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- Schau zuerst auf die Form der jeweiligen Gleichung, nicht auf die Zahlen. - Ist bereits ein Quadrat isoliert, ein Produkt gleich null oder eine allgemeine Normalform gegeben?

1. Bei a) ist bereits ein Quadrat isoliert. Daher ist Wurzelziehen naheliegend. 2. Bei b) ist ein Produkt gleich null. Daher passt der Satz vom Nullprodukt. 3. Bei c) liegt eine allgemeine quadratische Gleichung vor, die weder als isoliertes Quadrat noch als Produkt gegeben ist. Daher ist die Lösungsformel naheliegend.

a) Wurzelziehen b) Satz vom Nullprodukt c) Lösungsformel

- Welcher Koeffizient steht direkt vor \(x^2\), welcher vor \(x\)? - Achte beim Ablesen besonders auf die Vorzeichen.

1. Vergleiche \(3x^2-5x-2=0\) mit \(ax^2+bx+c=0\). 2. Daraus liest man \(a=3\), \(b=-5\) und \(c=-2\) ab.

\(a=3\), \(b=-5\), \(c=-2\)

- Versuche zuerst, den quadrierten Klammerausdruck alleine stehen zu lassen. - Denke daran, dass derselbe Quadratwert von zwei verschiedenen inneren Werten kommen kann. - Bearbeite die beiden möglichen Fälle getrennt weiter. - Setze deine gefundenen Werte zum Schluss kurz in die ursprüngliche Gleichung ein.

1. Dividiere zuerst durch 2: \((2x-4)^2 = 25\). 2. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(2x-4 = \pm\sqrt{25}\), also \(2x-4 = \pm 5\). 3. Betrachte die zwei linearen Gleichungen: Gleichung 1: \(2x-4 = 5 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = 4{,}5\) Gleichung 2: \(2x-4 = -5 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0{,}5\)

Die Lösungen sind \(x_1 = 4{,}5\) und \(x_2 = -0{,}5\).

- Bringe den quadrierten Klammerausdruck zuerst Schritt für Schritt frei. - Achte auf das Minus vor dem Klammerausdruck, bevor du weiter umformst. - Ein Quadrat kann zu zwei passenden inneren Klammerwerten führen. - Löse danach jeweils die einfache Gleichung, die in der Klammer steckt.

1. Subtrahiere 12 von beiden Seiten: \(-3(x+1)^2 = -12\). 2. Dividiere durch \(-3\): \((x+1)^2 = 4\). 3. Ziehe die Quadratwurzel: \(x+1 = \pm\sqrt{4}\), also \(x+1 = \pm 2\). 4. Bestimme die zwei Fälle: Fall 1: \(x+1 = 2 \Rightarrow x = 1\) Fall 2: \(x+1 = -2 \Rightarrow x = -3\)

Die Lösungen sind \(x = 1\) und \(x = -3\).

- Arbeite dich von außen nach innen zur Klammer vor. - Sorge zuerst dafür, dass der quadrierte Teil alleine steht. - Überlege, ob der verbleibende Quadratwert eine exakte Zahl oder eine Wurzelschreibweise nahelegt. - Vergiss nicht, dass die Klammer zwei mögliche Vorzeichen haben kann.

1. Subtrahiere 3 von beiden Seiten der Gleichung: \(5(x-2)^2 = 15\). 2. Dividiere durch 5, um den quadratischen Term zu isolieren: \((x-2)^2 = 3\). 3. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x-2 = \pm\sqrt{3}\). 4. Addiere 2, um die Lösungen für \(x\) zu erhalten: \(x = 2 \pm\sqrt{3}\).

Die Lösungen lauten \(x_1 = 2 + \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 - \sqrt{3}\).

- Isoliere zuerst den Ausdruck mit der Klammer, bevor du dich um das Quadrat kümmerst. - Achte darauf, wie der Faktor vor der Klammer rückgängig gemacht werden kann. - Denke an die zwei möglichen inneren Werte, die zu demselben Quadrat führen. - Berücksichtige am Ende die Verschiebung innerhalb der Klammer.

1. Zuerst wird 4 auf beiden Seiten addiert: \(\frac{1}{2}(x+5)^2 = 4\). 2. Um den Faktor \(\frac{1}{2}\) zu eliminieren, wird die gesamte Gleichung mit 2 multipliziert: \((x+5)^2 = 8\). 3. Nun wird die Quadratwurzel gezogen: \(x+5 = \pm\sqrt{8}\). 4. Die Wurzel lässt sich vereinfachen: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\). Also: \(x+5 = \pm 2\sqrt{2}\). 5. Subtrahiere 5 von beiden Seiten: \(x = -5 \pm 2\sqrt{2}\).

Die Lösungen sind \(x = -5 + 2\sqrt{2}\) und \(x = -5 - 2\sqrt{2}\).

- Lass zuerst nur noch den quadrierten Klammerteil auf einer Seite stehen. - Erwarte hier nicht unbedingt eine glatte Dezimalzahl als Ergebnis. - Behandle die beiden möglichen Klammerwerte getrennt. - Schreibe das Ergebnis so, dass beide Lösungen klar erkennbar sind.

1. Zuerst wird die Gleichung durch 4 dividiert, um die Klammer zu isolieren: \((x-3)^2 = \frac{7}{4}\). 2. Danach wird auf beiden Seiten die Quadratwurzel gezogen. Dabei müssen sowohl die positive als auch die negative Wurzel berücksichtigt werden: \(x-3 = \pm\sqrt{\frac{7}{4}}\). 3. Da \(\sqrt{4} = 2\) ist, lässt sich der Ausdruck vereinfachen zu: \(x-3 = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}\). 4. Schließlich wird 3 addiert, um \(x\) zu isolieren: \(x = 3 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = 3 + \frac{\sqrt{7}}{2}\) und \(x_2 = 3 - \frac{\sqrt{7}}{2}\).

- Was muss für ein Produkt gelten, damit das Ergebnis null ist? - Suche nach dem größten gemeinsamen Faktor der Terme. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite ein Produkt steht? - Überprüfe deine ausgeklammerten Terme, indem du sie im Kopf wieder ausmultiplizierst.

1. Für Teilaufgabe a) den größten gemeinsamen Faktor der Terme \(14x^2\) und \(21x\) bestimmen: \(7x\). 2. Ausklammern: \(7x \cdot (2x - 3) = 0\). 3. Satz vom Nullprodukt anwenden: \(7x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_2 = 1{,}5\). 4. Für Teilaufgabe b) den Faktor \(0{,}5x\) ausklammern: \(0{,}5x \cdot (x + 8) = 0\). 5. Satz vom Nullprodukt anwenden: \(0{,}5x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(x + 8 = 0 \Rightarrow x_2 = -8\). 6. Lösungsmengen angeben: a) \(L = \{0; 1{,}5\}\), b) \(L = \{-8; 0\}\).

a) \(L = \{0; 1{,}5\}\) b) \(L = \{-8; 0\}\)

- Welche Zahl muss mit sich selbst multipliziert werden, um \(169\) zu ergeben? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Kann ein Quadrat in den reellen Zahlen jemals einen negativen Wert annehmen?

1. Für \(a = 1{,}69\) lautet die Gleichung \(x^2 = 1{,}69\). Da \(13^2 = 169\) ist, folgt \(\sqrt{1{,}69} = 1{,}3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1{,}3\) und \(x_2 = -1{,}3\). 2. Das Quadrat einer jeden reellen Zahl \(x\) ist stets größer oder gleich Null (\(x^2 \geq 0\)). 3. Da \(a = -1{,}69\) negativ ist, gibt es keine reelle Zahl \(x\), deren Quadrat diesen Wert ergibt. Die Tatsache, dass \((-1{,}3)^2 = 1{,}69\) positiv ist, bestätigt lediglich, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist.

a) Die Lösungen sind \(1{,}3\) und \(-1{,}3\). b) Quadrate reeller Zahlen sind niemals negativ, daher hat \(x^2 = -1{,}69\) keine Lösung.

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wert auf der rechten Seite zu ergeben. - Was weißt du über das Vorzeichen eines Ergebnisses, wenn du eine Zahl quadrierst? - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, diese kurzzeitig als Brüche zu betrachten (z. B. \(1{,}44 = \frac{144}{100}\)). - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = a\) (mit \(a > 0\)) immer zwei Lösungen hat.

1. a) Die Gleichung \( x^2 = 1{,}44 \) hat zwei Lösungen: \( x_1 = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \) und \( x_2 = -1{,}2 \). 2. b) Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, hat \( y^2 = -0{,}16 \) keine reelle Lösung. 3. c) Ziehen der Wurzel aus dem Bruch: \( z = \pm\sqrt{\frac{49}{100}} = \pm\frac{7}{10} \). Die Lösungen sind \( z_1 = 0{,}7 \) und \( z_2 = -0{,}7 \). 4. d) Umstellen der Gleichung: \( w^2 = 2500 \). Ziehen der Wurzel ergibt \( w_1 = 50 \) und \( w_2 = -50 \).

a) \( x = 1{,}2 \) oder \( x = -1{,}2 \) b) keine reelle Lösung c) \( z = 0{,}7 \) oder \( z = -0{,}7 \) d) \( w = 50 \) oder \( w = -50 \)

- Isoliere zuerst den Term mit dem Quadrat auf einer Seite der Gleichung. - Achte genau auf die Vorzeichen, wenn du Zahlen von einer Seite auf die andere bringst. - Kannst du eine Zahl finden, deren Quadrat negativ ist?

