Aimathic – Koordinatensystem – Kostenlose Arbeitsblätter

Koordinatensystem

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Schwierigkeit: 1 – 5

4190955

Ein Schiff befindet sich an einer ganz besonderen Stelle auf dem Meer: Es liegt genau an dem Punkt, an dem der Äquator den Nullmeridian kreuzt. Gib die geographische Breite und die geographische Länge für diesen Standort an.

Denkanstöße

- Überlege, welcher Zahlenwert den Linien zugeordnet wird, die als Startpunkt für die Messung dienen. - Was weißt du über die Lage des Äquators im Gradnetz? - Was bedeutet das Wort „Null“ im Namen des Meridians für seinen Wert?

Lösung

1. Der Äquator ist der Bezugskreis für die Breite und wird als \(0^\circ\) definiert. 2. Der Nullmeridian ist der Bezugshalbkreis für die Länge und wird ebenfalls als \(0^\circ\) definiert. 3. Der Schnittpunkt hat somit die Koordinaten \(0^\circ\) Breite und \(0^\circ\) Länge.

Antwort

Geographische Breite: \(0^\circ\) Geographische Länge: \(0^\circ\)

4172225

Gegeben sind die Punkte \(A(2|2)\), \(B(10|2)\) und \(C(10|8)\). a) Bestimme die Koordinaten eines Punktes \(D\) so, dass die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) in dieser Reihenfolge ein Rechteck bilden. b) Der Punkt \(M\) liegt genau in der Mitte zwischen den Punkten \(A\) und \(B\). Gib die Koordinaten von \(M\) an.

Denkanstöße

- Welche Eigenschaften haben die Seiten eines Rechtecks bezüglich ihrer Lage im Koordinatensystem? - Wie kannst du den Punkt finden, der auf halber Strecke zwischen zwei Werten liegt? - Schau dir an, welche Koordinaten bei Punkten, die senkrecht oder waagerecht übereinanderliegen, gleich sind.

Lösung

1. Für ein Rechteck \(ABCD\) muss die \(x\)-Koordinate von \(D\) mit der von \(A\) übereinstimmen (\(x_D = 2\)) und die \(y\)-Koordinate mit der von \(C\) (\(y_D = 8\)). Somit ist \(D(2|8)\). 2. Die Mitte zwischen \(A(2|2)\) und \(B(10|2)\) wird berechnet, indem man den Mittelwert der \(x\)-Koordinaten bestimmt: \((2 + 10) : 2 = 6\). Da beide Punkte die \(y\)-Koordinate \(2\) haben, bleibt diese gleich. Somit ist \(M(6|2)\).

Antwort

a) \(D(2|8)\) b) \(M(6|2)\)

4174285

Gegeben sind drei Paare von Punkten, wobei der zweite Punkt jeweils durch die Spiegelung des ersten Punktes an einer der Koordinatenachsen entstanden ist. Gib für jedes Paar an, ob an der \(x\)-Achse oder an der \(y\)-Achse gespiegelt wurde. a) \(P(12 | 5) \rightarrow P'(12 | -5)\) b) \(Q(-8 | 20) \rightarrow Q'(8 | 20)\) c) \(R(-15 | -3) \rightarrow R'(-15 | 3)\)

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen in den Klammern: Welcher Wert ist gleich geblieben? - Wenn sich nur die zweite Zahl (der Hochwert) ändert, in welche Richtung wurde der Punkt dann bewegt? - Welche Achse liegt genau in der Mitte zwischen dem ursprünglichen Punkt und seinem Bild?

Lösung

1. Bei Punkt \(P\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(12\) gleich, nur die \(y\)-Koordinate wechselt von \(5\) zu \(-5\). Dies entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 2. Bei Punkt \(Q\) bleibt die \(y\)-Koordinate \(20\) gleich, während die \(x\)-Koordinate von \(-8\) zu \(8\) wechselt. Dies ist eine Spiegelung an der \(y\)-Achse. 3. Bei Punkt \(R\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(-15\) gleich und die \(y\)-Koordinate wechselt von \(-3\) zu \(3\). Es wurde also an der \(x\)-Achse gespiegelt.

Antwort

a) \(x\)-Achse, b) \(y\)-Achse, c) \(x\)-Achse

4187305

Der Punkt \(A(15|22)\) liegt auf einer Geraden, die parallel zur x-Achse verläuft. Gib die Koordinaten von drei verschiedenen Punkten an, die ebenfalls auf dieser Geraden liegen.

Denkanstöße

- Was haben alle Punkte gemeinsam, die auf einer waagerechten Linie im Koordinatensystem liegen? - Überlege, welche der beiden Koordinaten sich ändert, wenn du dich parallel zur x-Achse bewegst. - Wähle drei beliebige Zahlen für die erste Stelle des Zahlenpaares aus.

Lösung

1. Eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft, zeichnet sich dadurch aus, dass alle ihre Punkte dieselbe y-Koordinate besitzen. 2. Da der gegebene Punkt \(A(15|22)\) die y-Koordinate \(22\) hat, müssen auch alle anderen Punkte auf dieser Parallelen die y-Koordinate \(22\) haben. 3. Um drei weitere Punkte zu finden, wählt man beliebige x-Koordinaten (ungleich \(15\)), während die y-Koordinate fest auf \(22\) bleibt. Mögliche Beispiele sind \(x=0\), \(x=10\) und \(x=30\).

Antwort

Drei mögliche Punkte sind zum Beispiel \((0|22)\), \((10|22)\) und \((30|22)\). Jede Punktangabe der Form \((x|22)\) mit \(x \neq 15\) ist korrekt.

