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Subtrahieren ganzer Zahlen

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Schwierigkeit: 1 – 5

4121665

Berechne die folgenden Werte. a) \( -14 - 19 \) b) \( 22 - (-11) \) c) \( -35 - (-15) \) d) \( 8 - 23 \)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl abziehst? - Kannst du die Aufgaben am Zahlenstrahl verbildlichen? - Überlege dir bei jeder Aufgabe zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

Lösung

1. Subtraktion einer positiven Zahl von einer negativen Zahl: \( -14 - 19 = -33 \). 2. Subtraktion einer negativen Zahl entspricht der Addition des Betrags: \( 22 + 11 = 33 \). 3. Vereinfachung der Vorzeichen bei \( -35 - (-15) \) zu \( -35 + 15 \), Ergebnis: \( -20 \). 4. Subtraktion einer größeren von einer kleineren Zahl: \( 8 - 23 = -15 \).

Antwort

a) \( -33 \) b) \( 33 \) c) \( -20 \) d) \( -15 \)

4181575

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen Rechenausdruck auf und berechne seinen Wert. a) Addiere die Gegenzahl von \( -350 \) zum Betrag der Zahl \( -120 \). b) Subtrahiere die Zahl \( +450 \) von der Summe der Zahlen \( -200 \) und \( +800 \).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff Gegenzahl genau? Überlege, wie weit die Zahl von der Null entfernt ist. - Wie verändert der Betrag das Vorzeichen einer negativen Zahl? - Achte bei der Subtraktion darauf, welche Zahl von welcher abgezogen wird.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Die Gegenzahl von \( -350 \) ist \( +350 \). Der Betrag von \( -120 \) ist \( 120 \). Der Term lautet \( 120 + 350 \). Das Ergebnis ist \( 470 \). 2. Teilaufgabe b): Die Summe von \( -200 \) und \( +800 \) ergibt \( 600 \). Davon wird \( 450 \) subtrahiert. Der Term lautet \( (-200 + 800) - 450 \). Das Ergebnis ist \( 150 \).

Antwort

a) \( | -120 | + 350 = 120 + 350 = 470 \) b) \( (-200 + 800) - 450 = 600 - 450 = 150 \)

4182275

Schreibe die folgenden Subtraktionsaufgaben zunächst als Additionsaufgaben (Summen) um und berechne anschließend das Ergebnis. a) \( (+45) - (+17) \) b) \( (-32) - (-58) \) c) \( (+12) - (-88) \) d) \( (-74) - (+26) \)

Denkanstöße

- Wie verändert sich das Vorzeichen der zweiten Zahl, wenn du aus dem Minuszeichen ein Pluszeichen machst? - Denke an die Regel: Eine Zahl zu subtrahieren ist dasselbe, wie ihre Gegenzahl zu addieren. - Achte beim Rechnen auf die Vorzeichenregeln für die Addition von ganzen Zahlen.

Lösung

1. Umwandlung der Subtraktion in eine Addition durch Addieren der Gegenzahl: a) \( (+45) + (-17) = 28 \) b) \( (-32) + (+58) = 26 \) c) \( (+12) + (+88) = 100 \) d) \( (-74) + (-26) = -100 \)

Antwort

a) \( (+45) + (-17) = 28 \) b) \( (-32) + (+58) = 26 \) c) \( (+12) + (+88) = 100 \) d) \( (-74) + (-26) = -100 \)

4182325

Ordne die folgenden Rechenausdrücke nach ihren Ergebnissen. Welche Ausdrücke ergeben den gleichen Wert? 1. \((+3) - (+8)\) 2. \((-2) - (+3)\) 3. \((+12) - (+4)\) 4. \((-2) - (-10)\) 5. \(0 - (+5)\) 6. \((+15) - (+7)\)

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man das Abziehen einer Zahl als Addition der Gegenzahl schreiben kann. - Stelle dir die Rechnungen auf einer Zahlengeraden vor: In welche Richtung gehst du, wenn du eine positive oder negative Zahl subtrahierst? - Berechne jeden Wert einzeln und notiere dir das Ergebnis daneben.

Lösung

1. Die Subtraktion einer positiven Zahl entspricht der Addition ihrer Gegenzahl: \((+3) - (+8) = 3 - 8 = -5\). 2. \((-2) - (+3) = -2 - 3 = -5\). 3. \((+12) - (+4) = 12 - 4 = 8\). 4. Die Subtraktion einer negativen Zahl entspricht der Addition der positiven Zahl: \((-2) - (-10) = -2 + 10 = 8\). 5. \(0 - (+5) = -5\). 6. \((+15) - (+7) = 15 - 7 = 8\). Zusammenfassend ergeben die Ausdrücke 1, 2 und 5 das Ergebnis \(-5\). Die Ausdrücke 3, 4 und 6 ergeben das Ergebnis \(8\).

Antwort

Ergebnis \(-5\): 1, 2 und 5. Ergebnis \(8\): 3, 4 und 6.

4182405

Berechne die fehlenden Zwischenergebnisse und das Endergebnis dieser Rechenkette: \(-120 \xrightarrow{+ (+45)} \dots \xrightarrow{- (+30)} \dots \xrightarrow{- (-60)} \dots\)

Denkanstöße

- Gehe schrittweise von links nach rechts vor. - Überlege dir bei jedem Schritt, ob sich der Betrag der Zahl vergrößert oder verkleinert und in welche Richtung du dich auf der Zahlengeraden bewegst. - Wie verändert ein Minuszeichen vor einer Klammer mit einem negativen Vorzeichen die Rechnung?

Lösung

1. Erster Schritt: \(-120 + 45 = -75\). 2. Zweiter Schritt: \(-75 - 30 = -105\). 3. Dritter Schritt: \(-105 + 60 = -45\).

Antwort

Die Zwischenergebnisse sind \(-75\) und \(-105\), das Endergebnis ist \(-45\).

4182565

Berechne die Ergebnisse der beiden Seiten und setze das passende Zeichen \( < \), \( > \) oder \( = \) in die Lücke ein. a) \( (-18) - (-12) \) \(\square\) \( (-12) - (-18) \) b) \( 50 - (-20) \) \(\square\) \( (-20) - 50 \) c) \( (-5) - 15 \) \(\square\) \( (-15) - 5 \)

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Wert der linken Seite und notiere ihn dir. - Berechne dann den Wert der rechten Seite. - Achte besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Vergleiche die beiden Zahlen: Welche liegt auf der Zahlengeraden weiter rechts?

Lösung

Jede Seite wird separat berechnet und anschließend verglichen: 1. Teil a): Links ergibt \( -18 + 12 = -6 \). Rechts ergibt \( -12 + 18 = 6 \). Da \( -6 < 6 \), ist das Zeichen \( < \). 2. Teil b): Links ergibt \( 50 + 20 = 70 \). Rechts ergibt \( -20 - 50 = -70 \). Da \( 70 > -70 \), ist das Zeichen \( > \). 3. Teil c): Links ergibt \( -5 - 15 = -20 \). Rechts ergibt \( -15 - 5 = -20 \). Da \( -20 = -20 \), ist das Zeichen \( = \).

Antwort

a) \( (-18) - (-12) < (-12) - (-18) \) b) \( 50 - (-20) > (-20) - 50 \) c) \( (-5) - 15 = (-15) - 5 \)

4182635

Wandle die folgenden Subtraktionsaufgaben zuerst in Additionsaufgaben mit der Gegenzahl um und berechne dann das Ergebnis. a) \((+54) - (+76)\) b) \((-32) - (+18)\) c) \((+45) - (-25)\) d) \((-12) - (-60)\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Vorzeichen der zweiten Zahl, wenn du aus dem Minus ein Plus machst? - Denk an das Guthaben-Schulden-Modell: Was bedeutet es, Schulden wegzunehmen? - Was ist die Gegenzahl einer positiven Zahl? Was ist die Gegenzahl einer negativen Zahl?

Lösung

1. Umwandlung in eine Summe durch Addition der Gegenzahl: \((+54) + (-76)\). Berechnung: \(54 - 76 = -22\). 2. Umwandlung in eine Summe: \((-32) + (-18)\). Berechnung: \(-(32 + 18) = -50\). 3. Umwandlung in eine Summe: \((+45) + (+25)\). Berechnung: \(45 + 25 = 70\). 4. Umwandlung in eine Summe: \((-12) + (+60)\). Berechnung: \(60 - 12 = 48\).

Antwort

a) \((+54) + (-76) = -22\) b) \((-32) + (-18) = -50\) c) \((+45) + (+25) = 70\) d) \((-12) + (+60) = 48\)

4182815

Um wie viel ist die Zahl \( -245 \) kleiner als die Zahl \( -112 \)? Gib den Unterschied an.

Denkanstöße

- Stelle dir die beiden Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. Welchen Abstand haben sie zueinander? - Welche der beiden Zahlen liegt weiter rechts? Subtrahiere die linke Zahl von der rechten Zahl.

Lösung

1. Um zu bestimmen, um wie viel eine Zahl kleiner ist als eine andere, berechnet man die Differenz, indem man die kleinere Zahl von der größeren subtrahiert. 2. Die Rechnung lautet: \( -112 - (-245) \). 3. Die Subtraktion einer negativen Zahl wird als Addition der Gegenzahl geschrieben: \( -112 + 245 \). 4. Das Ergebnis der Berechnung ist \( 133 \).

Antwort

Um \( 133 \)

4182895

Berechne den Wert des folgenden Terms: \((-45) - (-18) + (-32)\)

Denkanstöße

- Achte darauf, wie sich das Vorzeichen ändert, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Gehe schrittweise von links nach rechts vor. - Überlege dir bei jedem Schritt, ob das Ergebnis im Vergleich zum Startwert größer oder kleiner werden muss.

Lösung

1. Auflösen der ersten Subtraktion durch Addition der Gegenzahl: \(-45 + 18 = -27\) 2. Verrechnen des Ergebnisses mit dem letzten Summanden: \(-27 - 32 = -59\)

Antwort

\(-59\)

4182955

Beantworte die folgenden Fragen zu Rechnungen mit ganzen Zahlen: a) Welches Ergebnis erhältst du, wenn du \( 750 \) von der Zahl \( -250 \) subtrahierst? b) Welche Zahl muss man von \( -120 \) subtrahieren, um \( -50 \) als Ergebnis zu erhalten? c) Von welcher Zahl muss man \( 45 \) abziehen, um \( -100 \) zu erhalten?

Denkanstöße

- Überlege dir genau, welche Zahl der Startwert ist und was abgezogen wird. - Kannst du die Aufgaben als Rechenausdruck mit einer Lücke schreiben? - Achte auf das Vorzeichen: Wenn du von einer negativen Zahl eine positive Zahl subtrahierst, wird der Wert noch kleiner. - Überlege dir bei b) und c), welche Gegenoperation dir helfen könnte.

Lösung

1. Für Teilaufgabe a) wird die Subtraktion \( -250 - 750 \) durchgeführt, was \( -1\,000 \) ergibt. 2. In Teilaufgabe b) wird die Gleichung \( -120 - x = -50 \) nach \( x \) aufgelöst: \( x = -120 - (-50) = -120 + 50 = -70 \). 3. Für Teilaufgabe c) wird die Gleichung \( x - 45 = -100 \) gelöst: \( x = -100 + 45 = -55 \).

Antwort

a) \( -1\,000 \) b) \( -70 \) c) \( -55 \)

4183095

Gesucht sind Subtraktionsaufgaben, deren Ergebnis (die Differenz) genau \(-35\) ist. Gib für jede der folgenden Bedingungen ein passendes Beispiel an: a) Der Minuend und der Subtrahend sind beide positive ganze Zahlen. b) Der Minuend ist eine negative ganze Zahl und der Subtrahend ist eine positive ganze Zahl. c) Der Minuend und der Subtrahend sind beide negative ganze Zahlen.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Subtraktion, wenn die abgezogene Zahl größer ist als die Startzahl? - Wie kannst du eine Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition umwandeln? - Überlege dir zuerst eine Zahl und berechne dann, was du abziehen oder hinzufügen musst, um bei \(-35\) zu landen.

Lösung

1. Für Teilaufgabe a) muss der Subtrahend um \(35\) größer sein als der Minuend, zum Beispiel: \(10 - 45 = -35\). 2. Für Teilaufgabe b) muss die Summe der Beträge \(35\) ergeben, wobei das Vorzeichen der Rechnung beachtet wird, zum Beispiel: \(-20 - 15 = -35\). 3. Für Teilaufgabe c) muss der Betrag des negativen Minuenden um \(35\) größer sein als der Betrag des negativen Subtrahenden, damit nach der Umformung (\(a - (-b) = a + b\)) das Ergebnis negativ bleibt, zum Beispiel: \(-50 - (-15) = -35\).

Antwort

Mögliche Lösungen sind: a) \(5 - 40 = -35\) b) \(-10 - 25 = -35\) c) \(-45 - (-10) = -35\)

4183205

Simon behauptet: „Wenn ich von einer ganzen Zahl eine andere ganze Zahl abziehe, ist das Ergebnis auf jeden Fall kleiner als die erste Zahl.“ Hat Simon recht? Untersuche seine Behauptung und begründe deine Entscheidung, indem du mindestens zwei Beispiele mit ganzen Zahlen angibst.

Denkanstöße

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine negative Zahl von einer anderen Zahl abziehst. - Probiere für den Subtrahenden positive Zahlen, die Null und negative Zahlen aus. - Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl.

Lösung

1. Prüfung der Behauptung für verschiedene Fälle des Subtrahenden \(b\) in der Rechnung \(a - b = c\). 2. Gegenbeispiel 1 (negative Zahl): Wenn eine negative Zahl subtrahiert wird, wird das Ergebnis größer als der Minuend. Beispiel: \(5 - (-3) = 5 + 3 = 8\). Da \(8 > 5\), ist Simons Aussage in diesem Fall falsch. 3. Gegenbeispiel 2 (Null): Wenn die Zahl Null subtrahiert wird, bleibt der Wert gleich. Beispiel: \(5 - 0 = 5\). Da \(5\) nicht kleiner als \(5\) ist, ist Simons Aussage auch hier falsch. 4. Schlussfolgerung: Simon hat nicht recht, da die Aussage nur für positive Subtrahenden gilt.

