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- Aus wie vielen Flächen besteht die Oberfläche eines Quaders? - Welche Seitenflächen sind jeweils gleich groß? - Achte darauf, nicht das Volumen, sondern den Flächeninhalt der Außenhülle zu berechnen.

1. Anwendung der Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders: \(O = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)\). 2. Einsetzen der Kantenlängen: \(O = 2 \cdot (2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 2 \cdot 8)\). 3. Berechnung der Teilflächeninhalte: \(10 + 40 + 16 = 66\). 4. Verdopplung des Ergebnisses für die Gesamtoberfläche: \(O = 2 \cdot 66 = 132\,\text{cm}^2\).

b) \(132\,\text{cm}^2\)

- Welche Form haben die einzelnen Seitenflächen eines Quaders? - Wie viele Paare von Flächen, die genau gleich groß sind, gibt es bei einem Quader? - Wann ist ein Rechteck ein Quadrat? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks?

1. Ein Quader besitzt drei Paare jeweils gleicher gegenüberliegender Seitenflächen mit den Maßen \(a \cdot b\), \(a \cdot c\) und \(b \cdot c\). 2. Bei den gegebenen Maßen sind die Flächen \(a \cdot b = 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). Da beide Seitenlängen gleich sind, handelt es sich um Quadrate. Davon gibt es 2 Stück (ein Paar). 3. Die restlichen Flächen sind \(a \cdot c = 6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\) und \(b \cdot c = 6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\). Da \(6 \neq 15\), sind diese 4 Flächen Rechtecke, aber keine Quadrate. Ergebnis für a): 2 Quadrate. 4. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 2 \cdot 36\,\text{cm}^2 + 4 \cdot 90\,\text{cm}^2 = 72\,\text{cm}^2 + 360\,\text{cm}^2 = 432\,\text{cm}^2\).

a) Der Quader hat genau 2 Quadrate als Seitenflächen. b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(O = 432\,\text{cm}^2\).

- Haben alle Kantenlängen dieselbe Einheit? - In welche Einheit soll das Endergebnis umgerechnet werden? - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Quader insgesamt? - Wie viele dieser Flächen sind jeweils deckungsgleich (gleich groß)?

1. Umrechnen der Kantenlänge \(c\) in die Einheit Zentimeter: \(40\,\text{mm} = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Seitenflächen: \(A_1 = 12{,}5\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\), \(A_2 = 12{,}5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 50\,\text{cm}^2\) und \(A_3 = 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\). 3. Addition der Flächeninhalte und Verdoppelung für den gesamten Oberflächeninhalt: \(O = 2 \cdot (100\,\text{cm}^2 + 50\,\text{cm}^2 + 32\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 182\,\text{cm}^2 = 364\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Pakets beträgt \(364\,\text{cm}^2\).

- Aus wie vielen Flächen besteht ein Quader insgesamt? - Überlege dir, welche Flächen des Kartons jeweils gleich groß sind. - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks? - Kannst du die Flächen paarweise zusammenfassen (zum Beispiel Boden und Deckel)?

1. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Rechteckseiten: \(35 \cdot 20 = 700\,\text{cm}^2\), \(20 \cdot 12 = 240\,\text{cm}^2\) und \(35 \cdot 12 = 420\,\text{cm}^2\). 2. Addition der drei Einzelflächen: \(700 + 240 + 420 = 1360\,\text{cm}^2\). 3. Da jede Fläche bei einem Quader doppelt vorkommt, wird die Summe mit 2 multipliziert: \(2 \cdot 1360 = 2720\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(2720\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man den Oberflächeninhalt eines Würfels aus seinen sechs quadratischen Seitenflächen? - Berechne zuerst die Oberfläche für den kleinen und dann für den großen Würfel getrennt. - Vergleiche die beiden Ergebnisse: Ist das zweite Ergebnis genau das Zweifache des ersten?

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des kleinen Würfels (\(a = 2\,\text{cm}\)): \(O_1 = 6 \cdot (2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm}) = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des großen Würfels (\(a = 4\,\text{cm}\)): \(O_2 = 6 \cdot (4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}) = 96\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Der Oberflächeninhalt des großen Würfels ist das Vierfache des kleinen Würfels (\(96 : 24 = 4\)), nicht das Doppelte. Lukas' Behauptung ist falsch.

Lukas hat nicht recht. Der Oberflächeninhalt des kleinen Würfels beträgt \(24\,\text{cm}^2\), der des großen Würfels \(96\,\text{cm}^2\). Damit ist die Oberfläche des großen Würfels viermal so groß wie die des kleinen.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats, wenn man die Seitenlänge kennt? - Wie viele solcher Quadrate bilden zusammen die Oberfläche eines Würfels? - Welche Rechenoperation hilft dir, wenn du die Fläche einer Seite sechsmal benötigst?

1. Zuerst wird der Flächeninhalt einer einzelnen quadratischen Seitenfläche berechnet: \(8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\). 2. Da ein Würfel insgesamt sechs dieser gleich großen Seitenflächen hat, wird dieser Wert mit 6 multipliziert: \(64\,\text{cm}^2 \cdot 6 = 384\,\text{cm}^2\). 3. Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt demnach \(384\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(384\,\text{cm}^2\).

- Ein Quader hat sechs Flächen, wobei jeweils zwei gegenüberliegende Flächen gleich groß sind. - Berechne zuerst den Flächeninhalt der drei verschiedenen Rechtecke, die du im Netz siehst. - Addiere diese drei Ergebnisse und verdopple die Summe.

1. Identifikation der Kantenlängen aus dem Netz: \(a = 7\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\), \(c = 2\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Rechtecktypen: \(A_1 = 7\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 28\,\text{cm}^2\) \(A_2 = 7\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 14\,\text{cm}^2\) \(A_3 = 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\) 3. Die Gesamtoberfläche ist die doppelte Summe dieser Flächen: \(O = 2 \cdot (28 + 14 + 8) = 2 \cdot 50 = 100\,\text{cm}^2\). Ergebnis: \(100\,\text{cm}^2\).

