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- Was unterscheidet eine Primfaktorzerlegung von einer normalen Multiplikation? - Sind alle Zahlen in den Antwortmöglichkeiten wirklich Primzahlen? - Du kannst auch versuchen, die Antwortmöglichkeiten auszurechnen und mit 720 zu vergleichen.

1. Schrittweise Zerlegung der Zahl 720 in Faktoren: \(720 = 72 \cdot 10\). 2. Weitere Zerlegung in Primfaktoren: \(72 = 8 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\) und \(10 = 2 \cdot 5\). 3. Zusammenfassen der Faktoren zu Potenzen: \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5\).

d) \(2^4 \cdot 3^2 \cdot 5\)

- Was ist eine Primzahl? - Kannst du die Zahlen schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen, bis nur noch Primzahlen übrig sind? - Wie oft kommt jede Primzahl in der Zerlegung vor? - Schau dir die Listen der Primfaktoren nebeneinander an.

1. Zerlegung von 60: \(60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\). 2. Zerlegung von 126: \(126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7\). 3. Zerlegung von 270: \(270 = 2 \cdot 135 = 2 \cdot 3 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5\). 4. Vergleich der Faktoren: In allen drei Zerlegungen kommen die Primfaktoren 2 und 3 vor.

\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\) \(126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7\) \(270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5\) Gemeinsame Primfaktoren: 2 und 3.

- Wie kannst du eine Zahl systematisch in ihre kleinsten Bausteine (Primzahlen) zerlegen? - Teiler entstehen, indem man einen oder mehrere Primfaktoren miteinander multipliziert. - Probiere verschiedene Kombinationen der gefundenen Primfaktoren aus. - Hast du wirklich alle Kombinationen geprüft, deren Ergebnis zwischen \(10\) und \(30\) liegt?

1. Durchführung der schrittweisen Zerlegung: \(72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\). Die Primfaktorzerlegung lautet \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\). 2. Kombination der Primfaktoren zur Ermittlung der Teiler im gesuchten Bereich: - \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\) - \(2 \cdot 3 \cdot 3 = 18\) - \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24\) 3. Überprüfung weiterer Kombinationen: Andere Kombinationen wie \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) oder \(3 \cdot 3 = 9\) liegen außerhalb des Bereichs, ebenso wie \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36\). Die gesuchten Teiler sind \(12\), \(18\) und \(24\).

a) \(72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\) b) Die Teiler sind \(12\), \(18\) und \(24\).

- Was passiert mit der Primfaktorzerlegung, wenn man eine Zahl mit einer weiteren Primzahl multipliziert? - Welche Endziffern haben Zahlen, die durch 5 teilbar sind? - Wie viele Teiler muss eine Primzahl genau haben?

1. Berechnung von \(n\): \(2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84\). 2. Das Fünffache von \(n\) entspricht der Multiplikation der bestehenden Zerlegung mit dem Primfaktor 5. Da 5 eine Primzahl ist, lautet die neue Zerlegung \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\). 3. Teilbarkeitsregel für 5: Jede Zahl, die auf 5 endet, ist durch 5 teilbar. Wenn die Zahl größer als 5 ist, hat sie somit mindestens drei Teiler: 1, 5 und sich selbst. Eine Primzahl darf jedoch nur genau zwei Teiler besitzen.

a) \(n = 84\) b) \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\) c) Jede Zahl, die auf 5 endet, ist durch 5 teilbar. Ist sie größer als 5, hat sie mehr als zwei Teiler (1, 5 und die Zahl selbst) und ist somit keine Primzahl.

- Beginne damit, die Zahl so weit wie möglich in kleine Faktoren zu zerlegen, die nicht weiter teilbar sind. - Denke daran, dass jeder Teiler entweder eine Primzahl aus der Zerlegung ist oder durch Multiplikation dieser Primzahlen entsteht. - Vergiss nicht die kleinste und die größte Zahl, die jede Zahl als Teiler hat. - Gehe beim Kombinieren der Faktoren systematisch vor, um keinen Teiler zu übersehen.

