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- Stelle dir die Temperaturen auf einer Zahlengeraden vor. - Wie weit ist der Abstand von der negativen Zahl bis zur Null? - Wie weit ist der Abstand von der Null bis zur positiven Zahl? - Welche Rechenoperation hilft dir, den Unterschied zwischen zwei Werten zu bestimmen?

1. Die Ausgangstemperatur liegt bei \(-12\,^\circ\text{C}\). 2. Die Zieltemperatur liegt bei \(+7\,^\circ\text{C}\). 3. Der Temperaturunterschied wird durch die Subtraktion des Anfangswertes vom Endwert berechnet: \(7 - (-12)\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(7 + 12 = 19\).

Die Temperatur ist um \(19\,^\circ\text{C}\) gestiegen.

- Stelle dir ein Thermometer als senkrechte Zahlengerade vor. - Geht es bei einem Temperaturanstieg nach oben oder nach unten? - Überlege, wie viele Schritte du von der Minus-Temperatur bis zur Null gehen musst.

1. Der Startwert wird als negative Zahl \(-9\) festgelegt. 2. Der Temperaturanstieg wird als Addition einer positiven Zahl gewertet: \(-9 + 14\). 3. Die Berechnung ergibt \(5\).

\(5\,^\circ\text{C}\)

- Überlege dir, ob das Geld zu deinem Besitz hinzukommt oder ob es weggeht. - Stell dir vor, wie sich dein Kontostand verändert: Wird der Wert größer oder kleiner? - Welches Vorzeichen nutzt man üblicherweise für etwas, das man besitzt, und welches für etwas, das man jemandem schuldet?

1. Gutschriften erhöhen das Guthaben und werden daher mit einem Pluszeichen versehen: \(+75\,\text{€}\). 2. Auszahlungen verringern das Guthaben und werden mit einem Minuszeichen versehen: \(-40\,\text{€}\). 3. Ein Kontostand im Plus entspricht einer positiven Zahl: \(+12\,\text{€}\). 4. Schulden stellen einen negativen Kontostand dar und erhalten ein Minuszeichen: \(-100\,\text{€}\).

a) \(+75\,\text{€}\) b) \(-40\,\text{€}\) c) \(+12\,\text{€}\) d) \(-100\,\text{€}\)

- Überlege dir, welcher Wert als Nullpunkt (Basis) dient. - Wörter wie „unter“ oder „Tiefe“ deuten oft auf eine bestimmte Richtung auf der Zahlengeraden hin. - Wörter wie „hoch“ oder „über“ weisen in die entgegengesetzte Richtung.

1. Festlegen der Bezugspunkte: „Unter dem Meeresspiegel“ oder „unter dem Gefrierpunkt“ wird mit einem Minuszeichen (\(-\)) gekennzeichnet. „Über dem Meeresspiegel“ wird mit einem Pluszeichen (\(+\)) gekennzeichnet. 2. Zuordnung für a): Da der Punkt unter dem Meeresspiegel liegt, ergibt sich \(-430\). 3. Zuordnung für b): Da der Berg über dem Meeresspiegel liegt, ergibt sich \(+2962\). 4. Zuordnung für c): Eine Tiefe unter der Oberfläche entspricht einem negativen Wert: \(-250\). 5. Zuordnung für d): Temperaturen unter dem Gefrierpunkt sind negativ: \(-18\).

a) \(-430\) b) \(+2962\) c) \(-250\) d) \(-18\)

- Was könnte das Gegenteil von „unter dem Meeresspiegel“ sein? - Stelle dir eine vertikale Zahlengerade vor, die im Wasser steht. - Wo würde die Wasseroberfläche auf dieser Skala liegen?

1. Identifikation der Bedeutung des Vorzeichens: Da negative Werte Tiefen unter dem Meeresspiegel beschreiben, stehen positive Werte für Höhen über dem Meeresspiegel. 2. Interpretation des Wertes \(+2962\,\text{m}\): Dies entspricht einer Höhe von \(2962\,\text{m}\) über dem Meeresspiegel. 3. Interpretation des Wertes \(0\,\text{m}\): Dieser Wert markiert den Bezugspunkt, also genau die Höhe des Meeresspiegels.

Die Angabe \(+2962\,\text{m}\) bedeutet eine Höhe von \(2962\,\text{m}\) über dem Meeresspiegel. Der Wert \(0\,\text{m}\) entspricht genau der Höhe des Meeresspiegels.

- Was passiert, wenn man mehr Geld ausgibt, als man besitzt? - Vergleiche die beiden Beträge: Welcher ist größer? - Wie berechnest du den neuen Kontostand?

1. Da die Abbuchung (\(215\,\text{€}\)) größer ist als das vorhandene Guthaben (\(150\,\text{€}\)), wird das Konto überzogen. Das Ergebnis muss daher negativ sein. 2. Berechnung der Differenz: \(215 - 150 = 65\). 3. Berechnung des neuen Kontostands: \(150 - 215 = -65\). Der neue Kontostand beträgt \(-65\,\text{€}\).

Der neue Kontostand ist negativ, da die Abbuchung das Guthaben übersteigt. Rechnung: \(150\,\text{€} - 215\,\text{€} = -65\,\text{€}\).

- Überlege dir die Schritte auf einer Zahlengeraden. - In welche Richtung bewegst du dich auf der Zahlengeraden, wenn die Temperatur sinkt? - Rechne erst den ersten Temperaturabfall aus und nimm dieses Ergebnis als Startpunkt für den zweiten Abfall.

1. Berechnung der Temperatur um Mitternacht: \(4 - 7 = -3\). Die Temperatur liegt bei \(-3\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der Temperatur am Morgen durch weiteres Absinken: \(-3 - 2 = -5\). Das Thermometer zeigt am Morgen \(-5\,^\circ\text{C}\) an.

