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- Wie stellst du eine Tiefe unter dem Meeresspiegel mathematisch dar? - Bedeutet „absinken“, dass der Wert größer oder kleiner wird? - Welches Vorzeichen hat die Änderung, wenn es weiter nach unten geht?

1. Startposition als negative Zahl festlegen: \(-150\,\text{m}\) 2. Das Absinken wird als Addition der negativen Zahl \(-75\) dargestellt. 3. Rechnung durchführen: \(-150 + (-75) = -225\) 4. Die neue Position ist \(-225\,\text{m}\) bezogen auf den Meeresspiegel.

Die Rechnung lautet \(-150 + (-75) = -225\). Das U-Boot befindet sich in einer Position von \(-225\,\text{m}\).

- Überlege dir, in welche Richtung du dich auf der Zahlengeraden bewegst, wenn eine Zahl größer werden soll. - Welches Rechenzeichen gehört zu dem Ausdruck „um etwas größer“?

1. Die Formulierung „um 58 größer“ entspricht der Addition von \( 58 \) zur Ausgangszahl \( -33 \). 2. Die Rechnung lautet: \( -33 + 58 \). 3. Durch Verrechnen der Vorzeichen ergibt sich als Ergebnis \( 25 \).

\( 25 \)

- Welche der beiden Zahlen hat den größeren Abstand zur Null? - Was passiert, wenn du zwei Schuldenbeträge zusammenzählst? - Was ergibt sich, wenn du genau so viel dazu gewinnst, wie du vorher verloren hast? - Überlege dir die Rechnung an einem Thermometer oder einem Zahlenstrahl.

1. Bei \((-14) + (+25)\) ist der Betrag der positiven Zahl größer (\(25 > 14\)), daher ist das Ergebnis positiv: \(+11\). 2. Bei \((+18) + (-30)\) ist der Betrag der negativen Zahl größer (\(30 > 18\)), daher ist das Ergebnis negativ: \(-12\). 3. Die Summe zweier negativer Zahlen \((-22) + (-18)\) ist immer negativ: \(-40\). 4. Die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl \((-45) + (+45)\) ergibt immer \(0\).

a) positiv; \(+11\) b) negativ; \(-12\) c) negativ; \(-40\) d) null; \(0\)

- Du musst hier nicht rechnen, sondern nur einschätzen, ob das Ergebnis positiv, negativ oder null ist. - Welche Zahl „gewinnt“, wenn man ihre Beträge vergleicht? - Was weißt du über das Vorzeichen, wenn beide Summanden negativ sind?

1. Da \(|+40| > |-35|\), überwiegt der positive Teil, das Ergebnis ist größer als \(0\). 2. Die Summe zweier negativer Zahlen ist stets negativ, also kleiner als \(0\). 3. Da eine Zahl mit ihrer Gegenzahl addiert wird, ist das Ergebnis genau \(0\). 4. Da \(|-50| > |+30|\), überwiegt der negative Teil, das Ergebnis ist kleiner als \(0\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(<\)

- Haben die Zahlen das gleiche oder ein unterschiedliches Vorzeichen? - Überlege dir, ob das Ergebnis im positiven oder negativen Bereich liegen muss. - Denk an das Modell von Guthaben und Schulden oder an ein Thermometer. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du zwei negative Zahlen addierst?

a) Bei unterschiedlichen Vorzeichen wird der kleinere Betrag vom größeren Betrag subtrahiert und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag übernommen: \(92 - 38 = 54\). Da \(|+92| > |-38|\), ist das Ergebnis positiv: \(+54\). b) Bei unterschiedlichen Vorzeichen gilt entsprechend: \(117 - 54 = 63\). Da \(|-117| > |+54|\), ist das Ergebnis negativ: \(-63\). c) Bei gleichen Vorzeichen werden die Beträge addiert und das gemeinsame Vorzeichen beibehalten: \(256 + 144 = 400\), also \(-400\). d) Bei unterschiedlichen Vorzeichen gilt: \(1025 - 375 = 650\). Da \(|-1025| > |+375|\), ist das Ergebnis negativ: \(-650\).

a) \(54\) b) \(-63\) c) \(-400\) d) \(-650\)

- Du kannst die Aufgabe von links nach rechts rechnen. - Berechne zuerst das Ergebnis der ersten beiden Zahlen. - Was kommt heraus, wenn du zu diesem Zwischenergebnis die dritte Zahl addierst?

1. Addition der ersten beiden Summanden: \((-120) + (+450) = 330\). Da der Betrag der positiven Zahl größer ist, ist das Zwischenergebnis positiv. 2. Addition des Zwischenergebnisses zum dritten Summanden: \(330 + (-380) = -50\). Da der Betrag der negativen Zahl (\(380\)) größer ist als \(330\), ist das Endergebnis negativ.

\(-50\)

- Schau dir an, ob das Ergebnis größer oder kleiner als der erste Summand ist. - Überlege, ob sich die Beträge der Zahlen addieren oder ob du ihre Differenz bilden musst. - Welches Vorzeichen muss die Zahl mit dem größeren Betrag haben, damit das Ergebnis das gewünschte Vorzeichen bekommt?

1. Bestimmung des Vorzeichens für a): Da \(17 + 13 = 30\) ist und das Ergebnis positiv sein soll, muss die \(17\) ein Pluszeichen erhalten: \((+17) + (+13) = +30\). 2. Bestimmung des Vorzeichens für b): Um von \(-24\) auf \(-40\) zu kommen, muss eine negative Zahl addiert werden (\(24 + 16 = 40\)): \((-24) + (-16) = -40\). 3. Bestimmung des Vorzeichens für c): Da das Ergebnis negativ ist und der Betrag des Ergebnisses (\(15\)) der Differenz der Beträge (\(50 - 35\)) entspricht, muss die Zahl mit dem größeren Betrag negativ sein: \((+35) + (-50) = -15\). 4. Bestimmung des Vorzeichens für d): Da \(-16\) das Ergebnis von \(12 - 28\) ist, muss die \(12\) positiv sein: \((+12) + (-28) = -16\).

a) \(+\) b) \(-\) c) \(-\) d) \(+\)

- Überlege, welche Zahl weiter von der Null entfernt ist. - Haben beide Zahlen das gleiche Vorzeichen oder verschiedene? - Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor: In welche Richtung gehst du zuerst, in welche danach? - Wenn du Schulden und Guthaben zusammenzählst, was bleibt am Ende übrig?

1. Bestimmung des Vorzeichens durch Vergleich der Beträge (bei unterschiedlichen Vorzeichen) oder Übernahme des gemeinsamen Vorzeichens (bei gleichen Vorzeichen). 2. Berechnung der Betragssumme oder der Betragsdifferenz: a) \(|625| > |415|\), Vorzeichen \(+\), Differenz \(625 - 415 = 210\). b) Beide negativ, Vorzeichen \(-\), Summe \(874 + 126 = 1000\). c) \(|3750| > |2500|\), Vorzeichen \(-\), Differenz \(3750 - 2500 = 1250\). d) \(|1001| > |999|\), Vorzeichen \(+\), Differenz \(1001 - 999 = 2\).

a) \(+210\) b) \(-1000\) c) \(-1250\) d) \(+2\)

- Du kannst die Aufgabe in zwei kleine Rechnungen aufteilen. - Berechne zuerst die Summe der ersten beiden Zahlen. - Was passiert, wenn du eine Zahl und ihre Gegenzahl addierst?

