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Stellen Sie aus rund 22.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Dreisatz bei einfachen Sachaufgaben

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Schwierigkeit: 1 – 5

4183315

Ein Heißluftballon startet an einem kühlen Morgen bei einer Bodentemperatur von \(7\,^\circ\text{C}\). Mit zunehmender Höhe sinkt die Lufttemperatur näherungsweise um \(1\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\) Aufstieg. Der Ballon steigt um \(1800\,\text{m}\) auf. Welche Temperatur misst der Pilot dort näherungsweise?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie oft die \(100\,\text{m}\) in der Gesamthöhe enthalten sind. - Wird es beim Aufsteigen wärmer oder kälter? - Rechne von der Starttemperatur aus schrittweise nach unten. - Kannst du eine Subtraktionsaufgabe aufschreiben, bei der das Ergebnis im negativen Bereich liegt?

Lösung

1. Berechnung der Anzahl der \(100\,\text{m}\)-Schritte beim Aufstieg um \(1800\,\text{m}\): \(1800 : 100 = 18\). 2. Ermittlung der näherungsweisen Temperaturabnahme: \(18 \cdot 1\,^\circ\text{C} = 18\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung der Endtemperatur: \(7 - 18 = -11\). Die Temperatur beträgt dort näherungsweise \(-11\,^\circ\text{C}\).

Antwort

Der Pilot misst dort näherungsweise \(-11\,^\circ\text{C}\).

4203415

Ein Gefrierschrank wird neu in Betrieb genommen. Die Innentemperatur sinkt dabei von \(18\,^\circ\text{C}\) auf \(-12\,^\circ\text{C}\). Jede Stunde verringert sich die Temperatur gleichmäßig um \(5\,^\circ\text{C}\). Berechne, wie viele Stunden dieser Abkühlvorgang insgesamt dauert.

Denkanstöße

- Stelle dir ein Thermometer vor und überlege, wie viele Schritte es von der Start- zur Zieltemperatur sind. - Wie viel Grad Celsius liegen insgesamt zwischen dem positiven und dem negativen Wert? - Wenn du den Gesamtweg kennst, kannst du ihn in die stündlichen Schritte aufteilen.

Lösung

1. Bestimmung des gesamten Temperaturunterschieds: Der Abstand von \(18\,^\circ\text{C}\) bis zum Nullpunkt beträgt \(18\,^\circ\text{C}\), vom Nullpunkt bis \(-12\,^\circ\text{C}\) sind es weitere \(12\,^\circ\text{C}\). Die Gesamtdifferenz beträgt also \(18\,^\circ\text{C} + 12\,^\circ\text{C} = 30\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der Dauer: Da die Temperatur pro Stunde um \(5\,^\circ\text{C}\) sinkt, wird der gesamte Unterschied durch die stündliche Änderung geteilt: \(30 : 5 = 6\). Der Vorgang dauert somit \(6\) Stunden.

Antwort

Der Abkühlvorgang dauert \(6\) Stunden.

4207025

Ein Eichhörnchen ist mit Schwanz etwa \(50\,\text{cm}\) lang und kann zwischen Ästen bis zu \(5\,\text{m}\) weit springen. a) Das Wievielfache seiner eigenen Körperlänge kann das Eichhörnchen überspringen? b) Ein Kind ist \(1{,}45\,\text{m}\) groß. Wie weit müsste es springen, wenn es im Verhältnis zu seiner Körpergröße die gleiche Sprungweite wie ein Eichhörnchen erreichen würde?

Denkanstöße

- Achte darauf, dass du beim Vergleichen von Längen immer die gleiche Einheit verwendest. - Überlege zuerst, wie oft die kleine Länge in die große Länge passt. - Übertrage dieses Ergebnis dann auf die Größe des Kindes, indem du multiplizierst.

Lösung

1. Umrechnung der Einheiten für den Vergleich: \(5\,\text{m} = 500\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Vielfachen: \(500\,\text{cm} : 50\,\text{cm} = 10\). Das Eichhörnchen springt das \(10\)-fache seiner Körperlänge. 3. Berechnung der Sprungweite für das Kind: \(1{,}45\,\text{m} \cdot 10 = 14{,}5\,\text{m}\).

Antwort

a) Das Eichhörnchen springt das \(10\)-fache seiner Körperlänge. b) Das Kind müsste \(14{,}5\,\text{m}\) weit springen.

4207445

Eine gleichmäßig abbrennende Kerze wird angezündet. Nach \(15\,\text{Minuten}\) ist sie um genau \(12\,\text{mm}\) kürzer geworden. Die Kerze war zu Beginn \(144\,\text{mm}\) hoch. Wie viele Stunden brennt die Kerze insgesamt, bis sie vollständig aufgebraucht ist?

Denkanstöße

- Wie oft passt das Stück, das in 15 Minuten abbrennt, in die gesamte Kerze? - Wenn du weißt, wie viele solcher Stücke in der Kerze stecken, kannst du die Gesamtzeit berechnen. - Vergiss am Ende nicht, dein Ergebnis von Minuten in Stunden umzurechnen.

Lösung

1. Berechnung, wie oft die \(12\,\text{mm}\) in der Gesamthöhe enthalten sind: \(144\,\text{mm} : 12\,\text{mm} = 12\). Es gibt also 12 Abschnitte von jeweils \(15\,\text{Minuten}\). 2. Berechnung der Gesamtzeit in Minuten: \(12 \cdot 15\,\text{Minuten} = 180\,\text{Minuten}\). 3. Umrechnung der Gesamtzeit in Stunden: \(180\,\text{Minuten} : 60 = 3\,\text{Stunden}\).

Antwort

Die Kerze brennt insgesamt \(3\,\text{Stunden}\).

4207465

Vier neue Tennisbälle kosten zusammen \(6{,}40\,\text{€}\). Berechne den Preis für: a) \(8\) Bälle, b) \(1\) Ball, c) \(15\) Bälle.

Denkanstöße

- Kannst du den Preis für die doppelte Menge direkt finden, ohne den Einzelpreis zu kennen? - Wie viel kostet ein einzelner Gegenstand, wenn du den Preis für vier kennst? - Wenn du weißt, was einer kostet, wie rechnest du das auf eine beliebig andere Menge hoch?

Lösung

1. Berechnung für \(8\) Bälle durch Verdopplung des Preises für \(4\) Bälle: \(6{,}40\,\text{€} \cdot 2 = 12{,}80\,\text{€}\). 2. Berechnung des Einzelpreises durch Division des Gesamtpreises durch \(4\): \(6{,}40\,\text{€} : 4 = 1{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung für \(15\) Bälle durch Multiplikation des Einzelpreises mit \(15\): \(15 \cdot 1{,}60\,\text{€} = 24{,}00\,\text{€}\).

Antwort

a) \(12{,}80\,\text{€}\) b) \(1{,}60\,\text{€}\) c) \(24{,}00\,\text{€}\)

4207595

Für die Zubereitung von \(4\,\text{Portionen}\) Milchreis benötigt man genau \(1\,\text{Liter}\) Milch. Berechne, wie viel Milch man einkaufen muss, wenn man Milchreis für \(20\,\text{Personen}\) kochen möchte.

Denkanstöße

- Wie oft passt die kleine Personenzahl in die große Personenzahl? - Wenn du für mehr Leute kochst, brauchst du dann mehr oder weniger Milch? - Überlege dir, mit welcher Zahl du die Portionen multiplizieren musst, um auf 20 zu kommen.

Lösung

1. Gegebene Zuordnung erfassen: \(4\,\text{Portionen} \mathrel{\widehat{=}} 1\,\text{l}\) Milch. 2. Faktor für die Vergrößerung bestimmen: \(20 : 4 = 5\). Die Personenanzahl verfünffacht sich. 3. Proportionalitätsfaktor auf die Milchmenge anwenden: \(1\,\text{l} \cdot 5 = 5\,\text{l}\).

Antwort

Man benötigt \(5\,\text{Liter}\) Milch.

4207605

Ein Paket mit \(500\,\text{Blatt}\) Kopierpapier hat ein Gewicht von \(2{,}5\,\text{kg}\). Wie viel wiegen \(100\,\text{Blatt}\) dieses Papiers?

Denkanstöße

- Ist die neue Anzahl an Blättern größer oder kleiner als die ursprüngliche? - Welche Rechenoperation hilft dir, von 500 auf 100 zu kommen? - Was du auf der einen Seite (Anzahl der Blätter) rechnest, musst du auch auf der anderen Seite (Gewicht) tun.

Lösung

1. Ausgangswerte notieren: \(500\,\text{Blatt} \mathrel{\widehat{=}} 2{,}5\,\text{kg}\). 2. Verhältnis der Mengen bestimmen: Um von \(500\) auf \(100\) zu kommen, muss durch \(5\) dividiert werden. 3. Rechnung für das Gewicht durchführen: \(2{,}5\,\text{kg} : 5 = 0{,}5\,\text{kg}\). 4. Optional in Gramm umrechnen: \(0{,}5\,\text{kg} = 500\,\text{g}\).

Antwort

\(100\,\text{Blatt}\) wiegen \(0{,}5\,\text{kg}\) (oder \(500\,\text{g}\)).

4207685

Lasse, Mia und Tom kaufen gemeinsam bunte Glassteine zum Basteln. Alle Steine haben denselben Preis pro Gramm. Lasse nimmt \(120\,\text{g}\), Mia \(200\,\text{g}\) und Tom \(180\,\text{g}\). Lasse bezahlt an der Kasse den Gesamtbetrag von \(12{,}50\,\text{€}\). Berechne, wie viel Geld Mia und Tom ihrem Freund Lasse jeweils zurückgeben müssen.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie schwer die gesamte Menge an Glassteinen ist. - Wie viel kostet ein bestimmter Teil der Menge (zum Beispiel \(100\,\text{g}\))? - Wenn du den Preis für eine kleine Einheit kennst, kannst du die Beträge für Mia und Tom leicht ausrechnen.

Lösung

1. Berechnung des Gesamtgewichts der Glassteine: \(120\,\text{g} + 200\,\text{g} + 180\,\text{g} = 500\,\text{g}\). 2. Ermittlung des Preises pro \(100\,\text{g}\) mit dem Dreisatz: \(12{,}50\,\text{€} : 5 = 2{,}50\,\text{€}\). 3. Berechnung des Anteils für Mia (\(200\,\text{g}\)): \(2 \cdot 2{,}50\,\text{€} = 5{,}00\,\text{€}\). 4. Berechnung des Anteils für Tom (\(180\,\text{g}\)): Da \(100\,\text{g} = 2{,}50\,\text{€}\) kosten, kosten \(10\,\text{g} = 0{,}25\,\text{€}\). Tom zahlt für \(18 \cdot 10\,\text{g}\), also \(18 \cdot 0{,}25\,\text{€} = 4{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Mia muss Lasse \(5{,}00\,\text{€}\) geben und Tom muss ihm \(4{,}50\,\text{€}\) geben.

4207715

Ein Kopierer in der Schule druckt 30 Seiten in 2 Minuten. a) Wie viele Seiten schafft der Kopierer in einer Zeit von 7 Minuten? b) Wie lange dauert es insgesamt, bis 225 Seiten gedruckt sind?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Seiten in einer einzigen Minute gedruckt werden. - Hilft dir eine Tabelle, um die Zeit und die Seitenanzahl gegenüberzustellen? - Wenn du weißt, was in einer Minute passiert, kannst du das Ergebnis leicht vervielfachen.

