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- Was wird in a) gemessen? - Was wird in b) gemessen? - Addieren kannst du nur Größen derselben Art.

1. Bei a) werden zwei Längen addiert. Nach einer Umrechnung in dieselbe Einheit kann man sie zusammenrechnen. 2. Bei b) werden eine Länge und eine Masse addiert. Diese beiden Größenarten kann man nicht addieren.

a) ist sinnvoll. b) ist nicht sinnvoll, weil Meter und Kilogramm zu verschiedenen Größenarten gehören.

- Sind die beiden Einheiten schon gleich? - Was muss bei einer Addition von Größen für die Einheiten gelten?

1. Meter und Zentimeter sind zwar beide Längeneinheiten, aber noch nicht dieselbe Einheit. 2. Vor dem Addieren wird eine Angabe in die Einheit der anderen umgewandelt.

Zuerst beide Längen in dieselbe Einheit umwandeln.

- Wie oft kommt die Länge \(3\,\text{cm}\) vor? - Welche Größenart wird am Ende gesucht?

1. Die Länge \(3\,\text{cm}\) kommt viermal vor. 2. \(4 \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 3. Das Ergebnis ist wieder eine Länge, deshalb steht die Einheit Zentimeter dabei.

Die Reihe ist \(12\,\text{cm}\) lang.

- Wie viele Stücke zu je \(3\,\text{m}\) passen in \(12\,\text{m}\)? - Wird als Ergebnis eine Länge oder eine Anzahl gesucht?

1. Es wird gefragt, wie oft \(3\,\text{m}\) in \(12\,\text{m}\) passen. 2. \(12\,\text{m} : 3\,\text{m} = 4\). 3. Das Ergebnis ist eine Anzahl von Stücken und keine Länge oder Fläche.

a) \(4\). Es entstehen vier Stücke.

- Bestimme zuerst für jede Woche die gesamte Fahrzeit. - Verwende für jede unbekannte Durchschnittsgeschwindigkeit eine eigene Variable. - Vergleiche die beiden Geschwindigkeiten erst nach dem Lösen der Gleichungen.

1. In Woche 1 beträgt die Fahrzeit insgesamt \(4\cdot8=32\,\text{h}\). Daher gilt \(32v_1=960\). 2. Daraus folgt \(v_1=30\,\text{km/h}\). 3. In Woche 2 beträgt die Fahrzeit insgesamt \(5\cdot6=30\,\text{h}\). Daher gilt \(30v_2=990\). 4. Daraus folgt \(v_2=33\,\text{km/h}\). 5. Somit war die durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit in Woche 2 höher.

Woche 1: \(32v_1=960\), also \(v_1=30\,\text{km/h}\). Woche 2: \(30v_2=990\), also \(v_2=33\,\text{km/h}\). In Woche 2 war die durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit höher.

- Kannst du Gewichte und Längen einfach zusammenzählen? - Was passiert mit der Einheit, wenn du eine Größe mit einer Zahl multiplizierst? - Prüfe bei jeder Aufgabe, ob die Einheiten zueinander passen.

1. \(24\,\text{m} \cdot 6 = 144\,\text{m}\). 2. \(15{,}80\,\text{€} \cdot 4 = 63{,}20\,\text{€}\). 3. \(12\,\text{kg} + 450\,\text{m}\) kann nicht berechnet werden, weil Masse und Länge unterschiedliche Größenarten sind. 4. \(1230\,\text{m} : 6 = 205\,\text{m}\).

a) \(144\,\text{m}\) b) \(63{,}20\,\text{€}\) c) Nicht möglich d) \(205\,\text{m}\)

- Wie lange dauert der zweite Teil des Aufstiegs? - Welche Strecke legt das U-Boot in diesem zweiten Teil zurück? - Wenn du die gesamte Strecke und die Strecke des zweiten Teils kennst, wie findest du den Rest?

1. Für den zweiten Teil des Aufstiegs bleiben \(40\,\text{min} - 10\,\text{min} = 30\,\text{min}\). 2. In diesen \(30\) Minuten legt das U-Boot \(30\,\text{min} \cdot 25\,\text{m/min} = 750\,\text{m}\) zurück. 3. Für die ersten \(10\) Minuten bleiben \(1200\,\text{m} - 750\,\text{m} = 450\,\text{m}\).

Das U-Boot legt in den ersten \(10\) Minuten \(450\,\text{m}\) zurück.

- Überlege dir, in welche kleinere Einheit du die Tage und Stunden umrechnen kannst, um leichter rechnen zu können. - Wie viele Stunden hat ein ganzer Tag? - Nachdem du alles in Stunden umgerechnet hast, kannst du die Division wie gewohnt durchführen.

1. \(3\,\text{d}\,18\,\text{h} = 3 \cdot 24\,\text{h} + 18\,\text{h} = 90\,\text{h}\). 2. \(90\,\text{h} : 15 = 6\,\text{h}\).

\(6\,\text{h}\)

- Rechne zuerst die Aufgaben auf der linken und der rechten Seite getrennt aus. - Achte darauf, dass du beim Rechnen innerhalb einer Seite die gleichen Einheiten verwendest. - Wandle am Ende beide Ergebnisse in dieselbe Einheit um, um sie sicher vergleichen zu können.

1. Teil a: Linke Seite: \(1000\,\text{m} - 450\,\text{m} = 550\,\text{m}\). Rechte Seite: \(500\,\text{m} + 50\,\text{m} = 550\,\text{m}\). Vergleich: \(550\,\text{m} = 550\,\text{m}\). 2. Teil b: Linke Seite: \(38\,\text{cm} + 22\,\text{cm} = 60\,\text{cm}\). Rechte Seite: \(60\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 55\,\text{cm}\). Vergleich: \(60\,\text{cm} > 55\,\text{cm}\).

a) \(=\) b) \(>\)

- Bringe beide Massen vor der Division in dieselbe Einheit. - Was beschreibt das Ergebnis, wenn du fragst, wie oft eine bestimmte Massenportion in einer Gesamtmasse enthalten ist? - Welche Einheiten bleiben bei einer Division gleichartiger Größen übrig?

1. Zunächst wird in dieselbe Einheit umgerechnet: \(32\,\text{kg} = 32\,000\,\text{g}\). 2. Dann gilt \(32\,000\,\text{g} : 800\,\text{g} = 40\). 3. Bei der Division einer Masse durch eine Masse kürzt sich die Einheit weg. Das Ergebnis ist eine reine Zahl und keine Massenangabe.

Die Einheit \(\text{g}\) im Ergebnis ist falsch. Richtig ist \(32\,000\,\text{g} : 800\,\text{g} = 40\).

- Welche Rechenart wird wegen der Rechenregeln zuerst ausgeführt? - Was passiert mit den Einheiten, wenn eine Masse durch eine Masse geteilt wird? - Sind die beiden Größen, die danach addiert werden sollen, von derselben Art?

1. Zuerst wird die Division ausgeführt: \(35\,\text{kg} : 5\,\text{kg} = 7\). Da Masse durch Masse geteilt wird, ist \(7\) eine reine Zahl ohne Einheit. 2. Danach müsste \(7 + 12\,\text{g}\) gerechnet werden. Eine reine Zahl kann hier nicht mit einer Massenangabe addiert werden. Deshalb ist der Term in dieser Form nicht bestimmt.

