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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Oberfläche von Quader und Würfel (sowie zusammengesetzte Körper)

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4100315
Ein \(2 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}\) großer Quader hat einen Oberflächeninhalt a) \(66 \text{ cm}^2\) b) \(132 \text{ cm}^2\) c) \(150 \text{ cm}^2\) d) \(800 \text{ cm}^2\)

Denkanstöße

- Aus wie vielen Flächen besteht die Oberfläche eines Quaders? - Welche Seitenflächen sind jeweils gleich groß? - Achte darauf, nicht das Volumen, sondern den Flächeninhalt der Außenhülle zu berechnen.

Lösung

1. Anwendung der Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders: \(O = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)\). 2. Einsetzen der Kantenlängen: \(O = 2 \cdot (2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 2 \cdot 8)\). 3. Berechnung der Teilflächeninhalte: \(10 + 40 + 16 = 66\). 4. Verdopplung des Ergebnisses für die Gesamtoberfläche: \(O = 2 \cdot 66 = 132 \text{ cm}^2\).

Antwort

b) \(132 \text{ cm}^2\)
4216345
Ein Quader hat die Kantenlängen \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 6\,\text{cm}\) und \(c = 15\,\text{cm}\). a) Wie viele der sechs Seitenflächen dieses Quaders sind Quadrate? b) Berechne den Oberflächeninhalt \(O\) dieses Quaders.

Denkanstöße

- Welche Form haben die einzelnen Seitenflächen eines Quaders? - Wie viele Paare von Flächen, die genau gleich groß sind, gibt es bei einem Quader? - Wann ist ein Rechteck ein Quadrat? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks?

Lösung

1. Ein Quader besitzt drei Paare jeweils gleicher gegenüberliegender Seitenflächen mit den Maßen \(a \cdot b\), \(a \cdot c\) und \(b \cdot c\). 2. Bei den gegebenen Maßen sind die Flächen \(a \cdot b = 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). Da beide Seitenlängen gleich sind, handelt es sich um Quadrate. Davon gibt es 2 Stück (ein Paar). 3. Die restlichen Flächen sind \(a \cdot c = 6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\) und \(b \cdot c = 6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\). Da \(6 \neq 15\), sind diese 4 Flächen Rechtecke, aber keine Quadrate. Ergebnis für a): 2 Quadrate. 4. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 2 \cdot 36\,\text{cm}^2 + 4 \cdot 90\,\text{cm}^2 = 72\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 432\,\text{cm}^2\).

Antwort

a) Der Quader hat genau 2 Quadrate als Seitenflächen. b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(O = 432\,\text{cm}^2\).
4216385
Leon möchte ein Netz für einen Würfel mit der Kantenlänge \(4\,\text{cm}\) basteln. Er verwendet ein Standardnetz in Kreuzform, das aus einer Reihe von 4 Quadraten besteht, wobei am zweiten Quadrat der Reihe oberhalb und unterhalb jeweils ein weiteres Quadrat als Flügel angebracht ist. Er hat zwei Papierreste zur Auswahl: - Papier A: \(22\,\text{cm} \times 12\,\text{cm}\) - Papier B: \(15\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) Auf welches der beiden Papiere passt das Würfelnetz? Begründe deine Antwort durch Berechnung der benötigten Mindestmaße des Netzes.

Denkanstöße

- Wie viele Quadrate liegen in der längsten Reihe des Netzes hintereinander? - Wie viele Quadrate liegen an der breitesten Stelle des Netzes übereinander? - Vergleiche die berechnete Länge und Breite des Netzes mit den Maßen der Papierstücke.

Lösung

1. Berechnung der Maße des Würfelnetzes: Da alle Kanten des Würfels \(4\,\text{cm}\) lang sind, besteht das Netz aus 6 Quadraten der Seitenlänge \(4\,\text{cm}\). 2. Die Reihe aus 4 Quadraten hat eine Gesamtlänge von \(4 \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 3. Die Breite des Netzes (inklusive der Flügel) über drei Quadrate hinweg beträgt \(3 \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 4. Das Netz benötigt also eine Fläche von mindestens \(16\,\text{cm} \times 12\,\text{cm}\). 5. Vergleich mit Papier A: \(16 \le 22\) und \(12 \le 12\). Das Netz passt auf Papier A. 6. Vergleich mit Papier B: Eine Seite von \(16\,\text{cm}\) passt nicht auf eine Papierseite von \(15\,\text{cm}\). Das Netz passt nicht auf Papier B.

Antwort

Das Würfelnetz passt nur auf Papier A, da es mindestens \(16\,\text{cm} \times 12\,\text{cm}\) Platz benötigt und Papier B mit \(15\,\text{cm}\) Kantenlänge zu kurz für die 4er-Reihe ist.
4216405
Betrachte die drei geometrischen Körper Würfel, Quader und Kugel. a) Welche dieser Körper besitzen ausschließlich ebene (flache) Begrenzungsflächen? b) Ein Netz eines Körpers besteht aus einer zusammenhängenden Figur aus ebenen Teilflächen. Erkläre kurz, warum man für einen Würfel ein solches Netz zeichnen kann, für eine Kugel jedoch nicht.

Denkanstöße

- Was unterscheidet die Form einer Kugel von der eines Würfels, wenn du sie anfassen würdest? - Überlege, was mit einem Blatt Papier passiert, wenn du versuchst, einen Ball damit faltenfrei einzupacken. - Welche Form haben die einzelnen Seiten eines Würfels?

Lösung

1. Identifikation der Körper mit ebenen Flächen: Würfel und Quader besitzen ausschließlich ebene Begrenzungsflächen (Quadrate bzw. Rechtecke). 2. Begründung für die Netz-Konstruktion: Ein Würfel hat ebene Flächen, die an den Kanten miteinander verbunden sind. Man kann diese Flächen entlang einiger Kanten „aufklappen“ und flach in einer Ebene auslegen. 3. Begründung für die Kugel: Die Oberfläche einer Kugel ist in alle Richtungen gekrümmt. Da sie keine ebenen Teilflächen und keine Kanten besitzt, lässt sie sich nicht ohne Dehnung, Stauchung oder Einrisse flach auf einer Ebene (wie einem Blatt Papier) ausbreiten.

Antwort

a) Würfel und Quader. b) Ein Würfel besteht aus flachen Quadraten, die man an den Kanten aufklappen und flach hinlegen kann. Eine Kugeloberfläche ist hingegen überall gekrümmt und besitzt keine Kanten. Man kann sie nicht flach ausbreiten, ohne die Fläche zu verzerren.
4216465
Ein Paket hat die Form eines Quaders mit den Kantenlängen \(a = 12{,}5\,\text{cm}\), \(b = 8\,\text{cm}\) und \(c = 40\,\text{mm}\). Berechne den Oberflächeninhalt des Pakets in Quadratzentimetern.

Denkanstöße

- Haben alle Kantenlängen dieselbe Einheit? - In welche Einheit soll das Endergebnis umgerechnet werden? - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Quader insgesamt? - Wie viele dieser Flächen sind jeweils deckungsgleich (gleich groß)?

