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- Achte auf das Wort „genau“: Gesucht sind nur Punkte mit einem festen Abstand. - Welche bekannte Linie entsteht, wenn alle Punkte gleich weit von einem Mittelpunkt entfernt sind?

1. Der Abstand zu \(M\) ist für alle gesuchten Punkte gleich groß. 2. Alle Punkte mit demselben festen Abstand von einem Mittelpunkt liegen auf einer Kreislinie. 3. Die gesuchte Ortslinie ist daher die Kreislinie um \(M\) mit dem Radius \(3\,\text{cm}\).

Die Kreislinie um \(M\) mit dem Radius \(3\,\text{cm}\).

- Suche die Linie, die den Streifen zwischen \(a\) und \(b\) genau halbiert. - Vergleiche im Gitternetz die Abstände nach oben und nach unten.

1. Punkte mit gleichem Abstand von zwei parallelen Geraden liegen genau in der Mitte zwischen ihnen. 2. In der Abbildung liegt \(c\) mittig zwischen \(a\) und \(b\), während \(d\) näher an \(a\) liegt. 3. Daher ist \(c\) die gesuchte Ortslinie.

Die Gerade \(c\).

- Vergleiche die Lage der markierten Punkte oberhalb und unterhalb von \(g\). - Was bleibt gleich, wenn du dich entlang einer Linie bewegst, die überall denselben Abstand zu \(g\) hat? - Denke daran, dass Punkte auf beiden Seiten von \(g\) denselben Abstand haben können.

1. Oberhalb von \(g\) liegen alle Punkte mit Abstand \(2\,\text{cm}\) auf einer Geraden parallel zu \(g\). 2. Unterhalb von \(g\) gibt es genauso eine zweite parallele Gerade im Abstand \(2\,\text{cm}\). 3. Insgesamt liegen alle gesuchten Punkte auf zwei Geraden, je einer auf jeder Seite von \(g\).

Auf zwei Geraden. Beide sind parallel zu \(g\) und liegen auf verschiedenen Seiten von \(g\) jeweils \(2\,\text{cm}\) entfernt.

- Was bedeutet „höchstens“ für die möglichen Abstände? - Gehören bei „genau \(4\,\text{cm}\)“ auch Punkte im Inneren dazu? - Welcher Begriff bezeichnet nur den Rand, welcher auch das Innere?

1. Die Punkte mit genau \(4\,\text{cm}\) Abstand von \(M\) bilden die Kreislinie. 2. Zu den Punkten mit höchstens \(4\,\text{cm}\) Abstand gehören die Kreislinie und alle Punkte in ihrem Inneren. Zusammen bilden sie die Kreisfläche. 3. Die Kreislinie ist nur der Rand. Zur Kreisfläche gehören der Rand und das gesamte Innere.

Alle Punkte mit genau \(4\,\text{cm}\) Abstand von \(M\) bilden die Kreislinie. Alle Punkte mit höchstens \(4\,\text{cm}\) Abstand von \(M\) bilden die Kreisfläche mit Rand und Innerem.

- Gesucht sind Punkte, die zu beiden parallelen Geraden gleich weit entfernt sind. - Überlege, wo innerhalb des Streifens zwischen den Geraden diese Punkte liegen müssen. - Welche Strecke entsteht, wenn du den Abstand zwischen den beiden Geraden in zwei gleiche Teile zerlegst?

1. Alle Punkte, die von zwei parallelen Geraden den gleichen Abstand haben, liegen auf der Mittelparallelen. Sie verläuft parallel zu beiden Geraden genau in der Mitte. 2. Die Mittelparallele halbiert den Abstand zwischen \(a\) und \(b\). Daher beträgt ihr Abstand zu jeder der beiden Geraden \(6\,\text{cm}:2=3\,\text{cm}\).

a) Die Punkte liegen auf der Mittelparallelen zwischen \(a\) und \(b\). b) Der Abstand zur Geraden \(a\) beträgt \(3\,\text{cm}\), weil die Mittelparallele den Abstand von \(6\,\text{cm}\) halbiert.

- Gesucht ist ein exakter Abstand, nicht ein höchstens so großer Abstand. - Nutze das Raster, um die Abstände der markierten Punkte von \(P\) zu vergleichen. - Welche geometrische Linie besteht aus allen Punkten mit demselben Abstand von einem festen Mittelpunkt?

1. Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) liegen jeweils drei Rastereinheiten von \(P\) entfernt. Die Punkte \(E\) und \(F\) haben einen anderen Abstand. 2. Alle Punkte mit genau demselben Abstand \(3\,\text{cm}\) von \(P\) bilden eine Kreislinie. 3. Ihr Mittelpunkt ist \(P\), ihr Radius beträgt \(3\,\text{cm}\).

a) \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) b) Kreislinie mit Mittelpunkt \(P\) und Radius \(3\,\text{cm}\)

- Bei einer senkrechten Geraden reicht es, die \(x\)-Koordinaten zu vergleichen. - Gesucht sind Punkte, deren \(x\)-Koordinate genau 3 Einheiten von \(4\) entfernt ist. - Es gibt eine passende Gerade links und eine passende Gerade rechts von \(g\).

1. Bei einer senkrechten Geraden wird der Abstand durch den Unterschied der \(x\)-Koordinaten bestimmt. 2. Punkt \(A\) hat die \(x\)-Koordinate \(1\), also den Abstand \(4 - 1 = 3\) Einheiten von \(g\). 3. Punkt \(B\) hat die \(x\)-Koordinate \(7\), also den Abstand \(7 - 4 = 3\) Einheiten von \(g\). \(C\) und \(D\) haben andere Abstände. 4. Alle Punkte mit Abstand \(3\,\text{cm}\) liegen daher auf den beiden senkrechten Geraden mit \(x\)-Koordinate \(1\) beziehungsweise \(7\).

a) \(A\) und \(B\) b) Auf der Geraden mit \(x=1\) und auf der Geraden mit \(x=7\). Beide sind parallel zu \(g\).

- Eine Parallele mit festem Abstand kann auf beiden Seiten von \(g\) liegen. - Überlege, was passiert, wenn \(a\) und \(b\) auf derselben Seite von \(g\) liegen. - Prüfe danach den Fall, dass sie auf verschiedenen Seiten von \(g\) liegen.

1. Eine Gerade, die im Abstand \(3\,\text{cm}\) parallel zu \(g\) verläuft, kann auf zwei Seiten von \(g\) liegen. 2. Fall 1: Die Geraden \(a\) und \(b\) liegen auf derselben Seite von \(g\). Da sie beide denselben Abstand zu \(g\) haben, müssen sie identisch sein. Der Abstand zwischen ihnen beträgt \(0\,\text{cm}\). 3. Fall 2: Die Geraden \(a\) und \(b\) liegen auf unterschiedlichen Seiten von \(g\). Der Abstand von \(a\) zu \(g\) beträgt \(3\,\text{cm}\) und der Abstand von \(g\) zu \(b\) beträgt ebenfalls \(3\,\text{cm}\). Da \(g\) zwischen ihnen liegt, addieren sich die Abstände: \(3\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\).

Die Geraden \(a\) und \(b\) können entweder den Abstand \(0\,\text{cm}\) haben (wenn sie identisch sind und auf derselben Seite von \(g\) liegen) oder den Abstand \(6\,\text{cm}\) (wenn sie auf gegenüberliegenden Seiten von \(g\) liegen).

- Betrachte die beiden Abstandsbedingungen zunächst getrennt. - Welche Form entsteht bei festem Abstand von einem Punkt? - Überlege danach, auf welchen Linien Punkte mit festem Abstand zu einer Geraden liegen und wo sich beide Bedingungen treffen.

1. Alle Punkte mit dem festen Abstand \(4\,\text{cm}\) von \(P\) liegen auf einer Kreislinie mit Mittelpunkt \(P\) und Radius \(4\,\text{cm}\). 2. Alle Punkte mit dem festen Abstand \(4\,\text{cm}\) von \(g\) liegen auf zwei Geraden, die parallel zu \(g\) verlaufen und jeweils \(4\,\text{cm}\) Abstand zu \(g\) haben. 3. Die Kreislinie berührt jede der beiden Parallelen in genau einem Punkt. Deshalb gibt es insgesamt \(2\) Punkte, die beide Bedingungen erfüllen.

1. Auf einer Kreislinie mit Mittelpunkt \(P\) und Radius \(4\,\text{cm}\). 2. Auf zwei Parallelen zu \(g\) im Abstand \(4\,\text{cm}\). 3. Genau \(2\) Punkte.