Der Divisionsteil ergibt die reine Zahl \(7\). Diese kann nicht mit der Massenangabe \(12\,\text{g}\) addiert werden.

- Rechne zuerst beide Klammern aus. - Welche Zahl steht danach als Divisor da? - Was gilt für eine Division durch \(0\)?

1. Die erste Klammer ergibt \(12+8=20\). 2. Die zweite Klammer ergibt \(45-45=0\). 3. Damit müsste man \(20:0\) rechnen. Eine Division durch \(0\) ist nicht möglich.

Der Term hat keinen Wert, weil der Divisor \(0\) ist. Eine Division durch \(0\) ist nicht möglich.

- Überlege dir zuerst, in welche gemeinsame Einheit du beide Flächenangaben umwandeln kannst. - Denk daran, dass bei Flächen der Umrechnungsfaktor zwischen benachbarten Einheiten (wie \(\text{m}^2\) und \(\text{dm}^2\)) immer 100 ist. - Wie viel Quadratdezimeter sind ein Quadratmeter?

1. \(18\,\text{m}^2\ 20\,\text{dm}^2 = 1820\,\text{dm}^2\) und \(9\,\text{m}^2\ 50\,\text{dm}^2 = 950\,\text{dm}^2\). 2. \(1820\,\text{dm}^2 - 950\,\text{dm}^2 = 870\,\text{dm}^2\). 3. \(870\,\text{dm}^2 = 8\,\text{m}^2\ 70\,\text{dm}^2\).

Sie muss noch \(8\,\text{m}^2\ 70\,\text{dm}^2\) streichen.

- Bringe die Größen innerhalb jedes Terms zuerst in eine gemeinsame Einheit. - Bei Flächeneinheiten ändern sich die Maßzahlen anders als bei den zugehörigen Längeneinheiten. - Überlege bei jeder Rechenart, ob das Ergebnis eine Flächeneinheit behalten muss oder eine reine Zahl ist.

1. \(5\,\text{m}^2 = 500\,\text{dm}^2\), also \(500\,\text{dm}^2 + 35\,\text{dm}^2 = 535\,\text{dm}^2\). 2. \(2\,\text{ha}\ 5\,\text{a} = 205\,\text{a}\), also \(205\,\text{a} \cdot 4 = 820\,\text{a}\). 3. \(1\,\text{km}^2 = 100\,\text{ha}\), also \(100\,\text{ha} - 40\,\text{ha} = 60\,\text{ha}\). 4. \(12\,\text{dm}^2 = 1200\,\text{cm}^2\), also \(1200\,\text{cm}^2 : 50\,\text{cm}^2 = 24\).

a) \(535\,\text{dm}^2\) b) \(820\,\text{a}\) c) \(60\,\text{ha}\) d) \(24\)

- Bei a) müssen die zu addierenden Teile zuerst passend zusammengefasst werden. - Vergleiche bei b) und c), ob durch eine reine Zahl oder durch eine Größe geteilt wird. - Prüfe nach jeder Rechnung, welche Art von Ergebnis die Operation liefern muss.

1. \(2\,\text{m}\,30\,\text{cm}+70\,\text{cm}=2\,\text{m}\,100\,\text{cm}=3\,\text{m}\). 2. \(4\,\text{kg}:2=2\,\text{kg}\), weil eine Masse durch eine Anzahl geteilt wird. 3. \(6\,\text{€}:2\,\text{€}=3\). Hier werden zwei gleichartige Größen dividiert; das Ergebnis ist eine reine Zahl ohne Einheit.

a) \(3\,\text{m}\) b) \(2\,\text{kg}\) c) \(3\)

- Achte nicht nur auf die Maßzahlen, sondern auch darauf, was im Divisor oder Faktor steht. - Was bedeutet es, eine Länge auf drei gleiche Teile zu verteilen? - Was bedeutet es dagegen, zu fragen, wie oft \(3\,\text{m}\) in \(12\,\text{m}\) passen?

1. \(12\,\text{m}:3=4\,\text{m}\). Eine Länge wird durch eine reine Zahl geteilt, also bleibt eine Länge. 2. \(12\,\text{m}:3\,\text{m}=4\). Länge wird durch Länge geteilt; das Ergebnis beschreibt, wie oft die kleinere Länge hineinpasst, und hat keine Einheit. 3. \(3\cdot4\,\text{m}=12\,\text{m}\). Eine Länge wird vervielfacht, also bleibt eine Länge.

a) \(4\,\text{m}\), Länge b) \(4\), reine Zahl c) \(12\,\text{m}\), Länge

- Die Zieleinheit ist Zentimeter. - Wandle zuerst die Meterangabe um. - Addiere erst, wenn beide Angaben in Zentimetern stehen.

1. \(2\,\text{m} = 200\,\text{cm}\). 2. \(200\,\text{cm} + 30\,\text{cm} = 230\,\text{cm}\).

\(230\,\text{cm}\)

- Welche Größenart steckt jeweils hinter den beiden Einheiten? - Unterschiedliche Einheiten können trotzdem zur gleichen Größenart gehören. - Entscheidend ist, ob beide Angaben dieselbe Art von Größe beschreiben.

1. In a) werden zwei Massen addiert. Das ist nach einer passenden Umrechnung sinnvoll. 2. In b) werden eine Masse und ein Hohlmaß addiert. Diese Größen sind nicht gleichartig.

a) sinnvoll b) nicht sinnvoll

- Welche Seile liegen in Richtung vom Start zum Ziel? - Welche Längenangabe beschreibt nur die Startlinie?

1. Zur Strecke vom Start bis zum Ziel gehören die vier längs liegenden Seile. Das quer liegende Seil markiert nur den Start. 2. \(4 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 6\,\text{m}\).

Der Parcours ist \(6\,\text{m}\) lang.

- Beachte bei einem Term die Reihenfolge der Rechenoperationen. - Bringe die Längen jeweils in eine gemeinsame Einheit, bevor du addierst oder subtrahierst. - Prüfe, ob dein Endergebnis wie verlangt in Metern angegeben ist.

1. Im ersten Term wird zuerst multipliziert: \(8 \cdot 25\,\text{cm} = 200\,\text{cm} = 2\,\text{m}\). Danach gilt \(2\,\text{m} + 1{,}75\,\text{m} = 3{,}75\,\text{m}\). 2. Im zweiten Term wird ebenfalls zuerst multipliziert: \(5 \cdot 1{,}20\,\text{m} = 6{,}00\,\text{m}\). Außerdem ist \(350\,\text{cm} = 3{,}50\,\text{m}\). Daher gilt \(6{,}00\,\text{m} - 3{,}50\,\text{m} = 2{,}50\,\text{m}\).

a) \(3{,}75\,\text{m}\) b) \(2{,}50\,\text{m}\)

- Überlege zuerst, wie oft die Länge eines einzelnen Wagens in die gesamte Zuglänge passt. - Wenn du weißt, wie viele Wagen es sind, kannst du die gesamte Ladung ausrechnen. - Welche Rechenart hilft dir, wenn du eine Menge gleichmäßig aufteilst?

1. Die Anzahl der Wagen ist \(900\,\text{m} : 15\,\text{m} = 60\). 2. Die \(60\) Wagen transportieren zusammen \(60 \cdot 25\,\text{t} = 1500\,\text{t}\) Kies.

