Kostenlose Arbeitsblätter

- Kannst du die komplizierte Form in zwei einfache Formen unterteilen? - Wie berechnest du die Fläche für jedes dieser Teilstücke einzeln? - Was musst du am Ende mit den beiden Einzelergebnissen tun?

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Rechtecks: \(5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Rechtecks: \(3\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 3. Addition der beiden Teilflächen, um die Gesamtfläche zu erhalten: \(10\,\text{m}^2 + 3\,\text{m}^2 = 13\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt des Fußbodens beträgt \(13\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Welche bekannten geometrischen Formen wie Rechtecke kannst du in der Zeichnung erkennen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks? - Um den Umfang zu bestimmen, musst du alle äußeren Begrenzungslinien zusammenzählen. Hast du alle Seitenlängen berücksichtigt?

1. Zerlegung der L-Figur in zwei Teilrechtecke: Ein unteres Rechteck mit den Maßen \(8\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) und ein oberes Rechteck mit den Maßen \(3\,\text{m} \times 4\,\text{m}\) (da \(7\,\text{m} - 3\,\text{m} = 4\,\text{m}\)). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 3\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). 3. Addition der Flächeninhalte zum Gesamtflächeninhalt: \(A = 24\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Umfangs durch Aufsummieren aller sechs Seitenlängen: \(U = 8\,\text{m} + 3\,\text{m} + 5\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} + 7\,\text{m} = 30\,\text{m}\).

a) Der Flächeninhalt des Spielplatzes beträgt \(36\,\text{m}^2\). b) Der Umfang des Spielplatzes beträgt \(30\,\text{m}\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen wie Rechtecke unterteilen? - Welche Maße haben die einzelnen Teilflächen, wenn du eine Trennlinie ziehst? - Gibt es eine Möglichkeit, die Figur zu einem großen Rechteck zu ergänzen und nicht benötigte Teile abzuziehen? - Überlege, wie hoch und wie breit die einzelnen Abschnitte sind.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Die T-förmige Terrasse kann durch eine horizontale Trennlinie in ein oberes horizontales Rechteck und ein unteres vertikales Rechteck zerlegt werden. 2. Berechnung des oberen Rechtecks: Das obere Rechteck hat eine Länge von \(12\,\text{m}\) und eine Breite von \(4\,\text{m}\). Der Flächeninhalt beträgt: \(A_1 = 12\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\) 3. Berechnung des unteren Rechtecks: Das untere Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Länge von \(6\,\text{m}\). Der Flächeninhalt beträgt: \(A_2 = 4\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: Die Summe der beiden Teilflächen ergibt den Gesamtflächeninhalt: \(A_{\text{gesamt}} = A_1 + A_2 = 48\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 72\,\text{m}^2\) Alternativer Lösungsweg durch Ergänzung: Die Figur kann zu einem großen Rechteck der Maße \(12\,\text{m} \times 10\,\text{m}\) ergänzt werden. Davon werden die beiden fehlenden Ecken (jeweils mit den Maßen \(4\,\text{m} \times 6\,\text{m}\)) abgezogen: \(A_{\text{gesamt}} = 12\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} - 2 \cdot (4\,\text{m} \cdot 6\,\text{m}) = 120\,\text{m}^2 - 48\,\text{m}^2 = 72\,\text{m}^2\)

Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(72\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figuren in kleinere, einfachere Formen zerlegen? - Zähle die Kästchen, die vollständig im Inneren der Figur liegen. - Überlege dir, aus wie vielen kleinen Einheitsquadraten die Figur zusammengesetzt ist.

1. Figur a) kann in ein unteres Rechteck der Größe \(4 \times 1\) und zwei seitliche Säulen der Größe \(1 \times 2\) zerlegt werden. Der Flächeninhalt beträgt somit \(4 \cdot 1 + 2 \cdot (1 \cdot 2) = 4 + 4 = 8\,\text{FE}\). 2. Figur b) besteht aus einem zentralen Quadrat (\(1 \times 1\)) und vier angesetzten Quadraten (\(1 \times 1\)). Der Flächeninhalt beträgt \(1 + 4 \cdot 1 = 5\,\text{FE}\).

a) \(8\,\text{FE}\) b) \(5\,\text{FE}\)

- Kannst du die Figur mit einer geraden Linie so teilen, dass zwei einfache Rechtecke entstehen? - Gibt es mehr als eine Möglichkeit, diese Linie zu zeichnen? - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks? - Was musst du am Ende mit den beiden Teilflächen machen?

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke: - Möglichkeit A (vertikaler Schnitt): Ein linkes Rechteck mit \(2\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\) und ein rechtes Rechteck mit \(3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). - Möglichkeit B (horizontaler Schnitt): Ein unteres Rechteck mit \(5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\) und ein oberes Rechteck mit \(2\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Gesamtfläche durch Addition: - \(12\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 18\,\text{m}^2\) bzw. \(10\,\text{m}^2 + 8\,\text{m}^2 = 18\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Küche beträgt \(18\,\text{m}^2\).

- Wie hängen ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck zusammen, wenn sie die gleichen Seitenlängen haben? - Überlege dir, wie oft das Dreieck in das ergänzte Rechteck passt. - Berechne zuerst den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks.

1. Ein Rechteck mit den Seitenlängen \(8\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\) hat einen Flächeninhalt von \(8 \cdot 5 = 40\,\text{cm}^2\). 2. Ein rechtwinkliges Dreieck mit diesen Kathetenlängen ist genau halb so groß wie dieses Rechteck. 3. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also \(40 : 2 = 20\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(20\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in zwei Rechtecke zerlegen? - Überlege, wie lang die Seiten der Teilrechtecke sind. - Berechne erst die Flächen der kleinen Rechtecke und zähle sie dann zusammen.

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke: Ein unteres Rechteck mit \(5\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 15\,\text{m}^2\) und ein oberes Rechteck mit \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\). 2. Addition der Teilflächen: \(15\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2 = 19\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(19\,\text{m}^2\).

- Versuche, die Figur waagerecht in zwei Rechtecke zu teilen. - Wie breit ist das obere Rechteck, wenn du die seitlichen Maße vom unteren abziehst? - Addiere am Ende die beiden Einzelflächen.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein breites Rechteck unten mit \(8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) und ein schmales Rechteck oben. 2. Das obere Rechteck hat eine Breite von \(8\,\text{m} - 3\,\text{m} - 3\,\text{m} = 2\,\text{m}\) und eine Höhe von \(4\,\text{m}\). Sein Flächeninhalt ist \(2\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). 3. Gesamtfläche: \(24\,\text{m}^2 + 8\,\text{m}^2 = 32\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Bühne beträgt \(32\,\text{m}^2\).

- Du kannst die Figur in drei gleich breite Rechtecke zerlegen. - Schau dir an, wie hoch jedes der drei Rechtecke ist. - Es gibt mehrere Wege: Du kannst von oben nach unten oder von links nach rechts zerlegen.

1. Zerlegung in drei vertikale Streifen: Ein linker Streifen (\(2\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} = 12\,\text{dm}^2\)), ein mittlerer Streifen (\(2\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 8\,\text{dm}^2\)) und ein rechter Streifen (\(2\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm} = 4\,\text{dm}^2\)). 2. Gesamtfläche: \(12 + 8 + 4 = 24\,\text{dm}^2\). 3. Alternativ: Zerlegung in drei horizontale Schichten (\(6 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 24\)).

Der Flächeninhalt der Seitenwand beträgt \(24\,\text{dm}^2\).

- Kannst du die Figur mit einer Linie in zwei Rechtecke teilen? - Überlege dir, wie lang die einzelnen Seiten der Teilrechtecke sind.

1. Zerlegung der Figur in zwei Rechtecke: - Ein stehendes Rechteck links mit den Maßen \(3\,\text{cm} \times 8\,\text{cm}\). - Ein liegendes Rechteck rechts mit den Maßen \(5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (da \(8\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\)). 2. Berechnung der Teilflächen: - Fläche 1: \(3\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). - Fläche 2: \(5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). 3. Addition der Teilflächen: \(24\,\text{cm}^2 + 15\,\text{cm}^2 = 39\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Bauteils beträgt \(39\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in zwei einfache Rechtecke zerteilen? - Überlege, wie groß das Rechteck wäre, wenn die Ecke nicht fehlen würde. Was müsstest du dann abziehen? - Achte darauf, dass du nur die Flächen addierst oder subtrahierst, die tatsächlich zum Balkon gehören.

1. Berechnung über Ergänzung zu einem großen Rechteck: Die Gesamtfläche des Rechtecks beträgt \(6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). Davon wird die Fläche des Blumenbeets mit \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\) abgezogen. Das ergibt \(24\,\text{m}^2 - 4\,\text{m}^2 = 20\,\text{m}^2\). 2. Berechnung durch Zerlegung in zwei Teilrechtecke: Die Fläche kann in ein Rechteck von \(4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\) und ein Rechteck von \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\) zerlegt werden. Die Gesamtfläche beträgt \(16\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2 = 20\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Balkonbodens beträgt \(20\,\text{m}^2\).