Die Oberfläche beträgt \(100\,\text{cm}^2\).

- Welche Kombinationen von Kantenlängen ergeben die Flächen? - Ein Quader hat drei verschiedene Arten von Flächen. Berechne jede einmal. - Die Gesamtoberfläche erhältst du, wenn du alle sechs Teilflächen zusammenrechnest.

1. Die Flächeninhalte der drei verschiedenen Seitenflächenpaare sind: \(A_1 = 10 \cdot 5 = 50\,\text{cm}^2\) \(A_2 = 10 \cdot 3 = 30\,\text{cm}^2\) \(A_3 = 5 \cdot 3 = 15\,\text{cm}^2\) 2. Die größte Seitenfläche ist \(A_1 = 50\,\text{cm}^2\), die kleinste ist \(A_3 = 15\,\text{cm}^2\). 3. Die Gesamtoberfläche ist \(O = 2 \cdot (50 + 30 + 15) = 2 \cdot 95 = 190\,\text{cm}^2\). Ergebnis: Kleinste Fläche \(15\,\text{cm}^2\), größte Fläche \(50\,\text{cm}^2\), Oberfläche \(190\,\text{cm}^2\).

Die kleinste Seitenfläche hat einen Inhalt von \(15\,\text{cm}^2\), die größte von \(50\,\text{cm}^2\). Die gesamte Oberfläche beträgt \(190\,\text{cm}^2\).

- „Quadratische Grundfläche“ bedeutet, dass zwei der drei Kantenlängen gleich sind. - Überlege, welche Flächen im Netz genau gleich groß sind.

1. Identifikation der Maße: \(a = 20\,\text{cm}\), \(b = 20\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Teilflächen: Grund- und Deckfläche: \(2 \cdot (20 \cdot 20) = 800\,\text{cm}^2\) Vorder- und Rückseite: \(2 \cdot (20 \cdot 5) = 200\,\text{cm}^2\) Linke und rechte Seite: \(2 \cdot (20 \cdot 5) = 200\,\text{cm}^2\) 3. Gesamtsumme: \(800 + 200 + 200 = 1200\,\text{cm}^2\). Ergebnis: \(1200\,\text{cm}^2\).

Für das Netz werden \(1200\,\text{cm}^2\) Pappe benötigt.

- Schau dir die Beschriftungen an den Kanten des Netzes genau an. - Jedes Rechteck im Netz hat zwei Seitenlängen. Welche Werte aus der Zeichnung passen zusammen? - Wie viele verschiedene Zahlen für die Kantenlängen kannst du im Bild finden?

1. Ablesen der Kantenlängen: Aus der Beschriftung des Netzes gehen die drei Kantenlängen des Quaders hervor: \(5\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(1\,\text{cm}\). 2. Kombination der Kanten zu Rechtecken: Jede Fläche wird durch zwei der drei Kantenlängen begrenzt. 3. Bestimmung der Paare: - Typ 1: Kombination der beiden längsten Kanten: \(5\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\). - Typ 2: Kombination aus Länge und Höhe: \(5\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\). - Typ 3: Kombination aus Breite und Höhe: \(4\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\).

Die Flächen haben die Maße \(5\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\).

- Welche zwei Kantenlängen begrenzen das kleinste Rechteck im Bild? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Schau dir die Zahlen \(6\), \(3\) und \(2\) an. Welche Kombination ergibt das kleinste Produkt?

1. Bestimmung der Flächenmaße: Ein Quader mit den Maßen \(6 \times 3 \times 2\) hat drei verschiedene Arten von rechteckigen Seitenflächen. 2. Berechnung der möglichen Inhalte: - Typ A: \(6\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 18\,\text{cm}^2\) - Typ B: \(6\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) - Typ C: \(3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\) 3. Vergleich: Der kleinste Wert unter den Ergebnissen ist \(6\,\text{cm}^2\).

Die kleinste Teilfläche hat einen Flächeninhalt von \(6\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Quader und wie berechnet man deren Flächeninhalt? - Was ist das Besondere an den Seitenflächen eines Würfels?

1. Umrechnung aller Kantenlängen des Quaders in die Einheit \(\text{cm}\): \(a = 8\,\text{cm}\), \(b = 30\,\text{mm} = 3\,\text{cm}\), \(c = 0{,}5\,\text{dm} = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des Quaders: \(O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} + 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 2 \cdot (24\,\text{cm}^2 + 15\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 79\,\text{cm}^2 = 158\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts des Würfels: \(O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot (6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}) = 6 \cdot 36\,\text{cm}^2 = 216\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(216\,\text{cm}^2 > 158\,\text{cm}^2\).

Der Würfel (Körper B) hat mit \(216\,\text{cm}^2\) einen größeren Oberflächeninhalt als der Quader (Körper A) mit \(158\,\text{cm}^2\).

- Stelle dir vor, du klappst die Schachteln auseinander. Aus welchen Flächen besteht das Netz? - Welche Maße haben die sechs Rechtecke beim Quader? - Rechne Schritt für Schritt und notiere die Zwischenergebnisse für die einzelnen Teilflächen.

1. Berechnung der Oberfläche der würfelförmigen Schachtel 1: \(O_1 = 6 \cdot (15\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm}) = 6 \cdot 225\,\text{cm}^2 = 1350\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Oberfläche der quaderförmigen Schachtel 2: \(O_2 = 2 \cdot (20\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} + 10\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} + 20\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm}) = 2 \cdot (200\,\text{cm}^2 + 120\,\text{cm}^2 + 240\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 560\,\text{cm}^2 = 1120\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Werte: \(1350\,\text{cm}^2 > 1120\,\text{cm}^2\).