1. a) Division durch 4 ergibt \( x^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 4 \) und \( x_2 = -4 \). 2. b) Subtraktion von \( 0{,}7 \) ergibt \( x^2 = 0{,}09 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 0{,}3 \) und \( x_2 = -0{,}3 \). 3. c) Addition von 5 ergibt \( y^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( y_1 = 4 \) und \( y_2 = -4 \). 4. d) Subtraktion von 10 ergibt \( z^2 = -6 \). Da \( -6 < 0 \), gibt es keine reelle Lösung.

a) \( x = 4 \) oder \( x = -4 \) b) \( x = 0{,}3 \) oder \( x = -0{,}3 \) c) \( y = 4 \) oder \( y = -4 \) d) keine reelle Lösung

- Achte auf den Unterschied zwischen \( (-a)^2 \) und \( -a^2 \). Wo genau steht das Minuszeichen? - Rechne zuerst die Werte auf den Seiten aus, bevor du versuchst, die Wurzel zu ziehen. - Bei Brüchen hilft es, alles auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. a) Berechnung der rechten Seite: \( (-12)^2 = 144 \). Die Gleichung \( x^2 = 144 \) hat die Lösungen \( x_1 = 12 \) und \( x_2 = -12 \). 2. b) Beachtung der Priorität (Potenz vor Vorzeichen): \( -8^2 = -(8 \cdot 8) = -64 \). Die Gleichung \( x^2 = -64 \) hat keine reelle Lösung. 3. c) Umformung: \( 3x^2 = 27 \), dann \( x^2 = 9 \). Die Lösungen sind \( x_1 = 3 \) und \( x_2 = -3 \). 4. d) Umformung: \( x^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} \). Die Wurzeln sind \( x_1 = \frac{3}{4} \) (oder \( 0{,}75 \)) und \( x_2 = -\frac{3}{4} \) (oder \( -0{,}75 \)).

a) \( x = 12 \) oder \( x = -12 \) b) keine reelle Lösung c) \( x = 3 \) oder \( x = -3 \) d) \( x = 0{,}75 \) oder \( x = -0{,}75 \)

- Berechne zunächst jeweils den Wert auf der rechten Seite beziehungsweise isoliere den Quadratterm. - Bei b) wandle die gemischte Zahl in einen Bruch um und suche einen Bruch, dessen Quadrat diesen Wert ergibt. - Entscheide erst nach dem Vereinfachen, ob ein positiver, nuller oder negativer Wert als Quadrat vorgegeben ist.

1. Für a): \(0{,}01 \cdot 0{,}25 = 0{,}0025\). Da \(0{,}05^2 = 0{,}0025\), gibt es die zwei Lösungen \(x = 0{,}05\) und \(x = -0{,}05\). 2. Für b): \(3\frac{1}{16} = \frac{49}{16}\). Da \(\left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}\), sind die zwei Lösungen \(y = \frac{7}{4}\) und \(y = -\frac{7}{4}\). 3. Für c): Umformen ergibt \(z^2 = 0{,}01 - 0{,}1 = -0{,}09\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung. 4. Für d): Zuerst gilt \(\sqrt{625} = 25\). Damit lautet die Gleichung \(w^2 = 25\), also \(w = 5\) oder \(w = -5\).

a) Zwei Lösungen: \(x = 0{,}05\) oder \(x = -0{,}05\) b) Zwei Lösungen: \(y = \frac{7}{4}\) oder \(y = -\frac{7}{4}\) c) Keine reelle Lösung d) Zwei Lösungen: \(w = 5\) oder \(w = -5\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Quadrat allein auf einer Seite steht? - Erkennst du in Aufgabenteil c) eine binomische Formel? - Was passiert, wenn du versuchst, die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen aus einer positiven Zahl zwei Fälle entstehen können.

1. Teilaufgabe a): Umformen zu \(3x^2 = 75\), Division durch 3 ergibt \(x^2 = 25\). Ziehen der Wurzel führt zu \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Teilaufgabe b): Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten ergibt \(x - 1{,}2 = 0{,}8\) oder \(x - 1{,}2 = -0{,}8\). Addition von \(1{,}2\) liefert \(x_1 = 2{,}0\) und \(x_2 = 0{,}4\). 3. Teilaufgabe c): Erkennen der ersten binomischen Formel auf der linken Seite: \((x + 2)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\). Subtraktion von 2 liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). 4. Teilaufgabe d): Umformen zu \(x^2 = -8\). Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist, existiert keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

a) \(x \in \{5; -5\}\) b) \(x \in \{2{,}0; 0{,}4\}\) c) \(x \in \{1; -5\}\) d) keine Lösung (\(L = \emptyset\))

- Steht die Gleichung bereits in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\)? - Was musst du tun, wenn vor dem \(x^2\) eine andere Zahl als \(1\) steht? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man solche Gleichungen direkt lösen kann? - Achte besonders auf die Vorzeichen von \(p\) und \(q\) beim Einsetzen.

1. Für \(f(x)\): Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -8\) und \(q = 12\). \(x_{1,2} = - \frac{-8}{2} \pm \sqrt{(\frac{-8}{2})^2 - 12} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm \sqrt{4}\). Somit sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 2\). 2. Für \(g(x)\): Normiere die Gleichung zuerst durch Division durch \(2\): \(x^2 - 2x - 15 = 0\). Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -2\) und \(q = -15\). \(x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - (-15)} = 1 \pm \sqrt{1 + 15} = 1 \pm \sqrt{16}\). Somit sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -3\).

a) \(x_1 = 6\), \(x_2 = 2\) b) \(x_1 = 5\), \(x_2 = -3\)

- Was ist der erste Schritt, um das Quadrat auf der linken Seite zu isolieren? - Wie viele Zahlen ergeben quadriert den Wert \(5\)? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können.

1. Division der Gleichung durch \(4\): \((x + 1)^2 = 5\). 2. Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x + 1 = \sqrt{5}\) oder \(x + 1 = -\sqrt{5}\). 3. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(1\): \(x_1 = -1 + \sqrt{5}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{5}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = -1 + \sqrt{5}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{5}\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5}\}\).

- Bringe zuerst alle Zahlen ohne \(x\) auf die rechte Seite. - Wie entfernst du einen Bruchfaktor vor einer Klammer? - Denke beim Wurzelziehen aus \(8\) daran, ob du die Wurzel teilweise ziehen kannst.

1. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(\frac{3}{4}(x + 2)^2 = 6\). 2. Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{4}{3}\): \((x + 2)^2 = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(x + 2 = \pm\sqrt{8}\). 4. Subtraktion von \(2\): \(x = -2 \pm \sqrt{8}\). 5. Vereinfachung der Wurzel: Da \(8 = 4 \cdot 2\), gilt \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 6. Endergebnis: \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) und \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) und \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).

- Wie gehst du vor, wenn du die Stellen finden möchtest, an denen zwei Funktionen denselben Wert haben? - Kannst du die Gleichung so vereinfachen, dass nur noch \(x^2\) auf einer Seite steht? - Denk beim Wurzelziehen daran, dass es zwei Zahlen geben kann, deren Quadrat den gleichen Wert ergibt.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 2 = -x^2 + 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x^2\) auf einer Seite und der Konstanten auf der anderen Seite: \(2x^2 = 8\) 3. Division durch 2, um \(x^2\) zu isolieren: \(x^2 = 4\) 4. Ziehen der Quadratwurzel unter Berücksichtigung beider Vorzeichen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen, zum Beispiel \(f(x)\): Für \(x_1 = 2\): \(f(2) = 2^2 - 2 = 2\) Für \(x_2 = -2\): \(f(-2) = (-2)^2 - 2 = 2\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\)

Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\).

- Wie könntest du die Zahl vor der Klammer eliminieren, ohne die Klammer mühsam auszumultiplizieren? - Was ist der nächste Schritt, wenn \(x^2\) fast alleine auf einer Seite steht? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit \(x^2\) oft zwei Werte infrage kommen.

1. Division der gesamten Gleichung durch 3: \(x^2 - 5 = 11\). 2. Isolation von \(x^2\) durch Addition von 5 auf beiden Seiten: \(x^2 = 16\). 3. Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). 4. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{-4; 4\}\).

\(L = \{-4; 4\}\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um das Quadrat der Klammer zu berechnen. - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf das Vorzeichen. - Was passiert, wenn du eine Wurzel mit sich selbst multiplizierst? - Fasse am Ende alle Terme ohne Wurzel und alle Terme mit Wurzel getrennt zusammen.

1. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term \(x^2\): \((2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}\) 2. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term \(-4x\): \(-4 \cdot (2 - \sqrt{5}) = -8 + 4\sqrt{5}\) 3. Zusammenfassen aller Terme der Gleichung: \((9 - 4\sqrt{5}) + (-8 + 4\sqrt{5}) - 1\) 4. Verrechnen der Summanden: \(9 - 8 - 1 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 0\) 5. Da das Ergebnis \(0\) ist, ist die Gleichung \(0 = 0\) erfüllt und der Wert eine Lösung.

Durch Einsetzen von \(x = 2 - \sqrt{5}\) in die Gleichung erhält man \(9 - 4\sqrt{5} - 8 + 4\sqrt{5} - 1 = 0\), was eine wahre Aussage ergibt.

- Versuche zuerst, alle Terme mit \(x^2\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen. - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man Klammern wie in Aufgabenteil c) schnell auflösen kann? - Achte bei b) besonders auf das Vorzeichen nach dem Umstellen. - Bei d) kann es helfen, die Dezimalzahlen als Brüche zu schreiben, falls dir das Rechnen damit leichter fällt.

1. Gleichung a): Zusammenfassen der Terme ergibt \(2x^2 = 18\), also \(x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x = \pm 3\). 2. Gleichung b): Subtraktion von \(10\) ergibt \(\frac{1}{3}x^2 = -9\). Multiplikation mit \(3\) ergibt \(x^2 = -27\). Da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sind, ist die Lösungsmenge leer: \(L = \emptyset\). 3. Gleichung c): Anwendung der dritten binomischen Formel liefert \(x^2 - 25 = 11\). Addition von \(25\) ergibt \(x^2 = 36\), woraus \(x = \pm 6\) folgt. 4. Gleichung d): Division durch \(0{,}5\) ergibt \(x^2 = 0{,}01\). Das Ziehen der Wurzel liefert \(x = \pm 0{,}1\).

a) \(L = \{-3; 3\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{-6; 6\}\) d) \(L = \{-0{,}1; 0{,}1\}\)

- Kannst du alle Terme auf eine Seite der Gleichung bringen, sodass auf der anderen Seite eine Null steht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Termen, den du ausklammern kannst? - Was muss für einen der Faktoren gelten, damit das gesamte Produkt den Wert Null annimmt?