- Gehören Punkte mit genau \(3\,\text{cm}\) Abstand zu „weniger als \(3\,\text{cm}\)“? - Welche Punkte bilden die Kreislinie? - Überlege, was hinzukommt, wenn du beide Gruppen von Punkten zusammenfasst.

1. Die Punkte mit weniger als \(3\,\text{cm}\) Abstand von \(S\) liegen im Inneren des Kreises, aber nicht auf seinem Rand. 2. Die Punkte mit genau \(3\,\text{cm}\) Abstand von \(S\) bilden die Kreislinie. 3. Zusammen entsteht die vollständige Kreisfläche einschließlich der Kreislinie. Das sind alle Punkte mit höchstens \(3\,\text{cm}\) Abstand von \(S\). 4. Nimmt man nur die Punkte mit weniger als \(3\,\text{cm}\) Abstand, fehlt die Kreislinie.

Zusammen entsteht die Kreisfläche einschließlich der Kreislinie. Bei der Figur mit nur weniger als \(3\,\text{cm}\) Abstand fehlt die Kreislinie.

- Überlege zuerst, wie die Geraden im Koordinatensystem verlaufen. Sind sie waagerecht, senkrecht oder schräg? - Was bedeutet es für die Position, wenn ein Punkt genau zwischen zwei parallelen Linien liegt? - Gibt es nur eine oder mehrere Linien, die einen festen Abstand zu einer vorgegebenen Geraden haben? - Wie verändern sich die Koordinaten, wenn du dich von einer senkrechten Geraden nach links oder rechts wegbewegst?

1. Auf \(g\) haben alle Punkte den \(x\)-Wert \(3\), auf \(h\) den \(x\)-Wert \(7\). Beide Geraden verlaufen also parallel zur \(y\)-Achse. 2. Punkte mit gleichem Abstand zu zwei parallelen Geraden liegen genau in der Mitte zwischen ihnen. Der mittlere \(x\)-Wert ist \((3 + 7) : 2 = 5\). Die gesuchten Punkte liegen auf der Geraden \(x = 5\). 3. Punkte mit \(2\,\text{cm}\) Abstand zu \(g\) liegen auf zwei Parallelen zu \(g\). Ihre \(x\)-Werte sind \(3 - 2 = 1\) und \(3 + 2 = 5\).

a) Alle Punkte mit gleichem Abstand zu \(g\) und \(h\) liegen auf einer Geraden, die parallel zu \(g\) und \(h\) genau in der Mitte verläuft (bei \(x = 5\)). b) Diese Punkte liegen auf zwei Geraden, die parallel zu \(g\) verlaufen: Eine Gerade verläuft durch \(x = 1\), die andere durch \(x = 5\).

- Welche geometrische Punktmenge beschreibt die Bedingung „höchstens einen bestimmten Abstand“? - Wann haben zwei solche Kreisscheiben genau einen gemeinsamen Punkt? - Lies zunächst den aktuellen Abstand von \(A\) und \(B\) aus dem Koordinatensystem ab. - Welcher Mittelpunktabstand gehört zur äußeren Berührung der beiden Randkreise?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(2\mid 3)\) und \(B(11\mid 3)\) ab. Der aktuelle Mittelpunktabstand beträgt daher \(11\,\text{cm}-2\,\text{cm}=9\,\text{cm}\). 2. Die Bedingung „höchstens \(4\,\text{cm}\) von \(A\)“ beschreibt eine Kreisscheibe mit Radius \(4\,\text{cm}\); entsprechend entsteht um \(B\) eine Kreisscheibe mit Radius \(2\,\text{cm}\). 3. Genau ein gemeinsamer Punkt entsteht bei äußerer Berührung. Dann muss der Mittelpunktabstand \(4\,\text{cm}+2\,\text{cm}=6\,\text{cm}\) betragen. 4. Der Abstand muss also um \(9\,\text{cm}-6\,\text{cm}=3\,\text{cm}\) verkleinert werden. Dazu wird \(B\) um \(3\,\text{cm}\) nach links verschoben.

\(B\) muss mindestens um \(3\,\text{cm}\) in negative \(x\)-Richtung verschoben werden.