Lösung

1. Berechnung der Druckleistung pro Minute (Einzelschritt): \(30 : 2 = 15\,\text{Seiten pro Minute}\). 2. Berechnung für 7 Minuten: \(7 \cdot 15 = 105\,\text{Seiten}\). 3. Berechnung der Zeit für 225 Seiten: \(225 : 15 = 15\,\text{Minuten}\).

Antwort

a) In 7 Minuten werden 105 Seiten gedruckt. b) Es dauert 15 Minuten, bis 225 Seiten gedruckt sind.

4207775

Für die gesunde Pause kauft Frau Weber \(15\) Äpfel und \(5\) Netze Orangen ein. Sie hat zwei Angebote zur Auswahl: Angebot 1: \(3\) Äpfel kosten \(1{,}20\,\text{€}\) und ein Netz Orangen kostet \(2{,}45\,\text{€}\). Angebot 2: \(5\) Äpfel kosten \(1{,}90\,\text{€}\) und \(5\) Netze Orangen kosten im Sparpack \(12{,}00\,\text{€}\). Welches Angebot ist für den gesamten Einkauf preiswerter? Berechne den Preisunterschied für die gesamte Menge.

Denkanstöße

- Rechne für jedes Angebot getrennt aus, was 15 Äpfel und 5 Netze Orangen kosten würden. - Wie oft passt die Packungsgröße der Äpfel in die gewünschte Menge von 15 Stück? - Vergleiche am Ende die beiden Gesamtsummen miteinander.

Lösung

1. Kosten Angebot 1: Für \(15\) Äpfel müssen \(5\) Portionen zu je \(3\) Stück gekauft werden (\(5 \cdot 1{,}20\,\text{€} = 6{,}00\,\text{€}\)). Die \(5\) Netze Orangen kosten \(5 \cdot 2{,}45\,\text{€} = 12{,}25\,\text{€}\). Gesamtsumme: \(18{,}25\,\text{€}\). 2. Kosten Angebot 2: Für \(15\) Äpfel müssen \(3\) Portionen zu je \(5\) Stück gekauft werden (\(3 \cdot 1{,}90\,\text{€} = 5{,}70\,\text{€}\)). Die \(5\) Netze Orangen kosten pauschal \(12{,}00\,\text{€}\). Gesamtsumme: \(17{,}70\,\text{€}\). 3. Preisunterschied: \(18{,}25\,\text{€} - 17{,}70\,\text{€} = 0{,}55\,\text{€}\).

Antwort

Angebot 2 ist preiswerter. Der gesamte Einkauf kostet dort \(17{,}70\,\text{€}\), während er bei Angebot 1 \(18{,}25\,\text{€}\) kosten würde. Der Preisunterschied beträgt \(0{,}55\,\text{€}\).

4207815

An einem Marktstand kosten \(4\,\text{kg}\) Äpfel insgesamt \(6\,\text{€}\). a) Berechne, wie viel eine Kundin für \(7\,\text{kg}\) Äpfel bezahlen muss. b) Ermittle, wie viele Kilogramm Äpfel man für \(12\,\text{€}\) erhält.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viel ein einzelnes Kilogramm der Äpfel kostet. - Wenn du den Preis für ein Kilogramm kennst, kannst du diesen Wert nutzen, um auf andere Mengen oder Preise hochzurechnen.

Lösung

1. Berechnung des Preises für eine Einheit (\(1\,\text{kg}\)): \(6\,\text{€} : 4 = 1{,}50\,\text{€}\). 2. Berechnung für \(7\,\text{kg}\): \(7 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 10{,}50\,\text{€}\). 3. Berechnung der Menge für \(12\,\text{€}\): \(12\,\text{€} : 1{,}50\,\text{€/kg} = 8\,\text{kg}\).

Antwort

a) \(7\,\text{kg}\) Äpfel kosten \(10{,}50\,\text{€}\). b) Für \(12\,\text{€}\) erhält man \(8\,\text{kg}\) Äpfel.

4207865

Für eine Klassenfeier bestellen \(18\) Schüler Pizza und zahlen dafür insgesamt \(108\,\text{€}\). Kurz vor der Feier entscheiden sich noch \(4\) weitere Mitschüler, ebenfalls mitzuessen. Berechne, wie viel Geld diese \(4\) Personen zusammen zusätzlich bezahlen müssen, wenn der Preis pro Person für alle gleich ist.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viel die Pizza für eine einzige Person kostet. - Wie kannst du diesen Einzelpreis nutzen, um die Kosten für eine andere Anzahl an Personen zu bestimmen? - Was genau ist in der Frage gesucht: der neue Gesamtbetrag oder nur der zusätzliche Betrag?

Lösung

1. Berechnung des Preises für eine einzelne Person durch Division des Gesamtbetrags durch die Anzahl der Schüler: \(108\,\text{€} : 18 = 6\,\text{€}\). 2. Berechnung des zusätzlichen Betrags für die neuen Gäste durch Multiplikation des Einzelpreises mit der Anzahl der zusätzlichen Personen: \(4 \cdot 6\,\text{€} = 24\,\text{€}\).

Antwort

Die \(4\) Personen müssen zusammen \(24\,\text{€}\) zusätzlich bezahlen.

4209945

Ein Radfahrer legt in einer halben Stunde eine Strecke von \(9\,\text{km}\) zurück. Berechne, wie viele Meter er durchschnittlich in einer Minute fährt.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Meter ein Kilometer hat. - Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde? - Wenn du die Gesamtstrecke und die Gesamtzeit kennst, wie berechnest du dann den Anteil für eine einzelne Minute?

Lösung

1. Umrechnung der Strecke von Kilometer in Meter: \(9\,\text{km} = 9000\,\text{m}\). 2. Umrechnung der Zeit von einer halben Stunde in Minuten: \(30\,\text{min}\). 3. Berechnung der Strecke pro Minute durch Division: \(9000\,\text{m} : 30\,\text{min} = 300\,\text{m/min}\).

Antwort

Der Radfahrer legt durchschnittlich \(300\,\text{Meter}\) pro Minute zurück.

4210345

Ein Kolibri schlägt 80-mal pro Sekunde mit seinen Flügeln. Eine Stechmücke schafft dagegen \(15\,000\) Flügelschläge in 30 Sekunden. a) Welches der beiden Tiere bewegt seine Flügel pro Sekunde häufiger? b) Wie oft schlagen sie jeweils während eines zweiminütigen Fluges mit den Flügeln?

Denkanstöße

- Wie viele Schläge macht die Mücke in nur einer einzigen Sekunde? - Wie viele Sekunden stecken in zwei Minuten? - Kannst du die Anzahl der Schläge pro Sekunde nutzen, um die Gesamtzahl für die längere Zeit auszurechnen?

Lösung

1. Berechnung der Flügelschläge der Mücke pro Sekunde: \(15\,000 : 30 = 500\). Die Mücke schlägt 500-mal pro Sekunde, der Kolibri 80-mal. Damit bewegt die Mücke ihre Flügel häufiger. 2. Umrechnung der Flugzeit: \(2\,\text{min} = 120\,\text{s}\). 3. Berechnung für den Kolibri: \(80 \cdot 120 = 9600\) Flügelschläge. 4. Berechnung für die Mücke: \(500 \cdot 120 = 60\,000\) Flügelschläge.

Antwort

a) Die Stechmücke bewegt ihre Flügel häufiger (500 Schläge pro Sekunde im Vergleich zu 80 Schlägen beim Kolibri). b) In 2 Minuten macht der Kolibri \(9600\) Flügelschläge und die Stechmücke \(60\,000\) Flügelschläge.

4210625

Lukas läuft in einer Minute durchschnittlich \(150\,\text{m}\). Sarah schafft beim Sprinten in einer Sekunde \(3\,\text{m}\). Wer von beiden ist schneller? Berechne außerdem, wie groß der Vorsprung der schnelleren Person nach \(4\,\text{Minuten}\) ist, wenn beide gleichzeitig starten.

Denkanstöße

- Wie viele Meter legt Sarah in einer ganzen Minute zurück, wenn sie pro Sekunde \(3\,\text{m}\) schafft? - Versuche, beide Geschwindigkeiten so umzurechnen, dass du sie direkt vergleichen kannst (zum Beispiel beide in Meter pro Minute). - Wie weit kommt jeder für sich in der angegebenen Zeit?

Lösung

1. Umrechnung der Geschwindigkeiten auf eine gemeinsame Einheit: Sarah legt in einer Sekunde \(3\,\text{m}\) zurück, das entspricht \(3 \cdot 60 = 180\,\text{m}\) pro Minute. 2. Vergleich: Da Sarah \(180\,\text{m/min}\) läuft und Lukas nur \(150\,\text{m/min}\), ist Sarah schneller. 3. Berechnung der Wegstrecken nach \(4\,\text{Minuten}\): Sarah legt \(180 \cdot 4 = 720\,\text{m}\) zurück, Lukas legt \(150 \cdot 4 = 600\,\text{m}\) zurück. 4. Bestimmung des Vorsprungs: Die Differenz beträgt \(720\,\text{m} - 600\,\text{m} = 120\,\text{m}\).

Antwort

Sarah ist schneller. Ihr Vorsprung nach \(4\,\text{Minuten}\) beträgt \(120\,\text{m}\).

4210675

Ein kleiner Brunnen füllt ein Auffangbecken. In \(15\) Minuten fließen \(120\,\text{l}\) Wasser hinein. a) Wie viele Liter Wasser fließen pro Minute in das Becken? b) Das Auffangbecken hat ein Fassungsvermögen von \(800\,\text{l}\). Wie lange dauert es insgesamt, bis das leere Becken vollständig gefüllt ist? Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viel Wasser in einer einzigen Minute in das Becken fließt. - Wenn du weißt, wie viel Wasser pro Minute fließt, kannst du berechnen, wie viele solcher Minuten in das Gesamtvolumen passen. - Denk daran, dass \(60\) Minuten eine volle Stunde ergeben.

Lösung

1. Berechnung der Durchflussmenge pro Minute: \(120\,\text{l} : 15\,\text{min} = 8\,\text{l/min}\). 2. Berechnung der Gesamtdauer für die Füllung von \(800\,\text{l}\): \(800\,\text{l} : 8\,\text{l/min} = 100\,\text{min}\). 3. Umrechnung der Zeit in Stunden und Minuten: \(100\,\text{min} = 1\,\text{h } 40\,\text{min}\).

Antwort

a) Es fließen \(8\,\text{l}\) pro Minute in das Becken. b) Es dauert insgesamt \(1\,\text{h } 40\,\text{min}\).

4210745

Herr Weber fährt an vier Tagen pro Woche mit seinem Auto zur Arbeit und wieder zurück. Eine einfache Fahrtstrecke von seiner Wohnung bis zur Arbeitsstätte beträgt \(50\,\text{km}\). Sein Auto verbraucht genau \(5\,\text{l}\) Benzin auf \(100\,\text{km}\). Berechne, wie viel Geld Herr Weber pro Woche für das Benzin bezahlen muss, wenn ein Liter Benzin \(1{,}64\,\text{€}\) kostet.

Denkanstöße

- Achte darauf, dass für jeden Arbeitstag sowohl der Hinweg als auch der Rückweg gezählt werden muss. - Wie viele Kilometer fährt Herr Weber insgesamt in einer Woche? - Wenn du den Verbrauch für \(100\,\text{km}\) kennst, wie oft passt diese Strecke in die Wochenstrecke? - Multipliziere am Ende die verbrauchten Liter mit dem Preis pro Liter.

