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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Punkt, Strecke, Gerade und Kreis

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4190865
a) Ein Kreis hat einen Durchmesser von \(24\,\text{cm}\). Wie groß ist sein Radius? b) Ein zweiter Kreis hat einen Radius von \(3\,\text{cm}\). Wie groß ist sein Durchmesser?

Denkanstöße

- Überlege, wie Radius und Durchmesser zusammenhängen. - In welche Richtung musst du in a) umrechnen: vom Durchmesser zum Radius oder umgekehrt? - Prüfe in b), ob der Durchmesser größer oder kleiner als der Radius sein muss.

Lösung

1. Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser: \(24\,\text{cm} : 2 = 12\,\text{cm}\). 2. Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius: \(3\,\text{cm} \cdot 2 = 6\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(12\,\text{cm}\) b) \(6\,\text{cm}\)
5519445
\(M\) ist der Mittelpunkt der Kreislinie. Welche der beiden eingezeichneten Strecken ist ein Radius: \([MA]\) oder \([AB]\)? Begründe kurz.
Abbildung zur Aufgabe 551944

Denkanstöße

- Von welchem besonderen Punkt der Kreislinie muss ein Radius ausgehen? - Wo muss der andere Endpunkt eines Radius liegen?

Lösung

1. Ein Radius verbindet den Mittelpunkt einer Kreislinie mit einem Punkt auf der Kreislinie. 2. \(M\) ist der Mittelpunkt und \(A\) liegt auf der Kreislinie. Daher ist \([MA]\) ein Radius.

Antwort

\([MA]\) ist ein Radius.
5524065
Benenne das jeweils dargestellte geometrische Objekt in a), b), c) und d). Verwende bei b), c) und d) auch die passende Schreibweise mit den beschrifteten Punkten.
Abbildung zur Aufgabe 552406

Denkanstöße

- Achte darauf, ob das Objekt nur aus einem markierten Ort besteht oder eine Linie enthält. - Prüfe bei den Linienobjekten, ob sie an keinem, einem oder zwei markierten Punkten enden. - Die Richtung, in der eine Linie über einen beschrifteten Punkt hinaus weiterläuft, hilft dir bei der Unterscheidung.

Lösung

1. In a) ist nur der einzelne Punkt \(P\) dargestellt. 2. In b) verbindet das gezeichnete Objekt die Punkte \(A\) und \(B\) nur zwischen den beiden Endpunkten. Es ist die Strecke \([AB]\). 3. In c) beginnt das Objekt in \(C\), verläuft durch \(D\) und setzt sich nur in dieser Richtung fort. Es ist die Halbgerade \([CD\). 4. In d) verläuft das Objekt durch \(E\) und \(F\) in beide Richtungen weiter. Es ist die Gerade \(EF\).

Antwort

a) Punkt \(P\) b) Strecke \([AB]\) c) Halbgerade \([CD\) d) Gerade \(EF\)
4187375
Die Buchstaben \(P, Q, R, S\) stehen für Punkte, \(g\) und \(h\) für Geraden. Schreibe zu jedem Ausdruck einen vollständigen Satz. a) \(P \in g\) b) \(g \parallel h\) c) \(k = [RS\) d) \(s = [PQ]\)

Denkanstöße

- Überlege, was die Zeichen \(\in\) und \(\parallel\) bedeuten. - Achte bei c) und d) auf die eckigen Klammern. - Unterscheide Gerade, Halbgerade und Strecke danach, in wie viele Richtungen sie weiterlaufen.

Lösung

1. \(P \in g\) bedeutet: Der Punkt \(P\) liegt auf der Geraden \(g\). 2. \(g \parallel h\) bedeutet: Die Gerade \(g\) ist parallel zur Geraden \(h\). 3. \(k = [RS\) bedeutet: \(k\) ist die Halbgerade mit Anfangspunkt \(R\), die durch \(S\) verläuft. 4. \(s = [PQ]\) bedeutet: \(s\) ist die Strecke mit den Endpunkten \(P\) und \(Q\).

Antwort

a) Der Punkt \(P\) liegt auf der Geraden \(g\). b) Die Gerade \(g\) ist parallel zur Geraden \(h\). c) \(k\) ist die Halbgerade mit Anfangspunkt \(R\), die durch \(S\) verläuft. d) \(s\) ist die Strecke mit den Endpunkten \(P\) und \(Q\).
4187385
Schreibe die folgenden geometrischen Zusammenhänge mithilfe mathematischer Symbole und Kurzschreibweisen auf. a) Die Gerade \(m\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(B\). b) Die Gerade \(g\) steht senkrecht auf der Geraden \(h\). c) Der Punkt \(Z\) liegt nicht auf der Geraden \(f\). d) Die Strecke \(s\) hat die Endpunkte \(C\) und \(D\).

