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- Überlege, welcher Zahlenwert den Linien zugeordnet wird, die als Startpunkt für die Messung dienen. - Was weißt du über die Lage des Äquators im Gradnetz? - Was bedeutet das Wort „Null“ im Namen des Meridians für seinen Wert?

1. Der Äquator ist der Bezugskreis für die Breite und wird als \(0^\circ\) definiert. 2. Der Nullmeridian ist der Bezugshalbkreis für die Länge und wird ebenfalls als \(0^\circ\) definiert. 3. Der Schnittpunkt hat somit die Koordinaten \(0^\circ\) Breite und \(0^\circ\) Länge.

Geographische Breite: \(0^\circ\) Geographische Länge: \(0^\circ\)

- Die erste Zahl im Koordinatenpaar gehört zur x-Achse. - Die zweite Zahl gehört zur y-Achse. - Suche den Schnittpunkt der beiden zugehörigen Gitterlinien.

1. Suche auf der x-Achse den Wert \(3\). 2. Gehe von dort senkrecht bis zum y-Wert \(2\). 3. Am Positionspunkt \((3 \mid 2)\) befindet sich das Dreieck.

Das Dreieck.

- Suche die Figur mit genau fünf Ecken. - Lies zuerst die Rechts-links-Position und danach die Oben-unten-Position ab.

1. Identifiziere das Fünfeck im Koordinatensystem. 2. Lies am schwarzen Positionspunkt zuerst die x-Koordinate \(x = 7\) ab. 3. Lies danach die y-Koordinate \(y = 2\) ab. 4. Das Koordinatenpaar lautet \((7 \mid 2)\).

\((7 \mid 2)\)

- Welche Eigenschaften haben die Seiten eines Rechtecks bezüglich ihrer Lage im Koordinatensystem? - Wie kannst du den Punkt finden, der auf halber Strecke zwischen zwei Werten liegt? - Schau dir an, welche Koordinaten bei Punkten, die senkrecht oder waagerecht übereinanderliegen, gleich sind.

1. Für ein Rechteck \(ABCD\) muss die \(x\)-Koordinate von \(D\) mit der von \(A\) übereinstimmen (\(x_D = 2\)) und die \(y\)-Koordinate mit der von \(C\) (\(y_D = 8\)). Somit ist \(D(2 \mid 8)\). 2. Die Mitte zwischen \(A(2 \mid 2)\) und \(B(10 \mid 2)\) wird berechnet, indem man den Mittelwert der \(x\)-Koordinaten bestimmt: \((2 + 10) : 2 = 6\). Da beide Punkte die \(y\)-Koordinate \(2\) haben, bleibt diese gleich. Somit ist \(M(6 \mid 2)\).

a) \(D(2 \mid 8)\) b) \(M(6 \mid 2)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt „genau zwischen“ zwei anderen Werten liegt? - Wie verändert sich eine Koordinate, wenn man einen Wert um eine bestimmte Anzahl an Einheiten vergrößert oder verkleinert? - Lies die Koordinaten der gegebenen Punkte genau ab, bevor du rechnest.

1. Die \(x\)-Koordinate von \(S\) liegt in der Mitte von \(3\) und \(11\): \((3 + 11) : 2 = 7\). Die \(y\)-Koordinate von \(S\) ist gleich der von \(Q\), also \(10\). Somit ergibt sich \(S(7 \mid 10)\). Diese Koordinaten stimmen genau mit denen von \(Q\) überein; die Bezeichnungen \(S\) und \(Q\) stehen daher für denselben Punkt. 2. Die \(x\)-Koordinate von \(T\) ist gleich der von \(P\), also \(3\). Die \(y\)-Koordinate von \(T\) ist \(10 - 3 = 7\). Somit ergibt sich \(T(3 \mid 7)\).

a) \(S(7 \mid 10)=Q(7 \mid 10)\); \(S\) und \(Q\) sind derselbe Punkt. b) \(T(3 \mid 7)\)

- Vergleiche die Zahlen in den Klammern: Welcher Wert ist gleich geblieben? - Wenn sich nur die zweite Zahl (der \(y\)-Koordinate) ändert, in welche Richtung wurde der Punkt dann bewegt? - Welche Achse liegt genau in der Mitte zwischen dem ursprünglichen Punkt und seinem Bild?

1. Bei Punkt \(P\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(12\) gleich, nur die \(y\)-Koordinate wechselt von \(5\) zu \(-5\). Dies entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 2. Bei Punkt \(Q\) bleibt die \(y\)-Koordinate \(20\) gleich, während die \(x\)-Koordinate von \(-8\) zu \(8\) wechselt. Dies ist eine Spiegelung an der \(y\)-Achse. 3. Bei Punkt \(R\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(-15\) gleich und die \(y\)-Koordinate wechselt von \(-3\) zu \(3\). Es wurde also an der \(x\)-Achse gespiegelt.

a) \(x\)-Achse b) \(y\)-Achse c) \(x\)-Achse

- Was haben alle Punkte gemeinsam, die auf einer waagerechten Linie im Koordinatensystem liegen? - Überlege, welche der beiden Koordinaten sich ändert, wenn du dich parallel zur \(x\)-Achse bewegst. - Wähle drei beliebige Zahlen für die erste Stelle des Zahlenpaares aus.

1. Eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft, zeichnet sich dadurch aus, dass alle ihre Punkte dieselbe \(y\)-Koordinate besitzen. 2. Da der gegebene Punkt \(A(15 \mid 22)\) die \(y\)-Koordinate \(22\) hat, müssen auch alle anderen Punkte auf dieser Parallelen die \(y\)-Koordinate \(22\) haben. 3. Um drei weitere Punkte zu finden, wählt man beliebige \(x\)-Koordinaten (ungleich \(15\)), während die \(y\)-Koordinate fest auf \(22\) bleibt. Mögliche Beispiele sind \(x=0\), \(x=10\) und \(x=30\).

Drei mögliche Punkte sind zum Beispiel \((0 \mid 22)\), \((10 \mid 22)\) und \((30 \mid 22)\). Jede Punktangabe der Form \((x\mid 22)\) mit \(x \neq 15\) ist korrekt.

- Welche Koordinate bleibt gleich, wenn eine Linie genau senkrecht nach oben oder unten verläuft? - Vergleiche die erste Zahl des Punktes \(B\) mit der ersten Zahl der Punkte \(P_1\) bis \(P_5\). - Lass dich nicht von der \(y\)-Koordinate (der zweiten Zahl) ablenken, wenn es um eine Parallele zur \(y\)-Achse geht.

1. Punkte auf einer Parallelen zur \(y\)-Achse haben alle die gleiche \(x\)-Koordinate. 2. Da der Punkt \(B\) die \(x\)-Koordinate \(-10\) besitzt, müssen alle Punkte auf der Geraden \(h\) ebenfalls die \(x\)-Koordinate \(-10\) haben. 3. Durch Prüfung der \(x\)-Koordinaten der gegebenen Punkte ergibt sich: \(P_1\), \(P_3\) und \(P_5\) haben die \(x\)-Koordinate \(-10\).

Die Punkte \(P_1(-10 \mid 0)\), \(P_3(-10 \mid -5)\) und \(P_5(-10 \mid 100)\) liegen auf der Geraden \(h\).

- Überlege dir, welche Koordinate sich ändert, wenn du dich nach rechts oder links bewegst. - Was passiert mit der \(y\)-Koordinate, wenn du dich nach oben oder unten bewegst? - Stell dir das Gitter eines Koordinatensystems vor oder skizziere es kurz auf Karopapier.

1. Berechnung für Aufgabenteil a: Der Startpunkt ist \(E(2 \mid 3)\). Die \(x\)-Koordinate erhöht sich um \(4\) (\(2 + 4 = 6\)) und die \(y\)-Koordinate erhöht sich um \(2\) (\(3 + 2 = 5\)). Der Zielpunkt hat die Koordinaten \((6 \mid 5)\). 2. Berechnung für Aufgabenteil b: Der Ausgangspunkt ist \(H(7 \mid 1)\). „Links“ bedeutet eine Verringerung der \(x\)-Koordinate um \(3\) (\(7 - 3 = 4\)). „Über“ bedeutet eine Erhöhung der \(y\)-Koordinate um \(4\) (\(1 + 4 = 5\)). Der Schatz \(S\) liegt bei \((4 \mid 5)\).

a) Der Punkt liegt bei \((6 \mid 5)\). b) Der Schatz \(S\) hat die Koordinaten \((4 \mid 5)\).

