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- Was ist das Besondere an den Seiten eines Quadrats? - Welche Formeln kennst du für den Umfang und die Fläche bei dieser speziellen Form? - Überlege, wie oft die Seitenlänge in den Umfang eingeht.

1. Berechnung des Umfangs mit der Formel \(U = 4 \cdot a\): \(4 \cdot 14\,\text{cm} = 56\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel \(A = a \cdot a\): \(14\,\text{cm} \cdot 14\,\text{cm} = 196\,\text{cm}^2\).

Der Umfang beträgt \(56\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(196\,\text{cm}^2\).

- Rechne am besten zuerst alle Längenangaben in die gleiche Einheit (cm oder m) um. - Wie viele Fliesen passen insgesamt auf die ausgerechnete Fläche? - Da man Packungen nur im Ganzen kaufen kann: Was bedeutet ein Ergebnis von zum Beispiel 7,5 Packungen für den Einkauf?

1. Berechnung der Bodenfläche in \(m^2\): \(4,5 \text{ m} \cdot 3,2 \text{ m} = 14,4 \text{ m}^2\). 2. Berechnung der Fläche einer Fliese in \(m^2\): \(0,4 \text{ m} \cdot 0,4 \text{ m} = 0,16 \text{ m}^2\). 3. Berechnung der benötigten Fliesenanzahl: \(14,4 / 0,16 = 90\) Stück. 4. Berechnung der benötigten Packungen bei 12 Stück pro Packung: \(90 / 12 = 7,5\). 5. Da nur ganze Packungen gekauft werden können, muss auf 8 Packungen aufgerundet werden.

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- Kannst du Beispiele für Rechtecke finden, die zwar die gleiche Fläche, aber unterschiedliche Seitenlängen haben? - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet. Gibt es verschiedene Zahlenpaare, die das gleiche Ergebnis liefern? - Was passiert mit der Fläche eines Papiers, wenn du es zerschneidest und die Teile ohne Lücken und Überlappungen neu anordnest?

1. Aussage a ist falsch. Ein Rechteck mit den Seiten \(2\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) hat einen Flächeninhalt von \(16\,\text{cm}^2\) und einen Umfang von \(20\,\text{cm}\). Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(4\,\text{cm}\) hat ebenfalls den Flächeninhalt \(16\,\text{cm}^2\), aber nur einen Umfang von \(16\,\text{cm}\). 2. Aussage b ist falsch. Es gibt andere Rechtecke mit diesem Flächeninhalt, zum Beispiel eines mit den Seitenlängen \(1\,\text{cm}\) und \(25\,\text{cm}\). In diesem Fall ist \(1\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\), aber die Form ist kein Quadrat. 3. Aussage c ist wahr. Dies entspricht dem Prinzip der Zerlegungsgleichheit: Die Gesamtfläche einer Figur ist die Summe ihrer Teilflächen, wenn diese ohne Lücken und Überlappungen neu angeordnet werden.

a) Falsch b) Falsch c) Wahr

- Haben beide Seitenlängen dieselbe Einheit? - Wie berechnet man die Gesamtlänge der Außenkanten eines Rechtecks? - Wie bestimmt man die Größe der Fläche, die von den Seiten eingeschlossen wird?

1. Umrechnung der Seitenlänge \(b\) in Zentimeter: \(b = 50\,\text{mm} = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs \(U\): \(U = 2 \cdot (12\,\text{cm} + 5\,\text{cm}) = 2 \cdot 17\,\text{cm} = 34\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\): \(A = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\).

Der Umfang beträgt \(34\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\).

- Überlege, wie viele gleich lange Seiten ein Quadrat hat und wie man daraus die Gesamtlänge des Randes berechnet. - Wenn du die Länge einer Seite kennst, wie berechnest du dann die Größe der Fläche? - Welche Rechenoperation kehrt die Vervierfachung einer Seite um?

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\) aus dem Umfang \(U = 4 \cdot a\): \(a = 48\,\text{m} : 4 = 12\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) mit der Formel \(A = a \cdot a\): \(A = 12\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 144\,\text{m}^2\).

a) Die Seitenlänge beträgt \(12\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(144\,\text{m}^2\).

- Wie lauten die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats? - Bestimme zuerst die Seitenlänge des zweiten Quadrats. - Was erhältst du, wenn du den größeren Flächeninhalt durch den kleineren teilst?

1. Berechnung für das erste Quadrat (\(a_1 = 5\,\text{cm}\)): Umfang \(U_1 = 4 \cdot 5\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\) und Flächeninhalt \(A_1 = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für das zweite Quadrat (\(a_2 = 10\,\text{cm}\)): Umfang \(U_2 = 4 \cdot 10\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\) und Flächeninhalt \(A_2 = 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Flächeninhalte: \(100\,\text{cm}^2 : 25\,\text{cm}^2 = 4\). Der kleine Flächeninhalt passt genau 4-mal in den großen.

1. Quadrat 1: \(U = 20\,\text{cm}\), \(A = 25\,\text{cm}^2\); Quadrat 2: \(U = 40\,\text{cm}\), \(A = 100\,\text{cm}^2\). 2. Der Flächeninhalt des kleinen Quadrats passt 4-mal in den des großen Quadrats.

- Wie viele gleich lange Seiten hat ein Quadrat? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Länge einer Seite und dem gesamten Umfang? - Achte auf die Einheiten: Handelt es sich um Längen- oder Flächenmaße? - Vergleiche die Werte, indem du sie in dieselbe Einheit umrechnest.

1. Analyse von (1): Bei einem Quadrat mit Umfang \(200\,\text{cm}\) ist jede der vier gleich langen Seiten \(200\,\text{cm} : 4 = 50\,\text{cm}\) lang. Dieses Ergebnis ist richtig. 2. Analyse von (2): Die Einheit \(\text{cm}^2\) bezeichnet einen Flächeninhalt. Eine Seitenlänge muss in einer Längeneinheit angegeben werden. Dieses Ergebnis ist falsch. 3. Analyse von (3): \(2\,\text{m}\) entsprechen \(200\,\text{cm}\). Eine einzelne Seite kann nicht so lang sein wie der gesamte Umfang des Quadrats. Dieses Ergebnis ist falsch. 4. Analyse von (4): \(5\,\text{dm}\) entsprechen \(50\,\text{cm}\). Da dies der korrekten Seitenlänge entspricht, ist dieses Ergebnis richtig.

Falsch sind (2) wegen der falschen Einheit (Flächeneinheit statt Längeneinheit) und (3), da die Seitenlänge nicht dem gesamten Umfang entsprechen kann.

- Welche zwei Zahlen ergeben beim Multiplizieren 36? - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man die Seitenlängen kennt? - Überlege dir, wie viele Meter um die Fläche herumführen.

1. Bestimmung möglicher Teilerpaare von 36 für die Seitenlängen \(a\) und \(b\), sodass \(a \cdot b = 36\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Umfangs \(U = 2 \cdot (a + b)\) für jedes Paar. Mögliche Ergebnisse: - Paar 1: \(a = 6\,\text{m}\), \(b = 6\,\text{m}\). Umfang: \(2 \cdot (6 + 6) = 24\,\text{m}\). - Paar 2: \(a = 4\,\text{m}\), \(b = 9\,\text{m}\). Umfang: \(2 \cdot (4 + 9) = 26\,\text{m}\). - Paar 3: \(a = 3\,\text{m}\), \(b = 12\,\text{m}\). Umfang: \(2 \cdot (3 + 12) = 30\,\text{m}\). - Paar 4: \(a = 2\,\text{m}\), \(b = 18\,\text{m}\). Umfang: \(2 \cdot (2 + 18) = 40\,\text{m}\). - Paar 5: \(a = 1\,\text{m}\), \(b = 36\,\text{m}\). Umfang: \(2 \cdot (1 + 36) = 74\,\text{m}\).

Mögliche Lösungen (drei auswählen): - \(6\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\); \(U = 24\,\text{m}\) - \(4\,\text{m}\) und \(9\,\text{m}\); \(U = 26\,\text{m}\) - \(3\,\text{m}\) und \(12\,\text{m}\); \(U = 30\,\text{m}\) - \(2\,\text{m}\) und \(18\,\text{m}\); \(U = 40\,\text{m}\) - \(1\,\text{m}\) und \(36\,\text{m}\); \(U = 74\,\text{m}\)

- Berechne für jedes Rechteck zuerst die Breite \(b\) in Zentimetern. - Wenn der Umfang gegeben ist, wie groß ist dann die Summe von Länge und Breite? - Achte bei Rechteck B darauf, beide Maße in die gleiche Einheit zu bringen. - Vergleiche am Ende die berechneten Flächeninhalte.

1. Rechteck A: Bestimmung der Breite \(b = (22\,\text{cm} : 2) - 6\,\text{cm} = 11\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). Berechnung der Fläche \(A = 6\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 2. Rechteck B: Umrechnung der Länge \(a = 80\,\text{mm} = 8\,\text{cm}\). Berechnung der Fläche \(A = 8\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 3. Rechteck C: Bestimmung der Breite \(b = (18\,\text{cm} : 2) - 5\,\text{cm} = 9\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). Berechnung der Fläche \(A = 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(30\,\text{cm}^2 > 20\,\text{cm}^2 > 16\,\text{cm}^2\).

Rechteck A hat mit \(30\,\text{cm}^2\) den größten Flächeninhalt. (Rechteck B: \(16\,\text{cm}^2\); Rechteck C: \(20\,\text{cm}^2\)).

- Wandle die Seitenlänge zuerst in die kleinere Einheit (Zentimeter) um, damit du leichter rechnen kannst. - Wie oft passt die Seite in den Umfang eines Quadrats? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats. - Denk beim Umfang am Ende daran, die Zentimeter wieder in Meter und Zentimeter aufzuteilen.

1. Umrechnung der Seitenlänge in eine einheitliche Einheit: \(a = 2\,\text{dm } 8\,\text{cm} = 28\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs: \(U = 4 \cdot a = 4 \cdot 28\,\text{cm} = 112\,\text{cm}\). 3. Umrechnung des Umfangs in gemischte Einheiten: \(112\,\text{cm} = 1\,\text{m } 12\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = a \cdot a = 28\,\text{cm} \cdot 28\,\text{cm} = 784\,\text{cm}^2\).

Der Umfang beträgt \(U = 1\,\text{m } 12\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(A = 784\,\text{cm}^2\).

- Welche Eigenschaft haben alle vier Seiten eines Quadrats? - Wie hängen Umfang und Seitenlänge beim Quadrat zusammen? - Wie berechnet man die Fläche, wenn man die Seitenlänge kennt?

1. Berechnung der Seitenlänge durch Division des Umfangs durch 4: \(a = 32\,\text{cm} : 4 = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts durch Quadrieren der Seitenlänge: \(A = 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\).

\(a = 8\,\text{cm}\) \(A = 64\,\text{cm}^2\)

- Weißt du noch, wie viele Quadratmeter ein „Ar“ (\(\text{a}\)) sind? - Wenn du den Flächeninhalt und eine Seite kennst, wie findest du die andere Seite? - Überlege dir, wie oft die bekannte Seite in die Fläche „hineinpasst“. - Stell dir das Grundstück bildlich vor, um den Weg einmal ganz herum (den Umfang) zu berechnen.

1. Umrechnung des Flächeninhalts in Quadratmeter: \(6\,\text{a} = 600\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der fehlenden Seite \(b\): \(600\,\text{m}^2 : 30\,\text{m} = 20\,\text{m}\). 3. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (30\,\text{m} + 20\,\text{m}) = 100\,\text{m}\).

Die kürzere Seite ist \(20\,\text{m}\) lang und der Umfang beträgt \(100\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, wie oft die Seitenlänge in den Umfang eines Quadrats passt. - Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt bei einem Quadrat zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt die Multiplikation um, wenn du den Umfang gegeben hast?