- Addiere die beiden Reichweiten und vergleiche sie mit dem Abstand der Türme. - Stelle dir die Verbindungslinie als Zahlenstrahl vor, wobei \(L_1\) bei \(0\) steht. - Wo beginnt der Bereich des zweiten Leuchtturms auf diesem Zahlenstrahl?

1. Die Summe der Reichweiten beträgt \(12\,\text{km} + 15\,\text{km} = 27\,\text{km}\). Da der Abstand der Türme (\(20\,\text{km}\)) kleiner ist als diese Summe, überlappen sich die beleuchteten Kreisflächen. Es gibt also einen gemeinsamen Bereich. 2. Auf der Verbindungslinie reicht das Licht von \(L_1\) von \(0\,\text{km}\) bis \(12\,\text{km}\) (vom Standort \(L_1\) aus gesehen). 3. Das Licht von \(L_2\) reicht von seinem Standort \(20\,\text{km}\) bis zu einer Entfernung von \(15\,\text{km}\) in Richtung \(L_1\), also bis zur Position \(20\,\text{km} - 15\,\text{km} = 5\,\text{km}\) auf der Verbindungslinie. 4. Die gemeinsame Teilstrecke liegt also zwischen Kilometer \(5\) und Kilometer \(12\). 5. Die Länge dieser Strecke berechnet sich zu \(12\,\text{km} - 5\,\text{km} = 7\,\text{km}\).

a) Ja, da \(12\,\text{km} + 15\,\text{km} = 27\,\text{km} > 20\,\text{km}\). b) Gemessen von \(L_1\) reicht die gemeinsame Teilstrecke von Kilometer \(5\) bis Kilometer \(12\); sie ist \(7\,\text{km}\) lang.

- Was bedeutet „höchstens ein bestimmter Abstand“ für die Form der Punktmenge? - Vergleiche die Summe der beiden Abstände mit der direkten Entfernung zwischen \(M\) und \(N\). - Wann fangen zwei Kreisscheiben an, sich zu überschneiden, anstatt sich nur zu berühren?

1. Die Bedingung „höchstens \(4\,\text{cm}\) von \(M\) entfernt“ beschreibt eine Kreisscheibe um \(M\) mit \(r_1 = 4\,\text{cm}\). Analog beschreibt die zweite Bedingung eine Kreisscheibe um \(N\) mit \(r_2 = 2\,\text{cm}\). 2. Der Abstand der Mittelpunkte ist \(d = 6\,\text{cm}\). 3. Da \(r_1 + r_2 = 4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\) genau dem Abstand \(d\) entspricht, berühren sich die beiden Kreisscheiben von außen in genau einem Punkt. 4. Dieser Punkt liegt auf der Verbindungsstrecke \(MN\), genau \(4\,\text{cm}\) von \(M\) und \(2\,\text{cm}\) von \(N\) entfernt. 5. Damit eine gemeinsame Fläche entsteht, müssen sich die Kreisscheiben überschneiden. Das passiert, wenn der Abstand der Mittelpunkte kleiner ist als die Summe der Radien: \(d < r_1 + r_2\). 6. Also muss der Abstand \(d < 6\,\text{cm}\) sein.

a) Es gibt genau einen Punkt. Er liegt auf der Verbindungsstrecke zwischen \(M\) und \(N\). b) Der Abstand zwischen \(M\) und \(N\) müsste kleiner als \(6\,\text{cm}\) sein.

- Unterscheide „fester Abstand zu einer Geraden“ von „gleicher Abstand zu zwei Geraden“. - Wo muss ein Punkt liegen, damit sein senkrechter Abstand zu \(g\) genauso groß ist wie zu \(h\)? - Prüfe, ob eine Linie außerhalb des Streifens zwischen \(g\) und \(h\) beide Abstände gleich machen könnte.

1. Zwei Geraden entstehen, wenn man alle Punkte mit einem festen Abstand zu nur einer gegebenen Geraden sucht. 2. Hier sollen die Punkte dagegen von den beiden parallelen Geraden \(g\) und \(h\) gleich weit entfernt sein. 3. Diese Punkte liegen genau zwischen \(g\) und \(h\) auf einer einzigen Parallelen zu beiden Geraden. 4. Jonas verwechselt also das Parallelenpaar zu einer Geraden mit der Mittelparallelen zwischen zwei Geraden.

