Kostenlose Arbeitsblätter

- Was bedeutet der Begriff "Lot" in der Geometrie? - Suche in der Zeichnung nach dem Symbol für einen rechten Winkel. - Welcher Punkt liegt genau dort, wo die Senkrechte und die Berührlinie (Tangente) aufeinandertreffen?

1. Identifikation der geometrischen Objekte im Bild: Sekante durch die Punkte B und C, Tangente (vertikale Linie) durch Punkt D. 2. Bestimmung des Lots: Die Linie, die senkrecht (gekennzeichnet durch das Quadrat-Symbol) auf der Sekante steht. 3. Verfolgen des Verlaufs des Lots bis zum Schnittpunkt mit der Tangente: Der Schnittpunkt ist mit A beschriftet.

a) A

- Stelle dir vor, wie zwei parallele Linien einen Kreis gerade so berühren. - Welche Verbindungslinie zwischen den beiden Berührpunkten geht durch den Mittelpunkt? - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen?

1. Eine Tangente steht immer senkrecht auf dem Radius, der zum Berührpunkt führt. 2. Wenn zwei Tangenten parallel sind, müssen ihre zugehörigen Radien auf derselben Geraden liegen, die durch den Mittelpunkt geht (sie bilden einen Durchmesser). 3. Der Abstand der parallelen Tangenten entspricht somit genau der Länge des Durchmessers des Kreises. 4. Berechnung: \(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\).

Der Abstand beträgt \(9\,\text{cm}\). Da beide Tangenten senkrecht auf ihren jeweiligen Radien stehen und parallel sind, liegen die Berührpunkte auf einer Geraden durch den Mittelpunkt. Der Abstand ist daher gleich dem Durchmesser des Kreises (\(2 \cdot 4{,}5\,\text{cm}\)).

- Wie weit liegen die Punkte \(C\) und \(D\) voneinander entfernt? - Was gilt für die Summe der Radien, wenn sich zwei Kreise von außen berühren? - Stelle dir vor, der zweite Kreis wächst, bis er den ersten gerade berührt.

1. Der Abstand der Mittelpunkte beträgt \(7\,\text{cm} - 1\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Bei äußerer Berührung ist der Mittelpunktabstand gleich der Summe der Radien: \(r_C + r_D = 6\,\text{cm}\). 3. Daher gilt \(r_D = 6\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\).

Der Radius \(r_D\) muss \(3\,\text{cm}\) betragen.

- Welche besondere Lage hat die Gerade \(g\) im Koordinatensystem? - Wie stehen der Radius zum Berührpunkt und die Tangente immer zueinander? - Wenn zwei Geraden beide senkrecht auf einer dritten Geraden stehen, wie liegen sie dann zueinander? - Wo müssen die Berührpunkte liegen, wenn die Tangente eine bestimmte Richtung haben soll?

1. Da die Tangenten senkrecht auf der Geraden \(g\) stehen sollen und die Gerade \(g\) selbst durch den Mittelpunkt verläuft (sie ist eine Vertikale mit \(x = 5\)), müssen die Tangenten waagerechte Linien sein. Da eine Tangente immer senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt steht, müssen die Berührpunkte auf der Geraden \(g\) liegen, jeweils im Abstand des Radius \(r = 3\) vom Mittelpunkt \(M\) entfernt. 2. Die Berührpunkte liegen auf der Geraden \(g\), also bei \(x = 5\). Man addiert und subtrahiert den Radius zum y-Wert des Mittelpunkts: \(5 + 3 = 8\) und \(5 - 3 = 2\). Die Berührpunkte sind \(B_1(5|8)\) und \(B_2(5|2)\).

1. Die Tangenten müssen waagerecht verlaufen. Die Berührpunkte findet man, indem man vom Mittelpunkt \(M\) aus den Radius \(r = 3\,\text{cm}\) entlang der Geraden \(g\) nach oben und nach unten abträgt. 2. Die Berührpunkte sind \(B_1(5|8)\) und \(B_2(5|2)\).

