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- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkte schreiben, bei denen eine Zahl in beiden Termen vorkommt? - Denke an das Distributivgesetz: \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\). - Was passiert, wenn du eine Wurzel durch sich selbst teilst?

1. Zerlegung der Radikanden in Primfaktoren oder Produkte mit gemeinsamen Faktoren: \(\sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5 \cdot 2}\). Ausklammern von \(\sqrt{5}\) ergibt \(\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\). 2. Zerlegung: \(\sqrt{7 \cdot 3} - \sqrt{7 \cdot 2}\). Ausklammern von \(\sqrt{7}\) ergibt \(\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})\). 3. Zerlegung: \(\sqrt{11 \cdot 3} + \sqrt{11 \cdot 2}\). Ausklammern von \(\sqrt{11}\) ergibt \(\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\). 4. Zerlegung: \(\sqrt{13 \cdot 2} - \sqrt{13 \cdot 1}\). Ausklammern von \(\sqrt{13}\) ergibt \(\sqrt{13}(\sqrt{2} - 1)\).

1) \(\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\) 2) \(\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})\) 3) \(\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})\) 4) \(\sqrt{13}(\sqrt{2} - 1)\)

- Wie verändert sich ein Exponent, wenn man die Quadratwurzel aus einer Potenz zieht? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Wurzeln und rationalen Exponenten. - Kannst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}49\) als Quadratzahl erkennen? - Bei Produkten unter der Wurzel darfst du die Wurzel für jeden Faktor einzeln ziehen.

1. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}\) für Teilaufgaben a) bis c). 2. Berechnung von a): \(\sqrt{5^4} = 5^2 = 25\). 3. Berechnung von b): \(\sqrt{2^{10}} = 2^5 = 32\). 4. Berechnung von c): \(\sqrt{10^{-6}} = 10^{-3} = 0{,}001\). 5. Berechnung von d): Anwendung der Produktregel für Wurzeln \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\). Es ergibt sich \(\sqrt{0{,}49} \cdot \sqrt{10^8} = 0{,}7 \cdot 10^4 = 0{,}7 \cdot 10\,000 = 7000\).

a) \(25\) b) \(32\) c) \(0{,}001\) d) \(7000\)

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, um die Wurzel leichter zu ziehen? - Gibt es eine Rechenregel, mit der man einen Quotienten von Wurzeln unter einer gemeinsamen Wurzel schreiben kann? - Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch um?

1. Teilaufgabe a: Bestimmung der Einzelwurzeln \(\sqrt{225} = 15\) und \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\). Multiplikation der Ergebnisse: \(15 \cdot 0{,}2 = 3\). 2. Teilaufgabe b: Anwendung der Rechenregel für Quotienten von Wurzeln \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). Berechnung von \(\sqrt{\frac{1000}{10}} = \sqrt{100} = 10\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch \(1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}\). Anwendung der Wurzelregel für Brüche \(\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}\).

a) \(3\) b) \(10\) c) \(\frac{4}{3}\) (oder \(1\frac{1}{3}\))

- Berechne bei Teilaufgabe a) zuerst die Potenzen und anschließend die Differenz unter der Wurzel. - Arbeite dich bei verschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Führe die Rechenoperationen unter der Wurzel vollständig aus, bevor du radizierst.

1. Teilaufgabe a: Berechnung der Quadrate \(17^2 = 289\) und \(15^2 = 225\). Berechnung der Differenz \(289 - 225 = 64\). Ziehen der Wurzel \(\sqrt{64} = 8\). 2. Teilaufgabe b: Auswertung der inneren Wurzel \(\sqrt{256} = 16\). Einsetzen in den Term: \(\sqrt{5 \cdot 16 + 1}\). Multiplikation und Addition unter der Wurzel: \(\sqrt{80 + 1} = \sqrt{81}\). Ergebnis ist \(9\).

a) \(8\) b) \(9\)

- Kannst du die Zahlen unter den Wurzeln erst multiplizieren oder dividieren, bevor du die Wurzel ziehst? - Was ist das Ergebnis, wenn du die Wurzeln einzeln ausrechnest?

1. Anwendung des Multiplikationsgesetzes für Wurzeln: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9\). 2. Anwendung des Divisionsgesetzes für Wurzeln: \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6\). 3. Einzelne Quadratwurzeln berechnen und subtrahieren: \(\sqrt{400} - \sqrt{144} = 20 - 12 = 8\).

a) \(9\) b) \(6\) c) \(8\)

- Rechne zuerst den Wert unter der Wurzel aus, bevor du die Wurzel ziehst. - Suche nach Quadratzahlen wie \(4, 9, 16, 25, 36, \ldots\), die Teiler der Zahl unter der Wurzel sind. - Gibt es eine Regel, wie man die Wurzel aus einem Bruch zieht?