\(-5\,^\circ\text{C}\)

- Ein negativer Kontostand bedeutet, dass man der Bank Geld schuldet. - Was passiert mit den Schulden, wenn man Geld einzahlt? - Bleibt am Ende ein Guthaben übrig oder ist das Konto noch im Minus?

1. Der Schuldenbetrag wird als negativer Kontostand dargestellt: \(-180\,\text{€}\). 2. Die Einzahlung wird als positiver Wert addiert: \(-180 + 250\). 3. Das Ergebnis der Addition ist \(70\).

\(70\,\text{€}\)

- Verwende negative Zahlen für Positionen unter dem Meeresspiegel. - Wenn das U-Boot steigt, wird die Zahl auf der Zahlengeraden größer (weniger negativ). - Achte darauf, das Ergebnis wieder als Tiefe anzugeben.

1. Die Tiefe unter dem Meeresspiegel wird als negative Zahl \(-450\) (in Metern) interpretiert. 2. Das Aufsteigen wird als Addition eines positiven Wertes gewertet: \(-450 + 185\). 3. Die Rechnung ergibt \(-265\). 4. Der negative Wert wird wieder als Tiefe unter dem Meeresspiegel formuliert: \(265\,\text{m}\).

\(265\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel

- Stelle dir die Temperaturen auf einer Thermoskala oder einem Zahlenstrahl vor. - Bedeutet ein „Anheben“ der Temperatur, dass der Wert größer oder kleiner wird? - In welche Richtung musst du dich auf dem Zahlenstrahl bewegen, wenn die Temperatur steigt?

1. Bestimmung des Ausgangswerts für die Sprödigkeit: \(-35\,^\circ\text{C}\). 2. Berücksichtigung der Änderung: Die Grenze wird um \(12\) Grad angehoben, was einer Addition von \(12\) entspricht. 3. Berechnung der neuen Temperatur: \(-35 + 12 = -23\). Die neue Grenztemperatur beträgt \(-23\,^\circ\text{C}\).

Der neue Kunststoff wird bei \(-23\,^\circ\text{C}\) spröde.

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis im positiven oder im negativen Bereich liegen muss. - Du startest bei einer positiven Zahl und ziehst eine größere Zahl ab. Wo landest du auf dem Zahlenstrahl? - Eine Skizze eines Thermometers kann dir helfen, den Nullpunkt zu überschreiten.

1. Festlegung der Starttemperatur: \(4\,^\circ\text{C}\). 2. Erfassung der Temperaturänderung: Ein Sinken um \(15\) Grad entspricht einer Subtraktion von \(15\). 3. Berechnung der Endtemperatur: \(4 - 15 = -11\). Die Temperatur an der Hütte beträgt \(-11\,^\circ\text{C}\).

An der Hütte misst der Bergsteiger eine Temperatur von \(-11\,^\circ\text{C}\).

- Überlege dir, ob es vor dem Absinken der Temperatur wärmer oder kälter war als \(-5\,^\circ\text{C}\). - Kannst du die Situation an einer Zahlengeraden oder einem Thermometer skizzieren? - Wenn du vom Endwert aus rückwärts rechnest, musst du das Gegenteil der Temperaturänderung tun.

1. Den Endzustand als negative Zahl identifizieren: \(-5\,^\circ\text{C}\). 2. Die Änderung berücksichtigen: Da die Temperatur gesunken ist, muss zur Berechnung des Ausgangswerts die Änderung addiert werden (Umkehroperation). 3. Rechnung: \(-5 + 9 = 4\). Der Ausgangswert betrug \(4\,^\circ\text{C}\).

Die Temperatur betrug zuvor \(4\,^\circ\text{C}\).

- Wenn der Meeresspiegel bei \(0\) liegt, wie bezeichnest du dann eine Tiefe unter Wasser? - Wenn das U-Boot noch tiefer sinkt, wird der Wert dann größer oder kleiner? - Überlege, ob sich das U-Boot weiter von der Wasseroberfläche entfernt oder ihr näher kommt.

1. Festlegung der Startposition unter dem Meeresspiegel als negative Zahl: \(-85\). 2. Festlegung der Änderung durch weiteres Absinken: \(-40\). 3. Addition der negativen Beträge oder Subtraktion vom negativen Startwert: \(-85 - 40 = -125\). 4. Die neue Position ist \(-125\).

Die Position ist \(-125\) (oder \(125\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel).

- Stelle dir die Stockwerke wie eine vertikale Zahlengerade vor. - In welche Richtung bewegt sich der Fahrstuhl bei „nach oben“ und „nach unten“? - Wenn du am Ziel ankommst, wie kommst du zum Startpunkt zurück?

1. Bestimmung der gesamten Etagenänderung: \(+5 - 8 = -3\). Der Fahrstuhl ist insgesamt \(3\) Etagen tiefer als zu Beginn. 2. Rückwärtsrechnen vom Zielstockwerk \(-2\): Das Gegenteil von „\(3\) Etagen tiefer“ ist „\(3\) Etagen höher“. 3. Berechnung: \(-2 + 3 = 1\). 4. Alternativ schrittweise: Von \(-2\) aus \(8\) Etagen hoch ergibt Ebene \(6\). Von Ebene \(6\) aus \(5\) Etagen runter ergibt Ebene \(1\).

Der Fahrstuhl ist im 1. Obergeschoss gestartet.

- Kannst du die gesamte Änderung der Punkte berechnen? - Was passiert, wenn du vom Endergebnis aus Schritt für Schritt rückwärts rechnest? - Überlege dir, ob Tim am Anfang mehr oder weniger Punkte gehabt haben muss als am Ende.

1. Berechnung der gesamten Änderung des Punktestandes: \(120 - 250 + 40 = -90\). 2. Aufstellen einer Gleichung für den Anfangswert \(x\): \(x - 90 = -30\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(x\): \(x = -30 + 90 = 60\). Der anfängliche Punktestand betrug \(60\) Punkte.