Für Schachtel 1 wird mehr Papier benötigt, da ihre Oberfläche \(1350\,\text{cm}^2\) beträgt, während Schachtel 2 nur eine Oberfläche von \(1120\,\text{cm}^2\) hat.

- Wie viele (gleich große) quadratische Flächen begrenzen einen Würfel? - Berechne zuerst den Flächeninhalt einer einzelnen Seite und multipliziere ihn dann mit \(6\). - Überlege dir, wie du herausfindest, wie oft ein kleinerer Wert in einen größeren passt.

1. Berechnung der Oberflächeninhalte (\(O = 6 \cdot a \cdot a\)): Für \(a_1 = 3\,\text{cm}\): \(O_1 = 6 \cdot 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 54\,\text{cm}^2\). Für \(a_2 = 6\,\text{cm}\): \(O_2 = 6 \cdot 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 216\,\text{cm}^2\). Für \(a_3 = 9\,\text{cm}\): \(O_3 = 6 \cdot 9\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 486\,\text{cm}^2\). 2. Vergleich bei Verdopplung: \(216 : 54 = 4\). Der Oberflächeninhalt vervierfacht sich. 3. Vergleich bei Verdreifachung: \(486 : 54 = 9\). Der Oberflächeninhalt verneunfacht sich.

a) \(O_1 = 54\,\text{cm}^2\); \(O_2 = 216\,\text{cm}^2\); \(O_3 = 486\,\text{cm}^2\) b) Der Oberflächeninhalt wird 4-mal so groß. c) Der Oberflächeninhalt wird 9-mal so groß.

- Berechne erst einmal ganz normal die Oberfläche für den ersten Würfel. - Was bedeutet „halbieren“ für die Länge der Kante? - Vergleiche das erste und das zweite Ergebnis durch Division.

1. Oberflächeninhalt des großen Würfels: \(O = 6 \cdot 10\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} = 600\,\text{dm}^2\). 2. Neue Kantenlänge: \(10\,\text{dm} : 2 = 5\,\text{dm}\). 3. Oberflächeninhalt des kleinen Würfels: \(O = 6 \cdot 5\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 150\,\text{dm}^2\). 4. Vergleich: \(600\,\text{dm}^2 : 150\,\text{dm}^2 = 4\). Der Oberflächeninhalt des kleinen Würfels ist nur noch ein Viertel so groß wie der des ursprünglichen Würfels.

a) \(600\,\text{dm}^2\) b) \(150\,\text{dm}^2\) c) Wenn man die Kantenlänge halbiert, wird der Oberflächeninhalt auf ein Viertel des ursprünglichen Oberflächeninhalts reduziert.

- Wie viele Kanten hat ein Würfel insgesamt? - Wenn du die Gesamtlänge aller Kanten kennst, wie findest du die Länge einer einzelnen Kante heraus? - Wie viele Seitenflächen hat ein Würfel? - Welche Form haben die Seitenflächen eines Würfels?

1. Bestimmung der Kantenlänge \(a\): Da ein Würfel 12 gleich lange Kanten hat, wird die Gesamtlänge durch 12 geteilt: \(144 : 12 = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts einer Seitenfläche: \(12 \cdot 12 = 144\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Gesamtoberfläche aus den 6 quadratischen Seitenflächen: \(6 \cdot 144 = 864\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt \(864\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders: \(O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)\). - Führe die Rechnung schrittweise für beide Fälle durch. - Achte darauf, dass sich im zweiten Fall nur eine der drei Zahlen in der Formel ändert.

1. Berechnung der ursprünglichen Oberfläche: \(O = 2 \cdot (5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (15 + 10 + 6) = 2 \cdot 31 = 62\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der neuen Oberfläche mit \(a = 10\,\text{cm}\): \(O_{\text{neu}} = 2 \cdot (10 \cdot 3 + 10 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (30 + 20 + 6) = 2 \cdot 56 = 112\,\text{cm}^2\). 3. Prüfung auf Verdopplung: Das Doppelte von \(62\,\text{cm}^2\) wäre \(124\,\text{cm}^2\). Da \(112\,\text{cm}^2 \neq 124\,\text{cm}^2\), hat sich die Oberfläche nicht verdoppelt.

a) Der Oberflächeninhalt beträgt \(62\,\text{cm}^2\). b) Der neue Oberflächeninhalt beträgt \(112\,\text{cm}^2\). c) Nein, der Oberflächeninhalt hat sich nicht verdoppelt, da \(112\) nicht das Doppelte von \(62\) ist.

- Welche Flächen gehören zu einem Kasten, der oben offen ist? Skizziere sie dir am besten. - Berechne zuerst den Flächeninhalt jeder einzelnen Seite. - Wie oft passen \(100\,\text{cm}^2\) in deine berechnete Gesamtfläche?

1. Bestimmung der vorhandenen Flächen: Da der Kasten oben offen ist, besteht er aus einer Bodenfläche, zwei langen Seitenflächen und zwei kurzen Seitenflächen. 2. Berechnung der Teilflächen: Bodenfläche \(40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1200\,\text{cm}^2\). Zwei lange Seiten \(2 \cdot (40\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 400\,\text{cm}^2\). Zwei kurze Seiten \(2 \cdot (30\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 300\,\text{cm}^2\). 3. Gesamtfläche: \(1200\,\text{cm}^2 + 400\,\text{cm}^2 + 300\,\text{cm}^2 = 1900\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Masse: In der Gesamtfläche sind \(1900 : 100 = 19\) Einheiten von \(100\,\text{cm}^2\) enthalten. Die Masse beträgt \(19 \cdot 5\,\text{g} = 95\,\text{g}\).

Die Masse des Karteikastens beträgt \(95\,\text{g}\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie viele der Seitenflächen sind bei diesem speziellen Quader identisch? - Überlege dir, aus welchen Rechtecken oder Quadraten die Oberfläche zusammengesetzt ist.