1. Berechnung des Ausdrucks unter der Wurzel: \(13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\). Die Wurzel daraus ist \(\sqrt{25} = 5\). 2. Zerlegung von 72 in ein Produkt mit einer maximalen Quadratzahl: \(72 = 36 \cdot 2\). Anwendung der Wurzelgesetze ergibt \(\sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). 3. Anwendung der Wurzelregel für Brüche: \(\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}\). Da \(\sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt{81} = 9\), ist das Ergebnis \(\frac{5}{9}\).

a) \(5\) b) \(6\sqrt{2}\) c) \(\frac{5}{9}\)

- Suche für jede Zahl unter der Wurzel nach Quadratzahlen (\(4, 9, 16, 25, 36, \dots\)) als Teiler. - Wenn ein Term gleichartig zu \(\sqrt{7}\) ist, muss er sich als \(k \cdot \sqrt{7}\) darstellen lassen. - Prüfe, ob du die Zahl \(70\) so zerlegen kannst, dass eine Quadratzahl vorkommt.

1. Vereinfachung von \(\sqrt{112}\): \(\sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}\) 2. Vereinfachung von \(\sqrt{175}\): \(\sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}\) 3. Vereinfachung von \(\sqrt{252}\): \(\sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}\) 4. Vereinfachung von \(\sqrt{\frac{7}{16}}\): \(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}\sqrt{7} = 0{,}25\sqrt{7}\) 5. Für \(\sqrt{70}\) gilt \(\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}} = \sqrt{10}\). Da \(\sqrt{10}\) irrational ist, ist \(\sqrt{70}\) kein rationales Vielfaches von \(\sqrt{7}\). 6. Somit passt \(\sqrt{70}\) nicht in die Reihe.

Der Term \(\sqrt{70}\) passt nicht in die Reihe. Für die anderen Terme ist der Quotient durch \(\sqrt{7}\) rational; bei \(\sqrt{70}\) ist dieser Quotient \(\sqrt{10}\) und damit irrational.

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel in Produkte zerlegen, bei denen ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Erinnerst du dich daran, wie man Wurzeln zusammenfasst? Das geht nur, wenn die Zahl unter der Wurzel (der Radikand) identisch ist. - Achte beim Weglassen der Klammern auf die Rechenzeichen.

1. Teilweises Wurzelziehen der einzelnen Terme: \(2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) und \(3\sqrt{27} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\). 2. Einsetzen der vereinfachten Wurzeln in den Ausdruck: \((6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{2} - 9\sqrt{3})\). 3. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Radikanden: \(6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) und \(2\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -7\sqrt{3}\). 4. Endergebnis: \(8\sqrt{2} - 7\sqrt{3}\).

\(8\sqrt{2} - 7\sqrt{3}\)

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt bei einem Quadrat zusammen? - Kannst du das Verhältnis der Seiten als einen einzigen Wurzelterm schreiben? - Was passiert mit einem Bruch, wenn du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst?

1. Berechnung des Verhältnisses der Seitenlängen über die Wurzeln der Flächeninhalte: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt{162}}{\sqrt{2}}\). 2. Anwendung der Quotientenregel: \(\sqrt{\frac{162}{2}} = \sqrt{81} = 9\). Somit gilt \(a_1 {:} a_2 = 9 {:} 1\). 3. Nach der Verdoppelung lautet das Verhältnis \(\frac{\sqrt{2A_1}}{\sqrt{2A_2}} = \sqrt{\frac{2A_1}{2A_2}} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}\). 4. Der gemeinsame Faktor \(2\) kürzt sich; das Verhältnis bleibt \(9 {:} 1\).

a) \(a_1 {:} a_2 = 9 {:} 1\) b) Das Verhältnis bleibt \(9 {:} 1\), da sich der gemeinsame Faktor \(2\) unter der Wurzel kürzt.

- Kannst du die Wurzelgesetze für die Division von zwei Wurzeln anwenden? - Erinnerst du dich, wie man eine Wurzel vereinfacht, indem man eine Quadratzahl unter der Wurzel ausklammert? - Gibt es eine Regel, wie man Klammern auflöst, wenn eine Division dahinter steht? - Was passiert mit dem Wurzelzeichen, wenn du eine Zahl durch sich selbst teilst?

1. Berechnung mittels Distributivgesetz: \((6\sqrt{28} {:} \sqrt{7}) - (2\sqrt{63} {:} \sqrt{7}) + (\sqrt{112} {:} \sqrt{7}) = 6\sqrt{4} - 2\sqrt{9} + \sqrt{16}\) \(6 \cdot 2 - 2 \cdot 3 + 4 = 12 - 6 + 4 = 10\) 2. Berechnung durch teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}\) \(\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}\) \(\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}\) Zusammenfassen in der Klammer: \(6 \cdot (2\sqrt{7}) - 2 \cdot (3\sqrt{7}) + 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 4\sqrt{7} = 10\sqrt{7}\) Division: \(10\sqrt{7} {:} \sqrt{7} = 10\) 3. Vergleich: Beide Wege führen zum Ergebnis \(10\), da das Distributivgesetz und das Quotientengesetz für Quadratwurzeln korrekt angewendet wurden.

Das Ergebnis für beide Rechenwege ist \(10\).

- Welche binomische Formel passt zu welcher Teilaufgabe? - Denk daran, dass \( (\sqrt{a})^2 = a \) für \( a \ge 0 \) gilt. - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \( 3\sqrt{2} \) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Kannst du aus einem Produkt unter der Wurzel eine Quadratzahl herausziehen?

