- Welcher der beiden Indizes bezeichnet laut Definition den Ausgangszustand? - Ordne den zweiten Index dem Ausgangstarif und den ersten Index dem Zieltarif zu. - Formuliere den Dezimalwert anschließend als Anteil im beschriebenen Monatswechsel.

1. Beim Eintrag \(m_{12}\) bezeichnet der zweite Index den Ausgangstarif Plus und der erste Index den Zieltarif Basis. Daher bedeutet \(m_{12}=0{,}25\), dass in einem Monat \(25\,\%\) der Kundinnen und Kunden aus Plus in Basis wechseln.

In einem Monat wechseln \(25\,\%\) der Kundinnen und Kunden aus dem Tarif Plus in den Tarif Basis.

- Nutze die im Text festgelegte Bedeutung von Zeilen und Spalten. - Beginne mit einem Ausgangstarif und übertrage seine beiden Anteile gemeinsam in die Matrix. - Kontrolliere am Ende, ob jeder Ausgangstarif vollständig auf die beiden Zieltarife verteilt ist.

1. Die erste Spalte enthält die Übergänge aus Basis: \(0{,}8\) nach Basis und \(0{,}2\) nach Plus. 2. Die zweite Spalte enthält die Übergänge aus Plus: \(0{,}3\) nach Basis und \(0{,}7\) nach Plus. 3. Daher ist \(M=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}\).

\(M=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}\)

- Schreibe die Anfangsverteilung zuerst als Vektor in der angegebenen Reihenfolge. - Welche Rechenoperation beschreibt laut Aufgabenstellung genau einen Übergangsschritt? - Ordne die beiden Komponenten des Ergebnisvektors wieder Bus und Bahn zu.

1. Der Anfangsvektor ist \(v_0=\begin{pmatrix}60\\40\end{pmatrix}\). 2. Es folgt \(v_1=Mv_0=\begin{pmatrix}0{,}75\cdot60+0{,}2\cdot40\\0{,}25\cdot60+0{,}8\cdot40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}53\\47\end{pmatrix}\). 3. Nach einem Monat fahren somit \(53\) Personen mit dem Bus und \(47\) mit der Bahn.

\(v_1=\begin{pmatrix}53\\47\end{pmatrix}\). Nach einem Monat fahren \(53\) Personen mit dem Bus und \(47\) mit der Bahn.

- Betrachte für \(x\) und \(y\) jeweils die Spalte, in der die unbekannte Zahl steht. - Prüfe nach dem Ergänzen auch, ob alle Einträge als Anteile möglich sind. - Welche Spalte von \(P\) bestimmt das Ergebnis, wenn anfangs nur der erste Zustand besetzt ist? - Verbinde in Teil c) die Einträge einer Spalte mit einem festen Ausgangszustand.

1. Aus der ersten Spaltensumme folgt \(0{,}5+x+0{,}2=1\), also \(x=0{,}3\). Aus der dritten Spaltensumme folgt \(0{,}2+y+0{,}5=1\), also \(y=0{,}3\). Die zweite Spalte hat bereits die Summe \(1\); alle Einträge sind nichtnegativ. 2. Mit \(v_0=\begin{pmatrix}100\\0\\0\end{pmatrix}\) gilt \(v_1=Pv_0=\begin{pmatrix}50\\30\\20\end{pmatrix}\). 3. Die erste Spalte beschreibt alle Anteile, die vom ersten Zustand ausgehen. Ihre Einträge addieren sich zu \(1\), also werden \(100\,\%\) der Einheiten dieses Ausgangszustands auf die drei Zielzustände verteilt.

a) \(x=0{,}3\), \(y=0{,}3\) b) \(v_1=\begin{pmatrix}50\\30\\20\end{pmatrix}\) c) Die erste Spalte verteilt den gesamten Anteil des ersten Ausgangszustands auf die drei Zielzustände; ihre Summe ist deshalb \(1\).

- Übersetze die Bedingung „unverändert nach einem Schritt“ direkt in eine Matrixgleichung. - Nutze zusätzlich, dass insgesamt \(120\) Personen auf die beiden Verkehrsmittel verteilt sind. - Prüfe die gefundene Verteilung durch erneute Multiplikation mit \(M\) und formuliere die Bedeutung anschließend mit Bus und Bahn.

1. Mit \(z=120-b\) liefert die erste Komponente von \(Mv=v\) die Gleichung \(0{,}9b+0{,}2(120-b)=b\). 2. Daraus folgt \(0{,}7b+24=b\), also \(b=80\) und \(z=40\). 3. Es gilt \(M\begin{pmatrix}80\\40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}80\\40\end{pmatrix}\). Wenn an einem Tag \(80\) Personen den Bus und \(40\) die Bahn nutzen, bleibt diese Verteilung nach dem nächsten Übergang und damit auch an allen weiteren Tagen unverändert.

