllt?

1. Begründung: Zahlen, die durch 4 teilbar sind, müssen immer gerade sein. Da die Zahl \(3\square7\) auf eine ungerade Ziffer (\(7\)) endet, ist sie ungerade und kann somit niemals durch 4 teilbar sein, egal welche Ziffer an der Zehnerstelle steht. 2. Änderung der Endziffer: Man muss die \(7\) durch eine gerade Ziffer ersetzen, zum Beispiel durch eine \(6\). 3. Beispiel: Bei der Zahl \(3\square6\) kann man für \(\square\) zum Beispiel die \(1\) einsetzen, da \(16\) durch 4 teilbar ist. Die Zahl \(316\) ist somit durch 4 teilbar.

Begründung: Die Zahl ist ungerade (Endziffer 7) und kann daher nicht durch 4 teilbar sein. Mögliche Änderung: Ersetze die 7 durch die 6. Beispiel: \(316\) (oder \(336\), \(356\) usw.).

- Hier müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. Welche Merkmale haben Zahlen, die durch 2 teilbar sind? - Wie hilft dir die Quersumme bei der Teilbarkeit durch 3 weiter? - Probiere systematisch alle geraden Ziffern aus und prüfe die Quersumme.

1. Bedingung für Teilbarkeit durch \(2\): Die letzte Ziffer \(\square\) muss gerade sein, also kommen nur \(0, 2, 4, 6, 8\) infrage. 2. Bedingung für Teilbarkeit durch \(3\): Die Quersumme \(5 + 2 + \square = 7 + \square\) muss durch \(3\) teilbar sein. 3. Prüfung der geraden Ziffern: - \(7 + 0 = 7\) (nicht durch \(3\) teilbar) - \(7 + 2 = 9\) (durch \(3\) teilbar) - \(7 + 4 = 11\) (nicht durch \(3\) teilbar) - \(7 + 6 = 13\) (nicht durch \(3\) teilbar) - \(7 + 8 = 15\) (durch \(3\) teilbar) 4. Die passenden Ziffern sind \(2\) und \(8\).

Die Ziffern sind \(2\) und \(8\).

- Erinnere dich an die Regel für die Teilbarkeit durch 9. Sie ist der Regel für die 3 sehr ähnlich. - Addiere zuerst alle Ziffern, die du schon kennst. - Wie viel fehlt noch bis zum nächsten Vielfachen von 9?

1. Anwendung der Teilbarkeitsregel für \(9\): Die Quersumme muss durch \(9\) teilbar sein. 2. Berechnung der Summe der bekannten Ziffern: \(3 + 7 + 5 = 15\). 3. Suche nach der kleinsten Ziffer \(\square\), sodass \(15 + \square\) durch \(9\) teilbar ist. Das nächste Vielfache von \(9\) nach \(15\) ist \(18\). 4. Berechnung der fehlenden Ziffer: \(18 - 15 = 3\). 5. Prüfung auf weitere Möglichkeiten: Das nächste Vielfache wäre \(27\), was eine Ergänzung von \(12\) erfordern würde. Da \(12\) keine einstellige Ziffer ist, bleibt nur die \(3\).

An der ersten Stelle muss die Ziffer \(3\) stehen.

- Was bedeutet es für eine Zahl, wenn sie „nicht durch \(2\) teilbar“ ist? - Suche nach einer Zahl in der Viererreihe, die eine andere Endziffer als \(4\) oder \(8\) hat. - Addiere zwei einfache ungerade Zahlen und schaue dir das Ergebnis an. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um eine allgemeine Behauptung zu Fall zu bringen?