1. Umrechnung der Länge in die Einheit Zentimeter: \(2\,\text{m} = 200\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Maße des Quaders: \(a = 200\,\text{cm}\), \(b = 15\,\text{cm}\), \(c = 15\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Flächeninhalte: Die beiden quadratischen Endflächen betragen jeweils \(15 \cdot 15 = 225\,\text{cm}^2\). Die vier langen Seitenflächen betragen jeweils \(200 \cdot 15 = 3000\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(2 \cdot 225 + 4 \cdot 3000 = 450 + 12\,000 = 12\,450\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(12\,450\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst den Oberflächeninhalt für jeden Körper einzeln. - Wie berechnet man die Oberfläche eines Würfels besonders schnell? - Vergleiche am Ende deine beiden Ergebnisse.

1. Berechnung der Oberfläche des Würfels: Ein Würfel hat sechs gleiche quadratische Flächen. \(O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot (10 \cdot 10) = 6 \cdot 100 = 600\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Oberfläche des Quaders: \(O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (20 \cdot 8 + 20 \cdot 5 + 8 \cdot 5) = 2 \cdot (160 + 100 + 40) = 2 \cdot 300 = 600\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Oberflächeninhalte sind mit \(600\,\text{cm}^2\) genau gleich groß. Die Differenz beträgt \(0\,\text{cm}^2\).

Beide Körper haben einen Oberflächeninhalt von \(600\,\text{cm}^2\). Die Differenz beträgt \(0\,\text{cm}^2\).

- Überlege zuerst, welche Maße (Breite, Länge, Höhe) der Quader hat, der aus diesem Netz gefaltet wird. - Berechne die Flächeninhalte aller sechs einzelnen Rechtecke des Netzes und addiere sie, um die Gesamtoberfläche des Quaders zu erhalten. - Wie kannst du die Oberfläche berechnen, ohne alle sechs Flächen einzeln zu addieren? Gibt es eine Formel dafür? - Multipliziere am Ende die Anzahl der Quadratdezimeter mit der Masse pro Quadratdezimeter, um die Gesamtmasse zu bestimmen.

1. Bestimmung der Maße des Quaders aus dem Netz: Breite \(a = 5\,\text{dm}\), Tiefe \(b = 3\,\text{dm}\), Höhe \(c = 2\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Oberfläche des Quaders: \(O = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 2 \cdot (5\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} + 3\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm} + 2\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm})\) \(O = 2 \cdot (15\,\text{dm}^2 + 6\,\text{dm}^2 + 10\,\text{dm}^2) = 2 \cdot 31\,\text{dm}^2 = 62\,\text{dm}^2\) 3. Berechnung der Gesamtmasse: Die Oberfläche umfasst \(62\) Quadratdezimeter. Daher gilt: \(62\,\text{dm}^2 \cdot 5\,\frac{\text{g}}{\text{dm}^2} = 310\,\text{g}\)

Die Gesamtmasse der fertigen Schachtel beträgt \(310\,\text{g}\).

- Schau dir das Netz genau an. Welche Rechtecke haben dieselbe Größe und kommen doppelt vor? - Wie viele Paare gleicher Rechtecke gibt es bei einem Quader? - Berechne zuerst den Flächeninhalt von jedem der drei verschiedenen Rechtecktypen einzeln. - Addiere alle sechs Einzelflächen zusammen, um die Gesamtoberfläche zu erhalten.

1. Identifikation der Rechteckpaare aus dem Quadernetz: - Ein Paar mit den Kantenlängen \(5\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) (Flächeninhalt eines Rechtecks: \(5 \cdot 2 = 10\,\text{cm}^2\)). - Ein Paar mit den Kantenlängen \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) (Flächeninhalt eines Rechtecks: \(5 \cdot 4 = 20\,\text{cm}^2\)). - Ein Paar mit den Kantenlängen \(2\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) (Flächeninhalt eines Rechtecks: \(2 \cdot 4 = 8\,\text{cm}^2\)). 2. Berechnung der Gesamtoberfläche \(O\) des Quaders durch Addition der Flächeninhalte aller sechs Rechtecke: \(O = 2 \cdot 10\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 20\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 8\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2 = 76\,\text{cm}^2\).

a) Das Netz besteht aus: - 2 Rechtecken mit \(5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) - 2 Rechtecken mit \(5\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) - 2 Rechtecken mit \(2\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) b) Die gesamte Oberfläche des Quaders beträgt \(76\,\text{cm}^2\).

- Schau dir das Netz genau an. Welche drei verschiedenen Kantenlängen kannst du ablesen? - Ein Quader besteht aus sechs Begrenzungsflächen. Welche Flächen sind jeweils deckungsgleich (gleich groß)? - Kannst du die Flächen einzeln berechnen und dann alle sechs Ergebnisse addieren? - Welche Formel hilft dir, die Gesamtoberfläche eines Quaders direkt zu berechnen?

1. Bestimmung der Abmessungen des Quaders aus dem Netz: Die drei im Netz angegebenen Dimensionen sind: - Länge \(a = 6\,\text{cm}\) - Breite \(b = 4\,\text{cm}\) - Höhe \(c = 3\,\text{cm}\) 2. Berechnung der Oberfläche \(O\) des Quaders: Da Klebelaschen und Verschnitt nicht berücksichtigt werden, entspricht die Mindestfläche der Oberfläche. Die Formel lautet: \(O = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)\) Durch Einsetzen der Werte ergibt sich: \(O = 2 \cdot (6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} + 6\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm})\) \(O = 2 \cdot (24\,\text{cm}^2 + 12\,\text{cm}^2 + 18\,\text{cm}^2)\) \(O = 2 \cdot 54\,\text{cm}^2 = 108\,\text{cm}^2\)

a) Der Karton hat eine Länge von \(6\,\text{cm}\), eine Breite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(3\,\text{cm}\). b) Ohne Klebelaschen und Verschnitt beträgt die benötigte Mindestfläche \(108\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke im Netz? - Aus wie vielen Flächen besteht ein Quader insgesamt? - Wie viele Quadratzentimeter ergeben einen Quadratdezimeter? - Wenn du die Gesamtfläche in Quadratdezimetern kennst, wie kommst du dann auf die Masse?

1. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 2 \cdot (10\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} + 10\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} + 15\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}) = 2 \cdot (150\,\text{cm}^2 + 200\,\text{cm}^2 + 300\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 650\,\text{cm}^2 = 1300\,\text{cm}^2\). 2. Umrechnung in Quadratdezimeter: \(1300\,\text{cm}^2 = 13\,\text{dm}^2\). 3. Berechnung der Masse: \(13 \cdot 32\,\text{g} = 416\,\text{g}\).

1. Der Oberflächeninhalt beträgt \(1300\,\text{cm}^2\). 2. Die Masse des Gehäuses beträgt \(416\,\text{g}\).

- Aus welchen Teilflächen besteht der rote Bereich? Vergiss die Unterseite nicht. - Wie hoch steht die Farbe an den Seitenwänden des Quaders? - Berechne erst die Fläche der Unterseite und dann die Flächen der vier schmalen Streifen an den Seiten.

1. Berechnung der Grundfläche: \(A_{\text{Grund}} = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der gefärbten Höhe an den Seitenwänden: \(h_{\text{rot}} = \frac{4\,\text{cm}}{2} = 2\,\text{cm}\). 3. Berechnung der gefärbten Flächen an den Längsseiten (vorne und hinten): \(2 \cdot (8\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm}) = 2 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der gefärbten Flächen an den Breitenseiten (links und rechts): \(2 \cdot (5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm}) = 2 \cdot 10\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}^2\). 5. Addition aller Teilflächen: \(40\,\text{cm}^2 + 32\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2 = 92\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der rot gefärbten Oberfläche beträgt \(92\,\text{cm}^2\).

- Berechne die Oberfläche für jeden Körper einzeln. - Beim Würfel sind alle sechs Quadrate gleich groß. - Beim Quader gibt es drei Paare von jeweils gleichen Rechtecken.

1. Berechnung der Oberfläche des Würfels (Netz a) mit Seitenlänge \(s = 5\,\text{cm}\): \(O_{\text{Würfel}} = 6s^2 = 6 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 150\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Oberfläche des Quaders (Netz b) mit den Maßen \(6\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\): \(O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (6 \cdot 5 + 6 \cdot 4 + 5 \cdot 4)\,\text{cm}^2 = 2 \cdot 74\,\text{cm}^2 = 148\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich: \(150\,\text{cm}^2 > 148\,\text{cm}^2\). Ergebnis: Der Würfel hat die größere Oberfläche.

Der Würfel hat mit \(150\,\text{cm}^2\) die größere Oberfläche. Die Oberfläche des Quaders beträgt \(148\,\text{cm}^2\).

- Die drei Kanten an einer Ecke sind Länge, Breite und Höhe des Quaders. - Finde zuerst die fehlende Kantenlänge heraus. - Nutze dann die Formel für die Oberfläche.

1. Berechnung der dritten Kantenlänge \(c\): \(8 + 7 + c = 20 \implies c = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Oberfläche mit \(a = 8\), \(b = 7\), \(c = 5\): \(O = 2 \cdot (8 \cdot 7 + 8 \cdot 5 + 7 \cdot 5) = 2 \cdot (56 + 40 + 35) = 2 \cdot 131 = 262\,\text{cm}^2\). Ergebnis: \(262\,\text{cm}^2\).

Die Oberfläche des Quaders beträgt \(262\,\text{cm}^2\).

- Wie viele Kanten hat ein Würfel insgesamt? Teile die Gesamtlänge durch diese Anzahl. - Wenn du die Länge einer Kante kennst, kannst du den Flächeninhalt einer Seite berechnen. - Wie viele solcher Seitenflächen hat ein Würfel?

1. Ein Würfel hat 12 Kanten. Berechnung der Kantenlänge \(s\): \(12s = 96 \implies s = 8\,\text{cm}\). 2. Das Netz eines Würfels besteht aus 6 Quadraten mit der Seitenlänge \(s\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: \(O = 6s^2 = 6 \cdot 8^2 = 6 \cdot 64 = 384\,\text{cm}^2\). Ergebnis: \(384\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Netzes beträgt \(384\,\text{cm}^2\).

- Wie viele Flächen hat ein Würfel insgesamt? - Berechne zuerst den Flächeninhalt eines einzelnen Quadrats im Netz. - Überlege, wie du von einer Teilfläche auf die gesamte Oberfläche kommst.

1. Ein Würfel besitzt 6 identische quadratische Grenzflächen. 2. Der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Kantenlänge \(a = 6\,\text{cm}\) beträgt \(A = a \cdot a = 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 3. Der gesamte Oberflächeninhalt berechnet sich durch \(O = 6 \cdot A = 6 \cdot 36\,\text{cm}^2 = 216\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(216\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir zuerst, aus wie vielen gleich langen Teilstrecken der äußere Rand der Figur besteht. - Wenn du die Länge einer Quadratseite kennst, kannst du die Fläche eines einzelnen Quadrats berechnen. - Wie viele Quadrate bilden zusammen die Oberfläche des Würfels?

1. Das Netz eines Würfels besteht aus 14 Außenkanten der einzelnen Quadrate. 2. Die Seitenlänge \(a\) eines Quadrats lässt sich berechnen durch: \(a = 112\,\text{cm} {:} 14 = 8\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt eines Quadrats ist \(A_{\text{Quadrat}} = 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\). 4. Da der Würfel sechs dieser Quadrate besitzt, beträgt der Oberflächeninhalt: \(O = 6 \cdot 64\,\text{cm}^2 = 384\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt \(384\,\text{cm}^2\).