1. Berechnung des ersten Teilschritts von links nach rechts: a) \((-120) + (+250) = +130\). b) \((+500) + (-750) = -250\). 2. Addition des dritten Summanden zum Zwischenergebnis: a) \((+130) + (-80) = +50\). b) \((-250) + (+250) = 0\).

a) \(50\) b) \(0\)

- Überlege dir, ob die gesuchte Zahl positiv oder negativ sein muss, um vom Startwert zum Ergebnis zu gelangen. - Stell dir die Rechnung als Bewegung auf einer Zahlengeraden vor: Musst du nach links oder nach rechts gehen? - Was musst du zu einer positiven Zahl addieren, damit das Ergebnis kleiner wird? - Du kannst das Ergebnis auch finden, indem du die Umkehraufgabe (Subtraktion) nutzt.

Um den fehlenden Summanden \(x\) in der Gleichung \(15 + x = b\) zu finden, berechnet man die Differenz zwischen dem Ergebnis \(b\) und der Startzahl \(15\). 1. Für \(b = 8\): \(8 - 15 = -7\). Die gesuchte Zahl ist \(-7\). 2. Für \(b = -2\): \(-2 - 15 = -17\). Die gesuchte Zahl ist \(-17\). 3. Für \(b = 0\): \(0 - 15 = -15\). Die gesuchte Zahl ist \(-15\). 4. Für \(b = 16\): \(16 - 15 = 1\). Die gesuchte Zahl ist \(1\).

a) \(-7\) b) \(-17\) c) \(-15\) d) \(1\)

- Lies die Aufgaben genau durch und schreibe sie zuerst als mathematische Gleichung mit einem Platzhalter auf. - Überlege bei Teil b), welchen Namen man für zwei Zahlen verwendet, die addiert Null ergeben. - Wenn du bei einer Zahl startest und bei einer kleineren Zahl landest, muss der Summand negativ sein. - Kannst du die Aufgaben im Kopf lösen, indem du dir die Sprünge auf der Zahlengeraden vorstellst?

Die Aufgaben verlangen das Lösen von Gleichungen der Form \(a + x = b\). 1. Rechnung: \(10 + x = -5\). Die Verschiebung von \(10\) zu \(-5\) auf der Zahlengeraden beträgt \(15\) Einheiten nach links, also \(x = -15\). 2. Rechnung: \(-20 + x = 0\). Um von \(-20\) zur Null zu kommen, muss die Gegenzahl addiert werden, also \(x = 20\). 3. Rechnung: \(-4 + x = -12\). Der Wert sinkt weiter um \(8\) Einheiten, also \(x = -8\). 4. Rechnung: \(0 + x = -8\). Da die Startzahl Null ist, entspricht der Summand direkt dem Ergebnis, also \(x = -8\).

a) \(-15\) b) \(20\) c) \(-8\) d) \(-8\)

- Kannst du die Zahlen so umstellen, dass du zuerst alle positiven Zahlen addierst? - Überlege dir, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss, indem du die Beträge der Zahlen vergleichst. - Was passiert, wenn du Schritt für Schritt von links nach rechts rechnest?

1. Zusammenfassen der positiven Summanden: \( (+154) + (+45) = +199 \). 2. Addition des Ergebnisses mit der negativen Zahl: \( (+199) + (-289) \). 3. Berechnung der Differenz der Beträge mit dem Vorzeichen der betragsmäßig größeren Zahl: \( -(289 - 199) = -90 \).

\(-90\)

- Versuche, die Zahlen auf Hunderter oder Fünfziger zu runden. - Gibt es zwei Zahlen, die zusammen eine besonders einfache Summe ergeben? - Beachte, ob das Endergebnis positiv oder negativ sein muss.

1. Schritt: Runden der Summanden auf einfache Werte: \(-750\), \(+100\) und \(-250\). 2. Schritt: Berechnung des Überschlags: \((-750) + (-250) = -1000\). 3. Schritt: Addition des verbleibenden Summanden: \(-1000 + 100 = -900\). 4. Prüfung: Der exakte Wert ist \(-748 + 102 - 251 = -897\). Der Wert \(-900\) liegt am nächsten.

B) \(-900\)

- Kannst du ein Beispiel mit zwei konkreten negativen Zahlen ausrechnen? - Was ist die Gegenzahl von Null auf der Zahlengeraden? - Denke daran, dass eine Begründung bei einer falschen Aussage oft durch ein einziges Gegenbeispiel erfolgen kann.

1. Prüfung von Aussage a: Ein Gegenbeispiel suchen, z. B. \((-3) + (-5) = -8\). Da \(-8\) eine negative Zahl ist, ist die Aussage falsch. 2. Prüfung von Aussage b: Die Gegenzahl von \(0\) ist \(0\). Addiert man \(0\) zu einer Zahl \(a\), gilt \(a + 0 = a\). Die Aussage ist also wahr.

a) Falsch. Beispiel: \((-2) + (-4) = -6\). Die Summe ist negativ, nicht positiv. b) Wahr. Die Gegenzahl von \(0\) ist \(0\). Die Addition von \(0\) verändert den Wert einer Zahl nicht.

- Was passiert, wenn sich eine Zahl durch eine Addition gar nicht verändert? - Welche besondere Rolle spielt die Null auf der Zahlengeraden? - Wie nennt man eine Zahl, die den gleichen Abstand zur Null hat wie eine andere, aber auf der gegenüberliegenden Seite liegt?

1. Da sich der Wert \(-12\) durch die Addition von \(x\) nicht verändert, muss keine Bewegung auf der Zahlengeraden stattgefunden haben. Somit ist \(x = 0\). 2. Um von \(+44\) zur \(0\) zu gelangen, muss man sich genau um den Betrag der Zahl in die entgegengesetzte Richtung bewegen. Die Gegenzahl von \(+44\) ist \(-44\), also ist \(x = -44\).

a) \(x = 0\) b) \(x = -44\)

- Berechne zuerst die jeweilige Summe. - Vergleiche das Endergebnis sorgfältig mit dem ersten Summanden \(a\). - Überlege allgemein: Wie verändert ein positiver bzw. ein negativer zweiter Summand \(b\) den Wert von \(a\)?

1. Erste Zeile berechnen: \(12 + (-5) = 7\). Vergleich: \(7 > 12\) ist falsch, also „nein“. 2. Zweite Zeile berechnen: \((-6) + (-4) = -10\). Vergleich: \(-10 > -6\) ist falsch, also „nein“. 3. Dritte Zeile berechnen: \((-9) + 10 = 1\). Vergleich: \(1 > -9\) ist wahr, also „ja“.

Die ausgefüllte Tabelle lautet: 1. Zeile: \(s = 7\); nein 2. Zeile: \(s = -10\); nein 3. Zeile: \(s = 1\); ja

- Was passiert mit dem Vorzeichen der Summe, wenn du zwei negative Zahlen addierst? - Wenn das Ergebnis negativ sein soll, aber eine der Zahlen positiv ist, welche der beiden Zahlen muss dann „stärker“ sein (einen größeren Abstand zur Null haben)? - Versuche, dir die Addition als Schritte auf einer Zahlengeraden vorzustellen.

1. Für zwei negative Summanden mit der Summe \(-32\) wählt man zwei Zahlen, deren Beträge zusammen \(32\) ergeben, zum Beispiel \(-16\) und \(-16\), da \((-16) + (-16) = -32\). 2. Für einen positiven und einen negativen Summanden muss der Betrag der negativen Zahl um \(32\) größer sein als der der positiven Zahl. Beispiel: \(8 + (-40) = -32\). 3. Im umgekehrten Fall wählt man eine negative Zahl und eine positive Zahl, wobei die negative Zahl betragsmäßig um \(32\) überwiegt. Beispiel: \(-50 + 18 = -32\).