1. Gleichung a): Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt \(4x^2 - 12x = 0\). Ausklammern von \(4x\) führt zu \(4x(x - 3) = 0\). Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Gleichung b): Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt \(x^2 - 5x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x - 5) = 0\). Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\).

a) \(L = \{0; 3\}\) b) \(L = \{0; 5\}\)

- Kannst du die Klammern auf beiden Seiten zuerst auflösen? - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind und sich gegenseitig aufheben? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um die Produkte schneller zu berechnen? - Was ist der letzte Schritt, wenn eine Gleichung die Form \(x^2 = c\) hat?

1. Erste Gleichung: Ausmultiplizieren beider Seiten ergibt \(x^2 - 12x = 64 - 12x\). Durch Addition von \(12x\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(x^2 = 64\). Das Ziehen der Quadratwurzel liefert \(x_1 = 8\) und \(x_2 = -8\). 2. Zweite Gleichung: Anwendung der dritten binomischen Formel auf beide Terme ergibt \(x^2 - 9 + x^2 - 16 = 7\). Zusammenfassen der Terme führt zu \(2x^2 - 25 = 7\). Durch Addition von \(25\) erhält man \(2x^2 = 32\), woraus nach Division durch \(2\) die Gleichung \(x^2 = 16\) folgt. Die Wurzeln sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\).

1) \(L = \{-8; 8\}\) 2) \(L = \{-4; 4\}\)

- Was musst du auf beiden Seiten addieren, damit links ein vollständiges Quadrat entsteht? - Denke an die erste und zweite binomische Formel. - Vergiss nicht, beim Ziehen der Wurzel beide Fälle (positiv und negativ) zu berücksichtigen. - Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(x^2 + px = q\).

1. Gleichung umstellen zu \(x^2 + 10x = 24\). Quadratische Ergänzung mit \((\frac{10}{2})^2 = 25\) durchführen: \(x^2 + 10x + 25 = 24 + 25\). Anwendung der binomischen Formel ergibt \((x + 5)^2 = 49\). Wurzelziehen führt zu \(x + 5 = \pm 7\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -12\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{16}{2})^2 = 64\) auf beiden Seiten addieren: \(x^2 - 16x + 64 = -15 + 64\). Anwendung der binomischen Formel ergibt \((x - 8)^2 = 49\). Wurzelziehen führt zu \(x - 8 = \pm 7\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 15\) und \(x_2 = 1\).

1) \(x_1 = 2, x_2 = -12\) 2) \(x_1 = 15, x_2 = 1\)

- Hast du schon versucht, die Gleichung in die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) zu bringen? - Welches Verfahren (quadratische Ergänzung oder Lösungsformel) fällt dir hier am leichtesten? - Achte bei ungeraden Werten für den Koeffizienten vor \(x\) besonders auf die Brüche oder Dezimalzahlen beim Quadrieren. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Werte probehalber in die Ausgangsgleichung einsetzt.

1. Gleichung \(x^2 - 16x + 63 = 0\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{16}{2})^2 = 64\) führt zu \(x^2 - 16x + 64 = -63 + 64\), also \((x-8)^2 = 1\). Wurzelziehen ergibt \(x-8 = \pm 1\). Resultate: \(x_1 = 9\), \(x_2 = 7\). 2. Gleichung \(x^2 + 7x = 18\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{7}{2})^2 = 12{,}25\) führt zu \(x^2 + 7x + 12{,}25 = 18 + 12{,}25\), also \((x+3{,}5)^2 = 30{,}25\). Wurzelziehen ergibt \(x+3{,}5 = \pm 5{,}5\). Resultate: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -9\).

1) \(x_1 = 9, x_2 = 7\) 2) \(x_1 = 2, x_2 = -9\)

- Was musst du auf beiden Seiten addieren, um den Term links als Quadrat schreiben zu können? - Erinnerst du dich an die erste und zweite binomische Formel? - Wie kannst du das Quadrat auf der linken Seite auflösen? - Denk daran, dass beim Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können.

1. Umformung von \(x^2 + 4x - 21 = 0\) zu \(x^2 + 4x = 21\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{4}{2})^2 = 4\): \(x^2 + 4x + 4 = 21 + 4 = 25\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel: \((x + 2)^2 = 25\). 4. Ziehen der Quadratwurzel: \(x + 2 = \pm 5\). 5. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = -2 + 5 = 3\) und \(x_2 = -2 - 5 = -7\). 6. Umformung von \(x^2 - 6x + 5 = 0\) zu \(x^2 - 6x = -5\). 7. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{-6}{2})^2 = 9\): \(x^2 - 6x + 9 = -5 + 9 = 4\). 8. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((x - 3)^2 = 4\). 9. Ziehen der Quadratwurzel: \(x - 3 = \pm 2\). 10. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = 3 + 2 = 5\) und \(x_2 = 3 - 2 = 1\).

a) \(x_1 = 3, x_2 = -7\) b) \(x_1 = 5, x_2 = 1\)

- Welchen kleinsten Wert kann \(x^2\) für eine reelle Zahl annehmen? - Welche untere Schranke folgt daraus für den Radikanden \(x^2+25\)? - Vergleiche den daraus folgenden kleinsten Wurzelwert mit der rechten Seite der Gleichung.

1. Für jede reelle Zahl gilt \(x^2\ge0\). Daher ist \(x^2+25\ge25\). 2. Für nichtnegative Zahlen bleibt die Größenordnung beim Ziehen der Quadratwurzel erhalten. Also gilt \(\sqrt{x^2+25}\ge\sqrt{25}=5\). 3. Die linke Seite kann somit niemals den Wert \(4\) annehmen. Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung.

Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung, weil \(\sqrt{x^2+25}\ge5\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt.

- Prüfe zuerst, welche Werte eine Quadratwurzel überhaupt annehmen kann. - Bei mehreren Wurzeln müssen alle Definitionsbedingungen gleichzeitig erfüllt sein. - Isoliere eine Wurzel nur so weit, wie es für eine Unmöglichkeitsbegründung nötig ist.

1. Zu a): Eine reelle Quadratwurzel ist stets nichtnegativ. Deshalb kann \(\sqrt{x+12}\) niemals den Wert \(-5\) annehmen. 2. Zu b): Für die erste Wurzel muss \(x\ge8\) gelten, für die zweite zugleich \(x\le2\). Diese Bedingungen haben keine gemeinsame reelle Zahl. Die Gleichung ist daher schon wegen ihres Definitionsbereichs unlösbar. 3. Zu c): Nach Subtraktion von \(10\) folgt \(\sqrt{x-1}=-7\). Eine reelle Quadratwurzel kann keinen negativen Wert annehmen, also gibt es keine Lösung.

a) Keine reelle Lösung, weil eine Quadratwurzel nicht negativ sein kann. b) Keine reelle Lösung, weil die Bedingungen \(x\ge8\) und \(x\le2\) unvereinbar sind. c) Keine reelle Lösung, weil die Gleichung auf \(\sqrt{x-1}=-7\) führt.

- Welche zwei ganzen Zahlen haben das passende Produkt und zugleich die passende Summe? - Wie kannst du dein Faktorenpaar durch Ausmultiplizieren kontrollieren? - Welche Form hat der Linearfaktor, der zu einer Nullstelle \(x_0\) gehört?

1. Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt \(-21\) und deren Summe \(-4\) ist. Das sind \(-7\) und \(3\). 2. Daher gilt \(x^2-4x-21=(x-7)(x+3)\). Die Nullstellen sind \(x_1=7\) und \(x_2=-3\). 3. Allgemein gehört zu einer Nullstelle \(x_0\) der Faktor \((x-x_0)\). Für die negative Nullstelle \(-3\) wird daraus \(x-(-3)=x+3\).

1. \((x-7)(x+3)\) 2. Zu einer Nullstelle \(x_0\) gehört der Faktor \((x-x_0)\); deshalb erscheint das Vorzeichen im Linearfaktor entgegengesetzt.

- Was passiert, wenn ein Produkt zweier Faktoren Null ergibt? - Kannst du den Term so umformen, dass \(x\) als gemeinsamer Faktor vor einer Klammer steht? - Achte darauf, dass bei Aufgabenteil b) zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung gebracht werden müssen.

1. Gleichung a) durch Ausklammern von \(7x\) faktorisieren: \(7x(x + 3) = 0\). 2. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: \(7x = 0\) oder \(x + 3 = 0\). 3. Lösungen für a): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -3\). 4. Gleichung b) durch Subtraktion von \(2x\) in die Form \(0{,}5x^2 - 2x = 0\) bringen. 5. Ausklammern von \(0{,}5x\): \(0{,}5x(x - 4) = 0\). 6. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: \(0{,}5x = 0\) oder \(x - 4 = 0\). 7. Lösungen für b): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\).

a) \(L = \{0; -3\}\) b) \(L = \{0; 4\}\)

- Forme jede Gleichung zuerst so um, dass \(x^2\) allein auf einer Seite steht. - Bei einem positiven Wert für \(x^2\) gibt es zwei reelle Lösungen mit entgegengesetzten Vorzeichen. - Bestimme die Wurzelwerte erst nach der algebraischen Umformung und runde auf zwei Nachkommastellen.

1. Aus \(x^2 - 13 = 0\) folgt \(x^2 = 13\), also \(x = \pm\sqrt{13} \approx \pm 3{,}61\). 2. Aus \(0{,}5x^2 = 11\) folgt \(x^2 = 22\), also \(x = \pm\sqrt{22} \approx \pm 4{,}69\). 3. Aus \(4x^2 - 30 = 50\) folgt \(4x^2 = 80\) und damit \(x^2 = 20\). Also gilt \(x = \pm\sqrt{20} \approx \pm 4{,}47\).

1) \(x \approx \pm 3{,}61\) 2) \(x \approx \pm 4{,}69\) 3) \(x \approx \pm 4{,}47\)

- Schau dir an, an welchen Stellen sich die Kurven kreuzen. - Die Lösungen einer Gleichung \(f(x) = g(x)\) entsprechen den x-Koordinaten der Schnittpunkte. - Wie kannst du mathematisch zeigen, dass ein Punkt tatsächlich auf einem Graphen liegt?