Lösung

1. Umrechnen der Kantenlänge \(c\) in die Einheit Zentimeter: \(40\,\text{mm} = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Seitenflächen: \(A_1 = 12{,}5\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\), \(A_2 = 12{,}5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 50\,\text{cm}^2\) und \(A_3 = 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\). 3. Addition der Flächeninhalte und Verdoppelung für den gesamten Oberflächeninhalt: \(O = 2 \cdot (100\,\text{cm}^2 + 50\,\text{cm}^2 + 32\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 182\,\text{cm}^2 = 364\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Oberflächeninhalt des Pakets beträgt \(364\,\text{cm}^2\).
4216495
Vergleiche den Oberflächeninhalt der beiden folgenden Körper rechnerisch: Körper A ist ein Quader mit den Kantenlängen \(8\,\text{cm}\), \(30\,\text{mm}\) und \(0{,}5\,\text{dm}\). Körper B ist ein Würfel mit einer Kantenlänge von \(6\,\text{cm}\). Welcher Körper hat die größere Oberfläche?

Denkanstöße

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Quader und wie berechnet man deren Flächeninhalt? - Was ist das Besondere an den Seitenflächen eines Würfels?

Lösung

1. Umrechnung aller Kantenlängen des Quaders in die Einheit \(\text{cm}\): \(a = 8\,\text{cm}\), \(b = 30\,\text{mm} = 3\,\text{cm}\), \(c = 0{,}5\,\text{dm} = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des Quaders: \(O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} + 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 2 \cdot (24\,\text{cm}^2 + 15\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 79\,\text{cm}^2 = 158\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts des Würfels: \(O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot (6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}) = 6 \cdot 36\,\text{cm}^2 = 216\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(216\,\text{cm}^2 > 158\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Würfel (Körper B) hat mit \(216\,\text{cm}^2\) einen größeren Oberflächeninhalt als der Quader (Körper A) mit \(158\,\text{cm}^2\).
4216525
Gegeben sind drei Würfel mit den Kantenlängen \(a_1 = 3\,\text{cm}\), \(a_2 = 6\,\text{cm}\) und \(a_3 = 9\,\text{cm}\). a) Berechne für jeden der drei Würfel den Oberflächeninhalt. b) Vergleiche die Ergebnisse: Um das Wievielfache vergrößert sich der Oberflächeninhalt, wenn die Kantenlänge von \(3\,\text{cm}\) auf \(6\,\text{cm}\) verdoppelt wird? c) Um das Wievielfache vergrößert sich der Oberflächeninhalt, wenn die Kantenlänge von \(3\,\text{cm}\) auf \(9\,\text{cm}\) verdreifacht wird?

Denkanstöße

- Wie viele (gleich große) quadratische Flächen begrenzen einen Würfel? - Berechne zuerst den Flächeninhalt einer einzelnen Seite und multipliziere ihn dann mit \(6\). - Überlege dir, wie du herausfindest, wie oft ein kleinerer Wert in einen größeren passt.

Lösung

1. Berechnung der Oberflächeninhalte (\(O = 6 \cdot a \cdot a\)): Für \(a_1 = 3\,\text{cm}\): \(O_1 = 6 \cdot 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 54\,\text{cm}^2\). Für \(a_2 = 6\,\text{cm}\): \(O_2 = 6 \cdot 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 216\,\text{cm}^2\). Für \(a_3 = 9\,\text{cm}\): \(O_3 = 6 \cdot 9\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 486\,\text{cm}^2\). 2. Vergleich bei Verdopplung: \(216 : 54 = 4\). Der Oberflächeninhalt vervierfacht sich. 3. Vergleich bei Verdreifachung: \(486 : 54 = 9\). Der Oberflächeninhalt verneunfacht sich.

Antwort

a) \(O_1 = 54\,\text{cm}^2\); \(O_2 = 216\,\text{cm}^2\); \(O_3 = 486\,\text{cm}^2\) b) Der Oberflächeninhalt wird 4-mal so groß. c) Der Oberflächeninhalt wird 9-mal so groß.
4216555
Ein Schuhkarton hat die Form eines Quaders mit den Maßen \(a = 35\,\text{cm}\), \(b = 20\,\text{cm}\) und \(c = 12\,\text{cm}\). Berechne den gesamten Oberflächeninhalt des Kartons.

Denkanstöße

- Aus wie vielen Flächen besteht ein Quader insgesamt? - Überlege dir, welche Flächen des Kartons jeweils gleich groß sind. - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks? - Kannst du die Flächen paarweise zusammenfassen (zum Beispiel Boden und Deckel)?

Lösung

1. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Rechteckseiten: \(35 \cdot 20 = 700\,\text{cm}^2\), \(20 \cdot 12 = 240\,\text{cm}^2\) und \(35 \cdot 12 = 420\,\text{cm}^2\). 2. Addition der drei Einzelflächen: \(700 + 240 + 420 = 1360\,\text{cm}^2\). 3. Da jede Fläche bei einem Quader doppelt vorkommt, wird die Summe mit 2 multipliziert: \(2 \cdot 1360 = 2720\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Oberflächeninhalt beträgt \(2720\,\text{cm}^2\).
4216615
Ein kleiner Spielwürfel hat eine Kantenlänge von \(2\,\text{cm}\). Ein größerer Holzwürfel hat mit \(4\,\text{cm}\) eine doppelt so lange Kante. Lukas behauptet: „Wenn die Kante doppelt so lang ist, dann muss auch der Oberflächeninhalt des großen Würfels genau doppelt so groß sein wie der des kleinen Würfels.“ Überprüfe diese Behauptung, indem du beide Oberflächeninhalte berechnest und vergleichst.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Oberflächeninhalt eines Würfels aus seinen sechs quadratischen Seitenflächen? - Berechne zuerst die Oberfläche für den kleinen und dann für den großen Würfel getrennt. - Vergleiche die beiden Ergebnisse: Ist das zweite Ergebnis genau das Zweifache des ersten?

Lösung

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des kleinen Würfels (\(a = 2\,\text{cm}\)): \(O_1 = 6 \cdot (2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm}) = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des großen Würfels (\(a = 4\,\text{cm}\)): \(O_2 = 6 \cdot (4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}) = 96\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Der Oberflächeninhalt des großen Würfels ist das Vierfache des kleinen Würfels (\(96 : 24 = 4\)), nicht das Doppelte. Lukas' Behauptung ist falsch.

Antwort

Lukas hat nicht recht. Der Oberflächeninhalt des kleinen Würfels beträgt \(24\,\text{cm}^2\), der des großen Würfels \(96\,\text{cm}^2\). Damit ist die Oberfläche des großen Würfels viermal so groß wie die des kleinen.
4216655
Ein kleiner Spielwürfel hat eine Kantenlänge von \(8\,\text{cm}\). Wie groß ist der gesamte Oberflächeninhalt dieses Würfels?

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats, wenn man die Seitenlänge kennt? - Wie viele solcher Quadrate bilden zusammen die Oberfläche eines Würfels? - Welche Rechenoperation hilft dir, wenn du die Fläche einer Seite sechsmal benötigst?