- Überlege zuerst, wie viele ganze Würfelflächen insgesamt blau gefärbt sind. - Wie viel von einer Seitenfläche ist blau, wenn der Würfel genau zur Hälfte eingetaucht wurde? - Berechne zuerst den Flächeninhalt einer einzelnen quadratischen Würfelseite. - Addiere dann alle blauen Flächenstücke zusammen.

1. Identifikation der gefärbten Teilflächen im Netz: Eine vollständige Quadratfläche (die Grundfläche des Würfels) und vier rechteckige Teilflächen (die unteren Hälften der Seitenflächen). 2. Berechnung des Flächeninhalts einer vollständigen Würfelfläche: \(A_{\text{Quadrat}} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Summe der gefärbten Flächenanteile: \(1 + 4 \cdot 0{,}5 = 3\) vollständige Quadratflächen. 4. Berechnung der gesamten blau gefärbten Fläche: \(A_{\text{gesamt}} = 3 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 75\,\text{cm}^2\).

Die blau gefärbte Oberfläche beträgt \(75\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst nacheinander die drei Kantenlängen des Quaders aus den Angaben im Text. - Erinnere dich an die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders oder addiere die Flächen der sechs Rechtecke im Netz. - Achte beim Rechnen mit Dezimalzahlen auf die korrekte Platzierung des Kommas.

1. Bestimmung der drei Kantenlängen: - Länge \(l = 10\,\text{cm}\) - Breite \(b = 10\,\text{cm}:2 = 5\,\text{cm}\) - Höhe \(h = 5\,\text{cm}:2 = 2{,}5\,\text{cm}\) 2. Berechnung der Teilflächen: - \(10 \cdot 5 = 50\,\text{cm}^2\) - \(10 \cdot 2{,}5 = 25\,\text{cm}^2\) - \(5 \cdot 2{,}5 = 12{,}5\,\text{cm}^2\) 3. Gesamtoberfläche \(O = 2 \cdot (50 + 25 + 12{,}5) = 2 \cdot 87{,}5 = 175\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(175\,\text{cm}^2\).

- Aus wie vielen Rechtecken besteht die Oberfläche eines Quaders? - Wie viele Paare von jeweils gleichen Flächen gibt es? - Achte darauf, dass in der Aufgabe nach der Innen- UND Außenseite gefragt ist. - Berechne erst die Fläche für eine Seite (nur außen) und überlege dann, was „innen und außen“ für das Ergebnis bedeutet.

1. Bestimmung der drei unterschiedlichen Rechteckflächen des Quaders: - Fläche 1: \(12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\) - Fläche 2: \(12\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\) - Fläche 3: \(5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung der gesamten Außenoberfläche \(O\): \(O = 2 \cdot (60\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2 + 15\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 111\,\text{cm}^2 = 222\,\text{cm}^2\) 3. Da der Karton innen und außen bemalt wird, muss die Fläche verdoppelt werden: \(A_{\text{gesamt}} = 2 \cdot 222\,\text{cm}^2 = 444\,\text{cm}^2\)

Die insgesamt zu bemalende Fläche beträgt \(444\,\text{cm}^2\).

- Aus wie vielen Quadraten besteht die Oberfläche eines Würfels insgesamt? - Wenn du den Flächeninhalt eines Quadrats kennst, wie findest du dann seine Seitenlänge heraus? - Was passiert mit der Kantenlänge, wenn sie verdreifacht wird?

1. Flächeninhalt einer Seitenfläche: Da ein Würfel 6 gleiche Flächen hat, gilt \(150\,\text{cm}^2 : 6 = 25\,\text{cm}^2\). 2. Kantenlänge \(a\): Gesucht ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(25\) ergibt (\(a \cdot a = 25\)). Das Ergebnis ist \(a = 5\,\text{cm}\). 3. Neue Kantenlänge: \(5\,\text{cm} \cdot 3 = 15\,\text{cm}\). 4. Neuer Oberflächeninhalt: \(O = 6 \cdot 15\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 6 \cdot 225\,\text{cm}^2 = 1350\,\text{cm}^2\).

a) \(25\,\text{cm}^2\) b) \(5\,\text{cm}\) c) \(1350\,\text{cm}^2\)

- Ein Quader hat insgesamt 12 Kanten. Bei einer quadratischen Grundfläche sind 8 dieser Kanten gleich lang. - Die restlichen 4 Kanten stellen die Höhe des Quaders dar. - Denk daran, dass die Oberfläche aus der Summe aller sechs Seitenflächen besteht.

1. Berechnung der Summe der Kanten der Grund- und Deckfläche: Ein Quader mit quadratischer Grundfläche hat 8 Kanten dieser Länge. \(8 \cdot 12\,\text{cm} = 96\,\text{cm}\). 2. Berechnung der verbleibenden Drahtlänge für die 4 Höhenkanten: \(140\,\text{cm} - 96\,\text{cm} = 44\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Höhe: \(44\,\text{cm} : 4 = 11\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Oberflächeninhalts: Zwei quadratische Flächen (Grund- und Deckfläche) ergeben \(2 \cdot (12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm}) = 2 \cdot 144\,\text{cm}^2 = 288\,\text{cm}^2\). Vier rechteckige Seitenflächen ergeben \(4 \cdot (12\,\text{cm} \cdot 11\,\text{cm}) = 4 \cdot 132\,\text{cm}^2 = 528\,\text{cm}^2\). 5. Gesamtoberfläche: \(288\,\text{cm}^2 + 528\,\text{cm}^2 = 816\,\text{cm}^2\).

a) Die Höhe des Quaders beträgt \(11\,\text{cm}\). b) Lukas benötigt mindestens \(816\,\text{cm}^2\) Papier.

