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- Bringe den quadrierten Klammerausdruck zuerst Schritt für Schritt frei. - Achte auf das Minus vor dem Klammerausdruck, bevor du weiter umformst. - Ein Quadrat kann zu zwei passenden inneren Klammerwerten führen. - Löse danach jeweils die einfache Gleichung, die in der Klammer steckt.

1. Subtrahiere 12 von beiden Seiten: \(-3(x+1)^2 = -12\). 2. Dividiere durch \(-3\): \((x+1)^2 = 4\). 3. Ziehe die Quadratwurzel: \(x+1 = \pm\sqrt{4}\), also \(x+1 = \pm 2\). 4. Bestimme die zwei Fälle: Fall 1: \(x+1 = 2 \Rightarrow x = 1\) Fall 2: \(x+1 = -2 \Rightarrow x = -3\)

Die Lösungen sind \(x = 1\) und \(x = -3\).

- Arbeite dich von außen nach innen zur Klammer vor. - Sorge zuerst dafür, dass der quadrierte Teil alleine steht. - Überlege, ob der verbleibende Quadratwert eine exakte Zahl oder eine Wurzelschreibweise nahelegt. - Vergiss nicht, dass die Klammer zwei mögliche Vorzeichen haben kann.

1. Subtrahiere 3 von beiden Seiten der Gleichung: \(5(x-2)^2 = 15\). 2. Dividiere durch 5, um den quadratischen Term zu isolieren: \((x-2)^2 = 3\). 3. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x-2 = \pm\sqrt{3}\). 4. Addiere 2, um die Lösungen für \(x\) zu erhalten: \(x = 2 \pm\sqrt{3}\).

Die Lösungen lauten \(x_1 = 2 + \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 - \sqrt{3}\).

- Lass zuerst nur noch den quadrierten Klammerteil auf einer Seite stehen. - Erwarte hier nicht unbedingt eine glatte Dezimalzahl als Ergebnis. - Behandle die beiden möglichen Klammerwerte getrennt. - Schreibe das Ergebnis so, dass beide Lösungen klar erkennbar sind.

1. Zuerst wird die Gleichung durch 4 dividiert, um die Klammer zu isolieren: \((x-3)^2 = \frac{7}{4}\). 2. Danach wird auf beiden Seiten die Quadratwurzel gezogen. Dabei müssen sowohl die positive als auch die negative Wurzel berücksichtigt werden: \(x-3 = \pm\sqrt{\frac{7}{4}}\). 3. Da \(\sqrt{4} = 2\) ist, lässt sich der Ausdruck vereinfachen zu: \(x-3 = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}\). 4. Schließlich wird 3 addiert, um \(x\) zu isolieren: \(x = 3 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = 3 + \frac{\sqrt{7}}{2}\) und \(x_2 = 3 - \frac{\sqrt{7}}{2}\).

- Was muss für ein Produkt gelten, damit das Ergebnis null ist? - Suche nach dem größten gemeinsamen Faktor der Terme. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite ein Produkt steht? - Überprüfe deine ausgeklammerten Terme, indem du sie im Kopf wieder ausmultiplizierst.

1. Für Teilaufgabe a) den größten gemeinsamen Faktor der Terme \(14x^2\) und \(21x\) bestimmen: \(7x\). 2. Ausklammern: \(7x \cdot (2x - 3) = 0\). 3. Satz vom Nullprodukt anwenden: \(7x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_2 = 1{,}5\). 4. Für Teilaufgabe b) den Faktor \(0{,}5x\) ausklammern: \(0{,}5x \cdot (x + 8) = 0\). 5. Satz vom Nullprodukt anwenden: \(0{,}5x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(x + 8 = 0 \Rightarrow x_2 = -8\). 6. Lösungsmengen angeben: a) \(L = \{0; 1{,}5\}\), b) \(L = \{-8; 0\}\).

a) \(L = \{0; 1{,}5\}\) b) \(L = \{-8; 0\}\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Quadrat allein auf einer Seite steht? - Erkennst du in Aufgabenteil c) eine binomische Formel? - Was passiert, wenn du versuchst, die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen aus einer positiven Zahl zwei Fälle entstehen können.

1. Teilaufgabe a): Umformen zu \(3x^2 = 75\), Division durch 3 ergibt \(x^2 = 25\). Ziehen der Wurzel führt zu \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Teilaufgabe b): Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten ergibt \(x - 1{,}2 = 0{,}8\) oder \(x - 1{,}2 = -0{,}8\). Addition von \(1{,}2\) liefert \(x_1 = 2{,}0\) und \(x_2 = 0{,}4\). 3. Teilaufgabe c): Erkennen der ersten binomischen Formel auf der linken Seite: \((x + 2)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\). Subtraktion von 2 liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). 4. Teilaufgabe d): Umformen zu \(x^2 = -8\). Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist, existiert keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

a) \(x \in \{5; -5\}\) b) \(x \in \{2{,}0; 0{,}4\}\) c) \(x \in \{1; -5\}\) d) keine Lösung (\(L = \emptyset\))

- Überlege dir, welche Bestandteile der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c = 0\) jeweils vorhanden sind. - Wenn das \(b\) oder das \(c\) fehlt, gibt es oft schnellere Wege als die \(pq\)-Formel. - Wann hilft dir der Satz vom Nullprodukt weiter?

1. Da kein lineares Glied (mit \(x\)) vorhanden ist, ist direktes Wurzelziehen am effizientesten: \(x^2 = 144 \Rightarrow x_1 = 12, x_2 = -12\). Somit ist \(L = \{-12; 12\}\). 2. Da kein absolutes Glied vorhanden ist, ist Ausklammern am effizientesten: \(2x(x + 5) = 0\). Nach dem Nullprodukt-Satz ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -5\). Somit ist \(L = \{-5; 0\}\). 3. Da die Gleichung in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\) vorliegt, ist die \(pq\)-Formel effizient: Mit \(p = -2\) und \(q = -15\) folgt \(x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2 - (-15)} = 1 \pm \sqrt{16} = 1 \pm 4\). Somit ist \(x_1 = 5, x_2 = -3\) und \(L = \{-3; 5\}\).

1. Wurzelziehen: \(L = \{-12; 12\}\) 2. Ausklammern: \(L = \{-5; 0\}\) 3. \(pq\)-Formel: \(L = \{-3; 5\}\)

- Was ist der erste Schritt, um das Quadrat auf der linken Seite zu isolieren? - Wie viele Zahlen ergeben quadriert den Wert \(5\)? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können.

1. Division der Gleichung durch \(4\): \((x + 1)^2 = 5\). 2. Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x + 1 = \sqrt{5}\) oder \(x + 1 = -\sqrt{5}\). 3. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(1\): \(x_1 = -1 + \sqrt{5}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{5}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = -1 + \sqrt{5}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{5}\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5}\}\).

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht? - Welche Formel hilft dir, die Nullstellen einer quadratischen Gleichung direkt zu berechnen? - Achte beim Einsetzen in die Formel besonders auf die Vorzeichen der Koeffizienten.

1. Ausmultiplizieren der Klammer: \(2x^2 + 5x = 12\). 2. Umformen in die Normalform durch Subtraktion von \(12\): \(2x^2 + 5x - 12 = 0\). 3. Anwendung der Mitternachtsformel (oder Division durch \(2\) und \(pq\)-Formel): \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12)}}{2 \cdot 2}\). 4. Berechnung der Diskriminante: \(D = 25 + 96 = 121\). 5. Wurzel ziehen: \(\sqrt{121} = 11\). 6. Lösungen berechnen: \(x_1 = \frac{-5 + 11}{4} = 1{,}5\) und \(x_2 = \frac{-5 - 11}{4} = -4\).

Die Lösungsmenge ist \(L = \{-4; 1{,}5\}\).

- Wie könntest du die Zahl vor der Klammer eliminieren, ohne die Klammer mühsam auszumultiplizieren? - Was ist der nächste Schritt, wenn \(x^2\) fast alleine auf einer Seite steht? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit \(x^2\) oft zwei Werte infrage kommen.

1. Division der gesamten Gleichung durch 3: \(x^2 - 5 = 11\). 2. Isolation von \(x^2\) durch Addition von 5 auf beiden Seiten: \(x^2 = 16\). 3. Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). 4. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{-4; 4\}\).

\(L = \{-4; 4\}\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um das Quadrat der Klammer zu berechnen. - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf das Vorzeichen. - Was passiert, wenn du eine Wurzel mit sich selbst multiplizierst? - Fasse am Ende alle Terme ohne Wurzel und alle Terme mit Wurzel getrennt zusammen.

1. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term \(x^2\): \((2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}\) 2. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term \(-4x\): \(-4 \cdot (2 - \sqrt{5}) = -8 + 4\sqrt{5}\) 3. Zusammenfassen aller Terme der Gleichung: \((9 - 4\sqrt{5}) + (-8 + 4\sqrt{5}) - 1\) 4. Verrechnen der Summanden: \(9 - 8 - 1 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 0\) 5. Da das Ergebnis \(0\) ist, ist die Gleichung \(0 = 0\) erfüllt und der Wert eine Lösung.

Durch Einsetzen von \(x = 2 - \sqrt{5}\) in die Gleichung erhält man \(9 - 4\sqrt{5} - 8 + 4\sqrt{5} - 1 = 0\), was eine wahre Aussage ergibt.

- Versuche zuerst, alle Terme mit \(x^2\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen. - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man Klammern wie in Aufgabenteil c) schnell auflösen kann? - Achte bei b) besonders auf das Vorzeichen nach dem Umstellen. - Bei d) kann es helfen, die Dezimalzahlen als Brüche zu schreiben, falls dir das Rechnen damit leichter fällt.

1. Gleichung a): Zusammenfassen der Terme ergibt \(2x^2 = 18\), also \(x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x = \pm 3\). 2. Gleichung b): Subtraktion von \(10\) ergibt \(\frac{1}{3}x^2 = -9\). Multiplikation mit \(3\) ergibt \(x^2 = -27\). Da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sind, ist die Lösungsmenge leer: \(L = \emptyset\). 3. Gleichung c): Anwendung der dritten binomischen Formel liefert \(x^2 - 25 = 11\). Addition von \(25\) ergibt \(x^2 = 36\), woraus \(x = \pm 6\) folgt. 4. Gleichung d): Division durch \(0{,}5\) ergibt \(x^2 = 0{,}01\). Das Ziehen der Wurzel liefert \(x = \pm 0{,}1\).

a) \(L = \{-3; 3\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{-6; 6\}\) d) \(L = \{-0{,}1; 0{,}1\}\)

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\), wenn \(a\) positiv ist? - Denk daran, dass \(p\) in der Aufgabe als ungleich Null definiert ist.

1. Umstellen der Gleichung nach \(x^2\): Durch Multiplikation mit \(p\) und Addition von \(p^2\) erhält man \(x^2 = p^2\). 2. Lösung für \(p = 5\): Einsetzen ergibt \(x^2 = 5^2 = 25\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; 5\}\). 3. Anzahl der Lösungen: Da \(p \neq 0\) vorausgesetzt ist, ist \(p^2\) immer eine positive Zahl. Jede Gleichung der Form \(x^2 = k\) mit \(k > 0\) hat genau zwei Lösungen, nämlich \(\sqrt{k}\) und \(-\sqrt{k}\). Da hier \(k = p^2\) gilt, sind die Lösungen \(x = p\) und \(x = -p\). Da \(p \neq 0\), sind diese beiden Werte stets verschieden. 4. Allgemeine Lösungsmenge: Aus \(x^2 = p^2\) folgt direkt \(x = \pm p\). Somit ist \(L = \{-p; p\}\).

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) Da \(p \neq 0\), ist \(p^2 > 0\). Die Gleichung \(x^2 = p^2\) hat daher immer die zwei unterschiedlichen Lösungen \(x_1 = p\) und \(x_2 = -p\). c) \(L = \{-p; p\}\)

- Kannst du alle Terme auf eine Seite der Gleichung bringen, sodass auf der anderen Seite eine Null steht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Termen, den du ausklammern kannst? - Was muss für einen der Faktoren gelten, damit das gesamte Produkt den Wert Null annimmt?

1. Gleichung a): Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt \(4x^2 - 12x = 0\). Ausklammern von \(4x\) führt zu \(4x(x - 3) = 0\). Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Gleichung b): Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt \(x^2 - 5x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x - 5) = 0\). Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\).

a) \(L = \{0; 3\}\) b) \(L = \{0; 5\}\)

- Kannst du die Klammern auf beiden Seiten zuerst auflösen? - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind und sich gegenseitig aufheben? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um die Produkte schneller zu berechnen? - Was ist der letzte Schritt, wenn eine Gleichung die Form \(x^2 = c\) hat?