- Schau dir die erste Zahl der Klammer an, um die Position von links nach rechts zu bestimmen. - Die zweite Zahl in der Klammer sagt dir, wie weit oben oder unten jemand wohnt. - Wenn zwei Punkte die gleiche \(y\)-Koordinate haben, liegen sie auf einer waagerechten Linie.

1. Analyse der \(x\)-Koordinaten: Anton (2), Bea (5), Carl (10), Dora (5). Der größte Wert ist \(10\), also wohnt Carl am weitesten rechts. 2. Analyse der \(y\)-Koordinaten: Anton (8), Bea (3), Carl (8), Dora (8). Anton, Carl und Dora haben alle die \(y\)-Koordinate \(8\) und wohnen somit auf der gleichen Höhe. 3. Berechnung für Beas Position: Bea ist bei \(B(5 \mid 3)\). \(5\) Einheiten nördlich bedeutet, dass die \(y\)-Koordinate um \(5\) steigt: \(3 + 5 = 8\). Die neue Position ist \((5 \mid 8)\). Dies entspricht den Koordinaten von Dora.

a) Carl wohnt am weitesten rechts. b) Anton, Carl und Dora wohnen auf der gleichen Höhe (\(y\)-Koordinate \(8\)). c) Dora wohnt genau \(5\) Einheiten nördlich von Bea.

- Stelle dir ein Kompasskreuz im Koordinatensystem vor: Wo ist Norden, Süden, Westen und Osten? - Welche Himmelsrichtungen gehören zur Rechts-Links-Achse (\(x\)-Achse)? - Welche Himmelsrichtungen gehören zur Oben-Unten-Achse (\(y\)-Achse)? - Vergleiche die Dezimalzahlen sorgfältig Stelle für Stelle.

1. Ost-Richtung entspricht maximalem x-Wert: Vergleich von \(4{,}5\), \(12\), \(7\), \(2\). Maximum ist \(12\) bei \(P_2(12 \mid 6{,}5)\). 2. Nord-Richtung entspricht maximalem y-Wert: Vergleich von \(2\), \(6{,}5\), \(9\), \(5{,}5\). Maximum ist \(9\) bei \(P_3(7 \mid 9)\). 3. West-Richtung entspricht minimalem x-Wert: Minimum ist \(2\) bei \(P_4(2 \mid 5{,}5)\). 4. Süd-Richtung entspricht minimalem y-Wert: Minimum ist \(2\) bei \(P_1(4{,}5 \mid 2)\).

a) \(P_2(12 \mid 6{,}5)\) b) \(P_3(7 \mid 9)\) c) \(P_4(2 \mid 5{,}5)\) d) \(P_1(4{,}5 \mid 2)\)

- Wie weit ist ein Pol vom Äquator in Grad ausgedrückt entfernt? - In welche Richtung verändern sich die Werte der Breitengrade, wenn man sich vom Pol weg bewegt? - Welche Linie liegt genau in der Mitte zwischen Nord- und Südpol?

1. Die geographische Breite wird vom Äquator (\(0^\circ\)) aus gemessen. Die Pole markieren die Extremwerte bei \(90^\circ\). Der Südpol liegt bei \(90^\circ\) südlicher Breite. 2. Eine Reise von \(90^\circ\) Süd um genau \(90^\circ\) nach Norden führt zum Wert \(0^\circ\). Die Linie bei \(0^\circ\) Breite ist der Äquator.

a) \(90^\circ\) südliche Breite (oder \(-90^\circ\)) b) Den Äquator

- Was weißt du über die Koordinaten von Punkten, die auf einer senkrechten oder waagerechten Linie liegen? - Überlege dir, welche Koordinaten ein Punkt mit seinem Nachbarpunkt gemeinsam haben muss, wenn die Seite parallel zu einer Achse liegt. - Wie kannst du den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen, wenn sie dieselbe \(x\)-Koordinate oder dieselbe \(y\)-Koordinate haben?

1. Da die Seiten parallel zu den Achsen verlaufen, teilen sich benachbarte Punkte jeweils eine Koordinate. Punkt \(B\) hat dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(C\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(A\). Somit ist \(B(9 \mid 1)\). 2. Punkt \(D\) hat dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(A\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(C\). Somit ist \(D(2 \mid 6)\). 3. Die Länge der horizontalen Seite berechnet sich aus der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(9 - 2 = 7\,\text{Einheiten}\). 4. Die Länge der vertikalen Seite berechnet sich aus der Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(6 - 1 = 5\,\text{Einheiten}\).

a) \(B(9 \mid 1)\) und \(D(2 \mid 6)\) b) Die Seitenlängen betragen \(7\,\text{Einheiten}\) und \(5\,\text{Einheiten}\).

- Stell dir vor, wie die Punkte im Koordinatensystem liegen. Welche Punkte liegen genau übereinander oder nebeneinander? - Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. - Die erste Zahl einer Koordinate gibt die Position auf der \(x\)-Achse an, die zweite die Position auf der \(y\)-Achse.

1. Bestimmung von Punkt \(D\): In einem Quadrat (oder Rechteck) mit achsenparallelen Seiten teilen sich die Eckpunkte jeweils ihre \(x\)- und \(y\)-Koordinaten. Da \(D\) über \(A\) und links von \(C\) liegen muss, übernimmt es die \(x\)-Koordinate von \(A\) (\(2\)) und die \(y\)-Koordinate von \(C\) (\(5\)). Somit ist \(D(2 \mid 5)\). 2. Berechnung der Seitenlänge: Die Differenz der \(x\)-Koordinaten von \(A\) und \(B\) beträgt \(5{,}5 - 2 = 3{,}5\). Die Differenz der \(y\)-Koordinaten von \(B\) und \(C\) beträgt \(5 - 1{,}5 = 3{,}5\). Die Seitenlänge beträgt \(3{,}5\) Gittereinheiten.

a) \(D(2 \mid 5)\) b) Die Seitenlänge beträgt \(3{,}5\) Gittereinheiten.

- Achte beim Zeichnen darauf, dass die Abstände zwischen den Zahlen auf den Achsen immer gleich groß sind. - Die erste Zahl einer Koordinate gibt den Wert auf der waagerechten Achse (\(x\)-Koordinate) an, die zweite Zahl den Wert auf der senkrechten Achse (\(y\)-Koordinate). - Wo liegt der Mittelpunkt der Strecke \(AB\), und wie liegt der Punkt \(C\) zu diesem Mittelpunkt?

1. Zeichne die Punkte \(A(2 \mid 2)\), \(B(8 \mid 2)\) und \(C(5 \mid 6)\) ein und verbinde sie. 2. Da \(A\) und \(B\) denselben \(y\)-Wert haben, ist \(AB = 8 - 2 = 6\,\text{cm}\). 3. Beim Messen erhält man für \(AC\) und \(BC\) jeweils etwa \(5\,\text{cm}\). Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(M(5 \mid 2)\), und \(C(5 \mid 6)\) liegt senkrecht darüber. Daher sind \(A\) und \(B\) Spiegelpunkte an der Geraden durch \(C\) und \(M\); folglich gilt exakt \(AC = BC\). Das Dreieck ist gleichschenklig.

1. Zeichnung des Dreiecks mit den Eckpunkten \(A(2 \mid 2)\), \(B(8 \mid 2)\) und \(C(5 \mid 6)\). 2. \(AB = 6\,\text{cm}\). 3. Beim Messen sind \(AC\) und \(BC\) jeweils etwa \(5\,\text{cm}\). Da \(C\) senkrecht über dem Mittelpunkt von \(AB\) liegt, gilt exakt \(AC = BC\); das Dreieck ist gleichschenklig.

