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- Betrachte zunächst nur die Vorzeichen der beiden Faktoren. - Berechne anschließend das Produkt der Beträge und verbinde es mit dem bestimmten Vorzeichen.

1. Ein Faktor ist negativ und der andere positiv. Das Produkt ist daher negativ. 2. Die Beträge ergeben \(4\cdot 6=24\). 3. Somit gilt \((-4)\cdot 6=-24\).

Das Produkt ist negativ: \((-4)\cdot 6=-24\).

- Prüfe zuerst, ob die beiden Faktoren gleiche oder unterschiedliche Vorzeichen haben. - Berechne danach das Produkt ihrer Beträge.

1. Beide Faktoren sind negativ. Das Produkt zweier negativer ganzer Zahlen ist positiv. 2. Die Beträge ergeben \(5\cdot3=15\). 3. Daher gilt \((-5)\cdot(-3)=15\).

\((-5)\cdot(-3)=15\)

- Bestimme zuerst das Vorzeichen des Quotienten aus den Vorzeichen von Dividend und Divisor. - Teile anschließend die Beträge der beiden Zahlen.

1. Dividend und Divisor haben unterschiedliche Vorzeichen. Der Quotient ist daher negativ. 2. Für die Beträge gilt \(28:7=4\). 3. Somit ist \((-28):7=-4\).

\((-28):7=-4\)

- Vergleiche zuerst die Vorzeichen von Dividend und Divisor. - Teile danach die Beträge und setze das passende Vorzeichen vor das Ergebnis.

1. Dividend und Divisor sind beide negativ. Der Quotient ist daher positiv. 2. Für die Beträge gilt \(36:9=4\). 3. Somit ist \((-36):(-9)=4\).

\((-36):(-9)=4\)

- Überlege bei der Multiplikation, was eine Anzahl von null gleichen Gruppen bedeutet. - Prüfe bei der Division, welche Zahl mit dem Divisor multipliziert wieder den Dividend \(0\) ergibt.

1. Wird \(0\) mit einer ganzen Zahl multipliziert, ist das Produkt \(0\). Daher gilt \(0\cdot(-8)=0\). 2. Wird \(0\) durch eine von \(0\) verschiedene Zahl geteilt, ist der Quotient \(0\). Daher gilt \(0:(-5)=0\).

a) \(0\) b) \(0\)

- Vergleiche in jedem Term nur die beiden Vorzeichen. - Unterscheide die Fälle „gleiche Vorzeichen“ und „unterschiedliche Vorzeichen“. - Die Größe der Beträge ist für diese Frage nicht wichtig.

1. Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist ein Produkt oder Quotient negativ. Daher sind a) und c) negativ. 2. Bei gleichen Vorzeichen ist ein Produkt oder Quotient positiv. Daher sind b) und d) positiv.

a) negativ b) positiv c) negativ d) positiv

- Vergleiche jeweils zwei benachbarte Zeilen: Wie verändert sich der erste Faktor, und wie verändert sich das Produkt? - Setze genau dieselbe Veränderung nach der Zeile mit \(0\) fort. - Nutze das Muster, um die Vorzeichen der nächsten Produkte zu begründen.

1. Wenn der erste Faktor jeweils um \(1\) kleiner wird, wird das Produkt jeweils um \(4\) größer: \(-12,-8,-4,0,4,8\). 2. Daher gilt \((-1)\cdot(-4)=4\) und \((-2)\cdot(-4)=8\). 3. Das fortgesetzte Muster zeigt: Geht der erste Faktor von \(0\) zu negativen Zahlen weiter, werden die Produkte positiv. So wird die Regel „negativ mal negativ ergibt positiv“ an diesem Beispiel plausibel.

a) \((-1)\cdot(-4)=4\); \((-2)\cdot(-4)=8\) b) Beim Fortsetzen der Produktfolge steigt das Ergebnis von \(0\) auf \(4\) und dann auf \(8\). Dadurch wird an diesem Beispiel sichtbar, warum zwei negative Faktoren ein positives Produkt ergeben.

- Welche Multiplikationsaufgabe gehört allgemein zu einer Division? - Suche eine Zahl, die mit \(-6\) multipliziert \(-24\) ergibt. - Prüfe am Ende, ob Dividend, Divisor und Quotient zur Multiplikationsaufgabe passen.

