- Wie stellst du eine Tiefe unter dem Meeresspiegel mathematisch dar? - Bedeutet „absinken“, dass der Wert größer oder kleiner wird? - Welches Vorzeichen hat die Änderung, wenn es weiter nach unten geht?

1. Die Startposition ist \(-150\,\text{m}\). 2. Weitere \(75\,\text{m}\) nach unten werden als \(-75\,\text{m}\) dargestellt. 3. Es gilt \(-150+(-75)=-225\). 4. Das U-Boot befindet sich danach bei \(-225\,\text{m}\).

Die Rechnung lautet \(-150 + (-75) = -225\). Das U-Boot befindet sich danach bei \(-225\,\text{m}\).

- Stelle dir ein Thermometer als senkrechte Zahlengerade vor. - Geht es bei einem Temperaturanstieg nach oben oder nach unten? - Überlege, wie viele Schritte du von der Minus-Temperatur bis zur Null gehen musst.

1. Die Temperatur startet bei \(-9\,^\circ\text{C}\) und steigt um \(14\,^\circ\text{C}\). 2. Es gilt \(-9+14=5\). 3. Die neue Temperatur beträgt \(5\,^\circ\text{C}\).

\(5\,^\circ\text{C}\)

- Überlege dir, in welche Richtung du dich auf der Zahlengeraden bewegst, wenn eine Zahl größer werden soll. - Welches Rechenzeichen gehört zu dem Ausdruck „um etwas größer“?

1. „Um \(58\) größer“ bedeutet, dass zu \(-33\) die Zahl \(58\) addiert wird. 2. Es gilt \(-33+58=25\).

\(-33+58=25\)

- Überlege, welche Wirkung der Summand \(0\) auf eine Zahl hat. - Stell dir vor, du stehst bei \(-9\) auf der Zahlengeraden und sollst um \(0\) Schritte weitergehen.

1. Das Addieren von \(0\) verändert eine Zahl nicht. 2. Daher gilt \((-9)+0=-9\).

\(-9\)

- Vergleiche die beiden Summanden hinsichtlich ihres Abstands von \(0\). - Überlege, was passiert, wenn zwei gleich große Bewegungen in entgegengesetzte Richtungen zusammenkommen.

1. Die Zahlen \(-6\) und \(+6\) sind Gegenzahlen. 2. Gegenzahlen heben sich beim Addieren auf: \((-6)+(+6)=0\).

\(0\)

- Starte auf der Zahlengeraden beim ersten Summanden. - Entscheide anhand des Vorzeichens des zweiten Summanden, in welche Richtung du gehst. - Zähle genau so viele Schritte, wie der Betrag des zweiten Summanden angibt.

1. Ein negativer Summand bedeutet auf der Zahlengeraden eine Bewegung nach links. 2. Von \(-3\) geht man \(4\) Schritte nach links und erreicht \(-7\). 3. Also gilt \((-3)+(-4)=-7\).

\(-7\)

- Starte beim ersten Summanden auf der Zahlengeraden. - Ein positiver zweiter Summand führt nach rechts. - Prüfe nach der Bewegung, auf welcher Seite von \(0\) du noch liegst.

1. Der positive Summand \(+2\) bedeutet eine Bewegung um \(2\) Schritte nach rechts. 2. Von \(-7\) gelangt man so zu \(-5\). 3. Daher gilt \((-7)+(+2)=-5\).

\(-5\)

- Welche der beiden Zahlen hat den größeren Abstand zur Null? - Was passiert, wenn du zwei negative Beiträge addierst? - Was ergibt sich, wenn zwei gleich große entgegengesetzte Werte zusammenkommen? - Überlege dir die Rechnung bei Bedarf an einem Thermometer oder auf einer Zahlengeraden.

1. Bei \((-14) + (+25)\) ist der Betrag der positiven Zahl größer \((25>14)\), daher ist das Ergebnis positiv: \(+11\). 2. Bei \((+18) + (-30)\) ist der Betrag der negativen Zahl größer \((30>18)\), daher ist das Ergebnis negativ: \(-12\). 3. Die Summe zweier negativer Zahlen \((-22) + (-18)\) ist negativ: \(-40\). 4. Die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl \((-45) + (+45)\) ergibt \(0\).

a) positiv; \(+11\) b) negativ; \(-12\) c) negativ; \(-40\) d) null; \(0\)

- Du musst hier nicht rechnen, sondern nur einschätzen, ob das Ergebnis positiv, negativ oder null ist. - Welche Zahl „gewinnt“, wenn man ihre Beträge vergleicht? - Was weißt du über das Vorzeichen, wenn beide Summanden negativ sind?

1. Da \(|+40| > |-35|\), überwiegt der positive Teil, das Ergebnis ist größer als \(0\). 2. Die Summe zweier negativer Zahlen ist stets negativ, also kleiner als \(0\). 3. Da eine Zahl mit ihrer Gegenzahl addiert wird, ist das Ergebnis genau \(0\). 4. Da \(|-50| > |+30|\), überwiegt der negative Teil, das Ergebnis ist kleiner als \(0\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(<\)

- Prüfe bei jeder Summe zuerst, ob die Summanden gleiche oder unterschiedliche Vorzeichen haben. - Überlege, welcher Summand den größeren Betrag besitzt. - Ein Modell mit Guthaben und Schulden kann helfen, das Vorzeichen des Ergebnisses zu kontrollieren.

1. Bei \((-38)+(+92)\) haben die Summanden unterschiedliche Vorzeichen. Die Beträge unterscheiden sich um \(92-38=54\); der größere Betrag gehört zur positiven Zahl. Das Ergebnis ist \(54\). 2. Bei \((+54)+(-117)\) unterscheiden sich die Beträge um \(117-54=63\); der größere Betrag gehört zur negativen Zahl. Das Ergebnis ist \(-63\). 3. Bei \((-256)+(-144)\) werden die Beträge addiert: \(256+144=400\). Beide Summanden sind negativ, also ist das Ergebnis \(-400\). 4. Bei \((-1025)+(+375)\) unterscheiden sich die Beträge um \(1025-375=650\); der größere Betrag gehört zur negativen Zahl. Das Ergebnis ist \(-650\).

a) \(54\) b) \(-63\) c) \(-400\) d) \(-650\)

- Du kannst die Aufgabe von links nach rechts rechnen. - Berechne zuerst das Ergebnis der ersten beiden Zahlen. - Was kommt heraus, wenn du zu diesem Zwischenergebnis die dritte Zahl addierst?

1. Zuerst gilt \((-120)+(+450)=330\). 2. Danach ergibt sich \(330+(-380)=-50\).

\(-50\)

- Ein negativer Kontostand bedeutet, dass man der Bank Geld schuldet. - Was passiert mit den Schulden, wenn man Geld einzahlt? - Bleibt am Ende ein Guthaben übrig oder ist das Konto noch im Minus?

1. Der Kontostand beträgt zunächst \(-180\,\text{€}\). 2. Durch die Einzahlung kommen \(250\,\text{€}\) dazu: \(-180+250=70\).

\(70\,\text{€}\)

- Verwende negative Zahlen für Positionen unter dem Meeresspiegel. - Wenn das U-Boot steigt, wird die Zahl auf der Zahlengeraden größer (weniger negativ). - Achte darauf, das Ergebnis wieder als Tiefe anzugeben.

1. Die Startposition ist \(-450\,\text{m}\). 2. Beim Aufsteigen kommen \(185\,\text{m}\) dazu: \(-450+185=-265\). 3. Das U-Boot befindet sich danach \(265\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel.

\(265\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel

- Schau dir an, ob das Ergebnis größer oder kleiner als der erste Summand ist. - Überlege, ob sich die Beträge der Zahlen addieren oder ob du ihre Differenz bilden musst. - Welches Vorzeichen muss die Zahl mit dem größeren Betrag haben, damit das Ergebnis das gewünschte Vorzeichen bekommt?