- Überlege, welche Eigenschaften die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks im Koordinatensystem haben müssen. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Werte von Punkten zusammen, die senkrecht oder waagerecht übereinander liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.

1. Um ein Rechteck zu bilden, muss der Punkt \(D\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(A\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(C\) haben. Daraus ergibt sich \(D(2 \mid 4)\). 2. Die Länge der Seite \(AB\) berechnet sich aus der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(7 - 2 = 5\,\text{cm}\). 3. Die Länge der Seite \(BC\) berechnet sich aus der Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(4 - 1 = 3\,\text{cm}\). 4. Der Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks berechnet sich durch Multiplikation der Seitenlängen: \(5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\).

a) \(D(2 \mid 4)\) b) \(15\,\text{cm}^2\)

- Erinnere dich an die Regel für die Reihenfolge der Koordinaten: Welcher Wert wird zuerst genannt, der für die horizontale oder der für die vertikale Richtung? - Die erste Zahl in der Klammer gibt an, wie weit du auf der \(x\)-Achse (horizontale Achse) gehen musst. - Die zweite Zahl in der Klammer gibt an, wie weit du auf der \(y\)-Achse (vertikale Achse) gehen musst. - Gehe für Teilaufgabe a) genau diesen Weg auf dem Plan ab und schaue, welchen Buchstaben du erreichst. - Suche für Teilaufgabe b) den Buchstaben \(G\) und lies die beiden Werte an den Achsen ab.

1. Um die Attraktion bei den Koordinaten \((5 \mid 2)\) zu bestimmen, starten wir im Ursprung \((0 \mid 0)\). Wir gehen zuerst \(5\) Einheiten nach rechts auf der waagerechten Achse (\(x\)-Achse) und anschließend \(2\) Einheiten nach oben parallel zur senkrechten Achse (\(y\)-Achse). Dort befindet sich der Punkt \(A\), der für die Achterbahn steht. 2. Für die Geisterbahn \(G\) lesen wir zuerst den Wert \(3\) auf der waagerechten \(x\)-Achse und dann den Wert \(1\) auf der senkrechten \(y\)-Achse ab. Die Koordinaten lauten \((3 \mid 1)\).

a) Achterbahn (Punkt \(A\)) b) \((3 \mid 1)\)

- Wie lang sind die bereits eingezeichneten Seiten des Quadrats? Zähle die Kästchen im Koordinatensystem. - Welche Eigenschaften hat ein Quadrat bezüglich seiner Seitenlängen und Winkel? - Wo muss der vierte Punkt liegen, damit die neuen Seiten parallel zu den bereits eingezeichneten Seiten verlaufen? - Überlege, welche x-Koordinate und welche y-Koordinate der Punkt haben muss, um genau unter \(P\) und rechts von \(R\) zu liegen.

1. Bestimmung der Seitenlänge des Quadrats anhand der gegebenen Punkte: Die waagerechte Strecke \(PQ\) verläuft von \(x = -2\) bis \(x = 3\) bei \(y = 2\), was einer Länge von \(3 - (-2) = 5\) Einheiten entspricht. 2. Die senkrechte Strecke \(QR\) verläuft von \(y = 2\) bis \(y = -3\) bei \(x = -2\), was ebenfalls einer Länge von \(2 - (-3) = 5\) Einheiten entspricht. 3. Um das Quadrat \(PQRS\) zu vervollständigen, müssen die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sein. Der gesuchte vierte Punkt \(S\) hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt \(P\) (da \(SP\) senkrecht verläuft) und dieselbe y-Koordinate wie der Punkt \(R\) (da \(RS\) waagerecht verläuft). 4. Ablesen der Koordinaten: Da \(P\) die x-Koordinate \(3\) hat und \(R\) die y-Koordinate \(-3\), ergeben sich für den Punkt \(S\) die Koordinaten \((3 \mid -3)\).

\(S(3 \mid -3)\)

- Erinnere dich daran, dass bei einem Rechteck die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sein müssen. - Schaue dir an, wie man von Punkt \(B\) zu Punkt \(C\) gelangt: Wie viele Einheiten musst du nach links und wie viele nach oben gehen? - Wende diese Verschiebung nun auf den Punkt \(A\) an, um zum Punkt \(D\) zu gelangen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du kontrollierst, ob die Strecke von \(C\) nach \(D\) genau so verläuft wie die von \(B\) nach \(A\).

1. Bei einem Rechteck müssen die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sein. 2. Wir betrachten die Verschiebung von Punkt \(B(6 \mid 3)\) zu Punkt \(C(5 \mid 5)\): Man geht \(1\) Einheit nach links (\(6 - 1 = 5\)) und \(2\) Einheiten nach oben (\(3 + 2 = 5\)). 3. Um den Punkt \(D\) ausgehend von \(A(2 \mid 1)\) zu finden, wenden wir dieselbe Verschiebung an: \(x_D = 2 - 1 = 1\) \(y_D = 1 + 2 = 3\) 4. Der gesuchte vierte Eckpunkt hat somit die Koordinaten \(D(1 \mid 3)\).

Der vierte Eckpunkt hat die Koordinaten \(D(1 \mid 3)\).

- Lies bei einem Koordinatenpaar zuerst den Wert auf der x-Achse und danach den Wert auf der y-Achse ab. - Überlege, wie sich die x-Koordinate bei einer Bewegung nach links verändert. - Überlege, wie sich die y-Koordinate bei einer Bewegung nach oben verändert.

1. Lies zuerst die x-Koordinate und danach die y-Koordinate von \(A\) ab. Es gilt \(A(1 \mid 4)\). 2. Bei den Koordinaten \((4 \mid 2)\) liegt der Punkt \(B\). 3. Starte bei \(B(4 \mid 2)\). Zwei Einheiten nach links ergeben \(x = 4 - 2 = 2\), drei Einheiten nach oben ergeben \(y = 2 + 3 = 5\). Der Zielpunkt \((2 \mid 5)\) ist \(D\).

a) \((1 \mid 4)\) b) \(B\) c) \(D\)

- Die erste Zahl im Koordinatenpaar gehört zur x-Achse, die zweite zur y-Achse. - Die Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn gezählt, beginnend oben rechts. - Hat eine Koordinate den Wert \(0\), liegt der Punkt auf einer Koordinatenachse.

1. Lies für jeden Punkt zuerst den x-Wert und danach den y-Wert ab: \(A(4 \mid 3)\), \(B(-3 \mid 2)\), \(C(-2 \mid -4)\), \(D(3 \mid -1)\), \(E(0 \mid 2)\), \(F(-5 \mid 0)\). 2. Bestimme die Lage anhand der Vorzeichen: \(A\) liegt im I. Quadranten, \(B\) im II. Quadranten, \(C\) im III. Quadranten und \(D\) im IV. Quadranten. \(E\) liegt auf der y-Achse und \(F\) auf der x-Achse.

Die Koordinaten sind: \(A(4 \mid 3)\) (I. Quadrant), \(B(-3 \mid 2)\) (II. Quadrant), \(C(-2 \mid -4)\) (III. Quadrant), \(D(3 \mid -1)\) (IV. Quadrant), \(E(0 \mid 2)\) (y-Achse) und \(F(-5 \mid 0)\) (x-Achse).

- Verfolge die Punktfolge gedanklich. - Achte auf die Anzahl und Richtung der entstehenden Seiten. - Überlege, an welchen Alltagsgegenstand die Umrissform erinnert.

1. Verfolge die Strecken gedanklich in der Reihenfolge \(A \to B \to C \to D \to E \to A\). 2. Die Strecke \(AB\) bildet die Unterseite, \(BC\) und \(EA\) bilden senkrechte Seiten, und \(CD\) sowie \(DE\) bilden zwei schräge Dachseiten. 3. Die geschlossene Figur hat fünf Ecken und die Form eines Hauses.

Die Figur stellt ein Haus dar, also ein Fünfeck.