1. Für Quadrat A wird der Umfang mit \(U = 4 \cdot a\) berechnet: \(4 \cdot 12\,\text{cm} = 48\,\text{cm}\). 2. Der Flächeninhalt für Quadrat A ergibt sich aus \(A = a \cdot a\): \(12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 144\,\text{cm}^2\). 3. Für Quadrat B wird die Seitenlänge \(a\) aus dem Umfang berechnet: \(36\,\text{m} : 4 = 9\,\text{m}\). 4. Mit der Seitenlänge \(a = 9\,\text{m}\) wird der Flächeninhalt für Quadrat B berechnet: \(9\,\text{m} \cdot 9\,\text{m} = 81\,\text{m}^2\).

Quadrat A: \(U = 48\,\text{cm}\), \(A = 144\,\text{cm}^2\) Quadrat B: \(a = 9\,\text{m}\), \(A = 81\,\text{m}^2\)

- Wie viele gleich lange Seiten hat ein Quadrat? - Wenn du den Gesamtweg um das Quadrat kennst, wie kommst du auf eine einzelne Seite? - Welche Rechenoperation benötigst du, um die Fläche aus der Seitenlänge zu bestimmen?

1. Berechnung der Seitenlänge durch Division des Umfangs durch 4: \(320\,\text{cm} : 4 = 80\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts durch Multiplikation der Seitenlänge mit sich selbst: \(80\,\text{cm} \cdot 80\,\text{cm} = 6\,400\,\text{cm}^2\).

Die Seitenlänge beträgt \(80\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(6\,400\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats, wenn man die Seitenlänge kennt? - Wenn du die Fläche für ein Foto hast, wie kommst du dann auf die Fläche für viele Fotos? - Überlege, wie viele Quadratzentimeter in einen Quadratdezimeter passen.

1. Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrats: \(A = a \cdot a = 15\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 225\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Gesamtfläche für 40 Fotos: \(40 \cdot 225\,\text{cm}^2 = 9\,000\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung in Quadratdezimeter: Da \(100\,\text{cm}^2 = 1\,\text{dm}^2\) sind, ergibt sich \(9\,000 : 100 = 90\,\text{dm}^2\).

a) Der Flächeninhalt eines Fotos beträgt \(225\,\text{cm}^2\). b) Die Gesamtfläche beträgt \(9\,000\,\text{cm}^2\), das sind \(90\,\text{dm}^2\).

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Weißt du noch, wie viele Quadratmeter in einem Ar stecken? - Stell dir vor, du schneidest den inneren Teil aus dem großen Rechteck aus. Was bleibt übrig? - Achte darauf, dass der Schutzstreifen auf allen vier Seiten des Rechtecks liegt.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(220\,\text{m} \cdot 90\,\text{m} = 19\,800\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung in Ar: \(19\,800\,\text{m}^2 : 100 = 198\,\text{a}\). 3. Bestimmung der inneren Maße des genutzten Ackers: Die Länge reduziert sich auf \(220\,\text{m} - 10\,\text{m} = 210\,\text{m}\), die Breite auf \(90\,\text{m} - 10\,\text{m} = 80\,\text{m}\). 4. Berechnung der inneren Fläche: \(210\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 16\,800\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Fläche des Schutzstreifens: \(19\,800\,\text{m}^2 - 16\,800\,\text{m}^2 = 3\,000\,\text{m}^2\).

a) Der Acker ist \(198\,\text{a}\) groß. b) Der Schutzstreifen hat einen Flächeninhalt von \(3\,000\,\text{m}^2\).

- Achte darauf, dass beide Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - In welche Einheit musst du die Breite umwandeln, um das Ergebnis direkt in Quadratmetern zu erhalten? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks?

1. Umrechnung der Breite in die Einheit Meter: \(80\,\text{dm} = 8\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel \(A = a \cdot b\): \(15\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 120\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Parkplatzes beträgt \(120\,\text{m}^2\).

- Wie hängen Umfang, Länge und Breite bei einem Rechteck zusammen? - Wenn du den gesamten Zaun kennst, wie groß ist dann die Summe aus einer Länge und einer Breite? - Probiere systematisch alle Zahlenpaare aus, die zusammen diese Summe ergeben. - Erinnerst du dich an den Namen für ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind?

1. Bestimmung der halben Umfangslänge: \(20\,\text{m} : 2 = 10\,\text{m}\). Die Summe von Länge \(l\) und Breite \(b\) muss also \(10\,\text{m}\) ergeben. 2. Auflistung der möglichen Paare \((l, b)\) und Berechnung der Flächeninhalte \(A = l \cdot b\): - \(1\,\text{m}\) und \(9\,\text{m} \implies A = 9\,\text{m}^2\) - \(2\,\text{m}\) und \(8\,\text{m} \implies A = 16\,\text{m}^2\) - \(3\,\text{m}\) und \(7\,\text{m} \implies A = 21\,\text{m}^2\) - \(4\,\text{m}\) und \(6\,\text{m} \implies A = 24\,\text{m}^2\) - \(5\,\text{m}\) und \(5\,\text{m} \implies A = 25\,\text{m}^2\) 3. Vergleich der Flächeninhalte: Der größte Flächeninhalt beträgt \(25\,\text{m}^2\). 4. Feststellung zur Form: Das Gehege mit den Maßen \(5\,\text{m} \times 5\,\text{m}\) ist ein Quadrat.

a) Mögliche Paare (Länge/Breite) sind: \(1\,\text{m}\) und \(9\,\text{m}\); \(2\,\text{m}\) und \(8\,\text{m}\); \(3\,\text{m}\) und \(7\,\text{m}\); \(4\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\); \(5\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}\). b) Die Flächeninhalte sind: \(9\,\text{m}^2\), \(16\,\text{m}^2\), \(21\,\text{m}^2\), \(24\,\text{m}^2\) und \(25\,\text{m}^2\). c) Das Gehege mit \(5\,\text{m}\) Länge und \(5\,\text{m}\) Breite hat den größten Flächeninhalt. Es ist ein Quadrat.

- Welche Eigenschaft haben beide Rechtecke gemeinsam? - Berechne zuerst den Flächeninhalt des ersten Rechtecks. - Wie berechnet man die fehlende Seite, wenn der Flächeninhalt und eine Seite bekannt sind?

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Rechtecks: \(A = 15\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Da der Flächeninhalt des zweiten Rechtecks identisch ist, wird die Breite durch Division des Flächeninhalts durch die neue Länge ermittelt: \(b = 60\,\text{cm}^2 : 10\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\).

Die Breite beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Überlege zuerst, wie groß die Fläche nach der Vergrößerung insgesamt ist. - Wenn du die Fläche und eine Seitenlänge kennst, wie findest du die andere Seite? - Was ändert sich am Umfang, wenn eine Seite länger wird?

1. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts: \(5\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 15\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung des neuen Flächeninhalts: \(15\,\text{m}^2 + 10\,\text{m}^2 = 25\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der neuen Breite: \(25\,\text{m}^2 : 5\,\text{m} = 5\,\text{m}\). 4. Berechnung des alten Umfangs: \(2 \cdot (5\,\text{m} + 3\,\text{m}) = 16\,\text{m}\). 5. Berechnung des neuen Umfangs: \(2 \cdot (5\,\text{m} + 5\,\text{m}) = 20\,\text{m}\). 6. Ermittlung der Umfangsdifferenz: \(20\,\text{m} - 16\,\text{m} = 4\,\text{m}\).

a) Die neue Breite beträgt \(5\,\text{m}\). b) Der Umfang verlängert sich um \(4\,\text{m}\).

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks und eines Quadrats? - Achte beim Multiplizieren auf das Komma. - Was bedeutet „Unterschied“ in der Mathematik? Welches Rechenzeichen nutzt du dafür?

1. Berechnung des Flächeninhalts des rechteckigen Zimmers: \(A_{\text{Rechteck}} = 8{,}5\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 51\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des quadratischen Zimmers: \(A_{\text{Quadrat}} = 7\,\text{m} \cdot 7\,\text{m} = 49\,\text{m}^2\). 3. Vergleich der Flächeninhalte: Da \(51\,\text{m}^2 > 49\,\text{m}^2\), ist das rechteckige Zimmer größer. 4. Berechnung der Differenz: \(51\,\text{m}^2 - 49\,\text{m}^2 = 2\,\text{m}^2\).

a) Das rechteckige Zimmer hat eine Fläche von \(51\,\text{m}^2\), das quadratische Zimmer eine Fläche von \(49\,\text{m}^2\). b) Das rechteckige Zimmer ist um \(2\,\text{m}^2\) größer.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Überlege, wie oft die Fläche eines einzelnen Plakats vorkommt. - Wie viele Quadratzentimeter ergeben einen Quadratmeter?

1. Berechnung des Flächeninhalts eines einzelnen Plakats: \(25\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 1000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Gesamtfläche aller 50 Plakate: \(50 \cdot 1000\,\text{cm}^2 = 50\,000\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung der Gesamtfläche in Quadratmeter: Da \(10\,000\,\text{cm}^2 = 1\,\text{m}^2\) entsprechen, ergibt sich \(50\,000\,\text{cm}^2 : 10\,000 = 5\,\text{m}^2\).

Die Plakate bedecken eine Gesamtfläche von \(5\,\text{m}^2\).

- Überlege, aus wie vielen Seiten ein Rechteck besteht und welche Seiten jeweils gleich lang sind. - Wenn du den Umfang kennst, weißt du, wie lang alle Seiten zusammen sind. - Wie viel bleibt vom Umfang übrig, wenn du die beiden bekannten Seiten abziehst? - Wie verteilt sich dieser Rest auf die beiden noch fehlenden Seiten?

1. Bestimmung der Gesamtlänge der beiden bekannten Seiten: \(2 \cdot 8\,\text{m} = 16\,\text{m}\) 2. Berechnung der verbleibenden Länge für die beiden anderen Seiten durch Subtraktion vom Gesamtumfang: \(26\,\text{m} - 16\,\text{m} = 10\,\text{m}\) 3. Da die gegenüberliegenden Seiten in einem Rechteck gleich lang sind, wird die verbleibende Länge halbiert: \(10\,\text{m} : 2 = 5\,\text{m}\)

Die andere Seite ist \(5\,\text{m}\) lang.

- Überlege, welche Eigenschaften die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks im Koordinatensystem haben müssen. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Werte von Punkten zusammen, die senkrecht oder waagerecht übereinander liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.

1. Um ein Rechteck zu bilden, muss der Punkt \(D\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(A\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(C\) haben. Daraus ergibt sich \(D(2|4)\). 2. Die Länge der Seite \(AB\) berechnet sich aus der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(7 - 2 = 5\,\text{cm}\). 3. Die Länge der Seite \(BC\) berechnet sich aus der Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(4 - 1 = 3\,\text{cm}\). 4. Der Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks berechnet sich durch Multiplikation der Seitenlängen: \(5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\).

a) \(D(2|4)\) b) \(15\,\text{cm}^2\)

- Überlege dir, wie oft der Überstand zur Länge und zur Breite des Sandkastens hinzugezählt werden muss. - Achte darauf, dass alle Maße in derselben Einheit (zum Beispiel Meter) angegeben sind, bevor du rechnest. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Vergleiche dein Ergebnis am Ende mit der vorgegebenen Länge der Holzleisten.

1. Umrechnung der Einheiten: Die Breite des Überstands beträgt \(10\,\text{cm} = 0{,}10\,\text{m}\). 2. Berechnung der Außenmaße der Sitzkante: Da der Überstand an jeder Seite hinzugefügt wird, vergrößern sich Länge und Breite jeweils um das Doppelte des Überstands. Außenlänge: \(2{,}40\,\text{m} + 0{,}10\,\text{m} + 0{,}10\,\text{m} = 2{,}60\,\text{m}\). Außenbreite: \(1{,}80\,\text{m} + 0{,}10\,\text{m} + 0{,}10\,\text{m} = 2{,}00\,\text{m}\). 3. Berechnung des Umfangs der Außenkante: \(U = 2 \cdot (2{,}60\,\text{m} + 2{,}00\,\text{m}) = 2 \cdot 4{,}60\,\text{m} = 9{,}20\,\text{m}\). 4. Vergleich mit der verfügbaren Länge: Da \(9{,}20\,\text{m} > 9\,\text{m}\) ist, reicht die Länge der Holzleisten nicht aus.