1. In a) muss vor \(17\) ein Plus stehen: \((+17)+(+13)=+30\). 2. In b) muss vor \(16\) ein Minus stehen: \((-24)+(-16)=-40\). 3. In c) muss vor \(50\) ein Minus stehen: \((+35)+(-50)=-15\). 4. In d) muss vor \(12\) ein Plus stehen: \((+12)+(-28)=-16\).

a) \(+\) b) \(-\) c) \(-\) d) \(+\)

- Überlege, welche Zahl weiter von der Null entfernt ist. - Haben beide Zahlen das gleiche Vorzeichen oder verschiedene? - Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor: In welche Richtung gehst du zuerst, in welche danach? - Wenn du Schulden und Guthaben zusammenzählst, was bleibt am Ende übrig?

1. Bei a) ist der Betrag von \(+625\) größer als der von \(-415\). Das Ergebnis ist positiv und beträgt \(625-415=210\). 2. Bei b) sind beide Summanden negativ. Das Ergebnis ist negativ und beträgt \(-(874+126)=-1000\). 3. Bei c) ist der Betrag von \(-3750\) größer als der von \(+2500\). Das Ergebnis ist negativ und beträgt \(-(3750-2500)=-1250\). 4. Bei d) ist der Betrag von \(+1001\) größer als der von \(-999\). Das Ergebnis ist positiv und beträgt \(1001-999=2\).

a) \(+210\) b) \(-1000\) c) \(-1250\) d) \(+2\)

- Du kannst die Aufgabe in zwei kleine Rechnungen aufteilen. - Berechne zuerst die Summe der ersten beiden Zahlen. - Was passiert, wenn du eine Zahl und ihre Gegenzahl addierst?

1. In a) gilt zuerst \((-120)+(+250)=130\). Danach ergibt sich \(130+(-80)=50\). 2. In b) gilt zuerst \((+500)+(-750)=-250\). Danach ergibt sich \((-250)+(+250)=0\).

a) \(50\) b) \(0\)

- Stelle dir die Temperaturen auf einer Thermometerskala oder einer Zahlengeraden vor. - Wird der Zahlenwert bei einer Erhöhung größer oder kleiner? - Überlege, welche Rechenoperation zu „um \(12\) Grad erhöht“ passt.

1. Die Temperatur steigt von \(-35\,^\circ\text{C}\) um \(12\) Grad. 2. Es gilt \(-35+12=-23\). 3. Die neue Temperatur beträgt \(-23\,^\circ\text{C}\).

Die neue Temperatur beträgt \(-23\,^\circ\text{C}\).

- Stelle dir jede Aufgabe als Bewegung vom Startwert \(15\) zum vorgegebenen Ergebnis vor. - Eine Bewegung nach links entspricht einem negativen Summanden, eine Bewegung nach rechts einem positiven Summanden. - Achte bei Teil b) darauf, dass die Bewegung den Nullpunkt überschreitet.

1. Von \(15\) bis \(8\) führt eine Bewegung um \(7\) Schritte nach links. Daher fehlt \(-7\). 2. Von \(15\) bis \(-2\) sind es \(17\) Schritte nach links. Daher fehlt \(-17\). 3. Von \(15\) bis \(0\) sind es \(15\) Schritte nach links. Daher fehlt \(-15\). 4. Von \(15\) bis \(16\) führt ein Schritt nach rechts. Daher fehlt \(+1\).

a) \(-7\) b) \(-17\) c) \(-15\) d) \(+1\)

- Suche in jeder Zeile die gerichtete Bewegung von der Startzahl \(a\) zum Ergebnis \(s\). - Nach links entspricht einem negativen Summanden, nach rechts einem positiven Summanden. - Wenn Startzahl und Ergebnis gleich sind, verändert der gesuchte Summand die Zahl nicht.

1. Bei a) führt die Bewegung von \(-7\) zu \(-15\) um \(8\) Schritte nach links. Daher ist \(x=-8\). 2. Bei b) führt die Bewegung von \(-7\) zu \(4\) um \(11\) Schritte nach rechts. Daher ist \(x=11\). 3. Bei c) bleiben Start und Ergebnis gleich. Daher ist \(x=0\). 4. Bei d) führt die Bewegung von \(-7\) zu \(20\) um \(27\) Schritte nach rechts. Daher ist \(x=27\).

a) \(-8\) b) \(11\) c) \(0\) d) \(27\)

- Lies die Aufgaben genau durch und schreibe sie zuerst als mathematische Gleichung mit einem Platzhalter auf. - Überlege bei Teil b), welchen Namen man für zwei Zahlen verwendet, die addiert Null ergeben. - Wenn du bei einer Zahl startest und bei einer kleineren Zahl landest, muss der Summand negativ sein. - Kannst du die Aufgaben im Kopf lösen, indem du dir die Sprünge auf der Zahlengeraden vorstellst?

1. Von \(10\) bis \(-5\) geht es \(15\) Schritte nach links. Daher muss \(-15\) addiert werden. 2. Von \(-20\) bis \(0\) geht es \(20\) Schritte nach rechts. Daher muss \(20\) addiert werden. 3. Von \(-4\) bis \(-12\) geht es \(8\) Schritte nach links. Daher muss \(-8\) addiert werden. 4. Zu \(0\) muss \(-8\) addiert werden, um \(-8\) zu erhalten.

a) \(-15\) b) \(20\) c) \(-8\) d) \(-8\)

- Kannst du die Zahlen so umstellen, dass du zuerst alle positiven Zahlen addierst? - Überlege dir, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss, indem du die Beträge der Zahlen vergleichst. - Was passiert, wenn du Schritt für Schritt von links nach rechts rechnest?

1. Zuerst können die positiven Summanden zusammengefasst werden: \((+154)+(+45)=199\). 2. Danach gilt \(199+(-289)=-90\).

\(-90\)

- Kannst du ein Beispiel mit zwei konkreten negativen Zahlen ausrechnen? - Was ist die Gegenzahl von Null auf der Zahlengeraden? - Denke daran, dass eine Begründung bei einer falschen Aussage oft durch ein einziges Gegenbeispiel erfolgen kann.

1. Aussage a) ist falsch. Zum Beispiel gilt \((-3)+(-5)=-8\); die Summe ist also negativ. 2. Aussage b) ist wahr. Die Gegenzahl von \(0\) ist \(0\). Zum Beispiel gilt \(7+0=7\). Allgemein gilt für jede Zahl \(a\): \(a+0=a\).

a) Falsch. Beispiel: \((-2)+(-4)=-6\). Die Summe ist negativ, nicht positiv. b) Wahr. Die Gegenzahl von \(0\) ist \(0\). Beispiel: \(7+0=7\).

- Was passiert, wenn sich eine Zahl durch eine Addition gar nicht verändert? - Welche besondere Rolle spielt die Null auf der Zahlengeraden? - Wie nennt man eine Zahl, die den gleichen Abstand zur Null hat wie eine andere, aber auf der gegenüberliegenden Seite liegt?

1. Da sich der Wert \(-12\) durch die Addition von \(x\) nicht verändert, muss keine Bewegung auf der Zahlengeraden stattgefunden haben. Somit ist \(x = 0\). 2. Um von \(+44\) zur \(0\) zu gelangen, muss man sich genau um den Betrag der Zahl in die entgegengesetzte Richtung bewegen. Die Gegenzahl von \(+44\) ist \(-44\), also ist \(x = -44\).

a) \(x = 0\) b) \(x = -44\)

- Berechne zuerst die jeweilige Summe. - Vergleiche das Endergebnis sorgfältig mit dem ersten Summanden \(a\). - Überlege allgemein: Wie verändert ein positiver bzw. ein negativer zweiter Summand \(b\) den Wert von \(a\)?

1. Erste Zeile berechnen: \(12 + (-5) = 7\). Vergleich: \(7 > 12\) ist falsch, also „nein“. 2. Zweite Zeile berechnen: \((-6) + (-4) = -10\). Vergleich: \(-10 > -6\) ist falsch, also „nein“. 3. Dritte Zeile berechnen: \((-9) + 10 = 1\). Vergleich: \(1 > -9\) ist wahr, also „ja“.