Mögliche Beispiele sind: a) \((-16) + (-16) = -32\) b) \(8 + (-40) = -32\) c) \((-50) + 18 = -32\)

- Kannst du die Aufgabe als eine Rechenmauer oder eine Gleichung mit einer Lücke schreiben? - Wie kannst du eine Rechnung rückgängig machen, um den Startwert zu finden? - Überlege, was passiert, wenn man eine negative Zahl addiert.

1. Der Sachverhalt lässt sich als Gleichung mit einem Platzhalter \( x \) darstellen: \( x + (-67) = 25 \). 2. Um die gesuchte Zahl zu finden, wird die Umkehroperation durchgeführt. Man subtrahiert \( -67 \) vom Ergebnis \( 25 \). 3. Die Rechnung lautet: \( 25 - (-67) \), was vereinfacht \( 25 + 67 \) entspricht. 4. Die gesuchte Zahl ist \( 92 \).

\( 92 \)

- Kannst du die Zahlen so ordnen, dass sich manche Beträge gegenseitig aufheben? - Was passiert, wenn du zuerst alle positiven Änderungen und dann alle negativen Änderungen zusammenfasst? - Gibt es Paare von Zahlen, die zusammen eine „glatte“ Zahl wie 0 oder 10 ergeben?

1. Aufstellen der Gesamtrechnung: \(-4 + 7 - 2 + 3 - 8 - 5\). 2. Gruppieren positiver und negativer Werte für geschicktes Rechnen: \((7 + 3) = 10\) und \((-2 - 8) = -10\). 3. Verrechnen der neutralisierenden Werte: \(10 - 10 = 0\). 4. Zusammenfassen der verbleibenden Werte: \(-4 - 5 = -9\). Die Endtemperatur beträgt \(-9\,^\circ\text{C}\).

Die Endtemperatur beträgt \(-9\,^\circ\text{C}\).

- Überlege dir, welche Rechenoperation die Operation in der Gleichung rückgängig macht. - Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor, um die Richtung der Rechnung zu bestimmen. - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn du eine Zahl von einer kleineren Zahl abziehst? - Was musst du tun, um \(x\) allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben?

1. Berechnung von \(x\) durch die Umkehroperationen: a) \(x = 42 - 85 = -43\) b) \(x = 36 - (-14) = 36 + 14 = 50\) c) \(x = -19 + 55 = 36\) d) \(x = -110 - (-72) = -110 + 72 = -38\)

a) \(x = -43\) b) \(x = 50\) c) \(x = 36\) d) \(x = -38\)

- Schau dir die Endziffern der Zahlen an. Welche Paare lassen sich leicht addieren oder subtrahieren? - Du darfst die Reihenfolge der Zahlen vertauschen, solange du das Vorzeichen jeder Zahl mitnimmst. - Gibt es Zahlen, die zusammen eine glatte Zahl wie \(100\) oder \(30\) ergeben?

1. Gruppierung der Summanden für ein vorteilhaftes Rechnen: \((-135 + 35) + (48 - 18)\). 2. Berechnung der ersten Teilsumme: \(-135 + 35 = -100\). 3. Berechnung der zweiten Teilsumme: \(48 - 18 = 30\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(-100 + 30 = -70\).

\( -70 \)

- Lies die Zahlen und die Pfeilrichtungen aufmerksam ab. Ein positiver Sprung geht nach rechts, ein negativer nach links. - Wenn der Startwert gesucht ist, kannst du die Umkehroperation verwenden, um vom Endwert rückwärts zu rechnen. - Bei mehreren Sprüngen hintereinander berechnest du zuerst den Zwischenschritt und führst von dort aus den nächsten Sprung durch.

Wir bestimmen die gesuchten Werte schrittweise anhand der vorgegebenen Sprünge: 1. **Teilaufgabe a):** Wir starten bei \(-24\) und machen einen Sprung von \(+35\): \(-24 + 35 = 11\) Die gesuchte Zahl ist \(11\). 2. **Teilaufgabe b):** Der Startwert ist unbekannt. Nach einem Sprung von \(-42\) landen wir bei \(-15\). Wir rechnen rückwärts, indem wir die Gegenoperation anwenden: \(-15 - (-42) = -15 + 42 = 27\) Der Startwert ist \(27\). 3. **Teilaufgabe c):** Wir starten bei \(15\) und machen zuerst einen Sprung von \(-23\): \(15 + (-23) = -8\) Der erste gesuchte Wert (Zwischenschritt) ist \(-8\). Vom Zwischenwert \(-8\) machen wir einen zweiten Sprung von \(+12\): \(-8 + 12 = 4\) Der zweite gesuchte Wert (Endwert) ist \(4\).

a) \(11\) b) \(27\) c) Erste Zahl: \(-8\), zweite Zahl: \(4\)

- Schau dir die Richtung des Pfeils an: Ein positiver Wert auf dem Pfeil bedeutet einen Sprung nach rechts (Addition). - Wenn der Startwert gesucht ist, kannst du die Umkehroperation verwenden. Was ist das Gegenteil von Addition? - Bei mehreren Sprüngen kannst du Schritt für Schritt vorgehen. Berechne zuerst den ersten Landepunkt.

1. Teilaufgabe a): Der Sprung startet bei \(-14\) und geht um \(+32\) nach rechts. Die Rechnung lautet: \(-14 + 32 = 18\). Die gesuchte Zahl ist \(18\). 2. Teilaufgabe b): Der Sprung endet bei \(15\) nach einem Sprung von \(+45\) nach rechts. Um den Startwert zu finden, rechnen wir rückwärts: \(15 - 45 = -30\). Die gesuchte Zahl ist \(-30\). 3. Teilaufgabe c): Der erste Sprung startet bei \(-28\) und geht um \(+18\) nach rechts. Die Rechnung für den gesuchten Zwischenwert lautet: \(-28 + 18 = -10\). Zur Kontrolle rechnen wir den zweiten Sprung: \(-10 + 22 = 12\), was dem Endwert entspricht. Die gesuchte Zahl ist \(-10\).

a) \(18\) b) \(-30\) c) \(-10\)

- Schau dir zuerst an, bei welcher Zahl der Pfeil startet. - Die Richtung des Pfeils verrät dir das Vorzeichen der Zahl, die addiert wird: Nach rechts ist positiv, nach links ist negativ. - Überlege dir, ob das Ergebnis im positiven oder im negativen Bereich liegen muss.

1. Erster Strahl (a): Der Startwert liegt bei \(15\). Der Sprung beträgt \(-22\). Die Rechnung lautet \(15 + (-22) = -7\). Die Zielzahl ist \(-7\). 2. Zweiter Strahl (b): Der Startwert liegt bei \(-12\). Der Sprung beträgt \(+18\). Die Rechnung lautet \(-12 + 18 = 6\). Die Zielzahl ist \(6\). 3. Dritter Strahl (c): Der Startwert liegt bei \(-10\). Der Sprung beträgt \(-15\). Die Rechnung lautet \(-10 + (-15) = -25\). Die Zielzahl ist \(-25\).

a) Zielzahl: \(-7\); Rechnung: \(15 + (-22) = -7\) b) Zielzahl: \(6\); Rechnung: \(-12 + 18 = 6\) c) Zielzahl: \(-25\); Rechnung: \(-10 + (-15) = -25\)

- Schau dir die Startzahl links am Pfeil an. - Das Vorzeichen des Sprungs verrät dir, ob du addieren oder subtrahieren musst. - Überlege dir, ob das Ergebnis im positiven oder negativen Bereich liegt.

a) \(-15 + 24 = 9\). b) \(-8 + 15 = 7\). c) \(-30 + 55 = 25\).

a) \(9\) b) \(7\) c) \(25\)

- Schau dir den Startpunkt und die Richtung des Pfeils genau an. - Überlege, ob das Ergebnis im positiven oder negativen Bereich liegen muss. - Du kannst die Aufgabe auch als Subtraktion sehen: \(65 - 42\).