\(v=\begin{pmatrix}80\\40\end{pmatrix}\). Bei \(80\) Bus- und \(40\) Bahnfahrenden bleibt die Verteilung unter dem Übergangsprozess unverändert.

- Bei einer gerichteten Kante ist der Zustand vor dem Pfeil die Quelle und der Zustand danach das Ziel. - Die Spaltenkonvention ordnet alle von demselben Zustand ausgehenden Kanten derselben Matrixspalte zu. - Arbeite in Teil b) rückwärts: Jede Matrixspalte beschreibt alle gerichteten Kanten, die von ihrem Ausgangszustand starten.

1. Von A führen die Kanten mit Anteilen \(0{,}7\) nach A und \(0{,}3\) nach B. Daher ist die erste Spalte \(\begin{pmatrix}0{,}7\\0{,}3\end{pmatrix}\). Von B führen \(0{,}2\) nach A und \(0{,}8\) nach B. Die zweite Spalte ist \(\begin{pmatrix}0{,}2\\0{,}8\end{pmatrix}\). 2. Somit ist \(M=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}2\\0{,}3&0{,}8\end{pmatrix}\). Beide Spalten summieren sich zu \(1\). 3. Für \(N\) lauten die gerichteten Kanten \(A\to A:0{,}6\), \(A\to B:0{,}4\), \(B\to A:0{,}1\) und \(B\to B:0{,}9\).

a) \(M=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}2\\0{,}3&0{,}8\end{pmatrix}\); beide Spaltensummen sind \(1\). b) \(A\to A:0{,}6\), \(A\to B:0{,}4\), \(B\to A:0{,}1\), \(B\to B:0{,}9\).

- Kläre zuerst, ob eine Zeile oder eine Spalte alle Übergänge von einem festen Ausgangszustand enthält. - Vergleiche Minas Kanten nicht einzeln ohne System, sondern suche nach einem einheitlichen Zuordnungsfehler. - Ein gültiger Übergangsgraph muss die Erhaltung der gesamten Anteile an jedem Ausgangszustand widerspiegeln.

1. Mina liest die Matrixzeilen als Ausgangszustände. Nach der vorgegebenen Konvention muss jedoch jede Matrixspalte als Menge der Übergänge von einem Ausgangszustand gelesen werden. 2. Die korrekte Kantenliste lautet: \(A\to A:0{,}5\), \(A\to B:0{,}3\), \(A\to C:0{,}2\); \(B\to A:0{,}2\), \(B\to B:0{,}7\), \(B\to C:0{,}1\); \(C\to A:0{,}4\), \(C\to B:0{,}1\), \(C\to C:0{,}5\). 3. Bei einem Übergangsprozess müssen die Gewichte aller von einem Zustand ausgehenden Kanten die Summe \(1\) haben. Minas A-Kanten ergeben \(0{,}5+0{,}2+0{,}4=1{,}1\) und können daher nicht stimmen. In der korrigierten Liste ist die Summe \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\).

a) Mina liest Zeilen statt Spalten als Ausgangszustände. b) \(A\to A:0{,}5\), \(A\to B:0{,}3\), \(A\to C:0{,}2\); \(B\to A:0{,}2\), \(B\to B:0{,}7\), \(B\to C:0{,}1\); \(C\to A:0{,}4\), \(C\to B:0{,}1\), \(C\to C:0{,}5\). c) Ausgehende Gewichte müssen sich zu \(1\) summieren. Bei Mina ergibt A \(1{,}1\), korrekt ist \(1\).

- Lies für jede Matrixspalte zuerst nur die Pfeile, die von einem einzigen Ausgangszustand starten. - Unterscheide sorgfältig zwischen Pfeilrichtung und räumlicher Lage der Zustände im Bild. - Die Summenkontrolle betrifft alle ausgehenden Pfeile eines Zustands gemeinsam.

1. Vom Zustand A führen die Pfeile mit Anteil \(0{,}4\) nach B und mit Anteil \(0{,}6\) nach C. Daher lautet die erste Spalte \(\begin{pmatrix}0\\0{,}4\\0{,}6\end{pmatrix}\). 2. Vom Zustand B führt der einzige Pfeil mit Anteil \(1\) nach C. Die zweite Spalte ist \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). 3. Vom Zustand C führt der einzige Pfeil mit Anteil \(1\) nach A. Die dritte Spalte ist \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). 4. Somit ist \(M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0{,}4&0&0\\0{,}6&1&0\end{pmatrix}\). Die Spaltensummen sind jeweils \(1\). Im Übergangsgraphen bedeutet dies, dass sich die Gewichte aller von einem festen Ausgangszustand ausgehenden Pfeile jeweils zu \(1\) addieren.

a) \(M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0{,}4&0&0\\0{,}6&1&0\end{pmatrix}\) b) Alle drei Spaltensummen sind \(1\); entsprechend summieren sich an jedem Zustand die Gewichte der ausgehenden Pfeile zu \(1\).