1. Anwendung der ersten binomischen Formel: \( (3\sqrt{2} + 2)^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2 + 2^2 = 18 + 12\sqrt{2} + 4 = 22 + 12\sqrt{2} \) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \( (2 - \sqrt{7})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 4 - 4\sqrt{7} + 7 = 11 - 4\sqrt{7} \) 3. Anwendung der ersten binomischen Formel und teilweises Wurzelziehen: \( (\sqrt{10} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 10 + 2\sqrt{50} + 5 = 15 + 2 \cdot 5\sqrt{2} = 15 + 10\sqrt{2} \)

1) \( 22 + 12\sqrt{2} \); 2) \( 11 - 4\sqrt{7} \); 3) \( 15 + 10\sqrt{2} \)

- Kannst du Wurzeln mit dem gleichen Radikanden wie Variablen (z. B. \( x \)) behandeln? - Erinnerst du dich an die drei binomischen Formeln? - Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Probier für die Widerlegung einer allgemeinen Aussage einfache Zahlen wie 1, 4 oder 9 aus.

1. Berechnung von a) durch Zusammenfassen: \( \sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7} \). Quadrieren ergibt \( (3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63 \). 2. Berechnung von a) mit binomischer Formel: \( (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 7 + 4 \cdot 7 + 4 \cdot 7 = 7 + 28 + 28 = 63 \). 3. Vereinfachung von b): Partielles Wurzelziehen ergibt \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \). Der Klammerinhalt ist \( 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2} \). Das Quadrat ist \( (\sqrt{2})^2 = 2 \). 4. Überprüfung von c): Für \( a=1 \) und \( b=1 \) gilt \( (\sqrt{1} + \sqrt{1})^2 = (1+1)^2 = 4 \), während \( a+b = 1+1 = 2 \) ist. Die Behauptung ist falsch. Es fehlt das doppelte Produkt \( 2\sqrt{ab} \) der ersten binomischen Formel \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).

a) \(63\) b) \(2\) c) Die Behauptung ist falsch; es fehlt der Term \(2\sqrt{ab}\).

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer vereinfachen, bevor du quadrierst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder das Ausmultiplizieren von Klammern. - Achte auf Wurzeln, die den gleichen Radikanden haben. - Kannst du Wurzeln teilweise radizieren, um sie zusammenzufassen?

1. Anwendung der Formel \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\) auf Teilaufgabe a): \((\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2 + 2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{3} + 2\cdot\sqrt{7}\cdot 2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot 2\) \(7 + 3 + 4 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3} = 14 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) 2. Vereinfachung des Terms in der Klammer für Teilaufgabe b): Da \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\), ergibt sich: \((2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2\) 3. Berechnung des Quadrats: \((\sqrt{2})^2 = 2\)

a) \(14 + 2\sqrt{21} + 4\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) b) \(2\)

- Was passiert, wenn du den gegebenen Wert direkt in den Ausdruck einsetzt? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man Ausdrücke wie \((a+b)^2\) leichter ausrechnen kann? - Achte beim Vereinfachen darauf, welche Teile des Ausdrucks sich gegenseitig aufheben könnten.

1. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term: \((2 + \sqrt{5})^2 - 4(2 + \sqrt{5}) + 9\) 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf das Quadrat: \((2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}\) 3. Ausmultiplizieren des linearen Teils: \(-4 \cdot (2 + \sqrt{5}) = -8 - 4\sqrt{5}\) 4. Zusammenfassen aller Termglieder: \(9 + 4\sqrt{5} - 8 - 4\sqrt{5} + 9 = 10\)

\(10\)

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt eines Quadrats zusammen? - Versuche, die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt zu zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man die beiden Seitenlängen kennt? - Wurzelterme mit demselben Radikanden (der Zahl unter der Wurzel) können wie Variablen addiert werden.

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\): \(a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(b\): \(b = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs \(U\) des Rechtecks: \(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (4\sqrt{2} + 5\sqrt{2})\). 4. Zusammenfassen der Wurzelterme: \(4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\). 5. Endergebnis für den Umfang: \(U = 2 \cdot 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\,\text{cm}\).

a) \(a = 4\sqrt{2}\,\text{cm}\) und \(b = 5\sqrt{2}\,\text{cm}\) b) Der Umfang beträgt \(18\sqrt{2}\,\text{cm}\).

- Nutze die Rechenregeln für Wurzeln (Multiplikation und Division unter einer Wurzel). - Erinnere dich bei Teilaufgabe c) an die binomischen Formeln. - Beachte bei Teilaufgabe e) die Definition der Quadratwurzel: Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist immer nichtnegativ.

1. Berechnung von A: \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2 = \frac{1}{5}\). Das Ergebnis ist ein positiver Bruch. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{Q}\). 2. Berechnung von B: \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\). 3. Berechnung von C: Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2}\) irrational ist, ist das gesamte Ergebnis irrational. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{R}\). 4. Berechnung von D: \(\sqrt{10 \cdot 0{,}4} = \sqrt{4} = 2\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\). 5. Berechnung von E: \(\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7\). Das Ergebnis ist eine natürliche Zahl. Kleinstmögliche Menge: \(\mathbb{N}\).

a) \(0{,}2 \in \mathbb{Q}\) b) \(3 \in \mathbb{N}\) c) \(3 - 2\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) d) \(2 \in \mathbb{N}\) e) \(7 \in \mathbb{N}\)

- Hilft es dir, die Wurzeln in den Klammern zuerst teilweise zu ziehen? - Kannst du Ausdrücke wie \(3x - 2x\) innerhalb der Klammer zusammenfassen? - Vergiss nicht die Regel „Punkt vor Strich“.

