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- Wenn du bei den Teilern unsicher bist, liste nacheinander alle Zahlen auf, durch die du ohne Rest teilen kannst. - Für das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du die Vielfachenmengen beider Zahlen aufschreiben, bis du die erste Übereinstimmung findest. - Berechne das Produkt der beiden Zahlen und vergleiche es mit dem \(\text{kgV}\).

1. Bestimmung der Teiler: Teiler von \(24\) sind \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\), Teiler von \(36\) sind \(\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}\). 2. Schnittmenge der Teiler (größer \(1\)): \(\{2, 3, 4, 6, 12\}\). 3. Primfaktorzerlegung für das \(\text{kgV}\): \(24 = 2^3 \cdot 3\) und \(36 = 2^2 \cdot 3^2\). 4. Berechnung des \(\text{kgV}\): \(\text{kgV}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\). 5. Berechnung des Produkts: \(24 \cdot 36 = 864\). 6. Vergleich: \(72 < 864\), die Bedingung ist erfüllt.

a) Die gemeinsamen Teiler sind \(2, 3, 4, 6\) und \(12\). b) Das \(\text{kgV}(24, 36)\) ist \(72\). c) Ja, \(72\) ist kleiner als \(864\).

- Schreibe zuerst einige Zahlen der 4er-Reihe und der 6er-Reihe auf. - Welche Zahlen entdeckst du in beiden Reihen? - Siehst du ein Muster bei den gemeinsamen Zahlen? - Kannst du diese unendliche Menge mit einem einzigen Symbol kurz beschreiben?

1. Auflistung der ersten Vielfachen von 4: \(V(4) = \{4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; \dots\}\) 2. Auflistung der ersten Vielfachen von 6: \(V(6) = \{6; 12; 18; 24; 30; 36; \dots\}\) 3. Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV): Das kleinste gemeinsame Element ist \(12\). 4. Da alle weiteren gemeinsamen Vielfachen wiederum Vielfache des kgV sind, entspricht die gesuchte Menge der Vielfachenmenge von 12: \(V(12)\).

\(V(12)\)

- Gehe die Vielfachen der größeren Zahl durch und prüfe, ob sie auch durch die kleinere Zahl teilbar sind. - Das kgV von zwei Primzahlen ist oft einfach deren Produkt. - Überlege dir für den obersten Stein zuerst die Vielfachen von \(15\).

1. Berechnung des mittleren linken Steins: Das kgV von \(2\) und \(3\) ist die kleinste Zahl, die durch beide ohne Rest teilbar ist. Das ist \(6\). 2. Berechnung des mittleren rechten Steins: Das kgV von \(3\) und \(5\) ist \(15\). 3. Berechnung des Zielsteins oben: Gesucht ist das kgV von \(6\) und \(15\). Die Vielfachen von \(15\) sind \(15, 30, 45, \dots\). Da \(30\) die kleinste dieser Zahlen ist, die auch durch \(6\) teilbar ist, ist das kgV \(30\).

Die mittlere Reihe enthält die Zahlen \(6\) und \(15\). Der oberste Stein ist die \(30\).

- Welche Zahlen zwischen \(10\) und \(30\) kommen überhaupt infrage, wenn der größte gemeinsame Teiler \(6\) sein soll? - Denk daran, dass die Zahlen Vielfache von \(6\) sein müssen. - Wenn du ein Paar gefunden hast, berechne zur Sicherheit noch einmal das \(\text{kgV}\). Ist es wirklich kleiner als \(100\)? - Achte darauf, dass der \(\text{ggT}\) nicht plötzlich größer als \(6\) ist (zum Beispiel bei \(12\) und \(24\)).