- Jede Komponente des neuen Zustands entspricht einer Zeile des Matrixprodukts. - Beim Rückweg von Gleichungen zur Matrix musst du die vorgegebene Spaltenkonvention beachten. - Kontrolliere deine Zuordnung mit den Spaltensummen.

1. Aus der ersten Matrixzeile folgt \(b_{n+1}=0{,}75b_n+0{,}20z_n\), aus der zweiten \(z_{n+1}=0{,}25b_n+0{,}80z_n\). 2. Die Koeffizienten von \(u_n\) bilden die erste Spalte und die Koeffizienten von \(v_n\) die zweite Spalte. Daher ist \(N=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}1\\0{,}4&0{,}9\end{pmatrix}\). 3. In beiden Darstellungen summieren sich die Ausgangsspalten zu \(1\).

a) \(b_{n+1}=0{,}75b_n+0{,}20z_n\), \(z_{n+1}=0{,}25b_n+0{,}80z_n\) b) \(N=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}1\\0{,}4&0{,}9\end{pmatrix}\)

- Eine Matrixspalte enthält bei der vorgegebenen Konvention alle Ziele eines Ausgangszustands. - Die Tabelle ist nach Ausgangszuständen in den Zeilen organisiert; achte deshalb beim Übertragen auf die Orientierung. - Für \(b_{n+1}\) benötigst du die Matrixzeile des Zielzustands B.

1. Die erste Matrixspalte beschreibt die Übergänge von A: nach A \(0{,}6\), nach B \(0{,}3\), nach C \(0{,}1\). Entsprechend liefert die zweite Spalte für B die Werte \(0{,}2\), \(0{,}5\), \(0{,}3\) und die dritte Spalte für C die Werte \(0{,}1\), \(0{,}4\), \(0{,}5\). 2. Die zweite Matrixzeile liefert \(b_{n+1}=0{,}3a_n+0{,}5b_n+0{,}4c_n\).

a) <table><tr><th>von</th><th>nach A</th><th>nach B</th><th>nach C</th></tr><tr><td>A</td><td>\(0{,}6\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}1\)</td></tr><tr><td>B</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr><tr><td>C</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}5\)</td></tr></table> b) \(b_{n+1}=0{,}3a_n+0{,}5b_n+0{,}4c_n\)

- Welche Matrixspalte beschreibt, was mit einem bereits in Z befindlichen Anteil geschieht? - Führe die Übergänge schrittweise aus; jede neue Verteilung ist der Ausgang für den nächsten Schritt. - Beobachte besonders die erste Komponente über mehrere Schritte hinweg.

1. Die zweite Spalte ist \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Wer in Z ist, bleibt daher mit Anteil \(1\) in Z. 2. Es ergibt sich \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}60\\40\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}36\\64\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_3=\begin{pmatrix}21{,}6\\78{,}4\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_4=\begin{pmatrix}12{,}96\\87{,}04\end{pmatrix}\). 3. Nach vier Schritten sind \(87{,}04\,\%\) in Z. Der Anteil in T wird in jedem Schritt mit \(0{,}6\) multipliziert und nimmt daher weiter ab; entsprechend wächst der absorbierte Anteil.

a) Z ist absorbierend, weil die Z-Spalte \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) ist. b) \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}60\\40\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}36\\64\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_3=\begin{pmatrix}21{,}6\\78{,}4\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_4=\begin{pmatrix}12{,}96\\87{,}04\end{pmatrix}\) c) \(87{,}04\,\%\) befinden sich nach vier Schritten in Z; der Anteil nähert sich weiter \(100\,\%\).

- Betrachte \(v_1=Mv_0\) als Gleichung für den unbekannten Vektor \(v_0\). - Welche Rolle spielt die angegebene inverse Matrix, wenn die Wirkung von \(M\) rückgängig gemacht werden soll? - Achte bei der Matrix-Vektor-Multiplikation darauf, welche Matrixzeile die jeweilige Komponente des Ergebnisvektors liefert.

1. Aus \(v_1=Mv_0\) folgt wegen der Invertierbarkeit \(v_0=M^{-1}v_1\). 2. Damit ist \(v_0=\begin{pmatrix}1{,}4&-0{,}6\\-0{,}4&1{,}6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}70\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}80\\20\end{pmatrix}\). 3. Kontrolle: \(Mv_0=\begin{pmatrix}0{,}8\cdot80+0{,}3\cdot20\\0{,}2\cdot80+0{,}7\cdot20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}70\\30\end{pmatrix}=v_1\).

a) \(v_0=\begin{pmatrix}80\\20\end{pmatrix}\) b) \(Mv_0=\begin{pmatrix}70\\30\end{pmatrix}=v_1\)

- Schreibe aus \(Mv=v\) zunächst nur die erste und die dritte Komponentengleichung heraus. - Versuche daraus Beziehungen zwischen \(x\), \(y\) und \(z\) zu gewinnen, bevor du die Gesamtsumme benutzt. - Wozu brauchst du anschließend die Bedingung \(x+y+z=100\)? - Formuliere am Ende in Worten, was \(Mv=v\) für die Verteilung nach einem weiteren Übergang bedeutet.

