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- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Gibt es zu einem positiven Abstand immer nur eine Zahl oder können es mehrere sein? - Denk daran, dass auch die Null eine ganze Zahl ist.

1. Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Für den Betrag \(17\) kommen die Zahlen \(17\) und \(-17\) infrage. 2. Ganze Zahlen mit einem Betrag kleiner als \(3\) haben einen Abstand zur Null von \(0\), \(1\) oder \(2\). Dies sind die Zahlen \(-2, -1, 0, 1, 2\). 3. Nur die Zahl \(0\) hat den Abstand \(0\) zur Null, also ist ihr Betrag \(0\).

a) \(-17\) und \(17\) b) \(-2, -1, 0, 1, 2\) c) \(0\)

- Erinnere dich an die Bedeutung des Betrags auf der Zahlengeraden. - Gibt es auf der Zahlengeraden verschiedene Punkte, die gleich weit von der Null entfernt sind? - Was ist die Gegenzahl einer Zahl?

1. Definition des Betrags: Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Zahl \(0\) auf der Zahlengeraden an. 2. Suche nach Zahlen mit gleichem Abstand: Auf der Zahlengeraden liegen die Zahl \(a\) und ihre Gegenzahl \(-a\) jeweils genau \(a\) Einheiten von der Null entfernt. 3. Beispiel wählen: Für die Zahlen \(5\) und \(-5\) gilt \(|5| = 5\) und \(|-5| = 5\). 4. Ergebnis: Da es zu jeder Zahl (außer der Null) eine Gegenzahl mit demselben Abstand zum Nullpunkt gibt, ist die Antwort ja.

Ja, das ist möglich. Jede Zahl und ihre Gegenzahl (außer der Null) haben denselben Betrag. Beispiel: \(|12| = 12\) und \(|-12| = 12\).

- Wie berechnet man den Betrag einer negativen Zahl? - Was gibt der Betrag über die Lage einer Zahl auf der Zahlengeraden an? - Vergleiche am Ende einfach die beiden Abstände (die Beträge) miteinander.

1. Bestimmung des Betrags von \(-12\): Der Abstand von \(-12\) zu \(0\) ist \(12\), also \(|-12| = 12\). 2. Bestimmung des Betrags von \(10\): Der Abstand von \(10\) zu \(0\) ist \(10\), also \(|10| = 10\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(12 > 10\) ist, hat die Zahl \(-12\) den größeren Abstand zur Null.

Die Zahl \(-12\) hat den größeren Abstand zur Null, da \(|-12| = 12\) und \(|10| = 10\) gilt und \(12 > 10\) ist.

- Erinnere dich daran, dass der Abstand zur Null immer dem Betrag der Zahl entspricht. - Lies die Aufgabenstellung genau: Werden alle ganzen Zahlen gesucht oder nur ein bestimmter Teil (z. B. nur negative)? - Es hilft, sich die Zahlen auf einer Zahlengeraden vorzustellen.

1. Der Abstand zur Null entspricht dem Betrag. Gesucht sind Zahlen \(x\) mit \(4 < |x| < 8\). Die möglichen Beträge sind \(5, 6\) und \(7\). Dies ergibt die Zahlen \(\{-7, -6, -5, 5, 6, 7\}\). 2. Der Betrag soll kleiner als \(5\) sein, also \(|x| \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Da nur negative ganze Zahlen gesucht sind, kommen nur \(\{-4, -3, -2, -1\}\) infrage.

a) \(-7, -6, -5, 5, 6, 7\) b) \(-4, -3, -2, -1\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man die Gegenzahl einer Zahl bildet? - Überlege dir, welche Bedeutung der Betrag einer Zahl auf der Zahlengeraden hat. - Gibt es Zahlen, die kein Vorzeichen haben?

1. Umkehrung des Vorzeichens der Gegenzahl \(-25\) ergibt die Zahl \(25\). 2. Eine negative Zahl mit dem Abstand \(14\) zum Nullpunkt ist die \(-14\). 3. Eine positive Zahl mit dem Abstand \(8\) zum Nullpunkt ist die \(8\). 4. Die einzige Zahl, für die \(x = -x\) gilt, ist die \(0\).

a) \(25\) b) \(-14\) c) \(8\) d) \(0\)

- Überlege dir zuerst, was der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet. - Wie drückt man „gleich weit“, „näher“ oder „weiter weg“ mathematisch mit Symbolen wie \(=\), \(<\) oder \(>\) aus? - Erinnere dich daran, dass der Betragsstrich den Abstand einer Zahl zur Null angibt.

1. Der Abstand einer Zahl \(z\) von der Null wird durch den Betrag \(|z|\) ausgedrückt. 2. „Derselbe Abstand“ bedeutet Gleichheit: \(|-14| = |+14|\). 3. „Näher an der Null“ bedeutet ein kleinerer Betrag: \(|-5| < |-9|\). 4. „Weniger weit entfernt“ bedeutet ebenfalls ein kleinerer Betrag: \(|+2| < |-3|\).

a) \(|-14| = |+14|\) b) \(|-5| < |-9|\) c) \(|+2| < |-3|\)

- Überlege dir, wo die Zahlen auf einer Zahlengeraden liegen. Was bedeutet es für die Größe einer Zahl, wenn sie weiter links oder weiter rechts steht? - Erinnere dich daran, dass der Betrag einer Zahl ihr Abstand zur Null ist. Ein Abstand kann niemals negativ sein. - Bei Teilaufgabe b) sortierst du nicht die Werte der Zahlen selbst, sondern schaust nur darauf, wie weit sie von der Null entfernt sind.

1. Vergleich der Zahlen auf der Zahlengeraden: Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie. Negative Zahlen sind kleiner als Null, positive Zahlen sind größer als Null. Ergebnis: \(-12 < -8 < -5 < 0 < 5 < 7\). 2. Berechnung der Beträge (Abstand zur Null): \(|-12| = 12\), \(|7| = 7\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(|5| = 5\), \(|-8| = 8\). 3. Sortierung der ursprünglichen Zahlen nach diesen Betragswerten: \(0\) (Betrag \(0\)), \(5\) und \(-5\) (beide Betrag \(5\)), \(7\) (Betrag \(7\)), \(-8\) (Betrag \(8\)), \(-12\) (Betrag \(12\)).

a) \(-12 < -8 < -5 < 0 < 5 < 7\) b) \(0; 5; -5; 7; -8; -12\) (Hinweis: Die Reihenfolge von \(5\) und \(-5\) kann vertauscht sein, da ihre Beträge gleich sind.)

- Überlege dir, welche Zahl kleiner ist – diese liegt auf der Zahlengeraden weiter links. - Der Abstand zur Null ist immer eine positive Zahl oder Null, egal ob die Zahl selbst positiv oder negativ ist. - Stell dir die Zahlen auf einer Skala vor, wie bei einem Thermometer oder einem Lineal.