1. Mögliche Zahlen zwischen \(10\) und \(30\), die durch \(6\) teilbar sind: \(12, 18, 24, 30\). 2. Prüfung des Paars \((12, 18)\): \(\text{ggT}(12, 18) = 6\). \(\text{kgV}(12, 18) = 36\). Bedingung \(36 < 100\) erfüllt. 3. Prüfung des Paars \((12, 24)\): \(\text{ggT}(12, 24) = 12\). Bedingung \(\text{ggT}=6\) nicht erfüllt. 4. Prüfung des Paars \((18, 24)\): \(\text{ggT}(18, 24) = 6\). \(\text{kgV}(18, 24) = 72\). Bedingung \(72 < 100\) erfüllt. 5. Prüfung des Paars \((18, 30)\): \(\text{ggT}(18, 30) = 6\). \(\text{kgV}(18, 30) = 90\). Bedingung \(90 < 100\) erfüllt. 6. Prüfung des Paars \((24, 30)\): \(\text{ggT}(24, 30) = 6\). \(\text{kgV}(24, 30) = 120\). Bedingung \(120 < 100\) nicht erfüllt.

Mögliche Paare sind zum Beispiel \((12, 18)\), \((18, 24)\) oder \((18, 30)\).

- Schreibe die Reihen beider Zahlen erst einmal untereinander auf. - Gibt es eine Regel für die Endziffern bei Vielfachen von \(5\)? Das könnte die Suche in der anderen Menge erleichtern. - Schreibe so viele Vielfache auf, dass das erste gemeinsame Vielfache in beiden Listen sichtbar ist.

1. Die ersten acht positiven Vielfachen von \(5\) sind \(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40\). 2. Die ersten acht positiven Vielfachen von \(8\) sind \(8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64\). 3. Beim Vergleich der beiden Listen ist \(40\) die erste Zahl, die in beiden vorkommt. Daher ist \(40\) das kleinste gemeinsame positive Vielfache.

a) \(V(5)=\{5;10;15;20;25;30;35;40;\dots\}\) und \(V(8)=\{8;16;24;32;40;48;56;64;\dots\}\) b) Die kleinste gemeinsame positive Zahl ist \(40\).

- Schreibe die Malreihen der beiden Zahlen auf. - Achte darauf, nur Zahlen aufzuschreiben, die kleiner als 100 sind. - Markiere die Zahlen, die in beiden Malreihen vorkommen. - Gibt es ein Muster bei den gemeinsamen Zahlen?

1. Auflistung der Vielfachen von \(8\), die kleiner als \(100\) sind: \(V(8) = \{8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96\}\). 2. Auflistung der Vielfachen von \(12\), die kleiner als \(100\) sind: \(V(12) = \{12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96\}\). 3. Vergleich der Listen und Auswahl der Zahlen, die in beiden Mengen vorkommen: \(\{24; 48; 72; 96\}\).

\(\{24; 48; 72; 96\}\)

- Was bedeutet das Wort „Teiler“? - Kannst du für jede Zahl einzeln alle Zahlen finden, durch die sie ohne Rest teilbar ist? - Welche dieser Zahlen kommen in beiden Listen vor? - Überprüfe systematisch von der 1 an aufwärts, ob die Zahl ein Teiler ist.

1. Bestimmung der Teilermenge von 60: \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\) 2. Bestimmung der Teilermenge von 84: \(T(84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84\}\) 3. Identifikation der gemeinsamen Elemente beider Mengen: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) 4. Angabe der Schnittmenge: \(T(60) \cap T(84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\)

\(\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\)

- Überlege zuerst, welche Zahlen überhaupt als Teiler von 70 infrage kommen. - Prüfe dann für jeden dieser Teiler, ob er auch in der 14er-Reihe vorkommt. - Gibt es eine Obergrenze für die Zahlen, die du untersuchen musst?

1. Bestimmung der Vielfachen von 14: \(V(14) = \{14; 28; 42; 56; 70; 84; \dots\}\) 2. Bestimmung der Teiler von 70: \(T(70) = \{1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70\}\) 3. Abgleich der beiden Mengen: Die Zahl 14 ist in beiden Mengen enthalten. Die Zahl 70 ist in beiden Mengen enthalten. Weitere Vielfache von 14 (wie 84) sind größer als 70 und können daher keine Teiler von 70 sein. 4. Ergebnismenge: \(\{14; 70\}\)

\(\{14; 70\}\)

- Mit welcher der genannten Zahlen solltest du anfangen zu suchen, um schnell voranzukommen? - Erinnerst du dich an die Teilbarkeitsregeln, zum Beispiel für die 3 oder die 4? - Muss man wirklich alle Zahlen von 1 an durchprobieren oder kann man größere Sprünge machen? - Was haben die Zahlen 5 und 10 gemeinsam für die Endziffer der gesuchten Zahl?