1. Die Primfaktorzerlegung lautet \(130 = 2 \cdot 65 = 2 \cdot 5 \cdot 13\). 2. Die Teiler ergeben sich aus allen möglichen Produkten der Primfaktoren: - \(1\) - \(2\), \(5\), \(13\) - \(2 \cdot 5 = 10\), \(2 \cdot 13 = 26\), \(5 \cdot 13 = 65\) - \(2 \cdot 5 \cdot 13 = 130\) 3. Damit ist \(T(130) = \{1; 2; 5; 10; 13; 26; 65; 130\}\). Die Zahl hat insgesamt \(8\) Teiler.

a) \(130 = 2 \cdot 5 \cdot 13\) b) \(T(130) = \{1; 2; 5; 10; 13; 26; 65; 130\}\) c) Die Zahl hat \(8\) Teiler.

- Schreibe für beide Zahlen die vollständige Teilermenge auf. - Vergleiche die Primfaktoren der beiden Zahlen. Was fällt dir auf? - Überlege, was passiert, wenn man zwei gleiche Zahlen miteinander multipliziert im Vergleich zu zwei verschiedenen.

1. Bestimmung der Teiler von \(6\): Die Faktoren sind \(2\) und \(3\). Teiler sind \(1, 2, 3, 6\). Das sind \(4\) Teiler. 2. Bestimmung der Teiler von \(9\): Die Faktoren sind \(3\) und \(3\). Teiler sind \(1, 3, 9\). Das sind \(3\) Teiler. 3. Vergleich: Bei der \(6\) sind die Primfaktoren verschieden. Dadurch entstehen durch Kombination zwei unterschiedliche „mittlere“ Teiler (\(2\) und \(3\)). Bei der \(9\) sind die Primfaktoren identisch. Die Kombination \(3 \cdot 3\) ergibt nur die Zahl selbst, und es gibt keinen weiteren unterschiedlichen Primfaktor außer der \(3\).

a) \(6\) hat \(4\) Teiler: \(1, 2, 3, 6\). b) \(9\) hat \(3\) Teiler: \(1, 3, 9\). c) Bei der \(6\) gibt es zwei verschiedene Primfaktoren, die jeweils eigene Teiler bilden. Bei der \(9\) ist der Primfaktor zweimal derselbe, sodass weniger verschiedene Kombinationen möglich sind.

- Was muss für die Primfaktoren eines Teilers gelten, damit er in die ursprüngliche Zahl „passt“? - Zerlege die Zahlen \(15\), \(20\) und \(25\) ebenfalls in ihre Primfaktoren. - Vergleiche, ob alle benötigten Faktoren in der Zerlegung von \(150\) in ausreichender Anzahl vorhanden sind.

1. Untersuchung von \(15\): Die Primfaktorzerlegung von \(15\) ist \(3 \cdot 5\). Da sowohl eine \(3\) als auch mindestens eine \(5\) in der Zerlegung von \(150\) vorkommen, ist die Aussage wahr. 2. Untersuchung von \(20\): Die Primfaktorzerlegung von \(20\) ist \(2 \cdot 2 \cdot 5\). Damit \(20\) ein Teiler ist, müsste die Primzahl \(2\) zweimal in der Zerlegung von \(150\) vorkommen. Da sie dort nur einmal vorhanden ist, ist die Aussage falsch. 3. Untersuchung von \(25\): Die Primfaktorzerlegung von \(25\) ist \(5 \cdot 5\). Da die Primzahl \(5\) zweimal in der Zerlegung von \(150\) vorkommt, ist die Aussage wahr.

a) Wahr, da \(15 = 3 \cdot 5\) und diese Faktoren in \(150\) enthalten sind. b) Falsch, da \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\), aber in der Zerlegung von \(150\) die \(2\) nur einmal vorkommt. c) Wahr, da \(25 = 5 \cdot 5\) und die \(5\) zweimal in der Zerlegung von \(150\) vorkommt.

- Rechne die Faktoren Schritt für Schritt zusammen, um \(n\) zu finden. - Welche einzelnen Primfaktoren oder Kombinationen von Faktoren ergeben ein Ergebnis zwischen \(10\) und \(20\)? - Schau dir die Primfaktorzerlegung von \(9\) an. - Vergleiche, wie oft die Primzahl \(3\) in der Zerlegung von \(n\) vorkommt und wie oft sie für die \(9\) nötig wäre.