Antwort

Nein, Simon hat nicht recht. Die Differenz ist nur dann kleiner als der Minuend, wenn eine positive Zahl subtrahiert wird. Subtrahiert man eine negative Zahl, wird das Ergebnis größer (z. B. \(5 - (-2) = 7\)). Subtrahiert man Null, bleibt das Ergebnis gleich (\(5 - 0 = 5\)).

4183785

Bestimme die fehlenden Zahlen für die Platzhalter \(\square\), sodass die Gleichungen stimmen. a) \(\square + 45 = -15\) b) \(-80 - \square = 20\) c) \(\square - 30 = -105\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehrung zur gegebenen Aufgabe ist. - Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor: In welche Richtung musst du gehen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine positive Zahl von einer negativen Zahl abziehst? - Wie kannst du prüfen, ob dein Ergebnis stimmt? Setze deine Zahl einfach in das Kästchen ein.

Lösung

1. Zur Berechnung von a): Um den Summanden zu finden, subtrahiert man \(45\) von \(-15\). Rechnung: \(-15 - 45 = -60\). 2. Zur Berechnung von b): Um den Subtrahenden zu finden, subtrahiert man die Differenz \(20\) vom Minuenden \(-80\). Rechnung: \(-80 - 20 = -100\). 3. Zur Berechnung von c): Um den Minuenden zu finden, addiert man den Subtrahenden \(30\) zur Differenz \(-105\). Rechnung: \(-105 + 30 = -75\).

Antwort

a) \(\square = -60\) b) \(\square = -100\) c) \(\square = -75\)

4183815

Schreibe den Term zuerst als Summe und berechne ihn dann möglichst geschickt: \(-140 + 512 - (-40)\)

Denkanstöße

- Kannst du die Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition umwandeln? - Schau dir die Zahlen genau an: Welche beiden Zahlen ergeben zusammen eine „glatte“ Zehner- oder Hunderterzahl? - Du darfst die Reihenfolge der Summanden vertauschen, um dir das Rechnen zu erleichtern.

Lösung

1. Umwandlung in eine reine Summe durch Ersetzen der Subtraktion der negativen Zahl durch die Addition der entsprechenden positiven Zahl: \(-140 + 512 + 40\) 2. Anwendung des Kommutativgesetzes zur Gruppierung von Zahlen, die sich leicht zusammenrechnen lassen: \((-140 + 40) + 512\) 3. Berechnung der Teilsumme: \(-100 + 512\) 4. Endergebnis berechnen: \(412\)

Antwort

\(-140 + 512 + 40 = 412\)

4183845

Berechne die Werte der folgenden Terme und bestimme, welche Terme das gleiche Ergebnis liefern. a) \(24 - 37\) b) \(37 - 24\) c) \(-(37 - 24)\) d) \(-24 + 37\) e) \(-24 - (-37)\) f) \(-37 + 24\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst? - Wie verändert ein Minuszeichen vor einer Klammer die Werte im Inneren? - Überlege, ob das Subtrahieren einer negativen Zahl dasselbe ist wie das Addieren einer positiven Zahl. - Berechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern.

Lösung

1. Berechnung der Einzelwerte: a) \(24 - 37 = -13\) b) \(37 - 24 = 13\) c) \(-(37 - 24) = -(13) = -13\) d) \(-24 + 37 = 13\) e) \(-24 - (-37) = -24 + 37 = 13\) f) \(-37 + 24 = -13\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Terme a), c) und f) ergeben \(-13\). Die Terme b), d) und e) ergeben \(13\).

Antwort

Terme mit dem Wert \(-13\): a), c), f) Terme mit dem Wert \(13\): b), d), e)

4183895

Schreibe die Aufgaben als Summe und berechne das Ergebnis. a) \(18 - 35\) b) \(42 - (-18)\) c) \(-27 - 13\) d) \(-50 - (-20)\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine Zahl abziehst? - Kennst du die Regel, wie man eine Subtraktion in eine Additionsaufgabe verwandelt? - Überlege dir, was die Gegenzahl der Zahl ist, die abgezogen wird. - Denke an das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn du eine größere von einer kleineren Zahl abziehst.

Lösung

1. Umwandlung der Subtraktion in die Addition der Gegenzahl: \(18 + (-35) = -17\) 2. Subtraktion einer negativen Zahl als Addition der positiven Gegenzahl: \(42 + 18 = 60\) 3. Darstellung als Summe zweier negativer Zahlen: \((-27) + (-13) = -40\) 4. Addition der Gegenzahl der abzuziehenden negativen Zahl: \((-50) + 20 = -30\)

Antwort

a) \(-17\) b) \(60\) c) \(-40\) d) \(-30\)

4184055

Führe zuerst eine Überschlagsrechnung durch, indem du die Zahlen auf Zehner rundest. Berechne das Ergebnis anschließend so vorteilhaft wie möglich durch geschicktes Zusammenfassen. \(48 + 63 - 28 + 37 - 80\)

Denkanstöße

- Kannst du Zahlen finden, die gemeinsam eine „schöne“ Zahl wie 10, 20 oder 100 ergeben? - Achte darauf, das Rechenzeichen vor der Zahl beim Umstellen immer mitzunehmen. - Welche Zahlen lassen sich besonders leicht voneinander abziehen, weil sie die gleiche Einerstelle haben?

Lösung

1. Überschlagsrechnung durch Rundung auf Zehner: \(50 + 60 - 30 + 40 - 80 = 40\). 2. Vorteilhaftes Rechnen durch Umstellen und Gruppieren: Zusammenfassen von Zahlen, die auf volle Zehner führen: \((48 - 28) + (63 + 37) - 80\). 3. Berechnen der Teilterme: \(20 + 100 - 80\). 4. Endergebnis bestimmen: \(120 - 80 = 40\).

Antwort

Überschlag: \(40\) Ergebnis: \(40\)

4184115

Wandle die folgenden Terme zuerst in eine Summe um, indem du die Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreibst. Berechne anschließend das Ergebnis. a) \( -215 - (-45) - 30 \) b) \( -128 - 72 + 100 \)

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man eine Subtraktion in eine Addition umwandeln kann. - Was ist die Gegenzahl einer positiven Zahl und was die einer negativen Zahl? - Du kannst beim Rechnen vorteilhaft zusammenfassen, wenn Zahlen das gleiche Vorzeichen haben.

Lösung

1. Umwandlung in eine Summe durch Addition der Gegenzahlen: \( (-215) + (+45) + (-30) \). Berechnung: \( -215 + 45 = -170 \) und \( -170 + (-30) = -200 \). 2. Umwandlung in eine Summe: \( (-128) + (-72) + (+100) \). Berechnung: \( -128 + (-72) = -200 \) und \( -200 + 100 = -100 \).

Antwort

a) \( (-215) + (+45) + (-30) = -200 \) b) \( (-128) + (-72) + (+100) = -100 \)

4184225

Gegeben ist der folgende Term: \(-45 + 128 - 55 + 72\) a) Berechne den Wert des Terms. Nutze dabei Rechenvorteile durch geschicktes Gruppieren. b) Verändere die letzte Zahl des Terms so, dass der Gesamtwert genau \(0\) ergibt. Wie lautet diese neue Zahl?

Denkanstöße

- Schau dir die Zahlen genau an: Welche Paare lassen sich besonders einfach addieren oder subtrahieren? - Achte auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Wenn das Ergebnis 0 sein soll, muss die letzte Zahl genau das Gegenteil der Summe aller vorherigen Zahlen sein.

Lösung

1. Gruppieren der Zahlen für geschicktes Rechnen: \((-45 - 55) + (128 + 72)\) 2. Berechnung der Teilsummen: \(-100 + 200 = 100\) 3. Um den Wert \(0\) zu erhalten, muss die Summe der ersten drei Summanden durch die letzte Zahl neutralisiert werden: \(-45 + 128 - 55 = 28\) 4. Die neue Zahl \(x\) muss die Gleichung \(28 + x = 0\) erfüllen, also \(x = -28\)

Antwort

a) \(100\) b) \(-28\)

4184355

Berechne den Wert des folgenden Terms: \(48 + (52 - 315)\)

Denkanstöße

- Welchen Teil des Terms musst du laut der Vorrangregeln zuerst berechnen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl addierst? - Kannst du die Subtraktion in der Klammer Schritt für Schritt durchführen?

Lösung

1. Berechnung des Werts innerhalb der Klammer: \(52 - 315 = -263\). 2. Addition des Ergebnisses zur ersten Zahl: \(48 + (-263) = 48 - 263 = -215\).

Antwort

\(-215\)

4184575

Gegeben ist der folgende Term mit ganzen Zahlen: \((-15) + (-5) - (+12) - (-8)\) a) Berechne den Wert des Terms schrittweise. b) Setze ein zusätzliches Klammerpaar so, dass der Term nun wie folgt aussieht: \((-15) + (-5) - ((+12) - (-8))\) Berechne den Wert dieses neuen Terms und vergleiche ihn mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a).

Denkanstöße

- Denke daran, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt, wenn du sie auflöst. - Berechne bei Ausdrücken mit Klammern immer zuerst das, was in der Klammer steht. - Gehe beim Zusammenfassen der Zahlen ohne Klammern am besten von links nach rechts vor.

Lösung

1. Berechnung des ursprünglichen Terms: \(-15 - 5 - 12 + 8 = -20 - 12 + 8 = -32 + 8 = -24\). 2. Berechnung des veränderten Terms mit dem zusätzlichen Klammerpaar: Zuerst wird die innere Differenz in der neuen Klammer berechnet: \(12 - (-8) = 12 + 8 = 20\). 3. Einsetzen des Teilergebnisses in den Gesamtausdruck: \(-15 - 5 - (20) = -20 - 20 = -40\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Das Ergebnis hat sich von \(-24\) auf \(-40\) verringert.

Antwort

a) Der Wert des Terms ist \(-24\). b) Der Wert des veränderten Terms ist \(-40\). Das Ergebnis ist kleiner geworden.

4184655

Gegeben ist der folgende Rechenausdruck: \(12 - (38 + 62) - (24 - 44)\) a) Führe zuerst eine Überschlagsrechnung durch und bestimme anschließend den exakten Wert des Terms. b) Wie verändert sich der Gesamtwert, wenn die Zahl \(38\) durch \(48\) ersetzt wird? Begründe deine Überlegung, ohne den neuen Wert auszurechnen.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Subtraktion, wenn man eine der Zahlen in der Klammer vergrößert? - Überlege dir, ob die Klammer, in der die Änderung stattfindet, addiert oder subtrahiert wird. - Kannst du den Term in Teilschritte zerlegen, bevor du rechnest?

Lösung

1. Überschlagsrechnung: Gerundet ergibt sich etwa \(10 - 100 - (-20) = 10 - 100 + 20 = -70\). 2. Genaue Berechnung: Zuerst die Klammerwerte bestimmen: \(38 + 62 = 100\) und \(24 - 44 = -20\). 3. Einsetzen in den Term: \(12 - 100 - (-20) = 12 - 100 + 20 = -88 + 20 = -68\). 4. Analyse der Änderung: Wird \(38\) durch \(48\) ersetzt, vergrößert sich der Wert in der ersten Klammer um \(10\). Da diese Klammer vom Rest des Terms subtrahiert wird, verringert sich der Gesamtwert um \(10\).

Antwort

a) Überschlag: ca. \(-70\); Exakter Wert: \(-68\) b) Der Wert des Terms verringert sich um \(10\), da der Subtrahend (die erste Klammer) um \(10\) größer wird.

4184985

Lena hat vier Zahlenkarten mit den Werten \(16\), \(8\), \(-8\) und \(24\). Sie möchte daraus verschiedene Terme bilden. Dabei darf sie Pluszeichen, Minuszeichen und Klammern verwenden. Jede der vier Zahlen darf in einem Term höchstens einmal vorkommen. Gib zwei verschiedene Terme an, die beide den Termwert \(24\) haben.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man die Zahl 24 durch Addition oder Subtraktion der anderen Zahlen erreichen kann. - Erinnere dich daran, was passiert, wenn man eine negative Zahl subtrahiert. - Gibt es eine Kombination von zwei Zahlen in der Liste, die zusammen Null ergeben?

Lösung

1. Berechnung des ersten Terms: \(16 + 8 = 24\). Hierbei werden die Zahlen \(16\) und \(8\) addiert. 2. Berechnung des zweiten Terms unter Verwendung der Subtraktion einer negativen Zahl: \(16 - (-8) = 16 + 8 = 24\). 3. Alternativ kann auch die Summe aus der \(24\) und dem neutralen Element \(0\) gebildet werden: \(24 + 8 + (-8) = 24 + 0 = 24\).

Antwort

Zwei mögliche Terme sind: 1. \(16 + 8\) 2. \(16 - (-8)\) (Alternativ auch: \(24 + 8 + (-8)\))

4186885

Leon behauptet: „Wenn ich eine negative Zahl von einer anderen negativen Zahl subtrahiere, ist das Ergebnis auf jeden Fall wieder eine negative Zahl.“ Widerlege Leons Aussage, indem du zwei Rechenbeispiele findest, die zeigen, dass er nicht recht hat: 1. Ein Beispiel, bei dem das Ergebnis positiv ist. 2. Ein Beispiel, bei dem das Ergebnis genau \(0\) ist. Berechne für beide Beispiele den Wert der Differenz.

Denkanstöße

- Überlege dir, was passiert, wenn man eine negative Zahl subtrahiert. - Kannst du die Subtraktion in eine Additionsaufgabe umschreiben? - Probiere verschiedene negative Zahlen auf der Zahlengeraden aus. - Was muss gelten, damit bei einer Addition einer positiven und einer negativen Zahl Null herauskommt?

