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- Wie bestimmt man die Entfernung zwischen zwei Punkten auf einem Zahlenstrahl? - Hilft es dir, die Zahlenpaare kurz auf einer Skizze einzuzeichnen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl von einer anderen abzieht?

1. Berechnung des Abstands für jedes Zahlenpaar mittels der Betragsdifferenz \(|a - b|\): a) \(|1 - (-12)| = 13\) b) \(|-1 - (-13)| = 12\) c) \(|2 - (-10)| = 12\) d) \(|7 - (-5)| = 12\) 2. Vergleich der berechneten Abstände: Der größte Abstand beträgt 13.

a) -12 und 1

- Kannst du dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vorstellen? - Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Zahlen? - Was passiert, wenn du vom kleineren Wert aus genau die Hälfte des Abstands weitergehst? - Kennst du eine Rechenoperation, mit der man den Mittelwert von zwei Zahlen bestimmt?

Um die Mitte zwischen zwei Zahlen zu finden, kann man entweder den Abstand berechnen und die Hälfte davon zu der kleineren Zahl addieren oder den Durchschnitt berechnen. 1. Berechnung für a): \((-14 + (-2)) : 2 = -16 : 2 = -8\). 2. Berechnung für b): \((-3 + 9) : 2 = 6 : 2 = 3\). 3. Berechnung für c): \((-1 + 1) : 2 = 0 : 2 = 0\). 4. Berechnung für d): \((-10 + 20) : 2 = 10 : 2 = 5\).

a) \(-8\) b) \(3\) c) \(0\) d) \(5\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Einheiten die beiden Zahlen voneinander entfernt sind. - Wie weit ist jede der Zahlen von der Null entfernt? Addiere diese Teilstrecken. - Um die Mitte zu finden, kannst du die Gesamtdistanz halbieren und vom Startpunkt aus abzählen.

1. Berechnung des Abstands der Zahlen: \(6 - (-14) = 6 + 14 = 20\). Da der Abstand zwischen zwei Zahlen \(1\,\text{cm}\) beträgt, entspricht dies einer Länge von \(20\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Mitte: Der halbe Abstand beträgt \(20 : 2 = 10\). Ausgehend von \(-14\) liegt die Mitte bei \(-14 + 10 = -4\). Alternativ: \((-14 + 6) : 2 = -8 : 2 = -4\).

a) Die Länge der Strecke beträgt \(20\,\text{cm}\). b) Die Zahl \(-4\) liegt genau in der Mitte.

- Stell dir die Temperaturen auf einem senkrechten Thermometer wie auf einer Zahlengeraden vor. - Wie viele Schritte sind es von \(-9\) bis zur Null und wie viele von der Null bis zur \(3\)? - Wenn du den gesamten Unterschied kennst, wie viele Schritte musst du von der kältesten Temperatur aus gehen, um genau in der Mitte zu landen?

1. Berechnung der Temperaturdifferenz: Um von \(-9\) auf \(0\) zu kommen, steigt die Temperatur um \(9\,^\circ\text{C}\). Von \(0\) bis \(+3\) sind es weitere \(3\,^\circ\text{C}\). Insgesamt beträgt der Anstieg \(9 + 3 = 12\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung des Mittelwerts: Die Hälfte des Anstiegs beträgt \(12\,^\circ\text{C} : 2 = 6\,^\circ\text{C}\). Addiert man diesen Wert zur Starttemperatur, erhält man \(-9 + 6 = -3\). Der mittlere Wert ist also \(-3\,^\circ\text{C}\).

a) Die Temperatur ist um \(12\,^\circ\text{C}\) gestiegen. b) Der Wert \(-3\,^\circ\text{C}\) liegt genau in der Mitte.

- Überlege dir, welche Zahlen auf der Zahlengeraden rechts von der kleineren und links von der größeren Zahl stehen. - Vergiss nicht, die Null mitzuzählen, wenn sie im Bereich liegt. - Die Randzahlen selbst sollen nicht mitgezählt werden.

1. Identifikation der ganzen Zahlen, die größer als \(-6\) und kleiner als \(3\) sind: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\). 2. Abzählen dieser Werte ergibt insgesamt \(8\) ganze Zahlen.

Es liegen \(8\) ganze Zahlen dazwischen. Es sind: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\).

- Was passiert, wenn sich eine Zahl durch eine Addition gar nicht verändert? - Welche besondere Rolle spielt die Null auf der Zahlengeraden? - Wie nennt man eine Zahl, die den gleichen Abstand zur Null hat wie eine andere, aber auf der gegenüberliegenden Seite liegt?