Der Zug hat \(60\) Güterwagen. Sie transportieren zusammen \(1500\,\text{t}\) Kies.

- \(1000\,\text{kg}=1\,\text{t}\). - Wandle die Masse der Betonplatte zum Vergleichen in Kilogramm um. - Suche dann den größten Abstand, bei dem die angegebene Höchstmasse noch ausreicht.

1. Bei \(20\,\text{m}\) stehen \(4850\,\text{kg}=4\,\text{t}\,850\,\text{kg}\). 2. Bei \(40\,\text{m}\) stehen \(2150\,\text{kg}=2\,\text{t}\,150\,\text{kg}\). 3. Die Betonplatte wiegt \(3100\,\text{kg}\). Bei \(30\,\text{m}\) darf der Kran \(3400\,\text{kg}\) heben, bei \(40\,\text{m}\) nur \(2150\,\text{kg}\). 4. Der größte passende Tabellenwert ist daher \(30\,\text{m}\).

a) Bei \(20\,\text{m}\): \(4\,\text{t}\,850\,\text{kg}\); bei \(40\,\text{m}\): \(2\,\text{t}\,150\,\text{kg}\) b) \(30\,\text{m}\)

- Wie viele Tage haben 3 Monate insgesamt, wenn man von 30 Tagen pro Monat ausgeht? - Überlege zuerst, wie viel das Jungtier insgesamt zunimmt. - Denk daran, dass du für den Vergleich beide Gewichte in derselben Einheit angeben musst. - Wie viele Kilogramm stecken in einer Tonne?

1. \(3 \cdot 30 = 90\) Tage. 2. In \(90\) Tagen nimmt das Jungtier \(90 \cdot 2\,\text{kg} = 180\,\text{kg}\) zu. 3. Nach den drei Monaten wiegt es \(50\,\text{kg} + 180\,\text{kg} = 230\,\text{kg}\). 4. \(2\,\text{t} = 2000\,\text{kg}\). 5. Es fehlen \(2000\,\text{kg} - 230\,\text{kg} = 1770\,\text{kg}\).

a) Das Jungtier wiegt nach drei Monaten \(230\,\text{kg}\). b) Bis zu \(2\,\text{t}\) fehlen noch \(1770\,\text{kg}\).

- Rechne zuerst alle Angaben in die kleinere Einheit Kilogramm um. - Wie viel kommt in den 12 Tagen insgesamt dazu? - Addiere die neue Menge zum ursprünglichen Bestand. - Wie kannst du Kilogramm wieder in Tonnen und Kilogramm zerlegen?

1. \(8\,\text{t} = 8000\,\text{kg}\). 2. In \(12\) Tagen kommen \(12 \cdot 600\,\text{kg} = 7200\,\text{kg}\) dazu. 3. Insgesamt sind es \(8000\,\text{kg} + 7200\,\text{kg} = 15\,200\,\text{kg}\). 4. \(15\,200\,\text{kg} = 15\,\text{t}\,200\,\text{kg}\).

Insgesamt sind es \(15\,200\,\text{kg}\). Das entspricht \(15\,\text{t}\,200\,\text{kg}\).

- Welche Beziehung verbindet Strecke, Geschwindigkeit und Fahrzeit? - Nutze für Hin- und Rückfahrt jeweils die volle Strecke von \(24\,\text{km}\). - Bestimme die Rückfahrgeschwindigkeit erst, nachdem du \(v\) gefunden hast.

1. Für die Hinfahrt gilt \(2v=24\), also \(v=12\,\text{km/h}\). 2. Auf dem Rückweg beträgt die Geschwindigkeit \(12-4=8\,\text{km/h}\). 3. Für die Rückfahrt gilt \(8t=24\), also \(t=3\,\text{h}\). 4. Die Rückfahrt dauert \(3\,\text{h}-2\,\text{h}=1\,\text{h}=60\,\text{min}\) länger.

a) Gleichung: \(2v=24\). Daher \(v=12\,\text{km/h}\). b) Gleichung: \(8t=24\). Daher \(t=3\,\text{h}\). c) Die Rückfahrt dauert \(60\,\text{min}\) länger.

- Wie weit fährt der Laster im ersten Abschnitt? - Welcher Streckenterm beschreibt 2 Stunden mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v\)? - Die beiden Abschnittsstrecken ergeben zusammen die Gesamtstrecke.

1. In der ersten Stunde legt der Laster \(70\,\text{km}\) zurück. 2. Im zweiten Abschnitt legt er in 2 Stunden \(2v\) Kilometer zurück. 3. Beide Abschnitte ergeben zusammen \(180\,\text{km}\): \(70+2v=180\). 4. Daraus folgt \(2v=110\) und \(v=55\,\text{km/h}\).

Gleichung: \(70+2v=180\). Im zweiten Abschnitt beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit \(55\,\text{km/h}\).

- Bestimme zuerst die Strecke des Lastwagens. - Welcher Streckenterm beschreibt die zweistündige Zugfahrt mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v\)? - Beide Abschnittsstrecken ergeben zusammen \(600\,\text{km}\).

1. Der Lastwagen legt \(6\cdot60=360\,\text{km}\) zurück. 2. Der Zug legt in 2 Stunden \(2v\) Kilometer zurück. 3. Daher gilt \(360+2v=600\). 4. Aus \(2v=240\) folgt \(v=120\,\text{km/h}\). 5. Der Unterschied zur Lastwagengeschwindigkeit beträgt \(120-60=60\,\text{km/h}\).

Gleichung: \(360+2v=600\). Der Zug fährt durchschnittlich \(120\,\text{km/h}\) und damit \(60\,\text{km/h}\) schneller als der Lastwagen.

- Beschreibe die längere Strecke mithilfe der kürzeren. - In a) müssen sich beide Weglängen zur bekannten Gesamtlänge ergänzen. - In b) hat jede Gruppe eine eigene Zeitvariable und eine eigene Beziehung \(s=vt\).

1. Gruppe B läuft \(x+4\) Kilometer. Daher gilt \(x+(x+4)=46\). 2. Aus \(2x+4=46\) folgt \(x=21\). Gruppe B läuft also \(25\,\text{km}\). 3. Für Gruppe A gilt \(3t_A=21\), also \(t_A=7\,\text{h}\). 4. Für Gruppe B gilt \(5t_B=25\), also \(t_B=5\,\text{h}\).

a) Gleichung: \(x+(x+4)=46\). Gruppe A läuft \(21\,\text{km}\), Gruppe B \(25\,\text{km}\). b) \(3t_A=21\), also \(t_A=7\,\text{h}\); \(5t_B=25\), also \(t_B=5\,\text{h}\).

- Welche Einheit ist die kleinste in der Aufgabe? Es ist oft leichter, zuerst alles in diese umzurechnen. - Kannst du die gemischten Schreibweisen (wie Meter und Zentimeter) als eine einzige Zahl schreiben? - Vergiss nicht, am Ende die Einheit hinter dein Ergebnis zu schreiben.