- Findest du eine Linie, mit der du das Zimmer in zwei Rechtecke teilen kannst? - Welche Seitenlängen haben diese beiden Rechtecke? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks?

1. Zerlegung der Figur in zwei Rechtecke: Ein Rechteck mit den Maßen \(4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m}\) und ein zweites Rechteck mit den Maßen \(2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Addition der Teilflächen: \(A_{\text{ges}} = 20\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 26\,\text{m}^2\).

Die gesamte Bodenfläche des Zimmers beträgt \(26\,\text{m}^2\).

- Du kannst die Fläche durch Ergänzen zu einem großen Rechteck oder durch Zerteilen in kleinere Rechtecke finden. - Welche Maße hat das fehlende Stück in der Mitte?

1. Die Fläche kann als großes Rechteck (\(30\,\text{m} \cdot 15\,\text{m}\)) minus ein kleineres Rechteck (\(10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m}\)) berechnet werden. 2. \(30 \cdot 15 = 450\,\text{m}^2\). 3. \(10 \cdot 5 = 50\,\text{m}^2\). 4. Gesamte Fläche: \(450\,\text{m}^2 - 50\,\text{m}^2 = 400\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Mehrzweckhalle beträgt \(400\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figur in einfache Rechtecke unterteilen? - Überlege, wie lang die fehlenden Seitenstücke sind. - Der Umfang ist die Summe aller Außenkanten der Figur.

1. Zerlegung der Fläche in zwei Teilrechtecke: Ein großes Rechteck mit den Maßen \(6\,\text{m} \times 4\,\text{m}\) und ein kleineres Rechteck mit den Maßen \(2\,\text{m} \times 3\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Gesamte Fläche: \(A_{\text{gesamt}} = 24\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 30\,\text{m}^2\). 4. Umfang: \(6\,\text{m} + 7\,\text{m} + 2\,\text{m} + 3\,\text{m} + 4\,\text{m} + 4\,\text{m} = 26\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{m}^2\) und der Umfang beträgt \(26\,\text{m}\).

- Berechne die Fläche des großen Rechtecks und ziehe die fehlende Ecke ab. - Überprüfe beim Umfang genau, welche Kanten zur Figur gehören.

1. Das ursprüngliche Rechteck war \(9\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\) groß. Sein Flächeninhalt wäre \(54\,\text{cm}^2\). 2. Das entfernte Eckstück ist \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\) groß. 3. Der Flächeninhalt des Logos ist \(54\,\text{cm}^2 - 6\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2\). 4. Der Umfang berechnet sich aus: \(9 + 4 + 3 + 2 + 6 + 6 = 30\,\text{cm}\). Dies entspricht dem Umfang des ursprünglichen Rechtecks (\(2 \cdot (9+6) = 30\)).

Der Flächeninhalt beträgt \(48\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(30\,\text{cm}\).

- Du suchst die Fläche, die übrig bleibt, wenn man den Teppich vom Boden abzieht. - Berechne zuerst die beiden einzelnen Flächeninhalte.

1. Berechnung der Bodenfläche des Zimmers: \(8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\) 2. Berechnung der Teppichfläche: \(4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\) 3. Berechnung der freien Fläche: \(40\,\text{m}^2 - 16\,\text{m}^2 = 24\,\text{m}^2\)

Es sind \(24\,\text{m}^2\) des Bodens nicht bedeckt.

- Kannst du die Figur in einfachere Rechtecke oder Quadrate unterteilen? - Lies die Seitenlängen der Teilbereiche aus der Abbildung ab. - Addiere die Flächeninhalte der Teilfiguren.

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke: Ein großes Rechteck links und ein kleineres Quadrat, das rechts angesetzt ist. 2. Das linke Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(5\,\text{m}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\). 3. Das rechte Quadrat hat eine Seitenlänge von \(2\,\text{m}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\). 4. Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich durch die Summe der Teilflächen: \(20\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2 = 24\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Grundrisses beträgt \(24\,\text{m}^2\).

- Überlege dir, wie viele der kleinen Eckdreiecke in das große Quadrat passen würden. - Kannst du die Fläche der vier gleich großen Eckdreiecke bestimmen? - Vergleiche anschließend die Gesamtfläche der Eckdreiecke mit der Fläche des großen Quadrats.

1. Das ursprüngliche Quadrat hat die Seitenlänge \(10\,\text{cm}\). 2. Die Verbindung der Mittelpunkte erzeugt vier rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke in den Ecken mit Kathetenlänge \(5\,\text{cm}\). 3. Die Fläche eines solchen Dreiecks ist \(\frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 12{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Die Gesamtfläche der vier Dreiecke ist \(4 \cdot 12{,}5\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\). 5. Die Fläche des inneren Quadrats ist die Differenz: \(100\,\text{cm}^2 - 50\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(50\,\text{cm}^2\).

- Wie groß ist die Fläche des gesamten Quadrats? - Wenn man von einer Seite \(1\,\text{m}\) am linken und \(1\,\text{m}\) am rechten Rand wegnimmt, wie lang ist dann das Stück in der Mitte? - Kannst du die Fläche des Beetes finden, indem du die Fläche des kleinen Quadrats von der des großen Quadrats abziehst? - Wie viele Blumen kommen auf die berechnete Fläche?

1. Berechnung des Flächeninhalts des gesamten Rasens: \(10\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung der Seitenlänge der verbleibenden Rasenfläche im Inneren: Da der Rand \(1\,\text{m}\) breit ist, verringert sich die Seitenlänge auf beiden Seiten um \(1\,\text{m}\) (\(10\,\text{m} - 1\,\text{m} - 1\,\text{m} = 8\,\text{m}\)). 3. Berechnung des Flächeninhalts der inneren Rasenfläche: \(8\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 64\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Beetfläche durch Subtraktion: \(100\,\text{m}^2 - 64\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Gesamtzahl der Blumen: \(36\,\text{m}^2 \cdot 8\,\text{Blumen}/\text{m}^2 = 288\,\text{Blumen}\).

Es müssen insgesamt \(288\) Blumen gekauft werden.

- Kannst du die L-Form in zwei einfache Rechtecke zerlegen? Es gibt dafür zwei verschiedene Möglichkeiten. - Alternativ kannst du dir vorstellen, dass die Figur ein großes Rechteck ist, aus dem eine Ecke herausgeschnitten wurde. - Welche Längen haben die Seiten, für die keine Maße angegeben sind? Nutze die bekannten Seitenlängen, um sie zu berechnen. - Berechne die Flächen der einzelnen Teile und füge sie passend zusammen.

Es gibt verschiedene Wege, den Flächeninhalt der L-förmigen Terrasse zu berechnen: Weg 1: Zerlegung durch eine vertikale Linie 1. Zerlege die Figur in ein linkes und ein rechtes Rechteck. 2. Das linke Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(8\,\text{m}\): \(A_1 = 4\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\) 3. Das rechte Rechteck hat eine Höhe von \(4\,\text{m}\). Seine Breite ergibt sich aus der Gesamtbreite abzüglich der oberen Breite: \(b = 10\,\text{m} - 4\,\text{m} = 6\,\text{m}\) \(A_2 = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) 4. Der Gesamtflächeninhalt ist die Summe der beiden Teilflächen: \(A = 32\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 56\,\text{m}^2\) Weg 2: Zerlegung durch eine horizontale Linie 1. Zerlege die Figur in ein unteres und ein oberes Rechteck. 2. Das untere Rechteck hat eine Breite von \(10\,\text{m}\) und eine Höhe von \(4\,\text{m}\): \(A_1 = 10\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\) 3. Das obere Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\). Seine Höhe ergibt sich aus der Gesamthöhe abzüglich der rechten Höhe: \(h = 8\,\text{m} - 4\,\text{m} = 4\,\text{m}\) \(A_2 = 4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\) 4. Der Gesamtflächeninhalt ist die Summe der beiden Teilflächen: \(A = 40\,\text{m}^2 + 16\,\text{m}^2 = 56\,\text{m}^2\) Weg 3: Ergänzung zu einem großen Rechteck 1. Ergänze die Figur zu einem großen Rechteck mit den Maßen \(10\,\text{m} \times 8\,\text{m}\): \(A_{\text{groß}} = 10\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 80\,\text{m}^2\) 2. Berechne den Flächeninhalt der fehlenden Ecke mit den Maßen \(6\,\text{m} \times 4\,\text{m}\): \(A_{\text{Ecke}} = (10\,\text{m} - 4\,\text{m}) \cdot (8\,\text{m} - 4\,\text{m}) = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) 3. Subtrahiere die Ecke vom großen Rechteck: \(A = 80\,\text{m}^2 - 24\,\text{m}^2 = 56\,\text{m}^2\)

\(56\,\text{m}^2\)

- Kannst du die Figur in einfachere Formen wie Rechtecke aufteilen, deren Flächen du leicht berechnen kannst? - Überlege, wie groß ein großes Rechteck wäre, das die gesamte Figur umschließt. Welchen Teil müsstest du davon abziehen? - Um den Umfang zu bestimmen, fahre die gesamte Begrenzungslinie der Figur mit dem Finger ab und addiere alle Teilstrecken. - Achte darauf, dass du keine Seite vergisst, besonders die inneren Kanten des Ausschnitts.