1. Da sich die beiden Graphen an genau zwei Stellen schneiden, muss die Gleichung der Gleichsetzung genau zwei Lösungen für \(x\) besitzen. 2. Aus der Grafik lassen sich die Schnittpunkte \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid 4)\) ablesen. Die Lösungen der Gleichung sind somit \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Überprüfung für \(x_1 = 0\): \(f(0) = 0^2 = 0\) und \(g(0) = -(0-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0\). (Korrekt) 4. Überprüfung für \(x_2 = 2\): \(f(2) = 2^2 = 4\) und \(g(2) = -(2-2)^2 + 4 = 0 + 4 = 4\). (Korrekt)

a) Die Graphen schneiden sich in zwei Punkten, daher gibt es zwei x-Werte, für die beide Funktionsterme denselben Wert liefern. b) Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). c) Für \(x=0\) gilt \(0^2 = 0\) und \(-(0-2)^2+4 = 0\). Für \(x=2\) gilt \(2^2 = 4\) und \(-(2-2)^2+4 = 4\). Beide Werte sind korrekt.

- Wenn eine Seite der Gleichung Null ist, entsprechen die Lösungen der Gleichung genau den Nullstellen der zugehörigen Funktion. - Schau dir im Graphen an, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Du kannst jedes Ergebnis prüfen, indem du es für die Unbekannte in die Startgleichung einsetzt.

1. Umformung der Gleichung: \(x^2 - 2x = 3 \quad \mid -3\) \(x^2 - 2x - 3 = 0\) 2. Ablesen der Nullstellen: Der Graph der Funktion \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) schneidet die x-Achse bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Rechnerische Überprüfung: Für \(x = -1\): \((-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3\). (wahr) Für \(x = 3\): \(3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3\). (wahr)

a) \(x^2 - 2x - 3 = 0\) b) Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\) c) Die Probe bestätigt beide Werte: \((-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 3\) und \(3^2 - 2 \cdot 3 = 3\).

- Welche Form hat jede Gleichung bereits, bevor du zu rechnen beginnst? - Welche Methode nutzt die vorhandene Struktur jeweils mit den wenigsten Umformungen? - Bei welcher Gleichung ist weder ein Quadrat isoliert noch ein Produkt gleich null?

1. Bei a) steht ein Quadrat bereits allein. Daher ist Wurzelziehen die zweckmäßigste Methode. 2. Bei b) liegt ein Produkt vor, das null ist. Daher führt der Satz vom Nullprodukt direkt weiter. 3. Bei c) liegt eine allgemeine quadratische Gleichung vor, die weder als isoliertes Quadrat noch als einfaches Nullprodukt gegeben ist. Daher ist die Lösungsformel zweckmäßig.

a) Wurzelziehen, weil ein Quadrat bereits isoliert ist. b) Satz vom Nullprodukt, weil ein Produkt gleich null vorliegt. c) Lösungsformel, weil keine unmittelbar nutzbare Quadrat- oder Produktform vorliegt.

- Lies zuerst \(a\), \(b\) und \(c\) einschließlich ihrer Vorzeichen ab. - Setze die drei Koeffizienten sorgfältig in die Lösungsformel ein. - Prüfe besonders den Nenner der Lösungsformel.

1. Es gilt \(a=2\), \(b=-5\) und \(c=-3\). 2. Die Diskriminante ist \(\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=49\). 3. Mit der Lösungsformel folgt \(x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{5\pm7}{4}\). 4. Daher ist \(x_1=3\) und \(x_2=-\frac{1}{2}\).

\(x_1=3\), \(x_2=-\frac{1}{2}\)

- Vergleiche Maras Rechnung Schritt für Schritt mit der allgemeinen Form der Lösungsformel. - Welche Rolle spielt der Koeffizient vor \(x^2\) außerhalb der Wurzel? - Prüfe anschließend die korrigierten Werte in der ursprünglichen Gleichung.

1. Unter der Wurzel wurde korrekt \(\Delta=25-16=9\) berechnet. 2. Der Fehler liegt im Nenner: Bei \(a=2\) muss dort \(2a=4\) stehen, nicht \(2\). 3. Richtig ist daher \(x_{1,2}=\frac{-5\pm3}{4}\). 4. Somit erhält man \(x_1=-\frac{1}{2}\) und \(x_2=-2\).

Der Nenner wurde falsch eingesetzt: Statt \(2\) muss \(2a=4\) verwendet werden. Die richtigen Lösungen sind \(x_1=-\frac{1}{2}\) und \(x_2=-2\).

- Beginne mit dem gemeinsamen Zahlenfaktor der drei Terme. - Welche Nullstellen gehören zum verbleibenden quadratischen Ausdruck? - Wie musst du die Faktoren schreiben, damit ihre Nullstellen genau diesen Werten entsprechen?

1. Zuerst wird \(6\) ausgeklammert: \(m(x)=6(3x^2-2x-1)\). 2. Die Gleichung \(3x^2-2x-1=0\) hat die Nullstellen \(x_1=1\) und \(x_2=-\frac{1}{3}\). 3. Mit diesen Nullstellen gilt \(3x^2-2x-1=(x-1)(3x+1)\). 4. Daher ist \(m(x)=6(x-1)(3x+1)\) die Linearfaktorform.

\(m(x)=6(x-1)(3x+1)\)

- Welche Gleichung beschreibt gemeinsame Punkte der beiden Graphen? - Kannst du den entstehenden quadratischen Term als binomisches Quadrat erkennen? - Was bedeutet es für zwei Graphen, wenn die Schnittgleichung nur eine doppelte Lösung besitzt?

1. Gleichsetzen der Funktionsausdrücke: \(x^2=-(x-2)^2+2\). 2. Ausmultiplizieren und Umstellen ergibt \(2x^2-4x+2=0\), also \(x^2-2x+1=0\). 3. Mit der binomischen Formel folgt \((x-1)^2=0\). Daher gibt es die doppelte Lösung \(x=1\). 4. Für die zugehörige Ordinate gilt \(f(1)=1\). Der gemeinsame Punkt ist \(P(1\mid1)\). 5. Die doppelte Lösung bedeutet geometrisch, dass sich die beiden Graphen in \(P\) berühren und dort nur einen gemeinsamen Punkt besitzen.

a) Es gibt genau einen Schnittpunkt: \(P(1\mid1)\). b) \((x-1)^2=0\). Die doppelte Lösung \(x=1\) bedeutet, dass sich die beiden Graphen in \(P(1\mid1)\) berühren.

- Was weißt du über das Vorzeichen von Quadraten reeller Zahlen? - Kannst du Aufgabe c) so umformen, dass auf einer Seite null steht? - Lässt sich der quadratische Term in c) in zwei lineare Faktoren zerlegen?

1. Zu a): Umformen zu \(x^2=\frac{1}{4}\). Wurzelziehen ergibt \(x=\pm\frac{1}{2}\). 2. Zu b): Das Quadrat eines reellen Terms ist stets größer oder gleich null. Daher kann \((x+5)^2\) nicht den negativen Wert \(-4\) annehmen. 3. Zu c): Umformen zur Normalform ergibt \(x^2-2x-3=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-3)(x+1)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=3\) oder \(x=-1\).

a) \(L=\left\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\}\) b) Keine reelle Lösung, da ein Quadrat nicht negativ sein kann. c) \(L=\{-1;3\}\)

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Bringe beide Funktionsgleichungen in dieselbe Darstellungsform und setze sie gleich. - Wie viele Lösungen kann die entstehende quadratische Gleichung besitzen? - Setze anschließend jede gefundene \(x\)-Koordinate in eine der Funktionen ein.

1. Umformung von \(p_2\) in die allgemeine Form: \(y=-(x-1)^2+3=-(x^2-2x+1)+3=-x^2+2x+2\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2-2x+3=-x^2+2x+2\). 3. Zusammenfassen: \(2x^2-4x+1=0\), also \(x^2-2x+\frac12=0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x=1\pm\sqrt{1-\frac12}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}\). 5. Für beide Lösungen gilt mit \(p_1(x)=(x-1)^2+2\): \(y=\frac12+2=\frac52\). Die Schnittpunkte sind daher \(P_1\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\) und \(P_2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\).

Die Parabeln schneiden sich in den Punkten \(P_1\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\) und \(P_2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\).

- Prüfe, unter welcher Bedingung die in a) verwendete Division überhaupt zulässig ist. - Forme für c) die Gleichung so um, dass ein Produkt entstehen kann. - Nutze nach dem Faktorisieren die Eigenschaft eines Produkts mit Wert null.

1. Aus \(x-4=3\) folgt \(x=7\). 2. Die Division durch \(x-4\) ist nur zulässig, wenn \(x-4\neq0\). Dadurch wird der Fall \(x=4\) ausgeschlossen, obwohl er die ursprüngliche Gleichung erfüllt. 3. Ohne diese Division erhält man \((x-4)^2-3(x-4)=0\). 4. Ausklammern ergibt \((x-4)((x-4)-3)=0\), also \((x-4)(x-7)=0\). 5. Nach dem Nullprodukt gilt \(x=4\) oder \(x=7\). Somit ist \(L=\{4;7\}\).

a) Jonas erhält \(x=7\). b) Die Lösung \(x=4\) geht bei der Division verloren, weil dann durch null dividiert würde. c) \(L=\{4;7\}\)

- Welche Zahl ergänzt \(x^2+8x\) zu einem vollständigen Quadrat? - Welche Werte haben \(a\), \(b\) und \(c\) in der allgemeinen Form? - Welche Information über die Parabel ist in der Scheitelpunktform unmittelbar sichtbar?

1. Quadratische Ergänzung: \(x^2+8x+12=0\) wird zu \(x^2+8x+16-16+12=0\), also \((x+4)^2-4=0\). 2. Daraus folgt \((x+4)^2=4\) und damit \(x=-4\pm2\). Die Lösungen sind \(x=-2\) und \(x=-6\). 3. Lösungsformel: Für \(a=1\), \(b=8\), \(c=12\) ist \(\Delta=b^2-4ac=64-48=16\). 4. Damit gilt \(x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{16}}{2}=-4\pm2\). Es entsteht wieder \(L=\{-6;-2\}\). 5. Die quadratische Ergänzung liefert zugleich \(f(x)=(x+4)^2-4\). Daraus lässt sich der Scheitelpunkt \(S(-4\mid-4)\) direkt ablesen.