1. Vereinfachung der ersten Klammer durch teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\). 2. Berechnung des Quadrats: \((3\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\). 3. Vereinfachung der Wurzeln in der zweiten Klammer: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). 4. Berechnung des Produkts: \(\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(2 + 15 = 17\).

17

- Kannst du \(\sqrt{12}\) teilweise radizieren, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Erinnerst du dich an die Rechenregeln für Wurzeln bei Multiplikation und Division? - Welche binomische Formel könnte bei Teilaufgabe 5 hilfreich sein? - Wann ist die Wurzel aus einer natürlichen Zahl rational?

1. \(a + b = \sqrt{3} + \sqrt{12} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\). Da \(\sqrt{3}\) irrational ist, ist das Ergebnis irrational. 2. \(a \cdot b = \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\). Das Ergebnis ist rational. 3. \(b {:} a = \sqrt{12} {:} \sqrt{3} = \sqrt{12 {:} 3} = \sqrt{4} = 2\). Das Ergebnis ist rational. 4. \(a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{12})^2 = 3 + 12 = 15\). Das Ergebnis ist rational. 5. \((b - a)^2 = (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\). Das Ergebnis ist rational. Alternativ über die binomische Formel: \(12 - 2\sqrt{36} + 3 = 12 - 12 + 3 = 3\).

1) \(3\sqrt{3}\) (irrational) 2) \(6\) (rational) 3) \(2\) (rational) 4) \(15\) (rational) 5) \(3\) (rational)

- Kannst du die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt zerlegen, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist? - Erinnere dich daran, wie man einen Bruch unter einer Wurzel aufteilt. - Wie wird man eine Wurzel im Nenner eines Bruchs los? - Was passiert mit den Wurzelteilen, wenn du den einen Term durch den anderen teilst?

1. Teilweises Wurzelziehen bei \(A\): \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\) 2. Umwandeln des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch bei \(B\): \(\sqrt{3\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}}\) 3. Rationalmachen des Nenners bei \(B\): \(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = 0{,}8\sqrt{5}\) 4. Feststellung der Gleichartigkeit: Da beide Terme ein rationales Vielfaches von \(\sqrt{5}\) sind, sind sie gleichartig. 5. Berechnung des Quotienten: \(\frac{A}{B} = \frac{6\sqrt{5}}{0{,}8\sqrt{5}} = \frac{6}{0{,}8} = 7{,}5\)

a) \(A = 6\sqrt{5}\) und \(B = \frac{4}{5}\sqrt{5}\) (oder \(0{,}8\sqrt{5}\)) b) Die Terme sind gleichartig, da beide den Radikanden \(5\) besitzen. c) \(\frac{A}{B} = 7{,}5\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl schreiben? - Versuche, alle Summanden auf denselben Radikanden (die Zahl unter der Wurzel) zu bringen. - Erinnere dich an die Regeln zum Runden: Ab 5 wird aufgerundet.

1. Vereinfachung von Teil a: Die Radikanden werden faktorisiert, um Quadratzahlen zu isolieren: \(4\sqrt{9 \cdot 2} - 2\sqrt{25 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 2}\). Durch teilweises Wurzelziehen ergibt sich \(4 \cdot 3\sqrt{2} - 2 \cdot 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). 2. Berechnung von Teil a: Mit \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) ergibt sich \(4 \cdot 1{,}4142 \approx 5{,}66\). 3. Vereinfachung von Teil b: Faktorisierung der Radikanden ergibt \(\frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{4 \cdot 3} - 0{,}5\sqrt{16 \cdot 3}\). Teilweises Wurzelziehen führt zu \(\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 0{,}5 \cdot 4\sqrt{3} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\). 4. Berechnung von Teil b: Mit \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) ergibt sich gerundet \(1{,}73\).

a) \(4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) b) \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl schreiben? - Überlege, welche Quadratzahlen in 75, 27 oder 108 stecken. - Wurzeln mit demselben Radikanden kannst du wie Variablen (z. B. \(x\)) addieren oder subtrahieren. - Wie lässt sich ein Dezimalbruch oder ein Bruch unter der Wurzel so umformen, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht?

1. Teilweises Radizieren: \(3 \cdot 5\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 15\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}\). Zusammenfassen ergibt \(15\sqrt{3}\). 2. Teilweises Radizieren: \(5\sqrt{2} + 2 \cdot 2\sqrt{2} - 9\sqrt{2} = 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 9\sqrt{2}\). Zusammenfassen ergibt \(0\). 3. Umformen der Radikanden: \(2\sqrt{5} - \sqrt{\frac{45}{100}} + \frac{\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} - \frac{3\sqrt{5}}{10} + \frac{2\sqrt{5}}{10} = 2\sqrt{5} - 0{,}3\sqrt{5} + 0{,}2\sqrt{5}\). Zusammenfassen ergibt \(1{,}9\sqrt{5}\).