Nein, die Länge von \(9\,\text{m}\) reicht nicht aus, da der äußere Umfang der Sitzkante \(9{,}20\,\text{m}\) beträgt.

- Stell dir vor, jedes Kästchen hat eine Seitenlänge von einer Einheit. - Zähle die Außenkanten der Kästchen für beide Anordnungen. - Beide Figuren verbrauchen den gleichen Platz im Gitter – haben sie deshalb auch den gleichen Außenrand?

1. Bei einer Reihe von \(4\) Kästchen (Seitenlängen \(1\) und \(4\) Einheiten) beträgt der Umfang \(U = 2 \cdot (1 + 4) = 10\) Längeneinheiten. 2. Bei einer quadratischen Anordnung von \(2 \times 2\) Kästchen (Seitenlängen \(2\) und \(2\) Einheiten) beträgt der Umfang \(U = 2 \cdot (2 + 2) = 8\) Längeneinheiten. 3. Schlussfolgerung: Figuren mit dem exakt gleichen Flächeninhalt (hier \(4\) Kästchen) können unterschiedliche Umfänge haben.

a) \(10\) Längeneinheiten b) \(8\) Längeneinheiten c) Figuren mit gleichem Flächeninhalt können verschiedene Umfänge haben.

- Was zeichnet die Seitenlängen eines Quadrats im Vergleich zu einem allgemeinen Rechteck aus? - Wenn du den Flächeninhalt kennst, wie kannst du auf die Länge einer einzelnen Seite schließen? - Wie oft kommt die Seitenlänge im Umfang vor?

1. Bestimmung der Seitenlänge \(a\) des Quadrats: Da beim Quadrat alle Seiten gleich lang sind, gilt \(A = a \cdot a\). Gesucht ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(64\) ergibt. Es ist \(a = 8\,\text{dm}\), da \(8 \cdot 8 = 64\). 2. Berechnung des Umfangs \(U\): Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten, also \(U = 4 \cdot 8\,\text{dm} = 32\,\text{dm}\).

Der Umfang des Quadrats beträgt \(32\,\text{dm}\).

- Welche Zahl musst du mit sich selbst multiplizieren, um auf den Flächeninhalt zu kommen? - Erinnere dich an die Quadratzahlen. Hilft dir \(2 \cdot 2 = 4\) weiter? - Wie oft kommt die Seitenlänge im Umfang vor?

1. Bestimmung der Seitenlänge \(a\) durch die Überlegung, welche Zahl mit sich selbst multipliziert \(400\) ergibt (\(a \cdot a = 400\)): Da \(20 \cdot 20 = 400\), ist \(a = 20\,\text{mm}\). 2. Berechnung des Umfangs \(U\) mit der Formel \(U = 4 \cdot a\): \(U = 4 \cdot 20\,\text{mm} = 80\,\text{mm}\).

a) Die Seitenlänge beträgt \(20\,\text{mm}\). b) Der Umfang beträgt \(80\,\text{mm}\).

- Wandle die gemischte Längenangabe zuerst in die kleinere Einheit um, damit du leichter rechnen kannst. - Wie viele Zentimeter sind ein Dezimeter? - Nutze für den Flächeninhalt die schriftliche Multiplikation, falls du die Quadratzahl von 25 nicht auswendig kennst.

1. Umrechnung der Seitenlänge in eine einheitliche Einheit (\(\text{cm}\)): \(2\,\text{dm } 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs \(U = 4 \cdot a\): \(U = 4 \cdot 25\,\text{cm} = 100\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A = a \cdot a\): \(A = 25\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} = 625\,\text{cm}^2\).

a) Der Umfang beträgt \(100\,\text{cm}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(625\,\text{cm}^2\).

- Berechne zunächst alle fehlenden Felder der Tabelle mit den bekannten Formeln. - Schau dir an, mit welchem Faktor du die Werte von der ersten Spalte (\(3\,\text{dm}\)) multiplizieren musst, um auf die Werte der dritten Spalte (\(9\,\text{dm}\)) zu kommen.

1. Berechnung der Werte: Für \(a=3\,\text{dm}\) ist \(U=12\,\text{dm}\) und \(A=9\,\text{dm}^2\). Für \(a=6\,\text{dm}\) ist \(U=24\,\text{dm}\) und \(A=36\,\text{dm}^2\). Für \(a=9\,\text{dm}\) ist \(U=36\,\text{dm}\) und \(A=81\,\text{dm}^2\). 2. Analyse der Verdreifachung (\(3\,\text{dm}\) zu \(9\,\text{dm}\)): Der Umfang verdreifacht sich (\(12\,\text{dm} \cdot 3 = 36\,\text{dm}\)). Der Flächeninhalt verneunfacht sich (\(9\,\text{dm}^2 \cdot 9 = 81\,\text{dm}^2\)).

Tabelle: \(a = 3\,\text{dm} \implies U = 12\,\text{dm}, A = 9\,\text{dm}^2\) \(a = 6\,\text{dm} \implies U = 24\,\text{dm}, A = 36\,\text{dm}^2\) \(a = 9\,\text{dm} \implies U = 36\,\text{dm}, A = 81\,\text{dm}^2\) Beobachtung: Bei Verdreifachung der Seitenlänge verdreifacht sich der Umfang, aber der Flächeninhalt wird 9-mal so groß.

- Stelle dir vor, wie sich das Rechteck verändert, wenn du es in eine Richtung ziehst oder stauchst. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Malaufgabe, wenn du einen der Faktoren veränderst? - Du kannst dir auch Beispielzahlen für die Seitenlängen überlegen, die zusammen \(48\,\text{cm}^2\) ergeben (zum Beispiel \(8\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\)), und die Rechnung damit ausprobieren.

1. Da der Flächeninhalt \(A = l \cdot b\) proportional zu jeder Seitenlänge ist, führt eine Verdreifachung einer Seite bei gleichbleibender anderer Seite zur Verdreifachung des Flächeninhalts: \(48\,\text{cm}^2 \cdot 3 = 144\,\text{cm}^2\). 2. Eine Verdoppelung der einen Seite (\(\cdot 2\)) und eine Halbierung der anderen Seite (\(: 2\)) heben sich in der Wirkung auf den Flächeninhalt gegenseitig auf. Der Flächeninhalt bleibt gleich: \(48\,\text{cm}^2 \cdot 2 : 2 = 48\,\text{cm}^2\). 3. Die Halbierung beider Seitenlängen führt dazu, dass der Flächeninhalt zweimal halbiert wird (also durch 4 geteilt wird): \(48\,\text{cm}^2 : 2 : 2 = 12\,\text{cm}^2\).

1. \(144\,\text{cm}^2\) 2. \(48\,\text{cm}^2\) 3. \(12\,\text{cm}^2\)

- Überlege dir, wie groß die Summe aus nur einer Länge und einer Breite im Vergleich zum gesamten Umfang sein muss. - Achte genau auf die Maßeinheiten – passen sie zu einer Länge? - Rechne Millimeter in Zentimeter um, um die Größe besser einschätzen zu können. - Kann eine einzelne Seite genauso lang oder länger sein als der halbe Umfang?

1. Überprüfung von (1): Die Summe aus einer Länge und einer Breite entspricht dem halben Umfang (\(15\,\text{cm}\)). Da die Länge \(22\,\text{cm}\) allein schon größer als der halbe Umfang ist (oder die Summe \(22\,\text{cm} + 8\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\) bereits den gesamten Umfang ergibt), ist dieser Wert falsch. 2. Überprüfung von (2): Die Angabe erfolgt in der Einheit Quadratzentimeter (\(\text{cm}^2\)). Dies ist eine Einheit für den Flächeninhalt, nicht für eine Streckenlänge. 3. Überprüfung von (3): Bei \(U=30\,\text{cm}\) und einer Seite von \(8\,\text{cm}\) muss die andere Seite \(7\,\text{cm}\) lang sein. \(40\,\text{mm}=4\,\text{cm}<7\,\text{cm}\); daher ist der Wert falsch.

(1) Falsch, da die Länge allein nicht größer oder gleich dem halben Umfang (\(15\,\text{cm}\)) sein kann. (2) Falsch, da Quadratzentimeter eine Flächeneinheit ist. (3) Falsch, da \(40\,\text{mm}=4\,\text{cm}\) kleiner als die erforderlichen \(7\,\text{cm}\) sind.

- Wenn du den Umfang halbierst, erhältst du die Summe aus einer Länge und einer Breite. - Wenn zwei gleich lange Seiten zusammen bereits länger als der gesamte Umfang sind, kann die angegebene Seitenlänge stimmen? - Wie viel Platz bleibt für die anderen Seiten übrig, wenn eine Seite schon einen bestimmten Wert hat?

1. Berechnung der Breite: Der halbe Umfang beträgt \(22\,\text{m} : 2 = 11\,\text{m}\). Da die Länge \(6\,\text{m}\) beträgt, ergibt sich die Breite durch \(11\,\text{m} - 6\,\text{m} = 5\,\text{m}\). 2. Begründung für \(16\,\text{m}\): Wenn eine Breite allein schon \(16\,\text{m}\) lang wäre, dann wären zwei Breiten zusammen bereits \(32\,\text{m}\) lang. Das ist bereits deutlich mehr als der gesamte Umfang von \(22\,\text{m}\), ohne dass die Längen überhaupt berücksichtigt wurden.

a) Die Breite beträgt \(b = 5\,\text{m}\). b) Eine Breite von \(16\,\text{m}\) ist unmöglich, da zwei solche Seiten zusammen (\(32\,\text{m}\)) bereits den gesamten Umfang (\(22\,\text{m}\)) überschreiten würden.

- Wenn du die Fläche und eine Seite kennst, wie findest du die andere Seite? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Multiplikation? - Wie berechnet man den Weg einmal rund um das Rechteck, wenn man nun beide Seitenlängen kennt?

1. Bestimmung der fehlenden Seitenlänge \(b\) durch Division des Flächeninhalts durch die gegebene Seite \(a\): \(72\,\text{cm}^2 : 9\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs mit der Formel \(U = 2 \cdot (a + b)\): \(2 \cdot (9\,\text{cm} + 8\,\text{cm}) = 2 \cdot 17\,\text{cm} = 34\,\text{cm}\).

Die andere Seite ist \(8\,\text{cm}\) lang. Der Umfang des Rechtecks beträgt \(34\,\text{cm}\).

- Wie findest du die fehlende Seite heraus, wenn du die Fläche und eine Seite kennst? - Berechne zuerst für beide Teppiche den Umfang einzeln. - Was bedeutet „Differenz“ in der Mathematik?

1. Berechnung der Breite von Teppich A: \(12 : 4 = 3\,\text{m}\). Umfang A: \(2 \cdot (4 + 3) = 14\,\text{m}\). 2. Berechnung der Breite von Teppich B: \(12 : 6 = 2\,\text{m}\). Umfang B: \(2 \cdot (6 + 2) = 16\,\text{m}\). 3. Vergleich der Umfänge: \(16\,\text{m} > 14\,\text{m}\). Teppich B hat den größeren Umfang. 4. Berechnung der Differenz: \(16 - 14 = 2\,\text{m}\).

Teppich B hat den größeren Umfang. Der Unterschied beträgt \(2\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, welche Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Rechtecks gelten. - Wie kannst du die Formeln umstellen, wenn eine Seite gesucht ist? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen müssen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Umrechnungszahlen für Flächeneinheiten (\(\text{m}^2\), \(\text{a}\), \(\text{ha}\)).

