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- Was genau zeichnet eine Primzahl aus? - Kennst du die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch \(3\)? - Überlege, ob die Zahl in einer der Reihen des kleinen Einmaleins vorkommt. - Reicht es aus, die Teilbarkeit durch kleine Primzahlen wie \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) zu prüfen?

1. Überprüfung von \(43\): Für eine Zerlegung von \(43\) müsste einer der beiden Faktoren höchstens \(6\) sein, denn \(6 \cdot 6 < 43 < 7 \cdot 7\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(7\)) oder \(5\) teilbar. Damit besitzt sie keinen Teiler zwischen \(2\) und \(6\) und ist eine Primzahl. 2. Überprüfung von \(57\): Die Quersumme ist \(5 + 7 = 12\). Da \(12\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(57\) durch \(3\) teilbar: \(57 = 3 \cdot 19\). Daher ist \(57\) keine Primzahl. 3. Überprüfung von \(61\): Für eine Zerlegung müsste einer der Faktoren höchstens \(7\) sein, denn \(7 \cdot 7 < 61 < 8 \cdot 8\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(7\)), \(5\) oder \(7\) teilbar. Daher ist \(61\) eine Primzahl. 4. Überprüfung von \(81\): Es gilt \(81 = 9 \cdot 9\). Daher ist \(81\) keine Primzahl.

Primzahlen: \(43\) und \(61\). Keine Primzahlen: \(57\) (z. B. \(3 \cdot 19\)) und \(81\) (z. B. \(9 \cdot 9\)).

- Was genau zeichnet eine Primzahl aus? - Kennst du die Teilbarkeitsregeln für 2, 3 und 5? - Wie kannst du schnell prüfen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist? - Wenn eine Zahl gerade ist, kann sie dann eine Primzahl sein (außer der Zahl 2)?

1. Überprüfung von \(51\): Die Quersumme ist \(5 + 1 = 6\). Daher ist \(51\) durch \(3\) teilbar: \(51 = 3 \cdot 17\). Somit ist \(51\) keine Primzahl. 2. Überprüfung von \(52\): Die Zahl ist gerade und daher durch \(2\) teilbar: \(52 = 2 \cdot 26\). Somit ist \(52\) keine Primzahl. 3. Überprüfung von \(53\): Bei einer Zerlegung müsste einer der beiden Faktoren höchstens \(7\) sein, denn \(7 \cdot 7 < 53 < 8 \cdot 8\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(8\)), \(5\) oder \(7\) teilbar. Daher ist \(53\) eine Primzahl.

Nur die Zahl \(53\) ist eine Primzahl. Die Zahl \(51\) ist durch \(3\) teilbar (\(3 \cdot 17\)) und die Zahl \(52\) ist durch \(2\) teilbar (\(2 \cdot 26\)).

- Erinnere dich an die Definition einer Primzahl: Wie viele positive Teiler hat sie? - Welche gerade Zahl ist selbst eine Primzahl? - Teste die zweite Aussage mit kleinen Primzahlen.

1. Aussage a) ist wahr. Die Zahl \(2\) ist die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl ist durch \(2\) teilbar und besitzt mehr als zwei Teiler. 2. Aussage b) ist falsch. Für die Primzahl \(2\) erhält man \(2 \cdot 2 = 4\), also keine Primzahl. Für jede Primzahl \(p > 2\) ist \(2p\) durch \(2\) und durch \(p\) teilbar und daher ebenfalls keine Primzahl.

a) Wahr b) Falsch

- Was genau muss für beide Zahlen eines Paares gelten, damit sie Primzahlen sind? - Wie groß muss der Abstand zwischen Primzahlzwillingen genau sein? - Überprüfe die Teilbarkeit der Zahlen. Hilft dir die Quersummenregel bei einigen Zahlen weiter? - Erinnere dich an die Definition einer Primzahl.