Die ausgefüllte Tabelle lautet: 1. Zeile: \(s = 7\); nein 2. Zeile: \(s = -10\); nein 3. Zeile: \(s = 1\); ja

- Kannst du die Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition umwandeln? - Schau dir die Zahlen genau an: Welche beiden Zahlen ergeben zusammen eine „glatte“ Zehner- oder Hunderterzahl? - Du darfst die Reihenfolge der Summanden vertauschen, um dir das Rechnen zu erleichtern.

1. Schreibe die Subtraktion als Addition: \(-140+512+40\). 2. Fasse zuerst \(-140+40=-100\) zusammen. 3. Danach gilt \(-100+512=412\).

\(-140 + 512 + 40 = 412\)

- Suche zwei Summanden, die sich besonders einfach zusammenfassen lassen. - Du darfst die Reihenfolge der Summanden ändern. - Prüfe, ob du eine runde Teilsumme bilden kannst.

1. Günstig ist \(48+(-28)=20\) und \(63+37=100\). 2. Damit bleibt \(20+100+(-83)=37\).

\(37\)

- Suche zwei Zahlen, die sich besonders einfach zusammenfassen lassen. - Das Vorzeichen gehört beim Umstellen immer zur Zahl. - Schreibe deine Gruppierung sichtbar auf, bevor du die Teilsummen berechnest.

1. Eine günstige Gruppierung ist \((-135+35)+(48-18)\). 2. Die beiden Teilsummen sind \(-100\) und \(30\). 3. Damit ergibt sich \(-100+30=-70\).

Zum Beispiel: \((-135+35)+(48-18)=-100+30=-70\).

- Lies jeden Pfeil als Summanden: positive Sprünge führen nach rechts, negative nach links. - Wenn der Startpunkt fehlt, verfolge den eingezeichneten Sprung vom bekannten Endpunkt aus in Gegenrichtung zurück. - Bei mehreren Sprüngen bestimmst du zuerst den fehlenden Zwischenpunkt und gehst von dort weiter.

1. Bei a) führt der Sprung von \(-24\) um \(+35\) nach rechts bis \(11\). 2. Bei b) führt ein Sprung von \(-42\) vom unbekannten Startpunkt nach links bis \(-15\). Verfolge den Sprung vom Endpunkt \(-15\) um \(42\) Schritte nach rechts zurück. Der Startpunkt ist \(27\). 3. Bei c) führt der erste Sprung von \(15\) um \(-23\) nach links bis \(-8\). Der zweite Sprung von \(-8\) um \(+12\) nach rechts endet bei \(4\).

a) \(11\) b) \(27\) c) Erste Zahl: \(-8\), zweite Zahl: \(4\)

- Lies bei jeder Zahlengeraden zuerst den Startwert ab. - Die Pfeilrichtung zeigt das Vorzeichen des addierten Werts: rechts positiv, links negativ. - Prüfe, ob der Zielwert auf der erwarteten Seite des Startwerts liegt.

1. Die erste Zahlengerade startet bei \(15\) und zeigt den Sprung \(-22\). Daher gilt \(15+(-22)=-7\). 2. Die zweite Zahlengerade startet bei \(-12\) und zeigt den Sprung \(+18\). Daher gilt \(-12+18=6\). 3. Die dritte Zahlengerade startet bei \(-10\) und zeigt den Sprung \(-15\). Daher gilt \(-10+(-15)=-25\).

a) \(15+(-22)=-7\) b) \(-12+18=6\) c) \(-10+(-15)=-25\)

- Lies jeden Pfeil als gerichtete Addition mit der angegebenen Sprungweite. - Bei einem unbekannten Endpunkt folgst du dem Pfeil vom Startpunkt aus. - Bei einem unbekannten Startpunkt verfolgst du denselben Pfeil vom Endpunkt aus in Gegenrichtung zurück.

1. Bei a) führt der Sprung von \(-125\) um \(+75\) nach rechts bis \(-50\). 2. Bei b) führt der Sprung von \(240\) um \(-380\) nach links bis \(-140\). 3. Bei c) endet ein Sprung von \(-150\) bei \(-400\). Vom Endpunkt aus führen \(150\) Schritte nach rechts zum Startpunkt \(-250\). 4. Bei d) endet ein Sprung von \(+220\) bei \(50\). Vom Endpunkt aus führen \(220\) Schritte nach links zum Startpunkt \(-170\).

a) \(-50\) b) \(-140\) c) \(-250\) d) \(-170\)

- Lies zuerst den Startpunkt und die beschriftete Sprungweite ab. - Das Vorzeichen des Sprungs bestimmt die Richtung der Addition: positiv nach rechts, negativ nach links. - Prüfe, ob der Sprung den Nullpunkt überschreitet und wie viele Schritte danach noch verbleiben.

1. Bei a) gilt \((-15)+(+24)=9\). 2. Bei b) gilt \((-8)+(+15)=7\). 3. Bei c) gilt \((-30)+(+55)=25\).

a) \(9\) b) \(7\) c) \(25\)

- Lies Startwert und Sprungweite direkt aus der Abbildung ab. - Eine positive Kontobewegung führt auf der Zahlengeraden nach rechts. - Prüfe beim Überschreiten von \(0\), wie viele Schritte nach dem Ausgleich des Minusstands noch übrig bleiben.

1. Aus der Abbildung liest man den Startwert \(-15\,\text{€}\) und die Einzahlung \(+40\,\text{€}\) ab. 2. Die Einzahlung führt auf der Zahlengeraden um \(40\) Schritte nach rechts. 3. Vom Startwert \(-15\) führt der Sprung bis \(25\). Der neue Kontostand beträgt \(25\,\text{€}\).

\(25\,\text{€}\)

- Vergleiche zuerst nur die Abstände der beiden Zahlen von \(0\). - Welcher Summand hat den größeren Betrag? - Das Vorzeichen des Ergebnisses gehört zum Summanden mit dem größeren Betrag.

1. Die Beträge sind \(|-8|=8\) und \(|13|=13\). 2. Der positive Summand hat den größeren Betrag, weil \(13>8\). Deshalb ist das Ergebnis positiv. 3. Die Beträge unterscheiden sich um \(13-8=5\). Daher gilt \((-8)+13=5\).

a) positiv b) Der positive Summand \(13\) hat den größeren Betrag. c) \(5\)

- Vergleiche die Beträge der beiden Summanden. - Welcher Summand liegt weiter von \(0\) entfernt? - Übernimm für das Ergebnis das Vorzeichen dieses Summanden.

1. Die Beträge sind \(|7|=7\) und \(|-12|=12\). 2. Der negative Summand hat den größeren Betrag, weil \(12>7\). Deshalb ist das Ergebnis negativ. 3. Die Beträge unterscheiden sich um \(12-7=5\). Daher gilt \(7+(-12)=-5\).

a) negativ b) Der negative Summand \(-12\) hat den größeren Betrag. c) \(-5\)

- Deute jeden Summanden als Bewegung auf der Zahlengeraden: positiv nach rechts, negativ nach links. - Wenn der erste Summand fehlt, gehe gedanklich vom bekannten Ziel entgegen der angegebenen Bewegung zurück. - Prüfe deine Zahl anschließend, indem du die Addition in der gegebenen Form ausführst.