\(60\) Punkte

- Stell dir die Messpunkte auf einer vertikalen Zahlengeraden vor. - Überlege dir bei jedem Paar, ob die Punkte auf verschiedenen Seiten der Null (Meeresspiegel) liegen oder auf derselben. - Wenn ein Punkt oberhalb und einer unterhalb der Null liegt, musst du ihre Abstände zur Null addieren. - Wenn beide Punkte unterhalb der Null liegen, musst du den Abstand zwischen ihnen finden.

1. Berechnung des Unterschieds zwischen Messpunkt A (\(340\,\text{m}\)) und Messpunkt C (\(-25\,\text{m}\)): Die Entfernung auf der Zahlengeraden beträgt \(340 + 25 = 365\,\text{m}\). 2. Berechnung des Unterschieds zwischen Messpunkt D (\(-142\,\text{m}\)) und Messpunkt E (\(-205\,\text{m}\)): Da beide unter Null liegen, berechnet man die Differenz der Beträge: \(205 - 142 = 63\,\text{m}\). 3. Berechnung des maximalen Höhenunterschieds zwischen A (\(340\,\text{m}\)) und E (\(-205\,\text{m}\)): Der Abstand über die Null hinweg beträgt \(340 + 205 = 545\,\text{m}\).

a) Der Höhenunterschied beträgt \(365\,\text{m}\). b) Zwischen dem Seeufer und dem Höhlengrund liegen \(63\,\text{m}\). c) Der gesamte Höhenunterschied beträgt \(545\,\text{m}\).

- Stell dir die Temperaturen auf einer vertikalen Zahlengeraden wie bei einem Thermometer vor. - Überlege, ob die Temperatur gestiegen oder gefallen ist. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der Zahlengeraden?

1. Bestimmung der Differenz zwischen dem Endwert und dem Anfangswert: \(-19\,^\circ\text{C} - (-46\,^\circ\text{C})\) 2. Anwendung der Rechenregel für die Subtraktion negativer Zahlen: \(-19 + 46 = 27\) 3. Die Erwärmung beträgt somit \(27\,^\circ\text{C}\).

Die Luft hat sich um \(27\,^\circ\text{C}\) erwärmt.

- Was bedeutet „unter“ dem Nullpunkt für das Vorzeichen einer Zahl? - Stell dir eine senkrechte Zahlengerade vor, bei der die Null die Wasseroberfläche ist. - Wenn du schon unter Wasser bist und noch tiefer tauchst, wird die Zahl dann größer oder kleiner? - Um den Abstand zwischen zwei Punkten auf verschiedenen Seiten der Null zu finden, kannst du die Abstände beider Punkte zur Null addieren.

1. Positionen unter dem Meeresspiegel werden als negative Zahlen dargestellt: \(-250\). 2. Höhen über dem Meeresspiegel werden als positive Zahlen dargestellt: \(+1850\). 3. Das Absinken von \(-15\) um weitere \(10\) Einheiten führt tiefer in den negativen Bereich: \(-15 - 10 = -25\). 4. Der Höhenunterschied berechnet sich aus dem Abstand zur Null: \(12\) Meter oberhalb plus \(8\) Meter unterhalb ergeben insgesamt \(12 + 8 = 20\,\text{m}\).

a) \(-250\) b) \(+1850\) c) \(-25\) d) \(20\,\text{m}\)

- Stelle dir das Konto wie eine Leiter vor: Einzahlungen führen nach oben, Auszahlungen nach unten. - Was passiert, wenn man mehr ausgibt, als man am Anfang hatte? - Ein Guthaben wird mathematisch meist mit einem Pluszeichen versehen, Schulden mit einem Minuszeichen.

1. Startwert festlegen: \(+85\,\text{€}\). 2. Erste Buchung (Abbuchung): \(85 - 120 = -35\). Der neue Kontostand ist \(-35\,\text{€}\). 3. Zweite Buchung (Gutschrift): \(-35 + 50 = 15\). Der neue Kontostand ist \(+15\,\text{€}\). 4. Dritte Buchung (Zahlung): \(15 - 30 = -15\). Der endgültige Kontostand ist \(-15\,\text{€}\). 5. Interpretation: Das Minuszeichen bedeutet, dass Frau Müller kein Guthaben mehr hat, sondern der Bank \(15\,\text{€}\) schuldet (das Konto ist „im Minus“).

Der Kontostand nach der ersten Buchung ist \(-35\,\text{€}\), nach der zweiten \(+15\,\text{€}\) und am Ende \(-15\,\text{€}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass sie Schulden bei der Bank hat.

- Überlege dir, was das Gegenteil von „Guthaben“, „Gewinn“, „über dem Meeresspiegel“ oder „wärmer werden“ ist. - Was bedeutet die Zahl Null in den jeweiligen Beispielen? - Stelle dir ein Thermometer oder ein Konto vor, um die Richtung der Änderung zu bestimmen.

1. Ein negativer Kontostand bedeutet, dass das Konto im Minus ist bzw. Schulden in Höhe von \(150\,\text{€}\) bestehen. 2. Eine negative Bilanz ist als Verlust zu interpretieren. Bei dem Geschäft wurde ein Verlust von \(40\,\text{€}\) gemacht. 3. Eine negative Höhe bezogen auf den Meeresspiegel bedeutet, dass sich der Taucher \(25\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel befindet. 4. Eine negative Änderung der Temperatur bedeutet, dass die Temperatur gesunken ist. Sie ist um \(8\,^\circ\text{C}\) gefallen.