4190745

Auf einer Schatzkarte sind verschiedene Orte in ein Koordinatensystem eingetragen. Die erste Zahl gibt den Rechtswert an, die zweite Zahl den Hochwert. Die Orte haben folgende Koordinaten: - Alte Eiche \(E(2|3)\) - Felsenhöhle \(H(7|1)\) - Piratenlager \(L(5|6)\) a) Ein Abenteurer startet bei der Alten Eiche \(E\). Er geht \(4\) Einheiten nach rechts und dann \(2\) Einheiten nach oben. Bei welchen Koordinaten kommt er an? b) Ein vergrabener Schatz \(S\) liegt genau \(3\) Einheiten links von der Felsenhöhle \(H\) und \(4\) Einheiten über ihr. Bestimme die Koordinaten des Schatzes \(S\).

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Koordinate sich ändert, wenn du dich nach rechts oder links bewegst. - Was passiert mit dem Hochwert, wenn du dich nach oben oder unten bewegst? - Stell dir das Gitter eines Koordinatensystems vor oder skizziere es kurz auf Karopapier.

Lösung

1. Berechnung für Aufgabenteil a: Der Startpunkt ist \(E(2|3)\). Der Rechtswert erhöht sich um \(4\) (\(2 + 4 = 6\)) und der Hochwert erhöht sich um \(2\) (\(3 + 2 = 5\)). Der Zielpunkt hat die Koordinaten \((6|5)\). 2. Berechnung für Aufgabenteil b: Der Ausgangspunkt ist \(H(7|1)\). „Links“ bedeutet eine Verringerung des Rechtswerts um \(3\) (\(7 - 3 = 4\)). „Über“ bedeutet eine Erhöhung des Hochwerts um \(4\) (\(1 + 4 = 5\)). Der Schatz \(S\) liegt bei \((4|5)\).

Antwort

a) Der Punkt liegt bei \((6|5)\). b) Der Schatz \(S\) hat die Koordinaten \((4|5)\).

4190965

Der Südpol ist der südlichste Punkt unserer Erde. a) Welche geographische Breite hat der Südpol? b) Wenn ein Flugzeug vom Südpol aus genau \(90^\circ\) weit nach Norden fliegt, welche besondere Linie des Gradnetzes erreicht es dann?

Denkanstöße

- Wie weit ist ein Pol vom Äquator in Grad ausgedrückt entfernt? - In welche Richtung verändern sich die Werte der Breitengrade, wenn man sich vom Pol weg bewegt? - Welche Linie liegt genau in der Mitte zwischen Nord- und Südpol?

Lösung

1. Die geographische Breite wird vom Äquator (\(0^\circ\)) aus gemessen. Die Pole markieren die Extremwerte bei \(90^\circ\). Der Südpol liegt bei \(90^\circ\) südlicher Breite. 2. Eine Reise von \(90^\circ\) Süd um genau \(90^\circ\) nach Norden führt zum Wert \(0^\circ\). Die Linie bei \(0^\circ\) Breite ist der Äquator.

Antwort

a) \(90^\circ\) südliche Breite (oder \(-90^\circ\)) b) Den Äquator

4199945

Die Gerade \(g\) ist durch die Punkte \(A(2 \mid 1)\) und \(B(5 \mid 4)\) festgelegt. Ermittle für die Punkte \(P(4 \mid \square)\) und \(Q(\square \mid 5)\) die fehlende Koordinate so, dass beide Punkte auf der Geraden \(g\) liegen.

Denkanstöße

- Hast du schon versucht, die gegebenen Punkte \(A\) und \(B\) in ein Koordinatensystem einzutragen? - Verbinde die Punkte \(A\) und \(B\) mit einem Lineal zu einer langen Linie. - Denke daran, dass die erste Zahl im Klammerpaar den Wert auf der waagerechten Achse (\(x\)-Achse) angibt. - Gehe vom bekannten Wert auf der einen Achse zur Geraden und schaue dann, welcher Wert auf der anderen Achse dort steht.

Lösung

1. Einzeichnen der Punkte \(A(2 \mid 1)\) und \(B(5 \mid 4)\) in ein Koordinatensystem und Zeichnen der Geraden \(g\) durch diese Punkte. 2. Bestimmung der fehlenden Koordinate von \(P\): Suche auf der Geraden den Punkt mit dem \(x\)-Wert \(4\). Der zugehörige \(y\)-Wert ist \(3\). Daraus folgt \(P(4 \mid 3)\). 3. Bestimmung der fehlenden Koordinate von \(Q\): Suche auf der Geraden den Punkt mit dem \(y\)-Wert \(5\). Der zugehörige \(x\)-Wert ist \(6\). Daraus folgt \(Q(6 \mid 5)\).

Antwort

\(P(4 \mid 3)\) und \(Q(6 \mid 5)\)

4200045

Ein Rechteck \(ABCD\) hat die gegenüberliegenden Eckpunkte \(A(2 \mid 1)\) und \(C(9 \mid 6)\). Die Seiten des Rechtecks liegen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems. a) Bestimme ohne Zeichnung die Koordinaten der Eckpunkte \(B\) und \(D\). b) Berechne die Längen der beiden unterschiedlich langen Seiten des Rechtecks.

Denkanstöße

- Was weißt du über die Koordinaten von Punkten, die auf einer senkrechten oder waagerechten Linie liegen? - Überlege dir, welche Koordinaten ein Punkt mit seinem Nachbarpunkt gemeinsam haben muss, wenn die Seite parallel zu einer Achse liegt. - Wie kannst du den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen, wenn sie denselben Rechtswert oder denselben Hochwert haben?