Lösung

1. Um ein positives Ergebnis zu erhalten, muss der Betrag des Subtrahenden größer sein als der Betrag des Minuenden. Beispiel: \((-2) - (-5) = -2 + 5 = 3\). 2. Um das Ergebnis Null zu erhalten, müssen Minuend und Subtrahend identisch sein. Beispiel: \((-8) - (-8) = -8 + 8 = 0\). Beide Ergebnisse (\(3\) und \(0\)) sind nicht negativ, womit die Aussage widerlegt ist.

Antwort

Mögliche Beispiele sind: 1. \((-2) - (-5) = 3\) (positiv) 2. \((-8) - (-8) = 0\) (Null)

4187025

Formuliere einen Rechenausdruck zu dem folgenden Text und berechne seinen Wert: Subtrahiere die Zahl \(-150\) von der Summe der Zahlen \(-65\) und \(38\).

Denkanstöße

- Was bedeutet das Wort „Summe“ für die Rechenoperation? - Überlege, welche Zahl von welcher abgezogen werden soll. - Wie verändert sich das Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert? - Rechne Schritt für Schritt von innen nach außen.

Lösung

1. Aufstellen des Terms: \( (-65 + 38) - (-150) \) 2. Berechnung der Summe in der ersten Klammer: \( -65 + 38 = -27 \) 3. Subtraktion der negativen Zahl (Umwandlung in eine Addition): \( -27 + 150 \) 4. Endergebnis berechnen: \( 123 \)

Antwort

Der Term lautet \( (-65 + 38) - (-150) \). Das Ergebnis ist \( 123 \).

4187495

Berechne den Wert des jeweiligen Terms: a) \( (+18) - (+32) \) b) \( (-15) - (-27) \) c) \( 45 - 112 \) d) \( -76 - 44 \)

Denkanstöße

- Wie gehst du vor, wenn zwei Vorzeichen direkt nebeneinander stehen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du von einer Zahl etwas abziehst, das größer ist als die Zahl selbst? - Überlege dir die Rechnungen am Thermometer oder auf einer Zahlengeraden.

Lösung

1. Auflösen der Klammern und Vorzeichenregeln anwenden: \( 18 - 32 = -14 \). 2. Minus vor der Klammer ändert das Vorzeichen in der Klammer: \( -15 + 27 = 12 \). 3. Subtraktion einer größeren Zahl von einer kleineren: \( 45 - 112 = -67 \). 4. Addition zweier negativer Zahlen: \( -76 - 44 = -120 \).

Antwort

a) \( -14 \) b) \( 12 \) c) \( -67 \) d) \( -120 \)

4189145

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen durch Umkehraufgaben. a) \(45 + x = 18\) b) \(x - 32 = -12\) c) \(120 - x = 155\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Zahl du zur ersten Zahl addieren oder von ihr subtrahieren musst, um das Ergebnis zu erhalten. - Nutze die Umkehroperationen: Die Umkehrung von Plus ist Minus und die Umkehrung von Minus ist Plus. - Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor, wenn das Ergebnis kleiner ist als der Startwert.

Lösung

1. Berechnung von \(x\) in Aufgabenteil a): Subtraktion von \(45\) auf beiden Seiten ergibt \(x = 18 - 45\). Das Ergebnis ist \(x = -27\). 2. Berechnung von \(x\) in Aufgabenteil b): Addition von \(32\) auf beiden Seiten ergibt \(x = -12 + 32\). Das Ergebnis ist \(x = 20\). 3. Berechnung von \(x\) in Aufgabenteil c): Umstellen der Gleichung zu \(120 - 155 = x\). Das Ergebnis ist \(x = -35\).

Antwort

a) \(x = -27\) b) \(x = 20\) c) \(x = -35\)

4199555

Stell dir vor, du bewegst dich auf einer Zahlengeraden. Wenn du eine positive Zahl subtrahierst, gehst du um diesen Wert nach links. Bestimme für die folgenden Beschreibungen die Zielzahl und notiere die zugehörige Subtraktionsaufgabe: a) Du startest bei der Zahl \(20\) und subtrahierst \(55\). b) Du startest bei der Zahl \(-15\) und subtrahierst \(30\).

Denkanstöße

- In welche Richtung veränderst du deine Position auf der Zahlengeraden, wenn du etwas wegnimmst? - Stell dir vor, du stehst bei der Startzahl. Wie viele Schritte musst du gehen, um die Null zu erreichen? Wie viele Schritte bleiben dann noch übrig? - Wenn du bereits bei einer negativen Zahl startest und noch mehr abziehst, wird das Ergebnis dann größer oder kleiner?

Lösung

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Start bei \(20\). Um \(55\) Einheiten nach links zu rücken, subtrahiert man zunächst \(20\), um bei \(0\) zu landen, und dann weitere \(35\). Die Rechnung lautet \(20 - 55 = -35\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Start bei \(-15\). Eine Subtraktion von \(30\) bedeutet, sich um \(30\) Einheiten weiter ins Negative (nach links) zu bewegen. Die Rechnung lautet \(-15 - 30 = -45\).

Antwort

a) \(20 - 55 = -35\) b) \(-15 - 30 = -45\)

4181585

Berechne das Ergebnis der folgenden Aufgaben, indem du zuerst den passenden Term aufschreibst. a) Bilde die Differenz der Zahlen \( 1\,500 \) und \( 850 \) und subtrahiere von diesem Ergebnis die Gegenzahl von \( +150 \). b) Addiere den Betrag von \( -75 \) zur Summe der Zahlen \( -125 \) und \( -200 \).

Denkanstöße

- Schreibe dir zuerst die Teilergebnisse für die Begriffe Summe, Differenz, Betrag und Gegenzahl einzeln auf. - Überlege dir, wie man das Abziehen einer negativen Zahl vereinfachen kann. - Achte bei der Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen darauf, welche Zahl den größeren Betrag hat.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Die Differenz von \( 1\,500 \) und \( 850 \) ist \( 650 \). Die Gegenzahl von \( +150 \) ist \( -150 \). Die Subtraktion einer negativen Zahl entspricht der Addition ihres Betrags: \( 650 - (-150) = 650 + 150 \). Das Ergebnis ist \( 800 \). 2. Teilaufgabe b): Die Summe von \( -125 \) und \( -200 \) ist \( -325 \). Der Betrag von \( -75 \) ist \( 75 \). Die Addition lautet \( -325 + 75 \). Das Ergebnis ist \( -250 \).

Antwort

a) \( (1\,500 - 850) - (-150) = 650 + 150 = 800 \) b) \( (-125 + (-200)) + | -75 | = -325 + 75 = -250 \)

4182285

Ergänze die Lücken in den folgenden Rechenausdrücken, indem du die Subtraktion zuerst in eine Addition der Gegenzahl umwandelst. a) \( (-120) - (+85) = (-120) + (\dots) = \dots \) b) \( (+215) - (-45) = (+215) + (\dots) = \dots \) c) \( (-63) - (-163) = (-63) + (\dots) = \dots \) d) \( (+19) - (+50) = (+19) + (\dots) = \dots \)

Denkanstöße

- Was ist die Gegenzahl einer positiven Zahl? Was ist die Gegenzahl einer negativen Zahl? - Setze die Gegenzahl der Zahl, die nach dem Minus stand, in die Klammer ein. - Überlege dir bei der Addition, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

Lösung

1. Bestimmung der Gegenzahlen: a) Gegenzahl von \( +85 \) ist \( -85 \). Rechnung: \( (-120) + (-85) = -205 \). b) Gegenzahl von \( -45 \) ist \( +45 \). Rechnung: \( (+215) + (+45) = 260 \). c) Gegenzahl von \( -163 \) ist \( +163 \). Rechnung: \( (-63) + (+163) = 100 \). d) Gegenzahl von \( +50 \) ist \( -50 \). Rechnung: \( (+19) + (-50) = -31 \).

Antwort

a) \( (-120) + (-85) = -205 \) b) \( (+215) + (+45) = 260 \) c) \( (-63) + (+163) = 100 \) d) \( (+19) + (-50) = -31 \)

4182295

Berechne die Werte der beiden Terme \( A \) und \( B \), indem du sie zuerst als Summe schreibst. Welcher der beiden Werte ist größer? Term \( A \): \( (-240) - (+160) \) Term \( B \): \( (-240) - (-160) \)

Denkanstöße

- Wandle beide Aufgaben schrittweise in Additionsaufgaben um. - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende genau. - Denke daran, dass bei negativen Zahlen diejenige größer ist, die näher an der Null liegt.

Lösung

1. Umwandlung von Term \( A \): \( (-240) + (-160) = -400 \). 2. Umwandlung von Term \( B \): \( (-240) + (+160) = -80 \). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \( -80 \) weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt als \( -400 \), gilt \( -80 > -400 \). Term \( B \) ist somit größer.

Antwort

Term \( A = -400 \); Term \( B = -80 \). Term \( B \) ist größer.

4182335

Bestimme die fehlende ganze Zahl, damit die Gleichung korrekt ist. a) \(\square - (+10) = -3\) b) \((-5) - \square = (+2)\) c) \(\square - (-8) = (+5)\) d) \((+4) - \square = (-6)\)

Denkanstöße

- Du kannst die fehlende Zahl finden, indem du die Umkehroperation (Addition statt Subtraktion) nutzt. - Achte besonders darauf, ob du eine positive oder eine negative Zahl abziehst oder hinzufügst. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundene Zahl in die Lücke einsetzt und nachrechnest.

Lösung

1. Für a): Gesucht ist eine Zahl \(x\), sodass \(x - 10 = -3\). Durch Umkehrung folgt \(x = -3 + 10 = 7\). Also \((+7)\). 2. Für b): \(-5 - x = 2\). Umstellen ergibt \(-5 - 2 = x\), also \(x = -7\). Also \((-7)\). 3. Für c): Da \(-(-8) = +8\), lautet die Gleichung \(x + 8 = 5\). Es folgt \(x = 5 - 8 = -3\). Also \((-3)\). 4. Für d): \(4 - x = -6\). Umstellen ergibt \(4 + 6 = x\), also \(x = 10\). Also \((+10)\).

Antwort

a) \((+7)\) b) \((-7)\) c) \((-3)\) d) \((+10)\)

4182345

Vergleiche die Ergebnisse der beiden Ausdrücke und setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) \((-8) - (+2) \quad \dots \quad \((-8) - (-2)\) b) \((+5) - (+5) \quad \dots \quad \((-3) - (-3)\) c) \((-12) - (+4) \quad \dots \quad \((-10) - (+10)\)

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Wert auf der linken Seite und dann den Wert auf der rechten Seite. - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende. Denke daran: Bei negativen Zahlen ist diejenige Zahl kleiner, die weiter links auf der Zahlengeraden steht. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine negative Zahl subtrahierst statt einer positiven?

Lösung

1. Schritt a): Linke Seite: \(-8 - 2 = -10\). Rechte Seite: \(-8 + 2 = -6\). Da \(-10\) weiter links auf der Zahlengeraden liegt als \(-6\), gilt \(-10 < -6\). 2. Schritt b): Linke Seite: \(5 - 5 = 0\). Rechte Seite: \(-3 + 3 = 0\). Es gilt \(0 = 0\). 3. Schritt c): Linke Seite: \(-12 - 4 = -16\). Rechte Seite: \(-10 - 10 = -20\). Da \(-16\) größer ist als \(-20\), gilt \(-16 > -20\).

Antwort

a) \(<\) b) \(=\) c) \(>\)

4182395

Vergleiche die Ergebnisse der beiden Rechenausdrücke und setze das passende Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in die Lücke ein. a) \((-58) - (+22) \quad \text{\_\_\_} \quad (-90) + (+10)\) b) \((+72) + (-84) \quad \text{\_\_\_} \quad (-5) - (-7)\) c) \((-200) + (+150) \quad \text{\_\_\_} \quad (-10) - (+45)\)

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Wert auf der linken Seite und dann den Wert auf der rechten Seite separat. - Achte beim Vergleichen negativer Zahlen darauf, welche Zahl auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt. - Erinnere dich an die Regeln für das Auflösen von Klammern bei Plus- und Minuszeichen.

Lösung

1. Berechnung von Teil a): Linke Seite \(-58 - 22 = -80\), rechte Seite \(-90 + 10 = -80\). Vergleich: \(-80 = -80\). 2. Berechnung von Teil b): Linke Seite \(72 - 84 = -12\), rechte Seite \(-5 + 7 = 2\). Vergleich: \(-12 < 2\). 3. Berechnung von Teil c): Linke Seite \(-200 + 150 = -50\), rechte Seite \(-10 - 45 = -55\). Vergleich: \(-50 > -55\).

Antwort

a) \(=\) b) \(<\) c) \(>\)

4182415

Welche Zahl muss jeweils in das Kästchen eingesetzt werden, damit die Rechnung stimmt? a) \((+17) - \Box = -5\) b) \(\Box + (-25) = -40\) c) \((-12) - \Box = (+8)\)

Denkanstöße

- Du kannst die fehlende Zahl finden, indem du die Umkehroperation verwendest. - Überlege dir, ob die gesuchte Zahl positiv oder negativ sein muss, um das Ergebnis zu erreichen. - Mache am Ende immer die Probe, indem du dein Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

Lösung

1. Teil a): Um von \(17\) zu \(-5\) zu gelangen, muss eine positive Zahl subtrahiert werden. Rechnung: \(17 - (-5) = 22\). Probe: \(17 - 22 = -5\). 2. Teil b): Die gesuchte Zahl vermindert um \(25\) ergibt \(-40\). Rechnung: \(-40 - (-25) = -40 + 25 = -15\). Probe: \(-15 - 25 = -40\). 3. Teil c): Um von \(-12\) zu \(8\) zu gelangen, muss eine negative Zahl subtrahiert werden (was einer Addition entspricht). Rechnung: \(-12 - 8 = -20\). Probe: \(-12 - (-20) = -12 + 20 = 8\).