1. Berechnung der Breite \(b = A : a = 96\,\text{cm}^2 : 12\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Berechnung des Umfangs \(U = 2 \cdot (12\,\text{cm} + 8\,\text{cm}) = 40\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Breite \(b = (U : 2) - a = (140\,\text{m} : 2) - 25\,\text{m} = 70\,\text{m} - 25\,\text{m} = 45\,\text{m}\). Berechnung des Flächeninhalts \(A = 25\,\text{m} \cdot 45\,\text{m} = 1125\,\text{m}^2\). 3. Umrechnung des Flächeninhalts \(A = 15\,\text{a} = 1500\,\text{m}^2\). Berechnung der Breite \(b = 1500\,\text{m}^2 : 50\,\text{m} = 30\,\text{m}\). Berechnung des Umfangs \(U = 2 \cdot (50\,\text{m} + 30\,\text{m}) = 160\,\text{m}\). 4. Umrechnung des Umfangs \(U = 1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\). Berechnung der Breite \(b = (1000\,\text{m} : 2) - 200\,\text{m} = 500\,\text{m} - 200\,\text{m} = 300\,\text{m}\). Berechnung des Flächeninhalts \(A = 200\,\text{m} \cdot 300\,\text{m} = 60\,000\,\text{m}^2 = 6\,\text{ha}\).

1. \(b = 8\,\text{cm}\), \(U = 40\,\text{cm}\); 2. \(b = 45\,\text{m}\), \(A = 1125\,\text{m}^2\); 3. \(b = 30\,\text{m}\), \(U = 160\,\text{m}\); 4. \(b = 300\,\text{m}\), \(A = 60\,000\,\text{m}^2\) (oder \(6\,\text{ha}\)).

- Achte darauf, dass alle Angaben in der gleichen Einheit (zum Beispiel Zentimeter) vorliegen, bevor du rechnest. - Wenn du den Umfang halbierst, erhältst du die Summe von einer Länge und einer Breite. - Wie kannst du die fehlende Seite finden, wenn du die andere Seite und die halbe Summe kennst? - Wie berechnet man die Fläche bei einem Rechteck?

1. Umrechnung des Umfangs in Zentimeter: \(U = 400\,\text{mm} = 40\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Breite \(b\) über die Umfangsformel \(U = 2 \cdot (a + b)\): \(40\,\text{cm} = 2 \cdot (12\,\text{cm} + b)\). 3. Halbieren des Umfangs ergibt die Summe aus Länge und Breite: \(20\,\text{cm} = 12\,\text{cm} + b\). 4. Berechnung der Breite: \(b = 20\,\text{cm} - 12\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = a \cdot b = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\).

Die Breite des Beets beträgt \(8\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(96\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie berechnet man eine Seite eines Rechtecks, wenn der Flächeninhalt und die andere Seite bekannt sind? - Welche Formel nutzt du für den Umfang eines Rechtecks?

1. Umrechnung der gegebenen Seitenlänge in Zentimeter: \(a = 6\,\text{dm} = 60\,\text{cm}\). 2. Berechnung der fehlenden Seite \(b\) durch Division des Flächeninhalts durch die Seite \(a\): \(b = 480\,\text{cm}^2 : 60\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs mit der Formel \(U = 2 \cdot (a + b)\): \(U = 2 \cdot (60\,\text{cm} + 8\,\text{cm}) = 2 \cdot 68\,\text{cm} = 136\,\text{cm}\).

\(b = 8\,\text{cm}\) \(U = 136\,\text{cm}\)

- Bevor du rechnest, solltest du prüfen, ob die Längenangaben die gleiche Einheit haben. - Wie hängen der Umfang und die Summe der beiden Seitenlängen zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt die Flächenberechnung um, wenn eine Seite gesucht ist? - Erinnere dich an die Formeln für den Umfang \(U = 2 \cdot (a + b)\) und den Flächeninhalt \(A = a \cdot b\).

1. Rechteck 1: Umrechnung der Seite \(b\) in \(\text{cm}\): \(50\,\text{mm} = 5\,\text{cm}\). Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (12\,\text{cm} + 5\,\text{cm}) = 34\,\text{cm}\). Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Rechteck 2: Berechnung der halben Umfangslänge: \(U : 2 = 17\,\text{m}\). Berechnung der Seite \(b\): \(17\,\text{m} - 7\,\text{m} = 10\,\text{m}\). Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 7\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 70\,\text{m}^2\). 3. Rechteck 3: Umrechnung der Seite \(b\) in \(\text{dm}\): \(40\,\text{cm} = 4\,\text{dm}\). Berechnung der Seite \(a\): \(12\,\text{dm}^2 : 4\,\text{dm} = 3\,\text{dm}\). Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (3\,\text{dm} + 4\,\text{dm}) = 14\,\text{dm}\).

Rechteck 1: \(U = 34\,\text{cm}\), \(A = 60\,\text{cm}^2\); Rechteck 2: \(b = 10\,\text{m}\), \(A = 70\,\text{m}^2\); Rechteck 3: \(a = 3\,\text{dm}\), \(U = 14\,\text{dm}\).

- Überlege zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet. - Wie viele Quadratmeter stecken in einem Hektar? Nutze die Umrechnungszahl 100 für die Einheiten zwischen Quadratmeter, Ar und Hektar. - Wenn du die Gesamtfläche und die Größe einer kleinen Teilfläche kennst, welche Rechenart hilft dir, die Anzahl zu bestimmen?

1. Berechnung des Flächeninhalts in Quadratmetern: \(A = 1500\,\text{m} \cdot 200\,\text{m} = 300\,000\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung in Hektar: Da \(10\,000\,\text{m}^2 = 1\,\text{ha}\) sind, ergibt sich \(300\,000\,\text{m}^2 : 10\,000 = 30\,\text{ha}\). 3. Berechnung der Anzahl der Parzellen: \(300\,000\,\text{m}^2 : 500\,\text{m}^2 = 600\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{ha}\). b) Es entstehen \(600\) Parzellen.

- Wandle die Flächenangabe von Hektar zuerst in Quadratmeter um, damit alle Einheiten zusammenpassen. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. Wie findet man eine Seite, wenn die Fläche und die andere Seite bekannt sind? - Was ist der Unterschied zwischen dem Flächeninhalt und dem Umfang einer Figur?

1. Umrechnung des Flächeninhalts in Quadratmeter: \(8\,\text{ha} = 80\,000\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Breite: Da \(A = a \cdot b\), folgt \(b = A : a\). Also \(80\,000\,\text{m}^2 : 400\,\text{m} = 200\,\text{m}\). Die Breite beträgt \(200\,\text{m}\). 3. Berechnung des Umfangs für den Zaun: \(U = 2 \cdot (400\,\text{m} + 200\,\text{m}) = 2 \cdot 600\,\text{m} = 1200\,\text{m}\).

a) Das Feld ist \(200\,\text{m}\) breit. b) Es werden \(1200\,\text{m}\) Zaun benötigt.

- Achte darauf, dass die Länge und die Breite in der gleichen Einheit (Meter) vorliegen, bevor du rechnest. - Wie viele Meter sind ein Kilometer? - Vergleiche am Ende die beiden Flächenangaben in der Einheit Hektar.

1. Umrechnung der Länge in Meter: \(4\,\text{km} = 4000\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Straße: \(4000\,\text{m} \cdot 30\,\text{m} = 120\,000\,\text{m}^2\). 3. Umrechnung in Hektar: \(120\,000\,\text{m}^2 : 10\,000 = 12\,\text{ha}\). 4. Vergleich der Flächen: \(15\,\text{ha} > 12\,\text{ha}\). Die Fläche reicht aus. 5. Berechnung des Unterschieds: \(15\,\text{ha} - 12\,\text{ha} = 3\,\text{ha}\).

a) Es werden \(12\,\text{ha}\) Waldfläche gerodet. b) Ja, die Fläche reicht aus. Die neu aufgeforstete Fläche ist um \(3\,\text{ha}\) größer als die gerodete Fläche.

- Was passiert mit der Länge eines Rechtecks, wenn die Breite immer kleiner wird, die Fläche aber gleich bleiben muss? - Überlege dir ein Beispiel mit einer sehr kleinen Breite, zum Beispiel \(10\,\text{cm}\) oder \(1\,\text{cm}\). - Denk daran, alle Maße in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du rechnest. - Wie berechnet man den Umfang, wenn man die beiden Seitenlängen kennt?

1. Um zu zeigen, dass ein Umfang von mehr als \(100\,\text{m}\) möglich ist, wählt man eine sehr kurze Seite, zum Beispiel \(a = 10\,\text{cm}\). 2. Umrechnung der Fläche in \(\text{cm}^2\): \(12\,\text{m}^2 = 120\,000\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der zweiten Seite \(b\): \(120\,000\,\text{cm}^2 : 10\,\text{cm} = 12\,000\,\text{cm}\). Dies entspricht \(120\,\text{m}\). 4. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (10\,\text{cm} + 12\,000\,\text{cm}) = 24\,020\,\text{cm}\). 5. Umrechnung des Umfangs in Meter: \(24\,020\,\text{cm} = 240{,}2\,\text{m}\). 6. Da \(240{,}2\,\text{m} > 100\,\text{m}\), ist es möglich. Ein Rechteck mit den Seiten \(10\,\text{cm}\) und \(120\,\text{m}\) erfüllt die Bedingung.

Ja, das ist möglich. Wählt man zum Beispiel eine Breite von \(10\,\text{cm}\) (\(0{,}1\,\text{m}\)), so muss die Länge \(120\,\text{m}\) betragen, damit der Flächeninhalt \(12\,\text{m}^2\) ergibt. Der Umfang beträgt dann \(2 \cdot (120\,\text{m} + 0{,}1\,\text{m}) = 240{,}2\,\text{m}\), was deutlich mehr als \(100\,\text{m}\) ist.

- Wenn der Umfang feststeht, ist auch die Summe aus Länge und Breite fest vorgegeben. - Probiere aus, was passiert, wenn eine Seite des Rechtecks extrem kurz ist, zum Beispiel nur wenige Zentimeter. - Wie verändert sich die Fläche, wenn das Rechteck immer „dünner“ wird? - Vergleiche dein Ergebnis in \(\text{cm}^2\) mit dem Wert von \(1\,\text{m}^2\) in \(\text{cm}^2\).

1. Der Umfang beträgt \(U = 2 \cdot (a + b) = 20\,\text{m}\). Daraus folgt für die Summe der Seiten: \(a + b = 10\,\text{m}\). 2. Wähle eine sehr kurze Seite \(a\), zum Beispiel \(a = 5\,\text{cm}\) (entspricht \(0{,}05\,\text{m}\)). 3. Die andere Seite \(b\) ist dann \(10\,\text{m} - 0{,}05\,\text{m} = 9{,}95\,\text{m}\) (entspricht \(995\,\text{cm}\)). 4. Berechnung des Flächeninhalts in \(\text{cm}^2\): \(A = 5\,\text{cm} \cdot 995\,\text{cm} = 4\,975\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich mit \(1\,\text{m}^2\): Da \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\) ist, sind \(4\,975\,\text{cm}^2\) kleiner als \(1\,\text{m}^2\). 6. Somit ist es möglich, ein solch extrem schmales Beet anzulegen.

Ja, das ist möglich. Wenn man zum Beispiel eine Seite nur \(5\,\text{cm}\) lang macht, muss die andere Seite \(995\,\text{cm}\) lang sein, damit der Umfang \(20\,\text{m}\) beträgt. Die Fläche wäre dann \(5\,\text{cm} \cdot 995\,\text{cm} = 4\,975\,\text{cm}^2\). Da \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\) ist, ist dieses Beet kleiner als \(1\,\text{m}^2\).

- Wie oft passt die Breite in den halben Umfang, wenn die Länge fünfmal so groß ist? - Überlege dir, aus wie vielen gleich langen Teilstücken der gesamte Umfang besteht. - Welche Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks kennst du?