Lösung

1. Zuerst wird der Flächeninhalt einer einzelnen quadratischen Seitenfläche berechnet: \(8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\). 2. Da ein Würfel insgesamt sechs dieser gleich großen Seitenflächen hat, wird dieser Wert mit 6 multipliziert: \(64\,\text{cm}^2 \cdot 6 = 384\,\text{cm}^2\). 3. Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt demnach \(384\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Oberflächeninhalt beträgt \(384\,\text{cm}^2\).
4216355
Stell dir vor, jemand behauptet, ein Quadernetz mit genau einem Quadrat gezeichnet zu haben. Erkläre, warum diese Behauptung nicht stimmen kann. Nutze dabei dein Wissen über die gegenüberliegenden Flächen eines Quaders.

Denkanstöße

- Was weißt du über die gegenüberliegenden Flächen in einem Quader? - Wenn du eine Fläche als Quadrat zeichnest, was bedeutet das für die Fläche auf der anderen Seite des Quaders? - In welcher Anzahl treten gleiche Flächen bei einem Quader immer auf?

Lösung

1. Ein Quader besteht aus 6 rechteckigen Seitenflächen, wobei jeweils zwei gegenüberliegende Flächen deckungsgleich (kongruent) sind. 2. Wenn eine Seitenfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge \(s\) ist, dann muss die ihr gegenüberliegende Fläche ebenfalls ein Quadrat mit derselben Seitenlänge \(s\) sein. 3. Da Quadrate somit immer nur paarweise auftreten können, ist es unmöglich, dass ein Quader genau ein einziges Quadrat besitzt. Es müssten mindestens zwei sein.

Antwort

In einem Quader sind gegenüberliegende Flächen immer gleich groß. Wenn eine Fläche ein Quadrat ist, muss die gegenüberliegende Fläche also ebenfalls ein Quadrat sein. Deshalb treten Quadrate bei einem Quader immer mindestens paarweise auf. Genau ein Quadrat ist daher unmöglich.
4216375
Ein Quader hat die Kantenlängen \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\) und \(c = 2\,\text{cm}\). Ein klassisches Netz dieses Quaders besteht aus vier Flächen in einer Reihe und zwei weiteren Flächen als seitliche „Flügel“. Betrachte ein Netz, bei dem die Flächen mit den Seitenlängen \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) sowie \(5\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) abwechselnd in einer Reihe liegen. Die beiden verbleibenden Flächen (\(4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) sind die Flügel, die oben und unten an einer der \(5\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) großen Flächen hängen. Wie lang und wie breit muss ein rechteckiges Stück Papier mindestens sein, damit dieses spezielle Netz darauf Platz findet?

Denkanstöße

- Stell dir vor, wie die Flächen der Reihe nebeneinanderliegen und addiere ihre Breiten. - Überlege, welche Kante der Flügel an der Reihe festklebt und wie weit der Flügel dann nach außen absteht. - Skizziere das Netz grob und beschrifte alle Kantenlängen.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtlänge der Reihe: Die vier Flächen in der Reihe haben die Breiten \(4\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). Die Gesamtlänge der Reihe beträgt \(4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Gesamthöhe des Netzes: Die Höhe der zentralen Reihe entspricht der gemeinsamen Kantenlänge \(5\,\text{cm}\). Die Flügel sind \(4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) groß und an der \(4\,\text{cm}\) langen Seite befestigt. Sie ragen also jeweils um \(2\,\text{cm}\) nach oben und unten über die Reihe hinaus. Die Gesamthöhe beträgt somit \(2\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). 3. Das Papier muss mindestens \(12\,\text{cm} \times 9\,\text{cm}\) groß sein.

Antwort

Das Papier muss mindestens \(12\,\text{cm}\) lang und \(9\,\text{cm}\) breit sein (oder umgekehrt).
4216505
Zwei Geschenkschachteln sollen mit Geschenkpapier beklebt werden. Schachtel 1 ist würfelförmig mit einer Kantenlänge von \(15\,\text{cm}\). Schachtel 2 ist quaderförmig mit den Maßen \(20\,\text{cm}\) Länge, \(10\,\text{cm}\) Breite und \(12\,\text{cm}\) Höhe. Für welche der beiden Schachteln wird mehr Papier benötigt? Begründe durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Stelle dir vor, du klappst die Schachteln auseinander. Aus welchen Flächen besteht das Netz? - Welche Maße haben die sechs Rechtecke beim Quader? - Rechne Schritt für Schritt und notiere die Zwischenergebnisse für die einzelnen Teilflächen.

Lösung

1. Berechnung der Oberfläche der würfelförmigen Schachtel 1: \(O_1 = 6 \cdot (15\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm}) = 6 \cdot 225\,\text{cm}^2 = 1350\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Oberfläche der quaderförmigen Schachtel 2: \(O_2 = 2 \cdot (20\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} + 10\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} + 20\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm}) = 2 \cdot (200\,\text{cm}^2 + 120\,\text{cm}^2 + 240\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 560\,\text{cm}^2 = 1120\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Werte: \(1350\,\text{cm}^2 > 1120\,\text{cm}^2\).

Antwort

Für Schachtel 1 wird mehr Papier benötigt, da ihre Oberfläche \(1350\,\text{cm}^2\) beträgt, während Schachtel 2 nur eine Oberfläche von \(1120\,\text{cm}^2\) hat.
4216515
Bestimme durch Rechnung, welcher Körper den größeren Oberflächeninhalt besitzt: Ein Quader mit den Kantenlängen \(40\,\text{mm}\), \(12\,\text{cm}\) und \(0{,}1\,\text{m}\) oder ein Würfel mit einer Kantenlänge von \(8\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Überprüfe zuerst, ob alle Einheiten zueinander passen. In welcher Einheit lassen sich die Werte am leichtesten vergleichen? - Die Oberfläche eines Körpers ist die Summe aller seiner Seitenflächen. - Wie viele Paare gleicher Flächen gibt es bei einem Quader?

Lösung

1. Umrechnung der Quadermaße in \(\text{cm}\): \(a = 4\,\text{cm}\), \(b = 12\,\text{cm}\), \(c = 0{,}1\,\text{m} = 10\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des Quaders: \(O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (4 \cdot 12 + 12 \cdot 10 + 4 \cdot 10) = 2 \cdot (48 + 120 + 40) = 2 \cdot 208 = 416\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts des Würfels: \(O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot (8 \cdot 8) = 6 \cdot 64 = 384\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(416\,\text{cm}^2 > 384\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Quader hat mit \(416\,\text{cm}^2\) einen größeren Oberflächeninhalt als der Würfel mit \(384\,\text{cm}^2\).
4216535
Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt \(150\,\text{cm}^2\). a) Berechne den Flächeninhalt einer Seitenfläche dieses Würfels. b) Bestimme die Kantenlänge \(a\) des Würfels. c) Ein zweiter Würfel hat die dreifache Kantenlänge des ersten Würfels. Berechne seinen Oberflächeninhalt.

Denkanstöße

- Aus wie vielen Quadraten besteht die Oberfläche eines Würfels insgesamt? - Wenn du den Flächeninhalt eines Quadrats kennst, wie findest du dann seine Seitenlänge heraus? - Was passiert mit der Kantenlänge, wenn sie verdreifacht wird?