Lösung

1. Berechnung der täglichen Fahrstrecke (Hin- und Rückweg): \(50\,\text{km} \cdot 2 = 100\,\text{km}\). 2. Berechnung der wöchentlichen Gesamtstrecke bei 4 Arbeitstagen: \(100\,\text{km} \cdot 4 = 400\,\text{km}\). 3. Bestimmung des Benzinverbrauchs für die Gesamtstrecke: Da er \(5\,\text{l}\) pro \(100\,\text{km}\) verbraucht, sind es bei \(400\,\text{km}\) insgesamt \(4 \cdot 5\,\text{l} = 20\,\text{l}\). 4. Berechnung der wöchentlichen Kosten: \(20 \cdot 1{,}64\,\text{€} = 32{,}80\,\text{€}\).

Antwort

Herr Weber bezahlt pro Woche \(32{,}80\,\text{€}\) für Benzin.

4210885

Ein Forschungs-U-Boot befindet sich in einer Tiefe von \(1200\,\text{m}\). Es beginnt mit dem Aufstieg zur Meeresoberfläche. Der gesamte Aufstieg dauert \(40\,\text{Minuten}\). In den ersten \(10\,\text{Minuten}\) steigt das U-Boot mit einer konstanten, aber unbekannten Geschwindigkeit auf. In der restlichen Zeit steigt es gleichmäßig mit \(25\,\text{Metern}\) pro Minute. Berechne, wie viele Meter das U-Boot in den ersten \(10\,\text{Minuten}\) zurückgelegt hat.

Denkanstöße

- Wie lange dauert der zweite Teil des Aufstiegs? - Kannst du berechnen, welche Strecke das U-Boot im zweiten Teil zurücklegt? - Wenn du die gesamte Strecke und die Strecke des zweiten Teils kennst, wie findest du den Rest?

Lösung

1. Berechnung der Zeit für den zweiten Teil des Aufstiegs: \(40\,\text{min} - 10\,\text{min} = 30\,\text{min}\). 2. Berechnung der Strecke im zweiten Teil: \(30\,\text{min} \cdot 25\,\text{m/min} = 750\,\text{m}\). 3. Berechnung der Strecke im ersten Teil durch Subtraktion von der Gesamttiefe: \(1200\,\text{m} - 750\,\text{m} = 450\,\text{m}\).

Antwort

Das U-Boot hat in den ersten \(10\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(450\,\text{m}\) zurückgelegt.

4211275

Sophia besucht ihre Großmutter, die \(1500\,\text{m}\) entfernt wohnt. Den Weg legt sie zu Fuß zurück. Sie möchte pünktlich um \(14{:}00\,\text{Uhr}\) bei ihrer Großmutter ankommen. a) Berechne, um wie viel Uhr Sophia zu Hause losgehen muss, wenn sie durchschnittlich \(60\,\text{m}\) in einer Minute schafft. b) Auf dem Rückweg trödelt Sophia ein wenig. Sie startet um \(17{:}10\,\text{Uhr}\) bei ihrer Großmutter und kommt erst um \(17{:}40\,\text{Uhr}\) zu Hause an. Wie viele Meter hat sie in diesem Fall durchschnittlich pro Minute zurückgelegt?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie lange man für eine bestimmte Strecke braucht, wenn man weiß, wie weit man in einer Minute kommt. - Wie kannst du von einer Ankunftszeit rückwärts rechnen, um die Startzeit zu finden? - Wie berechnet man die Geschwindigkeit, wenn man die Gesamtstrecke und die gebrauchte Zeit kennt?

Lösung

1. Berechnung der Gehzeit für den Hinweg: \(1500\,\text{m} : 60\,\text{m/min} = 25\,\text{min}\). 2. Bestimmung der Abfahrtszeit: \(14{:}00\,\text{Uhr} - 25\,\text{min} = 13{:}35\,\text{Uhr}\). 3. Berechnung der Zeitdauer für den Rückweg: \(17{:}40\,\text{Uhr} - 17{:}10\,\text{Uhr} = 30\,\text{min}\). 4. Berechnung der Geschwindigkeit auf dem Rückweg: \(1500\,\text{m} : 30\,\text{min} = 50\,\text{m/min}\).

Antwort

a) Sophia muss um \(13{:}35\,\text{Uhr}\) losgehen. b) Sie hat \(50\,\text{m}\) pro Minute zurückgelegt.

4211715

Eine Wandergruppe legte an drei Tagen folgende Strecken zurück: \(14{,}6\,\text{km}\), \(12{,}9\,\text{km}\) und \(17{,}5\,\text{km}\). Die reine Wanderzeit betrug insgesamt \(9\) Stunden. Der Wanderführer behauptet: „Wir sind im Durchschnitt \(5\,\text{km}\) pro Stunde gewandert.“ Hat er recht? Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.

Denkanstöße

- Was musst du zuerst über die gesamte Strecke wissen? - Wie verteilt man eine Gesamtstrecke gleichmäßig auf die verbrauchten Stunden? - Vergleiche am Ende dein Ergebnis mit der Aussage im Text.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwegstrecke durch Addition der Tagesstrecken: \(14{,}6\,\text{km} + 12{,}9\,\text{km} + 17{,}5\,\text{km} = 45{,}0\,\text{km}\). 2. Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit pro Stunde durch Division der Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit: \(45{,}0\,\text{km} : 9\,\text{h} = 5\,\text{km/h}\). 3. Da das berechnete Ergebnis von \(5\,\text{km/h}\) mit der Behauptung des Wanderführers übereinstimmt, hat er recht.

Antwort

Ja, der Wanderführer hat recht. Die Gesamtwegstrecke beträgt \(45\,\text{km}\). Teilt man diese durch die \(9\) Stunden Wanderzeit, ergibt sich eine durchschnittliche Geschwindigkeit von \(5\,\text{km}\) pro Stunde.

4211765

In einem Supermarkt kosten \(20\,\text{kg}\) Kartoffeln \(30\,\text{€}\). Leon möchte den Preis für \(8\,\text{kg}\) berechnen und schreibt folgende Rechnung auf: \(20\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 30\,\text{€}\) \(2\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 3\,\text{€}\) \(8\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 9\,\text{€}\) Überprüfe die Rechnung. Wo liegt der Fehler? Berechne den richtigen Preis für \(8\,\text{kg}\).

Denkanstöße

- Schau dir an, mit welcher Zahl man die zweite Zeile multiplizieren muss, um auf die Werte der dritten Zeile zu kommen. - Rechne die Multiplikation auf der rechten Seite noch einmal genau nach. - Prüfe, ob auf beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl gerechnet wurde.

Lösung

1. Der erste Schritt der Rechnung ist korrekt: Um von \(20\,\text{kg}\) auf \(2\,\text{kg}\) zu kommen, wird durch \(10\) dividiert (\(20 : 10 = 2\) und \(30 : 10 = 3\)). 2. Der zweite Schritt ist fehlerhaft: Um von \(2\,\text{kg}\) auf \(8\,\text{kg}\) zu kommen, muss mit \(4\) multipliziert werden (\(2 \cdot 4 = 8\)). 3. Die Multiplikation auf der rechten Seite wurde falsch ausgeführt: \(3\,\text{€} \cdot 4 = 12\,\text{€}\), nicht \(9\,\text{€}\).

Antwort

Der Fehler liegt im letzten Schritt: \(3\,\text{€} \cdot 4\) ist \(12\,\text{€}\) und nicht \(9\,\text{€}\). Der richtige Preis für \(8\,\text{kg}\) Kartoffeln beträgt \(12\,\text{€}\).

4213555

Übertrage die folgende Dreisatztabelle in dein Heft und vervollständige die fehlenden Werte. Es geht um den Kauf von Schreibheften für eine Schule. <table> <tr> <td>Anzahl (Stück)</td> <td></td> <td>Preis (in €)</td> </tr> <tr> <td>\(8\)</td> <td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td> <td>\(11{,}20\)</td> </tr> <tr> <td>\(1\)</td> <td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(15\)</td> <td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td> <td></td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Schau dir die erste Zeile an: Wie viel kosten \(8\) Hefte? - Wie rechnest du aus, was nur ein einziges Heft kostet? - Wenn du den Preis für ein Heft kennst, wie findest du dann den Preis für \(15\) Hefte heraus?

Lösung

1. Berechnung des Preises für ein Heft (Einzelschritt): \(11{,}20\,\text{€} : 8 = 1{,}40\,\text{€}\). 2. Berechnung des Preises für \(15\) Hefte (Zielschritt): \(1{,}40\,\text{€} \cdot 15 = 21{,}00\,\text{€}\).

Antwort

Ein Heft kostet \(1{,}40\,\text{€}\); \(15\) Hefte kosten \(21{,}00\,\text{€}\).

4228655

Für eine fruchtige Sommerbowle mischt Frau Weber Apfelsaft, Mineralwasser und Johannisbeersaft im Verhältnis \(5 : 3 : 2\). Berechne, wie viele Milliliter von jeder Zutat benötigt werden, um genau \(2\,\text{Liter}\) dieser Bowle herzustellen.

Denkanstöße

- Wie viele Anteile sind es insgesamt? - Es hilft, das Gesamtvolumen zuerst in eine kleinere Einheit wie Milliliter umzurechnen. - Wenn du weißt, wie viel ein einzelner Anteil ist, kannst du die Menge für jede Zutat leicht bestimmen.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl der Anteile: \(5 + 3 + 2 = 10\) Anteile. 2. Umrechnung des Gesamtvolumens in Milliliter: \(2\,\text{l} = 2000\,\text{ml}\). 3. Bestimmung des Volumens eines einzelnen Anteils: \(2000\,\text{ml} : 10 = 200\,\text{ml}\). 4. Berechnung der Volumina für die einzelnen Zutaten: - Apfelsaft: \(5 \cdot 200\,\text{ml} = 1000\,\text{ml}\) (oder \(1\,\text{l}\)). - Mineralwasser: \(3 \cdot 200\,\text{ml} = 600\,\text{ml}\). - Johannisbeersaft: \(2 \cdot 200\,\text{ml} = 400\,\text{ml}\).

Antwort

Man benötigt \(1000\,\text{ml}\) (oder \(1\,\text{l}\)) Apfelsaft, \(600\,\text{ml}\) Mineralwasser und \(400\,\text{ml}\) Johannisbeersaft.

4107815

Ein Sack Kaffeebohnen hat einen Wert von \(144\,\text{€}\). Wenn man \(3\,\text{kg}\) der Bohnen entnimmt, verringert sich der Gesamtwert auf \(108\,\text{€}\). a) Berechne das ursprüngliche Gewicht des Sacks. b) Wie viel würde der volle Sack kosten, wenn der Preis pro Kilogramm um \(2\,\text{€}\) gesenkt würde?

Denkanstöße

- Finde zuerst heraus, wie schwer der Sack am Anfang war, indem du den Wertverlust betrachtest. - Wenn sich der Preis pro Kilogramm ändert, beeinflusst das den Gesamtwert des Sacks. - Was bleibt gleich (das Gewicht des vollen Sacks) und was ändert sich in Aufgabenteil b?

Lösung

1. Bestimmung des Werts der entnommenen Menge: \(144\,\text{€} - 108\,\text{€} = 36\,\text{€}\) 2. Berechnung des aktuellen Kilopreises: \(36\,\text{€} : 3\,\text{kg} = 12\,\text{€}/\text{kg}\) 3. Berechnung des ursprünglichen Gewichts: \(144\,\text{€} : 12\,\text{€}/\text{kg} = 12\,\text{kg}\) 4. Berechnung des neuen Kilopreises: \(12\,\text{€}/\text{kg} - 2\,\text{€}/\text{kg} = 10\,\text{€}/\text{kg}\) 5. Berechnung des neuen Gesamtwerts für den vollen Sack: \(12\,\text{kg} \cdot 10\,\text{€}/\text{kg} = 120\,\text{€}\)

Antwort

a) Der Sack wog ursprünglich \(12\,\text{kg}\). b) Der volle Sack würde dann \(120\,\text{€}\) kosten.