- Die erste Zahl einer Koordinate gibt die Position auf der waagerechten \(x\)-Achse an. - Die zweite Zahl gibt die Position auf der senkrechten \(y\)-Achse an. - Achte auf die Vorzeichen: Werte links von der \(y\)-Achse und unterhalb der \(x\)-Achse sind negativ. - Suche für den zweiten Teil der Aufgabe einen Punkt, der im Bereich oben links liegt.

1. Den Punkt \(A\) ablesen: Gehe vom Ursprung 4 Einheiten nach rechts auf der \(x\)-Achse und 1 Einheit nach oben auf der \(y\)-Achse. Daraus folgt \(A(4 \mid 1)\). 2. Den Punkt \(B\) ablesen: Gehe vom Ursprung 3 Einheiten nach links auf der \(x\)-Achse und 4 Einheiten nach oben auf der \(y\)-Achse. Daraus folgt \(B(-3 \mid 4)\). 3. Den Punkt \(C\) ablesen: Gehe vom Ursprung 2 Einheiten nach links auf der \(x\)-Achse und 5 Einheiten nach unten auf der \(y\)-Achse. Daraus folgt \(C(-2 \mid -5)\). 4. Analyse der Vorzeichen: Punkt \(B\) liegt im zweiten Quadranten (links oben), wo die \(x\)-Werte negativ und die \(y\)-Werte positiv sind.

a) \(A(4 \mid 1)\), \(B(-3 \mid 4)\), \(C(-2 \mid -5)\) b) Punkt \(B\)

- Lies zuerst den Wert auf der waagerechten Achse ab und dann den Wert auf der senkrechten Achse. - Vergiss das Minuszeichen nicht, wenn ein Punkt links von der Mitte oder unterhalb der Mitte liegt. - Schau dir die grüne Gerade genau an: Welche Punkte werden von ihr geschnitten?

1. Koordinaten der Punkte durch Ablesen bestimmen: - Punkt \(A\): Gehe 4 Einheiten nach links und 5 nach oben. Ergebnis: \(A(-4 \mid 5)\). - Punkt \(B\): Gehe 2 Einheiten nach rechts und 2 nach oben. Ergebnis: \(B(2 \mid 2)\). - Punkt \(C\): Gehe 5 Einheiten nach rechts und 3 nach unten. Ergebnis: \(C(5 \mid -3)\). - Punkt \(D\): Gehe 3 Einheiten nach links und 3 nach unten. Ergebnis: \(D(-3 \mid -3)\). 2. Die Lage der Punkte in Bezug auf die grüne Gerade \(g\) prüfen: - Durch visuelle Kontrolle erkennt man, dass die Gerade \(g\) genau durch die Punkte \(B\) und \(D\) verläuft.

a) \(A(-4 \mid 5)\), \(B(2 \mid 2)\), \(C(5 \mid -3)\), \(D(-3 \mid -3)\) b) Die Punkte \(B\) und \(D\) liegen auf der Geraden \(g\).

- Schaue zuerst auf die waagerechte \(x\)-Achse, um den ersten Wert zu finden. - Gehe dann senkrecht zur \(y\)-Achse, um den zweiten Wert abzulesen. - Achte auf die Vorzeichen, wenn du dich links von der \(y\)-Achse oder unterhalb der \(x\)-Achse befindest. - Überlege dir, welche Eigenschaften die Seiten und Winkel des Vierecks haben.

1. Ablesen der Koordinaten: \(A(-4 \mid -1)\), \(B(3 \mid -1)\), \(C(3 \mid 2)\) und \(D(-4 \mid 2)\). 2. Alle Winkel sind rechte Winkel, da die Seiten parallel zu den Achsen verlaufen. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang: \(AB = CD = 7\) Einheiten und \(BC = DA = 3\) Einheiten. Da nicht alle Seiten gleich lang sind, ist \(ABCD\) ein Rechteck.

a) \(A(-4 \mid -1)\), \(B(3 \mid -1)\), \(C(3 \mid 2)\), \(D(-4 \mid 2)\) b) Es handelt sich um ein Rechteck.

- Ein Punkt auf der x-Achse hat immer die y-Koordinate 0. - Denke daran, dass es für eine x-Koordinate oft zwei Punkte auf einem Kreis geben kann (einen oben und einen unten).

1. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei \(x = 5\) und \(x = -5\). Die Koordinaten sind \(P_1(5 \mid 0)\) und \(P_2(-5 \mid 0)\). 2. Man sucht auf der x-Achse die Stelle \(x = 4\) und geht senkrecht nach oben und unten zum Kreis. Die zugehörigen y-Werte sind \(3\) und \(-3\). Die Punkte sind \((4 \mid 3)\) und \((4 \mid -3)\).

1. Die Schnittpunkte sind \((5 \mid 0)\) und \((-5 \mid 0)\). 2. Zur x-Koordinate 4 gehören die y-Koordinaten 3 und -3.

- Schaue zuerst auf die horizontale Achse, um den \(x\)-Wert zu finden. - Schaue dann auf die vertikale Achse, um den \(y\)-Wert zu finden. - Wenn ein Punkt genau auf einer Achse liegt, ist eine seiner Koordinaten null.

1. \(P(-2 \mid 0)\): 2 Einheiten nach links auf der \(x\)-Achse. 2. \(Q(2 \mid 0)\): 2 Einheiten nach rechts auf der \(x\)-Achse. 3. \(R(2 \mid 3)\): 2 Einheiten nach rechts, 3 nach oben. 4. \(S(0 \mid 5)\): 0 Einheiten zur Seite, 5 nach oben auf der \(y\)-Achse. 5. \(T(-2 \mid 3)\): 2 Einheiten nach links, 3 nach oben.

\(P(-2 \mid 0)\), \(Q(2 \mid 0)\), \(R(2 \mid 3)\), \(S(0 \mid 5)\), \(T(-2 \mid 3)\)

- Berechne für jede Verschiebung die Änderung der x-Koordinate und der y-Koordinate. - Vergleiche die beiden Änderungspaare.

1. Für \(u\) gilt: \(4 - 1 = 3\) Einheiten nach rechts und \(3 - 1 = 2\) Einheiten nach oben. 2. Für \(v\) gilt: \(6 - 3 = 3\) Einheiten nach rechts und \(4 - 2 = 2\) Einheiten nach oben. 3. Beide Verschiebungen beschreiben dieselben Schritte. Daher sind sie gleich.

Ja, die beiden Verschiebungen sind gleich.

- Wo liegt der Punkt \(B\), wenn \(OABC\) ein Rechteck ist? - Der Mittelpunkt einer waagerechten Strecke hat die gleiche y-Koordinate wie die Endpunkte. Seine x-Koordinate liegt genau in der Mitte zwischen den x-Koordinaten der Endpunkte.

1. Die Eckpunkte des Rechtecks sind \(O(0 \mid 0)\), \(A(8 \mid 0)\), \(B(8 \mid 6)\) und \(C(0 \mid 6)\). 2. Die Seite \(BC\) verbindet die Punkte \(B(8 \mid 6)\) und \(C(0 \mid 6)\). 3. Der Mittelpunkt \(M\) einer Strecke zwischen \((x_1 \mid y_1)\) und \((x_2 \mid y_2)\) hat die Koordinaten \((\frac{x_1+x_2}{2} \mid \frac{y_1+y_2}{2})\). 4. Hier: \(x_M = \frac{8 + 0}{2} = 4\) und \(y_M = \frac{6 + 6}{2} = 6\). 5. Der Punkt \(M\) hat also die Koordinaten \((4 \mid 6)\).

Der Mittelpunkt \(M\) hat die Koordinaten \((4 \mid 6)\).

- Bestimme die Mitte der waagerechten Seite \(AB\). - Vergleiche die Lage von \(P\) mit der Strecke von dieser Mitte zum Eckpunkt \(C\). - Ein Punkt auf einer inneren Strecke des Dreiecks liegt innerhalb des Dreiecks.

1. Die Mitte der Seite \(AB\) liegt bei \(M(4 \mid 1)\). 2. Die Strecke \(MC\) verläuft vollständig innerhalb des Dreiecks und hat überall die x-Koordinate \(4\). 3. Der Punkt \(P(4 \mid 2)\) liegt auf dieser Strecke, weil \(1 < 2 < 5\) gilt. 4. Daher liegt \(P\) innerhalb des Dreiecks.