1. Vergleich der Position auf der Zahlengeraden: Die kleinere Zahl liegt stets weiter links. a) Wegen \(-22 < 18\) liegt \(-22\) weiter links. b) Wegen \(-50 < -45\) liegt \(-50\) weiter links. c) Wegen \(-5 < 15\) liegt \(-5\) weiter links. 2. Vergleich der Abstände zur Null (Beträge): a) \(|-22| = 22\) und \(|18| = 18\); da \(22 > 18\), hat \(-22\) den größeren Abstand. b) \(|-50| = 50\) und \(|-45| = 45\); da \(50 > 45\), hat \(-50\) den größeren Abstand. c) \(|15| = 15\) und \(|-5| = 5\); da \(15 > 5\), hat \(15\) den größeren Abstand.

a) Weiter links: \(-22\); Größerer Abstand: \(-22\) b) Weiter links: \(-50\); Größerer Abstand: \(-50\) c) Weiter links: \(-5\); Größerer Abstand: \(15\)

- Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. Welche Zahl liegt am weitesten links? - Was gibt der Betrag einer Zahl über ihre Position im Vergleich zur Null an? - Denke daran, dass der Betrag einer negativen Zahl immer positiv ist.

1. Für Aufgabenteil a) werden die negativen Zahlen, die Null und die positiven Zahlen verglichen. Da bei negativen Zahlen diejenige mit dem größeren Betrag die kleinere Zahl ist, ergibt sich die Reihenfolge: \(-26 < -25 < -12 < -3 < 0 < 12 < 24\). 2. Für Aufgabenteil b) werden zunächst die Beträge berechnet: \(|-25|=25\), \(|12|=12\), \(|-3|=3\), \(|-12|=12\), \(|0|=0\), \(|24|=24\), \(|-26|=26\). 3. Die Beträge lauten sortiert: \(0 < 3 < 12 = 12 < 24 < 25 < 26\). 4. Die Zuordnung der ursprünglichen Zahlen nach der Größe ihrer Beträge ergibt: \(0; -3; 12; -12; 24; -25; -26\) (die Position von \(12\) und \(-12\) ist austauschbar).

a) \(-26 < -25 < -12 < -3 < 0 < 12 < 24\) b) \(0; -3; 12; -12; 24; -25; -26\) (Hinweis: \(12\) und \(-12\) können getauscht werden)

- Überlege dir zuerst, wie weit jede der beiden Zahlen von der Null entfernt ist. - Welche Zahl hat den kleineren Abstand? - Verwende die Betragsstriche, um diese Abstände mathematisch zu benennen.

1. Bestimmung der Abstände zur Null: Der Abstand von \(-8\) zur Null ist \(|-8| = 8\). Der Abstand von \(-6\) zur Null ist \(|-6| = 6\). 2. Vergleich der Zahlenwerte: Da \(6 < 8\) ist, liegt die Zahl \(-6\) näher am Nullpunkt. 3. Formulierung in Kurzschreibweise: Der kleinere Abstand wird zuerst genannt, also \(|-6| < |-8|\).

Die Zahl \(-6\) liegt näher am Nullpunkt. Der Vergleich lautet: \(|-6| < |-8|\).

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ anschaulich auf der Zahlengeraden? - Wenn eine Zahl eine Lösung ist, ist dann auch ihre Gegenzahl eine Lösung? - Achte genau auf die Formulierungen „größer als“ und „kleiner oder gleich“.

1. Bestimmung der möglichen Werte für den Betrag: Die Bedingung \(7 < |z| \le 11\) bedeutet, dass der Betrag der Zahl \(8\), \(9\), \(10\) oder \(11\) sein kann. 2. Bestimmung der zugehörigen ganzen Zahlen: Da sowohl eine positive Zahl als auch ihre Gegenzahl denselben Betrag haben, ergeben sich für jeden Betrag zwei Lösungen. 3. Auflistung aller Zahlen: Die gesuchten Zahlen sind \(-11\), \(-10\), \(-9\), \(-8\), \(8\), \(9\), \(10\) und \(11\).

Die Zahlen sind \(-11, -10, -9, -8, 8, 9, 10, 11\).

- Überlege dir, was der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet. - Probiere verschiedene Beispiele aus: eine positive Zahl, eine negative Zahl und die Null. - Vergleiche jeweils den Wert der Zahl mit ihrem Abstand zur Null.

1. Definition des Betrags als Abstand einer Zahl zur Null auf der Zahlengeraden nutzen. 2. Für positive ganze Zahlen und die Null ist der Abstand zur Null identisch mit dem Wert der Zahl: \(|x| = x\) für \(x \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}\). 3. Für negative ganze Zahlen ist der Abstand zur Null eine positive Zahl, während die Zahl selbst negativ ist. Da eine positive Zahl immer größer als eine negative Zahl ist, gilt hier \(|x| > x\). 4. Da in allen Fällen entweder \(|x| = x\) (für \(x \ge 0\)) oder \(|x| > x\) (für \(x < 0\)) gilt, kann der Betrag niemals kleiner als die Zahl selbst sein.

a) Dies gilt für alle nicht-negativen ganzen Zahlen (also die \(0\) und alle positiven ganzen Zahlen). b) Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl zur Null an und ist daher nie negativ. Für positive Zahlen ist der Betrag gleich der Zahl, für negative Zahlen ist der Betrag (positiv) immer größer als die Zahl selbst. Somit kann der Betrag nie kleiner als die Zahl sein.

- Probiere die Rechnung mit einer positiven Zahl aus. - Überlege, was passiert, wenn du eine negative Zahl für die Rechnung einsetzt. - Denke daran, dass der Betrag einer Zahl immer ihr Abstand zur Null ist und somit nie negativ sein kann.

1. Prüfung für positive Zahlen: Wählt man eine positive Zahl, zum Beispiel \(7\), so ist ihr Betrag \(|7| = 7\). Die Rechnung \(7 - 7 = 0\) bestätigt die Aussage für diesen Fall. 2. Prüfung für negative Zahlen: Wählt man eine negative Zahl, zum Beispiel \(-4\), so ist ihr Betrag \(|-4| = 4\). Die Rechnung \(-4 - 4 = -8\) zeigt ein Ergebnis ungleich \(0\). 3. Schlussfolgerung: Da die Aussage für negative Zahlen nicht zutrifft, ist sie insgesamt falsch.

Die Aussage ist falsch. Bei negativen Zahlen ist das Ergebnis nicht \(0\). Beispiel: \(-5 - |-5| = -5 - 5 = -10\).

- Was bedeutet der Begriff „Gegenzahl“ für eine negative Zahl? - Erinnere dich daran, wie man den Betrag einer Zahl bestimmt. - Achte auf die Reihenfolge: Was wird von was subtrahiert?