1. Bei einer Division wird eine Zahl gesucht, die mit dem Divisor multipliziert den Dividend ergibt. 2. Gesucht ist also eine Zahl \(q\) mit \(q\cdot(-6)=-24\). 3. Weil \(4\cdot(-6)=-24\) gilt, ist \(q=4\). 4. Daher gilt \((-24):(-6)=4\). Die Division zweier negativer Zahlen ergibt hier einen positiven Quotienten.

Passende Multiplikationsaufgabe: \(4\cdot(-6)=-24\) Daher: \((-24):(-6)=4\)

- Bestimme bei jeder Rechnung zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses. - Rechne danach mit den Beträgen der Zahlen. - Kontrolliere, ob du bei Produkt und Quotient dieselbe Vorzeichenregel verwendest.

1. Bei a) sind die Vorzeichen verschieden. Das Produkt ist negativ: \((-9)\cdot4=-36\). 2. Bei b) sind die Vorzeichen gleich. Das Produkt ist positiv: \((-8)\cdot(-7)=56\). 3. Bei c) sind die Vorzeichen verschieden. Der Quotient ist negativ: \(63:(-9)=-7\). 4. Bei d) sind die Vorzeichen gleich. Der Quotient ist positiv: \((-72):(-8)=9\).

a) \(-36\) b) \(56\) c) \(-7\) d) \(9\)

- Welche gleiche Änderung wiederholt sich in jeder Minute? - Wie kannst du vier gleiche Summanden durch eine Multiplikation abkürzen? - Deute das Vorzeichen des Ergebnisses als Richtung der Höhenänderung.

1. Die gleiche Änderung \(-12\,\text{m}\) tritt viermal auf. Das wird durch \(4\cdot(-12)\) beschrieben. 2. Es gilt \(4\cdot(-12)=-48\). 3. Das Minuszeichen bedeutet, dass sich die Höhenlage insgesamt um \(48\,\text{m}\) nach unten verändert hat.

a) \(4\cdot(-12)=-48\,\text{m}\) b) Das Minuszeichen zeigt eine Höhenänderung nach unten; der Roboter ist insgesamt \(48\,\text{m}\) gesunken.

- Lies zuerst ab, welche zwei Eckzahlen zum bereits eingetragenen Produkt \(42\) gehören. - Welche Umkehraufgabe hilft dir, wenn ein Faktor fehlt? - Berechne erst danach die Produkte an den beiden übrigen Seiten.

1. Oben steht \(-7\), und das Seitenprodukt rechts oben ist \(42\). Für die fehlende Eckzahl \(x\) gilt daher \((-7)\cdot x=42\). 2. Die passende Umkehraufgabe ist \(42:(-7)=-6\). Die fehlende Eckzahl ist \(-6\). 3. Unten gilt \((-6)\cdot5=-30\). 4. Links gilt \(5\cdot(-7)=-35\).

Fehlende Eckzahl: \(-6\) Unteres Seitenprodukt: \(-30\) Linkes Seitenprodukt: \(-35\)

- Prüfe bei jeder Rechnung zuerst nur die beiden Vorzeichen. - Vergleiche die Fälle „gleiche Vorzeichen“ und „unterschiedliche Vorzeichen“. - Berechne den Betrag des Ergebnisses erst, nachdem das Vorzeichen feststeht.

1. Bei a) haben beide Faktoren dasselbe negative Vorzeichen. Das Produkt ist daher positiv. Mit \(6\cdot4=24\) folgt \((-6)\cdot(-4)=24\). 2. Bei b) haben Dividend und Divisor ebenfalls dasselbe negative Vorzeichen. Der Quotient ist daher positiv. Mit \(35:5=7\) folgt \((-35):(-5)=7\). 3. In beiden falschen Rechnungen wurde bei gleichen negativen Vorzeichen fälschlich ein negatives Ergebnis notiert.

a) \((-6)\cdot(-4)=24\); das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. b) \((-35):(-5)=7\); der Quotient zweier negativer Zahlen ist positiv.

- Suche zwei Faktoren, deren Produkt besonders leicht ist. - Darfst du bei einer reinen Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren ändern? - Achte beim günstigen Teilprodukt auch auf das Vorzeichen.