1. Das Konto ist mit \(150\,\text{€}\) im Minus (Schulden). 2. Es wurde ein Verlust von \(40\,\text{€}\) gemacht. 3. Der Taucher ist \(25\,\text{m}\) tief unter Wasser (unter dem Meeresspiegel). 4. Die Temperatur ist um \(8\,^\circ\text{C}\) gesunken.

- Stelle dir die Etagen wie eine senkrechte Zahlengerade vor. Wo liegen die negativen Zahlen? - „Nach oben fahren“ entspricht einer Addition (positives Vorzeichen), „nach unten fahren“ einer Subtraktion (negatives Vorzeichen). - Wie viele Schritte musst du von der dritten Etage nach unten gehen, um bei Null und dann bei \(-2\) zu landen?

1. Die Etage \(-3\) entspricht dem 3. Untergeschoss (\(3\) Stockwerke unter dem Erdgeschoss). 2. Die Rechnung lautet \(-1 + 4 = 3\). Sie steigt in der 3. Etage aus. 3. Das 2. Untergeschoss entspricht der Zahl \(-2\). Die Fahrt geht von Etage \(3\) zu Etage \(-2\). Die Differenz ist \(-2 - 3 = -5\). Die Fahrt wird als \(-5\) beschrieben.

a) Das Auto steht im 3. Untergeschoss. b) Sie steigt in der 3. Etage aus. c) Die Fahrt wird als \(-5\) beschrieben (sie fährt \(5\) Etagen nach unten).

- Was passiert, wenn du die gemessene Temperatur minus die Zieltemperatur rechnest? - Welches Vorzeichen nutzt man für Werte, die unter dem Zielwert liegen? - Überlege, was ein Unterschied von Null bedeutet.

1. Berechnung der Abweichung für Montag: \(23\,^\circ\text{C} - 20\,^\circ\text{C} = +3\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der Abweichung für Dienstag: \(19\,^\circ\text{C} - 20\,^\circ\text{C} = -1\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung der Abweichung für Mittwoch: \(20\,^\circ\text{C} - 20\,^\circ\text{C} = 0\,^\circ\text{C}\). 4. Berechnung der Abweichung für Donnerstag: \(17\,^\circ\text{C} - 20\,^\circ\text{C} = -3\,^\circ\text{C}\).

Montag: \(+3\,^\circ\text{C}\); Dienstag: \(-1\,^\circ\text{C}\); Mittwoch: \(0\,^\circ\text{C}\); Donnerstag: \(-3\,^\circ\text{C}\).

- Wenn ein Minus einen Rückstand bedeutet, was bedeutet dann ein Plus? - Was passiert mit deinem Kontostand, wenn du Schulden hast und genau denselben Betrag geschenkt bekommst? - Kannst du dir die Punkte auf einer Zahlengeraden vorstellen?

1. Bestimmung der Bedeutung des positiven Vorzeichens: Da \(-10\) ein Defizit (Minus) beschreibt, beschreibt \(+25\) ein Guthaben bzw. einen Vorsprung von \(25\) Punkten. 2. Berechnung des neuen Punktestands für Teilaufgabe b): Startwert \(-5\) erhöht um \(5\) ergibt \(-5 + 5 = 0\). 3. Interpretation des Ergebnisses \(0\): Der Punktestand ist ausgeglichen, es liegen weder Plus- noch Minuspunkte vor.

a) Ein Punktestand von \(+25\) bedeutet, dass man \(25\) Punkte im Plus ist (Guthaben). b) Sie hat jetzt einen Punktestand von \(0\). Das bedeutet, ihr Punktekonto ist genau ausgeglichen (weder im Plus noch im Minus).

- Stelle dir die Temperaturen auf einer senkrechten Zahlengeraden (einem Thermometer) vor. - Überlege dir für jede Änderung, ob du auf der Zahlengeraden nach oben oder nach unten wandern musst. - Rechne Schritt für Schritt von der Starttemperatur aus.

1. Berechnung der ersten Änderung: \(5 + 8 = 13\). Verrechnung der zweiten Änderung: \(13 - 10 = 3\). Die Endtemperatur beträgt \(3\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der ersten Änderung: \(-3 + 6 = 3\). Verrechnung der zweiten Änderung: \(3 - 7 = -4\). Die Endtemperatur beträgt \(-4\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung der ersten Änderung: \(-1 - 4 = -5\). Verrechnung der zweiten Änderung: \(-5 + 5 = 0\). Die Endtemperatur beträgt \(0\,^\circ\text{C}\).

1. \(3\,^\circ\text{C}\) 2. \(-4\,^\circ\text{C}\) 3. \(0\,^\circ\text{C}\)

- Überlege dir: Ist es wärmer oder kälter geworden? - Ein Sinken der Temperatur wird mit einem Minuszeichen dargestellt. - Ein Steigen der Temperatur wird mit einem Pluszeichen dargestellt. - Wenn die Temperatur gleich bleibt, ist die Änderung Null.

Die Temperaturänderung wird berechnet durch: \(\text{Temperatur am Mittag} - \text{Temperatur am Morgen}\). 1. Montag: \(-3 - 2 = -5\). Die Temperatur ist um \(5\,^\circ\text{C}\) gesunken. 2. Dienstag: \(1 - (-5) = +6\). Die Temperatur ist um \(6\,^\circ\text{C}\) gestiegen. 3. Mittwoch: \(-4 - (-4) = 0\). Die Temperatur ist gleich geblieben. 4. Donnerstag: \(-6 - 0 = -6\). Die Temperatur ist um \(6\,^\circ\text{C}\) gesunken.

Montag: \(-5\,^\circ\text{C}\); Dienstag: \(+6\,^\circ\text{C}\); Mittwoch: \(0\,^\circ\text{C}\); Donnerstag: \(-6\,^\circ\text{C}\).