1. Bei a) führt der Weg von \(-12\) bis \(0\) über \(12\) Schritte und von \(0\) bis \(5\) über weitere \(5\) Schritte nach rechts. Daher ist der fehlende Summand \(+17\). 2. Bei b) bedeutet das Addieren von \(-8\) eine Bewegung um \(8\) Schritte nach links bis \(-20\). Der Startpunkt liegt deshalb \(8\) Schritte rechts von \(-20\), also bei \(-12\). 3. Bei c) muss zu \(+15\) die Gegenzahl \(-15\) addiert werden, damit die Summe \(0\) ist. 4. Bei d) führt eine Bewegung um \(10\) Schritte nach rechts zum Ziel \(-3\). Der Startpunkt liegt daher \(10\) Schritte links von \(-3\), also bei \(-13\).

a) \(+17\) b) \(-12\) c) \(-15\) d) \(-13\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für sich. - Achte beim Vergleichen darauf, welche Zahl auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt. - Ist bei negativen Zahlen die Zahl mit dem größeren oder dem kleineren Betrag die größere Zahl?

1. Für Term \(A\) gilt \((-1500)+(+850)=-650\). 2. Für Term \(B\) gilt \((+2100)+(-2800)=-700\). 3. Weil \(-650>-700\), ist der Wert von Term \(A\) größer.

Term \(A\) ist größer, da \(-650 > -700\).

- Achte zuerst darauf, an welcher Stelle in jeder Additionsaufgabe das Vorzeichen fehlt. - Bei Summanden mit verschiedenen Vorzeichen vergleichst du ihre Beträge; das Ergebnis erhält das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. - Prüfe bei einem fehlenden Summandenvorzeichen, welche Richtung die Addition auf der Zahlengeraden haben muss, damit das vorgegebene Ergebnis entsteht.

1. Bei a) haben die Summanden verschiedene Vorzeichen. Die Beträge unterscheiden sich um \(30\), und der negative Summand hat den größeren Betrag. Das Ergebnis ist daher \(-30\). 2. Bei b) ist der Betrag des negativen Summanden \(45\) größer als der Betrag des positiven Summanden \(15\). Die Summe ist deshalb \(-30\). 3. Bei c) muss \(+60\) eingesetzt werden: Von \(+60\) führt das Addieren von \(-25\) um \(25\) Schritte nach links zu \(+35\). 4. Bei d) muss der zweite Summand \(-11\) sein. Zwei negative Summanden mit den Beträgen \(11\) und \(11\) ergeben \(-22\).

a) \(-\) b) \(-\) c) \(+\) d) \(-\)

- Überlege zuerst: Musst du die Beträge addieren (\(20 + 45\)) oder subtrahieren (\(45 - 20\)), um auf die Zielzahl zu kommen? - Wenn du die Beträge addierst, müssen beide Vorzeichen gleich sein. - Wenn du die Beträge subtrahierst, müssen die Vorzeichen verschieden sein. - Welche Zahl muss das Vorzeichen des Ergebnisses „bestimmen“?

1. Für das Ergebnis \(+65\) müssen beide Zahlen positiv sein, da \(20 + 45 = 65\): \((+20) + (+45) = +65\). 2. Für das Ergebnis \(-25\) muss die Differenz der Beträge gebildet werden (\(45 - 20 = 25\)). Damit das Ergebnis negativ ist, muss die Zahl mit dem größeren Betrag (\(45\)) negativ sein: \((+20) + (-45) = -25\). 3. Für das Ergebnis \(+25\) wird ebenfalls die Differenz gebildet. Hier muss die größere Zahl positiv sein: \((-20) + (+45) = +25\). 4. Für das Ergebnis \(-65\) müssen beide Zahlen negativ sein, damit ihre Beträge addiert werden und das Ergebnis negativ bleibt: \((-20) + (-45) = -65\).

a) \((+20) + (+45) = +65\) b) \((+20) + (-45) = -25\) c) \((-20) + (+45) = +25\) d) \((-20) + (-45) = -65\)

- Berechne in jeder Zeile zuerst beide Additionen getrennt. - Bei Summanden mit verschiedenen Vorzeichen vergleichst du ihre Beträge und bestimmst daraus Betrag und Vorzeichen der Summe. - Vergleiche anschließend die beiden Ergebnisse auf der Zahlengeraden.

1. Bei a) gilt \((-45)+(+20)=-25\) und \((-30)+(+5)=-25\). Daher steht \(=\). 2. Bei b) gilt \((+100)+(-150)=-50\) und \((-80)+(+20)=-60\). Da \(-50>-60\), steht \(>\). 3. Bei c) gilt \((-12)+(-13)=-25\) und \((+5)+(-30)=-25\). Daher steht \(=\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(=\)

- Deute den unbekannten Summanden als die noch fehlende Bewegung vom bekannten Start zum bekannten Ziel. - Wenn der erste Summand fehlt, gehe vom Ziel entgegen der Bewegung des bekannten zweiten Summanden zurück. - Prüfe bei c), ob du die beiden bekannten Summanden zuerst zusammenfassen kannst.

1. Bei a) muss die Addition von \(+50\) bis \(-10\) um \(60\) Schritte nach links führen. Daher ist \(z=-60\). 2. Bei b) bedeutet der Summand \(-120\) eine Bewegung um \(120\) Schritte nach links bis \(-200\). Der Startpunkt liegt \(120\) Schritte rechts von \(-200\), also bei \(-80\). Daher ist \(z=-80\). 3. Bei c) ergibt \((-15)+(+25)=+10\). Zu \(+10\) muss die Gegenzahl \(-10\) addiert werden, damit die Summe \(0\) ist. Daher ist \(z=-10\).

a) \(z=-60\) b) \(z=-80\) c) \(z=-10\)

- Überlege dir, in welche Richtung du dich auf der Zahlengeraden bewegst, wenn du eine negative oder eine positive Zahl addierst. - Runde die Zahlen auf Tausender, um eine schnelle Schätzung zu erhalten. - Denke daran: Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto kleiner ist sie.

1. Überschlag für Term 1: \(-3000 + (-2000) = -5000\). 2. Überschlag für Term 2: \(-8000 + 4000 = -4000\). Da \(-5000 < -4000\), wird Term 1 als kleiner eingeschätzt. 3. Genaue Berechnung Term 1: \((-3250) + (-1780) = -5030\). 4. Genaue Berechnung Term 2: \((-8410) + (+3520) = -4890\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(-5030 < -4890\). Term 1 ist kleiner.

Term 1 ist kleiner. Genaue Werte: Term 1 \(= -5030\); Term 2 \(= -4890\).

- Addiere erst die beiden negativen Zahlen, um eine Zwischensumme zu erhalten. - Achte beim Überschlag auf die Rundungsregeln. - Prüfe am Ende, ob dein genaues Ergebnis nah an deinem Überschlag liegt.

1. Für den Überschlag gilt \((-5000)+(-3000)+(+7000)=-1000\). 2. Genau gerechnet ist \((-4890)+(-3120)=-8010\). 3. Danach ergibt sich \((-8010)+(+6950)=-1060\).

Überschlag: \(-1000\) Genaues Ergebnis: \(-1060\)

- Welchen Teil der Aufgabe musst du aufgrund der Klammern zuerst berechnen? - Erinnerst du dich an die Regel für die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen? - Wie gehst du vor, wenn du zwei negative Zahlen addierst?

1. Zuerst wird die Klammer berechnet: \((+148)+(-205)=-57\). 2. Danach gilt \((-72)+(-57)=-129\).

\(-129\)

- Gibt es Zahlen, die zusammen besonders einfache Werte (wie Hunderter) ergeben? - Darfst du die Reihenfolge der Summanden vertauschen, um leichter rechnen zu können? - Was passiert, wenn man eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert?

1. Fasse zuerst die negativen und die positiven Summanden zusammen: \((-120)+(-80)=-200\) und \((+55)+(+145)=200\). 2. Damit ergibt sich \((-200)+(+200)=0\).

\(0\)

- Unterscheide genau zwischen Zahl, Betrag und Gegenzahl. - Übersetze jede verbale Anweisung zunächst in die Reihenfolge der verlangten Schritte. - Achte darauf, dass ein negativer Summand auch in der Rechnung als Summand erhalten bleibt.