1. \(12\,\text{m}=1200\,\text{cm}\) und \(3\,\text{dm}=30\,\text{cm}\). Daher gilt \(1200\,\text{cm}+8\,\text{cm}+30\,\text{cm}=1238\,\text{cm}\). 2. \(2\,\text{km}=2000\,\text{m}\). Daher gilt \(2000\,\text{m}+45\,\text{m}-120\,\text{m}=1925\,\text{m}\). 3. \(4\,\text{dm}=400\,\text{mm}\). Daher gilt \((400\,\text{mm}+6\,\text{mm})\cdot5=2030\,\text{mm}\).

a) \(1238\,\text{cm}\) b) \(1925\,\text{m}\) c) \(2030\,\text{mm}\)

- Überlege dir zuerst, ob die Einheiten in der Aufgabe gleich sind oder ob du sie umrechnen musst. - Was passiert mit der Einheit, wenn du eine Größe durch eine andere Größe mit derselben Einheit teilst? - Was passiert mit der Einheit, wenn du eine Größe mit einer Zahl multiplizierst? - Es hilft oft, alles in die kleinere der vorkommenden Einheiten umzurechnen, bevor du rechnest.

1. \(1{,}2\,\text{kg} = 1200\,\text{g}\). Daher ist \(450\,\text{g} + 1200\,\text{g} = 1650\,\text{g}\). 2. \(3\,\text{m} \cdot 25 = 75\,\text{m}\). Die Einheit bleibt erhalten. 3. \(72\,\text{cm} : 8\,\text{cm} = 9\). Die gleiche Einheit auf beiden Seiten der Division fällt weg. 4. \(2\,\text{€} = 200\,\text{ct}\). Daher ist \(200\,\text{ct} - 45\,\text{ct} = 155\,\text{ct}\).

a) \(1650\,\text{g}\) b) \(75\,\text{m}\) c) \(9\) d) \(155\,\text{ct}\)

- Kannst du die Aufgabe in eine Umkehraufgabe verwandeln? - Achte darauf, ob das \(x\) für eine reine Zahl oder für eine Größe mit Einheit steht. - Wandle größere Einheiten wie Kilogramm oder Liter zuerst in kleinere Einheiten um, um leichter rechnen zu können.

1. In a) gilt \(15 : 5 = 3\). Also ist \(x = 5\). 2. \(1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}\) und \(1000\,\text{g} : 4 = 250\,\text{g}\). Also ist \(x = 250\,\text{g}\). 3. \(1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}\) und \(1000\,\text{ml} - 250\,\text{ml} = 750\,\text{ml}\). Also ist \(x = 750\,\text{ml}\). 4. \(12\,\text{ct} \cdot 5 = 60\,\text{ct}\). Also ist \(x = 60\,\text{ct}\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 250\,\text{g}\) c) \(x = 750\,\text{ml}\) d) \(x = 60\,\text{ct}\)

- Berechne zuerst das Ergebnis auf der linken Seite. - Stelle sicher, dass beide Seiten des Vergleichs in derselben Einheit stehen. - Prüfe erst danach, welches Vergleichszeichen passt.

1. a) \(5 \cdot 200\,\text{mg} = 1000\,\text{mg} = 1\,\text{g}\). Daher gilt \(=\). 2. b) \(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\), also \(1000\,\text{m} - 350\,\text{m} = 650\,\text{m} < 700\,\text{m}\). 3. c) \(48\,\text{h} : 2 = 24\,\text{h} = 1\,\text{Tag}\). Daher gilt \(=\). 4. d) \(150\,\text{ct} = 1{,}50\,\text{€}\), also \(3{,}50\,\text{€} + 1{,}50\,\text{€} = 5{,}00\,\text{€}\). Daher gilt \(=\).

a) \(=\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(=\)

- In welcher Einheit kannst du die Längen jeweils am einfachsten vergleichen oder berechnen? - Was geschieht mit der Einheit, wenn du eine Länge durch eine reine Zahl teilst? - Was geschieht mit der Einheit, wenn du eine Länge durch eine andere Länge teilst? - Kannst du Meter direkt von Zentimetern abziehen, oder musst du vorher umrechnen?

1. Für alle Aufgaben ist es hilfreich, in die kleinere Einheit umzurechnen: \(4{,}2\,\text{m} = 420\,\text{cm}\). 2. Teilaufgabe a: \(420\,\text{cm} : 7 = 60\,\text{cm}\) (oder \(0{,}6\,\text{m}\)). Bei der Division einer Länge durch eine Zahl bleibt die Längeneinheit erhalten. 3. Teilaufgabe b: \(420\,\text{cm} : 30\,\text{cm} = 14\). Bei der Division zweier Längen mit derselben Einheit kürzt sich die Einheit weg; das Ergebnis ist eine reine Zahl (Anzahl). 4. Teilaufgabe c: \(420\,\text{cm} - 50\,\text{cm} = 370\,\text{cm}\) (oder \(3{,}7\,\text{m}\)). Bei Addition und Subtraktion müssen die Einheiten vor der Rechnung angeglichen werden. Regel für b: Wenn man eine Größe durch eine gleichartige Größe teilt, gibt das Ergebnis an, wie oft die eine in die andere passt. Das Ergebnis hat keine Einheit.

a) \(60\,\text{cm}\) (oder \(0{,}6\,\text{m}\)) b) \(14\) c) \(370\,\text{cm}\) (oder \(3{,}7\,\text{m}\)) Regel: Bei der Division einer Größe durch eine gleichartige Größe erhält man eine einheitenlose Zahl.

- Was passiert mit der Einheit, wenn man eine Größe durch eine andere Größe mit derselben Einheit teilt? - Wandle die gemischten Einheiten zuerst in die jeweils kleinere Einheit um. - Achte auf die Vorrangregeln der Grundrechenarten.

1. \(12\,\text{kg}\,750\,\text{g} = 12\,750\,\text{g}\) und \(8\,\text{g}\,40\,\text{mg} = 8040\,\text{mg}\). 2. \(12\,750\,\text{g} : 250\,\text{g} = 51\) und \(8040\,\text{mg} : 20\,\text{mg} = 402\). 3. \(51 + 402 - 15 = 438\).

\(438\)

- Wandle die Größen in die jeweils kleinere Einheit um, bevor du rechnest. - Wie viele Minuten hat eine Viertelstunde? - Wie viele Kilogramm ergeben eine Tonne? - Achte bei Teil d) darauf, dass du beim Abziehen über den Kilometer-Wechsel rechnen musst.

1. a) \(120\,\text{min} - 15\,\text{min} - 55\,\text{min} = 50\,\text{min}\). 2. b) \(3 \cdot 12\,\text{min} = 36\,\text{min}\) und \(3 \cdot 45\,\text{s} = 135\,\text{s} = 2\,\text{min}\,15\,\text{s}\). Zusammen sind das \(38\,\text{min}\,15\,\text{s}\). 3. c) \(5\,\text{t} = 5000\,\text{kg}\), also \(5000\,\text{kg} : 125\,\text{kg} = 40\). 4. d) \(3050\,\text{m} - 1200\,\text{m} = 1850\,\text{m} = 1\,\text{km}\,850\,\text{m}\).

a) \(50\,\text{min}\) b) \(38\,\text{min}\,15\,\text{s}\) c) \(40\) d) \(1\,\text{km}\,850\,\text{m}\)

- Berechne zuerst das Ergebnis der linken Seite. - Achte darauf, dass beide Werte die gleiche Einheit haben, bevor du sie vergleichst. - Wie viele Meter sind \(0{,}5\,\text{km}\)?