Lösung

1. Flächeninhalt einer Seitenfläche: Da ein Würfel 6 gleiche Flächen hat, gilt \(150\,\text{cm}^2 : 6 = 25\,\text{cm}^2\). 2. Kantenlänge \(a\): Gesucht ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(25\) ergibt (\(a \cdot a = 25\)). Das Ergebnis ist \(a = 5\,\text{cm}\). 3. Neue Kantenlänge: \(5\,\text{cm} \cdot 3 = 15\,\text{cm}\). 4. Neuer Oberflächeninhalt: \(O = 6 \cdot 15\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 6 \cdot 225\,\text{cm}^2 = 1\,350\,\text{cm}^2\).

Antwort

a) \(25\,\text{cm}^2\) b) \(5\,\text{cm}\) c) \(1\,350\,\text{cm}^2\)
4216545
Ein großer Würfel hat eine Kantenlänge von \(10\,\text{dm}\). a) Berechne den Oberflächeninhalt des Würfels in \(\text{dm}^2\). b) Nun wird die Kantenlänge des Würfels halbiert. Berechne den Oberflächeninhalt des neuen, kleineren Würfels. c) Wie verändert sich der Oberflächeninhalt durch die Halbierung der Kantenlänge? Formuliere einen Antwortsatz.

Denkanstöße

- Berechne erst einmal ganz normal die Oberfläche für den ersten Würfel. - Was bedeutet „halbieren“ für die Länge der Kante? - Vergleiche das erste und das zweite Ergebnis durch Division.

Lösung

1. Oberflächeninhalt des großen Würfels: \(O = 6 \cdot 10\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} = 600\,\text{dm}^2\). 2. Neue Kantenlänge: \(10\,\text{dm} : 2 = 5\,\text{dm}\). 3. Oberflächeninhalt des kleinen Würfels: \(O = 6 \cdot 5\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 150\,\text{dm}^2\). 4. Vergleich: \(600\,\text{dm}^2 : 150\,\text{dm}^2 = 4\). Der Oberflächeninhalt des kleinen Würfels ist nur noch ein Viertel so groß wie der des ursprünglichen Würfels.

Antwort

a) \(600\,\text{dm}^2\) b) \(150\,\text{dm}^2\) c) Wenn man die Kantenlänge halbiert, wird der Oberflächeninhalt auf ein Viertel des ursprünglichen Oberflächeninhalts reduziert.
4216565
Ein großer Würfel hat eine Kantenlänge von \(9\,\text{cm}\). Ein kleinerer Würfel hat eine Kantenlänge von \(3\,\text{cm}\). Um wie viel Quadratzentimeter unterscheiden sich die Oberflächeninhalte der beiden Würfel?

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Oberflächeninhalt für jeden Würfel einzeln. - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Würfel und welche Form haben sie? - Was bedeutet das Wort „unterscheiden“ für deine Rechnung?

Lösung

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des großen Würfels: \(6 \cdot (9 \cdot 9) = 6 \cdot 81 = 486\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des kleinen Würfels: \(6 \cdot (3 \cdot 3) = 6 \cdot 9 = 54\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Differenz zwischen den beiden Oberflächeninhalten: \(486 - 54 = 432\,\text{cm}^2\).

Antwort

Die Oberflächeninhalte unterscheiden sich um \(432\,\text{cm}^2\).
4216575
Alle Kanten eines Würfels sind zusammen genau \(144\,\text{cm}\) lang. Berechne den Oberflächeninhalt dieses Würfels.

Denkanstöße

- Wie viele Kanten hat ein Würfel insgesamt? - Wenn du die Gesamtlänge aller Kanten kennst, wie findest du die Länge einer einzelnen Kante heraus? - Wie viele Seitenflächen hat ein Würfel? - Welche Form haben die Seitenflächen eines Würfels?

Lösung

1. Bestimmung der Kantenlänge \(a\): Da ein Würfel 12 gleich lange Kanten hat, wird die Gesamtlänge durch 12 geteilt: \(144 : 12 = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts einer Seitenfläche: \(12 \cdot 12 = 144\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Gesamtoberfläche aus den 6 quadratischen Seitenflächen: \(6 \cdot 144 = 864\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt \(864\,\text{cm}^2\).
4216625
Ein Quader hat die Kantenlängen \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 3\,\text{cm}\) und \(c = 2\,\text{cm}\). a) Berechne den Oberflächeninhalt des Quaders. b) Verdopple nur die Kantenlänge \(a\) (die neue Länge ist also \(10\,\text{cm}\)). Die anderen Kanten bleiben gleich. Berechne den neuen Oberflächeninhalt. c) Untersuche, ob sich der Oberflächeninhalt durch die Verdopplung von \(a\) ebenfalls verdoppelt hat.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders: \(O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)\). - Führe die Rechnung schrittweise für beide Fälle durch. - Achte darauf, dass sich im zweiten Fall nur eine der drei Zahlen in der Formel ändert.

Lösung

1. Berechnung der ursprünglichen Oberfläche: \(O = 2 \cdot (5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (15 + 10 + 6) = 2 \cdot 31 = 62\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der neuen Oberfläche mit \(a = 10\,\text{cm}\): \(O_{\text{neu}} = 2 \cdot (10 \cdot 3 + 10 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (30 + 20 + 6) = 2 \cdot 56 = 112\,\text{cm}^2\). 3. Prüfung auf Verdopplung: Das Doppelte von \(62\,\text{cm}^2\) wäre \(124\,\text{cm}^2\). Da \(112\,\text{cm}^2 \neq 124\,\text{cm}^2\), hat sich die Oberfläche nicht verdoppelt.

Antwort

a) Der Oberflächeninhalt beträgt \(62\,\text{cm}^2\). b) Der neue Oberflächeninhalt beträgt \(112\,\text{cm}^2\). c) Nein, der Oberflächeninhalt hat sich nicht verdoppelt, da \(112\) nicht das Doppelte von \(62\) ist.
4216715
Ein Schuhkarton hat die Form eines Quaders mit einem Oberflächeninhalt von \(2\,600\,\text{cm}^2\). Die Grundfläche ist \(25\,\text{cm}\) breit und \(30\,\text{cm}\) lang. Berechne die Höhe des Kartons.

Denkanstöße

- Ein Quader hat drei Paare von jeweils gleichen Flächen. Welche Paare kannst du bereits berechnen? - Wie viel vom gesamten Oberflächeninhalt bleibt für die restlichen Flächen übrig, wenn du die Grund- und Deckfläche abziehst? - Wie hängen die vier restlichen Seitenflächen mit der Höhe des Kartons zusammen?

Lösung

1. Berechnung des Flächeninhalts von Grund- und Deckfläche: \(2 \cdot (25\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm}) = 2 \cdot 750\,\text{cm}^2 = 1\,500\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Anteils der restlichen vier Seitenflächen (Mantelfläche) am Gesamtinhalt: \(2\,600\,\text{cm}^2 - 1\,500\,\text{cm}^2 = 1\,100\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs der Grundfläche: \(2 \cdot (25\,\text{cm} + 30\,\text{cm}) = 110\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche eines Quaders entspricht dem Produkt aus Umfang der Grundfläche und der Höhe \(h\). Berechnung der Höhe: \(1\,100\,\text{cm}^2 : 110\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\).