- Stelle dir ein Thermometer wie eine senkrechte Zahlengerade vor. - Was bedeutet „steigen“ und „sinken“ mathematisch für das Vorzeichen? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der Zahlengeraden? - Überlege genau, welcher der drei Werte der kleinste und welcher der größte ist.

1. Berechnung der Mittagstemperatur durch Addition des Anstiegs zum Startwert: \(-6 + 11 = 5\). Die Temperatur am Mittag beträgt \(5\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der Abendtemperatur durch Subtraktion des Abfalls vom Mittagswert: \(5 - 8 = -3\). Die Temperatur am Abend beträgt \(-3\,^\circ\text{C}\). 3. Bestimmung der Extremwerte: Die höchste Temperatur ist \(5\,^\circ\text{C}\) (mittags), die niedrigste ist \(-6\,^\circ\text{C}\) (morgens). 4. Berechnung der Differenz: \(5 - (-6) = 11\). Der Temperaturunterschied beträgt \(11\,^\circ\text{C}\).

a) Die Temperatur am Mittag beträgt \(5\,^\circ\text{C}\). b) Die Temperatur am Abend beträgt \(-3\,^\circ\text{C}\). c) Der Unterschied zwischen der höchsten und der niedrigsten Temperatur beträgt \(11\,^\circ\text{C}\).

- Lies die Werte auf der waagerechten Achse (Uhrzeit) ab und folge der Gitterlinie, um den zugehörigen Wert auf der senkrechten Achse (Temperatur) zu finden. - Achte bei der Berechnung des Temperaturunterschieds gut auf die Vorzeichen der beiden Werte. - Wenn du wissen möchtest, um wie viel Grad die Temperatur gestiegen ist, ziehst du die Starttemperatur von der Endtemperatur ab. Denke dabei an die Rechenregeln für negative Zahlen. - Suche für die letzte Teilaufgabe den Wert \(-8\) auf der senkrechten Achse und schaue, welche Punkte des Graphen genau auf dieser Höhe liegen.

1. **Teilaufgabe a):** - Um die Temperatur um 2:00 Uhr zu bestimmen, suchen wir auf der waagerechten Achse den Wert \(2\). Der zugehörige Punkt auf dem roten Graphen liegt auf der Höhe \(y = -12\). Die Temperatur betrug somit \(-12\,\text{°C}\). - Um die Temperatur um 14:00 Uhr zu bestimmen, suchen wir auf der waagerechten Achse den Wert \(14\). Der zugehörige Punkt auf dem Graphen liegt auf der Höhe \(y = -4\). Die Temperatur betrug somit \(-4\,\text{°C}\). 2. **Teilaufgabe b):** - Der Temperaturanstieg wird berechnet, indem wir die Anfangstemperatur von der Endtemperatur abziehen: \(-4\,\text{°C} - (-12\,\text{°C}) = -4\,\text{°C} + 12\,\text{°C} = 8\,\text{°C}\). - Die Temperatur ist demnach um \(8\,\text{°C}\) gestiegen. 3. **Teilaufgabe c):** - Wir suchen auf der senkrechten Achse den Wert \(-8\,\text{°C}\) und ermitteln die Stellen, an denen der Graph genau diese Höhe schneidet. - Dies ist bei \(8\) Stunden (8:00 Uhr) und bei \(20\) Stunden (20:00 Uhr) der Fall.

a) Um 2:00 Uhr: \(-12\,\text{°C}\); um 14:00 Uhr: \(-4\,\text{°C}\) b) Die Temperatur ist um \(8\,\text{°C}\) gestiegen. c) Um 8:00 Uhr und um 20:00 Uhr.

- Stelle dir den Meeresspiegel als die Zahl \(0\) vor. - Was bedeutet „absinken“ und „aufsteigen“ für das Vorzeichen der Zahl? - Kannst du die Aufgabe in zwei Rechenschritte unterteilen?

1. Bestimmung der Tiefe nach dem Absinken: \(-120 - 150 = -270\). Das Boot ist nun \(270\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel. 2. Bestimmung der Tiefe nach dem Aufstieg: \(-270 + 40 = -230\). Das Tauchboot befindet sich in einer Tiefe von \(230\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel, also bei \(-230\,\text{m}\).

Das Tauchboot befindet sich in einer Tiefe von \(230\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel (Position: \(-230\,\text{m}\)).

- Löse die Aufgabe Schritt für Schritt und bestimme zuerst die Temperatur für Zone B. - Was bedeuten die Begriffe „kälter“ und „wärmer“ mathematisch für deine Rechnung? - Achte darauf, welches Vorzeichen dein jeweiliges Zwischenergebnis hat, bevor du den nächsten Schritt rechnest.

1. Berechnung der Temperatur in Zone B: Da sie \(7\) Grad kälter als Zone A (\(-18\,^\circ\text{C}\)) ist, rechnet man \(-18 - 7 = -25\). Die Temperatur in Zone B beträgt \(-25\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der Temperatur in Zone C: Da sie \(12\) Grad wärmer als Zone B (\(-25\,^\circ\text{C}\)) ist, rechnet man \(-25 + 12 = -13\). Die Temperatur in Zone C beträgt \(-13\,^\circ\text{C}\).

In Zone B herrscht eine Temperatur von \(-25\,^\circ\text{C}\) und in Zone C eine Temperatur von \(-13\,^\circ\text{C}\).

- Was bewirkt eine Gutschrift auf einem Konto? - Welche Umkehroperation macht die Gutschrift rückgängig? - Achte darauf, dass der aktuelle Kontostand bereits negativ ist.

1. Der aktuelle Kontostand beträgt \(-240\,\text{€}\). 2. Da die Gutschrift den Kontostand erhöht hat, wird sie zur Ermittlung des vorherigen Kontostands wieder abgezogen. 3. Rechnung: \(-240 - 125 = -365\). Der vorherige Kontostand betrug \(-365\,\text{€}\).