1. a) \(10\,\text{h} = 600\,\text{min}\) und \(600\,\text{min} : 15 = 40\,\text{min}\). Daher gilt \(40\,\text{min} < 45\,\text{min}\). 2. b) \(0{,}5\,\text{km} = 500\,\text{m}\) und \(500\,\text{m} \cdot 8 = 4000\,\text{m} = 4\,\text{km}\). Daher gilt \(4\,\text{km} > 3\,\text{km}\,900\,\text{m}\). 3. c) Links gilt \(4000\,\text{g} - 1200\,\text{g} = 2800\,\text{g}\). Rechts gilt \(14 \cdot 200\,\text{g} = 2800\,\text{g}\). Daher sind beide Seiten gleich.

a) \(<\) b) \(>\) c) \(=\)

- Was passiert mit der Einheit, wenn man eine Größe durch eine andere Größe mit derselben Einheit teilt? - Rechne zuerst beide Angaben in die kleinste vorkommende Einheit um. - Wie viele Minuten stecken in einer Stunde?

1. \(4\,\text{h}\,30\,\text{min} = 270\,\text{min}\). 2. \(270\,\text{min} : 18\,\text{min} = 15\). 3. Da eine Zeitdauer durch eine Zeitdauer mit derselben Einheit geteilt wird, hat das Ergebnis keine Einheit.

\(15\)

- Ist es einfacher, zuerst alles in die kleinste vorkommende Einheit umzurechnen? - Achte bei Dezimalzahlen genau auf die Stelle des Kommas. - Was bedeutet die Schreibweise mit zwei Einheiten wie „Meter“ und „Zentimeter“ für die Dezimalzahl?

1. a) \(3400\,\text{kg} + 850\,\text{kg} - 1020\,\text{kg} + 470\,\text{kg} = 3700\,\text{kg} = 3{,}7\,\text{t}\). 2. b) \(12{,}05\,\text{m} - 4{,}8\,\text{m} + 0{,}72\,\text{m} = 7{,}97\,\text{m}\). 3. c) \((4200\,\text{g} + 580\,\text{g}) \cdot 15 = 71\,700\,\text{g} = 71{,}7\,\text{kg}\).

a) \(3700\,\text{kg}\) (oder \(3{,}7\,\text{t}\)) b) \(7{,}97\,\text{m}\) (oder \(7\,\text{m}\,97\,\text{cm}\)) c) \(71{,}7\,\text{kg}\) (oder \(71\,700\,\text{g}\))

- Wie viele Minuten hat eine Stunde? - Wenn du eine Größe durch eine Größe mit derselben Einheit teilst, fällt die Einheit im Ergebnis weg. - Kannst du bei Teilaufgabe c) eine Rechenregel anwenden, um die Division zu vereinfachen?

1. a) \(4\,\text{h}\,12\,\text{min} = 252\,\text{min}\) und \(1\,\text{h}\,48\,\text{min} = 108\,\text{min}\). Damit gilt \(252\,\text{min} - 155\,\text{min} + 108\,\text{min} = 205\,\text{min} = 3\,\text{h}\,25\,\text{min}\). 2. b) \(18\,\text{km} = 18\,000\,\text{m}\). Daher ist \(18\,000\,\text{m} : 25\,\text{m} = 720\). 3. c) \(144\,\text{t} : 12 - 36\,\text{t} : 12 = 12\,\text{t} - 3\,\text{t} = 9\,\text{t}\). Alternativ kannst du zuerst zusammenfassen: \((144\,\text{t} - 36\,\text{t}) : 12 = 108\,\text{t} : 12 = 9\,\text{t}\).

a) \(3\,\text{h}\,25\,\text{min}\) b) \(720\) c) \(9\,\text{t}\)

- Überlege dir zuerst, welche Einheit die „größere“ ist und wandle alle Werte in diese Einheit um. - Achte bei der Subtraktion in Teilaufgabe b) auf die Klammern – was musst du zuerst rechnen? - Denk daran, dass \(100\,\text{ct} = 1\,\text{€}\) und \(1000\,\text{kg} = 1\,\text{t}\) sind.

1. a) \(475\,\text{ct} = 4{,}75\,\text{€}\). Daher ist \(18{,}60\,\text{€} - 4{,}75\,\text{€} + 1{,}15\,\text{€} = 15{,}00\,\text{€}\). 2. b) \(2100\,\text{kg} + 850\,\text{kg} = 2950\,\text{kg} = 2{,}95\,\text{t}\). Daher ist \(6{,}3\,\text{t} - 2{,}95\,\text{t} = 3{,}35\,\text{t}\).

a) \(15{,}00\,\text{€}\) b) \(3{,}35\,\text{t}\)

- Rechne bei a) mit Stunden und Minuten; eine Stunde hat \(60\) Minuten. - Beachte in beiden Teilen zuerst die Klammer beziehungsweise Punkt vor Strich. - Wandle bei b) die Teilmassen vor dem Addieren in dieselbe Einheit um.

1. Bei a) ergibt die Klammer \(1\,\text{h}\ 45\,\text{min} + 45\,\text{min} = 2\,\text{h}\ 30\,\text{min}\). 2. Damit ist die gesamte Zeit \(2\,\text{h}\ 30\,\text{min} + 2\,\text{h}\ 30\,\text{min} = 5\,\text{h}\). 3. Bei b) gilt \(4{,}8\,\text{kg} : 8 = 0{,}6\,\text{kg}\). 4. Außerdem ist \(325\,\text{g} \cdot 4 = 1300\,\text{g} = 1{,}3\,\text{kg}\). 5. Insgesamt ergibt sich \(0{,}6\,\text{kg} + 1{,}3\,\text{kg} = 1{,}9\,\text{kg}\).

a) \(5\,\text{h}\) b) \(1{,}9\,\text{kg}\)

- Was passiert mit der Einheit, wenn man eine Größe durch eine Größe mit derselben Einheit teilt? - Überlege, wie viele Hektar ein Quadratkilometer hat. - Wandle den Dividenden so um, dass er nur noch aus einer Einheit besteht.

1. \(2\,\text{km}^2 = 200\,\text{ha}\). 2. Die Gesamtfläche beträgt \(200\,\text{ha} + 40\,\text{ha} = 240\,\text{ha}\). 3. \(240\,\text{ha} : 12\,\text{ha} = 20\).

\(20\)

- Erinnere dich an die Regel „Punkt vor Strich“. - Wandle die Einheit Ar in Quadratmeter um, damit du alle Werte miteinander verrechnen kannst. - Gehe bei den Strichrechnungen (Minus und Plus) von links nach rechts vor.

1. Zuerst gilt \(180\,\text{m}^2 : 2 = 90\,\text{m}^2\) und \(12\,\text{m}^2 \cdot 5 = 60\,\text{m}^2\). 2. \(5\,\text{a}\,20\,\text{m}^2 = 520\,\text{m}^2\). 3. Danach ist \(520\,\text{m}^2 - 90\,\text{m}^2 + 60\,\text{m}^2 = 490\,\text{m}^2\).

\(490\,\text{m}^2\) (oder \(4\,\text{a}\,90\,\text{m}^2\))

- Überlege zuerst, wie groß die Wasserlandschaft ist, bevor du alles zusammenrechnest. - Vergiss nicht, die Einheit Ar in Quadratmeter umzurechnen. - Kannst du die Aufgabe in mehrere kleine Rechenschritte unterteilen?