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten, die auf einer waagerechten Linie liegen? - In welchem Winkel trifft ein Radius auf seine Tangente? - Wenn eine Linie waagerecht ist, wie verläuft dann eine Linie, die senkrecht dazu steht? - Wo auf dem Kreis befindet sich der Punkt, der \(P\) genau gegenüberliegt?

1. Der Radius ist der Abstand von \(M(6|4)\) zu \(P(10|4)\): \(r = 10 - 6 = 4\,\text{cm}\). 2. Die Strecke \(MP\) liegt waagerecht. Da die Tangente im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius steht, verläuft \(t_1\) senkrecht und damit parallel zur \(y\)-Achse. 3. Der gegenüberliegende Berührpunkt liegt \(4\) Einheiten links vom Mittelpunkt: \(6 - 4 = 2\). Daher ist \(Q(2|4)\).

a) \(r = 4\,\text{cm}\) b) Der Radius \(MP\) verläuft waagerecht; die Tangente steht senkrecht darauf und verläuft daher parallel zur \(y\)-Achse. c) \(Q(2|4)\)

- Untersuche für beide Aufgabenteile das Verhältnis zwischen dem Abstand der Mittelpunkte und der Summe der Radien. - Was passiert mit dem Abstand der Punkte, wenn einer davon verschoben wird? - Wenn der Abstand der Mittelpunkte größer ist als beide Radien zusammen, können sie sich dann noch berühren?

1. Teil a: Der Abstand zwischen \(P\) und \(Q\) beträgt \(7 - 1 = 6\,\text{cm}\). Die Summe der Radien beträgt \(3\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). Da der Abstand gleich der Summe der Radien ist, berühren sich die Kreisscheiben in genau einem Punkt. 2. Teil b: Nach der Verschiebung von \(Q\) um \(2\,\text{cm}\) nach rechts ist die neue x-Koordinate \(7 + 2 = 9\). Der neue Abstand beträgt \(9 - 1 = 8\,\text{cm}\). 3. Da der neue Abstand (\(8\,\text{cm}\)) größer ist als die Summe der Radien (\(6\,\text{cm}\)), haben die Kreisscheiben keine gemeinsamen Punkte mehr (0 Punkte).

a) Es gibt genau einen gemeinsamen Punkt. b) Es gibt \(0\) gemeinsame Punkte, da der Abstand der Mittelpunkte (\(8\,\text{cm}\)) nun größer ist als die Summe der Radien (\(6\,\text{cm}\)).

- Stelle dir vor, wie die Kreise auf einer Linie liegen. Was passiert mit den Rändern, wenn du die Mittelpunkte näher zusammenrückst? - Überlege dir, wie lang die Strecke vom einen Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Rand des eigenen Kreises ist. - Wie hängen die Radien und der Abstand zusammen, wenn sich die Kreise gerade noch berühren?

1. Für eine Berührung von außen muss der Abstand der Mittelpunkte genau der Summe der beiden Radien entsprechen: \(d = r_1 + r_2 = 2\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). 2. Damit der kleinere Kreis vollständig im größeren liegt, darf der am weitesten von \(A\) entfernte Punkt des kleinen Kreises (in Richtung weg von \(B\)) nicht über den Rand des großen Kreises hinausgehen. Das ist der Fall, wenn der Abstand der Mittelpunkte plus der kleine Radius höchstens so groß ist wie der große Radius: \(d + r_1 \leq r_2\). 3. Einsetzen der Werte ergibt: \(d + 2\,\text{cm} \leq 5\,\text{cm}\), also \(d \leq 3\,\text{cm}\).

a) Der Abstand muss \(d = 7\,\text{cm}\) betragen. b) Der Abstand darf höchstens \(3\,\text{cm}\) betragen, denn \(d + 2\,\text{cm} \leq 5\,\text{cm}\).