Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Dreisatz bei einfachen Sachaufgaben

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

Schwierigkeit: 1 – 5

4107835

Eine Kiste mit Äpfeln hat einen Gesamtwert von \(42\,\text{€}\). Nachdem \(4\,\text{kg}\) Äpfel verkauft wurden, beträgt der Wert der restlichen Äpfel in der Kiste noch \(30\,\text{€}\). Wie viele Kilogramm Äpfel befanden sich ursprünglich in der Kiste?

Denkanstöße

- Kannst du herausfinden, wie viel die Äpfel wert waren, die aus der Kiste genommen wurden? - Wenn du weißt, wie viel eine bestimmte Menge kostet, wie berechnest du dann den Preis für ein Kilogramm? - Wie hilft dir der Preis pro Kilogramm dabei, das ursprüngliche Gesamtgewicht aus dem Gesamtwert zu bestimmen?

Lösung

1. Berechnung des Werts der verkauften Äpfel: \(42\,\text{€} - 30\,\text{€} = 12\,\text{€}\) 2. Ermittlung des Preises pro Kilogramm: \(12\,\text{€} : 4\,\text{kg} = 3\,\text{€}/\text{kg}\) 3. Berechnung des ursprünglichen Gesamtgewichts: \(42\,\text{€} : 3\,\text{€}/\text{kg} = 14\,\text{kg}\)

Antwort

Ursprünglich befanden sich \(14\,\text{kg}\) Äpfel in der Kiste.

4207445

Eine gleichmäßig abbrennende Kerze wird angezündet. Nach \(15\,\text{Minuten}\) ist sie um genau \(12\,\text{mm}\) kürzer geworden. Die Kerze war zu Beginn \(144\,\text{mm}\) hoch. Wie viele Stunden brennt die Kerze insgesamt, bis sie vollständig aufgebraucht ist?

Denkanstöße

- Wie oft passt das Stück, das in 15 Minuten abbrennt, in die gesamte Kerze? - Wenn du weißt, wie viele solcher Stücke in der Kerze stecken, kannst du die Gesamtzeit berechnen. - Vergiss am Ende nicht, dein Ergebnis von Minuten in Stunden umzurechnen.

Lösung

1. Berechnung, wie oft die \(12\,\text{mm}\) in der Gesamthöhe enthalten sind: \(144\,\text{mm} : 12\,\text{mm} = 12\). Es gibt also 12 Abschnitte von jeweils \(15\,\text{Minuten}\). 2. Berechnung der Gesamtzeit in Minuten: \(12 \cdot 15\,\text{Minuten} = 180\,\text{Minuten}\). 3. Umrechnung der Gesamtzeit in Stunden: \(180\,\text{Minuten} : 60 = 3\,\text{Stunden}\).

Antwort

Die Kerze brennt insgesamt \(3\,\text{Stunden}\).

4207465

Vier neue Tennisbälle kosten zusammen \(6{,}40\,\text{€}\). Berechne den Preis für: a) \(8\) Bälle, b) \(1\) Ball, c) \(15\) Bälle.

Denkanstöße

- Kannst du den Preis für die doppelte Menge direkt finden, ohne den Einzelpreis zu kennen? - Wie viel kostet ein einzelner Gegenstand, wenn du den Preis für vier kennst? - Wenn du weißt, was einer kostet, wie rechnest du das auf eine beliebig andere Menge hoch?

Lösung

1. Berechnung für \(8\) Bälle durch Verdopplung des Preises für \(4\) Bälle: \(6{,}40\,\text{€} \cdot 2 = 12{,}80\,\text{€}\). 2. Berechnung des Einzelpreises durch Division des Gesamtpreises durch \(4\): \(6{,}40\,\text{€} : 4 = 1{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung für \(15\) Bälle durch Multiplikation des Einzelpreises mit \(15\): \(15 \cdot 1{,}60\,\text{€} = 24{,}00\,\text{€}\).

Antwort

a) \(12{,}80\,\text{€}\) b) \(1{,}60\,\text{€}\) c) \(24{,}00\,\text{€}\)

4207595

Für die Zubereitung von \(4\,\text{Portionen}\) Milchreis benötigt man genau \(1\,\text{Liter}\) Milch. Berechne, wie viel Milch man einkaufen muss, wenn man Milchreis für \(20\,\text{Personen}\) kochen möchte.

Denkanstöße

- Wie oft passt die kleine Personenzahl in die große Personenzahl? - Wenn du für mehr Leute kochst, brauchst du dann mehr oder weniger Milch? - Überlege dir, mit welcher Zahl du die Portionen multiplizieren musst, um auf 20 zu kommen.

Lösung

1. Gegebene Zuordnung erfassen: \(4\,\text{Portionen} \mathrel{\widehat{=}} 1\,\text{l}\) Milch. 2. Faktor für die Vergrößerung bestimmen: \(20 : 4 = 5\). Die Personenanzahl verfünffacht sich. 3. Proportionalitätsfaktor auf die Milchmenge anwenden: \(1\,\text{l} \cdot 5 = 5\,\text{l}\).

Antwort

Man benötigt \(5\,\text{Liter}\) Milch.

4207685

Lasse, Mia und Tom kaufen gemeinsam bunte Glassteine zum Basteln. Alle Steine haben denselben Preis pro Gramm. Lasse nimmt \(120\,\text{g}\), Mia \(200\,\text{g}\) und Tom \(180\,\text{g}\). Lasse bezahlt an der Kasse den Gesamtbetrag von \(12{,}50\,\text{€}\). Berechne, wie viel Geld Mia und Tom ihrem Freund Lasse jeweils zurückgeben müssen.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie schwer die gesamte Menge an Glassteinen ist. - Wie viel kostet ein bestimmter Teil der Menge (zum Beispiel \(100\,\text{g}\))? - Wenn du den Preis für eine kleine Einheit kennst, kannst du die Beträge für Mia und Tom leicht ausrechnen.

Lösung

1. Berechnung des Gesamtgewichts der Glassteine: \(120\,\text{g} + 200\,\text{g} + 180\,\text{g} = 500\,\text{g}\). 2. Ermittlung des Preises pro \(100\,\text{g}\) mit dem Dreisatz: \(12{,}50\,\text{€} : 5 = 2{,}50\,\text{€}\). 3. Berechnung des Anteils für Mia (\(200\,\text{g}\)): \(2 \cdot 2{,}50\,\text{€} = 5{,}00\,\text{€}\). 4. Berechnung des Anteils für Tom (\(180\,\text{g}\)): Da \(100\,\text{g} = 2{,}50\,\text{€}\) kosten, kosten \(10\,\text{g} = 0{,}25\,\text{€}\). Tom zahlt für \(18 \cdot 10\,\text{g}\), also \(18 \cdot 0{,}25\,\text{€} = 4{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Mia muss Lasse \(5{,}00\,\text{€}\) geben und Tom muss ihm \(4{,}50\,\text{€}\) geben.

4207715

Ein Kopierer in der Schule druckt 30 Seiten in 2 Minuten. a) Wie viele Seiten schafft der Kopierer in einer Zeit von 7 Minuten? b) Wie lange dauert es insgesamt, bis 225 Seiten gedruckt sind?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Seiten in einer einzigen Minute gedruckt werden. - Hilft dir eine Tabelle, um die Zeit und die Seitenanzahl gegenüberzustellen? - Wenn du weißt, was in einer Minute passiert, kannst du das Ergebnis leicht vervielfachen.

Lösung

1. Berechnung der Druckleistung pro Minute (Einzelschritt): \(30 : 2 = 15\,\text{Seiten pro Minute}\). 2. Berechnung für 7 Minuten: \(7 \cdot 15 = 105\,\text{Seiten}\). 3. Berechnung der Zeit für 225 Seiten: \(225 : 15 = 15\,\text{Minuten}\).

Antwort

a) In 7 Minuten werden 105 Seiten gedruckt. b) Es dauert 15 Minuten, bis 225 Seiten gedruckt sind.

4207775

Für die gesunde Pause kauft Frau Weber \(15\) Äpfel und \(5\) Netze Orangen ein. Sie hat zwei Angebote zur Auswahl: Angebot 1: \(3\) Äpfel kosten \(1{,}20\,\text{€}\) und ein Netz Orangen kostet \(2{,}45\,\text{€}\). Angebot 2: \(5\) Äpfel kosten \(1{,}90\,\text{€}\) und \(5\) Netze Orangen kosten im Sparpack \(12{,}00\,\text{€}\). Welches Angebot ist für den gesamten Einkauf preiswerter? Berechne den Preisunterschied für die gesamte Menge.

Denkanstöße

- Rechne für jedes Angebot getrennt aus, was 15 Äpfel und 5 Netze Orangen kosten würden. - Wie oft passt die Packungsgröße der Äpfel in die gewünschte Menge von 15 Stück? - Vergleiche am Ende die beiden Gesamtsummen miteinander.