1. Suche nach gemeinsamen Vielfachen der größten Zahlen \(8\) und \(10\): \(40, 80, 120, 160, \dots\) 2. Überprüfung der Teilbarkeit durch \(3\) mithilfe der Quersumme: \(40\) (\(4+0=4\), nein), \(80\) (\(8+0=8\), nein), \(120\) (\(1+2+0=3\), ja). 3. Überprüfung der restlichen Bedingungen für die Zahl \(120\): Sie ist gerade (durch \(2\) teilbar), die letzten beiden Ziffern \(20\) sind durch \(4\) teilbar und sie endet auf \(0\) (durch \(5\) teilbar). 4. Die kleinste Zahl, die alle Bedingungen erfüllt, ist \(120\).

Die Zahl lautet \(120\).

- Welche Zahl passt in die Malreihen von 3 und ergibt als kleinstes gemeinsames Vielfaches die 6? - Überprüfe, ob diese Zahl auch mit der 5 das \(\text{kgV}\) 10 ergibt.

1. Wir suchen die mittlere Zahl \(x\) der Basis. Es muss gelten: \(\text{kgV}(3, x) = 6\) und \(\text{kgV}(x, 5) = 10\). 2. Aus \(\text{kgV}(3, x) = 6\) folgt, dass \(x\) ein Teiler von 6 sein muss und die 2 enthalten muss. Mögliche Werte für \(x\) sind \(2\) oder \(6\). 3. Aus \(\text{kgV}(x, 5) = 10\) folgt, dass \(x\) ein Teiler von 10 sein muss. Nur \(x = 2\) erfüllt beide Bedingungen. 4. Den Spitzenstein berechnen: \(\text{kgV}(6, 10) = 30\).

Der fehlende Basisstein ist die \(2\). Der Stein an der Spitze ist die \(30\).

- Schreibe dir für jeden Stein die Einmaleins-Reihen der beiden Zahlen darunter auf. - Markiere die erste Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. - Wenn eine Zahl ein Vielfaches der anderen ist, ist sie automatisch das kgV.

1. Berechne das kgV von \(4\) und \(6\): Die 4er-Reihe ist \(4, 8, 12, ...\); die 6er-Reihe ist \(6, 12, ...\). Das kgV ist \(12\). 2. Berechne das kgV von \(6\) und \(8\): Die 6er-Reihe ist \(6, 12, 18, 24, ...\); die 8er-Reihe ist \(8, 16, 24, ...\). Das kgV ist \(24\). 3. Berechne das kgV von \(12\) und \(24\): Da \(24\) ein Vielfaches von \(12\) ist, ist das kgV genau \(24\).

In der zweiten Reihe stehen die Zahlen \(12\) und \(24\). An der Spitze steht die \(24\).

- Suche eine Zahl, deren Einmaleins-Reihe die \( 12 \) enthält, wobei die \( 12 \) auch im Einmaleins der \( 4 \) vorkommt. - Gehe genauso für die \( 20 \) und die \( 4 \) auf der rechten Seite vor. - Es gibt oft mehrere Möglichkeiten; hier sind die kleinsten gesucht.

1. Linker unterer Stein \( x \): Es gilt \( \text{kgV}(x, 4) = 12 \). Die Vielfachen von \( 4 \) sind \( 4, 8, 12, \dots \). Damit das kgV \( 12 \) ist, muss \( x \) ein Teiler von \( 12 \) sein. Mögliche Werte für \( x \) sind \( 3, 6, 12 \). Die kleinste Lösung ist \( 3 \). 2. Rechter unterer Stein \( y \): Es gilt \( \text{kgV}(4, y) = 20 \). Die Vielfachen von \( 4 \) sind \( 4, 8, 12, 16, 20, \dots \). Damit das kgV \( 20 \) ist, muss \( y \) ein Teiler von \( 20 \) sein. Mögliche Werte für \( y \) sind \( 5, 10, 20 \). Die kleinste Lösung ist \( 5 \). 3. Überprüfung der Spitze: \( \text{kgV}(12, 20) = 60 \). Das passt zum Bild.