Lösung

1. Da die Seiten parallel zu den Achsen verlaufen, teilen sich benachbarte Punkte jeweils eine Koordinate. Punkt \(B\) hat denselben Rechtswert wie \(C\) und denselben Hochwert wie \(A\). Somit ist \(B(9 \mid 1)\). 2. Punkt \(D\) hat denselben Rechtswert wie \(A\) und denselben Hochwert wie \(C\). Somit ist \(D(2 \mid 6)\). 3. Die Länge der horizontalen Seite berechnet sich aus der Differenz der Rechtswerte: \(9 - 2 = 7\,\text{Einheiten}\). 4. Die Länge der vertikalen Seite berechnet sich aus der Differenz der Hochwerte: \(6 - 1 = 5\,\text{Einheiten}\).

Antwort

a) \(B(9 \mid 1)\) und \(D(2 \mid 6)\) b) Die Seitenlängen betragen \(7\,\text{Einheiten}\) und \(5\,\text{Einheiten}\).

4241535

Ein Quadrat im Koordinatensystem hat die Eckpunkte \(A(2 \mid 1{,}5)\), \(B(5{,}5 \mid 1{,}5)\) und \(C(5{,}5 \mid 5)\). a) Bestimme die Koordinaten des vierten Eckpunkts \(D\), sodass die Punkte im Alphabet umlaufend das Quadrat bilden. b) Wie lang ist eine Seite dieses Quadrats in Gittereinheiten?

Denkanstöße

- Stell dir vor, wie die Punkte im Koordinatensystem liegen. Welche Punkte liegen genau übereinander oder nebeneinander? - Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. - Die erste Zahl einer Koordinate gibt die Position auf der \(x\)-Achse an, die zweite die Position auf der \(y\)-Achse.

Lösung

1. Bestimmung von Punkt \(D\): In einem Quadrat (oder Rechteck) mit achsenparallelen Seiten teilen sich die Eckpunkte jeweils ihre \(x\)- und \(y\)-Koordinaten. Da \(D\) über \(A\) und links von \(C\) liegen muss, übernimmt es die \(x\)-Koordinate von \(A\) (\(2\)) und die \(y\)-Koordinate von \(C\) (\(5\)). Somit ist \(D(2 \mid 5)\). 2. Berechnung der Seitenlänge: Die Differenz der \(x\)-Koordinaten von \(A\) und \(B\) beträgt \(5{,}5 - 2 = 3{,}5\). Die Differenz der \(y\)-Koordinaten von \(B\) und \(C\) beträgt \(5 - 1{,}5 = 3{,}5\). Die Seitenlänge beträgt \(3{,}5\) Gittereinheiten.

Antwort

a) \(D(2 \mid 5)\) b) Die Seitenlänge beträgt \(3{,}5\) Gittereinheiten.

4241555

Gegeben sind die Punkte \(A(2 | 2)\), \(B(8 | 2)\) und \(C(5 | 6)\) in einem Koordinatensystem. 1. Zeichne ein Koordinatensystem und trage die Punkte ein. Verbinde sie zu einem Dreieck \(ABC\). 2. Bestimme die Länge der Seite \(AB\). Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht dabei \(1\,\text{cm}\). 3. Miss die Längen der Seiten \(AC\) und \(BC\). Welche besondere Eigenschaft hat dieses Dreieck?

Denkanstöße

- Achte beim Zeichnen darauf, dass die Abstände zwischen den Zahlen auf den Achsen immer gleich groß sind. - Die erste Zahl einer Koordinate gibt den Wert auf der waagerechten Achse (Rechtswert) an, die zweite Zahl den Wert auf der senkrechten Achse (Hochwert). - Wie nennt man ein Dreieck, bei dem zwei Seiten genau die gleiche Länge haben?

Lösung

1. Zeichne die Punkte \(A(2 | 2)\), \(B(8 | 2)\) und \(C(5 | 6)\) ein und verbinde sie. 2. Da \(A\) und \(B\) denselben \(y\)-Wert haben, ist \(AB = 8 - 2 = 6\,\text{cm}\). 3. Miss die Seiten \(AC\) und \(BC\) mit dem Lineal. Beide sind etwa \(5\,\text{cm}\) lang. Da zwei Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig.

Antwort

1. Zeichnung des Dreiecks mit den Eckpunkten \(A(2 | 2)\), \(B(8 | 2)\) und \(C(5 | 6)\). 2. \(AB = 6\,\text{cm}\). 3. \(AC\) und \(BC\) sind jeweils etwa \(5\,\text{cm}\) lang; das Dreieck ist gleichschenklig.

4172235

Betrachte die Punkte \(P(3|4)\), \(Q(7|10)\) und \(R(11|4)\). a) Bestimme die Koordinaten eines Punktes \(S\), dessen \(x\)-Koordinate genau zwischen den \(x\)-Koordinaten von \(P\) und \(R\) liegt und dessen \(y\)-Koordinate mit der von \(Q\) übereinstimmt. b) Ein Punkt \(T\) hat dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(P\). Seine \(y\)-Koordinate ist um \(3\) Einheiten kleiner als die von \(Q\). Gib die Koordinaten von \(T\) an.

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt „genau zwischen“ zwei anderen Werten liegt? - Wie verändert sich eine Koordinate, wenn man einen Wert um eine bestimmte Anzahl an Einheiten vergrößert oder verkleinert? - Lies die Koordinaten der gegebenen Punkte genau ab, bevor du rechnest.