1. **Flächeninhalt durch Ergänzen (Methode 1):** Man ergänzt die Figur zu einem großen Rechteck mit den Maßen \(10\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\). Dessen Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). Von diesem zieht man den Flächeninhalt des ausgeschnittenen Teils (ein Quadrat mit der Seitenlänge \(4\,\text{cm}\)) ab: \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt der Schablone beträgt somit \(60\,\text{cm}^2 - 16\,\text{cm}^2 = 44\,\text{cm}^2\). 2. **Flächeninhalt durch Zerlegen (Methode 2):** Man zerlegt die Schablone in drei Teilrechtecke: - Zwei vertikale Streifen an den Seiten mit den Maßen \(3\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\). Deren Flächeninhalt ist jeweils \(3\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}^2\). - Ein horizontales Verbindungsstück unten. Die Breite beträgt \(10\,\text{cm} - 3\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). Die Höhe beträgt \(6\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 2\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). - Der Gesamtflächeninhalt ist \(18\,\text{cm}^2 + 18\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 44\,\text{cm}^2\). 3. **Umfang berechnen:** Der Umfang ist die Summe aller äußeren und inneren Begrenzungslinien: \(10\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt der Schablone beträgt \(44\,\text{cm}^2\). b) Der Umfang der Schablone beträgt \(40\,\text{cm}\).

- Der Umfang ist der gesamte Weg einmal um die Figur herum. Addiere dazu einfach die Längen aller Begrenzungslinien. - Um den Flächeninhalt zu berechnen, kannst du das U-förmige Beet in mehrere kleinere Rechtecke zerlegen. - Finde eine geschickte Zerlegung (zum Beispiel in zwei große äußere Balken und ein kleines Mittelstück oder in einen breiten Bodenbalken und zwei kleine Spitzen) und bestimme deren Maße. - Berechne die Flächen der einzelnen Rechtecke und addiere sie zusammen.

1. Berechnung des Umfangs: - Der Umfang ist die Summe aller Außen- und Innenseiten des U-förmigen Beetes: \(U = 7\,\text{m} + 5\,\text{m} + 2\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 2\,\text{m} + 5\,\text{m} = 30\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts durch Zerlegung in drei Rechtecke: - Zerlegung in zwei vertikale äußere Rechtecke und ein horizontales Verbindungsstück: - Zwei äußere Rechtecke mit jeweils \(2\,\text{m}\) Breite und \(5\,\text{m}\) Höhe: \(A_1 = A_2 = 2\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). - Ein mittleres Verbindungsstück mit \(3\,\text{m}\) Breite und \(2\,\text{m}\) Höhe: \(A_3 = 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 + A_3 = 10\,\text{m}^2 + 10\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 26\,\text{m}^2\). - Alternativer Lösungsweg durch horizontale Zerlegung: - Ein großes unteres Rechteck mit \(7\,\text{m}\) Breite und \(2\,\text{m}\) Höhe: \(A_{\text{unten}} = 7\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 14\,\text{m}^2\). - Zwei obere Rechtecke mit jeweils \(2\,\text{m}\) Breite und \(3\,\text{m}\) Höhe: \(A_{\text{oben}} = 2 \cdot (2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m}) = 12\,\text{m}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(A = 14\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 26\,\text{m}^2\).

a) Der Umfang des Beetes beträgt \(30\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt des Beetes beträgt \(26\,\text{m}^2\).

- Wie groß wäre die Fläche der Terrasse, wenn es keinen Pool gäbe? - Wie viel Platz nimmt der Pool in der Mitte ein? - Wie kannst du die verbleibende Fläche berechnen, wenn du die Gesamtfläche und die Poolfläche kennst? - Wenn du die Fläche in Quadratmetern weißt, wie berechnest du dann die Gesamtkosten bei einem festen Preis pro Quadratmeter?

1. Berechnung des Flächeninhalts der gesamten Terrasse (inklusive Pool): \(A_{\text{gesamt}} = 12\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 96\,\text{m}^2\) 2. Berechnung des Flächeninhalts des Pools: \(A_{\text{Pool}} = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) 3. Berechnung der zu fliesenden Fläche durch Subtraktion des Pools von der Gesamtfläche: \(A_{\text{Fliesen}} = 96\,\text{m}^2 - 24\,\text{m}^2 = 72\,\text{m}^2\) 4. Berechnung der Gesamtkosten für die Fliesen: \(\text{Kosten} = 72 \cdot 35\,\text{€} = 2520\,\text{€}\)

a) Die zu fliesende Fläche beträgt \(72\,\text{m}^2\). b) Die Fliesen kosten insgesamt \(2520\,\text{€}\).

- Kannst du die Figur in bekannte Teilflächen wie Rechtecke und Dreiecke aufteilen? - Manchmal ist es einfacher, die Figur zu einem großen Rechteck zu ergänzen und die Flächen abzuziehen, die nicht zur Figur gehören. - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn du es als die Hälfte eines Rechtecks betrachtest? - Schau dir an, wie die schrägen Linien verlaufen – kannst du sie als Diagonalen von kleinen Rastern sehen?

1. Zerlegung von Figur D in ein unteres Rechteck der Größe \(5 \times 3\) (Flächeninhalt \(15\,\text{FE}\)) und ein oberes Dreieck mit Grundseite \(5\) und Höhe \(2\) (Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5\,\text{FE}\)). Addition der Flächen ergibt \(15 + 5 = 20\,\text{FE}\). 2. Ergänzung von Figur E zu einem Quadrat der Größe \(4 \times 4\) (Flächeninhalt \(16\,\text{FE}\)). Subtraktion des oberen, ausgesparten Dreiecks mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\) (Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{FE}\)). Berechnung: \(16 - 4 = 12\,\text{FE}\). 3. Zerlegung des Parallelogramms (Figur F) in ein Rechteck der Größe \(2 \times 3\) (Flächeninhalt \(6\,\text{FE}\)) und zwei rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(1\) und Höhe \(3\) (Flächeninhalt je \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1{,}5\,\text{FE}\)). Addition der Flächen ergibt \(6 + 1{,}5 + 1{,}5 = 9\,\text{FE}\).

- Figur D: \(20\,\text{FE}\) - Figur E: \(12\,\text{FE}\) - Figur F: \(9\,\text{FE}\)

- Versuche, die Figuren durch gedachte Linien in einfachere, kleinere Rechtecke aufzuteilen. - Suche nach Mustern oder Symmetrien, um die Zerlegung zu vereinfachen. - Du kannst auch ein großes Rechteck um die Figur herum zeichnen und die nicht benötigten Teile abziehen. - Bestimme die Länge und Breite jedes Teilrechtecks und multipliziere sie, um deren Flächeninhalt zu berechnen.

1. Flächeninhalt von Figur A bestimmen: Figur A kann auf verschiedene Weisen in Rechtecke zerlegt werden: - Möglichkeit 1 (vertikale Zerlegung): Wir teilen die Figur in drei vertikale Streifen. Der linke Streifen hat die Maße \(2 \times 4\) (Fläche: \(8\,\text{Kästchen}\)), der rechte Streifen hat ebenfalls die Maße \(2 \times 4\) (Fläche: \(8\,\text{Kästchen}\)), und das mittlere Verbindungsstück hat die Maße \(1 \times 2\) (Fläche: \(2\,\text{Kästchen}\)). Die Gesamtfläche beträgt \(8 + 8 + 2 = 18\,\text{Kästchen}\). - Möglichkeit 2 (horizontale Zerlegung): Ein großes unteres Rechteck der Größe \(5 \times 2\) (Fläche: \(10\,\text{Kästchen}\)) und zwei obere Quadrate der Größe \(2 \times 2\) (Fläche: \(4\,\text{Kästchen}\) jeweils). Die Gesamtfläche beträgt \(10 + 4 + 4 = 18\,\text{Kästchen}\). 2. Flächeninhalt von Figur B bestimmen: Figur B lässt sich ebenfalls geschickt zerlegen: - Möglichkeit 1 (vertikale Zerlegung): Ein zentraler vertikaler Streifen der Größe \(3 \times 4\) (Fläche: \(12\,\text{Kästchen}\)) und zwei seitliche Flügel der Größe \(1 \times 2\) (Fläche: \(2\,\text{Kästchen}\) jeweils). Die Gesamtfläche beträgt \(12 + 2 + 2 = 16\,\text{Kästchen}\). - Möglichkeit 2 (horizontale Zerlegung): Ein zentrales horizontales Rechteck der Größe \(5 \times 2\) (Fläche: \(10\,\text{Kästchen}\)) sowie ein oberer und ein unterer Mittelteil der Größe \(3 \times 1\) (Fläche: \(3\,\text{Kästchen}\) jeweils). Die Gesamtfläche beträgt \(10 + 3 + 3 = 16\,\text{Kästchen}\).