1. Überprüfung von Paar a): \(5\) und \(7\) sind beide Primzahlen. Die Differenz beträgt \(2\). Ergebnis: Primzahlzwillinge. 2. Überprüfung von Paar b): \(13\) ist eine Primzahl, aber \(15\) ist durch \(3\) und \(5\) teilbar (\(3 \cdot 5 = 15\)). Ergebnis: Keine Primzahlzwillinge. 3. Überprüfung von Paar c): \(29\) und \(31\) sind beide Primzahlen. Die Differenz beträgt \(2\). Ergebnis: Primzahlzwillinge. 4. Überprüfung von Paar d): \(37\) ist eine Primzahl, aber \(39\) ist durch \(3\) und \(13\) teilbar (\(3 \cdot 13 = 39\)). Ergebnis: Keine Primzahlzwillinge.

a) Ja, es sind Primzahlzwillinge. b) Nein, da \(15\) keine Primzahl ist (\(15 = 3 \cdot 5\)). c) Ja, es sind Primzahlzwillinge. d) Nein, da \(39\) keine Primzahl ist (\(39 = 3 \cdot 13\)).

- Wie viele Teiler darf eine Primzahl haben? - Probiere bei ungeraden Zahlen nacheinander die Division durch kleine ungerade Zahlen aus. - Manche Zahlen sehen auf den ersten Blick wie Primzahlen aus; rechne sicherheitshalber nach.

1. Untersuchung von \(87\): Die Quersumme von \(87\) ist \(8 + 7 = 15\). Da \(15\) durch \(3\) teilbar ist, ist \(87\) keine Primzahl: \(87 = 3 \cdot 29\). 2. Untersuchung von \(91\): Es gilt \(91 : 7 = 13\). Somit ist \(91 = 7 \cdot 13\) und keine Primzahl. 3. Untersuchung von \(101\): Bei einer Zerlegung von \(101\) müsste einer der beiden Faktoren höchstens \(10\) sein, denn \(10 \cdot 10 < 101 < 11 \cdot 11\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(2\)), \(5\) oder \(7\) teilbar. Damit gibt es keinen möglichen Primteiler unter \(11\), also ist \(101\) eine Primzahl.

\(87\) ist keine Primzahl (\(3 \cdot 29\)). \(91\) ist keine Primzahl (\(7 \cdot 13\)). \(101\) ist eine Primzahl.

- Schreibe dir zuerst alle ungeraden Zahlen in diesem Bereich auf. - Kannst du Zahlen direkt streichen, die in einer bekannten Einmaleins-Reihe vorkommen? - Welche Endziffern können Primzahlen (außer \(2\) und \(5\)) überhaupt haben?

1. Auflistung der ungeraden Zahlen im Bereich: \(21, 23, 25, 27, 29\). 2. Prüfung der Teilbarkeit: \(21\) ist durch \(3\) teilbar (\(3 \cdot 7\)). \(25\) ist durch \(5\) teilbar (\(5 \cdot 5\)). \(27\) ist durch \(3\) und \(9\) teilbar (\(3 \cdot 9\)). 3. Identifikation der Primzahlen: Für \(23\) und \(29\) lassen sich keine Teiler außer \(1\) und sich selbst finden.

Die Primzahlen zwischen \(20\) und \(30\) sind \(23\) und \(29\).

- Nutze die Quersumme, um die Teilbarkeit durch 3 zu prüfen. - Für zweistellige oder kleine dreistellige Zahlen kann man die Teilbarkeit durch 7 oder 11 oft durch kurzes Kopfrechnen oder schriftliches Dividieren prüfen. - Bis zu welcher Zahl musst du Primfaktoren testen, um sicher zu sein, dass eine Zahl eine Primzahl ist?

1. Überprüfung von \(111\): Die Quersumme ist \(1 + 1 + 1 = 3\). Damit ist die Zahl durch \(3\) teilbar: \(111 = 3 \cdot 37\). Sie ist keine Primzahl. 2. Überprüfung von \(143\): Es gilt \(143 = 11 \cdot 13\). Daher ist \(143\) keine Primzahl. 3. Überprüfung von \(163\): Bei einer Zerlegung müsste einer der beiden Faktoren höchstens \(12\) sein, denn \(12 \cdot 12 < 163 < 13 \cdot 13\). Als mögliche Primteiler sind daher \(2\), \(3\), \(5\), \(7\) und \(11\) zu prüfen. \(163\) ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(10\)) oder \(5\) teilbar; außerdem gilt \(163 : 7 = 23\) Rest \(2\) und \(163 : 11 = 14\) Rest \(9\). Somit ist \(163\) eine Primzahl.

a) \(111\) ist keine Primzahl (zusammengesetzt). b) \(143\) ist keine Primzahl (zusammengesetzt). c) \(163\) ist eine Primzahl.