1. In Teilaufgabe a) wird eine Zahl gesucht, die durch \(4\) teilbar ist, aber nicht auf \(4\) oder \(8\) endet. Die Zahlen \(12\) und \(20\) sind durch \(4\) teilbar (\(12 : 4 = 3\); \(20 : 4 = 5\)), enden aber auf \(2\) bzw. \(0\). 2. In Teilaufgabe b) müssen zwei ungerade Zahlen addiert werden, um zu prüfen, ob die Summe gerade (durch \(2\) teilbar) sein kann. Wählt man zum Beispiel \(3\) und \(5\), ergibt sich \(3 + 5 = 8\). Da \(8\) durch \(2\) teilbar ist, ist die Aussage widerlegt.

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(12\) (oder \(20\), \(32\), \(40\) usw.) b) \(3 + 5 = 8\) (oder jede andere Summe zweier ungerader Zahlen)

- Ist jede Zahl aus der Dreierreihe auch automatisch in der Neunerreihe? - Überlege dir, ob die Zehnerziffer allein überhaupt etwas über die Teilbarkeit durch \(3\) aussagt. - Welche Zahl aus der Dreierreihe kennst du, die eine ganz andere Zehnerziffer hat? - Schreibe dir die ersten Vielfachen von \(3\) auf und prüfe die Bedingungen.

1. Für Teilaufgabe a) suchen wir ein Vielfaches von \(3\), das kein Vielfaches von \(9\) ist. Die Zahl \(6\) (oder \(12\), \(15\), \(21\)) ist durch \(3\) teilbar, aber nicht durch \(9\), da sie nicht in der Neunerreihe vorkommt. 2. Für Teilaufgabe b) muss eine Zahl gefunden werden, die durch \(3\) teilbar ist, deren Zehnerziffer jedoch nicht \(3\), \(6\) oder \(9\) ist. Die Zahl \(12\) ist durch \(3\) teilbar (\(12 : 3 = 4\)), ihre Zehnerziffer ist jedoch \(1\). Damit ist die Bedingung widerlegt.

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(6\) (oder \(12\), \(15\), \(21\) usw.) b) \(12\) (oder \(15\), \(18\), \(21\), \(24\), \(27\) usw.)

- Spielt die erste Ziffer eine Rolle für die Teilbarkeit durch 2, wenn die letzte Ziffer bereits feststeht? - Berechne zunächst die Summe der Ziffern, die du bereits kennst. - Welche Ziffern kannst du ergänzen, um eine Zahl aus der Dreierreihe zu erhalten? - Denk daran, dass die erste Stelle einer mehrstelligen Zahl nicht Null sein darf.

1. Überprüfung der Teilbarkeit durch 2: Die Zahl endet auf die Ziffer 2. Da 2 gerade ist, ist die Zahl unabhängig von der ersten Ziffer immer durch 2 teilbar. 2. Überprüfung der Teilbarkeit durch 3: Die Quersumme muss durch 3 teilbar sein. Die Summe der bekannten Ziffern beträgt \(1 + 5 + 2 = 8\). 3. Suche nach passenden Ziffern für das Kästchen (Ziffern \(1\) bis \(9\)): - \(8 + 1 = 9\) (durch 3 teilbar) - \(8 + 4 = 12\) (durch 3 teilbar) - \(8 + 7 = 15\) (durch 3 teilbar) 4. Die Ziffern 1, 4 und 7 erfüllen die Bedingung.

1, 4 und 7

- Überlege zuerst, welche Ziffern an der Zehnerstelle stehen dürfen, damit die letzten beiden Stellen eine durch 4 teilbare Zahl ergeben. - Prüfe danach für diese Ziffern, ob die Summe aller Ziffern der Zahl durch 3 teilbar ist. - Gibt es Ziffern, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen?

1. Teilbarkeitsregel für die 4 anwenden: Die aus den letzten zwei Stellen gebildete Zahl \(\Box 2\) muss durch 4 teilbar sein. Dies ist für die Zehnerziffern 1, 3, 5, 7 und 9 erfüllt (12, 32, 52, 72, 92). 2. Teilbarkeitsregel für die 3 anwenden: Die Quersumme \(2 + 5 + \Box + 2 = 9 + \Box\) muss durch 3 teilbar sein. Dies ist für die Ziffern 0, 3, 6 und 9 der Fall. 3. Schnittmenge bestimmen: Nur die Ziffern 3 und 9 erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig.