1. Die Faktoren \(-25\) und \(-4\) stehen nicht nebeneinander. Mit dem Tausch- und Verbindungsgesetz darf man sie zusammenfassen. 2. Es gilt \((-25)\cdot7\cdot(-4)=((-25)\cdot(-4))\cdot7\). 3. \((-25)\cdot(-4)=100\), also folgt \(100\cdot7=700\).

\((-25)\cdot7\cdot(-4)=((-25)\cdot(-4))\cdot7=700\)

- Überlege bei jeder Division, welche der drei Größen Dividend, Divisor oder Quotient fehlt. - Nutze die zugehörige Multiplikationsaufgabe. - Prüfe die gefundene Zahl durch Einsetzen in die ursprüngliche Division.

1. Bei a) ist der Dividend gesucht. Die passende Umkehraufgabe lautet \(7\cdot(-6)=-42\). Daher ist \(x=-42\). 2. Bei b) ist der Divisor gesucht. Gesucht ist eine Zahl, mit der \(-6\) multipliziert \(-48\) ergibt. Es gilt \((-6)\cdot8=-48\). Daher ist \(y=8\). 3. Probe: \((-42):(-6)=7\) und \((-48):8=-6\).

a) \(x=-42\) b) \(y=8\)

- Was bedeutet „dreimal \(-4\)“ als Summe? - Welches Vorzeichen hat eine Summe aus drei negativen Summanden? - Was darfst du bei einer Multiplikation mit der Reihenfolge der Faktoren machen?

1. \((-4)\cdot3\) bedeutet dreimal \(-4\): \((-4)+(-4)+(-4)=-12\). Das Ergebnis ist negativ, weil dreimal eine negative Änderung zusammenkommt. 2. Bei der Multiplikation darf man die Faktoren vertauschen. Deshalb gilt auch \(3\cdot(-4)=(-4)\cdot3=-12\).

\((-4)\cdot3=-12\) und \(3\cdot(-4)=-12\). Die erste Rechnung lässt sich als dreimal \(-4\) erklären; die zweite hat wegen des Tauschgesetzes denselben Wert.

- Welche Multiplikationsaufgabe gehört als Umkehraufgabe zu der Division? - Welche Zahl mal \(6\) ergibt \(-24\)? - Nutze diese Multiplikation als Begründung für das Vorzeichen des Quotienten.

1. Gesucht ist eine Zahl \(q\) mit \(q\cdot6=-24\). 2. Da \((-4)\cdot6=-24\) gilt, ist \(q=-4\). 3. Deshalb gilt \((-24):6=-4\). Das negative Ergebnis folgt hier aus der passenden Umkehraufgabe zur Multiplikation.

\((-24):6=-4\), denn \((-4)\cdot6=-24\).

- Welche Rechenarten kommen in dem Term vor? - Welche davon hat ohne Klammern Vorrang? - Rechne erst danach mit dem Zwischenergebnis weiter.

1. Multiplikation wird vor Addition ausgeführt. Deshalb wird zuerst \(3\cdot(-4)=-12\) berechnet. 2. Danach gilt \(-5+(-12)=-17\).

Zuerst \(3\cdot(-4)=-12\), weil Multiplikation vor Addition kommt. Danach \(-5+(-12)=-17\).

- Prüfe bei jedem Term zuerst, ob eine Klammer vorhanden ist. - Ohne Klammer wird die Division vor der Addition ausgeführt. - Bei \(B\) bestimmt die Klammer zuerst den Divisor.

1. Bei \(A\) wird zuerst dividiert: \((-24):(-6)=4\). Danach gilt \(4+3=7\). 2. Bei \(B\) muss zuerst die Klammer berechnet werden: \((-6)+3=-3\). Danach gilt \((-24):(-3)=8\). 3. Deshalb ist \(A=7\) und \(B=8\).

a) \(A=7\), \(B=8\) b) Bei \(B\) muss die Klammer vor der Division berechnet werden; bei \(A\) gilt ohne diese Klammer Division vor Addition.

- Vergleiche bei jeder Rechnung die Vorzeichen der beiden Zahlen. - Sind die Vorzeichen gleich oder unterschiedlich? - Prüfe danach erst den Betrag des Ergebnisses.