1. Da die Länge das Fünffache der Breite ist, besteht der halbe Umfang (\(48\,\text{m}\)) aus insgesamt sechs Breitenanteilen (\(1 + 5 = 6\)). 2. Berechnung der Breite: \(48\,\text{m} : 6 = 8\,\text{m}\). 3. Berechnung der Länge: \(8\,\text{m} \cdot 5 = 40\,\text{m}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(40\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 320\,\text{m}^2\).

Die Breite beträgt \(8\,\text{m}\), die Länge beträgt \(40\,\text{m}\) und der Flächeninhalt beträgt \(320\,\text{m}^2\).

- Überlege zuerst, wie groß das Rechteck ist, das durch den Zaun entsteht. - Denk daran, dass der Abstand an allen vier Seiten des Gartens eingehalten wird. - Wie unterscheiden sich die Formeln für die Länge der Umrandung und die Größe der eingeschlossenen Fläche?

1. Ermittlung der Seitenlängen der umzäunten Fläche: Der Abstand von \(2\,\text{m}\) muss auf beiden Seiten addiert werden. Länge: \(15\,\text{m} + 2 \cdot 2\,\text{m} = 19\,\text{m}\). Breite: \(10\,\text{m} + 2 \cdot 2\,\text{m} = 14\,\text{m}\). 2. Berechnung des Zaunumfangs: \(U = 2 \cdot (19\,\text{m} + 14\,\text{m}) = 2 \cdot 33\,\text{m} = 66\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = l \cdot b = 19\,\text{m} \cdot 14\,\text{m} = 266\,\text{m}^2\).

a) Der Zaun muss \(66\,\text{m}\) lang sein. b) Der Flächeninhalt beträgt \(266\,\text{m}^2\).

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert das Ergebnis der Fläche liefert. - Was bedeutet der Begriff „umschließt“ für die Berechnung? - Wie oft kommt die Seitenlänge im Umfang eines Quadrats vor?

1. Bestimmung der Seitenlänge \(a\) durch die Überlegung, welche Zahl mit sich selbst multipliziert \(625\) ergibt: \(25 \cdot 25 = 625\), also ist \(a = 25\,\text{m}\). 2. Berechnung des Umfangs (Zaunlänge) durch Multiplikation der Seitenlänge mit 4: \(4 \cdot 25\,\text{m} = 100\,\text{m}\).

Die Seitenlänge beträgt \(25\,\text{m}\) und die Länge des Zauns beträgt \(100\,\text{m}\).

- Wie berechnet man die fehlende Seite bei einem Rechteck, wenn der Flächeninhalt und eine Seite bekannt sind? - Was bedeutet „vollständig umschließen“ im mathematischen Sinne für eine Fläche? - Welche Maßeinheiten müssen das Ergebnis für die Breite und den Umfang haben?

1. Bestimmung der Breite durch Division des Flächeninhalts durch die bekannte Länge: \(b = 450\,\text{m}^2 : 25\,\text{m} = 18\,\text{m}\). 2. Berechnung des Umfangs (Zaunlänge) durch Addition aller vier Seiten: \(U = 2 \cdot (25\,\text{m} + 18\,\text{m}) = 2 \cdot 43\,\text{m} = 86\,\text{m}\).

a) Das Grundstück ist \(18\,\text{m}\) breit. b) Der Zaun ist \(86\,\text{m}\) lang.

- Überlege zuerst, wie lang eine Seite des Quadrats ist, wenn du den gesamten Umfang kennst. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats? - Wenn das Rechteck denselben Flächeninhalt hat, wie findest du dann die fehlende Seite? - Berechne zum Schluss beide Umfänge und vergleiche sie.

1. Seitenlänge des Quadrats berechnen: \(48\,\text{m} : 4 = 12\,\text{m}\). 2. Flächeninhalt des Quadrats (und damit des Rechtecks) berechnen: \(12\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 144\,\text{m}^2\). 3. Länge des Rechtecks bestimmen: \(144\,\text{m}^2 : 9\,\text{m} = 16\,\text{m}\). 4. Umfang des Rechtecks berechnen: \(2 \cdot (16\,\text{m} + 9\,\text{m}) = 50\,\text{m}\). 5. Differenz der Umfänge ermitteln: \(50\,\text{m} - 48\,\text{m} = 2\,\text{m}\).

Der Umfang des neuen Beetes ist um \(2\,\text{m}\) größer.

- Wie hängen Umfang und Seitenlängen bei einem Rechteck zusammen? - Wenn du eine Seite kennst, wie kannst du die andere Seite über den Umfang berechnen? - Was ist das Besondere an den Seiten eines Quadrats im Vergleich zu einem allgemeinen Rechteck? - Achte darauf, erst die Seitenlängen zu bestimmen, bevor du die Flächeninhalte berechnest.

1. Berechnung der zweiten Seite für Teil a): \(U = 2 \cdot (a + b) \implies 400 = 2 \cdot (120 + b) \implies 200 = 120 + b \implies b = 80\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts für a): \(A_a = 120\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 9\,600\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Seitenlänge für das Quadrat in b): \(a = 400\,\text{m} : 4 = 100\,\text{m}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts für b): \(A_b = 100\,\text{m} \cdot 100\,\text{m} = 10\,000\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Differenz für c): \(10\,000\,\text{m}^2 - 9\,600\,\text{m}^2 = 400\,\text{m}^2\).

a) \(9\,600\,\text{m}^2\) b) \(10\,000\,\text{m}^2\) c) Der Unterschied beträgt \(400\,\text{m}^2\).

- Welches Maß der Banner bestimmt, wie viel Platz sie nebeneinander an der Wand verbrauchen? - Wie rechnet man Zentimeter in Meter um? - Für die Gesamtfläche kannst du erst die Fläche eines Banners bestimmen und das Ergebnis vervielfachen. - Wie viele Quadratzentimeter ergeben einen Quadratmeter?

1. Berechnung der Gesamtlänge der Wand: Da die Banner nebeneinander hängen, addieren sich die Breiten. \(12 \cdot 80\,\text{cm} = 960\,\text{cm}\). Umrechnung in Meter: \(960\,\text{cm} = 9{,}6\,\text{m}\). 2. Berechnung der Fläche eines Banners: \(250\,\text{cm} \cdot 80\,\text{cm} = 20\,000\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Gesamtfläche für 12 Banner: \(12 \cdot 20\,000\,\text{cm}^2 = 240\,000\,\text{cm}^2\). 4. Umrechnung in Quadratmeter: Da \(10\,000\,\text{cm}^2 = 1\,\text{m}^2\) sind, ergibt sich \(240\,000 : 10\,000 = 24\,\text{m}^2\).

a) Es werden \(9{,}6\,\text{m}\) der Wand verdeckt. b) Die gesamte Stofffläche beträgt \(24\,\text{m}^2\).

- Achte darauf, welches Maß (Länge oder Breite) für die Gesamtlänge der Reihe entscheidend ist. - Wie oft passt die Länge eines Stabs in die gesamte Bordüre? - Kannst du das Ergebnis von Teil c) auch in Metern und Zentimetern angeben?

1. Berechnung der Fläche eines Rechtecks: \(A = 22\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 132\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Länge für 15 Stäbe: Da sie der Länge nach liegen, addieren sich die Längen von \(22\,\text{cm}\). \(15 \cdot 22\,\text{cm} = 330\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Länge für 80 Stäbe: \(80 \cdot 22\,\text{cm} = 1\,760\,\text{cm}\). Dies entspricht \(17\,\text{m}\) und \(60\,\text{cm}\).

a) Die Fläche eines Holzstabs beträgt \(132\,\text{cm}^2\). b) Die Gesamtlänge der Bordüre beträgt \(330\,\text{cm}\) (oder \(3{,}3\,\text{m}\)). c) Die Reihe aus einem ganzen Paket wäre \(1\,760\,\text{cm}\) (oder \(17{,}6\,\text{m}\)) lang.

- Was bedeutet es für die Seitenlänge, wenn eine Zahl mit sich selbst multipliziert den Flächeninhalt ergibt? - Wenn ein Rand um die ganze Fläche geht, wie oft musst du die Breite des Randes von der ursprünglichen Länge abziehen? - Wie kannst du die Fläche des Randes bestimmen, wenn du die Gesamtfläche und die Innenfläche kennst? - Überlege dir, wie man den Preis für eine bestimmte Fläche berechnet.

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\): Aus \(a \cdot a = 2\,500\,\text{m}^2\) folgt \(a = 50\,\text{m}\). 2. Bestimmung der inneren Maße: Da der Rand auf jeder Seite \(2\,\text{m}\) breit ist, verringert sich die Seitenlänge um \(2 \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}\). Die neue Seitenlänge beträgt \(50\,\text{m} - 4\,\text{m} = 46\,\text{m}\). 3. Berechnung der verbleibenden Wiesenfläche: \(46\,\text{m} \cdot 46\,\text{m} = 2\,116\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Heckenfläche: \(2\,500\,\text{m}^2 - 2\,116\,\text{m}^2 = 384\,\text{m}^2\). 5. Berechnung des finanziellen Verlusts: \(384 \cdot 0{,}20\,\text{€} = 76{,}80\,\text{€}\).

a) Die Seitenlänge beträgt \(50\,\text{m}\). b) Es bleiben \(2\,116\,\text{m}^2\) als Wiese übrig. c) Der finanzielle Verlust beträgt \(76{,}80\,\text{€}\).

- Wie groß ist die Fläche des gesamten Quadrats? - Wenn man von einer Seite \(1\,\text{m}\) am linken und \(1\,\text{m}\) am rechten Rand wegnimmt, wie lang ist dann das Stück in der Mitte? - Kannst du die Fläche des Beetes finden, indem du die Fläche des kleinen Quadrats von der des großen Quadrats abziehst? - Wie viele Blumen kommen auf die berechnete Fläche?

1. Berechnung des Flächeninhalts des gesamten Rasens: \(10\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung der Seitenlänge der verbleibenden Rasenfläche im Inneren: Da der Rand \(1\,\text{m}\) breit ist, verringert sich die Seitenlänge auf beiden Seiten um \(1\,\text{m}\) (\(10\,\text{m} - 1\,\text{m} - 1\,\text{m} = 8\,\text{m}\)). 3. Berechnung des Flächeninhalts der inneren Rasenfläche: \(8\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 64\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Beetfläche durch Subtraktion: \(100\,\text{m}^2 - 64\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Gesamtzahl der Blumen: \(36\,\text{m}^2 \cdot 8\,\text{Blumen}/\text{m}^2 = 288\,\text{Blumen}\).

Es müssen insgesamt \(288\) Blumen gekauft werden.

- Überlege dir, wie lang und breit die gesamte Fläche inklusive des Weges ist. Denke daran, dass der Weg auf jeder Seite der Terrasse dazukommt. - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks? - Wenn du die Fläche der Terrasse von der Gesamtfläche abziehst, was bleibt dann übrig? - Wie rechnet man von der Fläche auf den Preis um?

1. Berechnung der Maße der gesamten Fläche (Terrasse plus Weg): Die Länge beträgt \(8\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} = 12\,\text{m}\), die Breite beträgt \(5\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} = 9\,\text{m}\). 2. Berechnung des gesamten Flächeninhalts: \(12\,\text{m} \cdot 9\,\text{m} = 108\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der Terrasse: \(8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des Weges: \(108\,\text{m}^2 - 40\,\text{m}^2 = 68\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Gesamtkosten: \(68\,\text{m}^2 \cdot 15\,\text{€}/\text{m}^2 = 1\,020\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten für die Steinplatten betragen \(1\,020\,\text{€}\).

- Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats? - Kannst du dir vorstellen, wie viele kleine Quadrate in einer Reihe nebeneinander auf das große Quadrat passen? - Wie oft passt die kleine Fläche in die große Fläche?

1. Berechnung des Flächeninhalts eines Aufklebers: \(10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des gesamten Plakats: \(60\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} = 3\,600\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Anzahl der Aufkleber durch Division der Gesamtfläche durch die Einzelfläche: \(3\,600 : 100 = 36\). Alternativer Weg für b): Bestimmung, wie viele Aufkleber entlang einer Seite passen (\(60 : 10 = 6\)) und Quadrieren dieser Anzahl (\(6 \cdot 6 = 36\)).

a) Ein Aufkleber hat einen Flächeninhalt von \(100\,\text{cm}^2\). b) Es werden insgesamt \(36\) Aufkleber benötigt.