3; 9

- Was muss für die Summe der Ziffern gelten, damit eine Zahl durch 9 teilbar ist? - Welche Bedingung müssen die letzten beiden Ziffern für die Teilbarkeit durch 4 erfüllen? - Untersuche, ob die Ziffer, die die 9er-Regel erfüllt, auch mit der 4er-Regel zusammenpasst.

1. Teilbarkeit durch 9 prüfen: Die Quersumme \(1 + \Box + 2 = 3 + \Box\) muss durch 9 teilbar sein. Die einzige einstellige Lösung ist \(\Box = 6\), da \(3 + 6 = 9\). 2. Teilbarkeit durch 4 prüfen: Für \(\Box = 6\) ergibt sich die Zahl 162. Die letzten zwei Stellen (62) müssen durch 4 teilbar sein. Da \(62 : 4 = 15{,}5\), ist 162 nicht durch 4 teilbar. 3. Ergebnis: Es gibt keine Ziffer, die beide Regeln erfüllt.

Es gibt keine solche Ziffer. Begründung: Die einzige Ziffer, die die Teilbarkeit durch 9 ermöglicht, ist die 6 (Quersumme 9). Die entstehende Zahl 162 ist jedoch nicht durch 4 teilbar, da 62 kein Vielfaches von 4 ist.

- Woran erkennst du an der Quersumme, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist? - Welche Ziffern einer Zahl musst du dir ansehen, um die Teilbarkeit durch 4 zu prüfen? - Kannst du eine Liste für jede Regel erstellen und dann schauen, welche Zahlen in beiden Listen vorkommen?

1. Prüfung der Teilbarkeit durch \(3\) mithilfe der Quersumme: \(132\) (\(6\)), \(258\) (\(15\)), \(412\) (\(7\)), \(630\) (\(9\)), \(744\) (\(15\)) und \(1\,008\) (\(9\)). Alle Zahlen außer \(412\) haben eine durch \(3\) teilbare Quersumme und sind somit durch \(3\) teilbar. 2. Prüfung der Teilbarkeit durch \(4\) mithilfe der letzten zwei Ziffern: \(32\) (ja), \(58\) (nein), \(12\) (ja), \(30\) (nein), \(44\) (ja), \(08\) (ja). Nur \(132\), \(412\), \(744\) und \(1\,008\) sind durch \(4\) teilbar. 3. Identifikation der Zahlen, auf die beide Kriterien zutreffen: Dies sind \(132\), \(744\) und \(1\,008\).

Die Zahlen \(132\), \(744\) und \(1\,008\) sind sowohl durch \(3\) als auch durch \(4\) teilbar.

- Addiere für Teil a) die Ziffern jeder Zahl. Wenn das Ergebnis durch 9 teilbar ist, ist es auch die Zahl. - Schau dir für Teil b) nur die Zehner- und Einerstelle an. - Vergleiche für Teil c) deine Ergebnisse aus den ersten beiden Teilaufgaben.

1. Berechnung der Quersummen für a): \(QS(132) = 1+3+2 = 6\), \(QS(225) = 2+2+5 = 9\), \(QS(316) = 3+1+6 = 10\), \(QS(450) = 4+5+0 = 9\), \(QS(504) = 5+0+4 = 9\). Durch 9 teilbar sind 225, 450 und 504. 2. Prüfung der letzten zwei Ziffern für b): 32 (\(32 : 4 = 8\)), 25 (nicht teilbar), 16 (\(16 : 4 = 4\)), 50 (nicht teilbar), 04 (\(4 : 4 = 1\)). Durch 4 teilbar sind 132, 316 und 504. 3. Vergleich der Ergebnisse für c): Die Zahl 504 tritt in beiden Teilmengen auf und ist somit durch 9 und 4 teilbar.

a) 225, 450, 504 b) 132, 316, 504 c) 504

- Schau dir die Vielfachen von 25 an: 25, 50, 75, 100, 125, ... - Fällt dir bei den letzten zwei Stellen ein Muster auf? - Welche dieser zweistelligen Endungen passen zu der Form \(\triangle 0\)?

