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- Wie viel Grad hat ein rechter Winkel? - Wenn ein großer Winkel in zwei kleinere Winkel aufgeteilt wird, wie hängen die drei Winkel zusammen? - Welche Rechenoperation hilft dir, den fehlenden Teil zu bestimmen?

1. Ein rechter Winkel hat eine Größe von \(90^\circ\). Somit beträgt der Gesamtwinkel zwischen den Strahlen \(g\) und \(h\) genau \(90^\circ\). 2. Der Strahl \(s\) teilt diesen rechten Winkel in zwei Teilwinkel auf: den gegebenen Winkel von \(35^\circ\) und den gesuchten Winkel \(\alpha\). 3. Der gesuchte Winkel \(\alpha\) berechnet sich somit als Differenz: \(\alpha = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\)

\(\alpha = 55^\circ\)

- Überlege dir, ob der Winkel durch die Drehung nach oben größer oder kleiner wird. - Stell dir vor, du addierst die beiden Teilwinkel zu einem Gesamtwinkel.

1. Bestimmung des Ausgangswinkels: \(40^\circ\). 2. Addition der Drehung um \(25^\circ\): \(40^\circ + 25^\circ = 65^\circ\). 3. Der neue Winkel \(\alpha\) beträgt somit \(65^\circ\).

\(\alpha = 65^\circ\)

- Überlege, welcher Punkt der Scheitelpunkt des Winkels ist. - Wo muss der Buchstabe des Scheitelpunkts stehen, wenn man drei Buchstaben verwendet? - Spielt die Reihenfolge der Punkte auf den beiden Schenkeln eine Rolle?

1. Ein Winkel kann durch seinen Scheitelpunkt benannt werden: \(\angle K\). 2. Ein Winkel kann auch durch drei Punkte benannt werden, wobei der Scheitelpunkt in der Mitte steht. Die Reihenfolge der Punkte auf den Schenkeln ist dabei umkehrbar: \(\angle MKN\) oder \(\angle NKM\).

Der Winkel kann als \(\angle MKN\), \(\angle NKM\) oder einfach als \(\angle K\) bezeichnet werden.

- Erinnere dich an die Fachbegriffe für die Teile eines Winkels. - Wie heißen die „Arme“ des Winkels? - Wie nennt man die „Ecke“, an der sie sich treffen?

1. Der gemeinsame Anfangspunkt \(S\), von dem die Strahlen ausgehen, wird als Scheitelpunkt bezeichnet. 2. Die beiden Strahlen \(g\) und \(h\), die den Winkel begrenzen, nennt man Schenkel des Winkels.

a) Der Punkt \(S\) heißt Scheitelpunkt. b) Die Strahlen \(g\) und \(h\) heißen Schenkel.

- Vergleiche die Öffnung der Winkel mit der Ecke deines Geodreiecks oder eines Blattes Papier. - Ein rechter Winkel sieht aus wie eine exakte L-Form. - Ist der Winkel enger oder weiter als ein rechter Winkel?

1. Der Winkel \(\alpha\) in Teilaufgabe a) ist kleiner als \(90^\circ\). Er ist somit ein spitzer Winkel. 2. Der Winkel \(\beta\) in Teilaufgabe b) ist genau \(90^\circ\) groß. Er ist somit ein rechter Winkel. 3. Der Winkel \(\gamma\) in Teilaufgabe c) ist größer als \(90^\circ\), aber kleiner als \(180^\circ\). Er ist somit ein stumpfer Winkel.

a) \(\alpha\) ist ein spitzer Winkel. b) \(\beta\) ist ein rechter Winkel. c) \(\gamma\) ist ein stumpfer Winkel.

- Wie groß ist der Gesamtwinkel auf einer geraden Linie? - Wenn ein Winkel doppelt so groß wie der andere ist, wie kannst du das mathematisch ausdrücken? - Kannst du den bekannten Winkel von der Gesamtsumme abziehen, bevor du den Rest aufteilst?

1. Analyse des Diagramms: Die Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und 60° bilden zusammen einen gestreckten Winkel von 180°. 2. Aufstellen der Gleichung: \(\alpha + \beta + 60^\circ = 180^\circ\). 3. Einsetzen der gegebenen Beziehung \(\beta = 2\alpha\): \(\alpha + 2\alpha + 60^\circ = 180^\circ\). 4. Vereinfachen und Lösen der Gleichung: \(3\alpha = 120^\circ\), woraus folgt \(\alpha = 40^\circ\).

c) 40°

- Welchen Winkel hat ein ganzer Kreis? - Wie verteilt sich dieser Gesamtwinkel, wenn man ihn gerecht aufteilt? - Welche Rechenoperation hilft dir beim Aufteilen einer Zahl?

1. Ein voller Kreis entspricht einem Winkel von \(360^\circ\). 2. Für a) wird die Gesamtsumme durch 4 geteilt: \(360^\circ : 4 = 90^\circ\). 3. Für b) wird durch 6 geteilt: \(360^\circ : 6 = 60^\circ\). 4. Für c) wird durch 9 geteilt: \(360^\circ : 9 = 40^\circ\). 5. Für d) wird durch 15 geteilt: \(360^\circ : 15 = 24^\circ\).

a) \(90^\circ\) b) \(60^\circ\) c) \(40^\circ\) d) \(24^\circ\)

- In wie viele gleich große Abschnitte ist eine Uhr unterteilt? - Berechne zuerst den Winkel für einen einzigen Stundenabschnitt (z. B. von 12 bis 1). - Wie oft musst du diesen kleinen Winkel nehmen, um zu den anderen Zahlen zu gelangen? - Erinnerst du dich an die Namen für Winkel mit \(90^\circ\), \(180^\circ\) oder \(360^\circ\)?