1. Der Startpunkt auf der Zahlengeraden liegt bei \(-42\). 2. Ein Sprung von \(+65\) erfolgt nach rechts. 3. Berechnung des Zielwerts: \(-42 + 65 = 23\).

\(23\)

- Überlege zuerst: Hat Max nach der Einzahlung wieder ein Guthaben oder ist er noch im Minus? - Eine Einzahlung erhöht den Kontostand, also bewegst du dich auf der Zahlengeraden nach rechts.

1. Der aktuelle Kontostand ist der Startwert: \(-15\,\text{€}\). 2. Die Einzahlung wird als positiver Sprung von \(+40\,\text{€}\) dargestellt. 3. Berechnung des neuen Standes: \(-15\,\text{€} + 40\,\text{€} = 25\,\text{€}\).

Sein neuer Kontostand beträgt \(25\,\text{€}\).

- Stell dir vor, du stehst auf einem Zahlenstrahl bei der ersten Zahl. Wie weit und in welche Richtung musst du gehen, um das Ergebnis zu erreichen? - Kannst du die Aufgabe als Umkehraufgabe formulieren? - Überlege dir eine Situation mit Guthaben und Schulden dazu.

1. Um von \(-12\) auf \(+5\) zu kommen, muss eine positive Zahl addiert werden, die den Abstand zu Null (\(12\)) und zusätzlich den Zielwert (\(5\)) abdeckt: \(12 + 5 = 17\). 2. Um mit einer weiteren negativen Zahl \((-8)\) auf \(-20\) zu kommen, muss die Startzahl negativ sein: \(-20 - (-8) = -12\). 3. Damit die Summe \(0\) ergibt, muss die Gegenzahl addiert werden: \(-15\). 4. Um nach einer Erhöhung um \(10\) bei \(-3\) zu landen, muss die Startzahl tiefer im Negativen liegen: \(-3 - 10 = -13\).

a) \(+17\) b) \(-12\) c) \(-15\) d) \(-13\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für sich. - Achte beim Vergleichen darauf, welche Zahl auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt. - Ist bei negativen Zahlen die Zahl mit dem größeren oder dem kleineren Betrag die größere Zahl?

1. Berechnung von Term \(A\): Da die Vorzeichen verschieden sind, berechnet man \(1500 - 850 = 650\). Da der Betrag der negativen Zahl größer ist, folgt \(A = -650\). 2. Berechnung von Term \(B\): Da die Vorzeichen verschieden sind, berechnet man \(2800 - 2100 = 700\). Da der Betrag der negativen Zahl größer ist, folgt \(B = -700\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Auf der Zahlengeraden liegt \(-650\) weiter rechts als \(-700\), daher gilt \(-650 > -700\). Term \(A\) ist größer.

Term \(A\) ist größer, da \(-650 > -700\).

- Achte darauf, an welcher Stelle in der Gleichung das Vorzeichen fehlt. - Bei gleichen Vorzeichen addierst du die Beträge, bei unterschiedlichen subtrahierst du sie. - Bei unterschiedlichen Vorzeichen und verschieden großen Beträgen übernimmt das Ergebnis das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag.

1. In Aufgabe a) werden Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addiert. Man subtrahiert die Beträge (\(42 - 12 = 30\)). Da der Summand mit dem größeren Betrag negativ ist, ist das Ergebnis \(-30\). 2. In Aufgabe b) ist der Betrag der negativen Zahl (\(45\)) größer als der der positiven Zahl (\(15\)). Die Differenz ist \(30\), das Vorzeichen negativ: \(-30\). 3. In Aufgabe c) muss das Vorzeichen so gewählt werden, dass \((\bigcirc 60) - 25 = 35\) gilt. Da \(60 - 25 = 35\), muss es \(+60\) sein. 4. In Aufgabe d) ist das Ergebnis \(-22\). Da bereits \(-11\) gegeben ist, muss eine weitere negative Zahl addiert werden (\(11 + 11 = 22\)): \((-11) + (-11) = -22\).

a) \(-\) b) \(-\) c) \(+\) d) \(-\)

- Berechne zuerst den Wert auf der linken und der rechten Seite getrennt voneinander. - Denke beim Vergleichen negativer Zahlen daran, welche Zahl auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt. - Ist eine Schuldenlast von \(50\,\text{€}\) größer oder kleiner als eine von \(60\,\text{€}\)?

1. Schritt a): Linke Seite \(-45 + 20 = -25\); Rechte Seite \(-30 + 5 = -25\). Vergleich: \(-25 = -25\). 2. Schritt b): Linke Seite \(100 - 150 = -50\); Rechte Seite \(-80 + 20 = -60\). Vergleich: \(-50 > -60\). 3. Schritt c): Linke Seite \(-12 - 13 = -25\); Rechte Seite \(5 - 30 = -25\). Vergleich: \(-25 = -25\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(=\)

- Du kannst die Aufgabe wie eine Waage betrachten oder die Umkehroperation nutzen. - Überlege dir bei c), was du zuerst zusammenrechnen kannst, um die Aufgabe zu vereinfachen. - Was musst du zu einer Zahl addieren, damit Null herauskommt?

1. Zu a): Um von \(+50\) zu \(-10\) zu gelangen, muss man sich um \(60\) Einheiten nach links auf der Zahlengeraden bewegen. Rechnung: \(-10 - 50 = -60\). Also \(z = -60\). 2. Zu b): Gesucht ist eine Zahl, die nach Abzug von \(120\) bei \(-200\) landet. Rechnung: \(-200 + 120 = -80\). Also \(z = -80\). 3. Zu c): Zuerst die ersten beiden Summanden zusammenfassen: \(-15 + 25 = +10\). Die Gleichung lautet nun \(10 + z = 0\). Das Ergebnis ist die Gegenzahl von \(10\), also \(z = -10\).

a) \(z = -60\) b) \(z = -80\) c) \(z = -10\)

- Erinnere dich daran, wie man eine negative Zahl von einer anderen Zahl abzieht. - Wenn Startzahl und Ergebnis gleich sind, welche Zahl bewirkt dann keine Veränderung? - Wenn das Ergebnis größer ist als die Startzahl, muss der addierte Summand positiv sein. - Nutze die Zahlengerade, um den Abstand zwischen \(a\) und \(s\) zu bestimmen.

Der gesuchte Summand \(x\) ergibt sich durch die Rechnung \(x = s - a\). Da \(a = -7\) ist, berechnet man \(x = s - (-7) = s + 7\). 1. Erste Zeile: \(-15 - (-7) = -15 + 7 = -8\). 2. Zweite Zeile: \(4 - (-7) = 4 + 7 = 11\). 3. Dritte Zeile: \(-7 - (-7) = -7 + 7 = 0\). 4. Vierte Zeile: \(20 - (-7) = 20 + 7 = 27\).

Die gesuchten Summanden \(x\) sind: a) \(-8\) b) \(11\) c) \(0\) d) \(27\)

- Überlege dir, in welche Richtung du dich auf der Zahlengeraden bewegst, wenn du eine negative oder eine positive Zahl addierst. - Runde die Zahlen auf Tausender, um eine schnelle Schätzung zu erhalten. - Denke daran: Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto kleiner ist sie.