Antwort

Der Karton ist \(10\,\text{cm}\) hoch.
4217005
Eine geschlossene, würfelförmige Schachtel wiegt insgesamt \(150\,\text{g}\). Die dafür verwendete Pappe hat ein Gewicht von \(25\,\text{g}\) pro \(100\,\text{cm}^2\). a) Wie groß ist der gesamte Oberflächeninhalt der Schachtel? b) Wie lang ist eine Kante der Schachtel?

Denkanstöße

- Wie viele Flächen hat ein geschlossener Würfel? - Kannst du aus dem Gesamtgewicht und dem Gewicht pro Fläche die Gesamtfläche berechnen? - Wenn du die Fläche einer einzelnen Quadratseite kennst, wie findest du dann die Länge einer Seite heraus?

Lösung

1. Berechnung des gesamten Oberflächeninhalts: Da \(100\,\text{cm}^2\) genau \(25\,\text{g}\) wiegen, bestimmt man die Anzahl dieser Einheiten durch \(150\,\text{g} : 25\,\text{g} = 6\). Der Oberflächeninhalt beträgt somit \(6 \cdot 100\,\text{cm}^2 = 600\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Fläche einer einzelnen Seite: Ein geschlossener Würfel hat 6 gleich große Quadrate als Seitenflächen. \(600\,\text{cm}^2 : 6 = 100\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Kantenlänge: Gesucht ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(100\) ergibt. Da \(10 \cdot 10 = 100\), beträgt die Kantenlänge \(10\,\text{cm}\).

Antwort

a) Der Oberflächeninhalt beträgt \(600\,\text{cm}^2\). b) Die Kantenlänge beträgt \(10\,\text{cm}\).
4217015
Ein oben offener Karteikasten aus Metall hat die Form eines Quaders. Er ist \(40\,\text{cm}\) lang, \(30\,\text{cm}\) breit und \(5\,\text{cm}\) hoch. Das verwendete Metallblech wiegt \(5\,\text{g}\) pro \(100\,\text{cm}^2\). Berechne das Gesamtgewicht des leeren Karteikastens.

Denkanstöße

- Welche Flächen gehören zu einem Kasten, der oben offen ist? Skizziere sie dir am besten. - Berechne zuerst den Flächeninhalt jeder einzelnen Seite. - Wie oft passen \(100\,\text{cm}^2\) in deine berechnete Gesamtfläche?

Lösung

1. Bestimmung der vorhandenen Flächen: Da der Kasten oben offen ist, besteht er aus einer Bodenfläche, zwei langen Seitenflächen und zwei kurzen Seitenflächen. 2. Berechnung der Teilflächen: Bodenfläche \(40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1\,200\,\text{cm}^2\). Zwei lange Seiten \(2 \cdot (40\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 400\,\text{cm}^2\). Zwei kurze Seiten \(2 \cdot (30\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 300\,\text{cm}^2\). 3. Gesamtfläche: \(1\,200\,\text{cm}^2 + 400\,\text{cm}^2 + 300\,\text{cm}^2 = 1\,900\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des Gewichts: In der Gesamtfläche sind \(1\,900 : 100 = 19\) Einheiten von \(100\,\text{cm}^2\) enthalten. Das Gewicht beträgt \(19 \cdot 5\,\text{g} = 95\,\text{g}\).

Antwort

Der Karteikasten wiegt \(95\,\text{g}\).
4217155
Ein geschlossener quaderförmiger Holzkasten für Spielzeug ist \(80\,\text{cm}\) lang, \(50\,\text{cm}\) breit und \(40\,\text{cm}\) hoch. Der Kasten soll von außen komplett mit einer Schutzlasur gestrichen werden (einschließlich Deckel und Boden). a) Berechne die gesamte Oberfläche des Kastens in Quadratzentimetern. b) Die Schutzlasur kostet \(0{,}05\,\text{€}\) pro Quadratdezimeter. Wandle die Oberfläche in Quadratdezimeter um und berechne die Gesamtkosten für die Lasur.

Denkanstöße

- Stelle dir vor, aus wie vielen Rechtecken die Außenseite des Kastens besteht. - Wie viele verschiedene Größen von Rechtecken gibt es bei einem Quader? - Denke an die Umrechnungszahl für Flächeneinheiten, wenn du von Quadratzentimetern zu Quadratdezimetern wechselst. - Wie berechnest du die Gesamtkosten aus der Fläche und dem Preis pro Quadratdezimeter?

Lösung

1. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Seitenpaare: \(80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 4\,000\,\text{cm}^2\), \(80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 3\,200\,\text{cm}^2\) und \(50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 2\,000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(2 \cdot (4\,000\,\text{cm}^2 + 3\,200\,\text{cm}^2 + 2\,000\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 9\,200\,\text{cm}^2 = 18\,400\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung der Fläche: Da \(100\,\text{cm}^2 = 1\,\text{dm}^2\) sind, ergeben \(18\,400\,\text{cm}^2 = 184\,\text{dm}^2\). 4. Berechnung der Kosten: \(184 \cdot 0{,}05\,\text{€} = 9{,}20\,\text{€}\).

Antwort

a) Die Oberfläche beträgt \(18\,400\,\text{cm}^2\). b) Die Fläche entspricht \(184\,\text{dm}^2\). Die Lasur kostet \(9{,}20\,\text{€}\).
4217165
Für ein Gartenhaus aus Holz soll die Außenfläche der vier Wände und das Flachdach gestrichen werden. Das Haus ist \(3\,\text{m}\) lang, \(2{,}5\,\text{m}\) breit und \(2\,\text{m}\) hoch. a) Berechne die Fläche der vier Wände. Eine Tür mit einem Flächeninhalt von \(2\,\text{m}^2\) soll dabei nicht mitgerechnet werden. b) Berechne die Fläche des Flachdachs und addiere sie zur Wandfläche. c) Ein Eimer Farbe reicht für \(10\,\text{m}^2\). Wie viele Eimer müssen gekauft werden?

Denkanstöße

- Welche Seiten des Hauses bilden die Wände und welche das Dach? - Überlege, welche Flächen beim Streichen weggelassen werden müssen (z. B. der Boden oder die Tür). - Wenn du ein Ergebnis wie \(2{,}5\) Eimer herausbekommst, kannst du im Laden dann genau diese Menge kaufen?

Lösung

1. Berechnung der Wandflächen ohne Abzug: Zwei Wände sind \(3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\) groß, zwei Wände sind \(2{,}5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 5\,\text{m}^2\) groß. Summe: \(2 \cdot 6\,\text{m}^2 + 2 \cdot 5\,\text{m}^2 = 12\,\text{m}^2 + 10\,\text{m}^2 = 22\,\text{m}^2\). 2. Abzug der Tür: \(22\,\text{m}^2 - 2\,\text{m}^2 = 20\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Dachfläche: \(3\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 7{,}5\,\text{m}^2\). 4. Gesamtfläche: \(20\,\text{m}^2 + 7{,}5\,\text{m}^2 = 27{,}5\,\text{m}^2\). 5. Anzahl der Eimer: Da ein Eimer für \(10\,\text{m}^2\) reicht, werden für \(27{,}5\,\text{m}^2\) genau \(2{,}75\) Eimer benötigt. Da man nur ganze Eimer kaufen kann, müssen \(3\) Eimer gekauft werden.