1. Erste Gleichung: Ausmultiplizieren beider Seiten ergibt \(x^2 - 12x = 64 - 12x\). Durch Addition von \(12x\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(x^2 = 64\). Das Ziehen der Quadratwurzel liefert \(x_1 = 8\) und \(x_2 = -8\). 2. Zweite Gleichung: Anwendung der dritten binomischen Formel auf beide Terme ergibt \(x^2 - 9 + x^2 - 16 = 7\). Zusammenfassen der Terme führt zu \(2x^2 - 25 = 7\). Durch Addition von \(25\) erhält man \(2x^2 = 32\), woraus nach Division durch \(2\) die Gleichung \(x^2 = 16\) folgt. Die Wurzeln sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\).

1) \(L = \{-8; 8\}\) 2) \(L = \{-4; 4\}\)

- Was musst du auf beiden Seiten addieren, damit links ein vollständiges Quadrat entsteht? - Denke an die erste und zweite binomische Formel. - Vergiss nicht, beim Ziehen der Wurzel beide Fälle (positiv und negativ) zu berücksichtigen. - Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(x^2 + px = q\).

1. Gleichung umstellen zu \(x^2 + 10x = 24\). Quadratische Ergänzung mit \((\frac{10}{2})^2 = 25\) durchführen: \(x^2 + 10x + 25 = 24 + 25\). Anwendung der binomischen Formel ergibt \((x + 5)^2 = 49\). Wurzelziehen führt zu \(x + 5 = \pm 7\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -12\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{16}{2})^2 = 64\) auf beiden Seiten addieren: \(x^2 - 16x + 64 = -15 + 64\). Anwendung der binomischen Formel ergibt \((x - 8)^2 = 49\). Wurzelziehen führt zu \(x - 8 = \pm 7\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 15\) und \(x_2 = 1\).

1) \(x_1 = 2, x_2 = -12\) 2) \(x_1 = 15, x_2 = 1\)

- Hast du schon versucht, die Gleichung in die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) zu bringen? - Welches Verfahren (quadratische Ergänzung oder Lösungsformel) fällt dir hier am leichtesten? - Achte bei ungeraden Werten für den Koeffizienten vor \(x\) besonders auf die Brüche oder Dezimalzahlen beim Quadrieren. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Werte probehalber in die Ausgangsgleichung einsetzt.

1. Gleichung \(x^2 - 16x + 63 = 0\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{16}{2})^2 = 64\) führt zu \(x^2 - 16x + 64 = -63 + 64\), also \((x-8)^2 = 1\). Wurzelziehen ergibt \(x-8 = \pm 1\). Resultate: \(x_1 = 9\), \(x_2 = 7\). 2. Gleichung \(x^2 + 7x = 18\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{7}{2})^2 = 12{,}25\) führt zu \(x^2 + 7x + 12{,}25 = 18 + 12{,}25\), also \((x+3{,}5)^2 = 30{,}25\). Wurzelziehen ergibt \(x+3{,}5 = \pm 5{,}5\). Resultate: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -9\).

1) \(x_1 = 9, x_2 = 7\) 2) \(x_1 = 2, x_2 = -9\)

- Kannst du die Terme in den Klammern mithilfe der binomischen Formeln umschreiben? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer – wie verändern sich die Vorzeichen dahinter? - Versuche, alle Terme mit \(x^2\), \(x\) und die reinen Zahlen jeweils zusammenzufassen. - Was musst du tun, um ein Quadrat wie \(x^2\) aufzulösen?

1. Anwendung der binomischen Formeln zur Auflösung der Klammern: \((9x^2 - 6x + 1) - (x^2 + 4x + 4) + (4x^2 - 25) = 4x^2 - 10x + 4\) 2. Auflösen der Minusklammer und Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(12x^2 - 10x - 28 = 4x^2 - 10x + 4\) 3. Subtraktion von \(4x^2\) und Addition von \(10x\) auf beiden Seiten führt zu: \(8x^2 - 28 = 4\) 4. Isolation von \(x^2\): \(8x^2 = 32 \implies x^2 = 4\) 5. Ziehen der Quadratwurzel ergibt die Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\)

\(L = \{-2; 2\}\)

- Was musst du auf beiden Seiten addieren, um den Term links als Quadrat schreiben zu können? - Erinnerst du dich an die erste und zweite binomische Formel? - Wie kannst du das Quadrat auf der linken Seite auflösen? - Denk daran, dass beim Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können.

1. Umformung von \(x^2 + 4x - 21 = 0\) zu \(x^2 + 4x = 21\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{4}{2})^2 = 4\): \(x^2 + 4x + 4 = 21 + 4 = 25\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel: \((x + 2)^2 = 25\). 4. Ziehen der Quadratwurzel: \(x + 2 = \pm 5\). 5. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = -2 + 5 = 3\) und \(x_2 = -2 - 5 = -7\). 6. Umformung von \(x^2 - 6x + 5 = 0\) zu \(x^2 - 6x = -5\). 7. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{-6}{2})^2 = 9\): \(x^2 - 6x + 9 = -5 + 9 = 4\). 8. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((x - 3)^2 = 4\). 9. Ziehen der Quadratwurzel: \(x - 3 = \pm 2\). 10. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = 3 + 2 = 5\) und \(x_2 = 3 - 2 = 1\).

a) \(x_1 = 3, x_2 = -7\) b) \(x_1 = 5, x_2 = 1\)

- Überlege, wie die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung mit der Summe und dem Produkt ihrer Nullstellen zusammenhängen. - Erinnere dich an den Satz von Vieta. - Welche quadratische Gleichung hat genau diese beiden Unbekannten als Lösungen? - Wenn du eine Lösung für eine Variable gefunden hast, wie erhältst du dann die andere?

1. Anwendung des Satzes von Vieta: Für eine quadratische Gleichung \(z^2 + pz + q = 0\) mit den Lösungen \(x\) und \(y\) gilt \(p = -(x+y)\) und \(q = xy\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(p = -(-2) = 2\) und \(q = -15\). Die Gleichung lautet \(z^2 + 2z - 15 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung ergibt \((z+5)(z-3) = 0\). Die Lösungen sind \(z_1 = -5\) und \(z_2 = 3\). 4. Bestimmung der Paare: Da \(x\) und \(y\) die Rollen der Nullstellen einnehmen, ergeben sich die Lösungspaare \((-5; 3)\) und \((3; -5)\).

Die Lösungspaare sind \((-5; 3)\) und \((3; -5)\).

- Wie hängen die Nullstellen einer quadratischen Gleichung mit ihrer faktorisierten Form zusammen? - Welche Formel hilft dir dabei, die Nullstellen eines Terms der Form \(x^2 + px + q\) zu finden? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl von \(x\) subtrahierst?

1. Berechnung der Nullstellen der Gleichung \(x^2 - 4x - 21 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 21} = 2 \pm 5\). 2. Die Nullstellen sind \(x_1 = 7\) und \(x_2 = -3\). 3. Aufstellen der Linearfaktorform \(a(x - x_1)(x - x_2)\) mit \(a = 1\): \((x - 7)(x - (-3)) = (x - 7)(x + 3)\). 4. Begründung: Der Faktor für eine Nullstelle \(x_0\) lautet allgemein \((x - x_0)\). Bei einer negativen Nullstelle wie \(-3\) ergibt das Minuszeichen der Formel zusammen mit dem negativen Wert der Nullstelle ein Pluszeichen: \((x - (-3)) = (x + 3)\).

1. \((x - 7)(x + 3)\) 2. Da die Linearfaktorform \((x - x_1)(x - x_2)\) lautet, kehrt sich das Vorzeichen der Nullstelle im Faktor um (aus \(-3\) wird \(x + 3\)).

- Was passiert, wenn ein Produkt zweier Faktoren Null ergibt? - Kannst du den Term so umformen, dass \(x\) als gemeinsamer Faktor vor einer Klammer steht? - Achte darauf, dass bei Aufgabenteil b) zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung gebracht werden müssen.

1. Gleichung a) durch Ausklammern von \(7x\) faktorisieren: \(7x(x + 3) = 0\). 2. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: \(7x = 0\) oder \(x + 3 = 0\). 3. Lösungen für a): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -3\). 4. Gleichung b) durch Subtraktion von \(2x\) in die Form \(0{,}5x^2 - 2x = 0\) bringen. 5. Ausklammern von \(0{,}5x\): \(0{,}5x(x - 4) = 0\). 6. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: \(0{,}5x = 0\) oder \(x - 4 = 0\). 7. Lösungen für b): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\).

a) \(L = \{0; -3\}\) b) \(L = \{0; 4\}\)

- Schau dir an, an welchen Stellen sich die Kurven kreuzen. - Die Lösungen einer Gleichung \(f(x) = g(x)\) entsprechen den x-Koordinaten der Schnittpunkte. - Wie kannst du mathematisch zeigen, dass ein Punkt tatsächlich auf einem Graphen liegt?

1. Da sich die beiden Graphen an genau zwei Stellen schneiden, muss die Gleichung der Gleichsetzung genau zwei Lösungen für \(x\) besitzen. 2. Aus der Grafik lassen sich die Schnittpunkte \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid 4)\) ablesen. Die Lösungen der Gleichung sind somit \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Überprüfung für \(x_1 = 0\): \(f(0) = 0^2 = 0\) und \(g(0) = -(0-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0\). (Korrekt) 4. Überprüfung für \(x_2 = 2\): \(f(2) = 2^2 = 4\) und \(g(2) = -(2-2)^2 + 4 = 0 + 4 = 4\). (Korrekt)

a) Die Graphen schneiden sich in zwei Punkten, daher gibt es zwei x-Werte, für die beide Funktionsterme denselben Wert liefern. b) Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). c) Für \(x=0\) gilt \(0^2 = 0\) und \(-(0-2)^2+4 = 0\). Für \(x=2\) gilt \(2^2 = 4\) und \(-(2-2)^2+4 = 4\). Beide Werte sind korrekt.

- Wenn eine Seite der Gleichung Null ist, entsprechen die Lösungen der Gleichung genau den Nullstellen der zugehörigen Funktion. - Schau dir im Graphen an, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Du kannst jedes Ergebnis prüfen, indem du es für die Unbekannte in die Startgleichung einsetzt.

1. Umformung der Gleichung: \(x^2 - 2x = 3 \quad \mid -3\) \(x^2 - 2x - 3 = 0\) 2. Ablesen der Nullstellen: Der Graph der Funktion \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) schneidet die x-Achse bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Rechnerische Überprüfung: Für \(x = -1\): \((-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3\). (wahr) Für \(x = 3\): \(3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3\). (wahr)

a) \(x^2 - 2x - 3 = 0\) b) Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\) c) Die Probe bestätigt beide Werte: \((-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 3\) und \(3^2 - 2 \cdot 3 = 3\).

- Klammere zuerst den größten gemeinsamen Faktor aus. - Bestimme anschließend die Nullstellen des verbleibenden quadratischen Terms. - Nutze die Nullstellen, um die Linearfaktoren aufzuschreiben. - Kontrolliere deine Faktorisierung durch Ausmultiplizieren.

1. Den gemeinsamen Faktor 15 ausklammern: \(15(3n^2 - 4n + 1)\). 2. Die Nullstellen des Terms \(3n^2 - 4n + 1\) berechnen: \(n = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}\). 3. Die Ergebnisse sind \(n_1 = 1\) und \(n_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 4. Faktorisierte Form des inneren Terms: \(3(n - 1)(n - \frac{1}{3}) = (n - 1)(3n - 1)\). 5. Inklusive des Faktors 15: \(15(n - 1)(3n - 1)\).

\(15(n - 1)(3n - 1)\)

- Schau zuerst, ob alle Terme einen gemeinsamen Zahlenfaktor haben. - Achte besonders darauf, wie das Minuszeichen vor dem quadratischen Term die Zerlegung beeinflusst. - Überlege, welche zwei einfache Klammern beim Ausmultiplizieren wieder denselben Mittelterm ergeben könnten. - Kontrolliere deine Zerlegung, indem du gedanklich wieder ausmultiplizierst.

1. Da alle Koeffizienten durch 4 teilbar sind und der erste Koeffizient negativ ist, klammern wir \(-4\) aus: \(-4(2b^2 - 5b - 3)\). 2. Nullstellen von \(2b^2 - 5b - 3 = 0\) finden: \(b = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}\). 3. Daraus folgt \(b_1 = 3\) und \(b_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\). 4. Den quadratischen Teil zerlegen: \(2(b - 3)(b + \frac{1}{2}) = (b - 3)(2b + 1)\). 5. Das Endergebnis ist: \(-4(b - 3)(2b + 1)\).