1. Überschlag für Term 1: \(-3000 + (-2000) = -5000\). 2. Überschlag für Term 2: \(-8000 + 4000 = -4000\). Da \(-5000 < -4000\), wird Term 1 als kleiner eingeschätzt. 3. Genaue Berechnung Term 1: \((-3250) + (-1780) = -5030\). 4. Genaue Berechnung Term 2: \((-8410) + (+3520) = -4890\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(-5030 < -4890\). Term 1 ist kleiner.

Term 1 ist kleiner. Genaue Werte: Term 1 \(= -5030\); Term 2 \(= -4890\).

- Addiere erst die beiden negativen Zahlen, um eine Zwischensumme zu erhalten. - Achte beim Überschlag auf die Rundungsregeln. - Prüfe am Ende, ob dein genaues Ergebnis nah an deinem Überschlag liegt.

1. Durchführung der Überschlagsrechnung durch Rundung auf Tausender: \((-5000) + (-3000) + (+7000) = -8000 + 7000 = -1000\). 2. Genaue Berechnung der ersten beiden Summanden: \((-4890) + (-3120) = -8010\). 3. Genaue Berechnung des Gesamtergebnisses: \((-8010) + (+6950) = -1060\).

Überschlag: \(-1000\) Genaues Ergebnis: \(-1060\)

- Welchen Teil der Aufgabe musst du aufgrund der Klammern zuerst berechnen? - Erinnerst du dich an die Regel für die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen? - Wie gehst du vor, wenn du zwei negative Zahlen addierst?

1. Berechnung des Werts innerhalb der eckigen Klammer: \( (+148) + (-205) = -57 \). 2. Addition des Zwischenergebnisses zum ersten Summanden: \( (-72) + (-57) \). 3. Da beide Summanden das gleiche Vorzeichen haben, werden die Beträge addiert und das Vorzeichen beibehalten: \( -(72 + 57) = -129 \).

\(-129\)

- Gibt es Zahlen, die zusammen besonders einfache Werte (wie Hunderter) ergeben? - Darfst du die Reihenfolge der Summanden vertauschen, um leichter rechnen zu können? - Was passiert, wenn man eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert?

1. Gruppieren der Summanden mit gleichen Vorzeichen: \( [(-120) + (-80)] + [(+55) + (+145)] \). 2. Addition der negativen Zahlen: \( -120 + (-80) = -200 \). 3. Addition der positiven Zahlen: \( 55 + 145 = 200 \). 4. Berechnung der Gesamtsumme: \( (-200) + (+200) = 0 \).

\(0\)

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ einer Zahl für ihr Vorzeichen? - Wie bildest du die „Gegenzahl“ einer negativen oder positiven Zahl? - Achte bei der Summe darauf, ob du zwei Schuldenbeträge zusammenrechnest oder ein Guthaben mit Schulden verrechnest. - Überlege dir, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss, wenn von der „Gegenzahl einer Summe“ die Rede ist.

1. Zuordnung von (1): Der Betrag von \(-18\) ist \(18\), der Betrag von \(-12\) ist \(12\). Der passende Term ist B: \(|-18| + |-12|\). Berechnung: \(18 + 12 = 30\). 2. Zuordnung von (2): Die Gegenzahl von \(-18\) ist \(18\). Addiert man \(-12\), erhält man Term D: \(-(-18) + (-12)\). Berechnung: \(18 + (-12) = 6\). 3. Zuordnung von (3): Die Summe der beiden Zahlen wird direkt durch Term A beschrieben: \((-18) + (-12)\). Berechnung: \(-18 - 12 = -30\). 4. Zuordnung von (4): Zuerst wird die Summe gebildet und davon die Gegenzahl genommen (Minuszeichen vor der Klammer). Dies entspricht Term C: \(-[(-18) + (-12)]\). Berechnung: \(-(-30) = 30\).

(1) gehört zu B, Ergebnis: \(30\) (2) gehört zu D, Ergebnis: \(6\) (3) gehört zu A, Ergebnis: \(-30\) (4) gehört zu C, Ergebnis: \(30\)

- Kannst du die Sätze zuerst in eine mathematische Rechnung mit Zahlen und Vorzeichen übersetzen? - Erinnere dich daran, dass der Betrag einer Zahl immer ihren Abstand zur Null angibt und daher nie negativ ist. - Was passiert, wenn man eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert?

1. Schritt a): Die Gegenzahl von \(24\) ist \(-24\). Die Rechnung lautet \(-24 + (-16) = -40\). 2. Schritt b): Der Betrag von \(-35\) ist \(35\). Die Rechnung lautet \(35 + (-15) = 20\). 3. Schritt c): Der Betrag von \(-12\) ist \(12\), der Betrag von \(18\) ist \(18\). Die Rechnung lautet \(12 + 18 = 30\). 4. Schritt d): Die Summe aus \(-10\) und \(10\) ist \(0\). Die Gegenzahl von \(0\) ist \(0\).

a) \(-40\) b) \(20\) c) \(30\) d) \(0\)

- Runde die Zahlen auf Hunderter, um den Wert der Summe grob zu schätzen. - Achte besonders auf die Vorzeichen der Zahlen. - Vergleiche deine Schätzung mit den vorgegebenen Ergebnissen.

1. Überschlag für a): \(-300 + (-400) + (-100) = -800\). Das passende Ergebnis ist \(-805\) (3). 2. Überschlag für b): \(-900 + 300 + 200 = -400\). Das passende Ergebnis ist \(-395\) (4). 3. Überschlag für c): \(500 + (-250) + (-250) = 0\). Das passende Ergebnis ist \(-1\) (1). 4. Überschlag für d): \(-1200 + (-400) + (-100) = -1700\). Das passende Ergebnis ist \(-1700\) (2).

a) 3; b) 4; c) 1; d) 2

- Versuche, die Sätze in eine Rechenaufgabe mit einer Beispielzahl zu übersetzen. - Was passiert, wenn du eine Zahl und ihre Gegenzahl zusammenrechnest? - Gehört die Null zu den positiven Zahlen?

1. Analyse von Aussage a: Sei die Zahl \(n\). Die Rechnung lautet \(n + 12 + (-n)\). Da \(n + (-n) = 0\) ergibt, bleibt \(12\) übrig. Die Aussage ist wahr. 2. Analyse von Aussage b: Eine negative Zahl \(x\) und ihre Gegenzahl \(-x\) ergeben addiert immer \(0\) (z. B. \(-5 + 5 = 0\)). Da die Zahl \(0\) weder positiv noch negativ ist, ist die Aussage falsch.

a) Wahr. Eine Zahl und ihre Gegenzahl heben sich bei der Addition gegenseitig auf (\(0\)), sodass nur die \(12\) übrig bleibt. b) Falsch. Die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist immer \(0\). Null ist jedoch keine positive Zahl.

- Überlege dir, ob du dich nach rechts (positive Zahl addieren) oder nach links (negative Zahl addieren) bewegen musst. - Wie weit ist der Startwert von der Null entfernt? - Musst du über die Null hinausgehen, um das Ziel zu erreichen?

1. Um von \(-520\) zu \(0\) zu gelangen, müssen \(520\) Einheiten addiert werden. Von \(0\) bis \(+180\) sind es weitere \(180\) Einheiten. Die Gesamtsumme ist \(520 + 180 = 700\). 2. Um von \(+75\) zu \(-25\) zu gelangen, muss man sich auf der Zahlengeraden nach links bewegen. Der Abstand zur Null beträgt \(75\) Einheiten, und von dort aus weitere \(25\) Einheiten in den negativen Bereich. Die gesuchte Zahl ist \(-(75 + 25) = -100\).

a) \(700\) b) \(-100\)

- Berechne zuerst das Ergebnis der Beispielaufgabe. - Überlege dir, wo die Zahlen auf der Zahlengeraden liegen. Welche Zahl ist weiter links? - Stelle dir vor, du hast Schulden und es kommen weitere Schulden hinzu. Was passiert mit deinem Kontostand?