Lösung

1. Kosten Angebot 1: Für \(15\) Äpfel müssen \(5\) Portionen zu je \(3\) Stück gekauft werden (\(5 \cdot 1{,}20\,\text{€} = 6{,}00\,\text{€}\)). Die \(5\) Netze Orangen kosten \(5 \cdot 2{,}45\,\text{€} = 12{,}25\,\text{€}\). Gesamtsumme: \(18{,}25\,\text{€}\). 2. Kosten Angebot 2: Für \(15\) Äpfel müssen \(3\) Portionen zu je \(5\) Stück gekauft werden (\(3 \cdot 1{,}90\,\text{€} = 5{,}70\,\text{€}\)). Die \(5\) Netze Orangen kosten pauschal \(12{,}00\,\text{€}\). Gesamtsumme: \(17{,}70\,\text{€}\). 3. Preisunterschied: \(18{,}25\,\text{€} - 17{,}70\,\text{€} = 0{,}55\,\text{€}\).

Antwort

Angebot 2 ist preiswerter. Der gesamte Einkauf kostet dort \(17{,}70\,\text{€}\), während er bei Angebot 1 \(18{,}25\,\text{€}\) kosten würde. Der Preisunterschied beträgt \(0{,}55\,\text{€}\).

4207815

An einem Marktstand kosten \(4\,\text{kg}\) Äpfel insgesamt \(6\,\text{€}\). a) Berechne, wie viel eine Kundin für \(7\,\text{kg}\) Äpfel bezahlen muss. b) Ermittle, wie viele Kilogramm Äpfel man für \(12\,\text{€}\) erhält.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viel ein einzelnes Kilogramm der Äpfel kostet. - Wenn du den Preis für ein Kilogramm kennst, kannst du diesen Wert nutzen, um auf andere Mengen oder Preise hochzurechnen.

Lösung

1. Berechnung des Preises für eine Einheit (\(1\,\text{kg}\)): \(6\,\text{€} : 4 = 1{,}50\,\text{€}\). 2. Berechnung für \(7\,\text{kg}\): \(7 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 10{,}50\,\text{€}\). 3. Berechnung der Menge für \(12\,\text{€}\): \(12\,\text{€} : 1{,}50\,\text{€/kg} = 8\,\text{kg}\).

Antwort

a) \(7\,\text{kg}\) Äpfel kosten \(10{,}50\,\text{€}\). b) Für \(12\,\text{€}\) erhält man \(8\,\text{kg}\) Äpfel.

4207865

Für eine Klassenfeier bestellen \(18\) Schüler Pizza und zahlen dafür insgesamt \(108\,\text{€}\). Kurz vor der Feier entscheiden sich noch \(4\) weitere Mitschüler, ebenfalls mitzuessen. Berechne, wie viel Geld diese \(4\) Personen zusammen zusätzlich bezahlen müssen, wenn der Preis pro Person für alle gleich ist.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viel die Pizza für eine einzige Person kostet. - Wie kannst du diesen Einzelpreis nutzen, um die Kosten für eine andere Anzahl an Personen zu bestimmen? - Was genau ist in der Frage gesucht: der neue Gesamtbetrag oder nur der zusätzliche Betrag?

Lösung

1. Berechnung des Preises für eine einzelne Person durch Division des Gesamtbetrags durch die Anzahl der Schüler: \(108\,\text{€} : 18 = 6\,\text{€}\). 2. Berechnung des zusätzlichen Betrags für die neuen Gäste durch Multiplikation des Einzelpreises mit der Anzahl der zusätzlichen Personen: \(4 \cdot 6\,\text{€} = 24\,\text{€}\).

Antwort

Die \(4\) Personen müssen zusammen \(24\,\text{€}\) zusätzlich bezahlen.

4209945

Ein Radfahrer legt in einer halben Stunde eine Strecke von \(9\,\text{km}\) zurück. Berechne, wie viele Meter er durchschnittlich in einer Minute fährt.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Meter ein Kilometer hat. - Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde? - Wenn du die Gesamtstrecke und die Gesamtzeit kennst, wie berechnest du dann den Anteil für eine einzelne Minute?

Lösung

1. Umrechnung der Strecke von Kilometer in Meter: \(9\,\text{km} = 9\,000\,\text{m}\). 2. Umrechnung der Zeit von einer halben Stunde in Minuten: \(30\,\text{min}\). 3. Berechnung der Strecke pro Minute durch Division: \(9\,000\,\text{m} : 30\,\text{min} = 300\,\text{m/min}\).

Antwort

Der Radfahrer legt durchschnittlich \(300\,\text{Meter}\) pro Minute zurück.

4210345

Ein Kolibri schlägt 80-mal pro Sekunde mit seinen Flügeln. Eine Stechmücke schafft dagegen \(15\,000\) Flügelschläge in 30 Sekunden. a) Welches der beiden Tiere bewegt seine Flügel pro Sekunde häufiger? b) Wie oft schlagen sie jeweils während eines zweiminütigen Fluges mit den Flügeln?

Denkanstöße

- Wie viele Schläge macht die Mücke in nur einer einzigen Sekunde? - Wie viele Sekunden stecken in zwei Minuten? - Kannst du die Anzahl der Schläge pro Sekunde nutzen, um die Gesamtzahl für die längere Zeit auszurechnen?

Lösung

1. Berechnung der Flügelschläge der Mücke pro Sekunde: \(15\,000 : 30 = 500\). Die Mücke schlägt 500-mal pro Sekunde, der Kolibri 80-mal. Damit bewegt die Mücke ihre Flügel häufiger. 2. Umrechnung der Flugzeit: \(2\,\text{min} = 120\,\text{s}\). 3. Berechnung für den Kolibri: \(80 \cdot 120 = 9\,600\) Flügelschläge. 4. Berechnung für die Mücke: \(500 \cdot 120 = 60\,000\) Flügelschläge.

Antwort

a) Die Stechmücke bewegt ihre Flügel häufiger (500 Schläge pro Sekunde im Vergleich zu 80 Schlägen beim Kolibri). b) In 2 Minuten macht der Kolibri \(9\,600\) Flügelschläge und die Stechmücke \(60\,000\) Flügelschläge.

4210355

Das Herz eines Feldhasen schlägt etwa 210-mal in der Minute. Das Herz eines Elefanten schlägt deutlich langsamer: Es schlägt nur 90-mal in 3 Minuten. a) Berechne, wie oft das Herz des Elefanten in einer Minute schlägt. b) Wie viele Herzschläge haben beide Tiere jeweils in einer Viertelstunde (\(15\,\text{min}\))?

Denkanstöße

- Wenn du weißt, wie oft das Herz in 3 Minuten schlägt, wie findest du dann den Wert für eine Minute? - Überlege dir zuerst, wie viele Schläge jedes Tier in genau einer Minute macht. - Wie oft passt eine Minute in den gesuchten Zeitraum von 15 Minuten?

Lösung

1. Berechnung der Herzschläge des Elefanten pro Minute: \(90 : 3 = 30\). Das Elefantenherz schlägt 30-mal pro Minute. 2. Berechnung für den Hasen in 15 Minuten: \(210 \cdot 15 = 3\,150\) Schläge. 3. Berechnung für den Elefanten in 15 Minuten: \(30 \cdot 15 = 450\) Schläge.

Antwort

a) Das Herz des Elefanten schlägt 30-mal in der Minute. b) In 15 Minuten schlägt das Herz des Hasen \(3\,150\)-mal und das des Elefanten 450-mal.

4210675

Ein kleiner Brunnen füllt ein Auffangbecken. In \(15\) Minuten fließen \(120\,\text{l}\) Wasser hinein. a) Wie viele Liter Wasser fließen pro Minute in das Becken? b) Das Auffangbecken hat ein Fassungsvermögen von \(800\,\text{l}\). Wie lange dauert es insgesamt, bis das leere Becken vollständig gefüllt ist? Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viel Wasser in einer einzigen Minute in das Becken fließt. - Wenn du weißt, wie viel Wasser pro Minute fließt, kannst du berechnen, wie viele solcher Minuten in das Gesamtvolumen passen. - Denk daran, dass \(60\) Minuten eine volle Stunde ergeben.

Lösung

1. Berechnung der Durchflussmenge pro Minute: \(120\,\text{l} : 15\,\text{min} = 8\,\text{l/min}\). 2. Berechnung der Gesamtdauer für die Füllung von \(800\,\text{l}\): \(800\,\text{l} : 8\,\text{l/min} = 100\,\text{min}\). 3. Umrechnung der Zeit in Stunden und Minuten: \(100\,\text{min} = 1\,\text{h } 40\,\text{min}\).

Antwort

a) Es fließen \(8\,\text{l}\) pro Minute in das Becken. b) Es dauert insgesamt \(1\,\text{h } 40\,\text{min}\).

4210885

Ein Forschungs-U-Boot befindet sich in einer Tiefe von \(1\,200\,\text{m}\). Es beginnt mit dem Aufstieg zur Meeresoberfläche. Der gesamte Aufstieg dauert \(40\,\text{Minuten}\). In den ersten \(10\,\text{Minuten}\) steigt das U-Boot mit einer konstanten, aber unbekannten Geschwindigkeit auf. In der restlichen Zeit steigt es gleichmäßig mit \(25\,\text{Metern}\) pro Minute. Berechne, wie viele Meter das U-Boot in den ersten \(10\,\text{Minuten}\) zurückgelegt hat.

Denkanstöße

- Wie lange dauert der zweite Teil des Aufstiegs? - Kannst du berechnen, welche Strecke das U-Boot im zweiten Teil zurücklegt? - Wenn du die gesamte Strecke und die Strecke des zweiten Teils kennst, wie findest du den Rest?