Antwort

a) Die Wandfläche beträgt \(20\,\text{m}^2\). b) Das Dach hat eine Fläche von \(7{,}5\,\text{m}^2\). Die Gesamtfläche beträgt \(27{,}5\,\text{m}^2\). c) Es müssen \(3\) Eimer Farbe gekauft werden.
4217195
Ein hölzerner Balken ist \(2\,\text{m}\) lang. Die quadratische Grundfläche des Balkens hat eine Seitenlänge von \(15\,\text{cm}\). Bestimme den gesamten Oberflächeninhalt des Balkens in Quadratzentimetern.

Denkanstöße

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie viele der Seitenflächen sind bei diesem speziellen Quader identisch? - Überlege dir, aus welchen Rechtecken oder Quadraten die Oberfläche zusammengesetzt ist.

Lösung

1. Umrechnung der Länge in die Einheit Zentimeter: \(2\,\text{m} = 200\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Maße des Quaders: \(a = 200\,\text{cm}\), \(b = 15\,\text{cm}\), \(c = 15\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Flächeninhalte: Die beiden quadratischen Endflächen betragen jeweils \(15 \cdot 15 = 225\,\text{cm}^2\). Die vier langen Seitenflächen betragen jeweils \(200 \cdot 15 = 3\,000\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(2 \cdot 225 + 4 \cdot 3\,000 = 450 + 12\,000 = 12\,450\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Oberflächeninhalt beträgt \(12\,450\,\text{cm}^2\).
4217205
Ein Würfel hat eine Kantenlänge von \(10\,\text{cm}\). Ein Quader hat die Maße \(20\,\text{cm}\) Länge, \(8\,\text{cm}\) Breite und \(5\,\text{cm}\) Höhe. Vergleiche die Oberflächeninhalte der beiden Körper und entscheide, ob einer größer ist oder ob sie gleich groß sind. Berechne außerdem die Differenz der beiden Oberflächeninhalte.

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Oberflächeninhalt für jeden Körper einzeln. - Wie berechnet man die Oberfläche eines Würfels besonders schnell? - Vergleiche am Ende deine beiden Ergebnisse.

Lösung

1. Berechnung der Oberfläche des Würfels: Ein Würfel hat sechs gleiche quadratische Flächen. \(O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot (10 \cdot 10) = 6 \cdot 100 = 600\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Oberfläche des Quaders: \(O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (20 \cdot 8 + 20 \cdot 5 + 8 \cdot 5) = 2 \cdot (160 + 100 + 40) = 2 \cdot 300 = 600\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Oberflächeninhalte sind mit \(600\,\text{cm}^2\) genau gleich groß. Die Differenz beträgt \(0\,\text{cm}^2\).

Antwort

Beide Körper haben einen Oberflächeninhalt von \(600\,\text{cm}^2\). Die Differenz beträgt \(0\,\text{cm}^2\).
4216365
In einem Quader sind immer zwei gegenüberliegende Flächen gleich groß. Die Kantenlängen bezeichnen wir mit \(a\), \(b\) und \(c\). a) Wie viele Quadrate hat ein Quader in seinem Netz, wenn alle drei Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) unterschiedlich lang sind? b) Ein Quader soll genau vier Seitenflächen haben, die Quadrate sind. Erkläre, warum das mathematisch nicht möglich ist und der Quader dann eigentlich sechs Quadrate haben müsste.

Denkanstöße

- Überlege dir für Aufgabenteil a) drei verschiedene Zahlen für die Kantenlängen. Entsteht dabei ein Quadrat? - Für Teil b): Wenn zwei verschiedene Paare von Seitenflächen Quadrate sind, was bedeutet das für die Längen der Kanten \(a\), \(b\) und \(c\)? - Wie hängen die drei Kantenlängen zusammen, wenn zwei davon für das erste Quadrat gleich sein müssen und zwei davon für das zweite Quadrat?

Lösung

1. Zu Teil a): Die Seitenflächen haben die Maße \(a \cdot b\), \(b \cdot c\) und \(a \cdot c\). Wenn \(a \neq b\), \(b \neq c\) und \(a \neq c\), dann ist bei keinem dieser Paare die Länge gleich der Breite. Somit gibt es 0 Quadrate. 2. Zu Teil b): Damit ein Paar Seitenflächen Quadrate sind, müssen zwei Kanten gleich lang sein (z. B. \(a = b\)). Dann sind die Flächen \(a \cdot b\) Quadrate. 3. Damit ein weiteres Paar Seitenflächen Quadrate sind, muss eine weitere Bedingung erfüllt sein (z. B. \(b = c\)). 4. Wenn aber \(a = b\) und \(b = c\) gilt, dann folgt daraus automatisch \(a = c\). 5. Das bedeutet, dass auch das dritte Flächenpaar (\(a \cdot c\)) aus Quadraten besteht. Somit hat der Körper insgesamt 6 quadratische Flächen (ein Würfel). Die Anzahl 4 ist nicht möglich.

Antwort

a) Der Quader hat 0 Quadrate. b) Wenn vier Flächen Quadrate sind, bedeutet das, dass zwei verschiedene Paare von Kanten gleich lang sein müssen (z. B. \(a=b\) und \(b=c\)). Dann sind aber alle drei Kantenlängen gleich (\(a=b=c\)), wodurch alle sechs Flächen des Quaders zu Quadraten werden. Ein Quader mit genau vier Quadraten existiert also nicht.
4216395
Ein Quader ist \(6\,\text{cm}\) lang, \(3\,\text{cm}\) breit und \(2\,\text{cm}\) hoch. Man kann das Netz dieses Quaders auf verschiedene Arten anordnen. a) Bei Variante 1 werden die Flächen \(6 \times 3\), \(6 \times 2\), \(6 \times 3\) und \(6 \times 2\) so in einer Reihe angeordnet, dass die \(6\,\text{cm}\) langen Kanten die Höhe der Reihe bilden. Die beiden \(3 \times 2\) großen Flächen sind die Flügel; sie hängen oberhalb und unterhalb an einer der \(6 \times 3\) großen Flächen. Wie groß ist das kleinste Rechteck, das dieses Netz umschließt? b) Bei Variante 2 werden die Flächen \(3 \times 6\), \(3 \times 2\), \(3 \times 6\) und \(3 \times 2\) so in einer Reihe angeordnet, dass die \(3\,\text{cm}\) langen Kanten die Höhe der Reihe bilden. Die beiden \(6 \times 2\) großen Flächen sind die Flügel; sie hängen oberhalb und unterhalb an einer der \(3 \times 6\) großen Flächen. Wie groß ist hier das kleinste umschließende Rechteck?

Denkanstöße

- Berechne zuerst für jede Variante, wie lang die Kette aus den vier Flächen ist. - Bestimme dann, wie weit die seitlichen Flügel die „Höhe“ der Anordnung vergrößern. - Achte darauf, welche Kante der Flügel jeweils an der Hauptreihe anliegt.

Lösung

1. Analyse Variante a: Die Breite der Reihe ergibt sich aus \(3\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). Die Höhe der Reihe ist \(6\,\text{cm}\). Die Flügel (\(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) hängen an einer \(3\,\text{cm}\) breiten Fläche, stehen also jeweils \(2\,\text{cm}\) über. Gesamthöhe: \(2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). Das Rechteck ist \(10\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\) groß. 2. Analyse Variante b: Die Breite der Reihe ergibt sich aus \(6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). Die Höhe der Reihe ist \(3\,\text{cm}\). Die Flügel (\(6\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) hängen an einer \(6\,\text{cm}\) breiten Fläche, stehen also jeweils \(2\,\text{cm}\) über. Gesamthöhe: \(2\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). Das Rechteck ist \(16\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\) groß.