- Wie viele Quadratmeter stecken in einem Ar? - Wenn du den Flächeninhalt eines Quadrats kennst, wie findest du dann die Länge einer einzelnen Seite heraus? - Überlege dir, wie oft die Seitenlänge in den Umfang eines Quadrats eingeht.

1. Umrechnung des Flächeninhalts von Ar in Quadratmeter: \(100\,\text{a} = 10\,000\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung der Seitenlänge \(a\) des Quadrats durch die Überlegung, welche Zahl mit sich selbst multipliziert \(10\,000\) ergibt: \(a = 100\,\text{m}\). 3. Berechnung des Umfangs mit der Formel \(U = 4 \cdot a\): \(4 \cdot 100\,\text{m} = 400\,\text{m}\).

Der Umfang des Feldes beträgt \(400\,\text{m}\).

- Welche zwei ganzen Zahlen ergeben miteinander multipliziert 24? - Suche systematisch nach allen Teilerpaaren der Zahl 24. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man die beiden Seitenlängen kennt? - Vergleiche deine Ergebnisse: Welches Rechteck ist eher lang und schmal, welches eher kompakt?

1. Finden aller Teilerpaare der Zahl \(24\), da das Produkt der Seitenlängen den Flächeninhalt \(A = 24\,\text{m}^2\) ergeben muss. 2. Berechnung des Umfangs \(U = 2 \cdot (l + b)\) für jedes Paar: - \(1\,\text{m}\) und \(24\,\text{m} \implies U = 2 \cdot (1\,\text{m} + 24\,\text{m}) = 50\,\text{m}\) - \(2\,\text{m}\) und \(12\,\text{m} \implies U = 2 \cdot (2\,\text{m} + 12\,\text{m}) = 28\,\text{m}\) - \(3\,\text{m}\) und \(8\,\text{m} \implies U = 2 \cdot (3\,\text{m} + 8\,\text{m}) = 22\,\text{m}\) - \(4\,\text{m}\) und \(6\,\text{m} \implies U = 2 \cdot (4\,\text{m} + 6\,\text{m}) = 20\,\text{m}\) 3. Vergleich der Umfänge: Der kleinste Umfang ist \(20\,\text{m}\). Dies tritt bei den Seitenlängen \(4\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\) auf.

a) Mögliche Maße sind: \(1\,\text{m} \times 24\,\text{m}\), \(2\,\text{m} \times 12\,\text{m}\), \(3\,\text{m} \times 8\,\text{m}\) und \(4\,\text{m} \times 6\,\text{m}\). b) Die Umfänge sind: \(50\,\text{m}\), \(28\,\text{m}\), \(22\,\text{m}\) und \(20\,\text{m}\). c) Bei den Maßen \(4\,\text{m}\) und \(6\,\text{m}\) ist der Umfang am kleinsten.

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn zwei Figuren den gleichen Umfang haben? - Bestimme zuerst den Umfang des Quadrats. - Aus welchen Seiten setzt sich der Umfang eines Rechtecks zusammen? - Wenn du den halben Umfang kennst, wie kommst du dann auf die fehlende Seite?

1. Berechnung des Umfangs des Quadrats: \(U = 4 \cdot 8\,\text{m} = 32\,\text{m}\). 2. Da das Rechteck denselben Umfang hat, beträgt die Summe aus Länge und Breite die Hälfte des Umfangs: \(32\,\text{m} : 2 = 16\,\text{m}\). 3. Subtraktion der bekannten Breite ergibt die gesuchte Länge: \(l = 16\,\text{m} - 6\,\text{m} = 10\,\text{m}\).

Der Platz ist \(10\,\text{m}\) lang.

- Erinnere dich an die Formeln für Umfang und Fläche beim Rechteck. - Was ist das Besondere an den Seitenlängen eines Quadrats? - Wenn der Umfang gleich bleibt, verteilt sich die Gesamtlänge des Zauns auf vier gleiche Seiten. - Vergleiche die beiden Ergebnisse für die Fläche am Ende direkt miteinander.

1. Berechnung des ursprünglichen Umfangs: \(2 \cdot (12\,\text{m} + 8\,\text{m}) = 40\,\text{m}\). 2. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts: \(12\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 96\,\text{m}^2\). 3. Bestimmung der Seitenlänge des Quadrats bei gleichem Umfang: \(40\,\text{m} : 4 = 10\,\text{m}\). 4. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(10\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\). 5. Vergleich: Das quadratische Gehege ist um \(4\,\text{m}^2\) größer (\(100\,\text{m}^2 - 96\,\text{m}^2 = 4\,\text{m}^2\)).

a) Der Umfang beträgt \(40\,\text{m}\) und der Flächeninhalt \(96\,\text{m}^2\). b) Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(10\,\text{m}\) und der Flächeninhalt \(100\,\text{m}^2\). Das Gehege ist nun um \(4\,\text{m}^2\) größer.

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt für das Rechteck und das Quadrat separat. - Was ist die gesamte Fläche, die mit Matten bedeckt werden soll? - Wenn eine Matte eine bestimmte Fläche füllt, wie oft passt diese Fläche in die Gesamtfläche hinein?

1. Berechnung der ersten Rechtecksfläche: \(A_1 = 12\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der quadratischen Fläche: \(A_2 = 6\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 36\,\text{m}^2\). 3. Ermittlung der benötigten Gesamtfläche: \(A_{\text{Gesamt}} = 60\,\text{m}^2 + 36\,\text{m}^2 = 96\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Mattenanzahl: \(96\,\text{m}^2 : 4\,\text{m}^2/\text{Matte} = 24\,\text{Matten}\).

Es werden insgesamt \(24\) Matten benötigt.

- Suche nach Zahlen, deren Produkt 24 ergibt. - Überlege dir für den zweiten Teil ein konkretes Beispiel mit Zahlen aus Aufgabenteil a). - Was passiert mit dem Ergebnis einer Malaufgabe, wenn man eine Zahl verdoppelt und die andere halbiert?

1. Finden von ganzzahligen Faktorenpaaren für die Zahl 24: Mögliche Paare \((Länge, Breite)\) sind \((24\,\text{m}, 1\,\text{m})\), \((12\,\text{m}, 2\,\text{m})\), \((8\,\text{m}, 3\,\text{m})\) oder \((6\,\text{m}, 4\,\text{m})\). 2. Untersuchung der Flächenänderung: Sei die ursprüngliche Fläche \(A = a \cdot b = 24\,\text{m}^2\). Die neue Länge ist \(2 \cdot a\) und die neue Breite ist \(b : 2\). 3. Neue Fläche berechnen: \(A_{\text{neu}} = (2 \cdot a) \cdot (b : 2) = (2 : 2) \cdot (a \cdot b) = 1 \cdot 24\,\text{m}^2 = 24\,\text{m}^2\). 4. Ergebnis: Der Flächeninhalt bleibt gleich, da sich die Verdopplung und die Halbierung gegenseitig aufheben.

a) Mögliche Maße sind z. B. \(8\,\text{m} \times 3\,\text{m}\), \(6\,\text{m} \times 4\,\text{m}\) oder \(12\,\text{m} \times 2\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt bleibt gleich (\(24\,\text{m}^2\)), da die Verdopplung der einen Seite durch die Halbierung der anderen Seite genau ausgeglichen wird.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt für eine Platte und dann für alle zusammen. - Achte darauf, dass du beim Vergleichen der Flächen die gleichen Einheiten verwendest. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats?

1. Berechnung des Flächeninhalts einer Steinplatte: \(50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 2000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Gesamtfläche der Terrasse: \(20 \cdot 2000\,\text{cm}^2 = 40\,000\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung der Terrassenfläche in Quadratmeter: \(40\,000\,\text{cm}^2 = 4\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Flächeninhalts der quadratischen Grundfläche des Gartenhauses: \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da beide Flächen \(4\,\text{m}^2\) groß sind, sind sie genau gleich groß.

Beide Flächen sind genau gleich groß (\(4\,\text{m}^2\)).

- Berechne zuerst den Umfang mit den gegebenen Zahlen. - Schreibe dir die neuen Seitenlängen auf, bevor du den zweiten Umfang berechnest. - Schau dir die beiden Endergebnisse genau an. Gibt es eine einfache Beziehung zwischen ihnen?

1. Berechnung des ersten Umfangs: \(U_1 = 2 \cdot (6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) = 20\,\text{cm}\) 2. Bestimmung der neuen Seitenlängen durch Verdopplung: \(a_{neu} = 12\,\text{cm}\) und \(b_{neu} = 8\,\text{cm}\) 3. Berechnung des zweiten Umfangs: \(U_2 = 2 \cdot (12\,\text{cm} + 8\,\text{cm}) = 40\,\text{cm}\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Der neue Umfang ist doppelt so groß wie der ursprüngliche Umfang (\(40\,\text{cm} : 20\,\text{cm} = 2\)).

a) Der Umfang beträgt \(20\,\text{cm}\). b) Der neue Umfang beträgt \(40\,\text{cm}\). c) Wenn die Seitenlängen verdoppelt werden, verdoppelt sich auch der Umfang.

- Aus welchen Teilen setzt sich der Umfang eines Rechtecks zusammen? - Wenn du die Gesamtlänge aller vier Seiten kennst, wie lang sind dann zwei verschiedene Seiten zusammen? - Welche Information fehlt dir noch, um den Flächeninhalt zu berechnen?

1. Berechnung der Summe zweier benachbarter Seiten (halber Umfang): \(28\,\text{m} : 2 = 14\,\text{m}\). 2. Bestimmung der fehlenden Seitenlänge \(b\): Da \(a + b = 14\,\text{m}\) und \(a = 6\,\text{m}\) gegeben ist, folgt \(b = 14\,\text{m} - 6\,\text{m} = 8\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\): \(A = 6\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Beets beträgt \(48\,\text{m}^2\).

- Wie kannst du von einem bekannten Umfang auf die Seitenlänge schließen? - Welche Zahl musst du mit sich selbst multiplizieren, um \(100\) zu erhalten? - Notiere dir für beide Quadrate zuerst die Seitenlänge, um sie besser vergleichen zu können.

1. Quadrat A: Aus \(U = 20\,\text{m}\) folgt die Seitenlänge \(a = 20\,\text{m} : 4 = 5\,\text{m}\). Der Flächeninhalt ist \(A = 5\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 25\,\text{m}^2\). 2. Quadrat B: Gesucht ist eine Zahl \(a\), die mit sich selbst multipliziert \(100\) ergibt. Da \(10 \cdot 10 = 100\), ist die Seitenlänge \(a = 10\,\text{m}\). Der Umfang ist \(U = 4 \cdot 10\,\text{m} = 40\,\text{m}\). 3. Vergleich: Die Seitenlänge von Quadrat B (\(10\,\text{m}\)) ist größer als die von Quadrat A (\(5\,\text{m}\)).

Quadrat A: \(A = 25\,\text{m}^2\). Quadrat B: \(U = 40\,\text{m}\). Quadrat B hat die größere Seitenlänge (\(10\,\text{m} > 5\,\text{m}\)).

- Berechne zuerst den aktuellen Flächeninhalt und bestimme dann, wie groß die neue Fläche sein soll. - Überlege dir, wie sich das Produkt einer Multiplikation verändert, wenn du die Faktoren änderst. - Gibt es eine Möglichkeit, nur eine Seite zu verändern? Was passiert, wenn du beide Seiten veränderst?