\(-4(b - 3)(2b + 1)\)

- Prüfe zuerst, ob du den ganzen Term durch einen gemeinsamen Faktor übersichtlicher machen kannst. - Achte darauf, dass am Ende wirklich ein Produkt entsteht und keine Summe übrig bleibt. - Suche nach zwei einfachen Faktoren, deren Ausmultiplizieren den mittleren Term passend erzeugt. - Multipliziere dein Ergebnis zur Kontrolle wieder aus.

1. Wir klammern den gemeinsamen Faktor 6 aus: \(6(2z^2 - 5z + 2)\). 2. Wir bestimmen die Nullstellen der Gleichung \(2z^2 - 5z + 2 = 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\). \(z = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\). 3. Die Nullstellen sind \(z_1 = 2\) und \(z_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 4. Der Ausdruck in der Klammer wird zu: \(2(z - 2)(z - \frac{1}{2}) = (z - 2)(2z - 1)\). 5. Zusammen mit dem Faktor 6 ergibt sich: \(6(z - 2)(2z - 1)\).

\(6(z - 2)(2z - 1)\)

- Mach den Term zuerst kleiner, indem du nach einem gemeinsamen Faktor der drei Terme suchst. - Betrachte danach nur noch den quadratischen Teil in der Klammer. - Überlege, welche Klammerfaktoren die Vorzeichen im ursprünglichen Term erklären. - Vergiss den ausgeklammerten Faktor am Ende nicht.

1. Den gemeinsamen Faktor 10 ausklammern: \(10(2y^2 + y - 3)\). 2. Die Nullstellen von \(2y^2 + y - 3 = 0\) berechnen: \(y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}\). 3. Wir erhalten \(y_1 = \frac{4}{4} = 1\) und \(y_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\). 4. Zerlegung des Terms in der Klammer: \(2(y - 1)(y + \frac{3}{2}) = (y - 1)(2y + 3)\). 5. Gesamtergebnis unter Berücksichtigung der ausgeklammerten 10: \(10(y - 1)(2y + 3)\).

\(10(y - 1)(2y + 3)\)

- Suche zuerst nach einem gemeinsamen Faktor, der in allen drei Termen steckt. - Achte bei der Klammer danach auf die unterschiedlichen Vorzeichen. - Überlege, welche einfachen Faktoren beim Rückwärtsmultiplizieren wieder den quadratischen Ausdruck ergeben. - Prüfe, ob deine Zerlegung vollständig ist oder ob noch etwas weiter zerlegt werden kann.

1. Zuerst suchen wir den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten 18, -12 und -6. Dieser ist 6. 2. Wir klammern die 6 aus: \(6(3x^2 - 2x - 1)\). 3. Nun faktorisieren wir das quadratische Polynom in der Klammer \(3x^2 - 2x - 1\). Dazu bestimmen wir die Nullstellen der Gleichung \(3x^2 - 2x - 1 = 0\) mit der Mitternachtsformel: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}\) 4. Die Nullstellen sind \(x_1 = \frac{6}{6} = 1\) und \(x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\). 5. Ein quadratischer Term \(ax^2 + bx + c\) lässt sich als \(a(x - x_1)(x - x_2)\) schreiben. Hier: \(3(x - 1)(x + \frac{1}{3})\). 6. Um Brüche zu vermeiden, multiplizieren wir die 3 in die zweite Klammer: \(3(x + \frac{1}{3}) = (3x + 1)\). 7. Das Endergebnis lautet: \(6(x - 1)(3x + 1)\).

\(6(x - 1)(3x + 1)\)

- Versuche zuerst, den quadrierten Klammerausdruck alleine stehen zu lassen. - Denke daran, dass derselbe Quadratwert von zwei verschiedenen inneren Werten kommen kann. - Bearbeite die beiden möglichen Fälle getrennt weiter. - Setze deine gefundenen Werte zum Schluss kurz in die ursprüngliche Gleichung ein.

1. Dividiere zuerst durch 2: \((2x-4)^2 = 25\). 2. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(2x-4 = \pm\sqrt{25}\), also \(2x-4 = \pm 5\). 3. Betrachte die zwei linearen Gleichungen: Gleichung 1: \(2x-4 = 5 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = 4{,}5\) Gleichung 2: \(2x-4 = -5 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0{,}5\)

Die Lösungen sind \(x_1 = 4{,}5\) und \(x_2 = -0{,}5\).

- Isoliere zuerst den Ausdruck mit der Klammer, bevor du dich um das Quadrat kümmerst. - Achte darauf, wie der Faktor vor der Klammer rückgängig gemacht werden kann. - Denke an die zwei möglichen inneren Werte, die zu demselben Quadrat führen. - Berücksichtige am Ende die Verschiebung innerhalb der Klammer.

1. Zuerst wird 4 auf beiden Seiten addiert: \(\frac{1}{2}(x+5)^2 = 4\). 2. Um den Faktor \(\frac{1}{2}\) zu eliminieren, wird die gesamte Gleichung mit 2 multipliziert: \((x+5)^2 = 8\). 3. Nun wird die Quadratwurzel gezogen: \(x+5 = \pm\sqrt{8}\). 4. Die Wurzel lässt sich vereinfachen: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\). Also: \(x+5 = \pm 2\sqrt{2}\). 5. Subtrahiere 5 von beiden Seiten: \(x = -5 \pm 2\sqrt{2}\).

Die Lösungen sind \(x = -5 + 2\sqrt{2}\) und \(x = -5 - 2\sqrt{2}\).

- Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen? - Kannst du Aufgabe c) so umformen, dass auf einer Seite null steht? - Welches Lösungsverfahren passt anschließend zur erhaltenen Form?

1. Teilaufgabe a): Umformen zu \(x^2 = \frac{1}{4}\). Wurzelziehen ergibt \(x = \pm \frac{1}{2}\). 2. Teilaufgabe b): Das Quadrat eines reellen Terms ist stets größer oder gleich null. Daher kann \((x+5)^2\) nicht den negativen Wert \(-4\) annehmen. 3. Teilaufgabe c): Umformen zur Normalform \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Alternativ kann zu \((x-3)(x+1)=0\) faktorisiert werden.

a) \(L = \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}\) b) Keine reelle Lösung, da ein Quadrat nicht negativ sein kann. c) \(L = \{-1; 3\}\)

- Was wäre das Ergebnis auf beiden Seiten der Gleichung, wenn \(x = 4\) ist? - Wann ist eine Division durch einen Klammerausdruck nicht erlaubt? - Versuche, alle Terme auf eine Seite zu bringen, sodass auf der anderen Seite \(0\) steht. - Kannst du in dem entstandenen Ausdruck eine gemeinsame Klammer entdecken?

1. Berechnung zu Teil a: Durch die Division ergibt sich \(x - 4 = 3\). Addition von \(4\) liefert \(x = 7\). 2. Erklärung zu Teil b: Durch die Division durch \((x - 4)\) wird der Fall ausgeschlossen, dass der Term \((x - 4)\) den Wert null annimmt. Da \(x = 4\) die Gleichung ebenfalls löst (beide Seiten werden null), geht diese Lösung verloren. 3. Lösung zu Teil c (Umformen und Faktorisieren): Subtraktion von \(3(x - 4)\) auf beiden Seiten führt zu \((x - 4)^2 - 3(x - 4) = 0\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Terms \((x - 4)\): \((x - 4) \cdot [(x - 4) - 3] = 0\), vereinfacht \((x - 4) \cdot (x - 7) = 0\). 5. Nullprodukt anwenden: \(x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4\) oder \(x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7\). 6. Ergebnis: \(L = \{4; 7\}\).

a) Der Schüler erhält \(x = 7\). b) Die Lösung \(x = 4\) geht verloren, da für diesen Wert der Divisor \((x - 4)\) null wird und eine Division durch null nicht definiert ist. c) Die vollständige Lösungsmenge ist \(L = \{4; 7\}\).

- Welche Zahl musst du addieren, um den Term \(x^2 + 8x\) zu einem vollständigen Quadrat zu ergänzen? - Erinnere dich an die Struktur der \(pq\)-Formel. Welche Werte haben \(p\) und \(q\) hier? - Welche besondere Form einer quadratischen Funktion erlaubt es, den tiefsten oder höchsten Punkt direkt zu sehen?

1. Quadratische Ergänzung: Die Gleichung ist \(x^2 + 8x + 12 = 0\). Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\): \(x^2 + 8x + 16 - 16 + 12 = 0\). Dies führt zu \((x + 4)^2 - 4 = 0\). Umstellen ergibt \((x + 4)^2 = 4\). Ziehen der Wurzel liefert \(x + 4 = 2\) oder \(x + 4 = -2\). Somit \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). 2. \(pq\)-Formel: Mit \(p = 8\) und \(q = 12\) gilt \(x_{1,2} = - \frac{8}{2} \pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2 - 12} = -4 \pm \sqrt{16 - 12} = -4 \pm \sqrt{4} = -4 \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). 3. Vergleich und Interpretation: Beide Verfahren liefern dieselbe Lösungsmenge \(L = \{-6; -2\}\). 4. Vorteil der quadratischen Ergänzung: Sie liefert direkt die Scheitelpunktform der zugehörigen quadratischen Funktion \(f(x) = (x + 4)^2 - 4\). Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt \(S(-4 | -4)\) sofort ablesen.

Die Lösungsmenge ist \(L = \{-6; -2\}\). Die quadratische Ergänzung bietet den Vorteil, dass man die Gleichung in die Scheitelpunktform überführt, wodurch der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel (hier \(S(-4 | -4)\)) direkt ablesbar ist.

- Versuche, die Gleichung durch Division oder Multiplikation zu vereinfachen, bevor du eine Lösungsformel nutzt. - Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Wenn ein Produkt null ist, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du eine Klammer, die im Quadrat steht, isolieren?

1. Teilaufgabe a): Ausklammern von \(2x\) führt zu \(2x(x - 9) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 9\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst Addition von \(27\) und Division durch \(3\) ergibt \((x - 1)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel führt zu \(x - 1 = 3\) oder \(x - 1 = -3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(2\) ergibt die Normalform \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel liefert \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). 4. Teilaufgabe d): Anwendung des Satzes vom Nullprodukt. Die Gleichungen \(2x - 4 = 0\) und \(x + 5 = 0\) führen direkt zu den Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -5\).

a) \(x_1 = 0; x_2 = 9\) b) \(x_1 = 4; x_2 = -2\) c) \(x_1 = 4; x_2 = -2\) d) \(x_1 = 2; x_2 = -5\)

- Welche Formel hilft dir, die Nullstellen direkt zu finden? - Nutze beim Multiplizieren der Wurzelterme die dritte binomische Formel. - Wann wird der Teil unter der Wurzel in der Lösungsformel genau null?

1. Anwendung der \(pq\)-Formel auf \(x^2 - x - 5 = 0\) mit \(p = -1\) und \(q = -5\): \(x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 5} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}\). 2. Multiplikation der Lösungen: \(\frac{1 + \sqrt{21}}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{21}}{2} = \frac{1^2 - (\sqrt{21})^2}{4} = \frac{1 - 21}{4} = \frac{-20}{4} = -5\). Das Produkt entspricht \(q\). 3. Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante null ist: \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = 0\). 4. Mit \(p = -1\) ergibt sich \(0{,}25 - q = 0\), also \(q = 0{,}25\). Die Zahl \(-5\) müsste durch \(0{,}25\) ersetzt werden.

a) Die Lösungen sind \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}\) und \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}\). b) Das Produkt ergibt \(\frac{1-21}{4} = -5\). c) Das Absolutglied müsste \(0{,}25\) (bzw. \(\frac{1}{4}\)) lauten.

- Schau dir die letzte Zahl in Gleichung (1) an. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dieser Zahl und der Hälfte der Zahl vor dem \(x\)? - Was passiert, wenn du versuchst, die Zahl \(24\) in der gleichen Weise wie die \(25\) zu interpretieren? - Wie müsste ein Term aussehen, der perfekt in das Schema \((x-b)^2\) passt?