1) \(15\sqrt{3}\) 2) \(0\) 3) \(1{,}9\sqrt{5}\) (oder \(\frac{19}{10}\sqrt{5}\))

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche zuerst, jede einzelne Wurzel durch teilweises Wurzelziehen zu vereinfachen. - Welche Terme darfst du addieren oder subtrahieren?

1. Teilweises Wurzelziehen für alle Terme: \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\), \(1{,}5\sqrt{12} = 1{,}5 \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\), \(2\sqrt{20} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\), \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) und \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). 2. Einsetzen der Ergebnisse: \((3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}) - (4\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) + 3\sqrt{3}\). 3. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(3\sqrt{5} - 3\sqrt{3} - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{5}\): \(3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = -\sqrt{5}\). 5. Zusammenfassen der Terme mit \(\sqrt{3}\): \(-3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). 6. Endergebnis: \(4\sqrt{3} - \sqrt{5}\).

\(4\sqrt{3} - \sqrt{5}\)

- Welche binomischen Formeln erkennst du in den Termen? - Was passiert mit den Wurzeln, wenn man sie quadriert? - Überlege, bei welcher Formel ein „Mittelteil“ stehen bleibt und bei welcher nicht.

1. Berechnung von \(A\): Anwendung der ersten binomischen Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) mit \(a = \sqrt{7}\) und \(b = \sqrt{2}\). Es ergibt sich \((\sqrt{7})^2 + 2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}\). 2. Berechnung von \(B\): Anwendung der dritten binomischen Formel \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) mit \(a = \sqrt{7}\) und \(b = \sqrt{2}\). Es ergibt sich \((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5\). 3. Begründung: Bei Term \(A\) entsteht durch das gemischte Glied \(2ab\) der Ausdruck \(2\sqrt{14}\), der nicht weiter vereinfacht werden kann und somit irrational ist. Bei Term \(B\) heben sich die gemischten Glieder gegenseitig auf, sodass nur die Quadrate der Wurzeln übrig bleiben. Da das Quadrat einer Quadratwurzel einer natürlichen Zahl wieder eine rationale Zahl ist, ist das Gesamtergebnis rational.

a) \(A = 9 + 2\sqrt{14}\); \(B = 5\). b) Bei \(A\) bleibt das gemischte Glied \(2\sqrt{14}\) erhalten, welches irrational ist. Bei \(B\) (3. binomische Formel) fallen die gemischten Glieder weg, sodass nur die Differenz der Quadrate \(7 - 2\) berechnet wird.

- Kannst du in den Zahlen unter der Wurzel Quadratzahlen als Faktoren finden? - Schreibe Dezimalzahlen als Brüche um, um das Wurzelziehen zu erleichtern. - Überlege dir, wie du Brüche in der Wurzel so umformen kannst, dass keine Wurzel mehr im Nenner steht. - Fasse am Ende alle Terme mit der gleichen Wurzel zusammen, so wie du es bei Variablen wie \(x\) tun würdest.

1. Anwendung des teilweisen Wurzelziehens auf alle Terme: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\) \(\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}\) \(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\) \(\sqrt{0{,}2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = 0{,}2\sqrt{5}\) \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\) 2. Einsetzen der vereinfachten Terme in den Gesamtausdruck: \(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 4\sqrt{5} + 0{,}2\sqrt{5} + 1\sqrt{5} - 6\sqrt{5}\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten: \((3 - 2 + 5 - 4 + 0{,}2 + 1 - 6) \cdot \sqrt{5} = -2{,}8\sqrt{5}\)

\(-2{,}8\sqrt{5}\) (oder \(-\frac{14}{5}\sqrt{5}\))

- Berechne zuerst das Quadrat mithilfe der binomischen Formeln. - Versuche, die große Zahl unter der Wurzel durch kleine Quadratzahlen wie \(4\), \(9\), \(16\) oder \(25\) zu teilen, um sie zu vereinfachen. - Heben sich am Ende vielleicht einige Terme mit Wurzeln gegenseitig auf?

1. Ausmultiplizieren mit der zweiten binomischen Formel: \( (4 - 3\sqrt{3})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 = 16 - 24\sqrt{3} + 27 = 43 - 24\sqrt{3} \) 2. Teilweises Wurzelziehen beim zweiten Summanden: \( \sqrt{1728} = \sqrt{576 \cdot 3} = 24\sqrt{3} \) 3. Zusammenfassen der Teilergebnisse: \( 43 - 24\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = 43 \)

\( 43 \)

- Welche binomische Formel passt zur Struktur des Terms? - Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel quadriert? - Kannst du die Terme unter der Wurzel mit einer weiteren binomischen Formel vereinfachen? - Achte beim Zusammenfassen darauf, welche Summanden sich gegenseitig aufheben.