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(18\,\text{Kästchen}\). b) Der Flächeninhalt von Figur B beträgt \(16\,\text{Kästchen}\).

- Suche nach einer senkrechten Linie, die den Pfeil in einen viereckigen Körper und eine dreieckige Spitze aufteilt. - Bestimme zuerst den Flächeninhalt des viereckigen Teils. - Bestimme danach den Flächeninhalt der dreieckigen Spitze. Du kannst das Dreieck gedanklich zu einem Rechteck verdoppeln. - Wie kannst du aus den beiden Teilflächen den gesamten Flächeninhalt berechnen?

1. Zerlegung des Pfeils durch eine vertikale Linie bei \(x = 4\) in ein Rechteck und ein Dreieck. 2. Berechnung des Flächeninhalts des linken Rechtecks: Breite von \(4\,\text{Längeneinheiten}\) und Höhe von \(2\,\text{Längeneinheiten}\) ergeben \(4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des rechten Dreiecks: Vertikale Grundseite der Länge \(4\,\text{Längeneinheiten}\) (von \(y = 0\) bis \(y = 4\)) und Höhe von \(2\,\text{Längeneinheiten}\) (von \(x = 4\) bis \(x = 6\)) ergeben \(\frac{4 \cdot 2}{2} = 4\,\text{FE}\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts durch Addition der Teilflächen: \(8\,\text{FE} + 4\,\text{FE} = 12\,\text{FE}\).

\(12\,\text{FE}\)

- Kannst du die Figuren in kleinere, bekannte Formen wie Rechtecke oder Dreiecke unterteilen? - Gibt es eine Möglichkeit, eine Figur zu einer größeren, einfacheren Form (wie einem großen Quadrat) zu ergänzen und dann etwas abzuziehen? - Berechne den Flächeninhalt der einzelnen Teile Schritt für Schritt und zähle sie am Ende zusammen. - Haben die beiden Figuren am Ende den gleichen Flächeninhalt?

1. Zerlegung von Figur A (Haus): Die Figur lässt sich in ein unteres Rechteck der Größe \(4 \times 2\) (Flächeninhalt: \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate) und ein oberes Dreieck mit der Grundseite 4 und der Höhe 2 (Flächeninhalt: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate) zerlegen. Der Gesamtflächeninhalt beträgt \(8 + 4 = 12\) Einheitsquadrate. 2. Zerlegung von Figur B (U-Form): Die Figur lässt sich in ein unteres Rechteck der Größe \(4 \times 2\) (Flächeninhalt: \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate) und zwei obere Rechtecke der Größe \(1 \times 2\) (Flächeninhalt: jeweils \(1 \cdot 2 = 2\) Einheitsquadrate) zerlegen. Der Gesamtflächeninhalt beträgt \(8 + 2 + 2 = 12\) Einheitsquadrate. Alternativ kann die U-Form von einem großen Quadrat der Größe \(4 \times 4\) (Flächeninhalt 16) durch Abzug der oberen quadratischen Lücke der Größe \(2 \times 2\) (Flächeninhalt 4) bestimmt werden: \(16 - 4 = 12\) Einheitsquadrate. 3. Ergebnis: Beide Figuren haben durch diese Zerlegungen nachweislich denselben Flächeninhalt von jeweils 12 Einheitsquadraten.

Der Flächeninhalt beider Figuren beträgt jeweils 12 Einheitsquadrate.

- Kannst du eine senkrechte oder waagerechte Linie ziehen, um die Figur in bekanntere Formen aufzuteilen? - Welche Formel hilft dir, den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen? - Manchmal ist es einfacher, ein großes Rechteck zu betrachten und nicht benötigte Ecken abzuziehen. - Addiere am Ende die Flächeninhalte beider Einzelfiguren, um die Gesamtfläche zu erhalten.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur A durch Zerlegung: Eine senkrechte Trennlinie bei \(x = 2\) teilt die Figur in ein rechtes Rechteck der Größe \(2 \times 3\) und ein linkes rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite 2 und der Höhe 3. - Flächeninhalt des Rechtecks: \(2 \cdot 3 = 6\) Flächeneinheiten (FE). - Flächeninhalt des Dreiecks: \(\frac{2 \cdot 3}{2} = 3\) FE. - Gesamtfläche von Figur A: \(6 + 3 = 9\) FE. 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur B durch Ergänzung: Figur B lässt sich zu einem großen Rechteck der Größe \(4 \times 3\) ergänzen, von dem oben links ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 und 2 abgezogen wird. - Flächeninhalt des großen Rechtecks: \(4 \cdot 3 = 12\) FE. - Flächeninhalt des abgezogenen Dreiecks: \(\frac{1 \cdot 2}{2} = 1\) FE. - Gesamtfläche von Figur B: \(12 - 1 = 11\) FE. (Alternativ führt eine Zerlegung in zwei Rechtecke der Größen \(4 \times 1\) und \(3 \times 2\) sowie ein Dreieck der Größe \(\frac{1 \cdot 2}{2}\) ebenfalls zu \(4 + 6 + 1 = 11\) FE). 3. Gesamtfläche beider Figuren berechnen: \(9 + 11 = 20\) FE.

a) Figur A hat einen Flächeninhalt von \(9\) Flächeneinheiten. Figur B hat einen Flächeninhalt von \(11\) Flächeneinheiten. b) Zusammen haben die beiden Figuren einen Flächeninhalt von \(20\) Flächeneinheiten.

- Versuche, die beiden Figuren jeweils in kleinere, einfachere Teilflächen zu unterteilen. - Welche Grundformen wie Rechtecke oder rechtwinklige Dreiecke helfen dir dabei, den Inhalt Schritt für Schritt zu berechnen? - Denke daran, dass du schräge Seiten oft als Grenzen von Dreiecken betrachten kannst. - Wenn du die Teilflächen berechnet hast, wie kommst du dann zum gesamten Flächeninhalt einer Figur? - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse direkt miteinander.

1. Figur a) lässt sich in ein mittleres Rechteck mit Breite \(3\) und Höhe \(2\) sowie zwei äußere rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\) zerlegen. 2. Der Flächeninhalt von Figur a) beträgt \((3 \cdot 2) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2\right) = 6 + 2 = 8\,\text{FE}\). 3. Figur b) wird durch die senkrechte Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(2\) und Höhe \(4\) zerlegt. 4. Der Flächeninhalt von Figur b) beträgt \(2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4\right) = 8\,\text{FE}\). 5. Beide Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Form denselben Flächeninhalt von \(8\,\text{FE}\).

1. Der Flächeninhalt von Figur a) beträgt \(8\,\text{FE}\). 2. Der Flächeninhalt von Figur b) beträgt \(8\,\text{FE}\). 3. Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(8\,\text{FE}\).

- Wo könntest du eine Linie ziehen, um die Figur in zwei Rechtecke zu teilen? - Bestimme die Länge und Breite der Teilrechtecke durch Abzählen der Abstände zwischen den Stiften. - Für den zweiten Teil der Aufgabe: Welche zwei Zahlen ergeben multipliziert das Ergebnis aus Teil a?

1. Zerlegung der Figur: Die Figur besteht aus einem senkrechten „Stamm“ und einem waagerechten „Balken“ oben. 2. Fläche des Stamms: Das untere Rechteck geht von \(x=2\) bis \(x=4\) und von \(y=0\) bis \(y=4\). Breite \(2\), Höhe \(4\). Fläche: \(2 \cdot 4 = 8\) Einheitsquadrate. 3. Fläche des Balkens: Das obere Rechteck geht von \(x=0\) bis \(x=8\) und von \(y=4\) bis \(y=6\). Breite \(8\), Höhe \(2\). Fläche: \(8 \cdot 2 = 16\) Einheitsquadrate. 4. Gesamtflächeninhalt: \(8 + 16 = 24\) Einheitsquadrate. 5. Mögliche Rechtecke mit Fläche \(24\): Geeignete Seitenlängen sind zum Beispiel \(3 \times 8\), \(4 \times 6\) oder \(2 \times 12\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\) Einheitsquadrate. b) Mögliche Seitenlängen für ein flächengleiches Rechteck sind zum Beispiel \(4\) und \(6\) oder \(3\) und \(8\).

- Zerlege die Figuren in einfachere Formen wie Rechtecke oder Dreiecke. - Ein Dreieck, das genau in ein Rechteck passt, ist halb so groß wie dieses Rechteck. - Zähle die Kästchenseiten entlang der Gitterlinien, um die Längen für deine Rechnung zu finden.