1. Aus der ersten Komponente von \(Mv=v\) folgt \(0{,}5x+0{,}25y=x\). Daraus ergibt sich \(y=2x\). 2. Aus der dritten Komponente folgt \(0{,}25y+0{,}75z=z\). Daraus ergibt sich \(z=y\). 3. Mit \(x+y+z=100\) folgt \(x+2x+2x=100\), also \(x=20\), \(y=40\) und \(z=40\). 4. Probe: \(M\begin{pmatrix}20\\40\\40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\40\\40\end{pmatrix}\). 5. Diese Verteilung bleibt nach einem weiteren Übergang unverändert.

\(v=\begin{pmatrix}20\\40\\40\end{pmatrix}\). Bei dieser Verteilung bleiben die Bestände in A, B und C nach jedem Übergang unverändert.

- Lies für einen absorbierenden Zustand die gesamte zugehörige Spalte der Matrix. - Zerlege die Gewinnwahrscheinlichkeit danach, was im ersten Schritt aus S geschehen kann. - Wenn der erste Schritt zurück nach S führt, steht anschließend wieder dieselbe Gewinnfrage an. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach mehreren Schritten immer noch in S zu sein?

1. Die Spalten zu G und V sind \(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) beziehungsweise \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Wer G oder V erreicht, bleibt dort mit Wahrscheinlichkeit \(1\). 2. Vom Zustand S geht der Prozess mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\) sofort nach G, mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}3\) zurück nach S und mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}2\) nach V. Daher gilt \(p=0{,}5+0{,}3p\). 3. Somit ist \(0{,}7p=0{,}5\) und daher \(p=\frac{5}{7}\). 4. Nach \(n\) Schritten beträgt die Wahrscheinlichkeit, noch in S zu sein, \(0{,}3^n\). Diese geht gegen \(0\). Daher endet der Prozess mit Wahrscheinlichkeit \(1\) in G oder V. 5. Die Verlustwahrscheinlichkeit ist folglich \(1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}\).

a) Die Spalte zu G ist \(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), die Spalte zu V ist \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Daher bleibt der Prozess nach Erreichen von G oder V dort mit Wahrscheinlichkeit \(1\); beide Zustände sind absorbierend. b) \(p=0{,}5+0{,}3p\), also \(P(G)=\frac{5}{7}\). c) \(P(V)=\frac{2}{7}\). Da \(0{,}3^n\to 0\), wird S schließlich mit Wahrscheinlichkeit \(1\) verlassen und die beiden Absorptionswahrscheinlichkeiten summieren sich zu \(1\).

- Wie stellst du die aktuelle Verteilung als mathematisches Objekt dar? - Welche Rechenoperation verknüpft die Übergangsmatrix mit dem Zustandsvektor? - Wie kannst du das Ergebnis der ersten Woche nutzen, um die Verteilung für die darauffolgende Woche zu finden? - Achte darauf, dass die Spaltensummen der Matrix und die Summe der Kunden im Vektor jeweils konstant bleiben sollten.

1. Die Kundenverteilung nach einer Woche wird durch das Produkt der Übergangsmatrix \(M\) mit dem Startvektor \(\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 10\,000 \\ 6000 \\ 4000 \end{pmatrix}\) berechnet: \(\vec{v}_1 = M \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 10\,000 + 0{,}1 \cdot 6000 + 0{,}05 \cdot 4000 \\ 0{,}1 \cdot 10\,000 + 0{,}7 \cdot 6000 + 0{,}15 \cdot 4000 \\ 0{,}1 \cdot 10\,000 + 0{,}2 \cdot 6000 + 0{,}8 \cdot 4000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8800 \\ 5800 \\ 5400 \end{pmatrix}\). Nach einer Woche hat Anbieter \(A\) \(8800\) Kunden, Anbieter \(B\) \(5800\) Kunden und Anbieter \(C\) \(5400\) Kunden. 2. Die Verteilung nach zwei Wochen ergibt sich aus \(\vec{v}_2 = M \cdot \vec{v}_1\): \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 8800 + 0{,}1 \cdot 5800 + 0{,}05 \cdot 5400 \\ 0{,}1 \cdot 8800 + 0{,}7 \cdot 5800 + 0{,}15 \cdot 5400 \\ 0{,}1 \cdot 8800 + 0{,}2 \cdot 5800 + 0{,}8 \cdot 5400 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7890 \\ 5750 \\ 6360 \end{pmatrix}\). Nach zwei Wochen hat Anbieter \(A\) \(7890\) Kunden, Anbieter \(B\) \(5750\) Kunden und Anbieter \(C\) \(6360\) Kunden.