1. Anwendung der Teilbarkeitsregel für 25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn ihre letzten zwei Ziffern \(00, 25, 50\) oder \(75\) lauten. 2. Betrachtung der letzten beiden Ziffern von \(8\triangle 0\): Diese lauten \(\triangle 0\). 3. Abgleich mit den möglichen Endungen: Von den Endungen \(00, 25, 50, 75\) enden nur \(00\) und \(50\) auf die Ziffer 0. 4. Bestimmung der Ziffer \(\triangle\): Damit die Endung \(00\) entsteht, muss \(\triangle = 0\) sein. Damit die Endung \(50\) entsteht, muss \(\triangle = 5\) sein.

Es können die Ziffern \(0\) und \(5\) eingesetzt werden.

- Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar? Überlege, welche zwei anderen Teilbarkeitsregeln hier gleichzeitig gelten müssen. - Die Zahl endet auf eine 2. Was bedeutet das für die Teilbarkeit durch 2? - Berechne die Quersumme der Zahl, wobei du den Platzhalter zweimal addierst. - Welche Ziffern führen zu einer Quersumme, die in der Dreierreihe liegt?

1. Eine Zahl ist durch \(6\) teilbar, wenn sie durch \(2\) und durch \(3\) teilbar ist. 2. Die Zahl \(1\ast\ast2\) endet auf \(2\) und ist daher für jede eingesetzte Ziffer durch \(2\) teilbar. 3. Die Quersumme lautet \(1 + \ast + \ast + 2 = 3 + 2 \cdot \ast\). 4. Prüfung der Ziffern \(0\) bis \(9\): Für \(\ast = 0, 3, 6, 9\) ergeben sich die Quersummen \(3, 9, 15, 21\). Diese sind durch \(3\) teilbar. Bei allen anderen Ziffern ist die Quersumme nicht durch \(3\) teilbar. 5. Daher sind genau die Ziffern \(0\), \(3\), \(6\) und \(9\) möglich.

Die Ziffern \(0, 3, 6\) und \(9\) können eingesetzt werden.

- Probiere für die erste Aussage kleine Zahlenreihen wie 1, 2, 3 oder 4, 5, 6 aus. - Überlege dir für die zweite Aussage, was passiert, wenn kein Faktor durch 2 teilbar ist. - Suche für die dritte Aussage gezielt nach Zahlen in der 4er-Reihe, die nicht in der 8er-Reihe vorkommen.

1. Wahr. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen \(n\), \(n+1\) und \(n+2\) ist \(3 \cdot n + 3\). Da dieser Ausdruck als \(3 \cdot (n+1)\) geschrieben werden kann, ist er immer ein Vielfaches von 3. 2. Wahr. Multipliziert man zwei ungerade Zahlen (z. B. \(3 \cdot 5 = 15\) oder \(7 \cdot 9 = 63\)), erhält man immer ein ungerades Ergebnis, da kein Faktor den Teiler 2 besitzt. 3. Falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Zahl 12. Sie ist durch 4 teilbar (\(12 : 4 = 3\)), aber nicht durch 8 (\(12 : 8 = 1\) Rest 4).

a) Wahr b) Wahr c) Falsch

- Kennst du Regeln, mit denen du die Teilbarkeit prüfen kannst, ohne die ganze Zahl zu dividieren? - Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl? - Worauf musst du bei den letzten Ziffern achten, wenn du auf Teilbarkeit durch 4 oder 8 prüfst? - Ist ein Teiler das Gleiche wie ein Vielfaches? Achte genau auf die Notation \(T(n)\) und \(V(n)\).