1. \(6\,\text{a} = 600\,\text{m}^2\). 2. Fläche der Wasserlandschaft: \(2 \cdot 115\,\text{m}^2 = 230\,\text{m}^2\). 3. Summe der belegten Flächen: \(115\,\text{m}^2 + 95\,\text{m}^2 + 230\,\text{m}^2 = 440\,\text{m}^2\). 4. Restfläche: \(600\,\text{m}^2 - 440\,\text{m}^2 = 160\,\text{m}^2\).

Für die restliche Spielwiese bleiben \(160\,\text{m}^2\) übrig.

- Welche gemeinsame Einheit eignet sich, damit du die gemischte Flächenangabe als eine Maßzahl schreiben kannst? - Welche Rechenart passt zu einer Aufteilung in gleich große Teile? - Prüfe, ob sechs deiner Ergebnisse wieder die gesamte Wiesenfläche ergeben.

1. Die Gesamtfläche beträgt \(4\,\text{ha}\ 20\,\text{a} = 420\,\text{a}\). 2. Eine Koppel hat daher die Fläche \(420\,\text{a} : 6 = 70\,\text{a}\).

Jede Koppel ist \(70\,\text{a}\) groß.

- Stelle sicher, dass beide Flächenangaben in der gleichen Einheit stehen, bevor du rechnest. - Wie oft passt die Fläche eines einzelnen Plakats in die gesamte Wandfläche hinein?

1. \(7\,\text{m}^2\,20\,\text{dm}^2 = 720\,\text{dm}^2\). 2. \(720\,\text{dm}^2 : 60\,\text{dm}^2 = 12\).

Es werden \(12\) Plakate benötigt.

- Erinnere dich an die Umrechnungskette: \(\text{km}^2 \to \text{ha} \to \text{a} \to \text{m}^2 \dots\) - Was ist die nächstkleinere Einheit von Hektar? - Bei der Division von Größen: Wandle beide Angaben in die gleiche Einheit um, bevor du rechnest.

1. \(3\,\text{ha}\ 5\,\text{a} = 30\,500\,\text{m}^2\). Daher \(30\,500\,\text{m}^2 - 120\,\text{m}^2 = 30\,380\,\text{m}^2\). Das entspricht \(303\,\text{a}\ 80\,\text{m}^2\) oder \(3\,\text{ha}\ 3\,\text{a}\ 80\,\text{m}^2\). 2. \(1\,\text{km}^2 = 10\,000\,\text{a}\). Daher \(10\,000\,\text{a} - 1\,\text{a} = 9999\,\text{a}\). Das entspricht \(99\,\text{ha}\ 99\,\text{a}\). 3. \(4\,\text{m}^2\ 5\,\text{dm}^2 = 40\,500\,\text{cm}^2\). Daher \(40\,500\,\text{cm}^2 : 5\,\text{cm}^2 = 8100\). 4. \(2\,\text{dm}^2\ 50\,\text{cm}^2 = 250\,\text{cm}^2\). Daher \(12 \cdot 250\,\text{cm}^2 = 3000\,\text{cm}^2 = 30\,\text{dm}^2\).

a) \(30\,380\,\text{m}^2\) oder \(3\,\text{ha}\ 3\,\text{a}\ 80\,\text{m}^2\) b) \(9999\,\text{a}\) oder \(99\,\text{ha}\ 99\,\text{a}\) c) \(8100\) d) \(3000\,\text{cm}^2\) oder \(30\,\text{dm}^2\)

- Welche gemeinsame Einheit eignet sich für beide gemischten Flächenangaben? - Welche Fläche bleibt nach Abzug der Maisfläche übrig? - Was bedeutet die Aufteilung der Restfläche in vier gleich große Felder für die Rechnung?

1. Die Gesamtfläche beträgt \(4\,\text{ha}\ 20\,\text{a} = 420\,\text{a}\). 2. Die Maisfläche beträgt \(1\,\text{ha}\ 40\,\text{a} = 140\,\text{a}\). 3. Es bleiben \(420\,\text{a} - 140\,\text{a} = 280\,\text{a}\). 4. Ein Gemüsefeld ist daher \(280\,\text{a} : 4 = 70\,\text{a}\) groß.

Jedes Gemüsefeld ist \(70\,\text{a}\) groß.

- Bestimme zuerst die Fläche der Terrasse und einer einzelnen Fliese in der gleichen Einheit. - Wie viele einzelne Fliesen brauchst du für die Terrasse? - Da man die Fliesen nur in Paketen kaufen kann, musst du herausfinden, wie viele Pakete du bestellen musst. - Multipliziere zum Schluss die Anzahl der Pakete mit dem Preis für ein Paket.

1. Die Terrasse ist \(600\,\text{cm}\) lang und \(400\,\text{cm}\) breit. Ihre Fläche beträgt \(600\,\text{cm} \cdot 400\,\text{cm} = 240\,000\,\text{cm}^2\). 2. Eine Holzfliese hat die Fläche \(50\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 2500\,\text{cm}^2\). 3. Es werden \(240\,000\,\text{cm}^2 : 2500\,\text{cm}^2 = 96\) Fliesen benötigt. 4. Das sind \(96 : 6 = 16\) Pakete. 5. Die Kosten betragen \(16 \cdot 24{,}50\,\text{€} = 392\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten für die Terrasse betragen \(392\,\text{€}\).

- Achte darauf, welches Maß (Länge oder Breite) für die Gesamtlänge der Reihe entscheidend ist. - Wie oft passt die Länge eines Stabs in die gesamte Bordüre? - Kannst du das Ergebnis von Teil c) auch in Metern und Zentimetern angeben?

1. Ein Holzstab hat die Fläche \(22\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 132\,\text{cm}^2\). 2. Bei \(15\) Stäben addieren sich die Längen: \(15 \cdot 22\,\text{cm} = 330\,\text{cm}\). 3. Bei \(80\) Stäben beträgt die Länge \(80 \cdot 22\,\text{cm} = 1760\,\text{cm} = 17\,\text{m}\,60\,\text{cm}\).

a) Die Fläche eines Holzstabs beträgt \(132\,\text{cm}^2\). b) Die Gesamtlänge der Bordüre beträgt \(330\,\text{cm}\) (oder \(3{,}3\,\text{m}\)). c) Die Reihe aus einem ganzen Paket wäre \(1760\,\text{cm}\) (oder \(17{,}6\,\text{m}\)) lang.

- Für wie viele Gruppen zu \(10\,\text{m}^2\) reichen \(28\,\text{kg}\) Mulch? - Welche gesamte Fläche ergibt sich daraus? - Wie findest du bei Rechteckfläche und Breite die Länge?

1. \(28\,\text{kg} : 2\,\text{kg}=14\). Die Menge für \(10\,\text{m}^2\) passt also \(14\)-mal. 2. Die Beetfläche ist \(14\cdot10\,\text{m}^2=140\,\text{m}^2\). 3. Bei \(4\,\text{m}\) Breite ist die Länge \(140\,\text{m}^2:4\,\text{m}=35\,\text{m}\).

Das Beet ist \(35\,\text{m}\) lang.