4183325

In einem Skigebiet liegt die Talstation auf \( 650\,\text{m} \) Höhe, wo eine Temperatur von \( 2\,^\circ\text{C} \) gemessen wird. Die Bergstation befindet sich auf \( 2250\,\text{m} \) Höhe. Die Temperatur sinkt je \( 200\,\text{m} \) Höhenunterschied um genau \( 1\,^\circ\text{C} \). Mit welcher Temperatur müssen Skifahrer an der Bergstation rechnen?

Denkanstöße

- Wie viele Meter müssen die Skifahrer insgesamt nach oben fahren? - Wie oft passt der angegebene Höhenschritt in diesen gesamten Höhenunterschied? - Denke daran, dass die Temperatur sinkt, wenn man weiter nach oben kommt.

Lösung

1. Berechnung des Höhenunterschieds zwischen Tal- und Bergstation: \( 2250\,\text{m} - 650\,\text{m} = 1600\,\text{m} \). 2. Bestimmung der Anzahl der Temperaturstufen: \( 1600 : 200 = 8 \). 3. Berechnung der Temperaturabnahme: \( 8 \cdot 1\,^\circ\text{C} = 8\,^\circ\text{C} \). 4. Berechnung der Zieltemperatur: \( 2 - 8 = -6 \). An der Bergstation herrscht eine Temperatur von \( -6\,^\circ\text{C} \).

Antwort

An der Bergstation ist mit einer Temperatur von \( -6\,^\circ\text{C} \) zu rechnen.

4195445

In einem Schreibwarengeschäft kostet eine Packung mit 5 Filzstiften \(4{,}50\,\text{€}\). Es gibt auch ein Angebot für eine Vorratspackung mit 12 Filzstiften für \(9{,}60\,\text{€}\). Berechne, um wie viele Cent ein Filzstift in der Vorratspackung günstiger ist als in der kleinen Packung.

Denkanstöße

- Wie viel kostet ein einzelner Stift in der jeweiligen Packung? - Kannst du den Gesamtpreis durch die Anzahl der Stifte teilen? - Vergleiche die beiden Einzelpreise miteinander. - Achte am Ende auf die geforderte Einheit in der Aufgabenstellung.

Lösung

1. Berechnung des Preises für einen Filzstift in der kleinen Packung: \(4{,}50\,\text{€} : 5 = 0{,}90\,\text{€}\). 2. Berechnung des Preises für einen Filzstift in der Vorratspackung: \(9{,}60\,\text{€} : 12 = 0{,}80\,\text{€}\). 3. Ermittlung der Differenz: \(0{,}90\,\text{€} - 0{,}80\,\text{€} = 0{,}10\,\text{€}\). 4. Umrechnung der Ersparnis in Cent: \(0{,}10\,\text{€} = 10\,\text{ct}\).

Antwort

\(10\,\text{ct}\)

4203425

An einem Winterabend wird die Temperatur an einer Wetterstation gemessen. Um 17:00 Uhr beträgt sie \(-4\,^\circ\text{C}\). Bis 22:00 Uhr sinkt die Temperatur jede Stunde gleichmäßig um \(3\,^\circ\text{C}\). a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer um 22:00 Uhr an? b) Zu welcher Uhrzeit wurde eine Temperatur von genau \(-10\,^\circ\text{C}\) gemessen?

Denkanstöße

- Wie viele Stunden vergehen zwischen den beiden Zeitpunkten? - Überlege dir zuerst, wie stark die Temperatur in der gesamten Zeit insgesamt sinkt. - Für den zweiten Teil: Wie groß ist der Unterschied zwischen der Starttemperatur und dem Wert \(-10\,^\circ\text{C}\)? - Wie oft passt die stündliche Änderung in diesen Unterschied hinein?

Lösung

1. Berechnung für Teil a: Der Zeitraum von 17:00 Uhr bis 22:00 Uhr beträgt \(5\) Stunden. Die gesamte Temperaturabsenkung berechnet sich aus \(5 \cdot 3\,^\circ\text{C} = 15\,^\circ\text{C}\). Ausgehend von \(-4\,^\circ\text{C}\) sinkt die Temperatur um \(15\,^\circ\text{C}\) auf \(-4 - 15 = -19\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung für Teil b: Der Unterschied zwischen der Starttemperatur \(-4\,^\circ\text{C}\) und der Zieltemperatur \(-10\,^\circ\text{C}\) beträgt \(6\,^\circ\text{C}\). Da die Temperatur um \(3\,^\circ\text{C}\) pro Stunde sinkt, dauert dies \(6 : 3 = 2\) Stunden. Ausgehend von 17:00 Uhr ist es somit 19:00 Uhr.

Antwort

a) Um 22:00 Uhr beträgt die Temperatur \(-19\,^\circ\text{C}\). b) Die Temperatur von \(-10\,^\circ\text{C}\) wurde um 19:00 Uhr gemessen.

4203435

In einem Labor wird eine biologische Probe in einem Spezialkühlschrank abgekühlt. Um 8:00 Uhr morgens zeigt das Thermometer eine Temperatur von \(5\,^\circ\text{C}\) an. Bis um 14:00 Uhr sinkt die Temperatur jede Stunde um den gleichen Betrag. Um 14:00 Uhr wird schließlich eine Temperatur von \(-19\,^\circ\text{C}\) erreicht. Berechne, um wie viele Grad Celsius die Temperatur pro Stunde gesunken ist.

Denkanstöße

- Wie viele Stunden liegen zwischen dem Start und dem Ende der Messung? - Berechne den gesamten Temperaturunterschied, den das Thermometer in dieser Zeit durchlaufen hat. - Verteile diesen gesamten Unterschied gleichmäßig auf die Anzahl der Stunden.

Lösung

1. Bestimmung der Zeitdauer: Von 8:00 Uhr bis 14:00 Uhr vergehen \(6\) Stunden. 2. Berechnung des gesamten Temperaturunterschieds: Die Temperatur sinkt von \(5\,^\circ\text{C}\) auf \(-19\,^\circ\text{C}\). Der Gesamtabstand beträgt \(5 - (-19) = 24\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung der stündlichen Änderung: Der gesamte Unterschied von \(24\,^\circ\text{C}\) wird gleichmäßig auf die \(6\) Stunden verteilt: \(24 : 6 = 4\). Die Temperatur ist also pro Stunde um \(4\,^\circ\text{C}\) gesunken.

Antwort

Die Temperatur ist pro Stunde um \(4\,^\circ\text{C}\) gesunken.

4207455

Ein Kopierer benötigt für den Druck von \(250\) Flyern genau \(6\,\text{Minuten}\) und \(15\,\text{Sekunden}\). Die Schule möchte für ein Schulfest insgesamt \(1000\) Flyer drucken lassen. Wie lange dauert dieser Druckvorgang insgesamt? Gib das Ergebnis in Minuten an.

Denkanstöße

- Um welchen Faktor erhöht sich die Anzahl der Flyer? - Du kannst die Minuten und die Sekunden einzeln mit diesem Faktor multiplizieren. - Schau dir dein Ergebnis bei den Sekunden genau an – lässt sich das in Minuten umwandeln?

Lösung

1. Bestimmung des Faktors für die Anzahl der Flyer: \(1000 : 250 = 4\). Die Anzahl der Flyer ist viermal so groß. 2. Berechnung der Zeit für die Minuten: \(4 \cdot 6\,\text{Minuten} = 24\,\text{Minuten}\). 3. Berechnung der Zeit für die Sekunden: \(4 \cdot 15\,\text{Sekunden} = 60\,\text{Sekunden}\). 4. Umrechnung und Addition: \(60\,\text{Sekunden} = 1\,\text{Minute}\). Gesamtdauer: \(24\,\text{Minuten} + 1\,\text{Minute} = 25\,\text{Minuten}\).

Antwort

Der Druckvorgang für \(1000\) Flyer dauert insgesamt \(25\,\text{Minuten}\).

4207765

Lukas möchte für einen Kochabend \(12\) Packungen Nudeln und \(4\) Gläser Tomatensauce kaufen. Er vergleicht die Preise in drei verschiedenen Geschäften: <table> <tr> <th>Geschäft</th> <th>Nudeln</th> <th>Preis Nudeln</th> <th>Sauce</th> <th>Preis Sauce</th> </tr> <tr> <td>Frischemarkt</td> <td>\(3\) Packungen</td> <td>\(2{,}40\,\text{€}\)</td> <td>\(2\) Gläser</td> <td>\(2{,}50\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Cityshop</td> <td>\(4\) Packungen</td> <td>\(3{,}12\,\text{€}\)</td> <td>\(4\) Gläser</td> <td>\(4{,}80\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Super-Spar</td> <td>\(6\) Packungen</td> <td>\(4{,}68\,\text{€}\)</td> <td>\(1\) Glas</td> <td>\(1{,}29\,\text{€}\)</td> </tr> </table> Berechne für jedes Geschäft den Gesamtpreis für den Einkauf. Wo ist es am günstigsten?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie oft die angebotenen Mengen in den gewünschten Einkauf passen. - Berechne die Kosten für Nudeln und Sauce in jedem Geschäft getrennt. - Addiere anschließend die beiden Teilbeträge und vergleiche die drei Gesamtsummen.

Lösung

1. Berechnung Frischemarkt: \(12 : 3 = 4\) Einheiten Nudeln, also \(4 \cdot 2{,}40\,\text{€} = 9{,}60\,\text{€}\). Für die Sauce gilt \(4 : 2 = 2\), also \(2 \cdot 2{,}50\,\text{€} = 5{,}00\,\text{€}\). Gesamt: \(14{,}60\,\text{€}\). 2. Berechnung Cityshop: \(12 : 4 = 3\) Einheiten Nudeln, also \(3 \cdot 3{,}12\,\text{€} = 9{,}36\,\text{€}\). Die \(4\) Gläser Sauce kosten \(4{,}80\,\text{€}\). Gesamt: \(14{,}16\,\text{€}\). 3. Berechnung Super-Spar: \(12 : 6 = 2\) Einheiten Nudeln, also \(2 \cdot 4{,}68\,\text{€} = 9{,}36\,\text{€}\). Für die Sauce gilt \(4 \cdot 1{,}29\,\text{€} = 5{,}16\,\text{€}\). Gesamt: \(14{,}52\,\text{€}\). 4. Vergleich: Der Cityshop ist mit \(14{,}16\,\text{€}\) am günstigsten.

Antwort

Frischemarkt: \(14{,}60\,\text{€}\); Cityshop: \(14{,}16\,\text{€}\); Super-Spar: \(14{,}52\,\text{€}\). Am günstigsten ist der Cityshop.

4208165

Frau Schmidt und Herr Weber reinigen ein Bürogebäude. Frau Schmidt arbeitet \(20\) Stunden pro Woche und Herr Weber \(15\) Stunden pro Woche. Bei gleichem Stundenlohn verdienen sie in \(4\) Wochen zusammen \(2240\,\text{€}\). a) Wie viel verdienen die beiden zusammen in einer Woche? b) Wie hoch ist der Stundenlohn? c) Herr Weber behauptet, dass er in \(4\) Wochen mehr als \(1000\,\text{€}\) verdient. Hat er recht? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Wie viel Geld bekommen beide zusammen für eine einzige Woche? - Wie viele Stunden arbeiten sie insgesamt in dieser einen Woche? - Wenn du weißt, wie viel sie pro Woche verdienen und wie viele Stunden sie leisten, wie berechnest du dann den Lohn für eine Stunde? - Rechne den Verdienst für Herrn Weber Schritt für Schritt für den gesamten Zeitraum aus.