1. Ein voller Kreis hat \(360^\circ\). Das Ziffernblatt ist in 12 gleiche Abschnitte unterteilt. 2. Schrittweite berechnen: \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). Ein Schritt von einer Zahl zur nächsten entspricht also \(30^\circ\). 3. Teilaufgabe a): Von 12 bis 1 ist es genau ein Schritt: \(1 \cdot 30^\circ = 30^\circ\). 4. Teilaufgabe b): Von 12 bis 4 sind es vier Schritte: \(4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\). 5. Teilaufgabe c): Von 12 bis 6 sind es sechs Schritte: \(6 \cdot 30^\circ = 180^\circ\). Ein Winkel von \(180^\circ\) wird als gestreckter Winkel bezeichnet.

a) \(30^\circ\) b) \(120^\circ\) c) \(180^\circ\); es handelt sich um einen gestreckten Winkel.

- Wie viele Grad hat ein ganzer Kreis? - Kennst du die Namen für die verschiedenen Winkelarten?

1. Subtraktion des gegebenen Winkels vom Vollwinkel (\(360^\circ\)): \(360^\circ - 75^\circ = 285^\circ\). 2. Klassifizierung des Ergebnisses: Da der Winkel größer als \(180^\circ\) und kleiner als \(360^\circ\) ist, handelt es sich um einen überstumpfen Winkel.

Der Winkel \(\alpha\) ist \(285^\circ\) groß. Man nennt ihn einen überstumpfen Winkel.

- Welche Winkelgröße hat eine gerade Linie? - Lukas hat den Winkel in zwei Teile zerlegt. Wie hängen diese zusammen?

1. Identifikation des Winkels der Geraden (gestreckter Winkel) als \(180^\circ\). 2. Addition des gemessenen Zusatzwinkels zum gestreckten Winkel: \(180^\circ + 42^\circ = 222^\circ\).

Der gesamte Winkel ist \(222^\circ\) groß.

- Überlege dir, in wie viele gleich große Abschnitte das Zifferblatt durch die Zahlen 1 bis 12 geteilt wird. - Wie viel Grad entspricht ein solcher Abschnitt, wenn ein ganzer Kreis \(360^\circ\) hat? - Zähle die Schritte zwischen den beiden Zeigern. - Erinnere dich an die Definitionen der Winkelarten: Wann ist ein Winkel spitz, stumpf oder ein rechter Winkel?

1. Ein Zifferblatt ist in 12 Stundenabschnitte unterteilt, wobei jeder Abschnitt \(360^\circ : 12 = 30^\circ\) entspricht. 2. Um 02:00 Uhr steht der Stundenzeiger auf der 2 und der Minutenzeiger auf der 12. Der Abstand beträgt 2 Stundenabschnitte: \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Dies ist ein spitzer Winkel. 3. Um 05:00 Uhr steht der Stundenzeiger auf der 5 und der Minutenzeiger auf der 12. Der Abstand beträgt 5 Abschnitte: \(5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\). Dies ist ein stumpfer Winkel. 4. Um 09:00 Uhr steht der Stundenzeiger auf der 9 und der Minutenzeiger auf der 12. Der Abstand im Uhrzeigersinn beträgt 9 Abschnitte (\(270^\circ\)), der kleinere Winkel gegen den Uhrzeigersinn beträgt 3 Abschnitte: \(3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\). Dies ist ein rechter Winkel.

a) \(60^\circ\) (spitzer Winkel) b) \(150^\circ\) (stumpfer Winkel) c) \(90^\circ\) (rechter Winkel)

- Zeichne dir die Punkte in ein Koordinatensystem ein. - Überlege, wie die Schenkel im Vergleich zu den Kästchenlinien verlaufen. - Ein Winkel, der genau entlang der Kästchenlinien (horizontal und vertikal) verläuft, ist oft leicht zu bestimmen. - Verläuft ein Schenkel genau diagonal durch die Kästchen? - Verwende jeweils den kleineren der beiden möglichen Winkel zwischen den Strahlen.

Gesucht ist in jeder Teilaufgabe der kleinere Winkel zwischen den beiden Schenkeln. 1. Der erste Schenkel verläuft vom Scheitelpunkt \(S(1 \mid 2)\) horizontal nach rechts durch \(A(5 \mid 2)\). 2. Für Punkt \(B(1 \mid 6)\): Der zweite Schenkel verläuft von \(S(1 \mid 2)\) vertikal nach oben. Da der erste Schenkel horizontal und der zweite vertikal ist, beträgt der Winkel \(\alpha = 90^\circ\). 3. Für Punkt \(C(5 \mid 6)\): Die Steigung von \(S(1 \mid 2)\) zu \(C(5 \mid 6)\) entspricht einer Diagonalen durch ein Quadrat im Gitternetz (4 Einheiten rechts, 4 Einheiten hoch). Dies entspricht einem Winkel von \(45^\circ\) zur Horizontalen. Somit ist \(\alpha = 45^\circ\). 4. Für Punkt \(D(1 \mid 0)\): Der zweite Schenkel verläuft von \(S(1 \mid 2)\) vertikal nach unten. Da der erste Schenkel horizontal nach rechts verläuft, bildet sich ein rechter Winkel. Somit ist \(\alpha = 90^\circ\).

a) \(\alpha = 90^\circ\) b) \(\alpha = 45^\circ\) c) \(\alpha = 90^\circ\)

- Wie viele Stunden vergehen in diesem Zeitraum? - Wie lange braucht der Stundenzeiger für eine komplette Umdrehung von \(360^\circ\)? - Kannst du ausrechnen, um wie viel Grad sich der Stundenzeiger in genau einer Stunde dreht?

1. Berechnung der Zeitspanne: Von \(13{:}00\) Uhr bis \(18{:}00\) Uhr vergehen genau \(5\) Stunden. 2. Bestimmung des Winkels pro Stunde: Der Stundenzeiger benötigt für eine volle Umdrehung (\(360^\circ\)) insgesamt \(12\) Stunden. Pro Stunde legt er also einen Winkel von \(360^\circ : 12 = 30^\circ\) zurück. 3. Berechnung des Gesamtwinkels: \(5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\).

Der Stundenzeiger überstreicht einen Winkel von \(150^\circ\).