1. Berechnung der Summe von \(-54\) und \(21\): \(-54 + 21 = -33\) 2. Bestimmung des Betrags dieser Summe: \(|-33| = 33\) 3. Bestimmung der Gegenzahl von \(-18\): \(18\) 4. Subtraktion der Gegenzahl vom Betrag: \(33 - 18 = 15\)

Der Wert des Terms ist \(15\).

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl für ihr Vorzeichen? - Erinnere dich an die Regel für das Rechnen mit „Minus vor der Klammer“. - Berechne zuerst die Werte innerhalb der Betragsstriche oder Klammern.

1. Berechnung von Teil a: Zuerst wird der Betrag bestimmt: \(|-42| = 42\). Dann folgt die Addition und die Auflösung der Klammer: \(42 + 58 + 100 = 200\). 2. Berechnung von Teil b: Zuerst wird der Wert innerhalb des Betrags berechnet: \(15 - 40 = -25\). Der Betrag davon ist \(|-25| = 25\). Die Klammer ergibt \(12 - 30 = -18\). Schließlich wird addiert: \(25 + (-18) = 25 - 18 = 7\).

a) \(200\) b) \(7\)

- Stell dir die Zahlengerade vor oder skizziere sie im Kopf. - Was bedeutet „Abstand“ mathematisch? - Wie hängen Gegenzahl und das Vorzeichen zusammen?

1. Die einzige Zahl, die bei der Spiegelung an der Null auf sich selbst abgebildet wird, ist die \(0\). Somit ist die Gegenzahl von \(0\) ebenfalls \(0\). 2. Der Betrag gibt den Abstand zur Null an. Die Zahlen \(12\) (rechts von der Null) und \(-12\) (links von der Null) haben beide den Abstand \(12\). 3. Ausgehend von der \(2\) gelangt man \(5\) Einheiten nach links zur Zahl \(-3\) (\(2 - 5 = -3\)). Da die gesuchte Zahl links von der Null liegen soll, ist es die \(-3\). Ihre Gegenzahl ist \(3\).

a) \(0\) b) \(12\) und \(-12\) c) Die Zahl ist \(-3\), ihre Gegenzahl ist \(3\).

- Was bedeutet das Symbol für den Betrag auf der Zahlengeraden? - Welche Zahlen haben einen Abstand von genau \(2\) zur Null? - Gibt es auch Zahlen zwischen diesen beiden Werten, deren Abstand zur Null kleiner als \(2\) ist? - Vergiss die Null nicht!

1. Der Betrag \(|z|\) entspricht dem Abstand der Zahl \(z\) zur Null auf der Zahlengeraden. 2. Die Bedingung \(|z| \le 2\) bedeutet, dass der Abstand höchstens \(2\) Einheiten betragen darf. 3. Die Zahl mit dem Abstand \(0\) ist \(0\). 4. Die Zahlen mit dem Abstand \(1\) sind \(1\) und \(-1\). 5. Die Zahlen mit dem Abstand \(2\) sind \(2\) und \(-2\). 6. Zusammengefasst erfüllen die Zahlen \(-2, -1, 0, 1\) und \(2\) die Bedingung.

Die Zahlen sind \(-2, -1, 0, 1\) und \(2\).

- Was bewirken die senkrechten Striche um eine Rechnung? - In welcher Reihenfolge rechnet man, wenn keine Klammern die Priorität ändern? - Erinnere dich daran, wie man den Abstand einer Zahl zur Null nennt.

1. Berechnung der Differenz innerhalb der Betragsstriche: \(30 - 75 = -45\). 2. Bestimmung des Betrags: \(|-45| = 45\). 3. Subtraktion der nächsten Zahl: \(45 - 20 = 25\). 4. Addition des letzten Summanden: \(25 + 15 = 40\).

\(40\)

- Was gibt der Betrag einer Zahl an, wenn du an ihren Abstand zur Null auf der Zahlengeraden denkst? - Hat das Vorzeichen einer Zahl einen Einfluss auf ihren Betrag? - Schreibe dir zuerst alle Beträge einzeln auf, bevor du mit dem Sortieren beginnst.

1. Bestimmung der Beträge der einzelnen Zahlen: \(|24| = 24\), \(|-13| = 13\), \(|-35| = 35\), \(|7| = 7\), \(|-2| = 2\), \(|0| = 0\), \(|19| = 19\). 2. Sortieren der berechneten Beträge der Größe nach: \(0 < 2 < 7 < 13 < 19 < 24 < 35\).

Die Beträge sind \(0, 2, 7, 13, 19, 24, 35\).

- Berechne für jede Teilaufgabe zuerst den Wert der Beträge. - Vergleiche erst dann die so entstandenen „normalen“ Zahlen. - Denk daran, dass eine negative Zahl immer kleiner ist als eine positive Zahl oder Null.

1. Zu a): \(|-25| = 25\). Da \(25 > 20\), ist das Zeichen \(>\). 2. Zu b): \(|-14| = 14\). Da eine negative Zahl immer kleiner als eine positive Zahl ist, gilt \(-14 < 14\). Das Zeichen ist \(<\). 3. Zu c): \(|-8| = 8\) und \(|-12| = 12\). Da \(8 < 12\), ist das Zeichen \(<\). 4. Zu d): \(|-101| = 101\). Da \(100 < 101\), ist das Zeichen \(<\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(<\) d) \(<\)

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ im Zusammenhang mit der Null auf der Zahlengeraden? - Denke daran, dass eine positive und eine negative Zahl denselben Abstand zur Null haben können. - Vergiss bei der Liste der ganzen Zahlen die Null nicht.

1. Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Die Zahlen mit dem Abstand \(25\) sind \(25\) und \(-25\). 2. Ganze Zahlen \(z\) mit \(|z| \leq 2\) sind \(-2, -1, 0, 1, 2\). 3. Es gibt genau zwei ganze Zahlen mit dem Betrag \(75\), nämlich \(75\) und \(-75\).

1. \(25\) und \(-25\) 2. \(-2, -1, 0, 1, 2\) 3. Zwei Zahlen: \(75\) und \(-75\)

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Gibt es verschiedene Zahlen, die den gleichen Abstand zur Null haben? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen einer Zahl auf ihren Wert im Vergleich zum Betrag auswirkt. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass eine allgemeine Regel nicht immer stimmt?