1. Zu (1) passt B. Es gilt \(|-18|=18\) und \(|-12|=12\), also \(18+12=30\). 2. Zu (2) passt D. Die Gegenzahl von \(-18\) ist \(18\), daher ergibt \(18+(-12)=6\). 3. Zu (3) passt A. Zwei negative Summanden werden addiert: \((-18)+(-12)=-30\). 4. Zu (4) passt C. Zuerst ergibt die Summe \(-30\); ihre Gegenzahl ist \(30\).

(1) B, Ergebnis \(30\) (2) D, Ergebnis \(6\) (3) A, Ergebnis \(-30\) (4) C, Ergebnis \(30\)

- Kannst du die Sätze zuerst in eine mathematische Rechnung mit Zahlen und Vorzeichen übersetzen? - Erinnere dich daran, dass der Betrag einer Zahl immer ihren Abstand zur Null angibt und daher nie negativ ist. - Was passiert, wenn man eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert?

1. Die Gegenzahl von \(24\) ist \(-24\). Daher gilt \((-24)+(-16)=-40\). 2. Der Betrag von \(-35\) ist \(35\). Daher gilt \(35+(-15)=20\). 3. Die Beträge sind \(|-12|=12\) und \(|18|=18\). Daher gilt \(12+18=30\). 4. Die Summe aus \(-10\) und \(10\) ist \(0\). Die Gegenzahl von \(0\) ist wieder \(0\).

a) \(-40\) b) \(20\) c) \(30\) d) \(0\)

- Berechne für jede Teilaufgabe die linke und die rechte Seite der Behauptung getrennt voneinander. - Achte genau auf die Reihenfolge: Musst du erst den Betrag nehmen und dann addieren, oder erst addieren und dann den Betrag nehmen? - Überlege dir, was der Unterschied zwischen der „Summe der Beträge“ und dem „Betrag der Summe“ ist.

1. Aussage a): Summe der Beträge: \(|-7| + |-3| = 7 + 3 = 10\). Summe der Zahlen: \(-7 + (-3) = -10\). Gegenzahl der Summe: \(-(-10) = 10\). Da \(10 = 10\), ist die Aussage wahr. 2. Aussage b): Gegenzahl von \(-5\) ist \(5\). Rechnung: \(5 + (-5) = 0\). Die Aussage ist wahr. 3. Aussage c): Summe von \(-15\) und \(5\) ist \(-10\). Betrag der Summe: \(|-10| = 10\). Summe der Beträge: \(|-15| + |5| = 15 + 5 = 20\). Da \(10 \neq 20\), ist die Aussage falsch.

a) Wahr, da \(10 = 10\). b) Wahr, da \(0 = 0\). c) Falsch, da \(10 \neq 20\).

- Berechne jede Summe vollständig, bevor du die Ergebnisse vergleichst. - Achte bei jedem Summanden auf sein Vorzeichen. - Ordne erst am Ende die vier fertigen Ergebnisse auf der Zahlengeraden von links nach rechts.

1. a) \((-298)+(-405)+(-102)=-805\). 2. b) \((-895)+302+198=-395\). 3. c) \(512+(-251)+(-262)=-1\). 4. d) \((-1203)+(-395)+(-102)=-1700\). 5. Damit gilt \(-1700<-805<-395<-1\). Die Reihenfolge ist d), a), b), c).

a) \(-805\) b) \(-395\) c) \(-1\) d) \(-1700\) Reihenfolge vom kleinsten zum größten: d), a), b), c).

- Probiere Aussage a zuerst mit einer konkreten ganzen Zahl aus. - Was ergibt eine Zahl zusammen mit ihrer Gegenzahl? - Ist \(0\) eine positive Zahl?

1. Aussage a ist wahr. Die ursprüngliche Zahl und ihre Gegenzahl ergeben zusammen \(0\); deshalb bleibt nur \(12\) übrig. 2. Aussage b ist falsch. Eine Zahl und ihre Gegenzahl ergeben immer \(0\). Die Zahl \(0\) ist weder positiv noch negativ.

a) Wahr. Die Zahl und ihre Gegenzahl heben sich zu \(0\) auf. b) Falsch. Die Summe ist \(0\), nicht positiv.

- Führe die in Teil a) beschriebenen Additionen nacheinander mit einer selbst gewählten ganzen Zahl aus. - Was passiert, wenn eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert werden? - Stell dir für Teil b) die Gegenzahl als Spiegelpunkt an \(0\) auf der Zahlengeraden vor.

1. Die erste Aussage ist wahr. Die ursprüngliche Zahl und die zuerst addierte Gegenzahl ergeben zusammen \(0\). Addiert man anschließend dieselbe Gegenzahl noch einmal, bleibt genau die Gegenzahl der ursprünglichen Zahl übrig. 2. Die zweite Aussage ist falsch. Jede ganze Zahl besitzt genau eine Gegenzahl. Zwei verschiedene ganze Zahlen können daher nicht dieselbe Gegenzahl haben.

a) Wahr. Zahl und Gegenzahl heben sich zunächst zu \(0\) auf; die zweite addierte Gegenzahl bleibt übrig. b) Falsch. Jede ganze Zahl hat genau eine Gegenzahl.

- Überlege dir, ob du dich nach rechts (positive Zahl addieren) oder nach links (negative Zahl addieren) bewegen musst. - Wie weit ist der Startwert von der Null entfernt? - Musst du über die Null hinausgehen, um das Ziel zu erreichen?

1. Um von \(-520\) zu \(0\) zu gelangen, müssen \(520\) Einheiten addiert werden. Von \(0\) bis \(+180\) sind es weitere \(180\) Einheiten. Die Gesamtsumme ist \(520 + 180 = 700\). 2. Um von \(+75\) zu \(-25\) zu gelangen, muss man sich auf der Zahlengeraden nach links bewegen. Der Abstand zur Null beträgt \(75\) Einheiten, und von dort aus weitere \(25\) Einheiten in den negativen Bereich. Die gesuchte Zahl ist \(-(75 + 25) = -100\).

a) \(700\) b) \(-100\)

- Verfolge die vorgegebene Bewegung gedanklich rückwärts vom Ziel zum unbekannten Startpunkt. - Eine Bewegung nach links wird beim Zurückverfolgen zu einer gleich großen Bewegung nach rechts und umgekehrt. - Prüfe deinen gefundenen Startpunkt anschließend mit der ursprünglichen Addition.

1. Bei a) führt der Summand \(-150\) vom Startpunkt \(x\) um \(150\) Schritte nach links bis \(-200\). Gehe vom Ziel \(-200\) daher \(150\) Schritte nach rechts zurück. Der Startpunkt ist \(-50\). 2. Bei b) führt der Summand \(+300\) vom Startpunkt \(x\) um \(300\) Schritte nach rechts bis \(+50\). Gehe vom Ziel \(+50\) daher \(300\) Schritte nach links zurück: Nach \(50\) Schritten erreichst du \(0\), nach weiteren \(250\) Schritten \(-250\). Der Startpunkt ist \(-250\).

a) \(x=-50\) b) \(x=-250\)

- Berechne zuerst die Beispielsumme. - Vergleiche das Ergebnis mit beiden Summanden. - In welche Richtung bewegt man sich auf der Zahlengeraden, wenn man eine negative Zahl addiert?

1. Es gilt \((-7)+(-3)=-10\). 2. \(-10\) ist kleiner als \(-7\) und kleiner als \(-3\). 3. Addiert man zu einer negativen Zahl eine weitere negative Zahl, bewegt man sich auf der Zahlengeraden nach links. Die Summe liegt deshalb links vom ersten Summanden. Beginnt man mit dem anderen Summanden, gilt dasselbe. Die Summe liegt also links von beiden.

\((-7)+(-3)=-10\), und \(-10<-7\) sowie \(-10<-3\). Maries Regel stimmt: Beim Addieren einer negativen Zahl geht man auf der Zahlengeraden nach links, daher liegt die Summe links von beiden Summanden.