Lösung

1. Berechnung der Zeit für den zweiten Teil des Aufstiegs: \(40\,\text{min} - 10\,\text{min} = 30\,\text{min}\). 2. Berechnung der Strecke im zweiten Teil: \(30\,\text{min} \cdot 25\,\text{m/min} = 750\,\text{m}\). 3. Berechnung der Strecke im ersten Teil durch Subtraktion von der Gesamttiefe: \(1\,200\,\text{m} - 750\,\text{m} = 450\,\text{m}\).

Antwort

Das U-Boot hat in den ersten \(10\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(450\,\text{m}\) zurückgelegt.

4211715

Eine Wandergruppe legte an drei Tagen folgende Strecken zurück: \(14{,}6\,\text{km}\), \(12{,}9\,\text{km}\) und \(17{,}5\,\text{km}\). Die reine Wanderzeit betrug insgesamt \(9\) Stunden. Der Wanderführer behauptet: „Wir sind im Durchschnitt \(5\,\text{km}\) pro Stunde gewandert.“ Hat er recht? Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.

Denkanstöße

- Was musst du zuerst über die gesamte Strecke wissen? - Wie verteilt man eine Gesamtstrecke gleichmäßig auf die verbrauchten Stunden? - Vergleiche am Ende dein Ergebnis mit der Aussage im Text.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwegstrecke durch Addition der Tagesstrecken: \(14{,}6\,\text{km} + 12{,}9\,\text{km} + 17{,}5\,\text{km} = 45{,}0\,\text{km}\). 2. Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit pro Stunde durch Division der Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit: \(45{,}0\,\text{km} : 9\,\text{h} = 5\,\text{km/h}\). 3. Da das berechnete Ergebnis von \(5\,\text{km/h}\) mit der Behauptung des Wanderführers übereinstimmt, hat er recht.

Antwort

Ja, der Wanderführer hat recht. Die Gesamtwegstrecke beträgt \(45\,\text{km}\). Teilt man diese durch die \(9\) Stunden Wanderzeit, ergibt sich eine durchschnittliche Geschwindigkeit von \(5\,\text{km}\) pro Stunde.

4211765

In einem Supermarkt kosten \(20\,\text{kg}\) Kartoffeln \(30\,\text{€}\). Leon möchte den Preis für \(8\,\text{kg}\) berechnen und schreibt folgende Rechnung auf: \(20\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 30\,\text{€}\) \(2\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 3\,\text{€}\) \(8\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 9\,\text{€}\) Überprüfe die Rechnung. Wo liegt der Fehler? Berechne den richtigen Preis für \(8\,\text{kg}\).

Denkanstöße

- Schau dir an, mit welcher Zahl man die zweite Zeile multiplizieren muss, um auf die Werte der dritten Zeile zu kommen. - Rechne die Multiplikation auf der rechten Seite noch einmal genau nach. - Prüfe, ob auf beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl gerechnet wurde.

Lösung

1. Der erste Schritt der Rechnung ist korrekt: Um von \(20\,\text{kg}\) auf \(2\,\text{kg}\) zu kommen, wird durch \(10\) dividiert (\(20 : 10 = 2\) und \(30 : 10 = 3\)). 2. Der zweite Schritt ist fehlerhaft: Um von \(2\,\text{kg}\) auf \(8\,\text{kg}\) zu kommen, muss mit \(4\) multipliziert werden (\(2 \cdot 4 = 8\)). 3. Die Multiplikation auf der rechten Seite wurde falsch ausgeführt: \(3\,\text{€} \cdot 4 = 12\,\text{€}\), nicht \(9\,\text{€}\).

Antwort

Der Fehler liegt im letzten Schritt: \(3\,\text{€} \cdot 4\) ist \(12\,\text{€}\) und nicht \(9\,\text{€}\). Der richtige Preis für \(8\,\text{kg}\) Kartoffeln beträgt \(12\,\text{€}\).

4213545

In einem Supermarkt kosten \(12\,\text{kg}\) Orangen insgesamt \(21{,}00\,\text{€}\). Frau Schmidt möchte für ihre Familie jedoch nur \(7\,\text{kg}\) kaufen. Berechne den Preis für diese Menge mithilfe eines Dreisatzes.

Denkanstöße

- Was kostet ein einzelnes Kilogramm der Orangen? - Kannst du eine Tabelle mit drei Schritten anlegen? - Welche Rechenoperation hilft dir, von der großen Menge auf die kleinste Einheit zu kommen? - Wie kommst du von der Einheit auf die gesuchte Menge von \(7\,\text{kg}\)?

Lösung

1. Berechnung des Preises für \(1\,\text{kg}\) durch Division des Gesamtpreises durch die Gesamtmenge: \(21{,}00\,\text{€} : 12 = 1{,}75\,\text{€}\). 2. Berechnung des Preises für die Zielmenge durch Multiplikation des Einzelpreises mit \(7\): \(1{,}75\,\text{€} \cdot 7 = 12{,}25\,\text{€}\).

Antwort

\(7\,\text{kg}\) Orangen kosten \(12{,}25\,\text{€}\).

4213555

Übertrage die folgende Dreisatztabelle in dein Heft und vervollständige die fehlenden Werte. Es geht um den Kauf von Schreibheften für eine Schule. <table> <tr> <td>Anzahl (Stück)</td> <td></td> <td>Preis (in \(\text{€}\))</td> </tr> <tr> <td>\(8\)</td> <td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td> <td>\(11{,}20\)</td> </tr> <tr> <td>\(1\)</td> <td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(15\)</td> <td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td> <td></td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Schau dir die erste Zeile an: Wie viel kosten \(8\) Hefte? - Wie rechnest du aus, was nur ein einziges Heft kostet? - Wenn du den Preis für ein Heft kennst, wie findest du dann den Preis für \(15\) Hefte heraus?

Lösung

1. Berechnung des Preises für ein Heft (Einzelschritt): \(11{,}20\,\text{€} : 8 = 1{,}40\,\text{€}\). 2. Berechnung des Preises für \(15\) Hefte (Zielschritt): \(1{,}40\,\text{€} \cdot 15 = 21{,}00\,\text{€}\).

Antwort

Ein Heft kostet \(1{,}40\,\text{€}\); \(15\) Hefte kosten \(21{,}00\,\text{€}\).

4213605

In einer Kaffeerösterei wird frisch gerösteter Kaffee in Packungen zu \(500\,\text{g}\) und \(250\,\text{g}\) abgefüllt. Insgesamt sollen \(15\,\text{kg}\) Kaffee verpackt werden. Von beiden Packungsgrößen soll die gleiche Anzahl an Packungen entstehen. Berechne, wie viele Packungen insgesamt befüllt werden.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Gramm in einem Kilogramm stecken. - Was passiert, wenn du immer eine große und eine kleine Packung zusammen als eine Gruppe betrachtest? - Wie viel wiegt so eine Gruppe aus zwei Packungen? - Wie oft passt das Gewicht einer solchen Gruppe in das Gesamtgewicht?

Lösung

1. Umrechnung der Gesamtmasse in Gramm: \(15\,\text{kg} = 15\,000\,\text{g}\). 2. Zusammenfassen einer Einheit aus je einer großen und einer kleinen Packung: \(500\,\text{g} + 250\,\text{g} = 750\,\text{g}\). 3. Berechnung der Anzahl dieser Einheiten: \(15\,000\,\text{g} : 750\,\text{g} = 20\). 4. Da jede Einheit aus zwei Packungen besteht (einer \(500\text{-g}\)-Packung und einer \(250\text{-g}\)-Packung), ergibt sich die Gesamtzahl: \(20 \cdot 2 = 40\).

Antwort

Es werden insgesamt \(40\) Packungen befüllt (jeweils \(20\) Stück pro Packungsgröße).

4215205

Frau Müller möchte ihren neuen Garten mit Rasen besäen. Die Fläche ist \(15\,\text{a}\) groß. Auf der Packung der Grassamen steht die Empfehlung: „\(20\) bis \(30\,\text{g}\) Rasensamen pro \(1\,\text{m}^2\)“. Berechne, wie viele \(2\text{-kg-Packungen}\) sie mindestens kaufen muss und wie viele sie höchstens kaufen darf, um die Empfehlung einzuhalten.

Denkanstöße

- Wandle zuerst die Flächeneinheit Ar in Quadratmeter um. - Berechne dann getrennt die Gesamtmenge an Samen für den niedrigen und den hohen Wert der Empfehlung. - Beachte, dass man im Geschäft meistens nur ganze Packungen kaufen kann.

Lösung

1. Umrechnung der Gartenfläche: \(15\,\text{a} = 1500\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der minimalen Samenmenge: \(1500 \cdot 20\,\text{g} = 30\,000\,\text{g} = 30\,\text{kg}\). 3. Anzahl der Packungen für die Mindestmenge: \(30\,\text{kg} : 2\,\text{kg/Packung} = 15\) Packungen. 4. Berechnung der maximalen Samenmenge: \(1500 \cdot 30\,\text{g} = 45\,000\,\text{g} = 45\,\text{kg}\). 5. Anzahl der Packungen für die Höchstmenge: \(45\,\text{kg} : 2\,\text{kg/Packung} = 22{,}5\). Da nur ganze Packungen gekauft werden können und \(23\) Packungen bereits \(46\,\text{kg}\) enthalten würden, darf Frau Müller höchstens \(22\) Packungen kaufen. Diese enthalten \(44\,\text{kg}\) Rasensamen.