1. Nach einer Woche: \(A: 8800\), \(B: 5800\), \(C: 5400\). 2. Nach zwei Wochen: \(A: 7890\), \(B: 5750\), \(C: 6360\).

- Welche Produktbeziehung definiert zwei inverse Matrizen im hier verwendeten Unterrichtskontext? - Wie lässt sich ein bereits ausgeführter Übergang mit einer inversen Matrix rückgängig machen? - Kontrolliere, ob der rekonstruierte Anfangszustand durch Multiplikation mit \(M\) wieder \(\vec{v}_1\) ergibt.

1. Es ist \(MA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). 2. Ebenso ist \(AM=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). Damit ist nach der zweiseitigen Inversendefinition \(A=M^{-1}\). 3. Der Anfangszustand ist \(\vec{v}_0=M^{-1}\vec{v}_1=A\begin{pmatrix}40\\60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50\\50\end{pmatrix}\).

a) \(MA=AM=E_2\), also \(A=M^{-1}\). b) \(\vec{v}_0=\begin{pmatrix}50\\50\end{pmatrix}\)

- Welche Koeffizienten von \(x_n\) und \(y_n\) stehen in den beiden Rekursionsgleichungen? - Führe die Rekursion für die ersten Schritte parallel für beide Zustandsgrößen aus. - Überlege, was ein einmaliges Multiplizieren mit \(A\) für den Zustandsvektor bedeutet. - Wie lässt sich derselbe Übergang mehrfach hintereinander mithilfe einer Matrixpotenz schreiben?

1. Aus den Rekursionsgleichungen folgt \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(x_0=1\), \(x_1=1\), \(x_2=2\), \(x_3=3\), \(x_4=5\) und \(x_5=8\). Dies sind die ersten Glieder der Fibonacci-Folge mit dem hier gewählten Startwert \(x_0=1\). 3. Durch Matrixmultiplikation erhält man \(A^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) und \(A^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}\). 4. Jeder Faktor \(A\) führt genau einen weiteren Schritt des Systems aus. Daher beschreibt \(A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) den Zustandsvektor nach \(n\) Schritten. 5. Für \(n=3\) ist \(A^3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\). Damit ist insbesondere \(x_3=3\), wie in Teilaufgabe b) berechnet.

a) \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) b) \(x_0=1\), \(x_1=1\), \(x_2=2\), \(x_3=3\), \(x_4=5\), \(x_5=8\); Fibonacci-Folge. c) Jede Multiplikation mit \(A\) führt einen weiteren Schritt aus; deshalb liefert \(A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) den Zustand nach \(n\) Schritten. Es gilt \(A^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\), \(A^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}\) und \(A^3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\), also \(x_3=3\).

- Eine Matrixpotenz beschreibt mehrere aufeinanderfolgende Schritte desselben Prozesses. - Kannst du eine bereits berechnete Matrixpotenz für den nächsten geforderten Exponenten wiederverwenden? - Bilde für Teil c) die Differenz der beiden Komponenten nach einem Übergang und fasse die Terme zusammen. - Welche Folgerung hat eine geometrisch kleiner werdende Differenz, wenn die Summe beider Komponenten konstant \(1000\) bleibt?

1. Es ist \(M^2=\begin{pmatrix}0{,}625&0{,}375\\0{,}375&0{,}625\end{pmatrix}\). 2. Damit folgt \(v_2=M^2v_0=\begin{pmatrix}625\\375\end{pmatrix}\). 3. Aus \(M^4=(M^2)^2\) ergibt sich \(M^4=\begin{pmatrix}0{,}53125&0{,}46875\\0{,}46875&0{,}53125\end{pmatrix}\) und somit \(v_4=\begin{pmatrix}531{,}25\\468{,}75\end{pmatrix}\). 4. Aus \(a_{n+1}=0{,}75a_n+0{,}25b_n\) und \(b_{n+1}=0{,}25a_n+0{,}75b_n\) folgt \(d_{n+1}=a_{n+1}-b_{n+1}=0{,}5(a_n-b_n)=\frac{1}{2}d_n\). 5. Daher gilt \(d_n=1000\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0\). Zugleich bleibt \(a_n+b_n=1000\). Somit gilt \(a_n\to 500\) und \(b_n\to 500\), also \(v_n\to\begin{pmatrix}500\\500\end{pmatrix}\).

a) \(M^2=\begin{pmatrix}0{,}625&0{,}375\\0{,}375&0{,}625\end{pmatrix}\), \(v_2=\begin{pmatrix}625\\375\end{pmatrix}\) b) \(M^4=\begin{pmatrix}0{,}53125&0{,}46875\\0{,}46875&0{,}53125\end{pmatrix}\), \(v_4=\begin{pmatrix}531{,}25\\468{,}75\end{pmatrix}\) c) \(d_{n+1}=\frac{1}{2}d_n\), also \(d_n\to0\) und damit \(v_n\to\begin{pmatrix}500\\500\end{pmatrix}\).