\(L=\{-6;-2\}\). Die quadratische Ergänzung liefert zusätzlich direkt die Scheitelpunktform \((x+4)^2-4\) und damit den Scheitelpunkt \(S(-4\mid-4)\).

- Prüfe zuerst, ob du ausklammern oder eine quadratische Klammer isolieren kannst. - Wenn ein Produkt null ist, welche Aussage gilt dann für seine Faktoren? - Bei c): Welche ganzzahligen Faktoren könnten nach dem Beseitigen der Dezimalzahl entstehen?

1. Zu a): \(2x(x-9)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=0\) oder \(x=9\). 2. Zu b): Aus \((x-1)^2=9\) folgt \(x-1=3\) oder \(x-1=-3\). Daher ist \(x=4\) oder \(x=-2\). 3. Zu c): Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2-2x-8=0\). Faktorisieren liefert \((x-4)(x+2)=0\), also \(x=4\) oder \(x=-2\). 4. Zu d): Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(2x-4=0\) oder \(x+5=0\). Daher ist \(x=2\) oder \(x=-5\).

a) \(L=\{0;9\}\) b) \(L=\{-2;4\}\) c) \(L=\{-2;4\}\) d) \(L=\{-5;2\}\)

- Welche Terme fehlen jeweils in der allgemeinen Form \(ax^2+bx+c=0\)? - Wann führt Ausklammern unmittelbar zu einem Produkt, das null sein muss? - Bei welcher Gleichung bleiben alle drei Terme erhalten, sodass die Lösungsformel sinnvoll ist?

1. Bei \(x^2-144=0\) fehlt das lineare Glied. Direktes Wurzelziehen ist am kürzesten: \(x^2=144\), also \(x=\pm12\). Damit ist \(L=\{-12;12\}\). 2. Bei \(2x^2+10x=0\) fehlt das konstante Glied. Ausklammern ergibt \(2x(x+5)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist \(x=0\) oder \(x=-5\). Damit ist \(L=\{-5;0\}\). 3. Bei \(2x^2-2x-3=0\) ist weder Wurzelziehen noch Ausklammern direkt möglich. Mit \(a=2\), \(b=-2\), \(c=-3\) gilt \(\Delta=b^2-4ac=4+24=28\). 4. Die Lösungsformel liefert \(x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{1\pm\sqrt7}{2}\). Damit ist \(L=\left\{\frac{1-\sqrt7}{2};\frac{1+\sqrt7}{2}\right\}\).

1. Wurzelziehen: \(L=\{-12;12\}\) 2. Ausklammern: \(L=\{-5;0\}\) 3. Lösungsformel: \(L=\left\{\frac{1-\sqrt7}{2};\frac{1+\sqrt7}{2}\right\}\)

- Welche Größen \(a\), \(b\) und \(c\) setzt du in die Lösungsformel ein? - Welche binomische Struktur entsteht beim Produkt der beiden exakten Lösungen? - Welche Bedingung muss die Diskriminante erfüllen, wenn es genau eine reelle Lösung geben soll?

1. Für \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-5\) gilt \(\Delta=b^2-4ac=1+20=21\). 2. Mit der Lösungsformel erhält man \(x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}\). 3. Das Produkt ist \(\frac{1+\sqrt{21}}{2}\cdot\frac{1-\sqrt{21}}{2}=\frac{1-21}{4}=-5\). 4. Ersetzt man \(-5\) durch ein neues Absolutglied \(c\), so besitzt \(x^2-x+c=0\) genau eine reelle Lösung, wenn \(\Delta=0\). 5. Es gilt \(1-4c=0\), also \(c=\frac14=0{,}25\).

a) \(x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\), \(x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{2}\) b) Das Produkt ist \(-5\). c) Das Absolutglied muss \(\frac14\) bzw. \(0{,}25\) sein.

- Schau dir die letzte Zahl in Gleichung (1) an. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dieser Zahl und der Hälfte der Zahl vor dem \(x\)? - Was passiert, wenn du versuchst, die Zahl \(24\) in der gleichen Weise wie die \(25\) zu interpretieren? - Wie müsste ein Term aussehen, der perfekt in das Schema \((x-b)^2\) passt?

1. Analyse von Gleichung (1): Der Term \(x^2 - 10x + 25\) entspricht der 2. binomischen Formel \((x-b)^2 = x^2 - 2bx + b^2\) mit \(b = 5\), da \(2 \cdot 5 = 10\) und \(5^2 = 25\). 2. Faktorisierung und Lösung: \((x-5)^2 = 0 \implies x - 5 = 0 \implies x = 5\). 3. Analyse von Gleichung (2): Für eine direkte Faktorisierung müsste das absolute Glied \(b^2 = (-10{:}2)^2 = 25\) sein. Da \(24 \neq 25\), ist der Term kein vollständiges Quadrat. 4. Anpassung: Man müsste die Zahl \(24\) um \(1\) erhöhen (quadratische Ergänzung), um auf \(25\) zu kommen.

a) \(x = 5\), da \((x-5)^2 = 0\). b) Für ein vollständiges Quadrat müsste das konstante Glied \(\left(\frac{-10}{2}\right)^2 = 25\) sein. Daher müsste man \(24\) um \(1\) erhöhen.

- Welche Werte haben \(a\), \(b\) und \(c\) jeweils in \(ax^2+bx+c=0\)? - Berechne zuerst die Diskriminante \(\Delta=b^2-4ac\). - Bei b) darf \(a\) in der Lösungsformel direkt ungleich \(1\) sein.

1. Zu a): \(a=1\), \(b=-10\), \(c=21\). Die Diskriminante ist \(\Delta=b^2-4ac=100-84=16\). 2. Die Lösungsformel ergibt \(x_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{16}}{2}=5\pm2\). Damit ist \(x=3\) oder \(x=7\). 3. Zu b): \(a=2\), \(b=8\), \(c=-24\). Es ist \(\Delta=8^2-4\cdot2\cdot(-24)=256\). 4. Die Lösungsformel ergibt \(x_{1,2}=\frac{-8\pm16}{4}\). Damit ist \(x=2\) oder \(x=-6\).

a) \(L=\{3;7\}\) b) \(L=\{-6;2\}\)

- Welches binomische Quadrat erkennst du in Gleichung (I)? - Lässt sich Gleichung (II) in zwei lineare Faktoren zerlegen? - Wie hängt das Vorzeichen der Diskriminante mit der Anzahl reeller Lösungen zusammen?

1. Gleichung (I) lässt sich als \((x-3)^2=0\) schreiben. Daher ist \(x=3\). 2. Gleichung (II) faktorisiert zu \((x-2)(x-4)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=2\) oder \(x=4\). 3. Für (I) ist \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\). Deshalb gibt es eine doppelte reelle Lösung. 4. Für (II) ist \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=4>0\). Deshalb gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.

a) \(x=3\) b) \(L=\{2;4\}\) c) Bei (I) gilt \(\Delta=0\), bei (II) \(\Delta=4>0\); daher hat (I) eine doppelte und (II) zwei verschiedene reelle Lösungen.

- Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(ax^2+bx+c=0\). - Welche Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) erhältst du danach? - Achte beim Einsetzen in die Lösungsformel besonders auf das Vorzeichen des konstanten Terms.

1. Ausmultiplizieren und Umformen ergibt \(2x^2+5x-12=0\). 2. Für die Lösungsformel ist die Diskriminante \(\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-12)=121\). 3. Damit gilt \(x=\frac{-5\pm\sqrt{121}}{4}=\frac{-5\pm11}{4}\). 4. Die beiden Lösungen sind \(x=1{,}5\) und \(x=-4\).

\(L=\{-4;1{,}5\}\)

- Welche besondere Form besitzt die linke Seite der Ausgangsgleichung bereits? - Vergleiche die Zahl der nötigen Umformungen auf beiden Wegen. - Welche Rechenschritte entfallen, wenn du ein isolierbares Quadrat direkt nutzt?

1. Zu a): Division durch \(2\) ergibt \((x-3)^2=25\). Wurzelziehen liefert \(x-3=5\) oder \(x-3=-5\). Daher ist \(x=8\) oder \(x=-2\). 2. Zu b): Auflösen der Klammer ergibt \(2(x^2-6x+9)=50\), also \(2x^2-12x+18=50\). Umstellen und Division durch \(2\) führen zu \(x^2-6x-16=0\). 3. Auch Bens erster Schritt ist äquivalent zu \((x-3)^2=25\), also \(x^2-6x+9=25\) und damit \(x^2-6x-16=0\). 4. Zu c): Bens Weg nutzt die bereits vorhandene Quadratstruktur. Dadurch entfallen Ausmultiplizieren und der Einsatz der Lösungsformel.

a) \(L=\{-2;8\}\) b) Beide Wege führen zur Normalform \(x^2-6x-16=0\). c) Bens Weg nutzt die Quadratstruktur direkt und benötigt weniger Umformungen.

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\), wenn \(a\) positiv ist? - Denk daran, dass \(p\) in der Aufgabe als ungleich Null definiert ist.

1. Umstellen der Gleichung nach \(x^2\): Durch Multiplikation mit \(p\) und Addition von \(p^2\) erhält man \(x^2 = p^2\). 2. Lösung für \(p = 5\): Einsetzen ergibt \(x^2 = 5^2 = 25\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; 5\}\). 3. Anzahl der Lösungen: Da \(p \neq 0\) vorausgesetzt ist, ist \(p^2\) immer eine positive Zahl. Jede Gleichung der Form \(x^2 = k\) mit \(k > 0\) hat genau zwei Lösungen, nämlich \(\sqrt{k}\) und \(-\sqrt{k}\). Da hier \(k = p^2\) gilt, sind die Lösungen \(x = p\) und \(x = -p\). Da \(p \neq 0\), sind diese beiden Werte stets verschieden. 4. Allgemeine Lösungsmenge: Aus \(x^2 = p^2\) folgt direkt \(x = \pm p\). Somit ist \(L = \{-p; p\}\).