1. Teilaufgabe a: Suche nach zwei Zahlen mit gleichem Abstand zur Null, von denen eine kleiner als die andere ist. Eine negative Zahl ist immer kleiner als ihr positiver Gegenpart, während ihre Beträge gleich sind. Beispiel: \(a = -5\) und \(b = 5\). Es gilt \(-5 < 5\) und \(|-5| = |5| = 5\). 2. Teilaufgabe b: Prüfung der Gleichheit der Zahlen bei Betragsgleichheit. Da der Betrag den Abstand zur Null angibt, haben eine Zahl und ihre Gegenzahl denselben Betrag. Gegenbeispiel: \(x = -3\) und \(y = 3\). Hier gilt \(|-3| = |3| = 3\), aber \(-3 \neq 3\). Die Aussage ist somit falsch.

a) Zum Beispiel \(a = -5\) und \(b = 5\) (jede Zahl und ihre Gegenzahl sind möglich). b) Nein, die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(x = -3\) und \(y = 3\), da \(|-3| = |3|\), aber \(-3 \neq 3\).

- Was bedeutet die Formulierung „zwischen“ oder „größer als ... und kleiner als ...“ für die Auswahl der Zahlen? - Achte auf Wörter wie „höchstens“ – gehört die genannte Zahl dann noch dazu? - Bei der Frage nach der Anzahl hilft es, die Zahlen systematisch aufzuschreiben (zuerst die Null, dann die Paare).

1. Für \(9 < |z| < 12\) muss der Betrag \(10\) oder \(11\) sein. Die entsprechenden ganzen Zahlen sind \(-11, -10, 10, 11\). 2. „Höchstens \(2\)“ bedeutet \(|z| \le 2\). Das gilt für die Zahlen \(-2, -1, 0, 1, 2\). 3. Ein Betrag kleiner als \(6\) bedeutet \(|z| \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Für den Betrag \(0\) gibt es eine Zahl (\(0\)), für jeden der Beträge \(1\) bis \(5\) gibt es jeweils zwei Zahlen (eine positive und eine negative). Das sind \(1 + 5 \cdot 2 = 11\) Zahlen.

a) \(-11, -10, 10, 11\) b) \(-2, -1, 0, 1, 2\) c) \(11\)

- Kannst du eine kleine Tabelle anlegen, um die drei Werte für jeden Fall zu ordnen? - Erinnere dich daran, dass der Betrag immer der Abstand zur Null ist. - Wie hängen Zahl und Gegenzahl zusammen?

1. Für die Zahl \(-31\) ist der Betrag \(|-31| = 31\) und die Gegenzahl \(-(-31) = 31\). 2. Ein Betrag von \(19\) bei einer negativen Zahl führt zur Zahl \(-19\). Ihr Betrag ist \(19\) und ihre Gegenzahl ist \(19\). 3. Ist die Gegenzahl \(50\), so muss die ursprüngliche Zahl \(-50\) sein. Ihr Betrag ist \(|-50| = 50\). 4. Eine Position \(7\) Einheiten rechts der Null entspricht der Zahl \(7\). Ihr Betrag ist \(7\) und ihre Gegenzahl ist \(-7\).

a) Zahl: \(-31\), Betrag: \(31\), Gegenzahl: \(31\) b) Zahl: \(-19\), Betrag: \(19\), Gegenzahl: \(19\) c) Zahl: \(-50\), Betrag: \(50\), Gegenzahl: \(50\) d) Zahl: \(7\), Betrag: \(7\), Gegenzahl: \(-7\)

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ einer Zahl anschaulich? - Gibt es zu jedem Betrag (außer der Null) nur eine einzige Zahl oder vielleicht zwei? - Vergiss bei deiner Suche die Null nicht. - „Kleiner als \(6\)“ bedeutet, dass die \(6\) selbst nicht mehr dazugehört.

1. Definition des Betrags: Der Abstand einer Zahl zur Null. 2. Bedingung: \(|z| < 6\). Das bedeutet, der Abstand zur Null muss \(0, 1, 2, 3, 4\) oder \(5\) betragen. 3. Bestimmung der entsprechenden negativen Zahlen: \(-5, -4, -3, -2, -1\). 4. Bestimmung der Null und der entsprechenden positiven Zahlen: \(0, 1, 2, 3, 4, 5\). 5. Zusammenführen und Sortieren: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

\(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\)

- Was gibt der Betrag einer Zahl an? Berechne diesen Wert zuerst für jede der drei Zahlen. - Welche Zahl hat den kleinsten Wert, wenn man nur auf die Entfernung zur Null schaut? - Verwende die Betragsstriche, um diese Entfernungen in einer Kette aufzuschreiben.

1. Bestimmung der Abstände zur Null durch Bildung der Beträge: \(|-22| = 22\), \(|+17| = 17\), \(|-11| = 11\). 2. Vergleich der berechneten Abstände: \(11 < 17 < 22\). 3. Ersetzen der Werte durch die entsprechenden Betragsterme: \(|-11| < |+17| < |-22|\).

\(|-11| < |+17| < |-22|\)

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, den Abstand einer Temperatur von der Null-Grad-Marke zu bestimmen? - Vergleiche die beiden Abstände miteinander. Welches Zeichen (\(>\) oder \(<\)) passt hier?

1. Bestimmung des Abstands der ersten Temperatur zur Null: \(|-12| = 12\). 2. Bestimmung des Abstands der zweiten Temperatur zur Null: \(|+10| = 10\). 3. Vergleich der Abstände: Da \(12 > 10\), ist der Abstand von \(-12\) größer als der von \(+10\). 4. Mathematische Formulierung mit Betragszeichen: \(|-12| > |+10|\).

\(|-12| > |+10|\)

- Der Betrag des Punktestands gibt an, wie viele Punkte der Punktestand vom Nullpunkt entfernt ist, egal ob es Plus- oder Minuspunkte sind. - Welche Zahl in der Liste ist am nächsten an der Null? Das hilft dir bei Teilaufgabe a). - Für Teilaufgabe b) schreibst du dir am besten erst alle Abstände zur Null auf und sortierst diese Zahlen dann.

1. Bestimmung der Beträge der Punktestände: Spieler A: \(25\), Spieler B: \(18\), Spieler C: \(12\), Spieler D: \(22\), Spieler E: \(3\). 2. Identifikation des kleinsten Betrags: Der Wert \(3\) ist der kleinste, was zu Spieler E gehört. 3. Sortierung der Beträge in absteigender Reihenfolge: \(25 > 22 > 18 > 12 > 3\). 4. Zuordnung der Spieler zu diesen Werten: Spieler A (\(25\)), Spieler D (\(22\)), Spieler B (\(18\)), Spieler C (\(12\)), Spieler E (\(3\)).

a) Spieler E b) Spieler A, Spieler D, Spieler B, Spieler C, Spieler E

- Bei negativen Zahlen gilt: Je größer ihr Betrag ist, desto kleiner ist die Zahl. - Der Betrag gibt an, wie weit eine Zahl von der Null entfernt ist. - Kann ein Betrag jemals kleiner als Null sein?