1. Der ursprüngliche Flächeninhalt beträgt \(A = 4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). Der Ziel-Flächeninhalt ist \(12\,\text{m}^2 \cdot 4 = 48\,\text{m}^2\). 2. Möglichkeit 1 (Erhöhung einer Seite): Man vervierfacht nur eine der beiden Seitenlängen. Zum Beispiel wird die Länge auf \(4\,\text{m} \cdot 4 = 16\,\text{m}\) vergrößert, während die Breite bei \(3\,\text{m}\) bleibt (\(16\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\)). Alternativ könnte die Breite auf \(12\,\text{m}\) vervierfacht werden. 3. Möglichkeit 2 (Gleichmäßige Erhöhung): Man verdoppelt beide Seitenlängen. Da \(2 \cdot 2 = 4\) ergibt, vervierfacht sich der Flächeninhalt insgesamt. Die neue Länge wäre \(8\,\text{m}\) und die neue Breite \(6\,\text{m}\) (\(8\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\)).

Mögliche Antworten (zwei davon): 1. Die Länge wird auf \(16\,\text{m}\) vervierfacht und die Breite bleibt bei \(3\,\text{m}\). 2. Die Breite wird auf \(12\,\text{m}\) vervierfacht und die Länge bleibt bei \(4\,\text{m}\). 3. Sowohl die Länge als auch die Breite werden verdoppelt (Länge \(8\,\text{m}\), Breite \(6\,\text{m}\)).

- Kannst du Größen direkt vergleichen, wenn sie unterschiedliche Einheiten haben? - Rechne zuerst alle Längen in dieselbe Einheit um. - Berechne für jedes Rechteck einzeln die gewünschten Werte, bevor du sie gegenüberstellst.

1. Umrechnung der Einheiten für Rechteck B in Zentimeter: \(3\,\text{dm} = 30\,\text{cm}\) und \(1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Flächeninhalte: \(A_A = 15\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^2\) und \(A_B = 30\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^2\). Die Flächeninhalte sind identisch. 3. Berechnung der Umfänge: \(U_A = 2 \cdot (15\,\text{cm} + 20\,\text{cm}) = 70\,\text{cm}\) und \(U_B = 2 \cdot (30\,\text{cm} + 10\,\text{cm}) = 80\,\text{cm}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Beide haben denselben Flächeninhalt, aber Rechteck B hat den größeren Umfang.

Beide Rechtecke haben den gleichen Flächeninhalt von \(300\,\text{cm}^2\). Den größeren Umfang hat Rechteck B mit \(80\,\text{cm}\) (im Vergleich zu \(70\,\text{cm}\) bei Rechteck A).

- Berechne zuerst, wie groß die Fläche des Quadrats ist. - Da das Rechteck die gleiche Fläche hat, kannst du nun seine Länge bestimmen. - Vergleiche am Ende die Ergebnisse für die Umrandung (den Umfang).

1. Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats: \(50 \cdot 50 = 2\,500\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Länge des Rechtecks: \(2\,500 : 10 = 250\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs des Quadrats: \(4 \cdot 50 = 200\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Umfangs des Rechtecks: \(2 \cdot (250 + 10) = 520\,\text{cm}\). 5. Vergleich: \(520\,\text{cm} > 200\,\text{cm}\).

Das rechteckige Tuch ist \(250\,\text{cm}\) lang. Das rechteckige Tuch hat mit \(520\,\text{cm}\) einen größeren Umfang als das quadratische Tuch (\(200\,\text{cm}\)).

- Was gibt der Umfang eines Grundstücks im echten Leben an? - Berechne für Grundstück 1 den Umfang und für Grundstück 2 den Flächeninhalt. - Dafür musst du jeweils erst die fehlende Seitenlänge bestimmen. - Vergleiche dann die berechneten Werte.

1. Grundstück 1: Berechnung der Breite \(b = 480\,\text{m}^2 : 24\,\text{m} = 20\,\text{m}\). Berechnung des Umfangs (Zaunlänge) \(U = 2 \cdot (24\,\text{m} + 20\,\text{m}) = 2 \cdot 44\,\text{m} = 88\,\text{m}\). 2. Grundstück 2: Berechnung der Länge \(a = (92\,\text{m} : 2) - 20\,\text{m} = 46\,\text{m} - 20\,\text{m} = 26\,\text{m}\). Berechnung des Flächeninhalts \(A = 26\,\text{m} \cdot 20\,\text{m} = 520\,\text{m}^2\). 3. Vergleich der Umfänge: Grundstück 2 (\(92\,\text{m}\)) benötigt einen längeren Zaun als Grundstück 1 (\(88\,\text{m}\)). 4. Vergleich der Flächeninhalte: Grundstück 2 (\(520\,\text{m}^2\)) ist größer als Grundstück 1 (\(480\,\text{m}^2\)).

Grundstück 2 benötigt mit \(92\,\text{m}\) den längeren Zaun (G1: \(88\,\text{m}\)). Grundstück 2 hat mit \(520\,\text{m}^2\) auch die größere Fläche (G1: \(480\,\text{m}^2\)).

- Wandle den Umfang zuerst komplett in Zentimeter um. - Da alle vier Seiten eines Quadrats gleich lang sind, wie berechnest du dann eine einzelne Seite aus dem Umfang? - Überlege dir, ob es einfacher ist, die Seitenlänge vor oder nach der Flächenberechnung in Dezimeter umzurechnen. - Welches Maß hat eine Seite in Dezimetern, wenn sie \(80\,\text{cm}\) lang ist?

1. Umrechnung des Umfangs in eine einheitliche Einheit: \(U = 320\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(a\): \(a = U : 4 = 320\,\text{cm} : 4 = 80\,\text{cm}\). 3. Umrechnung der Seitenlänge in Dezimeter, um die Ziel-Einheit leichter zu erreichen: \(a = 8\,\text{dm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = a \cdot a = 8\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} = 64\,\text{dm}^2\).

Der Flächeninhalt des Schildes beträgt \(64\,\text{dm}^2\).

- Rechne den Umfang zuerst in die Einheit Zentimeter um. - Aus wie vielen Seiten \(a\) und wie vielen Seiten \(b\) setzt sich der Umfang zusammen? - Wenn du die Summe von \(a\) und \(b\) kennst, wie findest du dann \(b\)? - Wie wird der Flächeninhalt berechnet?

1. Umrechnung des Umfangs in Zentimeter: \(U = 1\,\text{m} = 100\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Summe der beiden Seiten \(a\) und \(b\) (halber Umfang): \(a + b = 100\,\text{cm} : 2 = 50\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Seite \(b\): \(b = 50\,\text{cm} - 35\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 35\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 525\,\text{cm}^2\).

\(b = 15\,\text{cm}\) \(A = 525\,\text{cm}^2\)

- Was bedeutet es für die Form des Quadrats, wenn man einen Draht einmal ganz herum legt? Welche Größe ist das? - Wie findest du die Seite heraus, wenn du weißt, wie groß die Fläche im Inneren ist? - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse für die Seitenlängen direkt miteinander.

1. Die Drahtlänge entspricht dem Umfang des ersten Quadrats: \(U_1 = 28\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(a_1\) des ersten Quadrats: \(28\,\text{cm} : 4 = 7\,\text{cm}\). 3. Für das zweite Quadrat wird die Seitenlänge \(a_2\) aus dem Flächeninhalt \(A_2 = 64\,\text{cm}^2\) bestimmt: Da \(8 \cdot 8 = 64\), ist \(a_2 = 8\,\text{cm}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(8\,\text{cm} > 7\,\text{cm}\), hat das zweite Quadrat die größere Seitenlänge.

Das zweite Quadrat hat mit \(a = 8\,\text{cm}\) die größere Seitenlänge (das erste Quadrat hat nur \(a = 7\,\text{cm}\)).

- Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt \(100\)? Das hilft dir beim Quadrat. - Rechne für Rechteck B am besten zuerst die Fläche von \(\text{cm}^2\) in \(\text{mm}^2\) um. - Achte bei der Umfangsberechnung darauf, dass Länge und Breite die gleiche Einheit haben. - Wie viele Zentimeter passen in einen Meter?

1. Rechteck A (Quadrat): Da \(10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\), ist die Seitenlänge \(a = 10\,\text{cm}\). Der Umfang ist \(U_A = 4 \cdot 10\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\). 2. Rechteck B: Umrechnung der Fläche in \(\text{mm}^2\): \(100\,\text{cm}^2 = 10\,000\,\text{mm}^2\). 3. Berechnung der Länge \(b\) von Rechteck B: \(10\,000\,\text{mm}^2 : 1\,\text{mm} = 10\,000\,\text{mm}\). 4. Umrechnung der Seiten von B in Meter: \(a = 1\,\text{mm} = 0{,}001\,\text{m}\) und \(b = 10\,000\,\text{mm} = 10\,\text{m}\). 5. Berechnung des Umfangs \(U_B\): \(U_B = 2 \cdot (10\,\text{m} + 0{,}001\,\text{m}) = 20{,}002\,\text{m}\). 6. Vergleich: \(U_A = 0{,}4\,\text{m}\) und \(U_B = 20{,}002\,\text{m}\). Der Umfang von B ist mehr als 50-mal so groß wie der von A, obwohl die Fläche gleich ist.

a) Der Umfang von Rechteck A beträgt \(40\,\text{cm}\). b) Der Umfang von Rechteck B beträgt \(20{,}002\,\text{m}\) (bzw. \(2\,000{,}2\,\text{cm}\)). c) Man stellt fest, dass Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt extrem unterschiedliche Umfänge haben können. Je schmaler und länger ein Rechteck ist, desto größer wird sein Umfang bei gleichbleibender Fläche.

- Wenn du das Rechteck in drei gleiche Quadrate nebeneinander zerlegst, wie groß ist dann der Flächeninhalt eines dieser Quadrate? - Kennst du eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Flächeninhalt eines solchen Quadrats ergibt? - Wie berechnet man den Umfang, wenn man beide Seitenlängen kennt?

1. Der Flächeninhalt lässt sich als Produkt aus Breite und dem Dreifachen der Breite darstellen (\(b \cdot 3 \cdot b = 108\)). 2. Division des Flächeninhalts durch 3 ergibt das Quadrat der Breite: \(108\,\text{cm}^2 : 3 = 36\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Breite durch Überlegen (Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt \(36\)?): \(b = 6\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Länge: \(6\,\text{cm} \cdot 3 = 18\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Umfangs: \(2 \cdot (6\,\text{cm} + 18\,\text{cm}) = 2 \cdot 24\,\text{cm} = 48\,\text{cm}\).

Die Breite beträgt \(6\,\text{cm}\), die Länge beträgt \(18\,\text{cm}\) und der Umfang beträgt \(48\,\text{cm}\).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des Quadrats. - Stelle dir das Rechteck aus vier kleinen Quadraten zusammengesetzt vor. - Vergleiche am Ende die beiden Umfänge durch Subtraktion.

1. Flächeninhalt des Quadrats: \(6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Da das Rechteck den gleichen Inhalt hat und viermal so lang wie breit ist, gilt für die Breite \(b\): \(b \cdot (4 \cdot b) = 36\,\text{cm}^2\). 3. Ein Viertel der Fläche entspricht einem Teilquadrat: \(36\,\text{cm}^2 : 4 = 9\,\text{cm}^2\). Die Breite ist somit \(3\,\text{cm}\). 4. Die Länge des Rechtecks ist \(3\,\text{cm} \cdot 4 = 12\,\text{cm}\). 5. Umfang des Quadrats: \(4 \cdot 6\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\). 6. Umfang des Rechtecks: \(2 \cdot (3\,\text{cm} + 12\,\text{cm}) = 30\,\text{cm}\). 7. Differenz der Umfänge: \(30\,\text{cm} - 24\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Rechtecks sind \(3\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). Der Umfang des Rechtecks ist um \(6\,\text{cm}\) größer als der des Quadrats.

- Kannst du aus der Fläche und einer Seitenlänge die andere Seite des Geheges berechnen? - Wie verändern sich Länge und Breite des rechteckigen Weges durch den Abstand von \(2\,\text{m}\) auf beiden Seiten? - Berechne anschließend den Umfang des größeren Rechtecks.