Antwort

Sie muss mindestens \(15\) Packungen kaufen und darf höchstens \(22\) Packungen kaufen.

4228335

Für die Herstellung einer Betonmischung werden Zement, Sand und Kies im Verhältnis \(1:3:4\) gemischt. Ein Bauarbeiter benötigt für ein kleines Fundament insgesamt \(240\,\text{kg}\) dieser fertigen Mischung. Berechne, wie viel Kilogramm Zement, Sand und Kies er jeweils abwiegen muss.

Denkanstöße

- Stelle dir vor, die gesamte Mischung besteht aus gleich großen Paketen. Wie viele solcher Pakete hast du insgesamt? - Wenn du weißt, wie schwer alle Pakete zusammen sind, wie berechnest du dann das Gewicht eines einzelnen Pakets? - Wie viele dieser Pakete entfallen jeweils auf die einzelnen Bestandteile?

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Anteile: \(1 + 3 + 4 = 8\) Anteile. 2. Berechnung der Masse eines einzelnen Anteils durch Division der Gesamtmasse durch die Anzahl der Anteile: \(240\,\text{kg} : 8 = 30\,\text{kg}\). 3. Berechnung der Masse für Zement: \(1 \cdot 30\,\text{kg} = 30\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Masse für Sand: \(3 \cdot 30\,\text{kg} = 90\,\text{kg}\). 5. Berechnung der Masse für Kies: \(4 \cdot 30\,\text{kg} = 120\,\text{kg}\).

Antwort

Der Bauarbeiter muss \(30\,\text{kg}\) Zement, \(90\,\text{kg}\) Sand und \(120\,\text{kg}\) Kies abwiegen.

4228355

Für eine alkoholfreie Bowle mischt Sarah Apfelsaft, Orangensaft und Mineralwasser im Verhältnis \(5 : 3 : 2\). Sie stellt insgesamt \(5\,\text{Liter}\) der Mischung her. Ihr Bruder behauptet, dass mehr als die Hälfte der Bowle aus Apfelsaft besteht. Überprüfe diese Behauptung rechnerisch, indem du die Mengen der einzelnen Zutaten bestimmst.

Denkanstöße

- Wie viele Anteile sind insgesamt in der Mischung enthalten? - Wenn du die Gesamtmenge durch die Anzahl der Anteile teilst, was erhältst du dann? - Wie viele Liter entsprechen einem einzelnen Anteil? - Was bedeutet „die Hälfte“ in Bezug auf die Gesamtmenge von \(5\,\text{Litern}\)?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl der Anteile: \(5 + 3 + 2 = 10\) Anteile. 2. Bestimmung des Volumens eines einzelnen Anteils: \(5\,\text{l} : 10 = 0{,}5\,\text{l}\). 3. Berechnung der Menge an Apfelsaft: \(5 \cdot 0{,}5\,\text{l} = 2{,}5\,\text{l}\). 4. Berechnung der Menge an Orangensaft: \(3 \cdot 0{,}5\,\text{l} = 1{,}5\,\text{l}\). 5. Berechnung der Menge an Mineralwasser: \(2 \cdot 0{,}5\,\text{l} = 1\,\text{l}\). 6. Vergleich mit der Behauptung: Da \(2{,}5\,\text{l}\) genau die Hälfte von \(5\,\text{l}\) sind, ist die Behauptung, es sei mehr als die Hälfte, falsch.

Antwort

Die Bowle besteht aus \(2{,}5\,\text{l}\) Apfelsaft, \(1{,}5\,\text{l}\) Orangensaft und \(1\,\text{l}\) Mineralwasser. Die Behauptung des Bruders ist falsch, da der Apfelsaftanteil genau die Hälfte (\(2{,}5\,\text{l}\)) und nicht mehr als die Hälfte ausmacht.

4237775

Ein Laborglas hat ein Leergewicht von \(150\,\text{g}\). Wenn es vollständig mit einer Reinigungsflüssigkeit (Dichte \(0{,}8\,\text{g/cm}^3\)) gefüllt wird, wiegt es insgesamt \(950\,\text{g}\). Berechne, wie viel das Laborglas insgesamt wiegen würde, wenn man es stattdessen vollständig mit Glycerin füllen würde. Glycerin hat eine Dichte von \(1{,}26\,\text{g/cm}^3\).

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viel nur die Flüssigkeit im ersten Fall wiegt. - Wie kannst du aus der Masse und der Dichte der ersten Flüssigkeit das Volumen des Glases berechnen? - Bleibt das Volumen des Glases gleich, wenn man eine andere Flüssigkeit hineinfüllt? - Vergiss nicht, am Ende das Gewicht des leeren Glases wieder hinzuzurechnen.

Lösung

1. Berechnung der Masse der Reinigungsflüssigkeit durch Subtraktion des Leergewichts vom Gesamtgewicht: \(950\,\text{g} - 150\,\text{g} = 800\,\text{g}\). 2. Bestimmung des Volumens \(V\) des Glases mithilfe der Dichte: \(V = 800\,\text{g} : 0{,}8\,\text{g/cm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Masse der Glycerinfüllung für dasselbe Volumen: \(m_{\text{Glycerin}} = 1000\,\text{cm}^3 \cdot 1{,}26\,\text{g/cm}^3 = 1260\,\text{g}\). 4. Ermittlung des neuen Gesamtgewichts durch Addition des Leergewichts: \(1260\,\text{g} + 150\,\text{g} = 1410\,\text{g}\).

Antwort

Das Laborglas würde insgesamt \(1410\,\text{g}\) (oder \(1{,}41\,\text{kg}\)) wiegen.

4107815

Ein Sack Kaffeebohnen hat einen Wert von \(144\,\text{€}\). Wenn man \(3\,\text{kg}\) der Bohnen entnimmt, verringert sich der Gesamtwert auf \(108\,\text{€}\). a) Berechne das ursprüngliche Gewicht des Sacks. b) Wie viel würde der volle Sack kosten, wenn der Preis pro Kilogramm um \(2\,\text{€}\) gesenkt würde?

Denkanstöße

- Finde zuerst heraus, wie schwer der Sack am Anfang war, indem du den Wertverlust betrachtest. - Wenn sich der Preis pro Kilogramm ändert, beeinflusst das den Gesamtwert des Sacks. - Was bleibt gleich (das Gewicht des vollen Sacks) und was ändert sich in Aufgabenteil b?

Lösung

1. Bestimmung des Werts der entnommenen Menge: \(144\,\text{€} - 108\,\text{€} = 36\,\text{€}\) 2. Berechnung des aktuellen Kilopreises: \(36\,\text{€} : 3\,\text{kg} = 12\,\text{€}/\text{kg}\) 3. Berechnung des ursprünglichen Gewichts: \(144\,\text{€} : 12\,\text{€}/\text{kg} = 12\,\text{kg}\) 4. Berechnung des neuen Kilopreises: \(12\,\text{€}/\text{kg} - 2\,\text{€}/\text{kg} = 10\,\text{€}/\text{kg}\) 5. Berechnung des neuen Gesamtwerts für den vollen Sack: \(12\,\text{kg} \cdot 10\,\text{€}/\text{kg} = 120\,\text{€}\)

Antwort

a) Der Sack wog ursprünglich \(12\,\text{kg}\). b) Der volle Sack würde dann \(120\,\text{€}\) kosten.

4107825

Zwei Kisten mit derselben Sorte Pralinen stehen im Laden. Die erste Kiste kostet insgesamt \(120\,\text{€}\), die zweite \(150\,\text{€}\). Aus der ersten Kiste werden \(5\,\text{kg}\) entnommen, woraufhin ihr Wert auf \(70\,\text{€}\) sinkt. Bestimme das ursprüngliche Gewicht der zweiten Kiste.

Denkanstöße

- Was verrät dir die erste Kiste über den Preis pro Kilogramm der Pralinen? - Bleibt der Preis pro Kilogramm gleich, wenn es sich um dieselbe Sorte handelt? - Wie kannst du den Gesamtwert der zweiten Kiste nutzen, wenn du den Kilogrammpreis kennst?

Lösung

1. Berechnung des Werts der entnommenen Pralinen aus der ersten Kiste: \(120\,\text{€} - 70\,\text{€} = 50\,\text{€}\) 2. Berechnung des Preises pro Kilogramm: \(50\,\text{€} : 5\,\text{kg} = 10\,\text{€}/\text{kg}\) 3. Da die Sorte identisch ist, gilt dieser Preis auch für die zweite Kiste. 4. Berechnung des ursprünglichen Gewichts der zweiten Kiste: \(150\,\text{€} : 10\,\text{€}/\text{kg} = 15\,\text{kg}\)

Antwort

Das ursprüngliche Gewicht der zweiten Kiste betrug \(15\,\text{kg}\).

4207455

Ein Kopierer benötigt für den Druck von \(250\) Flyern genau \(6\,\text{Minuten}\) und \(15\,\text{Sekunden}\). Die Schule möchte für ein Schulfest insgesamt \(1000\) Flyer drucken lassen. Wie lange dauert dieser Druckvorgang insgesamt? Gib das Ergebnis in Minuten an.

Denkanstöße

- Um welchen Faktor erhöht sich die Anzahl der Flyer? - Du kannst die Minuten und die Sekunden einzeln mit diesem Faktor multiplizieren. - Schau dir dein Ergebnis bei den Sekunden genau an – lässt sich das in Minuten umwandeln?