Lösung

1. Die \(x\)-Koordinate von \(S\) liegt in der Mitte von \(3\) und \(11\): \((3 + 11) : 2 = 7\). Die \(y\)-Koordinate von \(S\) ist gleich der von \(Q\), also \(10\). Somit ergibt sich \(S(7|10)\). 2. Die \(x\)-Koordinate von \(T\) ist gleich der von \(P\), also \(3\). Die \(y\)-Koordinate von \(T\) ist \(10 - 3 = 7\). Somit ergibt sich \(T(3|7)\).

Antwort

a) \(S(7|10)\) b) \(T(3|7)\)

4174275

Der Punkt \(A(35 | 42)\) wird nacheinander an beiden Koordinatenachsen gespiegelt. Zuerst wird der Punkt \(A\) an der \(x\)-Achse gespiegelt, wodurch der Bildpunkt \(A'\) entsteht. Im zweiten Schritt wird dieser Punkt \(A'\) an der \(y\)-Achse gespiegelt, was zum Endpunkt \(A''\) führt. Bestimme die Koordinaten der beiden Punkte \(A'\) und \(A''\).

Denkanstöße

- Überleg dir, welcher Wert sich ändert, wenn du einen Punkt von oben nach unten über die waagerechte Achse klappst. - Was passiert mit dem Rechtswert (x) und dem Hochwert (y), wenn man an der senkrechten Achse spiegelt? - Bearbeite die Spiegelungen nacheinander und nutze das Ergebnis des ersten Schritts für den zweiten.

Lösung

1. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Aus \(A(35 | 42)\) wird somit \(A'(35 | -42)\). 2. Bei einer anschließenden Spiegelung an der \(y\)-Achse bleibt die \(y\)-Koordinate gleich, während die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Aus \(A'(35 | -42)\) wird somit \(A''(-35 | -42)\).

Antwort

\(A'(35 | -42)\) und \(A''(-35 | -42)\)

4174295

Durch die Spiegelung eines unbekannten Punktes \(Q\) an der \(y\)-Achse erhält man den Bildpunkt \(Q'(-22 | 14)\). Bestimme die Koordinaten des ursprünglichen Punktes \(Q\).

Denkanstöße

- Kannst du die Spiegelung einfach rückgängig machen? - Was passiert mit einem Punkt, wenn man ihn zweimal hintereinander an derselben Achse spiegelt? - Welche Koordinate ändert sich bei einer Spiegelung an der senkrechten Achse?

Lösung

1. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse verändert das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate, während die \(y\)-Koordinate unverändert bleibt. 2. Da der Bildpunkt \(Q'\) die \(x\)-Koordinate \(-22\) hat, muss der ursprüngliche Punkt \(Q\) die \(x\)-Koordinate \(+22\) gehabt haben. 3. Die \(y\)-Koordinate bleibt \(14\). Somit lauten die Koordinaten \(Q(22 | 14)\).

Antwort

\(Q(22 | 14)\)

4187315

Gegeben ist der Punkt \(B(-10|35)\). Eine Gerade \(h\) verläuft durch \(B\) und ist parallel zur y-Achse. Welche der folgenden Punkte liegen ebenfalls auf der Geraden \(h\)? \(P_1(-10|0)\), \(P_2(10|35)\), \(P_3(-10|-5)\), \(P_4(0|35)\), \(P_5(-10|100)\)

Denkanstöße

- Welche Koordinate bleibt gleich, wenn eine Linie genau senkrecht nach oben oder unten verläuft? - Vergleiche die erste Zahl des Punktes \(B\) mit der ersten Zahl der Punkte \(P_1\) bis \(P_5\). - Lass dich nicht von der y-Koordinate (der zweiten Zahl) ablenken, wenn es um eine Parallele zur y-Achse geht.

Lösung

1. Punkte auf einer Parallelen zur y-Achse haben alle die gleiche x-Koordinate. 2. Da der Punkt \(B\) die x-Koordinate \(-10\) besitzt, müssen alle Punkte auf der Geraden \(h\) ebenfalls die x-Koordinate \(-10\) haben. 3. Durch Prüfung der x-Koordinaten der gegebenen Punkte ergibt sich: \(P_1\), \(P_3\) und \(P_5\) haben die x-Koordinate \(-10\).

Antwort

Die Punkte \(P_1(-10|0)\), \(P_3(-10|-5)\) und \(P_5(-10|100)\) liegen auf der Geraden \(h\).

4187325

Die Punkte \(R(7|12)\) und \(S(7|40)\) liegen auf einer gemeinsamen Geraden \(g\). a) Verläuft die Gerade \(g\) parallel zur x-Achse oder parallel zur y-Achse? Begründe deine Entscheidung. b) Gib die Koordinaten eines weiteren Punktes \(T\) an, der auf der Geraden \(g\) liegt und dessen y-Koordinate genau in der Mitte zwischen den y-Koordinaten von \(R\) und \(S\) liegt.

Denkanstöße

- Schau dir an, welche der beiden Koordinatenzahlen bei \(R\) und \(S\) identisch ist. - Was bedeutet eine feste x-Koordinate für den Verlauf einer Geraden? - Wie berechnet man den Wert, der genau zwischen zwei Zahlen liegt?

Lösung

1. Vergleich der Koordinaten: Beide Punkte \(R(7|12)\) und \(S(7|40)\) haben die gleiche x-Koordinate (\(7\)). 2. Begründung: Wenn die x-Koordinate für verschiedene y-Werte gleich bleibt, liegen die Punkte auf einer senkrechten Linie. Eine solche Linie verläuft parallel zur y-Achse. 3. Berechnung der mittleren y-Koordinate: Der Mittelwert von \(12\) und \(40\) wird berechnet durch \((12 + 40) : 2 = 52 : 2 = 26\). 4. Da der Punkt \(T\) auf \(g\) liegen muss, übernimmt er die x-Koordinate \(7\). Somit ergibt sich \(T(7|26)\).