Denkanstöße

- Erinnere dich an das Symbol für „senkrecht“. - Wie kennzeichnet man, dass ein Punkt nicht auf einer Geraden liegt? - Wie unterscheidet sich die Schreibweise einer Geraden von der einer Strecke?

Lösung

1. Die Gerade durch die Punkte \(A\) und \(B\) wird mit \(AB\) bezeichnet. Daher gilt \(m = AB\). 2. Das Zeichen für „senkrecht“ ist \(\perp\). Daher gilt \(g \perp h\). 3. Das Zeichen für „liegt nicht auf“ ist \(\notin\). Daher gilt \(Z \notin f\). 4. Eine Strecke wird mit ihren Endpunkten in eckigen Klammern geschrieben. Daher gilt \(s = [CD]\).

Antwort

a) \(m = AB\) b) \(g \perp h\) c) \(Z \notin f\) d) \(s = [CD]\)
4187395
Die Punkte \(A\) und \(B\) sind verschieden. Was ist jeweils der Unterschied zwischen den beiden Schreibweisen? a) \(AB\) und \([AB]\) b) \([AB\) und \([BA\)

Denkanstöße

- Prüfe, ob das Linienobjekt keinen, einen oder zwei Endpunkte hat. - Bei einer Halbgeraden zeigt die linke eckige Klammer den Anfangspunkt. - Vergleiche bei b) besonders, welcher Punkt jeweils zuerst steht.

Lösung

1. \(AB\) bezeichnet die Gerade durch \(A\) und \(B\). Sie läuft in beide Richtungen unbegrenzt weiter. \([AB]\) bezeichnet die Strecke mit den Endpunkten \(A\) und \(B\). 2. \([AB\) und \([BA\) sind Halbgeraden. \([AB\) beginnt in \(A\) und verläuft durch \(B\); \([BA\) beginnt in \(B\) und verläuft durch \(A\).

Antwort

a) \(AB\) ist die Gerade durch \(A\) und \(B\); \([AB]\) ist die Strecke mit den Endpunkten \(A\) und \(B\). b) \([AB\) beginnt in \(A\), \([BA\) beginnt in \(B\). Es sind zwei verschiedene Halbgeraden.
4190885
Am Globusmodell hat der Breitenkreis durch Oslo einen Durchmesser von \(10\,\text{cm}\). Für den Breitenkreis durch Kairo ist ein Radius von \(8{,}5\,\text{cm}\) angegeben. Welcher der beiden Breitenkreise hat den größeren Radius? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Für einen Vergleich brauchst du bei beiden Kreisen dieselbe Art von Größenangabe. - Wie hängen Radius und Durchmesser eines Kreises zusammen? - Vergleiche anschließend die beiden Radien.

Lösung

1. Der Radius des Breitenkreises durch Oslo ist die Hälfte des Durchmessers: \(10\,\text{cm} : 2 = 5\,\text{cm}\). 2. Der Breitenkreis durch Kairo hat den Radius \(8{,}5\,\text{cm}\). 3. Es gilt \(8{,}5\,\text{cm} > 5\,\text{cm}\). Daher hat der Breitenkreis durch Kairo den größeren Radius.

Antwort

Der Breitenkreis durch Kairo hat den größeren Radius. Für Oslo beträgt der Radius \(5\,\text{cm}\), für Kairo \(8{,}5\,\text{cm}\).
4191105
Anni und Tom vergleichen die Kreise, die sie mit ihrem Zirkel gezeichnet haben. Annis Kreis hat einen Radius von \(6\,\text{cm}\). Toms Kreis hat einen Durchmesser von \(12\,\text{cm}\). Anni behauptet: „Mein Kreis ist kleiner als deiner, weil die Zahl 6 bei meinem Radius kleiner ist als die Zahl 12 bei deinem Durchmesser.“ Entscheide, ob Anni recht hat, und begründe deine Entscheidung mithilfe der Begriffe Radius und Durchmesser.

Denkanstöße

- Was gibt der Radius an und was gibt der Durchmesser an? - Wie hängen Radius und Durchmesser bei einem Kreis zusammen? - Versuche, für beide Kreise entweder den Radius oder den Durchmesser zu berechnen, um sie besser vergleichen zu können.