Lösung

1. Bestimmung des Faktors für die Anzahl der Flyer: \(1000 : 250 = 4\). Die Anzahl der Flyer ist viermal so groß. 2. Berechnung der Zeit für die Minuten: \(4 \cdot 6\,\text{Minuten} = 24\,\text{Minuten}\). 3. Berechnung der Zeit für die Sekunden: \(4 \cdot 15\,\text{Sekunden} = 60\,\text{Sekunden}\). 4. Umrechnung und Addition: \(60\,\text{Sekunden} = 1\,\text{Minute}\). Gesamtdauer: \(24\,\text{Minuten} + 1\,\text{Minute} = 25\,\text{Minuten}\).

Antwort

Der Druckvorgang für \(1000\) Flyer dauert insgesamt \(25\,\text{Minuten}\).

4207605

Ein Paket mit \(500\,\text{Blatt}\) Kopierpapier hat ein Gewicht von \(2{,}5\,\text{kg}\). Wie viel wiegen \(100\,\text{Blatt}\) dieses Papiers?

Denkanstöße

- Ist die neue Anzahl an Blättern größer oder kleiner als die ursprüngliche? - Welche Rechenoperation hilft dir, von 500 auf 100 zu kommen? - Was du auf der einen Seite (Anzahl der Blätter) rechnest, musst du auch auf der anderen Seite (Gewicht) tun.

Lösung

1. Ausgangswerte notieren: \(500\,\text{Blatt} \mathrel{\widehat{=}} 2{,}5\,\text{kg}\). 2. Verhältnis der Mengen bestimmen: Um von \(500\) auf \(100\) zu kommen, muss durch \(5\) dividiert werden. 3. Rechnung für das Gewicht durchführen: \(2{,}5\,\text{kg} : 5 = 0{,}5\,\text{kg}\). 4. Optional in Gramm umrechnen: \(0{,}5\,\text{kg} = 500\,\text{g}\).

Antwort

\(100\,\text{Blatt}\) wiegen \(0{,}5\,\text{kg}\) (oder \(500\,\text{g}\)).

4207765

Lukas möchte für einen Kochabend \(12\) Packungen Nudeln und \(4\) Gläser Tomatensauce kaufen. Er vergleicht die Preise in drei verschiedenen Geschäften: <table> <tr> <th>Geschäft</th> <th>Nudeln</th> <th>Preis Nudeln</th> <th>Sauce</th> <th>Preis Sauce</th> </tr> <tr> <td>Frischemarkt</td> <td>\(3\) Packungen</td> <td>\(2{,}40\,\text{€}\)</td> <td>\(2\) Gläser</td> <td>\(2{,}50\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Cityshop</td> <td>\(4\) Packungen</td> <td>\(3{,}12\,\text{€}\)</td> <td>\(4\) Gläser</td> <td>\(4{,}80\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Super-Spar</td> <td>\(6\) Packungen</td> <td>\(4{,}68\,\text{€}\)</td> <td>\(1\) Glas</td> <td>\(1{,}29\,\text{€}\)</td> </tr> </table> a) Berechne für jedes Geschäft den Gesamtpreis für den Einkauf. Wo ist es am günstigsten? b) Lukas gibt an der Kasse \(8\) Pfandflaschen zurück (je \(0{,}25\,\text{€}\) Pfand). Die Kassiererin tippt jedoch versehentlich \(80\) statt \(8\) Flaschen ein. Erkläre, wie sich dieser Fehler auf den zu zahlenden Endbetrag auswirkt.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie oft die angebotenen Mengen in deinen Ziel-Einkauf passen. - Wie viel kosten die Nudeln und die Sauce einzeln in jedem Laden, wenn du die gewünschte Menge kaufst? - Was passiert mit dem Endpreis, wenn man Pfandflaschen zurückgibt? Wird er höher oder niedriger? - Vergleiche den Wert von 80 Flaschen mit dem Wert von 8 Flaschen.

Lösung

1. Berechnung Frischemarkt: \(12 : 3 = 4\) Einheiten Nudeln \(\rightarrow 4 \cdot 2{,}40\,\text{€} = 9{,}60\,\text{€}\). \(4 : 2 = 2\) Einheiten Sauce \(\rightarrow 2 \cdot 2{,}50\,\text{€} = 5{,}00\,\text{€}\). Gesamt: \(14{,}60\,\text{€}\). 2. Berechnung Cityshop: \(12 : 4 = 3\) Einheiten Nudeln \(\rightarrow 3 \cdot 3{,}12\,\text{€} = 9{,}36\,\text{€}\). \(4 : 4 = 1\) Einheit Sauce \(\rightarrow 4{,}80\,\text{€}\). Gesamt: \(14{,}16\,\text{€}\). 3. Berechnung Super-Spar: \(12 : 6 = 2\) Einheiten Nudeln \(\rightarrow 2 \cdot 4{,}68\,\text{€} = 9{,}36\,\text{€}\). \(4 \cdot 1{,}29\,\text{€} = 5{,}16\,\text{€}\) für Sauce. Gesamt: \(14{,}52\,\text{€}\). 4. Vergleich: Der Cityshop ist mit \(14{,}16\,\text{€}\) am günstigsten. 5. Pfandfehler: Geplant waren \(8 \cdot 0{,}25\,\text{€} = 2{,}00\,\text{€}\) Abzug. Getippt wurden \(80 \cdot 0{,}25\,\text{€} = 20{,}00\,\text{€}\) Abzug. Der Endbetrag ist somit um \(18{,}00\,\text{€}\) niedriger als er sein sollte.

Antwort

a) Frischemarkt: \(14{,}60\,\text{€}\); Cityshop: \(14{,}16\,\text{€}\); Super-Spar: \(14{,}52\,\text{€}\). Am günstigsten ist der Cityshop. b) Durch den Tippfehler werden \(20{,}00\,\text{€}\) statt \(2{,}00\,\text{€}\) abgezogen. Der Endbetrag verringert sich dadurch fälschlicherweise um \(18{,}00\,\text{€}\).

4208165

Frau Schmidt und Herr Weber reinigen ein Bürogebäude. Frau Schmidt arbeitet \(20\) Stunden pro Woche und Herr Weber \(15\) Stunden pro Woche. Bei gleichem Stundenlohn verdienen sie in \(4\) Wochen zusammen \(2240\,\text{€}\). a) Wie viel verdienen die beiden zusammen in einer Woche? b) Wie hoch ist der Stundenlohn? c) Herr Weber behauptet, dass er in \(4\) Wochen mehr als \(1000\,\text{€}\) verdient. Hat er recht? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Wie viel Geld bekommen beide zusammen für eine einzige Woche? - Wie viele Stunden arbeiten sie insgesamt in dieser einen Woche? - Wenn du weißt, wie viel sie pro Woche verdienen und wie viele Stunden sie leisten, wie berechnest du dann den Lohn für eine Stunde? - Rechne den Verdienst für Herrn Weber Schritt für Schritt für den gesamten Zeitraum aus.

Lösung

1. Berechnung des gemeinsamen Verdienstes pro Woche durch Division des Gesamtbetrags durch die Wochenanzahl: \(2240\,\text{€} : 4 = 560\,\text{€}\). 2. Ermittlung der gesamten Arbeitsstunden pro Woche durch Addition der Einzelstunden: \(20\,\text{h} + 15\,\text{h} = 35\,\text{h}\). 3. Berechnung des Stundenlohns durch Division des Wochenverdienstes durch die Gesamtstunden: \(560\,\text{€} : 35\,\text{h} = 16\,\text{€/h}\). 4. Berechnung des Verdienstes von Herrn Weber für 4 Wochen: \(15\,\text{h/Woche} \cdot 4\,\text{Wochen} \cdot 16\,\text{€/h} = 960\,\text{€}\). 5. Vergleich des Ergebnisses mit der Behauptung: \(960\,\text{€} < 1000\,\text{€}\).

Antwort

a) In einer Woche verdienen sie zusammen \(560\,\text{€}\). b) Der Stundenlohn beträgt \(16\,\text{€}\). c) Nein, er hat nicht recht. Sein Verdienst in \(4\) Wochen beträgt \(960\,\text{€}\), was weniger als \(1000\,\text{€}\) ist.

4209255

Ein modernes Fährschiff transportiert Passagiere über eine Strecke von \(120\,\text{km}\). An Bord befinden sich \(850\) Personen. Der durchschnittliche Treibstoffverbrauch des Schiffes beträgt \(6\,\text{l}\) pro Passagier für eine Strecke von \(100\,\text{km}\). Berechne den gesamten Treibstoffverbrauch für diese Fahrt in Litern.

Denkanstöße

- Wie viel Treibstoff verbraucht ein einziger Passagier auf der gesamten Strecke von \(120\,\text{km}\)? - Du kannst auch zuerst ausrechnen, wie viel alle Passagiere zusammen für \(100\,\text{km}\) verbrauchen. - Überlege dann, wie oft die \(100\,\text{km}\) in die Gesamtstrecke passen oder wie viel für einen einzelnen Kilometer verbraucht wird.