Der Punkt \(P\) liegt innerhalb des Naturschutzgebiets.

- Wie findet man den Mittelpunkt, wenn sich sowohl der \(x\)- als auch der \(y\)-Wert ändern? - Was bedeutet „doppelt so groß“ mathematisch für eine Koordinate? - Überlege dir zuerst die \(x\)-Koordinate und danach die \(y\)-Koordinate Schritt für Schritt.

1. Der Mittelpunkt \(Z\) von \(K(1 \mid 1)\) und \(M(9 \mid 9)\) wird durch die Mittelwerte der Koordinaten bestimmt. \(x_Z = (1 + 9) : 2 = 5\) und \(y_Z = (1 + 9) : 2 = 5\). Somit ist \(Z(5 \mid 5)\). 2. Die \(x\)-Koordinate von \(W\) ist die Mitte von \(1\) und \(9\), also \((1 + 9) : 2 = 5\). Die \(y\)-Koordinate von \(W\) ist das Doppelte der \(y\)-Koordinate von \(M\), also \(9 \cdot 2 = 18\). Somit ist \(W(5 \mid 18)\).

a) \(Z(5 \mid 5)\) b) \(W(5 \mid 18)\)

- Überleg dir, welcher Wert sich ändert, wenn du einen Punkt von oben nach unten über die waagerechte Achse klappst. - Was passiert mit der \(x\)-Koordinate und der \(y\)-Koordinate, wenn man an der senkrechten Achse spiegelt? - Bearbeite die Spiegelungen nacheinander und nutze das Ergebnis des ersten Schritts für den zweiten.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Aus \(A(35 \mid 42)\) wird somit \(A'(35 \mid -42)\). 2. Bei einer anschließenden Spiegelung an der \(y\)-Achse bleibt die \(y\)-Koordinate gleich, während die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Aus \(A'(35 \mid -42)\) wird somit \(A''(-35 \mid -42)\).

\(A'(35 \mid -42)\) und \(A''(-35 \mid -42)\)

- Kannst du die Spiegelung einfach rückgängig machen? - Was passiert mit einem Punkt, wenn man ihn zweimal hintereinander an derselben Achse spiegelt? - Welche Koordinate ändert sich bei einer Spiegelung an der senkrechten Achse?

1. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse verändert das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate, während die \(y\)-Koordinate unverändert bleibt. 2. Da der Bildpunkt \(Q'\) die \(x\)-Koordinate \(-22\) hat, muss der ursprüngliche Punkt \(Q\) die \(x\)-Koordinate \(+22\) gehabt haben. 3. Die \(y\)-Koordinate bleibt \(14\). Somit lauten die Koordinaten \(Q(22 \mid 14)\).

\(Q(22 \mid 14)\)

- Schau dir an, welche der beiden Koordinatenzahlen bei \(R\) und \(S\) identisch ist. - Was bedeutet eine feste \(x\)-Koordinate für den Verlauf einer Geraden? - Wie berechnet man den Wert, der genau zwischen zwei Zahlen liegt?

1. Vergleich der Koordinaten: Beide Punkte \(R(7 \mid 12)\) und \(S(7 \mid 40)\) haben die gleiche \(x\)-Koordinate (\(7\)). 2. Begründung: Wenn die \(x\)-Koordinate für verschiedene y-Werte gleich bleibt, liegen die Punkte auf einer senkrechten Linie. Eine solche Linie verläuft parallel zur \(y\)-Achse. 3. Berechnung der mittleren \(y\)-Koordinate: Der Mittelwert von \(12\) und \(40\) wird berechnet durch \((12 + 40) : 2 = 52 : 2 = 26\). 4. Da der Punkt \(T\) auf \(g\) liegen muss, übernimmt er die \(x\)-Koordinate \(7\). Somit ergibt sich \(T(7 \mid 26)\).

a) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse, da alle Punkte auf ihr die gleiche \(x\)-Koordinate (\(7\)) besitzen. b) Der Punkt ist \(T(7 \mid 26)\).

- Der Äquator ist die Linie bei \(0^\circ\) Breite. - Je größer die Zahl bei „S“ (Süden) ist, desto weiter südlich liegt der Ort. - „O“ steht für Osten. Je größer diese Zahl, desto weiter östlich ist man. - Der Nullmeridian ist die Linie bei \(0^\circ\) Länge.

1. Äquator bestimmen: Suche in der Spalte „Breite“ nach dem Wert \(0^\circ\). Das trifft auf Quito zu. 2. Südlichste Lage: Vergleiche die Breitengrade mit dem Zusatz „S“. Melbourne liegt mit \(38^\circ\,\text{S}\) am weitesten südlich. 3. Östlichste Lage: Vergleiche die Längengrade mit dem Zusatz „O“. Kairo hat \(31^\circ\,\text{O}\), Melbourne \(145^\circ\,\text{O}\). Daher liegt Melbourne am weitesten östlich. 4. Nullmeridian bestimmen: Suche in der Spalte „Länge“ nach dem Wert \(0^\circ\). Das trifft auf London zu.

a) Quito liegt auf dem Äquator. b) Melbourne liegt am weitesten südlich. c) Melbourne liegt am weitesten östlich. d) London liegt auf dem Nullmeridian.

- Stelle dir vor, du startest am Südpol, gehst zum Äquator und dann weiter zum Nordpol. Wie viele Grad legst du insgesamt zurück? - Welchen Wert hat der Nordpol im Gradnetz? - Je größer die Zahl bei der nördlichen Breite ist, desto weiter ist man vom Äquator entfernt. Was bedeutet das für die Nähe zum Pol?

1. Der Nordpol liegt bei \(90^\circ\) nördlicher Breite, der Südpol bei \(90^\circ\) südlicher Breite. Der Abstand vom Äquator (\(0^\circ\)) beträgt jeweils \(90^\circ\). Die Summe der Breitengrade zwischen den Polen ist \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). 2. Der Nordpol hat den Wert \(90^\circ\) Nord. Um die Entfernung zum Pol zu bestimmen, vergleicht man die Differenz: Für Station \(A\) gilt \(90^\circ - 80^\circ = 10^\circ\) Abstand. Für Station \(B\) gilt \(90^\circ - 10^\circ = 80^\circ\) Abstand. Station \(A\) ist näher am Nordpol.

a) \(180^\circ\) b) Station \(A\) ist näher am Nordpol, da \(80^\circ\) näher an der Breite des Nordpols (\(90^\circ\)) liegt als \(10^\circ\).

- Wie berechnest du den Unterschied zwischen zwei Werten auf einer Skala? - Überlege dir, wie viele Schritte (Grad) es von \(51\) bis zur \(0\) und von \(51\) bis zur \(90\) sind. - Welche der beiden berechneten Entfernungen ist kleiner?

1. Berechnung des Abstands zum Äquator: \(51^\circ - 0^\circ = 51^\circ\). 2. Berechnung des Abstands zum Nordpol: \(90^\circ - 51^\circ = 39^\circ\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(39^\circ < 51^\circ\). 4. Ergebnis: Köln liegt näher am Nordpol.

Köln liegt näher am Nordpol. Der Abstand zum Nordpol beträgt nur \(39^\circ\) (\(90^\circ - 51^\circ = 39^\circ\)), während der Abstand zum Äquator \(51^\circ\) beträgt (\(51^\circ - 0^\circ = 51^\circ\)).

- Berechne zuerst für jede Station einzeln den Unterschied zum Wert \(45^\circ\). - Vergleiche danach die beiden berechneten Differenzen. - Was bedeutet „weiter entfernt“ für die Größe der berechneten Zahlen?

1. Bestimmung der Mitte: \(90^\circ : 2 = 45^\circ\). 2. Abstand von Station Alpha zur Mitte: \(45^\circ - 20^\circ = 25^\circ\). 3. Abstand von Station Beta zur Mitte: \(75^\circ - 45^\circ = 30^\circ\). 4. Vergleich: \(30^\circ > 25^\circ\). 5. Ergebnis: Station Beta ist weiter von der Mitte entfernt.