- Achte darauf, dass alle Flächenangaben in derselben Einheit vorliegen müssen, bevor du sie addieren oder subtrahieren kannst. - Wie viele Quadratmeter sind ein Ar? - Du kannst zuerst ausrechnen, wie viel Platz Rasen und Teich zusammen verbrauchen.

1. \(8\,\text{a} = 800\,\text{m}^2\). 2. \(350\,\text{m}^2 + 45\,\text{m}^2 = 395\,\text{m}^2\). 3. \(800\,\text{m}^2 - 395\,\text{m}^2 = 405\,\text{m}^2\).

Die Gemüsebeete haben eine Fläche von \(405\,\text{m}^2\).

- Überlege zuerst, wie Hektar und Ar zusammenhängen. - Wandle alle gemischten Flächenangaben in dieselbe Einheit um. - Addiere erst, wenn alle Summanden in Ar angegeben sind.

1. \(4\,\text{ha}\ 12\,\text{a} = 412\,\text{a}\). 2. Der zweite Summand ist bereits \(88\,\text{a}\). 3. \(2\,\text{ha}\ 5\,\text{a} = 205\,\text{a}\). 4. \(412\,\text{a} + 88\,\text{a} + 205\,\text{a} = 705\,\text{a}\).

\(705\,\text{a}\)

- Es ist oft einfacher, die gemischte Größe zuerst komplett in die kleinere Einheit umzurechnen. - Führe die Multiplikation oder Division mit der reinen Zahl durch. - Vergiss nicht, am Ende wieder in die größeren Einheiten zurückzurechnen.

1. a) \(5\,\text{ha}\,12\,\text{a} = 512\,\text{a}\). Dann ist \(512\,\text{a} \cdot 8 = 4096\,\text{a} = 40\,\text{ha}\,96\,\text{a}\). 2. b) \(24\,\text{m}^2\,48\,\text{dm}^2 = 2448\,\text{dm}^2\). Dann ist \(2448\,\text{dm}^2 : 6 = 408\,\text{dm}^2 = 4\,\text{m}^2\,8\,\text{dm}^2\).

a) \(40\,\text{ha}\,96\,\text{a}\) b) \(4\,\text{m}^2\,8\,\text{dm}^2\)

- Wie viel der Gesamtstrecke bleibt übrig, wenn du die ersten beiden Abschnitte abziehst? - Addiere alle Zeitdauern (Wanderzeiten und Pause) zur Startzeit. - Achte darauf, wie viele volle Stunden in \(75\) oder \(90\) Minuten stecken.

1. Der Rückweg ist \(14\,\text{km} - 5\,\text{km} - 3\,\text{km} = 6\,\text{km}\) lang. 2. Nach \(75\) Minuten erreicht die Gruppe um \(09{:}45\,\text{Uhr}\) den Aussichtsturm. 3. Nach weiteren \(45\) Minuten erreicht sie um \(10{:}30\,\text{Uhr}\) den See. 4. Die Pause endet um \(11{:}00\,\text{Uhr}\). 5. Nach \(90\) Minuten Rückweg kommt die Gruppe um \(12{:}30\,\text{Uhr}\) am Waldparkplatz an.

a) Der Rückweg ist \(6\,\text{km}\) lang. b) Die Gruppe kommt um \(12{:}30\,\text{Uhr}\) wieder am Waldparkplatz an.

- Rechne den Kinderpreis für die Multiplikation zunächst in Cent um. - Berücksichtige die Kinder und die beiden Lehrkräfte getrennt. - Für b) arbeite die Zeitangaben in der Reihenfolge des Tagesplans ab.

1. Ein Kinderpreis sind \(350\,\text{ct}\). Die Kinder kosten \(24 \cdot 350\,\text{ct} = 8400\,\text{ct} = 84{,}00\,\text{€}\). Die beiden Lehrkräfte kosten \(2 \cdot 6{,}00\,\text{€} = 12{,}00\,\text{€}\). Insgesamt sind es \(96{,}00\,\text{€}\). 2. Der Museumsbesuch endet um \(12{:}00\,\text{Uhr}\). Nach der Pause ist es \(12{:}30\,\text{Uhr}\). 3. Bis \(12{:}45\,\text{Uhr}\) bleiben \(15\,\text{min}\).

a) \(96{,}00\,\text{€}\) b) \(15\,\text{min}\)

- Unterscheide bei a) zwischen der Anzahl der Stationen und der Anzahl der Zwischenräume. - Wie viele Flaschen stehen insgesamt an allen Stationen? - Bringe die gesamte Wassermenge am Ende in die verlangte Einheit Liter.

1. Vier Stationen vom Start bis zum Ziel bilden \(3\) gleich lange Abstände. Daher beträgt ein Abstand \(3\,\text{km} : 3 = 1\,\text{km}\). 2. Insgesamt stehen \(4 \cdot 6 = 24\) Flaschen bereit. 3. Die Wassermenge beträgt \(24 \cdot 750\,\text{ml} = 18\,000\,\text{ml} = 18\,\text{l}\).

a) \(1\,\text{km}\) b) \(18\,\text{l}\)

- Welche verschiedenen Anzahlen von Kanistern kommen überhaupt infrage? - Wie kannst du für jede solche Anzahl die noch fehlende Saftmenge bestimmen? - Wie stellst du sicher, dass du keine günstigere Kombination übersehen hast?

1. Prüfe die möglichen Anzahlen von Kanistern von \(0\) bis \(5\). 2. Bei \(0\) Kanistern werden \(23\) Flaschen benötigt: \(23 \cdot 2\,\text{€} = 46\,\text{€}\). 3. Bei \(1\) Kanister werden \(18\) Flaschen benötigt: \(8\,\text{€} + 18 \cdot 2\,\text{€} = 44\,\text{€}\). 4. Bei \(2\) Kanistern werden \(13\) Flaschen benötigt: \(2 \cdot 8\,\text{€} + 13 \cdot 2\,\text{€} = 42\,\text{€}\). 5. Bei \(3\) Kanistern werden \(8\) Flaschen benötigt: \(3 \cdot 8\,\text{€} + 8 \cdot 2\,\text{€} = 40\,\text{€}\). 6. Bei \(4\) Kanistern werden \(3\) Flaschen benötigt: \(4 \cdot 8\,\text{€} + 3 \cdot 2\,\text{€} = 38\,\text{€}\). 7. Bei \(5\) Kanistern werden keine Flaschen benötigt: \(5 \cdot 8\,\text{€} = 40\,\text{€}\). 8. Ab \(6\) Kanistern kosten schon die Kanister mindestens \(6 \cdot 8\,\text{€} = 48\,\text{€}\). Eine solche Kombination kann also nicht günstiger sein. 9. Der niedrigste Preis ist \(38\,\text{€}\).

Der niedrigste Gesamtpreis beträgt \(38\,\text{€}\). Dafür werden \(4\) Kanister und \(3\) Flaschen gekauft; zusammen sind das \(46\,\text{l}\).

- Bestimme aus gegebenem Geld und Rückgeld zuerst den tatsächlich bezahlten Betrag. - Rechne die Geldbeträge vor der Division in Cent um. - Arbeite anschließend rückwärts vom vollen Topf zum Anfangszustand.