- Wenn ein Winkel doppelt so groß ist wie der andere, in wie viele gleich große Teile kannst du den Gesamtwinkel dann aufteilen? - Versuche, eine einfache Gleichung aufzustellen, in der nur noch der Winkel \(\alpha\) vorkommt.

1. Aus der Aufgabenstellung ergibt sich die Summe der beiden Winkel: \(\alpha + \beta = 135^\circ\) 2. Da \(\beta\) doppelt so groß ist wie \(\alpha\), gilt: \(\beta = 2\alpha\) 3. Setze diesen Ausdruck in die erste Gleichung ein: \(\alpha + 2\alpha = 135^\circ \implies 3\alpha = 135^\circ\) 4. Teile durch 3, um \(\alpha\) zu berechnen: \(\alpha = 45^\circ\) 5. Berechne anschließend \(\beta\): \(\beta = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ\)

\(\alpha = 45^\circ\) und \(\beta = 90^\circ\)

- Wie viel Grad hat ein ganzer Kreis (ein Vollwinkel)? - Welche Bezeichnungen für Winkelarten kennst du für Winkel, die größer als \(180^\circ\) sind?

1. Da der Winkel \(\alpha\) größer als \(180^\circ\) und kleiner als \(360^\circ\) ist, handelt es sich um einen überstumpfen Winkel. 2. Ein Vollwinkel beträgt \(360^\circ\). Innenwinkel und äußerer Winkel ergeben zusammen einen Vollwinkel: \(\alpha = 360^\circ - 135^\circ = 225^\circ\).

1. überstumpfer Winkel; 2. \(\alpha = 225^\circ\)

- Überlege dir zuerst, welche Winkelarten (spitz, stumpf, überstumpf) du an den Bildern erkennen kannst. - Ein rechter Winkel hat genau \(90^\circ\) und ein gestreckter Winkel genau \(180^\circ\). Nutze diese als Vergleichswerte! - Welcher Winkel ist kleiner als \(90^\circ\)? Welcher liegt zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\)? Welcher ist noch größer?

1. Zuordnung für \(\alpha\): Der Winkel \(\alpha\) ist kleiner als ein rechter Winkel (\(90^\circ\)). Es handelt sich um einen spitzen Winkel. Aus der Liste kommt dafür nur der Wert \(40^\circ\) infrage. 2. Zuordnung für \(\beta\): Der Winkel \(\beta\) ist größer als ein rechter Winkel (\(90^\circ\)), aber kleiner als ein gestreckter Winkel (\(180^\circ\)). Es handelt sich um einen stumpfen Winkel. Aus der Liste kommt dafür nur der Wert \(135^\circ\) infrage. 3. Zuordnung für \(\gamma\): Der Winkel \(\gamma\) ist größer als ein gestreckter Winkel (\(180^\circ\)). Es handelt sich um einen überstumpfen Winkel. Aus der Liste kommt dafür nur der Wert \(220^\circ\) infrage.

\(\alpha = 40^\circ\) (spitzer Winkel), \(\beta = 135^\circ\) (stumpfer Winkel), \(\gamma = 220^\circ\) (überstumpfer Winkel)

- Erinnerst du dich an die Namen der verschiedenen Winkelarten und wie sie definiert sind? - Welcher Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel (\(90^\circ\))? - Welche Winkel liegen zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\)? - Welcher Winkel ist größer als ein gestreckter Winkel (\(180^\circ\))? - Versuche, die Winkel zunächst grob abzuschätzen, bevor du sie vergleichst.

1. Bestimmung der Winkelarten anhand der Winkelgrößen: - Der Winkel \(\alpha\) misst \(60^\circ\). Da dieser Wert größer als \(0^\circ\) und kleiner als \(90^\circ\) ist, handelt es sich um einen **spitzen Winkel**. - Der Winkel \(\beta\) misst \(130^\circ\). Da dieser Wert zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\) liegt, handelt es sich um einen **stumpfen Winkel**. - Der Winkel \(\gamma\) misst \(250^\circ\). Da dieser Wert zwischen \(180^\circ\) und \(360^\circ\) liegt, handelt es sich um einen **überstumpfen Winkel**. 2. Ordnung nach der Größe: - Ein Vergleich der Werte zeigt: \(60^\circ < 130^\circ < 250^\circ\). - Daraus folgt die Reihenfolge: \(\alpha < \beta < \gamma\).

1. \(\alpha\) ist ein spitzer Winkel, \(\beta\) ist ein stumpfer Winkel und \(\gamma\) ist ein überstumpfer Winkel. 2. Die sortierte Reihenfolge lautet: \(\alpha < \beta < \gamma\).

- Nutze die Gitterlinien als Orientierung: Eine senkrechte Linie zur waagerechten Linie bildet einen Winkel von \(90^\circ\). - Die Diagonale eines Gitterquadrats teilt einen rechten Winkel genau in der Hälfte. Wie groß ist dieser Teilwinkel? - Überlege, in welchen Bereichen (z. B. zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) oder zwischen \(180^\circ\) und \(360^\circ\)) die gemessenen Winkel liegen, um ihre Winkelart zu bestimmen.

1. Bestimmung der Winkelgrößen: - In Abbildung a) verläuft der zweite Schenkel genau entlang der Diagonale der Gitternetzquadrate nach oben rechts. Dies entspricht der Hälfte eines rechten Winkels, also \(\alpha = 45^\circ\). - In Abbildung b) verläuft der zweite Schenkel entlang der Diagonale der Gitternetzquadrate nach oben links. Der Winkel beträgt somit \(90^\circ + 45^\circ\), also \(\beta = 135^\circ\). - In Abbildung c) zeigt der zweite Schenkel senkrecht nach unten. Da der Winkel gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, beträgt er drei Viertel eines Vollwinkels, also \(\gamma = 270^\circ\). 2. Bestimmung der Winkelarten: - Da \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), ist \(\alpha\) ein spitzer Winkel. - Da \(90^\circ < \beta < 180^\circ\), ist \(\beta\) ein stumpfer Winkel. - Da \(180^\circ < \gamma < 360^\circ\), ist \(\gamma\) ein überstumpfer Winkel.

a) \(\alpha = 45^\circ\) (spitzer Winkel) b) \(\beta = 135^\circ\) (stumpfer Winkel) c) \(\gamma = 270^\circ\) (überstumpfer Winkel)

- Überlege zuerst, wie groß der zweite Winkel ist, wenn er dreimal so groß wie der erste ist. - Wenn zwei Winkel nebeneinander liegen, kannst du ihren gemeinsamen Winkel durch Addition finden.