- Nutze für die hohe Potenz bewusst die Matrixpotenz-Funktion eines geeigneten digitalen Werkzeugs. - Multipliziere die berechnete Potenz anschließend mit dem Anfangsvektor. - Vergleiche die Spalten der hohen Matrixpotenz, um die langfristige Wirkung verschiedener Anfangszustände zu beurteilen.

1. Ein digitales Werkzeug liefert \(M^{20}\approx\begin{pmatrix}0{,}4000&0{,}4000\\0{,}6000&0{,}6000\end{pmatrix}\). 2. Mit höherer interner Genauigkeit ergibt \(\vec{v}_{20}=M^{20}\vec{v}_0\approx\begin{pmatrix}400{,}0004\\599{,}9996\end{pmatrix}\), gerundet also \(\begin{pmatrix}400\\600\end{pmatrix}\). 3. Nach vielen Übergängen stabilisiert sich die Verteilung näherungsweise bei \(40\,\%\) im ersten und \(60\,\%\) im zweiten Zustand.

\(M^{20}\approx\begin{pmatrix}0{,}4000&0{,}4000\\0{,}6000&0{,}6000\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_{20}\approx\begin{pmatrix}400\\600\end{pmatrix}\). Langfristig ergibt sich näherungsweise eine \(40{:}60\)-Verteilung.

- Multipliziere in Teil a) die Matrix zunächst symbolisch mit dem Fibonacci-Vektor und verwende erst danach die Rekursionsvorschrift. - Für Teil b) soll die Matrixpotenz die wiederholte Rekursion bündeln. - Unterscheide in Teil c) zwischen dem Prüfen eines konkreten Index und einer Aussage über unendlich viele Indizes.

1. Es gilt \(Q\vec{v}_n=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+1}+F_n\\F_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+2}\\F_{n+1}\end{pmatrix}=\vec{v}_{n+1}\). 2. Durch Matrixmultiplikation erhält man \(Q^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) und \(Q^4=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\). Daher ist \(Q^4\vec{v}_1=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}\). Somit gilt \(F_6=8\) und \(F_5=5\). 3. Es ist \(F_1+F_2+F_3+F_4+F_5=1+1+2+3+5=12\) und \(F_7-1=13-1=12\). Die Aussage stimmt also für \(n=5\). Eine einzelne Überprüfung zeigt jedoch nur einen konkreten Fall; der Induktionsbeweis begründet die Aussage für alle natürlichen \(n\) im angegebenen Bereich.

a) \(Q\vec{v}_n=\begin{pmatrix}F_{n+2}\\F_{n+1}\end{pmatrix}=\vec{v}_{n+1}\) b) \(Q^4=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\), \(F_5=5\), \(F_6=8\) c) Für \(n=5\) gilt links \(12\) und rechts \(F_7-1=12\). Das bestätigt nur diesen Einzelfall; erst ein allgemeiner Beweis wie die vollständige Induktion deckt alle \(n\) ab.

- Welche Zielzustände sind nach genau einem Schritt von A aus möglich, und wie beeinflussen sie die spätere Gewinnchance? - Wenn der erste Schritt in den anderen Zwischenzustand führt, hängt die restliche Gewinnchance vom dortigen \(g\)-Wert ab. - Nach dem Aufstellen der beiden Gleichungen kannst du eine Variable durch Einsetzen beseitigen. - Wie groß kann die Wahrscheinlichkeit sein, nach \(n\) Schritten noch immer zwischen A und B zu wechseln?

1. Bei Start in A geht der Prozess mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\) sofort nach G und mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\) nach B. Daher gilt \(g_A=0{,}5+0{,}5g_B\). 2. Bei Start in B geht der Prozess mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}25\) nach G, mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}25\) nach V und mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\) nach A. Daher gilt \(g_B=0{,}25+0{,}5g_A\). 3. Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste liefert \(g_A=0{,}5+0{,}5(0{,}25+0{,}5g_A)=0{,}625+0{,}25g_A\). Also ist \(0{,}75g_A=0{,}625\) und damit \(g_A=\frac{5}{6}\). Dann folgt \(g_B=0{,}25+0{,}5\cdot\frac{5}{6}=\frac{2}{3}\). 4. Solange der Prozess in A oder B bleibt, muss er bei jedem Schritt den Übergang zum jeweils anderen Zwischenzustand wählen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt jeweils \(0{,}5\). Daher ist die Wahrscheinlichkeit, nach \(n\) Schritten noch nicht absorbiert zu sein, höchstens \((0{,}5)^n\) und geht gegen \(0\). 5. Somit erfolgt schließlich mit Wahrscheinlichkeit \(1\) eine Absorption in G oder V. Bei Start in A ist daher \(P(V)=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\), bei Start in B ist \(P(V)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\).

a) \(g_A=0{,}5+0{,}5g_B\), \(g_B=0{,}25+0{,}5g_A\) b) \(g_A=\frac{5}{6}\), \(g_B=\frac{2}{3}\) c) Start in A: \(P(G)=\frac{5}{6}\), \(P(V)=\frac{1}{6}\). Start in B: \(P(G)=\frac{2}{3}\), \(P(V)=\frac{1}{3}\). Die Ergänzung ist zulässig, weil die Wahrscheinlichkeit, dauerhaft in A oder B zu bleiben, gegen \(0\) geht.