1. Figur a) besteht aus einem unteren Rechteck mit \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadraten und einem oberen Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\). Das Dreieck hat den Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. Insgesamt gilt: \(8 + 4 = 12\) Einheitsquadrate. 2. Figur b) lässt sich in ein unteres Rechteck der Größe \(5 \times 3\), ein oberes Rechteck der Größe \(2 \times 2\) und ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\) zerlegen. Die Teilflächen betragen \(15\), \(4\) und \(1\) Einheitsquadrat. Insgesamt gilt: \(15 + 4 + 1 = 20\) Einheitsquadrate. 3. Figur b) ist größer. Der Unterschied beträgt \(20 - 12 = 8\) Einheitsquadrate.

a) Figur a) hat einen Flächeninhalt von \(12\) Einheitsquadraten, Figur b) von \(20\) Einheitsquadraten. b) Figur b) ist um \(8\) Einheitsquadrate größer als Figur a).

- Zähle zuerst die kleinen grauen Quadrate im Inneren, um den Flächeninhalt zu prüfen. - Um den Umfang zu finden, zählst du nur die Kanten der Quadrate, die ganz außen liegen. - Überlege dir, ob man Figuren mit der gleichen Anzahl an Quadraten so legen kann, dass sie mehr oder weniger „Außenkanten“ haben.

1. Flächeninhalt Figur 1: Das Rechteck ist \(4\,\text{cm}\) breit und \(2\,\text{cm}\) hoch, also \(A = 4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 2. Umfang Figur 1: \(U = 2 \cdot (4\,\text{cm} + 2\,\text{cm}) = 12\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt Figur 2: Die Figur lässt sich in zwei Rechtecke zerlegen (\(5 \times 1\) und \(3 \times 1\)), also \(A = 5 + 3 = 8\) Einheitsquadrate. 4. Umfang Figur 2: Die Seitenlängen sind \(5\,\text{cm}\), \(1\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\), \(1\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). Der Umfang ist \(U = 5 + 1 + 2 + 1 + 3 + 2 = 14\,\text{cm}\). 5. Vergleich: Obwohl beide Figuren den gleichen Flächeninhalt von 8 Quadraten haben, ist der Umfang unterschiedlich (\(12\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\)). Leo hat also nicht recht.

Figur 1: Flächeninhalt \(8\) Einheitsquadrate, Umfang \(12\,\text{cm}\). Figur 2: Flächeninhalt \(8\) Einheitsquadrate, Umfang \(14\,\text{cm}\). Leo hat nicht recht, da die Umfänge unterschiedlich sind.

- Kannst du die Figur in Rechtecke und Dreiecke zerlegen? - Schau dir den oberen Rand genau an. Welche einfachen Formen „fehlen“ dort an einem großen Rechteck? - Wie groß ist ein Dreieck, das genau ein halbes \(2 \times 1\)-Rechteck einnimmt?

1. Ergänzungsmethode: Die Figur ist in ein Rechteck der Größe \(4 \times 3\) eingeschrieben. Dieses Rechteck hat einen Flächeninhalt von \(4 \cdot 3 = 12\,\text{EQ}\). 2. Abzug der Lücken: Am oberen Rand fehlen zwei dreieckige Flächen. Jedes dieser Dreiecke hat eine Grundseite von \(2\) Einheiten und eine Höhe von \(1\) Einheit. Die Fläche eines solchen Dreiecks beträgt \(0{,}5 \cdot 2 \cdot 1 = 1\,\text{EQ}\). 3. Gesamtergebnis: Vom großen Rechteck werden die zwei Lücken abgezogen: \(12\,\text{EQ} - 1\,\text{EQ} - 1\,\text{EQ} = 10\,\text{EQ}\). 4. Alternative Zerlegungsmethode: Die Figur besteht aus einem unteren Rechteck (\(4 \times 2 = 8\,\text{EQ}\)) und zwei kleinen Dreiecken im oberen Bereich. Jedes Dreieck hat die Fläche \(1\,\text{EQ}\). Somit ergibt sich \(8 + 1 + 1 = 10\,\text{EQ}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{EQ}\).

- Welche drei Rechtecke kannst du in der Figur erkennen? - Vergiss beim Umfang nicht die Kanten im Inneren der U-Form. - Überprüfe deine Zerlegung, indem du die gesamte Fläche mit dem umschließenden Rechteck vergleichst.

1. Zerlegung der Figur in drei Rechtecke: zwei senkrechte Rechtecke der Größe \(1 \times 3\) und ein waagerechtes Rechteck der Größe \(4 \times 1\) am Boden (zwischen \(x=1\) und \(x=5\)). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(2 \cdot (1 \cdot 3) + 4 \cdot 1 = 6 + 4 = 10\,\text{FE}\). 3. Berechnung des Umfangs durch Addition aller Teilstrecken: \(6 + 3 + 1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 3 = 22\,\text{LE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{FE}\) und der Umfang beträgt \(22\,\text{LE}\).

- Bestimme zuerst den Umfang in Gitterabständen und die Fläche in Einheitsquadraten. - Überlege, wie lang eine einzelne Gitterstrecke in Dezimetern ist. - Welchen Flächeninhalt hat ein einzelnes kleines Quadrat im Gitter, wenn die Seitenlänge \(3\,\text{dm}\) beträgt?

1. Zählen der Einheiten im Gitter: Der Umfang besteht aus \(12\) Gitterabschnitten. Die Fläche besteht aus \(5\) Einheitsquadraten. 2. Skalierung des Umfangs: Bei einem Stiftabstand von \(3\,\text{dm}\) ergibt sich ein Umfang von \(12 \cdot 3\,\text{dm} = 36\,\text{dm}\). 3. Skalierung des Flächeninhalts: Ein Einheitsquadrat hat einen Flächeninhalt von \(3\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} = 9\,\text{dm}^2\). 4. Berechnung der Gesamtfläche: \(5 \cdot 9\,\text{dm}^2 = 45\,\text{dm}^2\).

Der Umfang der Figur beträgt \(36\,\text{dm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(45\,\text{dm}^2\).

- Ziehe gedanklich senkrechte Linien durch die Endpunkte der oberen Seite. - Welche Rechtecke und rechtwinkligen Dreiecke entstehen? - Addiere die Flächeninhalte der Teilflächen.

1. Zerlege die Figur in ein mittleres Rechteck mit Breite \(2\,\text{cm}\) und Höhe \(4\,\text{cm}\), ein linkes rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1\,\text{cm}\) und Höhe \(4\,\text{cm}\) sowie ein rechtes rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(2\,\text{cm}\) und Höhe \(4\,\text{cm}\). 2. Die Teilflächen betragen \(2 \cdot 4 = 8\,\text{cm}^2\), \(\frac{1 \cdot 4}{2} = 2\,\text{cm}^2\) und \(\frac{2 \cdot 4}{2} = 4\,\text{cm}^2\). 3. Insgesamt gilt: \(8 + 2 + 4 = 14\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(14\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die Figur durch eine senkrechte Linie in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. - Bestimme die Maße beider Teilflächen. - Addiere die beiden Flächeninhalte.

1. Zerlege die Figur in ein Rechteck mit Breite \(4\,\text{cm}\) und Höhe \(3\,\text{cm}\) sowie ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1\,\text{cm}\) und Höhe \(3\,\text{cm}\). 2. Das Rechteck hat den Flächeninhalt \(4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2\). 3. Das Dreieck hat den Flächeninhalt \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(12 + 1{,}5 = 13{,}5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(13{,}5\,\text{cm}^2\).

- Sieht die Figur aus wie ein großes Quadrat, aus dem ein Teil herausgeschnitten wurde? - Du kannst die Figur auch waagerecht in der Mitte teilen. Welche Formen entstehen dann? - Zähle zuerst alle ganzen Kästchen im unteren Teil.

1. Methode Ergänzung: Die Figur liegt innerhalb eines Quadrats der Größe \(4\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) (Fläche \(16\,\text{cm}^2\)). 2. Abzuziehende Fläche: Oben in der Mitte fehlt ein Dreieck mit der Grundseite \(4\,\text{cm}\) und der Höhe \(2\,\text{cm}\). 3. Berechnung Fehlfläche: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 4. Gesamtergebnis: \(A = 16\,\text{cm}^2 - 4\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\). 5. Alternativ durch Zerlegung: Ein unteres Rechteck (\(4 \times 2\)) ergibt \(8\,\text{cm}^2\). Zwei seitliche Dreiecke oben (jeweils \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{cm}^2\)) ergeben zusammen \(4\,\text{cm}^2\). Summe: \(8 + 4 = 12\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(12\,\text{cm}^2\).

- Zeichne gedanklich eine Linie, die die Figur in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck teilt. - Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? - Wie groß sind die Grundseite und die Höhe des Dreiecks?

1. Zerlegung: Ein waagerechter Schnitt bei \(y=2\) trennt ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Das Rechteck hat eine Breite von \(4\) und eine Höhe von \(1\). Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 1 = 4\). 3. Das Dreieck hat eine Grundseite von \(4\) und eine Höhe von \(2\). 4. Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\). 5. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(4 + 4 = 8\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Kannst du das Trapez in ein Rechteck und zwei Dreiecke zerlegen? - Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Teile und addiere sie. - Wie breit und wie hoch sind die einzelnen Teilfiguren?