1. Analyse von Gleichung (1): Der Term \(x^2 - 10x + 25\) entspricht der 2. binomischen Formel \((x-b)^2 = x^2 - 2bx + b^2\) mit \(b = 5\), da \(2 \cdot 5 = 10\) und \(5^2 = 25\). 2. Faktorisierung und Lösung: \((x-5)^2 = 0 \implies x - 5 = 0 \implies x = 5\). 3. Analyse von Gleichung (2): Für eine direkte Faktorisierung müsste das absolute Glied \(b^2 = (-10{:}2)^2 = 25\) sein. Da \(24 \neq 25\), ist der Term kein vollständiges Quadrat. 4. Anpassung: Man müsste die Zahl \(24\) um \(1\) erhöhen (quadratische Ergänzung), um auf \(25\) zu kommen.

a) \(x = 5\), da \((x-5)^2 = 0\). b) Für ein vollständiges Quadrat müsste das konstante Glied \(\left(\frac{-10}{2}\right)^2 = 25\) sein. Daher müsste man \(24\) um \(1\) erhöhen.

- Was muss vor dem \(x^2\) stehen, damit du die \(pq\)-Formel direkt anwenden darfst? - Achte beim Einsetzen in die Formel auf das Vorzeichen von \(q\), besonders wenn \(q\) negativ ist. - Wie gehst du vor, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl ungleich \(1\) steht?

1. Für Teilaufgabe a): Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor mit \(p = -10\) und \(q = 21\). 2. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2 - 21} = 5 \pm \sqrt{25 - 21} = 5 \pm \sqrt{4} = 5 \pm 2\). 3. Ergebnisse für a): \(x_1 = 7\) und \(x_2 = 3\). 4. Für Teilaufgabe b): Normalisierung durch Division der gesamten Gleichung durch \(2\). Dies ergibt \(x^2 + 4x - 12 = 0\). Hier ist \(p = 4\) und \(q = -12\). 5. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 - (-12)} = -2 \pm \sqrt{4 + 12} = -2 \pm \sqrt{16} = -2 \pm 4\). 6. Ergebnisse für b): \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -6\).

a) \(L = \{3; 7\}\) b) \(L = \{-6; 2\}\)

- Erkennst du ein Muster in der ersten Gleichung, das an die binomischen Formeln erinnert? - Wie unterscheiden sich die Konstanten am Ende der beiden Gleichungen und wie beeinflusst das die Wurzel in der Lösungsformel? - Was passiert grafisch, wenn eine Parabel die \(x\)-Achse nur berührt statt sie zu schneiden?

1. Gleichung (I): Die linke Seite entspricht der zweiten binomischen Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) mit \(a = x\) und \(b = 3\). Es gilt \((x - 3)^2 = 0\). Daraus folgt direkt \(x - 3 = 0\), also \(x = 3\). 2. Gleichung (II): Anwendung der \(pq\)-Formel mit \(p = -6\) und \(q = 8\): \(x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{(\frac{-6}{2})^2 - 8} = 3 \pm \sqrt{9 - 8} = 3 \pm \sqrt{1}\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3 + 1 = 4\) und \(x_2 = 3 - 1 = 2\). 3. Ursache für die Anzahl der Lösungen: In Gleichung (I) ist der Term unter der Wurzel (die Diskriminante) null (\(9 - 9 = 0\)), was zu einer Doppellösung führt. In Gleichung (II) ist die Diskriminante positiv (\(9 - 8 = 1\)), wodurch zwei unterschiedliche Werte entstehen.

a) \(x = 3\) b) \(x_1 = 4; x_2 = 2\) c) Bei (I) liegt ein vollständiges Quadrat vor und die Diskriminante ist null; bei (II) ist die Diskriminante positiv.

- Probiere beide Wege einmal aus und achte darauf, wo du mehr Zwischenrechnungen machen musst. - Schau dir die Struktur der Gleichung an: Ist sie bereits in einer besonderen Form gegeben? - Was passiert, wenn du die Operationen in einer anderen Reihenfolge ausführst?

1. Teilaufgabe a (Bens Weg): Division durch \(2\) ergibt \((x - 3)^2 = 25\). Wurzelziehen liefert zwei Fälle: \(x - 3 = 5\) oder \(x - 3 = -5\). Daraus folgen \(x_1 = 8\) und \(x_2 = -2\). \(L = \{-2; 8\}\). 2. Teilaufgabe b (Annas Weg): Auflösen der Klammer ergibt \(2(x^2 - 6x + 9) = 50\), also \(2x^2 - 12x + 18 = 50\). Subtraktion von \(50\) führt zu \(2x^2 - 12x - 32 = 0\). Division durch \(2\) ergibt die Normalform \(x^2 - 6x - 16 = 0\). Vergleicht man dies mit Bens erstem Schritt \((x-3)^2 = 25 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 9 = 25 \Leftrightarrow x^2 - 6x - 16 = 0\), sieht man die Übereinstimmung. 3. Teilaufgabe c: Bens Weg nutzt, dass der Term bereits als Quadrat vorliegt; dadurch entfallen das Ausmultiplizieren und die Anwendung der allgemeinen Lösungsformel. Das Ziehen der Wurzel ist hier direkter möglich.

a) \(L = \{-2; 8\}\) b) Beide Wege führen zur Normalform \(x^2 - 6x - 16 = 0\). c) Ben nutzt die Struktur der Gleichung aus (direktes Wurzelziehen nach Division möglich), während Anna unnötige Umformungen vornimmt.

- Versuche zuerst, alle Klammern aufzulösen oder Brüche durch Multiplikation mit einem Hauptnenner zu beseitigen. - Sorge dafür, dass die Gleichung so umgeformt wird, dass eine Seite Null ist. - Wenn kein konstantes Glied vorhanden ist, ist Ausklammern oft der schnellste Weg. - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

1. Gleichung a): Subtraktion von \(\frac{1}{6}x^2\) und Addition von \(2x\) auf beiden Seiten ergibt \(\frac{3}{6}x^2 + 3x = 0\), vereinfacht \(\frac{1}{2}x^2 + 3x = 0\). Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(\frac{1}{2}x + 3) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und aus \(\frac{1}{2}x + 3 = 0\) folgt \(x_2 = -6\). 2. Gleichung b): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(2x^2 + 8x = x^2 + 3x\). Durch Subtraktion von \(x^2\) und \(3x\) erhält man \(x^2 + 5x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x + 5) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -5\).

a) \(x_1 = 0, x_2 = -6\) b) \(x_1 = 0, x_2 = -5\)

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht? - Wenn eine Gleichung die Form \(ax^2 + bx = 0\) hat, welches Verfahren außer der Lösungsformel könnte hilfreich sein? - Achte beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen, besonders bei binomischen Formeln. - Welche Werte für \(p\) und \(q\) musst du in die Lösungsformel einsetzen, nachdem du die Gleichung sortiert hast?

1. Erste Gleichung: Ausmultiplizieren der linken Seite ergibt \(3x^2 - 12x = x^2 - 2x\). Subtraktion von \(x^2\) und Addition von \(2x\) führt zur Normalform \(2x^2 - 10x = 0\). Ausklammern von \(2x\) ergibt \(2x(x - 5) = 0\). Nach dem Nullprodukt-Satz sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\). 2. Zweite Gleichung: Anwendung der zweiten binomischen Formel auf der linken Seite ergibt \(x^2 - 4x + 4 = 3x - 2\). Durch Subtraktion von \(3x\) und Addition von \(2\) erhält man die Normalform \(x^2 - 7x + 6 = 0\). Anwendung der p-q-Formel mit \(p = -7\) und \(q = 6\) führt zu \(x = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 6} = 3{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 1\).

1) \(x_1 = 0; x_2 = 5\) 2) \(x_1 = 1; x_2 = 6\)

- Wie kannst du die Brüche eliminieren, um die Gleichung zu vereinfachen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Überlege dir, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^2 = k\) in Abhängigkeit von \(k\) hat. - Wann genau hat ein Quadrat nur ein einziges mögliches Ergebnis für die Basis?

1. Multiplikation der Gleichung aus Teil a) mit dem Hauptnenner \(12\): \(3(3x^2 + 5) - 4(2x^2 - 1) = 24\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(9x^2 + 15 - 8x^2 + 4 = 24\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(x^2 + 19 = 24\). 4. Isolieren von \(x^2\): \(x^2 = 5\). 5. Ziehen der Quadratwurzel ergibt die Lösungen \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Somit ist \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\). 6. Für Teil b) wird die Gleichung allgemein zu \(x^2 + 19 = 12c\) umgeformt, woraus \(x^2 = 12c - 19\) folgt. 7. Eine reinquadratische Gleichung der Form \(x^2 = k\) hat genau eine Lösung, wenn \(k = 0\) gilt. 8. Lösen der Bedingung \(12c - 19 = 0\) nach \(c\): \(12c = 19 \Rightarrow c = \frac{19}{12}\).

a) \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\) b) \(c = \frac{19}{12}\)

- Wenn der Koeffizient vor dem \(x\) ungerade ist, wird die quadratische Ergänzung ein Dezimalbruch oder ein Bruch sein. - Halbiere die Zahl vor dem \(x\) und quadriere das Ergebnis für die Ergänzung. - Achte darauf, dass du denselben Wert auf beiden Seiten der Gleichung addierst. - Überprüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

1. Gleichung umformen zu \(x^2 - 7x = -10\). Quadratische Ergänzung mit \((\frac{7}{2})^2 = 3{,}5^2 = 12{,}25\) addieren: \(x^2 - 7x + 12{,}25 = -10 + 12{,}25\). Dies ergibt \((x - 3{,}5)^2 = 2{,}25\). Wurzelziehen liefert \(x - 3{,}5 = \pm 1{,}5\). Somit sind die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 2\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{9}{2})^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\) addieren: \(x^2 + 9x + 20{,}25 = 10 + 20{,}25\). Dies ergibt \((x + 4{,}5)^2 = 30{,}25\). Wurzelziehen liefert \(x + 4{,}5 = \pm 5{,}5\). Somit sind die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -10\).

1) \(x_1 = 5, x_2 = 2\) 2) \(x_1 = 1, x_2 = -10\)

- Was musst du tun, wenn vor dem \(x^2\) eine andere Zahl als \(1\) steht? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine binomische Formel angewendet werden kann? - Denke daran, bei der Angabe der Lösungsmenge die Dezimalzahlen durch Semikolons zu trennen, um Verwechslungen zu vermeiden.

1. Gleichung \(3x^2 - 12x = 36\): Division der gesamten Gleichung durch \(3\) ergibt \(x^2 - 4x = 12\). Quadratische Ergänzung mit \(4\) führt zu \(x^2 - 4x + 4 = 16\), also \((x-2)^2 = 16\). Wurzelziehen ergibt \(x-2 = \pm 4\). Resultate: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -2\). Lösungsmenge \(L = \{-2; 6\}\). 2. Gleichung \(x^2 - 3x = 1{,}75\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{3}{2})^2 = 2{,}25\) führt zu \(x^2 - 3x + 2{,}25 = 1{,}75 + 2{,}25\), also \((x-1{,}5)^2 = 4\). Wurzelziehen ergibt \(x-1{,}5 = \pm 2\). Resultate: \(x_1 = 3{,}5\), \(x_2 = -0{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{-0{,}5; 3{,}5\}\).

1) \(L = \{-2; 6\}\) 2) \(L = \{-0{,}5; 3{,}5\}\)

- Erinnere dich an die drei binomischen Formeln, um die Klammern aufzulösen. - Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(x^2 + px + q = 0\), bevor du ein Lösungsverfahren anwendest. - Welche Formel oder welches Verfahren hilft dir, eine gemischtquadratische Gleichung zu lösen? - Vergiss nicht, am Ende beide möglichen Lösungen anzugeben.

1. Ausmultiplizieren der Klammern mit den binomischen Formeln: \(x^2 - 6x + 9 + x^2 + 4x + 4 = x^2 - 16 + 2x + 34\) 2. Zusammenfassen der Terme auf beiden Seiten: \(2x^2 - 2x + 13 = x^2 + 2x + 18\) 3. Umformen der Gleichung in die Normalform durch Subtraktion von \(x^2\), \(2x\) und \(18\): \(x^2 - 4x - 5 = 0\) 4. Anwendung der p-q-Formel: \(x_{1,2} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-5)} = 2 \pm \sqrt{4 + 5}\) 5. Berechnung der Ergebnisse: \(x_{1,2} = 2 \pm 3\), daraus folgt \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\)

\(L = \{-1; 5\}\)

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du mit dem Lösen beginnst? - Was stört dich bei der zweiten Gleichung vor dem \(x^2\)? - Kommst du mit Brüchen oder Dezimalzahlen besser zurecht? Beides ist möglich. - Achte darauf, die Lösungsmenge korrekt in geschweiften Klammern anzugeben.