1. Bei a) haben die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen. Das Produkt ist deshalb negativ. Es gilt \((-8)\cdot5=-40\). 2. Bei b) haben Dividend und Divisor ebenfalls unterschiedliche Vorzeichen. Der Quotient ist deshalb negativ. Es gilt \(18:(-3)=-6\). 3. In beiden Rechnungen wurde bei unterschiedlichen Vorzeichen fälschlich ein positives Ergebnis notiert.

a) Die Faktoren haben unterschiedliche Vorzeichen, deshalb muss das Produkt negativ sein: \((-8)\cdot5=-40\). b) Dividend und Divisor haben unterschiedliche Vorzeichen, deshalb muss der Quotient negativ sein: \(18:(-3)=-6\).

- Welche Gesamtänderung wird auf wie viele gleich große Runden verteilt? - Überlege vor dem Rechnen, welches Vorzeichen der Quotient haben muss. - Deute das Ergebnis anschließend wieder als Veränderung des Punktestands.

1. Die gesamte Änderung \(-42\) wird gleichmäßig auf \(6\) Runden verteilt. 2. Daher gilt \((-42):6=-7\). 3. Das Minuszeichen bedeutet, dass der Punktestand in jeder Runde um \(7\) Punkte sinkt.

\((-42):6=-7\). Pro Runde sinkt der Punktestand um \(7\) Punkte.

- Lies zuerst jeden der beiden unteren Äste als eigene Rechnung. - Welche Rechenart verbindet die beiden Teilergebnisse ganz oben? - Klammern helfen dir, die Struktur des Rechenbaums eindeutig im Term wiederzugeben.

1. Der linke Ast beschreibt \((-6)\cdot5=-30\). 2. Der rechte Ast beschreibt \(42:(-7)=-6\). 3. Der gesamte Rechenbaum entspricht dem Term \((-6)\cdot5-(42:(-7))\). 4. Damit gilt \(-30-(-6)=-24\).

\((-6)\cdot5-(42:(-7))=-24\)

- Beachte bei jedem Term zuerst die Klammern. - Schreibe nach jedem Rechenschritt den verbleibenden Term neu auf. - Vergleiche anschließend, welche Zahlen in \(A\) und \(B\) zuerst miteinander verrechnet wurden.

1. Bei \(A\) wird zuerst in der Klammer multipliziert: \(3\cdot(-2)=-6\). Dann gilt \((-36):(-6)=6\) und schließlich \(6+5=11\). 2. Bei \(B\) wird zuerst die geklammerte Division berechnet: \((-36):3=-12\). Danach gilt \((-12)\cdot(-2)=24\) und \(24+5=29\). 3. Die Klammern legen fest, welche Zahlen zuerst miteinander verknüpft werden. Deshalb beschreiben die beiden Terme trotz gleicher Zahlen verschiedene Rechenwege und haben unterschiedliche Werte.

a) \(A=11\); \(B=29\) b) Die Klammern legen unterschiedliche erste Rechenschritte fest. Dadurch werden die gleichen Zahlen verschieden verknüpft und die Termwerte sind verschieden.

- Bestimme bei jedem Produkt zuerst nur das Vorzeichen. - Vergleiche die Anzahl der negativen Faktoren mit dem Vorzeichen des Ergebnisses. - Eine einzige Rechnung, die Miras Behauptung widerspricht, reicht als Gegenbeispiel; für die richtige Regel brauchst du danach das Muster aller drei Fälle.

1. a) hat einen negativen Faktor. Das Produkt ist \(-30\). 2. b) hat zwei negative Faktoren. Das Produkt ist \(30\). Damit ist Miras Aussage widerlegt. 3. c) hat drei negative Faktoren. Das Produkt ist \(-30\). 4. Bei drei von \(0\) verschiedenen Faktoren ist das Produkt negativ, wenn die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist. Bei einer geraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt positiv.

a) \(-30\) b) \(30\) c) \(-30\) Miras Aussage ist falsch. Bei drei Faktoren ist das Produkt negativ, wenn eine ungerade Anzahl der Faktoren negativ ist; bei einer geraden Anzahl ist es positiv.