Antwort

a) \(22\) b) \(-15\) c) \(-20\)

4182545

Vervollständige die folgende Tabelle zur Subtraktion ganzer Zahlen. Berechne jeweils die Differenz (Minuend \(-\) Subtrahend). <table> <tr> <th colspan="2" rowspan="2"></th> <th colspan="4">Subtrahend</th> </tr> <tr> <th>\( 15 \)</th> <th>\( -10 \)</th> <th>\( -35 \)</th> <th>\( 60 \)</th> </tr> <tr> <th rowspan="3">Minuend</th> <th>\( -20 \)</th> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <th>\( 45 \)</th> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <th>\( -80 \)</th> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Regel: Eine negative Zahl zu subtrahieren ist das Gleiche wie ihre Gegenzahl zu addieren. - Achte beim Rechnen auf der Zahlengeraden darauf, in welche Richtung du dich bewegst. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst? - Gehe die Tabelle Zeile für Zeile durch und kombiniere jeden Minuend mit jedem Subtrahend.

Lösung

Die Differenzen werden berechnet, indem der Subtrahend vom Minuend abgezogen wird. Dabei wird die Subtraktion einer negativen Zahl als Addition ihres Betrages ausgeführt. 1. Zeile (\( -20 \)): \( -20 - 15 = -35 \); \( -20 - (-10) = -10 \); \( -20 - (-35) = 15 \); \( -20 - 60 = -80 \). 2. Zeile (\( 45 \)): \( 45 - 15 = 30 \); \( 45 - (-10) = 55 \); \( 45 - (-35) = 80 \); \( 45 - 60 = -15 \). 3. Zeile (\( -80 \)): \( -80 - 15 = -95 \); \( -80 - (-10) = -70 \); \( -80 - (-35) = -45 \); \( -80 - 60 = -140 \).

Antwort

Die ausgefüllte Tabelle lautet: <table> <tr> <th colspan="2"></th> <th>\( 15 \)</th> <th>\( -10 \)</th> <th>\( -35 \)</th> <th>\( 60 \)</th> </tr> <tr> <th rowspan="3"></th> <th>\( -20 \)</th> <td>\( -35 \)</td> <td>\( -10 \)</td> <td>\( 15 \)</td> <td>\( -80 \)</td> </tr> <tr> <th>\( 45 \)</th> <td>\( 30 \)</td> <td>\( 55 \)</td> <td>\( 80 \)</td> <td>\( -15 \)</td> </tr> <tr> <th>\( -80 \)</th> <td>\( -95 \)</td> <td>\( -70 \)</td> <td>\( -45 \)</td> <td>\( -140 \)</td> </tr> </table>

4182645

Berechne die folgenden Differenzen, indem du jeden Schritt als Addition der Gegenzahl notierst. a) \((-410) - (+590)\) b) \((+1\,200) - (-800)\) c) \((-33) - (-33)\) d) \((-75) - (+25)\)

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Regel: Eine Zahl wird subtrahiert, indem man ihre Gegenzahl addiert. - Achte besonders auf das Ergebnis, wenn du eine Zahl von sich selbst abziehst. - Wie verändert sich der Wert, wenn du eine positive Zahl von einer negativen Zahl abziehst?

Lösung

1. Addition der Gegenzahl: \((-410) + (-590) = -1\,000\). 2. Addition der Gegenzahl: \((+1\,200) + (+800) = 2\,000\). 3. Addition der Gegenzahl: \((-33) + (+33) = 0\). 4. Addition der Gegenzahl: \((-75) + (-25) = -100\).

Antwort

a) \((-410) + (-590) = -1\,000\) b) \((+1\,200) + (+800) = 2\,000\) c) \((-33) + (+33) = 0\) d) \((-75) + (-25) = -100\)

4182905

Bestimme das Ergebnis der Rechnung: \((-128) - [(+52) + (-97)]\)

Denkanstöße

- In der Mathematik gibt es eine feste Regel, welche Teile eines Terms zuerst berechnet werden müssen. - Was bedeuten die eckigen Klammern für die Reihenfolge deiner Rechnung? - Ersetze den gesamten Klammerausdruck durch sein Ergebnis, bevor du weiterrechnest.

Lösung

1. Berechnung des Werts innerhalb der eckigen Klammer: \(52 - 97 = -45\) 2. Subtraktion dieses Ergebnisses vom ersten Wert: \(-128 - (-45)\) 3. Umwandlung der Subtraktion in eine Addition: \(-128 + 45 = -83\)

Antwort

\(-83\)

4182965

Gegeben sind die beiden Zahlen \( -34 \) und \( -16 \). a) Berechne die Summe dieser beiden Zahlen. b) Subtrahiere die in Teil a) berechnete Summe von der Gegenzahl der Zahl \( 50 \). Welches Ergebnis erhältst du?

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff „Summe“? - Weißt du noch, was man unter der „Gegenzahl“ einer Zahl versteht? - Achte bei der Subtraktion in Teil b) besonders auf die Vorzeichen und die Klammern.

Lösung

1. Berechnung der Summe: \( (-34) + (-16) = -50 \). 2. Bestimmung der Gegenzahl von \( 50 \): Diese ist \( -50 \). 3. Durchführung der Subtraktion: \( -50 - (-50) = -50 + 50 = 0 \).

Antwort

a) \( -50 \) b) \( 0 \)

4183105

Vervollständige die folgende Tabelle zu Kontobewegungen. In jeder Zeile wird vom alten Kontostand ein Betrag abgebucht (Subtraktion), um den neuen Kontostand zu erhalten. <table> <tr><th>Alter Kontostand</th><th>Abbuchung</th><th>Neuer Kontostand</th></tr> <tr><td>\(12\,\text{€}\)</td><td>\(20\,\text{€}\)</td><td>(1)</td></tr> <tr><td>\(-8\,\text{€}\)</td><td>\(15\,\text{€}\)</td><td>(2)</td></tr> <tr><td>(3)</td><td>\(25\,\text{€}\)</td><td>\(-10\,\text{€}\)</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Stelle dir die Beträge auf einem Zahlenstrahl vor. In welche Richtung bewegst du dich, wenn Geld abgebucht wird? - Kannst du die fehlenden Werte mithilfe einer Umkehraufgabe finden? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn das Konto bereits im Minus ist.

Lösung

1. Berechnung für (1): Es wird gerechnet \(12 - 20\). Da der Subtrahend größer ist als der Minuend, ist das Ergebnis negativ: \(12 - 20 = -8\). Der neue Kontostand beträgt \(-8\,\text{€}\). 2. Berechnung für (2): Es wird von einer negativen Zahl eine positive Zahl abgezogen, also \(-8 - 15\). Man bewegt sich auf dem Zahlenstrahl weiter nach links: \(-8 - 15 = -23\). Der neue Kontostand beträgt \(-23\,\text{€}\). 3. Berechnung für (3): Gesucht ist ein Wert \(x\), für den gilt \(x - 25 = -10\). Durch Umkehraufgabe erhält man \(x = -10 + 25 = 15\). Der alte Kontostand betrug \(15\,\text{€}\).

Antwort

(1) \(-8\,\text{€}\) (2) \(-23\,\text{€}\) (3) \(15\,\text{€}\)

4183215

Setze das passende Relationszeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in die Lücken ein, sodass eine wahre Aussage entsteht. Berechne dazu zuerst die Differenzen. a) \((-12) - 8\) \dots \(-12\) b) \((-12) - (-8)\) \dots \(-12\) c) \(15 - 15\) \dots \(15\) d) \(15 - (-15)\) \dots \(15\)

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Wert auf der linken Seite der Lücke. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl von einer negativen Zahl abziehst. - Stell dir die Zahlen am besten auf einer Zahlengeraden vor: Welche Zahl liegt weiter rechts?

Lösung

1. Berechnung a): \(-12 - 8 = -20\). Vergleich: \(-20 < -12\). 2. Berechnung b): \(-12 - (-8) = -12 + 8 = -4\). Vergleich: \(-4 > -12\). 3. Berechnung c): \(15 - 15 = 0\). Vergleich: \(0 < 15\). 4. Berechnung d): \(15 - (-15) = 15 + 15 = 30\). Vergleich: \(30 > 15\).

Antwort

a) \(<\) (denn \(-20 < -12\)) b) \(>\) (denn \(-4 > -12\)) c) \(<\) (denn \(0 < 15\)) d) \(>\) (denn \(30 > 15\))

4183355

Betrachte die folgenden Terme: (I) \( (-48) - (-122) \) (II) \( (-210) - (+90) \) a) Berechne die Werte der Terme, indem du sie zuerst als Summe schreibst. b) Welche Zahl muss man jeweils vom Ergebnis subtrahieren, um den Wert \( +10 \) zu erhalten? c) Bestimme für jedes Ergebnis aus Teilaufgabe a) die Zahl, die subtrahiert werden muss, um die Gegenzahl des ursprünglichen Ergebnisses zu erhalten.

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass das Subtrahieren einer Zahl dasselbe ist wie das Addieren ihrer Gegenzahl. - Die Gegenzahl einer Zahl findest du, indem du ihr Vorzeichen umkehrst. - Stelle dir eine Gleichung vor: \( \text{Ergebnis} - \text{Gesuchte Zahl} = \text{Zielwert} \).

Lösung

1. Berechnung durch Addition der Gegenzahl: (I) \( (-48) + (+122) = 74 \) (II) \( (-210) + (-90) = -300 \) 2. Subtrahenden für Zielwert \( 10 \): (I) \( 74 - x = 10 \Rightarrow x = 64 \) (II) \( -300 - x = 10 \Rightarrow x = -310 \) 3. Subtrahenden für die Gegenzahl: Die Gegenzahl von \( 74 \) ist \( -74 \). Rechnung: \( 74 - x = -74 \Rightarrow x = 148 \). Die Gegenzahl von \( -300 \) ist \( 300 \). Rechnung: \( -300 - x = 300 \Rightarrow x = -600 \).

Antwort

a) (I) \( 74 \); (II) \( -300 \) b) (I) \( 64 \); (II) \( -310 \) c) (I) \( 148 \); (II) \( -600 \)

4183365

Gegeben sind zwei Terme: (I) \( (-15) - (+85) \) (II) \( (+40) - (+110) \) a) Wandle die Subtraktionen in Additionen um und berechne die Ergebnisse. b) Welche Zahl musst du vom Ergebnis des Terms (I) subtrahieren, um genau das Ergebnis des Terms (II) zu erhalten? c) Welche Zahl musst du vom Ergebnis des Terms (II) subtrahieren, um die Gegenzahl des Ergebnisses von Term (I) zu erhalten?

Denkanstöße

- Berechne zuerst beide Aufgaben in Ruhe. - Was ist die Gegenzahl von \( -100 \)? - Überlege bei b) und c), wie weit die Zahlen auf dem Zahlenstrahl voneinander entfernt sind.

Lösung

1. Berechnung der Terme: (I) \( (-15) + (-85) = -100 \) (II) \( (+40) + (-110) = -70 \) 2. Differenz zwischen den Ergebnissen finden: Gesucht ist \( x \) mit \( -100 - x = -70 \). Daraus folgt \( x = -30 \). 3. Zielwert Gegenzahl von Term (I): Die Gegenzahl von \( -100 \) ist \( 100 \). Gesucht ist \( y \) mit \( -70 - y = 100 \). Daraus folgt \( y = -170 \).

Antwort

a) (I) \( -100 \); (II) \( -70 \) b) \( -30 \) c) \( -170 \)

4183795

Das Bankkonto von Frau Weber zeigt einen Stand von \(-120\,\text{€}\) an. Nachdem die Miete für ihre Garage abgebucht wurde, beträgt der neue Kontostand \(-185\,\text{€}\). Stelle eine Gleichung mit einer Variablen \(x\) für die Höhe der Garagenmiete auf und berechne den Wert von \(x\).

Denkanstöße

- Was ist der Unterschied zwischen dem Startwert und dem Endwert? - Überlege, ob die Miete den Kontostand vergrößert oder verkleinert. - Wie würdest du rechnen, wenn das Konto im Plus wäre? Gilt das auch für Minusbeträge? - Kannst du den Abstand zwischen den beiden Zahlen auf der Zahlengeraden bestimmen?

Lösung

1. Aufstellen der Gleichung: Der alte Kontostand abzüglich der Miete ergibt den neuen Stand. Gleichung: \(-120 - x = -185\). 2. Umstellen der Gleichung nach \(x\): Man subtrahiert den neuen Kontostand vom alten, um die Differenz zu erhalten. Rechnung: \(x = -120 - (-185)\). 3. Berechnung des Werts: \(-120 + 185 = 65\). 4. Die Miete beträgt somit \(65\,\text{€}\).

Antwort

Gleichung: \(-120 - x = -185\) Lösung: \(x = 65\) Die Miete beträgt \(65\,\text{€}\).

4183825

Schreibe den Term zuerst als Summe und berechne ihn dann möglichst geschickt: \(385 - 119 + 615\)

Denkanstöße

- Wie schreibt man eine Subtraktion als Addition einer negativen Zahl? - Gibt es zwei Zahlen, die zusammen genau \(1000\) ergeben? - Nutze das Vertauschungsgesetz, um diese beiden Zahlen zuerst zusammenzufassen.

Lösung

1. Umwandlung der Subtraktion in die Addition der Gegenzahl: \(385 + (-119) + 615\) 2. Vertauschen der Summanden, um die Zahlen mit passenden Endziffern zuerst zu addieren: \((385 + 615) + (-119)\) 3. Berechnung der ersten Teilsumme: \(1000 + (-119)\) 4. Subtraktion bzw. Addition der negativen Zahl: \(1000 - 119 = 881\)

Antwort

\(385 + (-119) + 615 = 881\)

4183855

Vergleiche die Werte der Terme und setze das passende Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in die Kästchen ein. a) \(18 - 30 \quad \square \quad -18 + 30\) b) \(-50 - (-20) \quad \square \quad -50 + 20\) c) \(45 - (10 + 50) \quad \square \quad 45 - 10 - 50\) d) \(-(25 - 5) \quad \square \quad -25 - 5\)

Denkanstöße

- Berechne immer zuerst den Wert auf der linken und auf der rechten Seite separat. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Denke beim Vergleich an die Zahlengerade: Welche Zahl liegt weiter rechts? - Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl.