Station Beta ist weiter von der Mitte entfernt. Der Abstand von Station Alpha zur Mitte beträgt \(25^\circ\), während der Abstand von Station Beta zur Mitte \(30^\circ\) beträgt. Da \(30^\circ > 25^\circ\), ist Station Beta weiter weg.

- Achte darauf, dass dein Koordinatensystem auch Platz für negative Zahlen auf beiden Achsen bietet. - Wo genau liegen Punkte, deren Koordinaten ein Minuszeichen haben? - Zeichne die Gerade besonders sorgfältig, da die Abstände hier größer sein können. - Kannst du ein Muster in den Koordinatenschritten erkennen, wenn du von \(B\) zu \(A\) gehst?

1. Zeichnen eines Koordinatensystems mit vier Quadranten und Eintragen der Punkte \(A(1 \mid -1)\) und \(B(-1 \mid 3)\). Verbinden der Punkte zur Geraden \(k\). 2. Bestimmung von \(M\): Der Schnittpunkt der Geraden mit der \(y\)-Achse (wo \(x = 0\) ist) liegt bei \(y = 1\). Damit ist \(M(0 \mid 1)\). 3. Bestimmung von \(N\): Wenn man die Gerade weiter nach links oben verfolgt, findet man bei der Höhe \(y = 5\) den \(x\)-Wert \(-2\). Damit ist \(N(-2 \mid 5)\).

\(M(0 \mid 1)\) und \(N(-2 \mid 5)\)

- Vergleiche die Koordinaten von \(A\) und \(B\). Was fällt dir auf? - Welche Eigenschaften haben gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm bezüglich ihrer Länge und Richtung? - Wenn du weißt, wie lang die untere Seite ist, wie kannst du dieses Wissen nutzen, um von Punkt \(D\) aus zum Punkt \(C\) zu gelangen?

1. Die Punkte \(A\) und \(B\) haben die gleiche \(y\)-Koordinate (\(y=2\)). Die Länge der horizontalen Seite \(AB\) ist die Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(8 - 1 = 7\,\text{Einheiten}\). 2. In einem Parallelogramm ist die gegenüberliegende Seite \(DC\) parallel zu \(AB\) und gleich lang. Da \(AB\) horizontal verläuft, muss auch \(DC\) horizontal verlaufen. 3. Der Punkt \(C\) muss also dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(D\) haben (\(y=6\)). 4. Um die Koordinaten von \(C\) zu finden, addiert man die Länge der Seite \(AB\) zur \(x\)-Koordinate von \(D\): \(3 + 7 = 10\). Somit ist \(C(10 \mid 6)\).

a) Die Länge der Seite \(AB\) beträgt \(7\,\text{Einheiten}\). b) \(C(10 \mid 6)\). Da die Seite \(DC\) parallel zu \(AB\) ist und dieselbe Länge (\(7\,\text{Einheiten}\)) hat, addiert man die Länge zur \(x\)-Koordinate von \(D\).

- Welcher Teil der Koordinate gibt an, wie weit oben ein Punkt liegt? - Was bedeutet es für die Koordinaten zweier Punkte, wenn sie genau übereinander stehen? - Wenn du dich nach rechts bewegst, verändert sich nur der erste Wert der Koordinate. - Wenn du dich nach unten bewegst, wird der zweite Wert der Koordinate kleiner.

1. Vergleich der \(y\)-Werte: Die Höhe wird durch die \(y\)-Koordinate angegeben. Da \(7 > 4{,}5\) und \(7 > 1{,}2\), liegt Punkt \(B\) am höchsten. 2. Senkrechte Gerade: Punkte auf einer senkrechten Geraden haben dieselbe \(x\)-Koordinate. Da \(A\) und \(C\) beide den \(x\)-Wert \(3{,}2\) haben, liegen sie auf einer gemeinsamen senkrechten Geraden. 3. Verschiebung von \(B(1{,}5 \mid 7)\): Eine Verschiebung nach rechts addiert sich zum \(x\)-Wert: \(1{,}5 + 1{,}7 = 3{,}2\). Eine Verschiebung nach unten subtrahiert sich vom \(y\)-Wert: \(7 - 2{,}5 = 4{,}5\). Der neue Punkt ist \(B'(3{,}2 \mid 4{,}5)\). Dies entspricht genau dem Punkt \(A\).

a) Punkt \(B\), da sein \(y\)-Wert mit \(7\) am größten ist. b) Die Punkte \(A\) und \(C\) (beide haben den \(x\)-Wert \(3{,}2\)). c) \(B'(3{,}2 \mid 4{,}5)\). Dies ist die Position von Punkt \(A\).

- Skizziere die Punkte zuerst in einem Koordinatensystem, um dir die Lage des Rechtecks besser vorstellen zu können. - Überlege dir, welche Koordinaten ein Punkt haben muss, damit die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks parallel und gleich lang sind. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man die Länge und die Breite kennt? - Der Mittelpunkt liegt genau zwischen den gegenüberliegenden Ecken.

1. Bestimmung von \(S\): Da \(PQ\) horizontal verläuft und \(QR\) vertikal, muss \(S\) den \(x\)-Wert von \(P\) (\(1\)) und den \(y\)-Wert von \(R\) (\(5\)) haben. Somit ist \(S(1 \mid 5)\). 2. Berechnung des Umfangs: Die Länge \(PQ\) beträgt \(9 - 1 = 8\,\text{cm}\). Die Breite \(QR\) beträgt \(5 - 1 = 4\,\text{cm}\). Der Umfang ist \(2 \cdot (8\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) = 24\,\text{cm}\). 3. Bestimmung des Mittelpunkts \(M\): Der Mittelpunkt liegt in der Mitte der Strecke \(PR\) oder \(QS\). \(x\)-Koordinate: \((1 + 9) : 2 = 5\). \(y\)-Koordinate: \((1 + 5) : 2 = 3\). Der Mittelpunkt ist \(M(5 \mid 3)\).

1. Der vierte Punkt ist \(S(1 \mid 5)\). 2. Der Umfang beträgt \(24\,\text{cm}\). 3. Der Mittelpunkt des Rechtecks liegt bei \(M(5 \mid 3)\).

- Was zeichnet ein Quadrat im Vergleich zu einem allgemeinen Rechteck aus? - Wenn du einen Punkt nach oben oder unten verschiebst, welcher Teil der Koordinate ändert sich dann? - Versuche erst den Punkt \(A\) zu verschieben und schaue, was mit den anderen Punkten passieren muss, damit die Form gleich bleibt.

1. Berechnung der Seitenlängen: Die waagerechten Seiten \(AB\) und \(DC\) haben eine Länge von \(6 - 2 = 4\) Einheiten. Die senkrechten Seiten \(BC\) und \(AD\) haben eine Länge von \(6 - 2 = 4\) Einheiten. Da alle Seiten gleich lang sind und rechtwinklig aufeinanderstehen, handelt es sich um ein Quadrat. 2. Bei einer Verschiebung nach oben ändert sich nur der \(y\)-Wert. Für Punkt \(A(2 \mid 2)\) ergibt sich nach einer Verschiebung um \(3\) Einheiten: \(2 + 3 = 5\). Der neue Punkt ist \(A'(2 \mid 5)\). 3. Für das gesamte Viereck bedeutet eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben, dass zu jedem \(y\)-Wert der Punkte \(3\) addiert wird. Die neuen Koordinaten lauten: \(A'(2 \mid 5)\), \(B'(6 \mid 5)\), \(C'(6 \mid 9)\) und \(D'(2 \mid 9)\).

a) Quadrat, da alle Seiten \(4\,\text{Einheiten}\) lang sind und die Winkel \(90^\circ\) betragen. b) \(A'(2 \mid 5)\) c) Bei allen Punkten wird die \(y\)-Koordinate um \(3\) erhöht. Die neuen Punkte sind \(A'(2 \mid 5), B'(6 \mid 5), C'(6 \mid 9), D'(2 \mid 9)\).