1. Für Teil a) wird die erste binomische Formel \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) angewendet: \( a^2 = 9+\sqrt{17} \), \( b^2 = 9-\sqrt{17} \), \( 2ab = 2\sqrt{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})} \). 2. Unter der Wurzel des gemischten Terms wird die dritte binomische Formel genutzt: \( 2\sqrt{81-17} = 2\sqrt{64} = 2 \cdot 8 = 16 \). 3. Addition der Teile: \( (9+\sqrt{17}) + 16 + (9-\sqrt{17}) = 18 + 16 = 34 \). 4. Für Teil b) wird die zweite binomische Formel \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) angewendet: \( a^2 = 10-2\sqrt{21} \), \( b^2 = 10+2\sqrt{21} \), \( 2ab = 2\sqrt{(10-2\sqrt{21})(10+2\sqrt{21})} \). 5. Berechnung des gemischten Terms: \( 2\sqrt{100-4 \cdot 21} = 2\sqrt{100-84} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8 \). 6. Zusammenfassen: \( (10-2\sqrt{21}) - 8 + (10+2\sqrt{21}) = 20 - 8 = 12 \).

a) \( 34 \) b) \( 12 \)

- Erinnere dich an die erste und zweite binomische Formel: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\). - Was passiert, wenn du für \(a\) und \(b\) Quadratwurzeln einsetzt? - Kannst du den Term unter der großen Wurzel als ein Quadrat eines anderen Terms schreiben? - Suche nach zwei Zahlen, deren Summe und Produkt im Radikanden versteckt sind.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel: \((\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}\). 2. Da \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}\) gilt und \(\sqrt{5} > \sqrt{2}\) ist, folgt \(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}\). 3. Gesucht sind zwei Zahlen \(x\) und \(y\) mit \(x+y=12\) und \(xy=35\). Dies sind \(7\) und \(5\). Somit ist \((\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 = 7+5+2\sqrt{35} = 12+2\sqrt{35}\). Daher gilt \(\sqrt{12+2\sqrt{35}} = \sqrt{7}+\sqrt{5}\).

1. \(7 + 2\sqrt{10}\) 2. \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\) 3. \(\sqrt{7} + \sqrt{5}\)

- Berechne zuerst den Radikanden. - Du kannst die Wurzel auch auf geeignete Faktoren verteilen. - Wie hängen Wurzelziehen und Quadrieren zusammen?

1. Schrittweise Berechnung: \(\frac{1}{4} \cdot 2^4 = 0{,}25 \cdot 16 = 4\). Somit ist \(T = \sqrt{4} = 2\). Alternativ mit Wurzelgesetzen: \(\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{2^4} = 0{,}5 \cdot 4 = 2\). 2. Bestimmung von \(x\): Gesucht ist der Wert \(x\), für den \(\sqrt{x} = T = 2\) gilt. Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich \(x = 2^2 = 4\). 3. Grafische Kontrolle: Vom Wert \(y = 2\) auf der \(y\)-Achse gelangt man waagerecht zum Graphen und von dort senkrecht zur \(x\)-Achse zum Wert \(x = 4\).

1. Der berechnete Wert ist \(T = 2\). 2. Der gesuchte \(x\)-Wert ist \(4\).

- Ist es einfacher, erst die einzelnen Wurzeln zu ziehen oder die Rechengesetze für Wurzeln anzuwenden? - Achte bei Teilaufgabe c) darauf, ob du unter der Wurzel kürzen kannst, bevor du radizierst. - Wie dividiert man zwei Brüche miteinander?

1. Schrittweise Berechnung für a): \(\sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{6} = 2\). 2. Schrittweise Berechnung für b): \(\sqrt{\frac{49}{16}} {:} \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{7}{4} {:} \frac{5}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{7}{5}\). 3. Schrittweise Berechnung für c): Zuerst Umwandlung im Radikanden: \(\sqrt{\frac{36}{25} \cdot \frac{25}{16}}\). Kürzen unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{\frac{36}{16}}\). Radizieren liefert \(\frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).

a) \(2\) b) \(\frac{7}{5}\) c) \(\frac{3}{2}\)

- Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Wie berechnest du die Seitenlänge, wenn du den verdoppelten Flächeninhalt kennst? - Erinnerst du dich, wie man Wurzelterme vereinfacht oder den Nenner rational macht?

1. Der Flächeninhalt des ersten Quadrats ist \(A_1 = a_1^2 = (\sqrt{18}\,\text{cm})^2 = 18\,\text{cm}^2\). 2. Der Flächeninhalt des zweiten Quadrats ist \(A_2 = 2A_1 = 36\,\text{cm}^2\). Die Seitenlänge ist somit \(a_2 = \sqrt{36\,\text{cm}^2} = 6\,\text{cm}\). 3. Das Verhältnis der Seitenlängen ist \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{\sqrt{18}}\). Durch teilweises Wurzelziehen im Nenner (\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)) ergibt sich \(\frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\). Durch Rationalmachen des Nenners folgt \(\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

1. \(A_1 = 18\,\text{cm}^2\) 2. \(a_2 = 6\,\text{cm}\) 3. Das Verhältnis ist \(\sqrt{2}\).