Der Kontostand vor der Gutschrift betrug \(-365\,\text{€}\).

- Stelle dir den Meeresspiegel als die Zahl \(0\) vor. Alles darunter ist negativ. - Wenn der Roboter tiefer sinkt, wird die Zahl auf der Skala kleiner (negativer). - Um die alte Position zu finden, musst du die \(150\,\text{m}\) wieder „nach oben“ gehen.

1. Die neue Position notieren: \(-620\,\text{m}\). 2. Die Bewegung umkehren: Der Roboter ist gesunken (\(-150\,\text{m}\)), also muss man für die vorherige Position \(150\,\text{m}\) nach oben rechnen. 3. Rechnung: \(-620 + 150 = -470\). Die ursprüngliche Position war \(-470\,\text{m}\).

Der Roboter befand sich zuvor auf einer Position von \(-470\,\text{m}\) (bzw. \(470\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel).

- Überlege, ob Abbuchungen den Kontostand erhöhen oder verringern. - Stelle dir den Kontostand auf einer Zahlengeraden vor. In welche Richtung bewegst du dich bei einer Abbuchung? - Rechne die beiden Abbuchungen nacheinander ein.

1. Kontostand nach der ersten Abbuchung: \(-45 - 30 = -75\). 2. Kontostand nach der zweiten Abbuchung: \(-75 - 25 = -100\).

Der aktuelle Kontostand beträgt \(-100\,\text{€}\).

- Stelle dir die Temperaturen auf einer senkrechten Zahlengeraden (wie einem Thermometer) vor. - Der Unterschied zwischen zwei Werten ist der Abstand zwischen ihnen auf dieser Skala. - Achte darauf, ob sich beide Werte im negativen Bereich befinden oder ob ein Wert positiv und der andere negativ ist. - Um zu berechnen, wie weit eine Temperatur sinkt, subtrahierst du den kleineren Wert vom größeren Wert.

1. Berechnung des Temperaturabfalls an der Bergstation: Die Differenz zwischen \(-11\,^\circ\text{C}\) und \(-24\,^\circ\text{C}\) beträgt \(13\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung des Temperaturabfalls im Tal: Von \(4\,^\circ\text{C}\) bis \(0\,^\circ\text{C}\) sind es \(4\) Grad und von \(0\,^\circ\text{C}\) bis \(-6\,^\circ\text{C}\) weitere \(6\) Grad, insgesamt also \(10\,^\circ\text{C}\). 3. Unterschied der Mittagstemperaturen: Der Abstand zwischen \(4\,^\circ\text{C}\) und \(-11\,^\circ\text{C}\) auf der Zahlengeraden beträgt \(4 - (-11) = 15\,^\circ\text{C}\). 4. Unterschied der Nachttemperaturen: Der Abstand zwischen \(-6\,^\circ\text{C}\) und \(-24\,^\circ\text{C}\) beträgt \(-6 - (-24) = 18\,^\circ\text{C}\).

a) Bergstation: \(13\,^\circ\text{C}\); Tal: \(10\,^\circ\text{C}\) b) Mittags: \(15\,^\circ\text{C}\); nachts: \(18\,^\circ\text{C}\)

- Berechne für jeden Vergleich den Abstand der beiden Werte auf der Thermometerskala. - „Kälter als“ bedeutet, dass du den Abstand zwischen einem höheren (wärmeren) und einem tieferen (kälteren) Wert suchst. - Für den Vergleich in Teilaufgabe c) musst du zwei separate Differenzen berechnen und deren Ergebnisse gegenüberstellen.

1. Unterschied Labor (\(22\,^\circ\text{C}\)) und Gefrierschrank (\(-18\,^\circ\text{C}\)): \(22 - (-18) = 40\,^\circ\text{C}\). 2. Unterschied Spezialbox (\(-78\,^\circ\text{C}\)) und Kühlschrank (\(4\,^\circ\text{C}\)): \(4 - (-78) = 82\,^\circ\text{C}\). 3. Vergleich der Abstände: - Kühlschrank (\(4\,^\circ\text{C}\)) zu Gefrierschrank (\(-18\,^\circ\text{C}\)): \(4 - (-18) = 22\,^\circ\text{C}\). - Gefrierschrank (\(-18\,^\circ\text{C}\)) zu Spezialbox (\(-78\,^\circ\text{C}\)): \(-18 - (-78) = 60\,^\circ\text{C}\). 4. Der Unterschied zwischen Gefrierschrank und Spezialbox (\(60\,^\circ\text{C}\)) ist größer als der zwischen Kühlschrank und Gefrierschrank (\(22\,^\circ\text{C}\)).

a) \(40\,^\circ\text{C}\) b) \(82\,^\circ\text{C}\) c) Der Unterschied zwischen Gefrierschrank und Spezialbox (\(60\,^\circ\text{C}\)) ist größer.

- Was bedeutet ein negativer Kontostand in diesem Zusammenhang? - Versuche, die Buchungen nacheinander rückgängig zu machen. - Welche Rechenoperation gehört zu einer Rechnung, die man bezahlt, und welche zu einer Gutschrift?

1. Zusammenfassung der Buchungen: Eine Abbuchung von \(545\,\text{€}\) und eine Einzahlung von \(210\,\text{€}\) ergeben eine Nettoveränderung von \(-545\,\text{€} + 210\,\text{€} = -335\,\text{€}\). 2. Rückwärtsrechnung vom Endstand aus: Um den Anfangsstand zu erhalten, wird die Nettoveränderung vom Endstand subtrahiert (oder die Einzelbuchungen umgekehrt): \(-185\,\text{€} - (-335\,\text{€}) = -185\,\text{€} + 335\,\text{€} = 150\,\text{€}\). 3. Überprüfung: \(150\,\text{€} - 545\,\text{€} = -395\,\text{€}\), dann \(-395\,\text{€} + 210\,\text{€} = -185\,\text{€}\).