Lösung

1. Verbrauch pro Passagier für die gesamte Strecke berechnen: Da \(120\,\text{km}\) das \(1{,}2\)-Fache von \(100\,\text{km}\) sind, beträgt der Verbrauch \(6\,\text{l} \cdot 1{,}2 = 7{,}2\,\text{l}\) pro Person. 2. Gesamtverbrauch für alle Passagiere berechnen: \(850 \cdot 7{,}2\,\text{l} = 6\,120\,\text{l}\). Alternativer Weg: 1. Gesamtverbrauch aller Passagiere für \(100\,\text{km}\) berechnen: \(850 \cdot 6\,\text{l} = 5\,100\,\text{l}\). 2. Verbrauch für \(1\,\text{km}\) berechnen: \(5\,100\,\text{l} : 100 = 51\,\text{l}\). 3. Verbrauch für \(120\,\text{km}\) berechnen: \(51\,\text{l} \cdot 120 = 6\,120\,\text{l}\).

Antwort

Der gesamte Treibstoffverbrauch beträgt \(6\,120\,\text{l}\).

4209955

Frau Meier geht spazieren und legt in \(15\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(1{,}2\,\text{km}\) zurück. Ihr Hund läuft auf einer Wiese in \(5\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(450\,\text{m}\). Bestimme durch Rechnung, wer von beiden durchschnittlich mehr Meter pro Minute zurücklegt.

Denkanstöße

- Um die beiden vergleichen zu können, solltest du für beide die gleiche Einheit verwenden (zum Beispiel Meter pro Minute). - Wandle dazu zuerst alle Längenangaben in Meter um. - Teile dann jeweils die Strecke durch die Zeit.

Lösung

1. Berechnung für Frau Meier: Umrechnung der Strecke in Meter (\(1{,}2\,\text{km} = 1\,200\,\text{m}\)). Division durch die Zeit: \(1\,200\,\text{m} : 15\,\text{min} = 80\,\text{m/min}\). 2. Berechnung für den Hund: Division der gegebenen Werte: \(450\,\text{m} : 5\,\text{min} = 90\,\text{m/min}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(90\,\text{m/min} > 80\,\text{m/min}\), ist der Hund schneller.

Antwort

Der Hund legt mit \(90\,\text{m/min}\) eine größere Strecke pro Minute zurück als Frau Meier mit \(80\,\text{m/min}\).

4210365

Zwei Ventilatoren werden auf ihre Geschwindigkeit geprüft. Modell A schafft \(1\,200\) Umdrehungen in 2 Minuten. Modell B dreht sich 15-mal pro Sekunde. a) Welches Modell dreht sich schneller? Begründe durch Rechnung. b) Wie viele Umdrehungen macht jedes Modell in einer halben Stunde?

Denkanstöße

- Versuche, beide Angaben auf dieselbe Zeiteinheit zu bringen, zum Beispiel auf eine Minute oder eine Sekunde. - Wie viele Sekunden hat eine Minute? - Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde? - Rechne zuerst aus, wie viele Umdrehungen jedes Modell pro Minute macht, um den Rest leichter zu berechnen.

Lösung

1. Vergleich der Geschwindigkeiten pro Minute: Modell A macht \(1\,200 : 2 = 600\) Umdrehungen pro Minute. Modell B macht \(15 \cdot 60 = 900\) Umdrehungen pro Minute. Modell B ist also schneller. Alternativer Vergleich pro Sekunde: Modell A macht \(1\,200 : 120 = 10\) Umdrehungen pro Sekunde. Modell B macht 15 Umdrehungen pro Sekunde. 2. Berechnung für eine halbe Stunde (\(30\,\text{min}\)): Modell A: \(600 \cdot 30 = 18\,000\) Umdrehungen. Modell B: \(900 \cdot 30 = 27\,000\) Umdrehungen.

Antwort

a) Modell B dreht sich schneller. Es macht 900 Umdrehungen pro Minute (oder 15 pro Sekunde), während Modell A nur 600 Umdrehungen pro Minute (oder 10 pro Sekunde) macht. b) In einer halben Stunde macht Modell A \(18\,000\) Umdrehungen und Modell B \(27\,000\) Umdrehungen.

4211775

Ein ferngesteuertes Auto fährt in \(4\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(12\,\text{Metern}\). Um die Strecke für eine Zeit von \(30\,\text{Sekunden}\) zu bestimmen, wurde so gerechnet: \(4\,\text{min} \mathrel{\widehat{=}} 12\,\text{m}\) \(1\,\text{min} \mathrel{\widehat{=}} 3\,\text{m}\) \(30\,\text{s} \mathrel{\widehat{=}} 1{,}5\,\text{m}\) \(30\,\text{s} \mathrel{\widehat{=}} 15\,\text{cm}\) In welcher Zeile ist ein Fehler passiert? Erkläre den Fehler und gib das richtige Ergebnis in Zentimetern an.

Denkanstöße

- Überprüfe die Umrechnung von Metern in Zentimeter in der letzten Zeile. - Wie viele Zentimeter sind ein ganzer Meter? - Überlege, ob \(15\,\text{cm}\) für eine halbe Minute realistisch sind, wenn das Auto in einer ganzen Minute \(3\,\text{m}\) schafft.

Lösung

1. Schritt 1 (\(4\,\text{min}\) zu \(1\,\text{min}\)): Division durch \(4\) ist korrekt (\(12 : 4 = 3\)). 2. Schritt 2 (\(1\,\text{min}\) zu \(30\,\text{s}\)): Da \(30\,\text{Sekunden}\) eine halbe Minute sind, ist die Division durch \(2\) korrekt (\(3 : 2 = 1{,}5\)). 3. Schritt 3 (Umrechnung von \(\text{m}\) in \(\text{cm}\)): Hier liegt der Fehler. Es gilt \(1\,\text{m} = 100\,\text{cm}\). 4. Berechnung: \(1{,}5\,\text{m} \cdot 100 = 150\,\text{cm}\). In der Rechnung wurde fälschlicherweise nur mit \(10\) multipliziert oder das Komma falsch verschoben.

Antwort

Der Fehler liegt in der letzten Zeile bei der Umrechnung der Einheiten. \(1{,}5\,\text{m}\) entsprechen \(150\,\text{cm}\), nicht \(15\,\text{cm}\). Das richtige Ergebnis ist \(150\,\text{cm}\).

4213005

Zwei Sterne werden im Weltraum vermessen. Stern A ist genau \(12\) Lichtjahre von der Erde entfernt. Von Stern B ist bekannt, dass seine Entfernung zur Erde \(100\) Billionen Kilometer beträgt. Welcher der beiden Sterne ist weiter von der Erde entfernt? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung. Rechne mit \(1\,\text{Lichtjahr} \approx 9\,500\,000\,000\,000\,\text{km}\).

Denkanstöße

- Um zwei Entfernungen zu vergleichen, müssen sie in derselben Einheit angegeben sein. - Wandle die Lichtjahre von Stern A in Kilometer um. - Erinnere dich daran, wie viele Nullen eine Billion hat.

Lösung

1. Umrechnung der Entfernung von Stern A in Kilometer: \(12 \cdot 9\,500\,000\,000\,000\,\text{km} = 114\,000\,000\,000\,000\,\text{km}\). 2. Vergleich der beiden Werte: \(114\) Billionen Kilometer (Stern A) sind mehr als \(100\) Billionen Kilometer (Stern B). 3. Schlussfolgerung: Stern A ist weiter entfernt.

Antwort

Stern A ist weiter von der Erde entfernt, da seine Entfernung \(114\,000\,000\,000\,000\,\text{km}\) (bzw. \(114\) Billionen Kilometer) beträgt, während Stern B nur \(100\) Billionen Kilometer entfernt ist.

4215015

Frau Weber kauft ein Baugrundstück mit einer Größe von \(7\,\text{a } 20\,\text{m}^2\). Der Preis pro \(\text{m}^2\) liegt bei \(160\,\text{€}\). Hinzu kommen Gebühren für die Wasserversorgung in Höhe von \(40\,\text{€}\) pro \(\text{m}^2\). Vor dem Kauf betrug ihr Kontostand \(155\,250{,}50\,\text{€}\). Wie viel Geld befindet sich nach dem Kauf noch auf ihrem Konto?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Quadratmeter das Grundstück insgesamt hat. - Fasse die Kosten pro Quadratmeter zusammen, bevor du weiterrechnest. - Wie viel Geld muss Frau Weber insgesamt für das Grundstück bezahlen? - Achte beim Abziehen der Kosten vom Kontostand genau auf die Kommastellen.

Lösung

1. Umrechnung der Grundstücksfläche in Quadratmeter: \(7\,\text{a } 20\,\text{m}^2 = 720\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Gesamtkosten pro Quadratmeter: \(160\,\text{€} + 40\,\text{€} = 200\,\text{€}\). 3. Berechnung des Gesamtkaufpreises: \(720 \cdot 200\,\text{€} = 144\,000\,\text{€}\). 4. Berechnung des Endkontostands: \(155\,250{,}50\,\text{€} - 144\,000\,\text{€} = 11\,250{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Nach dem Kauf befinden sich noch \(11\,250{,}50\,\text{€}\) auf dem Konto.

4215215

Zwei Gärtnereien vergleichen ihre Erdbeerernte. Gärtnerei „Sonnenschein“ erntet \(480\,\text{kg}\) auf einer Fläche von \(12\,\text{a}\). Gärtnerei „Frischland“ erntet \(900\,\text{kg}\) auf einer Fläche von \(2000\,\text{m}^2\). Welche Gärtnerei hat den höheren Ertrag pro Ar (\(\text{a}\)) erzielt? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Um die Erträge vergleichen zu können, müssen sie sich auf die gleiche Flächeneinheit beziehen. - Wie viele Quadratmeter sind ein Ar? - Berechne für beide Gärtnereien, wie viele Kilogramm Erdbeeren sie auf genau einem Ar ernten.