1. Da sich der Wert \(-12\) durch die Addition von \(x\) nicht verändert, muss keine Bewegung auf der Zahlengeraden stattgefunden haben. Somit ist \(x = 0\). 2. Um von \(+44\) zur \(0\) zu gelangen, muss man sich genau um den Betrag der Zahl in die entgegengesetzte Richtung bewegen. Die Gegenzahl von \(+44\) ist \(-44\), also ist \(x = -44\).

a) \(x = 0\) b) \(x = -44\)

- Überlege dir, wie viele Schritte du auf der Zahlengeraden von einer Zahl zur anderen gehen musst. - Helfen dir die Beträge der Zahlen weiter? - Macht es einen Unterschied, ob beide Zahlen auf derselben Seite der Null liegen oder auf verschiedenen Seiten?

1. Der Abstand zwischen zwei negativen Zahlen wird berechnet, indem man den kleineren Betrag vom größeren Betrag subtrahiert: \( 22 - 7 = 15 \). 2. Bei unterschiedlichen Vorzeichen addiert man die Beträge der Zahlen: \( 18 + 12 = 30 \). 3. Der Abstand einer Zahl zu ihrer Gegenzahl entspricht dem doppelten Betrag: \( 55 + 55 = 110 \). 4. Differenz der Beträge bei gleichen Vorzeichen: \( 140 - 95 = 45 \).

a) \( 15 \) b) \( 30 \) c) \( 110 \) d) \( 45 \)

- Was bedeutet das Wort „zwischen“ für die Randzahlen \(-6\) und \(+2\)? - Erinnere dich daran, dass der Abstand einer Zahl zur Null immer positiv (oder Null) ist. - Es hilft, sich die Zahlen auf einer Skala oder einem Lineal vorzustellen.

1. Auflistung aller ganzen Zahlen zwischen \(-6\) und \(+2\): \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\). 2. Bestimmung der Abstände dieser Zahlen zur Null: \(|-5|=5\), \(|-4|=4\), \(|-3|=3\), \(|-2|=2\), \(|-1|=1\), \(|0|=0\), \(|1|=1\). 3. Vergleich der Abstände mit dem Wert \(2\): Gesucht sind Zahlen mit Abstand \(> 2\). 4. Identifikation der Zahlen: Die Zahlen \(-5\), \(-4\) und \(-3\) haben einen Abstand von \(5\), \(4\) bzw. \(3\), was jeweils größer als \(2\) ist.

Die Zahlen zwischen \(-6\) und \(+2\) sind \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\). Davon haben die Zahlen \(-5\), \(-4\) und \(-3\) einen größeren Abstand zur Null als die Zahl \(2\).

- Überlege zuerst, wie viele Einheiten (Schritte) auf der Zahlengeraden zwischen den beiden Werten liegen. - Beachte, dass ein Schritt hier nicht \(1\,\text{cm}\) lang ist, sondern eine andere Länge hat. - Hilft es dir, den Abstand zur Null als Zwischenschritt zu nutzen?

1. Berechnung des Abstands in Einheiten für Aufgabenteil a): Da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben, addiert man ihre Beträge: \(|-5| + |+8| = 5 + 8 = 13\). Multiplikation mit dem Maßstab: \(13 \cdot 2\,\text{cm} = 26\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Abstands in Einheiten für Aufgabenteil b): Da beide Zahlen negativ sind, subtrahiert man den kleineren vom größeren Betrag: \(|-12| - |-3| = 12 - 3 = 9\). Multiplikation mit dem Maßstab: \(9 \cdot 2\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\).

a) \(26\,\text{cm}\) b) \(18\,\text{cm}\)

- Ein Abstand kann auf der Zahlengeraden in zwei verschiedene Richtungen abgetragen werden. - Welche Rechenoperationen nutzt du, um dich auf der Zahlengeraden nach rechts oder nach links zu bewegen?

1. Bestimmung der Koordinate rechts von \(P\): Man addiert den Abstand zum Ausgangswert: \(-14 + 25 = 11\). 2. Bestimmung der Koordinate links von \(P\): Man subtrahiert den Abstand vom Ausgangswert: \(-14 - 25 = -39\).

\(+11\) und \(-39\)

- Wenn \(M\) die Mitte ist, wie verhalten sich dann die Abstände \(AM\) und \(MB\) zueinander? - Wie viele Schritte musst du auf der Zahlengeraden von \(A\) gehen, um zu \(M\) zu gelangen? - In welche Richtung musst du von \(M\) aus weitergehen, um zu \(B\) zu kommen?