- Vergleiche die entsprechenden Einträge der beiden Produkte \(P Q\) und \(Q P\). - Welche Variablen bleiben nach dem Lösen der Kommutationsbedingungen frei? - Übertrage die festgelegte Übergangskonvention konsequent auf die Spaltensummen von \(Q\). - Welche zusätzlichen Einschränkungen entstehen durch die Nichtnegativität aller Einträge?

1. Es gilt \(P Q = \begin{pmatrix} 0{,}6x + 0{,}2z & 0{,}6y + 0{,}2w \\ 0{,}4x + 0{,}8z & 0{,}4y + 0{,}8w \end{pmatrix}\) und \(Q P = \begin{pmatrix} 0{,}6x + 0{,}4y & 0{,}2x + 0{,}8y \\ 0{,}6z + 0{,}4w & 0{,}2z + 0{,}8w \end{pmatrix}\). 2. Der Vergleich der Einträge liefert \(z = 2y\) und \(w = x + y\). Die übrigen Gleichungen führen auf dieselben Bedingungen. 3. Damit haben alle mit \(P\) kommutierenden Matrizen die Form \(Q = \begin{pmatrix} x & y \\ 2y & x+y \end{pmatrix}\) mit \(x,y \in \mathbb{R}\). 4. Für eine Übergangsmatrix müssen die Spaltensummen \(1\) sein. Beide Spalten liefern \(x+2y=1\), also \(x=1-2y\). Aus der Nichtnegativität folgt \(0 \le y \le \frac{1}{2}\). 5. Somit gilt \(Q = \begin{pmatrix} 1-2y & y \\ 2y & 1-y \end{pmatrix}\) mit \(0 \le y \le \frac{1}{2}\).

a) \(Q = \begin{pmatrix} x & y \\ 2y & x+y \end{pmatrix}\) mit \(x,y \in \mathbb{R}\) b) \(Q = \begin{pmatrix} 1-2y & y \\ 2y & 1-y \end{pmatrix}\) mit \(0 \le y \le \frac{1}{2}\)

- Lies bei einem absorbierenden Zustand die gesamte zugehörige Spalte der Übergangsmatrix. - Für zwei Schritte musst du dieselbe Übergangsvorschrift zweimal anwenden. - Zerlege die endgültige Gewinnwahrscheinlichkeit nach dem ersten möglichen Übergang aus dem jeweiligen Zwischenzustand. - Vergleiche für Teil d) die Wahrscheinlichkeit, in den Zwischenzuständen zu bleiben, mit einem festen Faktor kleiner als \(1\). - Erst wenn die verbleibende Zwischenzustandswahrscheinlichkeit gegen \(0\) geht, darfst du Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeit zu \(1\) ergänzen.

1. In der Spalte zu \(G\) steht nur in der Zeile \(G\) der Wert \(1\), und in der Spalte zu \(V\) nur in der Zeile \(V\) der Wert \(1\). Nach dem Erreichen eines dieser Zustände bleibt das Spiel dort. 2. Für \(v_0=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\) ist \(v_1=\begin{pmatrix}0{,}4\\0{,}3\\0{,}2\\0{,}1\end{pmatrix}\) und \(v_2=Mv_1=\begin{pmatrix}0{,}22\\0{,}24\\0{,}31\\0{,}23\end{pmatrix}\). 3. Nach dem ersten Übergang gilt \(g_A=0{,}4g_A+0{,}3g_B+0{,}2\) und \(g_B=0{,}2g_A+0{,}4g_B+0{,}1\). Dies ist äquivalent zu \(0{,}6g_A-0{,}3g_B=0{,}2\) und \(-0{,}2g_A+0{,}6g_B=0{,}1\). 4. Das Gleichungssystem liefert \(g_A=\frac{1}{2}\) und \(g_B=\frac{1}{3}\). 5. Von Zustand \(A\) bleiben nach einem Schritt höchstens \(0{,}7\) der Wahrscheinlichkeit in den Zwischenzuständen, von Zustand \(B\) höchstens \(0{,}6\). Daher ist die gesamte Wahrscheinlichkeit, nach \(n\) Schritten noch in \(A\) oder \(B\) zu sein, höchstens \(0{,}7^n\) und geht gegen \(0\). Somit erfolgt schließlich mit Wahrscheinlichkeit \(1\) eine Absorption in \(G\) oder \(V\). 6. Bei Start in \(A\) ist die endgültige Gewinnwahrscheinlichkeit \(g_A=\frac{1}{2}\). Die Verlustwahrscheinlichkeit beträgt daher \(1-g_A=\frac{1}{2}\).