Antwort

a) Das umschließende Rechteck ist \(10\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\) groß. b) Das umschließende Rechteck ist \(16\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\) groß.
4216485
Ein Podest wird aus zwei aufeinandergeklebten Quadern gebaut. Der untere Quader hat die Maße \(10\,\text{cm} \times 10\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\). Ein kleinerer Würfel mit einer Kantenlänge von \(5\,\text{cm}\) wird genau mittig auf die Oberseite des ersten Quaders geklebt. Berechne den gesamten Oberflächeninhalt des so entstandenen Körpers (die Standfläche unten zählt mit).

Denkanstöße

- Stell dir vor, welche Flächen des Körpers von außen sichtbar sind. - Was passiert mit den Flächen an der Stelle, an der die beiden Körper zusammengeklebt sind? - Gehören diese inneren Flächen noch zum Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers? - Du kannst entweder die Oberflächen einzeln berechnen und die Klebefläche abziehen oder alle sichtbaren Teilflächen addieren.

Lösung

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des unteren Quaders: \(O_1 = 2 \cdot (10 \cdot 10 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 4) = 2 \cdot (100 + 40 + 40) = 360\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des oberen Würfels: \(O_2 = 6 \cdot (5 \cdot 5) = 150\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Klebefläche: Da der Würfel auf dem Quader klebt, ist eine Fläche von \(5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\) bei beiden Körpern nicht mehr Teil der Außenfläche. 4. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(O_{Gesamt} = O_1 + O_2 - 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 360 + 150 - 50 = 460\,\text{cm}^2\). Alternativ: Addition aller sichtbaren Teilflächen (Boden: \(100\), 4 Seiten unten: \(160\), Rest-Oberseite unten: \(100-25=75\), 4 Seiten oben: \(100\), Deckfläche oben: \(25\)). Summe: \(100 + 160 + 75 + 100 + 25 = 460\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der gesamte Oberflächeninhalt des Podests beträgt \(460\,\text{cm}^2\).
4216595
Lukas baut aus einem \(140\text{ cm}\) langen Draht das Kantenmodell eines Quaders. Die Grundfläche des Quaders ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von \(12\text{ cm}\). a) Berechne die Höhe des Quaders. b) Wie viel Papier (in \(\text{cm}^2\)) benötigt Lukas mindestens, um die Oberfläche dieses Quaders vollständig zu bespannen?

Denkanstöße

- Ein Quader hat insgesamt 12 Kanten. Bei einer quadratischen Grundfläche sind 8 dieser Kanten gleich lang. - Die restlichen 4 Kanten stellen die Höhe des Quaders dar. - Denk daran, dass die Oberfläche aus der Summe aller sechs Seitenflächen besteht.

Lösung

1. Berechnung der Summe der Kanten der Grund- und Deckfläche: Ein Quader mit quadratischer Grundfläche hat 8 Kanten dieser Länge. \(8 \cdot 12\text{ cm} = 96\text{ cm}\). 2. Berechnung der verbleibenden Drahtlänge für die 4 Höhenkanten: \(140\text{ cm} - 96\text{ cm} = 44\text{ cm}\). 3. Berechnung der Höhe: \(44\text{ cm} : 4 = 11\text{ cm}\). 4. Berechnung des Oberflächeninhalts: Zwei quadratische Flächen (Grund- und Deckfläche) ergeben \(2 \cdot (12\text{ cm} \cdot 12\text{ cm}) = 2 \cdot 144\text{ cm}^2 = 288\text{ cm}^2\). Vier rechteckige Seitenflächen ergeben \(4 \cdot (12\text{ cm} \cdot 11\text{ cm}) = 4 \cdot 132\text{ cm}^2 = 528\text{ cm}^2\). 5. Gesamtoberfläche: \(288\text{ cm}^2 + 528\text{ cm}^2 = 816\text{ cm}^2\).

Antwort

a) Die Höhe des Quaders beträgt \(11\text{ cm}\). b) Lukas benötigt mindestens \(816\text{ cm}^2\) Papier.
4216605
Zwei verschiedene Kantenmodelle werden aus jeweils genau \(60\text{ cm}\) Draht hergestellt. Körper A ist ein Würfel. Körper B ist ein Quader mit der Länge \(7\text{ cm}\) und der Breite \(5\text{ cm}\). Welcher der beiden Körper hat den größeren Oberflächeninhalt? Vergleiche die Ergebnisse rechnerisch.

Denkanstöße

- Bestimme für beide Körper zuerst alle Kantenlängen, damit die Summe jeweils \(60\text{ cm}\) ergibt. - Beim Quader sind jeweils vier Kanten gleich lang (4-mal Länge, 4-mal Breite, 4-mal Höhe). - Berechne für beide Körper die Summe der sechs Teilflächen.

Lösung

1. Körper A (Würfel): Kantenlänge \(a = 60\text{ cm} : 12 = 5\text{ cm}\). Oberflächeninhalt \(O_A = 6 \cdot (5\text{ cm} \cdot 5\text{ cm}) = 6 \cdot 25\text{ cm}^2 = 150\text{ cm}^2\). 2. Körper B (Quader): Die Summe der Kantenlängen ist \(4 \cdot (l + b + h) = 60\text{ cm}\), also \(l + b + h = 15\text{ cm}\). Mit \(l = 7\text{ cm}\) und \(b = 5\text{ cm}\) ergibt sich \(7 + 5 + h = 15\), woraus die Höhe \(h = 3\text{ cm}\) folgt. 3. Oberflächeninhalt Körper B: \(O_B = 2 \cdot (7 \cdot 5 + 7 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2 \cdot (35 + 21 + 15) = 2 \cdot 71 = 142\text{ cm}^2\). 4. Vergleich: \(150\text{ cm}^2 > 142\text{ cm}^2\). Körper A hat die größere Oberfläche.

Antwort

Körper A (Würfel) hat einen Oberflächeninhalt von \(150\text{ cm}^2\). Körper B (Quader) hat einen Oberflächeninhalt von \(142\text{ cm}^2\). Somit hat der Würfel (Körper A) die größere Oberfläche.
4216635
Ein quaderförmiger Metallblock ist \(4\,\text{cm}\) lang, \(3\,\text{cm}\) breit und \(1\,\text{cm}\) hoch. Stelle dir zwei verschiedene Änderungen vor: Änderung 1: Alle drei Kantenlängen werden verdoppelt. Änderung 2: Nur die Höhe des Blocks wird vervierfacht. Bei welcher Änderung nimmt der Oberflächeninhalt stärker zu? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Oberflächeninhalt des ursprünglichen Blocks. - Bestimme für beide Änderungen die neuen Kantenlängen und berechne jeweils die neue Oberfläche. - Vergleiche am Ende die beiden neuen Oberflächeninhalte miteinander.