1. Bestimmung des Abstands von \(A\) zu \(M\): Von \(-6\) bis \(0\) sind es \(6\) Einheiten, von \(0\) bis \(2\) sind es \(2\) Einheiten. Der Gesamtabstand beträgt \(6 + 2 = 8\) Einheiten. 2. Da \(M\) die Mitte ist, muss Punkt \(B\) den gleichen Abstand von \(M\) haben wie \(A\). 3. Berechnung der Position von \(B\): \(2 + 8 = 10\). Der Punkt \(B\) liegt somit bei der Zahl \(10\).

\(10\)

- Wie kannst du für jedes Paar testen, welche Zahl genau in der Mitte liegt? - Was muss gelten, damit eine Zahl genau in der Mitte von zwei anderen liegt? - Kannst du eine Rechnung aufstellen, um die Mitte eines Paares schnell zu bestimmen?

Um das Zentrum zu finden, wird für jedes Paar der Mittelwert berechnet: 1. Überprüfung Paar A: \((-12 + 0) : 2 = -12 : 2 = -6\). Dies ist nicht \(-5\). 2. Überprüfung Paar B: \((-9 + (-1)) : 2 = -10 : 2 = -5\). Dies entspricht der gesuchten Zahl. 3. Überprüfung Paar C: \((-7 + (-1)) : 2 = -8 : 2 = -4\). Dies ist nicht \(-5\). Somit ist Paar B das richtige Zahlenpaar.

Paar B

- Schreibe dir für den ersten Teil alle Zahlen zwischen den Grenzen auf und suche den Mittelpunkt. - Was bedeutet es für zwei Zahlen, wenn sie direkt nebeneinander auf der Zahlengeraden liegen?

1. Zu a): Bestimmung der Zahlen zwischen \(-5\) und \(1\), dies sind \(-4, -3, -2, -1, 0\). Die mittlere Position in dieser Sequenz von fünf Zahlen wird von der \(-2\) eingenommen. 2. Zu b): Da \(-40\) und \(-39\) unmittelbar aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind, existiert keine weitere ganze Zahl in diesem Intervall.

a) Die Zahl \(-2\). b) Nein, da es sich um direkt benachbarte ganze Zahlen handelt.

- Bestimme zuerst für jedes Paar einzeln, welche Zahlen sich im Zwischenraum befinden. - Achte darauf, dass „dazwischen“ bedeutet, dass die genannten Zahlen selbst nicht dazugehören. - Vergleiche am Ende die beiden Anzahlen.

1. Untersuchung von Paar A: Zwischen \(-10\) und \(-7\) liegen die Zahlen \(-9\) und \(-8\). Das sind \(2\) ganze Zahlen. 2. Untersuchung von Paar B: Zwischen \(-2\) und \(2\) liegen \(-1, 0\) und \(1\). Das sind \(3\) ganze Zahlen. 3. Vergleich: Da \(3 > 2\), liegen bei Paar B mehr Zahlen dazwischen.

Bei Paar B liegen mehr ganze Zahlen dazwischen. Bei Paar A sind es \(2\) Zahlen, bei Paar B sind es \(3\) Zahlen.

- Überlege dir, ob du dich nach rechts (positive Zahl addieren) oder nach links (negative Zahl addieren) bewegen musst. - Wie weit ist der Startwert von der Null entfernt? - Musst du über die Null hinausgehen, um das Ziel zu erreichen?

1. Um von \(-520\) zu \(0\) zu gelangen, müssen \(520\) Einheiten addiert werden. Von \(0\) bis \(+180\) sind es weitere \(180\) Einheiten. Die Gesamtsumme ist \(520 + 180 = 700\). 2. Um von \(+75\) zu \(-25\) zu gelangen, muss man sich auf der Zahlengeraden nach links bewegen. Der Abstand zur Null beträgt \(75\) Einheiten, und von dort aus weitere \(25\) Einheiten in den negativen Bereich. Die gesuchte Zahl ist \(-(75 + 25) = -100\).

a) \(700\) b) \(-100\)

- Wie weit liegen die beiden Punkte voneinander entfernt? - Wenn du die Mitte suchst, kannst du auch schrittweise von beiden Seiten gleichzeitig nach innen gehen. - Achte beim Zählen darauf, ob die Zahlen \(-8\) und \(4\) selbst zur Menge gehören sollen oder nicht.

1. Berechnung des Gesamtabstands zwischen \(-8\) und \(4\): \(4 - (-8) = 12\). 2. Bestimmung der Mitte durch Halbierung des Abstands: \(12 : 2 = 6\). 3. Berechnung der mittleren Zahl ausgehend von \(-8\): \(-8 + 6 = -2\). 4. Bestimmung der Anzahl der ganzen Zahlen zwischen \(-8\) und \(4\): Die Zahlen sind \(-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\). 5. Zählen der Elemente: Es sind \(11\) ganze Zahlen. Alternativ über die Differenz: \((4 - (-8)) - 1 = 11\).