Lösung

1. Schrittweise Berechnung beider Seiten: a) Linke Seite: \(18 - 30 = -12\). Rechte Seite: \(-18 + 30 = 12\). Da \(-12 < 12\), ist das Zeichen \(<\). b) Linke Seite: \(-50 - (-20) = -50 + 20 = -30\). Rechte Seite: \(-50 + 20 = -30\). Da \(-30 = -30\), ist das Zeichen \(=\). c) Linke Seite: \(45 - 60 = -15\). Rechte Seite: \(35 - 50 = -15\). Da \(-15 = -15\), ist das Zeichen \(=\). d) Linke Seite: \(-(20) = -20\). Rechte Seite: \(-25 - 5 = -30\). Da \(-20 > -30\), ist das Zeichen \(>\).

Antwort

a) \(<\) b) \(=\) c) \(=\) d) \(>\)

4183865

Drei der folgenden Terme haben denselben Wert. Welcher Term passt nicht in die Reihe? Begründe deine Entscheidung durch Rechnung. A) \(-22 + 10 - 8\) B) \(-22 + (8 - 10)\) C) \(10 - (22 + 8)\) D) \(-(22 - 10) - 8\)

Denkanstöße

- Rechne jeden Term sorgfältig von links nach rechts oder unter Beachtung der Klammern aus. - Achte auf die Vorzeichen der Teilergebnisse. - Gibt es einen Term, bei dem die Zahlen anders kombiniert oder verrechnet werden als bei den anderen? - Überprüfe dein Ergebnis für jeden Buchstaben doppelt.

Lösung

1. Berechnung der Termwerte: A) \(-22 + 10 - 8 = -12 - 8 = -20\) B) \(-22 + (8 - 10) = -22 + (-2) = -24\) C) \(10 - (22 + 8) = 10 - 30 = -20\) D) \(-(22 - 10) - 8 = -(12) - 8 = -20\) 2. Vergleich: Die Terme A, C und D ergeben jeweils \(-20\). Term B ergibt \(-24\) und weicht somit ab.

Antwort

Term B passt nicht in die Reihe, da sein Wert \(-24\) beträgt, während die anderen Terme den Wert \(-20\) haben.

4183905

Berechne die folgenden Differenzen, indem du sie zuerst in eine Additionsaufgabe umschreibst. a) \(450 - 1000\) b) \(-750 - 250\) c) \(1200 - (-800)\) d) \(-330 - (-130)\)

Denkanstöße

- Wie verändert sich die Rechnung, wenn man eine negative Zahl subtrahiert? - Stelle dir die Aufgaben auf einer Zahlengeraden vor, wenn du unsicher bist. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Umschreiben.

Lösung

1. Addition der Gegenzahl: \(450 + (-1000) = -550\) 2. Umwandlung in die Summe zweier negativer Summanden: \((-750) + (-250) = -1000\) 3. Wegfall des doppelten Minuszeichens durch Addition: \(1200 + 800 = 2000\) 4. Addition der positiven Gegenzahl zur negativen Ausgangszahl: \((-330) + 130 = -200\)

Antwort

a) \(-550\) b) \(-1000\) c) \(2000\) d) \(-200\)

4184065

Bestimme zuerst einen passenden Überschlag. Berechne danach den Wert des Terms vorteilhaft, indem du positive und negative Zahlen geschickt gruppierst. \(-135 + 420 - 65 + 580 - 300\)

Denkanstöße

- Versuche, alle Zahlen mit einem Minuszeichen davor zuerst untereinander zu verrechnen. - Gibt es Paare von Zahlen, die zusammen einen glatten Hunderter ergeben? - Was passiert, wenn du zuerst alle „Schulden“ und dann alle „Guthaben“ zusammenzählst?

Lösung

1. Überschlagsrechnung (z. B. auf Hunderter): \(-100 + 400 - 100 + 600 - 300 = 500\). 2. Vorteilhaftes Gruppieren der negativen Zahlen: \(-135 - 65 = -200\). 3. Vorteilhaftes Gruppieren der positiven Zahlen: \(420 + 580 = 1\,000\). 4. Zusammenführen der Ergebnisse: \(1\,000 - 200 - 300\). 5. Endergebnis berechnen: \(800 - 300 = 500\).

Antwort

Überschlag: \(500\) Ergebnis: \(500\)

4184125

Schreibe die Terme als reine Additionsaufgaben (Summen) und bestimme den Wert. a) \( 440 - 600 - (-160) \) b) \( -19 - (-81) - 100 \)

Denkanstöße

- Schreibe jede Subtraktion als Addition der Gegenzahl. - Ein Minuszeichen vor einer Zahl ohne Klammer kann als Addition der entsprechenden negativen Zahl geschrieben werden. - Achte darauf, was beim Addieren von Gegenzahlen geschieht.

Lösung

1. Umschreiben als Summe: \( (+440) + (-600) + (+160) \). Addition der ersten beiden Summanden: \( 440 + (-600) = -160 \). Addition des letzten Summanden: \( -160 + 160 = 0 \). 2. Umschreiben als Summe: \( (-19) + (+81) + (-100) \). Addition der ersten beiden Summanden: \( -19 + 81 = 62 \). Addition des letzten Summanden: \( 62 + (-100) = -38 \).

Antwort

a) \( (+440) + (-600) + (+160) = 0 \) b) \( (-19) + (+81) + (-100) = -38 \)

4184135

Stelle die Aufgaben als Summe von ganzen Zahlen dar und berechne das Endergebnis. a) \( -75 - 125 - (-50) \) b) \( -312 + 12 - 200 \)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine Zahl subtrahierst? - Kannst du zuerst alle Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen addieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Prüfe am Ende, ob das Vorzeichen deines Ergebnisses logisch ist.

Lösung

1. Darstellung als Summe: \( (-75) + (-125) + (+50) \). Zusammenfassen der ersten beiden negativen Zahlen: \( -75 + (-125) = -200 \). Finale Summe: \( -200 + 50 = -150 \). 2. Darstellung als Summe: \( (-312) + (+12) + (-200) \). Zusammenfassen der ersten beiden Zahlen: \( -312 + 12 = -300 \). Finale Summe: \( -300 + (-200) = -500 \).

Antwort

a) \( (-75) + (-125) + (+50) = -150 \) b) \( (-312) + (+12) + (-200) = -500 \)

4184235

Betrachte die Rechnung: \(1\,250 - 3\,400 + 750 - 600\) a) Bestimme den Wert des Terms durch vorteilhaftes Zusammenfassen. b) Die letzte Zahl (\(-600\)) soll so ersetzt werden, dass das Endergebnis \(0\) ist. Bestimme die neue Zahl inklusive Vorzeichen.

Denkanstöße

- Kannst du die positiven Zahlen zuerst addieren, um eine glatte Zahl zu erhalten? - Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn du eine Zahl am Ende änderst? - Überlege, welche Zahl du zu den restlichen Werten addieren musst, um bei Null zu landen.

Lösung

1. Zusammenfassen der positiven und negativen Beträge: \((1\,250 + 750) - 3\,400 - 600\) 2. Berechnung der Zwischenschritte: \(2\,000 - 3\,400 - 600 = 2\,000 - 4\,000 = -2\,000\) 3. Berechnung der Summe ohne das letzte Glied: \(1\,250 - 3\,400 + 750 = 2\,000 - 3\,400 = -1\,400\) 4. Damit die Gesamtsumme \(0\) ergibt, muss die neue Zahl \(x\) den Wert \(1\,400\) haben, da \(-1\,400 + 1\,400 = 0\)

Antwort

a) \(-2\,000\) b) \(1\,400\)

4184245

Berechne den Wert des Terms möglichst geschickt: \(-17 - 43 + 65 - 25 + 10\) Verändere anschließend die letzte Zahl (\(10\)) so, dass der Termwert \(0\) beträgt. Wie muss die neue Zahl lauten?

Denkanstöße

- Suche nach Zahlen, die zusammen Zehner- oder Hunderterzahlen ergeben. - Vergiss nicht, dass das Minuszeichen fest zur nachfolgenden Zahl gehört. - Wie viel fehlt dir noch bis zur Null, nachdem du die ersten vier Zahlen verrechnet hast?

Lösung

1. Geschickte Gruppierung: \((-17 - 43) + (65 - 25) + 10\) 2. Berechnung der Teilwerte: \(-60 + 40 + 10 = -10\) 3. Berechnung der Summe der ersten vier Glieder: \(-17 - 43 + 65 - 25 = -60 + 40 = -20\) 4. Bestimmung der neuen Zahl für das Ziel \(0\): \(-20 + x = 0 \implies x = 20\)

Antwort

Der Termwert ist \(-10\). Die neue Zahl muss \(20\) lauten.

4184275

Berechne den Wert der folgenden Terme schrittweise. Achte dabei auf die Vorzeichenregeln und die Reihenfolge der Klammern. a) \(26 - [(41 - 55) + (82 - 14)]\) b) \([-18 + (72 - 95)] - (31 + 29)\)

Denkanstöße

- In welcher Reihenfolge löst man Klammern auf, wenn sie ineinander verschachtelt sind? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn ein Minuszeichen direkt vor der Klammer steht? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du zuerst die Ergebnisse der innersten Klammern aufschreibst?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Zuerst werden die inneren runden Klammern berechnet: \(41 - 55 = -14\) und \(82 - 14 = 68\). Danach wird der Wert in der eckigen Klammer bestimmt: \(-14 + 68 = 54\). Schließlich erfolgt die Subtraktion: \(26 - 54 = -28\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst wird die innere runde Klammer berechnet: \(72 - 95 = -23\). Dann folgt die eckige Klammer: \(-18 + (-23) = -41\). Die letzte runde Klammer ergibt \(31 + 29 = 60\). Zum Schluss wird gerechnet: \(-41 - 60 = -101\).

Antwort

a) \(-28\) b) \(-101\)

4184285

Bestimme das Ergebnis der folgenden Rechenausdrücke unter Berücksichtigung der Klammerregeln. a) \(-32 - (74 + 26) + (-85 + 35)\) b) \((-94 - 126) - (-52 + 318)\)

Denkanstöße

- Achte besonders auf das Minuszeichen zwischen zwei Klammern. - Wie verändert sich eine Summe oder Differenz, wenn eine negative Zahl addiert oder subtrahiert wird? - Es hilft oft, Zwischenergebnisse unter die jeweiligen Klammern zu schreiben.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Die Klammern werden zuerst ausgewertet: \(74 + 26 = 100\) und \(-85 + 35 = -50\). Der Term lautet dann \(-32 - 100 + (-50)\). Schrittweise Berechnung von links nach rechts: \(-32 - 100 = -132\) und \(-132 - 50 = -182\). 2. Teilaufgabe b): Die erste Klammer ergibt \(-94 - 126 = -220\). Die zweite Klammer ergibt \(-52 + 318 = 266\). Die finale Subtraktion lautet \(-220 - 266 = -486\).

Antwort

a) \(-182\) b) \(-486\)

4184325

Bestimme den Wert des folgenden Terms durch geschicktes Zusammenfassen: \(781 - 495 - 281 + 195 - 100\)

Denkanstöße

- Achte auf die Endziffern. Welche Zahlen lassen sich besonders leicht voneinander abziehen? - Vergiss nicht, dass das Vorzeichen (Plus oder Minus) immer fest zur folgenden Zahl gehört, wenn du die Reihenfolge änderst. - Kannst du den Term in kleinere Gruppen aufteilen, die im Kopf leicht zu rechnen sind?

Lösung

1. Schreibe den Term als Summe: \(781+(-495)+(-281)+195+(-100)\). 2. Ordne die Summanden mit dem Kommutativgesetz: \((781+(-281))+((-495)+195)+(-100)\). 3. Berechne die Gruppen: \(500+(-300)+(-100)\). 4. Fasse zusammen: \(500-300-100=100\).

Antwort

Das Ergebnis ist \(100\).

4184365

Berechne das Ergebnis: \((12 - 45) - (150 + 5)\)

Denkanstöße

- Berechne zuerst die Werte in den beiden Klammern getrennt voneinander. - Achte beim letzten Schritt darauf, dass du von einer negativen Zahl eine positive Zahl abziehst.

Lösung

1. Berechnung der ersten Klammer: \(12 - 45 = -33\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(150 + 5 = 155\). 3. Subtraktion der beiden Ergebnisse: \(-33 - 155 = -188\).

Antwort

\(-188\)

4184375

Bestimme den Wert des Terms: \(-(240 - 1\,240) - 65\)

Denkanstöße

- Berechne zuerst die Differenz innerhalb der Klammer. - Das äußere Minuszeichen bildet die Gegenzahl des Klammerwerts. - Subtrahiere anschließend \(65\).

Lösung

1. Berechnung des Werts in der Klammer: \(240 - 1\,240 = -1\,000\). 2. Anwendung des Minuszeichens vor der Klammer: \(-(-1\,000) = 1\,000\). 3. Letzter Rechenschritt: \(1\,000 - 65 = 935\).

Antwort

\(935\)

4184585

Betrachte den Term \(12 - (+8) - (-15) + (-5)\). a) Bestimme den Wert des Terms. b) Durch das Setzen eines weiteren Klammerpaares soll das Endergebnis des Terms zu \(-6\) werden. Schreibe den veränderten Term auf und zeige durch Rechnung, dass das neue Ergebnis stimmt.

Denkanstöße

- Was passiert mit den Vorzeichen der Zahlen, wenn sie plötzlich zusammen in einer Klammer stehen, vor der ein Minuszeichen steht? - Probiere verschiedene Positionen für die Klammern aus, zum Beispiel um zwei oder drei aufeinanderfolgende Zahlen. - Überlege dir zuerst, ob das neue Ergebnis größer oder kleiner als das ursprüngliche Ergebnis sein muss.