1. Berechnung des Beispiels: \((-7)+(-3)=-10\). 2. Vergleich mit den Summanden: \(-10<-7\) und \(-10<-3\). Im Beispiel stimmt die Aussage. 3. Allgemeine Begründung: Für negative ganze Zahlen \(a\) und \(b\) gilt \(a+b<a\), weil das Addieren von \(b<0\) auf der Zahlengeraden nach links führt. Ebenso gilt wegen \(a<0\) auch \(b+a<b\). Da \(a+b=b+a\), ist die Summe kleiner als beide Summanden.

Beispiel: \((-7) + (-3) = -10\). Da \(-10 < -7\) und \(-10 < -3\), stimmt die Aussage für das Beispiel. Allgemein hat Marie recht: Die Summe zweier negativer Zahlen liegt auf der Zahlengeraden immer links von beiden Summanden, ist also stets kleiner als diese.

- Überlege dir, welche Art von Zahl (positiv, negativ oder Null) du addieren musst, um dich auf der Zahlengeraden nach links oder rechts zu bewegen. - Was passiert, wenn du gar nichts veränderst? - Setze einfach verschiedene Zahlen für \(b\) ein und prüfe das Ergebnis.

1. Zu a): Damit \(s < a\), muss eine negative Zahl addiert werden. Beispiel: \(b = -2\), denn \(-8 + (-2) = -10\) und \(-10 < -8\). 2. Zu b): Damit \(s = a\), muss die Zahl addiert werden, die den Wert nicht verändert. Dies ist die Null. Also \(b = 0\), denn \(-8 + 0 = -8\). 3. Zu c): Damit \(s > a\), muss eine positive Zahl addiert werden. Beispiel: \(b = 5\), denn \(-8 + 5 = -3\) und \(-3 > -8\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(b = -2\) (oder jede andere negative ganze Zahl) b) \(b = 0\) c) \(b = 5\) (oder jede andere positive ganze Zahl)

- Wie stellst du ein Sinken und wie ein Steigen mit Vorzeichen dar? - Überlege dir zuerst eine Zahl für die erste Etappe und berechne dann, was in der zweiten Etappe passieren muss, um bei insgesamt \(-80\) zu landen. - Stell dir die Wasseroberfläche als Nullpunkt vor.

1. Die gesamte Tiefenänderung von \(-80\,\text{m}\) muss als Summe zweier Änderungen dargestellt werden. 2. Für zwei Abwärtsbewegungen werden zwei negative Zahlen addiert, deren Summe \(-80\) ist, zum Beispiel \((-30\,\text{m})+(-50\,\text{m})=-80\,\text{m}\). 3. Für eine Aufwärts- und eine Abwärtsbewegung wird eine positive und eine negative Änderung addiert. Zum Beispiel gilt \(20\,\text{m}+(-100\,\text{m})=-80\,\text{m}\).

Mögliche Beispiele sind: a) \((-30\,\text{m}) + (-50\,\text{m}) = -80\,\text{m}\) b) \(20\,\text{m} + (-100\,\text{m}) = -80\,\text{m}\)

- Du kannst den fehlenden Teil finden, indem du überlegst: Wie viel muss ich von der ersten Zahl aus in welche Richtung gehen, um bei \(-50\) anzukommen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion. - Wenn zwei Dinge gleich groß sind und zusammen einen Wert ergeben, was musst du dann mit diesem Wert tun?

1. Um den fehlenden Summanden in \(25 + x = -50\) zu finden, rechnet man \(-50 - 25 = -75\). Die Aufgabe lautet \(25 + (-75) = -50\). 2. Für \((-70) + x = -50\) berechnet man den Abstand von \(-70\) zu \(-50\), was \(20\) ergibt. Die Aufgabe lautet \((-70) + 20 = -50\). 3. Wenn zwei identische Summanden \(-50\) ergeben sollen, halbiert man den Zielwert: \(-50 : 2 = -25\). Die Aufgabe lautet \((-25) + (-25) = -50\).

a) \(25 + (-75) = -50\) b) \((-70) + 20 = -50\) c) \((-25) + (-25) = -50\)

- Gibt es Paare von Zahlen, die zusammen eine „glatte“ Zahl (wie \(-300\) oder \(200\)) ergeben? - Darfst du die Reihenfolge der Zahlen in einer Summe vertauschen? - Wie gehst du vor, wenn du zwei negative Zahlen addierst?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes (Vertauschungsgesetz), um Zahlen mit passenden Endziffern oder Vorzeichen nebeneinander zu stellen: \((-240 + (-60)) + (115 + 85)\) 2. Anwendung des Assoziativgesetzes (Verknüpfungsgesetz) zur Bildung von Teilsummen 3. Berechnung der ersten Teilsumme: \(-240 - 60 = -300\) 4. Berechnung der zweiten Teilsumme: \(115 + 85 = 200\) 5. Zusammenfassen der Ergebnisse: \(-300 + 200 = -100\)

Der Wert des Terms ist \(-100\). Verwendete Gesetze: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz.

- Schau dir den Startwert und die positiven Veränderungen genau an. Fällt dir etwas auf? - Versuche, die Zahlen so zu kombinieren, dass du möglichst einfache Zwischenergebnisse erhältst. - Was bedeutet ein „Aufstieg“ mathematisch für das Vorzeichen?

1. Aufstellen der Rechnung: \(-1250 + 450 - 200 + 800 - 150\) 2. Identifikation geschickter Paare: Die Summe der Aufstiege berechnen: \(450 + 800 = 1250\) 3. Kombination mit dem Startwert: \(-1250 + 1250 = 0\) 4. Verrechnen der restlichen Sinkmanöver: \(0 - 200 - 150 = -350\) Das U-Boot befindet sich bei \(-350\,\text{m}\).

Das U-Boot befindet sich auf einer Position von \(-350\,\text{m}\) (bzw. \(350\,\text{m}\) unter dem Meeresspiegel).

- Suche nach Zahlen, die zusammen einen Hunderter- oder Tausenderbetrag ergeben. - Kannst du die negativen Beträge so kombinieren, dass eine runde Zahl entsteht? - Sortiere die Rechnung zuerst nach Einnahmen und Ausgaben.

1. Aufstellen der Gesamtsumme: \(-240 + 1550 - 600 - 760 + 450 - 300\) 2. Gruppieren für geschicktes Rechnen: \((-240 - 760) = -1000\) 3. Zusammenfassen der Einnahmen: \(1550 + 450 = 2000\) 4. Zusammenfassen der restlichen Ausgaben: \(-600 - 300 = -900\) 5. Endberechnung: \(2000 - 1000 - 900 = 100\) Der Kassenstand beträgt \(100\,\text{€}\).

Der neue Kassenstand beträgt \(100\,\text{€}\).

- Was bedeutet der „Betrag“ einer Zahl für ihren Wert? - Wie findest du die „Gegenzahl“ eines Ergebnisses? - Stelle sicher, dass du zuerst die Summe berechnest, bevor du ihre Gegenzahl bildest.

1. Bestimmung des Betrags: \(|-815| = 815\) 2. Berechnung der Summe in der Klammer: \(462 + (-194) = 268\) 3. Bestimmung der Gegenzahl dieser Summe: \(-268\) 4. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(815 + (-268) = 547\)

\(|-815| + (-(462 + (-194))) = 547\)

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass das Kästchen allein auf einer Seite steht? - Was passiert, wenn du von einer positiven Zahl eine größere Zahl abziehst? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du mit negativen Zahlen rechnest.