Der Kontostand vor den Buchungen betrug \(150\,\text{€}\).

- Ein negativer Kontostand bedeutet, dass das Konto überzogen ist. - Um die Veränderung zu berechnen, kannst du die Schritte auf einer Zahlengeraden zählen. - Achte darauf, ob der Kontostand steigt oder fällt.

1. Veränderung von Montag (\(+12\,\text{€}\)) zu Dienstag (\(-4\,\text{€}\)): Der Kontostand sank um \(12\,\text{€}\) bis zur Null und weitere \(4\,\text{€}\) ins Minus, also insgesamt um \(16\,\text{€}\). 2. Niedrigster Stand: Am Mittwoch (\(-18\,\text{€}\)). Differenz zu Freitag (\(+22\,\text{€}\)): Der Abstand auf der Zahlengeraden beträgt \(18 + 22 = 40\,\text{€}\). 3. Vergleich der täglichen Änderungen: Mo-Di: \(16\,\text{€}\); Di-Mi: \(14\,\text{€}\) (\(-4\) zu \(-18\)); Mi-Do: \(9\,\text{€}\) (\(-18\) zu \(-9\)); Do-Fr: \(31\,\text{€}\) (\(-9\) zu \(+22\)). Die größte Veränderung fand zwischen Donnerstag und Freitag statt.

a) Der Kontostand ist um \(16\,\text{€}\) gesunken. b) Am Mittwoch war der Stand am niedrigsten (\(-18\,\text{€}\)). Der Unterschied zu Freitag beträgt \(40\,\text{€}\). c) Die größte Veränderung gab es zwischen Donnerstag und Freitag (\(31\,\text{€}\)).

- Was bedeutet die Zahl Null in diesem Zusammenhang? - Hilft es dir, eine Skizze der beiden Positionen unter Wasser zu machen? - Welche Rechenoperation hilft dir, den Unterschied zwischen zwei Positionswerten zu finden?

1. Aufstellen der Rechnung für den Höhenunterschied: \(-125\,\text{m} - (-780\,\text{m})\) 2. Vereinfachung des Ausdrucks durch Auflösen der Klammer: \(-125 + 780 = 655\) 3. Das U-Boot muss eine Strecke von \(655\,\text{m}\) zurücklegen.

Das U-Boot muss \(655\,\text{m}\) nach oben steigen.

- Was ist der gesuchte Wert in dieser Situation? - Stelle dir vor, wie sich das Konto verändert: Ist es eine Addition oder eine Subtraktion? - Wie kannst du den Zustand vor der Änderung berechnen?

1. Aufstellen der Gleichung mit dem Startwert \(x\): \(x - 150 = -35\). 2. Anwendung der Umkehroperation (Addition von \(150\)): \(x = -35 + 150\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 115\). Der ursprüngliche Kontostand betrug \(115\,\text{€}\).

Der Kontostand vor der Abhebung betrug \(115\,\text{€}\).

- Notiere dir die Tiefe für jede Minute, die vergeht. - Denk daran, dass „tiefer als \(110\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel“ bedeutet, dass die Zahl kleiner als \(-110\) sein muss. - Wie verändert sich die Position, wenn der Roboter weiter absinkt?

1. Berechnung der Positionen durch wiederholte Subtraktion von \(15\) (Abstieg): Start: \(-45\,\text{m}\) Nach 1 Minute: \(-45 - 15 = -60\,\text{m}\) Nach 2 Minuten: \(-60 - 15 = -75\,\text{m}\) Nach 3 Minuten: \(-75 - 15 = -90\,\text{m}\) Nach 4 Minuten: \(-90 - 15 = -105\,\text{m}\) Nach 5 Minuten: \(-105 - 15 = -120\,\text{m}\) 2. Überprüfung der Bedingung: \(-120 < -110\). Der Wert von \(-110\,\text{m}\) wird nach 5 Minuten erstmals unterschritten.

Nach 5 Minuten befindet sich der Roboter erstmals in einer Tiefe von mehr als \(110\,\text{m}\).

- Berechne zuerst den Unterschied zwischen der gemessenen Höhe und der Zielhöhe. - Achte beim Ordnen darauf, wo die Zahlen auf der Zahlengeraden liegen. - Welche Zahl liegt am weitesten links?

1. Berechnung der Abweichungen: Messung 1: \(10\,200 - 10\,000 = +200\) Messung 2: \(9750 - 10\,000 = -250\) Messung 3: \(9900 - 10\,000 = -100\) 2. Vergleich der ganzen Zahlen: \(-250\) ist die kleinste Zahl, gefolgt von \(-100\) und schließlich \(+200\). 3. Ordnung: \(-250 < -100 < +200\).

a) Messung 1: \(+200\); Messung 2: \(-250\); Messung 3: \(-100\). b) \(-250 < -100 < +200\).

- Was bedeutet eine negative Zahl in diesem Beispiel für den Ort des Aufzugs? - Hilft dir eine Skizze der Etagen, um die Abstände besser zu sehen? - Achte bei Aufgabenteil c) darauf, dass du nicht nur das Ziel angibst, sondern den Weg dorthin berechnest.

1. Startwert \(2\). Erste Bewegung abwärts: \(2 - 5 = -3\). Zweite Bewegung aufwärts: \(-3 + 2 = -1\). Der Aufzug hält im 1. Untergeschoss (\(-1\)). 2. Startwert \(-1\). Bewegung abwärts: \(-1 - 3 = -4\). Der Aufzug kommt im 4. Untergeschoss (\(-4\)) an. 3. Bestimmung des Abstands zwischen \(-2\) und \(3\): Der Weg von \(-2\) zu \(0\) beträgt \(2\) Etagen, von \(0\) zu \(3\) sind es weitere \(3\) Etagen. Gesamtweg: \(2 + 3 = 5\). Er muss \(5\) Etagen nach oben fahren.

a) Im 1. Untergeschoss (Etage \(-1\)) b) Im 4. Untergeschoss (Etage \(-4\)) c) Er muss \(5\) Etagen nach oben fahren.