- Überlege dir, welche Art von Zahl (positiv, negativ oder Null) du addieren musst, um dich auf der Zahlengeraden nach links oder rechts zu bewegen. - Was passiert, wenn du gar nichts veränderst? - Setze einfach verschiedene Zahlen für \(b\) ein und prüfe das Ergebnis.

1. Für a) passt jede negative ganze Zahl. Zum Beispiel gilt mit \(b=-2\): \(-8+(-2)=-10<-8\). 2. Für b) muss \(b=0\) sein, denn \(-8+0=-8\). 3. Für c) passt jede positive ganze Zahl. Zum Beispiel gilt mit \(b=5\): \(-8+5=-3>-8\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(b=-2\) (oder jede andere negative ganze Zahl) b) \(b=0\) c) \(b=5\) (oder jede andere positive ganze Zahl)

- Was passiert mit dem Vorzeichen der Summe, wenn du zwei negative Zahlen addierst? - Wenn das Ergebnis negativ sein soll, aber eine der Zahlen positiv ist, welche der beiden Zahlen muss dann „stärker“ sein (einen größeren Abstand zur Null haben)? - Versuche, dir die Addition als Schritte auf einer Zahlengeraden vorzustellen.

1. Für a) ist zum Beispiel \((-16)+(-16)=-32\) möglich. 2. Für b) ist zum Beispiel \(8+(-40)=-32\) möglich. 3. Für c) ist zum Beispiel \((-50)+18=-32\) möglich.

Mögliche Beispiele sind: a) \((-16)+(-16)=-32\) b) \(8+(-40)=-32\) c) \((-50)+18=-32\)

- Wie stellst du ein Sinken und wie ein Steigen mit Vorzeichen dar? - Überlege dir zuerst eine Zahl für die erste Etappe und berechne dann, was in der zweiten Etappe passieren muss, um bei insgesamt \(-80\) zu landen. - Stell dir die Wasseroberfläche als Nullpunkt vor.

1. Insgesamt muss die Summe der beiden Änderungen \(-80\,\text{m}\) ergeben. 2. Für a) ist zum Beispiel \((-30\,\text{m})+(-50\,\text{m})=-80\,\text{m}\) möglich. 3. Für b) ist zum Beispiel \(20\,\text{m}+(-100\,\text{m})=-80\,\text{m}\) möglich.

Mögliche Beispiele sind: a) \((-30\,\text{m})+(-50\,\text{m})=-80\,\text{m}\) b) \(20\,\text{m}+(-100\,\text{m})=-80\,\text{m}\)

- Deute den fehlenden Summanden in a) und b) als gerichtete Bewegung zur Zielzahl \(-50\). - Entscheide zuerst, ob die fehlende Bewegung nach links oder nach rechts führen muss. - Überlege bei c), welches Vorzeichen zwei gleiche Summanden haben müssen, damit ihre Summe negativ ist, und wie sich der Betrag \(50\) gleichmäßig auf beide verteilt.

1. Bei a) führt der Weg von \(25\) bis \(-50\) um \(75\) Schritte nach links. Daher ist der fehlende Summand \(-75\): \(25+(-75)=-50\). 2. Bei b) führt der Weg von \(-70\) bis \(-50\) um \(20\) Schritte nach rechts. Daher ist der fehlende Summand \(+20\): \((-70)+(+20)=-50\). 3. Bei c) müssen beide identischen Summanden negativ sein. Ihre Beträge sind gleich und ergeben zusammen \(50\). Jeder Betrag ist daher \(25\). Somit gilt \((-25)+(-25)=-50\).

a) \(25+(-75)=-50\) b) \((-70)+(+20)=-50\) c) \((-25)+(-25)=-50\)

- Eine Gutschrift ist beim Addieren ein positiver Summand. - Der aktuelle Kontostand ist der Endpunkt; gesucht ist der Startpunkt vor diesem positiven Sprung. - Verfolge den positiven Sprung vom Endpunkt aus rückwärts auf der Zahlengeraden.

1. Durch die Gutschrift kommen \(125\,\text{€}\) zum vorherigen Kontostand dazu. 2. Geht man vom neuen Stand \(-240\,\text{€}\) um \(125\,\text{€}\) zurück, erhält man \(-365\,\text{€}\). 3. Vor der Gutschrift lag der Kontostand also bei \(-365\,\text{€}\).

Der Kontostand vor der Gutschrift betrug \(-365\,\text{€}\).

- Schreibe die gedachte Zahl als Platzhalter in einer Additionsgleichung. - Deute den Summanden \(-67\) als gerichtete Bewegung auf der Zahlengeraden. - Um den unbekannten Startpunkt zu finden, verfolge die bekannte Bewegung vom Ziel aus rückwärts.

1. Schreibe die Situation als \(x+(-67)=25\). 2. Das Addieren von \(-67\) bedeutet eine Bewegung um \(67\) Schritte nach links bis zum Ziel \(25\). 3. Verfolge diese Bewegung vom Ziel aus rückwärts: \(67\) Schritte nach rechts führen zum Startpunkt \(92\). 4. Die gedachte Zahl ist daher \(92\).

\(92\)

- Wie schreibt man eine Subtraktion als Addition einer negativen Zahl? - Gibt es zwei Zahlen, die zusammen genau \(1000\) ergeben? - Nutze das Vertauschungsgesetz, um diese beiden Zahlen zuerst zusammenzufassen.

1. Schreibe die Subtraktion als Addition: \(385+(-119)+615\). 2. Fasse zuerst \(385+615=1000\) zusammen. 3. Danach gilt \(1000+(-119)=881\).

\(385 + (-119) + 615 = 881\)

- Wandle zuerst alle Subtraktionen in Additionen der jeweiligen Gegenzahlen um. - Suche nach Zahlenpaaren, die sich zu glatten Hundertern oder Tausendern ergänzen. - Es kann hilfreich sein, die negativen und die positiven Summanden jeweils zusammenzufassen.

1. Schreibe die Subtraktion als Addition: \(-2650+1433+(-350)+567\). 2. Fasse passend zusammen: \((-2650)+(-350)=-3000\) und \(1433+567=2000\). 3. Damit ergibt sich \(-3000+2000=-1000\).

\(-2650 + 1433 + (-350) + 567 = -1000\)

- Suche unter den positiven Summanden nach einer runden Teilsumme. - Suche auch bei den negativen Summanden nach einem günstigen Paar. - Addiere anschließend die wenigen verbleibenden Teilsummen.

1. Es gilt \((-135)+(-65)=-200\) und \(420+580=1000\). 2. Damit wird die Summe zu \(1000+(-200)+(-315)=485\).

\(485\)

- Suche ein positives und ein negatives Zahlenpaar, das sich besonders einfach zusammenfassen lässt. - Suche danach ein weiteres günstiges Paar mit ähnlichen Endziffern. - Fasse die einfachen Teilsummen zuerst zusammen.

1. Günstig ist \(2750+(-1250)=1500\). 2. Außerdem gilt \(638+(-438)=200\). 3. Damit ergibt sich \(1500+200+(-485)=1215\).

\(1215\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Welche Paare lassen sich besonders einfach addieren oder subtrahieren? - Achte auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Wenn das Ergebnis 0 sein soll, muss die letzte Zahl genau das Gegenteil der Summe aller vorherigen Zahlen sein.

1. Für a) kann man \((-45-55)+(128+72)=-100+200=100\) rechnen. 2. Für b) ergeben die ersten drei Zahlen zusammen \(-45+128-55=28\). 3. Damit die Summe \(0\) wird, muss die letzte Zahl \(-28\) sein.

a) \(100\) b) \(-28\)

- Kannst du die positiven Zahlen zuerst addieren, um eine glatte Zahl zu erhalten? - Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn du eine Zahl am Ende änderst? - Überlege, welche Zahl du zu den restlichen Werten addieren musst, um bei Null zu landen.