Antwort

a) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur y-Achse, da alle Punkte auf ihr die gleiche x-Koordinate (\(7\)) besitzen. b) Der Punkt ist \(T(7|26)\).

4190755

In einer Stadt sind die Häuser von vier Freunden wie in einem Koordinatensystem angeordnet. Die Koordinaten geben die Positionen ihrer Haustüren an: - Anton: \(A(2|8)\) - Bea: \(B(5|3)\) - Carl: \(C(10|8)\) - Dora: \(D(5|8)\) Beantworte die folgenden Fragen mithilfe der Koordinaten: a) Wer wohnt am weitesten rechts (hat also den größten Rechtswert)? b) Welche Freunde wohnen auf der gleichen „Höhe“ (haben also den gleichen Hochwert)? c) Wer wohnt genau \(5\) Einheiten nördlich (nach oben) von Bea?

Denkanstöße

- Schau dir die erste Zahl der Klammer an, um die Position von links nach rechts zu bestimmen. - Die zweite Zahl in der Klammer sagt dir, wie weit oben oder unten jemand wohnt. - Wenn zwei Punkte den gleichen Hochwert haben, liegen sie auf einer waagerechten Linie.

Lösung

1. Analyse der Rechtswerte: Anton (2), Bea (5), Carl (10), Dora (5). Der größte Wert ist \(10\), also wohnt Carl am weitesten rechts. 2. Analyse der Hochwerte: Anton (8), Bea (3), Carl (8), Dora (8). Anton, Carl und Dora haben alle den Hochwert \(8\) und wohnen somit auf der gleichen Höhe. 3. Berechnung für Beas Position: Bea ist bei \(B(5|3)\). \(5\) Einheiten nördlich bedeutet, dass der Hochwert um \(5\) steigt: \(3 + 5 = 8\). Die neue Position ist \((5|8)\). Dies entspricht den Koordinaten von Dora.

Antwort

a) Carl wohnt am weitesten rechts. b) Anton, Carl und Dora wohnen auf der gleichen Höhe (Hochwert \(8\)). c) Dora wohnt genau \(5\) Einheiten nördlich von Bea.

4190765

Geographische Koordinaten geben die Lage eines Ortes auf der Erde an. Die Breite (Norden/Süden) und die Länge (Osten/Westen) funktionieren ähnlich wie ein Koordinatensystem. Betrachte die folgende Tabelle mit gerundeten Werten: | Ort | Breite | Länge | | :--- | :--- | :--- | | Kairo | \(30^\circ\,\text{N}\) | \(31^\circ\,\text{O}\) | | London | \(51^\circ\,\text{N}\) | \(0^\circ\) | | Quito | \(0^\circ\) | \(78^\circ\,\text{W}\) | | Melbourne | \(38^\circ\,\text{S}\) | \(145^\circ\,\text{O}\) | Beantworte die Fragen: a) Welcher Ort liegt genau auf dem Äquator (Breite \(0^\circ\))? b) Welcher Ort liegt am weitesten südlich? c) Welcher Ort liegt am weitesten östlich? d) Welcher Ort liegt auf dem Nullmeridian (Länge \(0^\circ\))?

Denkanstöße

- Der Äquator ist die Linie bei \(0^\circ\) Breite. - Je größer die Zahl bei „S“ (Süden) ist, desto weiter südlich liegt der Ort. - „O“ steht für Osten. Je größer diese Zahl, desto weiter östlich ist man. - Der Nullmeridian ist die Linie bei \(0^\circ\) Länge.

Lösung

1. Äquator bestimmen: Suche in der Spalte „Breite“ nach dem Wert \(0^\circ\). Das trifft auf Quito zu. 2. Südlichste Lage: Vergleiche die Breitengrade mit dem Zusatz „S“. Melbourne liegt mit \(38^\circ\,\text{S}\) am weitesten südlich. 3. Östlichste Lage: Vergleiche die Längengrade mit dem Zusatz „O“. Kairo hat \(31^\circ\,\text{O}\), Melbourne \(145^\circ\,\text{O}\). Daher liegt Melbourne am weitesten östlich. 4. Nullmeridian bestimmen: Suche in der Spalte „Länge“ nach dem Wert \(0^\circ\). Das trifft auf London zu.

Antwort

a) Quito liegt auf dem Äquator. b) Melbourne liegt am weitesten südlich. c) Melbourne liegt am weitesten östlich. d) London liegt auf dem Nullmeridian.

4190855

Ein Vermesser trägt vier wichtige Markierungspunkte einer Landkarte in ein Koordinatensystem ein: \(P_1(4{,}5|2)\), \(P_2(12|6{,}5)\), \(P_3(7|9)\) und \(P_4(2|5{,}5)\). In diesem System entspricht die x-Achse der West-Ost-Richtung (größere Werte liegen weiter östlich) und die y-Achse der Süd-Nord-Richtung (größere Werte liegen weiter nördlich). Bestimme die Koordinaten des Punktes, der: a) am weitesten im Osten liegt. b) am weitesten im Norden liegt. c) am weitesten im Westen liegt. d) am weitesten im Süden liegt.

Denkanstöße

- Stelle dir ein Kompasskreuz im Koordinatensystem vor: Wo ist Norden, Süden, Westen und Osten? - Welche Himmelsrichtungen gehören zur Rechts-Links-Achse (x-Achse)? - Welche Himmelsrichtungen gehören zur Oben-Unten-Achse (y-Achse)? - Vergleiche die Dezimalzahlen sorgfältig Stelle für Stelle.