Lösung

1. Berechnung des ursprünglichen Werts: \(12 - 8 + 15 - 5 = 4 + 15 - 5 = 14\). 2. Um das Zielergebnis \(-6\) zu erreichen, muss das Klammerpaar so gesetzt werden, dass ein größerer Wert subtrahiert wird. 3. Prüfung der Klammerung um die letzten drei Glieder: \(12 - ((+8) - (-15) + (-5))\). 4. Berechnung des Klammerinhalts: \(8 + 15 - 5 = 23 - 5 = 18\). 5. Endberechnung: \(12 - 18 = -6\). Dies entspricht dem Zielwert.

Antwort

a) Der Wert ist \(14\). b) Der veränderte Term lautet: \(12 - ((+8) - (-15) + (-5))\). Rechnung: \(12 - (8 + 15 - 5) = 12 - 18 = -6\).

4184665

Betrachte den Term: \(25 - (92 - 42) - (16 + 34)\) a) Berechne den Wert des Terms schrittweise. b) Jemand hat sich verschrieben und statt der \(42\) die Zahl \(22\) notiert. Erkläre ohne eine neue Rechnung, wie sich das auf das Endergebnis auswirkt.

Denkanstöße

- Schau dir genau an, welche Rolle die Zahl \(42\) innerhalb ihrer Klammer spielt. - Wenn du in einer Differenz weniger abziehst, was passiert dann mit dem Ergebnis dieser Differenz? - Wie wirkt sich eine Änderung des Klammerergebnisses auf den gesamten Term aus?

Lösung

1. Innere Klammern berechnen: \(92 - 42 = 50\) und \(16 + 34 = 50\). 2. Term berechnen: \(25 - 50 - 50 = -25 - 50 = -75\). 3. Auswirkung der Änderung: Wird \(42\) durch \(22\) ersetzt, verkleinert sich der Subtrahend innerhalb der ersten Klammer um \(20\). Dadurch wird der Wert der gesamten Klammer \((92 - 22)\) um \(20\) größer. Da diese Klammer im Gesamtterm subtrahiert wird, sinkt der Wert des gesamten Terms um \(20\).

Antwort

a) \(-75\) b) Der Wert des Terms verringert sich um \(20\). Begründung: Der Wert der ersten Klammer steigt um \(20\), da weniger abgezogen wird. Da die Klammer selbst subtrahiert wird, sinkt das Endergebnis.

4184895

Gegeben ist der folgende Term: \(36 + (12 - 45) - (-18 + 5)\) a) Berechne den Wert des Terms. b) Ändere die Zahl \(12\) in der ersten Klammer so ab, dass der Gesamtwert des Terms \(20\) beträgt. c) Ändere stattdessen die Zahl \(-18\) in der zweiten Klammer so ab, dass der Gesamtwert des Terms \(20\) beträgt.

Denkanstöße

- Berechne zuerst die Ergebnisse in den Klammern. - Überlege dir, wie sich das Gesamtergebnis ändert, wenn du eine Zahl in der Klammer vergrößerst oder verkleinerst. - Achte besonders auf das Rechenzeichen vor der Klammer. - Wie viel fehlt von deinem ersten Ergebnis noch bis zur Zielzahl?

Lösung

1. Berechnung der Klammerwerte: \(12 - 45 = -33\) und \(-18 + 5 = -13\). 2. Berechnung des Gesamtwerts: \(36 + (-33) - (-13) = 36 - 33 + 13 = 16\). 3. Um den Wert \(20\) zu erhalten, muss der Termwert um \(4\) erhöht werden. In der ersten Klammer bewirkt eine Erhöhung der Zahl \(12\) um \(4\) direkt eine Erhöhung des Gesamtwerts: \(12 + 4 = 16\). 4. In der zweiten Klammer steht die Zahl in einer Subtraktion (\(- (\dots)\)). Damit der Gesamtwert um \(4\) steigt, muss der Wert der Klammer um \(4\) sinken. Die Zahl \(-18\) muss also um \(4\) verringert werden: \(-18 - 4 = -22\).

Antwort

a) Der Termwert ist \(16\). b) Die Zahl \(12\) muss durch \(16\) ersetzt werden. c) Die Zahl \(-18\) muss durch \(-22\) ersetzt werden.

4184905

Betrachte den Term: \(-22 - (-15 + 40) + (10 - 32)\) a) Bestimme den Wert des Terms. b) Welche Zahl müsste anstelle der ersten Zahl (\(-22\)) stehen, damit der Wert des gesamten Terms \(0\) ergibt? c) Welche Zahl müsste anstelle der \(-15\) in der ersten Klammer stehen, damit der Wert des gesamten Terms \(0\) ergibt?

Denkanstöße

- Vereinfache den Term so weit wie möglich, indem du die Klammern zuerst ausrechnest. - Wenn das Ergebnis null sein soll, muss die Summe aller Teile des Terms sich gegenseitig aufheben. - Setze einen Platzhalter für die gesuchte Zahl ein und überlege, wie groß dieser sein muss.

Lösung

1. Berechnung der Klammerinhalte: \(-15 + 40 = 25\) und \(10 - 32 = -22\). 2. Berechnung des Termwerts: \(-22 - 25 + (-22) = -69\). 3. Für den Zielwert \(0\) muss die erste Zahl \(x\) die Gleichung \(x - 25 - 22 = 0\) erfüllen. Daraus folgt \(x - 47 = 0\), also \(x = 47\). 4. Um durch Ändern der \(-15\) (Variable \(z\)) den Wert \(0\) zu erhalten, muss gelten: \(-22 - (z + 40) - 22 = 0\). Dies führt zu \(-44 - (z + 40) = 0\), woraus \(z + 40 = -44\) und somit \(z = -84\) folgt.

Antwort

a) Der Termwert ist \(-69\). b) Anstelle der \(-22\) müsste die \(47\) stehen. c) Anstelle der \(-15\) müsste die \(-84\) stehen.

4184915

Gegeben ist der Term: \((14 - 28) - (35 - 50) + 12\) a) Berechne den Wert des Terms. b) Verändere die Zahl \(35\) in der zweiten Klammer so, dass der neue Termwert \(0\) ist. c) Verändere die Zahl \(12\) am Ende des Terms so, dass der neue Termwert \(0\) ist.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den aktuellen Wert des gesamten Ausdrucks. - Überlege, ob das aktuelle Ergebnis zu groß oder zu klein ist, um auf null zu kommen. - Wenn eine Klammer abgezogen wird, wie wirkt sich eine Änderung darin auf das Endergebnis aus? - Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn du die letzte Zahl veränderst?

Lösung

1. Berechnung der Klammern: \(14 - 28 = -14\) und \(35 - 50 = -15\). 2. Berechnung des Termwerts: \(-14 - (-15) + 12 = -14 + 15 + 12 = 13\). 3. Um den Wert \(0\) zu erreichen, muss das Ergebnis um \(13\) verringert werden. Da die zweite Klammer subtrahiert wird, muss ihr Wert um \(13\) steigen, damit das Gesamtergebnis um \(13\) sinkt. Die Zahl \(35\) muss also um \(13\) erhöht werden: \(35 + 13 = 48\). 4. Alternativ muss die Zahl am Ende (\(12\)) um \(13\) verringert werden, um den Gesamtwert von \(13\) auf \(0\) zu bringen: \(12 - 13 = -1\).

Antwort

a) Der Termwert ist \(13\). b) Die Zahl \(35\) muss durch \(48\) ersetzt werden. c) Die Zahl \(12\) muss durch \(-1\) ersetzt werden.

4184995

Gegeben sind die folgenden sechs Terme. Welche dieser Terme besitzen den gleichen Wert? Gruppiere die Terme mit gleichem Ergebnis und gib den jeweiligen Termwert an. \(A: 45 - (-5)\) \(B: 45 + 5\) \(C: 45 + (-5)\) \(D: 45 - 5\) \(E: 50 - 0\) \(F: 50 - 10\)

Denkanstöße

- Berechne jeden Term einzeln Schritt für Schritt. - Achte besonders auf das Zusammentreffen von Rechenzeichen und Vorzeichen, wie bei \(-\,(- \dots)\) oder \(+\,(- \dots)\). - Vergleiche am Ende deine Ergebnisse und sortiere die Buchstaben der Terme.

Lösung

1. Berechnung der Termwerte: \(A: 45 - (-5) = 45 + 5 = 50\) \(B: 45 + 5 = 50\) \(C: 45 + (-5) = 45 - 5 = 40\) \(D: 45 - 5 = 40\) \(E: 50 - 0 = 50\) \(F: 50 - 10 = 40\) 2. Gruppierung: Gruppe 1 (Wert 50): \(A, B, E\) Gruppe 2 (Wert 40): \(C, D, F\)

Antwort

Die Terme \(A\), \(B\) und \(E\) haben den gleichen Wert \(50\). Die Terme \(C\), \(D\) und \(F\) haben den gleichen Wert \(40\).

4186815

Stelle einen Term auf und berechne seinen Wert: Subtrahiere von der Summe der Zahlen \(-412\) und \(187\) die Differenz der Zahlen \(-256\) und \(-58\).

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche Rechenoperationen durch die Begriffe „Summe“, „Differenz“ und „Subtrahieren“ beschrieben werden. - Achte beim Aufstellen des Terms besonders auf die Vorzeichen und verwende Klammern, um die einzelnen Teilergebnisse voneinander zu trennen. - Welche Zahl muss von welcher abgezogen werden? Das Wort „von“ gibt dir hier einen wichtigen Hinweis auf die Reihenfolge.

Lösung

1. Berechnung der Summe: \(-412 + 187 = -225\) 2. Berechnung der Differenz: \(-256 - (-58) = -256 + 58 = -198\) 3. Subtraktion der Ergebnisse: \(-225 - (-198) = -225 + 198 = -27\)

Antwort

\((-412 + 187) - (-256 - (-58)) = -27\)

4186895

Gegeben ist die Aufgabe \((-14) - (-20)\). a) Berechne den Wert der Differenz. b) Begründe, warum das Ergebnis positiv ist, obwohl beide Zahlen in der Rechnung negativ sind.

Denkanstöße

- Wie lautet die Regel für das Subtrahieren einer negativen Zahl? - Stelle dir die Rechnung als Bewegung auf der Zahlengeraden vor. - Welche der beiden Zahlen ist „stärker“ bzw. weiter von der Null entfernt, wenn man die Vorzeichen weglässt?

Lösung

1. Die Subtraktion einer negativen Zahl wird als Addition der Gegenzahl berechnet: \((-14) - (-20) = -14 + 20\). 2. Berechnung des Ergebnisses: \(-14 + 20 = 6\). 3. Begründung: Das Ergebnis ist positiv, da die Gegenzahl des Subtrahenden (\(20\)) einen größeren Betrag hat als der negative Minuend (\(-14\)). Auf der Zahlengeraden geht man von \(-14\) aus um \(20\) Einheiten nach rechts und landet im positiven Bereich.

Antwort

a) \(6\) b) Das Ergebnis ist positiv, weil die Subtraktion von \(-20\) dasselbe ist wie die Addition von \(+20\). Da \(20\) größer ist als der Betrag von \(-14\), liegt das Ergebnis rechts von der Null.

4186905

Untersuche die Zahlen \((-6)\) und \((-10)\). Berechne die Differenz dieser beiden Zahlen in beiden möglichen Reihenfolgen: 1. \((-6) - (-10)\) 2. \((-10) - (-6)\) Vergleiche die beiden Ergebnisse. Was stellst du bezüglich der Vorzeichen fest?

Denkanstöße

- Führe beide Rechnungen schrittweise durch, indem du zuerst das „Minus-Minus“ auflöst. - Achte genau auf das Vorzeichen des Endergebnisses. - Was passiert allgemein mit dem Ergebnis einer Subtraktion, wenn man Minuend und Subtrahend vertauscht?

Lösung

1. Berechnung der ersten Differenz: \((-6) - (-10) = -6 + 10 = 4\). 2. Berechnung der zweiten Differenz: \((-10) - (-6) = -10 + 6 = -4\). 3. Vergleich: Die Beträge der Ergebnisse sind gleich (\(4\)), aber die Vorzeichen sind entgegengesetzt. Je nach Reihenfolge kann das Ergebnis der Subtraktion zweier negativer Zahlen also entweder positiv oder negativ sein.

Antwort

1. \((-6) - (-10) = 4\) 2. \((-10) - (-6) = -4\) Die Ergebnisse haben unterschiedliche Vorzeichen (eines ist positiv, eines ist negativ), aber denselben Betrag.

4187035

Stelle einen passenden Term auf und berechne: Addiere das Ergebnis der Differenz aus \(16\) und \(-34\) zur Differenz aus \(210\) und \(450\).

Denkanstöße

- Kannst du den Text in zwei Teilrechnungen zerlegen? - Achte auf die Reihenfolge bei der Differenz: „Differenz aus \(a\) und \(b\)“ bedeutet \(a - b\). - Was passiert mit den Vorzeichen in der eckigen Klammer?

Lösung

1. Aufstellen des Terms: \( (210 - 450) + [16 - (-34)] \) 2. Berechnung der ersten Differenz: \( 210 - 450 = -240 \) 3. Berechnung der zweiten Differenz in der eckigen Klammer: \( 16 - (-34) = 16 + 34 = 50 \) 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \( -240 + 50 = -190 \)

Antwort

Der Term lautet \( (210 - 450) + [16 - (-34)] \). Das Ergebnis ist \( -190 \).

4187225

Welche Zahl muss in das Kästchen eingesetzt werden, damit die Gleichung korrekt ist? a) \(120 - \square = 155\) b) \(\square + 47 = -13\) c) \(-38 - \square = 12\)

Denkanstöße

- Überlege dir bei Subtraktionen genau, ob der Platzhalter der Minuend oder der Subtrahend ist. - Du kannst die Probe machen, indem du dein Ergebnis für das Kästchen einsetzt. - Achte besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

Lösung

1. Bestimmung der Platzhalter durch Auflösen nach dem Kästchen: a) Umstellen der Gleichung zu \(120 - 155 = \square\), ergibt \(\square = -35\). b) Anwendung der Umkehroperation: \(\square = -13 - 47 = -60\). c) Umstellen der Gleichung zu \(-38 - 12 = \square\), ergibt \(\square = -50\).