1. Sortierung der Zahlen nach ihrem Wert: Negative Zahlen sind kleiner als Null, und Null ist kleiner als positive Zahlen. Unter negativen Zahlen ist diejenige mit dem größeren Betrag die kleinere. Ergebnis: \(-17 < -14 < -2 < 0 < 9 < 13\). 2. Bestimmung der Beträge: \(|-17|=17\), \(|-14|=14\), \(|-2|=2\), \(|0|=0\), \(|9|=9\), \(|13|=13\). 3. Vergleich der Beträge: Der größte Wert ist \(17\), der zu \(-17\) gehört. Der kleinste Wert ist \(0\), der zu \(0\) gehört.

a) \(-17 < -14 < -2 < 0 < 9 < 13\) b) \(-17\) c) \(0\)

- Berechne zuerst die Beträge in den Ausdrücken, bevor du die Seiten vergleichst. - Das Vergleichszeichen öffnet sich zur größeren Zahl; die Spitze zeigt zur kleineren Zahl. - Achte genau darauf, ob Betragsstriche gesetzt sind oder nicht.

1. Vergleich der Werte: a) Auf der Zahlengeraden liegt \(-13\) rechts von \(-15\), also ist \(-13 > -15\). b) Die Beträge berechnen: \(|-18| = 18\) und \(|18| = 18\). Da \(18 = 18\), gilt \(|-18| = |18|\). c) Den Betrag berechnen: \(|-7| = 7\). Da \(7 > 6\), gilt \(|-7| > 6\). d) Den Betrag berechnen: \(|-1| = 1\). Da \(0 < 1\), gilt \(0 < |-1|\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\) d) \(<\)

- „Absteigend“ bedeutet, dass du mit der größten Zahl anfängst und zur kleinsten gehst. - Prüfe für jede Zahl einzeln, wie weit sie von der Null entfernt ist. - Achte genau darauf, ob die Zahl \(20\) selbst die Bedingung „kleiner als 20“ erfüllt.

1. In Aufgabenteil a) erfolgt die absteigende Sortierung (von groß nach klein). Die positiven Zahlen sind größer als die negativen. Unter den negativen Zahlen ist diejenige mit dem kleinsten Betrag am größten. Die Reihenfolge ist: \(20; 15; 8; -2; -15; -38; -40\). 2. In Aufgabenteil b) wird der Betrag jeder Zahl geprüft: \(|-40|=40\), \(|15|=15\), \(|-15|=15\), \(|8|=8\), \(|-2|=2\), \(|-38|=38\), \(|20|=20\). 3. Die Zahlen, deren Betrag echt kleiner als \(20\) ist, sind: \(15; -15; 8; -2\).

a) \(20; 15; 8; -2; -15; -38; -40\) b) \(15; -15; 8; -2\)

- Zwei unterschiedliche Zahlen können denselben Abstand zur Null haben. Welche sind das hier? - Berechne am besten zuerst alle Beträge und schreibe sie dir unter die Zahlen. - Vergleiche dann einfach die positiven Ergebnisse deiner Betragsrechnung.

1. Zuerst werden die Beträge aller Zahlen bestimmt: \(|-9|=9\), \(|14|=14\), \(|-21|=21\), \(|0|=0\), \(|-14|=14\), \(|5|=5\), \(|-2|=2\). 2. Zu a): Die Zahlen \(14\) und \(-14\) haben beide den Betrag \(14\). 3. Zu b): Die berechneten Beträge werden sortiert: \(0 < 2 < 5 < 9 < 14 = 14 < 21\). 4. Die entsprechenden Zahlen in dieser Reihenfolge sind: \(0; -2; 5; -9; 14; -14; -21\).

a) \(14\) und \(-14\) b) \(0; -2; 5; -9; 14; -14; -21\) (Hinweis: \(14\) und \(-14\) können getauscht werden)

- Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am nächsten bei der Null? - Überlege dir zuerst, welche Beträge zwischen den genannten Grenzen liegen. - Beachte den Unterschied zwischen ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen.

1. Teilaufgabe a): Der Betrag einer ganzen Zahl ist ihr Abstand zur Null. Die einzige ganze Zahl, deren Abstand zur Null kleiner als \(1\) ist, ist die Zahl \(0\) selbst, da \(|0| = 0\). 2. Teilaufgabe b): Die Bedingung für den Betrag lautet \(99 < |n| < 103\). Die möglichen Werte für den Betrag sind also \(100\), \(101\) und \(102\). 3. Da nur natürliche Zahlen gesucht sind (positive ganze Zahlen), entfallen die negativen Werte. Die Zahlen sind \(100\), \(101\) und \(102\).

a) \(0\) b) \(100, 101, 102\)

- Ein Gegenbeispiel ist ein Fall, in dem die Voraussetzung erfüllt ist, aber die Schlussfolgerung nicht stimmt. - Denke an negative Zahlen. Kann eine Zahl mit einem sehr großen Betrag trotzdem sehr klein sein? - Wähle für \(a\) eine negative Zahl und für \(b\) eine positive Zahl.

1. Wähle eine negative Zahl für \(a\), deren Betrag groß ist, zum Beispiel \(a = -10\). 2. Wähle eine positive Zahl für \(b\), deren Betrag halb so groß ist, zum Beispiel \(b = 5\). 3. Berechne die Beträge: \(|a| = |-10| = 10\) und \(|b| = |5| = 5\). Die Bedingung \(|a| = 2 \cdot |b|\) ist erfüllt (\(10 = 2 \cdot 5\)). 4. Vergleiche die ursprünglichen Zahlen: \(-10 < 5\). 5. Da \(a\) trotz des größeren Betrags kleiner als \(b\) ist, ist die Behauptung widerlegt.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(a=-10\) und \(b=5\). Es gilt \(|a|=10\) und \(|b|=5\), also \(|a|=2\cdot|b|\). Zugleich gilt \(-10<5\). Damit ist die Behauptung widerlegt.

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du die Gegenzahl einer Zahl bildest? - Denke daran, dass die Gegenzahl von \(0\) wieder \(0\) ist. - Auf der Zahlengeraden liegen Zahlen mit dem gleichen Betrag immer gleich weit von der Null entfernt.

1. Gegenzahlen bestimmen: Die Gegenzahl von \(-12\) ist \(12\), von \(7\) ist \(-7\), von \(0\) ist \(0\), von \(-5\) ist \(5\). 2. Die verschiedenen Zahlen sind \(-12, 7, 0, -5, 12, -7, 5\). 3. Sortierung: \(-12 < -7 < -5 < 0 < 5 < 7 < 12\). 4. Paare verschiedener Zahlen mit gleichem Betrag sind \(-12\) und \(12\), \(-7\) und \(7\) sowie \(-5\) und \(5\). Die Zahl \(0\) hat keine von ihr verschiedene Gegenzahl.

a) Die Gegenzahlen sind \(12\), \(-7\), \(0\) und \(5\). b) \(-12 < -7 < -5 < 0 < 5 < 7 < 12\) c) Die Paare sind \(\{-12; 12\}\), \(\{-7; 7\}\) und \(\{-5; 5\}\).