1. Für a) gilt \((1250+750)-3400-600=2000-4000=-2000\). 2. Ohne die letzte Zahl ergibt sich \(1250-3400+750=-1400\). 3. Daher muss die neue letzte Zahl \(+1400\) sein, denn \(-1400+1400=0\).

a) \(-2000\) b) \(+1400\)

- Suche Summanden, die zusammen besonders einfache Hunderter ergeben. - Überlege, mit welchem Rechengesetz du die Reihenfolge der Summanden verändern darfst. - Behalte negative Zahlen beim Gruppieren als negative Summanden bei.

1. Mit dem Kommutativgesetz werden passende Summanden nebeneinandergestellt: \([(-240)+(-60)]+(115+85)\). 2. Mit dem Assoziativgesetz werden die Teilsummen gebildet. 3. Es gilt \((-240)+(-60)=-300\) und \(115+85=200\). 4. Damit ergibt sich \((-300)+200=-100\).

Der Wert des Terms ist \(-100\). Verwendet werden Kommutativgesetz und Assoziativgesetz.

- Achte auf die Endziffern. Welche Zahlen lassen sich besonders leicht voneinander abziehen? - Vergiss nicht, dass das Vorzeichen (Plus oder Minus) immer fest zur folgenden Zahl gehört, wenn du die Reihenfolge änderst. - Kannst du den Term in kleinere Gruppen aufteilen, die im Kopf leicht zu rechnen sind?

1. Schreibe den Term als Summe: \(781+(-495)+(-281)+195+(-100)\). 2. Ordne die Summanden mit dem Kommutativgesetz: \((781+(-281))+((-495)+195)+(-100)\). 3. Berechne die Gruppen: \(500+(-300)+(-100)\). 4. Fasse zusammen: \(500-300-100=100\).

Das Ergebnis ist \(100\).

- Übersetze jedes Steigen in einen positiven und jedes Fallen in einen negativen Summanden. - Suche unter den Änderungen nach Teilsummen, die sich gegenseitig aufheben. - Behalte auch beim geschickten Gruppieren die Vorzeichen der einzelnen Änderungen bei.

1. Die Gesamtrechnung lautet \((-4)+(+7)+(-2)+(+3)+(-8)+(-5)\). 2. Die positiven Änderungen ergeben \((+7)+(+3)=+10\). Zwei negative Änderungen ergeben \((-2)+(-8)=-10\). 3. Die Teilsummen \(+10\) und \(-10\) heben sich auf. 4. Es bleiben \((-4)+(-5)=-9\). Die Endtemperatur beträgt \(-9\,^\circ\text{C}\).

\(-9\,^\circ\text{C}\)

- Ordne jedem Aufstieg einen positiven und jedem Absinken einen negativen Summanden zu. - Prüfe, ob sich der Startwert mit einer passenden positiven Teilsumme aufheben lässt. - Fasse anschließend die noch übrigen Änderungen zusammen.

1. Die Rechnung lautet \((-1250)+(+450)+(-200)+(+800)+(-150)\). 2. Die beiden Aufstiege ergeben \((+450)+(+800)=+1250\) und gleichen die Startposition aus. 3. Übrig bleibt \((-200)+(-150)=-350\). 4. Das U-Boot befindet sich danach \(350\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel.

\(-350\,\text{m}\), also \(350\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel

- Geld, das dazukommt, erhält ein positives Vorzeichen; Abbuchungen ein negatives. - Suche Beträge, die sich zu runden Hundertern oder Tausendern zusammenfassen lassen. - Rechne zuerst mit den günstigsten Paaren.

1. Die Rechnung lautet \((-240)+1550+(-600)+(-760)+450+(-300)\). 2. Günstig ist \((-240)+(-760)=-1000\). 3. Außerdem gilt \(1550+450=2000\) und \((-600)+(-300)=-900\). 4. Damit ergibt sich \(2000+(-1000)+(-900)=100\).

Der neue Kontostand beträgt \(100\,\text{€}\).

- Was bedeutet der „Betrag“ einer Zahl für ihren Wert? - Wie findest du die „Gegenzahl“ eines Ergebnisses? - Stelle sicher, dass du zuerst die Summe berechnest, bevor du ihre Gegenzahl bildest.

1. Es gilt \(|-815|=815\). 2. Die Summe \(462+(-194)\) ist \(268\); ihre Gegenzahl ist \(-268\). 3. Damit ergibt sich \(815+(-268)=547\).

\(|-815| + (-(462 + (-194))) = 547\)

- Lies jede Gleichung als Startpunkt plus gerichtete Bewegung gleich Zielpunkt. - Fehlt der erste Summand, verfolge die bekannte Bewegung vom Ziel aus rückwärts. - Fehlt der zweite Summand, bestimme Richtung und Länge des Weges vom bekannten Start zum Ziel.

1. Bei a) muss eine Bewegung um \(85\) Schritte nach rechts bei \(42\) enden. Der Startpunkt liegt daher bei \(-43\), also \(x=-43\). 2. Bei b) führt die gesuchte Bewegung von \(-14\) bis \(36\) um \(50\) Schritte nach rechts. Daher ist \(x=50\). 3. Bei c) führt der Summand \(-55\) um \(55\) Schritte nach links bis \(-19\). Der Startpunkt liegt \(55\) Schritte rechts davon bei \(36\), also \(x=36\). 4. Bei d) führt die gesuchte Bewegung von \(-72\) bis \(-110\) um \(38\) Schritte nach links. Daher ist \(x=-38\).

a) \(x=-43\) b) \(x=50\) c) \(x=36\) d) \(x=-38\)

- Deute die fehlende Zahl jeweils als unbekannten Summanden oder unbekannten Startpunkt. - Nutze auf der Zahlengeraden die Richtung vom bekannten Start zum Ziel. - Prüfe die gefundene Zahl durch Einsetzen in die ursprüngliche Addition.

1. Bei a) führt die bekannte Bewegung um \(64\) Schritte nach rechts zum Ziel \(20\). Der Startpunkt liegt deshalb bei \(-44\). 2. Bei b) führt die gesuchte Bewegung von \(-15\) bis \(-40\) um \(25\) Schritte nach links. Daher gehört \(-25\) in das Kästchen. 3. Bei c) führt die gesuchte Bewegung von \(50\) bis \(85\) um \(35\) Schritte nach rechts. Daher gehört \(+35\) in das Kästchen.

a) \(-44\) b) \(-25\) c) \(+35\)

- Suche zuerst zwei positive Summanden mit einer runden Summe. - Suche danach bei den negativen Summanden nach einem günstigen Paar. - Addiere die entstandenen Teilsummen zuletzt.

1. Günstig ist \(128+72=200\). 2. Außerdem gilt \((-57)+(-43)=-100\). 3. Damit ist \(200+(-100)+(-114)=-14\).

\(-14\)

- Schreibe für jede Tabellenzeile die passende Additionsgleichung auf. - Wenn ein Summand fehlt, deute den bekannten Summanden als Bewegung auf der Zahlengeraden. - Prüfe jeden gefundenen Wert durch Einsetzen in die jeweilige Addition.

1. In der ersten Zeile gilt \((-18)+30=12\). Daher ist (1) \(12\). 2. In der zweiten Zeile führt das Addieren von \(-12\) vom unbekannten Startpunkt um \(12\) Schritte nach links bis \(-20\). Der Startpunkt liegt daher bei \(-8\). Somit ist (2) \(-8\). 3. In der dritten Zeile führt die gesuchte Bewegung von \(-45\) bis \(-15\) um \(30\) Schritte nach rechts. Daher ist (3) \(30\).

(1) \(12\) (2) \(-8\) (3) \(30\)

- Fasse zuerst die beiden bekannten Summanden zusammen. - Deute die verbleibende Gleichung als Bewegung von der unbekannten Startzahl zum bekannten Ziel. - Prüfe deinen Startwert anschließend mit beiden ursprünglichen Additionen.