1. Für Teil a): Um den Summanden zu finden, rechnet man Summe minus bekannten Summanden: \(20 - 64 = -44\). 2. Für Teil b): Um den zweiten Summanden zu finden, rechnet man Summe minus ersten Summanden: \(-40 - (-15) = -40 + 15 = -25\). 3. Für Teil c): Um den Subtrahenden zu finden, rechnet man Minuend minus Differenz: \(50 - 85 = -35\).

a) \(-44\) b) \(-25\) c) \(-35\)

- Kannst du die Zahlen so sortieren, dass du zuerst positive und negative Beträge zusammenfasst, die einfache Summen ergeben? - Überlege, welche Einerstellen sich zu 10 ergänzen. Das hilft oft, Hunderterschritte zu finden. - Vergleiche dein exaktes Ergebnis mit deinem Überschlag.

1. Überschlagsrechnung (Runden auf Zehner): \( 130 - 60 - 40 + 70 - 110 = -10 \). 2. Gruppieren der Zahlen für geschicktes Rechnen: \( (128 + 72) + (-57 - 43) - 110 \). 3. Berechnung der Klammern: \( 200 - 100 - 110 \). 4. Schrittweise Berechnung des Rests: \( 100 - 110 = -10 \).

Überschlag: ca. \( -10 \) Ergebnis: \( -10 \)

- Welche Rechenregel gilt für Ausdrücke mit Klammern? - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Plus vor einer Klammer steht, in der ein Minuswert steht? - Kannst du die Rechnung schrittweise von links nach rechts vereinfachen?

1. Berechnung des Werts in der Klammer: \(18 - 50 = -32\). 2. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(-42 + (-32) = -42 - 32\). 3. Zusammenfassen der ersten beiden Zahlen: \(-42 - 32 = -74\). 4. Addition der letzten Zahl: \(-74 + 60 = -14\).

\(-14\)

- Kannst du eine passende Additionsaufgabe für jede Zeile aufschreiben? - Wie kannst du eine fehlende Zahl in einer Additionsaufgabe finden? - Achte besonders auf die Vorzeichen der Zahlen und des Ergebnisses.

1. Erste Zeile: Berechne die Summe \(-18 + 30\). Das Ergebnis ist \(12\). 2. Zweite Zeile: Gesucht ist \(A\), sodass \(A + (-12) = -20\). Durch die Umkehroperation berechnet man \(-20 - (-12) = -20 + 12 = -8\). 3. Dritte Zeile: Gesucht ist \(B\), sodass \(-45 + B = -15\). Durch die Umkehroperation berechnet man \(-15 - (-45) = -15 + 45 = 30\).

(1) \(12\) (2) \(-8\) (3) \(30\)

- Versuche, die Schritte des Rätsels rückwärts zu rechnen. - Welche Zahl musst du vor der letzten Addition gehabt haben? - Schreibe die Schritte nacheinander als Kette auf.

1. Stelle die Gleichung auf: \(x + (-15) + 22 = 4\). 2. Vereinfache die Addition der bekannten Zahlen: \(-15 + 22 = 7\). Die Gleichung lautet nun \(x + 7 = 4\). 3. Bestimme \(x\) durch die Umkehroperation: \(x = 4 - 7 = -3\). 4. Die ursprüngliche Zahl ist \(-3\).

Die Zahl lautet \(-3\).

- Was bedeutet der Begriff „Differenz“ für die Rechnung? - Was bedeutet der Begriff „Summe“ für die Rechnung? - Stelle zuerst den gesamten Rechenausdruck mit Klammern auf. - Berechne die Werte in den Klammern zuerst.

1. Berechnung der Differenz der ersten beiden Zahlen: \(45 - 120 = -75\). 2. Berechnung der Summe der weiteren beiden Zahlen: \(-33 + (-17) = -50\). 3. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(-75 + (-50) = -125\).

\(-125\)

- Schau dir an, in welche Richtung der Pfeil zeigt, um Start- und Endpunkt zu unterscheiden. - Wenn der Endpunkt gesucht ist, kannst du den Sprung direkt zum Startwert addieren. - Wenn der Startpunkt gesucht ist, hilft dir die Umkehroperation weiter: Subtrahiere den Wert auf dem Pfeil vom Endwert. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Rechnen mit negativen Zahlen.

Um die fehlenden Zahlen zu bestimmen, führen wir die Additionen bzw. die entsprechenden Umkehroperationen durch: 1. Teilaufgabe a): Wir starten bei \(-15\) und addieren \(-18\). Das ergibt: \(-15 + (-18) = -33\) 2. Teilaufgabe b): Der Endwert ist \(-32\) nach einer Addition von \(-24\). Wir rechnen rückwärts mit der Umkehroperation: \(-32 - (-24) = -32 + 24 = -8\) 3. Teilaufgabe c): Wir starten bei \(-45\) und addieren \(60\). Das ergibt: \(-45 + 60 = 15\) 4. Teilaufgabe d): Der Endwert ist \(-23\) nach einer Addition von \(-35\). Wir rechnen rückwärts: \(-23 - (-35) = -23 + 35 = 12\)

a) \(-33\) b) \(-8\) c) \(15\) d) \(12\)

- Bei größeren Zahlen hilft es, zuerst bis zur Null zu rechnen und dann den Rest. - Überlege dir bei jedem Sprung, ob das Ergebnis größer (weiter rechts) oder kleiner (weiter links) als die Ausgangszahl sein muss. - Nutze die Umkehroperationen, wenn das Fragezeichen am Anfang des Pfeils steht.

1. Teilaufgabe a): \(-125 + 75 = -50\). 2. Teilaufgabe b): \(240 + (-380) = -140\). 3. Teilaufgabe c): Gesucht ist \(x\) mit \(x - 150 = -400\). Umkehrung: \(x = -400 + 150 = -250\). 4. Teilaufgabe d): Gesucht ist \(x\) mit \(x + 220 = 50\). Umkehrung: \(x = 50 - 220 = -170\).

a) \(-50\) b) \(-140\) c) \(-250\) d) \(-170\)

- Gehe schrittweise vor und berechne zuerst den Wert nach dem ersten Sprung. - Achte auf das Vorzeichen der Sprünge: Ein Plus bedeutet nach rechts, ein Minus nach links.

1. Erster Schritt: Vom Startpunkt \(-15\) führt ein Sprung von \(+25\) zum ersten Zwischenwert. Rechnung: \(-15 + 25 = 10\). 2. Zweiter Schritt: Vom Zwischenwert \(10\) führt ein Sprung von \(-40\) zum Endwert. Rechnung: \(10 - 40 = -30\).

Die fehlenden Zahlen sind \(10\) und \(-30\).

- Verfolge die Temperaturänderungen Schritt für Schritt auf der Zahlengeraden. - Wird es wärmer, addierst du die Gradzahl. Wird es kälter, subtrahierst du sie.

1. Starttemperatur am Morgen: \(-8\,^\circ\text{C}\). 2. Erwärmung bis Mittag: \(-8\,^\circ\text{C} + 15\,^\circ\text{C} = 7\,^\circ\text{C}\). Die Temperatur am Mittag beträgt \(7\,^\circ\text{C}\). 3. Abkühlung bis Abend: \(7\,^\circ\text{C} - 4\,^\circ\text{C} = 3\,^\circ\text{C}\).

Am Abend zeigt das Thermometer \(3\,^\circ\text{C}\) an.