- Was gibt der Betrag einer Zahl über ihre Position auf der Zahlengeraden im Verhältnis zur Null an? - Haben positive und negative Zahlen immer einen positiven Betrag? - Achte darauf, in Aufgabenteil b) die Originalzahlen aus der Liste hinzuschreiben, nicht deren Beträge.

1. Berechnung der Beträge (Abstand zur Null): \(|-34| = 34\), \(|12| = 12\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(|42| = 42\), \(|-17| = 17\). 2. Vergleich der berechneten Betragswerte: \(0 < 5 < 12 < 17 < 34 < 42\). 3. Zuordnung der ursprünglichen Zahlen zu diesen Werten: Die Reihenfolge nach aufsteigendem Betrag ist \(0, -5, 12, -17, -34, 42\).

a) Die Beträge sind: \(34, 12, 5, 0, 42, 17\). b) Die Sortierung nach dem Betrag lautet: \(0, -5, 12, -17, -34, 42\).

- Schreibe dir zuerst für jede Zahl ihren Abstand zur Null auf. - Welche Zahl liegt am nächsten an der Null? - Welche Zahl ist am weitesten von der Null entfernt?

1. Bestimmung aller Beträge: \(|-12|=12, |5|=5, |-8|=8, |2|=2, |-1|=1, |10|=10\). 2. Identifikation des kleinsten Betrags: Der Wert \(1\) ist der kleinste, er gehört zur Zahl \(-1\). 3. Identifikation des größten Betrags: Der Wert \(12\) ist der größte, er gehört zur Zahl \(-12\). 4. Aufstellen der Ordnung der Beträge: \(1 < 2 < 5 < 8 < 10 < 12\). Dies entspricht der Reihenfolge der Beträge von \(-1, 2, 5, -8, 10, -12\).

a) Die Zahl \(-1\) hat den kleinsten Betrag (\(1\)). b) Die Zahl \(-12\) hat den größten Betrag (\(12\)). c) Die Ordnung der Beträge lautet: \(|-1| < |2| < |5| < |-8| < |10| < |-12|\) (bzw. \(1 < 2 < 5 < 8 < 10 < 12\)).

- Was passiert mit dem Wert, wenn du den Betrag einer positiven Zahl bildest? - Was passiert, wenn du den Betrag einer negativen Zahl bildest? Ist das Ergebnis dann größer oder kleiner als die ursprüngliche Zahl? - Vergiss nicht, auch den Fall für die Zahl Null zu prüfen.

1. Fallunterscheidung für positive Zahlen: Der Betrag einer positiven Zahl (z. B. \(10\)) ist die Zahl selbst (\(10\)). In diesem Fall ist der Betrag gleich der Zahl (\(10 = 10\)). 2. Fallunterscheidung für die Null: Der Betrag von \(0\) ist \(0\). Auch hier ist der Betrag gleich der Zahl (\(0 = 0\)). 3. Fallunterscheidung für negative Zahlen: Der Betrag einer negativen Zahl (z. B. \(-3\)) ist immer positiv (\(3\)). Da jede positive Zahl größer ist als jede negative Zahl (\(3 > -3\)), ist der Betrag hier größer als die Zahl selbst. 4. Zusammenfassung: In allen Fällen ist der Betrag entweder gleich groß oder größer als die ursprüngliche Zahl, aber niemals kleiner. Die Aussage ist wahr.

Die Aussage ist wahr. Bei positiven Zahlen und der Null ist der Betrag gleich der Zahl. Bei negativen Zahlen ist der Betrag (eine positive Zahl) immer größer als die ursprüngliche (negative) Zahl.

- Berechne zuerst die Differenz der beiden Ausgangszahlen. - Vergiss nicht, am Ende die Summe der Gegenzahlen zu bilden. - Gehe schrittweise vor und notiere dir die Zwischenergebnisse.

1. Berechnung der Differenz von \(-125\) und \(75\): \(-125 - 75 = -200\) 2. Bestimmung des Betrags der Differenz: \(|-200| = 200\) 3. Bestimmung der Gegenzahlen von \(-125\) und \(75\): \(125\) und \(-75\) 4. Berechnung der Summe der Gegenzahlen: \(125 + (-75) = 50\) 5. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(200 + 50 = 250\)

Das Ergebnis ist \(250\).

- Behandle Betragsstriche wie Klammern und berechne zuerst ihren Inhalt. - Achte genau auf die Vorzeichen, wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht. - Schrittweises Vorgehen hilft, Rechenfehler zu vermeiden.

1. Berechnung von Teil a: Der Wert im Betrag ist \(150 - 210 = -60\), sein Betrag ist \(|-60| = 60\). Die Klammer ergibt \(45 - 90 = -45\). Die Subtraktion lautet \(60 - (-45) = 60 + 45 = 105\). 2. Berechnung von Teil b: Im Betrag ergibt sich \(-25 - 15 = -40\), also \(|-40| = 40\). In der eckigen Klammer wird zuerst die runde Klammer aufgelöst: \(-30 + 50 = 20\). Die Addition ergibt \(40 + 20 = 60\).

a) \(105\) b) \(60\)

- Denke daran, was der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet. - Überprüfe eine Aussage immer auch für die Zahl Null. - Probiere Beispiele für positive und negative Zahlen aus, um eine Regel zu testen.

1. Aussage a) ist wahr. Der Betrag stellt den Abstand einer Zahl zur Null dar. Abstände werden durch positive Werte oder Null ausgedrückt (\(|a| \ge 0\)). 2. Aussage b) ist wahr. Eine Zahl und ihre Gegenzahl liegen auf der Zahlengeraden spiegelbildlich zur Null. Ihr Abstand zur Null ist gleich, aber ihre Vorzeichen sind verschieden. Die Summe \(a + (-a)\) ergibt stets \(0\). 3. Aussage c) ist falsch. Für positive Zahlen und die Null ist der Betrag gleich der Zahl selbst (z. B. \(|5| = 5\) oder \(|0| = 0\)). Nur bei negativen Zahlen ist der Betrag (der positiv ist) größer als die Zahl selbst (z. B. \(|-3| = 3\), und \(3 > -3\)).

a) Wahr, da der Betrag ein Abstand ist. b) Wahr, da sich Zahl und Gegenzahl gegenseitig aufheben. c) Falsch, da bei positiven Zahlen und der Null der Betrag gleich der Zahl ist.

- Stell dir vor, du misst eine Strecke mit einem Lineal. Kann das Ergebnis eine negative Zahl sein? - Was wissen wir über das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn wir den Betrag einer Zahl bilden? - Überlege, was der Betrag anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet.