1. Teilbarkeitsregel für 3: Quersumme von \(2\,469\) ist \(2+4+6+9 = 21\). Da \(21 : 3 = 7\), ist die Zahl durch 3 teilbar (wahr). 2. Prüfung der Vielfachen von 8: \(124 : 8 = 15\) Rest 4, somit kein Vielfaches (falsch). 3. Teilbarkeitsregel für 9: Quersumme von \(8\,118\) ist \(8+1+1+8 = 18\). Da \(18 : 9 = 2\), ist 9 ein Teiler der Zahl (wahr). 4. Teilbarkeitsregel für 4: Die letzten zwei Stellen sind 10. Da \(10\) nicht durch 4 teilbar ist, ist 4 kein Teiler von \(1\,010\) (falsch). 5. Division: \(144 : 12 = 12\), Rest 0, somit ist 12 ein Teiler von 144 (wahr).

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch e) Wahr

- Welche zweistelligen Zahlen, die mit einer 3 beginnen, stehen in der 4er-Reihe? - Wie verändert sich die Quersumme, wenn du die Ziffer im Kästchen erhöhst? - Schreibe dir für die ersten beiden Aufgaben alle Ziffern von 0 bis 9 auf und teste sie. - Gibt es eine Ziffer, die in beiden Listen vorkommt?

1. Teilbarkeit durch 4: Die aus den letzten beiden Stellen gebildete Zahl (\(3\square\)) muss durch 4 teilbar sein. Mögliche Zahlen zwischen 30 und 39 sind \(32\) und \(36\). Also \(\square \in \{2; 6\}\). 2. Teilbarkeit durch 3: Die Quersumme \(7 + 3 + \square = 10 + \square\) muss durch 3 teilbar sein. Mögliche Summen sind 12, 15, 18. Also \(\square \in \{2; 5; 8\}\). 3. Gemeinsame Teilbarkeit: Die Schnittmenge der beiden Mengen \(\{2; 6\}\) und \(\{2; 5; 8\}\) ist \(\{2\}\). Also erfüllt nur die Ziffer 2 beide Bedingungen.

a) \(\square \in \{2; 6\}\) (da 32 und 36 durch 4 teilbar sind) b) \(\square \in \{2; 5; 8\}\) (da die Quersummen 12, 15 und 18 durch 3 teilbar sind) c) \(\square = 2\) (da nur bei der 2 beide Regeln gleichzeitig erfüllt sind)

- Erinnere dich an die Regel für die letzte Ziffernkombination. - Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl und was sagt sie über die Teilbarkeit aus? - Schreibe dir die Ergebnisse aus den ersten beiden Teilaufgaben als Liste auf.

1. Teilbarkeit durch 4: Die Zahl \(2\square\) muss durch 4 teilbar sein. Dies gilt für \(20, 24\) und \(28\). Die Ziffern sind \(0, 4, 8\). 2. Teilbarkeit durch 3: Die Quersumme \(2 + 0 + 2 + \square = 4 + \square\) muss durch 3 teilbar sein. Für \(\square = 2\) ist die Quersumme \(6\), für \(\square = 5\) ist sie \(9\), für \(\square = 8\) ist sie \(12\). Die Ziffern sind \(2, 5, 8\). 3. Vergleich: Die einzige Ziffer, die in beiden Mengen vorkommt, ist die \(8\).

a) \(\square \in \{0; 4; 8\}\) b) \(\square \in \{2; 5; 8\}\) c) Ja, die Ziffer \(8\).

- Wie berechnet man die Quersumme, wenn eine Ziffer fehlt? - Welche zweistelligen Zahlen, die auf 2 enden, lassen sich ohne Rest durch 4 teilen? - Gibt es eine Ziffer, die mehrere der Bedingungen gleichzeitig erfüllt?

1. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme \(4+7+\Box+2 = 13+\Box\) durch \(3\) teilbar sein. Für \(\Box \in \{2; 5; 8\}\) ergeben sich die Quersummen \(15, 18, 21\). 2. Für die Teilbarkeit durch \(4\) muss die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl \(\Box 2\) durch \(4\) teilbar sein. Dies ist für \(12, 32, 52, 72, 92\) der Fall, also \(\Box \in \{1; 3; 5; 7; 9\}\). 3. Für die Teilbarkeit durch \(9\) muss die Quersumme \(13+\Box\) durch \(9\) teilbar sein. Nur für \(\Box = 5\) ist die Quersumme \(18\) durch \(9\) teilbar. 4. Die Bedingung für \(3\) und \(4\) ist erfüllt, wenn die Ziffer in beiden Mengen \(\{2; 5; 8\}\) und \(\{1; 3; 5; 7; 9\}\) enthalten ist. Dies trifft nur auf die Ziffer \(5\) zu.

a) \(\Box \in \{2; 5; 8\}\) b) \(\Box \in \{1; 3; 5; 7; 9\}\) c) \(\Box = 5\) d) \(\Box = 5\)

- Welche Eigenschaft haben alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind? - Wie berechnet man die Quersumme, wenn eine Ziffer noch fehlt? Probiere nacheinander alle Ziffern von 0 bis 9 aus. - Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie zwei andere Bedingungen gleichzeitig erfüllt. Welche sind das?

1. Teilbarkeit durch 2 (a): Die letzte Ziffer muss gerade sein. Dies gilt für \(\square \in \{0; 2; 4; 6; 8\}\). 2. Teilbarkeit durch 3 (b): Die Quersumme \(2 + 5 + \square = 7 + \square\) muss durch 3 teilbar sein. Dies ist für \(\square = 2\) (\(QS = 9\)), \(\square = 5\) (\(QS = 12\)) und \(\square = 8\) (\(QS = 15\)) der Fall. 3. Teilbarkeit durch 6 (c): Die Zahl muss gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar sein. Die Schnittmenge der Ziffern aus Schritt 1 und Schritt 2 enthält die Ziffern 2 und 8. Somit sind die Zahlen 252 und 258 durch 6 teilbar.

a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 2, 5, 8 c) 2 und 8 (Begründung: Die Zahl muss gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar sein.)

- Wie oft kommen gerade Zahlen in der Zahlenfolge vor? - Wann ist eine Zahl durch 4 teilbar, wenn man sich die Reihe der natürlichen Zahlen anschaut? - Suche nach einem Gegenbeispiel für die Teilbarkeit durch 5. - Was muss einer der Faktoren sein, damit das gesamte Produkt durch 5 teilbar ist?

1. Teilbarkeit durch 2: Unter vier aufeinanderfolgenden Zahlen sind immer zwei gerade Zahlen (jede zweite Zahl ist gerade). Da mindestens ein Faktor durch 2 teilbar ist, ist auch das gesamte Produkt durch 2 teilbar. 2. Teilbarkeit durch 4: In jeder Folge von vier aufeinanderfolgenden Zahlen gibt es genau eine Zahl, die ein Vielfaches von 4 ist (da jeder vierte Platz in der Zahlenreihe ein Vielfaches von 4 ist). Wenn ein Faktor durch 4 teilbar ist, ist das gesamte Produkt durch 4 teilbar. 3. Teilbarkeit durch 5: Nein, die Regel gilt nicht. Gegenbeispiel: \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\). Die Zahl 24 ist nicht durch 5 teilbar. Damit ein Produkt durch 5 teilbar ist, müsste mindestens einer der Faktoren ein Vielfaches von 5 sein, was bei vier aufeinanderfolgenden Zahlen nicht garantiert ist.

1) Wahr, da zwei der vier Zahlen gerade (durch 2 teilbar) sind. 2) Wahr, da unter vier aufeinanderfolgenden Zahlen immer eine Zahl vorkommt, die durch 4 teilbar ist. 3) Falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\), was nicht durch 5 teilbar ist.