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) Da \(p \neq 0\), ist \(p^2 > 0\). Die Gleichung \(x^2 = p^2\) hat daher immer die zwei unterschiedlichen Lösungen \(x_1 = p\) und \(x_2 = -p\). c) \(L = \{-p; p\}\)

- Versuche zuerst, alle Klammern aufzulösen oder Brüche durch Multiplikation mit einem Hauptnenner zu beseitigen. - Sorge dafür, dass die Gleichung so umgeformt wird, dass eine Seite Null ist. - Wenn kein konstantes Glied vorhanden ist, ist Ausklammern oft der schnellste Weg. - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

1. Gleichung a): Subtraktion von \(\frac{1}{6}x^2\) und Addition von \(2x\) auf beiden Seiten ergibt \(\frac{3}{6}x^2 + 3x = 0\), vereinfacht \(\frac{1}{2}x^2 + 3x = 0\). Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(\frac{1}{2}x + 3) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und aus \(\frac{1}{2}x + 3 = 0\) folgt \(x_2 = -6\). 2. Gleichung b): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(2x^2 + 8x = x^2 + 3x\). Durch Subtraktion von \(x^2\) und \(3x\) erhält man \(x^2 + 5x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x + 5) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -5\).

a) \(x_1 = 0, x_2 = -6\) b) \(x_1 = 0, x_2 = -5\)

- Wie kannst du jede Gleichung so umformen, dass auf einer Seite null steht? - Bei welcher Gleichung kannst du anschließend einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Prüfe bei der zweiten Gleichung, ob sich der quadratische Term in zwei lineare Faktoren zerlegen lässt.

1. Zur ersten Gleichung: Ausmultiplizieren und Umstellen ergibt \(2x^2-10x=0\). Ausklammern liefert \(2x(x-5)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=0\) oder \(x=5\). 2. Zur zweiten Gleichung: Ausmultiplizieren und Umstellen ergibt \(x^2-7x+6=0\). 3. Faktorisieren liefert \((x-1)(x-6)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=1\) oder \(x=6\).

1) \(L=\{0;5\}\) 2) \(L=\{1;6\}\)

- Wie kannst du die Brüche eliminieren, um die Gleichung zu vereinfachen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Überlege dir, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^2 = k\) in Abhängigkeit von \(k\) hat. - Wann genau hat ein Quadrat nur ein einziges mögliches Ergebnis für die Basis?

1. Multiplikation der Gleichung aus Teil a) mit dem Hauptnenner \(12\): \(3(3x^2 + 5) - 4(2x^2 - 1) = 24\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(9x^2 + 15 - 8x^2 + 4 = 24\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(x^2 + 19 = 24\). 4. Isolieren von \(x^2\): \(x^2 = 5\). 5. Ziehen der Quadratwurzel ergibt die Lösungen \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Somit ist \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\). 6. Für Teil b) wird die Gleichung allgemein zu \(x^2 + 19 = 12c\) umgeformt, woraus \(x^2 = 12c - 19\) folgt. 7. Eine reinquadratische Gleichung der Form \(x^2 = k\) hat genau eine Lösung, wenn \(k = 0\) gilt. 8. Lösen der Bedingung \(12c - 19 = 0\) nach \(c\): \(12c = 19 \Rightarrow c = \frac{19}{12}\).

a) \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\) b) \(c = \frac{19}{12}\)

- Multipliziere beide Seiten mit einem gemeinsamen Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus vor dem Bruch steht? - Überprüfe am Ende, ob das Ergebnis für \(x^2\) positiv, null oder negativ ist. - Kannst du schon vor der vollständigen Berechnung vermuten, welche Gleichung eher eine Lösung hat?

1. Lösung von Gleichung (1): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) führt zu \(3(x^2 + 1) + 5(2x^2 - 2) = 45\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(3x^2 + 3 + 10x^2 - 10 = 45 \Rightarrow 13x^2 - 7 = 45\). 3. Isolieren von \(x^2\): \(13x^2 = 52 \Rightarrow x^2 = 4\). 4. Wurzelziehen ergibt die zwei reellen Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 5. Lösung von Gleichung (2): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) führt zu \(3(x^2 + 1) - 5(2x^2 - 2) = 45\). 6. Ausmultiplizieren (Achtung: Minuszeichen): \(3x^2 + 3 - 10x^2 + 10 = 45 \Rightarrow -7x^2 + 13 = 45\). 7. Isolieren von \(x^2\): \(-7x^2 = 32 \Rightarrow x^2 = -\frac{32}{7}\). 8. Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, besitzt Gleichung (2) keine reelle Lösung.

Gleichung (1) hat die Lösungen \(x = 2\) und \(x = -2\). Gleichung (2) hat keine reelle Lösung, da die Umformung auf die widersprüchliche Aussage \(x^2 = -\frac{32}{7}\) führt.

- Wenn der Koeffizient vor dem \(x\) ungerade ist, wird die quadratische Ergänzung ein Dezimalbruch oder ein Bruch sein. - Halbiere die Zahl vor dem \(x\) und quadriere das Ergebnis für die Ergänzung. - Achte darauf, dass du denselben Wert auf beiden Seiten der Gleichung addierst. - Überprüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

1. Gleichung umformen zu \(x^2 - 7x = -10\). Quadratische Ergänzung mit \((\frac{7}{2})^2 = 3{,}5^2 = 12{,}25\) addieren: \(x^2 - 7x + 12{,}25 = -10 + 12{,}25\). Dies ergibt \((x - 3{,}5)^2 = 2{,}25\). Wurzelziehen liefert \(x - 3{,}5 = \pm 1{,}5\). Somit sind die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 2\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{9}{2})^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\) addieren: \(x^2 + 9x + 20{,}25 = 10 + 20{,}25\). Dies ergibt \((x + 4{,}5)^2 = 30{,}25\). Wurzelziehen liefert \(x + 4{,}5 = \pm 5{,}5\). Somit sind die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -10\).

1) \(x_1 = 5, x_2 = 2\) 2) \(x_1 = 1, x_2 = -10\)

- Was musst du tun, wenn vor dem \(x^2\) eine andere Zahl als \(1\) steht? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine binomische Formel angewendet werden kann? - Denke daran, bei der Angabe der Lösungsmenge die Dezimalzahlen durch Semikolons zu trennen, um Verwechslungen zu vermeiden.

1. Gleichung \(3x^2 - 12x = 36\): Division der gesamten Gleichung durch \(3\) ergibt \(x^2 - 4x = 12\). Quadratische Ergänzung mit \(4\) führt zu \(x^2 - 4x + 4 = 16\), also \((x-2)^2 = 16\). Wurzelziehen ergibt \(x-2 = \pm 4\). Resultate: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -2\). Lösungsmenge \(L = \{-2; 6\}\). 2. Gleichung \(x^2 - 3x = 1{,}75\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{3}{2})^2 = 2{,}25\) führt zu \(x^2 - 3x + 2{,}25 = 1{,}75 + 2{,}25\), also \((x-1{,}5)^2 = 4\). Wurzelziehen ergibt \(x-1{,}5 = \pm 2\). Resultate: \(x_1 = 3{,}5\), \(x_2 = -0{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{-0{,}5; 3{,}5\}\).

1) \(L = \{-2; 6\}\) 2) \(L = \{-0{,}5; 3{,}5\}\)

- Kannst du die Terme in den Klammern mithilfe der binomischen Formeln umschreiben? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer – wie verändern sich die Vorzeichen dahinter? - Versuche, alle Terme mit \(x^2\), \(x\) und die reinen Zahlen jeweils zusammenzufassen. - Was musst du tun, um ein Quadrat wie \(x^2\) aufzulösen?

1. Anwendung der binomischen Formeln zur Auflösung der Klammern: \((9x^2 - 6x + 1) - (x^2 + 4x + 4) + (4x^2 - 25) = 4x^2 - 10x + 4\) 2. Auflösen der Minusklammer und Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(12x^2 - 10x - 28 = 4x^2 - 10x + 4\) 3. Subtraktion von \(4x^2\) und Addition von \(10x\) auf beiden Seiten führt zu: \(8x^2 - 28 = 4\) 4. Isolation von \(x^2\): \(8x^2 = 32 \implies x^2 = 4\) 5. Ziehen der Quadratwurzel ergibt die Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\)

\(L = \{-2; 2\}\)

- Welche binomischen Formeln helfen dir beim Auflösen der Klammern? - Bringe nach dem Zusammenfassen alle Terme auf eine Seite. - Prüfe, ob sich der entstehende quadratische Term in zwei lineare Faktoren zerlegen lässt.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(x^2-6x+9+x^2+4x+4=x^2-16+2x+34\). 2. Zusammenfassen führt zu \(2x^2-2x+13=x^2+2x+18\). 3. Umstellen ergibt \(x^2-4x-5=0\). 4. Faktorisieren liefert \((x-5)(x+1)=0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=5\) oder \(x=-1\).

\(L=\{-1;5\}\)

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du mit dem Lösen beginnst? - Was stört dich bei der zweiten Gleichung vor dem \(x^2\)? - Kommst du mit Brüchen oder Dezimalzahlen besser zurecht? Beides ist möglich. - Achte darauf, die Lösungsmenge korrekt in geschweiften Klammern anzugeben.

1. Umformung von \(x^2 - x - 0{,}75 = 0\) zu \(x^2 - x = 0{,}75\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{-1}{2})^2 = 0{,}25\): \(x^2 - x + 0{,}25 = 0{,}75 + 0{,}25 = 1\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \((x - 0{,}5)^2 = 1\). 4. Wurzelziehen ergibt \(x - 0{,}5 = 1\) oder \(x - 0{,}5 = -1\). 5. Resultierende Lösungen: \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = -0{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{-0{,}5; 1{,}5\}\). 6. Normalisierung der Gleichung \(3x^2 + 12x - 15 = 0\) durch Division durch \(3\): \(x^2 + 4x - 5 = 0\). 7. Umformung zu \(x^2 + 4x = 5\). 8. Quadratische Ergänzung mit \(4\): \(x^2 + 4x + 4 = 9\). 9. Anwendung der binomischen Formel: \((x + 2)^2 = 9\). 10. Wurzelziehen ergibt \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\). 11. Resultierende Lösungen: \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). Lösungsmenge \(L = \{-5; 1\}\).

a) \(L = \{-0{,}5; 1{,}5\}\) b) \(L = \{-5; 1\}\)

- Bestimme die Definitionsbedingung für jede Wurzel getrennt. - Schneide anschließend die beiden zulässigen Mengen. - Eine durch Umformen erhaltene Zahl ist nur dann eine Lösung, wenn sie auch in der ursprünglichen Gleichung zulässig ist.