Lösung

1. Ost-Richtung entspricht maximalem x-Wert: Vergleich von \(4{,}5\), \(12\), \(7\), \(2\). Maximum ist \(12\) bei \(P_2(12|6{,}5)\). 2. Nord-Richtung entspricht maximalem y-Wert: Vergleich von \(2\), \(6{,}5\), \(9\), \(5{,}5\). Maximum ist \(9\) bei \(P_3(7|9)\). 3. West-Richtung entspricht minimalem x-Wert: Minimum ist \(2\) bei \(P_4(2|5{,}5)\). 4. Süd-Richtung entspricht minimalem y-Wert: Minimum ist \(2\) bei \(P_1(4{,}5|2)\).

Antwort

a) \(P_2(12|6{,}5)\) b) \(P_3(7|9)\) c) \(P_4(2|5{,}5)\) d) \(P_1(4{,}5|2)\)

4190975

Auf Globen und Weltkarten wird die Erde mit einem Koordinatennetz aus Längen- und Breitengraden überzogen. a) Wie groß ist der Winkelabstand vom Nordpol bis zum Südpol? b) Eine Forschungsstation \(A\) liegt auf \(80^\circ\) nördlicher Breite. Eine andere Station \(B\) liegt auf \(10^\circ\) nördlicher Breite. Welche Station ist näher am Nordpol gelegen? Begründe deine Entscheidung.

Denkanstöße

- Stelle dir vor, du startest am Südpol, gehst zum Äquator und dann weiter zum Nordpol. Wie viele Grad legst du insgesamt zurück? - Welchen Wert hat der Nordpol im Gradnetz? - Je größer die Zahl bei der nördlichen Breite ist, desto weiter ist man vom Äquator entfernt. Was bedeutet das für die Nähe zum Pol?

Lösung

1. Der Nordpol liegt bei \(90^\circ\) nördlicher Breite, der Südpol bei \(90^\circ\) südlicher Breite. Der Abstand vom Äquator (\(0^\circ\)) beträgt jeweils \(90^\circ\). Die Summe der Breitengrade zwischen den Polen ist \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). 2. Der Nordpol hat den Wert \(90^\circ\) Nord. Um die Entfernung zum Pol zu bestimmen, vergleicht man die Differenz: Für Station \(A\) gilt \(90^\circ - 80^\circ = 10^\circ\) Abstand. Für Station \(B\) gilt \(90^\circ - 10^\circ = 80^\circ\) Abstand. Station \(A\) ist näher am Nordpol.

Antwort

a) \(180^\circ\) b) Station \(A\) ist näher am Nordpol, da \(80^\circ\) näher an der Breite des Nordpols (\(90^\circ\)) liegt als \(10^\circ\).

4200065

In einem Parallelogramm \(ABCD\) sind die Eckpunkte \(A(1 \mid 2)\), \(B(8 \mid 2)\) und \(D(3 \mid 6)\) gegeben. a) Berechne die Länge der Seite \(AB\). b) Bestimme die Koordinaten des Punktes \(C\), ohne eine Zeichnung anzufertigen. Erkläre kurz dein Vorgehen.

Denkanstöße

- Vergleiche die Koordinaten von \(A\) und \(B\). Was fällt dir auf? - Welche Eigenschaften haben gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm bezüglich ihrer Länge und Richtung? - Wenn du weißt, wie lang die untere Seite ist, wie kannst du dieses Wissen nutzen, um von Punkt \(D\) aus zum Punkt \(C\) zu gelangen?

Lösung

1. Die Punkte \(A\) und \(B\) haben den gleichen Hochwert (\(y=2\)). Die Länge der horizontalen Seite \(AB\) ist die Differenz der Rechtswerte: \(8 - 1 = 7\,\text{Einheiten}\). 2. In einem Parallelogramm ist die gegenüberliegende Seite \(DC\) parallel zu \(AB\) und gleich lang. Da \(AB\) horizontal verläuft, muss auch \(DC\) horizontal verlaufen. 3. Der Punkt \(C\) muss also denselben Hochwert wie \(D\) haben (\(y=6\)). 4. Um die Koordinaten von \(C\) zu finden, addiert man die Länge der Seite \(AB\) zum Rechtswert von \(D\): \(3 + 7 = 10\). Somit ist \(C(10 \mid 6)\).

Antwort

a) Die Länge der Seite \(AB\) beträgt \(7\,\text{Einheiten}\). b) \(C(10 \mid 6)\). Da die Seite \(DC\) parallel zu \(AB\) ist und dieselbe Länge (\(7\,\text{Einheiten}\)) hat, addiert man die Länge zum Rechtswert von \(D\).

4241545

Gegeben sind die drei Punkte \(A(3{,}2 \mid 4{,}5)\), \(B(1{,}5 \mid 7)\) und \(C(3{,}2 \mid 1{,}2)\). a) Welcher der drei Punkte liegt am höchsten im Koordinatensystem? Begründe kurz. b) Zwei dieser Punkte liegen auf einer gemeinsamen senkrechten Geraden. Welche sind das? c) Punkt \(B\) wird nun verschoben: um \(1{,}7\) Einheiten nach rechts und um \(2{,}5\) Einheiten nach unten. Welche Koordinaten hat der neue Punkt \(B'\)? Welcher der ursprünglichen Punkte liegt an genau dieser Stelle?