Nein. Die gesuchte Ortslinie ist eine einzige Mittelparallele genau zwischen \(g\) und \(h\). Zwei Parallelen erhält man bei einem festen Abstand zu nur einer Geraden.

- Betrachte die beiden Abstandsbedingungen zunächst getrennt. - Welche Ortslinie gehört jeweils zu dem angegebenen festen Abstand? - Für c) zählt, wie oft sich die Ortslinien in dieser Lage schneiden oder berühren.

1. Die Punkte mit genau \(3\,\text{cm}\) Abstand von \(P\) bilden eine Kreislinie mit Mittelpunkt \(P\) und Radius \(3\,\text{cm}\). 2. Die Punkte mit genau \(2\,\text{cm}\) Abstand von \(g\) liegen auf zwei zu \(g\) parallelen Geraden, je eine auf jeder Seite von \(g\). 3. Da \(P\) eine Rastereinheit unter \(g\) liegt, verläuft die obere Ortslinie drei Rastereinheiten über \(P\) und berührt die Kreislinie in genau einem Punkt. 4. Die untere Ortslinie verläuft eine Rastereinheit unter \(P\) und schneidet die Kreislinie in zwei Punkten. 5. Insgesamt erfüllen daher drei Punkte beide Bedingungen.

a) Kreislinie mit Mittelpunkt \(P\) und Radius \(3\,\text{cm}\) b) Zwei zu \(g\) parallele Geraden im Abstand \(2\,\text{cm}\), je eine auf jeder Seite von \(g\) c) Drei Punkte

- Prüfe die beiden Abstandsbedingungen zunächst getrennt. - Für den genauen Abstand von der Wand kommen nur Punkte auf den beiden eingezeichneten Parallelen infrage. - „Höchstens“ schließt Punkte innerhalb der Kreislinie und auf der Kreislinie ein. - Prüfe anschließend jeden markierten Punkt auf beide Bedingungen.

1. Für die erste Bedingung muss ein Punkt auf \(h_1\) oder \(h_2\) liegen. 2. Für die zweite Bedingung muss ein Punkt auf oder innerhalb der Kreislinie \(k\) liegen. 3. \(A\) liegt auf \(h_1\) und innerhalb von \(k\); damit erfüllt \(A\) beide Bedingungen. 4. \(B\) liegt zwar auf \(h_1\), aber außerhalb von \(k\); \(B\) scheidet aus. 5. \(C\) liegt auf \(h_2\) und zugleich auf \(k\); damit erfüllt auch \(C\) beide Bedingungen. 6. \(D\) liegt innerhalb von \(k\), aber weder auf \(h_1\) noch auf \(h_2\); \(D\) scheidet aus.

\(A\) und \(C\) erfüllen beide Bedingungen.

- Gibt es eine Situation, in der die Punkte \(A\) und \(B\) zwar den gleichen Abstand zu \(g\) haben, aber nicht „nebeneinander“ auf derselben Seite der Geraden liegen? - Zeichne dir eine Gerade \(g\) und zwei Punkte ein, die den gleichen Abstand haben, aber auf unterschiedlichen Seiten der Geraden liegen. Was passiert mit der Verbindungslinie?

1. Punkte mit dem gleichen Abstand \(d\) zu einer Geraden \(g\) liegen auf einem Paar von Parallelen zu \(g\). 2. Wenn beide Punkte \(A\) und \(B\) auf derselben dieser beiden Parallelen liegen, ist die Gerade \(AB\) tatsächlich parallel zu \(g\). 3. Wenn jedoch ein Punkt (z. B. \(A\)) auf der einen Parallelen und der andere Punkt (\(B\)) auf der anderen Parallelen (gegenüberliegende Seite von \(g\)) liegt, dann schneidet die Gerade \(AB\) die Gerade \(g\). 4. In diesem Fall ist die Gerade \(AB\) nicht parallel zu \(g\). Die Aussage ist daher falsch.

Die Aussage ist falsch. Die Punkte \(A\) und \(B\) könnten auf unterschiedlichen Seiten der Geraden \(g\) liegen. In diesem Fall würde die Gerade durch \(A\) und \(B\) die Gerade \(g\) schneiden und wäre somit nicht parallel zu ihr.