1. Berechnung der Größe des Winkels \(\beta\): Da \(\beta\) dreimal so groß ist wie \(\alpha\), gilt \(\beta = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ\). 2. Berechnung des Gesamtwinkels: Da die Winkel aneinanderliegen, addiert man ihre Maße: \(36^\circ + 108^\circ = 144^\circ\).

Der Gesamtwinkel ist \(144^\circ\) groß.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Größe ein Fünftel so groß wie eine andere ist? - Wenn du beide Teilwinkel kennst, kannst du sie addieren, um den Gesamtwinkel zu erhalten.

1. Berechnung der Größe von \(\delta\): Da \(\delta\) ein Fünftel so groß wie \(\gamma\) ist, gilt \(125^\circ : 5 = 25^\circ\). 2. Berechnung des Gesamtwinkels durch Addition der Teilwinkel: \(125^\circ + 25^\circ = 150^\circ\).

Der zusammengesetzte Winkel ist \(150^\circ\) groß.

- Überlege, ob eine Drehung im Uhrzeigersinn den angegebenen Winkel vergrößert oder verkleinert. - Welche Rechenoperation passt zu dieser Änderung?

1. Der Ausgangswinkel beträgt \(155^\circ\). 2. Die Drehung erfolgt im Uhrzeigersinn, daher wird der Winkel kleiner: \(155^\circ - 60^\circ = 95^\circ\). 3. Der resultierende Winkel beträgt \(\beta = 95^\circ\).

\(\beta = 95^\circ\)

- Erinnere dich an die Definitionen der Winkelarten: Wann ist ein Winkel spitz, stumpf oder recht? - Vergleiche die Öffnung der Winkel mit der eines Geodreiecks oder einer Blattecke (\(90^\circ\)). - Ist der Winkel kleiner oder größer als ein Viertelkreis?

1. Ein spitzer Winkel ist kleiner als \(90^\circ\). Ein rechter Winkel ist genau \(90^\circ\) groß. Ein stumpfer Winkel liegt zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\). 2. \(\alpha\) umfasst \(40^\circ\) (von \(0^\circ\) bis \(40^\circ\)) und ist somit ein spitzer Winkel. 3. \(\beta\) umfasst \(130^\circ\) (von \(0^\circ\) bis \(130^\circ\)) und ist somit ein stumpfer Winkel. 4. \(\gamma\) umfasst den Bereich von \(130^\circ\) bis \(240^\circ\), was einer Größe von \(110^\circ\) entspricht. Damit ist auch \(\gamma\) ein stumpfer Winkel.

\(\alpha\) ist ein spitzer Winkel, \(\beta\) ist ein stumpfer Winkel und \(\gamma\) ist ein stumpfer Winkel.

- Wähle systematisch jeweils zwei der vier Strahlen aus. - Achte darauf, kein Strahlenpaar doppelt zu zählen.

Je zwei der vier Strahlen bestimmen den kleineren Winkel zwischen ihnen. Die möglichen Paare sind \((a, b)\), \((a, c)\), \((a, d)\), \((b, c)\), \((b, d)\) und \((c, d)\). Insgesamt werden also sechs Winkel bestimmt.

Es werden \(6\) Winkel bestimmt.

- Zähle erst die kleinen Winkel und dann den großen, der sie umfasst.

Es sind 3 Winkel zu sehen: Die beiden inneren Teilwinkel \(\angle(x, y)\) und \(\angle(y, z)\) sowie der gesamte Winkel \(\angle(x, z)\).

Es sind 3 Winkel: \(\angle(x, y), \angle(y, z)\) und \(\angle(x, z)\).

- Lies genau: Wie hängen die Winkel voneinander ab? - Brauchst du den konkreten Wert von \(40^\circ\), um den Unterschied zu finden?

1. Berechnung von \(\angle(a, b)\): \(40^\circ + 25^\circ = 65^\circ\). 2. Berechnung von \(\angle(c, b)\): \(65^\circ - 40^\circ = 25^\circ\). 3. Die Information, dass \(\angle(a, c) = 40^\circ\) ist, ist für die reine Bestimmung der Differenz \(\angle(c, b)\) überflüssig, da direkt gesagt wird, dass der Gesamtwinkel um \(25^\circ\) größer ist.

\(\angle(c, b) = 25^\circ\). Die Angabe \(\angle(a, c) = 40^\circ\) ist überflüssig.

- Was bedeutet „doppelt so groß“ mathematisch? - Wenn ein Teil bekannt ist, wie findest du den Rest?

1. Gesamtwinkel berechnen: \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). 2. Teilwinkel berechnen: \(\angle(s_2, s_3) = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\).

\(\angle(s_2, s_3) = 30^\circ\).

- Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel (\(90^\circ\)). - Ein stumpfer Winkel liegt zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\). - Schaue dir an, welche Strahlen die Schenkel der jeweiligen Winkel bilden.

1. Winkel 1 hat eine Größe von \(55^\circ\). Da \(55^\circ < 90^\circ\), ist er spitz. 2. Winkel 2 ergibt sich aus der Differenz \(140^\circ - 55^\circ = 85^\circ\). Da \(85^\circ < 90^\circ\), ist er ebenfalls spitz. 3. Winkel 3 hat eine Größe von \(140^\circ\). Da \(90^\circ < 140^\circ < 180^\circ\), ist er ein stumpfer Winkel.