Denkanstöße

- Welcher Teil der Koordinate gibt an, wie weit oben ein Punkt liegt? - Was bedeutet es für die Koordinaten zweier Punkte, wenn sie genau übereinander stehen? - Wenn du dich nach rechts bewegst, verändert sich nur der erste Wert der Koordinate. - Wenn du dich nach unten bewegst, wird der zweite Wert der Koordinate kleiner.

Lösung

1. Vergleich der \(y\)-Werte: Die \(y\)-Achse gibt die Höhe an. Da \(7 > 4{,}5\) und \(7 > 1{,}2\), liegt Punkt \(B\) am höchsten. 2. Senkrechte Gerade: Punkte auf einer senkrechten Geraden haben dieselbe \(x\)-Koordinate. Da \(A\) und \(C\) beide den \(x\)-Wert \(3{,}2\) haben, liegen sie auf einer gemeinsamen senkrechten Geraden. 3. Verschiebung von \(B(1{,}5 \mid 7)\): Eine Verschiebung nach rechts addiert sich zum \(x\)-Wert: \(1{,}5 + 1{,}7 = 3{,}2\). Eine Verschiebung nach unten subtrahiert sich vom \(y\)-Wert: \(7 - 2{,}5 = 4{,}5\). Der neue Punkt ist \(B'(3{,}2 \mid 4{,}5)\). Dies entspricht genau dem Punkt \(A\).

Antwort

a) Punkt \(B\), da sein \(y\)-Wert mit \(7\) am größten ist. b) Die Punkte \(A\) und \(C\) (beide haben den \(x\)-Wert \(3{,}2\)). c) \(B'(3{,}2 \mid 4{,}5)\). Dies ist die Position von Punkt \(A\).

4241565

Ein Viereck \(PQRS\) soll ein Rechteck ergeben. Drei Eckpunkte sind bereits bekannt: \(P(1 | 1)\), \(Q(9 | 1)\) und \(R(9 | 5)\). 1. Bestimme die Koordinaten des vierten Eckpunktes \(S\). 2. Berechne den Umfang des Rechtecks \(PQRS\). Gehe davon aus, dass eine Einheit im Koordinatensystem \(1\,\text{cm}\) lang ist. 3. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\), an dem sich die Diagonalen des Rechtecks schneiden.

Denkanstöße

- Skizziere die Punkte zuerst in einem Koordinatensystem, um dir die Lage des Rechtecks besser vorstellen zu können. - Überlege dir, welche Koordinaten ein Punkt haben muss, damit die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks parallel und gleich lang sind. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man die Länge und die Breite kennt? - Der Mittelpunkt liegt genau zwischen den gegenüberliegenden Ecken.

Lösung

1. Bestimmung von \(S\): Da \(PQ\) horizontal verläuft und \(QR\) vertikal, muss \(S\) den \(x\)-Wert von \(P\) (\(1\)) und den \(y\)-Wert von \(R\) (\(5\)) haben. Somit ist \(S(1 | 5)\). 2. Berechnung des Umfangs: Die Länge \(PQ\) beträgt \(9 - 1 = 8\,\text{cm}\). Die Breite \(QR\) beträgt \(5 - 1 = 4\,\text{cm}\). Der Umfang ist \(2 \cdot (8\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) = 24\,\text{cm}\). 3. Bestimmung des Mittelpunkts \(M\): Der Mittelpunkt liegt in der Mitte der Strecke \(PR\) oder \(QS\). \(x\)-Koordinate: \((1 + 9) : 2 = 5\). \(y\)-Koordinate: \((1 + 5) : 2 = 3\). Der Mittelpunkt ist \(M(5 | 3)\).

Antwort

1. Der vierte Punkt ist \(S(1 | 5)\). 2. Der Umfang beträgt \(24\,\text{cm}\). 3. Der Mittelpunkt des Rechtecks liegt bei \(M(5 | 3)\).

4241685

Gegeben ist ein Viereck mit den Eckpunkten \(A(2|2)\), \(B(6|2)\), \(C(6|6)\) und \(D(2|6)\). a) Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem ein. Um welche besondere Form handelt es sich? Begründe deine Antwort mithilfe der Seitenlängen. b) Der Punkt \(A\) wird nun um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. Gib die neuen Koordinaten \(A'\) an. c) Wenn man das gesamte Viereck um \(3\) Einheiten nach oben verschiebt, wie verändern sich dann die Koordinaten aller Punkte?

Denkanstöße

- Was zeichnet ein Quadrat im Vergleich zu einem allgemeinen Rechteck aus? - Wenn du einen Punkt auf der \(y\)-Achse nach oben oder unten bewegst, welcher Teil der Koordinate ändert sich dann? - Versuche erst den Punkt \(A\) zu verschieben und schaue, was mit den anderen Punkten passieren muss, damit die Form gleich bleibt.

Lösung

1. Berechnung der Seitenlängen: Die waagerechten Seiten \(AB\) und \(DC\) haben eine Länge von \(6 - 2 = 4\) Einheiten. Die senkrechten Seiten \(BC\) und \(AD\) haben eine Länge von \(6 - 2 = 4\) Einheiten. Da alle Seiten gleich lang sind und rechtwinklig aufeinanderstehen, handelt es sich um ein Quadrat. 2. Bei einer Verschiebung nach oben ändert sich nur der \(y\)-Wert. Für Punkt \(A(2|2)\) ergibt sich nach einer Verschiebung um \(3\) Einheiten: \(2 + 3 = 5\). Der neue Punkt ist \(A'(2|5)\). 3. Für das gesamte Viereck bedeutet eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben, dass zu jedem \(y\)-Wert der Punkte \(3\) addiert wird. Die neuen Koordinaten lauten: \(A'(2|5)\), \(B'(6|5)\), \(C'(6|9)\) und \(D'(2|9)\).