1. Der Betrag einer Zahl ist definiert als ihr Abstand zur Zahl Null auf der Zahlengeraden. 2. Ein Abstand gibt eine Länge an und kann daher niemals negativ sein. Er ist immer entweder positiv oder null. 3. Da \(-5\) eine negative Zahl ist, kann kein Betrag diesen Wert annehmen.

Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl zur Null an. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gibt es keine Zahl \(x\), deren Betrag \(-5\) ist.

- Vereinfache zuerst den Ausdruck mit den Betragsstrichen. - Überlege dir, welche Zahlen auf der Zahlengeraden rechts von der einen und links von der anderen Grenze liegen. - Gehören die Randzahlen selbst auch zu den Zahlen, die „dazwischen“ liegen?

1. Zuerst wird der Betrag berechnet: \(|-3| = 3\). 2. Gesucht sind also alle ganzen Zahlen \(z\), für die gilt: \(-4 < z < 3\). 3. Auflistung dieser Zahlen in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\).

Die Zahlen sind \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\).

- Stell dir die Zahlengerade bildlich vor. Wo stehen die Zahlen, deren „Entfernung“ zur Mitte (Null) klein ist? - Wenn \(|x| > 12\) ist, suchst du Zahlen, die sehr weit außen liegen. In welche zwei Richtungen kann man sich von der Null entfernen? - Überlege dir für die Behauptung ein Beispiel: Vergleiche den Abstand zur Null und den Betrag für die Zahlen \(3\) und \(-10\).

1. Die Bedingung \(|x|<5\) bedeutet, dass der Abstand von \(x\) zur Null kleiner als \(5\) ist. Die ganzen Zahlen sind \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\). 2. Die Bedingung \(|x|>12\) bedeutet, dass der Abstand zur Null größer als \(12\) ist. Für ganze Zahlen gilt daher \(x\leq -13\) oder \(x\geq 13\). 3. Die Aussage ist wahr. Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null; ein größerer Abstand bedeutet einen größeren Betrag.

1. \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\) 2. Alle ganzen Zahlen mit \(x\leq -13\) oder \(x\geq 13\) 3. Die Aussage ist wahr, weil der Betrag den Abstand zur Null angibt.

- Denke an negative Zahlen, die sehr weit von der Null entfernt sind. Wo liegen diese auf der Zahlengeraden? - Vergleiche eine negative Zahl mit einer positiven Zahl, die näher an der Null liegt. - Untersuche drei Fälle für die Zahl \(z\): wenn sie positiv ist, wenn sie negativ ist und wenn sie Null ist.

1. Teilaufgabe a: Suche nach einem Gegenbeispiel, bei dem eine Zahl mit großem Betrag einen kleinen Wert hat. Negative Zahlen mit großem Betrag liegen weit links auf der Zahlengeraden und sind daher klein. Beispiel: \(x = -10\) und \(y = 2\). Es gilt \(|-10| > |2|\) (da \(10 > 2\)), aber \(-10 < 2\). Die Behauptung ist widerlegt. 2. Teilaufgabe b: Analyse des Betrags \(|z|\) im Vergleich zu \(z\). Für positive Zahlen und Null gilt \(|z| = z\). Für negative Zahlen ist \(|z|\) positiv, also gilt \(|z| > z\). In keinem Fall ist \(|z| < z\). Die Aussage ist somit wahr.

a) Die Behauptung ist falsch. Gegenbeispiel: \(x = -10\) und \(y = 2\). Es ist \(| -10 | > | 2 |\), aber \(-10 < 2\). b) Die Aussage ist wahr. Der Betrag ist der Abstand zur Null und damit nie negativ. Für positive Zahlen und die Null ist er gleich der Zahl, für negative Zahlen ist er (als positive Zahl) immer größer als die Zahl selbst.

- Versuche für das Gegenbeispiel, eine sehr kleine negative Zahl und eine kleine positive Zahl zu nutzen. - Zeichne dir eine Zahlengerade auf. Wo liegen negative Zahlen, die kleiner als andere negative Zahlen sind? - Was sagt der Betrag über die Entfernung einer Zahl von der Mitte (der Null) aus? - Wenn zwei Punkte den gleichen Abstand zu einem Zentrum haben, aber nicht derselbe Punkt sind, welche Positionen können sie einnehmen?

1. Widerlegung durch Gegenbeispiel: Wähle \(a = -10\) und \(b = 2\). Es gilt \(-10 < 2\), aber für die Beträge gilt \(|-10| = 10\) und \(|2| = 2\). Da \(10 > 2\), ist \(|a| > |b|\), was die Behauptung widerlegt. 2. Vergleich negativer Zahlen: Auf der Zahlengeraden liegt \(a\) weiter links als \(b\), wenn \(a < b\). Da beide negativ sind, bedeutet „weiter links“, dass \(a\) einen größeren Abstand zum Nullpunkt hat als \(b\). Da der Betrag dem Abstand zum Nullpunkt entspricht, gilt \(|a| > |b|\). 3. Geometrische Lage: Wenn zwei verschiedene Zahlen denselben Betrag haben, haben sie denselben Abstand zum Nullpunkt. Da sie verschieden sind, muss eine Zahl positiv und die andere negativ sein. Ihre Bildpunkte liegen also spiegelsymmetrisch zum Nullpunkt.

a) Beispiel: \(a = -5, b = 1\). Hier ist \(-5 < 1\), aber \(|-5| = 5 > |1| = 1\). b) Die Zahl \(a\) hat den größeren Betrag, da sie auf der Zahlengeraden weiter links von der Null liegt und somit einen größeren Abstand zum Nullpunkt hat. c) Die Bildpunkte liegen symmetrisch zum Nullpunkt (gleicher Abstand, unterschiedliche Seiten).

- Überlege dir, wie viele Zahlen denselben Abstand zur Null haben können. - Was bedeutet es für den Wert einer Zahl, wenn ihr Betrag sehr klein ist? - Kann ein Abstand negativ sein?

1. Da der Betrag den Abstand zur Null angibt, haben sowohl \(21\) als auch \(-21\) den Betrag \(21\). 2. Die Gegenzahl von \(x\) ist \(-4\), also ist \(x = 4\). Der Betrag ist \(|4| = 4\). 3. Die Aussage ist wahr, da der Betrag einen Abstand beschreibt und Abstände immer größer oder gleich Null sind. 4. Der Betrag von \(-3\) ist \(3\). Gesucht sind Zahlen mit Betrag \(0\), \(1\) oder \(2\). Da die Zahl keine Gegenzahl zu \(1\) oder \(2\) sein darf (also ungleich \(-1\) und \(-2\)), und auch nicht positiv genannt wurde, kommen z. B. \(0\), \(1\) oder \(2\) infrage.

a) \(21\) und \(-21\) b) Zahl: \(4\), Betrag: \(4\) c) Wahr, da der Betrag einen Abstand darstellt. d) Zum Beispiel die Zahl \(0\) (mögliche Lösungen: \(0\), \(1\), \(2\)).