Die Zahl \(-2\) liegt genau in der Mitte. Zwischen \(-8\) und \(+4\) liegen insgesamt \(11\) ganze Zahlen.

- Berechne für den ersten Teil die Differenzen zwischen den jeweiligen Koordinaten. - Denk daran, dass ein Abstand immer ein positiver Wert ist. - Wie kannst du den Gesamtabstand zwischen den äußeren Punkten berechnen, wenn du die Teilabstände zum mittleren Punkt bereits kennst?

1. Berechnung des Abstands zwischen \(R\) und \(S\): \(|4 - (-18)| = 4 + 18 = 22\) Einheiten. 2. Berechnung des Abstands zwischen \(S\) und \(T\): \(|22 - 4| = 18\) Einheiten. 3. Vergleich der Abstände: Da \(22 > 18\), liegt der Punkt \(R\) weiter von \(S\) entfernt. 4. Berechnung des Abstands zwischen \(R\) und \(T\): \(|22 - (-18)| = 22 + 18 = 40\) Einheiten.

a) Der Punkt \(R\) liegt weiter entfernt (Abstand \(22\) gegenüber \(18\)). b) \(40\) Einheiten

- Achte darauf, dass eine Länge in Zentimetern hier nicht dasselbe ist wie der Unterschied zwischen den Zahlen. Rechne zuerst die Zentimeter in Einheiten um. - Wenn du die gesamte Länge in Einheiten kennst, wie weit ist dann jeder Endpunkt von der Mitte entfernt? - Gehe von der Mitte aus einmal nach links (minus) und einmal nach rechts (plus), um die gesuchten Zahlen zu finden.

1. Umrechnung der zeichnerischen Länge in Einheiten: Da \(1\,\text{cm}\) zwei Einheiten entspricht, hat die Strecke eine Gesamtlänge von \(6 \cdot 2 = 12\) Einheiten. 2. Bestimmung der Entfernung der Endpunkte zur Mitte: Da \(-5\) in der Mitte liegt, befinden sich die Endpunkte jeweils die halbe Einheitenlänge davon entfernt: \(12 : 2 = 6\) Einheiten. 3. Berechnung der Endpunkte: Der linke Endpunkt liegt bei \(-5 - 6 = -11\). Der rechte Endpunkt liegt bei \(-5 + 6 = 1\).

Die Endpunkte der Strecke sind die Zahlen \(-11\) und \(1\).

- Kannst du die Aufgabe umkehren? Wenn du weißt, wo du ankommst, wie findest du heraus, wo du gestartet bist? - Wenn das Addieren einer negativen Zahl dich nach links bringt, in welche Richtung musst du gehen, um den Startpunkt zu finden? - Skizziere dir die Punkte im Kopf: Liegt der Startpunkt links oder rechts vom Ziel?

1. In der Gleichung \(x + (-150) = -200\) führt eine Verschiebung um \(150\) Einheiten nach links zum Ziel \(-200\). Um den Startpunkt \(x\) zu finden, geht man vom Ziel \(-200\) aus \(150\) Einheiten nach rechts: \(-200 + 150 = -50\). 2. In der Gleichung \(x + (+300) = +50\) führt eine Verschiebung um \(300\) Einheiten nach rechts zum Ziel \(+50\). Um den Startpunkt \(x\) zu finden, geht man vom Ziel \(+50\) aus \(300\) Einheiten nach links: \(50 - 300 = -250\).

a) \(x = -50\) b) \(x = -250\)

- Berechne für die ersten beiden Teilaufgaben jeweils die Differenz oder nutze die Betragsregel bei unterschiedlichen Vorzeichen. - Erinnere dich daran, was der Betrag einer Zahl über ihre Lage auf der Zahlengeraden aussagt. - Wie bestimmt man mathematisch, wie weit eine Zahl von der Null entfernt ist?

1. Abstand \( a \) zu \( b \): Da die Vorzeichen verschieden sind, addiert man die Beträge \( |-32| + |12| = 32 + 12 = 44 \). 2. Abstand \( b \) zu \( c \): Da die Vorzeichen verschieden sind, addiert man die Beträge \( |12| + |-58| = 12 + 58 = 70 \). 3. Vergleich der Abstände zur Null: \( |a| = 32 \), \( |b| = 12 \), \( |c| = 58 \). Da \( 58 \) der größte Wert ist, hat \( c \) den größten Abstand zur Null.

a) \( 44 \) b) \( 70 \) c) Die Zahl \( c = -58 \) liegt am weitesten von der Null entfernt, da ihr Betrag \( |-58| = 58 \) am größten ist.