Antwort

a) Quadrat, da alle Seiten \(4\,\text{LE}\) lang sind und die Winkel \(90^\circ\) betragen. b) \(A'(2|5)\) c) Bei allen Punkten wird die \(y\)-Koordinate um \(3\) erhöht. Die neuen Punkte sind \(A'(2|5), B'(6|5), C'(6|9), D'(2|9)\).

4172245

In einem Koordinatensystem sind die Punkte \(K(1|1)\), \(L(9|1)\) und \(M(9|9)\) gegeben. a) Der Punkt \(Z\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(KM\). Bestimme seine Koordinaten. b) Ein Punkt \(W\) liegt so, dass seine \(x\)-Koordinate genau in der Mitte zwischen denen von \(K\) und \(L\) liegt. Seine \(y\)-Koordinate ist doppelt so groß wie die \(y\)-Koordinate von \(M\). Bestimme die Koordinaten von \(W\).

Denkanstöße

- Wie findet man den Mittelpunkt, wenn sich sowohl der \(x\)- als auch der \(y\)-Wert ändern? - Was bedeutet „doppelt so groß“ mathematisch für eine Koordinate? - Überlege dir zuerst die \(x\)-Koordinate und danach die \(y\)-Koordinate Schritt für Schritt.

Lösung

1. Der Mittelpunkt \(Z\) von \(K(1|1)\) und \(M(9|9)\) wird durch die Mittelwerte der Koordinaten bestimmt. \(x_Z = (1 + 9) : 2 = 5\) und \(y_Z = (1 + 9) : 2 = 5\). Somit ist \(Z(5|5)\). 2. Die \(x\)-Koordinate von \(W\) ist die Mitte von \(1\) und \(9\), also \((1 + 9) : 2 = 5\). Die \(y\)-Koordinate von \(W\) ist das Doppelte der \(y\)-Koordinate von \(M\), also \(9 \cdot 2 = 18\). Somit ist \(W(5|18)\).

Antwort

a) \(Z(5|5)\) b) \(W(5|18)\)

4199965

Eine Gerade \(k\) wird durch die Punkte \(A(1 \mid -1)\) und \(B(-1 \mid 3)\) festgelegt. Ermittle für die Punkte \(M(0 \mid \square)\) und \(N(\square \mid 5)\) die fehlenden Koordinaten so, dass diese ebenfalls auf der Geraden \(k\) liegen.

Denkanstöße

- Achte darauf, dass dein Koordinatensystem auch Platz für negative Zahlen auf beiden Achsen bietet. - Wo genau liegen Punkte, deren Koordinaten ein Minuszeichen haben? - Zeichne die Gerade besonders sorgfältig, da die Abstände hier größer sein können. - Kannst du ein Muster in den Koordinatenschritten erkennen, wenn du von \(B\) zu \(A\) gehst?

Lösung

1. Zeichnen eines Koordinatensystems mit vier Quadranten und Eintragen der Punkte \(A(1 \mid -1)\) und \(B(-1 \mid 3)\). Verbinden der Punkte zur Geraden \(k\). 2. Bestimmung von \(M\): Der Schnittpunkt der Geraden mit der \(y\)-Achse (wo \(x = 0\) ist) liegt bei \(y = 1\). Damit ist \(M(0 \mid 1)\). 3. Bestimmung von \(N\): Wenn man die Gerade weiter nach links oben verfolgt, findet man bei der Höhe \(y = 5\) den \(x\)-Wert \(-2\). Damit ist \(N(-2 \mid 5)\).

Antwort

\(M(0 \mid 1)\) und \(N(-2 \mid 5)\)

4200055

Gegeben sind die Punkte \(P(3 \mid 5)\) und \(Q(10 \mid 8)\) als Endpunkte einer Seite eines Parallelogramms \(PQRS\). Die Seiten \(PS\) und \(QR\) verlaufen parallel zur y-Achse und sind jeweils \(4\,\text{Einheiten}\) lang. Gib die Koordinaten der Punkte \(R\) und \(S\) für zwei verschiedene mögliche Parallelogramme an.

Denkanstöße

- Wenn eine Strecke parallel zur y-Achse verläuft, was bedeutet das für die Rechtswerte (x-Koordinaten) der Endpunkte? - Wie verändern sich die Hochwerte (y-Koordinaten), wenn du eine Strecke einer bestimmten Länge senkrecht nach oben oder unten abträgst? - Gibt es nur eine Richtung, in die man die fehlenden Seiten zeichnen kann?

Lösung

1. Da \(PS\) parallel zur y-Achse verläuft, bleibt der Rechtswert von \(S\) gleich dem von \(P\) (\(x_S = 3\)). Da \(QR\) parallel zur y-Achse verläuft, bleibt der Rechtswert von \(R\) gleich dem von \(Q\) (\(x_R = 10\)). 2. Möglichkeit 1 (Verschiebung nach oben): Der Hochwert wird um 4 erhöht. \(S_1(3 \mid 5+4) = (3 \mid 9)\) und \(R_1(10 \mid 8+4) = (10 \mid 12)\). 3. Möglichkeit 2 (Verschiebung nach unten): Der Hochwert wird um 4 verringert. \(S_2(3 \mid 5-4) = (3 \mid 1)\) und \(R_2(10 \mid 8-4) = (10 \mid 4)\).

Antwort

Lösung 1: \(R(10 \mid 12)\) und \(S(3 \mid 9)\) Lösung 2: \(R(10 \mid 4)\) und \(S(3 \mid 1)\)

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