Lösung

1. Berechnung des gemeinsamen Verdienstes pro Woche durch Division des Gesamtbetrags durch die Wochenanzahl: \(2240\,\text{€} : 4 = 560\,\text{€}\). 2. Ermittlung der gesamten Arbeitsstunden pro Woche durch Addition der Einzelstunden: \(20\,\text{h} + 15\,\text{h} = 35\,\text{h}\). 3. Berechnung des Stundenlohns durch Division des Wochenverdienstes durch die Gesamtstunden: \(560\,\text{€} : 35\,\text{h} = 16\,\text{€}/\text{h}\). 4. Berechnung des Verdienstes von Herrn Weber für 4 Wochen: \(15\,\text{h} \cdot 4 \cdot 16\,\text{€}/\text{h} = 960\,\text{€}\). 5. Vergleich des Ergebnisses mit der Behauptung: \(960\,\text{€} < 1000\,\text{€}\).

Antwort

a) In einer Woche verdienen sie zusammen \(560\,\text{€}\). b) Der Stundenlohn beträgt \(16\,\text{€}/\text{h}\). c) Nein, er hat nicht recht. Sein Verdienst in \(4\) Wochen beträgt \(960\,\text{€}\), was weniger als \(1000\,\text{€}\) ist.

4209255

Ein modernes Fährschiff transportiert Passagiere über eine Strecke von \(120\,\text{km}\). An Bord befinden sich \(850\) Personen. Der durchschnittliche Treibstoffverbrauch des Schiffes beträgt \(6\,\text{l}\) pro Passagier für eine Strecke von \(100\,\text{km}\). Berechne den gesamten Treibstoffverbrauch für diese Fahrt in Litern.

Denkanstöße

- Wie viel Treibstoff verbraucht ein einziger Passagier auf der gesamten Strecke von \(120\,\text{km}\)? - Du kannst auch zuerst ausrechnen, wie viel alle Passagiere zusammen für \(100\,\text{km}\) verbrauchen. - Überlege dann, wie oft die \(100\,\text{km}\) in die Gesamtstrecke passen oder wie viel für einen einzelnen Kilometer verbraucht wird.

Lösung

1. Verbrauch pro Passagier für die gesamte Strecke berechnen: Da \(120\,\text{km}\) das \(1{,}2\)-Fache von \(100\,\text{km}\) sind, beträgt der Verbrauch \(6\,\text{l} \cdot 1{,}2 = 7{,}2\,\text{l}\) pro Person. 2. Gesamtverbrauch für alle Passagiere berechnen: \(850 \cdot 7{,}2\,\text{l} = 6120\,\text{l}\). Alternativer Weg: 1. Gesamtverbrauch aller Passagiere für \(100\,\text{km}\) berechnen: \(850 \cdot 6\,\text{l} = 5100\,\text{l}\). 2. Verbrauch für \(1\,\text{km}\) berechnen: \(5100\,\text{l} : 100 = 51\,\text{l}\). 3. Verbrauch für \(120\,\text{km}\) berechnen: \(51\,\text{l} \cdot 120 = 6120\,\text{l}\).

Antwort

Der gesamte Treibstoffverbrauch beträgt \(6120\,\text{l}\).

4209955

Frau Meier geht spazieren und legt in \(15\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(1{,}2\,\text{km}\) zurück. Ihr Hund läuft auf einer Wiese in \(5\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(450\,\text{m}\). Bestimme durch Rechnung, wer von beiden durchschnittlich mehr Meter pro Minute zurücklegt.

Denkanstöße

- Um die beiden vergleichen zu können, solltest du für beide die gleiche Einheit verwenden (zum Beispiel Meter pro Minute). - Wandle dazu zuerst alle Längenangaben in Meter um. - Teile dann jeweils die Strecke durch die Zeit.

Lösung

1. Berechnung für Frau Meier: Umrechnung der Strecke in Meter (\(1{,}2\,\text{km} = 1200\,\text{m}\)). Division durch die Zeit: \(1200\,\text{m} : 15\,\text{min} = 80\,\text{m/min}\). 2. Berechnung für den Hund: Division der gegebenen Werte: \(450\,\text{m} : 5\,\text{min} = 90\,\text{m/min}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(90\,\text{m/min} > 80\,\text{m/min}\), ist der Hund schneller.

Antwort

Der Hund legt mit \(90\,\text{m/min}\) eine größere Strecke pro Minute zurück als Frau Meier mit \(80\,\text{m/min}\).

4210365

Zwei Ventilatoren werden auf ihre Geschwindigkeit geprüft. Modell A schafft \(1200\) Umdrehungen in 2 Minuten. Modell B dreht sich 15-mal pro Sekunde. a) Welches Modell dreht sich schneller? Begründe durch Rechnung. b) Wie viele Umdrehungen macht jedes Modell in einer halben Stunde?

Denkanstöße

- Versuche, beide Angaben auf dieselbe Zeiteinheit zu bringen, zum Beispiel auf eine Minute oder eine Sekunde. - Wie viele Sekunden hat eine Minute? - Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde? - Rechne zuerst aus, wie viele Umdrehungen jedes Modell pro Minute macht, um den Rest leichter zu berechnen.

Lösung

1. Vergleich der Geschwindigkeiten pro Minute: Modell A macht \(1200 : 2 = 600\) Umdrehungen pro Minute. Modell B macht \(15 \cdot 60 = 900\) Umdrehungen pro Minute. Modell B ist also schneller. Alternativer Vergleich pro Sekunde: Modell A macht \(1200 : 120 = 10\) Umdrehungen pro Sekunde. Modell B macht 15 Umdrehungen pro Sekunde. 2. Berechnung für eine halbe Stunde (\(30\,\text{min}\)): Modell A: \(600 \cdot 30 = 18\,000\) Umdrehungen. Modell B: \(900 \cdot 30 = 27\,000\) Umdrehungen.

Antwort

a) Modell B dreht sich schneller. Es macht 900 Umdrehungen pro Minute (oder 15 pro Sekunde), während Modell A nur 600 Umdrehungen pro Minute (oder 10 pro Sekunde) macht. b) In einer halben Stunde macht Modell A \(18\,000\) Umdrehungen und Modell B \(27\,000\) Umdrehungen.

4210495

Die Bahnstrecke zwischen Berlin und Magdeburg ist etwa \(120\,\text{km}\) lang. Ein Regionalexpress benötigt für diese Strecke \(1\,\text{h } 15\,\text{min}\). Frau Müller fährt dieselbe Strecke mit dem Auto und braucht genau \(1\,\text{h } 30\,\text{min}\). a) Wie viel Zeit spart man, wenn man den Zug statt des Autos nimmt? b) Berechne, wie viele Kilometer Frau Müller mit dem Auto durchschnittlich pro Stunde fährt.

Denkanstöße

- Subtrahiere die kürzere Zeit von der längeren Zeit, um den Unterschied zu finden. - Überlege für die Geschwindigkeit, wie viele Kilometer das Auto in einer ganzen Stunde schafft, wenn es für die gesamte Strecke eineinhalb Stunden braucht. - Hilft es dir, die Zeit in Minuten umzurechnen?

Lösung

1. Berechnung der Zeitersparnis: \(1\,\text{h } 30\,\text{min} - 1\,\text{h } 15\,\text{min} = 15\,\text{min}\). 2. Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos: Das Auto legt \(120\,\text{km}\) in \(1\,\text{h } 30\,\text{min}\) (oder \(1{,}5\,\text{h}\)) zurück. Um die Kilometer pro Stunde (\(60\,\text{min}\)) zu finden, kann man proportional rechnen: In \(30\,\text{min}\) legt das Auto \(120\,\text{km} : 3 = 40\,\text{km}\) zurück. In \(60\,\text{min}\) (\(1\,\text{h}\)) legt es folglich \(40\,\text{km} \cdot 2 = 80\,\text{km}\) zurück. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(80\,\text{km/h}\).

Antwort

a) Man spart \(15\,\text{min}\). b) Das Auto fährt durchschnittlich \(80\,\text{km}\) pro Stunde.

4210735

Zwei Freunde, Anton und Boris, fahren mit dem Fahrrad von Neustadt nach Altdorf. Die Strecke ist \(48\,\text{km}\) lang. Beide starten gleichzeitig um \(14{:}00\,\text{Uhr}\) in Neustadt. Anton fährt die gesamte Strecke mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von \(12\,\text{km}\) pro Stunde. Boris fährt die ersten \(24\,\text{km}\) mit einer Geschwindigkeit von \(16\,\text{km}\) pro Stunde, ermüdet dann aber und schafft auf den restlichen \(24\,\text{km}\) nur noch \(8\,\text{km}\) pro Stunde. Bestimme für beide die Uhrzeit ihrer Ankunft in Altdorf.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie lange man für eine bestimmte Strecke braucht, wenn man die Geschwindigkeit kennt. - Wie viele Minuten sind \(0{,}5\) Stunden? - Wenn die Geschwindigkeit sich ändert, berechne die Zeit für jeden Abschnitt einzeln. - Addiere die berechnete Fahrzeit zur Startzeit, um die Ankunftszeit zu erhalten.

Lösung

1. Berechnung von Antons Fahrzeit: \(48\,\text{km} : 12\,\text{km/h} = 4\,\text{h}\). 2. Bestimmung von Antons Ankunftszeit: \(14{:}00\,\text{Uhr} + 4\,\text{h} = 18{:}00\,\text{Uhr}\). 3. Berechnung von Boris' Fahrzeit für die erste Hälfte: \(24\,\text{km} : 16\,\text{km/h} = 1{,}5\,\text{h} = 1\,\text{h}\,30\,\text{min}\). 4. Berechnung von Boris' Fahrzeit für die zweite Hälfte: \(24\,\text{km} : 8\,\text{km/h} = 3\,\text{h}\). 5. Berechnung von Boris' Gesamtfahrzeit: \(1\,\text{h}\,30\,\text{min} + 3\,\text{h} = 4\,\text{h}\,30\,\text{min}\). 6. Bestimmung von Boris' Ankunftszeit: \(14{:}00\,\text{Uhr} + 4\,\text{h}\,30\,\text{min} = 18{:}30\,\text{Uhr}\).

Antwort

Anton kommt um \(18{:}00\,\text{Uhr}\) in Altdorf an, Boris kommt um \(18{:}30\,\text{Uhr}\) an.

4211775

Ein ferngesteuertes Auto fährt in \(4\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(12\,\text{Metern}\). Um die Strecke für eine Zeit von \(30\,\text{Sekunden}\) zu bestimmen, wurde so gerechnet: \(4\,\text{min} \mathrel{\widehat{=}} 12\,\text{m}\) \(1\,\text{min} \mathrel{\widehat{=}} 3\,\text{m}\) \(30\,\text{s} \mathrel{\widehat{=}} 1{,}5\,\text{m}\) \(30\,\text{s} \mathrel{\widehat{=}} 15\,\text{cm}\) In welcher Zeile ist ein Fehler passiert? Erkläre den Fehler und gib das richtige Ergebnis in Zentimetern an.