Antwort

a) \(\square = -35\) b) \(\square = -60\) c) \(\square = -50\)

4193005

Berechne den Wert des folgenden Terms schrittweise: \( 15 - [20 + (5 - 15)] \)

Denkanstöße

- Welche Klammer musst du zuerst auflösen? - Erinnere dich an die Vorrangregeln: „Klammern zuerst“. - Achte beim Auflösen der eckigen Klammer auf das Vorzeichen des Ergebnisses aus der runden Klammer.

Lösung

1. Berechnung des Werts in der runden Klammer: \(5 - 15 = -10\). 2. Vereinfachung des Terms in der eckigen Klammer: \(20 + (-10) = 20 - 10 = 10\). 3. Durchführung der letzten Subtraktion: \(15 - 10 = 5\).

Antwort

\( 5 \)

4199565

Ein Girokonto hat zu Beginn ein Guthaben von \(120\,\text{€}\). Im Laufe eines Vormittags finden zwei Abbuchungen statt: Zuerst werden \(150\,\text{€}\) für einen Einkauf abgebucht, danach werden \(40\,\text{€}\) an einem Geldautomaten abgehoben. Berechne den Kontostand nach jeder der beiden Abbuchungen mithilfe von Subtraktionsaufgaben.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Kontostand, wenn Geld abgebucht wird? Welche Rechenart passt dazu? - Rechne schrittweise: Bestimme erst den Kontostand nach dem Einkauf, bevor du die Abhebung am Automaten berücksichtigst. - Wenn du schon Schulden hast und noch mehr Geld ausgibst, nehmen deine Schulden dann zu oder ab?

Lösung

1. Berechnung des Kontostands nach der ersten Abbuchung: Vom Startwert \(120\,\text{€}\) werden \(150\,\text{€}\) subtrahiert. Da der abgebuchte Betrag größer als das Guthaben ist, rutscht das Konto ins Minus: \(120\,\text{€} - 150\,\text{€} = -30\,\text{€}\). 2. Berechnung des Kontostands nach der zweiten Abbuchung: Vom neuen Stand \(-30\,\text{€}\) werden weitere \(40\,\text{€}\) abgezogen. Man bewegt sich also weiter von der Null weg ins Negative: \(-30\,\text{€} - 40\,\text{€} = -70\,\text{€}\).

Antwort

Nach dem Einkauf: \(120\,\text{€} - 150\,\text{€} = -30\,\text{€}\) Nach der Abhebung: \(-30\,\text{€} - 40\,\text{€} = -70\,\text{€}\)

4217915

Subtrahiere die Summe der Zahlen \(-215\) und \(90\) von der Gegenzahl der Zahl \(45\).

Denkanstöße

- Was ist die Gegenzahl einer positiven Zahl? - Achte genau darauf, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. Das Wort „von“ ist hier entscheidend. - Wie verändert sich das Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert?

Lösung

1. Bestimmung der Gegenzahl von \(45\): \(-45\). 2. Berechnung der Summe: \(-215 + 90 = -125\). 3. Subtraktion der Summe von der Gegenzahl: \(-45 - (-125) = -45 + 125 = 80\).

Antwort

\(80\)

4217925

Bilde die Summe aus den Zahlen \(-15\), \(42\) und \(-10\). Subtrahiere dieses Ergebnis von der Differenz der Zahlen \(-100\) und \(50\).

Denkanstöße

- Berechne zuerst die Summe der drei Zahlen schrittweise von links nach rechts. - Was ist der Minuend und was ist der Subtrahend bei der abschließenden Subtraktion? - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion einer positiven Zahl von einer negativen Zahl.

Lösung

1. Berechnung der Summe der drei Zahlen: \(-15 + 42 + (-10) = 17\). 2. Berechnung der Differenz: \(-100 - 50 = -150\). 3. Subtraktion des ersten Ergebnisses vom zweiten Ergebnis: \(-150 - 17 = -167\).

Antwort

\(-167\)

4181595

Bestimme den Wert des folgenden Terms: Subtrahiere die Summe der Zahlen \( -48 \) und \( +122 \) von der Differenz der Zahlen \( +300 \) und \( -50 \).

Denkanstöße

- Was ist der Minuend und was ist der Subtrahend in diesem Satz? - Berechne zuerst die beiden Klammerausdrücke für die Summe und die Differenz separat. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer bei der Differenzbildung mit einer negativen Zahl.

Lösung

1. Berechnung der Differenz (Minuend): \( 300 - (-50) = 300 + 50 = 350 \). 2. Berechnung der Summe (Subtrahend): \( -48 + 122 = 74 \). 3. Gesamtrechnung: Subtraktion der Summe von der Differenz führt zu \( 350 - 74 \). 4. Endergebnis: \( 276 \).

Antwort

\( (300 - (-50)) - (-48 + 122) = 350 - 74 = 276 \)

4182555

Bestimme die fehlende Zahl im Platzhalter \( \square \), damit die Gleichung korrekt ist. a) \( (-22) - \square = -10 \) b) \( \square - (-45) = 20 \) c) \( 30 - \square = 55 \) d) \( (-15) - (-60) = \square \)

Denkanstöße

- Kannst du die Subtraktion in eine Addition umwandeln? - Überlege dir, ob das Ergebnis größer oder kleiner als der Startwert werden muss. - Verwende die Umkehroperation, um nach dem Platzhalter aufzulösen. - Was musst du von einer negativen Zahl abziehen, damit sie „weniger negativ“ (also größer) wird?

Lösung

Die Platzhalter werden durch Umkehrrechnungen oder direktes Ausrechnen bestimmt: 1. Zu a): \( -22 - x = -10 \). Umstellen ergibt \( x = -22 + 10 = -12 \). 2. Zu b): \( x + 45 = 20 \). Umstellen ergibt \( x = 20 - 45 = -25 \). 3. Zu c): \( 30 - x = 55 \). Umstellen ergibt \( x = 30 - 55 = -25 \). 4. Zu d): Direkte Berechnung \( -15 + 60 = 45 \).

Antwort

a) \( \square = -12 \) b) \( \square = -25 \) c) \( \square = -25 \) d) \( \square = 45 \)

4182655

Gegeben ist der Term \((-150) - x\). Berechne den Wert des Terms für die angegebenen Werte von \(x\). Schreibe dabei die Rechnung zuerst als Summe auf. a) \(x = +50\) b) \(x = -50\) c) \(x = +150\) d) \(x = -200\)

Denkanstöße

- Setze den Wert für \(x\) mit seinem Vorzeichen in Klammern in den Term ein. - Wende dann die Regel für die Subtraktion ganzer Zahlen an: „Minus eine Zahl ist gleich Plus die Gegenzahl“. - Achte bei Aufgabenteil d) darauf, dass das Ergebnis positiv werden kann.

Lösung

1. Einsetzen von \(x = +50\): \((-150) - (+50) = (-150) + (-50) = -200\). 2. Einsetzen von \(x = -50\): \((-150) - (-50) = (-150) + (+50) = -100\). 3. Einsetzen von \(x = +150\): \((-150) - (+150) = (-150) + (-150) = -300\). 4. Einsetzen von \(x = -200\): \((-150) - (-200) = (-150) + (+200) = 50\).

Antwort

a) \((-150) + (-50) = -200\) b) \((-150) + (+50) = -100\) c) \((-150) + (-150) = -300\) d) \((-150) + (+200) = 50\)

4182915

Berechne den Wert des Terms schrittweise: \([(-34) + (+86)] - [(-42) - (+58)]\)

Denkanstöße

- Kannst du die Aufgabe in zwei kleinere Teilaufgaben zerlegen? - Berechne zuerst den Inhalt jeder eckigen Klammer einzeln. - Notiere dir die Zwischenergebnisse, um beim letzten Rechenschritt keine Vorzeichenfehler zu machen. - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl abziehst?

Lösung

1. Berechnung der ersten eckigen Klammer: \(-34 + 86 = 52\) 2. Berechnung der zweiten eckigen Klammer: \(-42 - 58 = -100\) 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(52 - (-100)\) 4. Finale Berechnung durch Addition der Gegenzahl: \(52 + 100 = 152\)

Antwort

\(152\)

4182975

Betrachte die Zahlen \( 12 \) und \( -18 \). Berechne zuerst die Summe dieser beiden Zahlen und anschließend ihre Differenz. Subtrahiere dann den Wert der Differenz vom Wert der Summe. Welches Endergebnis erhältst du?

Denkanstöße

- Berechne zuerst die beiden Teilergebnisse für die Summe und die Differenz getrennt voneinander. - Achte bei der Differenz darauf, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl wie eine Addition wirkt. - Lies genau, welcher Wert von welchem abgezogen werden soll – die Reihenfolge ist bei der Subtraktion wichtig.

Lösung

1. Berechnung der Summe: \( 12 + (-18) = -6 \). 2. Berechnung der Differenz: \( 12 - (-18) = 12 + 18 = 30 \). 3. Subtraktion der Differenz von der Summe: \( -6 - 30 = -36 \).

Antwort

\( -36 \)

4183115

Überprüfe die folgenden Subtraktionsaufgaben. Welche der Rechnungen haben als Ergebnis den Wert \(-24\)? Notiere alle Buchstaben der korrekten Aufgaben. A) \(16 - 40\) B) \(-12 - 12\) C) \(-30 - (-6)\) D) \(0 - (-24)\) E) \(-10 - 14\) F) \(-48 - (-24)\)

Denkanstöße

- Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Rechne jede Aufgabe Schritt für Schritt aus. - Achte genau darauf, ob das Endergebnis positiv oder negativ ist.

Lösung

1. Überprüfung von A: \(16 - 40 = -24\). (Korrekt) 2. Überprüfung von B: \(-12 - 12 = -24\). (Korrekt) 3. Überprüfung von C: \(-30 - (-6) = -30 + 6 = -24\). (Korrekt) 4. Überprüfung von D: \(0 - (-24) = 0 + 24 = 24\). (Falsch) 5. Überprüfung von E: \(-10 - 14 = -24\). (Korrekt) 6. Überprüfung von F: \(-48 - (-24) = -48 + 24 = -24\). (Korrekt)

Antwort

Die korrekten Aufgaben sind A, B, C, E und F.

4183225

Gegeben sind die beiden Terme \(A\) und \(B\): Term \(A\): \((-40) - 25\) Term \(B\): \((-40) - (-25)\) Erkläre ohne eine genaue Rechnung, welcher der beiden Terme den größeren Wert liefert. Nutze für deine Begründung dein Wissen über die Subtraktion von ganzen Zahlen und den Vergleich mit dem Minuenden \(-40\).

Denkanstöße

- Du musst nicht rechnen! Überlege dir, in welche Richtung man sich auf der Zahlengeraden bewegt. - Was passiert mit einer Zahl, wenn man eine positive Zahl abzieht? - Was passiert mit einer Zahl, wenn man eine negative Zahl abzieht? - Vergleiche beide Bewegungen ausgehend von der Startzahl \(-40\).

Lösung

1. Analyse von Term \(A\): Hier wird eine positive Zahl (\(25\)) vom Minuenden \(-40\) subtrahiert. Das Abziehen einer positiven Zahl verringert den Wert, das Ergebnis liegt also links von \(-40\) auf der Zahlengeraden. 2. Analyse von Term \(B\): Hier wird eine negative Zahl (\(-25\)) subtrahiert. Dies entspricht der Addition der Gegenzahl (\(+25\)), was den Wert vergrößert. Das Ergebnis liegt also rechts von \(-40\). 3. Vergleich: Da Term \(B\) den Wert vergrößert und Term \(A\) ihn verkleinert, liefert Term \(B\) das größere Ergebnis.

Antwort

Term \(B\) liefert den größeren Wert. Bei Term \(A\) wird eine positive Zahl abgezogen, wodurch das Ergebnis kleiner als \(-40\) wird. Bei Term \(B\) wird eine negative Zahl abgezogen, was wie eine Addition wirkt und das Ergebnis größer als \(-40\) macht.

4183805

Löse die folgenden Zahlenrätsel, indem du jeweils eine passende Gleichung aufstellst und die Variable bestimmst. a) Wenn man von einer Zahl \(y\) den Wert \(55\) subtrahiert, erhält man \(-25\). b) Addiert man zu \(-140\) eine Zahl \(z\), so ist das Ergebnis \(60\).

Denkanstöße

- Übersetze den Text Schritt für Schritt in mathematische Zeichen. - Was bedeutet „subtrahieren“ und was bedeutet „addieren“ als Rechenzeichen? - Wie machst du eine Subtraktion rückgängig, um die ursprüngliche Zahl zu finden? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du über die Null auf der Zahlengeraden springst.

Lösung

1. Teil a): Aufstellen der Gleichung: \(y - 55 = -25\). Um \(y\) zu finden, addiert man \(55\) auf beiden Seiten. Rechnung: \(-25 + 55 = 30\). 2. Teil b): Aufstellen der Gleichung: \(-140 + z = 60\). Um \(z\) zu finden, subtrahiert man \(-140\) von \(60\) (oder addiert \(140\) zu \(60\)). Rechnung: \(60 - (-140) = 60 + 140 = 200\).

Antwort

a) \(y - 55 = -25 \Rightarrow y = 30\) b) \(-140 + z = 60 \Rightarrow z = 200\)

4183835

Schreibe den Term zuerst als Summe und berechne ihn dann möglichst geschickt: \(-2650 + 1433 - 350 + 567\)

Denkanstöße

- Wandle zuerst alle Rechenzeichen so um, dass nur noch Additionen dastehen. - Suche nach Paaren von Zahlen, die sich einfach addieren lassen (z. B. wegen ihrer Endziffern). - Es kann hilfreich sein, die negativen Zahlen untereinander und die positiven Zahlen untereinander zu kombinieren. - Was ergibt \(-3000 + 2000\)?