- Lies zuerst die x-Koordinate und dann die y-Koordinate jedes Punktes auf den Achsen ab. - Überlege, welche Eigenschaften ein Rechteck bezüglich seiner gegenüberliegenden Seiten hat. Wo muss der Punkt \(D\) liegen, damit die Seiten parallel und gleich lang sind? - Bestimme die Länge der beiden bereits gezeichneten Seiten, indem du die Einheiten auf den Achsen zählst. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man seine Länge und Breite kennt?

1. Ablesen der Koordinaten der gegebenen Punkte aus dem Koordinatensystem: - Der Punkt \(A\) liegt bei \(x = -2\) und \(y = -3\), also \(A(-2 \mid -3)\). - Der Punkt \(B\) liegt bei \(x = 4\) und \(y = -3\), also \(B(4 \mid -3)\). - Der Punkt \(C\) liegt bei \(x = 4\) und \(y = 1\), also \(C(4 \mid 1)\). 2. Bestimmung der Koordinaten des Punktes \(D\): - Damit die Figur ein Rechteck wird, muss die Seite \(AD\) senkrecht auf \(AB\) stehen und die Seite \(CD\) senkrecht auf \(BC\). - Der Punkt \(D\) muss folglich dieselbe x-Koordinate wie \(A\) (\(-2\)) und dieselbe y-Koordinate wie \(C\) (\(1\)) haben. - Dies ergibt die Koordinaten \(D(-2 \mid 1)\). 3. Berechnung des Umfangs: - Die Breite des Rechtecks (Abstand von \(A\) nach \(B\)) beträgt \(4 - (-2) = 6\,\text{cm}\). - Die Höhe des Rechtecks (Abstand von \(B\) nach \(C\)) beträgt \(1 - (-3) = 4\,\text{cm}\). - Der Umfang beträgt \(U = 2 \cdot (6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) = 20\,\text{cm}\).

a) \(A(-2 \mid -3)\), \(B(4 \mid -3)\), \(C(4 \mid 1)\) b) \(D(-2 \mid 1)\) c) \(20\,\text{cm}\)

- Beachte beim Multiplizieren die Vorzeichenregeln. - Vergleiche die Abstände der ursprünglichen und der neuen Punkte vom Ursprung. - Überlege, welche Wirkung ein negativer Streckfaktor auf die Lage der Figur hat.

1. Multipliziere jede Koordinate mit \(-2\): \(A'(4 \mid 2)\), \(B'(-2 \mid 2)\), \(C'(-2 \mid -2)\) und \(D'(4 \mid -2)\). 2. Der Betrag des Faktors ist \(2\). Daher verdoppeln sich alle Seitenlängen: Aus den Seitenlängen \(3\) und \(2\) werden \(6\) und \(4\). 3. Der Flächeninhalt wird mit \(2^2 = 4\) multipliziert und vervierfacht sich. 4. Wegen des negativen Faktors wird das Rechteck zusätzlich am Ursprung \(O(0 \mid 0)\) punktgespiegelt.

a) \(A'(4 \mid 2)\), \(B'(-2 \mid 2)\), \(C'(-2 \mid -2)\), \(D'(4 \mid -2)\) b) Die Seitenlängen verdoppeln sich, der Flächeninhalt vervierfacht sich und das Rechteck wird am Ursprung \(O(0 \mid 0)\) punktgespiegelt.

- Wie weit muss man senkrecht nach oben oder unten gehen, um von einem Punkt zur x-Achse zu gelangen? - Welcher Teil des Koordinatenpaares gibt die „Höhe“ oder „Tiefe“ eines Punktes an? - Achte darauf, dass ein Abstand immer eine positive Zahl ist, auch wenn der Punkt im negativen Bereich liegt.

1. Koordinaten ablesen: \(P(5 \mid 1)\), \(Q(-4 \mid -3)\), \(R(1 \mid 4)\), \(S(-3 \mid 1)\), \(T(0 \mid -4)\). 2. Abstand zur x-Achse bestimmen: Dies entspricht dem Betrag des y-Wertes. - \(P\): \(1\) - \(Q\): \(3\) - \(R\): \(4\) - \(S\): \(1\) - \(T\): \(4\) 3. Ergebnis: Die Punkte \(R\) und \(T\) haben mit einem Abstand von \(4\) Einheiten den größten Abstand zur x-Achse.

Die Koordinaten sind \(P(5 \mid 1)\), \(Q(-4 \mid -3)\), \(R(1 \mid 4)\), \(S(-3 \mid 1)\) und \(T(0 \mid -4)\). Die Punkte \(R\) und \(T\) liegen mit \(4\) Längeneinheiten am weitesten von der x-Achse entfernt.

- Verfolge die nummerierten Punkte in der angegebenen Reihenfolge gedanklich. - Lies bei den gesuchten Punkten zuerst die x-Koordinate und danach die y-Koordinate ab. - Achte auf die äußeren Spitzen der entstehenden Form.

1. Lies die geforderten Koordinaten ab: Punkt \(3\) liegt bei \((4 \mid 2)\), Punkt \(6\) bei \((0 \mid -1)\) und Punkt \(9\) bei \((-4 \mid 2)\). 2. Verfolge die angegebene Punktfolge gedanklich. Die entstehende geschlossene Linie bildet einen fünfzackigen Stern.

Das Symbol ist ein fünfzackiger Stern; Punkt \(3\) liegt bei \((4 \mid 2)\), Punkt \(6\) bei \((0 \mid -1)\) und Punkt \(9\) bei \((-4 \mid 2)\).

- Vergleiche die Verschiebung von \(B\) nach \(A\) auf beiden Achsen. - Gegenüberliegende Seiten eines Quadrats sind parallel und gleich lang. - Übertrage dieselbe Verschiebung rechnerisch auf den Punkt \(C\).

1. Die Verschiebung von \(B(8 \mid 3)\) zu \(A(3 \mid 2)\) beträgt \(5\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten. 2. Bei einem Quadrat sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Wende daher dieselbe Verschiebung auf \(C(7 \mid 8)\) an. 3. Es gilt \(x_D = 7 - 5 = 2\) und \(y_D = 8 - 1 = 7\). 4. Der fehlende Eckpunkt ist \(D(2 \mid 7)\).

Der vierte Eckpunkt des Quadrats hat die Koordinaten \(D(2 \mid 7)\).

- Ein Parallelogramm hat zwei Paare paralleler und gleich langer Seiten. - Schau dir an, wie du von Punkt E zu Punkt F kommst. Wie viele Schritte gehst du nach rechts und wie viele nach oben? - Kannst du dieses Muster auf den Punkt H anwenden, um zu G zu kommen? - Was passiert, wenn du stattdessen den Weg von E nach H nimmst und ihn bei F anwendest? Kommst du zum selben Ergebnis?

1. Die Koordinaten der drei gegebenen Pfosten sind \(E(1 \mid 1)\), \(F(6 \mid 2)\) und \(H(2 \mid 5)\). 2. In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten \(EF\) und \(HG\) parallel und gleich lang. 3. Um von \(E\) nach \(F\) zu gelangen, geht man 5 Einheiten nach rechts (\(6 - 1 = 5\)) und 1 Einheit nach oben (\(2 - 1 = 1\)). 4. Um den Punkt \(G\) zu finden, muss man von Punkt \(H\) aus denselben Weg gehen: 5 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben. 5. Berechnung der Koordinaten von \(G\): \(x = 2 + 5 = 7\) und \(y = 5 + 1 = 6\). 6. Der Pfosten \(G\) muss an den Koordinaten \((7 \mid 6)\) aufgestellt werden.

Der vierte Pfosten \(G\) muss an den Koordinaten \((7 \mid 6)\) gesetzt werden.

- Nutze bei einem Parallelogramm die gleiche Verschiebung für gegenüberliegende Seiten. - Ein Mittelpunkt erhält jeweils den Mittelwert der x-Koordinaten und der y-Koordinaten seiner Endpunkte. - Kontrolliere rechnerisch, ob \(P\) und \(Q\) jeweils genau zwischen ihren Endpunkten liegen.