1. Für \(\sqrt{x-3}\) muss \(x-3\ge0\), also \(x\ge3\), gelten. 2. Für \(\sqrt{1-x}\) muss zugleich \(1-x\ge0\), also \(x\le1\), gelten. 3. Es gibt keine reelle Zahl, die beide Bedingungen erfüllt. Die Definitionsmenge der ursprünglichen Gleichung ist leer. 4. Deshalb kann \(x=2\) keine Lösung sein. Beim Einsetzen entstünde zudem \(\sqrt{-1}\), was in \(\mathbb{R}\) nicht definiert ist.

\(x=2\) ist keine Lösung. Die ursprüngliche Gleichung hat die leere Definitionsmenge, weil gleichzeitig \(x\ge3\) und \(x\le1\) gelten müsste.

- Wo befindet sich der tiefste oder höchste Punkt der Parabel im Verhältnis zur \(x\)-Achse? - In welche Richtung öffnet sich die Kurve? - Was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn die Kurve die \(x\)-Achse überquert? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) zusammen?

1. Der Scheitelpunkt \(S(x_s | y_s)\) wird berechnet. Mit \(a = 1\) und \(b = -6\) ergibt sich \(x_s = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\). Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(y_s = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = -4\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da der Scheitelpunkt (der tiefste Punkt) mit \(y = -4\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss die Parabel die \(x\)-Achse auf dem Weg nach oben zweimal schneiden. 3. Beim Zeichnen der Parabel (z. B. mit einer Wertetabelle oder ausgehend vom Scheitelpunkt) erkennt man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gibt es zwei Nullstellen. 3. Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

- Welche Variable kannst du aus der Summengleichung besonders einfach ausdrücken? - Was entsteht, wenn du diesen Ausdruck in die Produktgleichung einsetzt? - Warum können nach dem Lösen zwei geordnete Paare entstehen?

1. Aus \(x+y=-2\) folgt \(y=-2-x\). 2. Einsetzen in \(xy=-15\) ergibt \(x(-2-x)=-15\). 3. Umformen führt zu \(x^2+2x-15=0\). 4. Faktorisieren ergibt \((x+5)(x-3)=0\). Daher ist \(x=-5\) oder \(x=3\). 5. Für \(x=-5\) ist \(y=3\); für \(x=3\) ist \(y=-5\).

Die Lösungspaare sind \((-5;3)\) und \((3;-5)\).

- Welche Variable kannst du aus der Summengleichung direkt ausdrücken? - Welche quadratische Gleichung entsteht nach dem Einsetzen in \(xy=k\)? - Welche Bedingung an \(\Delta\) kennzeichnet genau eine reelle Lösung?

1. Aus \(x+y=12\) folgt \(y=12-x\). 2. Für \(k=32\) ergibt das Einsetzen \(x(12-x)=32\), also \(x^2-12x+32=0\). 3. Faktorisieren liefert \((x-8)(x-4)=0\). Zu \(x=8\) gehört \(y=4\), zu \(x=4\) gehört \(y=8\). 4. Allgemein führt \(x(12-x)=k\) zu \(x^2-12x+k=0\). 5. Die Diskriminante ist \(\Delta=(-12)^2-4\cdot1\cdot k=144-4k\). 6. Genau ein Lösungspaar entsteht bei einer doppelten Lösung, also für \(\Delta=0\). Daraus folgt \(k=36\) und damit \(x=y=6\).

a) \((8;4)\) und \((4;8)\) b) \(k=36\); dann ist \((6;6)\) das einzige Lösungspaar.

- Welche Variable lässt sich aus der Summengleichung direkt ausdrücken? - Setze diesen Ausdruck in die Produktgleichung ein und bringe alles auf eine Seite. - Für welchen Wert von \(b\) werden die beiden gefundenen Werte gleich?

1. Aus \(x+y=2a+b\) folgt \(y=2a+b-x\). 2. Einsetzen in die Produktgleichung ergibt \(x(2a+b-x)=a^2+ab\). 3. Umformen liefert \(x^2-(2a+b)x+a^2+ab=0\). 4. Faktorisieren ergibt \((x-a)(x-a-b)=0\). Daher ist \(x=a\) oder \(x=a+b\). 5. Für \(x=a\) folgt \(y=a+b\); für \(x=a+b\) folgt \(y=a\). 6. Ist \(b\ne0\), entstehen zwei verschiedene geordnete Paare. Für \(b=0\) fallen sie zu \((a;a)\) zusammen.

Für \(b\ne0\): \(L=\{(a;a+b);(a+b;a)\}\). Für \(b=0\): \(L=\{(a;a)\}\).

- Was bedeutet es für den Wert des Terms an einer bestimmten Stelle, wenn ein bestimmter Linearfaktor existiert? - Wenn du weißt, dass ein Produkt null ist, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du den verbleibenden Teil des Terms finden, wenn du einen Faktor bereits kennst?

1. Wenn \((x + 2)\) ein Faktor ist, muss \(x = -2\) eine Nullstelle des Terms sein. 2. Einsetzen von \(x = -2\) in den Term: \(3 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 10 = 0\). 3. Berechnung von \(b\): \(12 - 2b - 10 = 0 \Rightarrow 2 - 2b = 0 \Rightarrow b = 1\). 4. Der Term lautet somit \(3x^2 + x - 10\). 5. Suche nach der zweiten Nullstelle oder Koeffizientenvergleich: Da \((x + 2) \cdot (3x + k) = 3x^2 + (k + 6)x + 2k\) sein muss, folgt aus \(2k = -10\), dass \(k = -5\). 6. Vollständige Faktorisierung: \((x + 2)(3x - 5)\).

1. \(b = 1\) 2. \((x + 2)(3x - 5)\)

- Kannst du \(x\) ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden? - Prüfe, ob die beiden entstehenden Lösungsterme für einen Parameterwert zusammenfallen. - Für Teil b: Was erhältst du, wenn du \(x=-4\) in die Ausgangsgleichung einsetzt?

1. Faktorisieren: \(3x^2+px=x(3x+p)=0\). 2. Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt \(x=0\) oder \(x=-\frac{p}{3}\). 3. Für \(p\neq0\) sind dies zwei verschiedene Lösungen. Für \(p=0\) fallen beide zu \(x=0\) zusammen. 4. Für Teil b wird \(x=-4\) eingesetzt: \(3\cdot(-4)^2+p\cdot(-4)=0\). 5. Daraus folgt \(48-4p=0\), also \(p=12\).

a) Für \(p \neq 0\) gilt \(L=\left\{0; -\frac{p}{3}\right\}\). Für \(p=0\) gilt \(L=\{0\}\). b) \(p=12\)

- Suche zwei benachbarte Quadratzahlen, zwischen denen \(40\) liegt. - Bestimme anschließend den positiven Wurzelwert ausreichend genau und runde ihn. - Welche zweite Zahl besitzt dasselbe Quadrat wie die positive Lösung?

1. Zu a): \(6^2 = 36\) und \(7^2 = 49\). Da \(36 < 40 < 49\), gilt \(6 < \sqrt{40} < 7\). 2. Zu b): \(\sqrt{40} \approx 6{,}32455\dots\), also ist die positive Lösung \(x_1 \approx 6{,}32\). 3. Auch die Gegenzahl hat dasselbe Quadrat. Daher ist die zweite Lösung \(x_2 \approx -6{,}32\).

a) Die positive Lösung liegt zwischen \(6\) und \(7\). b) \(x \approx \pm 6{,}32\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Welche Gleichung erhältst du, wenn du den Funktionsterm gleich null setzt? - Wie löst du eine Gleichung, in der bereits ein binomisches Quadrat isoliert werden kann?

1. Aus der Zeichnung liest man die Nullstellen näherungsweise als \(x\approx-2{,}7\) und \(x\approx0{,}7\) ab. 2. Rechnerisch gilt \((x+1)^2-3=0\), also \((x+1)^2=3\). 3. Wurzelziehen ergibt \(x+1=\sqrt3\) oder \(x+1=-\sqrt3\). 4. Damit sind die exakten Nullstellen \(x_1=-1+\sqrt3\) und \(x_2=-1-\sqrt3\). 5. Gerundet gilt \(x_1\approx0{,}73\) und \(x_2\approx-2{,}73\).

a) \(x\approx-2{,}7\) und \(x\approx0{,}7\) b) \(x_1=-1+\sqrt3\approx0{,}73\), \(x_2=-1-\sqrt3\approx-2{,}73\)

- Suche zuerst den Scheitelpunkt im Koordinatensystem. - Wähle einen Punkt, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um \(a\) zu bestimmen. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die Nullstellen zu berechnen. - Du kannst die Nullstellen direkt aus der Scheitelpunktform berechnen, ohne sie erst umzuformen.

1. Ablesen aus dem Graphen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2 \mid -4{,}5)\). Ein weiterer Punkt auf dem Gitter ist \(P(1 \mid 0)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x + 2)^2 - 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(P(1 \mid 0)\): \(0 = a(1 + 2)^2 - 4{,}5 \Rightarrow 4{,}5 = 9a \Rightarrow a = 0{,}5\). Die Gleichung lautet: \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5\). 4. Berechnung der Nullstellen: \(0 = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5 \quad | +4{,}5\) \(4{,}5 = 0{,}5(x + 2)^2 \quad | :0{,}5\) \(9 = (x + 2)^2 \quad | \sqrt{}\) \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\) \(x_1 = 1\); \(x_2 = -5\).

a) \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5\) b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\).

- Welche Scheitelpunkte und weiteren Gitterpunkte kannst du ablesen? - Welche Nullstellengleichung entsteht bei \(f\)? - Welchen kleinsten Funktionswert besitzt \(g\)? Was bedeutet das für Nullstellen?