Denkanstöße

- Überprüfe die Umrechnung von Metern in Zentimeter in der letzten Zeile. - Wie viele Zentimeter sind ein ganzer Meter? - Überlege, ob \(15\,\text{cm}\) für eine halbe Minute realistisch sind, wenn das Auto in einer ganzen Minute \(3\,\text{m}\) schafft.

Lösung

1. Schritt 1 (\(4\,\text{min}\) zu \(1\,\text{min}\)): Division durch \(4\) ist korrekt (\(12 : 4 = 3\)). 2. Schritt 2 (\(1\,\text{min}\) zu \(30\,\text{s}\)): Da \(30\,\text{Sekunden}\) eine halbe Minute sind, ist die Division durch \(2\) korrekt (\(3 : 2 = 1{,}5\)). 3. Schritt 3 (Umrechnung von \(\text{m}\) in \(\text{cm}\)): Hier liegt der Fehler. Es gilt \(1\,\text{m} = 100\,\text{cm}\). 4. Berechnung: \(1{,}5\,\text{m} \cdot 100 = 150\,\text{cm}\). In der Rechnung wurde fälschlicherweise nur mit \(10\) multipliziert oder das Komma falsch verschoben.

Antwort

Der Fehler liegt in der letzten Zeile bei der Umrechnung der Einheiten. \(1{,}5\,\text{m}\) entsprechen \(150\,\text{cm}\), nicht \(15\,\text{cm}\). Das richtige Ergebnis ist \(150\,\text{cm}\).

4211785

Für eine Klassenfeier werden \(12\,\text{Liter}\) Saft für insgesamt \(18\,\text{€}\) eingekauft. Jemand möchte den Preis für \(5\,\text{Liter}\) wissen und rechnet: \(12\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 18\,\text{€}\) \(1\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 1{,}80\,\text{€}\) \(5\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 9\,\text{€}\) Erkläre, welcher Fehler im ersten Rechenschritt gemacht wurde, und berechne den korrekten Preis für \(5\,\text{Liter}\).

Denkanstöße

- Rechne die Division im ersten Schritt (\(18 : 12\)) noch einmal schriftlich nach. - Was passiert, wenn du \(1{,}80\,\text{€}\) wieder mit \(12\) multiplizierst? Kommst du auf \(18\,\text{€}\)? - Überlege, wie man von \(12\,\text{l}\) geschickter auf \(5\,\text{l}\) kommen könnte, vielleicht über einen anderen Zwischenschritt wie \(2\,\text{l}\) oder \(1\,\text{l}\).

Lösung

1. Analyse des ersten Schritts: Um den Preis für \(1\,\text{Liter}\) zu finden, muss der Gesamtpreis durch die Gesamtmenge geteilt werden (\(18 : 12\)). 2. Berechnung des Fehlers: Die Person hat fälschlicherweise \(1{,}80\,\text{€}\) notiert, was dem Ergebnis von \(18 : 10\) entspräche. Tatsächlich ist \(18 : 12 = 1{,}50\). 3. Korrekte Fortführung: Mit dem richtigen Preis von \(1{,}50\,\text{€}\) pro Liter ergibt sich für \(5\,\text{Liter}\): \(5 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 7{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Im ersten Schritt wurde falsch dividiert: \(18\,\text{€} : 12\) ergibt \(1{,}50\,\text{€}\) und nicht \(1{,}80\,\text{€}\). Der korrekte Preis für \(5\,\text{Liter}\) Saft beträgt \(7{,}50\,\text{€}\).

4213005

Zwei Sterne werden im Weltraum vermessen. Stern A ist genau \(12\) Lichtjahre von der Erde entfernt. Von Stern B ist bekannt, dass seine Entfernung zur Erde \(100\) Billionen Kilometer beträgt. Welcher der beiden Sterne ist weiter von der Erde entfernt? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung. Rechne mit \(1\,\text{Lichtjahr} \approx 9\,500\,000\,000\,000\,\text{km}\).

Denkanstöße

- Um zwei Entfernungen zu vergleichen, müssen sie in derselben Einheit angegeben sein. - Wandle die Lichtjahre von Stern A in Kilometer um. - Erinnere dich daran, wie viele Nullen eine Billion hat.

Lösung

1. Umrechnung der Entfernung von Stern A in Kilometer: \(12 \cdot 9\,500\,000\,000\,000\,\text{km} = 114\,000\,000\,000\,000\,\text{km}\). 2. Vergleich der beiden Werte: \(114\) Billionen Kilometer (Stern A) sind mehr als \(100\) Billionen Kilometer (Stern B). 3. Schlussfolgerung: Stern A ist weiter entfernt.

Antwort

Stern A ist weiter von der Erde entfernt, da seine Entfernung \(114\,000\,000\,000\,000\,\text{km}\) (bzw. \(114\) Billionen Kilometer) beträgt, während Stern B nur \(100\) Billionen Kilometer entfernt ist.

4213575

Eine Radtour führt von Neustadt nach Altdorf. Familie Müller fährt zuerst \(14{,}6\,\text{km}\) bis zu einem Rastplatz und dann noch einmal \(7{,}9\,\text{km}\) bis zu einer alten Brücke. An der Brücke stellen sie fest, dass sie bereits drei Viertel der gesamten Strecke geschafft haben. Berechne die Gesamtlänge der Radtour.

Denkanstöße

- Wie viel Weg haben sie insgesamt schon hinter sich gebracht? - Welcher Bruchteil der Strecke ist das? - Wenn du weißt, wie viel drei Teile sind, wie berechnest du dann einen Teil? - Wie viele solcher Teile ergeben das Ganze?

Lösung

1. Addition der bereits zurückgelegten Teilstrecken: \(14{,}6\,\text{km} + 7{,}9\,\text{km} = 22{,}5\,\text{km}\). 2. Bestimmung des Anteils: Die \(22{,}5\,\text{km}\) entsprechen \(\frac{3}{4}\) der Gesamtstrecke. 3. Berechnung eines Viertels der Strecke durch Division: \(22{,}5\,\text{km} : 3 = 7{,}5\,\text{km}\). 4. Ermittlung der Gesamtstrecke (\(\frac{4}{4}\)) durch Multiplikation: \(7{,}5\,\text{km} \cdot 4 = 30\,\text{km}\).

Antwort

Die Radtour ist insgesamt \(30\,\text{km}\) lang.

4215015

Frau Weber kauft ein Baugrundstück mit einer Größe von \(7\,\text{a } 20\,\text{m}^2\). Der Preis pro \(\text{m}^2\) liegt bei \(160\,\text{€}\). Hinzu kommen Gebühren für die Wasserversorgung in Höhe von \(40\,\text{€}\) pro \(\text{m}^2\). Vor dem Kauf betrug ihr Kontostand \(155\,250{,}50\,\text{€}\). Wie viel Geld befindet sich nach dem Kauf noch auf ihrem Konto?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Quadratmeter das Grundstück insgesamt hat. - Fasse die Kosten pro Quadratmeter zusammen, bevor du weiterrechnest. - Wie viel Geld muss Frau Weber insgesamt für das Grundstück bezahlen? - Achte beim Abziehen der Kosten vom Kontostand genau auf die Kommastellen.

Lösung

1. Umrechnung der Grundstücksfläche in Quadratmeter: \(7\,\text{a } 20\,\text{m}^2 = 720\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Gesamtkosten pro Quadratmeter: \(160\,\text{€} + 40\,\text{€} = 200\,\text{€}\). 3. Berechnung des Gesamtkaufpreises: \(720 \cdot 200\,\text{€} = 144\,000\,\text{€}\). 4. Berechnung des Endkontostands: \(155\,250{,}50\,\text{€} - 144\,000\,\text{€} = 11\,250{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Nach dem Kauf befinden sich noch \(11\,250{,}50\,\text{€}\) auf dem Konto.

4215215

Zwei Gärtnereien vergleichen ihre Erdbeerernte. Gärtnerei „Sonnenschein“ erntet \(480\,\text{kg}\) auf einer Fläche von \(12\,\text{a}\). Gärtnerei „Frischland“ erntet \(900\,\text{kg}\) auf einer Fläche von \(2000\,\text{m}^2\). Welche Gärtnerei hat den höheren Ertrag pro Ar (\(\text{a}\)) erzielt? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Um die Erträge vergleichen zu können, müssen sie sich auf die gleiche Flächeneinheit beziehen. - Wie viele Quadratmeter sind ein Ar? - Berechne für beide Gärtnereien, wie viele Kilogramm Erdbeeren sie auf genau einem Ar ernten.

Lösung

1. Ertrag von Gärtnerei „Sonnenschein“ pro Ar: \(480\,\text{kg} : 12 = 40\,\text{kg/a}\). 2. Umrechnung der Fläche von Gärtnerei „Frischland“: \(2000\,\text{m}^2 = 20\,\text{a}\). 3. Ertrag von Gärtnerei „Frischland“ pro Ar: \(900\,\text{kg} : 20 = 45\,\text{kg/a}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(45\,\text{kg/a} > 40\,\text{kg/a}\).

Antwort

Gärtnerei „Frischland“ hat den höheren Ertrag erzielt (\(45\,\text{kg/a}\) im Vergleich zu \(40\,\text{kg/a}\) bei Gärtnerei „Sonnenschein“).

4215995

Ein Landwirt verkauft drei Wiesenstücke: (1) \(40\,\text{m} \times 50\,\text{m}\) für \(12\,000\,\text{€}\). (2) \(60\,\text{m} \times 30\,\text{m}\) für \(9000\,\text{€}\). (3) \(25\,\text{m} \times 80\,\text{m}\) für \(11\,000\,\text{€}\). Berechne für jedes Stück den Preis für einen Quadratmeter und ordne die Wiesen nach diesem Preis (beginnend mit der günstigsten).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, wie groß jedes Wiesenstück insgesamt ist. - Teile dann den Gesamtpreis durch die Anzahl der Quadratmeter. - Achte beim Vergleichen auf die berechneten Werte pro Einheit.

Lösung

1. Flächeninhalte bestimmen: Wiese 1: \(40\,\text{m} \cdot 50\,\text{m} = 2000\,\text{m}^2\) Wiese 2: \(60\,\text{m} \cdot 30\,\text{m} = 1800\,\text{m}^2\) Wiese 3: \(25\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 2000\,\text{m}^2\) 2. Quadratmeterpreise berechnen: Preis 1: \(12\,000\,\text{€} : 2000\,\text{m}^2 = 6\,\text{€/m}^2\) Preis 2: \(9000\,\text{€} : 1800\,\text{m}^2 = 5\,\text{€/m}^2\) Preis 3: \(11\,000\,\text{€} : 2000\,\text{m}^2 = 5{,}50\,\text{€/m}^2\) 3. Sortierung: \(5\,\text{€} < 5{,}50\,\text{€} < 6\,\text{€}\). Die Reihenfolge ist Wiese (2), Wiese (3), Wiese (1).

Antwort

Die Reihenfolge lautet: Wiese (2) mit \(5\,\text{€/m}^2\), Wiese (3) mit \(5{,}50\,\text{€/m}^2\) und Wiese (1) mit \(6\,\text{€/m}^2\).

4228665

Ein Gärtner mischt eine spezielle Erde für seine Blumenbeete. Diese besteht aus Kompost, Mutterboden und Sand im Verhältnis \(4 : 3 : 1\). a) Wie viel Kilogramm der einzelnen Bestandteile sind in einer Mischung von insgesamt \(120\,\text{kg}\) enthalten? b) Der Gärtner hat noch genau \(18\,\text{kg}\) Sand übrig und möchte diesen komplett verbrauchen. Wie viel Kilogramm Erde kann er unter Einhaltung des Mischungsverhältnisses insgesamt herstellen?