Lösung

1. Ursprüngliche Oberfläche (\(a=4, b=3, c=1\)): \(O = 2 \cdot (12 + 4 + 3) = 38\,\text{cm}^2\). 2. Änderung 1 (\(a=8, b=6, c=2\)): \(O_1 = 2 \cdot (48 + 16 + 12) = 2 \cdot 76 = 152\,\text{cm}^2\). 3. Änderung 2 (\(a=4, b=3, c=4\)): \(O_2 = 2 \cdot (12 + 16 + 12) = 2 \cdot 40 = 80\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(152\,\text{cm}^2 > 80\,\text{cm}^2\). Bei Änderung 1 nimmt der Oberflächeninhalt stärker zu.

Antwort

Der Oberflächeninhalt nimmt bei Änderung 1 stärker zu. Die ursprüngliche Oberfläche beträgt \(38\,\text{cm}^2\). Nach Änderung 1 (alle Kanten verdoppelt) beträgt sie \(152\,\text{cm}^2\). Nach Änderung 2 (nur Höhe vervierfacht) beträgt sie nur \(80\,\text{cm}^2\).
4216665
Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt \(600\,\text{cm}^2\). Berechne die Summe der Längen aller Kanten dieses Würfels.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt einer einzelnen Seitenfläche des Würfels. - Wie lang muss eine Kante sein, damit dieser Flächeninhalt entsteht? - Überlege dir, wie viele Kanten ein Würfel insgesamt hat. - Multipliziere die Länge einer Kante mit der Anzahl aller Kanten.

Lösung

1. Zuerst wird der Flächeninhalt einer Seitenfläche berechnet, indem der Oberflächeninhalt durch 6 geteilt wird: \(600\,\text{cm}^2 : 6 = 100\,\text{cm}^2\). 2. Um die Kantenlänge \(a\) zu finden, wird die Zahl gesucht, die mit sich selbst multipliziert 100 ergibt: \(10 \cdot 10 = 100\), also ist \(a = 10\,\text{cm}\). 3. Ein Würfel besitzt insgesamt 12 Kanten. Um die Gesamtlänge aller Kanten zu erhalten, wird die Kantenlänge mit 12 multipliziert: \(12 \cdot 10\,\text{cm} = 120\,\text{cm}\).

Antwort

Die Summe aller Kantenlängen beträgt \(120\,\text{cm}\).
4216725
Ein Spielwürfel aus Holz hat eine Kantenlänge von \(10\,\text{cm}\). Ein länglicher Quader hat exakt denselben Oberflächeninhalt wie dieser Würfel. Zwei der Kanten des Quaders sind \(5\,\text{cm}\) und \(20\,\text{cm}\) lang. Berechne die Länge der dritten Kante des Quaders.

Denkanstöße

- Berechne zuerst, wie groß die gesamte Oberfläche ist, um die es geht. - Stelle dir das Netz des Quaders vor. Welche Flächen kennst du schon, welche fehlen noch? - Wenn du die bereits bekannten Flächen von der Gesamtoberfläche abziehst, was muss der Rest ergeben? - Kannst du eine kleine Gleichung oder eine Umkehraufgabe aufstellen, um die fehlende Kante zu finden?

Lösung

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des Würfels: \(6 \cdot (10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm}) = 600\,\text{cm}^2\). Da der Quader denselben Oberflächeninhalt hat, gilt \(O_{\text{Quader}} = 600\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der zwei bekannten gegenüberliegenden Seitenflächen des Quaders: \(2 \cdot (5\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}) = 200\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung des restlichen Oberflächeninhalts für die anderen vier Flächen: \(600\,\text{cm}^2 - 200\,\text{cm}^2 = 400\,\text{cm}^2\). 4. Diese \(400\,\text{cm}^2\) setzen sich aus zwei Paaren zusammen: \(2 \cdot (5 \cdot c) + 2 \cdot (20 \cdot c) = 10 \cdot c + 40 \cdot c = 50 \cdot c\). 5. Berechnung der dritten Kante \(c\) durch Division: \(400\,\text{cm}^2 : 50\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\).

Antwort

Die dritte Kante des Quaders ist \(8\,\text{cm}\) lang.
4217025
Für ein Kunstprojekt wird ein würfelförmiges Podest ohne Bodenfläche gebaut. Die Kantenlänge des Würfels beträgt \(20\,\text{cm}\). Das Material wiegt \(500\,\text{g}\) pro Quadratmeter (\(1\,\text{m}^2\)). Wie schwer ist das Podest? (Hinweis: \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\))

Denkanstöße

- Überlege genau, aus wie vielen Quadraten das Podest besteht, wenn der Boden fehlt. - Berechne zuerst die Fläche in Quadratzentimetern. - Nutze den Hinweis zur Umrechnung, um herauszufinden, welchen Teil eines Quadratmeters deine Fläche ausmacht.

Lösung

1. Anzahl der Flächen bestimmen: Ein Würfel ohne Boden hat 5 gleich große quadratische Flächen (Deckfläche und 4 Seitenwände). 2. Fläche einer Seite berechnen: \(20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 400\,\text{cm}^2\). 3. Gesamtfläche berechnen: \(5 \cdot 400\,\text{cm}^2 = 2\,000\,\text{cm}^2\). 4. Verhältnis zum Quadratmeter bestimmen: \(10\,000\,\text{cm}^2 : 2\,000\,\text{cm}^2 = 5\). Die Fläche des Podests ist also ein Fünftel eines Quadratmeters. 5. Gewicht berechnen: \(500\,\text{g} : 5 = 100\,\text{g}\).

Antwort

Das Podest wiegt \(100\,\text{g}\).
4217175
Zwei Schwimmbecken sollen innen neu gefliest werden (Boden und die vier Seitenwände). Becken A ist \(6\,\text{m}\) lang, \(4\,\text{m}\) breit und \(1{,}5\,\text{m}\) tief. Becken B ist quadratisch mit \(5\,\text{m}\) Seitenlänge und ebenfalls \(1{,}5\,\text{m}\) tief. Untersuche durch Rechnung, für welches Becken mehr Fliesen benötigt werden.

Denkanstöße

- Berechne für jedes Becken zuerst die Bodenfläche. - Berechne dann die Flächen der vier Seitenwände und addiere alles. - Achte darauf, dass die Oberseite des Beckens offen ist und nicht gefliest wird. - Vergleiche am Ende die beiden Gesamtergebnisse.

Lösung

1. Berechnung Becken A: Bodenfläche \(6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). Wandflächen: \(2 \cdot (6\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m}) + 2 \cdot (4\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m}) = 18\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 30\,\text{m}^2\). Gesamtfläche A: \(24\,\text{m}^2 + 30\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\). 2. Berechnung Becken B: Bodenfläche \(5\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 25\,\text{m}^2\). Wandflächen: \(4 \cdot (5\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m}) = 4 \cdot 7{,}5\,\text{m}^2 = 30\,\text{m}^2\). Gesamtfläche B: \(25\,\text{m}^2 + 30\,\text{m}^2 = 55\,\text{m}^2\). 3. Vergleich: \(55\,\text{m}^2 > 54\,\text{m}^2\).

Antwort

Für Becken B werden mehr Fliesen benötigt. Becken A hat eine zu fliesende Fläche von \(54\,\text{m}^2\), Becken B eine Fläche von \(55\,\text{m}^2\).

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