1. \(f\) hat den Scheitelpunkt \(S_f(0\mid5)\) und geht durch \((1\mid4)\). Daher gilt \(f(x)=-x^2+5\). 2. \(g\) hat den Scheitelpunkt \(S_g(2\mid1)\) und geht durch \((1\mid2)\). Daher gilt \(g(x)=(x-2)^2+1\). 3. Für \(f\) gilt \(-x^2+5=0\), also \(x^2=5\). Die Nullstellen sind \(x=-\sqrt{5}\) und \(x=\sqrt{5}\). 4. Für \(g\) ist \((x-2)^2+1>0\) für alle reellen \(x\). Daher besitzt \(g\) keine Nullstellen. 5. Dies stimmt mit der Abbildung überein: \(f\) schneidet die \(x\)-Achse zweimal, \(g\) gar nicht.

a) \(f(x)=-x^2+5\); \(g(x)=(x-2)^2+1\) b) \(f\): \(x_1=-\sqrt{5}\), \(x_2=\sqrt{5}\); \(g\): keine reellen Nullstellen

- Welche Werte haben \(a\), \(b\) und \(c\) direkt in der gegebenen Gleichung? - Welcher dieser drei Werte wurde in Noras Rechnung falsch übernommen? - Wie kannst du die korrigierten Lösungen unabhängig von der Formel überprüfen?

1. In der allgemeinen Form \(ax^2+bx+c=0\) ist der Koeffizient vor \(x^2\) gleich \(a=2\), nicht \(a=1\). 2. Korrekt gilt \(a=2\), \(b=-8\), \(c=6\). Die Diskriminante ist \(\Delta=b^2-4ac=64-48=16\). 3. Mit der Lösungsformel folgt \(x_{1,2}=\frac{8\pm4}{4}\). Daher ist \(x=3\) oder \(x=1\). 4. Probe: \(2\cdot1^2-8\cdot1+6=0\) und \(2\cdot3^2-8\cdot3+6=0\).

Nora hat den Koeffizienten \(a\) falsch als \(1\) statt als \(2\) eingesetzt. Richtig ist \(L=\{1;3\}\); beide Werte erfüllen die Ausgangsgleichung.

- Welche Punkte des Graphen sind für eine Gleichung der Form \(f(x)=0\) entscheidend? - Wie viele solche Stellen kannst du in der Abbildung erkennen? - Welche Faktorisierung könnte die vermuteten Nullstellen rechnerisch bestätigen?

1. Lösungen der Gleichung \(x^2-2x-3=0\) entsprechen den Nullstellen des dargestellten Graphen. Aus der Abbildung erkennt man zwei Nullstellen in der Nähe von \(x=-1\) und \(x=3\). Damit ist Bens Behauptung plausibel. 2. Rechnerisch gilt \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). 3. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist \(x=3\) oder \(x=-1\). Also ist \(L=\{-1;3\}\).

Bens Behauptung ist richtig: \(L=\{-1;3\}\). Die beiden Werte stimmen mit den Nullstellen des Graphen überein.

- Welche binomische Formel passt, wenn du \(4a^2x^2\) als \((2ax)^2\) betrachtest? - Vergleiche, wie oft \(x\) in der ursprünglichen und in der neuen Form auftritt. - Welcher erste Rechenschritt ist bei einer Gleichung der Form \((\dots)^2=b^2-4ac\) möglich?

1. Multiplikation mit \(4a\) ergibt \(4a^2x^2+4abx+4ac=0\). 2. Subtraktion von \(4ac\) ergibt \(4a^2x^2+4abx=-4ac\). 3. Addition von \(b^2\) führt zu \(4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac\). 4. Die linke Seite ist das binomische Quadrat \((2ax+b)^2\). Damit gilt \((2ax+b)^2=b^2-4ac\). 5. In dieser Form tritt \(x\) nur noch innerhalb eines Quadrats auf. Deshalb kann man durch Wurzelziehen und anschließende Äquivalenzumformungen nach \(x\) auflösen.

a) \(4a^2x^2+4abx=-4ac\) b) \((2ax+b)^2=b^2-4ac\) c) Die Variable \(x\) steht nur noch innerhalb eines Quadrats; dadurch kann man anschließend Wurzelziehen und nach \(x\) umformen.

- Welche der beiden Gleichungen lässt sich unmittelbar nach einer Variablen auflösen? - Was erhältst du, wenn du diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzt und vollständig zusammenfasst? - Prüfe, ob sich der entstehende quadratische Ausdruck als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben lässt. - Was ändert sich an den beiden Lösungspaaren im besonderen Fall \(c=0\)?

1. Aus \(x-y=c\) folgt \(x=y+c\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \((y+c)^2+y^2=25c^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert \(2y^2+2cy-24c^2=0\), also \(y^2+cy-12c^2=0\). 4. Faktorisieren ergibt \((y-3c)(y+4c)=0\). Daher gilt \(y=3c\) oder \(y=-4c\). 5. Mit \(x=y+c\) folgen die Paare \((4c\mid3c)\) und \((-3c\mid-4c)\). 6. Für \(c=0\) fallen beide Paare zum einzigen Lösungspaar \((0\mid0)\) zusammen. Für \(c\neq0\) sind die beiden Paare verschieden.

a) \(y^2+cy-12c^2=0\) b) Für \(c\neq0\) gilt \(L=\{(4c\mid3c);(-3c\mid-4c)\}\). Für \(c=0\) gilt \(L=\{(0\mid0)\}\).

- Wie kannst du die beiden Lösungen mit nur einer Hilfsvariablen beschreiben? - Welche zwei Gleichungen erhältst du, wenn beide Werte die ursprüngliche quadratische Gleichung erfüllen? - Welche Linearkombination dieser beiden Gleichungen beseitigt den Term mit \(p\)? - Welche zwei Fälle entstehen aus einer Gleichung der Form \(r^2=4\)?

1. Bezeichne diejenige Lösung mit \(r\), deren Dreifaches die andere Lösung ist. Dann sind \(r\) und \(3r\) Lösungen derselben Gleichung. 2. Daher gelten \(r^2+pr+12=0\) und \(9r^2+3pr+12=0\). 3. Ziehe das Dreifache der ersten Gleichung von der zweiten ab. Es folgt \(6r^2-24=0\), also \(r^2=4\). 4. Für \(r=2\) liefert \(r^2+pr+12=0\) die Gleichung \(4+2p+12=0\), also \(p=-8\). 5. Für \(r=-2\) ergibt sich \(4-2p+12=0\), also \(p=8\).

\(p=-8\) oder \(p=8\)

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Werte einer Nullstelle erfüllen? - Kannst du die vier Faktoren so paaren, dass in beiden Produkten derselbe Ausdruck vorkommt? - Welcher wiederkehrende Ausdruck eignet sich als Hilfsvariable? - Denke nach dem Lösen der Hilfsgleichung an die Rücksubstitution.

1. Für eine Nullstelle gilt \(f(x)=0\), also \((x-3)(x-1)(x+2)(x+4)=144\). 2. Gruppiere die Faktoren: \(((x-3)(x+4))((x-1)(x+2))=144\). Dadurch entsteht \((x^2+x-12)(x^2+x-2)=144\). 3. Mit \(u=x^2+x\) folgt \((u-12)(u-2)=144\), also \(u^2-14u-120=0\). 4. Die Diskriminante der Hilfsgleichung ist \(\Delta=(-14)^2-4\cdot1\cdot(-120)=676=26^2\). Daher gilt \(u_1=20\) oder \(u_2=-6\). 5. Für \(u_1=20\) ergibt sich \(x^2+x-20=0\), also \((x+5)(x-4)=0\). Damit sind \(x=-5\) und \(x=4\) Nullstellen. 6. Für \(u_2=-6\) ergibt sich \(x^2+x+6=0\). Hier ist \(\Delta=1-24=-23<0\), also entstehen keine weiteren reellen Nullstellen.

Die reellen Nullstellen sind \(x=-5\) und \(x=4\).

- Schreibe mit der Lösungsformel beide Lösungsterme in Abhängigkeit von \(q\) auf. - Welche Teile der beiden Terme heben sich beim Bilden der Differenz auf? - Wie muss der verbleibende Wurzelausdruck aussehen, wenn der Abstand genau \(3\) sein soll? - Prüfe abschließend, ob dein Parameter tatsächlich zwei verschiedene reelle Lösungen zulässt.

1. Für \(a=1\), \(b=5\) und \(c=q\) liefert die Lösungsformel \(x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-4q}}{2}\). 2. Der Abstand der beiden Lösungen ist \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{25-4q}\). 3. Gefordert ist \(\sqrt{25-4q}=3\). Quadrieren ergibt \(25-4q=9\). 4. Daraus folgt \(q=4\). 5. Für \(q=4\) gilt \(\Delta=9>0\), also existieren tatsächlich zwei verschiedene reelle Lösungen mit Abstand \(3\).

Aus \(x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-4q}}{2}\) folgt \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{25-4q}\). Mit \(\sqrt{25-4q}=3\) ergibt sich \(q=4\).

- Welche beiden wiederkehrenden Ausdrücke kannst du zunächst als Hilfsvariablen betrachten? - Wie kannst du aus der Summe der Hilfsvariablen eine durch die andere ausdrücken? - Führe nach dem ersten quadratischen Schritt dieselbe Substitutionsidee noch einmal für \(x\) und \(y\) aus. - Prüfe beide möglichen Zuordnungen der Hilfsvariablen.

1. Setze \(u=x+y\) und \(v=xy\). Dann gilt \(u+v=11\) und \(uv=30\). 2. Aus \(v=11-u\) und \(uv=30\) folgt \(u(11-u)=30\), also \(u^2-11u+30=0\). 3. Faktorisieren ergibt \((u-5)(u-6)=0\). Damit sind \((u;v)=(5;6)\) oder \((u;v)=(6;5)\). 4. Für \(u=5\), \(v=6\) gilt \(x+y=5\) und \(xy=6\). Mit \(y=5-x\) folgt \(x(5-x)=6\), also \(x^2-5x+6=0\). Daraus entstehen \((x;y)=(2;3)\) und \((3;2)\). 5. Für \(u=6\), \(v=5\) gilt \(y=6-x\). Einsetzen in \(xy=5\) führt zu \(x^2-6x+5=0\). Daraus entstehen \((1;5)\) und \((5;1)\).

Die Lösungspaare sind \((1;5)\), \((5;1)\), \((2;3)\) und \((3;2)\).