Lösung

1. Bestimmung des Durchmessers von Annis Kreis: Da der Durchmesser das Doppelte des Radius ist, gilt \(d = 2r = 2 \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 2. Vergleich der beiden Kreise: Annis Kreis hat einen Durchmesser von \(12\,\text{cm}\) und Toms Kreis hat ebenfalls einen Durchmesser von \(12\,\text{cm}\). 3. Schlussfolgerung: Beide Kreise sind exakt gleich groß. Annis Behauptung ist falsch, da sie nur die Zahlenwerte vergleicht, ohne den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser zu berücksichtigen.

Antwort

Anni hat nicht recht. Da der Durchmesser immer doppelt so groß wie der Radius ist, hat Annis Kreis ebenfalls einen Durchmesser von \(12\,\text{cm}\) (\(2 \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\)). Die beiden Kreise sind also genau gleich groß.
4330655
Nenne alle Strecken zwischen zwei beschrifteten Punkten, die vollständig eingezeichnet sind.
Abbildung zur Aufgabe 433065

Denkanstöße

- Beginne mit den Strecken zwischen den drei Eckpunkten des Dreiecks. - Prüfe dann, welche zusätzlichen Strecken durch den Punkt \(D\) entstehen. - Achte darauf, dass beide Endpunkte jeder gesuchten Strecke beschriftet sein müssen.

Lösung

1. Die Seiten des großen Dreiecks sind \([AB]\), \([AC]\) und \([BC]\). 2. Der Punkt \(D\) teilt \([BC]\) zusätzlich in die Strecken \([BD]\) und \([DC]\). 3. Im Inneren ist außerdem die Strecke \([AD]\) eingezeichnet. 4. Damit sind insgesamt die sechs Strecken \([AB]\), \([AC]\), \([BC]\), \([AD]\), \([BD]\) und \([DC]\) eingezeichnet.

Antwort

\([AB]\), \([AC]\), \([BC]\), \([AD]\), \([BD]\) und \([DC]\)
4372365
Nenne alle Strecken zwischen zwei markierten Punkten, die vollständig eingezeichnet sind.
Abbildung zur Aufgabe 437236

Denkanstöße

- Prüfe bei jedem Punktepaar, ob der ganze gerade Abschnitt zwischen den beiden Punkten sichtbar ist. - Ein markierter Punkt auf einer längeren Strecke kann zusätzliche kürzere Strecken mit diesem Punkt als Endpunkt erzeugen. - Achte auch auf Verbindungen im Inneren der Figur; nicht jedes mögliche Punktepaar ist tatsächlich verbunden.

Lösung

1. Auf dem Rand sind die vier Strecken \([PQ]\), \([QR]\), \([RS]\) und \([SP]\) vollständig eingezeichnet. 2. Im Inneren ist die vollständige Strecke \([PR]\) eingezeichnet. 3. Der markierte Punkt \(T\) liegt auf \([PR]\). Deshalb sind auch die Teilstrecken \([PT]\) und \([TR]\) vollständig sichtbar. 4. Zwischen den übrigen Punktpaaren ist kein vollständiger gerader Abschnitt eingezeichnet.

Antwort

\([PQ]\), \([QR]\), \([RS]\), \([SP]\), \([PR]\), \([PT]\) und \([TR]\)
5524075
Vergleiche diese drei Linienobjekte: a) eine Strecke \([AB]\) mit \(|AB|=4\,\text{cm}\), b) eine Halbgerade \([CD\) mit \(|CD|=3\,\text{cm}\), c) eine Gerade \(EF\) durch zwei Punkte mit \(|EF|=5\,\text{cm}\). Gib jeweils an, ob die Linie über keinen, genau einen oder beide der genannten Punkte hinaus weiterläuft. Bei welchem der drei Objekte ist die angegebene Entfernung zugleich die gesamte Länge des Linienobjekts?

Denkanstöße

- Vergleiche, wie viele Endpunkte Strecke, Halbgerade und Gerade haben. - Überlege, ob das jeweilige Linienobjekt an einem markierten Punkt endet oder dort weitergeht. - Eine angegebene Entfernung zwischen zwei Punkten ist nicht automatisch die gesamte Länge des gezeichneten Objekts.

Lösung

1. Bei der Strecke \([AB]\) wird über keinen der beiden Endpunkte hinaus gezeichnet. Die Strecke endet in \(A\) und \(B\). 2. Bei der Halbgeraden \([CD\) beginnt die Linie in \(C\), verläuft durch \(D\) und wird über \(D\) hinaus verlängert. Sie läuft also über genau einen der genannten Punkte hinaus. 3. Die Gerade \(EF\) wird über \(E\) und über \(F\) hinaus verlängert, also über beide Punkte. 4. Nur bei der Strecke beschreibt \(|AB|=4\,\text{cm}\) die gesamte Länge des Linienobjekts. Halbgerade und Gerade sind unbegrenzt lang.