Lösung

1. Umwandlung aller Subtraktionen in Additionen der Gegenzahlen: \(-2650 + 1433 + (-350) + 567\) 2. Gruppieren der negativen Zahlen und der positiven Zahlen, da diese jeweils glatte Tausenderbeträge ergeben: \((-2650 + (-350)) + (1433 + 567)\) 3. Berechnung der beiden Teilsummen: \(-3000 + 2000\) 4. Berechnung des Endergebnisses: \(-1000\)

Antwort

\(-2650 + 1433 + (-350) + 567 = -1000\)

4183915

Schreibe als Summe und bestimme den Wert des Terms. a) \(25\,000 - 60\,000\) b) \(-10^4 - 5000\) c) \(8800 - (-1200)\) d) \(-10^6 - (-10^5)\)

Denkanstöße

- Schreibe Zehnerpotenzen wie \(10^4\) zuerst als normale Zahlen aus. - Vergiss nicht, bei großen Zahlen die Übersicht über die Nullen zu behalten. - Das Prinzip bleibt gleich: Eine Zahl subtrahieren bedeutet, ihre Gegenzahl zu addieren.

Lösung

1. Addition der negativen Gegenzahl: \(25\,000 + (-60\,000) = -35\,000\) 2. Umrechnung der Zehnerpotenz \(10^4 = 10\,000\) und Addition: \((-10\,000) + (-5000) = -15\,000\) 3. Addition der positiven Gegenzahl: \(8800 + 1200 = 10\,000\) 4. Umrechnung der Zehnerpotenzen \(10^6 = 1\,000\,000\) sowie \(10^5 = 100\,000\) und Addition: \((-1\,000\,000) + 100\,000 = -900\,000\)

Antwort

a) \(-35\,000\) b) \(-15\,000\) c) \(10\,000\) d) \(-900\,000\)

4184075

Mache eine Überschlagsrechnung und berechne anschließend den Wert des Terms vorteilhaft. Nutze dabei Rechenvorteile durch Vertauschen oder Zusammenfassen der Glieder. \(2\,750 - 438 - 1\,250 + 638 - 500\)

Denkanstöße

- Schau dir die Endungen der Zahlen genau an. Welche passen gut zusammen? - Es hilft oft, Subtraktionen so zu verschieben, dass man sie direkt nach einer passenden Addition ausführt. - Kannst du den Term so umstellen, dass du möglichst wenig im Kopf behalten musst?

Lösung

1. Überschlagsrechnung (z. B. auf Hunderter): \(2\,800 - 400 - 1\,300 + 600 - 500 = 1\,200\). 2. Vorteilhaftes Gruppieren durch Erkennen gleicher Endungen: \((2\,750 - 1\,250) + (638 - 438) - 500\). 3. Berechnen der Klammern: \(1\,500 + 200 - 500\). 4. Schrittweise Berechnung: \(1\,700 - 500 = 1\,200\).

Antwort

Überschlag: \(1\,200\) Ergebnis: \(1\,200\)

4184295

Berechne die folgenden Terme. Gehe dabei Klammer für Klammer vor. a) \(145 - (34 + 156 - 20) - (55 + 45)\) b) \(-(-760 + 140) - [(24 - 110) + 480]\)

Denkanstöße

- Was bedeutet ein Minuszeichen vor einer Klammer für die Vorzeichen im Inneren beim Auflösen? - Kannst du die Aufgabe in kleinere Teilschritte zerlegen? - Überprüfe nach jedem Schritt, ob das Vorzeichen deines Zwischenergebnisses logisch ist.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Die erste Klammer ergibt \(34 + 156 - 20 = 190 - 20 = 170\). Die zweite Klammer ergibt \(55 + 45 = 100\). Damit lautet der Term \(145 - 170 - 100\). Schrittweise Subtraktion: \(145 - 170 = -25\) und \(-25 - 100 = -125\). 2. Teilaufgabe b): Die erste runde Klammer ergibt \(-760 + 140 = -620\). Mit dem Minuszeichen davor wird daraus \(-(-620) = 620\). In der eckigen Klammer wird zuerst \(24 - 110 = -86\) gerechnet. Dann folgt \(-86 + 480 = 394\). Die Endrechnung ist \(620 - 394 = 226\).

Antwort

a) \(-125\) b) \(226\)

4184595

Gegeben ist der Term: \(-40 - (-10) - (+20) + (-5)\) a) Berechne den Wert des Terms. b) Man kann durch das Setzen eines zusätzlichen Klammerpaares verschiedene neue Ergebnisse erhalten. Finde zwei verschiedene Möglichkeiten, ein Klammerpaar so zu setzen, dass jeweils ein anderes Ergebnis als in Teilaufgabe a) herauskommt. Gib die neuen Terme und ihre Werte an.

Denkanstöße

- Ein Klammerpaar muss mindestens eine Rechenoperation umschließen, um eine Wirkung zu haben. - Achte besonders auf die Stellen, an denen ein Minuszeichen vor der neuen Klammer steht, da sich dort die Wirkung am stärksten zeigt. - Es gibt hier mehr als nur zwei richtige Lösungen; experimentiere mit verschiedenen Positionen.

Lösung

1. Berechnung des Ausgangswerts: \(-40 + 10 - 20 - 5 = -30 - 20 - 5 = -55\). 2. Erste Möglichkeit: Klammer um die zweite und dritte Zahl setzen: \(-40 - ((-10) - (+20)) + (-5)\). Berechnung: \(-40 - (-10 - 20) - 5 = -40 - (-30) - 5 = -40 + 30 - 5 = -15\). 3. Zweite Möglichkeit: Klammer um die dritte und vierte Zahl setzen: \(-40 - (-10) - ((+20) + (-5))\). Berechnung: \(-40 + 10 - (20 - 5) = -30 - 15 = -45\). Beide Ergebnisse (\(-15\) und \(-45\)) unterscheiden sich vom ursprünglichen Wert \(-55\).

Antwort

a) Der Wert des Terms ist \(-55\). b) Mögliche Lösungen sind: 1. \(-40 - ((-10) - (+20)) + (-5) = -15\) 2. \(-40 - (-10) - ((+20) + (-5)) = -45\) (Auch andere Klammersetzungen sind möglich, sofern sie das Ergebnis verändern).

4184675

Gegeben ist der Term: \(-10 - (17 + 33) - (12 - 42)\) a) Berechne den Wert des Terms. b) Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn die Zahl \(12\) durch \(22\) ersetzt wird? Begründe deine Antwort, ohne den Term erneut komplett auszurechnen.

Denkanstöße

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der zweiten Klammer. - Was bedeutet es für das Gesamtergebnis, wenn man eine negative Zahl subtrahiert? - Überlege, wie sich eine Änderung des Werts innerhalb der Klammer auf das „Minus-Minus“-Gefüge auswirkt.

Lösung

1. Klammern ausrechnen: \(17 + 33 = 50\) und \(12 - 42 = -30\). 2. Einsetzen: \(-10 - 50 - (-30) = -60 + 30 = -30\). 3. Analyse der Änderung: Wenn \(12\) durch \(22\) ersetzt wird, vergrößert sich der Minuend in der zweiten Klammer um \(10\). Damit vergrößert sich auch der Wert der gesamten Klammer um \(10\) (von \(-30\) auf \(-20\)). Da diese Klammer vom restlichen Term subtrahiert wird, verringert sich der Gesamtwert des Terms um \(10\).

Antwort

a) \(-30\) b) Der Wert des Terms verringert sich um \(10\). Begründung: Der Wert der zweiten Klammer wird um \(10\) größer. Da diese Klammer subtrahiert wird, wird das Endergebnis um \(10\) kleiner.

4185005

Setze in die Lücken jeweils das passende Rechenzeichen (\(+\) oder \(-\)) ein, damit die Gleichungen korrekt sind. a) \((-15) \_\_\_ (-5) = -20\) b) \((-15) \_\_\_ (-5) = -10\) c) \(12 \_\_\_ (-8) = 20\) d) \(12 \_\_\_ (-8) = 4\)

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis größer oder kleiner als die erste Zahl ist. - Wird der Wert größer, musst du effektiv etwas addieren. Wird er kleiner, musst du etwas abziehen. - Bedenke die Regel: Das Subtrahieren einer negativen Zahl wirkt wie die Addition der Gegenzahl.

Lösung

1. Zu a): Um von \(-15\) zu \(-20\) zu gelangen, muss man \(5\) abziehen bzw. \(-5\) addieren: \((-15) + (-5) = -20\). 2. Zu b): Um von \(-15\) zu \(-10\) zu gelangen, muss man \(5\) addieren. Da die Zahl \(-5\) gegeben ist, entspricht dies der Subtraktion: \((-15) - (-5) = -15 + 5 = -10\). 3. Zu c): Damit aus \(12\) und \(-8\) die Zahl \(20\) wird, muss \(8\) addiert werden. Das entspricht der Subtraktion der negativen Zahl: \(12 - (-8) = 12 + 8 = 20\). 4. Zu d): Damit aus \(12\) und \(-8\) die Zahl \(4\) wird, muss \(8\) abgezogen werden. Das entspricht der Addition der negativen Zahl: \(12 + (-8) = 12 - 8 = 4\).

Antwort

a) \(+\) b) \(-\) c) \(-\) d) \(+\)

4186835

Stelle einen Term auf und berechne: Subtrahiere die Gegenzahl der Zahl \(-235\) von der Differenz aus der kleinsten positiven vierstelligen Zahl mit lauter gleichen Ziffern und der größten zweistelligen Primzahl.

Denkanstöße

- Welche vierstellige Zahl besteht aus vier identischen Ziffern und ist die kleinste ihrer Art? - Gehe die Zahlen unter 100 rückwärts durch, um die größte Primzahl zu finden. - Achte genau darauf, was von was subtrahiert werden soll.

Lösung

1. Identifikation der Zahlen: Die kleinste positive vierstellige Zahl mit gleichen Ziffern ist \(1111\). Die größte zweistellige Primzahl ist \(97\). 2. Berechnung der Differenz: \(1111 - 97 = 1014\) 3. Bestimmung der Gegenzahl: Die Gegenzahl von \(-235\) ist \(235\). 4. Finale Subtraktion: \(1014 - 235 = 779\)

Antwort

\((1111 - 97) - (-(-235)) = 779\)

4187045

Übersetze die folgende Beschreibung in einen mathematischen Term mit Klammern und bestimme das Ergebnis: Subtrahiere die Differenz aus \(45\) und \(-82\) von der Gegenzahl der Summe aus \(-315\) und \(105\).

Denkanstöße

- Was ist die „Gegenzahl“ einer Zahl in der Mathematik? - Verwende eckige Klammern, um die verschiedenen Teile der Aufgabe klar voneinander zu trennen. - Berechne zuerst die Werte innerhalb der Klammern, bevor du die Subtraktion in der Mitte ausführst.

Lösung

1. Bestimmung der Summe: \( -315 + 105 = -210 \) 2. Bestimmung der Gegenzahl dieser Summe: \( -(-210) = 210 \) 3. Bestimmung der abzuziehenden Differenz: \( 45 - (-82) = 45 + 82 = 127 \) 4. Gesamter Term: \( -[(-315) + 105] - [45 - (-82)] \) 5. Endberechnung: \( 210 - 127 = 83 \)

Antwort

Der Term lautet \( -[(-315) + 105] - [45 - (-82)] \). Das Ergebnis ist \( 83 \).

4187515

Berechne das Ergebnis des folgenden Ausdrucks: \( 30 - [(-12 + 25) - (8 - 15)] \)

Denkanstöße

- Arbeite dich bei verschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Schreibe dir die Zwischenschritte einzeln auf, um die Übersicht über die Vorzeichen nicht zu verlieren. - Was bedeutet ein Minuszeichen direkt vor einer eckigen Klammer für die Rechnung?

Lösung

1. Berechnung der inneren Klammern: \( -12 + 25 = 13 \) und \( 8 - 15 = -7 \). 2. Einsetzen in die eckige Klammer: \( [13 - (-7)] \). 3. Vereinfachung der eckigen Klammer: \( 13 + 7 = 20 \). 4. Letzter Rechenschritt: \( 30 - 20 = 10 \).

Antwort

\( 10 \)

4199575

In der folgenden Tabelle fehlen einige Werte. Berechne die gesuchten Zahlen (a), (b) und (c). Beachte dabei den Zusammenhang: \(\text{Minuend} - \text{Subtrahend} = \text{Differenz}\). <table> <tr> <th>Minuend</th> <th>Subtrahend</th> <th>Differenz</th> </tr> <tr> <td>\(-40\)</td> <td>\(25\)</td> <td>(a)</td> </tr> <tr> <td>\(15\)</td> <td>(b)</td> <td>\(-10\)</td> </tr> <tr> <td>(c)</td> <td>\(60\)</td> <td>\(-100\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Begriffe der Subtraktion: Minuend minus Subtrahend ergibt die Differenz. - Wenn die Differenz gesucht ist, kannst du direkt rechnen. - Wenn der Minuend oder Subtrahend gesucht ist, überlege dir, welche Zahl du einsetzen musst, damit die Gleichung stimmt. Du kannst auch die Umkehroperation (Addition) nutzen. - Schau dir die Zahlen auf einer gedachten Zahlengeraden an: Wie weit liegen sie auseinander?

Lösung

1. Berechnung von (a): Hier wird die Differenz gesucht. Die Rechnung lautet \(-40 - 25\). Da man von einer negativen Zahl eine positive Zahl subtrahiert, wird das Ergebnis noch kleiner: \(-40 - 25 = -65\). 2. Berechnung von (b): Gesucht ist der Subtrahend in \(15 - (b) = -10\). Um von \(15\) auf \(-10\) zu kommen, muss man insgesamt \(15 + 10 = 25\) Einheiten abziehen. Also ist \(b = 25\). 3. Berechnung von (c): Gesucht ist der Minuend in \((c) - 60 = -100\). Durch Umkehren der Operation rechnet man \(-100 + 60\). Das Ergebnis ist \(-40\), denn \(-40 - 60 = -100\). Also ist \(c = -40\).

Antwort

(a) \(-65\) (b) \(25\) (c) \(-40\)

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.