1. Zerlegung des Trapezes in ein zentrales Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke an den Seiten. 2. Das Rechteck hat eine Breite von \(3\) und eine Höhe von \(3\), also einen Flächeninhalt von \(9\,\text{FE}\). 3. Das linke Dreieck hat eine Grundseite von \(1\) und eine Höhe von \(3\). Sein Flächeninhalt ist \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1{,}5\,\text{FE}\). 4. Das rechte Dreieck hat ebenfalls eine Grundseite von \(1\) und eine Höhe von \(3\), also auch \(1{,}5\,\text{FE}\). 5. Gesamter Flächeninhalt: \(9 + 1{,}5 + 1{,}5 = 12\,\text{FE}\).

\(12\,\text{FE}\)

- Stell dir vor, du schneidest links ein rechtwinkliges Dreieck ab. Wo könntest du es wieder ansetzen, um eine gerade Kante zu bekommen? - Welche Maße hätte das neu entstandene Rechteck?

1. Wenn man ein Dreieck an einer Seite des Parallelogramms abschneidet und an der anderen Seite wieder anfügt, entsteht ein Rechteck. 2. Die Seitenlängen dieses Rechtecks entsprechen der Grundseite (\(10\,\text{cm}\)) und der Höhe (\(6\,\text{cm}\)) des Parallelogramms. 3. Der Flächeninhalt ist \(A = 10 \cdot 6 = 60\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(60\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie du die Figur in einfache Formen wie Rechtecke zerteilen kannst. - Wie berechnet man die Breite der mittleren und rechten Stufe aus der Gesamtbreite? - Addiere alle Teilflächen für das Endergebnis.

1. Zerlegung in drei Rechtecke: - Linker Bereich: \(5\,\text{m}\) breit, \(8\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_L = 5 \cdot 8 = 40\,\text{m}^2\). - Mittlerer Bereich: \(9\,\text{m} - 5\,\text{m} = 4\,\text{m}\) breit, \(4\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_M = 4 \cdot 4 = 16\,\text{m}^2\). - Rechter Bereich: \(12\,\text{m} - 9\,\text{m} = 3\,\text{m}\) breit, \(2\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_R = 3 \cdot 2 = 6\,\text{m}^2\). 2. Gesamtfläche: \(40\,\text{m}^2 + 16\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 62\,\text{m}^2\).

Die gesamte Lagerfläche beträgt \(62\,\text{m}^2\).

- Berechne zuerst so, als gäbe es keine Aussparung in der Mitte. - Wie groß ist die Aussparung, die aus der Platte „herausgeschnitten“ wird? - Subtrahiere die kleine Fläche von der großen Fläche.

1. Flächeninhalt der gesamten rechteckigen Platte (ohne Loch) berechnen: \(2{,}5\,\text{m} \cdot 1{,}8\,\text{m} = 4{,}5\,\text{m}^2\). 2. Flächeninhalt der quadratischen Aussparung berechnen: \(0{,}4\,\text{m} \cdot 0{,}4\,\text{m} = 0{,}16\,\text{m}^2\). 3. Die Fläche der Aussparung von der Gesamtfläche abziehen: \(4{,}5\,\text{m}^2 - 0{,}16\,\text{m}^2 = 4{,}34\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Betonoberfläche beträgt \(4{,}34\,\text{m}^2\).

- Wo könntest du eine Linie ziehen, um aus der Figur zwei Rechtecke zu machen? - Gibt es mehr als eine Möglichkeit, die Figur zu zerlegen? - Achte darauf, die richtigen Seitenlängen für deine Teilrechtecke zu verwenden.

1. Zerlegung in zwei Teilrechtecke: - Möglichkeit A: Ein unteres Rechteck (\(12\,\text{m} \times 5\,\text{m}\)) und ein oberes Rechteck (\(4\,\text{m} \times 7\,\text{m}\)). - Flächeninhalt unten: \(12\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\). - Flächeninhalt oben: \(4\,\text{m} \cdot 7\,\text{m} = 28\,\text{m}^2\) (die Breite von \(4\,\text{m}\) ergibt sich aus \(12\,\text{m} - 4\,\text{m} - 4\,\text{m}\)). 2. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A = 60\,\text{m}^2 + 28\,\text{m}^2 = 88\,\text{m}^2\).

Die Teilflächen sind \(60\,\text{m}^2\) und \(28\,\text{m}^2\) groß. Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(88\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figur so in zwei Rechtecke teilen, dass du für beide alle Seitenlängen kennst? - Berechne die Flächeninhalte der beiden Rechtecke einzeln und addiere sie dann. - Achte darauf, dass du keine Teilfläche doppelt zählst oder vergisst.

1. Zerlegung der Fläche in zwei Teilrechtecke: Ein großes Rechteck mit \(5\,\text{m} \cdot 4\,\text{m}\) und ein kleineres, angesetztes Rechteck mit \(3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 5\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{ges} = 20\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 26\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Reinigungskosten: \(26\,\text{m}^2 \cdot 4{,}50\,\text{€}/\text{m}^2 = 117{,}00\,\text{€}\).

Die Reinigung des Bodens kostet insgesamt \(117{,}00\,\text{€}\).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des großen Rechtecks und ziehe das fehlende Stück ab. - Zähle für den Umfang alle sichtbaren Außenkanten zusammen. - Überlege: Hat sich der Umfang durch das Aussägen der Ecke im Vergleich zum vollen Rechteck verändert?

1. Berechnung des Flächeninhalts: Die ursprüngliche Platte war \(10\,\text{cm} \times 8\,\text{cm}\) groß (\(A_{gesamt} = 80\,\text{cm}^2\)). Das ausgesägte Stück ist \(3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) groß (\(A_{ausgesägt} = 9\,\text{cm}^2\)). Der Rest ist \(80\,\text{cm}^2 - 9\,\text{cm}^2 = 71\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Umfangs: \(U = 10\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 7\,\text{cm} + 8\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\). Hinweis: Der Umfang eines Rechtecks mit einer ausgesägten Ecke entspricht dem Umfang des ursprünglichen vollständigen Rechtecks (\(2 \cdot (10 + 8) = 36\)).

Der Umfang der Holzplatte beträgt \(36\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(71\,\text{cm}^2\).

- Gehe gedanklich einmal um die Figur herum und addiere alle Teilstrecken. - Wie lang sind die Kanten, bei denen keine Zahl steht? Nutze die gegenüberliegenden Seiten zur Hilfe.

1. Der Umfang ist die Summe aller Außenkanten. 2. Gegebene Kanten: unten \(10\,\text{m}\), rechts \(5\,\text{m}\), oben links \(4\,\text{m}\), links außen \(8\,\text{m}\). 3. Fehlende horizontale Kante: \(10\,\text{m} - 4\,\text{m} = 6\,\text{m}\). 4. Fehlende vertikale Kante: \(8\,\text{m} - 5\,\text{m} = 3\,\text{m}\). 5. Summe: \(10 + 5 + 6 + 3 + 4 + 8 = 36\,\text{m}\).

Der Umfang der Figur beträgt \(36\,\text{m}\).

- Hilft es dir, die Figur als ein großes Rechteck zu betrachten, aus dem ein kleineres Stück herausgeschnitten wurde? - Wie berechnet man den Umfang einer Figur mit Ecken, die nach innen gehen?

1. Berechnung des Flächeninhalts durch Ergänzen zum großen Rechteck: - Äußeres Rechteck: \(8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\) - Aussparung (Lücke): \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\) - Gesamtfläche: \(48\,\text{cm}^2 - 16\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Umfangs: - \(U = 8\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\)

Der Flächeninhalt beträgt \(32\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(36\,\text{cm}\).

- Kannst du die Figur mit einem geraden Schnitt in zwei einfache Rechtecke teilen? - Es gibt zwei Möglichkeiten für die Zerlegung. Probiere eine davon aus. - Berechne die Flächeninhalte der beiden entstandenen Rechtecke einzeln und addiere sie.

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke. Möglichkeit A (horizontal): Ein unteres Rechteck (\(10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\)) und ein oberes Rechteck (\(4\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\)). Möglichkeit B (vertikal): Ein linkes Rechteck (\(4\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\)) und ein rechtes Rechteck (\(6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\)). 2. Addition der Teilflächen: \(40 + 32 = 72\,\text{cm}^2\) bzw. \(48 + 24 = 72\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(72\,\text{cm}^2\).

- Was bedeutet es für die Seitenlänge, wenn eine Zahl mit sich selbst multipliziert den Flächeninhalt ergibt? - Wenn ein Rand um die ganze Fläche geht, wie oft musst du die Breite des Randes von der ursprünglichen Länge abziehen? - Wie kannst du die Fläche des Randes bestimmen, wenn du die Gesamtfläche und die Innenfläche kennst? - Überlege dir, wie man den Preis für eine bestimmte Fläche berechnet.