Antwort

a) Über keinen Punkt; \(|AB|=4\,\text{cm}\) ist die gesamte Länge der Strecke. b) Über genau einen Punkt, nämlich über \(D\); die Halbgerade ist unbegrenzt lang. c) Über beide Punkte; die Gerade ist unbegrenzt lang.
5524085
Eine Kreislinie \(k\) soll mit dem Zirkel um den Mittelpunkt \(M\) mit dem Radius \(r=3\,\text{cm}\) gezeichnet werden. Danach wird ein beliebiger Punkt \(A\) auf \(k\) gewählt. a) Beschreibe kurz, welche Zirkeleinstellung beim Zeichnen unverändert bleiben muss. b) Welche Länge hat die Strecke \([MA]\), unabhängig davon, wo \(A\) auf der Kreislinie liegt? Begründe mit der grundlegenden Eigenschaft einer Kreislinie.

Denkanstöße

- Welche Größe legt fest, wie weit die Kreislinie vom Mittelpunkt entfernt ist? - Beim Zeichnen einer Kreislinie verändert sich die Entfernung zwischen Zirkelspitze und Bleistiftspitze nicht. - Überlege, was für jeden beliebigen Punkt auf derselben Kreislinie gilt.

Lösung

1. Beim Zeichnen bleibt die Zirkelöffnung auf \(3\,\text{cm}\) eingestellt; die Zirkelspitze bleibt im Mittelpunkt \(M\). 2. Jeder Punkt der Kreislinie hat vom Mittelpunkt denselben Abstand, nämlich den Radius. 3. Deshalb gilt für jeden gewählten Punkt \(A\) auf \(k\): \(|MA|=3\,\text{cm}\).

Antwort

a) Die Zirkelöffnung bleibt \(3\,\text{cm}\) groß und die Zirkelspitze bleibt in \(M\). b) \(|MA|=3\,\text{cm}\), weil jeder Punkt der Kreislinie den Radiusabstand vom Mittelpunkt hat.
4187445
Vier verschiedene Geraden liegen in einer Ebene. a) Wie viele Schnittpunkte können die vier Geraden höchstens haben? Beschreibe, wie die Geraden dafür liegen müssen. b) Wie wenige Schnittpunkte sind möglich? Beschreibe eine Lage der Geraden, bei der diese Zahl erreicht wird.

Denkanstöße

- Für die größte Anzahl soll jedes Geradenpaar einen eigenen Schnittpunkt liefern. - Überlege, was Parallelität mit Schnittpunkten macht. - Prüfe auch, was passieren würde, wenn drei Geraden durch denselben Punkt liefen.

Lösung

1. Für die größte Zahl an Schnittpunkten darf kein Geradenpaar parallel sein und keine drei Geraden dürfen durch denselben Schnittpunkt gehen. 2. Dann schneidet jede Gerade jede andere in einem eigenen Punkt. Die Zahl der Schnittpunkte ist \(1+2+3=6\). 3. Die kleinste mögliche Zahl ist \(0\). Sie entsteht, wenn alle vier Geraden parallel sind.

Antwort

a) Höchstens \(6\) Schnittpunkte. Dafür darf kein Geradenpaar parallel sein und keine drei Geraden dürfen durch denselben Schnittpunkt gehen. b) Mindestens \(0\) Schnittpunkte. Das ist der Fall, wenn alle vier Geraden parallel sind.
4187455
Vier Geraden sind so gezeichnet, dass jede Gerade jede andere schneidet und keine drei Geraden durch denselben Schnittpunkt gehen. So entstehen \(6\) Schnittpunkte. a) Eine fünfte Gerade kommt hinzu. Sie schneidet jede der vier alten Geraden und geht durch keinen vorhandenen Schnittpunkt. Wie viele neue Schnittpunkte entstehen? Wie viele Schnittpunkte gibt es dann insgesamt? b) Danach kommt eine sechste Gerade hinzu. Sie schneidet wieder jede alte Gerade und geht durch keinen vorhandenen Schnittpunkt. Wie viele neue Schnittpunkte entstehen jetzt? Wie viele Schnittpunkte gibt es insgesamt? c) Erkläre, warum eine neu hinzukommende Gerade unter diesen Bedingungen genauso viele neue Schnittpunkte erzeugt, wie vorher Geraden vorhanden waren.