- Welche Quadratzahlen stecken als Faktoren in 150, 54 und 24? - Was unterscheidet rationale von irrationalen Zahlen? Denk an die Darstellung als Bruch oder Dezimalzahl. - Wie kannst du \(\sqrt{0{,}5}\) als Wurzel eines Bruchs schreiben und den dabei entstehenden Wurzelausdruck im Nenner beseitigen? - Kannst du den Dezimalbruch \(0{,}5\) als gewöhnlichen Bruch schreiben, um die Wurzel einfacher zu ziehen?

1. Teil a: Zerlegung der Radikanden in Faktoren mit Quadratzahlen: \(\sqrt{25 \cdot 6} - \sqrt{9 \cdot 6} + \sqrt{4 \cdot 6}\). Anwendung des Wurzelgesetzes ergibt \(5\sqrt{6} - 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}\). 2. Teil b: Das Ergebnis \(4\sqrt{6}\) ist eine irrationale Zahl, da \(\sqrt{6}\) nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (6 ist keine Quadratzahl) und das Produkt einer rationalen Zahl (ungleich Null) mit einer irrationalen Zahl wieder irrational ist. 3. Teil c: Umformung des ersten Summanden: \(2\sqrt{0{,}5} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Umformung des zweiten Summanden: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\). Addition der Ergebnisse: \(\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Damit ist die Gleichheit gezeigt.

a) \(T = 4\sqrt{6}\) b) Irrationale Zahl, da \(\sqrt{6}\) irrational ist. c) \(2\sqrt{0{,}5} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).

- Darf man Wurzeln einfach addieren, indem man die Zahlen unter der Wurzel addiert? Probiere es mit einem einfachen Beispiel wie \(\sqrt{9} + \sqrt{16}\). - Versuche zuerst, jeden einzelnen Wurzelterm so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du die Klammern auflöst. - Was ist die Definition einer rationalen Zahl? - Kann ein Ergebnis, das ursprünglich Wurzeln enthielt, am Ende eine ganz normale Zahl ohne Wurzelzeichen sein?

1. Für Teil a): Teilweises Radizieren der Summanden: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) und \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Addition ergibt \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\). Prüfung des Zielwerts: \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\). Die Aussage ist wahr. 2. Für Teil b): Vereinfachung der einzelnen Wurzeln: \(3\sqrt{20} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\); \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\); \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\). Einsetzen in den Term: \((6\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) - (4\sqrt{5} - \sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 0\). Da \(0\) als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist, handelt es sich um eine rationale Zahl.

a) Die Aussage ist wahr, da \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) und \(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) gilt. b) Der Wert des Terms ist \(0\). Dies ist eine rationale Zahl.

- Sortiere die Terme zuerst danach, welche Wurzel nach dem teilweisen Wurzelziehen übrig bleibt. - Wandle gemischte Zahlen unter der Wurzel in unechte Brüche um. - Erinnere dich daran, wie man den Nenner eines Bruchs rationalisiert, wenn dort eine Wurzel steht. - Beachte die Vorzeichen vor jedem Summanden genau.

1. Vereinfachung der Terme mit \(\sqrt{2}\): \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) \(\sqrt{0{,}5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = 0{,}5\sqrt{2}\) \(\sqrt{200} = 10\sqrt{2}\) Zusammengefasst: \(3\sqrt{2} + 0{,}5\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 13{,}5\sqrt{2}\) 2. Vereinfachung der Terme mit \(\sqrt{3}\): \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) \(\sqrt{5\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) Zusammengefasst: \(-2\sqrt{3} - \frac{4}{3}\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -\frac{28}{3}\sqrt{3}\) 3. Gesamtergebnis durch Kombination der beiden Gruppen: \(13{,}5\sqrt{2} - \frac{28}{3}\sqrt{3}\)

\(13{,}5\sqrt{2} - \frac{28}{3}\sqrt{3}\) (oder \(\frac{27}{2}\sqrt{2} - \frac{28}{3}\sqrt{3}\))

- Wie kannst du eine Wurzel vereinfachen, wenn unter ihr eine Quadratzahl als Faktor steht? - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \( 3\sqrt{5} \) darauf, sowohl die Zahl als auch die Wurzel zu quadrieren. - Um zu zeigen, dass \( \sqrt{A} = B \) gilt, reicht es oft aus zu prüfen, ob \( B^2 = A \) ist.

1. Berechnung von a): Partielles Wurzelziehen ergibt \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Einsetzen führt zu \(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3}\right)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12\). 2. Berechnung von b): \((3\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 45 - 12\sqrt{15} + 12 = 57 - 12\sqrt{15}\). 3. Nachweis für c): \((2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}\). Außerdem ist \(2 + \sqrt{3} > 0\). Daher ist \(2 + \sqrt{3}\) die arithmetische Quadratwurzel von \(7 + 4\sqrt{3}\), also \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\).

a) \(12\) b) \(57 - 12\sqrt{15}\) c) \((2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3}\) und \(2+\sqrt{3}>0\).

- Konzentriere dich zuerst auf den Ausdruck in der großen Klammer. - Wie lässt sich das Produkt der beiden Wurzelterme unter einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Erinnerst du dich an die Definition einer Quadratzahl? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis die Bedingung einer Quadratzahl erfüllt.