1) Winkel 3 ist ein stumpfer Winkel. 2) Die Winkel 1 und 2 sind spitze Winkel.

- Suche zuerst nach den Winkeln, die genau wie eine Kante eines Quadrats aussehen. - Überprüfe bei den anderen Winkeln, ob sie „offener“ oder „geschlossener“ als ein rechter Winkel sind.

1. Der Winkel \(\alpha\) bei Ecke \(A\) ist ein rechter Winkel (\(90^\circ\)). 2. Der Winkel \(\beta\) bei Ecke \(B\) ist größer als \(90^\circ\) und damit ein stumpfer Winkel. 3. Der Winkel \(\gamma\) bei Ecke \(C\) ist kleiner als \(90^\circ\) und damit ein spitzer Winkel. 4. Der Winkel \(\delta\) bei Ecke \(D\) ist ein rechter Winkel (\(90^\circ\)).

\(\alpha\): rechter Winkel \(\beta\): stumpfer Winkel \(\gamma\): spitzer Winkel \(\delta\): rechter Winkel

- Ein überstumpfer Winkel „knickt“ die Figur an dieser Stelle nach innen ein. Er ist größer als \(180^\circ\). - Spitze Winkel sind besonders schmal.

1. Ein überstumpfer Winkel ist größer als ein gestreckter Winkel von \(180^\circ\). In der Abbildung ist das der Winkel \(\phi_2\) am Eckpunkt \(Q\), da er das Viereck nach innen „einbeult“. 2. Die Winkel \(\phi_1, \phi_3\) und \(\phi_4\) an den Eckpunkten \(P, R\) und \(S\) sind jeweils kleiner als \(90^\circ\) und somit spitz.

1) \(\phi_2\) ist ein überstumpfer Winkel. 2) Die Winkel \(\phi_1, \phi_3\) und \(\phi_4\) sind spitze Winkel.

- Überlege dir, wie groß der Winkel zwischen dem ersten Strahl \(p\) und dem Strahl \(q\) sein muss, wenn du den Gesamtwinkel kennst. - Kannst du die Situation skizzieren und die bekannten Winkel eintragen? - Wenn zwei Winkel sich in einem größeren Winkel überlappen, entspricht die Summe der beiden minus dem Gesamtwinkel genau dem Überlappungsbereich.

1. Bestimmung der Lage von Strahl \(q\): Da der Gesamtwinkel \(\angle (p, s) = 90^\circ\) ist und \(\angle (q, s) = 55^\circ\), berechnet sich der Winkel \(\angle (p, q)\) durch \(90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\). 2. Berechnung des gesuchten Winkels \(\gamma\): Da Strahl \(r\) bei \(68^\circ\) (von \(p\) aus) und Strahl \(q\) bei \(35^\circ\) (von \(p\) aus) liegen, ergibt sich \(\gamma = 68^\circ - 35^\circ = 33^\circ\). Alternativer Weg: Die Summe der Teilwinkel \(\angle (p, r) + \angle (q, s) = 68^\circ + 55^\circ = 123^\circ\) übersteigt den Gesamtwinkel von \(90^\circ\) um genau den Betrag des Überlappungsbereichs \(\gamma\). Also \(\gamma = 123^\circ - 90^\circ = 33^\circ\).

Der Winkel \(\gamma\) ist \(33^\circ\) groß.

- Ein spitzer Winkel ist „schmaler“ als ein rechter Winkel. - Ein rechter Winkel sieht aus wie die Ecke eines Geodreiecks oder eines Quadrats. Oft wird er durch eine besondere Winkelmarkierung hervorgehoben. - Ein stumpfer Winkel ist „weiter geöffnet“ als ein rechter Winkel. - Du kannst dir ein Geodreieck zur Hilfe nehmen, um die Winkel mit einem rechten Winkel zu vergleichen.

1. Vergleich der Winkelgrößen: Durch Betrachten oder Messen lassen sich die Winkelgrößen bestimmen: \(\gamma = 15^\circ\), \(\alpha = 45^\circ\), \(\delta = 90^\circ\) und \(\beta = 105^\circ\). Die richtige Reihenfolge vom kleinsten zum größten Winkel lautet somit: \(\gamma < \alpha < \delta < \beta\). 2. Bestimmung der Winkelarten: - \(\gamma = 15^\circ\): spitzer Winkel (da kleiner als \(90^\circ\)) - \(\alpha = 45^\circ\): spitzer Winkel (da kleiner als \(90^\circ\)) - \(\delta = 90^\circ\): rechter Winkel (da genau \(90^\circ\)) - \(\beta = 105^\circ\): stumpfer Winkel (da größer als \(90^\circ\) und kleiner als \(180^\circ\))

1. Reihenfolge: \(\gamma < \alpha < \delta < \beta\) 2. \(\alpha\) und \(\gamma\) sind spitz, \(\delta\) ist ein rechter Winkel, \(\beta\) ist ein stumpfer Winkel.

- Stell dir das Riesenrad wie eine Torte vor, die in gleich große Stücke zerschnitten ist. - Wenn du die Gesamtgradzahl kennst und wissen willst, wie oft ein bestimmter Winkel hineinpasst, welche Rechnung hilft dir? - Überlege bei b), wie oft \(45^\circ\) in \(360^\circ\) enthalten sind.

1. Ein Vollkreis hat \(360^\circ\). 2. Teilaufgabe a): Der Vollwinkel wird durch die Anzahl der Gondeln (12) dividiert: \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). 3. Teilaufgabe b): Um die Anzahl der Gondeln zu finden, wird der Vollwinkel durch den Winkel eines Abschnitts (\(45^\circ\)) geteilt: \(360^\circ : 45^\circ = 8\). Das Rad hat also 8 Gondeln.

a) \(30^\circ\) b) 8 Gondeln

- Überlege dir, wie viel an einem vollen Kreis noch fehlt. - Stell dir vor, du zeichnest zuerst eine gerade Linie und überlegst, wie viel du dann noch hinzufügen musst.