Lösung

1. Ertrag von Gärtnerei „Sonnenschein“ pro Ar: \(480\,\text{kg} : 12 = 40\,\text{kg/a}\). 2. Umrechnung der Fläche von Gärtnerei „Frischland“: \(2000\,\text{m}^2 = 20\,\text{a}\). 3. Ertrag von Gärtnerei „Frischland“ pro Ar: \(900\,\text{kg} : 20 = 45\,\text{kg/a}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(45\,\text{kg/a} > 40\,\text{kg/a}\).

Antwort

Gärtnerei „Frischland“ hat den höheren Ertrag erzielt (\(45\,\text{kg/a}\) im Vergleich zu \(40\,\text{kg/a}\) bei Gärtnerei „Sonnenschein“).

4215995

Ein Landwirt verkauft drei Wiesenstücke: (1) \(40\,\text{m} \times 50\,\text{m}\) für \(12\,000\,\text{€}\). (2) \(60\,\text{m} \times 30\,\text{m}\) für \(9\,000\,\text{€}\). (3) \(25\,\text{m} \times 80\,\text{m}\) für \(11\,000\,\text{€}\). Berechne für jedes Stück den Preis für einen Quadratmeter und ordne die Wiesen nach diesem Preis (beginnend mit der günstigsten).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, wie groß jedes Wiesenstück insgesamt ist. - Teile dann den Gesamtpreis durch die Anzahl der Quadratmeter. - Achte beim Vergleichen auf die berechneten Werte pro Einheit.

Lösung

1. Flächeninhalte bestimmen: Wiese 1: \(40\,\text{m} \cdot 50\,\text{m} = 2\,000\,\text{m}^2\) Wiese 2: \(60\,\text{m} \cdot 30\,\text{m} = 1\,800\,\text{m}^2\) Wiese 3: \(25\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 2\,000\,\text{m}^2\) 2. Quadratmeterpreise berechnen: Preis 1: \(12\,000\,\text{€} : 2\,000\,\text{m}^2 = 6\,\text{€/m}^2\) Preis 2: \(9\,000\,\text{€} : 1\,800\,\text{m}^2 = 5\,\text{€/m}^2\) Preis 3: \(11\,000\,\text{€} : 2\,000\,\text{m}^2 = 5{,}50\,\text{€/m}^2\) 3. Sortierung: \(5\,\text{€} < 5{,}50\,\text{€} < 6\,\text{€}\). Die Reihenfolge ist Wiese (2), Wiese (3), Wiese (1).

Antwort

Die Reihenfolge lautet: Wiese (2) mit \(5\,\text{€/m}^2\), Wiese (3) mit \(5{,}50\,\text{€/m}^2\) und Wiese (1) mit \(6\,\text{€/m}^2\).

4228425

Für eine Saftschorle werden Orangensaft, Apfelsaft und Mineralwasser im Verhältnis \(2:1:5\) gemischt. Es sollen insgesamt \(2\,\text{Liter}\) dieser Schorle für eine Klassenfeier zubereitet werden. Berechne, wie viele Milliliter von jeder Zutat benötigt werden.

Denkanstöße

- Achte darauf, alle Mengen in derselben Einheit (zum Beispiel Milliliter) zu berechnen. - Aus wie vielen Anteilen besteht die gesamte Mischung insgesamt? - Wenn du weißt, wie viel ein einzelner Anteil ist, wie findest du dann die Mengen der einzelnen Zutaten heraus? - Überprüfe am Ende, ob die Summe deiner berechneten Mengen wieder die Gesamtmenge ergibt.

Lösung

1. Umrechnung der Gesamtmenge in eine einheitliche Einheit: \(2\,\text{l} = 2\,000\,\text{ml}\). 2. Bestimmung der Gesamtanzahl der Anteile im Mischverhältnis: \(2 + 1 + 5 = 8\) Anteile. 3. Berechnung der Menge eines einzelnen Anteils (\(x\)): \(8x = 2\,000 \implies x = 2\,000 : 8 = 250\,\text{ml}\). 4. Berechnung der Mengen für jede Zutat: Orangensaft (\(2 \cdot 250 = 500\,\text{ml}\)), Apfelsaft (\(1 \cdot 250 = 250\,\text{ml}\)) und Mineralwasser (\(5 \cdot 250 = 1\,250\,\text{ml}\)).

Antwort

Es werden \(500\,\text{ml}\) Orangensaft, \(250\,\text{ml}\) Apfelsaft und \(1\,250\,\text{ml}\) Mineralwasser benötigt.

4207615

An einem Marktstand kostet eine Schale mit \(400\,\text{g}\) Erdbeeren \(3{,}20\,\text{€}\). Leon hat genau \(1{,}20\,\text{€}\) dabei. Berechne, welche Menge an Erdbeeren er für sein gesamtes Geld bekommt.

Denkanstöße

- Versuche zuerst herauszufinden, wie viele Gramm Erdbeeren man für einen kleineren Geldbetrag bekommt, der gut zu beiden Geldbeträgen passt. - Kannst du ausrechnen, wie viele Gramm man für 80 Cent oder 40 Cent bekommt? - Nutze den Dreisatz: gegebenes Verhältnis \(\rightarrow\) Wert für eine kleinere Einheit \(\rightarrow\) Zielwert.

Lösung

1. Zuordnung feststellen: \(3{,}20\,\text{€} \mathrel{\widehat{=}} 400\,\text{g}\). 2. Einen geeigneten Zwischenwert finden (z. B. über \(0{,}40\,\text{€}\) oder \(0{,}80\,\text{€}\)): Da \(3{,}20\) und \(1{,}20\) beide durch \(0{,}40\) teilbar sind, berechnen wir zuerst den Wert für \(0{,}40\,\text{€}\). 3. Division: \(3{,}20\,\text{€} : 8 = 0{,}40\,\text{€}\). Entsprechend gilt für das Gewicht: \(400\,\text{g} : 8 = 50\,\text{g}\). 4. Hochrechnen auf den Zielbetrag: \(1{,}20\,\text{€}\) ist das Dreifache von \(0{,}40\,\text{€}\) (\(0{,}40\,\text{€} \cdot 3 = 1{,}20\,\text{€}\)). 5. Endrechnung für das Gewicht: \(50\,\text{g} \cdot 3 = 150\,\text{g}\).

Antwort

Leon bekommt für \(1{,}20\,\text{€}\) genau \(150\,\text{g}\) Erdbeeren.

4209965

Ein Läufer absolviert ein Training über \(200\,\text{m}\) in genau \(25\,\text{Sekunden}\). a) Berechne seine durchschnittliche Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde. b) Jemand behauptet: „Wenn der Läufer dieses Tempo genau so beibehält, schafft er eine \(10\,\text{km}\) lange Strecke in weniger als \(25\,\text{Minuten}\).“ Überprüfe diese Behauptung rechnerisch. c) Erkläre kurz, warum es in der Realität unwahrscheinlich ist, dass der Läufer für \(10\,\text{km}\) nur die in b) berechnete Zeit benötigt.

Denkanstöße

- Wie viele Meter schafft der Läufer in nur einer einzigen Sekunde? - Rechne die \(10\,\text{km}\) zuerst in Meter um, um mit dem Ergebnis aus Teil a) weiterzuarbeiten. - Wie viele Sekunden hat eine Minute? Nutze dies für die Umrechnung am Ende. - Denk an den Unterschied zwischen einem kurzen Sprint und einem langen Dauerlauf.

Lösung

1. Teil a): Berechnung der Geschwindigkeit durch Division: \(200\,\text{m} : 25\,\text{s} = 8\,\text{m/s}\). 2. Teil b): Umrechnung der Zielstrecke in Meter: \(10\,\text{km} = 10\,000\,\text{m}\). Berechnung der benötigten Sekunden: \(10\,000\,\text{m} : 8\,\text{m/s} = 1\,250\,\text{s}\). Umrechnung in Minuten: \(1\,250 : 60 = 20\) Rest \(50\), also \(20\,\text{min}\) \(50\,\text{s}\). Da dies weniger als \(25\,\text{Minuten}\) sind, ist die Behauptung rechnerisch korrekt. 3. Teil c): Ein Mensch kann ein hohes Sprinttempo nicht über eine so lange Distanz wie \(10\,\text{km}\) aufrechterhalten; Ermüdung und fehlende Ausdauer führen zu einer deutlich längeren Zeit.

Antwort

a) Der Läufer erreicht \(8\,\text{m/s}\). b) Die Behauptung ist korrekt, da er rechnerisch nur \(20\,\text{min}\) \(50\,\text{s}\) benötigen würde. c) In der Realität nimmt die Kraft über eine lange Strecke ab, sodass man das Sprinttempo nicht halten kann.

4210495

Die Bahnstrecke zwischen Berlin und Magdeburg ist etwa \(120\,\text{km}\) lang. Ein Regionalexpress benötigt für diese Strecke \(1\,\text{h } 15\,\text{min}\). Frau Müller fährt dieselbe Strecke mit dem Auto und braucht genau \(1\,\text{h } 30\,\text{min}\). a) Wie viel Zeit spart man, wenn man den Zug statt des Autos nimmt? b) Berechne, wie viele Kilometer Frau Müller mit dem Auto durchschnittlich pro Stunde fährt.