Denkanstöße

- Überlege dir für Aufgabenteil a), wie schwer ein einzelner „Teil“ der Mischung ist, wenn die ganze Mischung \(120\,\text{kg}\) wiegt. - Schau dir für Aufgabenteil b) an, wie vielen Anteilen der Sand in der Mischung entspricht. - Wie viele Anteile hat die fertige Mischung insgesamt?

Lösung

Teil a): 1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Anteile: \(4 + 3 + 1 = 8\) Anteile. 2. Berechnung des Gewichts eines Anteils: \(120\,\text{kg} : 8 = 15\,\text{kg}\). 3. Berechnung der Einzelmengen: - Kompost: \(4 \cdot 15\,\text{kg} = 60\,\text{kg}\). - Mutterboden: \(3 \cdot 15\,\text{kg} = 45\,\text{kg}\). - Sand: \(1 \cdot 15\,\text{kg} = 15\,\text{kg}\). Teil b): 1. Der Sand entspricht laut Verhältnis \(1\) Anteil. Wenn \(18\,\text{kg}\) Sand vorhanden sind, entspricht \(1\) Anteil genau \(18\,\text{kg}\). 2. Die gesamte Mischung besteht aus \(8\) Anteilen (\(4 + 3 + 1\)). 3. Berechnung der Gesamtmenge: \(8 \cdot 18\,\text{kg} = 144\,\text{kg}\).

Antwort

a) In \(120\,\text{kg}\) Erde sind \(60\,\text{kg}\) Kompost, \(45\,\text{kg}\) Mutterboden und \(15\,\text{kg}\) Sand enthalten. b) Mit \(18\,\text{kg}\) Sand kann er insgesamt \(144\,\text{kg}\) Erde herstellen.

4228725

Beim Bau einer Gartenmauer wird Beton angemischt. Die Mischung besteht aus Zement, Sand und Kies im Verhältnis \(1 : 3 : 5\). Insgesamt werden \(540\,\text{kg}\) fertiger Beton benötigt. a) Wie viele Kilogramm Sand und wie viele Kilogramm Kies werden für die Mischung benötigt? b) Der Zement wird in Säcken zu je \(20\,\text{kg}\) verkauft. Wie viele Säcke Zement müssen für die Mischung mindestens gekauft werden?

Denkanstöße

- Wie viele Anteile hat die gesamte Betonmischung insgesamt? - Wenn du weißt, wie schwer ein einzelner Anteil ist, kannst du die Mengen für Sand und Kies leicht ausrechnen. - Berechne zuerst, wie viel Zement insgesamt gebraucht wird, bevor du die Anzahl der Säcke bestimmst.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl der Anteile: \(1 + 3 + 5 = 9\) Anteile. 2. Bestimmung der Masse eines einzelnen Anteils: \(540\,\text{kg} : 9 = 60\,\text{kg}\). 3. Berechnung der benötigten Mengen für Sand und Kies: Sand (\(3\) Anteile): \(3 \cdot 60\,\text{kg} = 180\,\text{kg}\); Kies (\(5\) Anteile): \(5 \cdot 60\,\text{kg} = 300\,\text{kg}\). 4. Bestimmung der benötigten Zementmasse: \(1 \cdot 60\,\text{kg} = 60\,\text{kg}\). 5. Da ein Sack \(20\,\text{kg}\) enthält, gilt \(60\,\text{kg} : 20\,\text{kg} = 3\). Es werden \(3\) Säcke benötigt.

Antwort

a) Es werden \(180\,\text{kg}\) Sand und \(300\,\text{kg}\) Kies benötigt. b) Es müssen \(3\) Säcke Zement gekauft werden.

4183335

Ein Bergsteiger befindet sich auf einem Gipfel in \( 4100\,\text{m} \) Höhe. Sein Thermometer zeigt dort \( -14\,^\circ\text{C} \) an. Er steigt zu einer Schutzhütte ab, die tiefer am Berg liegt. Er weiß, dass die Temperatur beim Abstieg pro \( 250\,\text{m} \) Höhenunterschied um \( 1\,^\circ\text{C} \) ansteigt. In der Hütte angekommen, zeigt sein Thermometer \( -6\,^\circ\text{C} \) an. Auf welcher Höhe liegt die Schutzhütte?

Denkanstöße

- Um wie viele Grad hat sich die Temperatur verändert? - Wenn du weißt, wie viel Grad es wärmer geworden ist, kannst du den Höhenunterschied in Metern berechnen. - Wird die Zahl für die Meereshöhe beim Absteigen größer oder kleiner? - Versuche zuerst herauszufinden, wie viele Meter der Bergsteiger insgesamt abgestiegen ist.

Lösung

1. Berechnung des Temperaturunterschieds zwischen Gipfel und Hütte: \( -6 - (-14) = 8 \). Die Temperatur ist um \( 8\,^\circ\text{C} \) gestiegen. 2. Da die Temperatur pro \( 250\,\text{m} \) um \( 1\,^\circ\text{C} \) steigt, entspricht ein Anstieg von \( 8\,^\circ\text{C} \) einem Höhenunterschied von: \( 8 \cdot 250\,\text{m} = 2000\,\text{m} \). 3. Berechnung der Höhe der Schutzhütte durch Subtraktion des Höhenunterschieds von der Gipfelhöhe: \( 4100\,\text{m} - 2000\,\text{m} = 2100\,\text{m} \). Die Schutzhütte liegt auf \( 2100\,\text{m} \) Höhe.

Antwort

Die Schutzhütte liegt auf einer Höhe von \( 2100\,\text{m} \).

4195695

Beim Sportfest verkauft die Elternpflegschaft Pizza. Sie haben 8 große Pizzen vorbereitet, von denen jede in 8 gleich große Stücke geschnitten wird. Für den Teig haben sie \(14{,}50\,\text{€}\) bezahlt, der Belag kostete \(26{,}80\,\text{€}\) und für Servietten fielen \(3{,}50\,\text{€}\) an. Am Ende des Tages sollen \(51{,}20\,\text{€}\) Gewinn für neue Sportgeräte in der Kasse sein. Wie viel muss ein Pizzastück kosten, wenn alle Stücke verkauft werden?

Denkanstöße

- Wie viele Stücke können insgesamt verkauft werden? - Fasse alle Ausgaben zu einem Gesamtbetrag zusammen. - Addiere den geplanten Gewinn zu den Ausgaben, um zu wissen, wie viel Geld insgesamt eingenommen werden muss. - Teile die Gesamteinnahmen durch die Anzahl aller Stücke.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl der Pizzastücke: \(8 \cdot 8 = 64\) Stücke. 2. Ermittlung der Gesamtkosten: \(14{,}50\,\text{€} + 26{,}80\,\text{€} + 3{,}50\,\text{€} = 44{,}80\,\text{€}\). 3. Berechnung der erforderlichen Gesamteinnahmen: \(44{,}80\,\text{€} + 51{,}20\,\text{€} = 96{,}00\,\text{€}\). 4. Bestimmung des Preises pro Stück: \(96{,}00\,\text{€} : 64 = 1{,}50\,\text{€}\) (Rechnungsweg: \(9600\,\text{Cent} : 64 = 150\,\text{Cent}\)).

Antwort

Ein Pizzastück muss \(1{,}50\,\text{€}\) kosten.

4207615

An einem Marktstand kosten \(400\,\text{g}\) lose Erdbeeren \(3{,}20\,\text{€}\). Leon hat genau \(1{,}20\,\text{€}\) dabei. Berechne, welche Menge an Erdbeeren er für sein gesamtes Geld bekommt.

Denkanstöße

- Versuche zuerst herauszufinden, wie viele Gramm Erdbeeren man für einen kleineren Geldbetrag bekommt, der gut zu beiden Geldbeträgen passt. - Kannst du ausrechnen, wie viele Gramm man für 80 Cent oder 40 Cent bekommt? - Nutze den Dreisatz: gegebenes Verhältnis \(\rightarrow\) Wert für eine kleinere Einheit \(\rightarrow\) Zielwert.

Lösung

1. Zuordnung feststellen: \(3{,}20\,\text{€} \mathrel{\widehat{=}} 400\,\text{g}\). 2. Einen geeigneten Zwischenwert finden, zum Beispiel \(0{,}40\,\text{€}\): Da \(3{,}20\) und \(1{,}20\) beide durch \(0{,}40\) teilbar sind, wird zuerst die Erdbeermenge für \(0{,}40\,\text{€}\) bestimmt. 3. Division: \(3{,}20\,\text{€} : 8 = 0{,}40\,\text{€}\). Entsprechend gilt für die Erdbeermenge: \(400\,\text{g} : 8 = 50\,\text{g}\). 4. Hochrechnen auf den Zielbetrag: \(1{,}20\,\text{€}\) ist das Dreifache von \(0{,}40\,\text{€}\), also \(0{,}40\,\text{€} \cdot 3 = 1{,}20\,\text{€}\). 5. Endrechnung für die Erdbeermenge: \(50\,\text{g} \cdot 3 = 150\,\text{g}\).

Antwort

Leon bekommt für \(1{,}20\,\text{€}\) genau \(150\,\text{g}\) Erdbeeren.

4209965

Ein Läufer absolviert ein Training über \(200\,\text{m}\) in genau \(25\,\text{Sekunden}\). a) Berechne seine durchschnittliche Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde. b) Jemand behauptet: „Wenn der Läufer dieses Tempo genau so beibehält, schafft er eine \(10\,\text{km}\) lange Strecke in weniger als \(25\,\text{Minuten}\).“ Überprüfe diese Behauptung rechnerisch. c) Erkläre kurz, warum es in der Realität unwahrscheinlich ist, dass der Läufer für \(10\,\text{km}\) nur die in b) berechnete Zeit benötigt.

Denkanstöße

- Wie viele Meter schafft der Läufer in nur einer einzigen Sekunde? - Rechne die \(10\,\text{km}\) zuerst in Meter um, um mit dem Ergebnis aus Teil a) weiterzuarbeiten. - Wie viele Sekunden hat eine Minute? Nutze dies für die Umrechnung am Ende. - Denk an den Unterschied zwischen einem kurzen Sprint und einem langen Dauerlauf.

Lösung

1. Teil a): Berechnung der Geschwindigkeit durch Division: \(200\,\text{m} : 25\,\text{s} = 8\,\text{m/s}\). 2. Teil b): Umrechnung der Zielstrecke in Meter: \(10\,\text{km} = 10\,000\,\text{m}\). Berechnung der benötigten Sekunden: \(10\,000\,\text{m} : 8\,\text{m/s} = 1250\,\text{s}\). Umrechnung in Minuten: \(1250 : 60 = 20\) Rest \(50\), also \(20\,\text{min}\) \(50\,\text{s}\). Da dies weniger als \(25\,\text{Minuten}\) sind, ist die Behauptung rechnerisch korrekt. 3. Teil c): Ein Mensch kann ein hohes Sprinttempo nicht über eine so lange Distanz wie \(10\,\text{km}\) aufrechterhalten; Ermüdung und fehlende Ausdauer führen zu einer deutlich längeren Zeit.

Antwort

a) Der Läufer erreicht \(8\,\text{m/s}\). b) Die Behauptung ist korrekt, da er rechnerisch nur \(20\,\text{min}\) \(50\,\text{s}\) benötigen würde. c) In der Realität nimmt die Kraft über eine lange Strecke ab, sodass man das Sprinttempo nicht halten kann.