Die kleinstmöglichen Zahlen für die äußeren Steine sind \(3\) (links) und \(5\) (rechts). An der Spitze steht die \(60\).

- Es gibt eine hilfreiche Formel, die das Produkt zweier Zahlen mit ihrem \(\text{ggT}\) und \(\text{kgV}\) verbindet. Fällt sie dir ein? - Wenn du die Formel nutzt, kannst du das \(\text{kgV}\) direkt ausrechnen, ohne die Zahlen zu kennen. - Um die Zahlen selbst zu finden: Sie müssen beide durch \(3\) teilbar sein. Welche Paare von Vielfachen von \(3\) haben das Produkt \(180\)? - Überprüfe bei deinen gefundenen Zahlen, ob der größte gemeinsame Teiler wirklich \(3\) ist.

1. Anwendung der Formel: \(a \cdot b = \text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b)\). 2. Einsetzen der Werte: \(180 = 3 \cdot \text{kgV}\). 3. Berechnung: \(\text{kgV} = 180 : 3 = 60\). 4. Suche nach Zahlen \(a, b\): Da \(\text{ggT}(a, b) = 3\), gilt \(a = 3m\) und \(b = 3n\) mit \(\text{ggT}(m, n) = 1\). 5. Einsetzen in das Produkt: \((3m)(3n) = 180 \Rightarrow 9mn = 180 \Rightarrow mn = 20\). 6. Mögliche teilerfremde Paare für \((m, n)\): \((1, 20)\) oder \((4, 5)\). 7. Daraus ergeben sich die Zahlenpaare \((3, 60)\) oder \((12, 15)\).

a) Das \(\text{kgV}\) ist \(60\). b) Mögliche Zahlenpaare sind \((3, 60)\) oder \((12, 15)\).

- Was bedeutet es, wenn zwei Zahlen keine gemeinsamen Teiler außer der 1 haben? - Probiere es mit kleinen Primzahlen als Nenner aus. - Suche nach zwei Zahlen, die beide in derselben Vielfachenfolge vorkommen (z. B. in der 2er-Reihe). Was fällt dir beim kgV auf?

1. Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler \(1\) ist. 2. Beispiel für teilerfremde Nenner: \(3\) und \(5\). Ihre Primfaktorzerlegungen haben keinen gemeinsamen Faktor. Deshalb ist \(\operatorname{kgV}(3, 5) = 3 \cdot 5 = 15\). 3. Beispiel für nicht teilerfremde Nenner: \(4 = 2^2\) und \(6 = 2 \cdot 3\). Im Produkt \(4 \cdot 6 = 24\) kommt der gemeinsame Faktor \(2\) doppelt vor; für das kgV wird er nur in der höchsten benötigten Potenz verwendet. Daher ist \(\operatorname{kgV}(4, 6) = 12 < 24\). 4. Allgemein gilt: Haben zwei Nenner keinen gemeinsamen Primfaktor, enthält ihr Produkt jeden benötigten Primfaktor genau in der für das kgV nötigen Potenz. Haben sie einen gemeinsamen Primfaktor, enthält das Produkt diesen Faktor mehrfach und ist deshalb größer als das kgV. Bens Behauptung ist korrekt.

Ben hat recht. Beispiel für \(\operatorname{kgV} =\) Produkt: Bei den Nennern \(3\) und \(5\) gilt \(\operatorname{kgV}(3, 5) = 15 = 3 \cdot 5\). Beispiel für \(\operatorname{kgV} <\) Produkt: Bei den Nennern \(4\) und \(6\) gilt \(\operatorname{kgV}(4, 6) = 12 < 24 = 4 \cdot 6\).

- Schreibe dir für den ersten Teil beide Mengen ordentlich untereinander auf. - Kannst du bei Teil b) die Vielfachen beider Zahlen nacheinander durchgehen, bis du einen Treffer hast? - Überlege für Teil c), was die größte Zahl in einer Teilermenge und die kleinste Zahl in einer Vielfachenmenge ist.