Denkanstöße

- Subtrahiere die kürzere Zeit von der längeren Zeit, um den Unterschied zu finden. - Überlege für die Geschwindigkeit, wie viele Kilometer das Auto in einer ganzen Stunde schafft, wenn es für die gesamte Strecke eineinhalb Stunden braucht. - Hilft es dir, die Zeit in Minuten umzurechnen?

Lösung

1. Berechnung der Zeitersparnis: \(1\,\text{h } 30\,\text{min} - 1\,\text{h } 15\,\text{min} = 15\,\text{min}\). 2. Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos: Das Auto legt \(120\,\text{km}\) in \(1\,\text{h } 30\,\text{min}\) (oder \(1{,}5\,\text{h}\)) zurück. Um die Kilometer pro Stunde (\(60\,\text{min}\)) zu finden, kann man proportional rechnen: In \(30\,\text{min}\) legt das Auto \(120\,\text{km} : 3 = 40\,\text{km}\) zurück. In \(60\,\text{min}\) (\(1\,\text{h}\)) legt es folglich \(40\,\text{km} \cdot 2 = 80\,\text{km}\) zurück. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(80\,\text{km/h}\).

Antwort

a) Man spart \(15\,\text{min}\). b) Das Auto fährt durchschnittlich \(80\,\text{km}\) pro Stunde.

4211785

Für eine Klassenfeier werden \(12\,\text{Liter}\) Saft für insgesamt \(18\,\text{€}\) eingekauft. Jemand möchte den Preis für \(5\,\text{Liter}\) wissen und rechnet: \(12\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 18\,\text{€}\) \(1\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 1{,}80\,\text{€}\) \(5\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 9\,\text{€}\) Erkläre, welcher Fehler im ersten Rechenschritt gemacht wurde, und berechne den korrekten Preis für \(5\,\text{Liter}\).

Denkanstöße

- Rechne die Division im ersten Schritt (\(18 : 12\)) noch einmal schriftlich nach. - Was passiert, wenn du \(1{,}80\,\text{€}\) wieder mit \(12\) multiplizierst? Kommst du auf \(18\,\text{€}\)? - Überlege, wie man von \(12\,\text{l}\) geschickter auf \(5\,\text{l}\) kommen könnte, vielleicht über einen anderen Zwischenschritt wie \(2\,\text{l}\) oder \(1\,\text{l}\).

Lösung

1. Analyse des ersten Schritts: Um den Preis für \(1\,\text{Liter}\) zu finden, muss der Gesamtpreis durch die Gesamtmenge geteilt werden (\(18 : 12\)). 2. Berechnung des Fehlers: Die Person hat fälschlicherweise \(1{,}80\,\text{€}\) notiert, was dem Ergebnis von \(18 : 10\) entspräche. Tatsächlich ist \(18 : 12 = 1{,}50\). 3. Korrekte Fortführung: Mit dem richtigen Preis von \(1{,}50\,\text{€}\) pro Liter ergibt sich für \(5\,\text{Liter}\): \(5 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 7{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Im ersten Schritt wurde falsch dividiert: \(18\,\text{€} : 12\) ergibt \(1{,}50\,\text{€}\) und nicht \(1{,}80\,\text{€}\). Der korrekte Preis für \(5\,\text{Liter}\) Saft beträgt \(7{,}50\,\text{€}\).

4215225

Ein rechteckiger Sportplatz ist \(105\,\text{m}\) lang und \(60\,\text{m}\) breit. Zur Pflege soll Spezialdünger auf der gesamten Fläche verteilt werden. Man benötigt \(4\,\text{kg}\) Dünger für jeweils \(100\,\text{m}^2\). Ein Sack Dünger wiegt \(25\,\text{kg}\) und kostet \(32\,\text{€}\). Wie viel kostet es insgesamt, den notwendigen Dünger für den Sportplatz zu kaufen?

Denkanstöße

- Berechne zuerst, wie groß die Fläche des Sportplatzes insgesamt ist. - Wie oft passt die Bezugsfläche von \(100\,\text{m}^2\) in diese Gesamtfläche? - Überlege am Ende genau, wie viele ganze Säcke gekauft werden müssen, damit der Dünger für die gesamte Fläche ausreicht.

Lösung

1. Berechnung des Flächeninhalts des Sportplatzes: \(105\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 6300\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung der Anzahl der \(100\text{-m}^2\text{-Einheiten}\): \(6300 : 100 = 63\). 3. Berechnung der benötigten Düngermenge: \(63 \cdot 4\,\text{kg} = 252\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Anzahl der benötigten Säcke: \(252\,\text{kg} : 25\,\text{kg/Sack} = 10\) Rest \(2\). Es müssen also \(11\) ganze Säcke gekauft werden. 5. Berechnung der Gesamtkosten: \(11 \cdot 32\,\text{€} = 352\,\text{€}\).

Antwort

Die Düngung des Sportplatzes kostet insgesamt \(352\,\text{€}\).

4216235

Ein Landwirt erhält für einen \(4\,\text{m}\) breiten Ackerrandstreifen einen jährlichen Zuschuss von \(1\,000\,\text{€}\) pro Hektar (\(\text{ha}\)). Insgesamt werden ihm für ein Jahr \(140\,\text{€}\) für diesen Streifen überwiesen. Berechne die Länge des Randstreifens in Metern.

Denkanstöße

- Wie viele Quadratmeter stecken in einem Hektar? - Versuche herauszufinden, wie viel Geld der Bauer für einen einzelnen Quadratmeter bekommt. - Wenn du weißt, wie groß die gesamte Fläche ist und wie breit sie ist, wie findest du dann die Länge heraus? - Es kann helfen, alle Euro-Beträge zuerst in Cent umzurechnen.

Lösung

1. Umrechnung des Zuschusses pro Hektar in einen Wert pro Quadratmeter: \(1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2\). Da \(1\,000\,\text{€} = 100\,000\,\text{ct}\), ergibt sich ein Zuschuss von \(100\,000\,\text{ct} : 10\,000 = 10\,\text{ct}\) pro \(\text{m}^2\) (oder \(0{,}10\,\text{€}\) pro \(\text{m}^2\)). 2. Bestimmung der Gesamtfläche des Streifens: Der Gesamtbetrag von \(140\,\text{€}\) geteilt durch den Zuschuss pro Quadratmeter ergibt \(140 : 0{,}10 = 1\,400\) (bzw. \(14\,000\,\text{ct} : 10\,\text{ct}\)). Die Fläche beträgt somit \(1\,400\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Länge des rechteckigen Streifens: Fläche geteilt durch Breite ergibt \(1\,400\,\text{m}^2 : 4\,\text{m} = 350\,\text{m}\).

Antwort

Der Randstreifen ist \(350\,\text{m}\) lang.

4237785

Ein Transportkanister wird für verschiedene Flüssigkeiten genutzt. Wenn er vollständig mit Benzin (Dichte \(0{,}7\,\text{kg/l}\)) gefüllt ist, wiegt er insgesamt \(20\,\text{kg}\). Wird derselbe Kanister stattdessen vollständig mit Milch (Dichte \(1{,}03\,\text{kg/l}\)) gefüllt, zeigt die Waage \(26{,}6\,\text{kg}\) an. Bestimme das Fassungsvermögen des Kanisters in Litern und sein Leergewicht in Kilogramm.

Denkanstöße

- Warum ist der Kanister im zweiten Fall schwerer? Liegt es am Kanister selbst oder an der Füllung? - Wie viel wiegt ein Liter Milch mehr als ein Liter Benzin? - Wenn du weißt, wie viel ein Liter mehr wiegt, kannst du dann herausfinden, wie viele Liter im Kanister sein müssen, um den gesamten Gewichtsunterschied von \(6{,}6\,\text{kg}\) zu erklären? - Wenn du das Volumen kennst, wie viel wiegt dann die reine Flüssigkeit in einem der beiden Fälle?

Lösung

1. Berechnung des Gewichtsunterschieds zwischen den beiden Füllungen: \(26{,}6\,\text{kg} - 20\,\text{kg} = 6{,}6\,\text{kg}\). Dieser Unterschied entsteht ausschließlich durch die unterschiedliche Dichte der Flüssigkeiten bei identischem Volumen. 2. Berechnung des Dichteunterschieds: \(1{,}03\,\text{kg/l} - 0{,}7\,\text{kg/l} = 0{,}33\,\text{kg/l}\). 3. Bestimmung des Volumens \(V\) des Kanisters durch Division des Gewichtsunterschieds durch den Dichteunterschied: \(V = 6{,}6\,\text{kg} : 0{,}33\,\text{kg/l} = 20\,\text{l}\). 4. Berechnung der Masse des Benzins im vollen Kanister: \(m_{\text{Benzin}} = 20\,\text{l} \cdot 0{,}7\,\text{kg/l} = 14\,\text{kg}\). 5. Berechnung des Leergewichts des Kanisters durch Subtraktion der Benzinmasse vom ersten Gesamtgewicht: \(20\,\text{kg} - 14\,\text{kg} = 6\,\text{kg}\).

Antwort

Der Kanister hat ein Fassungsvermögen von \(20\,\text{l}\) und ein Leergewicht von \(6\,\text{kg}\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.