- Was bedeutet es für die Bilanz, wenn die Ausgaben höher sind als die Einnahmen? - Berechne zuerst den Unterschied für jeden einzelnen Tag. - Addiere am Ende alle Ergebnisse, um das Gesamtergebnis zu finden. Achte dabei auf die Vorzeichen.

1. Tagesbilanz berechnen (\(\text{Einnahmen} - \text{Ausgaben}\)): Montag: \(145 - 162 = -17\,\text{€}\) Dienstag: \(210 - 185 = +25\,\text{€}\) Mittwoch: \(95 - 130 = -35\,\text{€}\) Donnerstag: \(178 - 178 = 0\,\text{€}\) 2. Gesamtergebnis berechnen: \((-17) + 25 + (-35) + 0 = 8 + (-35) = -27\,\text{€}\).

a) Montag: \(-17\,\text{€}\); Dienstag: \(+25\,\text{€}\); Mittwoch: \(-35\,\text{€}\); Donnerstag: \(0\,\text{€}\). b) Das Gesamtergebnis beträgt \(-27\,\text{€}\).

- Was bedeutet ein negativer Kontostand im Vergleich zu einem positiven Guthaben? - Wenn man Geld ausgibt, wird der Kontostand kleiner. Wenn man Geld einzahlt, wird er größer. - Um den Unterschied zwischen zwei Werten zu finden, bestimme ihren Abstand auf der Zahlengeraden. - Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl.

1. Berechnung der Differenz der Startguthaben: \(12 - (-8) = 20\). Der Unterschied beträgt \(20\,\text{€}\). 2. Berechnung von Julias neuem Kontostand durch Subtraktion des Kaufpreises: \(12 - 15 = -3\). Ihr neuer Kontostand ist \(-3\,\text{€}\). 3. Berechnung von Toms neuem Kontostand durch Addition der Einzahlung: \(-8 + 10 = 2\). Sein neuer Kontostand ist \(2\,\text{€}\). 4. Vergleich der neuen Kontostände: Da \(2 > -3\), hat Tom den höheren Kontostand. 5. Berechnung des neuen Unterschieds: \(2 - (-3) = 5\). Der Unterschied beträgt \(5\,\text{€}\).

a) Der Unterschied beträgt \(20\,\text{€}\). b) Julias neuer Kontostand ist \(-3\,\text{€}\). c) Toms neuer Kontostand ist \(2\,\text{€}\). d) Tom hat den höheren Kontostand; der Unterschied beträgt nun \(5\,\text{€}\).

- Notiere dir nach jeder Fahrt das aktuelle Stockwerk wie bei einer Rechnung auf der Zahlengeraden. - „Nach unten“ bedeutet Minusrechnen, „nach oben“ bedeutet Plusrechnen. - Vergiss nicht, dass der Startpunkt im 5. Stock auch ein Punkt der Fahrt ist. - Um den Abstand zwischen zwei Stockwerken zu finden, kannst du die Schritte auf der Zahlengeraden zählen.

1. Bestimmung der Positionen nach jedem Schritt: Start bei \(5\). Schritt 1: \(5 - 7 = -2\) Schritt 2: \(-2 + 3 = 1\) Schritt 3: \(1 - 4 = -3\) Schritt 4: \(-3 + 2 = -1\) Am Ende befindet sich der Kunde im Stockwerk \(-1\). 2. Vergleich aller erreichten Stockwerke (\(5, -2, 1, -3, -1\)): Der kleinste Wert ist \(-3\). Das tiefste erreichte Stockwerk war somit das 3. Kellergeschoss (\(-3\)). 3. Berechnung des Abstands zwischen dem höchsten Punkt (\(5\)) und dem tiefsten Punkt (\(-3\)): Der Abstand auf der Zahlengeraden beträgt \(5 - (-3) = 8\), also \(8\) Stockwerke.

a) Er befindet sich am Ende im 1. Kellergeschoss (Stockwerk \(-1\)). b) Das tiefste Stockwerk war das 3. Kellergeschoss (Stockwerk \(-3\)). c) Der Abstand beträgt \(8\) Stockwerke.

- Temperaturunterschiede sind wie Abstände auf dem Thermometer. - Wenn du die Mitte zwischen zwei Werten suchst, bestimme zuerst den gesamten Abstand und halbiere ihn. - Überlege bei Teil b), ob die Temperatur steigt oder sinkt.

1. Temperaturunterschied Fach 1 (\(6\,^\circ\text{C}\)) und Fach 3 (\(-15\,^\circ\text{C}\)): Die Differenz beträgt \(6 - (-15) = 21\,^\circ\text{C}\). 2. Erwärmung von Fach 4 (\(-28\,^\circ\text{C}\)) nach Fach 2 (\(-2\,^\circ\text{C}\)): Die Temperatur steigt um \(28 - 2 = 26\,^\circ\text{C}\). 3. Mitte zwischen \(+6\) und \(-28\): Der Gesamtabstand beträgt \(6 + 28 = 34\,^\circ\text{C}\). Die Hälfte des Abstands ist \(17\,^\circ\text{C}\). Von \(+6\) aus \(17\) Grad nach unten (oder von \(-28\) aus \(17\) Grad nach oben) ergibt \(6 - 17 = -11\,^\circ\text{C}\).

a) Der Unterschied beträgt \(21\,^\circ\text{C}\). b) Die Probe wird um \(26\,^\circ\text{C}\) erwärmt. c) Fach 5 muss eine Temperatur von \(-11\,^\circ\text{C}\) haben.