1. Umformung von \(x^2 - x - 0{,}75 = 0\) zu \(x^2 - x = 0{,}75\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{-1}{2})^2 = 0{,}25\): \(x^2 - x + 0{,}25 = 0{,}75 + 0{,}25 = 1\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \((x - 0{,}5)^2 = 1\). 4. Wurzelziehen ergibt \(x - 0{,}5 = 1\) oder \(x - 0{,}5 = -1\). 5. Resultierende Lösungen: \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = -0{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{-0{,}5; 1{,}5\}\). 6. Normalisierung der Gleichung \(3x^2 + 12x - 15 = 0\) durch Division durch \(3\): \(x^2 + 4x - 5 = 0\). 7. Umformung zu \(x^2 + 4x = 5\). 8. Quadratische Ergänzung mit \(4\): \(x^2 + 4x + 4 = 9\). 9. Anwendung der binomischen Formel: \((x + 2)^2 = 9\). 10. Wurzelziehen ergibt \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\). 11. Resultierende Lösungen: \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). Lösungsmenge \(L = \{-5; 1\}\).

a) \(L = \{-0{,}5; 1{,}5\}\) b) \(L = \{-5; 1\}\)

- Wo befindet sich der tiefste oder höchste Punkt der Parabel im Verhältnis zur \(x\)-Achse? - In welche Richtung öffnet sich die Kurve? - Was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn die Kurve die \(x\)-Achse überquert? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) zusammen?

1. Der Scheitelpunkt \(S(x_s | y_s)\) wird berechnet. Mit \(a = 1\) und \(b = -6\) ergibt sich \(x_s = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\). Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(y_s = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = -4\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da der Scheitelpunkt (der tiefste Punkt) mit \(y = -4\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss die Parabel die \(x\)-Achse auf dem Weg nach oben zweimal schneiden. 3. Beim Zeichnen der Parabel (z. B. mit einer Wertetabelle oder ausgehend vom Scheitelpunkt) erkennt man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gibt es zwei Nullstellen. 3. Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

- Kannst du eine der Variablen in der ersten Gleichung isolieren und in die zweite einsetzen? - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Klammern auflöst? - Wie viele Lösungen hat eine quadratische Gleichung normalerweise? - Was passiert mit den Werten von \(x\) und \(y\), wenn du für \(s\) den Wert \(0\) einsetzt? - Unterscheide zwischen dem Fall, dass \(s\) null ist und dem Fall, dass \(s\) einen anderen Wert hat.

1. Umstellen der Gleichung (1) nach \(y\): \(y = 7s - x\). 2. Einsetzen in Gleichung (2): \(x(7s - x) = 10s^2\), was zur quadratischen Gleichung \(x^2 - 7sx + 10s^2 = 0\) führt. 3. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren): \((x - 2s)(x - 5s) = 0\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 2s\) und \(x_2 = 5s\). 4. Bestimmen der zugehörigen \(y\)-Werte: Für \(x_1 = 2s\) folgt \(y_1 = 5s\); für \(x_2 = 5s\) folgt \(y_2 = 2s\). Die Lösungspaare sind \(L = \{(2s|5s), (5s|2s)\}\). 5. Analyse der Lösungsanzahl: Für \(s = 0\) gilt \(2s = 5s = 0\), beide Paare sind identisch \((0|0)\). Für \(s \neq 0\) gilt \(2s \neq 5s\), woraus zwei unterschiedliche Paare \((2s|5s)\) und \((5s|2s)\) resultieren.

a) Die Lösungspaare sind \((2s|5s)\) und \((5s|2s)\). b) Für \(s = 0\) sind beide Paare identisch mit \((0|0)\). Da für \(s \neq 0\) stets \(2s \neq 5s\) gilt, ergeben sich zwei verschiedene Punkte.

- Überlege, welche der beiden Gleichungen sich leichter nach einer Variablen auflösen lässt. - Denk beim Einsetzen des Terms in die erste Gleichung an die Klammern und die binomischen Formeln. - Nach dem Einsetzen erhältst du eine Gleichung, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt. - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung maximal haben?

1. Lineare Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y = 3 - x\). 2. Ausdruck für \(y\) in die quadratische Gleichung einsetzen: \(3x^2 - (3 - x)^2 = 11\). 3. Klammer mit der zweiten binomischen Formel auflösen: \(3x^2 - (9 - 6x + x^2) = 11\). 4. Gleichung vereinfachen: \(3x^2 - 9 + 6x - x^2 = 11 \Rightarrow 2x^2 + 6x - 20 = 0\). 5. Durch 2 dividieren, um die Normalform zu erhalten: \(x^2 + 3x - 10 = 0\). 6. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = -1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 10} = -1{,}5 \pm 3{,}5\). 7. Ergebnisse für \(x\): \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -5\). 8. Zugehörige \(y\)-Werte berechnen: \(y_1 = 3 - 2 = 1\) und \(y_2 = 3 - (-5) = 8\).

\(L = \{(2; 1); (-5; 8)\}\)

- Welche der beiden Gleichungen lässt sich leichter nach einer Variablen umstellen? - Nutze das Einsetzungsverfahren, um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Unbekannte enthält. - Achte beim Auflösen der Klammern auf die binomischen Formeln. - Vergiss nicht, am Ende für jedes gefundene \(y\) auch das passende \(x\) zu berechnen.

1. Umstellen der linearen Gleichung nach \(x\): \(x = 3 - y\) 2. Einsetzen des Terms für \(x\) in die quadratische Gleichung: \((3 - y)^2 + 2y^2 = 33\) 3. Auflösen der Klammer mit der zweiten binomischen Formel: \(9 - 6y + y^2 + 2y^2 = 33\) 4. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform: \(3y^2 - 6y - 24 = 0 \Rightarrow y^2 - 2y - 8 = 0\) 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p-q\)-Formel): \(y_1 = 4\) und \(y_2 = -2\) 6. Ermittlung der zugehörigen \(x\)-Werte durch Einsetzen in \(x = 3 - y\): \(x_1 = 3 - 4 = -1\) und \(x_2 = 3 - (-2) = 5\) Die Lösungsmenge ist \(L = \{(-1|4); (5|-2)\}\).

\(L = \{(-1|4); (5|-2)\}\)

- Wie hängen die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung und ihre Diskriminante zusammen? - Stelle zuerst eine allgemeine Gleichung in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Was bedeutet es für \(x\) und \(y\), wenn es nur ein einziges Paar als Lösung gibt? - Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel oder die Mitternachtsformel, um den Ausdruck für die Diskriminante zu finden.

1. Teilaufgabe a): Aufstellen der quadratischen Gleichung \(z^2 - 12z + 32 = 0\). Lösen mittels Faktorisierung \((z-8)(z-4) = 0\) ergibt \(z_1 = 8\) und \(z_2 = 4\). Die Lösungspaare sind \((8; 4)\) und \((4; 8)\). 2. Teilaufgabe b): Die allgemeine quadratische Gleichung für das System ist \(z^2 - 12z + k = 0\). 3. Untersuchung der Diskriminante: Damit es genau eine Lösung gibt, muss die Diskriminante \(D\) der Gleichung null sein. 4. Berechnung: \(D = \left(\frac{-12}{2}\right)^2 - k = 36 - k\). 5. Bedingung \(D = 0\) führt zu \(36 - k = 0\), also \(k = 36\). In diesem Fall ist \(x = y = 6\).

a) Die Lösungspaare sind \((8; 4)\) und \((4; 8)\). b) Das System hat genau eine Lösung für \(k = 36\).

- Kannst du eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen? - Was erhältst du nach dem Einsetzen in die andere Gleichung? - Lässt sich die entstehende quadratische Gleichung faktorisieren? - Prüfe, ob die beiden gefundenen Paare für einen besonderen Parameterwert zusammenfallen.

1. Auflösen der ersten Gleichung nach \(y\): \(y=5k-x\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(x^2+(5k-x)^2=13k^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(2x^2-10kx+12k^2=0\). 4. Division durch \(2\): \(x^2-5kx+6k^2=0\). 5. Faktorisieren: \(x^2-5kx+6k^2=(x-2k)(x-3k)=0\). Daher gilt \(x=2k\) oder \(x=3k\). 6. Mit \(y=5k-x\) folgen die Paare \((2k;3k)\) und \((3k;2k)\). 7. Für \(k=0\) fallen beide Paare zum einzigen Lösungspaar \((0;0)\) zusammen; für \(k\neq0\) sind sie verschieden.

Für \(k\neq0\) gilt \(L=\{(3k;2k);(2k;3k)\}\). Für \(k=0\) gilt \(L=\{(0;0)\}\).

- Kannst du \(x\) und \(y\) als Nullstellen einer quadratischen Hilfsgleichung betrachten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Nullstellensumme und Nullstellenprodukt. - Lässt sich die Hilfsgleichung faktorisieren? - Prüfe, wann die beiden Nullstellen zusammenfallen.

1. \(x\) und \(y\) sind die Nullstellen der Hilfsgleichung \(t^2-(2a+b)t+(a^2+ab)=0\). 2. Faktorisieren: \(t^2-(2a+b)t+(a^2+ab)=(t-a)(t-a-b)\). 3. Daher sind die möglichen Werte \(t_1=a\) und \(t_2=a+b\). 4. Für \(b\neq0\) sind diese Werte verschieden; Vertauschen liefert die beiden Lösungspaare \((a;a+b)\) und \((a+b;a)\). 5. Für \(b=0\) fallen beide Werte zusammen. Dann ist das einzige Lösungspaar \((a;a)\).

Für \(b\neq0\) gilt \(L=\{(a+b;a);(a;a+b)\}\). Für \(b=0\) gilt \(L=\{(a;a)\}\).

- Schau dir die zweite Gleichung genau an. Wann wird ein Produkt gleich null? - Untersuche die verschiedenen Fälle, die sich aus der zweiten Gleichung ergeben, nacheinander. - Wie kannst du die Informationen aus einer Gleichung nutzen, um die andere zu vereinfachen? - Denke daran, dass für einen festen Wert einer Variablen mehrere Werte für die andere Variable existieren können.

1. Anwendung des Nullprodukt-Satzes auf die zweite Gleichung: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Dies führt zu den zwei Fällen \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) oder \(y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4\). 2. Untersuchung von Fall 1 (\(x = 3\)): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(3^2 + y^2 = 25\), also \(9 + y^2 = 25\), woraus \(y^2 = 16\) folgt. Dies liefert die Werte \(y_1 = 4\) und \(y_2 = -4\). Die entsprechenden Lösungspaare sind \((3; 4)\) und \((3; -4)\). 3. Untersuchung von Fall 2 (\(y = 4\)): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x^2 + 4^2 = 25\), also \(x^2 + 16 = 25\), woraus \(x^2 = 9\) folgt. Dies liefert die Werte \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Die entsprechenden Lösungspaare sind \((3; 4)\) und \((-3; 4)\). 4. Zusammenfassung aller eindeutigen Lösungspaare: \((3; 4)\), \((3; -4)\) und \((-3; 4)\).

\((3; 4), (3; -4), (-3; 4)\)

- Gibt es Zusammenhänge zwischen den Ausdrücken \(x^2+y^2\), \(xy\) und der Summe \((x+y)\)? - Was passiert, wenn du das Doppelte der zweiten Gleichung zur ersten addierst oder von ihr subtrahierst? - Kannst du das System so umformen, dass du einfache lineare Gleichungen für die Summe oder die Differenz von \(x\) und \(y\) erhältst?

1. Kombination der Gleichungen mithilfe binomischer Formeln: \(x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 49\), also \((x+y)^2 = 49\). 2. Bestimmung der möglichen Summen durch Wurzelziehen: \(x+y = 7\) oder \(x+y = -7\). 3. Bildung der Differenz mithilfe der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 2xy + y^2 = 25 - 2 \cdot 12 = 1\), also \((x-y)^2 = 1\). 4. Bestimmung der möglichen Differenzen: \(x-y = 1\) oder \(x-y = -1\). 5. Kombination der Fälle durch Addition und Subtraktion der resultierenden linearen Gleichungen: - Fall 1: \(x+y=7\) und \(x-y=1 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4, y=3\) - Fall 2: \(x+y=7\) und \(x-y=-1 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=4\) - Fall 3: \(x+y=-7\) und \(x-y=1 \Rightarrow 2x=-6 \Rightarrow x=-3, y=-4\) - Fall 4: \(x+y=-7\) und \(x-y=-1 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4, y=-3\) 6. Die reellen Lösungspaare sind \((4; 3), (3; 4), (-3; -4)\) und \((-4; -3)\).