4210755

Ein Lieferwagen muss eine \(120\,\text{km}\) lange Strecke vom Lager zum Kunden zurücklegen. Der Fahrer vergleicht zwei Routen. Bei Route A kann er die gesamte Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(60\,\text{km}\) pro Stunde fahren. Bei Route B fährt er die erste Hälfte der Strecke (\(60\,\text{km}\)) mit \(40\,\text{km}\) pro Stunde und die zweite Hälfte mit \(80\,\text{km}\) pro Stunde. Berechne für beide Routen die Uhrzeit der Ankunft beim Kunden, wenn der Lieferwagen um \(8{:}00\,\text{Uhr}\) am Lager startet.

Denkanstöße

- Teile die Strecke bei Route B in zwei Abschnitte auf und berechne die Zeit für jeden Teil einzeln. - Wie rechnet man Dezimalstunden wie \(0{,}75\) Stunden in Minuten um? - Addiere alle Teilzeiten zur Startzeit hinzu. - Überlege, ob eine höhere Geschwindigkeit auf der zweiten Hälfte die langsame Geschwindigkeit auf der ersten Hälfte genau ausgleichen kann.

Lösung

1. Berechnung der Fahrzeit für Route A: \(120\,\text{km} : 60\,\text{km/h} = 2\,\text{h}\). 2. Bestimmung der Ankunft für Route A: \(8{:}00\,\text{Uhr} + 2\,\text{h} = 10{:}00\,\text{Uhr}\). 3. Berechnung der Fahrzeit für den ersten Teil von Route B: \(60\,\text{km} : 40\,\text{km/h} = 1{,}5\,\text{h} = 1\,\text{h}\,30\,\text{min}\). 4. Berechnung der Fahrzeit für den zweiten Teil von Route B: \(60\,\text{km} : 80\,\text{km/h} = 0{,}75\,\text{h} = 45\,\text{min}\). 5. Berechnung der Gesamtfahrzeit für Route B: \(1\,\text{h}\,30\,\text{min} + 45\,\text{min} = 2\,\text{h}\,15\,\text{min}\). 6. Bestimmung der Ankunft für Route B: \(8{:}00\,\text{Uhr} + 2\,\text{h}\,15\,\text{min} = 10{:}15\,\text{Uhr}\).

Antwort

Bei Route A kommt der Lieferwagen um \(10{:}00\,\text{Uhr}\) an, bei Route B um \(10{:}15\,\text{Uhr}\).

4212365

Sarah und Tom laufen vom Schultor bis zu einem Springbrunnen im Park und wieder zurück. Sarah rennt mit einer Geschwindigkeit von \(4\,\text{m/s}\), während Tom mit \(3\,\text{m/s}\) etwas langsamer ist. Nach genau \(50\,\text{Sekunden}\) begegnen sie sich. Sarah ist zu diesem Zeitpunkt bereits am Springbrunnen umgekehrt und befindet sich auf dem Rückweg. a) Wie viele Meter ist Tom in den \(50\,\text{Sekunden}\) gelaufen? b) Wie weit ist der Springbrunnen vom Schultor entfernt?

Denkanstöße

- Stelle dir den Weg bildlich vor: Einer läuft hin, der andere läuft hin und ein Stück zurück. - Was passiert, wenn du die gelaufenen Meter beider Personen zusammenzählst? - Wie oft wurde die Strecke zum Springbrunnen insgesamt von beiden zusammen abgelaufen?

Lösung

1. Berechnung der von Tom zurückgelegten Strecke nach \(50\,\text{s}\): \(3\,\text{m/s} \cdot 50\,\text{s} = 150\,\text{m}\). 2. Berechnung der von Sarah zurückgelegten Strecke nach \(50\,\text{s}\): \(4\,\text{m/s} \cdot 50\,\text{s} = 200\,\text{m}\). 3. Da sie sich begegnen und eine Person bereits auf dem Rückweg ist, entspricht die Summe ihrer Strecken genau dem doppelten Weg zum Springbrunnen: \(150\,\text{m} + 200\,\text{m} = 350\,\text{m}\). 4. Die einfache Entfernung zum Springbrunnen beträgt die Hälfte der Gesamtstrecke: \(350\,\text{m} : 2 = 175\,\text{m}\).

Antwort

a) Tom ist \(150\,\text{m}\) gelaufen. b) Der Springbrunnen ist \(175\,\text{m}\) vom Schultor entfernt.

4213325

Ein Güterzug bringt Waren zu einem weit entfernten Ziel. In den ersten \(6\) Stunden fährt er mit einer Geschwindigkeit von \(80\,\text{km/h}\). Danach muss er wegen einer Baustelle für \(4\) Stunden langsamer fahren und erreicht nur noch eine Geschwindigkeit von \(50\,\text{km/h}\). Nach diesen insgesamt \(10\) Stunden Fahrt ist die verbleibende Strecke bis zum Ziel ein Viertel so lang wie die Strecke, die der Zug bisher insgesamt zurückgelegt hat. Wie viele Kilometer lang ist die gesamte Strecke?

Denkanstöße

- Berechne zuerst, wie viele Kilometer der Zug in jedem der beiden Zeitabschnitte geschafft hat. - Wie weit ist der Zug nach den ersten 10 Stunden insgesamt gekommen? - Wie findest du die restliche Strecke heraus, wenn du die bisherige Strecke kennst? - Überlege am Ende, wie du aus der gefahrenen und der restlichen Strecke die Gesamtlänge bestimmst.

Lösung

1. Berechnung der ersten Teilstrecke: \(6\,\text{h} \cdot 80\,\text{km/h} = 480\,\text{km}\). 2. Berechnung der zweiten Teilstrecke: \(4\,\text{h} \cdot 50\,\text{km/h} = 200\,\text{km}\). 3. Ermittlung der bisher insgesamt gefahrenen Strecke: \(480\,\text{km} + 200\,\text{km} = 680\,\text{km}\). 4. Berechnung der restlichen Strecke bis zum Ziel: \(680\,\text{km} : 4 = 170\,\text{km}\). 5. Berechnung der Gesamtlänge der Strecke: \(680\,\text{km} + 170\,\text{km} = 850\,\text{km}\).

Antwort

Die gesamte Strecke ist \(850\,\text{km}\) lang.

4215205

Frau Müller möchte ihren neuen Garten mit Rasen besäen. Die Fläche ist \(15\,\text{a}\) groß. Auf der Packung der Grassamen steht die Empfehlung: „\(20\) bis \(30\,\text{g}\) Rasensamen pro \(1\,\text{m}^2\)“. Die Samen werden in \(2\text{-kg-Packungen}\) verkauft. Frau Müller verteilt den gesamten Inhalt aller gekauften Packungen gleichmäßig auf der Fläche. Berechne, wie viele Packungen sie mindestens und wie viele sie höchstens kaufen kann, damit die ausgebrachte Menge innerhalb der Empfehlung liegt.

Denkanstöße

- Wandle zuerst die Flächeneinheit Ar in Quadratmeter um. - Berechne getrennt die gesamte Mindestmenge und die gesamte Höchstmenge an Samen. - Beachte, dass nur ganze Packungen gekauft werden und ihr gesamter Inhalt verteilt wird.

Lösung

1. Umrechnung der Gartenfläche: \(15\,\text{a} = 1500\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der minimalen Samenmenge: \(1500 \cdot 20\,\text{g} = 30\,000\,\text{g} = 30\,\text{kg}\). 3. Anzahl der Packungen für die Mindestmenge: \(30\,\text{kg} : 2\,\text{kg} = 15\) Packungen. 4. Berechnung der maximalen Samenmenge: \(1500 \cdot 30\,\text{g} = 45\,000\,\text{g} = 45\,\text{kg}\). 5. Prüfung ganzer Packungen: \(22\) Packungen enthalten \(44\,\text{kg}\), also etwa \(29{,}3\,\text{g}\) pro Quadratmeter; das liegt noch in der Empfehlung. \(23\) Packungen enthalten \(46\,\text{kg}\) und würden die Höchstmenge von \(45\,\text{kg}\) überschreiten. Daher sind höchstens \(22\) Packungen möglich.

Antwort

Sie muss mindestens \(15\) Packungen kaufen und darf höchstens \(22\) Packungen kaufen.

4215225

Ein rechteckiger Sportplatz ist \(105\,\text{m}\) lang und \(60\,\text{m}\) breit. Zur Pflege soll Spezialdünger auf der gesamten Fläche verteilt werden. Man benötigt \(4\,\text{kg}\) Dünger für jeweils \(100\,\text{m}^2\). Ein Sack Dünger wiegt \(25\,\text{kg}\) und kostet \(32\,\text{€}\). Wie viel kostet es insgesamt, den notwendigen Dünger für den Sportplatz zu kaufen?

Denkanstöße

- Berechne zuerst, wie groß die Fläche des Sportplatzes insgesamt ist. - Wie oft passt die Bezugsfläche von \(100\,\text{m}^2\) in diese Gesamtfläche? - Überlege am Ende genau, wie viele ganze Säcke gekauft werden müssen, damit der Dünger für die gesamte Fläche ausreicht.

Lösung

1. Berechnung des Flächeninhalts des Sportplatzes: \(105\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 6300\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung der Anzahl der \(100\text{-m}^2\text{-Einheiten}\): \(6300 : 100 = 63\). 3. Berechnung der benötigten Düngermenge: \(63 \cdot 4\,\text{kg} = 252\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Anzahl der benötigten Säcke: \(252\,\text{kg} : 25\,\text{kg/Sack} = 10\) Rest \(2\). Es müssen also \(11\) ganze Säcke gekauft werden. 5. Berechnung der Gesamtkosten: \(11 \cdot 32\,\text{€} = 352\,\text{€}\).

Antwort

Die Düngung des Sportplatzes kostet insgesamt \(352\,\text{€}\).

4216235

Ein Landwirt erhält für einen \(4\,\text{m}\) breiten Ackerrandstreifen einen jährlichen Zuschuss von \(1000\,\text{€}\) pro Hektar (\(\text{ha}\)). Insgesamt werden ihm für ein Jahr \(140\,\text{€}\) für diesen Streifen überwiesen. Berechne die Länge des Randstreifens in Metern.

Denkanstöße

- Wie viele Quadratmeter stecken in einem Hektar? - Versuche herauszufinden, wie viel Geld der Bauer für einen einzelnen Quadratmeter bekommt. - Wenn du weißt, wie groß die gesamte Fläche ist und wie breit sie ist, wie findest du dann die Länge heraus? - Es kann helfen, alle Euro-Beträge zuerst in Cent umzurechnen.

Lösung

1. Umrechnung des Zuschusses pro Hektar in einen Wert pro Quadratmeter: \(1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2\). Da \(1000\,\text{€} = 100\,000\,\text{ct}\), ergibt sich ein Zuschuss von \(100\,000\,\text{ct} : 10\,000 = 10\,\text{ct}\) pro \(\text{m}^2\) (oder \(0{,}10\,\text{€}\) pro \(\text{m}^2\)). 2. Bestimmung der Gesamtfläche des Streifens: Der Gesamtbetrag von \(140\,\text{€}\) geteilt durch den Zuschuss pro Quadratmeter ergibt \(140 : 0{,}10 = 1400\) (bzw. \(14\,000\,\text{ct} : 10\,\text{ct}\)). Die Fläche beträgt somit \(1400\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Länge des rechteckigen Streifens: Fläche geteilt durch Breite ergibt \(1400\,\text{m}^2 : 4\,\text{m} = 350\,\text{m}\).

Antwort

Der Randstreifen ist \(350\,\text{m}\) lang.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.