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\): Aus \(a \cdot a = 2500\,\text{m}^2\) folgt \(a = 50\,\text{m}\). 2. Bestimmung der inneren Maße: Da der Rand auf jeder Seite \(2\,\text{m}\) breit ist, verringert sich die Seitenlänge um \(2 \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}\). Die neue Seitenlänge beträgt \(50\,\text{m} - 4\,\text{m} = 46\,\text{m}\). 3. Berechnung der verbleibenden Wiesenfläche: \(46\,\text{m} \cdot 46\,\text{m} = 2116\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Heckenfläche: \(2500\,\text{m}^2 - 2116\,\text{m}^2 = 384\,\text{m}^2\). 5. Berechnung des finanziellen Verlusts: \(384 \cdot 0{,}20\,\text{€} = 76{,}80\,\text{€}\).

a) Die Seitenlänge beträgt \(50\,\text{m}\). b) Es bleiben \(2116\,\text{m}^2\) als Wiese übrig. c) Der finanzielle Verlust beträgt \(76{,}80\,\text{€}\).

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Weißt du noch, wie viele Quadratmeter in einem Ar stecken? - Stell dir vor, du schneidest den inneren Teil aus dem großen Rechteck aus. Was bleibt übrig? - Achte darauf, dass der Schutzstreifen auf allen vier Seiten des Rechtecks liegt.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(220\,\text{m} \cdot 90\,\text{m} = 19\,800\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung in Ar: \(19\,800\,\text{m}^2 : 100 = 198\,\text{a}\). 3. Bestimmung der inneren Maße des genutzten Ackers: Die Länge reduziert sich auf \(220\,\text{m} - 10\,\text{m} = 210\,\text{m}\), die Breite auf \(90\,\text{m} - 10\,\text{m} = 80\,\text{m}\). 4. Berechnung der inneren Fläche: \(210\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 16\,800\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Fläche des Schutzstreifens: \(19\,800\,\text{m}^2 - 16\,800\,\text{m}^2 = 3000\,\text{m}^2\).

a) Der Acker ist \(198\,\text{a}\) groß. b) Der Schutzstreifen hat einen Flächeninhalt von \(3000\,\text{m}^2\).

- Wandle zuerst alle Flächenangaben in Quadratmeter um. - Wie findet man die Breite eines Rechtecks heraus, wenn man die Länge und den Flächeninhalt kennt? - Überlege dir für beide Felder einzeln, wie groß die Fläche ist, die nach Abzug des Randes im Inneren übrig bleibt. - Warum könnte ein langes, schmales Feld mehr Rand haben als ein kompaktes Quadrat?

1. Umrechnung der Fläche: \(1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2\). 2. Maße von Feld A (Quadrat): Da \(100\,\text{m} \cdot 100\,\text{m} = 10\,000\,\text{m}^2\), beträgt die Seitenlänge \(100\,\text{m}\). Innere Fläche: \((100 - 2) \cdot (100 - 2) = 98 \cdot 98 = 9604\,\text{m}^2\). Randfläche A: \(10\,000 - 9604 = 396\,\text{m}^2\). 3. Maße von Feld B (Rechteck): Breite \(b = 10\,000 : 250 = 40\,\text{m}\). Innere Fläche: \((250 - 2) \cdot (40 - 2) = 248 \cdot 38 = 9424\,\text{m}^2\). Randfläche B: \(10\,000 - 9424 = 576\,\text{m}^2\). 4. Vergleich: Feld B verliert mehr Fläche (\(576\,\text{m}^2 > 396\,\text{m}^2\)).

a) Feld B ist \(40\,\text{m}\) breit. b) Der Randstreifen von Feld A ist \(396\,\text{m}^2\) groß, der von Feld B ist \(576\,\text{m}^2\) groß. Feld B verliert somit mehr Nutzfläche.

- Überlege dir, wie lang und breit die gesamte Fläche inklusive des Weges ist. Denke daran, dass der Weg auf jeder Seite der Terrasse dazukommt. - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks? - Wenn du die Fläche der Terrasse von der Gesamtfläche abziehst, was bleibt dann übrig? - Wie rechnet man von der Fläche auf den Preis um?

1. Berechnung der Maße der gesamten Fläche (Terrasse plus Weg): Die Länge beträgt \(8\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} = 12\,\text{m}\), die Breite beträgt \(5\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} = 9\,\text{m}\). 2. Berechnung des gesamten Flächeninhalts: \(12\,\text{m} \cdot 9\,\text{m} = 108\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der Terrasse: \(8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des Weges: \(108\,\text{m}^2 - 40\,\text{m}^2 = 68\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Gesamtkosten: \(68\,\text{m}^2 \cdot 15\,\text{€}/\text{m}^2 = 1020\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten für die Steinplatten betragen \(1020\,\text{€}\).

- Berechne zuerst, wie lang und breit die Fläche ist, wenn man den Rand auf beiden Seiten zum Becken hinzurechnet. - Wie groß ist die Fläche nur für den Rand? - Wie viel wiegen alle Fliesen zusammen? - Wie viele Kilogramm sind eine Tonne? - Vergleiche das Gesamtgewicht mit der Kapazität des Lastwagens.

1. Berechnung der Außenmaße der gefliesten Fläche: Die Länge ist \(10\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} = 13\,\text{m}\), die Breite ist \(5\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} = 8\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der gesamten Fläche: \(13\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 104\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Schwimmbeckens: \(10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 50\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Fläche des Randes: \(104\,\text{m}^2 - 50\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\). 5. Berechnung des Gesamtgewichts der Fliesen: \(54\,\text{m}^2 \cdot 25\,\text{kg}/\text{m}^2 = 1350\,\text{kg}\). 6. Vergleich mit der Ladekapazität: \(1\,\text{Tonne} = 1000\,\text{kg}\). Da \(1350\,\text{kg} > 1000\,\text{kg}\) ist, reicht eine Fahrt nicht aus.

Das Gesamtgewicht der Fliesen beträgt \(1350\,\text{kg}\). Da dies mehr als \(1\,\text{Tonne}\) (\(1000\,\text{kg}\)) ist, reicht eine Fahrt mit dem Lastwagen nicht aus.

- Kannst du die Figur in einfachere Formen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Welche bekannten geometrischen Formen (wie Rechtecke oder rechtwinklige Dreiecke) kannst du in der Figur erkennen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man es sich als Hälfte eines Rechtecks vorstellt? - Gibt es eine Möglichkeit, ein großes Rechteck um die gesamte Figur zu zeichnen und dann die überschüssigen Teile abzuziehen? - Vergleiche die Ergebnisse beider Methoden. Kommt dasselbe heraus?

1. Zerlegungsmethode: - Das zentrale Rechteck hat eine Breite von \(3\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(3\,\text{cm}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Rechteck}} = 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 9\,\text{cm}^2\) - Die beiden oberen rechtwinkligen Dreiecke haben jeweils eine Grundseite von \(2\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\). Ihr Flächeninhalt beträgt jeweils: \(A_{\text{Dreieck, oben}} = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 2\,\text{cm}^2\) - Die beiden unteren rechtwinkligen Dreiecke haben jeweils eine Grundseite von \(2\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(1\,\text{cm}\). Ihr Flächeninhalt beträgt jeweils: \(A_{\text{Dreieck, unten}} = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 1\,\text{cm}^2\) - Gesamtflächeninhalt durch Addition: \(A_{\text{gesamt}} = 9\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 2\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 1\,\text{cm}^2 = 9 + 4 + 2 = 15\,\text{cm}^2\) 2. Ergänzungsmethode: - Das umschreibende Rechteck hat eine Breite von \(7\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(3\,\text{cm}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Rechteck, umschreibend}} = 7\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 21\,\text{cm}^2\) - Die nicht zur Figur gehörenden Ecken sind vier rechtwinklige Dreiecke: - Zwei obere Dreiecke mit den Maßen \(2\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) (Flächeninhalt jeweils \(2\,\text{cm}^2\)). - Zwei untere Dreiecke mit den Maßen \(2\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\) (Flächeninhalt jeweils \(1\,\text{cm}^2\)). - Gesamtflächeninhalt durch Subtraktion: \(A_{\text{gesamt}} = 21\,\text{cm}^2 - (2 \cdot 2\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 1\,\text{cm}^2) = 21 - 6 = 15\,\text{cm}^2\) Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis von \(15\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt bei beiden Methoden \(15\,\text{cm}^2\).

- Wenn eine Figur eine unregelmäßige Form hat, hilft es oft, sie in kleinere, bekannte Formen wie Rechtecke oder Dreiecke aufzuteilen. - Schau dir bei der ersten Figur die Spitze und den Schaft getrennt voneinander an. - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks und wie die eines Dreiecks? - Bei der zweiten Figur kannst du eine Trennlinie auf verschiedene Weisen zeichnen – probiere einmal eine waagerechte und einmal eine senkrechte Linie aus. - Wenn du eine Figur auf unterschiedliche Weisen zerlegst, sollte sich der Gesamtflächeninhalt dann verändern oder gleich bleiben?