\((4; 3), (3; 4), (-3; -4), (-4; -3)\)

- Kannst du eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen? - Welches Verfahren ist besonders nützlich, wenn eine der Gleichungen keinen quadratischen Term enthält? - Nach dem Einsetzen erhältst du eine quadratische Gleichung. Welche Methoden kennst du, um diese zu lösen?

1. Auflösen der zweiten (linearen) Gleichung nach \(x\): \(x = y + 5\). 2. Einsetzen dieses Ausdrucks in die erste Gleichung: \((y + 5)^2 + y^2 = 13\). 3. Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung: \(y^2 + 10y + 25 + y^2 = 13 \Rightarrow 2y^2 + 10y + 12 = 0\). 4. Division der gesamten Gleichung durch \(2\), um die Normalform zu erhalten: \(y^2 + 5y + 6 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung, zum Beispiel durch Faktorisierung: \((y + 2)(y + 3) = 0\). 6. Bestimmung der y-Werte: \(y_1 = -2\) und \(y_2 = -3\). 7. Berechnung der zugehörigen x-Werte durch Einsetzen in \(x = y + 5\): - Für \(y_1 = -2\) ergibt sich \(x_1 = -2 + 5 = 3\). - Für \(y_2 = -3\) ergibt sich \(x_2 = -3 + 5 = 2\). 8. Die Lösungspaare lauten \((3; -2)\) und \((2; -3)\).

\((3; -2), (2; -3)\)

- Was passiert, wenn du beide Gleichungen addierst? Erkennst du auf der linken Seite eine bekannte Struktur? - Kannst du die Terme in den ursprünglichen Gleichungen so ausklammern, dass ein Teil der Summe wieder vorkommt? - Untersuche, ob es hilfreich sein könnte, den Wert von \(x + y\) als Ganzes zu betrachten.

1. Addition der beiden Gleichungen führt zu \(x^2 + 2xy + y^2 = 16\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \((x + y)^2 = 16\), woraus \(x + y = 4\) oder \(x + y = -4\) folgt. 3. Ausklammern von \(x\) in der ersten Originalgleichung ergibt \(x(x + y) = 6\). 4. Fall 1: \(x + y = 4\). Einsetzen in \(4x = 6\) liefert \(x = 1{,}5\). Damit ist \(y = 4 - 1{,}5 = 2{,}5\). 5. Fall 2: \(x + y = -4\). Einsetzen in \(-4x = 6\) liefert \(x = -1{,}5\). Damit ist \(y = -4 - (-1{,}5) = -2{,}5\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(1{,}5; 2{,}5); (-1{,}5; -2{,}5)\}\).

\(L = \{(1{,}5; 2{,}5); (-1{,}5; -2{,}5)\}\)

- Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer Gleichung und der Summe bzw. dem Produkt ihrer Lösungen? - Wie kannst du den Ausdruck \(x_1^2 + x_2^2\) so umformen, dass nur noch die Summe \((x_1+x_2)\) und das Produkt \((x_1 \cdot x_2)\) vorkommen? - Erinnerst du dich an die erste binomische Formel? - Überprüfe am Ende, ob für dein gefundenes \(q\) überhaupt reelle Lösungen existieren.

1. Anwendung des Satzes von Vieta: Für eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) gilt \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\). Hier ist \(p = 5\), also \(x_1 + x_2 = -5\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\). 2. Algebraische Umformung: Der Ausdruck für die Summe der Quadrate lässt sich umschreiben als \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\). 3. Einsetzen der Werte: Setze die bekannten Beziehungen in die umgeformte Gleichung ein: \((-5)^2 - 2q = 17\). 4. Berechnung von \(q\): \(25 - 2q = 17 \implies 2q = 8 \implies q = 4\). 5. Überprüfung: Für \(q=4\) lautet die Gleichung \(x^2+5x+4=0\). Die Diskriminante \(D = 5^2 - 4 \cdot 4 = 9\) ist positiv, sodass zwei reelle Lösungen existieren.

Der Wert des Parameters \(q\) muss \(4\) sein.

- Was bedeutet es für den Wert des Terms an einer bestimmten Stelle, wenn ein bestimmter Linearfaktor existiert? - Wenn du weißt, dass ein Produkt null ist, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du den verbleibenden Teil des Terms finden, wenn du einen Faktor bereits kennst?

1. Wenn \((x + 2)\) ein Faktor ist, muss \(x = -2\) eine Nullstelle des Terms sein. 2. Einsetzen von \(x = -2\) in den Term: \(3 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 10 = 0\). 3. Berechnung von \(b\): \(12 - 2b - 10 = 0 \Rightarrow 2 - 2b = 0 \Rightarrow b = 1\). 4. Der Term lautet somit \(3x^2 + x - 10\). 5. Suche nach der zweiten Nullstelle oder Koeffizientenvergleich: Da \((x + 2) \cdot (3x + k) = 3x^2 + (k + 6)x + 2k\) sein muss, folgt aus \(2k = -10\), dass \(k = -5\). 6. Vollständige Faktorisierung: \((x + 2)(3x - 5)\).

1. \(b = 1\) 2. \((x + 2)(3x - 5)\)

- Kannst du \(x\) ausklammern und den Nullproduktsatz anwenden? - Prüfe, ob die beiden entstehenden Lösungsterme für einen Parameterwert zusammenfallen. - Für Teil b: Was erhältst du, wenn du \(x=-4\) in die Ausgangsgleichung einsetzt?

1. Faktorisieren: \(3x^2+px=x(3x+p)=0\). 2. Nach dem Nullproduktsatz gilt \(x=0\) oder \(x=-\frac{p}{3}\). 3. Für \(p \neq 0\) sind dies zwei verschiedene Lösungen. Für \(p=0\) fallen beide zu \(x=0\) zusammen. 4. Für Teil b wird \(x=-4\) eingesetzt: \(3\cdot(-4)^2+p\cdot(-4)=0\). 5. Daraus folgt \(48-4p=0\), also \(p=12\).

a) Für \(p \neq 0\) gilt \(L=\left\{0; -\frac{p}{3}\right\}\). Für \(p=0\) gilt \(L=\{0\}\). b) \(p=12\)

- Kannst du eine der Gleichungen so umstellen, dass eine Variable allein steht? - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzt? - Achte beim Umformen auf die binomischen Formeln. - Gibt es Werte für \(x\) oder \(y\), die du von vornherein ausschließen musst?

1. Auflösen der ersten Gleichung nach \(x\): \(x+2 = 2(y-1) \Rightarrow x = 2y - 4\). 2. Einsetzen des Terms für \(x\) in die zweite Gleichung: \((2y-4)^2 + y^2 = 13\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen zur quadratischen Gleichung: \(4y^2 - 16y + 16 + y^2 = 13 \Rightarrow 5y^2 - 16y + 3 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung mittels Mitternachtsformel oder \(p\)-\(q\)-Formel: \(y_1 = 3\) und \(y_2 = 0{,}2\). 5. Berechnung der zugehörigen \(x\)-Werte durch Einsetzen in \(x = 2y - 4\): \(x_1 = 2 \cdot 3 - 4 = 2\) und \(x_2 = 2 \cdot 0{,}2 - 4 = -3{,}6\). 6. Abgleich mit der Definitionsmenge (\(y \neq 1\)): Beide Paare \((2 \mid 3)\) und \((-3{,}6 \mid 0{,}2)\) sind gültige Lösungen.

\(L = \{(2 \mid 3); (-3{,}6 \mid 0{,}2)\}\)

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht? - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzt? - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \((1-x)\) auf die binomischen Formeln. - In welche Form muss eine quadratische Gleichung gebracht werden, damit du die Lösungsformel anwenden kannst?

1. Umstellen der ersten Gleichung nach einer Variablen: \(y = 1 - x\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(y\) in die zweite Gleichung: \(x^2 + (1 - x)^2 = 13\). 3. Anwenden der zweiten binomischen Formel auf \((1-x)^2\): \(x^2 + 1 - 2x + x^2 = 13\). 4. Zusammenfassen und Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 - 2x - 12 = 0\), was durch Division durch \(2\) zu \(x^2 - x - 6 = 0\) vereinfacht wird. 5. Lösen der quadratischen Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 6} = 0{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 6. Berechnen der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in \(y = 1 - x\): Für \(x_1 = 3\) ist \(y_1 = -2\); für \(x_2 = -2\) ist \(y_2 = 3\). 7. Die Lösungspaare sind \((3; -2)\) und \((-2; 3)\).

Die Lösungen sind \((3; -2)\) und \((-2; 3)\).

- Wo schneidet die Kurve die \(x\)-Achse? Schätze die Werte so genau wie möglich ab. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die exakten Stellen zu finden. - Wenn du eine Gleichung der Form \((\text{etwas})^2 = c\) hast, kannst du die Wurzel ziehen. - Nutze deinen Taschenrechner, um den Wert der Wurzel am Ende in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

1. Ablesen der Nullstellen: Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen etwa bei \(x \approx -2{,}7\) und \(x \approx 0{,}7\). 2. Rechnerischer Ansatz: \((x + 1)^2 - 3 = 0\). 3. Umformen: \((x + 1)^2 = 3\). 4. Wurzel ziehen: \(x + 1 = \sqrt{3}\) oder \(x + 1 = -\sqrt{3}\). 5. Exakte Ergebnisse: \(x_1 = -1 + \sqrt{3}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{3}\). 6. Rundung: \(x_1 \approx 0{,}73\) und \(x_2 \approx -2{,}73\).

a) Aus der Zeichnung: \(x_1 \approx 0{,}7\) und \(x_2 \approx -2{,}7\). b) \(x_1 = -1 + \sqrt{3} \approx 0{,}73\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{3} \approx -2{,}73\)

- Suche zuerst den Scheitelpunkt im Koordinatensystem. - Wähle einen Punkt, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um \(a\) zu bestimmen. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die Nullstellen zu berechnen. - Du kannst die Nullstellen direkt aus der Scheitelpunktform berechnen, ohne sie erst umzuformen.

1. Ablesen aus dem Graphen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2 \mid -4{,}5)\). Ein weiterer Punkt auf dem Gitter ist \(P(1 \mid 0)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x + 2)^2 - 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(P(1 \mid 0)\): \(0 = a(1 + 2)^2 - 4{,}5 \Rightarrow 4{,}5 = 9a \Rightarrow a = 0{,}5\). Die Gleichung lautet: \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5\). 4. Berechnung der Nullstellen: \(0 = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5 \quad | +4{,}5\) \(4{,}5 = 0{,}5(x + 2)^2 \quad | :0{,}5\) \(9 = (x + 2)^2 \quad | \sqrt{}\) \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\) \(x_1 = 1\); \(x_2 = -5\).

a) \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5\) b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\).

- Lies die Scheitelpunkte der Parabeln direkt aus dem Koordinatensystem ab. - Nutze einen weiteren gut ablesbaren Punkt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Setze die beiden Terme gleich, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(2x^2 - 4x = 0\) etwas ausklammern?

1. Bestimmung der Funktionsgleichungen: - Parabel \(f\) (nach unten geöffnet) hat den Scheitelpunkt \(S_f(0 \mid 5)\) und geht durch \((1 \mid 4)\). Die Form \(f(x) = ax^2 + c\) liefert \(c = 5\) und \(4 = a(1)^2 + 5 \Rightarrow a = -1\). Also \(f(x) = -x^2 + 5\). - Parabel \(g\) (nach oben geöffnet) hat den Scheitelpunkt \(S_g(2 \mid 1)\) und geht durch \((1 \mid 2)\). Die Scheitelpunktform \(g(x) = a(x-2)^2 + 1\) liefert \(2 = a(1-2)^2 + 1 \Rightarrow 2 = a + 1 \Rightarrow a = 1\). Also \(g(x) = (x-2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5\). 2. Berechnung der Schnittpunkte: - Gleichsetzen: \(-x^2 + 5 = x^2 - 4x + 5\). - Zusammenfassen: \(2x^2 - 4x = 0\). - Ausklammern: \(2x(x - 2) = 0\). - Lösungen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). - \(y\)-Koordinaten: \(f(0) = 5\) und \(f(2) = -2^2 + 5 = 1\). - Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 5)\) und \(S_2(2 \mid 1)\). Auffällig ist, dass die Schnittpunkte genau den Scheitelpunkten entsprechen.

a) Die Gleichungen lauten \(f(x) = -x^2 + 5\) und \(g(x) = x^2 - 4x + 5\). b) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 5)\) und \(S_2(2 \mid 1)\).

- Bringe zuerst alle Zahlen ohne \(x\) auf die rechte Seite. - Wie entfernst du einen Bruchfaktor vor einer Klammer? - Denke beim Wurzelziehen aus \(8\) daran, ob du die Wurzel teilweise ziehen kannst.

1. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(\frac{3}{4}(x + 2)^2 = 6\). 2. Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{4}{3}\): \((x + 2)^2 = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(x + 2 = \pm\sqrt{8}\). 4. Subtraktion von \(2\): \(x = -2 \pm \sqrt{8}\). 5. Vereinfachung der Wurzel: Da \(8 = 4 \cdot 2\), gilt \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 6. Endergebnis: \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) und \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) und \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).

- Welche binomische Formel könnte hier passen, wenn du \(4a^2x^2\) als \((2ax)^2\) betrachtest? - Schau dir an, wie oft die Unbekannte \(x\) in der ursprünglichen Gleichung vorkommt und wie oft in der neuen Form. - Was ist der erste Schritt, den du machen würdest, um eine Gleichung der Form \((...)^2 = D\) nach der Unbekannten aufzulösen?

1. Multiplikation mit \(4a\): \(4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\). 2. Subtraktion von \(4ac\): \(4a^2x^2 + 4abx = -4ac\). 3. Addition von \(b^2\): \(4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac\). 4. Identifikation des Binoms: Die linke Seite entspricht der Form \(A^2 + 2AB + B^2\) mit \(A = 2ax\) und \(B = b\). Somit gilt \(4a^2x^2 + 4abx + b^2 = (2ax + b)^2\). 5. Vollständige Gleichung: \((2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\). 6. Erklärung: In der neuen Form tritt die Variable \(x\) nur noch an einer Stelle innerhalb des Quadrats auf. Dadurch kann man die Gleichung durch Wurzelziehen und einfache Äquivalenzumformungen nach \(x\) auflösen, während in der Ausgangsform \(x^2\) und \(x\) getrennt stehen.

a) \(4a^2x^2 + 4abx = -4ac\) b) \((2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\) c) Die Variable \(x\) steht nur noch einmal in der Gleichung, sodass man durch Wurzelziehen direkt nach \(x\) auflösen kann.

- Multipliziere beide Seiten mit einem gemeinsamen Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus vor dem Bruch steht? - Überprüfe am Ende, ob das Ergebnis für \(x^2\) positiv, null oder negativ ist. - Kannst du schon vor der vollständigen Berechnung vermuten, welche Gleichung eher eine Lösung hat?

1. Lösung von Gleichung (1): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) führt zu \(3(x^2 + 1) + 5(2x^2 - 2) = 45\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(3x^2 + 3 + 10x^2 - 10 = 45 \Rightarrow 13x^2 - 7 = 45\). 3. Isolieren von \(x^2\): \(13x^2 = 52 \Rightarrow x^2 = 4\). 4. Wurzelziehen ergibt die zwei reellen Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 5. Lösung von Gleichung (2): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) führt zu \(3(x^2 + 1) - 5(2x^2 - 2) = 45\). 6. Ausmultiplizieren (Achtung: Minuszeichen): \(3x^2 + 3 - 10x^2 + 10 = 45 \Rightarrow -7x^2 + 13 = 45\). 7. Isolieren von \(x^2\): \(-7x^2 = 32 \Rightarrow x^2 = -\frac{32}{7}\). 8. Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, besitzt Gleichung (2) keine reelle Lösung.

Gleichung (1) hat die Lösungen \(x = 2\) und \(x = -2\). Gleichung (2) hat keine reelle Lösung, da die Umformung auf die widersprüchliche Aussage \(x^2 = -\frac{32}{7}\) führt.

- Kannst du die erste Gleichung vereinfachen, bevor du einsetzt? - Denke daran, dass es beim Ziehen einer Quadratwurzel oft zwei Möglichkeiten gibt. - Du könntest auch eine Variable in der zweiten Gleichung isolieren und in die erste einsetzen. Welcher Weg erscheint dir einfacher? - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Beziehung?

1. Analyse der ersten Gleichung: Aus \((x + y)^2 = 25\) folgt durch Wurzelziehen \(x + y = 5\) oder \(x + y = -5\). Dies führt zu einer Fallunterscheidung. 2. Fall 1: Betrachte das lineare System \(x + y = 5\) und \(x - y = 1\). Durch Addition der Gleichungen erhält man \(2x = 6\), also \(x_1 = 3\). Einsetzen in \(x - y = 1\) ergibt \(3 - y = 1\), also \(y_1 = 2\). 3. Fall 2: Betrachte das lineare System \(x + y = -5\) und \(x - y = 1\). Durch Addition erhält man \(2x = -4\), also \(x_2 = -2\). Einsetzen in \(x - y = 1\) ergibt \(-2 - y = 1\), also \(y_2 = -3\). 4. Ergebnis: Das System besitzt genau zwei Lösungspaare. 5. Lösungen: \((3 | 2)\) und \((-2 | -3)\).

Es gibt zwei Lösungspaare: \((3 | 2)\) und \((-2 | -3)\).

- Welches Verfahren eignet sich, um eine Variable zu eliminieren? - Denk beim Einsetzen an die binomischen Formeln. - Lässt sich die quadratische Gleichung als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben? - Prüfe abschließend, ob die angegebenen Paare für einen besonderen Parameterwert zusammenfallen.

1. Umstellen der linearen Gleichung (2) nach \(x\): \(x = y + c\). 2. Einsetzen in Gleichung (1): \((y+c)^2+y^2=25c^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(y^2+2cy+c^2+y^2=25c^2\), also \(2y^2+2cy-24c^2=0\). 4. Division durch \(2\) ergibt die gesuchte Gleichung \(y^2+cy-12c^2=0\). 5. Faktorisieren: \(y^2+cy-12c^2=(y-3c)(y+4c)=0\). Daher gilt \(y=3c\) oder \(y=-4c\). 6. Mit \(x=y+c\) folgen die Paare \((4c|3c)\) und \((-3c|-4c)\). 7. Für \(c=0\) fallen beide Paare zum einzigen Lösungspaar \((0|0)\) zusammen; für \(c\neq0\) sind sie verschieden.

a) \(y^2+cy-12c^2=0\) b) Für \(c\neq0\) gilt \(L=\{(4c|3c);(-3c|-4c)\}\). Für \(c=0\) gilt \(L=\{(0|0)\}\).

- Schau dir den ersten Teil der ersten Gleichung genau an. Erinnert dich die Struktur an eine bekannte Formel? - Du kannst die zweite Gleichung nach \(y\) auflösen und einsetzen, aber achte genau auf die Vorzeichen beim Zusammenfassen. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du den Term für \(y\) einsetzt? - Prüfe am Ende, ob dein gefundenes Zahlenpaar wirklich beide Gleichungen erfüllt.

1. Umstellen der zweiten Gleichung: \(y = x + 2\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung: \(x^2 - 2x(x+2) + (x+2)^2 + 2x + 2(x+2) = 8\). 3. Terme vereinfachen: \(x^2 - 2x^2 - 4x + (x^2 + 4x + 4) + 2x + 2x + 4 = 8\). 4. Zusammenfassen der Glieder: \((x^2 - 2x^2 + x^2) + (-4x + 4x + 2x + 2x) + (4 + 4) = 8\). 5. Lineare Gleichung lösen: \(4x + 8 = 8 \Rightarrow 4x = 0 \Rightarrow x = 0\). 6. Alternativer Weg: Erkennen der binomischen Formel \((x-y)^2 + 2(x+y) = 8\). Da \(y-x=2\), ist \(x-y=-2\). Einsetzen ergibt \((-2)^2 + 2(x+y) = 8 \Rightarrow 4 + 2x + 2y = 8 \Rightarrow x + y = 2\). Zusammen mit \(y-x=2\) ergibt sich durch Addition \(2y = 4 \Rightarrow y = 2\) und \(x = 0\). 7. \(y\)-Wert berechnen: \(y = 0 + 2 = 2\).

\((0; 2)\)

- Wie lautet die allgemeine Gleichung für einen Kreis um den Ursprung? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel der Form \(y = ax^2 + c\)? - Welches Verfahren eignet sich am besten, um ein System aus einer quadratischen Kreisgleichung und einer Parabelgleichung zu lösen? - Wenn du einen \(y\)-Wert berechnet hast, wie findest du die dazugehörigen \(x\)-Werte?

1. Die Kreisgleichung lautet \(x^2 + y^2 = 100\). Der Scheitelpunkt der Parabel \(y = \frac{1}{4}x^2 + c\) liegt bei \(S(0|c)\). 2. Damit \(S\) auf dem Kreis liegt, muss \(0^2 + c^2 = 100\) gelten, woraus für \(c < 0\) der Wert \(c = -10\) folgt. 3. Zur Berechnung der Schnittpunkte wird das System \(x^2 + y^2 = 100\) und \(y = \frac{1}{4}x^2 - 10\) gelöst. 4. Umstellen der Parabelgleichung ergibt \(x^2 = 4y + 40\). 5. Einsetzen in die Kreisgleichung: \((4y + 40) + y^2 = 100 \Rightarrow y^2 + 4y - 60 = 0\). 6. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(y_1 = -10\) und \(y_2 = 6\). 7. Für \(y_1 = -10\) ergibt sich \(x^2 = 4(-10) + 40 = 0\), also \(x = 0\). Punkt \(P_1(0|-10)\). 8. Für \(y_2 = 6\) ergibt sich \(x^2 = 4(6) + 40 = 64\), also \(x = \pm 8\). Punkte \(P_2(8|6)\) und \(P_3(-8|6)\). 9. Es existieren somit genau drei verschiedene Schnittpunkte.

a) Der Wert ist \(c = -10\). b) Die drei Schnittpunkte sind \(P_1(0|-10)\), \(P_2(8|6)\) und \(P_3(-8|6)\).

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass du eine Variable durch die andere ausdrückst? - Was passiert, wenn du diesen Ausdruck in die quadratische Gleichung einsetzt? - Wie lässt sich die resultierende Gleichung in \(x\) am einfachsten lösen? - Hast du am Ende daran gedacht, für jeden \(x\)-Wert den passenden \(y\)-Wert zu berechnen?

1. Umstellen der zweiten Gleichung nach einer Variablen: \(y = 5m - x\) 2. Einsetzen des Ausdrucks in die erste Gleichung: \(x^2 + (5m-x)^2 = 17m^2\) 3. Anwendung der binomischen Formel und Zusammenfassen: \(x^2 + 25m^2 - 10mx + x^2 = 17m^2 \Rightarrow 2x^2 - 10mx + 8m^2 = 0\) 4. Normierung der quadratischen Gleichung durch Division durch 2: \(x^2 - 5mx + 4m^2 = 0\) 5. Lösen der Gleichung (z. B. durch Faktorisierung): \((x-4m)(x-m) = 0\), woraus \(x_1 = 4m\) und \(x_2 = m\) folgen 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Werte: \(y_1 = 5m - 4m = m\) und \(y_2 = 5m - m = 4m\) 7. Für \(m \neq 0\) sind die Lösungspaare \((4m; m)\) und \((m; 4m)\). Für \(m = 0\) fallen beide Paare zum einzigen Lösungspaar \((0; 0)\) zusammen.

Für \(m \neq 0\): \(L = \{(4m; m); (m; 4m)\}\). Für \(m = 0\): \(L = \{(0; 0)\}\).

- Überlege, ob es hilfreich ist, die beiden Gleichungen miteinander zu verknüpfen (zum Beispiel durch Addition). - Kannst du die Terme auf der linken Seite so kombinieren, dass eine binomische Formel entsteht? - Was passiert mit der Struktur der Gleichungen, wenn du sie addierst? - Versuche, in einer der ursprünglichen Gleichungen eine Variable auszuklammern.

1. Addition der beiden Gleichungen ergibt \(x^2 - 2xy + y^2 = 20 + (-16) = 4\). Durch Anwendung der zweiten binomischen Formel folgt \((x-y)^2 = 4\). 2. Aus \((x-y)^2 = 4\) ergeben sich zwei Fälle: \(x - y = 2\) oder \(x - y = -2\). 3. Ausklammern von \(x\) in der ersten Gleichung ergibt \(x(x - y) = 20\). 4. Fall A (\(x - y = 2\)): Einsetzen in die ausgeklammerte Gleichung ergibt \(x \cdot 2 = 20\), also \(x = 10\). Durch Einsetzen von \(x\) in \(x - y = 2\) erhält man \(10 - y = 2\), woraus \(y = 8\) folgt. Das erste Paar ist \((10; 8)\). 5. Fall B (\(x - y = -2\)): Einsetzen in die ausgeklammerte Gleichung ergibt \(x \cdot (-2) = 20\), also \(x = -10\). Durch Einsetzen von \(x\) in \(x - y = -2\) erhält man \(-10 - y = -2\), woraus \(y = -8\) folgt. Das zweite Paar ist \((-10; -8)\).