- Erinnere dich an die Definition einer Primzahl. Wie viele Teiler hat sie? - Gehe die ungeraden Zahlen nacheinander durch: \(1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\) Welche davon ist keine Primzahl? - Gibt es eine Primzahl, die nicht ungerade ist? - Was passiert, wenn du diese besondere Primzahl mit einer anderen addierst?

1. In Teilaufgabe a) muss eine ungerade Zahl gefunden werden, die mehr als zwei Teiler besitzt. Die Zahl \(9\) ist ungerade, hat aber die Teiler \(1\), \(3\) und \(9\). Da sie drei Teiler hat, ist sie keine Primzahl. 2. In Teilaufgabe b) wird nach zwei Primzahlen gesucht, deren Summe ungerade ist. Da die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl stets ungerade ist, muss die einzige gerade Primzahl \(2\) verwendet werden. Die Rechnung \(2 + 3 = 5\) ergibt die ungerade Summe \(5\).

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(9\) (Die Zahl ist ungerade, aber keine Primzahl, da \(3 \cdot 3 = 9\)). b) \(2 + 3 = 5\) (Die Summe der Primzahlen \(2\) und \(3\) ist \(5\), was eine ungerade Zahl ist).

- Überprüfe jede Zahl nacheinander mit den bekannten Teilbarkeitsregeln. - Ein Blick auf die Endziffer hilft oft schon weiter. - Was sagt dir die Quersumme über die Teilbarkeit durch 3? - Wenn du einen anderen Teiler als 1 und die Zahl selbst findest, ist sie bereits „aus dem Rennen“.

1. \(63\): Die Quersumme ist \(6 + 3 = 9\), also ist die Zahl durch \(3\) teilbar: \(63 = 3 \cdot 21\). 2. \(65\): Die Zahl endet auf \(5\), also ist sie durch \(5\) teilbar: \(65 = 5 \cdot 13\). 3. \(69\): Die Quersumme ist \(6 + 9 = 15\), also ist die Zahl durch \(3\) teilbar: \(69 = 3 \cdot 23\). 4. \(67\): Bei einer Zerlegung müsste einer der beiden Faktoren höchstens \(8\) sein, denn \(8 \cdot 8 < 67 < 9 \cdot 9\). Als mögliche Primteiler sind daher \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) zu prüfen. \(67\) ist durch keine dieser Zahlen teilbar. Somit ist \(67\) eine Primzahl.

Die Primzahl ist \(67\). Die anderen Zahlen sind zusammengesetzt, da \(63 = 9 \cdot 7\), \(65 = 5 \cdot 13\) und \(69 = 3 \cdot 23\).

- Manche Zahlen sehen auf den ersten Blick wie Primzahlen aus, sind es aber nicht. - Probiere bei der 91 auch einmal die Division durch 7 aus. - Berechne die Quersumme für die 93. Was fällt dir auf?

1. Überprüfung von \(91\): Die Zahl ist ungerade und die Quersumme ist \(10\) (nicht durch \(3\) teilbar). Sie endet nicht auf \(0\) oder \(5\). Prüfung auf Teilbarkeit durch \(7\): \(91 : 7 = 13\). Da \(91 = 7 \cdot 13\) ist, hat die Zahl mehr als zwei Teiler und ist somit keine Primzahl. 2. Überprüfung von \(93\): Die Quersumme ist \(9 + 3 = 12\). Da \(12\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(93\) durch \(3\) teilbar. Die Zerlegung lautet \(93 = 3 \cdot 31\). Somit ist auch \(93\) keine Primzahl.

Weder \(91\) noch \(93\) sind Primzahlen. Es gilt \(91 = 7 \cdot 13\) und \(93 = 3 \cdot 31\).