1. Die Verschiebung von \(B(8 \mid 1)\) nach \(C(10 \mid 5)\) ist \((10 - 8 \mid 5 - 1) = (2 \mid 4)\). Wende sie auf \(A(2 \mid 1)\) an: \(D(2 + 2 \mid 1 + 4) = D(4 \mid 5)\). 2. Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(P\left(\frac{2 + 8}{2} \middle| \frac{1 + 1}{2}\right) = P(5 \mid 1)\). 3. Der Mittelpunkt von \(PC\) ist \(Q\left(\frac{5 + 10}{2} \middle| \frac{1 + 5}{2}\right) = Q(7{,}5 \mid 3)\).

a) \(D(4 \mid 5)\) b) \(P(5 \mid 1)\) c) \(Q(7{,}5 \mid 3)\)

- Die Diagonalen einer Raute halbieren sich gegenseitig. - Berechne jeweils die halbe Diagonallänge und ordne die Endpunkte den positiven und negativen Achsenrichtungen zu.

1. Die Diagonalen einer Raute halbieren sich im Mittelpunkt \(M\). 2. Die halbe waagerechte Diagonale ist \(12 : 2 = 6\). Daher liegen ihre Endpunkte bei \((-6 \mid 0)\) und \((6 \mid 0)\). 3. Die halbe senkrechte Diagonale ist \(10 : 2 = 5\). Daher liegen ihre Endpunkte bei \((0 \mid 5)\) und \((0 \mid -5)\). 4. Beginnend links und im Uhrzeigersinn gilt \(A(-6 \mid 0)\), \(B(0 \mid 5)\), \(C(6 \mid 0)\) und \(D(0 \mid -5)\).

Die Eckpunkte sind \(A(-6 \mid 0)\), \(B(0 \mid 5)\), \(C(6 \mid 0)\) und \(D(0 \mid -5)\).

- Betrachte die rechte Begrenzungsseite \(BC\). - Untersuche, wie sich die x-Koordinate entlang dieser Seite verändert. - Vergleiche bei gleicher y-Koordinate die Lage von \(Q\) mit der Seite \(BC\).

1. Die rechte Begrenzung des Vierecks ist die Strecke \(BC\). 2. Von \(B(8 \mid 1)\) nach \(C(7 \mid 5)\) nimmt die x-Koordinate bei einer Zunahme der y-Koordinate um \(4\) um \(1\) ab. 3. Bei \(y=3\) liegt der Punkt der Strecke \(BC\) daher bei \(x=7{,}5\). 4. Der Punkt \(Q\) hat bei derselben y-Koordinate den Wert \(x=8\) und liegt damit rechts von \(BC\). 5. Daher liegt \(Q\) außerhalb des Vierecks.

Der Punkt \(Q\) liegt außerhalb des Vierecks.

- Verwende für jede Strecke die Mittelpunktformel. - Bilde jeweils den Mittelwert der beiden x-Koordinaten und den Mittelwert der beiden y-Koordinaten. - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Mittelpunkte.

1. Mit der Mittelpunktformel \(M=\left(\frac{x_1+x_2}{2} \mid \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) erhält man \(P=\left(\frac{0+2}{2} \mid \frac{0+6}{2}\right)=(1 \mid 3)\) und \(Q=\left(\frac{8+10}{2} \mid \frac{6+0}{2}\right)=(9 \mid 3)\). 2. Entsprechend gilt \(M_1=\left(\frac{0+10}{2} \mid \frac{0+0}{2}\right)=(5 \mid 0)\) und \(M_2=\left(\frac{2+8}{2} \mid \frac{6+6}{2}\right)=(5 \mid 6)\). 3. Der Mittelpunkt von \(PQ\) ist \(\left(\frac{1+9}{2} \mid \frac{3+3}{2}\right)=(5 \mid 3)\). Der Mittelpunkt von \(M_1M_2\) ist \(\left(\frac{5+5}{2} \mid \frac{0+6}{2}\right)=(5 \mid 3)\). Beide Mittelpunkte fallen somit zusammen.

1. \(P(1 \mid 3)\) und \(Q(9 \mid 3)\) 2. \(M_1(5 \mid 0)\) und \(M_2(5 \mid 6)\) 3. Beide Strecken haben den Mittelpunkt \((5 \mid 3)\).

- Wenn eine Strecke parallel zur \(y\)-Achse verläuft, was bedeutet das für die \(x\)-Koordinaten der Endpunkte? - Wie verändern sich die \(y\)-Koordinaten, wenn du eine Strecke einer bestimmten Länge senkrecht nach oben oder unten abträgst? - Gibt es nur eine Richtung, in die man die fehlenden Seiten zeichnen kann?

1. Da \(PS\) parallel zur \(y\)-Achse verläuft, bleibt die \(x\)-Koordinate von \(S\) gleich der von \(P\) (\(x_S = 3\)). Da \(QR\) parallel zur \(y\)-Achse verläuft, bleibt die \(x\)-Koordinate von \(R\) gleich der von \(Q\) (\(x_R = 10\)). 2. Möglichkeit 1 (Verschiebung nach oben): Die \(y\)-Koordinate wird um 4 erhöht. \(S_1(3 \mid 5+4) = (3 \mid 9)\) und \(R_1(10 \mid 8+4) = (10 \mid 12)\). 3. Möglichkeit 2 (Verschiebung nach unten): Die \(y\)-Koordinate wird um 4 verringert. \(S_2(3 \mid 5-4) = (3 \mid 1)\) und \(R_2(10 \mid 8-4) = (10 \mid 4)\).

Lösung 1: \(R(10 \mid 12)\) und \(S(3 \mid 9)\) Lösung 2: \(R(10 \mid 4)\) und \(S(3 \mid 1)\)

- Überlege, ob \(AB\) eine Seite oder eine Diagonale des Quadrats sein kann. - Zu einer gegebenen Seitenstrecke gibt es zwei mögliche senkrechte Richtungen. - Prüfe die Koordinaten rechnerisch anhand gleich langer und senkrechter Seitenvektoren.

1. Die Strecke \(AB\) kann eine Seite des Quadrats sein. Dafür gibt es auf den beiden Seiten der Strecke jeweils eine Lage. 2. Die Strecke \(AB\) kann außerdem eine Diagonale des Quadrats sein. Dafür gibt es eine weitere Lage. 3. Insgesamt gibt es somit \(3\) verschiedene Quadrate. 4. Für ein Beispiel mit \(AB\) als Seite ist die Verschiebung von \(A\) nach \(B\) gleich \((3 \mid 1)\). Eine senkrechte Verschiebung gleicher Länge ist \((-1 \mid 3)\). Damit ergeben sich die weiteren Eckpunkte \(D(1 \mid 5)\) und \(C(4 \mid 6)\).

a) Es gibt \(3\) verschiedene Quadrate. b) Eine mögliche Lösung ist \(C(4 \mid 6)\) und \(D(1 \mid 5)\).

- Bei jedem möglichen Parallelogramm ist ein anderer gegebener Punkt der gemeinsame Eckpunkt zweier Seiten. - Übertrage jeweils die Verschiebung einer Seite auf den gegenüberliegenden Punkt. - Es gibt insgesamt drei verschiedene Ergänzungen.

1. Lies die Koordinaten ab: \(A(3 \mid 3)\), \(B(7 \mid 4)\) und \(C(4 \mid 7)\). 2. Ergänze die drei möglichen Parallelogramme, indem jeweils einer der gegebenen Punkte der gemeinsame Eckpunkt zweier Seiten ist. 3. Es gilt \(D_1 = A + C - B = (3 + 4 - 7 \mid 3 + 7 - 4) = (0 \mid 6)\). 4. Es gilt \(D_2 = B + C - A = (7 + 4 - 3 \mid 4 + 7 - 3) = (8 \mid 8)\). 5. Es gilt \(D_3 = A + B - C = (3 + 7 - 4 \mid 3 + 4 - 7) = (6 \mid 0)\).

Die drei möglichen Punkte für \(D\) haben die Koordinaten \((0 \mid 6)\), \((8 \mid 8)\) und \((6 \mid 0)\).