Denkanstöße

- Zähle bei a), wie viele alte Geraden die fünfte Gerade schneiden kann. - Achte darauf, dass laut Aufgabe keiner der neuen Schnittpunkte mit einem alten zusammenfällt. - Wende dieselbe geometrische Überlegung in b) erneut an, statt nur eine Zahlenfolge fortzusetzen.

Lösung

1. Die fünfte Gerade schneidet die vier vorhandenen Geraden jeweils einmal. Weil sie durch keinen alten Schnittpunkt geht, entstehen \(4\) neue Schnittpunkte. Insgesamt sind es \(6+4=10\). 2. Vor der sechsten Geraden gibt es fünf Geraden. Die sechste schneidet jede davon in einem neuen Punkt. Es entstehen \(5\) neue Schnittpunkte, also insgesamt \(10+5=15\). 3. Allgemein trifft eine neue Gerade jede bereits vorhandene Gerade einmal. Wenn keiner dieser Punkte mit einem alten Schnittpunkt zusammenfällt, liefert jede vorhandene Gerade genau einen neuen Schnittpunkt.

Antwort

a) \(4\) neue Schnittpunkte, insgesamt \(10\). b) \(5\) neue Schnittpunkte, insgesamt \(15\). c) Jede vorhandene Gerade wird genau einmal geschnitten, und jeder dieser Schnittpunkte ist neu.
4191115
Felix hat einen Kreis mit einem Radius von \(5\,\text{cm}\) gezeichnet. Er möchte einen zweiten Kreis zeichnen, dessen Durchmesser doppelt so groß ist wie der Durchmesser des ersten Kreises. Felix sagt: „Für den neuen Kreis muss ich meinen Zirkel auf \(20\,\text{cm}\) einstellen.“ Überprüfe, ob Felix recht hat. Zeige deinen Rechenweg.

Denkanstöße

- Überlege, welches Maß du am Zirkel einstellst. - Vergleiche genau, welche Größe beim ersten Kreis gegeben ist und welche Größe beim zweiten Kreis verdoppelt werden soll. - Prüfe am Ende, ob deine Zirkeleinstellung wirklich zu dem geforderten Durchmesser führt.

Lösung

1. Der erste Kreis hat den Durchmesser \(d_1 = 2r_1 = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). 2. Der zweite Kreis soll den doppelten Durchmesser haben: \(d_2 = 2 \cdot 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\). 3. Am Zirkel stellt Felix den Radius ein. Für den zweiten Kreis gilt daher \(r_2 = 20\,\text{cm} : 2 = 10\,\text{cm}\). 4. Felix hat nicht recht. Er muss den Zirkel auf \(10\,\text{cm}\) einstellen.

Antwort

Felix hat nicht recht. Der erste Kreis hat einen Durchmesser von \(10\,\text{cm}\). Der zweite Kreis soll also einen Durchmesser von \(20\,\text{cm}\) haben. Da man am Zirkel den Radius einstellt, muss Felix ihn auf \(10\,\text{cm}\) einstellen.
4191125
Ein Kreis hat einen bestimmten Radius \(r\) und einen Durchmesser \(d\). Nun wird der Radius dieses Kreises um \(5\,\text{cm}\) vergrößert. Behauptung: „Wenn man den Radius eines Kreises um \(5\,\text{cm}\) vergrößert, dann vergrößert sich auch der Durchmesser des Kreises um genau \(5\,\text{cm}\).“ Untersuche, ob diese Behauptung wahr oder falsch ist. Begründe deine Antwort durch eine Rechnung oder eine allgemeine Überlegung.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie oft der Radius in einen Durchmesser passt. - Der Radius wird vom Mittelpunkt aus in zwei entgegengesetzte Richtungen abgetragen. Was passiert an beiden Enden des Durchmessers? - Du kannst die Aussage auch mit einem einfachen Zahlenbeispiel prüfen.

Lösung

1. Für jeden Kreis gilt: Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius. 2. Wird der Radius um \(5\,\text{cm}\) größer, wächst der Kreis vom Mittelpunkt aus auf beiden Seiten jeweils um \(5\,\text{cm}\). 3. Der Durchmesser vergrößert sich deshalb insgesamt um \(5\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). 4. Die Behauptung ist falsch.

Antwort

Die Behauptung ist falsch. Da der Durchmesser immer doppelt so groß wie der Radius ist (\(d = 2r\)), wirkt sich eine Änderung des Radius doppelt auf den Durchmesser aus. Wenn der Radius um \(5\,\text{cm}\) wächst, vergrößert sich der Durchmesser um \(10\,\text{cm}\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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