\((10; 8), (-10; -8)\)

- Kannst du die beiden Gleichungen so kombinieren, dass eine binomische Formel entsteht? - Was passiert, wenn du das Doppelte der zweiten Gleichung zur ersten addierst oder davon subtrahierst? - Kannst du zuerst Ausdrücke für die Summe \(x+y\) und die Differenz \(x-y\) bestimmen? - Wie viele verschiedene Vorzeichenkombinationen musst du beim Wurzelziehen berücksichtigen?

1. Addition des Zweifachen der zweiten Gleichung zur ersten ergibt \((x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 34p^2 + 30p^2 = 64p^2\), woraus \(x+y = \pm 8p\) folgt. 2. Subtraktion des Zweifachen der zweiten Gleichung von der ersten ergibt \((x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 34p^2 - 30p^2 = 4p^2\), woraus \(x-y = \pm 2p\) folgt. 3. Kombination von \(x+y = 8p\) mit \(x-y = 2p\) ergibt \(x=5p\) und \(y=3p\); mit \(x-y = -2p\) ergibt sich \(x=3p\) und \(y=5p\). 4. Kombination von \(x+y = -8p\) mit \(x-y = 2p\) ergibt \(x=-3p\) und \(y=-5p\); mit \(x-y = -2p\) ergibt sich \(x=-5p\) und \(y=-3p\). 5. Für \(p \neq 0\) sind dies vier verschiedene Lösungspaare. Für \(p = 0\) fallen sie zum einzigen Lösungspaar \((0; 0)\) zusammen.

Für \(p \neq 0\): \(L = \{(5p; 3p); (3p; 5p); (-3p; -5p); (-5p; -3p)\}\). Für \(p = 0\): \(L = \{(0; 0)\}\).

- Welche binomischen Formeln enthalten die Terme \(x^2+y^2\) und \(xy\)? - Versuche, die Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, bevor du addierst oder subtrahierst. - Wenn du die Werte für \(x+y\) und \(x-y\) hast, wie kannst du daraus \(x\) und \(y\) bestimmen? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen sowohl positive als auch negative Ergebnisse möglich sind.

1. Berechnung von \((x+y)^2 = (x^2+y^2) + 2xy = \frac{17}{16}c^2 + \frac{2}{4}c^2 = \frac{17+8}{16}c^2 = \frac{25}{16}c^2\). Daraus folgt \(x+y = \pm \frac{5}{4}c\). 2. Berechnung von \((x-y)^2 = (x^2+y^2) - 2xy = \frac{17}{16}c^2 - \frac{8}{16}c^2 = \frac{9}{16}c^2\). Daraus folgt \(x-y = \pm \frac{3}{4}c\). 3. Lösen der linearen Gleichungssysteme für alle vier Vorzeichenkombinationen: - Fall 1: \(x+y = \frac{5}{4}c\) und \(x-y = \frac{3}{4}c\) ergeben \(x=c\) und \(y=\frac{1}{4}c\). - Fall 2: \(x+y = \frac{5}{4}c\) und \(x-y = -\frac{3}{4}c\) ergeben \(x=\frac{1}{4}c\) und \(y=c\). - Fall 3: \(x+y = -\frac{5}{4}c\) und \(x-y = \frac{3}{4}c\) ergeben \(x=-\frac{1}{4}c\) und \(y=-c\). - Fall 4: \(x+y = -\frac{5}{4}c\) und \(x-y = -\frac{3}{4}c\) ergeben \(x=-c\) und \(y=-\frac{1}{4}c\). 4. Für \(c \neq 0\) sind dies vier verschiedene Lösungspaare. Für \(c = 0\) fallen sie zum einzigen Lösungspaar \((0; 0)\) zusammen.

Für \(c \neq 0\): \(L = \{(c; \frac{1}{4}c); (\frac{1}{4}c; c); (-c; -\frac{1}{4}c); (-\frac{1}{4}c; -c)\}\). Für \(c = 0\): \(L = \{(0; 0)\}\).

- Kannst du einen Teil des Ausdrucks durch eine neue Variable ersetzen, um die Gleichung zu vereinfachen? - Wie hängen die beiden Brüche in der ersten Gleichung zusammen? - Was passiert, wenn du die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner multiplizierst? - Wenn du ein Verhältnis zwischen \(x\) und \(y\) gefunden hast, wie kannst du dieses in der Summengleichung nutzen?

1. Substitution \(t = \sqrt{\frac{x}{y}}\) (mit \(t > 0\)) transformiert die erste Gleichung in \(t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}\). 2. Multiplikation mit \(3t\) führt zur quadratischen Gleichung \(3t^2 - 10t + 3 = 0\). 3. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(t_1 = 3\) und \(t_2 = \frac{1}{3}\). 4. Fall 1: Aus \(\sqrt{\frac{x}{y}} = 3\) folgt \(x = 9y\). Einsetzen in die zweite Gleichung \(9y + y = 30\) ergibt \(10y = 30\), also \(y = 3\) und \(x = 27\). 5. Fall 2: Aus \(\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{3}\) folgt \(y = 9x\). Einsetzen in \(x + 9x = 30\) ergibt \(10x = 30\), also \(x = 3\) und \(y = 27\).

\((27; 3)\) und \((3; 27)\)

- Kannst du die Brüche in der ersten Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Wie lässt sich der Term \(\sqrt{xy}\) mithilfe der zweiten Gleichung vereinfachen? - Versuche, neue Variablen für die Terme \(\sqrt{x}\) und \(\sqrt{y}\) einzuführen. - Wenn du die Summe und das Produkt von zwei Werten kennst, wie kannst du daraus eine quadratische Gleichung bilden?

1. Aus der zweiten Gleichung folgt \(\sqrt{xy} = \sqrt{64} = 8\), da die Wurzeln in der ersten Gleichung positive Radikanden erfordern. 2. Die erste Gleichung wird durch Hauptnennerbildung umgeformt zu \(\frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy}} = \frac{3}{4}\). 3. Durch Einsetzen von \(\sqrt{xy} = 8\) erhält man \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{8} = \frac{3}{4}\), woraus \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 6\) folgt. 4. Mit der Substitution \(u = \sqrt{x}\) und \(v = \sqrt{y}\) ergibt sich das System \(u + v = 6\) und \(uv = 8\). 5. Einsetzen von \(v = 6 - u\) in die Produktgleichung führt auf \(u(6 - u) = 8 \Rightarrow u^2 - 6u + 8 = 0\). 6. Die Lösungen für \(u\) sind \(4\) und \(2\). Daraus ergeben sich für \(x = u^2\) und \(y = v^2\) die Paare \((16; 4)\) und \((4; 16)\).

\((16; 4)\) und \((4; 16)\)

- Könntest du die Gleichungen so kombinieren, dass die Konstanten auf der rechten Seite verschwinden und dort eine Null steht? - Wenn du eine Gleichung der Form \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0\) hast, probiere, durch \(y^2\) zu teilen und eine Ersatzvariable für den Quotienten \(\frac{x}{y}\) einzuführen. - Vergiss nicht, am Ende die gefundenen Zusammenhänge zwischen \(x\) und \(y\) wieder in eine der Originalgleichungen einzusetzen.

1. Multiplikation der ersten Gleichung mit \(5\), der zweiten mit \(7\) und anschließende Addition ergibt \(5(x^2-xy+y^2)+7(y^2-2xy)=0\). 2. Zusammenfassen liefert \(5x^2-19xy+12y^2=0\). 3. Aus der zweiten Ausgangsgleichung folgt \(y \neq 0\), denn für \(y=0\) entstünde \(0=-15\). Daher darf durch \(y^2\) dividiert werden. Mit \(t=\frac{x}{y}\) erhält man \(5t^2-19t+12=0\). 4. Faktorisieren ergibt \((5t-4)(t-3)=0\), also \(t=\frac{4}{5}\) oder \(t=3\). 5. Fall \(x=3y\): Einsetzen in \(y^2-2xy=-15\) ergibt \(-5y^2=-15\), also \(y=\pm\sqrt{3}\). Damit entstehen \((3\sqrt{3};\sqrt{3})\) und \((-3\sqrt{3};-\sqrt{3})\). 6. Fall \(x=\frac{4}{5}y\): Einsetzen ergibt \(-\frac{3}{5}y^2=-15\), also \(y=\pm5\). Damit entstehen \((4;5)\) und \((-4;-5)\).

\(L = \{(3\sqrt{3}; \sqrt{3}); (-3\sqrt{3}; -\sqrt{3}); (4; 5); (-4; -5)\}\)

- Was passiert, wenn du die Klammern so multiplizierst, dass ein gleicher Term in beiden Ausdrücken entsteht? - Überlege dir eine geeignete Ersetzung (Substitution), um den Grad der Gleichung zu senken. - Vergiss nicht, am Ende die Ersetzung wieder rückgängig zu machen. - Überprüfe, ob deine gefundenen Werte die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

1. Gruppierung der Faktoren zu Paaren, die nach dem Ausmultiplizieren denselben quadratischen und linearen Teil ergeben: \(((x-3)(x+4)) \cdot ((x-1)(x+2)) = 144\). 2. Ausmultiplizieren der Paare: \((x^2 + x - 12) \cdot (x^2 + x - 2) = 144\). 3. Einführung einer Hilfsvariablen (Substitution) \(u = x^2 + x\), woraus die Gleichung \((u-12)(u-2) = 144\) folgt. 4. Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(u^2 - 14u + 24 = 144 \implies u^2 - 14u - 120 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung für \(u\): Die Diskriminante ist \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 = 26^2\). Die Lösungen sind \(u_1 = \frac{14 + 26}{2} = 20\) und \(u_2 = \frac{14 - 26}{2} = -6\). 6. Rücksubstitution für \(u_1 = 20\): \(x^2 + x = 20 \implies x^2 + x - 20 = 0\). Faktorisierung ergibt \((x+5)(x-4) = 0\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -5\). 7. Rücksubstitution für \(u_2 = -6\): \(x^2 + x = -6 \implies x^2 + x + 6 = 0\). Die Diskriminante ist \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = -23\). Da \(D < 0\), gibt es hier keine weiteren reellen Lösungen.

\(L = \{-5; 4\}\)

- Betrachte die Ausdrücke \((x+y)\) und \(xy\) als neue, eigene Einheiten. Kannst du sie vorübergehend durch andere Buchstaben ersetzen? - Wenn du die Summe und das Produkt zweier Zahlen kennst, wie kannst du daraus eine quadratische Gleichung aufstellen? - Wie viele verschiedene Kombinationen für \(x+y\) und \(xy\) ergeben sich aus dem ersten Schritt? - Vergiss nicht, am Ende die Werte für \(x\) und \(y\) selbst zu bestimmen, nicht nur für ihre Summe und ihr Produkt.

1. Einführung von Hilfsvariablen durch Substitution: Setze \(u = x + y\) und \(v = xy\). 2. Lösen des resultierenden Systems für \(u\) und \(v\): \(u + v = 11\) und \(uv = 30\). 3. Diese Gleichungen beschreiben zwei Zahlen, deren Summe \(11\) und deren Produkt \(30\) ist. Diese sind die Lösungen der quadratischen Gleichung \(t^2 - 11t + 30 = 0\). 4. Lösen dieser Gleichung (z. B. durch Faktorisieren \((t-5)(t-6)=0\)) ergibt \(t_1 = 5\) und \(t_2 = 6\). Somit ergeben sich zwei Fälle: Entweder ist \(u = 5\) und \(v = 6\), oder \(u = 6\) und \(v = 5\). 5. Rücksubstitution für Fall 1 (\(x + y = 5\) und \(xy = 6\)): \(x\) und \(y\) sind Lösungen von \(z^2 - 5z + 6 = 0\), was \(x, y \in \{2; 3\}\) liefert. Dies ergibt die Paare \((2; 3)\) und \((3; 2)\). 6. Rücksubstitution für Fall 2 (\(x + y = 6\) und \(xy = 5\)): \(x\) und \(y\) sind Lösungen von \(z^2 - 6z + 5 = 0\), was \(x, y \in \{1; 5\}\) liefert. Dies ergibt die Paare \((1; 5)\) und \((5; 1)\). 7. Die vollständige Lösungsmenge besteht aus den Paaren \((1; 5), (5; 1), (2; 3)\) und \((3; 2)\).

Die Lösungspaare sind \((1; 5), (5; 1), (2; 3)\) und \((3; 2)\).