- Überlege zuerst: Musst du die Beträge addieren (\(20 + 45\)) oder subtrahieren (\(45 - 20\)), um auf die Zielzahl zu kommen? - Wenn du die Beträge addierst, müssen beide Vorzeichen gleich sein. - Wenn du die Beträge subtrahierst, müssen die Vorzeichen verschieden sein. - Welche Zahl muss das Vorzeichen des Ergebnisses „bestimmen“?

1. Für das Ergebnis \(+65\) müssen beide Zahlen positiv sein, da \(20 + 45 = 65\): \((+20) + (+45) = +65\). 2. Für das Ergebnis \(-25\) muss die Differenz der Beträge gebildet werden (\(45 - 20 = 25\)). Damit das Ergebnis negativ ist, muss die Zahl mit dem größeren Betrag (\(45\)) negativ sein: \((+20) + (-45) = -25\). 3. Für das Ergebnis \(+25\) wird ebenfalls die Differenz gebildet. Hier muss die größere Zahl positiv sein: \((-20) + (+45) = +25\). 4. Für das Ergebnis \(-65\) müssen beide Zahlen negativ sein, damit ihre Beträge addiert werden und das Ergebnis negativ bleibt: \((-20) + (-45) = -65\).

a) \((+20) + (+45) = +65\) b) \((+20) + (-45) = -25\) c) \((-20) + (+45) = +25\) d) \((-20) + (-45) = -65\)

- Berechne für jede Teilaufgabe die linke und die rechte Seite der Behauptung getrennt voneinander. - Achte genau auf die Reihenfolge: Musst du erst den Betrag nehmen und dann addieren, oder erst addieren und dann den Betrag nehmen? - Überlege dir, was der Unterschied zwischen der „Summe der Beträge“ und dem „Betrag der Summe“ ist.

1. Aussage a): Summe der Beträge: \(|-7| + |-3| = 7 + 3 = 10\). Summe der Zahlen: \(-7 + (-3) = -10\). Gegenzahl der Summe: \(-(-10) = 10\). Da \(10 = 10\), ist die Aussage wahr. 2. Aussage b): Gegenzahl von \(-5\) ist \(5\). Rechnung: \(5 + (-5) = 0\). Die Aussage ist wahr. 3. Aussage c): Summe von \(-15\) und \(5\) ist \(-10\). Betrag der Summe: \(|-10| = 10\). Summe der Beträge: \(|-15| + |5| = 15 + 5 = 20\). Da \(10 \neq 20\), ist die Aussage falsch.

a) Wahr, da \(10 = 10\). b) Wahr, da \(0 = 0\). c) Falsch, da \(10 \neq 20\).

- Führe die beschriebenen Schritte in Teil a nacheinander mit einer Beispielzahl wie \(5\) oder \(-2\) durch. - Stell dir die Gegenzahl als Spiegelung an der Null auf der Zahlengeraden vor. Können zwei verschiedene Punkte auf denselben Punkt gespiegelt werden?

1. Aussage a) ist wahr. Das Doppelte der Gegenzahl besteht aus zwei gleichen Gegenzahlen. Addiert man die ursprüngliche Zahl und eine dieser Gegenzahlen, erhält man \(0\). Übrig bleibt die zweite Gegenzahl. 2. Aussage b) ist falsch. Jede Zahl hat genau eine Gegenzahl. Würden zwei Zahlen dieselbe Gegenzahl besitzen, müssten sie beide der Spiegelpunkt dieser Gegenzahl an der Null sein und wären daher dieselbe Zahl.

a) Wahr. Die ursprüngliche Zahl und eine der beiden Gegenzahlen heben sich auf; übrig bleibt die Gegenzahl der ursprünglichen Zahl. b) Falsch. Zu jeder ganzen Zahl gehört genau eine Gegenzahl, und zu jeder Gegenzahl gehört genau eine ursprüngliche Zahl.

- Kannst du die Aufgabe umkehren? Wenn du weißt, wo du ankommst, wie findest du heraus, wo du gestartet bist? - Wenn das Addieren einer negativen Zahl dich nach links bringt, in welche Richtung musst du gehen, um den Startpunkt zu finden? - Skizziere dir die Punkte im Kopf: Liegt der Startpunkt links oder rechts vom Ziel?

1. In der Gleichung \(x + (-150) = -200\) führt eine Verschiebung um \(150\) Einheiten nach links zum Ziel \(-200\). Um den Startpunkt \(x\) zu finden, geht man vom Ziel \(-200\) aus \(150\) Einheiten nach rechts: \(-200 + 150 = -50\). 2. In der Gleichung \(x + (+300) = +50\) führt eine Verschiebung um \(300\) Einheiten nach rechts zum Ziel \(+50\). Um den Startpunkt \(x\) zu finden, geht man vom Ziel \(+50\) aus \(300\) Einheiten nach links: \(50 - 300 = -250\).

a) \(x = -50\) b) \(x = -250\)

- Wenn vor der Unbekannten ein Minuszeichen steht, kannst du sie auf die andere Seite bringen, um sie positiv zu machen. - Was musst du tun, um eine negative Zahl auf der linken Seite „verschwinden“ zu lassen? - Denke an Schulden und Guthaben: Wenn du schon im Minus bist und weiter subtrahierst, wird der Wert noch kleiner.

1. Lösung für a): Umstellen der Gleichung ergibt \(-30 - 15 = x\). Die Berechnung liefert \(x = -45\). 2. Lösung für b): Subtraktion von \(42\) auf beiden Seiten ergibt \(\square = -18 - 42\). Die Berechnung liefert \(-60\). 3. Lösung für c): Addition von \(12\) auf beiden Seiten ergibt \(x = -50 + 12\). Die Berechnung liefert \(x = -38\).

a) \(x = -45\) b) \(-60\) c) \(x = -38\)

- Kannst du Zahlen finden, die zusammen genau \(-200\), \(100\) oder \(200\) ergeben? - Sortiere die positiven und negativen Zahlen so, dass sie sich gegenseitig vereinfachen. - Manchmal hilft es, erst alle Schulden und dann alle Guthaben zusammenzufassen – oder direkt passende Paare zu bilden.

1. Sortieren der Zahlen nach passenden Paaren: \((-123 - 77) + (57 + 43) + (265 - 65)\) 2. Berechnung der ersten Klammer (Summe negativer Zahlen): \(-200\) 3. Berechnung der zweiten Klammer (Ergänzung auf 100): \(100\) 4. Berechnung der dritten Klammer: \(200\) 5. Zusammenfassen aller Teilergebnisse: \(-200 + 100 + 200 = 100\)

\(100\)

- Gehe schrittweise vor und berechne einen Wert nach dem anderen. - Wenn ein Wert in der Mitte gegeben ist, kannst du von dort aus sowohl vorwärts als auch rückwärts rechnen. - Achte besonders auf das Vorzeichen der Sprünge, wenn du rückwärts rechnest.

1. Teilaufgabe a): Erster Sprung \(-50 + 120 = 70\). Zweiter Sprung \(70 - 90 = -20\). Die Werte sind \(70\) und \(-20\). 2. Teilaufgabe b): Startzahl \(x\) gesucht. Aus \(x - 40 = 10\) folgt \(x = 50\). Zielzahl \(z\) gesucht: \(10 + 60 = 70\). Die Werte sind \(50\) und \(70\). 3. Teilaufgabe c): Rückwärts rechnen. Ziel ist \(-60\). Vorheriger Wert \(y\): \(y - 70 = -60 \implies y = 10\). Startwert \(x\): \(x + 30 = 10 \implies x = -20\). Die Werte sind \(-20\) und \(10\).

a) \(70\) und \(-20\) b) \(50\) und \(70\) c) \(-20\) und \(10\)