1. Rest zum Vollwinkel: \(360^\circ - 215^\circ = 145^\circ\). Man kann also den kleineren Restwinkel von \(145^\circ\) zeichnen. 2. Anteil über den gestreckten Winkel hinaus: \(215^\circ - 180^\circ = 35^\circ\). Alternativ zeichnet man zuerst \(180^\circ\) und trägt anschließend \(35^\circ\) ab.

Man kann entweder den Restwinkel von \(145^\circ\) zum Vollwinkel oder den zusätzlichen Hilfswinkel von \(35^\circ\) nach einem gestreckten Winkel verwenden.

- Überlege zuerst, wie viele Grad der Zeiger in einer einzigen Minute zurücklegt. - Ein komplettes Zifferblatt stellt einen Vollwinkel dar. - Wie viele Minuten liegen zwischen den einzelnen Zahlen auf einer Uhr?

1. Ein voller Kreis entspricht \(360^\circ\). In einer Stunde (\(60\,\text{Minuten}\)) legt der Minutenzeiger diesen Winkel zurück. Pro Minute ergibt sich ein Winkel von \(360^\circ : 60 = 6^\circ\). 2. Für \(10\,\text{Minuten}\) rechnet man \(10 \cdot 6^\circ = 60^\circ\). 3. Um die Zeit für \(150^\circ\) zu finden, teilt man den Winkel durch den Wert pro Minute: \(150^\circ : 6^\circ = 25\). Es sind \(25\,\text{Minuten}\) vergangen. 4. Der Abstand von der Ziffer „2“ zur „6“ entspricht \(4\) Abschnitten zu je \(5\,\text{Minuten}\), also insgesamt \(20\,\text{Minuten}\). Der Winkel beträgt \(20 \cdot 6^\circ = 120^\circ\).

a) \(60^\circ\) b) \(25\,\text{Minuten}\) c) \(120^\circ\)

- Wo genau steht der Stundenzeiger, wenn eine halbe Stunde vergangen ist? - Ein Stundenabschnitt umfasst \(30^\circ\). Wo befindet sich der Zeiger nach einer halben Stunde innerhalb dieses Abschnitts? - Berechne zuerst die Position beider Zeiger in Grad, ausgehend von der 12-Uhr-Markierung.

1. Um 16:30 Uhr steht der Minutenzeiger genau auf der 6 (\(180^\circ\) von der 12 aus gemessen). Der Stundenzeiger steht genau in der Mitte zwischen der 4 und der 5. 2. Position des Stundenzeigers: \(4 \cdot 30^\circ + 15^\circ = 135^\circ\). Differenz: \(180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). 3. Um 22:30 Uhr steht der Minutenzeiger auf der 6 (\(180^\circ\)). Der Stundenzeiger steht mittig zwischen der 10 und der 11. 4. Position des Stundenzeigers: \(10 \cdot 30^\circ + 15^\circ = 315^\circ\). Differenz: \(315^\circ - 180^\circ = 135^\circ\).

a) \(45^\circ\) b) \(135^\circ\)

- Überlege dir zuerst, wie viel Grad ein einzelner Stundenabschnitt auf der Uhr hat. - Stelle dir die Uhr vor und zähle die Abschnitte vom Stundenzeiger zum Minutenzeiger in der angegebenen Richtung. - Erinnere dich an die Definitionen der Winkelarten: Wann ist ein Winkel spitz, recht oder stumpf? - Was passiert, wenn der Winkel genau eine halbe Drehung oder mehr als eine halbe Drehung umfasst?

1. Ein Vollkreis hat \(360^\circ\). Da das Zifferblatt in 12 Stundenabschnitte unterteilt ist, entspricht ein Abschnitt \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). 2. Bei der Messung gegen den Uhrzeigersinn vom Stundenzeiger (auf der jeweiligen Zahl) zum Minutenzeiger (auf der 12) ergeben sich folgende Winkelweiten: - a) 2:00 Uhr: 2 Abschnitte \(\rightarrow 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Da \(0^\circ < 60^\circ < 90^\circ\), ist der Winkel spitz. - b) 3:00 Uhr: 3 Abschnitte \(\rightarrow 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\). Dies ist ein rechter Winkel. - c) 5:00 Uhr: 5 Abschnitte \(\rightarrow 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\). Da \(90^\circ < 150^\circ < 180^\circ\), ist der Winkel stumpf. - d) 6:00 Uhr: 6 Abschnitte \(\rightarrow 6 \cdot 30^\circ = 180^\circ\). Dies ist ein gestreckter Winkel. - e) 8:00 Uhr: 8 Abschnitte \(\rightarrow 8 \cdot 30^\circ = 240^\circ\). Da \(180^\circ < 240^\circ < 360^\circ\), ist der Winkel überstumpf.

a) spitzer Winkel b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel d) gestreckter Winkel e) überstumpfer Winkel

- Was passiert mit der Öffnung zwischen den Linien \(PA\) und \(PB\), wenn der Punkt \(P\) sehr nah an der Grundlinie liegt? - Was passiert mit der Öffnung, wenn \(P\) sehr weit weg ist? - Benutze dein Geodreieck, um den Punkt auf der senkrechten Linie zu finden, der genau mit den \(90^\circ\)-Markierungen auf \(A\) und \(B\) passt.

1. Zeichnen der Punkte \(A(1 \mid 1)\), \(B(5 \mid 1)\) und der vertikalen Linie bei \(x=3\). 2. Messen der Winkel an den angegebenen Stellen: Bei \(P(3 \mid 1{,}5)\) ist der Winkel ca. \(152^\circ\) (stumpf). Bei \(P(3 \mid 3)\) ergibt die Messung genau \(90^\circ\) (rechter Winkel). Bei \(P(3 \mid 5)\) ist der Winkel ca. \(53^\circ\) (spitz). 3. Feststellung: Je weiter sich der Punkt \(P\) von der Strecke \(\overline{AB}\) nach oben entfernt, desto kleiner wird die Weite des Winkels \(\angle APB\). 4. Identifikation der Position für den rechten Winkel: Dies ist der Punkt \(P(3 \mid 3)\).

a) Der Winkel wird immer kleiner, je weiter sich \(P\) nach oben bewegt. Bei \(P(3 \mid 1{,}5)\) ist er stumpf, bei \(P(3 \mid 3)\) ein rechter Winkel und bei \(P(3 \mid 5)\) spitz. b) Ja, an der Position \(P(3 \mid 3)\) ist der Winkel \(\angle APB\) ein rechter Winkel.