- Welche Zahlen liegen unmittelbar links und rechts neben der gegebenen Zahl? - Sind beide Nachbarzahlen Primzahlen? - Woran erkennst du schnell, ob eine ungerade Zahl wie \(21\) vielleicht doch keine Primzahl ist?

1. Untersuchung der Zahl \(12\): Die benachbarten Zahlen sind \(11\) und \(13\). Da sowohl \(11\) als auch \(13\) Primzahlen sind, bilden sie das Paar \((11, 13)\). 2. Untersuchung der Zahl \(20\): Die benachbarten Zahlen sind \(19\) und \(21\). \(19\) ist eine Primzahl, aber \(21\) ist keine Primzahl (\(3 \cdot 7 = 21\)). 3. Untersuchung der Zahl \(30\): Die benachbarten Zahlen sind \(29\) und \(31\). Da sowohl \(29\) als auch \(31\) Primzahlen sind, bilden sie das Paar \((29, 31)\).

Bei der Zahl \(12\) ist es das Paar \(11\) und \(13\). Bei der Zahl \(20\) gibt es kein Paar, da \(21\) keine Primzahl ist. Bei der Zahl \(30\) ist es das Paar \(29\) und \(31\).

- Woran erkennst du eine Primzahl? - Können dir die Quersummenregeln bei manchen Zahlen helfen? - Bis zu welcher Zahl musst du Teiler ausprobieren, um sicher zu sein, dass es eine Primzahl ist? - Kannst du prüfen, ob \(143\) durch \(11\) teilbar ist?

1. Untersuchung von \(117\): Die Quersumme ist \(1+1+7=9\). Damit ist \(117\) durch \(3\) und \(9\) teilbar. Rechnung: \(117 = 9 \cdot 13\). Keine Primzahl. 2. Untersuchung von \(131\): Prüfung auf Teilbarkeit durch kleine Primzahlen (\(2, 3, 5, 7, 11\)). Nicht durch \(2\) (ungerade), nicht durch \(3\) (QS=5), nicht durch \(5\) (Endziffer \(1\)), nicht durch \(7\) (\(131 = 7 \cdot 18 + 5\)), nicht durch \(11\) (\(131 = 11 \cdot 11 + 10\)). Da \(11 \cdot 11 = 121\) und \(13 \cdot 13 = 169\), reicht die Prüfung bis \(11\). Primzahl. 3. Untersuchung von \(143\): Nicht durch \(2, 3, 5, 7\). Prüfung auf Teilbarkeit durch \(11\): \(143 : 11 = 13\). Also \(143 = 11 \cdot 13\). Keine Primzahl.

Nur die Zahl \(131\) ist eine Primzahl. Für die anderen gilt zum Beispiel: \(117 = 9 \cdot 13\) und \(143 = 11 \cdot 13\).

- Wenn du die Summe von zwei Zahlen kennst, die fast gleich groß sind, wie kannst du die Zahl in ihrer Mitte finden? - Wie hängen die gesuchten Primzahlen mit der Zahl genau in der Mitte zwischen ihnen zusammen? - Prüfe nach dem Finden der Zahlen immer, ob es sich wirklich um Primzahlen handelt.

1. Berechnung der mittleren Zahl für die Summe \(36\): \(36 : 2 = 18\). 2. Bestimmung der Nachbarn von \(18\): Die Zahlen sind \(17\) und \(19\). Da sowohl \(17\) als auch \(19\) Primzahlen sind, ist das Paar gefunden. 3. Berechnung der mittleren Zahl für die Summe \(28\): \(28 : 2 = 14\). 4. Bestimmung der Nachbarn von \(14\): Die Zahlen sind \(13\) und \(15\). Da \(15\) keine Primzahl ist (\(3 \cdot 5 = 15\)), gibt es für die Summe \(28\) kein Primzahlzwillingspaar.

Das Paar mit der Summe \(36\) besteht aus den Primzahlen \(17\) und \(19\). Für die Summe \(28\) gibt es kein Primzahlzwillingspaar, da die Nachbarn der Mitte (\(14\)) die Zahlen \(13\) und \(15\) sind und \(15\) keine Primzahl ist.