1. Teilermengen bestimmen: \(T(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) und \(T(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}\). Vergleich der Mengen ergibt die gemeinsamen Teiler: \(\{1, 2, 3, 6\}\). 2. Vielfache auflisten: \(V(10) = \{10, 20, 30, 40, \dots\}\) und \(V(15) = \{15, 30, 45, \dots\}\). Die kleinste gemeinsame Zahl ist 30. 3. \(T(20)\) enthält alle Teiler von 20 (Zahlen \(\le 20\)). \(V(20)\) enthält alle Vielfachen von 20 (Zahlen \(\ge 20\)). Die einzige Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist die 20 selbst.

a) \(T(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\); \(T(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}\). Gemeinsame Zahlen: 1, 2, 3, 6. b) Die Zahl ist 30. c) Ja, die Zahl 20.

- Kannst du zuerst alle Zahlen finden, durch die man die größere Zahl ohne Rest teilen kann? - Welche dieser Zahlen kommen in der 5er-Reihe vor? - Überlege dir, welche Endziffern Vielfache von \(5\) immer haben. - Gehe deine Liste der Teiler Schritt für Schritt durch.

1. Bestimmen aller Teiler von \(60\): \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\). 2. Filtern dieser Menge nach Zahlen, die durch \(5\) teilbar sind (Vielfache von \(5\)). 3. Die resultierenden Zahlen sind \(5, 10, 15, 20, 30\) und \(60\).

\(5; 10; 15; 20; 30; 60\)

- Welche Zahlen unter 100 sind durch 4 und durch 9 teilbar? - Wie viele solcher Zahlen gibt es überhaupt? Liste sie erst einmal auf. - Untersuche dann für diese wenigen Zahlen die Anzahl ihrer Teiler. - Wenn eine Zahl eine ungerade Anzahl an Teilern hat (wie hier 9), was sagt das über die Art der Zahl aus?

1. Bestimmung der gemeinsamen Vielfachen von \(4\) und \(9\), die kleiner als \(100\) sind: Da \(4\) und \(9\) keine gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben, ist das kleinste gemeinsame Vielfache \(4 \cdot 9 = 36\). Das nächste Vielfache ist \(2 \cdot 36 = 72\). Weitere Vielfache (wie \(108\)) sind zu groß. 2. Bestimmung der Teileranzahl von \(36\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Dies sind genau \(9\) Teiler. 3. Bestimmung der Teileranzahl von \(72\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\). Dies sind \(12\) Teiler. 4. Die einzige Zahl, die alle Bedingungen erfüllt, ist \(36\).

Die Zahl heißt \(36\).

- Gehe die Malreihen der beiden Zahlen im Kopf durch. - Welche ist die erste Zahl, die in beiden Reihen auftaucht? - Wenn eine Zahl ein Vielfaches der anderen ist (wie 12 und 60), dann ist die größere Zahl bereits das kgV.

1. Erste Reihe über der Basis: \(\text{kgV}(2, 3) = 6\), \(\text{kgV}(3, 4) = 12\), \(\text{kgV}(4, 5) = 20\). 2. Zweite Reihe über der Basis: \(\text{kgV}(6, 12) = 12\), \(\text{kgV}(12, 20) = 60\). 3. Oberster Stein: \(\text{kgV}(12, 60) = 60\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Reihe 2: \(6, 12, 20\) - Reihe 3: \(12, 60\) - Spitze: \(60\)

- Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die in beiden Einmaleins-Reihen vorkommt. - Gehe Reihe für Reihe von unten nach oben vor. - Wenn zwei Steine unter einem leeren Feld stehen, suche ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches.

1. Zweite Reihe von links nach rechts: \( \text{kgV}(4, 6) = 12 \), \( \text{kgV}(6, 3) = 6 \), \( \text{kgV}(3, 2) = 6 \). 2. Dritte Reihe: \( \text{kgV}(12, 6) = 12 \), \( \text{kgV}(6, 6) = 6 \). 3. Oberster Stein: \( \text{kgV}(12, 6) = 12 \).

Zweite Reihe: \( 12, 6, 6 \) Dritte Reihe: \( 12, 6 \) Spitze: \( 12 \)