1. Zuerst wird der Ausdruck in der Klammer mithilfe der ersten binomischen Formel quadriert: \( (\sqrt{11+\sqrt{72}})^2 + 2\sqrt{(11+\sqrt{72})(11-\sqrt{72})} + (\sqrt{11-\sqrt{72}})^2 \). 2. Vereinfachung der äußeren Quadrate: \( 11+\sqrt{72} + 11-\sqrt{72} = 22 \). 3. Berechnung des gemischten Terms unter Verwendung der dritten binomischen Formel: \( 2\sqrt{11^2 - (\sqrt{72})^2} = 2\sqrt{121-72} = 2\sqrt{49} = 2 \cdot 7 = 14 \). 4. Addition der Ergebnisse innerhalb der Klammer: \( 22 + 14 = 36 \). 5. Multiplikation mit dem Vorfaktor: \( T = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9 \). 6. Da \( 9 = 3^2 \) gilt, ist der Wert eine Quadratzahl.

Der Wert des Terms ist \( 9 \). Da \( 9 = 3^2 \) ist, ist dies eine Quadratzahl.

- Überlege, ob du Wurzeln wie \(\sqrt{12}\) oder \(\sqrt{8}\) teilweise radizieren kannst. - Fasse alle gleichartigen Wurzelterme zusammen, bevor du die Klammer quadrierst. - Was muss passieren, damit das Endergebnis eine natürliche Zahl ohne Wurzelzeichen ist? - Prüfe, ob du die zweite binomische Formel korrekt anwendest.

1. Teilaufgabe a): Vereinfachung der Wurzel \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Zusammenfassen in der Klammer: \(2\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 3\sqrt{3} - \sqrt{2}\). Anwendung der binomischen Formel: \((3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\). Berechnung der Werte: \(27 - 6\sqrt{6} + 2 = 29 - 6\sqrt{6}\). 2. Teilaufgabe b): Teilweises Radizieren der Terme: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) und \(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). Addition der Wurzelterme: \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\). Quadrieren des Ergebnisses: \((7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98\). Da \(98\) eine natürliche Zahl ist, ist die Aussage gezeigt.

a) \(29 - 6\sqrt{6}\) b) Das Ergebnis ist \(98\), was eine natürliche Zahl ist.

- Wie kannst du eine Gleichung mit einer Wurzel auf einer Seite vereinfachen? - Wenn zwei Terme der Form \(A + \sqrt{B}\) und \(C + \sqrt{D}\) gleich sein sollen, was muss dann für die einzelnen Bestandteile gelten? - Nutze die Erkenntnisse aus dem Quadrieren, um ein kleines Gleichungssystem für die unbekannten Werte aufzustellen. - Achte beim Vergleich der Terme in Teilaufgabe 3 genau auf die Position der Faktoren vor den Wurzeln.

1. Quadrieren der rechten Seite: \((\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}\). Da \(2\sqrt{21} = \sqrt{84}\), ist die Gleichung wahr; außerdem ist \(\sqrt{7}-\sqrt{3}>0\). 2. Quadrieren ergibt \(4{,}5 + \sqrt{8} = x+y+2\sqrt{xy}\). Wegen \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) gilt \(x+y=4{,}5\) und \(xy=2\). Daraus folgen \(x=4\) und \(y=0{,}5\) oder umgekehrt. 3. Für \(x,y \ge 0\) gilt \((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}\). Daher müssen \(x+y=a\) und \(xy=b\) gelten.

1. Die Gleichung ist wahr. 2. \(x=4\) und \(y=0{,}5\) oder umgekehrt. 3. Es müssen \(x,y \ge 0\), \(x+y=a\) und \(xy=b\) gelten.

- Könntest du die Gleichung für \(x\) so umstellen, dass die Wurzel alleine steht, und dann beide Seiten quadrieren? - Welchen Wert hat der Ausdruck, den du nach dem Quadrieren und Umstellen erhältst? - Gibt es eine Möglichkeit, den großen Term \(2x^3 - 2x^2 + 3x + 2\) durch einen kleineren Ausdruck auszudrücken, der den Wert Null hat? - Überlege, ob eine Polynomdivision oder ein geschicktes Ausklammern den Grad des Terms verringern könnte.

1. Umformen der Gleichung \(x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\) durch Multiplikation mit \(2\) und Subtraktion von \(1\): \(2x - 1 = \sqrt{3}\) 2. Quadrieren beider Seiten zur Beseitigung der Wurzel: \((2x - 1)^2 = 3\), was zu \(4x^2 - 4x + 1 = 3\) bzw. \(4x^2 - 4x - 2 = 0\) führt 3. Vereinfachen der quadratischen Gleichung durch Division durch \(2\): \(2x^2 - 2x - 1 = 0\) 4. Zerlegung des ursprünglichen Terms unter Ausnutzung dieser Gleichung: \(2x^3 - 2x^2 + 3x + 2 = x(2x^2 - 2x - 1) + 4x + 2\) 5. Da \(2x^2 - 2x - 1 = 0\) ist, reduziert sich der Wert des Terms auf den Rest \(4x + 2\) 6. Einsetzen von \(x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\) in den Restterm: \(4 \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + 2 = 2(1 + \sqrt{3}) + 2 = 4 + 2\sqrt{3}\)

\(4 + 2\sqrt{3}\)