- Wo auf der Strecke hat man wohl den „besten“ bzw. breitesten Blick auf beide Pfosten gleichzeitig? - Überlege, ob der Winkel größer wird, wenn man genau mittig vor den Pfosten steht oder wenn man seitlich versetzt ist. - Nutze die Symmetrie der Anordnung. - Miss den Winkel am Punkt genau in der Mitte zwischen \(x = 2\) und \(x = 10\).

1. Zeichnen des Koordinatensystems mit den Punkten \(A(2 \mid 2)\), \(B(10 \mid 2)\) und der Laufstrecke auf der Linie \(y=6\) von \(x=2\) bis \(x=10\). 2. Durch Testen verschiedener Punkte auf der Strecke \(\overline{CD}\) (z. B. \(x=2, 4, 6, 8, 10\)) erkennt man, dass der Winkel in der Mitte zwischen den Pfosten am größten ist. Die Mitte liegt bei \((2 + 10) : 2 = 6\). Der gesuchte Punkt ist also \(P(6 \mid 6)\). 3. Anlegen des Geodreiecks am Scheitelpunkt \(P(6 \mid 6)\) und Messen des Winkels zwischen den Schenkeln \(PA\) und \(PB\). 4. Das Messergebnis zeigt eine Winkelweite von genau \(90^\circ\). Es handelt sich also um einen rechten Winkel.

a) Der Blickwinkel ist am größten, wenn das Kind genau in der Mitte zwischen den Pfosten steht, also bei \(P(6 \mid 6)\). b) An der Stelle \(P(6 \mid 6)\) ist der Winkel ein rechter Winkel. Die Winkelweite beträgt \(90^\circ\).

- Skizziere die Punkte \(S\), \(A\), \(Q\) und \(P\) in ein Koordinatensystem. - Was bedeutet es für die Größe eines Winkels, wenn die Schenkel eine gerade Linie bilden? - Achte darauf, ob die Schenkel senkrecht zueinander stehen. - Nutze dein Geodreieck, um die Winkel in deiner Zeichnung zu überprüfen.

1. Der erste Schenkel verläuft von \(S(4 \mid 1)\) vertikal nach oben durch \(A(4 \mid 5)\). 2. Zu a): Wenn der zweite Schenkel genau entgegengesetzt verläuft, zeigt er vertikal nach unten. Ein gestreckter Winkel entsteht, also \(\beta = 180^\circ\). 3. Zu b): Der Punkt \(Q(0 \mid 5)\) liegt 4 Einheiten links und 4 Einheiten oberhalb von \(S(4 \mid 1)\). Der Schenkel \(SQ\) verläuft also diagonal durch das Gitternetz. Da der erste Schenkel vertikal ist, bildet die Diagonale dazu einen Winkel von \(45^\circ\). 4. Zu c): Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt auf der gleichen Höhe wie \(S(4 \mid 1)\), also horizontal links davon. Da der erste Schenkel vertikal nach oben verläuft und der zweite horizontal nach links, beträgt der Winkel \(\beta = 90^\circ\).

a) \(\beta = 180^\circ\) b) \(\beta = 45^\circ\) c) \(\beta = 90^\circ\)

- Überlege dir, aus welchen kleineren Teilwinkeln sich die Winkel in den Antwortmöglichkeiten zusammensetzen. - Wenn du zwei gleiche Bausteine hast und zu jedem den gleichen dritten Baustein hinzufügst, sind die Ergebnisse dann immer noch gleich?

1. Gegeben ist, dass die Teilwinkel gleich sind: \(\angle(a, b) = \angle(b, c) = \angle(c, d)\). 2. Der Winkel \(\angle(a, c)\) setzt sich aus \(\angle(a, b) + \angle(b, c)\) zusammen. 3. Der Winkel \(\angle(b, d)\) setzt sich aus \(\angle(b, c) + \angle(c, d)\) zusammen. 4. Da die einzelnen Summanden jeweils gleich groß sind, sind auch die Summen gleich: \(\angle(a, c) = \angle(b, d)\). Somit ist Antwort B korrekt.

Korrekt ist Antwort B: \(\angle(a, c) = \angle(b, d)\).

- Versuche, alle Winkel von einer gemeinsamen Seite (z. B. dem rechten Rand) aus zu bestimmen. - Zeichne dir die Situation auf: Wo liegt Schnitt \(a\), wenn er \(85^\circ\) vom linken Rand entfernt ist? - Der gesuchte Winkel ist der Unterschied zwischen den Positionen der beiden Schnitte.

1. Festlegung des Bezugssystems: Wir setzen den rechten Rand bei \(0^\circ\) an, dann liegt der linke Rand bei \(120^\circ\). 2. Position von Schnitt \(b\): Dieser liegt bei \(75^\circ\) (vom rechten Rand aus gemessen). 3. Position von Schnitt \(a\): Da er \(85^\circ\) vom linken Rand (\(120^\circ\)) entfernt ist, liegt er bei \(120^\circ - 85^\circ = 35^\circ\). 4. Berechnung des Winkels zwischen \(a\) und \(b\): Die Differenz der Positionen ergibt \(\delta = 75^\circ - 35^\circ = 40^\circ\).

Der Winkel \(\delta\) zwischen den Schnitten beträgt \(40^\circ\).