a) \(G\) und \(V\) sind absorbierend, weil ein einmal erreichter Endzustand mit Wahrscheinlichkeit \(1\) erhalten bleibt. b) \(v_2=\begin{pmatrix}0{,}22\\0{,}24\\0{,}31\\0{,}23\end{pmatrix}\) c) \(g_A=0{,}4g_A+0{,}3g_B+0{,}2\), \(g_B=0{,}2g_A+0{,}4g_B+0{,}1\); daraus \(g_A=\frac{1}{2}\), \(g_B=\frac{1}{3}\) d) Die Wahrscheinlichkeit für einen Verbleib in \(A\) oder \(B\) ist höchstens \(0{,}7^n\) und geht gegen \(0\). Bei Start in \(A\) gilt daher \(P(G)=\frac{1}{2}\) und \(P(V)=\frac{1}{2}\).

- Nutze die Spaltensummen schon beim Aufstellen der allgemeinen Matrix, damit nicht für jeden Eintrag eine eigene Variable nötig ist. - Prüfe zusätzlich, welche Ungleichungen aus der Bedeutung der Matrixeinträge als Übergangsanteile folgen. - Aus jeder Vektorgleichung reichen wegen der erhaltenen Gesamtsumme zwei unabhängige Komponentengleichungen. - Löse die vier unabhängigen linearen Gleichungen erst, bevor du die Matrix vollständig einsetzt und prüfst. - Für Teil d) genügt es nicht zu behaupten, dass eine Gleichung fehlt: Konstruiere zwei verschiedene stochastische Matrizen, die alle verbleibenden Angaben tatsächlich erfüllen.

1. Setze \(a=A\to A\), \(b=B\to A\), \(c=B\to B\) und \(d=C\to B\). Aus den Spaltensummen folgt \(M=\begin{pmatrix}a&b&0{,}1\\0{,}6-a&c&d\\0{,}4&1-b-c&0{,}9-d\end{pmatrix}\). Damit alle Einträge Übergangsanteile sind, gelten \(0\le a\le0{,}6\), \(b\ge0\), \(c\ge0\), \(b+c\le1\) und \(0\le d\le0{,}9\). 2. Aus \(M\vec{v}=\vec{v}\) liefern die ersten beiden Komponenten \(20a+30b+4=20\) und \(20(0{,}6-a)+30c+40d=30\). Aus \(M\vec{w}=\vec{w}'\) liefern die ersten beiden Komponenten \(50a+20b+3=32\) und \(50(0{,}6-a)+20c+30d=25\). Da jede Spalte von \(M\) die Summe \(1\) hat, bleibt die Gesamtsumme eines Zustandsvektors erhalten. Sobald zwei Komponenten und die Gesamtsumme feststehen, ist die dritte Komponente bestimmt; deshalb ist die jeweilige dritte Gleichung abhängig. 3. Aus den Gleichungen folgt \(a=0{,}5\), \(b=0{,}2\), \(c=0{,}4\), \(d=0{,}4\). Damit \(M=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}4&0{,}4\\0{,}4&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}\). Es gilt tatsächlich \(M\vec{v}=\begin{pmatrix}20\\30\\40\end{pmatrix}\) und \(M\vec{w}=\begin{pmatrix}32\\25\\43\end{pmatrix}\). 4. Fehlt die B-Komponente von \(\vec{w}'\), ergeben die verbleibenden Bedingungen \(a=0{,}5\), \(b=0{,}2\) und \(c=\frac{14}{15}-\frac43d\). Beispielsweise sind sowohl \(M_1=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}4&0{,}4\\0{,}4&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}\) als auch \(M_2=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}6&0{,}25\\0{,}4&0{,}2&0{,}65\end{pmatrix}\) gültige Übergangsmatrizen. Beide erfüllen \(M\vec{v}=\vec{v}\) und liefern für \(M\vec{w}\) die A-Komponente \(32\), sind aber verschieden. Die Rekonstruktion wäre also nicht eindeutig.

a) \(M=\begin{pmatrix}a&b&0{,}1\\0{,}6-a&c&d\\0{,}4&1-b-c&0{,}9-d\end{pmatrix}\) mit \(0\le a\le0{,}6\), \(b,c\ge0\), \(b+c\le1\) und \(0\le d\le0{,}9\). b) \(20a+30b+4=20\), \(20(0{,}6-a)+30c+40d=30\), \(50a+20b+3=32\), \(50(0{,}6-a)+20c+30d=25\). Die dritten Komponentengleichungen sind wegen der erhaltenen Gesamtsumme abhängig. c) \(M=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}4&0{,}4\\0{,}4&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}\); beide Vektorbedingungen werden erfüllt. d) Zum Beispiel sind bei fehlender B-Komponente sowohl \(M_1=M\) als auch \(M_2=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}6&0{,}25\\0{,}4&0{,}2&0{,}65\end{pmatrix}\) möglich. Daher ist die Rekonstruktion nicht eindeutig.