- Versuche zuerst, alle Zahlen zu finden, deren Betrag zwischen \(3\) und \(8\) liegt. - Wie viele Zahlen gibt es normalerweise zu einem bestimmten Betrag? - Sortiere am Ende alle Zahlen aus, die nicht negativ sind. - Überprüfe, ob dein Ergebnis die Bedingungen „größer als \(3\)“ und „kleiner als \(8\)“ strikt einhält.

1. Analyse der Betragsbedingung: \(3 < |z| < 8\). Die möglichen ganzzahligen Beträge sind \(4, 5, 6\) und \(7\). 2. Zu diesen Beträgen gehören die positiven Zahlen \(\{4, 5, 6, 7\}\) und die negativen Zahlen \(\{-4, -5, -6, -7\}\). 3. Anwendung der ersten Bedingung: Es werden nur die negativen Zahlen ausgewählt. 4. Ergebnis: \(-7, -6, -5, -4\).

\(-7, -6, -5, -4\)

- Prüfe für jede Zahl einzeln: Wie weit ist sie von der Null entfernt? Wenn dieser Abstand mehr als 15 Einheiten beträgt, gehört die Zahl zur Lösung von Teil a). - Achtung bei Teil b): Hier geht es nicht mehr um den Betrag, sondern um den tatsächlichen Wert der Zahlen. Denke daran, dass eine negative Zahl umso kleiner ist, je größer ihr Betrag ist.

1. Berechnung aller Beträge der Menge \(S\): \(|-22|=22\), \(|14|=14\), \(|-5|=5\), \(|30|=30\), \(|-35|=35\), \(|9|=9\). 2. Prüfung der Bedingung „Betrag \(> 15\)“: Die Werte \(22, 30\) und \(35\) sind größer als \(15\). Die dazugehörigen ursprünglichen Zahlen sind \(-22, 30\) und \(-35\). 3. Absteigende Sortierung der gefundenen Zahlen: \(30 > -22 > -35\).

a) \(-22; 30; -35\) b) \(30; -22; -35\)

- Schreibe dir zuerst auf, welche Zahlen einen Betrag haben, der größer als \(4997\) ist. - „Echt zwischen“ bedeutet, dass die beiden Randzahlen nicht dazugehören. - Prüfe jede Zahl aus deiner ersten Liste einzeln gegen die zweite Bedingung.

1. Analyse der Betragsbedingung: Ganze Zahlen mit einem Betrag größer als \(4997\) sind beispielsweise \(\dots, -5001, -5000, -4999, -4998\) sowie \(4998, 4999, 5000, 5001, \dots\). 2. Analyse der Bereichsbedingung: Die Zahlen müssen zwischen \(-5000\) und \(5000\) liegen, das heißt, sie müssen größer als \(-5000\) und kleiner als \(5000\) sein. Die Zahlen \(-5000\) und \(5000\) selbst gehören nicht dazu. 3. Kombination der Bedingungen: Aus der ersten Liste erfüllen nur \(-4999, -4998, 4998\) und \(4999\) die Bedingung, echt zwischen \(-5000\) und \(5000\) zu liegen.

Die Zahlen sind \(-4999, -4998, 4998, 4999\).

- Was ist der Unterschied, wenn man zuerst den Betrag nimmt oder zuerst die Differenz bildet? - Berechne beide Ausdrücke getrennt voneinander. - Überlege dir genau, welche Rechenoperation in welcher Reihenfolge ausgeführt werden muss.

1. Berechnung von Ausdruck A: Die Differenz ist \(15 - 40 = -25\). Der Betrag davon ist \(|-25| = 25\). 2. Berechnung von Ausdruck B: Der Betrag von \(15\) ist \(15\), der Betrag von \(40\) ist \(40\). Die Differenz der Beträge ist \(15 - 40 = -25\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(25 \neq -25\), haben die Ausdrücke unterschiedliche Werte.

Nein, sie haben nicht denselben Wert. Ausdruck A ergibt \(25\), während Ausdruck B \(-25\) ergibt.

- Arbeite dich bei geschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Notiere dir Zwischenergebnisse für die einzelnen Teile des Terms. - Überprüfe am Ende noch einmal, ob du alle Vorzeichenregeln korrekt angewendet hast.

1. Berechnung von Teil a: Innerhalb des Betrags ergibt sich \(120 - 450 + 130 = -200\), der Betrag ist \(200\). In der eckigen Klammer: \((250 - 600) = -350\). Damit wird die eckige Klammer zu \([-100 - (-350)] = -100 + 350 = 250\). Das Endergebnis ist \(200 - 250 = -50\). 2. Berechnung von Teil b: Die einzelnen Bestandteile sind \(|-55| = 55\), die Zahl \(-125\), der Betrag \(|200 - 350| = |-150| = 150\) und die Klammer \((75 - 200) = -125\). Zusammengefügt ergibt dies \(55 - 125 - 150 - (-125) = 55 - 125 - 150 + 125 = -95\).

a) \(-50\) b) \(-95\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man die Gegenzahl einer bereits positiven Zahl sucht? - Unterscheidet sich das Ergebnis, wenn du die Gegenzahl von \(5\) oder den Betrag von \(5\) suchst? - Überlege, ob die Zahl \(0\) ein Vorzeichen hat.

1. Überprüfung von Leons Regel für die Gegenzahl: Bei \(+7\) wäre das Ergebnis \(7\) (falsch, die Gegenzahl ist \(-7\)). Bei \(-12\) wäre das Ergebnis \(12\) (richtig, die Gegenzahl ist \(+12\)). Bei \(0\) gibt es kein Vorzeichen zum Weglassen. Leons Regel ist also falsch. 2. Analyse von Sophies Aussage zum Betrag: Das „Weglassen des Vorzeichens“ führt bei negativen Zahlen zum Betrag (aus \(-12\) wird \(12\)). Bei positiven Zahlen wie \(+7\) bleibt der Wert gleich (\(7\)), was ebenfalls dem Betrag entspricht. 3. Sophies Einschränkung: Sie hat recht, dass Leons Beschreibung eher zum Betrag passt, aber ungenau ist. Bei der Zahl \(0\) gibt es kein Vorzeichen im klassischen Sinne (\(+\) oder \(-\)), das man weglassen könnte, dennoch hat sie einen Betrag (\(0\)) und eine Gegenzahl (\(0\)).

Sophie hat recht. Leons Regel funktioniert nur für negative Zahlen, um zur Gegenzahl zu kommen. Bei positiven Zahlen führt sein Vorgehen nicht zur Gegenzahl (die Gegenzahl von \(7\) ist \(-7\), nicht \(7\)). Zudem ist das „Weglassen des Vorzeichens“ eine ungenaue Beschreibung für den Betrag, die besonders bei der Null problematisch ist.