1. Stelle die Gleichung \(x+(-15)+22=4\) auf. 2. Die bekannten Summanden ergeben \((-15)+22=7\). Damit lautet die Gleichung \(x+7=4\). 3. Das Addieren von \(7\) bewegt den Startpunkt um \(7\) Schritte nach rechts bis \(4\). Der Startpunkt liegt daher \(7\) Schritte links von \(4\), also bei \(-3\). 4. Die ursprüngliche Zahl ist \(-3\).

\(-3\)

- Suche nach Paaren, die runde und leicht weiterzuverarbeitende Zwischensummen bilden. - Behalte beim Umstellen das jeweilige Vorzeichen jeder Zahl bei. - Du kannst entweder nach passenden Paaren suchen oder positive und negative Anteile getrennt zusammenfassen.

1. Eine günstige Gruppierung ist \((-123-77)+(57+43)+(265-65)\). 2. Die Teilsummen sind \(-200\), \(100\) und \(200\). 3. Insgesamt ergibt sich \(-200+100+200=100\).

\(100\)

- Der Pfeil zeigt die Richtung der Addition; sein Wert gibt die Sprungweite mit Vorzeichen an. - Ist der Endpunkt gesucht, folge dem Sprung vom Startpunkt aus. - Ist der Startpunkt gesucht, verfolge den eingezeichneten Sprung vom Endpunkt aus in Gegenrichtung zurück.

1. Bei a) führt der Sprung von \(-15\) um \(-18\) nach links bis \(-33\). 2. Bei b) endet ein Sprung von \(-24\) bei \(-32\). Verfolge den Pfeil vom Endpunkt um \(24\) Schritte nach rechts zurück. Der Startpunkt ist \(-8\). 3. Bei c) führt der Sprung von \(-45\) um \(+60\) nach rechts bis \(15\). 4. Bei d) endet ein Sprung von \(-35\) bei \(-23\). Vom Endpunkt aus führen \(35\) Schritte nach rechts zum Startpunkt \(12\).

a) \(-33\) b) \(-8\) c) \(15\) d) \(12\)

- Gehe in jeder Rechenkette von einem bekannten Punkt aus und bearbeite einen Sprung nach dem anderen. - Beim Vorwärtsgehen entspricht das Vorzeichen des Sprungs direkt der Bewegungsrichtung. - Beim Rückwärtsgehen verfolgst du denselben eingezeichneten Sprung in der entgegengesetzten Richtung.

1. Bei a) führt \((-50)+(+120)\) zum Zwischenwert \(70\). Danach ergibt \(70+(-90)=-20\). 2. Bei b) endet der erste Sprung \(-40\) bei \(10\). Vom Endpunkt aus \(40\) Schritte nach rechts zurück führt zum Startwert \(50\). Der zweite Sprung \(+60\) führt von \(10\) bis \(70\). 3. Bei c) endet der zweite Sprung \(-70\) bei \(-60\). Vom Endpunkt aus \(70\) Schritte nach rechts zurück ergibt den Zwischenwert \(10\). Der erste Sprung \(+30\) endet bei \(10\); sein Startpunkt liegt daher \(30\) Schritte links bei \(-20\).

a) \(70\) und \(-20\) b) \(50\) und \(70\) c) \(-20\) und \(10\)

- Lies Endwert und Sprungweite aus der Abbildung ab. - Um den unbekannten Startwert zu finden, verfolge den dargestellten Sprung rückwärts. - Kontrolliere deinen Startwert anschließend durch die Vorwärtsrechnung.

1. Der Sprung endet bei \(-12\) und hat die Sprungweite \(-50\). 2. Rückwärts vom Endwert aus geht man deshalb \(50\) Einheiten nach rechts: \(-12+50=38\). 3. Zur Kontrolle gilt \(38+(-50)=-12\).

Startwert: \(38\); passende Rechnung: \(38+(-50)=-12\).

- Lies Startwert und beide Sprungweiten aus der Abbildung ab. - Bestimme zuerst den Wert nach dem ersten Sprung. - Nutze diesen Zwischenwert als Start für den zweiten Sprung.

1. Vom Startwert \(-15\) führt der erste Sprung um \(+25\) zum Zwischenwert \(10\). 2. Vom Zwischenwert \(10\) führt der zweite Sprung um \(-40\) zum Endwert \(-30\). 3. Die gesamte Rechnung lautet \((-15)+(+25)+(-40)=-30\).

Zwischenwert: \(10\); Endwert: \(-30\); Rechnung: \((-15)+(+25)+(-40)=-30\).

- Lies den Startwert und beide Sprungweiten in ihrer Reihenfolge aus der Abbildung ab. - Positive Sprünge führen nach rechts, negative Sprünge nach links. - Berechne zuerst den Zwischenwert nach dem ersten Sprung und gehe von dort zum Endwert weiter.

1. Aus der Abbildung liest man die Starttemperatur \(-8\,^\circ\text{C}\) und den ersten Sprung \(+15\,^\circ\text{C}\) ab. Damit liegt die Temperatur am Mittag bei \(7\,^\circ\text{C}\). 2. Der zweite Sprung ist \(-4\,^\circ\text{C}\). Als Addition geschrieben gilt \(7+(-4)=3\). 3. Am Abend beträgt die Temperatur \(3\,^\circ\text{C}\).

\(3\,^\circ\text{C}\)

- Prüfe zuerst, ob die beiden Summanden dasselbe oder verschiedene Vorzeichen haben. - Überlege auf der Zahlengeraden, ob der positive oder der negative Beitrag stärker ist. - Kontrolliere, ob ein Ergebnis mit sehr großem Betrag überhaupt zur Bewegung von \(-8\) aus passen kann.

1. Bei Summanden mit verschiedenen Vorzeichen werden nicht die Beträge addiert. Entscheidend ist die Differenz der Beträge und das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. 2. Hier ist \(13\) größer als \(8\), also ist das Ergebnis positiv. 3. Die Differenz ist \(13-8=5\). Daher gilt \(-8+13=5\).

Mara addiert die Beträge fälschlich. Richtig ist \(-8+13=5\).

- Beginne bei einem leeren Stein, zu dem bereits zwei zusammengehörige Angaben sichtbar sind. - Formuliere die Summenregel jeweils als kleine Gleichung. - Wenn eine untere Zahl fehlt, kannst du von der bekannten Summe rückwärts denken.

1. Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(2\). Daher muss für den mittleren unteren Stein \(-7+x=2\) gelten; daraus folgt \(x=9\). 2. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist dann \(9+4=13\). 3. Der oberste Stein ist \(2+13=15\).

Unterste Reihe: mittlerer Stein \(9\). Zweite Reihe: rechter Stein \(13\). Oberster Stein: \(15\).

- Teile die vier Ziffern systematisch in zwei Paare auf. - Bilde aus jedem Paar die möglichen zweistelligen Zahlen und vergleiche die Beträge. - Bei einer positiven und einer negativen Zahl liegt die Summe besonders nah bei \(0\), wenn ihre Beträge möglichst wenig voneinander abweichen.

1. Da die Vorzeichen \(+\) und \(-\) jeweils genau einmal verwendet werden, entsteht die Summe einer positiven und einer negativen zweistelligen Zahl. Der Abstand des Ergebnisses von \(0\) ist daher die Differenz der beiden Beträge. 2. Teile die Ziffern systematisch in zwei Paare und wähle innerhalb jedes Paares die günstigste Reihenfolge: - \(\{1,2\}\) und \(\{3,4\}\): kleinster Abstand \(|21-34|=13\). - \(\{1,3\}\) und \(\{2,4\}\): kleinster Abstand \(|31-24|=7\). - \(\{1,4\}\) und \(\{2,3\}\): kleinster Abstand \(|14-23|=9\). 3. Der kleinste mögliche Abstand von \(0\) ist somit \(7\). Mögliche Einsetzungen sind \((+31)+(-24)=7\) und \((-31)+(+24)=-7\); auch die vertauschte Reihenfolge der Summanden ist möglich.

\((+31) + (-24) = 7\) oder \((-31) + (+24) = -7\) (andere Anordnungen der Summanden sind möglich).