1. Berechnung der Breite des Geheges: Aus der Fläche \(A = 24\,\text{m}^2\) und der Länge \(l = 6\,\text{m}\) ergibt sich die Breite durch \(b = A : l = 24\,\text{m}^2 : 6\,\text{m} = 4\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Maße des rechteckigen Weges: Der Abstand von \(2\,\text{m}\) kommt bei jeder Abmessung auf beiden Seiten hinzu. Neue Länge: \(6\,\text{m} + 4\,\text{m} = 10\,\text{m}\). Neue Breite: \(4\,\text{m} + 4\,\text{m} = 8\,\text{m}\). 3. Berechnung der Strecke (Umfang): \(U = 2 \cdot (10\,\text{m} + 8\,\text{m}) = 2 \cdot 18\,\text{m} = 36\,\text{m}\).

a) Das Gehege ist \(4\,\text{m}\) breit. b) Das Kind legt eine Strecke von \(36\,\text{m}\) zurück.

- Finde zuerst heraus, wie lang eine Seite des ersten Quadrats ist. - Nutze diese Information, um die neue Seitenlänge für das zweite Quadrat zu bestimmen. - Berechne nun mit der neuen Seitenlänge die gesuchten Werte für das zweite Quadrat.

1. Bestimmung der Seitenlänge des ersten Plakats: Da \(7 \cdot 7 = 49\), beträgt die Seitenlänge \(a_1 = 7\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Seitenlänge des zweiten Plakats durch Verdopplung: \(a_2 = 2 \cdot 7\,\text{dm} = 14\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Umfangs des zweiten Plakats: \(U_2 = 4 \cdot 14\,\text{dm} = 56\,\text{dm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Plakats: \(A_2 = 14\,\text{dm} \cdot 14\,\text{dm} = 196\,\text{dm}^2\).

Das zweite Plakat hat einen Umfang von \(56\,\text{dm}\) und einen Flächeninhalt von \(196\,\text{dm}^2\).

- Bestimme zuerst die Fläche der Terrasse und einer einzelnen Fliese in der gleichen Einheit. - Wie viele einzelne Fliesen brauchst du für die Terrasse? - Da man die Fliesen nur in Paketen kaufen kann, musst du herausfinden, wie viele Pakete du bestellen musst. - Multipliziere zum Schluss die Anzahl der Pakete mit dem Preis für ein Paket.

1. Umrechnung der Terrassenmaße in Zentimeter: \(600\,\text{cm}\) und \(400\,\text{cm}\) 2. Berechnung des Flächeninhalts der Terrasse: \(600\,\text{cm} \cdot 400\,\text{cm} = 240\,000\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung des Flächeninhalts einer Holzfliese: \(50\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 2\,500\,\text{cm}^2\) 4. Berechnung der Anzahl der benötigten Fliesen: \(240\,000\,\text{cm}^2 : 2\,500\,\text{cm}^2 = 96\) 5. Berechnung der Anzahl der Pakete: \(96 : 6 = 16\) Pakete 6. Berechnung der Gesamtkosten: \(16 \cdot 24{,}50\,\text{€} = 392\,\text{€}\)

Die Gesamtkosten für die Terrasse betragen \(392\,\text{€}\).

- Erstelle eine Tabelle mit möglichen Paaren für Länge und Breite, die zusammen die Hälfte der Seillänge ergeben. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn die Seitenlängen sehr unterschiedlich sind? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn die Seitenlängen fast gleich groß sind? - Denke daran, dass die Seitenlängen ganze Zahlen sein müssen.

1. Bestimmung der Summe von Länge und Breite: \(a + b = 36\,\text{cm} : 2 = 18\,\text{cm}\). 2. Für den kleinsten Flächeninhalt (a) wird die Differenz zwischen \(a\) und \(b\) maximiert: \(a = 1\,\text{cm}\), \(b = 17\,\text{cm}\). Berechnung: \(A_{\min} = 1\,\text{cm} \cdot 17\,\text{cm} = 17\,\text{cm}^2\). 3. Für den größten Flächeninhalt (b) wird die Differenz minimiert (Quadrat): \(a = 9\,\text{cm}\), \(b = 9\,\text{cm}\). Berechnung: \(A_{\max} = 9\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 81\,\text{cm}^2\).

a) Seitenlängen: \(1\,\text{cm}\) und \(17\,\text{cm}\); Flächeninhalt: \(17\,\text{cm}^2\) b) Seitenlängen: \(9\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\); Flächeninhalt: \(81\,\text{cm}^2\)

- Wandle zuerst alle Flächenangaben in Quadratmeter um. - Wie findet man die Breite eines Rechtecks heraus, wenn man die Länge und den Flächeninhalt kennt? - Überlege dir für beide Felder einzeln, wie groß die Fläche ist, die nach Abzug des Randes im Inneren übrig bleibt. - Warum könnte ein langes, schmales Feld mehr Rand haben als ein kompaktes Quadrat?

1. Umrechnung der Fläche: \(1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2\). 2. Maße von Feld A (Quadrat): Da \(100\,\text{m} \cdot 100\,\text{m} = 10\,000\,\text{m}^2\), beträgt die Seitenlänge \(100\,\text{m}\). Innere Fläche: \((100 - 2) \cdot (100 - 2) = 98 \cdot 98 = 9\,604\,\text{m}^2\). Randfläche A: \(10\,000 - 9\,604 = 396\,\text{m}^2\). 3. Maße von Feld B (Rechteck): Breite \(b = 10\,000 : 250 = 40\,\text{m}\). Innere Fläche: \((250 - 2) \cdot (40 - 2) = 248 \cdot 38 = 9\,424\,\text{m}^2\). Randfläche B: \(10\,000 - 9\,424 = 576\,\text{m}^2\). 4. Vergleich: Feld B verliert mehr Fläche (\(576\,\text{m}^2 > 396\,\text{m}^2\)).

a) Feld B ist \(40\,\text{m}\) breit. b) Der Randstreifen von Feld A ist \(396\,\text{m}^2\) groß, der von Feld B ist \(576\,\text{m}^2\) groß. Feld B verliert somit mehr Nutzfläche.

- Berechne zuerst, wie lang und breit die Fläche ist, wenn man den Rand auf beiden Seiten zum Becken hinzurechnet. - Wie groß ist die Fläche nur für den Rand? - Wie viel wiegen alle Fliesen zusammen? - Wie viele Kilogramm sind eine Tonne? - Vergleiche das Gesamtgewicht mit der Kapazität des Lastwagens.

1. Berechnung der Außenmaße der gefliesten Fläche: Die Länge ist \(10\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} = 13\,\text{m}\), die Breite ist \(5\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} = 8\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der gesamten Fläche: \(13\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 104\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Schwimmbeckens: \(10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 50\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Fläche des Randes: \(104\,\text{m}^2 - 50\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\). 5. Berechnung des Gesamtgewichts der Fliesen: \(54\,\text{m}^2 \cdot 25\,\text{kg}/\text{m}^2 = 1\,350\,\text{kg}\). 6. Vergleich mit der Ladekapazität: \(1\,\text{Tonne} = 1\,000\,\text{kg}\). Da \(1\,350\,\text{kg} > 1\,000\,\text{kg}\) ist, reicht eine Fahrt nicht aus.

Das Gesamtgewicht der Fliesen beträgt \(1\,350\,\text{kg}\). Da dies mehr als \(1\,\text{Tonne}\) (\(1\,000\,\text{kg}\)) ist, reicht eine Fahrt mit dem Lastwagen nicht aus.

- Stell dir vor, die kurze Seite ist ein „Teilstück“. Wie viele solcher Teilstücke passen dann in die lange Seite? - Wie viele dieser Teilstücke ergeben zusammen den gesamten Umfang? - Wenn du die Länge einer Seite kennst, wie kommst du dann auf die Fläche?

1. Der Umfang eines Rechtecks setzt sich aus zweimal der kurzen Seite \(b\) und zweimal der langen Seite \(a\) zusammen: \(U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\). Da \(a = 3 \cdot b\), entspricht der Umfang insgesamt \(2 \cdot (3 \cdot b) + 2 \cdot b = 8\) gleich langen Teilstücken der Länge \(b\). 2. Berechnung der kurzen Seite \(b\): \(40\,\text{cm} : 8 = 5\,\text{cm}\). 3. Berechnung der langen Seite \(a\): \(3 \cdot 5\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(15\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 75\,\text{cm}^2\).

a) Die Seiten sind \(5\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt beträgt \(75\,\text{cm}^2\).

- Berechne zunächst die Gesamtfläche des Parkdecks. - Überlege dir für die Pkw, wie oft \(12\,\text{m}^2\) in die Gesamtfläche passen. - Für die Motorräder musst du die Einheiten angleichen. Wie viele Quadratzentimeter sind ein Quadratmeter? - Eine Division liefert unter der angegebenen vereinfachenden Annahme die theoretisch maximale Anzahl.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parkdecks: \(20\,\text{m} \cdot 30\,\text{m} = 600\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der theoretisch maximalen Anzahl der Pkw: \(600 : 12 = 50\). 3. Umrechnung des Flächeninhalts des Parkdecks für die Motorräder: \(600\,\text{m}^2 = 6\,000\,000\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der theoretisch maximalen Anzahl der Motorräder: \(6\,000\,000 : 15\,000 = 400\).

Unter der vereinfachenden Annahme finden theoretisch maximal \(50\) Pkw oder \(400\) Motorräder auf der Fläche Platz.

- Teile die Aufgabe in zwei Schritte auf: Berechne zuerst die Fläche. - Wie hängen die Seiten eines Quadrats mit seinem Flächeninhalt zusammen? - Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert den Flächeninhalt? - Wie berechnet man den Umfang, wenn man die Länge einer Quadratseite kennt?

1. Der Flächeninhalt des Rechtecks wird berechnet durch \(A = 16\,\text{dm} \cdot 9\,\text{dm} = 144\,\text{dm}^2\). 2. Da das Quadrat denselben Flächeninhalt hat, muss eine Zahl gefunden werden, die mit sich selbst multipliziert \(144\) ergibt: \(12\,\text{dm} \cdot 12\,\text{dm} = 144\,\text{dm}^2\). Die Seitenlänge des Quadrats beträgt also \(12\,\text{dm}\). 3. Der Umfang des Quadrats berechnet sich durch Multiplikation der Seitenlänge mit \(4\): \(U = 4 \cdot 12\,\text{dm} = 48\,\text{dm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(144\,\text{dm}^2\). b) Der Umfang beträgt \(48\,\text{dm}\).

- Wenn du das Produkt (Fläche) und einen Faktor (Seite) kennst, wie berechnest du den anderen Faktor? - Gehe schrittweise vor: Bestimme erst die neuen Maße der Seiten. - Berechne für beide Rechtecke den Umfang getrennt, bevor du sie vergleichst. - Achte darauf, ob der Umfang größer oder kleiner wird.

1. Berechnung der fehlenden Seite: \(2400\,\text{cm}^2 : 60\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der neuen Länge der ersten Seite: \(60\,\text{cm} - 10\,\text{cm} = 50\,\text{cm}\). 3. Berechnung der neuen Länge der zweiten Seite bei konstantem Flächeninhalt: \(2400\,\text{cm}^2 : 50\,\text{cm} = 48\,\text{cm}\). 4. Berechnung des alten Umfangs: \(2 \cdot (60\,\text{cm} + 40\,\text{cm}) = 200\,\text{cm}\). 5. Berechnung des neuen Umfangs: \(2 \cdot (50\,\text{cm} + 48\,\text{cm}) = 196\,\text{cm}\). 6. Differenz der Umfänge: \(200\,\text{cm} - 196\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\).

a) Die andere Seite ist \(40\,\text{cm}\) lang. b) Die neue Seite ist \(48\,\text{cm}\) lang. c) Der ursprüngliche Umfang ist \(200\,\text{cm}\), der neue Umfang ist \(196\,\text{cm}\). Er verringert sich um \(4\,\text{cm}\).