- Ein rechter Winkel sieht aus wie die Ecke eines Geodreiecks oder eines Blattes Papier. - Spitze Winkel sind „schmaler“ oder „schärfer“ als ein rechter Winkel. - Stumpfe Winkel sind „weiter geöffnet“ als ein rechter Winkel. - Der mittlere Buchstabe bei der Angabe eines Winkels, zum Beispiel \(S\) in \(\angle ASB\), gibt den Scheitelpunkt an.

1. Rechte Winkel (\(90^\circ\)): In einem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander. Zwei Beispiele sind \(\angle ASB\) und \(\angle BSC\). 2. Spitze Winkel (\(< 90^\circ\)): Zwei Beispiele sind \(\angle BCD\) und \(\angle CAD\). 3. Stumpfe Winkel (\(> 90^\circ\)): Zwei Beispiele sind \(\angle DAB\) und \(\angle ABC\).

a) Rechte Winkel: \(\angle ASB\), \(\angle BSC\) b) Spitze Winkel: \(\angle BCD\), \(\angle CAD\) c) Stumpfe Winkel: \(\angle DAB\), \(\angle ABC\)

- Bewegt sich der Stundenzeiger nur jede volle Stunde oder wandert er langsam mit? - Wie viel Grad legt der Stundenzeiger in einer ganzen Stunde (\(60\) Minuten) zurück? - Wie viel Grad sind es dann in 15 Minuten? - Subtrahiere die kleine Verschiebung des Stundenzeigers von der Position des Minutenzeigers.

1. Begründung: Während der Minutenzeiger 15 Minuten zurücklegt (ein Viertel des Kreises), bewegt sich auch der Stundenzeiger ein kleines Stück von der 12 weg in Richtung der 1. Daher stehen die Zeiger nicht senkrecht zueinander. 2. Der Minutenzeiger steht auf der 3, was \(90^\circ\) entspricht. 3. Der Stundenzeiger hat sich in 15 Minuten um ein Viertel eines Stundenabschnitts (\(30^\circ\)) bewegt: \(30^\circ : 4 = 7{,}5^\circ\). 4. Der Winkel zwischen den Zeigern ist die Differenz: \(90^\circ - 7{,}5^\circ = 82{,}5^\circ\).

a) Der Stundenzeiger wandert während der 15 Minuten ein Stück von der 12 in Richtung der 1 weiter. b) \(82{,}5^\circ\)

- Zeichne die Situation sorgfältig auf Karopapier. - Nutze dein Geodreieck, um die Winkel an verschiedenen Stellen der Strecke zu messen. - Überlege dir, was mit der Winkelgröße passiert, wenn du von einem spitzen zu einem stumpfen Winkel übergehst. - Achte auf die Symmetrie der Figur – was links von der Mitte passiert, passiert oft auch rechts davon.

1. Einzeichnen der Punkte \(A(0 \mid 0)\), \(B(8 \mid 0)\) sowie der Strecke von \(C(0 \mid 3)\) bis \(D(8 \mid 3)\). 2. Messen der Winkelweiten an den gewählten Punkten: Bei \(P_1(0 \mid 3)\) beträgt der Winkel ca. \(69^\circ\) (spitz), bei \(P_2(4 \mid 3)\) ca. \(106^\circ\) (stumpf) und bei \(P_3(8 \mid 3)\) wieder ca. \(69^\circ\) (spitz). 3. Da sich die Winkelweite beim Weg von \(C\) zur Mitte stetig von einem spitzen zu einem stumpfen Winkel verändert, muss dazwischen mindestens einmal ein rechter Winkel auftreten. 4. Aufgrund der Symmetrie tritt beim Weg von der Mitte nach \(D\) mindestens ein weiteres Mal ein rechter Winkel auf. Insgesamt tritt ein rechter Winkel also mindestens zweimal auf.

a) Bei \(P_1(0 \mid 3)\) ist der Winkel spitz (ca. \(69^\circ\)), bei \(P_2(4 \mid 3)\) ist er stumpf (ca. \(106^\circ\)) und bei \(P_3(8 \mid 3)\) ist er wieder spitz (ca. \(69^\circ\)). b) Der Winkel muss mindestens zweimal ein rechter Winkel sein: einmal beim Übergang von spitz zu stumpf und aufgrund der Symmetrie mindestens ein weiteres Mal beim Übergang von stumpf zu spitz.

- In einem Koordinatensystem kannst du Winkel oft durch das Abzählen von Kästchen bestimmen (z. B. bei Diagonalen). - „Senkrecht“ ist ein anderes Wort für einen ganz bestimmten Winkel. - Wenn du die Punkte verbindest, siehst du, ob der Winkel spitz, stumpf, recht oder gestreckt ist. - Wo genau liegt die \(x\)-Achse im Koordinatensystem? (Dort ist der \(y\)-Wert immer 0).

1. Der erste Schenkel \(SA\) liegt auf der horizontalen Linie \(y = 2\) und zeigt nach rechts. 2. Zu a): Der Punkt \(P(0 \mid 4)\) liegt 2 Einheiten links und 2 Einheiten oberhalb von \(S(2 \mid 2)\). Der Schenkel \(SP\) bildet somit einen Winkel von \(135^\circ\) zum ersten Schenkel (\(90^\circ\) bis zur Vertikalen plus \(45^\circ\) für die Diagonale). 3. Zu b): „Senkrecht und nach unten“ bedeutet ein Winkel von \(\gamma = 90^\circ\). Der Schenkel verläuft von \((2 \mid 2)\) vertikal nach unten und trifft die \(x\)-Achse bei \(x = 2\), also im Punkt \((2 \mid 0)\). 4. Zu c): Der Punkt \(Q(0 \mid 2)\) liegt auf derselben horizontalen Linie wie \(S\) und \(A\), aber links vom Scheitelpunkt. Die beiden Schenkel bilden zusammen eine Gerade, was einem gestreckten Winkel von \(\gamma = 180^\circ\) entspricht.

a) \(\gamma = 135^\circ\) b) \(\gamma = 90^\circ\); er trifft den Punkt \((2 \mid 0)\). c) \(\gamma = 180^\circ\)