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts von Figur A (Pfeil) durch Zerlegung in einen rechteckigen Schaft (Breite \(2\), Höhe \(3\)) mit der Fläche \(2 \cdot 3 = 6\) und eine dreieckige Spitze (Grundseite \(6\), Höhe \(3\)) mit der Fläche \(\frac{6 \cdot 3}{2} = 9\). Gesamte Fläche: \(6 + 9 = 15\) Einheitsquadrate. 2. Erste Zerlegung von Figur B (Stiefel) durch einen vertikalen Schnitt in ein linkes Rechteck (\(2 \times 5\), Fläche \(10\)) und ein rechtes Quadrat (\(2 \times 2\), Fläche \(4\)). Gesamte Fläche: \(10 + 4 = 14\) Einheitsquadrate. 3. Zweite Zerlegung von Figur B durch einen horizontalen Schnitt in ein unteres Rechteck (\(4 \times 2\), Fläche \(8\)) und ein oberes Rechteck (\(2 \times 3\), Fläche \(6\)). Gesamte Fläche: \(8 + 6 = 14\) Einheitsquadrate. 4. Vergleich der beiden Zerlegungen von Figur B zeigt, dass beide Ansätze denselben Gesamtflächeninhalt von \(14\) Einheitsquadraten liefern.

a) Der Flächeninhalt des Pfeils beträgt \(15\) Einheitsquadrate (Rechteck: \(6\), Dreieck: \(9\)). b) Beide Zerlegungen des Stiefels führen zu einem Gesamtflächeninhalt von \(14\) Einheitsquadraten (Zerlegung 1: \(10 + 4 = 14\); Zerlegung 2: \(8 + 6 = 14\)).

- Du kannst Figur 1 in drei stehende oder liegende Rechtecke unterteilen, um die Fläche leichter zu berechnen. - Gehe beim Umfang mit dem Finger einmal ganz um die Figur herum und zähle jeden Gitterabstand, auch die im „Inneren“ der U-Form. - Vergleiche die „Kompaktheit“ der beiden Formen. Welche Form hat mehr „Ecken“ und „Einbuchtungen“?

1. Zerlegung von Figur 1 (U-Form) in drei Rechtecke: - Zwei vertikale Balken (je \(1 \times 4\)) und ein verbindendes Bodenstück (\(2 \times 1\)). - Flächeninhalt: \((1 \cdot 4) + (1 \cdot 4) + (2 \cdot 1) = 4 + 4 + 2 = 10\) Einheitsquadrate. 2. Flächeninhalt von Figur 2 (Rechteck): - \(5 \cdot 2 = 10\) Einheitsquadrate. 3. Umfangsberechnung: - Figur 1: \(4 (\text{links}) + 4 (\text{unten}) + 4 (\text{rechts}) + 1 (\text{oben rechts}) + 3 (\text{innen rechts}) + 2 (\text{innen unten}) + 3 (\text{innen links}) + 1 (\text{oben links}) = 22\) Längeneinheiten. - Figur 2: \(2 \cdot (5 + 2) = 14\) Längeneinheiten. 4. Erklärung: Figur 1 ist „zerklüftet“ bzw. hat einen Innenrand. Dadurch entstehen zusätzliche Grenzlinien, die zum Umfang zählen, ohne die Fläche zu vergrößern.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(10\) Einheitsquadrate. Die Figur kann zum Beispiel in zwei \(1 \times 4\)-Rechtecke und ein \(2 \times 1\)-Rechteck zerlegt werden. b) Figur 1 hat einen Umfang von \(22\) Längeneinheiten, Figur 2 von \(14\) Längeneinheiten. c) Figur 1 hat durch ihre Einbuchtung zusätzliche Randstrecken. Das kompakte Rechteck hat deshalb bei gleichem Flächeninhalt einen kleineren Umfang.

- Teile die Figur in ein großes Rechteck und ein Dreieck auf, um den Inhalt leichter zu bestimmen. - Berechne erst den Inhalt des Rechtecks und dann den des Dreiecks und addiere beide Ergebnisse. - Vergleiche dein Ergebnis mit der Zielgröße von \(15\) Einheitsquadraten.

1. Zerlegung der Figur: Der untere Teil ist ein Rechteck mit einer Breite von \(5\) und einer Höhe von \(2\), also \(5 \cdot 2 = 10\) Einheitsquadrate. Der obere Teil ist ein Dreieck mit einer Grundseite von \(5\) und einer Höhe von \(1\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(0{,}5 \cdot 5 \cdot 1 = 2{,}5\) Einheitsquadrate. 2. Gesamtinhalt der Figur: Addiere beide Teilflächen: \(10 + 2{,}5 = 12{,}5\) Einheitsquadrate. 3. Berechnung der Differenz: Um auf \(15\) Einheitsquadrate zu kommen, fehlen noch \(15 - 12{,}5 = 2{,}5\) Einheitsquadrate.

1. Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(12{,}5\) Einheitsquadrate. 2. Es müssen noch \(2{,}5\) Einheitsquadrate hinzugefügt werden.

- Wie lang ist die Unterseite der Figur? Wie hoch ist sie? - Stell dir vor, du schneidest die linke Spitze der Figur senkrecht ab. Wo könntest du dieses Teil wieder drankleben? - Wenn du die Figur zu einem Rechteck umformst, ändern sich die Grundseite und die Höhe nicht.

1. Berechnung des Flächeninhalts: Das Parallelogramm hat eine Grundseite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(3\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt beträgt \(4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 2. Umwandlung in ein Rechteck: Paul kann an der linken Seite ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((1|0)\), \((2|0)\) und \((2|3)\) abschneiden. Dieses Dreieck schiebt er nach rechts und fügt es passgenau an die rechte schräge Seite des Parallelogramms an. 3. Maße des Rechtecks: Es entsteht ein Rechteck mit einer Breite von \(4\,\text{cm}\) (entspricht der ursprünglichen Grundseite) und einer Höhe von \(3\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt bleibt mit \(4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) gleich.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{cm}^2\). b) Paul schneidet links ein rechtwinkliges Dreieck ab und fügt es rechts wieder an. Es entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\).

- Trenne den Pfeil in zwei bekannte Grundformen auf. - Wo genau fängt die Spitze an und wo hört der Schaft auf? Bestimme die Maße an dieser Trennlinie. - Nutze für die Spitze die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\).

1. Berechnung des Rechtecks (Schaft): - Breite = \(4\), Höhe = \(2\). - \(A_{\text{Schaft}} = 4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\). 2. Berechnung des Dreiecks (Pfeilspitze): - Die vertikale Grundseite der Spitze ist \(6\) Einheiten lang (von \(y=0\) bis \(y=6\)). - Die horizontale Höhe der Spitze (von der Grundseite bis zur Spitze bei \(x=8\)) beträgt \(8 - 4 = 4\) Einheiten. - \(A_{\text{Spitze}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\,\text{FE}\). 3. Gesamter Flächeninhalt: - \(A_{\text{Gesamt}} = 8 + 12 = 20\,\text{FE}\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(20\) Flächeneinheiten.

- Stell dir vor, die Platte wäre noch ganz. Wie groß wäre die Fläche dann? - Was passiert mit dem Umfang, wenn eine Kerbe hineingeschnitten wird? Wird er länger oder kürzer? - Zähle alle acht Kanten der Figur einzeln zusammen.

1. Flächeninhalt: Vom ursprünglichen Rechteck (\(20\,\text{cm} \times 12\,\text{cm}\)) wird das Rechteck der Kerbe (\(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\)) abgezogen. \(A = 20\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} - 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 240\,\text{cm}^2 - 24\,\text{cm}^2 = 216\,\text{cm}^2\). 2. Umfang: Die Außenlinie besteht aus den ursprünglichen Kanten und den Innenkanten der Kerbe. \(U = 20 + 4 + 6 + 4 + 6 + 4 + 20 + 12 = 76\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(216\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(76\,\text{cm}\).

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt eines einzelnen Kästchens im Gitternetz. - Zerlege die markierte Fläche in einfache geometrische Formen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst. - Nutze die Grundseiten und Höhen der Dreiecke, um ihre Größe in Kästchen zu bestimmen. - Achte darauf, am Ende die Anzahl der Kästchen wieder in Quadratzentimeter umzurechnen.

1. Bestimmung der Kästchenanzahl des Rechtecks: \(12\) Kästchen Breite mal \(6\) Kästchen Höhe ergibt \(12 \cdot 6 = 72\) Kästchen. 2. Berechnung des Werts eines Kästchens: \(144\,\text{cm}^2 : 72 = 2\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Flächeninhalte der orangefarbenen Dreiecke in Kästcheneinheiten: - Unteres Dreieck: Grundseite \(g_1 = 12\), Höhe \(h_1 = 3\). Fläche \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18\) Kästchen. - Oberes Dreieck: Grundseite \(g_2 = 6\), Höhe \(h_2 = 3\). Fläche \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9\) Kästchen. 4. Gesamte orange Fläche in Kästchen: \(18 + 9 = 27\) Kästchen. 5. Umrechnung in Quadratzentimeter: \(27 \cdot 2\,\text{cm}^2 = 54\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der orange markierten Teilflächen beträgt \(54\,\text{cm}^2\).