1. Berechnung von \(n\): Durch Multiplikation ergibt sich \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132\). 2. Bestimmung eines Teilers im Bereich: Der Primfaktor \(11\) selbst liegt zwischen \(10\) und \(20\). Eine weitere Möglichkeit ist das Produkt \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). 3. Analyse der Zahl \(9\): Die Primfaktorzerlegung von \(9\) ist \(3 \cdot 3\). Damit \(9\) ein Teiler von \(n\) sein kann, müsste der Primfaktor \(3\) mindestens zweimal in der Zerlegung von \(n\) vorkommen. In der gegebenen Zerlegung \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11\) kommt die \(3\) jedoch nur einfach vor. Somit kann \(9\) kein Teiler sein.

a) \(n = 132\) b) Mögliche Teiler sind \(11\) oder \(12\). c) Die \(9\) benötigt als Primfaktoren \(3 \cdot 3\). In der Zerlegung von \(n\) kommt die \(3\) aber nur einmal vor.

- Kannst du eine Zahl Schritt für Schritt in kleinere Faktoren zerlegen, bis nur noch Primzahlen übrig sind? - Wie lässt sich ein mehrfach vorkommender gleicher Primfaktor als Potenz schreiben? - Erinnere dich an die kleinsten Primzahlen.

1. \(81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4\); \(125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3\); \(64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6\). 2. \(200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2\); \(450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2\).

1. \(81 = 3^4\); \(125 = 5^3\); \(64 = 2^6\). 2. \(200 = 2^3 \cdot 5^2\); \(450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2\).

- Wie kann man zwei Produkte von Primfaktoren zu einem großen Produkt zusammenfassen? - Gehe die Liste der Primzahlen der Größe nach durch: 2, 3, 5, 7, 11, ... - Wenn zwei Zahlen beide einen bestimmten Baustein (Faktor) haben, was bedeutet das für ihre Summe?

1. Berechnung: \(A = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\). \(B = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90\). 2. Produkt \(A \cdot B\): Die Primfaktoren werden kombiniert: \((2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5) = 2^{2+1} \cdot 3^{1+2} \cdot 5^{1+1} = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2\). 3. Primzahlen der Reihe nach: 2, 3, 5 kommen vor. Die nächste Primzahl ist 7, sie kommt in keiner der Zerlegungen vor. 4. Teilbarkeit der Summe: Da der Primfaktor 5 sowohl in der Zerlegung von \(A\) als auch in der von \(B\) enthalten ist, sind beide Zahlen Vielfache von 5. Addiert man zwei Vielfache von 5, ist das Ergebnis ebenfalls durch 5 teilbar.

a) \(A = 60\), \(B = 90\) b) \(2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2\) c) 7 d) Ja, da beide Zahlen den Primfaktor 5 enthalten, sind beide durch 5 teilbar. Somit ist auch ihre Summe durch 5 teilbar.

- Versuche, die Teiler nach der Anzahl der verwendeten Primfaktoren zu sortieren. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, keinen, einen, zwei, drei oder alle vier Buchstaben miteinander zu multiplizieren? - Ein Baumdiagramm oder eine Tabelle könnte helfen, alle Kombinationen der Buchstaben zu finden.

1. Systematische Auflistung der Teiler von \(n = abcd\): - Ohne Primfaktor: \(1\) - Ein Faktor: \(a, b, c, d\) (4 Stück) - Zwei Faktoren: \(ab, ac, ad, bc, bd, cd\) (6 Stück) - Drei Faktoren: \(abc, abd, acd, bcd\) (4 Stück) - Vier Faktoren: \(abcd\) (1 Stück) 2. Addition der Anzahlen: \(1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16\). 3. Für \(210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\) ergibt die Liste: \(1, 2, 3, 5, 7, 6, 10, 14, 15, 21, 35, 30, 42, 70, 105, 210\). Dies sind genau \(16\) Teiler.

a) Teiler: \(1\); \(a, b, c, d\); \(ab, ac, ad, bc, bd, cd\); \(abc, abd, acd, bcd\); \(abcd\). b) Es sind insgesamt \(16\) Teiler. c) Teiler von \(210\): \(1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210\).