1. Youssef gibt insgesamt \(2 \cdot 50{,}00\,\text{€} = 100{,}00\,\text{€}\) ab. 2. Der gekaufte Honig kostet \(100{,}00\,\text{€} - 14{,}50\,\text{€} = 85{,}50\,\text{€}\). 3. In Cent gilt \(85{,}50\,\text{€} = 8550\,\text{ct}\) und \(4{,}50\,\text{€} = 450\,\text{ct}\). Daher wurden \(8550 : 450 = 19\) Kilogramm gekauft. 4. Vor dem Auffüllen waren \(25\,\text{kg} - 19\,\text{kg} = 6\,\text{kg}\) im Topf.

Zu Beginn waren \(6\,\text{kg}\) Honig im Topf.

- Bestimme zuerst die gesamte Zeit, die Hanna für die Wanderung benötigt. - Wie lange würde Tom ohne Pausen für die Strecke brauchen? - Wie viel Zeit bleibt für Toms Pausen übrig, wenn beide gleichzeitig ankommen? - Überlege genau, wie viele Pausen Tom auf der gesamten Gehzeit einlegt.

1. Hanna braucht \(4 \cdot 12\,\text{min} + 92\,\text{min} + 5 \cdot 14\,\text{min} = 210\,\text{min}\). 2. Tom braucht ohne Pausen \(15 \cdot 10\,\text{min} = 150\,\text{min}\). 3. In \(150\) Minuten Gehzeit erreicht Tom die Marken \(45\), \(90\) und \(135\) Minuten. Er macht also \(3\) Pausen. 4. Für die Pausen bleiben \(210\,\text{min} - 150\,\text{min} = 60\,\text{min}\). Eine Pause dauert \(60\,\text{min} : 3 = 20\,\text{min}\).

Eine Pause von Tom dauert \(20\,\text{min}\).

- Fällt dir bei a) eine Gemeinsamkeit bei den Multiplikationen auf? - Denk an die Regel „Klammer zuerst“ und innerhalb der Klammer an „Punkt-vor-Strich“. - Achte darauf, ob das Ergebnis eine Einheit haben muss oder eine reine Zahl ist.

1. a) Beide Produkte haben den Faktor \(25\): \((18{,}45\,\text{€} + 11{,}55\,\text{€}) \cdot 25 = 30\,\text{€} \cdot 25 = 750\,\text{€}\). 2. b) Zuerst gilt \(45\,\text{cm} \cdot 8 = 360\,\text{cm}\). Mit \(10\,\text{m} = 1000\,\text{cm}\) folgt \((1000\,\text{cm} - 360\,\text{cm}) : 20\,\text{cm} = 640\,\text{cm} : 20\,\text{cm} = 32\). 3. c) \(2\,\text{t} = 2000\,\text{kg}\). Damit ist \((2000\,\text{kg} - 1250\,\text{kg}) : 25\,\text{kg} = 750\,\text{kg} : 25\,\text{kg} = 30\).

a) \(750\,\text{€}\) b) \(32\) c) \(30\)

- Beachte die Vorrangregeln: Punktrechnung geht vor Strichrechnung. - Rechne die Ausdrücke links und rechts vom Pluszeichen getrennt aus. - Überlege bei jedem Zwischenschritt, ob das Ergebnis eine Einheit hat oder eine reine Zahl ist. - Kannst du am Ende zwei verschiedene Arten von Werten addieren?

1. Links gilt \(4\,\text{h} : 2 = 2\,\text{h}\). 2. Rechts gilt \(10 \cdot 5\,\text{min} = 50\,\text{min}\) und danach \(50\,\text{min} : 50\,\text{min} = 1\). Das Ergebnis ist eine reine Zahl. 3. Damit entsteht \(2\,\text{h} + 1\). 4. Eine Zeitdauer kann nicht mit einer reinen Zahl addiert werden. Deshalb kann der Term nicht vollständig berechnet werden.

Der Term kann nicht vollständig berechnet werden. Der erste Teil ergibt \(2\,\text{h}\), der zweite Teil die reine Zahl \(1\). Diese beiden Werte können nicht addiert werden.

- Wandle \(15\,\text{a}\) zuerst in Quadratmeter um. - Berechne die kleinste und die größte gesamte Samenmenge. - Es können nur ganze \(2\text{-kg-Packungen}\) gekauft werden.

1. \(15\,\text{a} = 1500\,\text{m}^2\). 2. Die Mindestmenge beträgt \(1500 \cdot 20\,\text{g} = 30\,000\,\text{g} = 30\,\text{kg}\). Das sind \(30 : 2 = 15\) Packungen. 3. Die Höchstmenge beträgt \(1500 \cdot 30\,\text{g} = 45\,000\,\text{g} = 45\,\text{kg}\). 4. \(22\) Packungen enthalten \(44\,\text{kg}\) und liegen noch unter \(45\,\text{kg}\). \(23\) Packungen enthalten \(46\,\text{kg}\) und überschreiten die Höchstmenge. Daher sind höchstens \(22\) Packungen möglich.

Sie muss mindestens \(15\) Packungen kaufen und darf höchstens \(22\) Packungen kaufen.

- Berechne zuerst, wie groß die Fläche des Sportplatzes insgesamt ist. - Wie oft passt die Bezugsfläche von \(100\,\text{m}^2\) in diese Gesamtfläche? - Überlege am Ende genau, wie viele ganze Säcke gekauft werden müssen, damit der Dünger für die gesamte Fläche ausreicht.

1. Die Fläche des Sportplatzes ist \(105\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 6300\,\text{m}^2\). 2. Das sind \(6300 : 100 = 63\) Flächen zu je \(100\,\text{m}^2\). 3. Benötigt werden \(63 \cdot 4\,\text{kg} = 252\,\text{kg}\) Dünger. 4. Zehn Säcke enthalten nur \(250\,\text{kg}\), deshalb müssen \(11\) Säcke gekauft werden. 5. Die Kosten betragen \(11 \cdot 32\,\text{€} = 352\,\text{€}\).

Die Düngung des Sportplatzes kostet insgesamt \(352\,\text{€}\).

- Welche Fläche gehört zum gefliesten Rand und welche zum Becken selbst? - Achte darauf, dass der Rand an jeder Seite des Beckens liegt. - Welche Größe verbindet die Randfläche mit der benötigten Fliesenmasse? - Sind Gesamtmasse und Ladekapazität bereits in derselben Einheit angegeben?

1. Die Außenmaße der gefliesten Fläche sind \(10\,\text{m} + 2 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 13\,\text{m}\) und \(5\,\text{m} + 2 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 8\,\text{m}\). 2. Die gesamte Außenfläche beträgt \(13\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 104\,\text{m}^2\). 3. Das Schwimmbecken hat den Flächeninhalt \(10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 50\,\text{m}^2\). 4. Damit beträgt die Randfläche \(104\,\text{m}^2 - 50\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\). 5. Die Fliesen für den Rand haben die Gesamtmasse \(54\,\text{m}^2 \cdot 25\,\text{kg}/\text{m}^2 = 1350\,\text{kg}\). 6. Die Ladekapazität beträgt \(1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}\). Da \(1350\,\text{kg} > 1000\,\text{kg}\), reicht eine Fahrt nicht aus.

Die Fliesen haben eine Gesamtmasse von \(1350\,\text{kg}\). Eine Fahrt reicht nicht aus.