- Bestimme für beide Körper zuerst alle Kantenlängen, damit die Summe jeweils \(60\,\text{cm}\) ergibt. - Beim Quader sind jeweils vier Kanten gleich lang (4-mal Länge, 4-mal Breite, 4-mal Höhe). - Berechne für beide Körper die Summe der sechs Teilflächen.

1. Körper A (Würfel): Kantenlänge \(a = 60\,\text{cm} : 12 = 5\,\text{cm}\). Oberflächeninhalt \(O_A = 6 \cdot (5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 6 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 150\,\text{cm}^2\). 2. Körper B (Quader): Die Summe der Kantenlängen ist \(4 \cdot (l + b + h) = 60\,\text{cm}\), also \(l + b + h = 15\,\text{cm}\). Mit \(l = 7\,\text{cm}\) und \(b = 5\,\text{cm}\) ergibt sich \(7 + 5 + h = 15\), woraus die Höhe \(h = 3\,\text{cm}\) folgt. 3. Oberflächeninhalt Körper B: \(O_B = 2 \cdot (7 \cdot 5 + 7 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2 \cdot (35 + 21 + 15) = 2 \cdot 71 = 142\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(150\,\text{cm}^2 > 142\,\text{cm}^2\). Körper A hat den größeren Oberflächeninhalt.

Körper A (Würfel) hat einen Oberflächeninhalt von \(150\,\text{cm}^2\). Körper B (Quader) hat einen Oberflächeninhalt von \(142\,\text{cm}^2\). Somit hat der Würfel (Körper A) den größeren Oberflächeninhalt.

- Berechne zuerst den Oberflächeninhalt des ursprünglichen Blocks. - Bestimme für beide Änderungen die neuen Kantenlängen und berechne jeweils die neue Oberfläche. - Vergleiche am Ende die beiden neuen Oberflächeninhalte miteinander.

1. Ursprüngliche Oberfläche (\(a=4, b=3, c=1\)): \(O = 2 \cdot (12 + 4 + 3) = 38\,\text{cm}^2\). 2. Änderung 1 (\(a=8, b=6, c=2\)): \(O_1 = 2 \cdot (48 + 16 + 12) = 2 \cdot 76 = 152\,\text{cm}^2\). 3. Änderung 2 (\(a=4, b=3, c=4\)): \(O_2 = 2 \cdot (12 + 16 + 12) = 2 \cdot 40 = 80\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(152\,\text{cm}^2 > 80\,\text{cm}^2\). Bei Änderung 1 nimmt der Oberflächeninhalt stärker zu.

Der Oberflächeninhalt nimmt bei Änderung 1 stärker zu. Die ursprüngliche Oberfläche beträgt \(38\,\text{cm}^2\). Nach Änderung 1 (alle Kanten verdoppelt) beträgt sie \(152\,\text{cm}^2\). Nach Änderung 2 (nur Höhe vervierfacht) beträgt sie nur \(80\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt einer einzelnen Seitenfläche des Würfels. - Wie lang muss eine Kante sein, damit dieser Flächeninhalt entsteht? - Überlege dir, wie viele Kanten ein Würfel insgesamt hat. - Multipliziere die Länge einer Kante mit der Anzahl aller Kanten.

1. Zuerst wird der Flächeninhalt einer Seitenfläche berechnet, indem der Oberflächeninhalt durch 6 geteilt wird: \(600\,\text{cm}^2 : 6 = 100\,\text{cm}^2\). 2. Um die Kantenlänge \(a\) zu finden, wird die Zahl gesucht, die mit sich selbst multipliziert 100 ergibt: \(10 \cdot 10 = 100\), also ist \(a = 10\,\text{cm}\). 3. Ein Würfel besitzt insgesamt 12 Kanten. Um die Gesamtlänge aller Kanten zu erhalten, wird die Kantenlänge mit 12 multipliziert: \(12 \cdot 10\,\text{cm} = 120\,\text{cm}\).

Die Summe aller Kantenlängen beträgt \(120\,\text{cm}\).

- Ein Quader hat drei Paare von jeweils gleichen Flächen. Welche Paare kannst du bereits berechnen? - Wie viel vom gesamten Oberflächeninhalt bleibt für die restlichen Flächen übrig, wenn du die Grund- und Deckfläche abziehst? - Wie hängen die vier restlichen Seitenflächen mit der Höhe des Kartons zusammen?

1. Berechnung des Flächeninhalts von Grund- und Deckfläche: \(2 \cdot (25\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm}) = 2 \cdot 750\,\text{cm}^2 = 1500\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Anteils der restlichen vier Seitenflächen (Mantelfläche) am Gesamtinhalt: \(2600\,\text{cm}^2 - 1500\,\text{cm}^2 = 1100\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs der Grundfläche: \(2 \cdot (25\,\text{cm} + 30\,\text{cm}) = 110\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche eines Quaders entspricht dem Produkt aus Umfang der Grundfläche und der Höhe \(h\). Berechnung der Höhe: \(1100\,\text{cm}^2 : 110\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\).

Der Karton ist \(10\,\text{cm}\) hoch.

- Berechne zuerst, wie groß die gesamte Oberfläche ist, um die es geht. - Stelle dir das Netz des Quaders vor. Welche Flächen kennst du schon, welche fehlen noch? - Wenn du die bereits bekannten Flächen von der Gesamtoberfläche abziehst, was muss der Rest ergeben? - Kannst du eine kleine Gleichung oder eine Umkehraufgabe aufstellen, um die fehlende Kante zu finden?

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des Würfels: \(6 \cdot (10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm}) = 600\,\text{cm}^2\). Da der Quader denselben Oberflächeninhalt hat, gilt \(O_{\text{Quader}} = 600\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der zwei bekannten gegenüberliegenden Seitenflächen des Quaders: \(2 \cdot (5\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}) = 200\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung des restlichen Oberflächeninhalts für die anderen vier Flächen: \(600\,\text{cm}^2 - 200\,\text{cm}^2 = 400\,\text{cm}^2\). 4. Diese \(400\,\text{cm}^2\) setzen sich aus zwei Paaren zusammen: \(2(5c) + 2(20c) = 10c + 40c = 50c\). 5. Berechnung der dritten Kante \(c\) durch Division: \(400\,\text{cm}^2 : 50\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\).

Die dritte Kante des Quaders ist \(8\,\text{cm}\) lang.

- Überlege genau, aus wie vielen Quadraten das Podest besteht, wenn der Boden fehlt. - Berechne zuerst die Fläche in Quadratzentimetern. - Nutze den Hinweis zur Umrechnung, um herauszufinden, welchen Teil eines Quadratmeters deine Fläche ausmacht.

1. Anzahl der Flächen bestimmen: Ein Würfel ohne Boden hat 5 gleich große quadratische Flächen (Deckfläche und 4 Seitenwände). 2. Fläche einer Seite berechnen: \(20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 400\,\text{cm}^2\). 3. Gesamtfläche berechnen: \(5 \cdot 400\,\text{cm}^2 = 2000\,\text{cm}^2\). 4. Verhältnis zum Quadratmeter bestimmen: \(10\,000\,\text{cm}^2 : 2000\,\text{cm}^2 = 5\). Die Fläche des Podests ist also ein Fünftel eines Quadratmeters. 5. Masse berechnen: \(500\,\text{g} : 5 = 100\,\text{g}\).

Die Masse des Podests beträgt \(100\,\text{g}\).

- Stelle dir vor, aus wie vielen Rechtecken die Außenseite des Kastens besteht. - Wie viele verschiedene Größen von Rechtecken gibt es bei einem Quader? - Denke an die Umrechnungszahl für Flächeneinheiten, wenn du von Quadratzentimetern zu Quadratdezimetern wechselst. - Wie berechnest du die Gesamtkosten aus der Fläche und dem Preis pro Quadratdezimeter?

1. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Seitenpaare: \(80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 4000\,\text{cm}^2\), \(80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 3200\,\text{cm}^2\) und \(50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 2000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(2 \cdot (4000\,\text{cm}^2 + 3200\,\text{cm}^2 + 2000\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 9200\,\text{cm}^2 = 18\,400\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung der Fläche: Da \(100\,\text{cm}^2 = 1\,\text{dm}^2\) gilt, entsprechen \(18\,400\,\text{cm}^2\) genau \(184\,\text{dm}^2\). 4. Berechnung der Kosten: \(184\,\text{dm}^2 \cdot 0{,}05\,\text{€}/\text{dm}^2 = 9{,}20\,\text{€}\).

a) Die Oberfläche beträgt \(18\,400\,\text{cm}^2\). b) Die Fläche entspricht \(184\,\text{dm}^2\). Die Lasur kostet \(9{,}20\,\text{€}\).

- Welche Seiten des Hauses bilden die Wände und welche das Dach? - Überlege, welche Flächen beim Streichen weggelassen werden müssen (z. B. der Boden oder die Tür). - Wenn du ein Ergebnis wie \(2{,}5\) Eimer herausbekommst, kannst du im Laden dann genau diese Menge kaufen?

1. Berechnung der Wandflächen ohne Abzug: Zwei Wände sind \(3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\) groß, zwei Wände sind \(2{,}5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 5\,\text{m}^2\) groß. Summe: \(2 \cdot 6\,\text{m}^2 + 2 \cdot 5\,\text{m}^2 = 12\,\text{m}^2 + 10\,\text{m}^2 = 22\,\text{m}^2\). 2. Abzug der Tür: \(22\,\text{m}^2 - 2\,\text{m}^2 = 20\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Dachfläche: \(3\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 7{,}5\,\text{m}^2\). 4. Gesamtfläche: \(20\,\text{m}^2 + 7{,}5\,\text{m}^2 = 27{,}5\,\text{m}^2\). 5. Anzahl der Eimer: Da ein Eimer für \(10\,\text{m}^2\) reicht, werden für \(27{,}5\,\text{m}^2\) genau \(2{,}75\) Eimer benötigt. Da man nur ganze Eimer kaufen kann, müssen \(3\) Eimer gekauft werden.

a) Die Wandfläche beträgt \(20\,\text{m}^2\). b) Das Dach hat eine Fläche von \(7{,}5\,\text{m}^2\). Die Gesamtfläche beträgt \(27{,}5\,\text{m}^2\). c) Es müssen \(3\) Eimer Farbe gekauft werden.

- Berechne für jedes Becken zuerst die Bodenfläche. - Berechne dann die Flächen der vier Seitenwände und addiere alles. - Achte darauf, dass die Oberseite des Beckens offen ist und nicht gefliest wird. - Vergleiche am Ende die beiden Gesamtergebnisse.

1. Berechnung Becken A: Bodenfläche \(6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). Wandflächen: \(2 \cdot (6\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m}) + 2 \cdot (4\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m}) = 18\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 30\,\text{m}^2\). Gesamtfläche A: \(24\,\text{m}^2 + 30\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\). 2. Berechnung Becken B: Bodenfläche \(5\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 25\,\text{m}^2\). Wandflächen: \(4 \cdot (5\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m}) = 4 \cdot 7{,}5\,\text{m}^2 = 30\,\text{m}^2\). Gesamtfläche B: \(25\,\text{m}^2 + 30\,\text{m}^2 = 55\,\text{m}^2\). 3. Vergleich: \(55\,\text{m}^2 > 54\,\text{m}^2\).

Für Becken B werden mehr Fliesen benötigt. Becken A hat eine zu fliesende Fläche von \(54\,\text{m}^2\), Becken B eine Fläche von \(55\,\text{m}^2\).